Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm 1. Vi phân là gì? 1.1. Khái niệm
- Vi phân của hàm số y = f(x) tại x dy = df(x) = f'(x).dx
- Tích f'(x)dx được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0
Ví dụ: Tìm vi phân của các hàm số sau: a. y = y' = = 3 . 2x - 5 . 1 = 6x - 5
b. y = = u^2 với u = cos x => u' = - sin x
y' = 2u . u' = (2cos x).(-sin x) = - 2 sin x. cos x = -sin2x => dy = -sin2x dx
1.2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của Chọn y = f(x) = Ta có: 3,99 = 4 - 0,01
f(3,99) = f(4 + (-0,01)) = f(4) + f'(4) .
1.3. Một số công thức vi phân quan trọng
2. Nguyên hàm là gì? 2.1. Khái niệm
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Ví dụ: Hàm số F(x) = x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng Vì F'(x) = (x^2)' = 2x . 2.2. Định lí
* Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hàng số C, hàm số G(x) = F(x) +
C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
Ví dụ: F(x) = x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng => G(x) = x^2 + 2 H(x) = x^2 - 1
* Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có
dạng F(x) + C, với C là một hằng số - Ký hiệu: Ví dụ: Với x thuộc , Với x thuộc
2.5. Các phương pháp tìm nguyên hàm
2.5.1. Phương pháp đổi biến
- Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K.
Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: thì:
* Phương pháp giải:
Bước 1. Chọn t = . Trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp
Bước 2. Tính vi phân hai vế: dt =
Bước 3. Biểu thị: f(x)dx = Bước 4. Khi đó: I =
2.5.2. Phương pháp đổi biến loại 2
Cho hàm số f(x) liên tục trên K, x = là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là . Khi đó, ta có:
* Phương pháp giải
Bước 1. Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn thích hợp
Bước 2. Lấy vi phân hai vế: dx =
Bước 3. Biến đổi: f(x)dx = Bước 4. Khi đó tính:
* Các dấu hiệu biến đổi thường gặp:
2.5.3. Nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: hay
với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx
* Phương pháp giải
Bước 1. Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = Bước 2. Đặt : Bước 3. Khi đó:
* Các dạng thường gặp 3. Câu hỏi ôn tập
Câu 1. Hàm số f(x) = có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1/2. Tìm nghiệm của phương trình 2F (x) = A. x= -1 hoặc x = 2 B. x = 0 hoặc x = -2 C. x = -1 hoặc x = 0 D. x = 0 hoặc x = 2
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = A. B. C. D,
Câu 3. Cho hàm số f(x) luôn dương và thỏa mãn f'(x) = với x thuộc R. Biết rằng f(0) = 1. Giá trị của f(1) bằng? A. 1 B. e C. e^2 D. e^3
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = Hướng dẫn giải Ta có: F(x) =
Câu 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện xác định), biết a. f(x) = 2x^3 - 5x^2 -4x +7
b. f(x) = 6x^5 - 12x^3 + x^2 - 8 c. f(x) = (x^2 -3x) (x+1) d. f(x) = (x-1)(x^2 +2) e. f(x) = (3 - 4x)^2019
Câu 6. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = thỏa mãn F(4) = 19/3
Câu 7. Tìm một hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x - cos x thỏa mãn điều kiện
Câu 8. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 sin 5x + + 3/5 thỏa mãn điệu kiện đồ thị của hai hàm
số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Tìm hàm số F(x)
Câu 9. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 8sin x và thỏa mãn F(0) = 2010. Tìm F(x). A. F(x) = 6x - 8cos x + 2018 B. F(x) = 6x + 8 cos x C. F(x) = x^3 - 8cos x + 2018 D. F(x) = x^3 - 8cos x + 2019
Câu 10. Cho hàm số y = . Vi phân của hàm số là? A. dy = -sin2xdx B. dy = sin 2x dx C. dy = sin x dx D. dy = 2 cos dx Đáp án đúng là B
Câu 11. Cho hàm số y = f(x) = (x-1)^2. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho? A. dy = 2(x-1) dx B. dy = 2(x-1) C. dy = (x-1)dx D. dy = (x-1)^2 dx Đáp án đúng là A
Câu 12. Cho hàm số y = f(x) = -1/x. Xét hai mệnh đề sau: (I): y'' = f''(x) = (II): y''' = f'''(x) = Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Cả hai đều sai D.Cả hai đều đúng
Câu 13. Cho hàm số y = f(x) = . Xét hai mệnh đề:
Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Cả hai đều đúng D. Cả hai đều sai Đáp án đúng là A
Câu 14. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = , trong đó t tính bằng giây và s tính
bằng mét. Gia tốc của chuyển định khi t = 3 là? A. 24 m/s2 B. 17 m/s2 C. 14 m/s2 D. 12 m/s2 Đáp án đúng là D
Câu 15. Cho đường cong có phương trình y = . Hệ số góc của tiếp tuyến đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 1 là? A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 Đáp án đúng là C
Câu 16. Cho đường cong có phương trình y = . Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng -1 đi qua điểm? A. M(0;4) B. M(1,-3) C. M(-2;-1) D.N(2;-3) Đáp án đúng là B
Câu 17. cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = , trong đó,
t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 2s A. 9 B. 10 C. 9 D. 6 Đáp án đúng là A
Câu 18. Một vật rơi tự do theo phương trình s = , trong đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Vận
tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2s là? A. 19,05 m/s B. 19 m/s C. 19,6 m/s D. 10 m/s Đáp án đúng là C
Câu 19. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = bằng biểu thức nào sau đây? A. 9x^2 - 12x + sinx B. 9x^2 -12x -sinx C. 9x^2 - 6x - sinx D. 9x^2 - 12x + cosx Đáp án đúng là B
Câu 20. Cho hàm số y = sin(sinx). Vi phân của hàm số là? A. dy = cos(sinx).sinxdx B. dy = sin(cosx)dx C. dy = cos(sinx).cosxdx D. dy = cos(sinx)dx Đáp án đúng là C
Câu 21. Cho hàm số y = f(x) = (x-1)^2. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)? A. dy = 2(x-1)dx B. dy =(x-1)^2 dx C. dy = 2(x-1) D. dy = 2(x-1)dx Đáp án đúng là A
Câu 22. Cho hàm số y = . Vi phân của hàm số là? A. dy = -sin 2x dx B. dy = sin 2x dx C. dy = sin x dx D. dy = 2cos x dx Đáp án đúng là B
Câu 23. Hàm số y = x sin x + cos x có vi phân là? A. dy = (x cos x - sinx)dx B. dy = (x cos x) dx C. dy = (cos x - sin x)dx D. dy = (x sin x)dx Đáp án đúng là B