-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Xác suất Thống kê cho Kỹ sư - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen
Xác suất Thống kê cho Kỹ sư - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả
Môn: Thống kê trong kinh doanh (DC 119DV02) 90 tài liệu
Trường: Đại học Hoa Sen 4.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ CHO KỸ SƯ
(Năm học 2022 – 2023. Trường Đại học Hoa Sen)
CHƯƠNG I. ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc V có thể thực hiện theo hai phương án V1 hoặc V2, trong đó V1 có
m1 cách thực hiện, V2 có m2 cách thực hiện và mỗi cách thực hiện V1 không trùng với bất
kì cách thực hiện V2 nào. Khi đó số cách thực hiện công việc V là n = m1 + m2 . 2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc V bao gồm hai công đoạn V1 và V2, trong đó V1 có m1 cách thực
hiện, V2 có m2 cách thực hiện và mỗi cách thực hiện V1 đều có m2 cách thực hiện V2 .
Khi đó số cách thực hiện công việc V là n = m1 . m2 . 3. Tổ hợp
Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau lấy ra từ tập hợp có n phần tử được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các tổ hợp chập k của n phần tử là k n! C . n ! k ( n ) k !
Lưu ý: a) Số cách lấy k phần tử từ n phần tử bằng số tổ hợp: k C n
b) Muốn tính k
C n bằng máy tính Casio fx-570ES, cần nhấn lần lượt các phím sau: 1) Số n; 2) SHIFT;
3) Phép chia (máy sẽ hiểu đó là lệnh gián tiếp tính k C ); n 4) Số k; 5) Dấu bằng.
Sau đó đọc kết quả ở góc dưới, bên phải của màn hình.
Ví dụ 1. Một lớp học có 36 sinh viên, trong đó có 21 nữ. Chọn ngẫu nhiên 7 sinh viên trong
lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a) các sinh viên bất kỳ; b) 3 sinh viên nam;
c) ít nhất 6 sinh viên nữ;
d) it nhất 1 sinh viên nữ?
Ví dụ 2. Trong một cái hộp có 10 viên phấn trắng và 6 viên phấn màu. Lấy ra 5 viên phấn.
Hỏi có bao nhiêu cách lấy được:
a) các viên phấn bất kì; b) 2 viên phấn màu;
c) ít nhất 4 viên phấn màu;
d) ít nhất 1 viên phấn màu? BÀI TẬP CHƯƠNG I
1.1. Một lô hàng có 40 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Chọn ra 10 sản phẩm để kiểm
tra. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được
a) các sản phẩm bất kì;
b) không quá 2 phế phẩm;
c) ít nhất 8 sản phẩm tốt;
d) ít nhất 1 phế phẩm;
1.2. Người ta lấy ra 3 viên bi từ một cái hộp đựng 6 viên vi đỏ, 4 viên bi xanh, 5 viên bi
vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra a) các viên bi tùy ý;
b) 2 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh;
c) các viên bi có màu khác nhau; d) một viên màu vàng;
e) nhiều nhất một viên màu đỏ;
f) ít nhất một viên màu xanh? 1
CHƯƠNG II. XÁC SUẤT
II.1. PHÉP THỬ - BIẾN CỐ 1. Khái niệm
Hành động mà ta thực hiện là phép thử.
Kết quả của phép thử được gọi là biến cố.
Ví dụ 1. Hãy chỉ ra phép thử và biến cố trong từng ví dụ sau đây:
a) Tung một viên phấn lên cao, viên phấn rơi xuống.
b) Một sinh viên đi thi môn Toán và đậu môn này, nhưng đi thi ngoại ngữ lại bị rớt.
c) Bóc một tờ lịch trong quyển lốc lịch năm 2017, được tờ có ghi ngày 31/11/2017.
2. Phân loại biến cố
- Biến cố luôn luôn xảy ra trong phép thử được gọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là .
- Biến cố không bao giờ xảy ra được gọi là biến cố không thể, kí hiệu là .
- Biến cố có thể xảy ra, hoặc không xảy ra trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên,
kí hiệu là A, B, ... , C1, C2, ...
Ví dụ 2. Các biến cố ở ví dụ 1 là biến cố gì?
3. Các phép toán đối với biến cố
a) Tổng các biến cố
Cho hai biến cố A và B. Tổng của chúng là một biến cố C sao cho C xảy ra khi A hoặc B
xảy ra, kí hiệu C = A + B. b) Tích các biến cố
Cho hai biến cố A và B. Tích của chúng là một biến cố D sao cho D xảy ra khi A và B xảy ra, kí hiệu D = A.B
c) Biến cố đối lập
Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không xảy
ra và nếu A không xảy ra thì B phải xảy ra, kí hiệu B A.
Lưu ý. Hai biến cố sau đây đối lập nhau:
A: Có ít nhất một phần tử của tập hợp có tính chất ( )
B A: Không có phần tử nào của tập hợp có tính chất ( ).
Ví dụ 3. Lấy 3 viên bi trong cái hộp đựng 4 bi đỏ và 6 bi xanh.
Gọi A là biến cố: "Lấy được ít nhất 1 bi đỏ"; B là biến cố: "Lấy được 3 bi xanh".
Khi đó A và B là hai biến cố đối lập nhau.
Ví dụ 4. Một sinh viên thi hai môn - Toán Cao cấp (TCC) và Pháp luật Đại cương (PLĐC).
Gọi T là biến cố sinh viên đó đậu TCC, L là biến cố sinh viên đó đậu PLĐC. Hãy viết các
biến cố sau thành phép toán của T và L:
a) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn; b) Sinh viên đó đậu cả hai môn;
c) Sinh viên đó chỉ đậu môn PLĐC; d) Sinh viên đó bị rớt cả hai môn;
e) Sinh viên đó chỉ đậu một môn;
f) Sinh viên đó đậu không quá một môn.
Ví dụ 5. Có hai người cùng đi săn một con thú, mỗi người bắn 1 viên đạn. Gọi N ,1N lần 2
lượt là biến cố người thứ nhất, người thứ hai bắn trúng con thú. Hãy biểu diễn các biến cố
sau đây thành phép toán của N ,N : 1 2
a) Cả hai người cùng bắn trúng;
b) Con thú bị trúng đạn; 2
c) Chỉ có một người bắn trúng; d) Không ai bắn trúng;
e) Có không quá 1 người bắn trúng; f) Có ít nhất 1 người bắn trúng. d) Các tính chất
(1) A A A (2) . A A A
(3) A A (4) . A (5) A (6) . A A
(7) A A (8) . A A (9) (
A B C) AB AC
4. Mối quan hệ của các biến cố
a) Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không cùng xảy ra.
b) Hai biến cố độc lập
Hai biến cố được gọi là độc lập nếu biến cố này xảy ra không ảnh hưởng đến biến cố kia và ngược lại.
c) Hệ biến cố đầy đủ
Hệ n biến cố A1, A2,..., An được gọi là hệ đầy đủ nếu luôn có một và chỉ một biến cố của
hệ xảy ra trong phép thử.
Ví dụ 6. Hai biến cố A , A tạo thành một hệ đầy đủ.
Ví dụ 7. Một sinh viên phải thi 4 môn. Gọi
là biến cố sinh viên đó đậu k k § (k 0,1,2,3,4)
môn (trong 4 môn đã thi). Ta có hai biến cố bất kì trong các biến cố này xung khắc với
nhau và hệ 5 biến cố đó là hệ đầy đủ.
Ví dụ 8. Tung một xúc xắc (tức là hình lập phương gồm 6 mặt có đánh số từ 1 đến 6).
Gọi Ak là biến cố xuất hiện mặt k (k = 1, 2, …, 6).
a) Hãy nêu các biến cố xung khắc nhau.
b) Các biến cố nào tạo thành hệ đầy đủ?
Ví dụ 9. Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào một mục tiêu. Hãy đặt tên cho các biến cố của
phép thử này và nêu các biến cố a) xung khắc nhau; b) độc lập với nhau; c) đối lập nhau;
d) tạo thành hệ đầy đủ.
II.2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 1. Định nghĩa
Cho T là một phép thử và A là biến cố có thể xảy ra trong phép thử đó.
Giả sử T có n trường hợp có thể xảy ra, trong số đó có m trường hợp làm biến cố A xuất m
hiện. Khi đó tỉ số n được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). m
Vậy P( A) n
Ý nghĩa của xác suất: Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng xuất
hiện biến cố đó trong phép thử, xác suất càng lớn, khả năng xuất hiện biến cố càng nhiều. 3
Phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa:
Để tính xác suất của một biến cố, ta thực hiện các bước sau đây:
- Gọi phép thử, tính số trường hợp có thể xảy ra (hoặc tính số cách thực hiện phép thử).
- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, tính số cách làm biến cố đó xuất hiện.
- Áp dụng công thức định nghĩa, tìm xác suất của biến cố đã cho.
Ví dụ 1. Từ một hộp chứa 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, lấy ra 3 sản phẩm. Tìm xác suất lấy được:
a) 2 phế phẩm (Đề thi Học kỳ 15.2A)
b) không quá 1 phế phẩm; c) ít nhất 1 phế phẩm.
Ví dụ 2. Một thùng có 6 trái cây loại A, 5 trái loại B và 2 trái loại C. Lấy ngẫu nhiên ra
cùng lúc 3 trái. Tính xác suất lấy được:
a) 3 trái cùng một loại;
b) 3 trái thuộc ba loại khác nhau. (Đề thi Học kỳ 13.2A)
Ví dụ 3. Tung 2 đồng tiền, mỗi đồng có một mặt sấp và một mặt ngửa. Tìm xác suất thu được: a) 2 mặt đều sấp; b) 2 mặt đều ngửa;
c) 1 mặt sấp và 1 mặt ngửa.
Trong ba biến cố trên, biến cố nào thường xảy ra nhiều hơn? Tại sao?
2. Các tính chất của xác suất
1) Với mọi biến cố A ta luôn có 0 ( P ) A 1
2) P() 0
3) P() 1
4) P( A) 1 P( A)
Ví dụ 4. Một chi đoàn có 30 sinh viên nam và 15 sinh viên nữ. Cần chọn ra 8 sinh viên
tham gia chiến dịch mùa hè xanh. Tìm xác suất trong nhóm chọn ra: a) có 3 sinh viên nữ;
b) có số sinh viên nam, nữ như nhau;
c) không có sinh viên nữ;
d) có ít nhất 1 sinh viên nữ.
Ví dụ 5. Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 6 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 10 sản
phẩm từ lô hàng đó. Tìm xác suất lấy được a) 8 sản phẩm tốt;
b) không quá 1 phế phẩm; c) Ít nhất 1 phế phẩm;
d) ít nhất 1 sản phẩm tốt.
II.3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1. Công thức cộng
Cho hai biến cố A, B và C = A + B. Cần tính xác suất của C theo xác suất của A và B.
a) Trường hợp hai biến cố A và B xung khắc: P(A+B) = P(A) + P(B) (1)
b) Trường hợp A và B không xung khắc:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Ví dụ 1. Có 10 cái bút, trong đó có 4 bút đỏ, số còn lại là bút xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 cái
bút. Tìm xác suất lấy được a) 1 bút đỏ; b) 3 bút xanh; 4 c) không quá 1 bút đỏ; d) ít nhất 1 bút đỏ.
Ví dụ 2. Trong hộp phấn có 6 viên phấn màu và 14 viên phấn trắng. Lấy ngẫu nhiên 5 viên
phấn. Tìm xác suất lấy được a) 1 viên phấn màu; b) toàn phấn trắng;
c) nhiều nhất 1 viên phấn màu;
d) ít nhất 1 viên phấn màu.
Ví dụ 3. Một công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo là quảng cáo trên đài phát thanh và
quảng cáo trên tivi. Theo thăm dò, có 54% khách hàng biết thông tin quảng cáo của công ty
qua tivi, 23% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua đài phát thanh, 10% khách hàng biết
thông tin qua cả hai hình thức quảng cáo đó. Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng, tìm xác suất
người đó biết thông tin quảng cáo. (Đề thi Học kỳ 14.1A)
Ví dụ 4. Tại vùng dân cư ngoại ô X, có 60% các hộ gia đình mua tờ báo đô thị được phát
hành tại một thành phố gần đó, 80% mua tờ báo địa phương và 50% mua cả hai tờ báo.
Chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình trong vùng dân cư X. Tính xác suất hộ gia đình này:
a) Mua ít nhất một trong hai tờ báo đó;
b) Chỉ mua một tờ báo. (Đề thi Học kỳ 13.2A) 2. Công thức nhân
Cho hai biến cố A, B và C = AB. Cần tính xác suất của C theo xác suất của A và B.
a) Trường hợp hai biến cố A và B độc lập: P(AB) = P(A) P(B) (3)
b) Trường hợp hai biến cố A và B không độc lập: P(AB) = P(A) P(B/A) hoặc P(AB) = P(B) P(A/B) (4)
trong đó P(A/B) là xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra.
Ví dụ 5. Một sinh viên thi TCC và PLĐC. Cho biết xác suất đậu hai môn đó lần lượt là 0,7;
0,8. Hãy tính các xác suất sau đây:
a) Sinh viên đó rớt TCC; rớt PLĐC;
b) Sinh viên đó chỉ đậu TCC;
c) Sinh viên đó đậu cả hai môn;
d) Sinh viên đó chỉ đậu một môn;
e) Sinh viên đó đậu không quá một môn.
f) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn.
Ví dụ 6. Một xạ thủ bắn hai viên đạn, xác suất bắn trúng từng viên lần lượt là 0,6 ; 0,7. Tìm
xác suất anh ta bắn trúng a) cả hai viên; b) chỉ một viên; c) ít nhất một viên.
Ví dụ 7. Có hai lô sản phẩm, mỗi lô chứa 10 sản phẩm, trong đó lô thứ i có i phế phẩm. Từ
mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất
a) Cả 2 sản phẩm đều tốt;
b) Có đúng 1 sản phẩm tốt. (Đề thi Học kỳ 16.1B)
Ví dụ 8. Trong một đợt thi đấu, một vận động viên phải đấu hai trận (kết quả mỗi trận là
thắng hoặc thua, không có hòa). Cho biết xác suất vận động viên này thắng trận thứ nhất là
0,6. Do ảnh hưởng tâm lý nên nếu thắng trận thứ nhất thì xác suất thắng trận thứ hai tăng
thành 0,8, nếu thua trận thứ nhất thì xác suất thắng trận thứ hai chỉ còn 0,4.
a) Tính xác suất vận động viên này thắng cả hai trận.
b) Giả sử vận động viên này thắng trận thứ hai, tính xác suất vận động viên thua trận thứ
nhất. (Đề thi Học kỳ 13.1A) 5
Ví dụ 9. Một người đi khám bệnh. Bác sỹ chấn đoán anh ta bị bệnh A với xác suất 0,7. Nếu
anh ta thật sự bị bệnh A thì khả năng bị bệnh B là 60%, nhưng nếu không bị bệnh A thì khả
năng bị bệnh B là 80%. Tìm xác suất người đó a) bị cả hai bệnh; b) không bị bệnh nào;
c) bị ít nhất một bệnh;
d) bị không quá một bệnh.
3. Công thức xác suất có điều kiện
Từ công thức (4) suy ra xác suất của biến A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là: P A
B P (AB ) ( / ) (5) P (B )
Ví dụ 10. Có hai sinh viên cùng thi môn XSTK. Cho biết xác suất thi đậu của từng sinh
viên lần lượt là 0,4 và 0,7.
a) Tính xác suất có đúng 1 sinh viên thi đậu.
b) Giả sử có đúng 1 sinh viên thi đậu, tìm xác suất đó là sinh viên thứ nhất. (Đề thi Học kỳ 15.1A)
Ví dụ 11. Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,5.
a) Biết rằng có 2 người bắn trúng, tìm xác suất người thứ ba bắn trượt.
b) Giả sử có 1 người bắn trúng, tìm xác suất đó là người thứ hai. (Đề thi Học kỳ 15.1A)
4. Công thức xác suất đầy đủ
Cho hệ đầy đủ các biến cố A1, A2, ... , An và B là biến cố xảy ra khi một trong các biến cố
của hệ đó xảy ra. Khi đó xác suất của B được tính bởi công thức
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + ... + P(An)P(B/An) (6)
Ví dụ 12. Cho 3 cái hộp đựng bút hình dáng giống nhau. Hộp thứ nhất có 2 bút đỏ, 8 bút
xanh. Hộp thứ hai có 4 bút đỏ, 6 bút xanh. Hộp thứ ba có 4 bút đỏ, 8 bút xanh. Lấy ngẫu
nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 3 cái bút. Tìm xác suất lấy được a) 1 bút đỏ;
b) ít nhất một bút đỏ.
Ví dụ 13. Có 4 lô hàng, mỗi lô có 20 sản phẩm. Cho biết lô thứ nhất có 3 phế phẩm, lô thứ
hai có 2 phế phẩm, lô thứ ba có 4 phế phẩm và lô thứ tư có 1 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 1
lô hàng, từ đó lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm. Tìm xác suất lấy được a) 2 phế phẩm; b) ít nhất 1 phế phẩm.
Ví dụ 14. Cho biết tỉ lệ người uống bia rượu ở một vùng là 37%. Trong một cuộc nghiên
cứu người ta thấy tỉ lệ bị tai nạn giao thông trong vòng 1 năm ở nhóm người có sử dụng bia
rượu là 33%, còn ở nhóm người không sử dụng bia rượu là 9%. Chọn ngẫu nhiên một
người. Tìm xác suất người đó bị tai nạn giao thông trong vòng 1 năm. (Đề thi Học kỳ 14.1A)
Ví dụ 15. Một dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do 3 nhà máy sản xuất. Nhà máy
thứ nhất cung cấp 42%, nhà máy thứ hai cung cấp 36% tổng số chi tiết, còn lại là các chi
tiết do nhà máy thứ ba cung cấp. Biết tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của các nhà máy đó lần
lượt là 80%, 85% và 90%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 chi tiết từ dây chuyền.
a) Tính xác suất chi tiết đó đạt tiêu chuẩn. (Đề thi Học kỳ 15.2A)
b) Khả năng chi tiết đó không đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu? 6
4. Công thức xác suất giả thiết
Cho hệ đầy đủ các biến cố A1, A2, ... , An và B là biến cố xảy ra khi một trong các
biến cố của hệ đó xảy ra. Ta còn nói các biến cố thuộc hệ đầy đủ là giả thiết để B xảy ra.
Bây giờ ta giả sử biến cố B đã xảy ra và đi tìm xác suất để B xảy ra là do giả thiết Ak , kí hiệu ( P A / )
B . Ta có công thức: k ( P A ) ( P B/ A )
P( A / B ) k k ( k = 1, 2, ... , n) (7) k P(B)
Công thức này còn được gọi là công thức Bayes.
Ví dụ 16. Trong kỳ thi sát hạch tay nghề, một công nhân phải bốc thăm chọn một trong ba
máy để thực hiện bài thi thực hành (có 3 lá thăm, trên mỗi lá ghi rõ máy phải sử dụng). Cho
biết xác suất người này thi đậu khi sử dụng máy thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 0,7; 0,65; 0,75.
a) Tính xác suất công nhân này thi đậu. (Đề thi Học kỳ 16.2A)
b) Giả sử công nhân này không thi đậu, tính xác suất người đó đã sử dụng máy thứ hai.
Ví dụ 17. Cho biết tỷ lệ mắc bệnh A trong một vùng dân cư là 25%. Để chuẩn đoán bệnh,
người ta thực hiện một xét nghiệm. Nếu một người bị bệnh A thì xét nghiệm sẽ cho kết quả
dương tính với xác suất 0,95. Nếu một người không bị bệnh A thì xét nghiệm vẫn có thể
cho kết quả dương tính với xác suất 0,12. Giả sử có một người được xét nghiệm.
a) Tìm xác suất kết quả xét nghiệm là dương tính.
b) Tìm xác suất người này bị bệnh A khi kết quả xét nghiệm là dương tính.
c) Nếu người đó có kết quả xét nghiệm âm tính thì xác suất người này bị bệnh A là bao
nhiêu? (Đề thi Học kỳ 14.1A)
Ví dụ 18. Một người đi khám bệnh do bị sốt. Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì khả năng
người này bị cúm, bị sốt rét, bị thương hàn hoặc bị các bệnh khác lần lượt là 45%, 25%,
10% và 20%. Cho biết tỷ lệ bạch cầu tăng trong các trường hợp trên tương ứng là 0,5; 0,4;
0,1 và 0,8. Bác sĩ cho người này làm xét nghiệm máu thì thấy bạch cầu không tăng. Tính
xác suất người này bị thương hàn. (Đề thi Học kỳ 14.1A)
Ví dụ 19. Theo thống kê tại tỉnh A có 15% dân số nhiễm vi rút viêm gan B. Trong nhóm
những người nhiễm vi rút viêm gan B có 20% bị bệnh xơ gan; còn trong nhóm những người
không nhiễm vi rút viêm gan B chỉ có 6% bị bệnh xơ gan. Khám ngẫu nhiên một người ở tỉnh A.
a) Tìm xác suất người này bị bệnh xơ gan.
b) Giả sử người được khám không bị bệnh xơ gan, tìm xác suất người đó bị nhiễm vi rút viêm gan B.
c) Cần chọn tối thiểu bao nhiêu người ở tỉnh A để xác suất có ít nhất 1 người bị bệnh xơ
gan lớn hơn 95%? (Đề thi Học kỳ 16.1A)
PHƯƠNG PHÁP TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CÔNG THỨC
Để tính xác suất của một biến cố bằng công thức, ta thực hiện các bước sau đây:
- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, phân tích nó thành phép toán đối với các biến cố khác
- Phân tích mối quan hệ giữa các biến cố tham gia vào phép toán: xung khắc hay không,
độc lập hay không, có tạo thành hệ đầy đủ hay không...
- Chọn công thức tính xác suất của biến cố ban đầu theo xác suất của các biến cố đó.
- Tính xác suất của các biến cố tham gia vào phép toán (nếu cần).
- Tính xác suất của biến cố ban đầu. 7 5. Công thức Bernoulli
Giả sử: - Phép thử T lặp lại n lần
- Biến cố A có thể xuất hiện trong mỗi lần thử với xác suất không đổi: P(A) = p.
Khi đó xác suất biến cố A xuất hiện k lần trong n lần thử là P ( , k ) k k A C p (1 )n k n n p (k = 0, 1, ... , n) (8)
Ví dụ 20. Một sinh viên thi 3 môn với xác suất đậu từng môn là 0,68. Tìm xác suất anh ta a) đậu 3 môn; b) không đậu môn nào;
c) đậu ít nhất một môn;
d) đậu từ 1 đến 3 môn.
Ví dụ 21. Một xạ thủ đã bắn 5 viên đạn. Cho biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần
bắn đều là 0,8. Tìm xác suất anh ta bắn trúng a) 4 viên; b) không quá 2 viên;
c) ít nhất một viên đạn.
Ví dụ 22. Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%.
a) Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Tìm xác suất lấy được không quá 2 phế phẩm.
b) Cần lấy ra tối thiểu bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm không nhỏ
hơn 0,9? (Đề thi Học kỳ 13.1A)
Ví dụ 23. Một xí nghiệp nhập linh kiện được sản xuất từ ba công ty A, B, C với tỷ lệ tương
ứng là 36%, 38%, 26%. Biết tỷ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của ba công ty đó lần lượt là 93%, 95%, 98%.
a) Chọn ngẫu nhiên một linh kiện trong kho hàng của xí nghiệp. Tìm xác suất linh kiện này đạt tiêu chuẩn.
b) Giả sử chọn được linh kiện không đạt tiêu chuẩn, khả năng linh kiện này do công ty nào
cung cấp là nhiều nhất?
c) Chọn ngẫu nhiên 10 linh kiện trong kho hàng của xí nghiệp, tìm xác suất có ít nhất 9 linh
kiện đạt tiêu chuẩn. (Đề thi Học kỳ 16.2A)
6. Các công thức tính gần đúng xác suất
Trong công thức Bernoulli, nếu n và k tương đối lớn thì việc sử dụng công thức gặp khó
khăn nên người ta sử dụng các công thức gần đúng để thay thế. Muốn sai số chấp nhận
được thì tùy theo giá trị của n và k, cũng như tùy vào xác suất của biến cố trong mỗi lần
thử mà ta sử dụng công thức gần đúng cho thích hợp.
a) Trường hợp n khá lớn, P(A) = p không quá lớn, không quá bé. Khi đó ta sử dụng
công thức Gauss để tính ( , ) n
P k A và sử dụng công thức Laplace để tính xác suất A xuất hiện từ ). 1 k đến 1
k lần trong n lần thử (ký hiệu là ( 1 2, ) n P k k A 1 k np
P (k ,A ) (9) n f n ( p 1 p) n ( p 1 p)
trong đó f(x) là hàm số Gauss có bảng giá trị cho trước. 2 k np 1 k np P ( (10) n 1 k 2 k , A) np(1 p ) np(1 p )
trong đó (x) là hàm số Laplace có bảng giá trị cho trước. 8
Lưu ý. Khi tra bảng các hàm số trên đây, cần chú ý rằng: hàm số Gauss là hàm chẵn, hàm
số Laplace là hàm lẻ, nghĩa là:
f (x ) f (x ) ;
x x
Với những giá trị x nằm ngoài bảng, cần lấy số gần nhất trong bảng.
Ví dụ 24. Một đề thi trắc nghiệm có 100 câu hỏi, xác suất trả lời đúng mỗi câu của một sinh
viên là 0,4. Tìm xác suất sinh viên đó trả lời đúng a) 50 câu hỏi; b) ít nhất 50 câu hỏi.
Ví dụ 25. Xác suất sinh một bé trai là 0,54. Tìm xác suất để trong 160 em bé, số bé trai ít hơn số bé gái.
Ví dụ 26. Cho biết tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 15%. Chọn ngẫu nhiên 150 sản
phẩm trong kho hàng của nhà máy. Tìm xác suất trong số đó có a) 20 phế phẩm;
b) từ 20 đến 30 phế phẩm.
b) Trường hợp n khá lớn, P(A) = p khá bé.
Khi đó ta sử dụng công thức Poisson để tính ( , ) n P k A .Ta có n p e (np)k
P (k,A ) (11) n k !
Ví dụ 27. Một chung cư có 160 hộ gia đình. Xác suất để mỗi hộ có sự cố về điện vào buổi
tối là 0,02. Tìm xác suất để trong một buổi tối có
a) 4 gia đình gặp sự cố về điện;
b) từ 2 đến 5 gia đình gặp sự cố về điện.
Ví dụ 28. Xác suất để một hạt thóc giống bị lép là 0,006. Tìm xác suất trong 300 hạt thóc giống có: a) 2 hạt bị lép;
b) từ 3 đến 7 hạt bị lép. BÀI TẬP CHƯƠNG II
2.1. Lớp học môn xác suất có 64 sinh viên, trong đó có 15 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên
một nhóm gồm 10 sinh viên. Tìm xác suất trong nhóm chọn ra có a) 4 sinh viên nữ;
b) số sinh viên nam bằng số sinh viên nữ;
c) không quá 2 sinh viên nữ;
d) ít nhất 1 sinh viên nữ.
2.2. Từ một lô hàng có 6 quả bóng đỏ, 9 quả bóng xanh và 5 quả bóng vàng người ta lấy ra
5 quả bóng. Tìm xác suất lấy được a) 2 quả bóng đỏ;
b) 2 quả bóng vàng, 3 quả bóng xanh;
c) ít nhất 1 quả bóng đỏ;
d) không quá 1 quả bóng đỏ.
2.3. Cho A và B là hai biến cố bất kỳ. Biết P(A + B) = 0,7; P(A.B) = 0,22; P(A) = 0,5.
Tính P( A.B ) , P( AB AB ) . (Đề thi Học kỳ 12.2A)
2.4. Có ba người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng lần lượt là
0,6; 0,7 ; 0,8. Tìm các xác suất sau đây:
a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng;
b) Có đúng một người bắn trúng;
c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt;
d) Có đúng hai người bắn trúng;
e) Cả ba người đều bắn trúng;
f) Không có ai bắn trúng.
2.5. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 5 bi. Hộp thứ nhất có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Hộp thứ hai có 4
bi đỏ và 1 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất ra 2 bi và từ hộp thứ hai ra 1 bi. Tìm xác
suất lấy được ít nhất 1 bi xanh. (Đề thi Học kỳ 14.1A) 9
2.6. Trong một thùng hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Lần thứ nhất lấy ra 2 sản
phẩm, lần thứ hai cũng lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tìm xác suất mỗi lần đều lấy được 1 sản phẩm tốt.
b) Tìm xác suất lần thứ hai lấy được 2 sản phẩm tốt.
c) Giả sử lần thứ hai lấy được 2 sản phẩm tốt, tìm xác suất lần thứ nhất lấy phải ít nhất 1
phế phẩm. (Đề thi Học kỳ 14.2A)
2.7. Trước khi đưa sản phẩm X ra bán trên thị trường, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên một
số khách hàng thì thấy những người trả lời “sẽ mua”, “có thể sẽ mua” và “không mua”
chiếm tỷ lệ lần lượt là 17%, 48% và 35%. Cho biết tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm
X tương ứng với những câu trả lời trên tương ứng là 40%, 20% và 4%.
a) Chọn ngẫu nhiên một khách hàng. Tìm xác suất khách hàng đó thực sự mua sản phẩm X.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng thì thấy người này đã mua sản phẩm X. Tìm xác suất
khách hàng này đã trả lời “không mua” khi được phỏng vấn.
c) Chọn ngẫu nhiên 10 khách hàng. Tìm xác suất có ít nhất 2 người đã mua sản phẩm X. (Đề thi Học kỳ 14.2A)
2.8. Một xí nghiệp có 4 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Cho biết máy thứ nhất sản
xuất 28% tổng số sản phẩm, máy thứ hai sản xuất 30%, còn máy thứ ba và thứ tư có năng
suất như nhau. Tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của 4 máy lần lượt là 95%, 97%, 94% và 96%.
a) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của xí nghiệp. Tìm xác suất chọn được
sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
b) Giả sử khi chọn một sản phẩm trong kho hàng của xí nghiệp thì thấy đó là phế phẩm.
Tìm xác suất phế phẩm này do máy thứ hai sản xuất.
c) Chọn ngẫu nhiên 10 sản phẩm trong kho. Tìm xác suất chọn được ít nhất 2 phế phẩm. (Đề thi Học kỳ 14.2A)
2.9. Một công ty bảo hiểm chia đối tượng bảo hiểm làm 3 loại: ít rủi ro (chiếm 30%), rủi ro
trung bình (chiếm 45%) và rủi ro cao (chiếm 25%). Biết tỉ lệ khách hàng gặp tai nạn trong
vòng một năm tương ứng với các đối tượng trên là 0,04; 0,16 và 0,35.
a) Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng. Tính xác suất người này gặp tai nạn trong vòng một năm.
b) Nếu khách hàng được chọn gặp tai nạn thì khả năng người này ở nhóm đối tượng nào là nhiều nhất?
c) Cần chọn ít nhất bao nhiêu khách hàng để xác suất có ít nhất 1 người bị tai nạn trong
vòng một năm lớn hơn 0,97? (Đề thi Học kỳ 15.1A)
2.10. Giả sử xác suất sinh con trai là 0,53. Một gia đình có 4 người con. Tìm xác suất gia đình đó có a) một con trai;
b) số con trai, con gái như nhau;
c) không quá một con trai; d) ít nhất 1 con trai.
2.11. Một xạ thủ có xác suất bắn trúng đích ở mỗi lần bắn là 0,7. Xạ thủ đó đã bắn 4 lần,
mỗi lần 1 viên đạn. Tìm xác suất có a) 3 viên trúng đích; b) ít nhất 1 viên trúng;
c) không quá 3 viên trúng; d) ít nhất 2 viên trúng
2.12. Có một lô thuốc mà người giao hàng cho biết tỷ lệ lọ xấu là 15%.
a) Lấy ngẫu nhiên 5 lọ từ lô hàng đó. Tìm xác suất lấy được không quá 3 lọ xấu.
b) Cần lấy tối thiểu bao nhiêu lọ từ lô hàng để xác suất có ít nhất 1 lọ xấu không nhỏ hơn
0,96? (Đề thi Học kỳ 13.2A) 10
2.13. Người bán hàng đóng các sản phẩm thành hộp, mỗi hộp đựng 10 sản phẩm, trong đó
có 7 sản phẩm loại A. Người mua hàng kiểm tra bằng cách lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ
hộp, nếu thấy sản phẩm đó loại A thì mua hộp, ngược lại thì không mua.
a) Giả sử người mua hàng đã kiểm tra 10 hộp. Tìm xác suất người đó mua ít nhất 3 hộp.
b) Phải kiểm tra tối thiểu bao nhiêu hộp để xác suất có ít nhất 1 hộp được mua không
nhỏ hơn 0,95? (Đề thi Học kỳ 16.1B)
2.14. Cho biết tỷ lệ sản phẩm loại một của công ty là 70%, còn lại là sản phẩm loại hai.
a) Một khách hàng mua 5 sản phẩm của công ty. Tìm xác suất người này mua phải ít nhất 2 sản phẩm loại hai.
b) Tính xác suất trong 5000 sản phẩm của công ty được bán ra có ít nhất 1480 sản phẩm loại hai.
2.15. Tỉ lệ phế phẩm ở một nhà máy là 0,002. Tìm xác suất trong 500 sản phẩm có a) 3 phế phẩm;
b) nhiều nhất 3 phế phẩm.
2.16. Một nhà máy có tỷ lệ phế phẩm là 0,3%. Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm trong kho
hàng của nhà máy. Tìm xác suất có a) 2 phế phẩm;
b) từ 1 đến 4 phế phẩm;
c) không quá 2 phế phẩm; d) ít nhất 2 phế phẩm; e) ít nhất 1 phế phẩm.
CHƯƠNG III. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
VÀ CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
III.1. ĐỊNH NGHĨA và PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1. Khái niệm
Đại lượng cho tương ứng mỗi kết quả của phép thử với một số được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) trên các kết quả của phép thử đó. Nói một cách khác,
đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có giá trị thay đổi tuỳ theo phép thử.
Ví dụ 1. a) Số môn thi đậu của một sinh viên trong một học kì (khi phải thi 5 môn).
b) Nhiệt độ của phòng học trong một ngày đêm.
c) Số người đến giao dịch tại một ngân hàng trong một tháng.
d) Chiều cao của thanh niên Việt nam thường trong khoảng 155 cm đến 180 cm.
2. Các loại đại lượng ngẫu nhiên
Đại lượng ngẫu nhiên được chia thành hai loại: rời rạc và liên tục.
- Đại lượng ngẫu nhiên X có dạng X 1 x , 2 x ,..., x
n hoặc X 1 x , 2
x ,..., x ,.. . n
được gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
- Đại lượng ngẫu nhiên có giá trị lấp đầy một khoảng (a, b) hay đoạn [a, b] nào đó
được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục (a, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn).
Ví dụ 2. Các đại lượng ngẫu nhiên cho ở ví dụ 1 là đại lượng gì?
3. Phân phối xác suất
Muốn nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X, ta cần biết các giá trị có thể có của X và xác suất
để X nhận mỗi giá trị đó. Mối liên hệ giữa các giá trị có thể có của X và xác suất tương ứng
được gọi là phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X. 11
Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc ta có bảng phân phối xác suất. Trường hợp đại lượng
ngẫu nhiên liên tục, ta có hàm mật độ phân phối xác suất.
a) Bảng phân phối xác suất
Cho X x1, x2,...,x
n là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Đặt p (
P X x ), i 1,2,..., . i i n
Khi đó bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của X. X x1 x2 … n x P p1 p2 … n p
Bảng phân phối xác suất có các tính chất sau n (1) 0 i p 1 (2) p 1 i i1
Ví dụ 3. Gọi X là số môn thi đậu của một sinh viên trong học kì phải thi 5 môn. Khi đó X
nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Giả sử X có bảng phân phối xác suất sau đây. X 0 1 2 3 4 5 P 0,05 0,15 0,3 0,35 0,15 0
Từ bảng ta có xác suất thi đậu 4 môn của sinh viên đó là 0,15; xác suất đậu cả 5 môn là 0.
Trong các xác suất ta thấy P (X 3) lớn nhất nên khả năng anh ta đậu 3 môn là nhiều nhất.
Ví dụ 4. Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn. Gọi X là số viên đạn anh ta bắn trúng bia.
Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều là 0,75.
b) Hàm mật độ phân phối xác suất
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong khoảng (a, b) (a, b là số hữu hạn
hoặc vô hạn). Hàm mật độ phân phối xác suất của X là hàm số f (x ) xác định trên (a, b) sao
cho với mọi , ( , a )
b ta có P ( X ) f (x )dx .
Hàm mật độ phân phối xác suất có các tính chất sau đây:
(1) f (x ) 0 , x
(a ,b ); b
(2) f(x)dx 1 . a
Ví dụ 5. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân phối xác suất acos x khi x 2 2 f (x) 0 khi x , 2 2 a) Tìm hằng số a; b) Tính P (0 X ) . 4
4. Hàm phân phối xác suất
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên (rời rạc hoặc liên tục). Khi đó hàm số có dạng: 12 F( x) (
P X x) , x ,
được gọi là hàm phân phối xác suất của X.
Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau đây:
(1) F(x) là hàm không giảm;
(2) 0 F(x) 1, x R; (3) lim F( )
x 0 ; lim F (x) 1; x x
(4) P(a X < b) = F(b) – F(a), , a b .
(5) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F '(x ) f (x ),x .
Ngược lại, nếu F(x) là hàm số xác định trên R và có các tính chất (1) – (3) thì F(x) là hàm
phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó.
a) Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất X x1 x2 … xn P p1 p2 … n p
với x1 < x2 < … < n
x , thì hàm phân phối xác suất của X là 0 , x x1 p , x x x 1 1 2 F(x) = ...................... ... ...............
p p .... p , x x x 1 2 n1 n 1 n 1 , x x n
Ví dụ 6. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 4 P 0,25 0,45 0,3
Hàm phân phối xác suất của X có dạng 0 khi x 1 0
,25 khi 1 x 2 F( x) 0,7
khi 2 x 4 1 khi x 4
Ví dụ 7. Một sinh viên thi ba môn Toán, Lý, Hóa với xác suất đậu lần lượt là 0,6 ; 0,7 ;
0,8. Hãy tìm hàm phân phối xác suất của số môn anh ta đậu trong ba môn đó.
b) Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ phân phối xác suất là f (x) thì x F (x ) f (t )dt
Ví dụ 8. Cho hàm số 2x khi x [0,1] f( ) x 0 khi x [0,1]
a) Chứng tỏ f (x) là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên X; 13
b) Tìm hàm phân phối xác suất F(x) của X; c) Tính P X 1 (0 ) . 2
Ví dụ 9. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân phối xác suất như ở ví dụ 5.
a) Tìm hàm phân phối xác suất của X; b) Tính P ( X ). 6 3
III.2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
1. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc a) Kì vọng
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là : X x1 x2 … n x P p1 p2 … n p n
Khi đó số E( X ) x
ipi được gọi là kì vọng của X. i 1
Kì vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có thể nhận của đại lượng đó. b) Phương sai Số 2 2 ( D X) (
E X ) E ( X) , n trong đó (
E X ) là kì vọng của X , 2 2 ( E X ) i x i
p là kì vọng của 2 X , i 1
được gọi là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X. n
Phương sai còn được tính bởi công thức: (
D X) x ( E X) i 2 ip i1
Phương sai là trung bình của bình phương sai số giữa X và trung bình theo xác suất của X.
c) Độ lệch chuẩn Số (X) = D(X) được gọi là độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X.
Ví dụ 1. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, biết bảng
phân phối xác suất của nó là X 1 2 4 P 0,25 0,45 0,3 Giải. Ta có 2 2 2 2 (
E X ) 1.0,25 2.0,45 4.0,3 2,35 ; E( X ) 1 .0,25 2 .0,45 4 .0,3 6,85; 2 2 2 ( D X ) (
E X ) E ( X ) 6,85 2,35 1,3275 ; ( X) ( D X ) 1,3275 1,1522.
Có thể tính phương sai bằng cách khác: 2 2 2 (
D X ) (1 2,35) .0,25 (2 2,35) .0,45 (4 2,35) .0,3 1,3275. 14
Ví dụ 2. Một sinh viên thi 4 môn, xác suất đậu từng môn là 0,6. Gọi X là số môn sinh viên
đó đậu. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương
sai, độ lệch chuẩn của X.
Lưu ý: E cX cE X D cX 2 ( ) ( ) ; ( )
c D (X ) , trong đó c là hằng số và X là đại lượng
ngẫu nhiên (rời rạc hoặc liên tục).
2. Một số phân phối xác suất thông dụng a) Phân phối nhị thức
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X 0,1,2,..,n được gọi là có phân phối nhị thức nếu tồn tại số
p (0,1) sao cho p P (X k ) k k n k , trong đó k Cnp q q 1 p ; k 0,1,2,..,n.
Khi đó ta kí hiệu X ( B , n ) p .
Nếu X có phân phối nhị thức thì ( E X ) np ; ( D X ) npq.
Ví dụ 3 (Tiếp theo ví dụ 2). Số môn sinh viên đậu trong 4 môn là đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối nhị thức với n 4 ; p 0,6 .
Vậy E(X ) np 4.0,6 2,4 ; D(X ) npq 4.0,6.0,4 0,96.
Ví dụ 4. Cho biết tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 3%. Chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm
trong kho hàng của nhà máy. Gọi X là số phế phẩm có trong 15 sản phẩm đó. Tìm phân
phối xác suất của X và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
Ví dụ 5. Tỉ lệ sinh viên thi đậu môn xác suất thống kê (XSTK) của một trường đại học là
65%. Trong một kì thi XSTK do nhà trường tổ chức có 200 sinh viên dự thi. Gọi X là số sinh viên thi đậu.
a) Hãy tìm phân phối xác suất của X, tính kì vọng và độ lệch chuẩn của X.
b) Tìm xác suất có ít nhất 140 sinh viên thi đậu. (Đề thi Học kỳ 16.1A)
b) Phân phối siêu bội
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X 0,1,2,..,n được gọi là có phân phối siêu bội nếu tồn tại
các số tự nhiên N, M sao cho 0 M N và k n k C MC N p
P (X k )
M ; k 0,1,2,...,max(M ,n ). k n CN
Khi đó ta kí hiệu X H(N,M,n).
Nếu X có phân phối siêu bội thì N n M ( E X) np ; ( D X ) npq , trong đó p
; q 1 p. N 1 N
Ví dụ 6. Một lô hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 5 sản
phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 5 sản phẩm đó. Tìm phân phối xác suất của X và tính kì vọng, phương sai của X.
Ví dụ 7. Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 14 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 8 viên bi. Gọi X
là số viên bi đỏ lấy được. Tìm phân phối xác suất của X và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
Ví dụ 8. Một thùng hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
Lập bảng phân phối xác suất, tính kỳ vọng, phương sai của số sản phẩm tốt có trong 3 sản
phẩm lấy ra. (Đề thi Học kỳ 16.2A) 15 c) Phân phối Poisson
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X 0,1,2,..,n,...được gọi là có phân phối Poisson nếu tồn tại a k số a > 0 sao cho e a
p P( X ) k ; k 0,1,2,... k k!
Khi đó ta kí hiệu X P(a) . Số a được gọi là tham số của phân phối Poisson.
Nếu X có phân phối Poisson thì E(X ) D(X ) a. Chú ý:
(1) Nếu X là số lần biến cố A xuất hiện trong một khoảng thời gian hoặc trên một miền,
một vùng nào đó thì X P(a) , với a là giá trị trung bình của số lần A xảy ra.
(2) Nếu X B(n, p) , trong đó p khá nhỏ và n khá lớn thì có thể xấp xỉ X P(a) với a = np.
Ví dụ 9. Số liệu của một hãng hàng không cho thấy trong 1000 chuyến bay thì có 18 trường
hợp hành khách bị mất hành lí do bỏ quên. Gọi X là số trường hợp hành khách bị mất hành
lí trong một chuyến bay. Tìm xác suất trong một chuyến bay:
a) không ai bị mất hành lí;
b) có 1 hành khách bị mất hành lí.
Ví dụ 10. Người ta đếm được 200 lỗi chính tả trong một cuốn sách có 500 trang. Chọn
ngẫu nhiên 1 trang trong cuốn sách đó. Tìm xác suất trang này có không quá 3 lỗi chính tả. (Đề thi Học kỳ 13.1A)
Ví dụ 11. Người ta thống kê được trong 5 phút có 14 xe ôtô đi qua trạm thu phí giao thông.
Tìm xác suất trong 2 phút có ít nhất 4 xe ôtô đi qua trạm thu phí đó. (Đề thi Học kỳ 15.1A)
Ví dụ 12. Tại một điểm bán vé máy bay, trung bình 5 phút có 2 người đến mua vé. Tính
xác suất có 5 người đến mua vé trong 10 phút. (Đề thi Học kỳ 15.2A)
III.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
1. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên liên tục a) Kì vọng
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f (x ) thì số E( X ) xf (x)dx
( khi vế phải hội tụ) được gọi là kì vọng của X. b) Phương sai
Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên liên tục vẫn được tính bởi công thức 2 2
D( X ) E( X ) E ( X ) trong đó kì vọng của 2 X là 2 2 E (X )
x f (x )dx .
Ngoài ra, phương sai còn được tính bởi công thức: E X
x E X 2 ( ) ( ) f (x )dx .
c) Độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên liên tục là (X) = D(X) . 16
Ví dụ 1. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân phối xác suất 2x khi x [0,1] f ( ) x 0 khi x [0,1]
Tìm kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
Ví dụ 2. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân phối xác suất 2 3 x khi x [0,1] f ( ) x 0 khi x [0,1]
Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
2. Một số phân phối xác suất thông dụng a) Phân phối chuẩn
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với kì vọng , phương sai 2 nếu 2 ( x )
hàm mật độ phân phối xác suất của X có dạng 1 2 2 f (x) e , 0 . 2 Khi đó ta kí hiệu 2
X N ( , ).
Nếu X có phân phối chuẩn thì 2
E(X ) ; D(X ) .
b) Phân phối chuẩn tắc
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tắc nếu X N (0;1). Khi đó ta có ( E X ) 0 ; (
D X ) 1 , hàm mật độ phân phối xác suất của X có dạng 2 x 1 2 f (x) e
và được gọi là hàm mật độ Gauss. Đây là hàm chẵn với giá trị lớn nhất 2 0 1
max f (x) f (0) 0,3989 . Ta cũng có f ( ) x dx
f ( x)dx 0,5 . 2 0
Lưu ý. Mọi phân phối chuẩn đều có thể chuẩn tắc hoá nhờ phép đổi biến, nghĩa là nếu 2 X
X N(, ) thì Z N(0;1) .
3. Tích phân Laplace và hàm phân phối Gauss 2 x
Cho hàm mật độ phân phối xác suất Gauss: 1 2 f ( x) e . Khi đó ta có 2 2 u u x
- Hàm phân phối Gauss có dạng: 1 2 F(u)
f ( x)dx e dx . 2 2 u u x
- Tích phân Laplace có dạng: 1 2 (u) f (x)dx e dx . 2 0 0
Do đó F(u) 0,5 (u) hay (u) F (u ) 0,5 . Ta nhận thấy ( )
u là hàm số lẻ, nghĩa là ( )
u (u) . Giá trị của tích phân này được
cho trong bảng. Người ta thường sử dụng hàm số (u) để tính xác suất.
Ta có các công thức sau đây:
a) Trường hợp X N(0;1) thì P( X ) ( ) ( ) ; P( X ) 2 ( ) , 0 . 17 b) Trường hợp 2 X ( N , ) thì (
P X ) (*) và ( P X ) 2 , 0 .
Từ đó suy ra rằng với k thì P( X k ) 2 k ; P( X 3 ) 2 3 0,9973.
Công thức này có nghĩa là sai số giữa đại lượng ngẫu nhiên X và kì vọng của nó
không quá 3 là gần như chắc chắn (xác suất gần bằng 1).
Lưu ý. Từ công thức (*) suy ra rằng: Nếu X N(0;1) thì ( P X ) (
P X ) () ( ) 0,5 ( ) ( P X ) (
P X ) ( ) ( ) ( ) 0,5 Tương tự, nếu 2
X N ( , ) thì P( X ) 0,5 ; P( X ) 0,5
Ví dụ 3. Một nhà máy cho biết thời gian công nhân lắp ráp các bộ phận của ôtô có phân
phối chuẩn với trung bình là 80 giây và độ lệch chuẩn là 10 giây. Giả sử thời gian lắp ráp từ
60 đến 70 giây được xem là nhanh.
a) Tìm tỷ lệ công nhân của nhà máy có thể lắp ráp nhanh.
b) Chọn ngẫu nhiên một nhóm 10 công nhân, tính xác suất trong nhóm này có từ 2 đến 3
công nhân lắp ráp nhanh. (Đề thi Học kỳ 15.1A)
Ví dụ 4. Tuổi thọ của một loại thiết bị (đơn vị: năm) là một biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn, với tuổi thọ trung bình là 4,5 năm và độ lệch chuẩn là 1,5 năm. Thiết bị được coi là
chất lượng kém nếu tuổi thọ của nó dưới một năm.
a) Tính tỷ lệ thiết bị chất lượng kém.
b) Một công ty mua 500 thiết bị về sử dụng, tính xác suất trong 500 thiết bị này có ít nhất
hai thiết bị chất lượng kém. (Đề thi Học kỳ 15.2A)
Ví dụ 5. Giả sử chỉ số thông minh (IQ) của người Việt Nam là một biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với chỉ số trung bình là 96 và độ lệch chuẩn là 4. Một người được xem là
thông minh nếu có chỉ số từ 105 trở lên.
a) Tìm tỷ lệ người Việt Nam thông minh.
b) Chọn ngẫu nhiên 100 người ở Việt Nam, tìm xác suất có ít nhất 3 người thông minh.
4. Mối liên hệ giữa phân phối chuẩn và phân phối nhị thức
Cho X B(n ,p ). Nếu n lớn, p không quá gần 0 và 1, ta có thể xấp xỉ X N(n , p npq) . Khi đó 1 k np
P (X k ) f
, vớif (x ) là hàm mật độ phân phối xác suất Gauss. npq npq k 2 np k1 np P(
, trong đó (x) là tích phân Laplace. 1 k X 2 k ) npq npq
Ví dụ 6. Xác suất sinh được một bé trai là 0,53. Tìm xác suất trong 300 em bé sắp sinh có a) 180 bé trai;
b) từ 150 đến 175 bé trai; c) ít nhất 190 bé trai.
Ví dụ 7. Xác suất thi đậu môn XSTK của sinh viên một trường đại học là 0,7. Học kì này
có 1200 sinh viên thi môn này. Tìm xác suất có a) 860 sinh viên đậu;
b) Ít nhất 860 sinh viên đậu;
c) từ 912 đến 1008 sinh viên đậu. 18
BÀI TẬP CHƯƠNG III
3.1. Một sinh viên thi 4 môn, xác suất đậu từng môn là 0,75. Gọi X là số môn anh ta đậu.
Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
3.2. Một hộp chứa 10 viên phấn trắng và 4 viên phấn màu. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên phấn.
Gọi X là số viên phấn màu lấy được. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác
suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
3.3. Một xạ thủ được phát 3 viên đạn và được phép bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng
mục tiêu thì dừng bắn. Biết xác suất bắn trúng mỗi viên đều là 0,8. Hãy lập bảng phân phối
xác suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của số viên đạn: a) trúng mục tiêu; b) đã sử dụng.
3.4. Đề thi trắc nghiệm có 20 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1
phương án đúng. Một sinh viên không học bài nên khi đi thi đã chọn ngẫu nhiên một
phương án cho từng câu hỏi. Gọi X là số câu sinh viên đó trả lời đúng. Hãy tìm phân phối
xác suất của X và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
3.5. Một công nhân nhà máy dệt phụ trách 20 máy hoạt động độc lập. Xác suất mỗi máy
hỏng trong 1 ca sản xuất là 0,16. Tìm xác suất trong 1 ca sản xuất có ít nhất 2 máy bị hỏng.
Tính kỳ vọng và phương sai của số máy hỏng trong 1 ca sản xuất. (Đề thi Học kỳ 13.1A)
3.6. Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm.
Gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra. Hãy tìm phân phối xác suất và tính kỳ
vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
3.7. Tại một trạm kiểm soát giao thông người ta đếm được 42 ôtô đi qua trong 10 phút. Tìm xác suất có
a) 5 ôtô đi qua trong 1 phút;
b) ít nhất 1 ôtô đi qua trong 1 phút.
3.8. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 2
kx (1 x) khi x [0;1] f ( ) x 0 khi x [0;1] a) Tìm k;
b) Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
3.9. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 6 (
x 1 x) khi x [0;1] f ( x) 0 khi x [0;1]
a) Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của x; b) Tìm P(0 X ). 4
3.10. Doanh số bán hàng (đơn vị tính: triệu đồng / ngày ) của một cửa hàng tạp hóa là một
biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với doanh số bán trung bình là 15 triệu đồng / ngày và
độ lệch tiêu chuẩn là 5 triệu đồng/ ngày. Một ngày được coi là bán đắt hàng nếu doanh số
đạt trên 18 triệu đồng.
a) Tính tỷ lệ ngày bán đắt hàng.
b) Tính xác suất trong một năm (360 ngày) cửa hàng có ít nhất 90 ngày bán đắt hàng. (Đề thi Học kỳ 15.1A) 19
3.11. Cho biết chiều cao của học sinh lớp một là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ
vọng là 100 cm và độ lệch chuẩn là 1,6 cm. Học sinh lớp một được xem là có chiều cao
bình thường nếu chiều cao đạt từ 98 đến 102 cm.
a) Tìm tỷ lệ học sinh lớp một có chiều cao bình thường.
b) Chọn ngẫu nhiên 100 học sinh lớp một, tìm xác suất chọn được trên 70 em có chiều
cao bình thường. (Đề thi Học kỳ 13.2A)
3.12. Cho biết chiều cao của một loại cây lấy gỗ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
chiều cao trung bình là 20 m và độ lệch tiêu chuẩn là 2,5 m. Cây đạt tiêu chuẩn khai thác
phải có chiều cao tối thiểu là 18 m. Giả sử mỗi cây đạt tiêu chuẩn khai thác sẽ lãi 100 ngàn
đồng, ngược lại sẽ lỗ 30 ngàn đồng.
a) Tính tỷ lệ cây đạt tiêu chuẩn khai thác.
b) Người ta khai thác ngẫu nhiên một vườn trồng 100 cây. Tính số tiền lãi trung bình và
độ lệch chuẩn của số tiền đó khi khai thác vườn cây này. (Đề thi Học kỳ 13.2A)
CHƯƠNG IV. LÝ THUYẾT MẪU
IV.1. MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỌN MẪU 1. Tổng thể và mẫu
- Tập hợp tất cả các phần tử mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn đề nào đó được gọi
là tổng thể. Số phần tử của tổng thể được gọi là kích thước của tổng thể.
- Tập con lấy ra từ tổng thể được gọi là mẫu. Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước mẫu hay cỡ mẫu.
Ví dụ 1. Khi nghiên cứu về số cá trong một hồ thì tổng thể là toàn bộ các con cá trong hồ
đó. Số cá có trong hồ chính là kích thước của tổng thể. Nếu ta bắt lên 20 con cá thì ta được
một mẫu với kích thước là 20.
Ví dụ 2. Nghiên cứu về tỉ lệ chất kích thích trong bia Sài Gòn thì tổng thể là toàn bộ số chai
bia và lon bia do nhà máy bia Sài Gòn sản xuất. Nếu ta lấy ra 50 chai để điều tra về chất
kích thích trong bia thì ta được một mẫu kích thước 50. 2. Cách chọn mẫu
Có hai cách chọn các phần tử của tổng thể để lấy làm mẫu:
a) Chọn không hoàn lại: phần tử đã chọn sẽ bị loại ra khỏi tổng thể rồi mới chọn phần tử
tiếp theo. Khi đó ta có mẫu không hoàn lại.
b) Chọn có hoàn lại: phần tử đã chọn được trả lại tổng thể rồi mới chọn phần tử tiếp theo.
Khi đó ta được mẫu có hoàn lại.
Ví dụ 3. Khi lấy chai bia ra điều tra thì người ta phải khui nó ra để phân tích thành phần
hoá học. Dĩ nhiên sau đó ta không thể trả nó về tổng thể. Vậy, ở ví dụ 2 ta có mẫu không hoàn lại.
Ví dụ 4. Ở ví dụ 1 ta có hai cách bắt cá: bắt một lúc 20 con lên xem xét – đây cũng là mẫu
không hoàn lại. Nhưng nếu ta bắt lần lượt từng con, xem xét xong thì thả lại vào hồ rồi mới
bắt con tiếp theo (con bắt lần sau có thể trùng với con bắt lần trước). Làm như vậy 20 lần ta
được mẫu có hoàn lại kích thước 20. 20