Tài liệu xác suất thống kê 1
Tài liệu xác suất thống kê 1.Tài liệu được tổng hợp và sưu tầm gồm 16 trang. Mời các bạn tham khảo
Môn: Xác suất thống kê (XSTK021) 150 tài liệu
Trường: Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân 6.5 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
lOMoARcPSD|61182002
Bài tập chương I Xác suất thống kê Học Viện tài chính
Kế toán Tài chính 2 (Học viện Tài chính) Scan to open on Studeersnel
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002 BÀI TẬP CHƯƠNG I
Dạng 1. Xác suất của tích, Xác suất của tổng, Xác suất có điều kiện I. Xác suất của tích
1. Trường hợp các biến cố độc lập nhau đl
P A1A2 … An = P A1 . P A2 … . P(An)
2. Trường hợp các biến cố phụ thuộc nhau
P A1A2 … An = P A1 . P A2/A1 … . P(An/ A1A2 … An−1)
3. Đặc biệt: Khi biết 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐴𝐵 thì
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴𝐵 ; 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴𝐵)
II. Xác suất của tổng
1. Trường hợp hai biến cố
𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴𝐵
2. Trường hợp 3 biến cố
P A + B + C = P A + P B + P C − P AB − P AC − P BC + P(ABC)
3. Nếu các biến cố xung khắc từng đôi thì xk
P A1 + A2 + ⋯ + An = P A1 + P A2 + ⋯ + P An
4. Nếu các biến cố độc lập nhau thì P A
1 + A2 + ⋯ + An = 1 − P A1 + A2 + ⋯ + An đl = 1 − P A
1A 2 … A n = 1 − P A 1 P A 2 … P A n
Chú ý: Phương pháp phần bù khá hữu hiệu trong một số bài tập tính xác suất.
III. Xác suất có điều kiện P AB P A ∕ B = P B Chú ý: P A
∕ B = 1 − P A ∕ B
Bài 1.21. Một công ty quảng cáo một loại sản phẩm mới bằng 2 hình thức: qua internet và qua
truyền hình. Biết rằng 32% khách hàng nắm được thông tin này qua internet, 45% khách hàng
nắm được thông tin này qua truyền hình và 17% khách hàng nắm được thông tin này qua cả hai
hình thức quảng cáo. Tính tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm mới này. Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng.
Gọi A là biến cố "Khách hàng đó nắm được thông tin qua internet".
Gọi B là biến cố "Khách hàng đó nắm được thông tin qua truyền hình". 1
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
Theo giả thiết, ta có: P
A 0, 32, P B 0,45, P AB 0,17
Gọi C là biến cố "Khách hàng đó nắm được thông tin về sản phẩm mới này".
Ta có: P C P A B P
A P BP AB 0,32 0,45 0,17 0,6
Vậy tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm mới này là 60%.
Bài 1.23. Theo thống kê về sinh viên mới tốt nghiệp ở một trường đại học, tỷ lệ sinh viên nữ tốt
nghiệp loại giỏi là 19%. Tuy nhiên, trong số các sinh viên nữ, số em tốt nghiệp loại giỏi chiếm
25%. Tính tỷ lệ sinh viên nữ mới tốt nghiệp trường đó. Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên mới tốt nghiệp của trường đại học đó.
Gọi A là biến cố “Sinh viên đó là sinh viên nữ”.
Gọi B là biến cố “Sinh viên đó tốt nghiệp loại giỏi”.
Theo giả thiết, ta có: P AB 0,19, P B / A 0,25 P AB P(AB) 0,19 Do P B / A nên P( ) A 76%. P A P(B / ) A 0,25
Bài 1.26. Có hai hộp sản phẩm. Hộp thứ nhất có 5 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm lọai II và 4
sản phẩm loại III. Hộp thứ hai có 6 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm loại II và 2 sản phẩm loại III.
Từ mỗi hộp lấy ra một sản phẩm. Tính xác suất để:
a) Hai sản phẩm lấy ra cùng loại.
b) Hai sản phẩm lấy ra khác loại. Giải
Gọi A là biến cố “Sản phẩm lấy ở hộp 1 là sản phẩm loại i”, i 1, 3 . i
Gọi B là biến cố “Sản phẩm lấy ở hộp 2 là sản phẩm loại j”, j 1, 3 . j
a) Gọi A là biến cố “Hai sản phẩm lấy ra cùng loại”. P
A P AB A B A B 1 1 2 2 3 3 xk
P AB P A B P A B 1 1 2 2 3 3 dl
P A .P B P A .P B P A .P B 1 1 2 2 3 3 5 6 3 3 4 2 47 . . . 12 11 12 11 12 11 132
b) Ta có A là biến cố “Hai sản phẩm lấy ra khác loại”. 2
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002 P
A P 85 1 A 132
Bài 1.28. Kiện tướng cờ A đấu liên tiếp với các kiện tướng cờ B và C tổng cộng 4 ván cờ (A
đấu với B trước rồi đấu với C, sau đó lại với B rồi với C). Xác suất A thắng ở ván thứ nhất
đối với B là 0,1 và đối với C là 0,2. Xác suất A thắng ở ván thứ hai đối với B là 0,3 và đối với C là 0,4. Tính xác suất:
a) A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đối với B.
b) A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đối với C. Giải
Ký hiệu các ván cờ có xác suất A thắng là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 lần lượt là 1, 2, 3, 4.
Gọi A là biến cố “A thắng ở ván cờ thứ i”, i 1, 4 . i
a) Gọi D là biến cố “A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đối với B”.
P D P A 1 A 2 A A 1 3 xk
P A P 1 A 2 A A 1 3 dl
P A P 1 A .P 2 A .P A 1 3
0,1 0,9.0, 8.0, 3 0, 316.
b) Gọi E là biến cố “A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đối với C”.
P E P 1 A A 1 A 2 A 3 A A 2 4 xk P 1
A A P 1 A 2 A 3 A A 2 4 dl P 1
A .P A P 1 A .P 2 A .P 3 A .P A 2 4
0.9.0,2 0,9.0, 8.0,7.0, 4 0, 3816.
Bài 1.30. Có 3 kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản phẩm. Số sản phẩm loại 1 có trong mỗi kiện
hàng tương ứng là 7, 8, 9. Từ mỗi kiện hàng người ta lấy ngẫu nhiên, đồng thời 2 sản phẩm
để kiểm tra, nếu cả 2 sản phẩm được kiểm tra đều là loại 1 thì mua kiện hàng đó. Tìm xác
suất để có ít nhất 1 kiện hàng được mua. Giải
Gọi A là biến cố “Kiện hàng thứ i được mua”, i 1, 3 . i 2 2 2 C 7 C 28 C 4
Ta có A ,A ,A độc lập nhau và P A ;P A ; P A 1 7 2 2 8 2 3 9 1 2 3 2 C 15 C 45 C 5 10 10 10 3
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
Gọi A là biến cố “Có ít nhất một kiện hàng được mua”. P
A P A A A 1 2 3
1 P A A A 1 2 3
1 P A .A .A 1 2 3 dl
1 P A .P A .P A 1 2 3 8 17 1 1 . . 0, 9597 15 45 5
Bài 1.31. Có 2 người luân phiên tung 1 đồng xu cho tới khi đồng xu xuất hiện mặt sấp thì
dừng lại và người tung được mặt sấp đó thắng cuộc.
a) Tính xác suất để cuộc chơi dừng lại sau không quá 3 lần tung đồng xu.
b) Tính xác suất thắng cuộc của người tung trước. Giải
Gọi A là biến cố “Tung được mặt sấp ở lần tung thứ i”, i 1,2, 3,... i
a) Gọi A là biến cố "Cuộc chơi dừng lại sau không quá 3 lần tung đồng xu". P
A P A AA AA A 1 1 2 1 2 3 xk
P A P AA P AA A 1 1 2 1 2 3 dl
P A P A .P A P A .P A .P A 1 1 2 1 2 3 2 3
0,5 0,5 0.5 0, 875
b) Gọi B là biến cố "Người tung trước thắng cuộc".
P B P A AA A AA A A A ... 1 1 2 3 1 2 3 4 5 xk
P A P AA A P AA A A A ... 1 1 2 3 1 2 3 4 5 dl
P A P A .P A .P A P A .P A .P A P A .P A ... 1 1 2 3
1 2 3 4 5 0, 5 2 3 5
0,5 0.5 0,5 ... 2 1 0, 5 3
Bài 1.34. Một máy gồm hai bộ phận hoạt động độc lập nhau, xác suất bộ phận thứ nhất bị
hỏng là 0,1; bộ phận thứ hai bị hỏng là 0,15. Máy sẽ không hoạt động được khi chỉ cần một
bộ phận bị hỏng. Giả sử máy ngừng hoạt động. Tính xác suất để chỉ có một bộ phận bị hỏng. Giải
Gọi A là biến cố “Bộ phận thứ i bị hỏng”, i 1,2 . i 4
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
Ta có A ,A độc lập nhau và P A 0,1, P A 0,15 . 1 2 1 2
Gọi A là biến cố “Máy ngừng hoạt động”.
Gọi B là biến cố “Chỉ có một bộ phận bị hỏng”. P AB
Ta cần tính P B / A P A
Nhận thấy, nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra. Do đó B A nên AB B . Suy ra:
P AB P B P xk
A A A A P A A P A A 1 2 1 2 1 2 1 2 dl
P A .P A P A .P A 0,1.0,85 0,9.0,15 0,22 1 2 1 2 Mặt khác: P
A P A A P A P A P AA 1 2 1 2 1 2 dl
P A P A P A .P A 0,1 0,15 0,1.0,15 0,235. 1 2 1 2 Vậy ta có: 0,22 44 P(B / ) A 0,235 47
Vậy nếu máy ngừng hoạt động thì xác suất để chỉ có một bộ phận bị hỏng là 44/47.
Bài 1.35. Ở một trường THPT có 50% học sinh yêu thích môn Toán, 40% học sinh yêu thích
môn Lý, 30% học sinh yêu thích môn Hóa, 20% học sinh yêu thích cả môn Toán và môn Lý,
15% học sinh yêu thích cả môn Toán và môn Hóa, 10% học sinh yêu thích cả môn Lý và
môn Hóa, 5% học sinh yêu thích cả ba môn Toán, Lý, Hóa.
a) Tính tỷ lệ học sinh ở trường đó yêu thích ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hóa.
b) Trong số học sinh yêu thích môn Toán ở trường đó, tỷ lệ học sinh yêu thích môn Lý bằng bao nhiêu? Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trường đó.
Gọi A là biến cố "Học sinh đó yêu thích môn Toán".
Gọi B là biến cố "Học sinh đó yêu thích môn Lý".
Gọi C là biến cố "Học sinh đó yêu thích môn Hóa". 5
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002 P
A 0,5,P B 0,4,P C 0,3,P AB 0,2
P AC 0,15,P BC 0,1,P ABC 0,05
a) Gọi D là biến cố "Học sinh đó yêu thích ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hóa".
P D P A B C P
A P B P C P AB P AC P BC P ABC
0,5 0, 4 0, 3 0,2 0,15 0,1 0, 05 0, 8
Vậy tỷ lệ học sinh trường đó yêu thích ít nhất 1 trong 3 môn Toán, Lý, Hóa là 80%. P AB 0,2
b) Ta cần tính P B / A P 0, 4 A 0,5
Vậy trong số học sinh yêu thích môn Toán ở trường đó, tỷ lệ học sinh yêu thích môn Lý chiếm 40%.
Bài 1.51. Nghiên cứu hai công ty kinh doanh Bất động sản tại Việt Nam. Biết rằng, xác suất
để công ty Bất động sản Phát Đạt kinh doanh bị thua lỗ năm tới là 0,2; công ty Bất động sản
Phương Bắc kinh doanh bị thua lỗ năm tới là 0,15; cả hai công ty trên đều thua lỗ năm tới là 0,1. Tính xác suất để:
a) Cả hai công ty trên đều không bị thua lỗ trong năm tới.
b) Có đúng một công ty kinh doanh bị thua lỗ trong năm tới. Giải
Gọi A là biến cố "Công ty Phát Đạt bị thua lỗ trong năm tới".
Gọi B là biến cố "Công ty Phương Bắc bị thua lỗ trong năm tới". Ta có: P
A 0,2, P B 0,15, P AB 0,1
Nhận thấy 𝑃 𝐴𝐵 ≠ 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵) nên A, B phụ thuộc nhau.
a) Gọi C là biến cố "Cả hai công ty trên đều không bị thua lỗ trong năm tới". Suy ra: C
là biến cố "Có ít nhất 1 công ty bị thua lỗ trong năm tới".
Ta có: 𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴𝐵 = 0,2 + 0,15 − 0,1 = 0,25
Suy ra: 𝑃 𝐶 = 1 − 𝑃 𝐶 = 0,75
b) Gọi D là biến cố "Có đúng một công ty kinh doanh bị thua lỗ trong năm tới". 6
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002 𝑥𝑘
𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴𝐵
= 0,2 − 0,1 + 0,15 − 0,1 = 0,15 7
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
Dạng 2. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
Cho A1; A2; … ; An là một hệ đầy đủ các biến cố. Ta có:
I. Công thức xác suất đầy đủ
P B P A P B / A P A P B / A ... P A P B / A 1 1 2 2 n n
II. Công thức Bayes P A P B A k / k
P A / B k P B
Chú ý 1: Ta áp dụng công thức xác suất đầy đủ khi biến cố cần tính xác suất phụ thuộc hệ
đầy đủ các biến cố.
Chú ý 2: Phân biệt công thức Bayes với công thức xác suất có điều kiện (Ta áp dụng công
thức Bayes khi cần tính xác suất có điều kiện mà biến cố cần tính xác suất là thành phần của
hệ đầy đủ các biến cố).
Bài 1.37. Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 quả mới. Lần đầu tiên lấy ra ngẫu nhiên
3 quả bóng để thi đấu. Thi đấu xong lại hoàn trả 3 quả vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra ngẫu
nhiên 3 quả để thi đấu. Tính xác suất để cả 3 quả được lấy ra ở lần hai đều mới. Giải
Gọi A là biến cố “Trong 3 quả bóng bàn lấy ra lần đầu có i quả mới”, i 0, 3 . i
Có A ,A ,A ,A là hệ đầy đủ các biến cố. 0 1 2 3 3 1 2
P A C 4 C .C 27 6 ; P A 3 9 6 0 1 3 C 91 C 91 15 15 2 1 3
P A C .C 216 C 12 9 6 ; P A 3 9 2 3 3 C 455 C 65 15 15
Gọi A là biến cố “3 quả bóng bàn lấy ra lần sau đều mới”. 3 3 3 3 C C C C P A / A 12 8 1 4 9 ; P A / A ;P A / A ;P A / A 3 8 3 7 3 6 0 1 2 3 3 C 65 C 65 C 13 C 91 15 15 15 15
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P
A P A .P B / A P A .P B / A P A .P B / A P A .P B / A 0 0 1 1 2 2 3 3 4 12 27 8 216 1 12 4 528 = . + . + . + . = ≈ 0,0893 91 65 91 65 455 13 65 91 5915 8
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
Bài 1.38. Có ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi khẩu bắn một phát. Xác suất bắn
trúng mục tiêu của khẩu thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,5; 0,7 và 0,8. Nếu trúng ít
nhất hai phát thì mục tiêu sẽ bị tiêu diệt, nếu trúng một phát thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt
là 0,6. Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt khi bắn ba phát đạn trên. Giải Gọi 𝐴
𝑖 là biến cố "Khẩu pháo thứ i bắn trúng mục tiêu", 𝑖 = 1,3.
Ta có 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 độc lập nhau và 𝑃 𝐴1 = 0,5, 𝑃 𝐴2 = 0,7, 𝑃 𝐴3 = 0,8. Gọi 𝐵
𝑗 là biến cố "Có j khẩu pháo bắn trúng mục tiêu", 𝑗 = 0; 3. đ𝑙
𝑃 𝐵0 = 𝑃 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 = 𝑃 𝐴 1 . 𝑃 𝐴 2 . 𝑃 𝐴 3 = 0,5.0,3.0,2 = 0,03
𝑃 𝐵1 = 𝑃 𝐴1 𝐴 2 𝐴 3 + 𝐴 1 𝐴2 𝐴 3 + 𝐴 1 𝐴 2 𝐴3 𝑥𝑘
= 𝑃 𝐴1 𝐴 2 𝐴 3 + 𝑃 𝐴 1 𝐴2 𝐴 3 + 𝑃 𝐴 1 𝐴 2 𝐴3 đ𝑙
= 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴 2 . 𝑃 𝐴 3 + 𝑃 𝐴 1 . 𝑃 𝐴2 . 𝑃 𝐴 3 + 𝑃 𝐴 1 . 𝑃 𝐴 2 . 𝑃 𝐴3
= 0,5.0,3.0,2 + 0,5.0,7.0,2 + 0,5.0,3.0,8 = 0,22 đ𝑙
𝑃 𝐵3 = 𝑃 𝐴1 𝐴2 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴2 . 𝑃 𝐴3 = 0,5.0,7.0,8 = 0,28
𝑃 𝐵2 = 1 − 𝑃 𝐵0 − 𝑃 𝐵1 − 𝑃 𝐵3 = 0,47
Gọi C là biến cố "Mục tiêu bị tiêu diệt".
P C / B 0, P C / B 0,6, P C / B P C / B 1 0 1 2 3
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P C P B .P C / B P B .P C / B P B .P C / B P B .P C / B 0 0 1 1 2 2 3 3
= 0,03.0 + 0,22.0,6 + 0,47.1 + 0,28.1 = 0,882
Bài 1.39. Có 20 sinh viên được chia thành 4 nhóm, trong đó nhóm một có 5 sinh viên, nhóm hai
có 6 sinh viên, nhóm ba có 7 sinh viên, nhóm bốn có 2 sinh viên. Khả năng hoàn thành chương
trình thực tập của sinh viên trong 4 nhóm trên lần lượt là 0,9; 0,8; 0,85; 0,7. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ nhóm đó.
a) Tính khả năng sinh viên được chọn không hoàn thành chương trình thực tập.
b) Nếu sinh viên được chọn không hoàn thành chương trình thực tập thì khả năng sinh viên
đó thuộc nhóm nào trong những nhóm trên là lớn nhất? Giải
Gọi A là biến cố “Sinh viên được chọn thuộc nhóm i”, i 1, 4 . i
Có A ,A ,A ,A là hệ đầy đủ các biến cố. 1 2 3 4 9
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002 5 6 7 2 𝑃 𝐴1 = = 0,25; 𝑃 𝐴 = 0,3; 𝑃 𝐴 = 0,35; 𝑃 𝐴 = 0,1 20 2 = 20 3 = 20 4 = 20
Gọi A là biến cố “Sinh viên được chọn không hoàn thành chương trình thực tập”.
𝑃 𝐴/𝐴1 = 0,1; 𝑃 𝐴/𝐴2 = 0,2; 𝑃 𝐴/𝐴3 = 0,15; 𝑃 𝐴/𝐴4 = 0,3
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴/𝐴1 + 𝑃 𝐴2 . 𝑃 𝐴/𝐴2 + 𝑃 𝐴3 . 𝑃 𝐴/𝐴3 + 𝑃 𝐴4 . 𝑃 𝐴/𝐴4
= 0,25.0,1 + 0,3.0,2 + 0,35.0,15 + 0,1.0,3 = 0,1675
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có: 𝑃 𝐴 0,25.0,1 10 𝑃 𝐴 1 . 𝑃 𝐴/𝐴1 1/𝐴 = = = 𝑃 𝐴 0,1675 67 𝑃 𝐴 0,3.0,2 24 𝑃 𝐴 2 . 𝑃 𝐴/𝐴2 2/𝐴 = = = 𝑃 𝐴 0,1675 67 𝑃 𝐴 0,35.0,15 21 𝑃 𝐴 3 . 𝑃 𝐴/𝐴3 3/𝐴 = = = 𝑃 𝐴 0,1675 67 𝑃 𝐴 0,1.0,3 12 𝑃 𝐴 4 . 𝑃 𝐴/𝐴4 4/𝐴 = = = 𝑃 𝐴 0,1675 67
Nhận thấy P(A / )
A lớn nhất. Tức là nếu sinh viên được chọn ra không hoàn thành chương 2
trình thực tập thì khả năng sinh viên đó thuộc nhóm 2 là lớn nhất.
Bài 1.40. Ở công ty A có 45% nhân viên đi làm bằng xe máy, 15% nhân viên đi làm bằng ô
tô riêng, số còn lại đi làm bằng xe buýt. Khả năng đến công ty đúng giờ dự kiến của nhân
viên đi làm bằng xe máy, ô tô riêng, xe buýt tương ứng là 98%; 95% và 90%.
a) Tính tỷ lệ nhân viên công ty A đến công ty đúng giờ dự kiến.
b) Trong số nhân viên đến công ty đúng giờ dự kiến, tỷ lệ nhân viên đi làm bằng xe buýt chiếm bao nhiêu %? Giải
Ký hiệu loại phương tiện xe máy, ô tô, xe buýt lần lượt là phương tiện loại 1, 2, 3.
Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty A.
Gọi A là biến cố “Nhân viên đó đi làm bằng phương tiện loại i”, i 1, 3 . i
Ta có A ,A ,A là hệ đầy đủ các biến cố. 1 2 3
𝑃 𝐴1 = 0,45, 𝑃 𝐴2 = 0,15, 𝑃 𝐴3 = 0,4
Gọi B là biến cố “Nhân viên đó đến công ty đúng giờ dự kiến”.
P B / A 0,98, P B / A 0,95, P B / A 0,9 1 2 3 10
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P B 3
P A .P B / A 0,45.0,98 0,15.0,95 0,4.0,9 0,9435. i i i 1
Vậy tỷ lệ nhân viên công ty A đến công ty đúng giờ dự kiến là 94,35%.
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P A P B / A 3 3 P 0, 4.0,9 240 A / B 0, 38156 3 P B 0,9435 629
Vậy trong số nhân viên đến công ty đúng giờ dự kiến, tỷ lệ nhân viên đi làm bằng xe buýt chiếm 38,156 %.
Bài 1.41. Ban phụ huynh một lớp học đặt mua 12 hộp bút chì làm quà tặng dịp tổng kết cuối
năm. Trong đó, có 5 hộp bút loại A, mỗi hộp có 8 bút chì ruột mềm và 2 bút chì ruột cứng; 4
hộp loại B, mỗi hộp có 7 bút chì ruột mềm và 3 bút chì ruột cứng; 3 hộp loại C, mỗi hộp có 6
bút chì ruột mềm và 4 bút chì ruột cứng. Từ lô bút đó người ta chọn ra ngẫu nhiên một chiếc để kiểm tra.
a) Tính xác suất để chiếc bút được lấy ra là bút chì ruột mềm.
b) Biết rằng bút chì lấy ra là loại ruột mềm, tính xác suất để nó được lấy ra từ hộp bút loại A. Giải
Gọi hộp bút loại A, B, C lần lượt là hộp bút loại 1, 2, 3. Gọi 𝐴
𝑖 là biến cố "Hộp bút được lấy ra là hộp bút loại i", 𝑖 = 1; 3.
Ta có 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 là hệ đầy đủ các biến cố. 5 4 3 𝑃 𝐴1 = ; 𝑃 𝐴 ; 𝑃 𝐴 12 2 = 12 3 = 12
Gọi D là biến cố "Chiếc bút lấy ra là chiếc bút ruột mềm". P 8 7 6 D / A ; P D / A ; P D / A 1 2 3 10 10 10
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P D P A .P D / A P A .P D / A P A .P D / A 1 1 2 2 3 3 5 8 4 7 3 6 43 = . + . + . = ≈ 0,7167 12 10 12 10 12 10 60
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có: 11
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002 P 5 8 .
A .P D / A 1 1 P 20 12 10 A / D 0, 4651 1 P D 43 43 60
Bài 1.42. Có hai lô sản phẩm: lô một có 7 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm hỏng; lô hai có 3 sản
phẩm tốt và 4 sản phẩm hỏng. Từ lô hai lấy ra ngẫu nhiên cùng lúc 2 sản phẩm bỏ vào lô một.
Sau đó từ lô một lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Khả năng ở lô hai còn lại
mấy sản phẩm hỏng là lớn nhất? Giải Gọi 𝐴
𝑖 là biến cố "Có i sản phẩm hỏng trong 2 s/phẩm lấy từ lô 2 sang lô 1", 𝑖 = 0; 2.
Ta có 𝐴0, 𝐴1, 𝐴2 là hệ đầy đủ các biến cố. 𝐶2 1 𝐶1. 𝐶1 4 𝐶2 2 𝑃 𝐴 3 3 4 4 0 = = ; 𝑃 𝐴 = ; 𝑃 𝐴 = 𝐶2 7 1 = 2 7 2 = 2 7 7 𝐶7 𝐶7
Gọi B là biến cố "Sản phẩm lấy từ lô 1 là sản phẩm tốt". 9 8 7 𝑃(𝐵/𝐴0) = ; 𝑃(𝐵/𝐴 ; 𝑃(𝐵/𝐴 11 1) = 11 2) = 11
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P B P A .P B / A P A .P B / A P A .P B / A 0 0 1 1 2 2 1 9 4 8 2 7 5 = . + . + . = 7 11 7 11 7 11 7
Áp dụng công thức Bayes, ta có: P 1 9 .
A .P B / A 0 0 P 9 7 11 A / B 0 P B 5 55 7 P 4 8 .
A .P B / A 1 1 P 32 7 11 A / B 1 P B 5 55 7 P 2 7 .
A .P B / A 2 2 P 14 7 11 A / B 2 P B 5 55 7
Nhận thấy P A / B lớn nhất nên nếu sản phẩm lấy ở lô 1 là sản phẩm tốt thì khả năng lô 2 1
còn lại 3 sản phẩm hỏng là lớn nhất. 12
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
Bài 1.43. Có 2 thùng đựng sách: thùng 1 có 7 quyển sách tự nhiên và 5 quyển sách xã hội;
thùng 2 có 3 quyển sách tự nhiên và 3 quyển sách xã hội. Trong quá trình vận chuyển thùng 1
bị rơi mất 2 quyển sách. Sau đó người ta chuyển một ít sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho
số sách ở 2 thùng bằng nhau.
a) Tính xác suất để sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thì số quyển sách tự nhiên và số
quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau.
b) Nếu sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang, thùng 2 có số quyển sách tự nhiên và số quyển
sách xã hội bằng nhau thì khả năng thùng 1 bị mất 2 quyển sách tự nhiên là bao nhiêu? Giải
Gọi A là b/cố “Trong 2 quyển sách bị rơi của thùng 1 có i q/sách tự nhiên”, i 0, 2 . i
Có A ,A ,A là hệ đầy đủ các biến cố. 0 1 2 2 1 1 2
P A C 5 C .C 35 C 7 5 ; P A ; P A 0 2 1 7 5 2 2 7 2 C 33 C 66 C 22 12 12 12
Gọi A là biến cố “Sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 thì số quyển sách tự nhiên và
số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau”.
Hay A chính là biến cố “Từ thùng một chuyển sang thùng hai 1 quyển sách tự nhiên và 1 quyển sách xã hội”. 1 1 1 1 1 1 C C C C C C P A / A . 7 . 8 . 5 7 3 ; P A / A ; P A / A 2 6 4 2 5 5 0 1 2 2 C 15 C 15 C 9 10 10 10
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P
A P A .P A / A P A .P A / A P A .P A / A 0 0 1 1 2 2 5 7 35 8 7 5 35 . . . 33 15 66 15 22 9 66
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có: P 7 5 .
A .P A / A 2 2 P 1 22 9 A / A 2 P A 35 3 66
Bài 1.45. Một bản tin điện báo chỉ gồm hai loại tín hiệu chấm và tín hiệu vạch với tỷ lệ tương
ứng là 65% và 35%. Biết rằng, trong quá trình truyền tin 10% tín hiệu chấm bị bóp méo thành
tín hiệu vạch và 8% tín hiệu vạch bị bóp méo thành tín hiệu chấm. Xác định xác suất tín hiệu
khi truyền đi sẽ nhận được đúng nếu:
a) Nhận được tín hiệu chấm.
b) Nhận được tín hiệu vạch. 13
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002 Giải
Gọi A là biến cố “Tín hiệu truyền đi là tín hiệu chấm”. Ta có: ,
A A là hệ đầy đủ các biến cố. P
A 0,65, P A 0, 35
Gọi B là biến cố “Tín hiệu nhận được là tín hiệu chấm”. P B /
A 0,9, P B / A 0, 08
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(B) P( )
A .P(B / ) A P
A .P B /
A 0,65.0,9 0, 35.0, 08 0,613. P( ) A P(B / ) A 0,65.0,9
Áp dụng công thức Bayes, ta có: P(A / B) 0,9543. P(B) 0,613
b) Ta có: P B 1 P B 1 0,613 0, 387
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P A.P B / A P A B 0, 35.0,92 322 / P B 0, 832 0, 387 387
Bài 1.48. Một công ty bảo hiểm của Hoa Kỳ muốn nâng cao năng lực quản trị rủi ro của mình
bằng cách chia khách hàng của công ty thành 3 đối tượng: ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro
cao với tỷ lệ tương ứng là 60% ; 27% và 13%. Khả năng khách hàng thuộc 3 đối tượng trên
gặp rủi ro trong một năm lần lượt là 0,08 ;0,4 và 0,75.
a) Tính tỷ lệ khách hàng của công ty đó gặp rủi ro trong năm.
b) Trong số khách hàng của công ty gặp rủi ro trong năm, đối tượng ít rủi ro chiếm bao nhiêu phần trăm? Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng của công ty bảo hiểm đó.
Gọi đối tượng ít rủi ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao lần lượt là đối tượng loại 1, 2, 3. Gọi 𝐴
𝑖 là biến cố "Khách hàng đó thuộc đối tượng loại i", 𝑖 = 1; 3.
Ta có 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 là hệ đầy đủ các biến cố.
𝑃 𝐴1 = 0,6; 𝑃 𝐴2 = 0,27; 𝑃 𝐴3 = 0,13
Gọi B là biến cố "Khách hàng đó gặp rủi ro trong năm".
P B / A 0,08, P B / A 0,4, P B / A 0,75 1 2 3 14
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com) lOMoARcPSD|61182002
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P B P A .P B / A P A .P B / A P A .P B / A 1 1 2 2 3 3
0,6.0, 08 0,27.0, 4 0,13.0,75 0,2535
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P A .P B / A 1 1 P 0,6.0, 08 32 A / B 0,1893 1 P B 0,2535 169
Bài 1.49. Để mở rộng nhà xưởng cho sản xuất, công ty Đức Thịnh đặt mua 50 ống thép
180, tuy nhiên trong lô hàng này có 3 ống không đạt tiêu chuẩn chịu lực. Trước khi tiến
hành lắp đặt cho nhà xưởng, mỗi ống thép phải qua một bộ phận kiểm duyệt chất lượng. Biết
rằng, xác suất để bộ phận kiểm duyệt đồng ý lắp đặt với ống đạt tiêu chuẩn chịu lực và ống
không đạt tiêu chuẩn chịu lực tương ứng là 0,95 và 0,02. Lấy một ngẫu nhiên từ lô hàng đó
một ống thép để kiểm duyệt.
a) Tính xác suất để ống thép này được chấp nhận cho lắp đặt.
b) Biết rằng một ống thép được đồng ý cho lắp đặt, hỏi khả năng để ống thép này không đạt
tiêu chuẩn chịu lực bằng bao nhiêu? Giải
Gọi A là biến cố "Ống thép đó đạt tiêu chuẩn chịu lực".
Ta có: 𝐴, 𝐴 là hệ đầy đủ các biến cố. 47 3 𝑃 𝐴 = ; 𝑃 𝐴 = 50 50
Gọi B là biến cố "Ống thép đó được chấp nhận cho lắp đặt". P B /
A 0,95; P B / A 0, 02
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P B P A P B
A P A P B A 47 3 . / . / .0,95 .0, 02 0, 8942 50 50
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P A.P B / A 3 .0,02 P A B 6 50 / P B 0, 8942 4471 15
Downloaded by Bùi C?nhhr (canhbui948@gmail.com)
