20 Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 8 Có Lời Giải
Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Đề thi Toán 8 475 tài liệu
Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
ĐỀ 1
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút Câu 1
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau 9x2 + +y2
2z2 −18x+ − + =4z 6y 20 0.
b) Giải phương trình x4 −30x2 +31x− =30 0 Câu 2
148− x 169− x 186− x 199− x a) Giải phương trình + + + =10 25 23 21 19
b) Chứng minh rằng A = +n3
6n2 +8n chia hết cho 48 với n chẵn. Câu 3
a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:
P =(x−1)(x+ 2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương
của chúng chia hết cho 3. Câu 4
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB , MF ⊥ AD .
a) Chứng minh DE = CF
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5 1 1 1 1
a) Chứng minh rằng P = 2 + 2 + 4 +...+ 2 1 2 3 4 100 1 1 1 1
b) Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a b c+ + = 2016 và + + = a b c 2016
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm).
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + +y2
2z2 −18x+ − + =4z 6y 20 0. Ta có: 9x2 + +y2
2z2 −18x+ − + =4z 6y 20 0
(3x)2 −2.3 .3x +32 + y2 −2. .3y +32 + 2(z2 + 2z+ =1) 0
(3x −3)2 +(y −3)2 + 2(z +1)2 = 0 Trang 1
Vì (3x −3)2 0;(y −3)2 0;2(z +1)2 0 với mọi x, y, z nên: x =1 y = 3 z = −1
b) Giải phương trình: x4 −30x2 +31x− =30 0
Hướng dẫn x4 −30x2 +31x− =30 0
x4 −(30x2 −30x +30)+ x = 0
(x4 + x)−30(x2 − x +1) = 0
x x( +1)(x2 − x +1)−30(x2 − x +1) = 0
(x2 − x +1)(x2 + x −30) = 0 Ta có: 2 2 1 3 x − x+ =1 x− +
0 với mọi x nên suy ra: 2 4
x2 + −x 30 = 0 (x−5)(x+6)= 0 x = 5 x =−6 Câu 2.
148− x 169− x 186− x 199− x a) Giải phương trình: + + + =10 25 23 21 19 Hướng dẫn
148− x 169− x 186− x 199− x + + + =10 25 23 21 19 148 −x− +1 169 −x−2 + 186 −x−3 + 199 −x−4 0 = 25 23 21 19 (123− x) + + + = 0 25 23 21 19 Trang 2 1 1 1 1 Vì + + +
0 nên 123 – x = 0, suy ra x = 123. 25 23 21 19
b) Chứng minh rằng: A n= +3
6n2 +8n chia hết cho 48 với n
chẵn. Hướng dẫn n3 +6n2 +8n chia hết cho 48 với n chẵn Ta có:
A n= +3 6n2 +8n
A n n= ( 2 +6n+8)
A = n n( + 2)(n+ 4)
Vì n là số chẵn nên đặt n = 2k k( ), khi đó:
A = 2k(2k + 2)(2k + 4)
A = 8k k( +1)(k + 2)
A = 23k k( +1)(k + 2)
Vì k k( +1)(k + 2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên:
- Tồn tại một số là bội của 2 nên k k( +1)(k + 2) 2 nên A 16
- Tồn tại một số là bội của 3 nên k k( +1)(k + 2) 3
Vậy A chia hết cho 3, 16 mà (3,16)=1 nên A 3.16 = 48. Câu 3 (2 điểm).
a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:
P =(x−1)(x+ 2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương
của chúng chia hết cho 3. Hướng dẫn
P = (x −1)(x + 2)(x +3)(x +6)
P =(x2 +5x−6)(x2 +5x+ 6) 2
P =(x2 +5x) −36
Vì (x2 +5x)2 0 nên P=(x2 +5x)2 −36 −36
Do đó Min P = -36 khi (x2 +5x)2 = 0 .
Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì min P = -36.
b) Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3. Ta có: Trang 3
a3 +b3 = (a b a+ )( 2 −ab b+ 2) a3 +b3
=(a b+ ) (a2 + 2ab b+ 2 )−3ab
a3 +b3 = (a b+ )
(a b+ )2 −3ab
Vì a b+ chia hết cho 3 nên (a b+ )2 −3ab chia hết cho 3; Do vậy (a b+ )
(a b+ )2 −3ab chia hết cho 9. Câu 4 (3 điểm).
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME⊥ AB, MF ⊥ AD. a) Chứng minh: DE CF=
b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. A B E
c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Hướng dẫn a) Chứng minh: AE FM DF= = AED DFC= đpcm. M
b) DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm. C
c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi F ME MF a+ = không đổi
SAEMF = ME.MF lớn nhất ME MF= (AEMF là hình vuôngD ) M là trung điểm của BD. 1 1 1 1
Câu 5. Chứng minh rằng: P = 2 + 2 + 4 +...+ 2 1 2 3 4 100 Hướng dẫn 1 1 1
1 P = 2 + 2 + 4 +...+ 2 2 3 4 100 1 1 1 1 = + + +...+ 2.2 3.3 4.4 100.100 + + + + = − + − + + − = −1 = 1 Trang 4 ĐỀ 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút Câu 1
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A =(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15
b) Cho (a b− )2 +(b c− )2 +(c a− )2 = 4(a2 +b2 +c2 −ab ac bc− − )
Chứng minh rằng a = b = c.
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a= −4 2a3 +3a2 − +4a 5.
Câu 3. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8 2016) cho
đa thức x2 +10x+21.
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
AB, AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất.
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Câu 5 a)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số
đo diện tích bằng số đo chu vi. b)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là
độ dài cạnh huyền thì thì các số x = 9a + 4b +8c; y = + +4a b
4c; z = 8a + 4b
+7c cũng là số đo ba cạnh của một tam giác vuông khác. Câu 6
a) Tìm các số x, y nguyên dương biết 6x+ + =5y 18 2xy
b) Tìm các số nguyên x, y biết 5x− =3y 2xy −11 ĐÁP ÁN Câu 1
a) A =(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15
A =(a+1)(a+ 7)(a+3)(a+5)+15
A =(a2 +8a+ 7)(a2 +8a+15)+15
Đặt a2 + + =8a 7 t , ta có: A = t t( +8)+15 A = + +t2 8t 15 A = +(t 3)(t +5) Do đó
A = (a2 +8a +7 +3)(a2 +8a +7 +5)
A = (a2 +8a +10)(a2 +8a +12) Trang 5
A = (a2 +8a +10)(a + 2)(a +6) . b) Ta có:
(a b− )2 +(b c− )2 +(c a− )2 = 4(a2 +b2 +c2 −ab ac bc− − ) a2 +b2 − 2ab+b2 +c2
− 2bc+c2 +a2 + 2ac= 4a2 + 4b2 + 4c2 − 4ab− 4ac− 4bc
(a2 +b2 − 2ac) + (b2 + c2 − 2bc) + (a2 + c2 − 2ac) = 0
(a −b)2 + (b −c)2 + (a −c)2 = 0
Vì (a−b)2 0;(b −c)2 0;(a −c)2 0; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a−b)2 = 0;(b −c)2 = 0 và (a−c)2 = 0 Vậy a = =b c. Câu 2 Ta có:
A a= −4 2a3 +3a2 − +4a 5
A a= +4 2a2 −2a3 − + + +4a a2 2 3
A a a= 2 ( 2 + −2) 2a a( 2 + +2) (a2 + +2) 3
A=(a2 +2)(a2 − + +2a 1) 3
A=(a2 +2)(a− +1)2 3
Vì (a2 + 2)(a−1)2 0 với mọi a nên A 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 a − =1 0 a =1. Câu 3 (2 điểm).
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8 2016) cho đa thức
x2 +10x+21. Hướng dẫn
P x( ) = (x + 2)(x + 4)(x +6)(x +8)+ 2016 = (x2 +10x+16)(x2 +10x + 24)+ 2016
Đặt t = +x2 10x+ 21 (t − −3; t7) , biểu thức P(x) được viết lại:
P x( )= −(t 5)(t + +3) 2016= − +t2 2t 2001
Do đó t2 − +2 2001t cho ta số dư là 2001. Câu 4 (3 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC
sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất.
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn Trang 6 B D E A C
a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x (0 x a ) Ta có:
AD2 +AE2 =DE2
(a x− )2 +x2 =DE2
DE2 =a2 −2ax x+ 2 +x2
DE2 =a2 −2ax+ 2x2 2 2 a a2 a2
DE = 2 x −2. .x + + 2 4 2 2 a 2 a2 DE = 2 x− + 2 2 2 a2 DE 2 a2 a
Vậy DE nhỏ nhất bằng x = 2 2
Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.
b) Diện tích của tam giác ABC là: a2
Diện tích tam giác ADE là: (a − x x).
Khi đó diện tích của tứ giác BDEC là: 1 2 1
a − (a − x x) 2 2 1 2 1 1 2
= a − ax + x 2 2 2 1 2 a a2 3a2 = x −2. .x + + 2 2 4 4 Trang 7 1 a 2 3a2 3a2 = x− + 2 2 8 8 3a2 a
Vậy diện tích của tứ giác BDEC nhỏ nhất bằng x = 8 2
Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Câu 5
a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo
diện tích bằng số đo chu vi. Hướng dẫn
a) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z. Theo đề bài ta có:
xy = 2(x+ +y z) (1) và x2 + =y2 z2
Từ x2 + =y2 z2 z2 = (x y+ )2 −2xy thay vào (1) ta có:
z2 = (x y+ )2 −4(x y z+ + ) z2 + 4z
= (x + y)2 −4(x + y) z2 + 4z + 4 =
(x + y)2 −4(x + y)+ 4
(z + 2)2 = (x + y −2)2
+ = + −z 2 x y 2 = + −z x
y 4 thay vào (1) ta được:
xy= 2(x y x y+ + + − 4)
xy= 4x+ 4y−8
xy−4x−4y=−8 x y(
−4)−4(y−4)−16 =−8
(x−4)(y−4)= 8
(x−4)(y−4)=1.8 = 2.4
Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:
(x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13)
(x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10)
b) Theo đề bài ta có a2 = +b2 c2
Ta có: x= + + =9a 4b 8c x2
81a2 +16b2 +64c2
+72ab+144ac+64bc mà a2 = +b2 c2
x2 = 81(b2 +c2)+16b2 +64c2 +72ab+144ac+64bc
=x2 97b2 +145c2 +72ab+144ac+64bc (1) y =
+ + =4a b 4c y2 16a2 + +b2 16c2 +8ab+32ac+8bc mà a2 = +b2 c2 Trang 8
y2 =16(b2 +c2)+b2 +16c2 +8ab+32ac +8bc
=y2 17b2 +32c2 +8ab+32ac+8bc (2) z =
+ + =8a 4b 7c z2 64a2 +16b2 + 49c2 +64ab+112ac+56bc mà a2 = +b2 c2 z2 =
64(b2 +c2)+16b2 + 49c2 +64ab+112ac +56bc =z2
80b2 +113c2 +64ab+112ac+56bc (3)
Từ (2) và (3) ta có y2 + =z2 97b2 +145c2 +72ab+144ac+64bc (4)
Từ (1) và (4) suy ra x2 = +y2 z2
Vậy x, y, z cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông ĐỀ 3
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) (x + y z+ )3 − x3 − y3 − z3
b) x4 + 2014x2 + 2013x+ 2014 Câu 2 2 2
(2013− x) +(2013− x x)( −2014)+(x −2014) 19 a) Tìm x, biết: 2 2 =
(2013− x) −(2013− x x)( −2014)+(x −2014) 49
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có B = −a5 a chia hết cho 30. Câu 3
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ
số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng
chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương. Câu 5
Cho a, b dương và a2012 +b2012 =a2013 +b2013 =a2014 +b2014 . Tính a2015 +b2015 ĐÁP ÁN
Câu 1 (2 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x y z+ + )3 − x3 − y3 − z3
b) x4 + 2014x2 + 2013x+ 2014 Hướng dẫn a) (x y z+
+ )3 − x3 − y3 − z3 =
(x y z+ + )3 −x3 −y3 −z3 Trang 9
=(y z+ ) (x y z+ + )2 −2(x y z x x+ + ) + 2 −(y z y+ )( 2 −yz z+ 2 )
=(y z+ )(3x2 +3xy+3yz+3xz)
= 3(y z x x y+ ) ( + )+z x y( + )
= 3(y z x y x z+ )( + )( + )
b) x4 + 2014x2 + 2013x+ 2014
= x4 − x + 2014x2 + 2014x + 2014
= x x( 3 −1)+ 2014(x2 + x +1)
= x x( −1)(x2 + x +1)+ 2014(x2 + x +1)
= (x2 + x +1)(x2 − x + 2014) Câu 2 (2 điểm).
(2013− x)2 +(2013− x x)( −2014)+(x −2014)2 19 a) Tìm x, biết: 2 2 = .
(2013− x) −(2013− x x)( −2014)+(x −2014) 49
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: B = −a5 a chia hết cho 30. Hướng dẫn
a) ĐKXĐ: x 2013;x 2014
Đặt x −2014 = a a( 0) Ta có:
(a +1)2 −(a +1)a a+ 2 19 2 2 =
(a +1) +(a +1)a a+ 49 a2 + a +1 19 2 = 3a +3a +1 49
49a2 + 49a + 49 = 57a2 +57a +19
8a2 +8a−30 = 0
(2a−3)(2a+5)= 0 3 a= 2 a= −5 2 Trang 10 x = hoặc x = . b) Ta có:
B = −a5 a B a a= ( 4 −1)
B a a= ( 2 −1)(a2 +1)
B a a= ( 2 −1)(a2 −4+5)
B a a= ( 2 −1)(a2 −4)+5a a( 2 −1)
B = (a −2)(a −1)a a( +1)(a + 2)+5a a( 2 −1)
Vì (a−2)(a−1)a a( +1)(a+ 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số là bội
của 5, do đó (a −2)(a −1)a a( +1)(a + 2) 5(1) 5a a( 2 −1 5)(2)
Từ (1) và (2) suy ra B 5 Câu 3 (2 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn C D F A E B
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E = = =A F 90o )
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của BAC. b)
Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC. Câu 4 (2 điểm).
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số
hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục,
thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Hướng dẫn Trang 11
Gọi số phải tìm là abcd với a b c d, , , ,0 a b c d, , , 9,a 0 Theo đề bài ta có: 2 abcd =k 2
(a+1)(b+3)(c+5)(d +3)= m Suy ra: abcd k= 2
2 với k m, ,31 k m 100 abcd +1353 = m
Do đó m2 − =k2 1353
(m−k)(m+k)=123.11= 41.33
Vì k m, nên m k+ m k− . Trang 12 Do đó: m+ k =123 m = 67 m+ k = 41 m = 37 hoặc m−k =11 k = 56 m−k = 33 k = 4
Kết luận đúng abcd = 3136 Câu 5 (2 điểm)
Cho a, b dương và a2012 +b2012 = a2013 +b2013 = a2014 +b2014 .
Tính a2015 +b2015. Hướng dẫn Ta có:
a2012 +b2012 = a2013 +b2013 = a2014 +b2014 (a b a+ )( )−( ) 2012 +b2012
a2011 +b2011 .ab a= 2014 +b2014 a b ab+ −
=1 (vì a2012 +b2012 = a2013 +b2013 = a2014 +b2014 )
(a−1)(b− =1) 0 a =1 b =1
Với a = 1 thì b2012 = b2013 =b 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 thì a2012 = a2013 =a 1 hoặc a = 0 (loại) Vậy a = 1, b = 1
Do đó a2015 +b2015 = 2. ĐỀ 4
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút Câu 1
a) Tìm x; y Z thoả mãn 5x2 − 4xy + y2 =169 . n n2 n3
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: A = + + có giá trị là 3 2 6 một số nguyên. Câu 2 1+ a 1+b
a) Cho hai số a b 0 . So sánh hai số x = 2 và y = 2 . 1+ a + a 1+b+b
x +1 x + 2 x +3 x + 4 x +5 x +6
b) Tìm x, biết + + + + + +6 = 0. 1000 999 998 997 996 995 Câu 3 Trang 13
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các
đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân. Câu 4
Tìm cặp số nguyên (x y z; ; ) thỏa mãn phương trình:
x2 + y2 + z2 + 4064497 = 2 15( x + 4y + 2014z)
Câu 5. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24. ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm).
a) Tìm x; y Z thoả mãn: 5x2 − 4xy + y2 =169 . n n2 n3
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: A = + + có giá trị là 3 2 6 một số nguyên. Hướng dẫn a) Ta có:
5x2 − 4xy + y2 =169 4x2 −
4xy + y2 + x2 =169 2 2
(2x y− ) + x =169
(2x y− )2 + x2 =144+ 25(I) 2 2
(2x y− ) + x =169+0(II) Từ (I) ta có:
(2x − y)2 =122 x = 5 x = 5 ; x2 = 52 y = 2 y = 22 Trang 14
(2x − y)2 = 52 x = 12 x = 12 ; x2 =122 y = 19 y = 29 Từ (II) ta có:
(2x − y)2 =132 x = 0 x2 = 0 y = 13
(2x − y)2 = 0 x = 13 x2 =132 y = 26
(5; 2 ; 5; 22 ;− ) ( −) (−5;2 ;) (−5;22 ; 12; 19 ; 12;) ( − ) ( −29) Vậy (x y, )
(−12;19 ;) (−12;29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13;26 ;) ( ) ( − ) ( ) (−13;−26) n n2 n3 b) Ta có: A = + + 3 2 6
2n+3n2 + n3 n n( +1)(n+ 2) A = = 6 6
Vì n n( +1)(n+ 2) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên n n( +1)(n+ 2) 3 và n
n( +1)(n+ 2) 2 mà (2,3)=1. Do đó n n( +1)(n+ 2) 6. Hay A là một số nguyên. Câu 2 (2 điểm). 1+ a 1+b
a) Cho hai số a b 0 . So sánh hai số x = 2 và y = 2 . 1+ a a+ 1+b b+
x +1 x + 2 x +3 x + 4 x +5 x +6 b) Tìm x, biết: + + + + + +6 = 0 1000 999 998 997 996 995 Hướng dẫn Vì x y, 0, ta có: 1 1 1 1 1 2 = 2 = = x == y 1 +aa + a 1 1 1 1 1 + + 1 + 1 1 +a + + 1 + 1 1 1 1 a 1 a 2 2 + 2 + a a a b b 1 1 Trang 15 Vì a b 0 nên 2 2 và . a b a b Vậy x y . b) Ta có: x+1 x+ 2 x+3 x+4 x+5 x+6 + +1 + +1 + +1 + +1 + +1 + =1 0 1000 999 998 997 996 995 x+1001
x+1001 x+1001 x +1001 x +1001 x +1001 + + + + + = 0 1000 999 998 997 996 995 (x+1001) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 1000 999 998 997 996 995 Vì + + + + + 0 nên x =−1001. Câu 3. Câu 3 A M B N I L C K D
DCN = CBM NDC = CBN
Mà MCB + MCD = 900 NDC + MCD = 900
DIC = 900 DN ⊥ MC
goi K là trung điểm của DC nên AM=KC, AM KC
Nên AMCK là hình bình hành AK MC
Mà DN ⊥ MC AK ⊥ DN
Hay AK ⊥ DI (1)
Goi L là giao điiểm của DN và AK. K là trung điểm của DC và AK MC suy ra
AK đi qua trung điểm của DI nên L là trung điểm của DI (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác AID cân tại A Câu 4.
Đặt x− =1 y x = +y 1. Ta có:
3(y +1)2 −8(y +1)+6 3y2 −2y +1 A = 2 = 2 Trang 16
(y +1) −2(y +1)+1 y 2 1
A = 3− + 2 y y 1 2
Đặt = z = − +A 3 2z z y
A z= − + +2 2 1 2z
A = (z −1)2 + 2 2
Vậy min A = 2 = = z1 y 1 x = 2 . ĐỀ 5
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút Câu 1
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 −2xy + + − −y2 4x 4y 5
b) Chứng minh n N* thì n3 + +n 2 là hợp số.
c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với
tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 2 x−1 x−2 x−3 x−2016 a) Giải phương trình + + +...+ = 2016 2016 2015 2014 1
b) Cho a2 + + = + + =b2 c2 a3 b3 c3 1. Tính S =
+a2 b2014 +c2015 Câu 3
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 +3y2 + 4xy − − +8x 2y 18
b) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh + + a b c+ + a b c+ − − +a b c+ a b c− +
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F; G; H lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng
minh: Tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ⊥CE và MAD cân.
c) Tính diện tích MDC theo a.
Bài tập tương tự câu 1b)
1. Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
2. Cho biểu thức (x2 −8)2 +36. Tìm số tự nhiên n để biểu thức trên là số nguyên tố ĐÁP ÁN Trang 17 Câu Ý Nội dung Điể m
a. 1 = (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9 0.5 điể
= (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1) 0,5 m
Câu 1 b. 1 Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) 0.25 3 điể =(n+1)( n2 - n + 2) 0,25
điểm m Do n N* nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số 0.5
c. 1 Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 0.25 điể
Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1 0.25
m = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 0.25
= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ 0.25 a.
Phương trình đã cho tương đương với: 1.5 x−1 x−2 x−3 x−2012 0.5 điể − +1 − +1 − +1 ...+ − +12012 = 2012 0. 5 m 2012 2011 2010 1 x−2013
x−2013 x−2013 x−2013 0. 5 + + +...+ = 0 Câu 2012 2011 2010 1 2 2 1 1 1 1 điểm (x−2013)( + +
+...+ ) = 0 x = 2013 2012 2011 2010 1
b. a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 a; b; c − 1;1 0.5 0.25
a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0 điể
a3 + b3 + c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1 m 0.25
b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1
a. 1 Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 0.25
Câu điể A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 0.25
3 1.5 m A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1 0.25 điểm
Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 0.25 Trang 18
b. vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b
0.5 + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 điể y + z x + z x + y 0.25
m ta có: x + y + z = a + b + c; a = ;b = y z ;c = y ab bc ac y z x z x z x y x y + + = + +
a +b−c − +a b+c a −b+c 4z 4x 4
1 xy yz xz 1 1 xy yz xz ( + + +3x +3y +3 )z = 3(x + y + z)+ (2 + 2 + 0.25 2 ) 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y
= 3(x + y + z)+ ( + )+ ( + )+ ( + ) 4 2 z x 2 z y 2 y x
3(x + y + z)+ x + y + z = x + y + z
Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh Câu Hìn 4 3.5 h vẽ A E B điểm 0. 5 đ 0.5 F H M N C D G
a. Chứng minh: EFGH là hình thoi Chứng 0. 5 1.25 minh có 1 góc vuông. 0. 5
điể Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vuông 0.25 m
b. 1 BEC = CFD c g c( . . ) ECB = FDC mà CDF vuông tại C 0.25 điể 0.25
CDF + DFC = 900 DFC + ECB = 900 CMF vuông tại M m Hay CE ⊥ DF. 0.25
Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF GN//CM
mà G là trung điểm DC nên N là trung điểm DM. Trong
MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD cân tại A. 0.25 Trang 19 c. 0.75 CD CM 0.25 điể CMD FCD g g( . ) = m FD FC 0.25 2 2 CD S CMD = . S CMD CD FCD FD Do đó : = 2 S S FCD FD 1 1 Mà : S 0.25 FCD = CF CD. = CD . 2 4 CD2 1 2 Vậy : S CMD = 2 . CD . FD 4
Trong DCF theo Pitago ta có :
DF2 = CD2 +CF2 = CD2 + 1 BC2
= CD2 + 1 CD2 = 5.CD2 . 2 4 4 CD2 1 2 1 2 1 2 MCD = . Do đó : 5
SCD = CD = a 4 CD2 4 5 5
Bài tập tương tự câu 1b)
1. Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
2. Cho biểu thức (x2 −8)2 +36. Tìm số tự nhiên n để biểu thức trên là số nguyên tố 1. Ta có
n4 + =4 (n2)2 + 4n2 + 4
−4n2 =(n2 + 2)2 −(2n)2 =(n2 + 2n+ 2)(n2 −2n+ 2)
Vì n2 + 2n+ 2 = (n+1)2 +1 1 với mọi số tự nhiên n, do đó để n4 + 4 là số nguyên tố thì
n2 − + = =2n 2 1 n 1 2. Ta có
(x2 −8)2 +36 =(x2 )2 −16x2 +64+36 =(x2 )2 +20x2 +100−36x2 = (x2 +10) 2 −(6x)2
Lập luận tương tự như trên ĐỀ 6
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút 1 1 1 1
Câu 1. Giải phương trình: 2 + 2 + 2 = x + 9x + 20 x +11x +30 x +13x + 42 18
x y z a b c x2 y2 z2 Trang 20