50 bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường vật chuyển động Toán 12

50 bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường vật chuyển động Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

18 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

28 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.


/
 01)
2
Một vật chuyển động theo phương trình
( )
v t
trong khoảng thời gian từ t a= đến
t b=
(
a b<
) sẽ di chuyển được quãng đường
( )
dt
b
a
s v t=
∫
.

Câu 1: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc
( )
km/h
v
phụ thuộc thời gian
( )
h
t
có
đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh
( )
2;9
I
và trục đối xứng
song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song
với trục hoành. Tính quãng đường
s
mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm
tròn hàng phần trăm:
A.
( )
23,25 km
s
=
. B.
( )
21,58 km
s
=
. C.
( )
15,50 km
s
=
. D.
( )
13,83 km
s
=
.






!


! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
3


/
 01)
2
Lời giải
Chọn B
Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật:
Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ vận tốc của vật là
( )
2
v t at bt c
= + +
.
Căn cứ vào đồ thị đã cho có
( )
( )
0
0
0 4
2
2
9
v
b
t
a
v t
=
= − =
=
2
4
4
9
2 2
c
b a
b b
a b c
a a
=
⇔ = −
− + − + =
5
4
5
4
a
b
c
= −
⇔ =
=
.
Vậy
( )
2
5
5 4,0 1
4
v t t t t= − + + ≤ ≤
và
( ) ( )
31
1 ,1 3
4
v t v t= = ≤ ≤
.
Vậy
( ) ( )
1 3
0 1
s v t dt v t dt= +
∫ ∫
3
1
2
0
1
5 31
5 4
4 4
t t dt dt
= − + + +
∫ ∫
73 31 259
21,58
12 2 12
= + = ≈
Câu 2: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc
( )
km/h
v
phụ thuộc thời gian
( )
h
t
có
đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh
( )
2;9
I
và trục đối xứng song
song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường
s
mà vật di chuyển được trong 3
giờ đó
A.
( )
24, 25 km
s
=
. B.
( )
26, 75 km
s
=
. C.
( )
24, 75 km
s
=
. D.
( )
25, 25 km
s
=
.
Lời giải
Chọn C

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
4


/
 01)
2
Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật:
Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giờ vận tốc của vật là
( )
2
v t at bt c
= + +
.
Căn cứ vào đồ thị đã cho có
( )
( )
0
0
0 6
2
2
9
v
b
t
a
v t
=
= − =
=
2
6
4
9
2 2
c
b a
b b
a b c
a a
=
⇔ = −
− + − + =
3
4
3
6
a
b
c
= −
⇔ =
=
.
Vậy
( )
2
3
3 4, 0 3
4
v t t t t= − + + ≤ ≤
.
Vậy
( )
3
0
s v t dt=
∫
3
2
0
3
3 6
4
t t dt
= − + +
∫
99
24,75
4
= =
Câu 3: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc
( )
km/h
v
phụ thuộc thời gian
( )
h
t
có
đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh
( )
2;9
I
và trục đối xứng
song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song
với trục hoành. Tính quãng đường
s
mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.
A.
( )
26, 25 km
s
=
. B.
( )
28,5 km
s
=
. C.
( )
27 km
s
=
. D.
( )
24 km
s
=
.
Lời giải
Chọn C
Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật:
Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ vận tốc của vật là
( )
2
v t at bt c
= + +
.
Căn cứ vào đồ thị đã cho có

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
5


/
 01)
2
( )
( )
0
0
0 0
2
2
9
v
b
t
a
v t
=
= − =
=
2
0
4
9
2 2
c
b a
b b
a b c
a a
=
⇔ = −
− + − + =
9
4
9
0
a
b
c
= −
⇔ =
=
.
Vậy
( )
2
9
9 , 0 3
4
v t t t t= − + ≤ ≤
và
( ) ( )
27
1 ,3 4
4
v t v t= = ≤ ≤
.
Vậy
( ) ( )
3 4
0 3
s v t dt v t dt= +
∫ ∫
3 4
2
0 3
9 27
9
4 4
t t dt dt
= − + +
∫ ∫
81 27
27
4 4
= + =
.
Câu 4: Một người chạy trong
1
giờ với vận tốc
( )
/
v km h
phụ thuộc thời gian
( )
t h
có đồ thị
của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh
1
;8
2
I
và trục đối xứng song song
với trục tung như hình vẽ bên. Tính quãng đường
s
mà người đó chạy được trong
khoảng thời gian
45
phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
t
v
I
8
O
1
A.
( )
4s km=
. B.
( )
2,3s km=
. C.
( )
4,5s km=
. D.
( )
5,3s km=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: phương trình vận tốc của vật có dạng
( )
2
v t at bt c
= + +
.
Dựa vào đồ thị ta có:
( )
( )
2
0 0
0
32
1 1
32
2 2 2 2
0
8
8
2 2
o
o
v
c
a
b b
t b
a a
c
v t
b b
a b c
a a
=
=
= −
= − = ⇔ − = ⇔ =
=
=
− + − + =
( )
2
32 32v t t t
⇒ = − +
.
1
2

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold



/
 01)
2
Vậy quãng đường
s
mà người đó chạy được trong khoảng thời gian
45
phút hay
3
4
giờ là
( )
( )
( )
3 3
4 4
2
0 0
9
32 32 4,5
2
v t dt t t dt km= − + = =
∫ ∫
.
Câu 5: Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai xe
A
và
B
khởi hành cùng một lúc, bên cạnh
nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe
A
là một đường
Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe
B
là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi
đi được
3
giây, khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét?
A.
90m
. B.
60m
. C.
0m
. D.
270m
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình vận tốc của xe
A
có dạng
( )
2
v t at bt c
= + +
.
Dựa vào đồ thị ta có:
( )
( )
( )
0 0
0 20
3 60 9 3 60 80
16 4 0 0
4 0
v
c a
v a b c b
a b c c
v
=
= = −
= ⇔ + + = ⇔ =
+ + = =
=
( )
2
20 80v t t t
⇒ = − +
suy ra quãng đường xe
A
đi được trong
3
giây đầu là
( )
( )
( )
3 3
2
0 0
20 80 180
A
s v t dt t t dt m= = − + =
∫ ∫
.
Vận tốc xe
B
có phương trình là
( )
20v t t
=
, sau 3 giây, xe
B
đi được quãng đường là
( )
3
3
2
0
0
20 10 90
B
s tdt t m= = =
∫
.
Vậy sau khi đi được
3
giây, hai xe cách nhau
( )
180 90 90 m
− =
.
Câu 6: Tại một nới không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so
với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng,
khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật
( )
2
10v t t t
= −
, trong đó
t
( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,
( )
v t
được
(
)
/
v m s
60
(
)
t s
B
v
4
O
A
v
3

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
6


/
 01)
2
tính theo đơn vị mét/phút
( )
/m p
. Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc
v
của khí
cầu là?
A.
( )
5 /v m p=
. B.
( )
7 /v m p=
.
C.
( )
9 /v m p=
. D.
( )
3 /v m p=
.
Lời giải
Chọn C
Đk:
( )
2
10 0 0 10v t t t t
= − ≥ ⇔ ≤ ≤
.
Quãng đường khí cầu chuyển động đi xuống đến khi chạm đất là:
( )
( )
( )
( )
3
2 2
0 0
9
162 10 5
3 1 7
3
t t
t
t
S v t dt t t dt t
t l
=
= = = − = − ⇔
= ±
∫ ∫
.
Câu 7: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
cách nhau tối thiểu
1m
. Ô tô A đang chạy với vận tốc
16 /m s
bỗng gặp ô tô B đang dừng
đèn đỏ nên ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc
( ) ( )
16 4 /v t t m s
= −
, trong đó
t
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh. Hỏi
rằng để hai ô tô A và B dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải hãm phanh khi
cách ô tô B một khoảng tối thiểu là bao nhiêu mét?
A.
33m
. B.
32m
. C.
31m
. D.
34m
.
Lời giải
Chọn A
Ô tô A dùng hẳn sau thời gian
( ) ( )
16 4 0 4v t t t s
= − = ⇔ =
.
Quãng đường ô tô A chuyển động chậm dần đều là
( ) ( )
4
0
16 4 32S t dt m= − =
∫
.
Khoảng cách để dừng an toàn là:
( )
33 m
.
Câu 8: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc
( )
0
/v m s
thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc
( )
( )
2 2
0
/a t v t t m s= +
trong đó
t
là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm
vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ
lúc bắt đầu tăng tốc là
100m
. Tính vận tốc ban đầu
0
v
của vật.
A.
( )
20,722 /m s
. B.
( )
12,433 /m s
. C.
( )
21,722 /m s
. D.
( )
13,433 /m s
.
Lời giải
Chọn B

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
7


/
 01)
2
Phương trình vận tốc
( ) ( )
( )
2 3
2
0 0
2 3
t t
v t a t dt v t t dt v C= = + = + +
∫ ∫
.
Tại thời điểm
( )
0 0
0t v t v C v
= ⇒ = ⇒ =
.
Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
là
100m
suy ra
( ) ( )
3
2 3
0 0 0 0 0
0 0
27 81
100 3 12, 433 /
2 3 6 27
t
t t
S v t dt v v dt v v v m s
= = = + + = + + ⇒ =
∫ ∫
.
Câu 9: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ
( )
0t s
=
chuyển động thẳng với vận tốc
( ) ( )
5 /
t
v t t m s
= −
. Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
A.
( )
125
6
m
. B.
( )
25 m
. C.
( )
6 m
. D.
( )
125 m
.
Lời giải
Chọn A
Vật dừng lại khi
( )
5 0 5
t
v t t t
= − = ⇒ =
Quãng đường vật đi được
( ) ( ) ( )
5 5
0 0
125
5
6
S v t dt t t dt m= = − =
∫ ∫
Câu 10: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc
0
15v =
/ sm
thì tăng tốc với gia tốc
( )
2
4a t t t
= +
(
2
/m s
). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
3
giây kể
từ lúc bắt đầu tăng tốc.
A.
27m
. B.
72m
. C.
69,75m
. D.
24, 75m
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3 2
0 0
1
0 0 0 15 4 2 15
3
t t
v t v v t v v a t dt t t dt t t= + − = + = + + = + +
∫ ∫
.
Vì vậy
( )
3 3
3 2
0 0
1
2 15 69,75
3
s v t dt t t dt m
= = + + =
∫ ∫
.
Câu 11: Một ô tô đang chạy với vận tốc
18
( )
/m s
thì người lái hãm phang. Sau khi hãm
phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc
( )
18 36v t t
= −
( )
/m s
, trong đó
t
là
khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng
đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn.
A.
3, 5m
. B.
5, 5m
. C.
4,5m
. D.
3, 6m
.
Lời giải
Chọn C

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
8


/
 01)
2
Ô tô dừng lại
( )
0 18 36 0 0,5v t t t
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
.
Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đế lúc dừng hẳn
là
( ) ( )
0,5 0,5
0 0
18 36 4,5s v t dt t dt m= = − =
∫ ∫
.
Câu 12: Một chất điểm
A
xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều;
8
giây
sau nó đạt vận tốc
6 /m s
. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm
B
cũng xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn
12
giây so với
A
và chuyển động
nhanh dần đều. Biết rằng
B
đuổi kịp
A
sau
8
giây (kể từ lúc
B
xuất phát). Tìm vận tốc
của
B
tại thời điểm đuổi kịp
A
.
A.
24 /m s
. B.
12 /m s
. C.
48 /m s
D.
36 /m s
.
Lời giải
Chọn A
Gia tốc của
A
trong 8 giây đầu là
2
6 0 3
/
8 4
a m s
−
= =
, quãng đường mà
A
đi được kể từ
lúc xuất phát đến lúc gặp
B
(trong khoảng thời gian
8 4 8 20
+ + =
giây) là
( )
8 8
0 0
3
6.12 72 96
4
s v t dt tdt m= + = + =
∫ ∫
.
Vận tốc của
B
là
( )
v t mt
=
, theo giả thiết
8
0
96 3 3.8 24 /mtdt m v m s= ⇔ = ⇒ = =
∫
.
Câu 13: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng
nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản
người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là
( )
2
4
10
t
s t t= − +
với
t
(giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và
( )
s t
(
km
) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào
dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là
2
/km h
. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá
hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng.
A.
8km
. B.
10km
. C.
20km
D.
30km
.
Lời giải
Chọn B
Vận tốc của con cá là
( ) ( )
4
5
t
v t s t
′
= = − +
.
Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng là
( )
2 4 2 2
5 5
t t
v t
− = − + − = − +
.
Quãng đường con cá bới được trong khoảng thời gian
t
kể từ lúc bắt đầu là

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
9


/
 01)
2
( )
2
0
2 2
5 10
t
t t
s t dt t C
= − + = − + +
∫
, với
( )
0 0 0s C
= ⇒ =
và
( ) ( )
2
2
1
2 10 10 10
10 10
t
s t t t= − + = − − + ≤
Vậy khoảng cách xa nhất là
10km
.
Câu 14: Một vật từ trạng thái nghỉ
( )
=
0t s chuyển đông thẳng với vân tốc
( ) ( )( )
6 /v t t t m s
= −
. Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
A.
20m
. B.
30m
. C.
36m
. D.
26m
.
Lời giải
Chọn C
Vật dừng lại khi
( )
0
0
6
t
v t
t
=
= ⇔
=
.
Quãng đường vật đi được là:
( ) ( ) ( )
6 6
0 0
6 36S v t dt t t dt m= = − =
∫ ∫
.
Câu 15: Một vật chuyển động với vận tốc
( ) ( )
1 2sin 2 /v t t m s
= −
. Gọi
b
S a
c
π
= +
(
, ,a b c ∈ ℤ
,
b
c
tối giản) là quảng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm
( )
0t s
=
đến thời điểm
3
4
t
π
=
. Tính
2 3 2P a b c
= − +
.
A.
5P
= −
. B.
5P
=
. C.
3P
=
. D.
3P
= −
.
Lời giải
Chọn D
Quảng đường vật đi được là
( ) ( ) ( )
3 3
4 4
3
4
0
0 0
3
1 2sin 2 os2 1
4
S v t dt t dt t c t
π π
π
π
= = − = + = − +
∫ ∫
Suy ra
1, 3, 4a b c= − = =
. Suy ra
3P
= −
.
Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc
( )
10 m/s
thì tăng tốc với gia tốc
( )
( )
2 2
3 m/s .a t t t= +
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
10
giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
A.
400
m
3
. B.
430
m
3
. C.
4300
m
3
. D.
4000
m
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2 2 3
3 1
3 d
2 3
t t t t t C+ = + +
∫
Do
( )
v t
là một nguyên hàm của hàm số
( )
a t
thỏa mãn
( )
0 10 10v C
= ⇔ =

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.


/
 01)
2
Suy ra
( )
2 3
3 1
10
2 3
v t t t= + +
Do đó quãng đường vật đi được trong
10
giây kể từ lúc tăng tốc là:
10 10
2 3 3 4
0
0
3 1 1 1 4300
10 d 10
2 3 2 12 3
S t t t t t t
= + + = + + =
∫
m.
Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
( ) ( )
160 10 m/s .v t t
= −
Quãng đường
vật đi được từ lúc
0t
=
đến thời điểm mà vật dừng lại là
A.
160m
. B.
100m
. C.
1280m
. D.
144m
.
Lời giải
Chọn C
Vật dừng lại khi
( )
0 160 10 0 16.v t t t
= ⇔ − = ⇔ =
Quãng đường vật đi được là:
( )
( )
16
16
2
0
0
160 10 d 160 5 1280S t t t t= − = − =
∫
m.
Câu 18: Một vật bắt đầu chuyển động
( ) ( )
3 2
2 15 24 20 m/s .v t t t t
= − + +
Hỏi trong
5
giây đầu
tiên, quãng đường vật đi được cho đến khi đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
A.
11m
. B.
175
m
2
. C.
80m
. D.
55
m
2
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
( )
3 2
2 15 24 20f t t t t
= − + +
trên đoạn
[ ]
0;5
( ) ( )
2
1
6 30 24; 0
4
t
f t t t f t
t
=
′ ′
= − + = ⇔
=
( ) ( ) ( ) ( )
0 20; 1 31; 4 4; 5 15f f f f
= = = =
Do đó
[ ]
( ) ( )
0;5
max 1 31f t f= =
Quãng đường đi được từ lúc vật tăng tốc đến khi đạt vận tốc lớn nhất là:
( )
1
1
3 2 4 3 2
00
1 55
2 15 24 20 d 5 12 20
2 2
S t t t t t t t t
= − + + = − + + =
∫
m.
Câu 19: Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là
( ) ( )
3 2
9 24 16 m/s .v t t t t
= − + −
Hỏi
từ lúc
0t
=
đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu?

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
..


/
 01)
2
A.
12, 75 m
. B.
13m
. C.
1m
. D.
0,75 m
.
Lời giải
Chọn A
Gia tốc của chuyển động có phương trình là:
( )
( )
2 2
3 18 24 m/sa t t t= − +
Gia tốc nhỏ nhất tại
3.t
=
Quãng đường vật đi được là
( ) ( )
3 1 3
3 2 3 2 3 2
0 0 1
51
9 24 16 d 9 24 16 d 9 24 16 d
4
t t t t t t t t t t t t− + − = − + − + − + − =
∫ ∫ ∫
(Do
( ) ( ) ( )
0 1; 0, 0;1v t t v t t
= ⇔ = < ∀ ∈
).
Câu 20: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là
( )
2
2
.
1
t
v t
t
=
+
Hỏi từ lúc
bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao
nhiêu?
A.
ln 2 m
. B.
log 2 m
. C.
log 4 m
. D.
ln 4 m
.
Lời giải
Chọn D
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 3
2 2
0
4 3
2 2
; ; 0 3
1 1
3
t
t t
t
a t a t a t t
t t
t
=
−
−
′ ′
= = = ⇔ =
+ +
= −
Suy ra
( )
( )
( )
0;
1
min 3
4
a t a
+∞
= = −
Quãng đường vật đi được là:
( )
3
3
2
2
0
0
2
d ln 1 ln 4
1
t
S t t
t
= = + =
+
∫
m.
Câu 21: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là
( )
2
2
.
1
t
v t
t
=
+
Hỏi từ lúc
bắt đầu chuyển động đến khi vật có tốc độ lớn nhất đã đi được quãng đường dài bao
nhiêu?
A.
ln 2 m
. B.
log 2 m
. C.
1m
. D.
ln 4 m
.
Lời giải
Chọn A
( )
2
2
.
1
t
v t
t
=
+
TXĐ
[
)
0; .D
= +∞

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.3


/
 01)
2
( )
( )
2
2
2
2 2
1
t
v t
t
−
′
=
+
( )
0 1v t t
′
= ⇔ =
BBT
Dựa vào BBT thì vận tốc lớn nhất tại
1.t
=
( )
( ) ( )
1 1 1
1
2 2
2 2
0
0 0 0
2 1
1 ln 1 ln 2 ( ).
1 1
t
s v t dt dt d t t m
t t
= = = + = + =
+ +
∫ ∫ ∫
Câu 22: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc
( ) ( )
2
10 / ,v t t t m s
= +
với
t
là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động.
Biết khi máy bay đạt vận tốc
( )
200 /m s
thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay
đã di chuyển trên đường băng là:
A.
2500
3
m
. B.
2000m
. C.
500m
. D.
4000
3
m
.
Lời giải
Chọn A
( )
2 2
200 10 200 10 200 0 10.v t t t t t t
= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ =
Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:
( )
( )
( )
10
10 10
3
2 2
0 0
0
2500
10 5 .
3 3
t
s v t dt t t dt t m
= = + = + =
∫ ∫
Câu 23: Bạn Minh ngồi trên một máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của
máy bay là
( ) ( )
2
3 5 / .v t t m s
= +
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ thứ 5 đến
giây thứ 10 là
A.
900m
. B.
936m
C.
1134m
. D.
966m
.
Lời giải
Chọn D
Nhận xét: Giây thứ nhất bắt đầu từ
0t
=
nên giây thứ 5 bắt đầu khi
4t
=
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ
4t
=
đến giây thứ
10t
=
là
( )
( ) ( )
( )
10 10
10
2 3
4
4 4
3 5 5 966 .s v t dt t dt t t m= = + = + =
∫ ∫
Câu 24: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công
thức
( ) ( )
3 2 / .v t t m s
= +
Tại thời điểm
2st
=
thì vật đã đi được quãng đường là
10m
. Hỏi
0

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.4


/
 01)
2
tại thời điểm
30st
=
thì vật đã đi quãng đường bao nhiêu
m
từ lúc bắt đầu chuyển
động?
A.
1140m
. B.
1410m
C.
300m
. D.
240m
.
Lời giải
Chọn B
Quãng đường vật đi được từ giây thứ thứ
2
đến giây thứ
30
là
( ) ( ) ( )
30
30 30
2
2 2
2
3
3 2 2 1400 .
2
s v t dt t dt t t m
= = + = + =
∫ ∫
Mặt khác
( ) ( ) ( )
30
2
30 2 .
s v t dt s s= = −
∫
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
30
2
30 2 1400 10 1410
s v t dt s m= + = + =
∫
Câu 25: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc đầu là
( )
6 /m s
và có gia tốc được cho bởi
công thức
( ) ( )
( )
2
3
' / .
1
a t v t m s
t
= =
+
Vận tốc của vật sau
8
giây là
( ) ( )
8 ln 3 ,v a b a b
= + ∈ℤ
, tính
P a b
= −
.
A.
1
P =
. B.
1
P = −
C.
0P
=
. D.
2
P = −
.
Lời giải
Chọn C
Độ thay đổi vận tốc thời điểm
0st
=
đến thời điểm
8st
=
là
( ) ( )
8 8
8
0
0 0
3
3ln 1 3ln 9 6 ln 3 .
1
v a t dt dt t m
t
∆ = = = + = =
+
∫ ∫
Mặt khác
( ) ( ) ( ) ( )
8 8
0 0
3
8 0 / .
1
v a t dt dt v v m s
t
∆ = = = −
+
∫ ∫
Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 0 6ln 3 8 6ln 3 0 6ln 3 6 /v v v v m s
− = ⇔ = + = +
Suy ra
6a b
= =
, do đó
0P
=
Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc đấu là
( )
0v
( )
/m s
và có gia tốc được cho bởi
công thức
( ) ( )
( )
2
2
/
1
a t v t m s
t
′
= =
+
. Vận tốc của vật sau
15
giây là
( ) ( )
15 8ln 2 log100 /v m s
= −
. Tính vận tốc ban đầu của vật.
A.
9 /m s
. B.
12 /m s
. C.
10 /m s
. D.
11 /m s
.
Lời giải
Chọn C
Độ thay đổi vận tốc của vật từ
0t s
=
đến
15t s
=
là
15
15
0
0
2
2ln 1 8ln 2
1
v dt t
t
∆ = = + =
+
∫
.

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.5


/
 01)
2
Suy ra
( ) ( )
15 0 8ln 2v v
− =
, mà
( )
15 8ln 2v
=
nên
( )
0 log100 10v
= =
.
Câu 27: Con cá bơi có phương trình quãng đường
( ) ( )
2
1
4
10
s t t t km= − +
,
t
tính bằng giờ.
Biết con cá bơi xuôi dòng nước với tốc độ dòng chảy là
2 /km h
. Tính khoảng cách xa
nhất con cá bơi được?
A.
10km
. B.
40km
. C.
60km
. D.
90km
.
Lời giải
Chọn D
Vận tốc con cá là
( )
1
4
5
v t t= − +
. Do cá bơi xuôi dòng nên vận tốc thật là
( )
1
6
5
v t t= − +
.
Quãng đường cá bơi được là
( )
2
2
0
1 1 1
6 6 30 90 90
5 10 10
t
t dt t t t km
− + = − + = − − + ≤
∫
.
Câu 28: Một nhóm sinh viên được thực hành nghiên cứu sự chuyển động của các hạt. Nhóm
đã phát hiện hạt prô-ton di chuyển trong điện trường với gia rốc
( )
( )
2
2
20
/
1 2
a cm s
t
= −
+
. Nhóm sinh viên đã tìm ra hàm vận tốc của hạt đó, biết khi
0t
=
thì vận tốc là
30 /v cm s=
. Biểu thức đúng là?
A.
( )
10
25 /
1 2
v t cm s
t
= +
+
. B.
( )
10
20 /
1 2
v t cm s
t
= +
+
.
C.
( )
10
10 /
1 2
v t cm s
t
= +
+
. D.
( )
10
30 /
1 2
v t cm s
t
= +
+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( )
2
20 10
1 2
1 2
v t adt dt C
t
t
−
= = = +
+
+
∫ ∫
.
Có
( ) ( )
10
0 30 20 20
1 2
v C v t
t
= ⇒ = ⇒ = +
+
.
Câu 29: Một tập đoàn định đầu tư vào hai dự án. Giả sử, dự án đầu tư đầu có tốc độ sinh
lợi nhuận là
( )
2
1
50P t t
= +
(đồng/năm), dự án thứ hai có tốc độ sinh lợi nhuận là
( )
2
200 5P t t
= +
(đồng/năm). Sau
t
năm thì tốc độ sinh lợi của dự án hai bằng một nửa
dự án một. Tính lợi nhuận thực tế trong khoảng thời gian trên.
A.
6674,6
đồng. B.
6576, 4
đồng. C.
5676, 4
đồng. D.
6679, 4
đồng.
Lời giải

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.


/
 01)
2
Chọn A
Tốc độ sinh lợi của dự án hai bằng một nửa dự án một khi
2
1 2
2 50 400 10 5 5 15P P t t t
= ⇔ + = + ⇔ = +
.
Lợi nhuận thực tế trong khoảng thời gian đó là
( ) ( )
( )
5 5 15 5 5 15
2
2 1
0 0
350 10 6674,6
L P t P t dt t t dt
+ +
= − = + − ≈
∫ ∫
Câu 30: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với gia tốc
( )
2
1
7 /a m s=
. Đi được
5s
, tài xế phát hiện chướng ngại vật phía trước và phanh gấp, sáu đó ô tô chuyển động
chậm dần đều với gia tốc
( )
2
2
70 /a m s= −
. Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc
bắt đầu chuyển động cho đến khi dừng hẳn.
A.
87,5m
. B.
96, 25m
. C.
94m
. D.
95,7m
.
Lời giải
Chọn B
Phương trình vận tốc của ô tô là
( )
1 1
7 7v t a dt dt t C= = = +
∫ ∫
.
Do ô tô bắt đầu chuyển động nên
( ) ( )
1 1
0 0 7v v t t
= ⇒ =
.
Sau
5s
vận tốc là
( ) ( )
1
5 35 /v m s
=
.
Vận tốc của ô tô lúc hãm phanh là
( )
2 2
70v t a dt t C= = − +
∫
.
Có
( ) ( )
2 2
0 35 70 35v v t t
= ⇒ = − +
.
Khi ô tô dừng hẳn thì
( )
2
1
0
2
v t t= ⇔ =
.
Quãng đường đi được là
( ) ( )
5 0,5
0 0
7 70 35 96, 25S tdt t m= + − + =
∫ ∫
.
Câu 31: Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn sau 20 giây kể từ khi bắt đầu
hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được
120m
. Cho biết công thức vận tốc của
chuyển động biến đổi đều là
( ) ( )
0
m/sv t v at
= +
, trong đó
( )
2
m/sa
là gia tốc và
( )
m/sv
là
vận tốc tại thời điểm
( )
st
. Hãy tính vận tốc
0
v
lúc bắt đầu hãm phanh.
A.
12m/s
. B.
6m/s
. C.
30m/s
. D.
45m/s
.
Lời giải
Chọn A
Xe dừng hẳn sau
20
giây, suy ra
( )
0 0
20 0 20 0 20v v a v a
= ⇒ + = ⇒ = −
( )
20v t a at
⇒ = − +

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.6


/
 01)
2
Quãng đường xe chạy được từ lúc hãm phanh là
( ) ( )
20 20
0 0
d 20 d 200
S v t t a at t a= = − + = −
∫ ∫
Theo giả thiết,
( )
2
3
120 200 120 m/s
5
S a a= ⇔ − = ⇔ = −
Với
0
3
12
5
a v= − ⇒ =
m/s
.
Câu 32: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật
( ) ( )
2
1 11
m/s
180 18
v t t t= +
, trong đó
t
(giây) là khoảng thời gian tính
từ lúc
A
bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cũng xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
5
giây so với
A
và có gia
tốc bằng
( )
2
m/sa
(
a
là hằng số). Sau khi
B
xuất phát được
10
giây thì đuổi kịp
A
. Vận
tốc của
B
tại thời điểm đuổi kip
A
bằng
A.
22m/s
. B.
15m/s
. C.
10m/s
. D.
7m/s
.
Lời giải
Chọn B
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm
A
bắt đầu chuyển động cho đến khi bị
chất điểm
B
bắt kịp thì
A
đi được
15
giây,
B
đi được
10
giây.
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm
B
có dạng
( )
d
B
v t a t at C= = +
∫
, lại có
( )
0 0
B
v
=
nên
( )
B
v t at
=
.
+) Từ lúc chất điểm
A
bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm
B
bắt kịp thì
quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó
15 10
2
0 0
1 11
d d
180 18
t t t at t
+ =
∫ ∫
75 50a
⇔ =
3
2
a⇔ =
.
Từ đó, vận tốc của
B
tại thời điểm đuổi kịp
A
bằng
( )
3
10 .10
2
B
v =
( )
15 m s
=
.
Câu 33: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật
( ) ( )
2
1 59
m/s
150 75
v t t t= +
, trong đó
t
(giây) là khoảng thời gian tính
từ lúc
A
bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cũng xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
3
giây so với
A
và có gia
tốc bằng
( )
2
m/sa
(
a
là hằng số). Sau khi
B
xuất phát được
12
giây thì đuổi kịp
A
. Vận
tốc của
B
tại thời điểm đuổi kip
A
bằng
A.
20m/s
. B.
16m/s
. C.
13m/s
. D.
15m/s
.

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.7


/
 01)
2
Lời giải
Chọn B
Quãng đường chất điểm
A
đi từ đầu đến khi
B
đuổi kịp là
( )
15
2
0
1 59
d 96 m
150 75
S t t t
= + =
∫
.
Vận tốc của chất điểm
B
là
( )
d
B
v t a t at C= = +
∫
.
Tại thời điểm
3t
=
vật
B
bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên
( )
3 0 3
B
v C a
= ⇔ = −
.
Lại có quãng đường chất điểm
B
đi được đến khi gặp
A
là
( ) ( )
15
15
2
2
3
3
3 d 3 72 m
2
at
S at a t at a
= − = − =
∫
.
Vậy
4
72 96
3
a a= ⇔ =
( )
2
m/s
.
Tại thời điểm đuổi kịp
A
thì vận tốc của
B
là
( ) ( )
15 16 m/s
B
v
=
.
Câu 34: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật
( ) ( )
2
1 13
m/s
100 30
v t t t= +
, trong đó
t
(giây) là khoảng thời gian tính
từ lúc
A
bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cũng xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
10
giây so với
A
và có gia
tốc bằng
( )
2
m/sa
(
a
là hằng số). Sau khi
B
xuất phát được
15
giây thì đuổi kịp
A
. Vận
tốc của
B
tại thời điểm đuổi kip
A
bằng
A.
15m/s
. B.
9m/s
. C.
42m/s
. D.
25m/s
.
Lời giải
Chọn D
Khi
B
đuổi kịp
A
tức là
A
đã chuyển động được
25
giây kể từ thời điểm bắt đầu
xuất phát và
A
chuyển động được quãng đường bằng
25
2
0
1 13 375
(m)
100 30 2
S t t
= + =
∫
Vì
B
chuyển động với gia tốc bằng
( )
2
m/sa
nên vận tốc của B là
( )
v t at C
= +
Tại thời điểm bắt đầu xuất phát
10; 0 10t v c a= = ⇒ = −
Vận tốc chất điểm
B
tại thời điểm
t
là
( )
10 (m/s)v t at a
= −
.
Quãng đường chất điểm
B
đi được trong
( )
15 s
kể từ khi bắt đầu xuất phát là

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.8


/
 01)
2
( )
25
10
225
10 d
2
S at a t a= − =
∫
Vì sau khi chuyển động được
15
giây thì chất điểm
B
đuổi kịp chất điểm
A
, ta có:
( )
225 375 5
m
2 2 3
a
a= ⇒ =
( )
5 50
3 3
v t t⇒ = −
Vậy vận tốc của
B
khi đuổi kịp
A
ứng với
( )
5 50
25( ) 25 .25 25
3 3
t s v= ⇒ = − =
( )
m/s
Câu 35: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật
( ) ( )
2
1 58
m/s
120 45
v t t t= +
, trong đó
t
(giây) là khoảng thời gian tính
từ lúc
A
bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cũng xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
3
giây so với
A
và có gia
tốc bằng
( )
2
m/sa
(
a
là hằng số). Sau khi
B
xuất phát được
15
giây thì đuổi kịp
A
. Vận
tốc của
B
tại thời điểm đuổi kip
A
bằng
A.
25m/s
. B.
36m/s
. C.
30m/s
. D.
21m/s
.
Lời giải
Chọn C
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm
A
bắt đầu chuyển động cho đến khi bị
chất điểm
B
bắt kịp thì
A
đi được
18
giây,
B
đi được
15
giây.
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm
B
có dạng
( )
d
B
v t a t at C= = +
∫
, lại có
( )
0 0
B
v
=
nên
( )
B
v t at
=
.
+) Từ lúc chất điểm
A
bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm
B
bắt kịp thì
quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó
18 15
2
0 0
1 58
d d
120 45
t t t at t
+ =
∫ ∫
225
225
2
a⇔ =
2a
⇔ =
.
Từ đó, vận tốc của
B
tại thời điểm đuổi kịp
A
bằng
( ) ( )
15 2.15 30 m/s
B
v
= =
.
Câu 36: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không
đổi);
6
giây sau nó đạt đến vận tốc
( )
10 /m s
. Từ thời điểm đó chất điểm
A
chuyển động
thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cùng xuất phát từ
O
, chuyển động
thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
3
giây so với
A
và chuyển động thẳng
nhanh dần đều. Sau khi
B
xuất phát được
4
giây thì đuổi kịp
A
. Vận tốc của
B
tại thời
điểm đuổi kịp
A
bằng?

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
.9


/
 01)
2
A.
20m/s
. B.
10m/s
. C.
18m/s
. D.
25m/s
.
Lời giải
Chọn A
Xét chất điểm
A
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên
( )
2
1
10 5
/
6 3
a m s= =
Suy ra
1
5 5
dt=
3 3
v t C= +
∫
. Do
( ) ( )
1 1
5
0 0 /
3
v v t m s= ⇒ =
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều
( )
6
0
0
5
dt 30
3
s t m⇒ = =
∫
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc
( )
6 /m s
nên
( ) ( )
1
30 10s t t m
= +
Xét chất điểm
B
; gọi gia tốc là
( )
2
2
/a m s
suy ra
( )
2 2 2
dt=v t a a t C= +
∫
Do
( ) ( )
2 2 2
0 0 0v C v t a t
= ⇒ = ⇒ =
( )
2
2 2 2 2
1
dt tdt
2
s t v a a t C⇒ = = = +
∫ ∫
Theo đề bài
( ) ( )
2
2 2 2
1
0 0 0
2
s C s t a t= ⇒ = ⇒ =
.
Sau
4
giây từ lúc
B
xuất phát,
b
đuổi kịp
A
, lúc này
A
đã chuyển động thêm
1
giây từ
lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều
Suy ra
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 1 2 2 2
4 1 8 40 5 / 5 /s s a a m s v t t m s= ⇔ = ⇔ = ⇒ =
.
Vậy vận tốc của
B
tại thời điểm đuổi kịp
A
bằng
( ) ( )
2
4 20 /v m s
=
.
Câu 37: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không
đổi);
10
giây sau nó đạt đến vận tốc
( )
0
/v m s
. Từ thời điểm đó chất điểm
A
chuyển
động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cùng xuất phát từ
O
, chuyển động
thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
9
giây so với
A
và chuyển động thảng
nhanh dần đều với gia tốc
( )
2
2
2 /a m s=
. Sau khi
B
xuất phát được
6
giây thì đuổi kịp
A
. Tìm
0
v
A.
2m/s
. B.
3m/s
. C.
4m/s
. D.
10m/s
.
Lời giải
Chọn B

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
3


/
 01)
2
Xét chất điểm
A
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên
( )
2
0
1 0
0,1 /
10
v
a v m s= =
Suy ra
( )
1 0
0,1v t v t
=
.
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều
( )
10
0 0 0
0
0,1 dt 5
s v t v m⇒ = =
∫
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc
( )
0
/v m s
nên
( ) ( )( )
1 0 0 0
5 5s t v v t v t m
= + = +
Xét chất điểm
B
; suy ra
( )
2 2
dt=2v t a t C= +
∫
( )
2
2 2
dt 2tdt
s t v t C⇒ = = = +
∫ ∫
Theo đề bài
( ) ( )
2
2 2
0 0 0s C s t t
= ⇒ = ⇒ =
.
Sau
6
giây từ lúc
B
xuất phát,
B
đuổi kịp
A
, lúc này
A
đã chuyển động thêm
7
giây
từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều
Suy ra
( ) ( ) ( )
2 1 0 0
6 7 36 12 3 /s s v v m s
= ⇔ = ⇔ =
.
Câu 38: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không
đổi
( )
2
1
/a m s
);
4
giây sau nó đạt đến tốc độ
( )
8 /m s
. Từ thời điểm đó chất điểm
A
chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cùng xuất phát từ
O
,
chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
17
giây so với
A
và chuyển
động thẳng nhanh dần đều với gia tốc
( )
2
2
/a m s
. Sau khi
B
xuất phát được
10
giây thì
đuổi kịp
A
. Tìm
2 1
2 4
P a a= −
.
A.
2
P = −
. B.
0P
=
. C.
2
P =
. D.
4
P =
.
Lời giải
Chọn B
Xét chất điểm
A
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên
( )
2
1
8
2 /
4
a m s= =
Suy ra
( )
1
2 /v t m s
=
.
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều
( )
4
0
0
2 dt 16
s t m⇒ = =
∫
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc
( )
8 /m s
nên
( ) ( )
1
8 16s t t m
= +

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
3.


/
 01)
2
Xét chất điểm
B
; suy ra
( )
2 2
v t a t
=
( )
2
2 2 2 2
1
dt tdt
2
s t v a a t C⇒ = = = +
∫ ∫
Theo đề bài
( ) ( )
2
2 2 2
1
0 0 0
2
s C s t a t= ⇒ = ⇒ =
.
Sau
1
giây từ lúc
B
xuất phát,
B
đuổi kịp
A
, lúc này
A
đã chuyển động thêm
23
giây
từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều
Suy ra
( ) ( ) ( )
2 1 2 2
10 23 50 200 4 /s s a a m s
= ⇔ = ⇔ =
.
Vậy
2.4 4.2 0P
= − =
.
Câu 39: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không
đổi
( )
2
1
/a m s
);
6
giây sau nó đạt đến tốc độ
( )
12 /m s
và chưa gặp chất điểm
B
. Từ thời
điểm đó chất điểm
A
chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cùng
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm hơn
1
t
giây so với
A
và chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc
( )
2
4 /m s
. Sau khi
B
xuất phát được
2
t
giây thì đuổi kịp
A
. Hỏi kết luận nào sau đây đúng?
A.
1
1
t >
. B.
2
7,5
t <
. C.
1
1
t ≤
. D.
2
4,5
t >
.
Lời giải
Chọn D
Xét chất điểm
A
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên
( )
2
1
12
2 /
6
a m s= =
Suy ra
( )
1
2 /v t m s
=
.
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều
( )
6
0
0
2 dt 36
s t m⇒ = =
∫
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc
( )
12 /m s
nên
( ) ( )
1
12 36s t t m
= +
Xét chất điểm
B
;
2
4
a =
suy ra
( )
2
4v t t
=
.
( )
2
2 2
dt 4tdt 2
s t v t C⇒ = = = +
∫ ∫
Theo đề bài
( ) ( )
2
2 2
0 0 0 2s C s t t
= ⇒ = ⇒ =
.

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
33


/
 01)
2
Sau
2
t
giây từ lúc
B
xuất phát,
B
đuổi kịp
A
, lúc này
A
đã chuyển động thêm
( )
1 2
6t t
+ −
giây từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1
6 2 12 36 6 18 6 0 *s t s t t t t t t t t
= + − ⇔ = + − ⇔ − + − =
.
Chất điểm
B
đuổi kịp chất điểm
A
thì phương trình
( )
*
có nghiệm
2
0
t >
.
( )
1 1
1
3
9 18 6 6 9 0
2
0
3 0,
t t
t
S
t
′
∆ = − − = − ≥
≥
⇔ ⇔
>
> ∀ ∈
ℝ
1
3
2
t⇔ ≥
Do
1 2 1 2 1
3
6 0, 6
2
t t t t t+ − > ∀ ≥ ⇔ > −
( )
2 1
3
;
2
3 9
max
2 2
t g t g
+∞
⇔ > = =
Vậy
1 2
3 9
,
2 2
t t≥ >
.
Câu 40: Một chiếc máy bay chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian, giả sử độ thay
đổi vận tốc
( )
( )
3 2
10 2 /a t t t m s= +
và vận tốc ban đầu của nó là
( )
100 /m s
. Hỏi sau khi
cất cánh
10
giây thì máy bay đạt được vận tốc là bao nhiêu?
A.
25000m/s
. B.
25100m/s
. C.
25200m/s
. D.
25300m/s
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( ) ( )
10
0
10 0 25200
v v a t dt− = =
∫
Vậy
( ) ( )
10 25200 /v m s
=
.
Câu 41: Một người thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi
( )
h t
là thể tích nước bơm được
sau
t
giây. Cho
( )
2
' 3
h t at bt= +
và ban đầu trong bể nước không có nước. Sau
5
giây
thì thể tích nước trong bể là
3
150m
. Sau
10
giây thì thể tích nước trong bể là
3
1100m
.
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được
20
giây.
A.
3
8400m
. B.
3
2200m
. C.
3
600m
. D.
3
4200m
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
' 3
h t at bt= +
suy ra
( ) ( )
( )
2 3 2
' 3
2
b
h t h t dt at bt dt at t C= = + = + +
∫ ∫
.
Ban đầu bể không có nước nên
0C
=
( )
3 2
2
b
h t at t⇒ = +
.

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
34


/
 01)
2
Theo đề bài
( )
( )
5 150
10 1100
h
h
=
=
1
2
a
b
=
⇔
=
.
Vậy
( )
3
20 8400
h m=
.
Câu 42: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
( )
25 /
m s
với gia tốc không đổi
( )
2
10 /g m s= −
. Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao nhất?
A.
2, 2s
. B.
2, 5s
. C.
3, 0s
. D.
2,8s
.
Lời giải
Chọn B
Do viên đạn bay lên ngược hướng với lực hút Trái Đất nên:
( )
10v t gdt t C= − = − +
∫
.
Theo đề bài:
( )
0 25
v =
25C
⇔ =
( )
10 25
v t t⇒ = − +
.
Viên đạn đạt tới độ cao nhất thì nó dừng, tức
0v
=
2,5t s⇔ =
.
Câu 43: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
( )
25 /
m s
và gia tốc là
g−
. Khi viên đạn lên đến vị trí cao nhất, nó rơi thẳng đứng xuống
đất với gia tốc là
g
. Tính thời gian viên đạn đã bay từ lúc được bắn lên đến khi rơi
xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường
( )
2
10 /g m s=
).
A.
2, 5s
. B.
3,0s
. C.
4, 0s
. D.
5, 0s
.
Lời giải
Chọn D
Khi viên đạn bay lên:
( )
1
10v t gdt t C= − = − +
∫
.
Theo đề bài:
( )
1
0 25 25
v C= ⇒ =
( )
1
10 25
v t t⇒ = − +
.
Viên đạn đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức:
( )
0 2,5
v t s= ⇔ =
.
Độ cao cao nhất viên đạn bay tới là:
( ) ( )
2,5
0
0
125
4
h v t dt m= =
∫
.
Khi viên đạn rơi xuống:
( )
2
10v t gdt t C= = +
∫
.
Lúc viên đạn bắt đầu rơi xuống:
( ) ( )
2 2
0 0 0 10
v C v t t= ⇒ = ⇒ =
.
Quãng đường viên đạn rơi là:
( ) ( )
2
2
5h t v t dt t C= = +
∫
.
Ta chọn
( ) ( )
2
0 0 0 5
h C h t t= ⇒ = ⇒ =
.
Thời gian viên đạn rơi:
( )
2
125
5 2,5
4
t t s= ⇒ =
.
Vậy tổng thời gian viên đạn bay là
( )
5,0
s
.
Câu 44: Một người ném một viên đá từ mặt đất phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
( )
10 /
m s
, và gia tốc là
g−
. Khi viên đá đi lên đến vị trí cao nhất nó rơi thẳng đứng

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
35


/
 01)
2
xuống đất với gia tốc là
g
. Tính thời gian viên đá đã bay từ lúc ném lên đến khi rơi
xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường là
( )
2
10 /g m s=
).
A.
1s
. B.
2, 0s
. C.
1, 5s
. D.
2,5s
.
Lời giải
Chọn B
Khi viên đá bay lên:
( )
1
10v t gdt t C= − = − +
∫
.
Theo đề bài:
( ) ( )
1 1
0 10 10 10 10
v C v t t= ⇒ = ⇒ = − +
.
Viên đá đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức:
( )
0 1
v t s= ⇔ =
.
Độ cao cao nhất viên đá bay tới là:
( ) ( )
1
0
0
5h v t dt m= =
∫
.
Khi viên đá rơi xuống:
( )
2
10v t gdt t C= = +
∫
.
Lúc viên đá bắt đầu rơi xuống:
( ) ( )
2 2
0 0 10
v C v t t⇔ = ⇒ =
.
Quãng đường viên đá rơi là:
( ) ( )
2
2
5h t v t dt t C= = +
∫
.
Ta chọn
( ) ( )
2
0 0 0 5
h C h t t= ⇒ = ⇒ =
.
Thời gian viên đá rơi:
( )
2
5 5 1
t t s= ⇒ =
.
Vậy tổng thời gian viên đá bay là
( )
2
s
.
Câu 45: Một người ném một viên bi lên theo hướng thẳng đứng từ độ cao
1,8m
so với mặt
đất, vận tốc ban đầu là
( )
12 /
m s
và gia tốc là
g−
. Khi viên bi lên đến vị trí cao nhất nó
rơi thẳng đứng xuống đất với gia tốc là
g
. Tính thời gian viên bi đã bay từ lúc được
ném lên đến khi rơi xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường
là
( )
2
10 /g m s=
).
A.
2, 64s
. B.
2, 4s
. C.
1,8s
. D.
3s
.
Lời giải
Chọn D
Khi viên bi bay lên:
( )
1
10v t gdt t C= − = − +
∫
.
Theo đề bài:
( ) ( )
1 1
0 12 12 10 12
v C v t t= ⇒ = ⇒ = − +
.
Viên bi đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức:
( )
0 1, 2
v t s= ⇔ =
.
Độ cao cao nhất viên bi bay tới là:
( ) ( )
1,2
0
0
7, 2h v t dt m= =
∫
.
Khi viên bi rơi xuống:
( )
2
10v t gdt t C= = +
∫
.
Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống:
( ) ( )
2 2
0 0 10
v C v t t⇔ = ⇒ =
.
Quãng đường viên bi rơi là:
( ) ( )
2
2
5h t v t dt t C= = +
∫
.

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
3


/
 01)
2
Ta chọn
( ) ( )
2
0 0 0 5
h C h t t= ⇒ = ⇒ =
.
Thời gian viên bi rơi:
( )
2
5 7, 2 1,8 9 1,8
t t s= + = ⇒ =
.
Vậy tổng thời gian viên bi bay là
( )
3
s
.
Câu 46: Một người ném một viên bi lên theo phương thẳng đứng từ độ cao 1,3m so với mặt
đất, vận tốc ban đầu là 8 (m/s) và gia tốc là
g−
. Khi viên bi lên đến vị trí cao nhất, nó rơi
thẳng đứng xuống đất với gia tốc là
g
. Tính tốc độ của viên bi khi rơi xuống chạm đất.
(Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường
( )
10 /g m s
=
.
A. 9 m/s. B. 14,4 m/s. C. 16 m/s. D. 17 m/s.
Lời giải
Chọn A
Khi viên bi bay lên:
( ) ( ) ( )
1
dt dt 10v t a t g t C= = − = − +
∫ ∫
.
Theo đề bài,
( ) ( )
1 1
0 8 8 10 8v C v t t
= ⇒ = ⇒ = − +
.
Viên bi đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức
( )
0 0,8v t s
= ⇔ =
.
Độ cao cao nhất viên bi bay tới là
( ) ( )
0,8
0
0
dt 3, 2h v t m= =
∫
.
Khi viên bi rơi xuống:
( )
2
dt 10v t g t C= = +
∫
.
Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống:
( ) ( )
2 2
0 0 0 10v C v t t
= ⇔ = ⇒ =
.
Quãng đường viên bi đi được là:
( ) ( )
2
2
dt 5h t v t t C= = +
∫
.
Ta chọn
( ) ( )
2
0 0 0 5h C h t t
= ⇒ = ⇒ =
.
Thời gian viên bi rơi:
( )
2
5 3, 2 1,3 4,5 0,9t t s
= + = ⇒ =
.
Vận tốc khi viên bi chạm đất
( ) ( )
2
0,9 9 /v m s
=
Câu 47: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
cách nhau tối thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy với tốc độ
0
v
m/s bỗng gặp ô tô B đang
dừng chờ đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với gia tốc
( )
2
4 /a m s= −
. Để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm
phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất 33 m. Tìm
0
v
.
A. 17 m/s. B. 16,5 m/s. C. 16,25 m/s. D. 16 m/s.
Lời giải
Chọn D

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
36


/
 01)
2
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh:
( ) ( )
dt 4v t a t t C= = − +
∫
.
Theo đề bài
( ) ( )
0 0 0
0 4v v C v v t t v
= ⇒ = ⇒ = − +
Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian
( )
0
0
0,25
4
v
t v s= =
.
Quãng đường khi ô tô A bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng cách ô tô B 1m là 32m.
Suy ra
( ) ( )
( )
0 0
0
0,25 0,25
0,25
2
0 0
0
0 0
32 dt 4 dt 2 32
v v
v
S v t t v t v t= ⇔ = − + = − + =
∫ ∫
2 2 2
0 0 0 0
0,125 0, 25 32 0,125 32 16v v v v⇔ − + = ⇔ = ⇔ =
( )
2
/m s
.
Câu 48: Một ô tô A đang đi với tốc độ 20 m/s thì có ô tô B phía trước cách ô tô A 50m đang
dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm dần đều với
gia tốc
( )
2
/a m s
. Tìm điều kiện của a để ô tô A không chạm vào ô tô B?
A.
4a
>
. B.
1a
>
. C.
4a
< −
. D.
1a
< −
.
Lời giải
Chọn C
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh:
( )
dtv t a at C= = +
∫
.
Theo đề bài:
( ) ( )
0 20 20v v t at
= ⇒ = +
.
Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian là
( )
20
t s
a
−
=
Quãng đường ô tô A đi từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại:
( )
20
2
0
1 20 20 200 400 200
20 dt 20.
2
a
S at a
a a a a a
−
−
= + = − + = − = −
∫
Để ô tô A không chạm vào ô tô B thì
200
50 50 4S a
a
< ⇔ − < ⇔ < −
.
Câu 49: Một ô tô A đang đi với tốc độ v (m/s) thì có ô tô B phía trước cách ô tô A 50m đang
dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm dần đều với
gia tốc
( )
2
4 /m s−
. Tìm điều kiện của v0 để ô tô A không chạm vào ô tô B?
A.
0
20
v <
. B.
0
30
v >
. C.
0
25
v <
. D.
0
15
v >
.
Lời giải
Chọn A

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
37


/
 01)
2
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh:
( )
dt 4v t a t C= = − +
∫
Theo đề bài:
( ) ( )
0 0 0
0 4v v C v v t t v
= ⇒ = ⇒ = − +
.
Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian là
( )
0
0,25t v s
=
Quãng đường ô tô A đi từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại:
( )
( )
0
0
0,25
0,25
2 2
0 0 0
0
0
4 dt 2 0,125
v
v
S t v t v t v= − + = − + =
∫
.
Để ô tô A không chạm vào ô tô B thì
2
0 0
50 0,125 50 20S v v< ⇔ < ⇒ <
.
Câu 50: Một ô tô A đang chạy thẳng với tốc độ
( )
/
o
v m s
thì có ô tô B phía trước cách ô tô A
30m đang dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm
dần đều với gia tốc
( )
2
3 /m s−
. Nhưng khi ô tô A còn cách ô tô B 6m thì đèn xanh nên ô
tô B bắt đầu chạy thẳng nhanh dần đều với gia tốc
( )
2
1,5 /m s
và cùng hướng với ô tô
A
. Giả sử ô tô A đi với vận tốc nhỏ nhất để đụng ô tô B, tính quãng đường ô tô A đã đi
được từ lúc hãm phanh đến khi đụng ô tô B?
A.
3 6
m
. B.
2m
C.
8m
D.
2 6
3
m
.
Lời giải
Chọn C
Phương trình vận tốc của ô tô B là
( )
2
3
dt
2
v t a t C= = +
∫
Phương trình chuyển động của ô tô B là
( ) ( )
2
2
3
dt
4
s t v t t C= = +
∫
.
Đặt
( )
2
0 0s
=
. Khi đó
( )
2
2
3
4
s t t=
.
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh:
( )
1
dt 3v t a t C= = − +
∫
.
Quãng đường ô tô B đi được từ khi hãm phanh là:
( )
0
2
1 0 0 0
0
3
dt
2
t
S v t t v t= = − +
∫
Gọi vận tốc của ô tô A lúc đèn xanh là
0 0
3
A A
v v t v⇒ = − +
Phương trình chuyển động của ô tô A đi từ lúc đèn xanh
( ) ( )
2
1
3
3 dt
2
A A
s t t v t v t C= − + = − + +
∫
Hai ô tô đụng nhau khi

! " #$%&'()* $+,&-
https://www.facebook.com/vietgold
38


/
 01)
2
2 2 2
1 2
3 3 9 6 9
6 6 3 6
2 4 4 4
A A A
s s t v t t v t t v t
t
= ⇔ − + − = ⇔ = + ⇔ = + ≥
(Theo bất đẳng thức AM – GM)
Dấu “=” xảy ra khi
6 9 2 6
4 3
t
t
= ⇒ =
.
Có vận tốc tối thiểu từ lúc đèn chuyển xanh để ô tô A đụng ô tô B là
( )
3 6 /
A
v m s=
.
( )
2
1
2 6 3 2 6 2 6
3 6 8
3 2 3 3
s m
= − + =
.
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
BÀI TOÁN NG D NG TÍCH L uy e PHÂN TÍNH QU NG NG n thi t V T CHUY N !NG rac ngh iem.v A. LÝ THUY T n
Một vật chuyển động theo phương trình v(t) trong khoảng thời gian từ t = a đến b
t = b ( a < b ) sẽ di chuyển được quãng đường s = v ∫ (t)dt . a B. BÀI T P Câu 1:
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có
đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng N
song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song gu
với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm y/ tròn hàng phần trăm: n Hoàng Vi2t
A. s = 23, 25(km) .
B. s = 21,58(km) .
C. s = 15,50(km) .
D. s = 13,83(km) .
https://www.facebook.com/vietgold Trang 1
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG Lời giải Chọn B
Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật: L
Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ vận tốc của vật là ( ) 2
v t = at + bt + c uye . nth
Căn cứ vào đồ thị đã cho có itr  a  5 c v (0) = 4  a = − n  c = 4   4 g  b   h t  = − = 2 ⇔ b  = −4a ⇔ b  = 5 . 0 ie 2a    2 m =  c 4 v (t = 9  b   b    0 ) .  a − + b − + c = 9 v       n   2a   2a  Vậy v (t) 5 2
= − t + 5t + 4, 0 ≤ t ≤ 1 và v (t) = v( ) 31 1 = ,1 ≤ t ≤ 3 . 4 4 1 3 3 Vậy 1  5  31 s = v
∫ (t)dt + v ∫ (t)dt 2 =
− t + 5t + 4 dt + dt ∫   ∫ 73 31 259 = + = ≈ 21,58 0  4  4 12 2 12 0 1 1 Câu 2:
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có
đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song
song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó N guy/n Hoàng Vi2t
A. s = 24, 25(km) .
B. s = 26, 75(km) .
C. s = 24, 75(km) .
D. s = 25, 25(km) . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/vietgold Trang 2
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật:
Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giờ vận tốc của vật là ( ) 2
v t = at + bt + c . Lu
Căn cứ vào đồ thị đã cho có ye  n v (0) = 6  3 t  a = − h  c = 6   4 i  t  b  r t  = − = 2 ⇔ b  = −4a ⇔ b  = 3 . a 0 2a c    2 n =   b   b   c 6  g v (t = 9 0 )  a − + b − + c = 9     h   2a   2a   iem 3 = − + + ≤ ≤ . Vậy v (t) 2 t 3t 4, 0 t 3 . v 4 n 3 3 Vậy  3  s = v ∫ (t)dt 2 =
− t + 3t + 6 dt ∫ 99   = = 24, 75  4  4 0 0 Câu 3:
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có
đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng
song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song
với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó. N guy/n Hoàng Vi2t
A. s = 26, 25(km) .
B. s = 28,5(km) .
C. s = 27 (km) .
D. s = 24 (km) . Lời giải Chọn C
Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật:
Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ vận tốc của vật là ( ) 2
v t = at + bt + c .
Căn cứ vào đồ thị đã cho có
https://www.facebook.com/vietgold Trang 3
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG  v (0) = 0   9 a = −  c = 0    4 b   t  = − = 2 ⇔ b  = −4a ⇔ b  = 9 . 0 2a    L 2  b   b c = 0 u v(t = 9   0 )  a − + b − + c = 9 y       e   2a   2a  nth Vậy v (t) 9 2
= − t + 9t, 0 ≤ t ≤ 3 và v (t) = v( ) 27 1 = , 3 ≤ t ≤ 4 . it 4 4 ra 3 4 3 4 c  9  27 n Vậy s = v
∫ (t)dt + v ∫ (t)dt 2 = − t + 9t dt + dt ∫  = + = . g ∫ 81 27 27  4  4 4 4 h 0 3 0 3 iem Câu 4:
Một người chạy trong 1 giờ với vận tốc v(km / h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị .vn  
của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh 1 I ;8 
 và trục đối xứng song song  2 
với trục tung như hình vẽ bên. Tính quãng đường s mà người đó chạy được trong
khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. v I 8 N guy/ O 1 t n H
A. s = 4(km) .
B. s = 2,3(km) .
C. s = 4, 5(km) .
D. s = 5,3(km) . oàn Lời giải g Vi Chọn C 2t
Ta có: phương trình vận tốc của vật có dạng ( ) 2
v t = at + bt + c .
Dựa vào đồ thị ta có:   v (0) = 0 c = 0   a = −32  b 1  b 1  t = − = ⇔ − = ⇔ b = 32 o 2a 2 2a 2    ( c =  v t =  o ) 0 2 8   b   b  a − + b − + c = 8       2a   2a  ⇒ v(t) 2 = 3 − 2t + 32t . 1 2
https://www.facebook.com/vietgold Trang 4
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Vậy quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút hay 3 4 3 3 4 4 giờ là v ∫ (t) 9 2 dt =
−32t + 32t dt = = 4,5 km . L ∫( ) ( ) u 2 0 0 yen Câu 5:
Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh th
nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường itra
Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi cn
đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? ghie v(m / s) m . v v A n 60 vB t (s) O 3 4 A. 90m . B. 60m . C. 0m . D. 270m . Lời giải Chọn A N gu
Phương trình vận tốc của xe A có dạng ( ) 2
v t = at + bt + c . y/n
Dựa vào đồ thị ta có: H  = o v (0) 0 c = 0 a = −20 à    n v (3) = 60 ⇔ 9
a + 3b + c = 60 ⇔ b  = 80 g    V =
16a + 4b + c = 0 c = 0 v 4 0 i ( )    2t ⇒ v(t) 2 = 2
− 0t + 80t suy ra quãng đường xe A đi được trong 3 giây đầu là 3 3 s = v ∫ (t)dt = ∫( 2 2
− 0t + 80t )dt =180 m . A ( ) 0 0
Vận tốc xe B có phương trình là v(t) = 20t , sau 3 giây, xe B đi được quãng đường là 3 3 2
s = 20tdt = 10t = 90 m ∫ . B ( ) 0 0
Vậy sau khi đi được 3 giây, hai xe cách nhau 180 − 90 = 90(m) . Câu 6:
Tại một nới không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so
với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng,
khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v (t ) 2
=10t − t , trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được
https://www.facebook.com/vietgold Trang 5
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
tính theo đơn vị mét/phút (m / p). Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là?
A. v = 5(m / p) .
B. v = 7(m/ p) . Lu
C. v = 9(m / p) .
D. v = 3(m/ p) . yenth Lời giải itrac Chọn C ngh Đk: v(t) 2
= 10t − t ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 10 . iem.
Quãng đường khí cầu chuyển động đi xuống đến khi chạm đất là: vn t t 3 t = 9 t S = 162 = v ∫ (t)dt = ∫( 2 10t − t ) 2 dt = 5t − ⇔  . 3 t = 3 1± 7 l 0 0  ( )( ) Câu 7:
Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
cách nhau tối thiểu 1m . Ô tô A đang chạy với vận tốc 16m / s bỗng gặp ô tô B đang dừng
đèn đỏ nên ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) =16 − 4t (m / s) , trong đó
t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh. Hỏi
rằng để hai ô tô A và B dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải hãm phanh khi
cách ô tô B một khoảng tối thiểu là bao nhiêu mét? A. 33m . B. 32m . C. 31m . D. 34m . N gu Lời giải y/n Chọn A Hoà
Ô tô A dùng hẳn sau thời gian v(t) =16 − 4t = 0 ⇔ t = 4(s). ng V 4 i2
Quãng đường ô tô A chuyển động chậm dần đều là S = ∫(16 − 4t)dt = 32(m). t 0
Khoảng cách để dừng an toàn là: 33(m). Câu 8:
Một vật đang chuyển động đều với vận tốc v m / s thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc 0 ( ) a (t ) 2 = v t + t ( 2 m / s
trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm 0 )
vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ
lúc bắt đầu tăng tốc là 100m . Tính vận tốc ban đầu v của vật. 0
A. 20,722(m / s) .
B. 12,433(m / s) .
C. 21,722(m / s) .
D. 13,433(m / s) . Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/vietgold Trang 6
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Phương trình vận tốc v (t) = a
∫ (t)dt = ∫(v t +t ) 2 3 t t 2 dt = v + + C . 0 0 2 3
Tại thời điểm t = 0 ⇒ v(t) = v ⇒ C = v . 0 0 Luye
Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc nt là 100m suy ra hi 3 t t 2 3 r  t t  27 81 a S = 100 = v
∫ (t)dt = v + +v dt = 3v + v + ⇒ v =12,433 m / s ∫ . 0 0  0 0 0 ( ) c 2 3 6 27 n   0 0 ghie Câu 9:
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ t = 0(s) chuyển động thẳng với vận tốc m .v
v = t (5 − t ) (m / s . Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại. t ) n 125 A. (m) . B. 25 (m) . C. 6 (m) . D. 125 ( ) m . 6 Lời giải Chọn A
Vật dừng lại khi v = t (5 − t) = 0 ⇒ t = 5 t 5 5
Quãng đường vật đi được S = v (t)dt = t ( − t) 125 5 dt = ∫ ∫ (m) 6 0 0
Câu 10: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc v = 15 m / s thì tăng tốc với gia tốc 0 N g = + u a (t ) 2 t 4t ( 2
m / s ). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể y/n
từ lúc bắt đầu tăng tốc. H A. 27m . B. 72m . C. 69,75m . D. 24, 75m . oàn Lời giải g Vi Chọn C 2t t t
Ta có v (t) = v(0) + v
 (t ) − v(0) = v  (0) + a
∫ (t)dt =15+ ∫( 1 2 t + 4t ) 3 2 dt = t + 2t +15 . 3 0 0 3 3 Vì vậy   s = v ∫ (t) 1 3 2 dt =
t + 2t +15 dt = 69, 75m ∫  .  3  0 0
Câu 11: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 (m / s) thì người lái hãm phang. Sau khi hãm
phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc v(t) =18 −36t (m / s) , trong đó t là
khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng
đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn. A. 3,5m . B. 5,5m . C. 4,5m . D. 3, 6m . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/vietgold Trang 7
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Ô tô dừng lại ⇔ v(t) = 0 ⇔ 18 − 36t = 0 ⇔ t = 0,5 .
Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đế lúc dừng hẳn là Luy 0,5 0,5 en s = v
∫ (t)dt = ∫ (18−36t)dt = 4,5m . th 0 0 itrac
Câu 12: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây ng
sau nó đạt vận tốc 6 m / s . Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm hie
B cũng xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động m .v
nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc n
của B tại thời điểm đuổi kịp A .
A. 24 m / s .
B. 12 m / s .
C. 48 m / s
D. 36 m / s . Lời giải Chọn A − Gia tốc của 6 0 3
A trong 8 giây đầu là 2 a =
= m / s , quãng đường mà A đi được kể từ 8 4
lúc xuất phát đến lúc gặp B (trong khoảng thời gian 8 + 4 + 8 = 20 giây) là 8 8 s = v ∫ (t) 3 dt + 6.12 = tdt + 72 = 96m ∫ . 4 0 0 8 N
Vận tốc của B là v(t) = mt , theo giả thiết mtdt = 96 ⇔ m = 3 ⇒ v = 3.8 = 24m / s ∫ . gu 0 y/n
Câu 13: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng H
nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản oà
người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là ng 2 t V s (t ) = −
+ 4t với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và i2 10 t
s (t ) ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào
dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km / h . Tính khoảng cách xa nhất mà con cá
hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng. A. 8km . B. 10km . C. 20km D. 30km . Lời giải Chọn B
Vận tốc của con cá là ( ) = ′( ) t v t s t = − + 4 . 5
Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng là ( )  tt
v t − 2 = − + 4 − 2 = − + 2   .  5  5
Quãng đường con cá bới được trong khoảng thời gian t kể từ lúc bắt đầu là
https://www.facebook.com/vietgold Trang 8
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG t 2 ( )  tt s t = − + 2 dt = − + 2t + C ∫ 
, với s(0) = 0 ⇒ C = 0 và  5  10 0 2 s (t ) t 1 = − + 2t = − (t −10)2 +10 ≤10 L 10 10 uye
Vậy khoảng cách xa nhất là 10km . nt t s h
Câu 14: Một vật từ trạng thái nghỉ
= 0( ) chuyển đông thẳng với vân tốc itr
v (t ) = t (6 − t )(m / s) . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại. acng A. 20m . B. 30m . C. 36m . D. 26m . hiem Lời giải .v Chọn C n t =
Vật dừng lại khi v (t) 0 = 0 ⇔  . t = 6  6 6
Quãng đường vật đi được là: S = v
∫ (t)dt = t∫(6−t)dt = 36(m) . 0 0 π
Câu 15: Một vật chuyển động với vận tốc v (t ) = 1− 2sin 2t (m / s) . Gọi b S = a +
( a,b,c ∈ ℤ , c
b tối giản) là quảng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0(s) c π đến thời điểm 3 t =
. Tính P = 2a − 3b + 2c . 4 A. P = 5 − . B. P = 5 . C. P = 3 . D. P = 3 − . N g Lời giải uy/ Chọn D n 3π 3π H 4 4 3π o 3π 4 à
Quảng đường vật đi được là S = v (t) dt = (1− 2sin 2t) dt = (t + o c s2t ) = −1+ ∫ ∫ 0 n 4 0 0 g V
Suy ra a = −1,b = 3,c = 4 . Suy ra P = 3 − . i2t 2 2
Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc 10(m/s) thì tăng tốc với gia tốc a (t ) = 3t + t (m/s ).
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 400 430 4300 4000 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C Ta có ∫( 3 1 2 3t + t ) 2 3 dt =
t + t + C 2 3
Do v(t) là một nguyên hàm của hàm số a(t) thỏa mãn v(0) =10 ⇔ C =10
https://www.facebook.com/vietgold Trang 9
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG Suy ra v(t ) 3 1 2 3 = t + t +10 2 3
Do đó quãng đường vật đi được trong 10 giây kể từ lúc tăng tốc là: Lu 10 10 y  3 1   1 1  4300 2 3 3 4 e S =
t + t +10 dt = t + t +10t = ∫    m. n  2 3   2 12  3 0 0 thitra
Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = 160 −10t (m/s). Quãng đường cng
vật đi được từ lúc t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại là hiem A. 160m . B. 100m . C. 1280m . D. 144m . .vn Lời giải Chọn C
Vật dừng lại khi v(t) = 0 ⇔ 160 −10t = 0 ⇔ t =16. 16 16
Quãng đường vật đi được là: S = ∫ (160−10t)dt = ( 2 160t − 5t ) = 1280 m. 0 0
Câu 18: Một vật bắt đầu chuyển động v (t ) 3 2
= 2t −15t + 24t + 20(m/s). Hỏi trong 5 giây đầu
tiên, quãng đường vật đi được cho đến khi đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu? 175 55 A. 11m . B. m . C. 80m . D. m . 2 2 N guy Lời giải /n H Chọn D oàn
Xét hàm số f (t) 3 2
= 2t −15t + 24t + 20 trên đoạn [0;5] g Vi2 t = 1 2 t
f ′(t ) = 6t − 30t + 24; f ′(t ) = 0 ⇔ t = 4 
f (0) = 20; f ( )
1 = 31; f (4) = 4; f (5) = 15
Do đó max f (t ) = f ( ) 1 = 31 [0;5]
Quãng đường đi được từ lúc vật tăng tốc đến khi đạt vận tốc lớn nhất là: 1  
S = ∫(2t −15t + 24t + 20) 1 1 55 3 2 4 3 2 dt =
t − 5t +12t + 20t =   m.  2  2 0 0
Câu 19: Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là v (t ) 3 2
= t − 9t + 24t −16(m/s). Hỏi
từ lúc t = 0 đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu?
https://www.facebook.com/vietgold Trang 10
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG A. 12, 75 m . B. 13m . C. 1m . D. 0, 75 m . Lời giải Lu Chọn A yen
Gia tốc của chuyển động có phương trình là: a (t) 2 = t − t + ( 2 3 18 24 m/s ) thitra
Gia tốc nhỏ nhất tại t = 3. cng
Quãng đường vật đi được là hi 3 1 3 e 51 3 2 3 2 3 2 m
t − 9t + 24t −16 dt =
(t −9t + 24t −16)dt + (t −9t + 24t −16)dt = ∫ ∫ ∫ . 4 v 0 0 1 n
(Do v(t) = 0 ⇔ t =1;v(t) < 0, t ∀ ∈(0; ) 1 ). 2t
Câu 20: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là v (t ) = . Hỏi từ lúc 2 t +1
bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu? A. ln 2 m . B. log 2 m . C. log 4 m . D. ln 4 m . Lời giải Chọn D N
Phương trình gia tốc của chuyển động là: guy t = 0 / − 4t t ( 2 2 t − 3 2 2 )  n a t = ; a′ t =
; a′ t = 0 ⇔ t = 3 ( ) 2 ( ) 3 ( )  H ( 2t + )1 ( 2t + )1 o t = − 3 à  ng V 1 = = − i
Suy ra min a (t) a( 3) 2 (0;+∞) 4 t 3 3
Quãng đường vật đi được là: 2t S = dt = ln ∫ ( 2t +1 = ln4 m. 2 ) t +1 0 0 2t
Câu 21: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là v (t ) = . Hỏi từ lúc 2 t +1
bắt đầu chuyển động đến khi vật có tốc độ lớn nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu? A. ln 2 m . B. log 2 m . C. 1m . D. ln 4 m . Lời giải Chọn A ( ) 2t v t = . TXĐ D = [0; +∞). 2 t +1
https://www.facebook.com/vietgold Trang 11
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG 2 ′( ) 2 − 2t v t = (t + )2 2 1
v′(t ) = 0 ⇔ t = 1 Lu BBT yenth 0 itracnghi em
Dựa vào BBT thì vận tốc lớn nhất tại t =1. .v 1 1 1 n 1 2t 1 2 2 s = v ∫ (t)dt = dt = d t +1 = ln t +1 = ln 2 (m). ∫ ∫ 2 2 ( ) ( ) 0 t +1 t +1 0 0 0
Câu 22: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v (t ) 2
= t +10t (m / s),
với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động.
Biết khi máy bay đạt vận tốc 200(m / s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay
đã di chuyển trên đường băng là: 2500 4000 A. m . B. 2000m . C. 500m . D. m . 3 3 Lời giải Chọn A N v (t ) 2 2
= 200 ⇔ t +10t = 200 ⇔ t +10t − 200 = 0 ⇔ t =10. guy
Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là: /n 10 10 10 3 H  t  2500 2 2 s = v t dt = t +10t dt = + 5t = m . o ∫ ( ) ∫( )   ( ) à 3 3   0 0 0 ng Vi
Câu 23: Bạn Minh ngồi trên một máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của 2t 2
máy bay là v(t) = 3t + 5(m / s). Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ thứ 5 đến giây thứ 10 là A. 900m . B. 936m C. 1134m . D. 966m . Lời giải Chọn D
Nhận xét: Giây thứ nhất bắt đầu từ t = 0 nên giây thứ 5 bắt đầu khi t = 4
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ t = 4 đến giây thứ t = 10 là 10 10 s = v
∫ (t)dt = ∫(3t +5)dt = (t +5t)10 2 3 = 966(m). 4 4 4
Câu 24: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công
thức v(t) = 3t + 2(m / s). Tại thời điểm t = 2s thì vật đã đi được quãng đường là 10m. Hỏi
https://www.facebook.com/vietgold Trang 12
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
tại thời điểm t = 30s thì vật đã đi quãng đường bao nhiêu m từ lúc bắt đầu chuyển động? A. 1140m . B. 1410m C. 300m . D. 240m . L Lời giải uyen Chọn B thi
Quãng đường vật đi được từ giây thứ thứ 2 đến giây thứ 30 là tr 30 a 30 30  3 c  2 = = + = + = n s v
∫ (t)dt ∫ (3t 2)dt t 2t 1400   (m). g  2  2 2 2 hi 30 em
Mặt khác s = v
∫ (t)dt = s(30)− s(2). .v 2 n 30
Do đó s (30) = v
∫ (t)dt + s(2) =1400+10 =1410(m) 2
Câu 25: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc đầu là 6(m / s) và có gia tốc được cho bởi
công thức a (t) = v (t) 3 ' = ( 2
m / s ). Vận tốc của vật sau 8 giây là t +1
v (8) = a ln 3 + b(a,b ∈ ℤ) , tính P = a − b . A. P = 1 . B. P = −1 C. P = 0 . D. P = −2 . Lời giải Chọn C
Độ thay đổi vận tốc thời điểm t = 0s đến thời điểm t = 8s là N 8 8 g 3 8 u v ∆ = a ∫ (t)dt =
dt = 3ln t +1 = 3ln 9 = 6 ln 3 ∫ (m). y 0 / t +1 0 0 n 8 8 H 3 o
Mặt khác ∆v = a ∫ (t)dt = dt = v ∫
(8) − v(0) (m / s). à t +1 0 0 ng
Do đó v(8) − v(0) = 6ln 3 ⇔ v(8) = 6ln 3 + v(0) = 6ln 3+ 6 (m / s) Vi2t
Suy ra a = b = 6 , do đó P = 0
Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc đấu là v (0) (m / s) và có gia tốc được cho bởi
công thức a (t ) = v′(t) 2 = ( 2
m / s ) . Vận tốc của vật sau 15 giây là t +1
v (15) = 8ln 2 − log100(m / s) . Tính vận tốc ban đầu của vật.
A. 9m / s .
B. 12m / s .
C. 10m / s .
D. 11m / s . Lời giải Chọn C
Độ thay đổi vận tốc của vật từ 2
t = 0s đến t = 15s là 15 15 ∆v = dt = 2 ln t +1 = 8ln 2 ∫ . 0 0 1 + t
https://www.facebook.com/vietgold Trang 13
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Suy ra v(15) − v(0) = 8ln 2 , mà v(15) = 8ln 2 nên v(0) = log100 =10 . 1
Câu 27: Con cá bơi có phương trình quãng đường s (t ) 2 = −
t + 4t (km) , t tính bằng giờ. 10 Lu
Biết con cá bơi xuôi dòng nước với tốc độ dòng chảy là 2km / h . Tính khoảng cách xa yen nhất con cá bơi được? thitr A. 10km . B. 40km . C. 60km . D. 90km . acng Lời giải hie Chọn D m .vn
Vận tốc con cá là v (t) 1
= − t + 4 . Do cá bơi xuôi dòng nên vận tốc thật là v(t) 1 = − t + 6 . 5 5
Quãng đường cá bơi được là t  1  1 1
− t + 6 dt = − t + 6t = − ∫   (t −30)2 2 + 90 ≤ 90 km . 0  5  10 10
Câu 28: Một nhóm sinh viên được thực hành nghiên cứu sự chuyển động của các hạt. Nhóm
đã phát hiện hạt prô-ton di chuyển trong điện trường với gia rốc 20 a = − ( 2 cm / s 2 ) (1+ 2t)
. Nhóm sinh viên đã tìm ra hàm vận tốc của hạt đó, biết khi t = 0 thì vận tốc là
v = 30 cm / s . Biểu thức đúng là?     A. v (t ) 10 = + 25 cm / s   . B. v (t ) 10 = + 20 cm / s   . N 1+ 2t  1+ 2t  guy     / v t = + cm s . v t = + cm s . n C. ( ) 10 10 /   D. ( ) 10 30 /    +  + 1 2t  1 2t  H oàn Lời giải g Vi Chọn D 2t − Ta có v (t) 20 10 = adt = dt = + C ∫ ∫ . (1+ 2t)2 1+ 2t Có   v ( ) = ⇒ C = ⇒ v (t) 10 0 30 20 = + 20   . 1+ 2t
Câu 29: Một tập đoàn định đầu tư vào hai dự án. Giả sử, dự án đầu tư đầu có tốc độ sinh
lợi nhuận là P (t) 2
= 50 + t (đồng/năm), dự án thứ hai có tốc độ sinh lợi nhuận là 1
P t = 200 + 5t (đồng/năm). Sau t năm thì tốc độ sinh lợi của dự án hai bằng một nửa 2 ( )
dự án một. Tính lợi nhuận thực tế trong khoảng thời gian trên. A. 6674, 6 đồng. B. 6576, 4 đồng. C. 5676, 4 đồng. D. 6679, 4 đồng. Lời giải
https://www.facebook.com/vietgold Trang 14
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG Chọn A
Tốc độ sinh lợi của dự án hai bằng một nửa dự án một khi 2 L
P = 2P ⇔ 50 + t = 400 +10t ⇔ t = 5 + 5 15 . 1 2 uyen
Lợi nhuận thực tế trong khoảng thời gian đó là thi 5+5 15 5+5 15 t 2 r L = P t − P t dt =
350 +10t − t dt ≈ 6674, 6 ∫  ∫ 2 ( ) 1 ( ) ( ) a 0 0 cng 2 h
Câu 30: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 7 m / s . Đi được 5s 1 ( ) iem
, tài xế phát hiện chướng ngại vật phía trước và phanh gấp, sáu đó ô tô chuyển động .v 2 n
chậm dần đều với gia tốc a = −70 m / s . Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc 2 ( )
bắt đầu chuyển động cho đến khi dừng hẳn. A. 87,5m . B. 96, 25m . C. 94m . D. 95, 7m . Lời giải Chọn B
Phương trình vận tốc của ô tô là v t = a dt = 7dt = 7t + C ∫ ∫ . 1 ( ) 1
Do ô tô bắt đầu chuyển động nên v 0 = 0 ⇒ v t = 7t . 1 ( ) 1 ( )
Sau 5s vận tốc là v 5 = 35 m / s . 1 ( ) ( ) N gu
Vận tốc của ô tô lúc hãm phanh là v t = a dt = −70t + C ∫ . 2 ( ) y 2 /n H
Có v 0 = 35 ⇒ v t = 7 − 0t + 35. 2 ( ) 2 ( ) oàn 1 g
Khi ô tô dừng hẳn thì v t = 0 ⇔ t = . 2 ( ) V 2 i2t
Quãng đường đi được là 5 0,5 S = 7tdt + ∫ ∫ ( 7
− 0t + 35) = 96,25(m). 0 0
Câu 31: Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn sau 20 giây kể từ khi bắt đầu
hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được 120m . Cho biết công thức vận tốc của
chuyển động biến đổi đều là v(t) = v + at m/s , trong đó a ( 2
m/s ) là gia tốc và v(m/s) là 0 ( )
vận tốc tại thời điểm t (s) . Hãy tính vận tốc v lúc bắt đầu hãm phanh. 0 A. 12m/s . B. 6m/s . C. 30m/s . D. 45m/s . Lời giải Chọn A
Xe dừng hẳn sau 20 giây, suy ra v(20) = 0 ⇒ v + 20a = 0 ⇒ v = 2
− 0a ⇒ v(t) = 2 − 0a + at 0 0
https://www.facebook.com/vietgold Trang 15
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG 20 20
Quãng đường xe chạy được từ lúc hãm phanh là S = v
∫ (t)dt = ∫ (−20a + at )dt = −200a 0 0 3 2 L
Theo giả thiết, S = 120 ⇔ −200a = 120 ⇔ a = − (m/s ) u 5 yen 3 t = − ⇒ = m/s h Với a v 12 . 0 i 5 tracn
Câu 32: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo gh 1 11 2 = + i
thời gian bởi quy luật v (t) t
t (m/s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính e 180 18 m .
từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ vn
O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a ( 2
m/s ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng A. 22m/s . B. 15m/s . C. 10m/s . D. 7m/s . Lời giải Chọn B
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị
chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 10 giây. N
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v (t) = adt = at + C ∫ , lại có v = nên B ( 0) 0 B gu v t = at . B ( ) y/n H
+) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì oà
quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó ng 15 10 V  1 11  2 i2 t +
t dt = atdt ∫  ∫ ⇔ 75 = 3 50a ⇔ a = . t 180 18  2 0 0
Từ đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v = =15 (m s) . B ( ) 3 10 .10 2
Câu 33: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v (t) 1 59 2 = t +
t (m/s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 150 75
từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ
O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a ( 2
m/s ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng A. 20m/s . B. 16m/s . C. 13m/s . D. 15m/s .
https://www.facebook.com/vietgold Trang 16
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG Lời giải Chọn B L
Quãng đường chất điểm A đi từ đầu đến khi B đuổi kịp là u 15 y  1 59  e 2 S = t + t dt = 96 ∫  (m). n 150 75 t  0 hitra
Vận tốc của chất điểm B là v (t) = adt = at + C ∫ . B cngh
Tại thời điểm t = 3 vật B bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên v (3) = 0 ⇔ C = 3 − a . B iem.
Lại có quãng đường chất điểm B đi được đến khi gặp A là vn 15 15 2  atS =
at − 3a dt = − 3at = 72a m ∫ . 2 ( )   ( ) 2   3 3 Vậy 4 72a = 96 ⇔ a = ( 2 m/s ) . 3
Tại thời điểm đuổi kịp A thì vận tốc của B là v (15) =16(m/s . B )
Câu 34: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v (t) 1 13 2 = t +
t (m/s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 100 30
từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát t ừ N
O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia gu 2 y
tốc bằng a (m/s ) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận /n
tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng H oàn A. 15m/s . B. 9m/s . C. 42m/s . D. 25m/s . g Vi Lời giải 2t Chọn D
Khi B đuổi kịp A tức là A đã chuyển động được 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu
xuất phát và A chuyển động được quãng đường bằng 25  1 13  375 2 S =  t + t ∫  = (m) 100 30 2  0 
Vì B chuyển động với gia tốc bằng a( 2
m/s ) nên vận tốc của B là v(t) = at + C
Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t = 10;v = 0 ⇒ c = −10a
Vận tốc chất điểm B tại thời điểm t là v(t) = at −10a (m/s) .
Quãng đường chất điểm B đi được trong 15(s) kể từ khi bắt đầu xuất phát là
https://www.facebook.com/vietgold Trang 17
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG 25
S = ∫ (at − a) 225 10 dt = a 2 10
Vì sau khi chuyển động được 15 giây thì chất điểm B đuổi kịp chất điểm A , ta có: Luy 225a 375 5 e = (m) ⇒ a = n 2 2 3 thitra ⇒ v (t) 5 50 = t − c 3 3 nghie
Vậy vận tốc của B khi đuổi kịp A ứng với t = s ⇒ v ( ) 5 50 25( ) 25 = .25 − = 25 (m/s) m 3 3 .vn
Câu 35: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v (t) 1 58 2 = t +
t (m/s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 120 45
từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ
O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a ( 2
m/s ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng A. 25m/s . B. 36m/s . C. 30m/s . D. 21m/s . Lời giải Chọn C N gu
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị y/n
chất điểm B bắt kịp thì A đi được 18 giây, B đi được 15 giây. Ho = = + v 0 = 0 à
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v (t) adt at C ∫ , lại có nên B ( ) B ng v t = at . B ( ) Vi2t
+) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì
quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó 18 15  1 58  2 t +
t dt = atdt ∫  ∫ 225 ⇔ 225 = a ⇔ a = 2 . 120 45  2 0 0
Từ đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v (15) = 2.15 = 30 (m/s . B )
Câu 36: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không
đổi); 6 giây sau nó đạt đến vận tốc 10(m / s) . Từ thời điểm đó chất điểm A chuyển động
thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng xuất phát từ O , chuyển động
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và chuyển động thẳng
nhanh dần đều. Sau khi B xuất phát được 4 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời
điểm đuổi kịp A bằng?
https://www.facebook.com/vietgold Trang 18
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG A. 20m/s . B. 10m/s . C. 18m/s . D. 25m/s . Lời giải L Chọn A uyen Xét chất điểm A thit 10 5 r
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên 2 a = = m / s a 1 ( ) c 6 3 ngh 5 5 5 i Suy ra v = dt= t + C v 0 = 0 ⇒ v = t m / s e ∫ . Do 1 ( ) 1 ( ) 1 m 3 3 3 .v 6 n 5
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ⇒ s = tdt = 30 m ∫ 0 ( ) 3 0
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc 6(m / s) nên s t = 30 +10t m 1 ( ) ( )
Xét chất điểm B ; gọi gia tốc là a ( 2 m / s
suy ra v t = a dt=a t + C ∫ 2 ( ) 2 ) 2 2
Do v 0 = 0 ⇒ C = 0 ⇒ v t = a t 2 ( ) 2 ( ) 2 ⇒ s (t) 1 2
= v dt = a tdt = a t + C ∫ ∫ 2 2 2 2 2
Theo đề bài s (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ s (t) 1 2 = a t . 2 2 2 2 N gu
Sau 4 giây từ lúc B xuất phát, b đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm 1giây từ y/n
lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều Ho 2 = ⇔ = ⇔ = ⇒ = à Suy ra s 4 s 1 8a 40 a 5 m / s v t 5t m / s . 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ng V
Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v 4 = 20 m / s . 2 ( ) ( ) i2t
Câu 37: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không
đổi); 10 giây sau nó đạt đến vận tốc v m / s . Từ thời điểm đó chất điểm A chuyển 0 ( )
động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng xuất phát từ O , chuyển động
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 9 giây so với A và chuyển động thảng
nhanh dần đều với gia tốc a = 2( 2 m / s
. Sau khi B xuất phát được 6 giây thì đuổi kịp 2 ) A . Tìm v 0 A. 2m/s . B. 3m/s . C. 4m/s . D. 10m/s . Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/vietgold Trang 19
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG Xét chất điểm A
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên v0 a = = 0,1v m / s 1 0 ( 2 ) 10 Lu = y Suy ra v t 0,1v t . 1 ( ) 0 ent 10 hi
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ⇒ s = 0,1v tdt = 5v m ∫ 0 0 0 ( ) tra 0 cng
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc v m / s nên s t = 5v + v t = v 5 + t m 1 ( ) 0 0 0 ( )( ) 0 ( ) hiem
Xét chất điểm B ; suy ra v t = a dt=2t + C ∫ 2 ( ) . 2 vn ⇒ s (t) 2
= v dt = 2tdt = t + C ∫ ∫ 2 2
Theo đề bài s (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ s (t) 2 = t . 2 2
Sau 6 giây từ lúc B xuất phát, B đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm 7 giây
từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều
Suy ra s 6 = s 7 ⇔ 36 =12v ⇔ v = 3 m / s . 2 ( ) 1 ( ) 0 0 ( )
Câu 38: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không đổi a ( 2 m / s
); 4 giây sau nó đạt đến tốc độ 8(m / s) . Từ thời điểm đó chất điểm A 1 ) N
chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng xuất phát từ O , guy
chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 17 giây so với A và chuyển /n
động thẳng nhanh dần đều với gia tốc a ( 2 m / s
. Sau khi B xuất phát được 10 giây thì 2 ) Ho
đuổi kịp A . Tìm P = 2a − 4a . à 2 1 ng V A. P = −2 . B. P = 0 . C. P = 2 . D. P = 4 . i2t Lời giải Chọn B Xét chất điểm A
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên 8 a = = 2( 2 m / s 1 ) 4
Suy ra v = 2t m / s . 1 ( ) 4
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ⇒ s = 2tdt = 16 m ∫ 0 ( ) 0
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc 8(m / s) nên s t = 8t +16 m 1 ( ) ( )
https://www.facebook.com/vietgold Trang 20
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Xét chất điểm B ; suy ra v t = a t 2 ( ) 2 ⇒ s (t) 1 2
= v dt = a tdt = a t + C ∫ ∫ 2 2 2 2 2 Luye 1 n
Theo đề bài s (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ s (t) 2 = a t . 2 2 2 t 2 hitra
Sau 1 giây từ lúc B xuất phát, B đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm 23 giây cn
từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều ghie
Suy ra s 10 = s 23 ⇔ 50a = 200 ⇔ a = 4 m / s . 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) m .vn
Vậy P = 2.4 − 4.2 = 0 .
Câu 39: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không đổi a ( 2 m / s
); 6 giây sau nó đạt đến tốc độ 12(m / s) và chưa gặp chất điểm B . Từ thời 1 )
điểm đó chất điểm A chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng
xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn t giây so với 1
A và chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc ( 2
4 m / s ) . Sau khi B xuất phát được
t giây thì đuổi kịp A . Hỏi kết luận nào sau đây đúng? 2 A. t > 1. B. t < 7,5 . C. t ≤ 1. D. t > 4,5 . 1 2 1 2 Lời giải N gu Chọn D y/n Xét chất điểm A Hoà 12 2 n
Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên a = = 2 m / s 1 ( ) g 6 Vi2
Suy ra v = 2t m / s . 1 ( ) t 6
Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ⇒ s = 2tdt = 36 m ∫ 0 ( ) 0
Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc 12(m / s) nên s t =12t + 36 m 1 ( ) ( )
Xét chất điểm B ; a = 4 suy ra v t = 4t . 2 ( ) 2 ⇒ s (t) 2
= v dt = 4tdt = 2t + C ∫ ∫ 2 2
Theo đề bài s (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ s (t) 2 = 2t . 2 2
https://www.facebook.com/vietgold Trang 21
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Sau t giây từ lúc B xuất phát, B đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm 2
(t +t −6 giây từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều 1 2 ) 2 2 L
Suy ra s t = s t + t − 6 ⇔ 2t =12 t + t − 36 ⇔ t − 6t +18 − 6t = 0 * . 2 ( 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 2 2 1 ( ) uyen
Chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì phương trình ( )
* có nghiệm t > 0 . 2 thitr  3 a
∆′ = 9 −(18 − 6t = 6t −9 ≥ 0 t  ≥ 1 ) 1 1 3 c ⇔  ⇔  2 ⇔ t ≥ 1 n S > 0 2 g  3  > 0, t ∀ ∈  ℝ hiem 3 + − > ∀ ≥ ⇔ > −  3  9 . Do t t 6 0, t t
6 t ⇔ t > max g t = g = 2 ( 1) 1 2 1 2 1   v 2  3  +∞  2  2 n ;    2  Vậy 3 9 t ≥ , t > . 1 2 2 2
Câu 40: Một chiếc máy bay chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian, giả sử độ thay
đổi vận tốc a (t) 3 = t + t ( 2 10
2 m / s ) và vận tốc ban đầu của nó là 100(m / s) . Hỏi sau khi
cất cánh 10 giây thì máy bay đạt được vận tốc là bao nhiêu? A. 25000m/s . B. 25100m/s . C. 25200m/s . D. 25300m/s . Lời giải Chọn C N g 10 uy
Ta có v (10) − v(0) = a
∫ (t)dt = 25200 /n 0 Ho
Vậy v(10) = 25200(m / s) . àng V
Câu 41: Một người thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h (t ) là thể tích nước bơm được i2t
sau t giây. Cho h (t) 2 '
= 3at + bt và ban đầu trong bể nước không có nước. Sau 5 giây
thì thể tích nước trong bể là 3
150m . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 1100m .
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. 3 8400m . B. 3 2200m . C. 3 600m . D. 3 4200m . Lời giải Chọn A Ta có b h (t ) 2 '
= 3at + bt suy ra h(t) = h
∫ (t)dt = ∫( 2 at + bt ) 3 2 ' 3 dt = at + t + C . 2
Ban đầu bể không có nước nên b
C = 0 ⇒ h (t ) 3 2 = at + t . 2
https://www.facebook.com/vietgold Trang 22
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG h  (5) = 150 a = 1 Theo đề bài  ⇔  . h  (10) = 1100 b = 2  Vậy h ( ) 3 20 = 8400m . Luy
Câu 42: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25(m / s) en 2 t
với gia tốc không đổi g = −10(m / s ). Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao nhất? hitra A. 2, 2s . B. 2, 5s . C. 3, 0s . D. 2,8s . cngh Lời giải iem Chọn B .vn
Do viên đạn bay lên ngược hướng với lực hút Trái Đất nên: v(t) = −gdt = −10t + C ∫ .
Theo đề bài: v (0) = 25 ⇔ C = 25 ⇒ v (t) = −10t + 25 .
Viên đạn đạt tới độ cao nhất thì nó dừng, tức v = 0 ⇔ t = 2,5s .
Câu 43: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
25 (m / s) và gia tốc là −g . Khi viên đạn lên đến vị trí cao nhất, nó rơi thẳng đứng xuống
đất với gia tốc là g . Tính thời gian viên đạn đã bay từ lúc được bắn lên đến khi rơi
xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường g = ( 2 10 m / s ) ). A. 2, 5s . B. 3, 0s . C. 4, 0s . D. 5, 0s . N g Lời giải uy/ Chọn D n Ho
Khi viên đạn bay lên: v t = −gdt = −10t + C ∫ . 1 ( ) àng
Theo đề bài: v 0 = 25 ⇒ C = 25 ⇒ v t = −10t + 25 . 1 ( ) 1 ( ) Vi
Viên đạn đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức: v = 0 ⇔ t = 2,5 s . 2 ( ) t 2,5
Độ cao cao nhất viên đạn bay tới là: 125 h = v t dt = m ∫ . 0 ( ) ( ) 4 0
Khi viên đạn rơi xuống: v t = gdt = 10t + C ∫ . 2 ( )
Lúc viên đạn bắt đầu rơi xuống: v 0 = 0 ⇒ C = 0 ⇒ v t = 10t . 2 ( ) 2 ( )
Quãng đường viên đạn rơi là: h (t) = v ∫ (t) 2
dt = 5t + C . 2
Ta chọn h( ) = ⇒ C = ⇒ h(t) 2 0 0 0 = 5t .
Thời gian viên đạn rơi: 125 2 5t =
⇒ t = 2,5(s) . 4
Vậy tổng thời gian viên đạn bay là 5,0 (s) .
Câu 44: Một người ném một viên đá từ mặt đất phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu
10 (m / s) , và gia tốc là −g . Khi viên đá đi lên đến vị trí cao nhất nó rơi thẳng đứng
https://www.facebook.com/vietgold Trang 23
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
xuống đất với gia tốc là g . Tính thời gian viên đá đã bay từ lúc ném lên đến khi rơi
xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường là g = ( 2 10 m / s ) ). L A. 1s . B. 2, 0s . C. 1, 5s . D. 2, 5s . uyen Lời giải th Chọn B itrac
Khi viên đá bay lên: v t = −gdt = −10t + C ∫ . 1 ( ) ngh
Theo đề bài: v 0 = 10 ⇒ C = 10 ⇒ v t = −10t +10 . 1 ( ) 1 ( ) iem
Viên đá đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức: v = 0 ⇔ t = 1(s) . .vn 1
Độ cao cao nhất viên đá bay tới là: h = v t dt = 5 m ∫ . 0 ( ) ( ) 0
Khi viên đá rơi xuống: v t = gdt = 10t + C ∫ . 2 ( )
Lúc viên đá bắt đầu rơi xuống: v 0 ⇔ C = 0 ⇒ v t = 10t . 2 ( ) 2 ( )
Quãng đường viên đá rơi là: h(t) = v ∫ (t) 2
dt = 5t + C . 2
Ta chọn h( ) = ⇒ C = ⇒ h(t) 2 0 0 0 = 5t . Thời gian viên đá rơi: 2
5t = 5 ⇒ t = 1(s) .
Vậy tổng thời gian viên đá bay là 2(s) .
Câu 45: Một người ném một viên bi lên theo hướng thẳng đứng từ độ cao 1,8m so với mặt
đất, vận tốc ban đầu là 12(m / s) và gia tốc là −g . Khi viên bi lên đến vị trí cao nhất n ó N gu
rơi thẳng đứng xuống đất với gia tốc là g . Tính thời gian viên bi đã bay từ lúc được y/n
ném lên đến khi rơi xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường H là g = ( 2 10 m / s ) ). oàng A. 2, 64s . B. 2, 4s . C. 1,8s . D. 3s . Vi2t Lời giải Chọn D
Khi viên bi bay lên: v t = −gdt = −10t + C ∫ . 1 ( )
Theo đề bài: v 0 = 12 ⇒ C = 12 ⇒ v t = −10t +12 . 1 ( ) 1 ( )
Viên bi đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức: v = 0 ⇔ t = 1, 2(s) . 1,2
Độ cao cao nhất viên bi bay tới là: h = v t dt = 7, 2 m ∫ . 0 ( ) ( ) 0
Khi viên bi rơi xuống: v t = gdt = 10t + C ∫ . 2 ( )
Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống: v 0 ⇔ C = 0 ⇒ v t = 10t . 2 ( ) 2 ( )
Quãng đường viên bi rơi là: h (t) = v ∫ (t) 2
dt = 5t + C . 2
https://www.facebook.com/vietgold Trang 24
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Ta chọn h( ) = ⇒ C = ⇒ h(t) 2 0 0 0 = 5t . Thời gian viên bi rơi: 2
5t = 7, 2 +1,8 = 9 ⇒ t = 1,8 (s) .
Vậy tổng thời gian viên bi bay là 3(s) . Luy
Câu 46: Một người ném một viên bi lên theo phương thẳng đứng từ độ cao 1,3m so với mặt en
đất, vận tốc ban đầu là 8 (m/s) và gia tốc là −g . Khi viên bi lên đến vị trí cao nhất, nó rơi thi
thẳng đứng xuống đất với gia tốc là g . Tính tốc độ của viên bi khi rơi xuống chạm đất. trac
(Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường g = 10(m/s) . nghi A. 9 m/s. B. 14,4 m/s. C. 16 m/s. D. 17 m/s. em .v Lời giải n Chọn A
Khi viên bi bay lên: v t = a t dt =
−g dt = −10t + C ∫ ∫ . 1 ( ) ( ) ( )
Theo đề bài, v 0 = 8 ⇒ C = 8 ⇒ v t = 1 − 0t + 8 . 1 ( ) 1 ( )
Viên bi đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức v = 0 ⇔ t = 0,8(s) . 0,8
Độ cao cao nhất viên bi bay tới là h = v t dt = 3, 2 m ∫ . 0 ( ) ( ) 0
Khi viên bi rơi xuống: v t = gdt = 10t + C ∫ . 2 ( ) N g
Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống: v 0 = 0 ⇔ C = 0 ⇒ v t = 10t . 2 ( ) 2 ( ) uy/n
Quãng đường viên bi đi được là: = = + . h (t ) v ∫ (t) 2 dt 5t C 2 H oàn
Ta chọn h( ) = ⇒ C = ⇒ h(t) 2 0 0 0 = 5t . g Vi 2 2
Thời gian viên bi rơi: 5t = 3,2 +1,3 = 4,5 ⇒ t = 0,9(s) . t
Vận tốc khi viên bi chạm đất v 0,9 = 9 m/s 2 ( ) ( )
Câu 47: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
cách nhau tối thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy với tốc độ v m/s bỗng gặp ô tô B đang 0
dừng chờ đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = − ( 2
4 m/s ) . Để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm
phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất 33 m. Tìm v . 0 A. 17 m/s. B. 16,5 m/s. C. 16,25 m/s. D. 16 m/s. Lời giải Chọn D
https://www.facebook.com/vietgold Trang 25
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: v (t) = a
∫ (t)dt = −4t + C .
Theo đề bài v(0) = v ⇒ C = v ⇒ v t = 4 − t + v 0 0 ( ) 0 Lu v0 y
Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian t = = 0, 25v s . 0 ( ) e 4 nthi
Quãng đường khi ô tô A bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng cách ô tô B 1m là 32m. trac 0,25v 0,25v 0 0 0,25v n 0 2 g Suy ra S = 32 ⇔ v ∫ (t)dt = ∫ ( 4 − t + v dt = 2 − t + v t = 32 0 ) ( 0 ) h 0 0 0 iem 2 2 2 2 .
⇔ −0,125v + 0, 25v = 32 ⇔ 0,125v = 32 ⇔ v = 16 (m/s ) . v 0 0 0 0 n
Câu 48: Một ô tô A đang đi với tốc độ 20 m/s thì có ô tô B phía trước cách ô tô A 50m đang
dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm dần đều với gia tốc a ( 2
m/s ) . Tìm điều kiện của a để ô tô A không chạm vào ô tô B? A. a > 4 . B. a > 1 . C. a < 4 − . D. a < 1 − . Lời giải Chọn C
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: v (t) = adt = at + C ∫ . = ⇒ = + N
Theo đề bài: v(0) 20
v (t ) at 20 . guy 2 − 0 /
Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian là t = (s) n a Hoà
Quãng đường ô tô A đi từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại: ng 20 V − 2 i a 2 1  20  −20 200 400 200 t
S = ∫ (at + 20)dt = a − + 20. = − = −   2  a a a a a 0
Để ô tô A không chạm vào ô tô B thì 200 S < 50 ⇔ − < 50 ⇔ a < 4 − . a
Câu 49: Một ô tô A đang đi với tốc độ v (m/s) thì có ô tô B phía trước cách ô tô A 50m đang
dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm dần đều với gia tốc − ( 2
4 m/s ) . Tìm điều kiện của v0 để ô tô A không chạm vào ô tô B? A. v < 20 . B. v > 30 . C. v < 25 . D. v > 15 . 0 0 0 0 Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/vietgold Trang 26
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: v (t) = adt = −4t + C ∫
Theo đề bài: v(0) = v ⇒ C = v ⇒ v t = 4 − t + v . 0 0 ( ) 0 Lu
Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian là t = 0, 25v s 0 ( ) yent
Quãng đường ô tô A đi từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại: hitr 0,25v0 a 0,25v0 2 2 c S = ∫ ( 4
− t + v dt = −2t + v t = 0,125v . 0 ) ( 0 ) n 0 0 g 0 hiem
Để ô tô A không chạm vào ô tô B thì 2
S < 50 ⇔ 0,125v < 50 ⇒ v < 20 . 0 0 .vn
Câu 50: Một ô tô A đang chạy thẳng với tốc độ v (m/s thì có ô tô B phía trước cách ô tô A o )
30m đang dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm
dần đều với gia tốc − ( 2
3 m/ s ) . Nhưng khi ô tô A còn cách ô tô B 6m thì đèn xanh nên ô
tô B bắt đầu chạy thẳng nhanh dần đều với gia tốc ( 2
1, 5 m/s ) và cùng hướng với ô tô A
. Giả sử ô tô A đi với vận tốc nhỏ nhất để đụng ô tô B, tính quãng đường ô tô A đã đi
được từ lúc hãm phanh đến khi đụng ô tô B? 2 6
A. 3 6m . B. 2m C. 8m D. m . 3 Lời giải N Chọn C guy/ 3 n
Phương trình vận tốc của ô tô B là v t = adt = t + C ∫ 2 ( ) H 2 oà 3 n
Phương trình chuyển động của ô tô B là s t = v t dt = t + C ∫ . 2 ( ) ( ) 2 g 4 Vi2t 3
Đặt s 0 = 0 . Khi đó s t = t . 2 ( ) 2 2 ( ) 4
Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: v t = adt = −3t + C ∫ . 1 ( ) 0 t
Quãng đường ô tô B đi được từ khi hãm phanh là: S = v ∫ (t) 3 2
dt = − t + v t 1 0 0 0 2 0
Gọi vận tốc của ô tô A lúc đèn xanh là v ⇒ v = −3t + v A A 0 0
Phương trình chuyển động của ô tô A đi từ lúc đèn xanh s (t ) = ∫( 3 − t + v
= − t + v t + C A ) 3 2 dt 1 2 A Hai ô tô đụng nhau khi
https://www.facebook.com/vietgold Trang 27
Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG 3 3 9 6 9 2 2 2
s = s ⇔ − t + v t − 6 = t ⇔ v t = 6 + t ⇔ v = + t ≥ 3 6 1 2 2 A 4 A 4 A t 4
(Theo bất đẳng thức AM – GM) Luye Dấu “=” xảy ra khi 6 9 2 6 = ⇒ t = . n t 4 3 thitr
Có vận tốc tối thiểu từ lúc đèn chuyển xanh để ô tô A đụng ô tô B là v = 3 6 (m/s . A ) acn 2 g       h 2 6 3 2 6 2 6 s   = −   + 3 6   = 8 m . 1 ( ) ie  3  2  3   3  m       .vn N guy/n Hoàng Vi2t
https://www.facebook.com/vietgold Trang 28