Assignment 2 - Solution
Tài liệu học tập môn Applied Linear Algebra (MA027IU) tại Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu gồm 4 trang giúp bạn ôn tập hiệu quả và đạt điểm cao! Mời bạn đọc đón xem!
Trường: Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
lOMoARcPSD|359 747 69 APPLIED LINEAR ALGEBRA ASSIGNMENT 2 EXERCISE 1: Determine if the four 4 8 −1 vectors: 𝐴 = [ ], 𝐵 = [ 0 1 0 0 −3 5 0 −1 are linearly independent or ], 𝐶 = [ ], 𝐷 = [ ], not 2 2 2 7 1 SOLUTION
Assume that α1, α2, α3, α4 ∈ ℝ such that Aα1 + Bα2 + Cα3 + Dα4 = 0
α1 [40 81] + α2 [−10 20] + α3 [−32 25] + α4 [07 −11 ] = [00 00] [4α1 − α2 − 3α3 8α1 + 5α3 − α4 ] = [0 0] 2α3 + 7α4 α1 + 2α2 + 2α3 + α4 0 0 4α1 − α2 − 3α3 = 0 { 8α1 + 5α3 − α4 = 0 2α3 + 7α4 = 0 α1 + 2α2 + 2α3 + α4 = 0 4 −1 −3 0 0 1 2 2 1 0 ⟨8 0 5 −1|00⟩ ⇒ ⟨80 00 52 −17 |00⟩ 𝑅1 ↔ 𝑅4 0 0 2 7 1 2 2 1 0 4 −1 −3 0 0 1 2 2 1 0 ⟨0
−16 −11 −9|0⟩ 𝑅2 → −8𝑅1 + 𝑅2 0
0 2 7 0 𝑅4 → −4𝑅1 + 𝑅4 0 −9 −11 −4 0 1 2 2 1 0 ⟨00 −16−9 −11−11
−9−4|00⟩ 𝑅3 ↔ 𝑅4 0 0 2 7 0 lOMoARcPSD|359 747 69 1 2 2 1 0 0 −16 −11 −9 ⟨ |0⟩
𝑅3 → −9 16 𝑅2 + 𝑅3 0 00 0 0 2 7 0 1 2 2 1 0 −16 −11 −9 0 ⟨0 0
|00⟩ 𝑅4 → 3277 𝑅3 + 𝑅4 0 0 0 0 α1 = 0 {α2 = 0 α3 = 0 α4 = 0
The equation has a unique solution (0,0,0,0) Linear independent EXERCISE 2:
Determine if the three vectors or linearly dependent.
a = [5 1 2], b = [7 2 6] and c = [9 4 − 8] are linearly independent SOLUTION
Assume that α1, α2, α3, α4 ∈ ℝ such that aα1 + bα2 + cα3 = 0
α1 [5 1 2] + α2 [7 2 6] + α3 [9 4 −8] = [0 0 0]
[5α1 +7α2 +9α3 α1+2α2 +4α3 2α1+6α2 -8α3] = [0 0 0] 5α1 + 7α2 + 9α3 = 0 { α1 + 2α2 + 4α3 = 0 2α1 + 6α2 − 8α3 = 0 5 7 9 0 1 2 4 0 ⟨1 2 4 |0⟩ ⇒ ⟨5 7 9|0⟩ 𝑅1 ↔ 𝑅2 2 6 −8 0 2 6 8 0 ⟨10
−32 −114 |00⟩ 𝑅2 → −5𝑅1 + 𝑅2 0
2 −16 0 𝑅3 → −2𝑅1 + 𝑅2 lOMoARcPSD|359 747 69 1 2 4 0 ⟨0 −3 −11|0⟩ 0 0 0 α1 = 0
{α2 = 0 The equation has a unique solution (0,0,0,0) Linear independent α3 = 0 EXERCISE 3: Given
v1 = (1 , 1 , 2) , v2 = (1 , 1 , 0) , v3 = (0 , 2 , −3) . (a) Determine whether
{ v1 , v2, v3 } forms a basis of ℝ3.
( to { v1 b , ) v I 2 f
, the answer of the above question is yes, find the coordinates of u = (4 , 8 , −9) with v3 } respect SOLUTION
a) Dim(ℝ3) = 3, { v1 , v2, v3 } contains 3 vectors (1)
Assume that α1, α2, α3, α4 ∈ ℝ such that v1α1 + v2α2 + v3α3 = 0 1 1 0 0
α1 [1] + α2 [1] + α3 [ 2 ] = [0] 2 0 −3 0 α1 + α2 = 0 {α1 + α2 + 2α3 = 0 2α1 − 3α3 = 0 1 1 0 0 ⟨1 1 2 |0⟩ 2 0 −3 0 ⟨10 10
02 |00⟩ 𝑅𝑅32 → −2𝑅→ −𝑅11++𝑅𝑅23 0 −2 −3 0 1 1 0 0 ⟨0 −2 −3|0⟩ 𝑅2 ↔ 𝑅3 lOMoARcPSD|359 747 69 0 0 2 0 α1 = 0
{α2 = 0 The equation has a unique solution (0,0,0,0) α3 = 0
{ v1 , v2, v3 } are linearly independent (2)
From (1),(2) { v1 , v2, v3 } forms a basis of ℝ3
b) Assume that α1, α2, α3, α4 ∈ ℝ such that v1α1 + v2α2 + v3α3 = u 1 1 0 4
α1 [1] + α2 [1] + α3 [ 2 ] = [ 8 ] 2 0 −3 −9 α1 + α2 = 4 {α1 + α2 + 2α3 = 8 2α1 − 3α3 = −9 1 1 0 4 ⟨1 1 2 | 8 ⟩ 2 0 −3 −9 ⟨10 10
02 | 44 ⟩ 𝑅𝑅32→ −2𝑅→ −𝑅11++𝑅𝑅23 0 −2 −3 −17 1 1 0 4 ⟨0 −2 −3|−17⟩ 𝑅2 ↔ 𝑅3 0 0 2 4 −3 α1 = 2 {α2 = 112 α3 = 2 −3 11
Hence, 𝑢 = 2 𝑣1 + 2 𝑣2 + 2𝑣3
Therefore, 𝑢⁄{𝒗𝟏 , 𝒗2, 𝒗𝟑} = ( , , 2)
Document Outline
- APPLIED LINEAR ALGEBRA
- SOLUTION
- SOLUTION (1)
- SOLUTION (2)