Bài 2: Định thức | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội
Một mệnh đề về định thức nếu đã đúng cho hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
a
b ad bc BÀI 2 c d 1 §2: Định Thức 2.1 Mở đầu
ax by c
- Xét hệ phương trình sau: a'x b' y c'
Theo phương pháp Grame ta có công thức nghiệm sau: D D “Định thức” cấp 2 x ; y x y , (D 0) D D a b c b a c D ; D ; D
ac ' a 'c a ' b ' x c ' b ' y a ' c ' 2 §2: Định Thức Xét hệ phương trình sau:
a x a y a z b 11 12 13 1
a x a y a z b 21 22 23 2
a x a y a z b 31 32 33 3 a a a 11 12 13
Ta có thể định nghĩa: D a a a ? 21 22 23 a a a 31 32 33 3 §2: Định Thức b a a 1 12 13 a b a 11 1 13 D b a a ? D a b a ? x 2 22 23 y 21 2 23 b a a a b a 3 32 3 3 31 3 33 a a b D D 11 12 1 x ; y x y ; D D D a a b ? z 21 22 2 Dz z , (D 0) a a b 31 32 3 D 4 §2: Định Thức
Định thức cấp 2: a a 11 12 D
a a a a . 2 11 22 12 21 a a 21 22 Ví dụ: 2 3 2.65.3 3. 5 6 5 §2: Định Thức
Định thức cấp 3: (Quy tắc hình sao) a a a 11 12 13 D a a
a (a a a a a a a a a ) 3 21 22 23 11 22 33 31 12 23 13 32 21 a a
a (a a a a a a a a a ) 13 22 31 33 21 12 11 32 23 31 32 33 6 §2: Định Thức Ví dụ: Tính 2 1 5 1 4 0 = -108 3 6 2 2 1 5 1 4 0 =[2.4.(-2)+1.0.3+5.(-1).6] 3 6 2 -[5.4.3 +2.0.6+1.(-1).(-2)] =[-16+0-30]-[60+0+2]=-108 7 §2: Định Thức Bài tập: Tính 2 4 1 3 5 6 3 6 12 2 4 0 2 3 3 1 2 3 4 0 = -55 1 2 5 8 §2: Định Thức Ví dụ: Tính 1 2 3 2 4 1 (1.4.6 +3.2.1+3.2.5) 3 5 6 -(3.4.3 +6.2.2 +1.1.5) =(24+6+30)-(36+24+5)=60-65=-5 9 §2: Định Thức Bài tập: Tính 3 1 4 5 2 0 =[ 3.(-2).7+6.1.0+4.5.(-1) ] 6 1 7 -[ 4.(-2).6+7.1.5+3.0.(-1) ] = -62+13= - 49 10 §2: Định Thức 2.2 Định nghĩa
2.2.1 Đ/n1: Cho ma trận A=[a ] vuông cấp n. Phần phụ ij
đại số của a , kí hiệu là A , được xác định như sau ij ij i j A (1) det M ij ij
trong đó M là ma trận có được từ ma trận A bằng cách ij bỏ đi hàng i, cột j. 11 §2: Định Thức
Ví dụ: Cho ma trận 1 4 3 A 5 2 1 3 6 0 1 1 A ( 1) det(M ) 6 11 11 5 1 A ( ) 1 1 2 det(M ) 3 3 12 12 (1) 3 0 5 2 13 A ( 1 ) det(M ) 4 (1) 36 13 13 3 6 12 §2: Định Thức Bài tập: Với 1 4 3 A 5 2 1 3 6 0 Tính A 21 A 23 A 33 13 §2: Định Thức 2.2.2 Đ/n 2.
Cho ma trận vuông cấp n A [a ] ij
Định thức của A là một số được kí hiệu là detA, hay a a ... a 11 12 1n a a ... a 21 22 2n A ... ... ... ... a a ... a 1 n n2 nn
được xác định quy nạp theo n như sau:
Nếu n=1 thì |[a ]| = a 11 11. 14 §2: Định Thức
Nếu n=1 thì |[a ]| = a 11 11. Nếu n>1 thì 1 a 1 1 a 2 1 a n A A 1 a 1 1 A 1 1 a 2 1 A 2 1 a n 1 A * n
(khai triển theo hàng 1)
- Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là
định thức cấp n. 15 §2: Định Thức
Ví dụ: Tính định thức sau: 1 4 3 5 2 1 3 6 0 1 4 3 i 1 5 2
1 a A a A a A 11 11 12 12 13 13 3 6 0 . 1 ( 6 ) . 4 ( 3 ) ( 3 . ) 36 126 16 §2: Định Thức
2.3. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc (i) detAt = detA.
Hq : Một mệnh đề về định thức nếu đã đúng cho
hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại.
Do đó, trong các tính chất sau đây ta chỉ phát
biểu cho “hàng”. VÝ dô: 1 4 7 1 2 3 2 5 8 4 5 6 3 6 9 7 8 9 17 §2: Định Thức
(ii) Nếu đổi chỗ hai hàng bất kì của định thức
thì định thức đổi dấu VÝ dô: a b c x y z 1 h h3 * * * * * * . x y z a b c 18 §2: Định Thức
Hq. Khi tính định thức ta có thể khai triển theo hàng và cột bất kì. 2 2 1 0 j4 3 1 2 1
a A a A a A a A 14 14 24 24 34 34 44 4 4 0 4 3 0 5 0 4 2 2 2 1 2 2 1 6 8 . 0 A ( 1 1 ) 0 4 3 . 0 A ( 2 ( ) 1 ) 3 1 2 86 14 34 5 0 4 0 4 3 19 §2: Định Thức
Ví dụ: Tính định thức sau: 2 3 0 1 2 0 i4 5 7 ( 1 ( ) 1) 1 5 1 ( 6 1) 4 1 1 2 2 3 0 2 3 (24 5) 6( 3 26) 19 174 193 20