Bài 3 1 AX  B X  A  B 1
 §3: Ma trận nghịch đảo
Xét phương trình: a x = b. b 1 1 Ta có: x   b   a b.(a  0) a a
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có 1 AX B X A    B . 1 như vậy
A là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào? 2
 §3: Ma trận nghịch đảo Ta để ý: a x  b A X  B  a 1
 ax  a b 1 1  1
 A A X  A B  x 1  a b 1 1
 I X  A B
 x  a b 1 1
 X  A B Phải chăng 1
A A  I ? 3
 §3: Ma trận nghịch đảo 3.1 Định nghĩa.
a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma
trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=En
Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1. Như vậy, A.A-1 = A-1A=En 4
 §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét:
(1) Ma trận đơn vị E khả nghịch và n (E )-1=E n n (2) Ma trận không  không khả nghịch vì  A
.  A.  , A  5
 §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: 6
 §3: Ma trận nghịch đảo b. Tính chất:
Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một
số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và  ( i)  AB 1 1  1  B A  1 (ii) kA 1 1  A k 1  1
(iii) (A )  A 7
 §3: Ma trận nghịch đảo c. Ma trận phụ hợp Cho A  [ a ] i
j là ma trận vuông cấp n. Ma trận
phụ hợp của A, kí hiệu là P ,được định nghĩa A như sau:  A A ... An  11 21 1   A A ... A 12 22 n 2   P  A  ... ... ... ...    A A ...  A 1n 2n nn 
trong đó A là phần bù đại số của phần tử a ij ij của ma trận A. 8
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:  1 2
3 A  28 A  -29 A  -12 11 21 31   A  2 4
0 A  14 A  -5 A  -6   12 22 32  4 5 
7 A  -6 A  13 A  8   13 23 33  A A A    11 21 31     P  A A A  A 12 22 32      A A A     13 23 33    9 
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 2 0
0  A  -1 A  0 A  0 11 21 31   A  5 1 0 A  5 A  A  12 -2 0 22 32 
 A  17 A  A   -8 2 3 4 1   13 23 33    A A A    11 21 31     P  A A A  A 12 22 32      A A A     13 23 33    10
 §3: Ma trận nghịch đảo
3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
a. Sử dụng phần phụ đại số
Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
P .A  A.P  det A.E A A
trong đó, P là ma trận phụ hợp của ma trận A. A 11 
§3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ:  1 2 3 28 2  9 1  2     AP  2  4 0 14 5 6  A      4 5 7  6  13 8      38 0 0  1 0 0      0 38 0  38 0 1 0      0 0 38   0 0 1   12
 §3: Ma trận nghịch đảo
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A
khả nghịch là detA ≠0 . Khi đó,  1 1 A  PA det A 13 
§3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: 28 29 12 1 1   A  14 5  6  38    6  13 8    14 
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3  det( ) A  1   A  0 1 4   0 0 1     1 2  5   1   A  0 1 4  1  2 5      0 0 1   P  A 0 1  4       0 0 1    15 
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6  4 6   A    det( ) A  2 P  A 1 4     1 2   1  4 6  2 3   1 A      1  2 1  2  1    2  16 
§3: Ma trận nghịch đảo
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2 a b   d b   A   P    A   c d c a    
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2  5        1 2 5 2 5 1 A  A         1 2 det A 1  2 1 2        17
 §3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0.
-Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, được ma trận [A|E]
-Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển
ma trận [A|E] về dạng [E|B] -Khi đó B=A-1 18 
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3   A  0 1 4   1 2 2   19   Lời giải: 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0    h h  
A | E  0 1 4 0 1 0 3 ( 1  ) 1     0 1 4 0 1 0   1 2 2 0 0 1       0 0 1 1 0 1   1 2 0 2  0 3 1 0 0 6 2  5   h h   h h   2  4 3  0 1 0 4  1 4 (2) 1 2   0 1 0 4  1 4 1 h 3 3 h     0 0 1  1 0 1   0 0 1  1  0 1    1 0 0 6 2  5   h (1)   3  0 1 0 4 1 4 1   A   0 0 1 1 0 1     20