Bài 3: Ma trận nghịch đảo | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

25 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

30 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Na
1
Bài 3
1
AX X
B A B
2
§3: Ma trận nghịch đảo
)0(.
1
1
abab
aa
b
x
1
.AX B X A B
1
A
3
§3: Ma trận nghịch đảo
bax
bax
baaxa
bxa
1
1
11
1
1 1
1
1
A X B
A A X A B
I X A B
X A B
?
1
IAA
4
§3: Ma trận nghịch đảo
-1.
-1
-1
n
n
5
§3: Ma trận nghịch đảo
n
n
-1
n
A A A. . ,
6
§3: Ma trận nghịch đảo
7
§3: Ma trận nghịch đảo
-1
1
1 1
1
1
1 1
i)
1
(ii)
(iii) ( )
( AB B A
kA A
k
A A
8
§3: Ma trận nghịch đảo
A
ij
[ ]
A a
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
ij
ij
9
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
1 2 3
2 4 0
4 5 7
A
11
A
12
A
13
A
21
A
22
A
23
A
31
A
32
A
33
A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
10
§3: Ma trận nghịch đảo
2 0 0
5 1 0
3 4 1
A
11
A
12
A
13
A
21
A
22
A
23
A
31
A
32
A
33
A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
11
§3: Ma trận nghịch đảo
A A
P .A A.P det A.E
A
12
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 3 28 29 12
2 4 0 14 5 6
4 5 7 6 13 8
A
AP
38 0 0
0 38 0
0 0 38
1 0 0
38 0 1 0
0 0 1
13
§3: Ma trận nghịch đảo
1
1
A
A P
det A
14
§3: Ma trận nghịch đảo
1
28 29 12
1
14 5 6
38
6 13 8
A
15
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 3
0 1 4
0 0 1
A
det( ) 1
A
1 2 5
0 1 4
0 0 1
1 2 5
0 1 4
0 0 1
A
P
1
A
16
§3: Ma trận nghịch đảo
2 6
1 4
A
det( ) 2
A
4 6
1 2
1
2
2 3
4 6
1
1
1 2
2
A
P
1
A
17
§3: Ma trận nghịch đảo
1
2 5 2 5 2 5
1
1 2 1 2 1 2
det
A A
A
A
a b d b
A P
c d c a
18
§3: Ma trận nghịch đảo
-1
19
1 2 3
0 1 4
1 2 2
A
20
1 2 3 1 0 0
| 0 1 4 0 1 0
1 2 2 0 0 1
A E
3 1
( 1)
1 2 3 1 0 0
0 1 4 0 1 0
0 0 1 1 0 1
h h
2 3
1 3
4
3
1 2 0 2 0 3
0 1 0 4 1 4
0 0 1 1 0 1
h h
h h
1 2
( 2)
1 0 0 6 2 5
0 1 0 4 1 4
0 0 1 1 0 1
h h
3
( 1)
1 0 0 6 2 5
0 1 0 4 1 4
0 0 1 1 0 1
h
1
A
| 1/30
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài 3 1 AX  B X A  B 1
§3: Ma trận nghịch đảo
Xét phương trình: a x = b. b 1 1 Ta có: x   b   a b.(a  0) a a
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có 1 AX B X A    B . 1 như vậy
A là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào? 2
§3: Ma trận nghịch đảo Ta để ý: a x b A X Ba 1
ax ab 1 1  1
A A X ABx 1  ab 1 1
I X AB
x ab 1 1
X AB Phải chăng 1
AA I ? 3
§3: Ma trận nghịch đảo 3.1 Định nghĩa.
a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma
trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=En
Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1. Như vậy, A.A-1 = A-1A=En 4
§3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét:
(1) Ma trận đơn vị E khả nghịch và n (E )-1=E n n (2) Ma trận không  không khả nghịch vì  A
.  A.  , A  5
§3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: 6
§3: Ma trận nghịch đảo b. Tính chất:
Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một
số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và  ( i)  AB 1 1  1  B A  1 (ii) kA 1 1  Ak 1  1
(iii) (A )  A 7
§3: Ma trận nghịch đảo c. Ma trận phụ hợp Cho A  [ a ] i
j là ma trận vuông cấp n. Ma trận
phụ hợp của A, kí hiệu là P ,được định nghĩa A như sau:  A A ... An  11 21 1   A A ... A 12 22 n 2   P A  ... ... ... ...    A A ...  A 1n 2n nn
trong đó A là phần bù đại số của phần tử a ij ij của ma trận A. 8
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:  1 2
3 A  28 A  -29 A  -12 11 21 31   A  2 4
0 A  14 A  -5 A  -6   12 22 32  4 5 
7 A  -6 A  13 A  8   13 23 33  A A A    11 21 31     P A A AA 12 22 32      A A A     13 23 33    9 
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 2 0
0  A  -1 A  0 A  0 11 21 31   A  5 1 0 A  5 A A  12 -2 0 22 32 
A  17 A A   -8 2 3 4 1   13 23 33    A A A    11 21 31     P A A AA 12 22 32      A A A     13 23 33    10
§3: Ma trận nghịch đảo
3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
a. Sử dụng phần phụ đại số
Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
P .A A.P det A.E A A
trong đó, P là ma trận phụ hợp của ma trận A. A 11 
§3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ:  1 2 3 28 2  9 1  2     AP  2  4 0 14 5 6  A      4 5 7  6  13 8      38 0 0  1 0 0      0 38 0  38 0 1 0      0 0 38   0 0 1   12
§3: Ma trận nghịch đảo
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A
khả nghịch là detA ≠0 . Khi đó,  1 1 A PA det A 13 
§3: Ma trận nghịch đảoVí dụ: 28 29 12 1 1   A  14 5  6  38    6  13 8    14 
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3  det( ) A  1   A  0 1 4   0 0 1     1 2  5   1   A  0 1 4  1  2 5      0 0 1   P A 0 1  4       0 0 1    15 
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6  4 6   A    det( ) A  2 P A 1 4     1 2   1  4 6  2 3   1 A      1  2 1  2  1    2  16 
§3: Ma trận nghịch đảo
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2 a b   d b   A   P    A   c dc a    
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2  5        1 2 5 2 5 1 A  A         1 2 det A 1  2 1 2        17
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0.
-Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, được ma trận [A|E]
-Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển
ma trận [A|E] về dạng [E|B] -Khi đó B=A-1 18 
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3   A  0 1 4   1 2 2   19   Lời giải: 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0    h h  
A | E  0 1 4 0 1 0 3 ( 1  ) 1     0 1 4 0 1 0   1 2 2 0 0 1       0 0 1 1 0 1   1 2 0 2  0 3 1 0 0 6 2  5   h h   h h   2  4 3  0 1 0 4  1 4 (2) 1 2   0 1 0 4  1 4 1 h 3 3 h     0 0 1  1 0 1   0 0 1  1  0 1    1 0 0 6 2  5   h (1)   3  0 1 0 4 1 4 1   A   0 0 1 1 0 1     20