Bài 4. Tổng quan về xác suất và định lý giới hạn trung tâm

BÀI 4:
I. Tổng quan về xác suất
TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT
VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
(Ch.5 + Ch.7 + Ch.8 – Thống kê trong KT&KD)
Khái niệm về xác suất, biến ngẫu nhiên I II Tổng quan Định lý giới
Phân phối chuẩn và Phân phối chuẩn hoá về xác suất hạn trung tâm 1 2 1 2 Xác suất là gì?
Tại sao cần học xác suất và phân phối xác suất?
• Xác suất là một giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1, mô tả mức độ có thể xảy
ra của một biến cố (sự kiện).
ØVí dụ: Khi tung một đồng xu cân bằng, xác suất để ra mặt sấp hoặc mặt
ngửa là như nhau, bằng 50% cho mỗi trường hợp.
• Trong thống kê, xác suất giữ vai trò nền tảng. Nó cho phép chúng ta suy luận
từ mẫu dữ liệu thu thập được để ước lượng hoặc kiểm định các đặc trưng
của tổng thể mà mẫu đại diện.
ØVí dụ: Nếu ta chọn ngẫu nhiên một nhóm người trong dân số và tính thu
nhập trung bình của họ, ta có thể sử dụng các phương pháp thống kê để
ước lượng thu nhập trung bình của toàn bộ dân số. 3 4 3 4 Page 1
Phương pháp xác định xác suất
Phương pháp xác định xác suất
• Cách tiếp cận cổ điển về xác suất:
• Cách tiếp cận thực nghiệm về xác suất:
• Cách tiếp cận chủ quan về xác suất: 5 6 5 6 Biến ngẫu nhiên
Phân loại Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên được chia thành 2 loại chính:
• Biến ngẫu nhiên (BNN) là một biến có thể nhận các giá trị khác nhau một cách ngẫu nhiên.
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Ký hiệu: X là một biến ngẫu nhiên nếu giá trị của nó (X = xᵢ) xuất hiện một
• Là biến ngẫu nhiên chỉ có thể nhận các giá trị riêng rẽ, tách biệt. cách ngẫu nhiên. • Ví dụ:
• Số chấm xuất hiện khi tung một con xúc xắc.
• Xác suất để X nhận một giá trị cụ thể xi được ký hiệu: p(xi) = P(X= xᵢ)
• Số môn học mà một sinh viên đăng ký trong kỳ.
• Nếu biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị có thể có xi, khi đó:
2. Biến ngẫu nhiên liên tục !" # ! # ( " ! "
• Là biến ngẫu nhiên có thể nhận vô số giá trị trong một khoảng (phạm vi) nhất ! ) !$%&'$())$ ! định. *" " #(" = • Ví dụ: ! ) ! ! "
• Chiều cao của trẻ em ở một địa phương. 7
• Lượng mưa đo được trong một năm. 8 7 8 Page 2
Quy luật phân phối xác suất của BNN
Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
• Quy luật phân phối xác suất của BNN là mối quan hệ giữa các giá trị • BNN RỜI RẠC: • BNN LIÊN TỤC:
mà BNN có thể nhận và xác suất tương ứng với các giá trị đó. üQuy luật Không – Một; üPhân phối chuẩn
• Có 3 cách mô tả quy luật phân phối xác suất: üQuy luật nhị thức; üPhân phối Student
ØBảng phân phối xác suất (Áp dụng cho BNN rời rạc) üQuy luật Poisson üPhân phối Fisher
ØHàm mật độ xác suất f(x) (Áp dụng cho BNN liên tục)
ØHàm phân phối xác suất F(x) (Áp dụng cho cả BNN rời rạc và liên ü… ü… tục) 9 10 9 10
Phân phối chuẩn (PPC)
• Hàm mật độ xác suất: Trong đó:
üx: giá trị của biến hoặc dữ liệu đang PHÂN PHỐI CHUẨN
được kiểm tra và f (x) hàm mật độ xác suất üμ: trung bình üσ: độ lệch chuẩn
• Đường cong f(x) có dạng hình
chuông, đối xứng qua giá trị trung
bình µ, có đỉnh tại x=µ, đồ thị
tiệm cận 0 khi x → ±∞. 11 12 11 12 Page 3
Phân phối chuẩn (PPC)
Phân phối chuẩn (PPC)
1. Giá trị trung bình (Kỳ vọng): E(X) = µ 2. Phương sai: V(X) = σ²
3. Kí hiệu: X ~ N(µ, σ²)
4. Tổng diện tích dưới đường cong bằng 1
5. Giá trị trung bình thay đổi –> vị trí đường cong thay đổi dọc theo trục x
6. Phương sai thay đổi –> đồ thị nhọn hoặc thoải. Độ lệch chuẩn càng nhỏ,
đường cong càng hẹp; ngược lại, độ lệch chuẩn càng lớn, đường cong càng thoải. 13 14 13 14
Phân phối chuẩn (PPC)
Tính xác suất từ PPC
• Nhìn chung, ta cần tính P(X• Hoặc tính P(a15 16 15 16 Page 4
Tính xác suất từ PPC
Phân phối chuẩn hoá
• Về mặt toán học: tính tích phân
• Phân phối chuẩn hóa là
phân phối chuẩn với
P(atrung bình bằng 0 và
phương sai bằng 1. => Không dễ!
• Kí hiệu: Z ~ N(0, 1) => Chuẩn hoá 17 18 17 18 Chuẩn hóa
Tính xác suất từ PPC (cont.)
• Chuẩn hoá là quá trình chuyển một biến có phân phối chuẩn về biến
• Giả sử X ~ N(μ,σ²), tính xác suất dạng 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 : phân phối chuẩn hoá. ÞChuẩn hoá:
• Giả sử X ~ N(μ,σ²), ta chuẩn hoá X bằng công thức: 𝑎 − 𝜇 𝑏 − 𝜇
𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑃 < 𝑍 < 𝑋 − 𝜇 𝜎 𝜎 𝑍 = 𝜎 Gọi 𝑧! = "#$ và 𝑧
. Khi đó: 𝑷 𝒂 < 𝑿 < 𝒃 = 𝑷 𝒛 % & = '#$ % 𝟏 < 𝒁 < 𝒛𝟐
Khi đó 𝑍 có phân phối chuẩn chuẩn hóa: 𝑍 ∼ 𝑁(0,1)
Þ Bảng Phụ lục B.3 liệt kê các giá trị xác suất P(0 < Z < z), với z ≥ 0
Þ Tính P(a < X < b) thông qua Z => Sử dụng bảng z (Phụ lục B.3) để tra xác suất 19 20 19 20 Page 5 Quy tắc đối xứng
Giá trị 𝒛𝜶 của phân phối chuẩn hoá
• P(Z > z) = 1 – P(Z < z)
• Định nghĩa: 𝒛𝜶 là giá trị sao cho: Với 𝑧 > 0 thì: 𝑷 𝒁 > 𝒛𝜶 = 𝜶
• P(Z < z) = 0.5 + P(0 < Z < z)
• Một số giá trị thường dùng: • P(Z < -z) = P(Z > z) § z0.05 = 1.645
• 𝑃 −𝑧 < 𝑍 < 𝑧 = 2𝑃 0 < 𝑍 < 𝑧 § z0.025 = 1.96 Với z1 < z2: § z0.005 = 2.576
• 𝑃 z! < 𝑍 < z& = P(Z < z&) – P(Z < z!) 21 22 21 22
Tính xác suất từ PPC Phân phối chuẩn
VÍ DỤ: Giả sử thu nhập hàng tuần của các tài xế tuân theo phân phối chuẩn
• Quy tắc 3 sigma: Đối với phân phối chuẩn:
với giá trị trung bình là $1,000 và độ lệch chuẩn là $100. Tính xác suất chọn
Ø Khoảng 68.27% các quan sát nằm trong
ngẫu nhiên một tài xế thì:
phạm vi (+) và (-) 1 lần độ lệch chuẩn so với trung bình
a) Tài xế đó có thu nhập hàng tuần từ $1,000 đến $1,100
Ø Khoảng 95.45% các quan sát nằm trong
b) Tài xế đó có thu nhập từ $790 đến $1,000
phạm vi (+) và (-) 2 lần độ lệch chuẩn so với
c) Tài xế đó có thu nhập thấp hơn $790 trung bình
Ø Khoảng 99.73% các quan sát nằm trong
d) Tài xế đó có thu nhập từ $840 đến $1,200
khoảng (+) và (-) 3 lần độ lệch chuẩn so với
e) Tài xế đó có thu nhập từ $1,150 đến $1,250 trung bình 23 24 23 24 Page 6 Phân phối chuẩn
II. Định lý giới hạn trung tâm
Phân phối của trung bình mẫu
Định lý giới hạn trung tâm 25 26 25 26
Phân phối của trung bình mẫu
Phân phối của trung bình mẫu
• Giả sử ta có một tổng thể với trung bình 𝜇 và phương sai 𝜎&.
• Tính chất cơ bản:
• Kỳ vọng/Trung bình: 𝔼 X = µ
• Lấy một mẫu ngẫu nhiên kích thước 𝑛, ta tính trung bình mẫu: • Phương sai: Var X = !! - " 1
→ Khi 𝑛 tăng, X dao động ít hơn quanh 𝜇. X = @ 𝑋 𝑛 + +,!
• Trường hợp tổng thể chuẩn:
• Mỗi lần lấy mẫu, ta có thể thu được một giá trị trung bình khác nhau.
• Nếu tổng thể gốc 𝑋 ∼ N(𝜇, 𝜎#), thì trung bình mẫu X cũng phân phối
• Do đó, trung bình mẫu X là một biến ngẫu nhiên, và nó có một phân chuẩn:
phối xác suất riêng, gọi là phân phối mẫu của trung bình. 𝜎# X ∼ 𝑁 𝜇 𝑛 27 28 27 28 Page 7
Định lý giới hạn trung tâm (Central Limit Theorem – CLT)
Định lý giới hạn trung tâm (Central Limit Theorem – CLT)
• Nếu tổng thể không phải chuẩn, thì khi 𝑛 lớn (thường 𝒏 ≥ 𝟑𝟎 là đủ
trong thực hành), phân phối của X vẫn tiệm cận phân phối chuẩn: 𝜎& X ≈ 𝑁 𝜇 𝑛
• Đây là nền tảng để:
üDùng phân phối chuẩn trong kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy.
üGiải thích tại sao nhiều hiện tượng trong tự nhiên và xã hội có xu hướng “gần chuẩn”. 29 30 29 30
Sai số trung bình chọn mẫu
Định lý giới hạn trung tâm (Central Limit Theorem – CLT) VÍ DỤ:
• Độ lệch chuẩn của các trung bình mẫu là % , trong đó n là cỡ mẫu.
Một tổng thể có phân phối chuẩn với giá trị trung bình là $60 và độ lệch chuẩn .
là $12. Lấy một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể với cỡ mẫu bằng 9.
• Đại lượng % được gọi là sai số trung bình chọn mẫu.
a. Áp dụng Định lý giới hạn trung tâm để mô tả phân phối của các trung .
bình mẫu với cỡ mẫu n = 9. Với một cỡ mẫu nhỏ như thế này, bạn cần
điều kiện gì để có thể áp dụng được Định lý giới hạn trung tâm?
b. Tính sai số trung bình chọn mẫu.
c. Tính xác suất lấy được một mẫu có giá trị trung bình lớn hơn $63.
d. Tính xác suất lấy được một mẫu có giá trị trung bình nhỏ hơn $56.
e. Tính xác suất lấy được một mẫu có giá trị trung bình từ $56 đến $63. 31 32 31 32 Page 8