Bài 5.1 - Các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương pháp giải
Bài 5.1 - Các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương pháp giải
Môn: Quản trị tài chính doanh nghiệp (FIN305) 8 tài liệu
Trường: Đại học Kinh Tế - Tài Chính Thành phố Hồ Chí Minh 268 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
Các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương pháp giải
Ma trận phụ hợp và các tính chất
Cho ma trận A = (aij)n×n và Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A. Khi đó: ⎛A11 A21 ... An1 ⎞
Ma trận A∗ = ⎜A12 A22 ... An2⎟đượcgọilàmatrậnphụhợpcủamatrậnA. . . . . . . . . . . . . ⎝A ⎠ 1n A2n . . . Ann Vậy A∗ = (a∗ ) = (A ij ji)
và (kA) = kn−1Aij ⇒ (kA)∗ = kn−1A∗. Suy ra n×n n×n ij
Phần tử thuộc trên dòng i, cột j của ma trận phụ hợp A∗ là a∗ij = Aji = (−1)j+iMji
Phần tử thuộc trên dòng i, cột j của ma trận phụ hợp (kA)∗ là kn−1Aji = kn−1(−1)j+iMji ⎛ 1 2 m −1⎞
Ví dụ 1: Cho ma trận A = ⎜ 3 4 −2 5 ⎟. Tìm phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của các ma trậnphụ hợp A∗ và ⎜−3 4 1 2 ⎟ ⎝−1 2 −3 4 ⎠ (−2023A)∗. ∣ 1 2 −1 ∣
Giải. Ta có A∗ = (a∗ ∗ ∣ ij )n×n = (Aji) ⇒ a = A n×n 32
23 = (−1)2+3 ∣∣−3 4 2 ∣ = −34. ∣ −1 2 4 ∣
Và (kA) ij= kn−1Aij ⇒ (kA)∗ = kn−1A∗. Suy ra phần tử thuộc trên dòng i, cột j của ma trận phụ hợp (kA)∗ là
kn−1Aji = kn−1(−1)j+iMji.
Vậy phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của ma trận (−2023A)∗ là ∣ 1 2 −1 ∣
(−2023)3(−1)2+3 ∣∣−3 4 2 ∣∣ = −34 × 20233. ∣ −1 2 4 ∣
Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận A = (a b ). Áp dụng tìm ma trận A nếu A∗ = c d (2022 2023 2024 2025). Giải. Ta có A = a ⇒ A∗ = d −b .
11 = d, A12 = −c, A21 = −b, A22 ( ) −c a ∗
Vậy nếu A = (2022 2023 ) ⇒ a = 2025; b = −2023; c = −2024; d = 2022 ⇒ A = ( 2025 −2023). 2024 2025 −2024 2022 ⎛ 1 2 3 ⎞
Ví dụ 3: Cho ma trận A = ⎜ −1 0 4 ⎟. Tìm ma trận phụ hợp A∗ của A. ⎝ 2 5 −1⎠ Giải. Ta có
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 ∣ 0 4 ∣ ∣ −1 4 ∣ ∣ −1 0 ∣ A11 = ∣ ∣ = −20, A12 = − ∣ ∣ = 7, A13 = ∣ ∣ = −5 ∣ 5 −1 ∣ ∣ 2 −1 ∣ ∣ 2 5 ∣ ∣ 2 3 ∣ ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 2 ∣ A21 = −∣ ∣ = 17, A22 = ∣ ∣ = −7, A23 = − ∣ ∣ = −1 ∣ 5 −1 ∣ ∣ 2 −1 ∣ ∣ 2 5 ∣ ∣ 2 3 ∣ ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 2 ∣ A31 = ∣ ∣ = 8, A32 = − ∣ ∣ = −7, A33 = ∣ ∣ = 2 ∣ 0 4 ∣ ∣ −1 4 ∣ ∣ −1 0 ∣ ⎛−20 17 8 ⎞
Vậy A∗ = ⎜ 7 −7 −7 ⎟. ⎝ −5 −1 2 ⎠
Các tính chất của ma trận phụ hợp
Bổ đề 1: Cho ma trận vuông A = (aij)n×n và Aij là phần bù đại số của phần tử aij. Chứng minh rằng: i) a = det(A), i = k ; i1Ak1 + ai2Ak2+. . . +ain Akn { 0,i≠k ii) a = det(A), j = q .
1j A1q + a2jA2q +. . . +anj Anq { 0,j≠q
Bổ đề 2: Cho ma trận vuông A = (aij)
có A∗ là ma trận phụ hợp của A n×n , khi đó: AA∗ = A∗A = det(A)E.
Bổ đề 3: Ta có det(A∗) = (det(A))n−1.
Bổ đề 4: Nếu det(A) = 0 khi đó các cột của A∗ là nghiệm của hệ thuần nhất AX = O.
Chứng minh bạn đọc xem tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu-hop-cua-
Chung-minh-rang-a-b-/57eb1653-e4e6-47fe-b3e6-d34a7fe5b859
Định nghĩa ma trận nghịch đảo
a) Xét ma trận vuông A. Ma trận vuông X cùng cấp với A được gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu thoả mãn
AX = XA = E, kí hiệu là A−1. Vậy AA−1 = A−1A = E. Ma trận nghịch đảo nếu tồn tại thì đó là duy nhất.
b) Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi A có định thức khác 0, khi đó A−1 = 1 A∗. Trường det(A)
hợp này ta gọi A là ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến. Ngược lại nếu định thức của A bằng 0 thì ta gọi A là ma trận suy biến.
Bài toán tìm phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận nghịch đảo
+ Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A−1 là 1 ∗ a = 1 A det( ji. A) ij det(A) + Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận (kA)−1 là 1 (kA) kn−1A A det(kA) ji = 1 k ji = 1 ji. n det(A) k det(A)
+ Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận (A′)−1 là 1 A′ji = 1 A′ji. det(A′) det(A) + Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận (kA′)−1 là 1 (kA′) kn−1A′ ji = 1 ji = 1 A′ji. det(kA′) kn det(A) k det(A)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 1
c) Từ A. A−1 = A−1. A = E ⇒ det (A) . det (A−1) = det (E) = 1 ⇒ det(A−1) = . det(A)
d) Với A, B là các ma trận vuông cùng cấp không suy biến ta có (AB)∗ = B∗A∗ và (AB)−1 = B−1A−1.
Chứng minh xem tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-hai-ma-tran-vuong-cung-cap-va-khong-suy-bien-Chung-
minh-rang-/d6ad5a5f-dd59-4087-9aa1-c4623f2dfbc2
e) Với A là ma trận không suy biến thì (A−1 )∗ = (A∗)−1 = 1 A và A = 1 (A∗)∗ det(A) (det(A))n−2
Chứng minh xem tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-vuong-cap-khong-suy-bien-Chung-minh-rang-
va/7cec8c04-4c34-49f8-827e-d2b08a897478 ⎛ 1 m 2 3⎞
Ví dụ 1: Cho ma trận A = ⎜−1 2 1 0⎟. Tìmđiều kiện đểA khả nghịch, khiđó: ⎜ 2 3 0 2⎟ ⎝ 3 −1 3 1⎠
a) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận A−1;
b) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận (6A)−1;
c) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận (6A′)−1;
d) Tìm các ma trận (A∗)−1 và(A−1) .∗ 17
Giải. Ta có det(A) = 85 − 10m. Vậy A khả nghịch⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ . 2 a) Có A−1 =
1 A∗ nên phần tử cần tìm là det(A) 1 1 1 ∣ 1 2 3 ∣ 15 3 a∗ = A32 = (−1)3+2 ∣ −1 1 0 ∣ = = . det(A) 23 det(A) 85 − 10m ∣ ∣ 85 − 10m 17 − 2m ∣ 3 3 1 ∣ 1 b) Có (6A)−1 = 1 (6A)∗ = 63A∗ = 1 A∗. det(6A) 64 det(A) 6 det(A) 1 1 1 ∣ 1 2 3 ∣ 1
Vậy phần tử cần tìm là a∗ = A32 = (−1)3+2 ∣ −1 1 0 ∣ = . 6 det(A) 23 6 det(A) 6(85 − 10m) ∣ ∣ ∣ 3 3 1 ∣ 2(17 − 2m) ∗ c) Có (6A′)−1 = 1 (A′ ) .(Xem bài giảng) 6 det(A) ⎛ 1 m 2 3⎞
d) Có (A∗)−1 = (A−1)∗ = 1 A = 1 ⎜−1 2 1 0⎟. det(A) 85 − 10m ⎜ ⎝ 2 3 0 2⎟ 3 −1 3 1 ⎠
Ví dụ 2: Cho A là ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử đều là số nguyên. Chứng minh rằng ma trận nghịch đảo
A−1 có tất cả các phần tử là số nguyên khi và chỉ khi det(A) = ±1.
Giải. Chú ý aij ∈ Z ⇒ Aij ∈ Z.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 Nếu det(A) = ±1 ⇒ A−1 =
1 A∗ = ±A∗ cótấtcảcácphầntửlàsốnguyên. det(A)
Ngược lai nếu A−1 có tất cả các phần tử là số nguyên thì det(A−1) = 1 ∈ Z ⇔ det(A) = ±1. det(A)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức liên quan đến định thức và ma trận phụ hợp A−1 = 1 A∗. det(A)
Ví dụ 1: Cho ma trận A = (a b). Tìmđiều kiện của a,b,c,d để ma trận A có ma trận nghịch đảo. Khi đó tìm c d ma trận A−1.
Giải. Ta có det(A) = ad − bc. Vậy A có ma trận nghịch đảo ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ ad − bc ≠ 0. Khi đó A−1 = 1 A∗ = 1 ( d −c). det(A) ad − bc −b a ⎛ 1 2 3 ⎞
Ví dụ 2: Cho ma trận A = ⎜ −1 0 4 ⎟. Tìm ma trận nghịch đảo A−1 của A bằng công thức ⎝ 2 5 −1⎠ A−1 = 1 .A∗. det (A)
Giải. Ta có det(A) = −21. A ∣ 0 ∣ 4 ∣∣ = −20, ∣ −1 4 ∣ ∣ −1 ∣ = 7, A 11 = A 13 = ∣ 0 ∣∣ 12 = − ∣ = −5 ∣ 5 −1 ∣ ∣ 2 −1 ∣ ∣ 2 5 ∣ A ∣ 2 ∣ 3 ∣∣ = 17, ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 ∣ = −7, A23 = − ∣ 2 ∣∣ 21 = − A22 = ∣ = −1 ∣ 5 −1 ∣ ∣ 2 −1 ∣ ∣ 2 5 ∣ A ∣ 2 ∣ 3 ∣ ∣ 1 3 ∣∣ = −7, ∣ 1 2 ∣∣ 31 = ∣ = 8, A32 = − ∣ A33 = ∣ = 2 ∣ 0 4 ∣ ∣ −1 4 ∣ ∣ −1 0 ∣ 1 1 ⎛−20 17 8 ⎞ Vậy A−1 = . A∗ = − ⎜ 7 −7 −7⎟. det(A) 21 ⎝ −5 −1 2 ⎠ ⎛2 −1 3⎞
Ví dụ 3: Cho ma trận A = ⎝ ⎜1 a 3⎠⎟. 3 0 2
a) Tìm a để A khả nghịch;
b) Với a = −2, bằng cách tìm ma trận (A − 3E)−1 theo ma trận phụ hợp áp dụng giải phương trình AX = 3X + B với B = ( 3 4 −1 )′. 7
Giải. Ta có A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) = −5a − 7 ≠ 0 ⇔ a ≠ − . 5 ⎞ ⎜⎛ 3 Ta có B = ( 3 4 −1 )′ =
4 ⎟. PhươngtrìnhAX = 3X + B ⇔ (A − 3E)X = B ⇔ X = (A − 3E)−1B ⎝−1⎠
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5 ⎛−1 −1 3 ⎞
Khi a = −2 ⇒ D = A − 3E = ⎝⎜ 1 −5 3 ⇒det(D)=30 ⎟ 3 0 −1 ⎠ Ta có D ∣ −5 ∣ 3 ∣ D ∣ 1 3 ∣∣ = 10, ∣ 1 −5 ∣ D 11 = ∣ = 5, 12 = − ∣ 13 = ∣ ∣ = 15; ∣ 0 −1 ∣ ∣ 3 −1 ∣ ∣ 3 0 ∣ D ∣ −1 3 ∣∣ = −1, ∣ −1 3 ∣ ∣ −1 −1 ∣∣ 21 = − ∣ D22 = ∣ ∣ = −8, D23 = − ∣ = −3; ∣ 0 −1 ∣ ∣ 3 −1 ∣ ∣ 3 0 ∣ D ∣ −1 3 ∣ ∣ −1 3 ∣ ∣ −1 −1 ∣ 31 = ∣ ∣ = 12, D32 = − ∣ ∣ = 6, D33 = ∣ ∣ = 6 ∣ −5 3 ∣ ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 −5 ∣ ⇒ D−1 = 1 D∗ = 1 ⎛ 5 −1 12⎞ ⎜10 −8 6 ⎟ det (D) 30 ⎝15 −3 6 ⎠
1 ⎛ 5 −1 12 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 1 ⎛−1 ⎞ ⇒ X = D−1B =
∗ ⎜10 −8 6 ⎟ ∗ ⎜ 4 ⎟ = ⎜−8⎟.
30 ⎝15 −3 6 ⎠ ⎝−1 ⎠ 30 ⎝ 27 ⎠ ⎛a b 0⎞
Ví dụ 4: Cho ma trận A = ⎝
⎜c 0 b⎠⎟.TínhđịnhthứccủamatrậnAvàtìmđiềukiệnđểAkhảnghịch.Khiđó 0 c a
hãy tìm ma trận nghịch đảo A−1. ∣ 0 b ∣ ∣ b 0 ∣
Giải. Khai triển theo cột 1 ta có det (A) = a ∣ ∣ − c ∣
∣ = −abc − abc = −2abc. ∣ c a ∣ ∣ c a ∣
Ma trận A khả nghịch khi det(A) ≠ 0 ⇔ abc ≠ 0. ⎛ 1 1 − b ⎞ A∗ ⎜ 2a 2c 2ac 1 ⎟
Áp dụng công thức A−1 = 1 = ⎜ 1 − a ⎟. det (A) ⎜ 2b 2bc 2c c 1 1 ⎟ ⎝− 2ab 2b 2a ⎠
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp (A|E) → (E|A−1). ⎛4 2 2⎞
Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎝
⎜2 2 2⎠⎟bằngphépbiếnđổisơcấp(A|E)→(E|A−1). 2 2 6
Biến đổi sơ cấp ma trận (A|E)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6 ⎛4 2 2 1 0 0⎞ −d1+2d2 −d ⎛4 2 2 1 0 0 1+2d3 ⎞ (A|E) = 0
⎝⎜2 2 2 0 1 ⎟−−−−−−→⎜0 0 2 2 −1 2 ⎟ 2 2 6 0 0 1⎠ ⎝0 2 10 −1 0 2⎠ −d2+d3 ⎛ 4 2 2 1 0 0 ⎞ −d3+4d2 −d ⎛16 8 0 4 2 −2⎞ 3+4d1
−−−−−→⎝⎜0 2 2 −1 2 0 ⎟⎠ −−−−−−→⎜⎝ 0 8 0 −4 10 −2⎟⎠ 0 0 8 0 −2 2 0 0 8 0 −2 2 1 d1 16 1 d2 8 ⎛ 1 1 0 0 1 − 1 0 ⎞ −d 8 2+d1 ⎛16 0 0 8 −8 0 ⎞ d3 ⎜ 2 2 ⎟ −−−−−→ ⎜ 1 5 1 ⎟
⎝⎜ 0 8 0 −4 10 −2⎟⎠−−−−−→⎜0 1 0 −2 4 −4 . 0 0 8 0 −2 2 ⎜ 1 1 ⎟ ⎝0 0 1 0 − ⎠ 4 4 ⎛ 12 −12 0 ⎞ ⎜ ⎟
Vậy A−1 = ⎜− 1 5 − 1 ⎟. ⎜ 2 4 4 ⎟ 0 − 1 1 ⎝ ⎠ 4 4 ⎛1 −3 1⎞
Ví dụ 2: Cho ma trận A = ⎜0 2 3 ⎟. ⎝2 a 5⎠
a) Tìm a để A khả nghịch; tìm phần tử nằm trên dòng thứ hai và cột thứ hai của ma trận A−1.
b) Với a = −2, tìm ma trận nghịch đảo của A bằng cách biến đổi (A|E) → (E|A−1). Khi đó tìm ma trận X thoả ⎛ 2 −4 ⎜−5 3 ⎟⎞ mãn AX = ⎝ ⎠. 1 −5 Giải.
a) Ta có điều kiện là det(A) = −3(a + 4) ≠ 0 ⇔ a ≠ −4. Khi đó phần tử nằm trên dòng thứ hai và cột thứ hai là 1 A22 = 1 ∣∣ 1 1 ∣∣ = − 1 . det(A) −3(m + 4) ∣ 2 5 ∣ m + 4 ⎛1 −3 1⎞ b) Với a = −2 ⇒ A = ⎝ ⎜0 2 3⎠⎟. Khiđó: 2 −2 5
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7
⎛1 −3 1 1 0 0⎞ −2d1+d3 ⎛1 −3 1 1 0 0⎞ (A|E) = 1 0 ⎝⎜0 2 3 0 ⎟ −−−−−− ⎜0 0 → 2 3 0 1 ⎟ 2 −2 5 0 0 1⎠ ⎝0 4 3 −2 0 1⎠ −2d2+d3 ⎛ 1 −3 1 1 0 0 ⎞ d3+d2 d ⎛3 −9 0 1 −2 1⎞ 3+3d1
−−−−−−→⎝⎜0 2 3 0 1 0 ⎟⎠ −−−−−→⎜⎝ 0 2 0 −2 −1 1⎟⎠ 0 0 −3 −2 −2 1 0 0 −3 −2 −2 1 1 d1 6 1 d2 2 11 1 1 0 0 − 8 ⎛ ⎞ 3 9d
−−−−−→ ⎛ 6 0 0 −16 −13 11 ⎞ ⎜ − 13 6 6 2+2d1 − d3 3 1 1 ⎟
⎝⎜0 2 0 −2 −1 1 ⎟⎠−−−−−→⎜0 1 0 −1 −2 2 ⎟ 0 0 −3 −2 −2 1 ⎜ 2 ⎝ 2 1 ⎟ 0 0 1 ⎠ 3 3 − 3 ⎛− 8 − 13 11 ⎞ Vậy A−1 = ⎜ 3 6 6 ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟. ⎜ 2 2 2 2 ⎟ ⎝ − 1 3 3 ⎠ 3⎛ 2 −4⎞ ⎛ 2 −4⎞
+) Phương trình ma trận: AX = ⎜ −5 3 ⎟ ⇔ X = A−1 ⎜ −5 3 ⎟ ⎝ 1 −5⎠ ⎝ 1 −5⎠ ⎛− 8 13 − 11 ⎞ ⎛ 22 ⎞
⎜ 3 6 6 ⎟⎛ 2 −4⎞ ⎜ 3 −5 = ⎟ ⎜ −1 − 1 1 ⎜ ⎟ −5 3 ⎟ = ⎜ 1 0 ⎟. ⎜ 2 2 2 ⎟⎝ 1 −5 ⎠ ⎜ 7 ⎟ 2 1 ⎝− ⎝ ⎠ 3 1 ⎠ 3 3 − 3
Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình
Giả sử ma trận A khả nghịch (không suy biến) khi đó tồn tại ma trận nghịch đảo A−1, ngoài các phép biến đổi sơ
cấp hay tìm ma trận nghịch đảo theo công thức của ma trận phụ hợp ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình: ⎛x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞
Xét hệ phương trình tuyến tính A ⎜ x2 ⎟ = ⎜ y2 ⎟. ⎜...⎟ ⎜ ⎝ . . . ⎟ x ⎠ ⎝ ⎠ n yn
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|8 ⎛x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞
Ta biết rằng nghiệm của hệ phương trình này xác định bởi ⎜ x2 ⎟ = A−1⎜ y2 ⎟.Vì vậy nếu tìm được nghiệm của ⎜...⎟ ⎜ ⎝ ⎠ . . . ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ xn yn x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞
hệ phương trình dạng ⎜ x2 ⎟ = B⎜ y2 ⎟ ⇒ A−1 = B. ⎜...⎟ ⎜ ⎝ . . . ⎟ x ⎠ ⎝ ⎠ n yn ⎛1 0 −1 −63⎞
Câu 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜0 2 4 ⎟. 0 ⎝ 0 −2 3 0 0 0 −1⎠ ⎧ 1 3 ⎪x ⎛1 0 − 1 3 1 = y1 − y3 + y4 ⎞ ⎧ 2 2
⎪ x1 −x3 +3x4 = y1 ⎪ 2 2 ⎜ 1 ⎟ Xét hệ ⎨2x 2 0
2 + 4x3 − 6x4 = y2 ⇔ ⎨ x = 1 y 2 2 + y3
⇒ A−1 = ⎜⎜ 2 1 0 ⎟.⎟ ⎩⎪ −2x3+3x4=y3 −x4 = y4 ⎪ 1 3 ⎜ 1 3 ⎟ ⎪ x3=−2y3− 2y4 ⎜0 0 − 2 −2 ⎟ ⎩ x ⎝ 4 = −y4 0 0 0 −1 ⎠ ⎛1 −2 3 −4⎞
Câu 2. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜ 0 3 1 −2 ⎟. ⎜0 −2 ⎟ ⎝ 0 1 0 0 0 1 ⎠
⎪⎧x1 −2x2+3x3 −4x4 = y1 ⎧⎪x1 = y1+2y2+y3 ⎛1 2 1 0⎞ Xét hệ ⎨ ⎪ x
⎩⎪ 2 −2x3 +3x4 = y2 ⇔ x2 = y2+2y3+y4 ⇒ A−1 = 0 1 2 1 . x3 − 2x4 = y3 x 0 0 1 2 x ⎪⎩⎨ 3=y3+2y4 ⎜ ⎟ ⎝ 4 = y4 x4 = y4 0 0 0 1 ⎠ ⎛ a b b ... b ⎞ b a b . . . b
Câu 3: Cho ma trận A = ⎜ ⎜ b b a ... b ⎟. ⎝... ... ... ... ...⎟ b b b . . . a ⎠ a) Tính det(A);
b) Giả sử det(A) ≠ 0, tìm A−1.
Giải. a) Xem đề thi các phương pháp tính định thức ma trận.
⎧⎪ax1+bx2+...+bxn=y1 ⎧⎪ (a−b)x1+bS =y1
b) Xét hệ phương trình tuyến tính ⎨ bx1 + ax2+...+bxn = y2 . tacó ⎨(a−b)x2 +bS = y2 . . . . ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ . . . bx1 + bx2+. . . +axn = yn (a − b)xn + bS = yn yk − bS Suy ra x
,k = 1,2,...,n và cộng tất cả các phương trình của hệ có: k = a − b
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|8
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|9
(a − b)(x1 + x2+. . . +xn) + nbS = y1 + y2+. . . +yn y ⇔ (a − b)S + nbS = y 1 + y2+. . . +yn 1 + y2+. . . +yn ⇔ S = . a + (n − 1)b Do đó y1 + y2+. . . +yn k y − b x a + (n − 1)b = 1
(−by − by − (a + (n − 2)b)y −. . . −by ) , k = 1, 2, . . . , n. k = a − b (a − b) (a + (n − 1)b) 1 2 k n Vì vậy ⎛−(a +(n−2)b) −b −b . . . −b ⎞ −b −(a + (n − 2)b) −b . . . −b ⎟ A−1 = 1 ⎜ −b −b −(a + (n − 2)b) . . . −b ⎟. (a − b) (a + (n − 1)b) ⎜ ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ⎝ −b −b −b . . . −(a + (n − 2)b) ⎠ ⎛11 1 1 1 10⎞
Câu 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜1 1 0 1 1⎟. 1 1 1 1 0 ⎝0 1 1 1 1⎠ ⎧x ⎪ 1+x2+x3 +x4 = y1 ⎪x1+x3+x4+x5 = y2
Xét hệ phương trình tuyến tính ⎨⎪⎩ ⎪ xx1+x2+x4+x5=y3 . 1 + x2 + x3 + x4 = y4 x2 + x3 + x4 + x5 = y5
Giải hệ này bằng biến đổi ma trận hệ số mở rộng:
⎛1 1 1 0 1 y1 ⎞ ⎛1 1 1 0 1 y1 ⎞ ¯¯¯¯
A ⎜ 1 0 1 1 1 y2 ⎟ ⎜ 0 −1 0 1 0 −y1 + y2 ⎟
= ⎜ 1 1 0 1 1 y3 ⎟ → ⎜0 0 −1 1 0 −y1 + y3 ⎟ ⎜1 1 1 0 1 y ⎟ ⎜ ⎟ 4 0 0 0 1 −1 −y1 + y4 ⎝0 1 1 1 1 y ⎠ ⎝ ⎠ 5 0 1 1 1 1 y5 ⎛1 1 1 0 1 y1 ⎞ ⎜0 −1 0 1 0 −y1 +y2 → ⎜ 0 y 0 −1 1 0 −y 3 ⎟ ⎜ 1 + ⎟ 0 y4 0 0 1 −1 −y1 + ⎟ ⎝0 0 1 2 1 −y1 +y2 + y ⎠ 5 ⎛1 1 1 0 1 y1 ⎞ ⎜0 −1 0 1 0 −y1 + y2 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎜ −1 1 0 −y1 + y3 ⎟ 0 0 0 1 −1 −y1 + y4 ⎟ ⎝0 0 0 3 1 −2y + y 1 + y2 + y3 ⎠ 5 ⎛1 1 1 0 1 y1 ⎞ ⎜0 −1 0 1 0 −y1 + y2 ⎟ → ⎜ 0 0 −1 1 0 −y ⎟ 1 + y3 ⎜0 0 0 1 −1 −y ⎟ 1 + y4 ⎝0 0 0 0 4 y ⎠ 1 + y2 + y3 − 3y4 + y5
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|9
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|10 ⎧⎪ x 1 1 1 1 = ⎛ ⎪ 1
4 y1 + 14 y2 + 14 y3 + 14 y4 − 34 y5 ⎜ 1 − 3 ⎞ 4 4 4 4 4 ⎟ 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 − ⎪ x = y1 2
4 − 4 y2 + 4 y3 + 4 y4 + 4 y5 ⎜ ⎟ 1 1 3 1 1 ⇒ A−1 = ⎜ 4 4 4 4 4 1 3 1 1 ⎟ Vậy ⎨ ⎪ x ⎜ 1 − ⎟.
3 = 4 y1 + 4 y2 − 4 y3 + 4 y4 + 4 y5 ⎜ 4 4 4 4 4 ⎟ ⎪x =− 3y 1 1 1 1 + y + y + y + y ⎜− 3 1 1 1 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 ⎟ ⎜ 41 4 ⎪⎩ 4 1 1 1 3 1 1 4 4 4 ⎟ x 1 3 1
5 = 4 y1 + 4 y2 + 4 y3 − 4 y4 + 4 y5 ⎝ − ⎠ 4 4 4 4 4
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2, 3, 4 bằng Máy tính cầm tay
Tìm các ma trận A,A−1,A∗,(A∗)−1, A
( −1)∗ khibiếtmộttrongcácmatrậnđó Chúng ta vận dụng linh hoạt các mối quan hệ sau: ⎛A11 A21 ... An1 ⎞
A∗ = ⎜A12 A22 ... An2 ⎟, A ij ; det (A∗) = (det (A) n−1 và . . . . . . . . . . . . ⎝A
⎠ =(−1)i+jMij;det(A−1) = 1 det (A) 1n A2n . . . Ann −1 1 ∗ ∗ −1 −1 ∗ 1 −1 −1 1 ∗ ∗
A = det(A)A ;(A ) = (A ) = det(A) A;A = (A ) ;A = (A ) . (det (A))n−2
Một số bài toán chứng minh liên quan đến ma trận nghịch đảo
Câu 37. Cho �, � là các ma trận vuông cấp � khả nghịch. Giải sử tồn tại ma trận vuông cấp � khả nghịch � sao cho
C−1ABC là ma trận đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ma trận vuông cấp � khả nghich � sao cho D−1BAD là ma trận đường chéo.
Câu 37. Theo bài ra thì C−1ABC = P với P là ma trận đường chéo. Ý tưởng là từ phương trình này tìm ra ma trận BA
⇒ P. C−1A = C−1ABC. C−1A = C−1ABA ⇒ C. PC−1A = C. C−1ABA = ABA
⇒ A−1CPC−1A = A−1. ABA = BA (∗) . −1 −1 −1 −1 −1 Đặt X = A C ⇒ X = (A C) = C A do đó
(∗) ⇔ XPX−1 = BA ⇒ X−1BAX = X−1XPX−1X = P là một ma trận đường chéo. Vậy ma trận thoả mãn là
D = X = A−1C. Ta có điều phải chứng minh.
Các dạng toán được liệt kê dưới đây, bạn đọc nhấn vào từng dạng để xem chi tiết thêm
Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận
Giải phương trình ma trận khi không dùng được ma trận nghịch đảo
Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|10
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|11
THI ONLINE - [PRO S1] - CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA
TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (vted.vn)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎛ 1 2 3 −3⎞
Câu 1 [Q676332766] Cho ma trận A = ⎜ 2 3 −1 1 ⎟. Tìm điều kiện đối với m để ma trận đã cho có ⎜−3 −4 2 −1⎟ ⎝ 3 5 2 m ⎠
ma trận nghịch đảo. Với điều kiện đó, tìm phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận A−1. ⎛ m 1 2 3⎞
Câu 2 [Q678667606] Cho ma trận A = ⎜ −4 2 −1 3 ⎟. ⎜ 4 1 2 3⎟ ⎝−3 2 1 4⎠
a) Tìm m để ma trận A′ không suy biến;
b) Tìm m để ma trận A∗ không suy biến;
c) Khi ma trận A không suy biến, tìm phần tử nằm trên dòng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A−1;
d) Tìm m để hệ véctơ dòng của ma trận (A∗)3A′ độc lập tuyến tính. ⎛ m 1 5 −2⎞
Câu 3 [Q698667362] Cho ma trận A = ⎜−4 2 −1 1 −1 2 2 3 ⎟. ⎝−3 2 1 4 ⎠
a) Tìm m để ma trận −3A′không suy biến;
b) Giả sử ma trận −3A′ không suy biến, tìm m để phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận (−3A′)−1 bằng 2.
Câu 4 [Q803997423] Cho ma trận A = (a b). Tìmđiềukiệncủa a,b,c,d để ma trận A có ma trận nghịch đảo. c d Khi đó tìm ma trận A−1. ⎛ 1 2 3 ⎞ −1
Câu 5 [Q253177637] Cho ma trận A = ⎝
⎜−1 0 4 . Tìm ma trận nghịch đảo A ⎟ 2 5 −1 ⎠ của A bằng công thức A−1 = 1 .A∗. det (A) ⎛a+1 −1 a ⎞
Câu 6 [Q125532956] Tìm a để ma trận ⎝⎜ 3 a+1 3 khảnghịch. ⎠⎟ a − 1 0 a − 1
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|11
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|12 ⎛−2 −1 −3 4 ⎞
Câu 7 [Q238743737] Cho ma trận B = ⎜ 4 2 5 −1⎟. 3 1 2 −2 ⎝ m 1 2 3 ⎠
a) Tìm điều kiện của m để B khả nghịch. Khi đó, tính định thức −5B−1(B′)4;
b) Khi B khả nghịch, chứng minh rằng −6B′ cũng khả nghịch. Khi đó hãy tìm phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận (−6B′)−1; ⎛2 −1 3⎞
Câu 8 [Q504685364] Cho ma trận A = ⎝ ⎜1 a 3⎠⎟. 3 0 2
a) Tìm a để A khả nghịch;
b) Với a = −2, bằng cách tìm ma trận (A − 3E)−1 theo ma trận phụ hợp áp dụng giải phương trình AX = 3X + B với B = ( 3 4 −1 )′. ⎛ 5 1 −1 m+3⎞
Câu 9 [Q639711569] Cho ma trận A = ⎜ 11 8 −2 1 −6 6 m 5 ⎝
⎟.Tìmđiềukiệnđốivớimđểmatrậnđãchocó −7 −2 8 m ⎠
ma trận nghịch đảo. Với điều kiện đó, tìm phần tử thuộc dòng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A−1. ⎛1 −3 1⎞
Câu 10 [Q522665769] Cho ma trận A = ⎝ ⎜0 2 3⎠⎟. 2 a 5
a) Tìm a để A khả nghịch; tìm phần tử nằm trên dòng thứ hai và cột thứ hai của ma trận A−1.
b) Với a = −2, tìm ma trận nghịch đảo của A bằng cách biến đổi (A|E) → (E|A−1). Khi đó tìm ma trận X thoả mãn AX = ⎜⎛ 2 −4 −5 3 ⎟⎞. ⎝ 1 −5⎠ ⎛4 2 2⎞
Câu 11 [Q556082062] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎝⎜2 2 2⎠⎟ bằng phép biến đổi sơ cấp 2 2 6 (A|E) → (E|A−1). ⎛ 1 0 3⎞
Câu 12 [Q422054955] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜⎝ 2 −1 1⎠⎟bằngphépbiếnđổisơcấp −3 1 2 (A|E) → (E|A−1). ⎛1 0 −1 −63⎞
Câu 13 [Q654055775] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜0 2 4 ⎟. 0 ⎝ 0 −2 3 0 0 0 −1⎠ ⎛a 1 1 1⎞
Câu 14 [Q353755225] Cho ma trận A = ⎜
⎜1 a 1 1⎟.Tìmađểmatrậnđãchokhảnghịch,khiđótìmA−1. 1 1 a 1 ⎟ ⎝1 1 1 a⎠
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|12
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|13 ⎜⎛1 0 3
Câu 15 [Q596144464] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = 2 1 1⎟⎞. ⎝3 2 2⎠ ⎛1 3 2⎞
Câu 16 [Q905522239] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎝ ⎜2 1 3⎠⎟. 3 2 1 ⎛−1 1 1 1 ⎞
Câu 17 [Q655073609] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜ 1 −1 1 1 1 1 −1 1 ⎟. ⎝ 1 1 1 −1⎠ ⎛ 0 1 1 1⎞
Câu 18 [Q660160666] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜−1 0 1 1 −1 −1 0 1⎟. ⎝−1 −1 −1 0⎠ ⎛ 1 1 1 ... 1 ⎞ 0 1 1 1 . . .
Câu 19 [Q111976969] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜ 0 ⎜ 0 1 ... 1 ⎟.
. . . . . . . . . . . . . . .⎟ ⎝ 0 0 0 0 1 ⎠ ⎛1+a 1 1 ... 1 ⎞ ⎜
Câu 20 [Q374833503] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = 1 1 + a 1 . . . 1 1 1 1 + a . . . 1 ⎟ ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ⎝ 1 1 1 ... 1+a⎠ ⎛1 2 3⎞
Câu 21 [Q957951879] Cho ma trận A = ⎜0 −2 m⎟ ⎝
. Tìm điều kiện của m để tồn tại ma trận A−1 và tìm A−1 2 0 4 ⎠ khi đó. ⎛1 2 1 −1⎞
Câu 22 [Q358640043] Cho ma trận A = ⎜1 0 2 1 2 1 −1 3 ⎝
⎟. Tìm ma trận nghịch đảo A−1. 4 −5 0 4 ⎠
Câu 23 [Q593333178] Cho ma trận A = (aij) n×n và A∗ là ma trận phụ hợp của A. Chứng minh rằng: a) AA∗ = A∗A = det(A)E. b) det(A∗) = (det(A))n−1.
c) Nếu det(A) = 0 khi đó các cột của A∗ là nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất AX = O.
Câu 24 [Q366500879] Cho hai ma trận A, B vuông cùng cấp và không suy biến. Chứng minh rằng:
a) (AB)∗ = B∗A∗ và (AB)−1 = B−1A−1;
b) Nếu AB = BA thì A∗B = BA∗.
Câu 25 [Q112366733] Cho ma trận A vuông cấp n không suy biến. Chứng minh rằng (A∗)−1 = (A− ) 1 ∗ = 1 A và A = 1 (A∗)∗. det(A) [det (A)]n−2
Câu 26 [Q400556666] Cho A là ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử đều là số nguyên. Chứng minh rằng ma
trận nghịch đảo A−1 có tất cả các phần tử là số nguyên khi và chỉ khi det(A) = ±1.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|13
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|14 ⎛ 1 2 m −1⎞
Câu 27 [Q646178165] Cho ma trận A = ⎜ 3 4 −2 5 ⎟. Tìm phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của các ma trận ⎜−3 4 1 2 ⎟ ⎝−1 2 −3 4 ⎠
phụ hợp A∗ và (−2023A)∗. ⎛ m 1 2 3⎞
Câu 28 [Q893388970] Cho ma trận A = ⎜−4 2 −1 3⎟. Tìm điều kiện của m để A khả nghịch, khi đó tìm ⎜ 4 1 2 3⎟ ⎝−3 2 1 4⎠
ma trận (A−1)∗ và ma trận (A∗)−1.
Câu 29 [Q268563901] Cho ma trận A = ⎛ 1 2 3 ⎞
⎜−1 0 4 ⎟. TìmmatrậnphụhợpA∗củaA. ⎝ 2 5 −1⎠ a b
Câu 30 [Q208222235] Tìm ma trận phụ hợp của ma trận A = (
). Áp dụng tìm ma trận A nếu c d A∗ = (2022 202 ) 3 . 2024 2025
Câu 31 [Q773577037] Cho hai ma trận A = ⎛ 2 1 −3 2 ⎞ ⎛ 2 1 2⎞
⎜ 1 3 −2 m−1⎟,B = ⎜−1 2 1⎟.Tìmmđểma
⎜−2 9 1 −2 ⎟ ⎜ 1 4 3⎟
⎝−5 m+ 3 6 −5 ⎠ ⎝ 11 5 7⎠
trận (4BB′ + 3E)A∗ là ma trận không suy biến.
Câu 32 [Q241627764] Cho ma trận A ⎛ 1 m 2 3⎞
= ⎜−1 2 1 0⎟. TìmđiềukiệnđểA khả nghịch,khiđó: ⎜ 2 3 0 2⎟ ⎝ 3 −1 3 1⎠
a) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận A−1;
b) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận (6A)−1;
c) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận (6A′)−1;
d) Tìm các ma trận (A∗)−1 và (A−1) .∗ ⎛1 −2 3 −4⎞
Câu 33 [Q767100773] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜ 0 1 −2 3 ⎟. ⎜0 0 1 −2⎟ ⎝0 0 0 1 ⎠ ⎛ a b b ... b ⎞ b a b . . . b
Câu 34 [Q807831780] Cho ma trận A = ⎜ ⎜ b b a ... b ⎟. ⎝... ... ... ... ...⎟ b b b . . . a ⎠ a) Tính det(A);
b) Giả sử det(A) ≠ 0, tìm A−1.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|14
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|15 ⎛1 1 1 1 0⎞ 1 1 1 0 1
Câu 35 [Q628507381] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = ⎜1 1 0 1 1 ⎟ . ⎜1 1 0 ⎝ 1 1 ⎟ 0 1 1 1 1 ⎠ ⎛−1 1 1 ... 1 ⎞
Câu 36 [Q287582011] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ⎜ 1 −5 1 ... 1 1 −11 . . . 1 ⎟ = ⎜ ⎜ 1 . . . . . . . ⎟ ⎝ ... ... ... ⎛ 1 1 1 . . . −n(n + 1) + 1 ⎠ a b 0 ⎞
Câu 37 [Q311334203] Cho ma trận A = ⎝
⎜c 0 b⎠⎟.TínhđịnhthứccủamatrậnAvàtìmđiềukiệnđểAkhả 0 c a
nghịch. Khi đó hãy tìm ma trận nghịch đảo A−1.
Câu 38 [Q386806338] Tìm ma trận A và A∗ biết ma trận nghịch đảo A−1 ⎛ 0 −1 1 −1⎞ = ⎜ 1 0 −1 1 ⎟. ⎜−1 1 0 −1⎟ ⎝ 1 −1 1 0 ⎠
Câu 39 [Q167392428] Tìm ma trận A và A−1 biết ma trận phụ hợp của nó là A∗ ⎛−20 17 8 ⎞ = ⎜ 7 −7 −7 ⎟. ⎝ −5 −1 2 ⎠
Câu 40 [Q478787335] Tìm ma trận A biết ma trận phụ hợp của nó là ⎛m2 − 1 1−m 1−m ⎞
A∗ = ⎜ 1 − m m2 − 1 1 − m ⎟, m ≠ 1,m ≠ −2.
⎝ 1−m 1−m m2 − 1⎠⎛1 1 1 0 1⎞ 1 0 1 1 1
Câu 41 [Q157586563] Tìm ma trận phụ hợp A∗ của ma trận A = ⎜ ⎜1 1 0 1 1⎟⎟. ⎜1 1 1 1 0⎟ ⎝0 1 1 1 1⎠
Câu 42 [Q909019166] Cho � là ma trận vuông cấp � khả nghịch sao cho A + A−1 + E = 0. Chứng minh rằng det(A) = 1.
Câu 43 [Q770242308] Cho �, � là các ma trận vuông cấp � sao cho A, B và A + B khả nghịch thoả mãn
(A + B)−1 = A−1 + B−1. Chứng minh rằng det (A) = det (B) .
Câu 44 [Q393634833] Cho �, � là các ma trận vuông cấp � khả nghịch. Giải sử tồn tại ma trận vuông cấp � khả
nghịch � sao cho C−1ABC là ma trận đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ma trận vuông cấp � khả nghich � sao
cho D−1BAD là ma trận đường chéo.
Câu 45 [Q437181881] Có bao nhiêu ma trận vuông cấp hai khả nghịch mà các phần tử của nó bằng – 2 hoặc 0? ⎛1 1 1 ⎞
Câu 46 [Q840460880] Có bao nhiêu ma trận vuông cấp ba khả nghịch có dạng A = ⎝ ⎜1 a ⎟ 22 a23 ⎠ màcác phần 1 a32 a33
tử a22, a23, a32, a33 bằng 1 hoặc –1?
Câu 47 [Q834303031] Có bao nhiêu ma trận vuông cấp ba khả nghịch mà các phần tử của nó bằng 1 hoặc –1?
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|15
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|16
Câu 48 [Q263273874] Cho A là ma trận vuông cấp n mà mỗi hàng và mỗi cột có đúng một phần tử khác 0 là −1 hoặc 1. Chứng minh rằng:
(a) Ma trận A không suy biến và tìm ma trận nghịch đảo của A;
(b) Tồn tại số hai số nguyên dương m, k sao cho Am = E và Ak = A−1.
Câu 49 [Q132434386] Xét ma trận A có ma trận nghịch đảo. Chứng minh rằng ma trận A và ma trận nghịch đảo
A−1 có tất cả các phần tử không âm khi và chỉ khi mỗi hàng và mỗi cột của ma trận A có đúng một phần tử dương. HƯỚNG DẪN Câu 1 Ta có: ∣ 1 2 3 −3 ∣ ∣ 1 2 3 −3 ∣
∣ 2 3 −1 1 ∣ ∣0 −1 −7 7 ∣ −2d1 + d2 det(A) = ∣ ∣ = ∣ ∣ 3d1 + d3
∣ −3 −4 2 −1 ∣ ∣0 2 11 −10 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −3d1 + d4 ∣ 3 5 2
m ∣ ∣ 0 −1 −7 m + 9 ∣ ∣ 1 2 3 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ 0 −1 −7 7 = ∣ 2d2 + d3 = 3(m + 2). ∣∣ 0 0 −3 4 ∣∣ −d2 + d3 ∣ 0 0 0 m + 2 ∣
Ma trận A không suy biến khi và chỉ khi det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ −2. Khi đó A−1 = 1 A∗ = 1 A∗. det(A) 3(m + 2)
Phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận A−1 là 1 1 ∣ 1 3 −3 ∣ 1 7 A32 = − ∣ 2 −1 1 ∣ = − . (−7m − 14) = . 3(m + 2) 3(m + 2) ∣ ∣ 3(m + 2) 3 ∣ 3 2 m ∣ Câu 2 a) Ta có det(A) = 4 − m. Vậy A′ không suy biến khi và chỉ khi
det(A′) ≠ 0 ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ 4 − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 4.
b) Ta có det(A∗) ≠ 0 ⇔ (det(A) 3 ≠ 0 ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ 4. c) Phần tử nằm trên dòng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A−1 là ∣ m 1 1 1 ∣ 3 ∣ A 2(m − 4) 23 = (−1)2+3 ∣ 4 1 = det(A) 4 − m 3 ∣∣ = −2. ∣ −3 2 4∣ 4 − m
d) Ma trận (A∗)3A′ là ma trận vuông cấp 4, vì vậy hệ véctơ dòng của ma trận này độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của nó khác 0, tức
det((A∗)3A′) ≠ 0 ⇔ (det(A∗))3 det(A′) ≠ 0 ⇔ (det(A))9 det(A) ≠ 0 ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ 4.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|16
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|17
Câu 3 a) Ta có det(A) = 10m − 72. Vậy ma trận −3A′ có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi 36
det(−3A′) ≠ 0 ⇔ (−3)4 det(A′) ≠ 0 ⇔ (−3)4 det(A) ≠ 0 ⇔ 10m − 72 ≠ 0 ⇔ m ≠ . 5
b) Phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận (−3A′)−1 là 1 (−3A′)32 = 1 (−3)3A′ A′ (13 − 2m). det(−3A′) 32 = − 1 32 = − 1 (−3)4 det(A) 3 det(A) 3(10m − 72) ⎛ m −4 −1 −3⎞ ∣ m −1 −3 ∣
trong đó A′ = ⎜ 1 2 2 2 ⎟ ⇒ A′ = (−1)3+2 ∣ 1 2 2 ∣ = 13 − 2m. ⎜ 5 −1 2 1 ⎟ 32 ∣ ∣ ⎝−2 1 3 4 ⎠ ∣ −2 3 4 ∣
Câu 4 Ta có det(A) = ad − bc. Vậy A có ma trận nghịch đảo ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ ad − bc ≠ 0. Khi đó A−1 = 1 A∗ = 1 ( d −c). det(A) ad − bc −b a
Câu 5 Ta có det(A) = −21. A ∣ 0 4 ∣ ∣ −1 4 ∣ ∣ −1 0 ∣ 11 = ∣ ∣ = −20, A12 = − ∣ ∣ = 7, A13 = ∣ ∣ = −5 ∣ 5 −1 ∣ ∣ 2 −1 ∣ ∣ 2 5 ∣ A ∣ 2 3 ∣ ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 2 ∣ 21 = − ∣ ∣ = 17, A22 = ∣ ∣ = −7, A23 = − ∣ ∣ = −1 ∣ 5 −1 ∣ ∣ 2 −1 ∣ ∣ 2 5 ∣ A ∣ 2 3 ∣ ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 2 ∣ 31 = ∣ ∣ = 8, A32 = − ∣ ∣ = −7, A33 = ∣ ∣ = 2 ∣ 0 4 ∣ ∣ −1 4 ∣ ∣ −1 0 ∣ 1 1 ⎛−20 17 8 ⎞ Vậy A−1 = . A∗ = − ⎜ 7 −7 −7⎟. det(A) 21 ⎝ −5 −1 2 ⎠ ∣ a + 1 −1 a ∣ ∣ 1 −1 a ∣ Câu 6 Có ∣ 3 a + 1 3 ∣ = ∣ 0 a + 1
3 ∣ −c3 + c1 = (a + 1)(a − 1). ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a − 1 0 a − 1 ∣ ∣ 0 0 a − 1 ∣
Vậy ma trận đã cho khả nghịch khi và chỉ khi (a + 1)(a − 1) ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1. ∣ −2 −1 −3 4 ∣ ∣ ∣ 4 2 5 −1 Câu 7 ∣
a) Ta có B khả nghịch khi và chỉ khi det(B) ≠ 0 ⇔ ∣
≠ 0 ⇔ 5m − 10 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. ∣∣ 3 1 2 −2∣∣ ∣ m 1 2 3 ∣
Khi đó det(−5B−1(B′)4) = (−5)4 det(B−1)(det(B′))4 = (−5)4
1 (det(B))4 = (−5)4(5m− 10)3. det(B)
b) Ta có det(−6B′) = (−6)4 det(B′) = (−6)4 det(B) ≠ 0 ⇒ −6B′ khả nghịch;
Phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận (−6B′)−1 là 1 1 1 (−6B′) (−6)3B′ = − B′ = − (2m − 11). det(−6B′) 32 = 1 32 (−6)4 det(B) 32 6 det(B) 6(5m − 10) ⎛−2 4 3 m ⎞ ∣
trong đó B′ = ⎜−1 2 1 1 ⎟ ⇒ B′ −2 3 m ∣
= (−1)3+2 ∣ −1 1 1 ∣ = 2m − 11. ⎜−3 5 2 2 ⎟ 32 ∣ ∣ ⎝ 4 −1 −2 3 ⎠ ∣ 4 −2 3 ∣
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|17
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|18 7
Câu 8 Ta có A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) = −5a − 7 ≠ 0 ⇔ a ≠ − 5 . 3 ⎞
Ta có B = ( 3 4 −1 )′ = ⎜⎛ 4 ⎟ . PhươngtrìnhAX = 3X + B ⇔ (A − 3E)X = B ⇔ X = (A − 3E)−1B ⎝−1 ⎠ ⎛−1 −1 3 ⎞
Khi a = −2 ⇒ D = A − 3E = ⎝⎜ 1 −5 3 ⇒det(D)=30 ⎟ 3 0 −1 ⎠ Ta có D ∣ −5 3 ∣ D ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 −5 ∣ 11 = ∣ ∣ = 5, 12 = − ∣ ∣ = 10, D13 = ∣ ∣ = 15; ∣ 0 −1 ∣ ∣ 3 −1 ∣ ∣ 3 0 ∣ ∣ −1 3 ∣ ∣ −1 3 ∣ ∣ −1 −1 ∣ D21 = −∣ ∣ = −1, D22 = ∣ ∣ = −8, D23 = − ∣ ∣ = −3; ∣ 0 −1 ∣ ∣ 3 −1 ∣ ∣ 3 0 ∣ D ∣ −1 3 ∣ ∣ −1 3 ∣ ∣ −1 −1 ∣ 31 = ∣ ∣ = 12, D32 = − ∣ ∣ = 6, D33 = ∣ ∣ = 6 ∣ −5 3 ∣ ∣ 1 3 ∣ ∣ 1 −5 ∣ ⇒ D−1 = 1 D∗ = 1 ⎛ 5 −1 12⎞ ⎜10 −8 6 ⎟ det (D) 30 ⎝15 −3 6 ⎠
1 ⎛ 5 −1 12 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 1 ⎛−1 ⎞ ⇒ X = D−1B =
6 ⎟ ∗ ⎜ 4 ⎟ = ⎜−8 ⎟. 30 ∗ ⎝⎜ 10 −8 30 15 −3 6 ⎠ ⎝−1 ⎠ ⎝ 27 ⎠
Câu 9 Ta có: det(A) = 63m2 − 741m − 3138. 247 ± √148873
Vậy tồn tại A−1 ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ 63m2 − 741m − 3138 ≠ 0 ⇔ m ≠ . 42
Khi đó phần tử nằm trên dòng thứ ba và cột thứ hai của A−1 là 1 1 ∣ 5 1 m + 3 ∣ 90m + 177 A23 = − ∣ −6 6 5 ∣ = − . det(A) 63m2 − 741m − 3138 ∣ ∣ ∣ −7 −2 m ∣ 63m2 − 741m − 3138
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|18
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|19
Câu 10 a) Ta có điều kiện là 1
det(A) = −3(a + 4) ≠ 0 ⇔ a ≠ −4. Khi đó phần tử nằm trên dòng thứ hai và cột thứ hai là A = 1 ∣ 1 1 ∣ 1 . 22 ∣ ∣ = − det(A) −3(m + 4) ∣ 2 5 ∣ ⎛1 −3 1⎞ m+4 b) Với a = −2 ⇒ A = ⎝ ⎜0 2 3⎠⎟. Khiđó: 2 −2 5
⎛1 −3 1 0 0⎞ −2d1+d3 ⎛1 −3 1 1 0 0⎞ (A|E) = 1 0 ⎝⎜0 2 13 0 ⎟−−−−−− ⎜0 0 → 2 3 0 1 ⎟ 2 −2 5 0 0 1⎠ ⎝0 4 3 −2 0 1⎠ −2d ⎛1 2+d3 −3 1 1
0 0 ⎞ d3+d2 ⎛3 −9 0 1 −2 1⎞ −−−−−−→ 2 3 0 ⎟ d3+3d1 ⎜ ⎟ ⎝⎜0 1 0 −−−−−→ 0 2 0 −2 −1 1 ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 −3 −2 −2 1 0 0 −3 −2 −2 1 1 d1 6 1 d2
21 ⎛1 0 0 − 8 − 13 11 ⎞ 9d
−−−−−→ ⎛ 6 0 0 −16 −13 11 ⎞ − d3 2+2d1 3 ⎜ 3 6 6 1 1 ⎟
⎝⎜0 2 0 −2 −1 1 ⎟⎠−−−−−→⎜0 1 0 −1 −2 2 ⎟ 0 0 −3 −2 −2 1 ⎜ 2 ⎝ 2 1 ⎟ 0 0 1 3 ⎠ 3 − 3 ⎛− 8 − 13 11 ⎞ Vậy A−1 = ⎜ 3 6 6 ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟. ⎜ 2 2 2 2 ⎟ ⎝ − 1 3 3 ⎠ 3⎛ 2 −4⎞ ⎛ 2 −4⎞
+) Phương trình ma trận: AX = ⎝
⎜−5 3 ⎟⇔X= A−1⎜−5 3 ⎟⎠ 1 −5 ⎠ ⎝ 1 −5 ⎛− 8 −13 11 ⎞ ⎛ 22 ⎞
⎜ 3 6 6 ⎟⎛ 2 −4⎞ ⎜ 3 −5 = ⎟ ⎜ −1 − 1 1 ⎜ ⎟ −5 3 ⎟ = ⎜ 1 0 ⎟. ⎜ 2 2 ⎟⎝ 1 −5 ⎠ ⎜ 7 ⎟ 2 2 − 1 ⎝− ⎝ ⎠ 3 3 3 3 1 ⎠
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|19
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|20
Câu 11 Biến đổi sơ cấp ma trận (A|E) ⎛4 2 2 1 0 0 1+2d3 ⎞ ⎛4 2 2 1 0 0⎞ −d1+2d2 −d (A|E) = 0 ⎝⎜2 2 2 0 1 2 2 6 0 0 1⎠
⎟−−−−−−→⎝⎜0 2 2 −1 2 0 0 2 10 −1 0 2⎠ ⎟ − − d
−−−−→ ⎛ 4 2 2 1 0 0 ⎞ −d 2+d3 3+4d2 −d +4d 3 1 ⎛16 8 0 4 2 −2 ⎞ ⎝⎜0
0 ⎟ −−−−−−→⎜ 0 −2 ⎟ 2 2 −1 2 8 0 −4 10 ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 8 0 −2 2 0 0 8 0 −2 2 1 d1 16 1 d2 8 ⎛ 1 1 0 0 1 − 1 0 ⎞ −d 8 2+d1
−−−−−→ ⎛16 0 0 8 −8 0 ⎞ d3 ⎜ 2 2 ⎜ 1 5 1 ⎟
⎝⎜ 0 8 0 −4 10 −2⎟⎠−−−−−→⎜0 1 0 −2 4 −4 ⎟. 0 0 8 0 −2 2 ⎜ 1 1 ⎟ ⎝0 0 1 0 − ⎠ 4 4 ⎛ 12 −12 0 ⎞ ⎜ 1 5 1 ⎟ Vậy A−1 = ⎜− − 2 4 4 ⎟ . ⎜ ⎟ 0 − 1 1 ⎝ ⎠ 4 4 ⎛ 1 − 1
Câu 12 Đáp án A−1 = ⎜ 2 2 − 1 ⎞ 2 7 ⎟ ⎜ −11 −5 . 6 6 ⎟ ⎜ 6 ⎝1 1 1 ⎟ 6 6 6 ⎠⎧ 1 3 ⎪ ⎛ x 1 0 − 1 3 1 = y1 − y3 + y4 ⎞ ⎧ 2 2 ⎪x1 − x3 + 3x4 = y1 ⎪2 ⎪ x2 + 4x3 − 6x4 = y2 2 2 x ⎜ ⎟ 2 = 1 Câu 13 Xét hệ ⎨ ⇔ ⎨ 1 2 y2 + y3 ⇒ A−1 = ⎜ 0 2 ⎜ 1 0 ⎟. ⎟ ⎩⎪−2x3 +3x4 =y3 −x4 = y4 ⎪ 1 3 ⎜ 1 3 ⎟ ⎪x3 = −2y3− 2y4 ⎜0 0 − 2 −2 ⎟ ⎩ 4x =−y ⎝ 4 0 0 0 −1 ⎠
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|20
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)