-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Bai Giảng Đại Số Đại Cương - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Thủ đô Hà Nội
Tập hợp và ánh xạ là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của toánhọc. Trước hết chúng ta hãy tìm hiểu sơ lược về khái niệm tập hợp. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Đại số tuyến tính (SPT-2021B) 5 tài liệu
Đại học Thủ đô Hà Nội 603 tài liệu
Bai Giảng Đại Số Đại Cương - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Thủ đô Hà Nội
Tập hợp và ánh xạ là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của toánhọc. Trước hết chúng ta hãy tìm hiểu sơ lược về khái niệm tập hợp. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Đại số tuyến tính (SPT-2021B) 5 tài liệu
Trường: Đại học Thủ đô Hà Nội 603 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
MỤC LỤC Mục lục 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1. Tập hợp và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Quan hệ hai ngôi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Khái niệm quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Khái niệm phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Các tính chất có thể có của phép toán hai ngôi . . . . 24
1.3.3 Phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo . . . . . . . . . . 25
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 28
2.1. Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Khái niệm nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Nửa nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Một số tính chất của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . 29 1
2.2. Khái niệm nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Các định nghĩa tương đương của nhóm . . . . . . . . 33
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Định nghĩa và tiêu chuẩn nhóm con . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Nhóm con sinh bởi một tập . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Nhóm xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Lớp ghép, Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Lớp ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2 Định lý Lagrange và các hệ quả . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Nhóm con chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.2 Nhóm thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6. Đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.1 Khái niệm đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Một số đồng cấu đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.3 Tính chất cơ bản của đồng cấu nhóm . . . . . . . . . 56
2.6.4 Nhóm các tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.5 Định lý đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.6 Các định lý đẳng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.7 Áp dụng mô tả nhóm thương và nhóm xyclic . . . . . 61
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7. Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.1 Khái niệm nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.2 Nhóm các phép thế bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.3 Nhóm thay phiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2
2.7.4 Nhúng các nhóm vào nhóm đối xứng . . . . . . . . . . 72
2.8. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các nhóm . . . . . . . . . 73
2.8.1 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8.2 Tích trực tiếp của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . 74
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.9. Đối xứng hóa của một vị nhóm giao hoán . . . . . . . . . 78
2.9.1 Đối xứng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9.2 Xây dựng nhóm cộng các số nguyên . . . . . . . . . . 80
2.9.3 Xây dựng nhóm nhân các số hữu tỷ dương . . . . . . . 81
2.9.4 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.9.5 Tính chất của nhóm cộng các số nguyên . . . . . . . . 83
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƯỜNG 85
3.1. Khái niệm vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.1 Định nghĩa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.3 Các tính chất cơ bản của vành . . . . . . . . . . . . . 87
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2. Vành con, iđêan và vành thương . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.1 Định nghĩa và tiêu chuẩn vành con . . . . . . . . . . . 90
3.2.2 Định nghĩa và tiêu chuẩn iđêan . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.3 Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh . . . . . . 92
3.2.4 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.5 Vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3. Đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.1 Khái niệm đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.2 Các tính chất của đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . 100
3.3.3 Định lý đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3
3.3.4 Đặc số của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4. Miền nguyên, thể và trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.1 Ước của không, miền nguyên . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.2 Phần tử khả nghịch, thể và trường . . . . . . . . . . . 108
3.4.3 Trường con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.4 Một số tính chất về iđêan và đồng cấu trường . . . . . 111
3.4.5 Trường các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.6 Trường các số hữu tỷ Q và trường các số phức C . . . 114
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 Vành chính, vành Euclid và vành nhân tử hóa 121
4.1. Vành chính và vành nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.1 Tính chất số học trong vành . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.2 Vành chính và sự tồn tại ước chung lớn nhất . . . . . 124
4.1.3 Vành nhân tử hóa và sự phân tích trong vành chính . 126
4.1.4 Một số ví dụ về vành chính và vành nhân tử hóa . . . 128
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2. Vành Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.2 Mối liên hệ giữa vành chính và vành Euclid, thuật toán
Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5 VÀNH ĐA THỨC 134
5.1. Vành đa thức một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1.1 Khái niệm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1.2 Phép chia với dư, thuật toán Euclid tìm UCLN . . . . 138
5.1.3 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2. Vành đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . 145
5.2.2 Viết đa thức theo lối từ điển . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.3 Đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3. Đa thức bất khả quy trên các trường số . . . . . . . . . . 157
5.3.1 Đa thức với hệ số thực và phức . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.2 Đa thức với hệ số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Tài liệu tham khảo 170 Danh mục từ khóa 171 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp và ánh xạ
Tập hợp và ánh xạ là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của toán
học. Trước hết chúng ta hãy tìm hiểu sơ lược về khái niệm tập hợp. 1.1.1 Tập hợp
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nhưng lại là một khái niệm
không được định nghĩa. Một cách trực quan, ta có thể hiểu một tập hợp như
là sự tụ tập những vật, những đối tượng hay những khái niệm toán học ...
được xác định bởi một hay nhiều tính chất chung.
Tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ in hoa: A, B, C, X, Y, Z, . . .. Một
số tập hợp quen thuộc có kí hiệu riêng: N, Z, Q, R, C, Q∗, R∗, C∗, . . . .
Vật tạo nên tập hợp gọi là phần tử của tập hợp. Nếu x là phần tử của tập
hợp X, viết x ∈ X, đọc “x thuộc X”. Nếu x không phải là phần tử của tập hợp X, viết x /
∈ X, đọc “x không thuộc X”. Tập hợp không chứa một phần
tử nào được gọi là tập rỗng và ký hiệu là ∅.
Xác định một tập hợp là xác đinh tất cả các phần tử của tập hợp đó. Có
nhiều cách để xác định một tập hợp. Cách đơn giản nhất là liệt kê các phần
tử của tập hợp đó và để chúng vào giữa 2 dấu móc {...}. Ví dụ, A là tập hợp
tất cả các số tự nhiên không vượt quá 100, ta viết
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 100} .
Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng liệt kê hết được các phần tử của một
tập hợp, vì thế nên thông thường người ta mô tả tính chất của các phần tử 6
trong tập hợp đó (chỉ ra tính chất đặc trưng). Khi đó ta viết X = {x | P (x)}
để nói rằng X là tập hợp gồm các phần tử x thỏa mãn tính chất P (x). Ví dụ, A = {n ∈ N| n ≤ 100} ,
B = x ∈ Q| x2 − 2 = 0 = ∅, n √ √ o
C = x ∈ R| x2 − 2 = 0 = − 2; 2 .
Phần tử và tập con: Cho A và B là các tập hợp.
Ta nói tập hợp B là tập con của tập hợp A, viết B ⊆ A, nếu mọi phần tử
của tập hợp B đều thuộc tập hợp A.
Ta nói A = B nếu A ⊆ B và B ⊆ A.
Quy ước, tập hợp ∅ là tập con của mọi tập hợp.
Chúng ta cần phân biệt khái niệm “phần tử” và “tập con”. Ví dụ, cho tập
hợp A = {1; 2; 3}. Khi đó 1 ∈ A, 5 /∈ A, {1} ⊆ A, {5} 6⊆ A. Khái niệm “phần
tử” hay “tập con” chỉ có tính chất tương đối. Ví dụ, cho tập hợp A = {1; 2; 3} .
Kí hiệu P(A) là tập tất cả các tập con của A (mỗi phần tử của P(A) là một tập con của A). B ∈ P(A) ⇔ B ⊆ A. {1} ⊆ A và {1} ∈ P(A). ∅ ∈ P(A), ∅ ⊆ A.
Nếu X có n phần tử thì P(X) có 2n phần tử.
Tập hợp hữu hạn: Tập hợp X được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của X là một số tự nhiên.
Các phép toán trên các tập hợp. Cho hai tập hợp A và B. Khi đó
Hợp của A và B, ký hiệu A ∪ B là tập hợp được xác định bởi
A ∪ B = x| x ∈ A hoặc x ∈ B .
Giao của A và B, ký hiệu A ∩ B là tập hợp được xác định bởi
A ∩ B = x| x ∈ A và x ∈ B . 7
Tích Descartes của A và B, ký hiệu A × B là tập hợp được xác định bởi
A × B = {(x, y)| x ∈ A, y ∈ B} .
Hiệu của A và B, ký hiệu A \ B là tập hợp được xác định bởi A \ B = x| x ∈ A và x / ∈ B .
Nếu B ⊆ A thì A \ B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu CA(B).
Chú ý rằng, các phép toán hợp, giao, tích Descartes hoàn toàn có thể mở
rộng cho một họ tùy ý các tập hợp {(Xi) | i ∈ I}, ở đây I là một tập chỉ số
nào đó. Khi đó ta xác định:
[ Xi = {x | ∃i ∈ I, x ∈ Xi}. i∈I
\ Xi = {x | x ∈ Xi,∀i ∈ I}. i∈I Y Xi = {z = (xi)i x ∈I | i ∈ Xi, ∀i ∈ I }. i∈I
Đặc biệt ta viết Xn để ký hiệu cho tích Descartes n lần tập hợp X, nghĩa là,
Xn = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ X, ∀i = 1, . . . , n}.
Tiên đề sau đây giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết tập hợp, đặc
biệt là cho việc nghiên cứu các tập hợp vô hạn.
Tiên đề chọn. Cho X là một tập hợp tùy ý. Ký hiệu P (X) là tập tất cả
các tập con của X. Khi đó luôn tồn tại một ánh xạ ϕ : P (X) → X sao cho
ϕ(A) ∈ A, ∀A ⊆ X, A 6= ∅. Ánh xạ ϕ được gọi là ánh xạ chọn trên tập hợp X. 1.1.2 Ánh xạ
1.1.2.1 Định nghĩa. Cho X và Y là các tập hợp, một ánh xạ f từ X đến
Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất một phần tử y ∈ Y . Ta viết: f : X → Y x 7→ y = f(x) 8 hoặc f X − → Y. Khi đó:
phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f ,
phần tử x được gọi là tạo ảnh của phần tử y bởi ánh xạ f ,
X được gọi là tập nguồn,
Y được gọi là tập đích.
Như vậy, tương ứng f : X → Y là ánh xạ khi và chỉ khi mỗi phần tử
thuộc tập nguồn X đều có và chỉ có một ảnh thuộc tập đích Y .
1.1.2.2 Ví dụ. a) Các tương ứng sau đây đều là ánh xạ: f : R+ → R x 7→ y = lgx và g : R → R x 7→ y = x2
b) Các tương ứng sau đây không phải là ánh xạ: f1 : R → R x 7→ y = lgx. và h : [−1; 1] → R x 7→ y (với siny = x).
c) Cho X là một tập hợp, tương ứng idX : X → X x 7→ x
là một ánh xạ và được gọi là ánh xạ đồng nhất. Ánh xạ đồng nhất idX cũng
thường hay được ký hiệu là 1X. 9
Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà chúng
ta đã gặp trong chương trình toán phổ thông. Các hàm số mà ta gặp ở trường
phổ thông là những ánh xạ mà nguồn và đích là tập hợp các số thực R hoặc
là những tập con của R và số f(x) tương ứng với x là một biểu thức đại
số hoặc là một biểu thức lượng giác. Trong định nghĩa ánh xạ, các tập hợp
nguồn và đích không nhất thiết là các tập hợp số và phần tử f(x) tương ứng
với phần tử x qua ánh xạ f không nhất thiết là một biểu thức đại số hoặc biểu thức lượng giác.
Trong Giải tích, chúng ta thường có những bài toán về vẽ đồ thị của một
hàm số. Sau đây, chúng ta định nghĩa khái niệm đồ thị của một ánh xạ.
1.1.2.3 Định nghĩa. Giả sử f : X → Y là một ánh xạ. Tập con
Γ = {(x, f(x)) | x ∈ X} ⊆ X × Y
được gọi là đồ thị của ánh xạ f .
1.1.2.4 Định nghĩa. Cho f : X → Y và g : X → Y là các ánh xạ. Ta nói
ánh xạ f bằng ánh xạ g, viết f = g, nếu f(x) = g(x), ∀x ∈ X.
Cho ánh xạ f : X → Y và A ⊆ X. Tập hợp f (A) = {f(a)| a ∈ A} ⊆ Y
được gọi là ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f. Đặc biệt khi A = X thì f(X)
được gọi là ảnh của ánh xạ f và ký hiệu là Imf. Vậy Imf = {f(x)| x ∈ X} = f(X). Cho B ⊆ Y . Tập hợp
f −1(B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} ⊆ X
được gọi là tạo ảnh của tập hợp B bởi ánh xạ f. Khi B = {y} chỉ gồm một
phần tử thì ta viết f−1(y) thay cho f−1({y}), nghĩa là
f −1(y) = {x ∈ X| f(x) = y}
là tập tạo ảnh của phần tử y bởi ánh xạ f. 10
1.1.2.5 Ví dụ. Ví dụ, xét ánh xạ f : R → R x 7→ x2
Ta có f(1) = 12 = 1, f(−1) = (−1)2 = 1,
f −1(1) = {−1; 1}, f−1(0) = 0, f−1(−9) = ∅,
f ([−1; 2]) = {f(x)| x ∈ [−1; 2]} = x2| − 1 ≤ x ≤ 2 = [0; 4] ,
f −1 ([0; 4]) = {x ∈ R| f(x) ∈ [0; 4]} = x ∈ R| x2 ∈ [0; 4]
= x ∈ R| 0 ≤ x2 ≤ 4 = [−2; 2] , f ([−2; 2]) = [0; 4] .
1.1.2.6 Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → Y . Khi đó:
(i) f được gọi là đơn ánh nếu mỗi phần tử y ∈ Y đều có không quá một tạo ảnh;
(ii) f được gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử y ∈ Y đều có tạo ảnh;
(iii) f được gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh tức với mỗi
phần tử y ∈ Y thì đều có duy nhất một tạo ảnh. 1.1.2.7 Ví dụ. a) Ánh xạ f : R → R x 7→ x2
không đơn ánh, không toàn ánh và không song ánh. b) Ánh xạ f1 : [0; ∞) → R x 7→ x2
là một đơn ánh nhưng không toàn ánh. c) Ánh xạ f2 : R → [0; ∞) x 7→ x2 11
là toàn ánh nhưng không đơn ánh. d) Ánh xạ f3 : [0; +∞) → [0; +∞) x 7→ x2 là một song ánh.
1.1.2.8 Định nghĩa. Cho các ánh xạ: f g X − → Y − → Z. Tương ứng:
h : X → Z, xác định bởi h(x) = g(f(x)), ∀x ∈ X,
là một ánh xạ và gọi là ánh xạ hợp thành (hay là tích) của ánh xạ f và ánh
xạ g. Ánh xạ h thường được ký hiệu là g ◦ f (hoặc viết gọn là gf).
Vậy gf : X → Z, là ánh xạ được xác định bởi (gf)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ X.
1.1.2.9 Ví dụ. Cho các ánh xạ f : R → R g : R → R x 7→ x2 x 7→ 2x3 + 1.
Khi đó, tồn tại tích gf và fg và được xác định như sau: gf : R → R x 7→ 2x6 + 1,
(gf )(x) = g(f (x)) = g(x2) = 2(x2)3 + 1 = 2x6 + 1, hay g(x) = 2x6 + 1, ∀x ∈ R. f g : R → R x 7→ 4x6 + 4x3 + 1,
(f g)(x) = f (g(x)) = f (2x3 + 1)2 = 4x6 + 4x3 + 1, hay (fg)(x) = 4x6 + 4x3 + 1, ∀x ∈ R.
Ta có fg 6= gf, vì lấy x = 1 ⇒ (gf)(1) = 3 6= 9 = (fg)(1). Qua ví dụ
này ta thấy phép hợp thành ánh xạ nói chung không có tính chất giao hoán. 12
1.1.2.10 Mệnh đề. (1) Phép hợp thành ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là, nếu f f X − → Y − → Z h − → W là các ánh xạ thì (hg)f = h(gf ).
(2) Cho ánh xạ f : X → Y . Ta có: 1Y f = f và f1X = f. (3) Cho các ánh xạ f g X − → Y −
→ Z. Khi đó, nếu f và g là đơn ánh (tương
ứng toàn ánh hoặc song ánh) thì gf cũng là đơn ánh (tương ứng toàn ánh hoặc song ánh).
1.1.2.11 Định nghĩa. Cho một song ánh f : X → Y . Khi đó mỗi phần tử
y ∈ Y đều có duy nhất một tạo ảnh x ∈ X. Do đó ta có một tương ứng
g : Y → X, xác định bởi với mỗi y ∈ Y, g(y) = x (trong đó f(x) = y). Vì
f là một song ánh nên g là một ánh xạ và được gọi là ánh xạ ngược của ánh
xạ f. Ánh xạ g thường được kí hiệu là: f−1.
Vậy f−1 : Y → X xác định bởi f−1(y) = x ⇔ f(x) = y. 1.1.2.12 Ví dụ. Ánh xạ f : R+ → R x 7→ lgx
là song ánh nên f có ánh xạ ngược f −1 : R → R+ y 7→ 10y.
1.1.2.13 Mệnh đề. Cho ánh xạ f : X → Y .
(1) f có ánh xạ ngược f−1 khi và chỉ khi f là song ánh. Khi đó f−1 cũng
là song ánh và (f−1)−1 = f.
(2) Nếu f là song ánh thì f−1f = 1X; ff−1 = 1Y .
(3) Nếu tồn tại ánh xạ g : Y → X sao cho gf = 1X, fg = 1Y thì f là song ánh và g = f−1. (4) Nếu f g X − → Y −
→ Z là các song ánh thì gf là một song ánh và khi đó (gf )−1 = f −1g−1. 13 BÀI TẬP
1. Xét tập hợp {A1, A2, . . . , An}, trong đó A1, A2, . . . , An là các tập hợp
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tập hợp Ai không chứa bất kỳ tập hợp
nào trong các tập hợp còn lại.
2. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng A \ (A \ B) = B khi và chỉ khi B ⊆ A.
3. Biểu diễn hình học tập hợp A × B trong các trường hợp sau:
(1) A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 7}. (2) A = B = Z.
4. Biểu diễn hình học tập hợp X gồm các điểm (x, y) của mặt phẳng Đêcac
có dạng (x, x) với 0 ≤ x ≤ 1 hoặc có dạng (x, x + 1) với x ≥ 0.
Tập hợp X trong các trường hợp này có phải là đồ thị của một ánh xạ từ R đến R hay không?
5. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng:
(1) A ∪ B = A khi và chỉ khi B ⊆ A;
(2) A ∩ B = A khi và chỉ khi A ⊆ B; (3) A ∪ ∅ = A; (4) A ∩ ∅ = ∅.
6. Giả sử (Ai)i∈I là một họ các tập con của một tập hợp X và B là một
tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng: (1) ∪ Ai ⊇ Ai, ∀i ∈ I; i∈I (2) ∩ Ai ⊆ Ai, ∀i ∈ I; i∈I
(3) B ∩ ( ∪ Ai) = ∪ (B ∩ Ai); i∈I i∈I
(4) B ∪ ( ∩ Ai) = ∩ (B ∪ Ai); i∈I i∈I
(5) X \ ( ∪ Ai) = ∩(X \ Ai); i∈I i∈I
(6) X \ ( ∩ Ai) = ∪(X \ Ai). i∈I i∈I 7. Tập hợp
G = {(x, x) | x < 0} ∪ {(x, 0) | x ≥ 0}
có phải là đồ thị của một ánh xạ từ R đến R? Biểu diễn hình học tập hợp 14 đó. 8. Tập hợp 1 G = {(x, | x ∈ R, x 6= 1} x − 1
có thể coi là đồ thị của ánh xạ nào? Biểu diễn hình học tập hợp đó.
9. Cho f : X → Y là một ánh xạ; A và B là hai tập con của X. Chứng minh rằng:
(a) f(A ∪ B) = f(B) ∪ f(B).
(b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B).
10. Cho f : X → Y là một ánh xạ; C và D là hai tập con của Y . Chứng minh rằng:
(a) f−1(C ∪ D) = f−1(C) ∪ f−1(D).
(b) f−1(C ∩ D) = f−1(C) ∩ f−1(D).
(c) f−1(C\D) = f−1(C)\f−1(D).
11. Cho các ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Chứng minh rằng:
(a) Nếu h = gf là toàn ánh thì g là toàn ánh, nếu thêm giả thiết g đơn ánh thì f là toàn ánh;
(b) Nếu h = gf là đơn ánh thì f là đơn ánh, nếu thêm giả thiết f là toàn ánh thì g là đơn ánh.
12. Cho X, Y là các tập hợp khác rỗng và f : X → Y là một ánh xạ. Chứng
minh rằng f là một đơn ánh khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ g : Y → X sao cho gf = 1X.
13. Cho X, Y là các tập hợp khác rỗng và f : X → Y là một ánh xạ. Chứng
minh rằng f là một toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ g : Y → X sao cho fg = 1Y .
14. Chứng minh Mệnh đề 1.1.2.13.
15. Cho các ánh xạ f : X → Y , g, g0 : Z → X. Chứng minh rằng:
(1) Nếu f là một đơn ánh và fg = fg0 thì g = g0;
(2) Nếu với mọi g, g0 mà fg = fg0 kéo theo g = g0 thì f là một đơn ánh.
16. Cho các ánh xạ f : X → Y , h, h0 : X → Z. Chứng minh rằng:
(1) Nếu f là một toàn ánh và hf = h0f thì h = h0; 15
(2) Nếu với mọi h, h0 mà hf = h0f kéo theo h = h0 thì f là một toàn ánh.
17. Chứng minh rằng nếu có một song ánh từ X đến Y và có một song
ánh từ X đến Z thì có một song ánh từ Y đến Z.
18. Giả sử f : X → Y là một ánh xạ, (Ai)i∈I là một họ các tập con của
X, (Bj)j∈J là một họ các tập con của Y. Chứng minh rằng: (1) f( ∪ Ai) = ∪ f(Ai); i∈I i∈I (2) f( ∩ Ai) ⊆ ∩ f(Ai); i∈I i∈I
(3) f−1( ∪ Bj) = ∪ f−1(Bj); j∈J j∈J
(4) f−1( ∩ Bj) = ∩ f−1(Bj). j∈J j∈J 1.2 Quan hệ hai ngôi
1.2.1 Khái niệm quan hệ hai ngôi
1.2.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X 6= ∅. Một quan hệ hai ngôi (gọi tắt là
quan hệ) trên tập hợp X là một tập con R của tích Descartes X × X.
1.2.1.2 Chú ý. Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X, tức là
R ⊆ X × X = {(x, y)| x, y ∈ X}. Nếu x, y ∈ X mà (x, y) ∈ R thì ta nói
phần tử x có quan hệ R với phần tử y và viết xRy.
1.2.1.3 Ví dụ. a) Quan hệ “bé hơn hoặc bằng thông thường” trên Z :
R1 = {(a, b) ∈ Z × Z| b − a ∈ N} .
Nếu aR1b thì ta viết a ≤ b.
b) Quan hệ "chia hết" trên N∗ : n . o R .. 2 = (a, b) ∈ N∗ × N∗| b a . Nếu aR1b thì ta viết a|b.
c) Quan hệ "đồng dư theo môđun n" trên Z.
Cho n là một số nguyên dương, n . o R . 3 = (a, b) ∈ Z × Z| a − b n .
Nếu aR3b thì ta viết a ≡ b (mod n). 16
Trên một tập hợp cho trước có thể có nhiều quan hệ hai ngôi. Sau đây,
chúng ta tìm hiểu hai loại quan hệ hai ngôi đặc biệt trong đại số, đó là quan
hệ tương đương và quan hệ thứ tự.
1.2.2 Quan hệ tương đương
1.2.2.1 Định nghĩa. Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là
quan hệ tương đương nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Tính phản xạ: ∀x ∈ X thì xRx,
(2) Tính đối xứng: ∀x, y ∈ X nếu xRy thì yRx,
(3) Tính bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X mà xRy và yRz thì xRz.
1.2.2.2 Ví dụ. Ví dụ, quan hệ đồng dư theo môđun n là một quan hệ tương
đương trên Z (xem Ví dụ 1.2.1.3, c).
Nếu R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X thì thay vì viết xRy
ta thường viết “x ∼ y”. Khi đó nếu x, y ∈ X mà x ∼ y thì ta nói x tương đương với y.
Giả sử trên tập X có quan hệ tương đương ∼. Cho x ∈ X. Ký hiệu x = {y ∈ X | y ∼ x} ⊆ X.
x là tập con của X gồm tất cả các phần tử tương đương với x. Rõ ràng x ∈ x
và x được gọi là lớp tương đương chứa phần tử x.
Mối quan hệ giữa hai lớp tương đương: Giả sử x, y ∈ X. Chú ý rằng
x ∈ y khi và chỉ khi x ∼ y. Do đó dễ kiểm tra thấy rằng: x = y ⇔ x ∼ y x ∩ y = ∅ ⇔ x y .
Như vây, nếu trên tập X cho một quan hệ tương đương thì tập hợp đó được
chia thành các lớp tương đương. Mỗi lớp tương đương gồm các phần tử tương
đương với nhau. Hai lớp tương đương bất kỳ hoặc là trùng nhau hoặc là rời
nhau. Hợp của tất cả các lớp tương đương của X chính bằng X. Khi đó ta
nói X được phân hoạch thành các lớp tương đương. Vì x = y ⇔ x ∼ y nên
với mọi phần tử a ∈ x thì a = x. Do đó phần tử x được gọi là một đại diện 17
của lớp x. Ta có thể chọn một phần tử bất kỳ trong mỗi lớp tương đương
làm đại diện của lớp đó.
1.2.2.3 Định nghĩa. Tập hợp các lớp tương đương của X được gọi là tập
thương của X theo quan hệ tương đương ∼. Tập hợp này thường được kí hiệu là X/ ∼ . Vậy X/ ∼= {x | x ∈ X}.
Chẳng hạn, cho n là một số nguyên dương. Ta xét quan hệ đồng dư theo
môđun n trên Z (xem Ví dụ 1.2.1.3, c). Quan hệ này là một quan hệ tương
đương. Dễ thấy tập thương gồm n phần tử: {0, 1, . . . , n − 1}, trong đó .
r = {a ∈ Z | (a − r) .. n}. Tập thương này được kí hiệu là Zn và gọi
là tập hợp các số nguyên modulo n. 1.2.3 Quan hệ thứ tự
1.2.3.1 Định nghĩa. Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là
quan hệ thứ tự nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Tính phản xạ: ∀x ∈ X thì xRx,
(ii) Tính phản đối xứng: ∀x, y ∈ X nếu xRy và yRx thì x = y,
(iii) Tính bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X mà xRy và yRz thì xRz.
1.2.3.2 Ví dụ. Các quan hệ hai ngôi R1 và R2 trong Ví dụ 1.2.1.3 là những quan hệ thứ tự.
1.2.3.3 Chú ý. Giả sử R là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X. Khi đó
thay vì viết xRy ta thường viết x ≤ y. Nếu x, y ∈ X mà x ≤ y thì ta nói x bé hơn hoặc bằng y.
1.2.3.4 Định nghĩa. Giả sử trên tập hợp X cho một quan hệ thứ tự “≤”.
Khi đó X được gọi là tập sắp thứ tự, ta thường ký hiệu (X, ≤).
(1) Trên tập sắp thứ tự (X, ≤), hai phần tử x, y ∈ X được gọi là so sánh
được với nhau theo quan hệ thứ tự “≤” nếu x ≤ y hoặc y ≤ x. 18
(2) Quan hệ thứ tự “≤” trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu
hai phần tử bất kỳ của X đều so sánh được với nhau theo quan hệ thứ tự
“≤”, tức ∀x, y ∈ X thì x ≤ y hoặc y ≤ x.
(3) Quan hệ thứ tự “≤” trên X được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận nếu
tồn tại hai phần tử x, y ∈ X không so sánh được với nhau theo quan hệ thứ tự “≤”.
1.2.3.5 Ví dụ. a) Quan hệ R1 trong Ví dụ 1.2.1.3 là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Z.
b) Quan hệ R2 trong Ví dụ 1.2.1.3 là một quan hệ thứ tự bộ phận trên
N∗, vì ∃2, 5 ∈ N∗ nhưng 2 không chia hết 5 và 5 cũng không chia hết 2.
1.2.3.6 Định nghĩa. Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự.
(1) Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử lớn nhất của X nếu ∀x ∈ X thì x ≤ a.
(2) Phần tử b ∈ X được gọi là phần tử bé nhất của X nếu ∀x ∈ X thì b ≤ x.
(3) Phần tử c ∈ X được gọi là phần tử cực đại (hay tối đại) của X nếu
∀x ∈ X mà c ≤ x thì x = c.
(4) Phần tử d ∈ X được gọi là phần tử cực tiểu (hay tối tiểu) của X nếu
∀x ∈ X mà x ≤ d thì x = d.
1.2.3.7 Ví dụ. Cho X = {2, 3, . . . , 12}.
a) Trên X xét quan hệ thứ tự chia hết “|”: a ≤ b ⇔ a|b. Khi đó:
- Phần tử lớn nhất: Không có.
- Phần tử bé nhất: Không có.
- Phần tử cực đại: 7, 8, 9, 10, 11, 12.
- Phần tử cực tiểu: 2, 3, 5, 7, 11.
b) Nếu xét quan hệ thứ tự bé hơn hoặc bằng thông thường “≤”.
- Phần tử lớn nhất trùng với phần tử cực đại: 12.
- Phần tử bé nhất trùng với phần tử cực tiểu: 2. 19
1.2.3.8 Định nghĩa. Giả sử (X, ≤) là một tập sắp thứ tự và A ⊆ X. Khi đó:
(1) Phần tử x ∈ X được gọi là một cận dưới (hay chặn dưới) của A nếu
∀a ∈ A thì x ≤ a. Phần tử lớn nhất trong tập tất cả các cận dưới của A
được gọi là cận dưới đúng của A trong X, ký hiệu là inf A.
(2) Phần tử y ∈ X được gọi là một cận trên (hay chặn trên) của A nếu
∀a ∈ A thì a ≤ y. Phần tử bé nhất trong tất cả các cận trên của A được gọi
là cận trên đúng của A trong X, ký hiệu là sup A.
(3) A được gọi là xích trong X nếu hai phần tử bất kỳ của A đều so sánh
được với nhau, nghĩa là, với mọi a, b ∈ A thì a ≤ b hoặc b ≤ a.
Mệnh đề sau đây thường được gọi là Bổ đề Zorn. Bổ đề này được sử dụng
rất nhiều trong các chứng minh toán học. Chứng minh của bổ đề này có thể
xem trong [2]. Người ta chứng minh rằng bổ đề này tương đương với Tiên đề chọn (xem Mục 1.1.1).
1.2.3.9 Định lý. (Bổ đề Zorn) Cho X là một tập sắp thứ tự. Nếu mỗi xích
trong X đều có chặn trên trong X thì trong X có ít nhất một phần tử cực đại.
1.2.3.10 Định nghĩa. Giả sử (X, ≤) là một tập sắp thứ tự. Ta nói X là tập
sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử bé nhất.
Định lý sau đây cũng tương đương với Tiên đề chọn.
1.2.3.11 Định lý. (Định lý Zemelo) Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ tự tốt. BÀI TẬP
19. Cho n là một số nguyên dương. Trên tập hợp các số nguyên Z ta xét
quan hệ đồng dư theo môđun n như sau: Giả sử a và b là hai số nguyên, ta
nói a đồng dư với b theo môđun n khi và chỉ khi số dư trong phép chia a và
b cho n là như nhau, điều này tương đương với a − b chia hết cho n. Khi đó ta ký hiệu a ≡ b (mod n). 20