Ma trận định thức - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Thủ đô Hà Nội

Ma trận định thức - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Thủ đô Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Trường:

Đại học Thủ đô Hà Nội 603 tài liệu

Thông tin:
46 trang 2 tháng trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Ma trận định thức - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Thủ đô Hà Nội

Ma trận định thức - Đại số tuyến tính | Trường Đại học Thủ đô Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

49 25 lượt tải Tải xuống

Môn: Đại số tuyến tính (SPT-2021B) 5 tài liệu

Trường: Đại học Thủ đô Hà Nội 603 tài liệu

Thông tin:

46 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
MôC LôC
2 Ma trËn ®Þnh thøc vµ hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 3
2.1 Ma trËn vµ c¸c phÐp to¸n trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 §Þnh nghÜa vµ c¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 §Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Kh¸i niÖm vÒ ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 C¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Ma trËn nghÞch ®¶o vµ h¹ng cña ma trËn . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 HÖ ph-¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 HÖ ph-¬ng tr×nh Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng ph-¬ng ph¸p Gauss 33
2.4.3 HÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt vµ nghiÖm tæng
qu¸t cña hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . 43
1
®¹i sè
S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng
vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt
2
Ch-¬ng2
MatrËn ®ÞnhthøcvµhÖ ph-¬ng
tr×nhtuyÕn tÝnh
2.1 Ma trËnvµ c¸c phÐp to¸n trªn matrËn
2.1.1 §ÞnhnghÜa vµc¸ckh¸i niÖm
§Þnh nghÜa 2.1.1 MatrËn kiÓum × n (hoÆccìm × n) lµmét b¶ngh×nh ch÷
nhËtgåmm · n sè ®-îcviÕtthµnh m hµng,n cétnh- sau
A
=
a a
11 12
. . . a
1n
a a
21 22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
§Óng¾ngäntakÝ hiÖu A = (a
ij
)
m×n
hoÆcA = (a
ij
).
Ta th-êng kÝ hiÖu ma trËn lµ c¸c ch÷ in hoa A, B, C, ..., c¸c phÇn tö a
ij
cña ma
trËn A = (a
ij
) cã hai chØ sè i vµ j: chØ sè ®Çu i chØ sè thø tù hµng cña phÇn tö
®ã, chØ sè thø hai j chØ sè thø tù cét cña phÇn tö ®ã.
VÝ dô 2.1.1
A
=
1 2 0
3 5 −10
lµ ma trËn kiÓu 2 × 3.
PhÇn tö n»m ë hµng thø hai, cét thø ba cña ma trËn A
a .
23
= −10
3
4 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ng tr×nhtuyÕn tÝnh
MatrËnkh«nglµ ma trËn cã c¸c phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng, kÝ hiÖu lµ .O
m×n
MatrËnb»ngnhau: Hai ma trËn cïng kiÓu A = (a
ij
)
m×n
vµ B = (b
ij
)
m×n
®-îc gäi lµ b»ng nhau nÕu a b
ij
=
ij
víi mäi i = 1, m, j = 1, n, viÕt lµ .A = B
Ch¼ng h¹n, víi hai ma trËn
A =
a b
c d
vµ B =
1 2
0 −2
th×
A
= B ⇔
a = 1
b = 2
c = 0
d = −2
C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ma trËn
Ma trËn kiÓu
m × 1 cã d¹ng
a
1
a
2
.
.
.
a
m
®-îc gäi lµ matrËn cét(m thµnh phÇn).
Ma trËn kiÓu
1 × n cã d¹ng
a a
1 2
. . . a
n
®-îc gäi lµ matrËnhµng.
NÕu m = n th× A gäi lµ matrËnvu«ngcÊp n vµ ®-êng chÐo nèi c¸c phÇn tö
a
11
, a
22
, . . . , a
nn
gäi lµ ®-êngchÐochÝnh.
Ma trËn cã c¸c phÇn tö n»m phÝa d-íi (t-¬ng øng n»m phÝa trªn) ®-êng
chÐo chÝnh ®-îc gäi lµ matrËntam gi¸cd-íi(t-¬ng øng tamgi¸ctrªn).
A
=
a a
11 12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
lµ ma trËn tam gi¸c trªn
B
=
b
11
0 . . . 0
b b
21 22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
n1
b
n2
. . . b
nn
lµ ma trËn tam gi¸c d-íi
MatrËn chÐocÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ c¸c phÇn tö n»m ngoµi ®-êng
chÐo chÝnh b»ng 0, tøc lµ ma trËn cã d¹ng
a
11
0 . . . 0
0 a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
2.1MatrËn vµc¸cphÐpto¸n trªnmatrËn 5
Ma trËn chÐo cÊp n mµ c¸c phÇn tö n»m trªn ®-êng chÐo chÝnh b»ng 1 gäi
lµ matrËn®¬nvÞ cÊp n, vµ kÝ hiÖu lµ I
n
I
n
=
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
2.1.2 C¸cphÐpto¸ntrªnmatrËn
PhÐp céng hai ma trËn cïng kiÓu
Tæng cña hai ma trËn cïng kiÓu A = (a
ij
)
m×n
vµ B = (b
ij
)
m×n
lµ mét ma
trËn C = (c
ij
)
m×n
, kÝ hiÖu C = A + B, trong ®ã c¸c phÇn tö
c a b
ij
=
ij
+
ij
, víi mäi i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.
DÔ dµng kiÓm tra c¸c tÝnh chÊt sau
A + B = B + A
(A + B) + + (C = A B + C)
A + O = A
VÝ dô 2.1.2
1 2
3 0
1 5
+
2 −1
1 0
3
−2
=
3 1
4 0
4 3
PhÐp nh©n mét sè víi ma trËn
Nh©n mét sè λ víi ma trËn A = (a
ij
)
m×n
lµ ma trËn C = (c
ij
)
m×n
cïng kiÓu
víi A, kÝ hiÖu λA, trong ®ã c¸c phÇn tö
c λa
ij
=
ij
víi mäi i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.
Cho A, B lµ hai ma trËn cïng kiÓu, α, β lµ hai sè bÊt k×, ta dÔ dµng chøng
minh c¸c tÝnh chÊt sau
α αB(A + B) = αA +
( )α + β A = αA + βB
α(βA) = (αβ A)
6 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ng tr×nhtuyÕn tÝnh
Chó ý r»ng hiÖu cñahai matrËn cïngkiÓu A vµ B, kÝ hiÖu A − B, ®-îc ®Þnh
nghÜa lµ tæng cña ma trËn A víi ma trËn (−1)B
A − B = A + (−1)B.
VÝ dô 2.1.3
a
1 0 −2
3 4 5
=
a 0 −2a
3 4 5a a a
, a ∈ R.
PhÐp chuyÓn vÞ ma trËn
ChuyÓn vÞ cña ma trËn A kiÓu m × n lµ ma trËn kiÓu n × m, kÝ hiÖu lµ A
T
nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch ®æi hµng thµnh cét (cô thÓ hµng thø i cña A thµnh
cét thø i cña A
T
víi mäi i = 1, 2, ..., n).
A
=
a a
11 12
. . . a
1n
a a
21 22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
th×
A
T
=
a a
11 21
. . . a
m1
a a
12 22
. . . a
m2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
. . . a
mn
Ma trËn vu«ng A gäi lµ ®èi xøng nÕu .A A
T
=
VÝ dô 2.1.4
1. A =
2 3
1 0
5
−1
th× A
T
=
2 1 5
3 0 −1
2. B =
1 2 3
2 −1 1
3 1 0
lµ mét ma trËn ®èi xøng v× B
T
=
1 2 3
2 −1 1
3 1 0
= B.
Ta cã c¸c hÖ thøc sau ®èi víi phÐp chuyÓn vÞ ma trËn
A
T
T
= A
(
A + B)
T
= A
T
+ B
T
2.1MatrËn vµc¸cphÐpto¸n trªnmatrËn 7
PhÐp nh©n ma trËn
TÝch cña ma trËn A = (a
ij
)
m×n
víi ma trËn B = (b
ij
)
n×p
lµ ma trËn C = (c
ij
)
kiÓu m × p, kÝ hiÖu C = AB, trong ®ã
c
ij
=
n
X
k=1
a b
ik kj
víi mäi i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.
§Æc biÖt tÝch cña ma trËn hµng 1 ×n víi ma trËn cét n × 1 lµ ma trËn kiÓu ,1 × 1
ta xem ma trËn kiÓu 1 × 1 nh- lµ mét sè
A
=
a a
1 2
. . . a
n
, B =
b
1
b
2
.
.
.
b
n
⇒ AB = a b a b a b .
1 1
+
2 2
+ .. . +
n n
Chó ý r»ng phÐp nh©n 2 ma trËn chØ ®-îc x¸c ®Þnh khi sè cét cña ma trËn
®Çu b»ng sè hµng cña ma trËn thø hai. PhÇntön»më hµngi,cétj cñamatrËn
tÝch®-îcx¸c ®Þnhb»ngphÐp nh©n (v«h-íng)hµng thøi cñamatrËnthø nhÊt
víicétthøj cñamatrËn thø hai.
VÝ dô 2.1.5
TÝch cña hai ma trËn
A =
1 0 3
2 −1 6
vµ B =
1 2
−3 4
5 1
b»ng
AB
=
1 · 1 + 0 · (−3) + 3 · 5 1 · ·2 + 0 4 + 3 · 5
2 · 1 + (− −1) · ( 3) + 6 · 5 2 · 2 + (−1) · ·4 + 6 1
=
13 17
35 6
TÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n trªn ma trËn
Víi A, B, C lµ c¸c ma trËn cã kiÓu phï hîp, c¸c phÐp to¸n gi÷a c¸c ma trËn tr×nh
bµy ë trªn cã c¸c tÝnh chÊt sau
1. TÝnh kÕt hîp cña phÐp nh©n ma trËn (AB A)C = (BC)
8 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ng tr×nhtuyÕn tÝnh
2. TÝnh ph©n phèi ph¶i víi phÐp céng ma trËn A(B + C) = AB AC+
3. TÝnh ph©n phèi tr¸i víi phÐp céng ma trËn ( )B + C A = BA + CA
4. TÝnh kÕt hîp víi phÐp nh©n víi mét sè α AB( ) = (αA A α B)B = ( )
5. TÝch cña ma trËn A víi ma trËn kh«ng
A · O = O vµ O A· = O.
L-u ý r»ng c¸c ma trËn O trong c¸c ®¼ng thøc võa thiÕt lËp ph¶i cã c¸c
kiÓu phï hîp víi phÐp nh©n.
6. TÝch cña ma trËn A víi ma trËn ®¬n vÞ .I · A = A = A · I
7. Mèi quan hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp chuyÓn vÞ
(
AB)
T
= B
T
A .
T
Chøngminh. Ta chØ chøng minh c¸c tÝnh chÊt 1, 2 vµ 7, c¸c tÝnh chÊt cßn l¹i
®¬n gi¶n h¬n, viÖc chøng minh chóng dµnh cho b¹n ®äc.
1) Gi¶ sö ma trËn A, B, C cã c¸c kiÓu sau
A = (a
ij
)
m×n
, B = (b
ij
)
n×p
, C = (c .
ij
)
p×q
Khi ®ã ma trËn (AB)C cã kiÓu m × q vµ ma trËn A(BC) còng cïng kiÓu
m × q.
Gäi x
il
lµ phÇn tö thuéc hµng i cét l cña ma trËn (AB)C, y
il
lµ phÇn tö
t-¬ng øng cña ma trËn A(BC)
x
il
=
m
X
k
=1
n
X
j=1
a b
ij jk
!
c
kl
=
m
X
k=1
n
X
j=1
a b c
ij jk kl
=
n
X
j=1
m
X
k=1
a b c
ij jk kl
=
n
X
j=1
a
ij
m
X
k=1
b c
jk kl
!
= y
il
§¼ng thøc trªn ®óng víi mäi i = 1, m vµ mäi l = 1, q.
VËy .(AB A)C = (BC)
2.1MatrËn vµc¸cphÐpto¸n trªnmatrËn 9
2) §Æt A = (a
ij
)
m×p
, B = (b
ij
)
p×n
, C = (c
ij
)
p×n
, ta cã
A
(B + C) =
p
X
k=1
a b c
ik
(
kj
+
kj
)
!
m×n
=
p
X
k=1
a b
ik kj
!
m×n
+
p
X
k=1
a c
ik kj
!
m×n
= AB + AC.
7) XÐt chuyÓn vÞ cña tÝch 2 ma trËn A = (a
ij
)
m×p
vµ B = (b
ij
)
p×n
(
AB)
T
=
p
X
k=1
a b
ik kj
!
T
=
p
X
k=1
a b
jk ki
!
=
p
X
k=1
b a
ki jk
!
= (b a A .
ik
) (
T
kj
)
T
= B
T T
L-u ý r»ng phÐp nh©n ma trËn nãi chung kh«ng cã tÝnh giao ho¸n, nãi c¸ch
kh¸c cã thÓ x¶y ra kh¶ n¨ng AB 6= BA.
Ch¼ng h¹n, víi
A =
1 2
3 −1
vµ B =
2 −2
4 3
, ta cã
AB
=
10 4
2 −9
6=
−4 6
13 5
= BA
TÝch cña hai ma trËn kh¸c kh«ng cã thÓ lµ ma trËn kh«ng, ch¼ng h¹n
1 2
2 4
4 −2
−2 1
=
0 0
0 0
.
Cuèi cïng ta nãi ®Õn kh¸i niÖm vÒ ma trËn khèi (cßn gäi lµ ma trËn «). Ta
cã thÓ chia ma trËn A = (a
ij
) thµnh c¸c khèi bëi c¸c ®-êng th¼ng ®øng vµ c¸c
®-êng n»m ngang. Mçi mét khèi nhá ®-îc t¹o thµnh lµ c¸c ma trËn con cña ma
trËn A, ta cã thÓ coi ma trËn A gåm c¸c khèi nhá t¹o thµnh ®ã. HiÓn nhiªn c¸c
khèi trong cïng mét hµng cã sè hµng b»ng nhau vµ c¸c khèi trong cïng mét cét
10 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
cã sè cét còng b»ng nhau.
A =
a
11
a a a a a
12 13
|
14
|
15 16
a a a a a a
21 22 23
|
24
|
25 26
−− −− −− | −− | −− −−
a
31
a a a a a
32 33
|
34
|
35 36
a a a a a a
41 42 43
|
44
|
45 46
a a a a a a
51 52 53
|
54
|
55 56
Nh- vËy ma trËn A gåm c¸c khèi A
ij
A
=
A
11
A
12
A
13
A A A
21 22 23
C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn khèi ®-îc tÝnh to¸n nh- trªn c¸c ma trËn th«ng
th-êng (c¸c phÇn tö lµ c¸c khèi), tÊt nhiªn c¸c khèi ph¶i ®-îc ph©n chia sao
cho phï hîp vÒ kiÓu (cì) dµnh cho c¸c phÐp to¸n t-¬ng øng. Ch¼ng h¹n trong
vÝ dô sau sè cét cña B
12
ph¶i b»ng sè hµng cña A
21
, A
22
, A
23
B
11
B
12
B B
21 22
A A A
11 12 13
A A A
21 22 23
=
=
B
11 12 11 12 11 12 23
A
11
+ B A
21
B A
12
+ B A
22
B A
13
+ B A
B A B A B A B A B A B A
21 11
+
22 21 21 12
+
22 22 21 13
+
22 23
VÝ dô 2.1.6
XÐt tÝch cña hai ma trËn
A =
2 7 3 0 0
3 9 4 0 0
1 5 3 0 0
0 0 0 3 2
0 0 0 2 1
vµ
B =
− −7 6 1 0 0
5 −3 −1 0 0
−6 3 3 0 0
0 0 0 1 −2
0 0 0 −2 3
NÕu xem ma trËn A vµ B lµ c¸c ma trËn khèi
A
=
A
1
O
O A
2
, B =
B
1
O
O B
2
víi A
1
=
2 7 3
3 9 4
1 5 3
, B
1
=
− −7 6 1
5 −3 −1
−6 3 3
A
2
=
3 2
2 1
, B
2
=
1 −2
−2 3
lµ c¸c ma trËn vu«ng cã tÝch A B
2 2
= −
1 0
0 1
.
2.2§Þnhthøc 11
Khi ®ã c¸c khèi lµ c¸c ma trËn phï hîp víi phÐp nh©n suy ra
AB
=
A
1
B
1
O
O A
2
B
2
=
3 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 −1
2.2 §Þnhthøc
2.2.1 Kh¸iniÖm vÒ ®Þnhthøc
Cho mét ma trËn vu«ng cÊp n
A
=
a a
11 12
. . . a
1n
a a
21 22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
KÝ hiÖu M
ij
lµ ma trËn cÊp n − 1 nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch xo¸ khái A hµng
thø i vµ cét thø j. Ta gäi M
ij
lµ ma trËn con t-¬ng øng víi phÇn tö a
ij
cña .A
VÝ dô 2.2.1
Cho ma trËn A =
1 2 3
2 −1 0
3 5 7
ta cã c¸c ma trËn con cña A
M
11
=
−1 0
5 7
, M
12
=
2 0
3 7
, M
13
=
2 −1
3 5
,
M
21
=
2 3
5 7
, M
22
=
1 3
3 7
, M
23
=
1 2
3 5
,
M
31
=
2 3
−1 0
, M
32
=
1 3
2 0
, M
33
=
1 2
2 −1
.
§Þnh nghÜa 2.2.1 §Þnhthøc cñama trËn A lµmét sè, kÝ hiÖu
det
A =
a
11
a a
12 13
... a
1n
a a a
21 22 23
... a
2n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
12 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
®-îcx¸c ®Þnhb»ngquy n¹ptheo n (cÊpcñama trËnA)nh- sau:
1. Víin = 1, det A = a
11
2. Víi
n = 2, matrËnA =
a
11
a
12
a a
21 22
, ®Þnhthøccña A
det A = a M a M
11 11
−
21 21
= a a a a .
11 22
−
12 21
3. Víin = 3, matrËnA =
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
a a a
31 32 33
,®Þnhthøc cñaA
det A = a
11
det det detM a
11
−
21
M
12
+ a
31
M
13
= a a a a a a a a a
11 22 33
−
11 23 32
−
12 21 33
+ a a a
13 21 32
+ a a a a a a .
12 23 31
−
13 22 31
4. Tr-êng hîptæng qu¸t®Þnh thøccÊp n ®-îctÝnh th«ngquac¸c®Þnh thøc
cÊpn − 1
hoÆcviÕt chitiÕt h¬n
det
A = a
11
a a
22 23
... a
2n
a a
32 33
... a
3n
. . ... .
a a
n2 n3
... a
nn
−
a
21
a a
12 13
... a
1n
a a
32 33
... a
3n
. . ... .
a a
n2 n3
... a
nn
+ ·· · +
+( 1)
−
n+1
a
n1
a a
12 13
... a
1n
a a
22 23
... a
2n
. . ... .
a a
n−1,2 n−1,3
... a
n−1,n
C¸ch x¸c®Þnh ®Þnhthøc nh- vËy cßn®-îc gäilµ khai triÓn®Þnhthøc theo
cétthø nhÊt.
2.2§Þnhthøc 13
VÝ dô 2.2.2
1. TÝnh c¸c ®Þnh thøc cÊp 2 vµ cÊp 3 d-íi ®©y
1 3
2 4
= 1 · ·4 − 2 3 = −2.
1 2 0
2 3 4
3 −5 6
= 1
3 4
−5 6
+ 3
2 0
−5 6
+ 3
2 0
3 4
= 38 − 24 + 24 = 38.
2. TÝnh ®Þnh thøc ma trËn tam gi¸c trªn
A
=
a a
11 12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
¸p dông ®Þnh nghÜa, thùc chÊt lµ khai triÓn ®Þnh thøc theo cét thø nhÊt
A
= a
11
a a
22 23
. . . a
2n
0 a
33
. . . a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
=
a a
11 22
a a
33 34
. . . a
3n
0 a
44
. . . a
4n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= . . . . . . = a a
11 22
. . . a
nn
.
§Æc biÖt ®Þnh thøc cña ma trËn chÐo b»ng tÝch c¸c phÇn tö n»m trªn ®-êng
chÐo chÝnh
a
11
0 0 ... 0
0 0a
22
... 0
0 0 a
33
... 0
. . . ... .
0 0 0 ... a
nn
= a
11
a ...a .
22 nn
2.2.2 C¸ctÝnhchÊt cña®Þnh thøc
C¸c tÝnh chÊt ®-îc tr×nh bµy trong môc nµy rÊt quan träng cho viÖc tÝnh ®Þnh
thøc. Tr-íc hÕt ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ sau
14 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
§Þnh lÝ 2.2.1 §Þnhthøccña ®Þnh thøccñamatrËn
cñanã
det
A = det A .
T
NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ kh¼ng ®Þnh, ®Þnh thøc cña ma trËn A cßn cã thÓ khai triÓn
theo hµng thø nhÊt
det
A = det A
T
= a
11
∆
11
− a
12
∆
12
+ a
13
∆
13
+ ·· · + (−1)
n+1
a
1n
∆
1n
.
Trong môc nµy ta ®-a vµo kÝ hiÖu ∆
ij
= det M
ij
lµ ®Þnh thøc cña ma trËn con
t-¬ng øng víi phÇn tö a
ij
cña ma trËn .A
Chøngminh. Ta chøng minh ®Þnh lÝ b»ng quy n¹p, hiÓn nhiªn ®Þnh lÝ ®óng víi
n = 1, n = 2. Gi¶ sö ®Þnh lÝ ®óng víi n < k, A lµ ma trËn vu«ng cÊp k. Ta cã
det =
A
T
k
X
i=1
(
−1) =
i+1
a
1i
∆
1i
= a
11
∆
11
+
k
X
i=2
(
−1)
i+1
a
1i
k
X
m=2
(
−1)
1+m−1
a
m1
∆
m1
1
i
!
BiÓu thøc trong ngoÆc lµ khai triÓn ®Þnh thøc ∆
1i
theo cét thø nhÊt, kÝ hiÖu ∆
m1
1i
lµ ®Þnh thøc cÊp k − 2 nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch xo¸ khái A hµng thø nhÊt vµ
cét thø i còng nh- xo¸ hµng thø m, cét thø nhÊt. Ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng cña tæng
trªn, chó ý ∆
m1
1
i
= ∆
1i
m1
det +
A
T
= a
11
∆
11
k
X
m=2
(
−1)
m+1
a
m1
k
X
i=2
(
−1)
1+i−1
a
1i
∆
1i
m
1
!
=
=
k
X
m=1
(−1)
m+1
a
m1
∆
m1
= det A. (®.p.c.m.)
Do ®Þnh lÝ trªn, c¸c kh¼ng ®Þnh sau liªn quan ®Õn ®Þnh thøc cña ma trËn nÕu
®óng víi hµng th× còng ®óng víi cét vµ ng-îc l¹i.
§Þnh lÝ 2.2.2 §Þnh thøcsÏ nÕuta®æichç2cét(hoÆc2hµng)chonhau.
Chøngminh. Ta chøng minh ®Þnh lÝ b»ng quy n¹p, hiÓn nhiªn ®Þnh lÝ ®óng víi
n = 2. Gi¶ sö ®Þnh lÝ ®óng víi n < k, A lµ ma trËn vu«ng cÊp .k
2.2§Þnhthøc 15
1. NÕu ta ®æi chç 2 cét thø i vµ thø j (i, j > 1) cho nhau, kÝ hiÖu A vµ A
0
lµ
ma trËn tr-íc vµ sau khi ®æi chç 2 cét. Khai triÓn A, A
0
theo cét thø nhÊt
det =A
k
X
m=1
(
−1) =
1+m
a
m1
∆
m1
, det A
0
k
X
m=1
(
−1)
1+m
a
m1
∆
0
m1
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, c¸c ®Þnh thøc ∆
m1
vµ ∆
0
m
1
cã cÊp b»ng k − 1 < k
nªn ∆
m1
= −∆
0
m
1
, suy ra det detA = − A
0
.
2. NÕu ta ®æi chç 2 cét thø nhÊt vµ thø hai cho nhau, kÝ hiÖu A vµ A
1
lµ ma
trËn tr-íc vµ sau khi ®æi chç 2 cét ®ã. Khai triÓn A, A
1
theo hµng thø nhÊt
det +A = a
11
∆
1m
− a
12
∆
12
k
X
m=3
(
−1)
1+m
a
1m
∆
1m
,
det +
A
1
= a
12
∆
12
− a
11
∆
1m
k
X
m=3
(
−1)
1+m
a
1m
∆
1
1
m
,
Còng sö dông gi¶ thiÕt quy n¹p, suy ra .det detA = − A
1
NhËn xÐt r»ng ®Ó ®æi chç cét thø nhÊt víi mét cét bÊt k× kh¸c, ta cã thÓ liªn tiÕp
®æi chç 2 cét c¹nh nhau cho nhau (sau mét sè lÎ b-íc), kÕt hîp víi c¸c b-íc nªu
trªn dÔ dµng suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
§Þnh lÝ 2.2.3 A vµB lµhai matrËn vu«ng cïng cÊp cãc¸c hµng(cét)nh- nhau,
trõhµng(cét)thøi cña2 ma trËncã thÓ kh¸cnhau
A
=
a a a
11 12 13
... a
1n
. . . ... .
x x
1 2
x
3
... x
n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
, B
=
a a a
11 12 13
... a
1n
. . . ... .
y y y
1 2 3
... y
n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
Khi®ã
1
. det A + det B =
a
11
a a
12 13
... a
1n
. . . ... .
x x x
1
+ y
1 2
+ y
2 3
+ y y
3
... x
n
+
n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
16 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
2
.
a a a
11 12 13
... a
1n
. . . ... .
αx αx αx
1 2 3
... αx
n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
=
α
a a a
11 12 13
... a
1n
. . . ... .
x x x
1 2 3
... x
n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
Chøngminh. ¸p dông ®Þnh lÝ 2.2.2, b»ng c¸ch ®æi chç hµng thø nhÊt vµ hµng
thø i cho nhau, ta chØ cÇn chøng minh ®Þnh lÝ ®óng víi hµng thø nhÊt
x
1
x x
2 3
... x
n
a a a
21 22 23
... a
2n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
+
y
1
y y
2 3
... y
n
a a a
21 22 23
... a
2n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
=
=
x x
1
+ y y
1
x
2
+
2 3
+ y y
3
... x
n
+
n
a a a
21 22 23
... a
2n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
vµ
αx αx αx
1 2 3
... αx
n
a a a
21 22 23
... a
2n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
=
α
x x
1
x
2 3
... x
n
a a a
21 22 23
... a
2n
. . . ... .
a a a
n1 n2 n3
... a
nn
C¶ 2 ®¼ng thøc ®-îc suy ra b»ng c¸ch khai triÓn chóng theo hµng thø nhÊt.
Tõ c¸c ®Þnh lÝ trªn, ta dÔ dµng suy ra c¸c tÝnh chÊt sau:
1. NÕu ma trËn cã 1 hµng (hoÆc cét) gåm toµn c¸c sè 0 th× th× ®Þnh thøc cña
ma trËn b»ng .0
2. §Þnh thøc cã hai hµng gièng nhau th× b»ng .0
3. NÕu ma trËn cã 2 hµng (cét) tØ lÖ th× ®Þnh thøc cña ma trËn b»ng .0
§Þnh thøc kh«ng thay ®æi nÕu céng thªm vµo mét hµng (cét) béi cña hµng
(cét) kh¸c.
Ng-êi ta th-êng xuyªn sö dông c¸c tÝnh chÊt nµy ®Ó ®-a ®Þnh thøc vÒ c¸c d¹ng
®¬n gi¶n h¬n cã thÓ tÝnh trùc tiÕp theo ®Þnh nghÜa.
2.2§Þnhthøc 17
VÝ dô 2.2.3
TÝnh ®Þnh thøc
B
=
1 2 3 . . . n
−1 0 3 . . . n
− −1 2 0 . . . n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
− − −1 2 3 . . . 0
§Ó tÝnh B, ta lÇn l-ît céng hµng thø nhÊt vµo c¸c hµng hai, hµng ba,...,
hµng thø n. Khi ®ã ®Þnh thøc ®· cho kh«ng thay ®æi vµ b»ng ®Þnh thøc
ma trËn tam gi¸c trªn
B
=
1 2 3 . . . n
0 2 6 . . . 2n
0 0 3 . . . 2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . n
= n!
§Þnh nghÜa 2.2.2 VíimatrËn
A
=
a
11
a
12
. . . a
1n
a a
21 22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
tagäiA
ij
= (−1)
i+j
det M
ij
= (−1)
i+j
∆
ij
lµ phÇn phô®¹isè t-¬ngøng víi phÇn
töa
ij
cñama trËn .A
VÝ dô 2.2.4
XÐt ma trËn ®· cho trong vÝ dô 2.2.1, A =
1 2 3
2 −1 0
3 5 7
. C¸c phÇn phô ®¹i sè
cña ma trËn A
A
11
=
−1 0
5 7
= −7, A
12
= −
2 0
3 7
= −14, A
13
=
2 −1
3 5
= 13,
A
21
= −
2 3
5 7
= 1, A
22
=
1 3
3 7
= −2, A
23
= −
1 2
3 5
= 1,
A
31
=
2 3
−1 0
= 3, A
32
= −
1 3
2 0
= 6, A
33
=
1 2
2 −1
= −5.
18 Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
Liªn quan tíi c¸c phÇn phô ®¹i sè ta cã ®Þnh lÝ sau
§Þnh lÝ 2.2.4 ChomatrËn
A
=
a a
11 12
. . . a
1n
a a
21 22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a a
n1 n2
. . . a
nn
Khi ®ã®Þnhthøccña A cã thÓ khaitriÓn theo hµng bÊt k×, chÝnhx¸ch¬n
n
X
j=1
a A
ij kj
=
(
det A nÕui = k
0
nÕui 6= k
(2.1)
Chøngminh. Tr-êng hîp i = k ta ®æi chç hµng i cho hµng i − 1, råi ®æi tiÕp
cho hµng i − 2 3 1, i − , . . . , . Sau i − 1 lÇn ®æi dÊu, hµng i cña ®Þnh thøc chuyÓn
lªn hµng thø nhÊt. Do ®ã,
det
A = (−1)
i−1
a
i1
∆
i1
− a
i2
∆
i2
+ .. . + (−1)
n+1
a
in
∆
in
= (
−1)
i+1
a
i1
∆
i1
+ (−1)
i+2
a
i2
∆
i2
+ .. . + (−1)
i+n
a
in
∆
in
=
n
X
j=1
a A .
ij ij
Ta nãi r»ng ®Þnh thøc ®-îc khai triÓn theo hµng thø .i
Tr-êng hîp
i 6= k th×
P
n
j
=1
a
ij
A
kj
lµ ®Þnh thøc cã hµng i vµ hµng k gièng nhau
suy ra ®Þnh thøc b»ng 0. §Þnh lÝ ®· ®-îc chøng minh.
NhËn xÐt r»ng do ®Þnh thøc cña ma trËn bÊt k× b»ng ®Þnh thøc cña ma trËn
chuyÓn vÞ cña nã, suy ra ®Þnh lÝ vÉn ®óng nÕu ta khai triÓn ®Þnh thøc theo cét
bÊt k×. ChÝnh x¸c h¬n
n
X
i=1
a A
ij ik
=
(
det A nÕu j = k
0
nÕu j 6= k
(2.2)
§-a vµo kÝ hiÖu A
C
lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn c¸c phÇn phô ®¹i sè A
ij
A
C
=
A
11
A
21
... A
n1
A A
12 22
... A
n2
. . ... .
A A
1n 2n
... A
nn
2.2§Þnhthøc 19
khi ®ã c«ng thøc (2.1) trong ®Þnh lÝ còng nh- c«ng thøc (2.2) cã thÓ viÕt d-íi
d¹ng ma trËn
AA A A I .
C
=
C
A = (det )
n
Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ sau vÒ ®Þnh thøc cña tÝch 2 ma trËn vu«ng cïng kiÓu
§Þnh lÝ 2.2.5 NÕuA vµB lµhaima trËnvu«ngcïngcÊpth×
det(A · B) = det A · det B.
VÝ dô 2.2.5
1. Cho 2 ma trËn
A =
2 1
−1 3
vµ B =
−1 3
5 −7
. Khi ®ã tÝch cña chóng
AB
=
2 1
−1 3
−1 3
5 −7
=
3 −1
16 −24
DÔ dµng tÝnh ®-îc det A = 7, ,det B = −8 det AB = −56. Tøc lµ det =AB
det detA · B.
2. TÝnh ®Þnh thøc
D
=
a a a ... a
a 0 a ... a
a a 0 ... a
. . . ... .
a a a ... 0
Céng vµo hµng thø i (víi mäi i = 2, 3, ..., n) (−1) lÇn hµng thø nhÊt, ta cã
kÕt qu¶
D
=
a a a ... a
a 0 a ... a
a a 0 ... a
. . . ... .
a a a ... 0
=
a a a ... a
0 −a 0 ... 0
0 0 −a ... 0
. . . ... .
0 0 0 ... a−
§Þnh thøc cuèi lµ ®Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c trªn, theo vÝ dô 2.2.2, gi¸
trÞ cña nã b»ng tÝch c¸c phÇn tö n»m trªn ®-êng chÐo chÝnh
D
= (−1)
n−1
a .
n
20 Ch-¬ng II. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
3. TÝnh ®Þnh thøc Vandermonde
D(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
1 1 1 . . . 1
x
1
x x
2 3
. . . x
n
x
2
1
x
2
2
x
2
3
. . . x
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n−1
1
x
n−1
2
x
n−1
3
. . . x
n−1
n
B¾t ®Çu tõ hµng cuèi, céng vµo hµng thø n béi lÇn, (−x
1
) lÇn hµng thø
n − 1. Nh- vËy gi¸ trÞ cña ®Þnh thøc kh«ng ®æi. B-íc tiÕp theo, céng vµo
hµng thø n − 1 béi lÇn, (−x
1
) lÇn hµng thø n − 2... Cø thÕ tiÕp tôc céng
vµo hµng thø i, (−x
1
) lÇn hµng i − 1. B-íc cuèi cïng céng vµo hµng thø
2, (−x
1
) lÇn hµng thø nhÊt.
D(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
=
1 1 1 . . . 1
0 x
2
− x x
1
x
3
−
1
. . . x
n
− x
1
0 x
2
2
− x
1
x
2
x
2
3
− x
1
x
3
. . . x
2
n
− x
1
x
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
x
n−1
2
− x
1
x
n−2
2
x
n−1
3
− x
1
x
n−2
3
. . . x
n−1
n
− x
1
x
n−2
n
=
x
2
− x x x
1 3
−
1
. . . x
n
− x
1
x x x x
2
(
2
−
1
) x
3
(
3
− x
1
) . . . x
n
(x
n
− x
1
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n−2
2
(x
2
− x
1
) x
n−2
3
(x
3
− x
1
) . . . x
n−2
n
(x
n
− x
1
)
= (
x x
2
− x x
1
)(
3
−
1
) . . . (x x
n
−
1
)
1 1 . . . 1
x
2
x
3
. . . x
n
x
2
2
x
2
3
. . . x
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n−1
2
x
n−1
3
. . . x
n−1
n
= (x x x
2
− x x
1
)(
3
−
1
) . . . (x x
n
−
1
)D(
2
, x
3
, . . . , x
n
).
§Þnh thøc ë hµng cuèi D(x
2
, x
3
, . . . , x
n
) còng lµ ®Þnh thøc Vandermonde
cÊp n − 1. B»ng quy n¹p ta cã
D(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
Y
n≥i>j≥1
( )x
i
− x
j
.
| 1/46

Tài liệu khác của Đại học Thủ đô Hà Nội

Preview text:

MôC LôC
2 Ma trËn ®Þnh thøc vµ hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 3 2.1
Ma trËn vµ c¸c phÐp to¸n trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1
§Þnh nghÜa vµ c¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2
C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 §Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1
Kh¸i niÖm vÒ ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2
C¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Ma trËn nghÞch ®¶o vµ h¹ng cña ma trËn . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 HÖ ph-¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.1
HÖ ph-¬ng tr×nh Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2
Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng ph-¬ng ph¸p Gauss 33 2.4.3
HÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt vµ nghiÖm tæng
qu¸t cña hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . 43 1 ®¹i sè
S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng
vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt 2 Ch-¬ng2
MatrËn ®ÞnhthøcvµhÖ ph-¬ng tr×nhtuyÕn tÝnh
2.1 Ma trËnvµ c¸c phÐp to¸n trªn matrËn
2.1.1 §ÞnhnghÜa vµc¸ckh¸i niÖm
§Þnh nghÜa 2.1.1 MatrËn kiÓum × n (hoÆccìm × n) lµmét b¶ngh×nh ch÷
nhËtgåmm · n sè ®-îcviÕtthµnh m hµng,n cétnh- sau a11 a12 . . . a 1n a21 a22 . . . a 2n .. . . . . .. . . .. A = am1 am2 . . . a mn
§Óng¾ngäntakÝ hiÖu A = (aij)m×n hoÆcA = (aij).
Ta th-êng kÝ hiÖu ma trËn lµ c¸c ch÷ in hoa A, B, C, ..., c¸c phÇn tö aij cña ma
trËn A = (aij) cã hai chØ sè i vµ j: chØ sè ®Çu i chØ sè thø tù hµng cña phÇn tö
®ã, chØ sè thø hai j chØ sè thø tù cét cña phÇn tö ®ã. VÝ dô 2.1.1 1 2 0 A P = hÇn tö n»m ë hµ lµ ng m t a høtrË h n ai, ki c Ó é u t t2h × ø 3b. 3 5 −10 a cña ma trËn A a23 = −10. 3 4
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ng tr×nhtuyÕn tÝnh
MatrËnkh«nglµ ma trËn cã c¸c phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng, kÝ hiÖu lµ Om×n.
MatrËnb»ngnhau: Hai ma trËn cïng kiÓu A = (aij)m×n vµ B = (bij)m×n
®-îc gäi lµ b»ng nhau nÕu aij = bij víi mäi i = 1, m, j = 1, n, viÕt lµ A = B. c d 1 2 Ch¼ng h¹n, víi hai ma trËn a b A = vµ B = th× 0 −2 a = 1 b = 2 c = 0 A = B ⇔ d = −2
C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ma trËn a1
a2.. ®-îc gäi lµ matrËn cét(m thµnh phÇn). .
Ma trËn kiÓu m × 1 cã d¹ng am M N aÕutrË mn=kinÓuth×1 × A ngäciãl d µ ¹nmgatr a
Ënvu«ngcÊp n vµ ®-êng chÐo nèi c¸c phÇn tö 1
a2 . . . an ®-îc gäi lµ matrËnhµng.
a11, a 22, . . . , a nn gäi lµ ®-êngchÐochÝnh.
Ma trËn cã c¸c phÇn tö n»m phÝa d-íi (t-¬ng øng n»m phÝa trªn) ®-êng
chÐo chÝnh ®-îc gäi lµ matrËntam gi¸cd-íi(t-¬ng øng tamgi¸ctrªn). a11 a12 . . . a 1n 0 a22 . . . a 2n .. . lµ ma trËn tam gi¸c trªn . .. ... ... A = 0 0 . . . ann b11 0 . . . 0 b21 b22 . . . 0 .. . lµ ma trËn tam gi¸c d-íi . .. ... ... B = bn1 bn2 . . . bnn
MatrËn chÐocÊp n lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ c¸c phÇn tö n»m ngoµi ®-êng
chÐo chÝnh b»ng 0, tøc lµ ma trËn cã d¹ng a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 .. . . .. ... ... 0 0 . . . ann
2.1MatrËn vµc¸cphÐpto¸n trªnmatrËn 5
Ma trËn chÐo cÊp n mµ c¸c phÇn tö n»m trªn ®-êng chÐo chÝnh b»ng 1 gäi
lµ matrËn®¬nvÞ cÊp n, vµ kÝ hiÖu lµ In 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . . .. ... ... In = 0 0 . . . 1
2.1.2 C¸cphÐpto¸ntrªnmatrËn
PhÐp céng hai ma trËn cïng kiÓu
Tæng cña hai ma trËn cïng kiÓu A = (aij)m×n vµ B = (bij)m×n lµ mét ma
trËn C = (cij)m×n, kÝ hiÖu C = A + B, trong ®ã c¸c phÇn tö
cij = aij + bij, víi mäi i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.
DÔ dµng kiÓm tra c¸c tÝnh chÊt sau A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + O = A VÝ dô 2.1.2 1 2 2 −1 3 1 3 0 1 0 4 0 1 5 4 3 + =
PhÐp nh©n mét sè víi ma trËn 3 −2
Nh©n mét sè λ víi ma trËn A = (aij)m×n lµ ma trËn C = (cij)m×n cïng kiÓu
víi A, kÝ hiÖu λA, trong ®ã c¸c phÇn tö
cij = λaij víi mäi i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.
Cho A, B lµ hai ma trËn cïng kiÓu, α, β lµ hai sè bÊt k×, ta dÔ dµng chøng minh c¸c tÝnh chÊt sau α(A + B) = αA + αB (α + β)A = αA + βB α(βA) = (αβ)A 6
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ng tr×nhtuyÕn tÝnh
Chó ý r»ng hiÖu cñahai matrËn cïngkiÓu A vµ B, kÝ hiÖu A − B, ®-îc ®Þnh
nghÜa lµ tæng cña ma trËn A víi ma trËn (−1)B A − B = A + (−1)B. VÝ dô 2.1.3 13 04 −25 a 0 −2a a = , a 3a 4a 5a ∈ R.
PhÐp chuyÓn vÞ ma trËn
ChuyÓn vÞ cña ma trËn A kiÓu m × n lµ ma trËn kiÓu n × m, kÝ hiÖu lµ AT
nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch ®æi hµng thµnh cét (cô thÓ hµng thø i cña A thµnh
cét thø i cña AT víi mäi i = 1, 2, ..., n). a11 a12 . . . a 1n a11 a21 . . . a m1 a21 a22 . . . a 2n a12 a . 22 . . . a m2 . . . . . .. ... ... .. .. ... ... A = a th× AT = m1 am2 . . . a mn a1n a2n . . . a mn
Ma trËn vu«ng A gäi lµ ®èi xøng nÕu AT = A. VÝ dô 2.1.4 2 3 1 0 1. 2 1 5 A = th× AT = 5 3 0 −1 −1 1 2 3 1 2 3 2 −1 1 2 −1 1 2. 3 1 0 3 1 0 = B. B =
lµ mét ma trËn ®èi xøng v× BT =
Ta cã c¸c hÖ thøc sau ®èi víi phÐp chuyÓn vÞ ma trËn (A + AT T B)T = = A A T + BT
2.1MatrËn vµc¸cphÐpto¸n trªnmatrËn 7
PhÐp nh©n ma trËn
TÝch cña ma trËn A = (aij)m×n víi ma trËn B = (bij)n×p lµ ma trËn C = (cij)
kiÓu m × p, kÝ hiÖu C = AB, trong ®ã n cij =
aikbkj víi mäi i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. X k=1
§Æc biÖt tÝch cña ma trËn hµng 1 × n víi ma trËn cét n × 1 lµ ma trËn kiÓu 1 × 1,
ta xem ma trËn kiÓu 1 × 1 nh- lµ mét sè b1
b2.. ⇒ AB = a1b1 +a2b2 +...+anbn. . A = a1 a2 . . . an , B = bn
Chó ý r»ng phÐp nh©n 2 ma trËn chØ ®-îc x¸c ®Þnh khi sè cét cña ma trËn
®Çu b»ng sè hµng cña ma trËn thø hai. PhÇntön»më hµngi,cétj cñamatrËn
tÝch®-îcx¸c ®Þnhb»ngphÐp nh©n (v«h-íng)hµng thøi cñamatrËnthø nhÊt
víicétthøj cñamatrËn thø hai. VÝ dô 2.1.5 1 2 −3 4 12 0 −1 36 TÝch cña hai ma trËn A = vµ B = 5 1 b»ng 1 · 1 + 0 · (−3) + 3 · 5 1 · 2 + 0 · 4 + 3 · 5
AB = 2 · 1 + (−1) · (−3) + 6 · 5 2 · 2 + (−1) · 4 + 6 · 1 13 17 = 35 6
TÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n trªn ma trËn
Víi A, B, C lµ c¸c ma trËn cã kiÓu phï hîp, c¸c phÐp to¸n gi÷a c¸c ma trËn tr×nh
bµy ë trªn cã c¸c tÝnh chÊt sau
1. TÝnh kÕt hîp cña phÐp nh©n ma trËn (AB)C = A(BC) 8
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ng tr×nhtuyÕn tÝnh
2. TÝnh ph©n phèi ph¶i víi phÐp céng ma trËn A(B + C) = AB + AC
3. TÝnh ph©n phèi tr¸i víi phÐp céng ma trËn (B + C)A = BA + CA
4. TÝnh kÕt hîp víi phÐp nh©n víi mét sè α(AB) = (αA)B = A(α)B
5. TÝch cña ma trËn A víi ma trËn kh«ng A · O = O vµ O · A = O.
L-u ý r»ng c¸c ma trËn O trong c¸c ®¼ng thøc võa thiÕt lËp ph¶i cã c¸c
kiÓu phï hîp víi phÐp nh©n.
6. TÝch cña ma trËn A víi ma trËn ®¬n vÞ I · A = A = A · I.
7. Mèi quan hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp chuyÓn vÞ (AB)T = BT AT .
Chøngminh. Ta chØ chøng minh c¸c tÝnh chÊt 1, 2 vµ 7, c¸c tÝnh chÊt cßn l¹i
®¬n gi¶n h¬n, viÖc chøng minh chóng dµnh cho b¹n ®äc.
1) Gi¶ sö ma trËn A, B, C cã c¸c kiÓu sau
A = (aij)m×n, B = (bij)n×p, C = (cij)p×q.
Khi ®ã ma trËn (AB)C cã kiÓu m × q vµ ma trËn A(BC) còng cïng kiÓu m × q.
Gäi xil lµ phÇn tö thuéc hµng i cét l cña ma trËn (AB)C, yil lµ phÇn tö
t-¬ng øng cña ma trËn A(BC) m m n xil = ! aijbjkc X n X X X kl j=1 a k=1 j=1 ijbjk ckl = n m n k=1 = aijbjkc ! X X kl = X mX j=1 k=1 j=1 a k=1 ij bjkckl = yil
§¼ng thøc trªn ®óng víi mäi i = 1, m vµ mäi l = 1, q. VËy (AB)C = A(BC).
2.1MatrËn vµc¸cphÐpto¸n trªnmatrËn 9
2) §Æt A = (aij)m×p, B = (bij)p×n, C = (cij)p×n, ta cã ! p X A(B + C) = k=1 aik (bkj + ckj) m×n ! ! pX pX = k=1 a k=1 ikbkj + aikckj = AB + AC. m×n m×n
7) XÐt chuyÓn vÞ cña tÝch 2 ma trËn A = (aij)m×p vµ B = (bij)p×n !T ! p X pX (AB)T = k=1 a k=1 ikbkj = ajkbki ! pX = k=1 b T T
kiajk = (bik ) (akj )T = BT A .
L-u ý r»ng phÐp nh©n ma trËn nãi chung kh«ng cã tÝnh giao ho¸n, nãi c¸ch
kh¸c cã thÓ x¶y ra kh¶ n¨ng AB 6= BA. 1 2 24 −23 Ch¼ng h¹n, víi A = vµ B = , ta cã 3 −1 10 4 −4 6 AB = 6= = BA 2 −9 13 5
TÝch cña hai ma trËn kh¸c kh«ng cã thÓ lµ ma trËn kh«ng, ch¼ng h¹n 12 24 4 −2 −2 1 00 00 = .
Cuèi cïng ta nãi ®Õn kh¸i niÖm vÒ ma trËn khèi (cßn gäi lµ ma trËn «). Ta
cã thÓ chia ma trËn A = (aij) thµnh c¸c khèi bëi c¸c ®-êng th¼ng ®øng vµ c¸c
®-êng n»m ngang. Mçi mét khèi nhá ®-îc t¹o thµnh lµ c¸c ma trËn con cña ma
trËn A, ta cã thÓ coi ma trËn A gåm c¸c khèi nhá t¹o thµnh ®ã. HiÓn nhiªn c¸c
khèi trong cïng mét hµng cã sè hµng b»ng nhau vµ c¸c khèi trong cïng mét cét 10
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh cã sè cét còng b»ng nhau. a11 a12 a13 | a14 | a15 a16 a21 a22 a23 | a24 | a25 a26
−− −− −− | −− | −− −− A = a31 a32 a33 | a34 | a35 a36 a41 a42 a43 | a44 | a45 a46 a51 a52 a53 | a54 | a55 a56
Nh- vËy ma trËn A gåm c¸c khèi Aij A A = 11 A12 A13 A21 A22 A23
C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn khèi ®-îc tÝnh to¸n nh- trªn c¸c ma trËn th«ng
th-êng (c¸c phÇn tö lµ c¸c khèi), tÊt nhiªn c¸c khèi ph¶i ®-îc ph©n chia sao
cho phï hîp vÒ kiÓu (cì) dµnh cho c¸c phÐp to¸n t-¬ng øng. Ch¼ng h¹n trong
vÝ dô sau sè cét cña B12 ph¶i b»ng sè hµng cña A21, A 22, A23 B11 B12 A11 A12 A13 = B21 B22 A21 A22 A23 B A A A A A A = 11 11 + B12 21
B11 12 + B12 22 B11 13 + B12 23
B21A11 + B22A21 B21A12 + B22A22 B21A13 + B22A23 VÝ dô 2.1.6 2 7 3 0 0 −7 6 −1 0 0 3 9 4 0 0 5 −3 −1 0 0 1 5 3 0 0 −6 3 3 0 0
XÐt tÝch cña hai ma trËn A = 0 0 0 3 2 vµ B = 0 0 0 1 −2 0 0 0 2 1 0 0 0 −2 3
NÕu xem ma trËn A vµ B lµ c¸c ma trËn khèi 2 7 3 −7 6 −1 3 9 4 5 −3 −1 AO A BO B A = 1 O , B = 1 O víi A 1 5 3 , B −6 3 3 1 = 1 = 2 2 32 21 1 −2 −23 10 01 A2 = , B 2 =
lµ c¸c ma trËn vu«ng cã tÝch A2B2 = − . 2.2§Þnhthøc 11
Khi ®ã c¸c khèi lµ c¸c ma trËn phï hîp víi phÐp nh©n suy ra 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 O A 0 0 3 0 0 A AB = 1B1 O = 0 0 0 −1 0 2B2 0 0 0 0 −1 2.2 §Þnhthøc
2.2.1 Kh¸iniÖm vÒ ®Þnhthøc
Cho mét ma trËn vu«ng cÊp n a11 a12 . . . a 1n a21 a22 . . . a 2n .. . . .. ... ... A = an1 an2 . . . a nn
KÝ hiÖu Mij lµ ma trËn cÊp n − 1 nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch xo¸ khái A hµng
thø i vµ cét thø j. Ta gäi Mij lµ ma trËn con t-¬ng øng víi phÇn tö aij cña A. VÝ dô 2.2.1 1 2 3 2 −1 0 Cho ma trËn A = 3 5
7 ta cã c¸c ma trËn con cña A −15 07 23 07 23 −15 M11 = , M12 = , M13 = , 5 7 3 7 3 5 2 3 1 3 1 2 M21 = , M22 = , M23 = , 2−1 30 2 0 1 3 1 2 M31 = , M32 = , M33 = .
§Þnh nghÜa 2.2.1 §Þnhthøc cñama trËn A lµmét sè, kÝ hiÖu 2 −1 a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n . . . ... . det A = an1 an2 an3 ... ann 12
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
®-îcx¸c ®Þnhb»ngquy n¹ptheo n (cÊpcñama trËnA)nh- sau: 1. Víin = 1, det A = a11 a 2. Víin = 2, matrËnA = 11 a12 , ®Þnhthøccña A a21 a22
det A = a11M11 − a21M21 = a11a22 − a12a21. a11 a12 a13 a21 a22 a23 ,®Þnhthøc cñaA 3. Víin = 3, matrËnA = a31 a32 a33
det A = a11det M11 − a21 det M12 + a31 det M13
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31.
4. Tr-êng hîptæng qu¸t®Þnh thøccÊp n ®-îctÝnh th«ngquac¸c®Þnh thøc cÊpn − 1 hoÆcviÕt chitiÕt h¬n a22 a23 ... a2n a12 a13 ... a1n a32 a33 ... a3n a32 a33 ... a3n + ···+ . . ... . . . ... .
det A = a11 an2 an3 ... ann − a21 an2 an3 ... ann a12 a13 ... a1n a22 a23 ... a2n . . ... . +(−1)n+1an1 an−1,2 an−1,3 ... an−1,n
C¸ch x¸c®Þnh ®Þnhthøc nh- vËy cßn®-îc gäilµ khai triÓn®Þnhthøc theo cétthø nhÊt. 2.2§Þnhthøc 13 VÝ dô 2.2.2
1. TÝnh c¸c ®Þnh thøc cÊp 2 vµ cÊp 3 d-íi ®©y
1 3 = 1 · 4 − 2 · 3 = −2. 2 4 1 2 0 3 4 2 0 2 0 2 3 4 −5 6 −5 6 3 4 3 −5 6 = 1 + 3 + 3 = 38 − 24 + 24 = 38.
2. TÝnh ®Þnh thøc ma trËn tam gi¸c trªn a11 a12 . . . a 1n 0 a22 . . . a2n .. . . .. ... ... A = 0 0 . . . ann
¸p dông ®Þnh nghÜa, thùc chÊt lµ khai triÓn ®Þnh thøc theo cét thø nhÊt a22 a23 . . . a 2n a33 a34 . . . a 3n 0 a33 . . . a 3n 0 a44 . . . a4n .. . . . . .. ... ... .. .. ... ... A = a11 0 0 . . . a = a11a nn 22 0 0 . . . ann
= . . . . . . = a11a22 . . . a nn.
§Æc biÖt ®Þnh thøc cña ma trËn chÐo b»ng tÝch c¸c phÇn tö n»m trªn ®-êng chÐo chÝnh a11 0 0 ... 0 0 a22 0 ... 0 0 0 a33 ... 0 = a11a22...ann. . . . ... . 0 0 0 ... ann
2.2.2 C¸ctÝnhchÊt cña®Þnh thøc
C¸c tÝnh chÊt ®-îc tr×nh bµy trong môc nµy rÊt quan träng cho viÖc tÝnh ®Þnh
thøc. Tr-íc hÕt ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ sau 14
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
§Þnh lÝ 2.2.1 §Þnhthøccña ®Þnh thøccñamatrËn cñanã det A = det AT .
NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ kh¼ng ®Þnh, ®Þnh thøc cña ma trËn A cßn cã thÓ khai triÓn theo hµng thø nhÊt
det A = det AT = a11∆11 − a12∆12 + a13∆13 + · · · + (−1)n+1a1n∆1n.
Trong môc nµy ta ®-a vµo kÝ hiÖu ∆ij = det Mij lµ ®Þnh thøc cña ma trËn con
t-¬ng øng víi phÇn tö aij cña ma trËn A.
Chøngminh. Ta chøng minh ®Þnh lÝ b»ng quy n¹p, hiÓn nhiªn ®Þnh lÝ ®óng víi
n = 1, n = 2. Gi¶ sö ®Þnh lÝ ®óng víi n < k, A lµ ma trËn vu«ng cÊp k. Ta cã k det AT = (−1)i+1a1i∆1i = X i=1 k = a11∆11 + (−1)1+m−1am1∆m1 ! X k X i=2 (−1)i+1a m=2 1i 1i
BiÓu thøc trong ngoÆc lµ khai triÓn ®Þnh thøc ∆1i theo cét thø nhÊt, kÝ hiÖu ∆m11i
lµ ®Þnh thøc cÊp k − 2 nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch xo¸ khái A hµng thø nhÊt vµ
cét thø i còng nh- xo¸ hµng thø m, cét thø nhÊt. Ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng cña tæng trªn, chó ý ∆m1 1i = ∆ 1i m1 k det AT = a11∆11 + (−1)1+i−1a1i∆1i ! X k X m=2 (−1)m+1a i=2 m1 m1 = k =
(−1)m+1am1∆m1 = det A. (®.p.c.m.) X m=1
Do ®Þnh lÝ trªn, c¸c kh¼ng ®Þnh sau liªn quan ®Õn ®Þnh thøc cña ma trËn nÕu
®óng víi hµng th× còng ®óng víi cét vµ ng-îc l¹i.
§Þnh lÝ 2.2.2 §Þnh thøcsÏ
nÕuta®æichç2cét(hoÆc2hµng)chonhau.
Chøngminh. Ta chøng minh ®Þnh lÝ b»ng quy n¹p, hiÓn nhiªn ®Þnh lÝ ®óng víi
n = 2. Gi¶ sö ®Þnh lÝ ®óng víi n < k, A lµ ma trËn vu«ng cÊp k. 2.2§Þnhthøc 15
1. NÕu ta ®æi chç 2 cét thø i vµ thø j (i, j > 1) cho nhau, kÝ hiÖu A vµ A0 lµ
ma trËn tr-íc vµ sau khi ®æi chç 2 cét. Khai triÓn A, A0 theo cét thø nhÊt k k det A = (−1)1+mam1∆m1, det A0 = (−1)1+mam1∆0 X m1 m=1 X m=1
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, c¸c ®Þnh thøc ∆m1 vµ ∆0 m1 cã cÊp b»ng k − 1 < k
nªn ∆m1 = −∆0 m1, suy ra det A = − det A0.
2. NÕu ta ®æi chç 2 cét thø nhÊt vµ thø hai cho nhau, kÝ hiÖu A vµ A1 lµ ma
trËn tr-íc vµ sau khi ®æi chç 2 cét ®ã. Khai triÓn A, A1 theo hµng thø nhÊt k
det A = a11∆1m − a12∆12 + (−1)1+ma1m∆1m, X m=3 k
det A1 = a12∆12 − a11∆1m + (−1)1+ma1m∆1 X 1m, m=3
Còng sö dông gi¶ thiÕt quy n¹p, suy ra det A = − det A1.
NhËn xÐt r»ng ®Ó ®æi chç cét thø nhÊt víi mét cét bÊt k× kh¸c, ta cã thÓ liªn tiÕp
®æi chç 2 cét c¹nh nhau cho nhau (sau mét sè lÎ b-íc), kÕt hîp víi c¸c b-íc nªu
trªn dÔ dµng suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
§Þnh lÝ 2.2.3 A vµB lµhai matrËn vu«ng cïng cÊp cãc¸c hµng(cét)nh- nhau,
trõhµng(cét)thøi cña2 ma trËncã thÓ kh¸cnhau a11 a12 a13 ... a1n a11 a12 a13 ... a1n . . . ... . . . . ... . x1 x2 x3 ... xn y1 y2 y3 ... yn A = . . . ... . , B = . . . ... . an1 an2 an3 ... ann an1 an2 an3 ... ann Khi®ã a11 a12 a13 ... a1n . . . ... .
x1 + y1 x2 + y2 x3 + y3 ... xn + yn 1. det A + det B = . . . ... . an1 an2 an3 ... ann 16
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh a11 a12 a13 ... a1n a11 a12 a13 ... a1n . . . ... . . . . ... . αx1 αx2 αx3 ... αxn x1 x2 x3 ... xn 2. . . . ... . = α . . . ... . an1 an2 an3 ... ann an1 an2 an3 ... ann
Chøngminh. ¸p dông ®Þnh lÝ 2.2.2, b»ng c¸ch ®æi chç hµng thø nhÊt vµ hµng
thø i cho nhau, ta chØ cÇn chøng minh ®Þnh lÝ ®óng víi hµng thø nhÊt x1 x2 x3 ... xn y1 y2 y3 ... yn a21 a22 a23 ... a2n a21 a22 a23 ... a2n = . . . ... . . . . ... .
an1 an2 an3 ... ann + an1 an2 an3 ... ann
x1 + y1 x2 + y2 x3 + y3 ... xn + yn a21 a22 a23 ... a2n . . . ... . = an1 an2 an3 ... ann vµ αx1 αx2 αx3 ... αxn x1 x2 x3 ... xn a21 a22 a23 ... a2n a21 a22 a23 ... a2n . . . ... . . . . ... . an1 an2 an3 ... ann = α an1 an2 an3 ... ann
C¶ 2 ®¼ng thøc ®-îc suy ra b»ng c¸ch khai triÓn chóng theo hµng thø nhÊt.
Tõ c¸c ®Þnh lÝ trªn, ta dÔ dµng suy ra c¸c tÝnh chÊt sau:
1. NÕu ma trËn cã 1 hµng (hoÆc cét) gåm toµn c¸c sè 0 th× th× ®Þnh thøc cña ma trËn b»ng 0.
2. §Þnh thøc cã hai hµng gièng nhau th× b»ng 0.
3. NÕu ma trËn cã 2 hµng (cét) tØ lÖ th× ®Þnh thøc cña ma trËn b»ng 0.
§Þnh thøc kh«ng thay ®æi nÕu céng thªm vµo mét hµng (cét) béi cña hµng (cét) kh¸c.
Ng-êi ta th-êng xuyªn sö dông c¸c tÝnh chÊt nµy ®Ó ®-a ®Þnh thøc vÒ c¸c d¹ng
®¬n gi¶n h¬n cã thÓ tÝnh trùc tiÕp theo ®Þnh nghÜa. 2.2§Þnhthøc 17 VÝ dô 2.2.3 TÝnh ®Þnh thøc 1 2 3 . . . n −1 0 3 . . . n −1 −2 0 . . . n .. .. .. .. B = . . . . . . . −1 −2 −3 . . . 0
§Ó tÝnh B, ta lÇn l-ît céng hµng thø nhÊt vµo c¸c hµng hai, hµng ba,...,
hµng thø n. Khi ®ã ®Þnh thøc ®· cho kh«ng thay ®æi vµ b»ng ®Þnh thøc ma trËn tam gi¸c trªn 1 2 3 . . . n 0 2 6 . . . 2n 0 0 3 . . . 2n = n! .. .. .. B = . . . ... ... 0 0 0 . . . n
§Þnh nghÜa 2.2.2 VíimatrËn a11 a12 . . . a 1n a21 a22 . . . a 2n .. . . . . .. . . .. A = an1 an2 . . . a nn
tagäiAij = (−1)i+j det Mij = (−1)i+j∆ij lµ phÇn phô®¹isè t-¬ngøng víi phÇn töaij cñama trËn A. VÝ dô 2.2.4 1 2 3 2 −1 0
XÐt ma trËn ®· cho trong vÝ dô 2.2.1, A = 3 5 7 . C¸c phÇn phô ®¹i sè cña ma trËn A −1 0 2 0 2 −1 = −7, A = −14, A = 13, 5 7 3 7 3 5 A11 = 2 3 12 = −1 3 13 = 1 2 = 1, A = −2, A = 1, 5 7 3 7 3 5 A21 = − 2 3 22 = 1 3 23 = − 1 2 = 3, A = 6, A = −5. −1 0 2 0 A31 = 32 = − 33 = 2 −1 18
Ch-¬ngII. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
Liªn quan tíi c¸c phÇn phô ®¹i sè ta cã ®Þnh lÝ sau
§Þnh lÝ 2.2.4 ChomatrËn a11 a12 . . . a 1n a21 a22 . . . a 2n .. . . . . .. . . .. A = an1 an2 . . . a nn
Khi ®ã®Þnhthøccña A cã thÓ khaitriÓn theo hµng bÊt k×, chÝnhx¸ch¬n n ( (2.1) X 0 nÕui 6= k j=1 det A nÕui = k aijAkj =
Chøngminh. Tr-êng hîp i = k ta ®æi chç hµng i cho hµng i − 1, råi ®æi tiÕp
cho hµng i − 2, i − 3, . . . , 1. Sau i − 1 lÇn ®æi dÊu, hµng i cña ®Þnh thøc chuyÓn
lªn hµng thø nhÊt. Do ®ã, det A = = ((−−11)i−1 )i+1ai1a∆ ∆ + . . . + (−1)i+na i1i∆ 1 + (−1)i+2a i1 − ai2∆i2i+
2 .i.2 . + (−1)n+1ain∆inin∆in n = aijAij. X j=1
Ta nãi r»ng ®Þnh thøc ®-îc khai triÓn theo hµng thø i.
aijAkj lµ ®Þnh thøc cã hµng i vµ hµng k gièng nhau P j=1 T s ru-ê y n r g a h ®Þînph it 6 h = øc kb t»hn× n
g 0. §Þnh lÝ ®· ®-îc chøng minh.
NhËn xÐt r»ng do ®Þnh thøc cña ma trËn bÊt k× b»ng ®Þnh thøc cña ma trËn
chuyÓn vÞ cña nã, suy ra ®Þnh lÝ vÉn ®óng nÕu ta khai triÓn ®Þnh thøc theo cét bÊt k×. ChÝnh x¸c h¬n n ( (2.2) X 0 nÕu j 6= k i=1 det A nÕu j = k aijAik =
§-a vµo kÝ hiÖu AC lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn c¸c phÇn phô ®¹i sè Aij A11 A21 ... An1 A12 A22 ... An2 . . ... . AC = A1n A2n ... Ann 2.2§Þnhthøc 19
khi ®ã c«ng thøc (2.1) trong ®Þnh lÝ còng nh- c«ng thøc (2.2) cã thÓ viÕt d-íi d¹ng ma trËn AAC = ACA = (det A)In.
Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ sau vÒ ®Þnh thøc cña tÝch 2 ma trËn vu«ng cïng kiÓu
§Þnh lÝ 2.2.5 NÕuA vµB lµhaima trËnvu«ngcïngcÊpth× det(A · B) = det A · det B. VÝ dô 2.2.5 −1 3 −1 3 1. Cho 2 ma trËn 2 1 A = vµ B = . Khi ®ã tÝch cña chóng 5 −7 2 −1 13 −1 3 3 −1 AB = = 5 −7 16 −24
DÔ dµng tÝnh ®-îc det A = 7, det B = −8, det AB = −56. Tøc lµ det AB = det A · det B. 2. TÝnh ®Þnh thøc a a a ... a a 0 a ... a a a 0 ... a D = . . . ... . a a a ... 0
Céng vµo hµng thø i (víi mäi i = 2, 3, ..., n) (−1) lÇn hµng thø nhÊt, ta cã kÕt qu¶ a a a ... a a a a ... a a 0 a ... a 0 −a 0 ... 0 a a 0 ... a 0 0 −a ... 0 D = . . . ... . = . . . ... . a a a ... 0 0 0 0 ... −a
§Þnh thøc cuèi lµ ®Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c trªn, theo vÝ dô 2.2.2, gi¸
trÞ cña nã b»ng tÝch c¸c phÇn tö n»m trªn ®-êng chÐo chÝnh D = (−1)n−1an. 20
Ch-¬ng II. Ma trËn®Þnhthøcvµ hÖph-¬ngtr×nh tuyÕn tÝnh
3. TÝnh ®Þnh thøc Vandermonde 1 1 1 . . . 1 x1 x2 x3 . . . x n D(x x2 1, x 2, . . . , x 1 x22 x23 . . . x2n .. . . . .. .. ... ... n) = xn−1 1 xn−1 2 xn−1 3 . . . xn−1 n
B¾t ®Çu tõ hµng cuèi, céng vµo hµng thø n béi lÇn, (−x1) lÇn hµng thø
n − 1. Nh- vËy gi¸ trÞ cña ®Þnh thøc kh«ng ®æi. B-íc tiÕp theo, céng vµo
hµng thø n − 1 béi lÇn, (−x1) lÇn hµng thø n − 2. . Cø thÕ tiÕp tôc céng
vµo hµng thø i, (−x1) lÇn hµng i − 1. B-íc cuèi cïng céng vµo hµng thø
2, (−x1) lÇn hµng thø nhÊt. D(x1, x 2, . . . , x n) = 1 1 1 . . . 1 0 x2 − x1 x3 − x1 . . . x n − x1 0 x22 − x1x2 x2 3 − x1x3 . . . x 2n − x1xn .. .. .. = . . . ... ... 0 xn−1 2 − x1xn−22 xn−1 3 − x1xn−23 . . . xn−1 n − x1xn−2n x2 − x1 x3 − x1 . . . x n − x1 x2(x2 − x1) x3(x3 − x1) . . . x n(xn − x1) .. . . .. ... ... = xn−2 2
(x2 − x1) xn−23 (x3 − x1) . . . x n−2 n (xn − x1) 1 1 . . . 1 x2 x3 . . . xn x22 x23 . . . x2n .. .. = (x . . ... ...
2 − x1)(x3 − x1) . . . (xn − x1) xn−1 2 xn−1 3 . . . xn−1 n
= (x2 − x1)(x3 − x1) . . . (xn − x1)D(x2, x 3, . . . , x n).
§Þnh thøc ë hµng cuèi D(x2, x 3, . . . , x n) còng lµ ®Þnh thøc Vandermonde
cÊp n − 1. B»ng quy n¹p ta cã D(x1, x 2, . . . , x (xi − xj). Y n≥i>j≥1 n) =