Bài giảng một số phương trình lượng giác thường gặp

Tài liệu gồm 36 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề một số phương trình lượng giác thường gặp, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

36 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ
BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải.
Kĩ năng
+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình thuần nhất
Phương pháp giải
sin cosaxb xc
,\0.ab
Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện
theo các bước sau
Bước 1. Kiểm tra
- Nếu
222
abc phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình
3 sin 3 cos3 2.xx
Hướng dẫn giải
sin cosaxb xc
22
sin sin cos cosaxbxxc xd
22
tan cot tan cot 0ax xbxxc
sin cos sin cos 0ax xbxxc
4 dạng phương trình lượng giác
thường gặp
Đưa về phương trình tích hoặc
đánh giá bất đẳng thức, hàm số
4 phương trình lượng giác cơ bản
ĐỀ
BÀI
4 phương trình lượng giác cơ bản
Sử dụng các công thức
biến đổi lượng giác
TOANMATH.co
m
Trang 2
- Nếu
222
abc
khi đó phương trình có
nghiệm, ta thực hiện tiếp
Bước 2.
Bước 2. Chia hai vế phương trình cho
22
0ab ta được

22 22 22
sin cos . **
ab c
xx
ab ab ab


Đặt
22 22
cos ; sin ,
ab
ab ab


phương trình (**) trở thành
22
sin .cos cos .sin
c
xx
ab


22
sin .
c
x
ab

Phương trình

22
sin
c
x
ab

là phương
trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải
được.
Một số dạng mở rộng:
22
sin cos sinaub u ab v
22 22
sin cos sin
ab
uuv
ab ab



sin sin .uv
22
sin cos cosaub u ab v
22 22
sin cos cos
ab
uuv
ab ab



cos cos .uv
sin cos sin cosaub ua vb v


với
22 2 2
ab a b


sin sin .uv

Dạng đặc biệt:

1) sin cos 0 .
4
xx x kk


2)sin cos 0 .
4
xx x kk

Ta có 3sin3 cos3 2.xx
31
sin 3 cos3 1 sin 3 1
22 6
xx x




 
22
32 .
62 9 3
k
xkkx k



Vậy phương trình đã cho có nghiệm

22
.
93
k
xk


TOANMATH.co
m
Trang 3
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Giải phương trình sin 2 2 cos 2 1 sin 4cos .
x
xxx
Hướng dẫn giải
Ta có sin 2 2cos 2 1 sin 4cos
x
xxx
2
2sin cos 2 2 cos 1 1 sin 4cos 0xx x x x
2
sin 2cos 1 4cos 4cos 3 0xx x x
sin 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 3 0xx x x
2cos 1 2sin 2cos 3 0xxx

1
cos 2
23
2sin 2cos 3
xxkk
xx


Xét phương trình 2sin 2cos 3;xx có

2
22
228 3nên vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm

2.
3
xkk

Ví dụ 2. Giải phương trình
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3 .
xx
Hướng dẫn giải
Ta có
33
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 . 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1
x
xxxxx

2
18 9
sin 9 3 cos9 1 sin 9 sin .
72
36
54 9
xk
xx x k
xk









Vậy phương trình có nghiệm

272
,.
18 9 54 9
xkx kk


Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Phương trình 3sin cos 1
x
x có nghiệm là
A.
2
,.
2
6
xk
k
xk


B.
2
2
3
,.
2
6
xk
k
xk


C.
2
,.
3
2
xk
k
xk


D.
2
,.
2
6
xk
k
xk


Câu 2: Phương trình sin 3 cos 0xx có nghiệm âm lớn nhất bằng
A. .
3

B. .
6

C.
5
.
6

D.
5
.
3

TOANMATH.co
m
Trang 4
Câu 3: Nghiệm của phương trình
sin cos 1
x
x
là
A.
2.xk k
B.

2
.
2
2
xk
k
xk


C.

2.
4
xkk

D.

2
4
.
2
4
xk
k
xk


Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin cos 1
x
x trên khoảng

0; là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sin cos 5xm x vô nghiệm là
A.
4
.
4
m
m

B. 4.m C. 4.m  D. 44.m
Câu 6: Điều kiện để phương trình sin 3cos 5mx x có nghiệm là
A.
4.m
B.
44.m
C. 34.m D.
4
.
4
m
m

Câu 7: Phương trình 3sin3 cos3 1xx tương đương với phương trình nào sau đây?
A.
1
sin 3 .
62
x




B. sin 3 .
66
x





C.
1
sin 3 .
62
x




D.
1
sin 3 .
62
x




Câu 8: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A. 3sin 2.x B.
11
cos 4 .
42
x
C.
2sin 3cos 1.xx
D.
2
cot cot 5 0.xx
Câu 9: Cho phương trình 3cos sin 2xx trên đoạn

0; . Chọn câu trả lời đúng.
A. Phương trình có nghiệm
3
;.
44
xx


B. Phương trình có nghiệm
5
.
12
x
C. Phương trình có nghiệm
34
;.
77
xx


D. Phương trình có nghiệm
2
.
5
x
Câu 10: Phương trình
sin 8 cos6 3 sin 6 cos8
x
xxx
có nghiệm là
A.
3
,.
62
xk
k
xk



B.
5
,.
72
xk
k
xk



TOANMATH.co
m
Trang 5
C.
4
,.
12 7
xk
k
xk



D.
8
,.
93
xk
k
xk



Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
3sin2 cos2 2.xx
B.
3sin 4cos 5.xx
C.
sin cos .
4
x
D. 3sin cos 3.xx
Câu 12: Số nghiệm của phương trình sin 2 2cos 0xx thuộc đoạn
5
;
22




là
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Câu 13: Phương trình cos 7 3 sin 7 2xx có các họ nghiệm là
A.
52
84 7
,.
11 2
84 7
xk
k
xk




B.
52
84 7
,.
11 2
84 7
xk
k
xk




C.
2
84 7
,.
2
84 7
xk
k
xk




D.
52
84 7
,.
11 2
84 7
xk
k
xk




Câu 14: Phương trình
sin 3 cos 0xx
có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
A.
2
.
3
B.
5
.
6
C. . D. 0.
Câu 15: Phương trình
1
tan sin 2 cos 2 2 2cos 0
cos
xx x x
x




có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
A. .
4
B. .
2
C.
.
D. 0.
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin cos 1xx với k là
A.
2.
x
k
B.
2
.
2
2
xk
xk


C. 2.
4
x
k
 D.
2
4
.
2
4
xk
xk


Câu 17: Để phương trình
22
2sin sin cos cos
x
xx xm có nghiệm thì giá trị của m là
A.
110
.
2
m
B.
110
.
2
m
C.
110
.
2
m
D.
110 110
.
22
m


Câu 18: Phương trình cos 2 sin 1 0xx có số họ nghiệm là
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
TOANMATH.co
m
Trang 6
Câu 19: Phương trình
1
tan sin 2 cos 2 2 2cos 0
cos
xx x x
x




có các họ nghiệm là
A.
,.
42
xkk


B.
,.
4
xkk

C.
x,.
42
kk


D.
,.
62
xkk


Câu 20: Cho phương trình
tan 3cot 4 sin 3 cos .
x
xx x
Với
k
thì nghiệm của phương trình là
A.
2
3
.
42
93
xk
xk



B.
3
.
42
93
xk
xk



C.
2
3
.
42
93
xk
xk



D.
2
12
.
42
93
xk
xk



Dạng 2:Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác có dạng tổng quát
2
0.at bt c
Trong đó:
t là một trong các hàm số sin,cos,tan,cotuuuu
và
.uux
;; , 0.
abc a
Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều
kiện của ẩn phụ. Nếu đặt
+) sin , cos
tut u thì điều kiện 1.t
+)
22
sin , costut u thì điều kiện 0 1.t
+)
tsin, cosut u thì điều kiện 01.t
Khi tìm được
12
;tt thỏa mãn thì phải giải tiếp
12
sin ;sin ;...tut
Ví dụ: Giải phương trình
2
2sin sin 3 0.xx
Hướng dẫn giải
Đặt sin ,
tx điều kiện 1.t
Phương trình đã cho trở thành
2
1
230 .
3
2
t
tt
t

Kết hợp với điều kiện
1t ta được 1.t
Với
1t thì

sin 1 2 , .
2
xxkk

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

2, .
2
xkk

Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Giải phương trình
2
3sin 2 7cos2 3 0.xx
Hướng dẫn giải
Ta có
22
3sin 2 7cos2 3 0 3 1 cos 2 7cos2 3 0xx x x 

2
cos 2 0
3cos 2 7 cos 2 0 cos 2 3cos 2 7 0 .
3cos2 7 0
x
xx xx
x


Trường hợp 1:

cos202 , .
242
xxkxkk


TOANMATH.co
m
Trang 7
Trường hợp 2:
7
3cos 2 7 0 cos 2 1
3
xx
(loại).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm

,.
42
xkk


Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Phương trình
2
2sin sin 3 0xx có nghiệm là
A.

.kk B.

.
2
kk

C.

2.
2
kk

D.

2.
2
kk

Câu 2: Với
k
, phương trình
2
cos 2 cos 3 0xx có nghiệm là
A. 2.
x
k B. 0.x C. 2.
2
x
k

D. Vô nghiệm.
Câu 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình
2
2sin 5sin 3 0xx là
A.
.
6
x
B.
.
2
x
C.
3
.
2
x
D.
5
.
6
x
Câu 4: Xét phương trình
2
3cos 2cos 4 0xx trên đoạn

0;3 . Chọn câu trả lời đúng.
A. Phương trình có 3 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm.
C. Phương trình có 2 nghiệm. D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 5: Nghiệm của phương trình
2
2sin 3sin 1 0xx
thỏa mãn điều kiện 0
2
x

là
A. .
3
x
B. .
2
x
C. .
6
x
D.
5
.
6
x
Câu 6: Nghiệm của phương trình
2
tan 2 tan 1 0xx là
A. ,.
42
kk


B. ,.
4
kk

C. 2, .
2
kk

D. ,.kk
Câu 7: Với ,k phương trình
2
3
cos 2 cos 2 0
4
xx
có nghiệm là
A.
.
x
k
B.
2.
x
k
C. .
6
x
k

D.
2
2.
3
x
k

Câu 8: Với ,k phương trình
2
sin 2sin 0xx có nghiệm là
A. 2.
x
k B. .
x
k C. 2.
x
k D. 2.
x
k
Câu 9: Nghiệm của phương trình
2
cot 3 cot 3 2 0xx
là
A.
43
,.
1
arccot 2 k
33
k
xk


B.
43
,.
1
arccot 2
33
k
xk
k




TOANMATH.co
m
Trang 8
C.
4
,.
1
arccot 2
33
k
xk
k


D.
4
,.
1
arccot 2
3
k
xk
k



Câu 10: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2cos2 2cos 2 0xx là
A.
5
x.
6

B.
7
x.
6

C.
x.
3

D.
x.
4

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A. 3sin 2.x B.
11
cos 4 .
42
x
C.
2 sin 3cos 5.xx D.
2
cot cot 5 0.xx
Câu 12: Xét phương trình
2
13sin 78sin 15 0xx
trên đoạn

0; 2 . Lựa chọn phương án đúng.
A. Phương trình có 2 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm.
C.
Phương trình vô nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 13: Phương trình 3cos 2 sin 2xx có nghiệm là
A.

.
8
xkk

B.

.
2
xkk

C.

.
4
xkk

D.

.
6
xkk

Câu 14: Xét phương trình
2
43
tan tan 1 0
3
xx trên đoạn

0; 3 . Chọn câu trả lời đúng?
A. Phương trình có 5 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm.
C. Phương trình có 6 nghiệm. D. Phương trình có 3 nghiệm.
Câu 15: Xét phương trình
2
sin 5sin 6 0xx trên đoạn

0; 2 . Chọn câu trả lời đúng?
A. Phương trình có 2 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm.
C. Cả A, B, D đều sai. D. Phương trình có 3 nghiệm.
Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau

2
tan cot tan cot 2xx xx
Giá trị của biểu thức
1
tan
tan
x
x
là
A. 0. B. 2. C. 3. D.
2.
Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình
2
sin sin 0,5.
2
x
x
 Giá trị của biểu thức y tan
x
là
A. 1. B. 0,5. C. 3. D. 0.
Câu 18: Cho
1
arctan
3
x
k




là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình
nào?
A.
22
3sin sin 2 cos 0.xxx
B.
22
3sin 2 4cos 2 2.xx
TOANMATH.co
m
Trang 9
C.
11 2
.
sin 2 cos 2 sin 4
x
xx

D.
2
cos 2cos 0.xx
Câu 19: Cho phương trình
33
sin cos
cos 2 .
2cos sin
xx
x
xx
Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan
x
t= thì
phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?
A.
2
210.tt B.
2
210.tt
C.
2
1
0.
2
tt
D.
2
10.tt
Câu 20: Cho phương trình
2sin 2cos 1 3.xx
Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế
thì ta được phương trình nào sau đây?
A.
sin 2 sin .
4
x
B.
sin 2 sin .
6
x
C.
sin 2 sin .
3
x
D.
cos 2 cos .
3
x
Dạng 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp
Phương pháp giải
Phương trình lượng giác đẳng cấp có dạng tổng
quát
22
.sin .sin cos .cos .axbxxc xd
Ta có thể giải phương trình lượng giác đẳng cấp
theo hai cách sau
Cách 1:
Bước 1.
Kiểm tra cos 0x có là nghiệm của
phương trình hay không, nếu có thì nhận nghiệm
này.
Bước 2. Nếu cos 0x thì chia cả hai vế của
phương trình cho
2
cos
x
đưa về phương trình bậc
hai theo tan
x
.

22
2222
sin sin cos cos
1
cos cos cos cos
x
xx x d
ab c
x
xxx


22
tan tan 1 tan .axbxcd x
Bước 3. Đặt tantx đưa về phương trình bậc
hai để giải.
Ví dụ:
Giải phương trình sau
2
23cos 6sin.cos 3 3. 1xxx
Hướng dẫn giải
Với
cos 0 , .
2
xxkk

Thay vào phương trình (1) ta có
03 3
phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0x . Chia cả hai vế của phương trình
(1) cho
2
cos
x
ta được
2
2 3 6 tan 3 3 1 tan
x
x

2
3 3 tan 6 tan 3 3 0 2 .xx Đặt
tan
x
t phương trình (2) trở thành

2
1
33 6330
33
33
t
tt
t

TOANMATH.co
m
Trang 10
Cách 2:
Dùng công thức hạ bậc.
22
1cos2 1cos2
sin ;cos ;
22
x
x
xx


sin 2
sin cos .
2
x
xx
Đưa phương trình đã cho về phương trình
sin 2 cos 2 .b x ca x dca
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cosin
ta đã biết cách giải ở dạng 1.
Tổng quát: Đối với phương trình đẳng cấp bậc
2: sin ,cos ,sin cos 0
nnkh
nn A x x x x
trong
đó
;,, ,k h nkhn
ta cũng giải tương tự
theo hai cách.
Cách 1: Nếu cos 0x thì chia cả hai vế cho
cos
n
x
.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc.
tan 1
4
,.
33
tan
33
12
x
xk
k
x
xk



Vậy phương trình đã cho có nghiệm
4
,.
12
xk
k
xk


Ta có
2
23cos 6sin.cos 3 3xxx
31 cos2 3sin2 3 3xx
cos 2 3 sin 2 3xx
133
cos 2 sin 2
22 2
xx
3
cos 2
32
4
,.
12
x
xk
k
xk







Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là
4
,
12
xk
k
xk


Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Cho phương trình
22
2sin sin cos cos .
x
xx xm Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 11
- Nếu
cos 0x 
Phương trình có dạng
2
2sin
x
m
Để phương trình có nghiệm thì
2. *m
- Nếu
cos 0 2xm
thì ta chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
.
Phương trình đã cho trở thành
2
2
2tan tan 1 0
cos
m
xx
x

2
2tantan 10.1mxxm
Với
2m thì phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn
tan .tx
Xét
2
449.mm
Để phương trình đã cho có nghiệm thì

110 110
0
.**
22
2
2
m
m
m




Kết hợp (*) và (**), ta được
110 1 0
22
m


là những giá trị cần tìm.
Vậy với
110 1 0
22
m

 thì phương trình đã cho có nghiệm.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1:
Phương trình
22
cos 3sin cos 2sin 1
x
xx x có nghiệm là
A.

2
.
4
xk
k
xk



B.

2
.
2
4
xk
k
xk



C.

.
2
3
xk
k
xk



D.

.
4
xk
k
xk



Câu 2: Phương trình
1
3sin cos
cos
xx
x

có nghiệm là
A.

.
3
xk
k
xk


B.

2
.
2
3
xk
k
xk


C.

2
.
3
k
x
k
xk

D.
x.kk
Câu 3: Phương trình
22
3cos 4 5sin 4 2 2 3sin4 .cos4
x
xxx có nghiệm là
A. ,.
6
xkk

 B. ,.
12 2
xkk


C. ,.
18 3
xkk

 D. ,.
24 4
xkk


TOANMATH.co
m
Trang 12
Câu 4: Cho x thỏa mãn phương trình
22
13
sin sin 2 3 cos 0
2
xxx

. Giá trị nguyên của
tan
x
là
A. 1. B.
1.
C. 3. D. 2.
Câu 5: Phương trình
22
2sin sin2 cos 1
x
xx
có nghiệm là
A.
2
,.
4
arctan 2
xk
k
xk


B.
,.
4
arctan 2
xk
k
xk


C.
,.
arctan 2
xk
k
xk


D.
,.
4
arctan 2
xk
k
xk


Câu 6: Giải phương trình
2
sin 2 3 sin cos 1 2xxx ta được nghiệm là
A. x,.
6
kk

 B. ,.
3
xkk

C.
13
arctan
2
,.
13
arctan
2
xk
k
xk



D. ,.
3
xkk


Câu 7: Cho x thỏa mãn phương trình
33 22
sin 3 cos sin .cos 3 sin .cos .
x
xxx xx Giá trị nguyên của
tan
x
là
A. 1. B. 1. C.
3.
D.
tan 3
.
tan 1
x
x


Câu 8: Phương trình
22
2sin 5sin cos cos 2xxxx có thể được đưa về phương trình nào trong các
phương trình sau
A.
22
4sin 5sin2 cos 0.xxx B. 5sin2 3cos2 5.xx
C.
22
4sin 5sin cos cos 0.xxxx D. Một phương trình khác.
Câu 9: Kết quả nào cho dưới đây là đúng? Phương trình
22
sin sin 3cos 0
22
xx
x có tập nghiệm là
A. .S  B.
2, .Skk
C. 2, .
2
Skk




D. Đáp án khác.
Câu 10: Khi 2m thì phương trình
32
46 sin 32 1sin 2 2sin .cos 4 3cos 0mxm xm xxm x có bao nhiêu họ nghiệm?
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 11: Cho phương trình
33 22
sin 3 cos sin .cos 3 sin .cos .
x
xxx xx Nghiệm của phương trình là
TOANMATH.co
m
Trang 13
A.
.
3
x
k


B.
,.
4
xkk

C.
42
,.
3
xk
k
xk



D.
,,.
42 3
xkx kk


Câu 12: Phương trình
2
2sin sin2 1 0xx có tập nghiệm là
A.
.S 
B.
,.Skk
C. Phương trình vô số nghiệm. D. Đáp án khác.
Câu 13: Phương trình
22
sin 2 3 sin 4 3cos 2 0xxx có nghiệm là
A.

.
3
xkk

 B.

.
4
xkk

C.

.
62
xkk

 D.

,.
42 3
xkxkk

 
Câu 14: Phương trình
22
sin 4 3cos 4 0xx có tập nghiệm là
A.
.S 
B.
,.Skk
C. Phương trình vô số nghiệm. D. Đáp án khác.
Câu 15: Cho x thỏa mãn phương trình
sin 2 2 tan 3.xx
Giá trị của biểu thức
2
tan 1 2 tan tan 3xxx là
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Câu 16: Cho phương trình
22
3sin 3sin cos 0.
22
xx
x Số nghiệm của phương trình đã cho trong
khoảng

0; 2 là
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 17: Cho phương trình
2
23cos sin2 0,xxkhẳng định đúng là
A. Phương trình có 1 họ nghiệm. B. Phương trình vô nghiệm.
C. Phương trình có 2 họ nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 18: Cho x thỏa mãn phương trình
3
sin 2 sin .
4
x
x




Giá trị của biểu thức
2
2 tan tan 3 tan
x
xx là
A. 1. B. 6. C. 3. D. 2.
Câu 19: Cho phương trình
1tan
1sin2,
1tan
x
x
x

khẳng định đúng là
A. Phương trình có 2 họ nghiệm. B. Phương trình vô nghiệm.
C. Phương trình có 1 họ nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai.
TOANMATH.co
m
Trang 14
Câu 20: Cho phương trình
22
sin 2 2 sin .cos 1 cos 0.xm xxm xm Giá trị của m để phương
trình có nghiệm là
A.
21.m
B.
01.m
C.
0.m
D.
2.m 
Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng
Phương pháp giải
Phương trình lượng giác đối xứng có dạng tổng
quát
sin cos sin cos 0ax xbxxc
Trong đó ,, .abc
Để giải phương trình lượng giác đối xứng, ta
làm như sau.
Đặt
sin cos 2 sin .
4
txx x




Điều kiện
2.t
Ta có

2
sin cos 1 2 sin cos
x
xxx
2
1
sin cos .
2
t
xx

Khi đó phương trình đã cho trở thành
2
220.bt at b c
Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải.
Chú ý: Cách giải trên áp dụng cho phương trình
sin cos sin cos 0.ax xbxxc
Đặt
2
1
sin cos sin cos .
2
t
txx xx

Ví dụ.
sin cos 2sin cos 1 0. 1xx xx
Hướng dẫn giải
Đặt
sin cos 2 2txx t
2
1
sin cos .
2
t
xx

Khi đó phương trình (1) trở thành
2
2
1
1
210 20 .
2
2
t
t
ttt
t





Kết hợp với điều kiện
22t ta được
1 sin cos 1 2 sin 1
4
txx x

  



2
2
sin .
2
42
2
xk
xk
xk






Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là

2
.
2
2
xk
k
xk


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Giải phương trình
sin cos 14 sin cos 1. 1xx xx
Hướng dẫn giải
Đặt

2
1
sin cos 2 2 sin cos .
2
t
txx t xx

Khi đó phương trình (1) trở thành

22
1
71 1 7 6 0 .
6
7
t
tt tt
t


TOANMATH.co
m
Trang 15
- Nếu
1t thì

2
sin cos 1 sin sin .
2
44
2
xk
xx x k
xk







- Nếu
6
7
t 
thì
6
sin cos
7
xx


32
arcsin 2
32
47
sin .
47
532
arcsin 2
47
xk
xk
xk









Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm
2; 2
2
x
kx k
 

32 5 32
arcsin 2 ; arcsin 2 .
47 4 7
xkx kk

 
Ví dụ 2. Giải phương trình

33
3
sin cos 1 sin 2 . 2
2
xx x
Hướng dẫn giải
22
2 1 sin cos sin sin cos cos 3sin cos
x
xxxx x xx
1 sin cos 1 sin cos 3sin cos . *x x xx xx
Đặt

2
1
sin cos 2 2 sin cos .
2
t
txx t xx

Khi đó phương trình (*) trở thành
22
11
11 3.
22
tt
t







32 2
1
3350 1 250 16 2 1.
16 2
t
ttt t tt t t
t

 

Suy ra
sin cos 1 2 cos 1
4
xx x





2
3
cos cos .
44
2
2
xk
xk
xk








Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm

2; 2 .
2
xkx kk


Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1:
Cho phương trình
2sin cos 2sin cos 1 0xx xx . Đặt
sin cos ,txx
ta được phương
trình nào dưới đây?
A.
2
20.tt B.
2
220.tt C.
2
20.tt D.
2
220.tt
TOANMATH.co
m
Trang 16
Câu 2: Nếu
1sin 1cos 2xx
thì
cos
4
x



nhận giá trị là
A. 1. B. 1. C.
2
.
2
D.
2
.
2
Câu 3: Phương trình
sin cos 2sin 2 1 0xx x
có nghiệm là
A.
2
,.
3
2
2
xk
k
xk


B.
,.
3
2
xk
k
xk


C.
3
2, .
2
xkk

D. Vô nghiệm.
Câu 4: Cho phương trình
sin 2 2 sin cos 2 0.xxx Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
A.
.
2
x
B. 0.x C.
3
.
2
x
D.
5
.
6
x
Câu 5: Phương trình
sin 2 2 cos sin 1 0xxx có nghiệm là
A.
,.
4
xkk

B.
2, .
4
xkk

C.
,.
4
xkk
 D. Vô nghiệm.
Câu 6: Cho phương trình
2 sin cos tan cot .
x
xxx
Nếu
sin costxx thì giá trị của t thỏa mãn
2t là
A. 1. B. 2. C. 2. D.
2
.
2
Câu 7: Cho phương trình
sin 2 4 sin cos 5 0.xxx Số nghiệm của phương trình thỏa mãn
0 x là
A. 1. B. 0. C. 2. D. 4.
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3sin2 cos2 2.xx B. sin 2 sin cos 1.xx x
C.
sin cos .
4
x
D. 3sin cos 3.xx
Câu 9: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 sin cos 1.xx x Giá trị lớn nhất tìm được của
sin
4
x



là
A. 0. B.
2
.
2
C.
1
.
2
D. 1.
Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình sin 2 sin cos 1 0xx x là
TOANMATH.co
m
Trang 17
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
4 sin cos sin 2 5 0.xx x
B.
2
2cos cos 1 0.xx
C.

2 sin cos sin 2 2 0.xx x
D. 3sin 2 0.x 
Câu 12: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
1
sin cos 1 sin 2
2
x
xx
là
A. .
6
x
 B. .
2
x
 C.
3
.
2
x

D.
5
x.
6

Câu 13: Số nghiệm của phương trình
22sin cos sin2 3 0xx x thỏa mãn điều kiện 5x là
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Câu 14: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A.
3sin 2.x
B.
11
cos 4 .
42
x
C.

2 2 sin cos sin 2 3 0.xx x D.
2
cot cot 5 0.xx
Câu 15: Điều kiện để phương trình
2sin cos 2 0xxm
có nghiệm là
A.
0.m
B. Không có giá trị nào của m.
C.
4.m D. 04.m
Câu 16: Phương trình

1
3 sin cos sin 2 3
2
xx x
có nghiệm là
A. ,.
4
xkk
 B.
2
,.
2
x2
xk
k
k


C. 2, .
2
xkk
 D. Vô nghiệm.
Câu 17: Nghiệm của phương trình
2sin cos sin2 1 0xx x thỏa mãn điều kiện 0 x là
A.
3
x.
4
B. .
2
x

C. .
x
 D. .
4
x

Câu 18: Từ phương trình
33
3
sin cos 1 sin 2
2
x
xx ta tìm được cos
4
x



có giá trị bằng
A. 1. B.
2
.
2
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cos sin cos 0xx x xm có
nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 20: Giá trị của m để phương trình
sin cos sin 2 0mx x x có nghiệm là
TOANMATH.co
m
Trang 18
A. Không có giá trị nào của m. B.
.m
C. 1.m  D. Cả A, B, C đều sai.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Phương trình thuần nhất
1- C 2- A 3- B 4- B 5- D 6- D 7- C 8- C 9- B 10- C
11- D 12- B 13- A 14- A 15- A 16- B 17- D 18- B 19- A 20- B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình 3sin cos 1
x
x có nghĩa .xD 
Ta có
31 1 1
3sin cos 1 sin cos sin
222 62
xx x x x




2
2
66
sin sin , .
3
66
2
2
66
xk
xk
xk
xk
xk











Câu 2.
Phương trình sin 3 cos 0xx có nghĩa .xD 
Ta có
13
sin 3 cos 0 sin cos 0 sin 0 .
22 3 3 3
x
xxxxxkxk





Vậy phương trình có nghiệm âm lớn nhất
3
x
 là với
0.k
Câu 3.
Phương trình sin cos 1
x
x có nghĩa .xD 
Ta có
11 1 1
sin cos 1 sin cos sin
4
22 2 2
xx x x x




22
44
sin sin , .
44
22
44 2
xkxk
xk
xkxk









Câu 4.
Phương trình sin cos 1
x
x có nghĩa .xD 
Ta có
11 1 1
sin cos 1 sin cos sin
4
22 2 2
xx x x x




22
44
sin sin , .
44
22
44 2
xkxk
xk
xkxk









Theo bài ra

x0; .
2
x

TOANMATH.co
m
Trang 19
Câu 5.
Phương trình
3sin cos 5xm x
có nghĩa
.xD 
Điều kiện để phương trình có nghiệm
222 2
4
35 16 .
4
m
mm
m


Vậy phương trình vô nghiệm khi
44.m
Câu 6.
Phương trình
.sin 3cos 5mx x
có nghĩa
.xD 
Điều kiện để phương trình có nghiệm

2
222
4
35 16 .
4
m
mm
m


Câu 7.
Phương trình
3sin3 cos3 1xx
có nghĩa
.xD 
Ta có
31 1 1
3sin3 cos3 1 sin3 cos3 sin 3 .
22 2 62
xx x x x




Câu 8.
Phương trình 2sin 3cos 1
x
x có nghĩa .xD  Ta có
222
231120.
Vậy phương trình
2sin 3cos 1
x
x có nghiệm.
Câu 9.
Phương trình
3cos sin 2xx có nghĩa .xD 
Ta có
31 2 2
3cos sin 2 cos sin sin
222 32
xx x x x




22
34 12
sin sin , .
5
34
22
34 12
xkxk
xk
xkxk








 
Vì
0;x  nên
5
.
12
x
Câu 10.
Phương trình
sin 8 cos6 3 sin 6 cos8
x
xxx có nghĩa
.xD 
Ta có
sin 8 cos 6 3 sin 6 cos8 sin 8 3 cos8 cos 6 3 sin 6
x
xxxxxxx 
131 3
sin 8 cos8 cos 6 sin 6 sin 8 sin 6
22 2 2 3 6
xxxxx x





86 2
36 4
sin 8 sin 6 , .
36
862
36 127
xxkxk
xx k
k
xxkx

 







Câu 11.
Phương trình 3sin cos 3xx có nghĩa .xD 
Để phương trình có nghiệm thì

2
22
31349 (vô lí).
Vậy phương trình
3sin cos 3xx vô nghiệm.
Câu 12.
Phương trình sin 2 2cos 0xx có nghĩa .xD 
TOANMATH.co
m
Trang 20
Ta có
sin 2 2 cos 0 2sin cos 2cos 0xx xxx 

cos 0
2
2cos sin 1 0 .
2
sin 1 2
2
xxk
x
xxk
xxk



Vì
5
;
22
x





nên
53
;;;.
12 2 2 2
xxxx

  
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 13.
Phương trình
cos 7 3 sin 7 2xx
có nghĩa
.xD 
Ta có
13 2
cos 7 3 sin 7 2 cos 7 sin 7
22 2
xx x x
52
72
31 2
64 84 7
sin 7 cos 7 sin 7 sin , .
11 2
22 2 64
72
64 847
k
xkx
xx x k
k
xkx









Câu 14.
Phương trình sin 3 cos 0xx có nghĩa
.xD 
Ta có
13
sin 3 cos 0 sin cos 0 sin 0 .
22 3 3 3
x
xxxxxkxk





Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là
2
3
x
với
1.k
Câu 15.
Phương trình có nghĩa cos 0 \ .
22
x
xkD k


 


Ta có
1sin 2
tan sin 2 cos 2 2 2cos 0 sin 2 cos 2 4 cos 0
cos cos cos
x
xx x x x x x
xx x

 


22 2
sin 2 sin cos cos 2 cos 2 2 cos 1 0 sin 1 2cos cos 2 cos 2 cos 2 0xxxxx x x x xx x 
sin cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 0 cos 2 sin cos 2 0xx xx x xx x
cos 2 0
,.
sin cos 2
42
x
xkk
xx



Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là
4
x
với
0.k
Câu 16.
Phương trình
sin cos 1xx
có nghĩa
.xD 
Ta có
11 1 1
sin cos 1 sin cos sin
4
22 2 2
xx x x x




22
44 2
sin sin , .
44
22
44
xkxk
xk
xkxk








 
Câu 17.
TOANMATH.co
m
Trang 21
Phương trình
22
2sin sin cos cos
x
xx xm
có nghĩa
.xD 
Ta có
 
22
11
2sin sin cos cos 1 cos 2 sin 2 1 cos 2
22
x
xx xm x x xm
sin 2 3cos 2 2 1. 1xxm
Để phương trình (1) có nghiệm thì

2
2
110 110
12 19 4 4 9 0 .
22
mmm m


Câu 18.
Phương trình cos 2 sin 1 0xx có nghĩa .xD 
Ta có
2
cos 2 sin 1 0 1 2sin sin 1 0xx xx 


2
22
11 1
sin sin 1
111
44 2
2sin sin 0 sin sin 0 sin .
11
2416
sin sin 0 2
44
xx
xx x x x
xx






Giải (1) ta có
2
1
6
sin sin sin .
5
26
2
6
xk
xx
xk



Giải (2) ta có
sin 0 , .xxkk
Câu 19.
Phương trình có nghĩa cos 0 \ .
22
x
xkD k


 


Ta có
1sin 2
tan sin 2 cos 2 2 2cos 0 sin 2 cos 2 4 cos 0
cos cos cos
x
xx x x x x x
xx x

 


22 2
sin 2 sin cos cos 2 cos 2 2cos 1 0 sin 1 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 0xxxxx x x x xx x 
sin cos 2 cos 2 cos 2cos 2 0xx xx x

cos 2 0
cos 2 sin cos 2 0 , .
sin cos 2
42
x
xx x x kk
xx



Câu 20.
Phương trình có nghĩa sin 2 0 \ .
22
xxkDk





Ta có
sin cos
tan 3cot 4 sin 3 cos 3 4 sin 3 cos
cos sin
xx
x
xx x x x
xx

22
sin 3cos 4sin cos sin 3 cos
x
xxxx x

sin 3 cos 0
sin 3 cos sin 3 cos 4sin .cos sin 3 cos
sin 3 cos 4sin .cos
xx
xxxxxxxx
x
xxx



Trường hợp 1:
13
sin 3 cos 0 sin cos 0 sin 0 .
22 3 3 3
x
xxxxxkxk





Trường hợp 2:
12
sin 3 cos 4sin .cos sin cos 2sin .cos
22
x
xxx x xxx
TOANMATH.co
m
Trang 22
2
3
sin sin 2 .
42
3
93
xk
xx
k
x








Dạng 2. Phương trình bậc hai của hàm số lượng giác
1- C 2- A 3- A 4- A 5- C 6- B 7- C 8- B 9- A 10- D
11- D 12- A 13- B 14- C 15- C 16- B 17- B 18- A 19- A 20- C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình
2
2sin sin 3 0xx
có nghĩa
.xD

Đặt
sin , 1.txt
Ta có
22
1
2sin sin 3 0 2 3 0 1
3
2
t
x
xtt t
t

(do
1t
).
Với
1,t ta có

sin 1 2 .
2
xxkk

Câu 2.
Phương trình
2
cos 2 cos 3 0xx có nghĩa
.xD 
Đặt
cos , 1.txt
Ta có
22
1
cos 2 cos 3 0 2 3 0 1
3
t
x
xtt t
t


(do
1t
).
Với 1,t ta có
cos 1 2 .xxkk
Câu 3.
Phương trình
2
2sin 5sin 3 0xx có nghĩa .xD 
Đặt
sin , 1.txt Ta có
22
1
1
2sin 5sin 3 0 2 5 3 0
2
2
3
t
xx tt t
t


(do
1t ).
Với
1
,
2
t
ta có

2
1
6
sin .
5
2
2
6
xk
xk
xk



Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là
.
6
x
Câu 4.
Phương trình
2
3cos 2cos 4 0xx có nghĩa .xD 
Đặt
cos , 1.txt
Ta có
22
113
113
3
3cos 2cos 4 0 3 2 4 0
3
113
3
t
xx tt t
t

(do
1t ).
TOANMATH.co
m
Trang 23
Với
113
,
3
t
ta có

113
arccos 2
113
3
cos .
3
113
arccos 2
3
xk
xk
xk



Vì
0,3x 
nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.
113 113 113
arccos , arccos 2 , arccos 2 .
33 3
xx x

 
Câu 5.
Phương trình
2
2sin 3sin 1 0xx
có nghĩa
.xD 
Đặt
sin , 1.txtTa có
22
1
2sin 3sin 1 0 2 3 1 0 .
2
1
t
xx tt
t
 
Với
1
,
2
t
ta có

2
1
6
sin .
5
2
2
6
xk
xk
xk



Với 1,t ta có

sin 1 2 .
2
xxkk

Vì
0;
2
x


nên
.
6
x
Câu 6.
Phương trình
2
tan 2 tan 1 0xx có nghĩa .
2
x
k

Đặt tantx . Ta có
22
tan 2 tan 1 0 2 1 0 1.xx tt t
Với 1,t  ta có

tan 1 tan tan .
44
xx xkk

 
Câu 7.
Phương trình
2
3
cos 2 cos 2 0
4
xx có nghĩa
.xD 
Đặt
cos 2 , 1.txt Ta có
22
1
33 1
2
cos 2 cos 2 0 0
3
44 2
2
t
xx tt t
t
 
(do
1t ).
Với
1
,
2
t ta có

22
1
36
cos 2 cos .
23
22
36
xk xk
xk
xkxk


 





 


Câu 8.
Phương trình
2
sin 2sin 0xx có nghĩa
.xD 
Đặt
sin , 1.txt Ta có
22
0
sin 2sin 0 2 0 0
2
t
xxtt t
t

(do
1t ).
Với
0,t
ta có
sin 0 .xxkk
Câu 9.
TOANMATH.co
m
Trang 24
Phương trình
2
cot 3 cot 3 2 0xx
có nghĩa
.
3
k
x

Đặt
cot 3 .tx Ta có
22
1
cot 3 cot 3 2 0 2 0 .
2
t
xx tt
t

 
Với
1,t  ta có

33
cot 3 1 cot 3 cot 3 .
44 43
k
xx xkxk

 
Với t 2, ta có

1
cot 3 2 3 arccot 2 cot 2 .
33
xx kxarckk

Câu 10.
Phương trình
2cos2 2cos 2 0xx
có nghĩa
.xD 
Ta có
22
2cos 2 2 cos 2 0 4cos 2 2 cos 2 0 4cos 2cos 2 2 0.xx x x xx  
Đặt
cos , 1.txt
Ta có
22
2
2
2
4cos 2cos 2 2 0 4 2 2 2 0
2
236162
8
t
xx tt t
t


(do
1t
).
Với
2
,
2
t ta có

2
cos cos 2 .
24 4
xxkk


Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
.
4
x

Câu 11.
Ta có
2
3 sin 2 sin 1
3
xx (vô nghiệm).
Ta có
11
cos 4 cos 4 2 1
42
xx (vô nghiệm).
Ta có
222
225 nên phương trình
2sin 3cos 5xx
(vô nghiệm)
Câu 12.
Phương trình
2
13sin 78sin 15 0xx
có nghĩa .xD  Đặt
sin , 1.txt
Ta có
22
0,199
13sin 78sin 15 0 13 78 15 0 0,199
5,801
t
xx tt t
t

(do
1t ).
Với 0,199,t ta có

arcsin 0.199 2
sin 0,199 .
arcsin 0.199 2
xk
xk
xk



Vì
0; 2x  nên phương trình có hai nghiệm.
Câu 13.
Phương trình 3cos 2 sin 2xx có nghĩa .xD 
Ta có
2
3cos 2 sin 2 3cos 2 1 cos 2.xx x x
Đặt
cos , 1.txt Ta có
2
3cos 2 sin 2 3 2 1 2 0.xx t t t
Với
0,t ta có

cos 0 .
2
xxkk

Câu 14.
TOANMATH.co
m
Trang 25
Phương trình
2
43
tan tan 1 0
3
xx
có nghĩa
.
2
x
k

Đặt tan .tx Ta có
22
3
43 43
tan tan 1 0 1 0 .
3
33
3
t
xxtt
t
 
Với
3
,
3
t ta có

3
tan tan tan .
366
xxxkk


Với
3,t ta có

tan 3 tan tan .
33
xxxkk


Vì

x0;3
nên
713 47
;; ;;;.
66 6 33 3
xx x xx x
 
 
Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 15.
Phương trình
2
sin 5sin 6 0xx
có nghĩa .xD 
Đặt
sin , 1.txt
Ta có
22
3
sin 5sin 6 0 5 6 0
2
t
xx tt t
t
 
(do
1t
).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 16.
Phương trình

2
tan cot tan cot 2xx xx có nghĩa
cos 0
.
2
2
sin 0
xxk
x
k
xxk



Đặt
tan cot .txx Ta có

2
2
2
tan cot tan cot 2 2 0 .
1
t
xx xx tt
t


Với 2,t ta có
tan cot 2 tan 1
.
tan cot 1 cot 1
xx x
xx x





Với 1,t  ta có
tan cot 1
tan cot 1
xx
xx

(vô nghiệm).
Vậy
1
tan 2.
tan
x
x

Câu 17.
Phương trình
2
1
sin sin
22
x
x  có nghĩa
.xD 
Ta có

2
11cos1
sin sin sin 2sin 1 cos 1 2sin cos 0. *
22 2 2
xx
xx xxxx

Vì cos 0x thì (*) vô nghiệm nên

sin 1
* 2 10 2tan 10 tan .
cos 2
x
xx
x

Câu 18.
Phương trình
22
3sin sin 2 cos 0xxx
có nghĩa .xD 
Ta có
222 2
3sin sin 2 cos 0 3sin 2sin cos cos 0. 1xxx xxxx
Vì
cos 0x
không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
.
Ta có
222
3sin 2sin cos cos 0 3tan 2 tan 1 0.xxxx xx
TOANMATH.co
m
Trang 26
Đặt tan .tx Ta có
22
1
3 tan 2 tan 1 0 3 2 1 0 .
1
3
t
xx tt
t


Với
1,t ta có

tan 1 tan tan .
44
xx xkk


Với
1
,
3
t 
ta có

11
tan arctan .
33
xx kk

Câu 19.
Ta có


33
33 22
sin cos
cos 2 sin cos cos sin 2cos sin
2cos sin
xx
x
xx xx xx
xx

33 3 2 23
sin cos 2 cos 2cos sin sin cos sin
x
xxxxxxx
32 2
32 2
33 3
cos 2sin cos sin cos
cos 2sin cos sin cos 0 0
cos cos cos
xxxxx
xxxxx
xx x

(Điều kiện
cos 0
2
x
xk

).
22
1 2 tan tan 0 2 tan tan 1 0.xx xx 
Đặt tan ,
x
t ta có
22
2tan tan 1 0 2 1 0.xx tt
Câu 20.
Phương trình
2sin 2cos 1 3xx
có nghĩa
.xD 
Ta có

2
2
13
2sin 2cos 1 3 sin cos
2
xx xx





22
33
sin cos 2sin cos 1 sin 2 sin 2 sin .
22 3
xxxx x x

Dạng 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp
1- D 2- A 3- D 4- B 5- C 6- C 7- D 8- B 9- A 10- C
11- C 12- A 13- C 14- A 15- B 16- D 17- C 18- B 19- C 20- A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình
22
cos 3sin cos 2sin 1
x
xx x có nghĩa .xD 
Với
cos 0 ,
2
xxkk
 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
ta được
22 22
cos 3sin cos 2sin 1 1 3tan 2 tan 1 tan
x
xx x x x x

2
tan 1
tan tan 0 .
4
tan 0
xxk
xx k
xxk
 


Câu 2.
Phương trình
1
3sin cos
cos
xx
x
 có nghĩa khi cos 0 , .
2
xxkk

Chia cả 2 vế của phương trình cho
cos
x
ta được
TOANMATH.co
m
Trang 27
2
1
3 sin cos 3 tan 1 1 tan
cos
x
xxx
x


2
tan 3
tan 3 tan 0 .
3
tan 0
xxk
xx k
xxk



Câu 3.
Phương trình
22
3cos 4 5sin 4 2 2 3sin4 .cos4
x
xxx có nghĩa .xD 
Với
cos 4 0 ,
84
k
xx k

 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 4 0.x
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos 4
x
ta được
22 2 2
3cos 4 5sin 4 2 2 3 sin 4 .cos 4 3 5 tan 4 2 1 tan 4 2 3 tan 4
x
xxxxxx

2
3
3 tan 4 2 3 tan 4 1 0 tan 4 4 .
36 244
xx x xkxkk


Câu 4.
Phương trình
22
13
sin sin 2 3 cos 0
2
xxx
 có nghĩa
.xD 
Ta có

222 2
13
sin sin 2 3 cos 0 sin 1 3 sin cos 3 cos 0.
2
xxxxxxx

Với
cos 0 ,
2
xxkk

phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
ta được
 
222
tan 1
sin 1 3 sin cos 3 cos 0 tan 1 3 tan 3 0 .
tan 3
x
xxxxx x
x


Vậy giá trị nguyên của tan
x
là
1.
Câu 5.
Phương trình
22
2sin sin2 cos 1
x
xx có nghĩa
.xD 
Ta có
222 2
2sin sin 2 cos 1 2sin 2sin cos cos 1.xxx xxxx
Với
cos 0 ,
2
xxkk
 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
ta được
222 2
2sin 2sin cos cos 1 2 tan 2 tan 1 1 tan
x
xx x x x x
2
tan 0
tan 2 tan 0 , .
tan 2 arctan 2
xxk
xx k
xx k



Câu 6.
Phương trình
2
sin 2 3 sin cos 1 2xxx có nghĩa .xD 
Với
cos 0 ,
2
xxkk
 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
ta được
222
sin 2 3 sin cos 1 2 tan 2 3 tan 1 tan
x
xx x x x
TOANMATH.co
m
Trang 28
2
13 13
tan arctan
22
2tan 2 3tan 1 0 , .
13 13
tan arctan
22
xx k
xx k
xx k



 

Câu 7.
Phương trình
33 22
sin 3 cos sin .cos 3 sin .cos
x
xxx xx có nghĩa .xD 
Với
cos 0 ,
2
xxkk

phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
3
cos
x
ta được
33 22 3 2
sin 3 cos sin .cos 3 sin .cos tan 3 tan 3 tan
x
xxx xx x x x
32
tan 1
tan 3 tan tan 3 0 tan 1 .
tan 3
x
xxx x
x


Câu 8.
Phương trình
22
2sin 5sin cos cos 2xxxx có nghĩa .xD 
Ta có
222 2
2sin 5sin cos cos 2 4sin 5.2sin cos 2cos 4xxxx x xx x
22 22 22
5sin 2 2cos 4sin 4 0 5sin 2 3 cos sin cos sin 4 0xxx x xx xx
5sin2 3cos2 5.xx
Câu 9.
Phương trình
22
sin sin 3cos 0
22
xx
x
có nghĩa
.xD 
Ta có
22
31 cos
1cos
sin sin 3cos 0 sin 0 sin cos 2 0
222 3
x
xxx
xxxx
 
11 2
sin cos sin 2.
4
22 2
xx x




Có
21
phương trình vô nghiệm.
Câu 10.
Phương trình
32
46 sin 32 1sin 2 2sin .cos 4 3cos 01mxm xm xxm x có nghĩa
.xD 
Với
3
2 1 8sin 9sin 5cos 0.mxxx
Với
33
32
sin
4
cos 0 8sin 9sin 5cos 0 8sin 9sin 0
32
sin
4
x
xxxxxx
x


(loại).
Với
cos 0 ,
2
xxkk
 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
3
cos
x
ta có
3322
8sin 9sin 5cos 0 8 tan 9 tan 1 tan 5 1 tan 0xxx xx x x
32
tan 5tan 9 tan 5 0 tan 1 , .
4
xxx xxkk

TOANMATH.co
m
Trang 29
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Câu 11.
Phương trình
33 22
sin 3 cos sin .cos 3 sin cos
x
xxx xx có nghĩa .xD 
Với
cos 0 ,
2
xxkk
 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
3
cos
x
ta có
33 22 3 2
sin 3 cos sin .cos 3 sin cos tan 3 tan 3 tan
x
xxx xx x x x
32
tan 1
4
tan 3 tan tan 3 0 tan 1 , .
4
tan 3
3
xxk
xxx xxkk
xxk


 
Kết hợp nghiệm ta được

42
.
3
xk
k
xk



Câu 12.
Phương trình
2
2sin sin2 1 0xx có nghĩa
.xD 
Ta có
22
2sin sin 2 1 0 2sin 2sin cos 1 0xx x xx
Với
cos 0 ,
2
xxkk
 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
ta có
2222
2sin 2sin cos 1 0 2 tan 2 tan 1 tan 0 3 tan 2 tan 1 0xxx x x x xx
(vô nghiệm).
Câu 13.
Phương trình
22
sin 2 3 sin 4 3cos 2 0xxx có nghĩa .xD 
Ta có
222 2
sin 2 3 sin 4 3cos 2 0 sin 2 2 3 sin 2 cos 2 3cos 2 0.xxx x xxx
Với
cos 2 0 ,
42
k
xx k


phương trình vô nghiệm.
Với
cos 2 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos 2
x
ta có
222
sin 2 2 3 sin 2 cos 2 3cos 2 0 tan 2 2 3 tan 2 3 0xxxx xx
tan 2 3 , .
62
k
xx k


Câu 14.
Phương trình
22
sin 4 3cos 4 0xx có nghĩa .xD 
Với
cos 4 0 ,
84
k
xx k

 phương trình vô nghiệm.
Với
cos 4 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos 4
x
ta có
22 2
sin4 3cos4 0 tan4 3 0xx x
(Vô lí).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 15.
Phương trình sin 2 2 tan 3xx có nghĩa cos 0 , .
2
xxkk

TOANMATH.co
m
Trang 30
Ta có
sin 2 2 tan 3 2sin cos 2 tan 3.xx xxx 
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
ta có
22
2sin cos 2 tan 3 2 tan 2 tan tan 1 3 tan 1xx x x x x x
32 2
2 tan 3 tan 4 tan 3 0 tan 1 2 tan tan 3 0.xxx x xx
Câu 16.
Phương trình
22
3sin 3 sin cos 0
22
xx
x
có nghĩa
.xD 
Ta có
22
1cos 1cos
3sin 3 sin cos 0 3 3 sin 0
222 2
xxx x
xx

 
31
2 3 sin 2cos 4 0 sin cos 1 sin 1
22 6
xx x x x

 


22,.
62 3
xkxkk

  
Vì

0; 2x  nên
5
3
x
với
1.k
Phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 17.
Phương trình
2
23cos sin2 0xx có nghĩa .xD 
Ta có
2
2 3 cos sin 2 0 3 1 cos 2 sin 2 0 sin 2 3 cos 2 3 0xx x x x x 
22
13 3 3
33 3
sin 2 cos 2 sin 2 sin , .
2
22 2 323
22
33 2
xkxk
xx x k
xkxk

 






 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Câu 18.
Phương trình
3
sin 2 sin
4
x
x




có nghĩa
.xD 
Ta có
3
3
sin cos
sin 2 sin 2 sin
4
2
xx
x
xx








32 23
sin 3sin cos 3sin cos cos 4sin .
x
xx x x x x (1)
Với
cos 0 ,
2
xxkk
 .

3
sin 2
1 sin 4sin 0
sin 0
x
xx
x
xk



(loại).
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
3
cos
x
ta có
32 2
1 tan 3 tan 3 tan 1 4 tan 1 tan
x
xx x x
32
3tan 3tan tan 1 0 tan 1.xxx x
Vậy
2
2 tan tan 3 tan 6.xx x
Câu 19.
TOANMATH.co
m
Trang 31
Phương trình
1tan
1sin2
1tan
x
x
x

có nghĩa

cos 0
2
.
tan 1
4
xk
x
k
x
xk





Ta có
22
sin
1
1tan
cos
1 sin 2 sin 2sin cos cos
sin
1tan
1
cos
x
x
x
x
xxxx
x
x
x

 
23
cos sin
cos sin cos sin cos sin . 3
cos sin
xx
xx xx xx
x
x

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho
3
cos 0x
ta được

3
22
1tan 1tan tan 1tan
x
xx x
32 2
tan tan 2 tan 0 tan tan 2 tan 0. *xx x xx x
Do
2
tan tan 2 0xx vô nghiệm nên
*tan0 .xxkk
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Câu 20.
Phương trình
22
sin 2 2 sin .cos 1 cos 0 1xm xxm xm có nghĩa
.xD 
Với
cos 0 , .
2
xxkk

Ta có
11 0.m Để phương trình có nghiệm thì 1.m
Với
cos 0.x Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos
x
ta có
222
1 tan 2 2 tan 1 1 tan 0 1 tan 2 1 tan 2 1 0.xm xm m x m xm xm
Để phương trình có nghiệm thì

2
2
11 210 20 2 1.mmm mm m
Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng
1- C 2- D 3- A 4- C 5- A 6- B 7- B 8- D 9- B 10- B
11- A 12- C 13- D 14- C 15- D 16- B 17- A 18- B 19- C 20- B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình
2sin cos 2sin cos 1 01xx xx có nghĩa
.xD 
Đặt
sin cos , 2 .txxt
Ta có

2
2
1
sin cos 1 2 0.
2
t
xx t t

Câu 2.
Phương trình
1sin 1cos 2xx
có nghĩa .xD 
Ta có
1 sin 1 cos 2 cos sin sin cos 1.xx xxxx
Đặt
sin cos , 2 .txxt
TOANMATH.co
m
Trang 32
Ta có

2
2
1
1
sin cos 1 2 3 0 .
3
2
t
t
xx t t
t


Do
2t nên 1.t
Với
1,t ta có
2
sin cos 2 cos 1 cos .
442
txx x x

 

 
 
Câu 3.
Phương trình sin cos 2sin 2 1 0xx x có nghĩa .xD 
Ta có
sin cos 2sin 2 1 0 sin cos 4sin cos 1 0. 1xx x xx xx 
Đặt
sin cos , 2 .txxt
Ta có


2
22
1
1
sin cos 1 2 1 1 0 2 3 0 .
3
2
2
t
t
xx t t tt
t

 
Do
2t nên 1.t 
Với
1,t 
ta có
1
sin cos 2 sin 1 sin sin
444
2
txx x x

 
 
 
 
22
44
,.
3
22
44 2
xkxk
k
xkxk




 
Câu 4.
Phương trình
sin 2 2 sin cos 2 0xxx có nghĩa .xD 
Ta có
sin 2 2 sin cos 2 0 2 sin cos 2sin cos 2 0. 1xxx xxxx
Đặt
sin cos , 2 .txxt Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx
22
121 20 210 1.tt tt t
Với 1,t  ta có
1
sin cos 2 sin 1 sin sin
444
2
txx x x

 
 
 
 
22
44
,.
3
22
44 2
xkxk
k
xkxk




 
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
3
.
2
x
Câu 5.
Phương trình
sin 2 2 cos sin 1 0xxx có nghĩa .xD 
Ta có
sin 2 2 cos sin 1 0 2sin cos 2 sin cos 1 0. 1xxx xxxx
Đặt
sin cos , 2 .txxt Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx

22
0
11 210 20 .
2
t
tt tt
t


TOANMATH.co
m
Trang 33
Do
2t
nên
0.t
Với 0,t ta có
sin cos 2 sin 0 sin 0 , .
4444
txx x x x kx kk

 

 
 
Câu 6.
Phương trình
2 sin cos tan cot
x
xxx có nghĩa
cos 0
.
2
2
sin 0
xxk
x
k
xxk



Ta có
2 sin cos tan cot
x
xxx
  
sin cos 1
2sin cos 2sin cos . 1
cos sin sin cos
xx
xx xx
x
xxx

Đặt
sin cos , 2 .txxt Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx
 
3
2
2
12 22201 2.
1
ttttt
t

Câu 7.
Phương trình
sin 2 4 sin cos 5 0xxx có nghĩa .xD 
Ta có
sin 2 4 sin cos 5 0 4 sin cos 2sin cos 5 0. 1xxx xxxx
Đặt
sin cos , 2 .txxt
Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx
22
141 50 440 2tt tt t (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm hay không có nghiệm thỏa mãn
0.x
Câu 8.
Phương trình 3sin cos 3xx có nghĩa .xD 
Ta có



2
2
2
313.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 9.
Phương trình sin 2 sin cos 1
x
xx có nghĩa .xD 
Ta có
sin 2 sin cos 1 sin cos 2sin cos 1 0. 1xx x x x xx
Đặt
sin cos , 2 .txxt Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx

22
1
1110 0 .
0
t
tt tt
t

Với 1,
t ta có
2
sin cos 2 sin 1 sin .
442
txx x x

 

 
 
Với 0,
t ta có sin cos 2 sin 0 sin 0.
44
txx x x

 

 
 
Vậy giá trị lớn nhất của
2
sin .
42
x




Câu 10.
Phương trình sin 2 sin cos 1 0xx x có nghĩa .xD 
TOANMATH.co
m
Trang 34
Ta có
sin 2 sin cos 1 0 sin cos 2sin cos 1 0. 1xx x x x xx
Đặt
sin cos , 2 .txxt Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx


22
1
1110 0 .
0
t
tt tt
t


Với
1,
t 
ta có
1
sin cos 2 sin 1 sin sin
444
2
txx x x

 
 
 
 
22
44
,.
3
22
44 2
xkxk
k
xkxk




 
Với
0,t ta có sin cos 2 sin 0 sin 0 , .
4444
txx x x x kx kk

 

 
 
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Câu 11.
Phương trình
4 sin cos sin 2 5 0xx x có nghĩa .xD 
Ta có
4 sin cos sin 2 5 0 4 sin cos 2 sin cos 5 0.xx x xx xx  (1)
Đặt

sin cos , 2 .txxt
Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx
22
141 50 440 2tt tt t(loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 12.
Phương trình
1
sin cos 1 sin 2
2
x
xx có nghĩa .xD 
Ta có

1
sin cos 1 sin 2 sin cos sin cos 1 0. 1
2
xx x xxxx
Đặt

sin cos , 2 .txxt Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx

2
2
1
1
110230.
3
2
t
t
ttt
t


Do
2t
nên
1.t
Với
1,t
ta có
2
sin cos 2 sin 1 sin sin
4424
txx x x

 

 
 
22
44
,.
3
22
44 2
xkxk
k
xkxk





Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
3
x.
2

Câu 13.
Phương trình
22sin cos sin2 3 0xx x có nghĩa .xD 
TOANMATH.co
m
Trang 35
Ta có
2 2 sin cos sin 2 3 0 2 2 sin cos 2sin cos 3 0. 1xx x xx xx 
Đặt
sin cos , 2 .txxt Ta có
2
1
sin cos
2
t
xx
22
122 130 2220 2.tt t t t
Với
2,t
ta có
1
sin cos 2 sin sin 1 2 ,
42 4 4
txx x x x kk

 

 
 
.
Do

;5x  nên
917
;.
44
xx


Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 14.
Ta có
2
3 sin 2 sin 1
3
xx Phương trình vô nghiệm.
Ta có
11
cos 4 cos 4 2 1
42
xx
Phương trình vô nghiệm.
Ta có

2
1 4.1.5 19 0  Phương trình
2
cot cot 5 0xx vô nghiệm.
Câu 15.
Phương trình
2sin cos 2 0xxm
có nghĩa
.xD 
Ta có
2sin cos 2 0 2sin cos 2.xxm m xx 
Có
2sin cos 2 2 2sin cos 2xx xx
2 2sincos 20 2sincos 240 4.xx xx m  
Câu 16.
Phương trình

1
3 sin cos sin 2 3
2
xx x có nghĩa .xD 
Ta có
 
1
3 sin cos sin 2 3 3 sin cos sin cos 3 0. 1
2
xx x xx xx 
Đặt

sin cos , 2 .txxt
Ta có

22
2
1
11
sin cos 1 3 3 0 6 5 0 .
5
22
t
tt
xx t t t
t




Do
2t nên 1.t 
Với
1,t  ta có
2
sin cos 2 sin 1 sin sin
4424
txx x x

 
 
 
 
22
44 2
,.
22
44
xkxk
k
xkxk




 
Câu 17.
Phương trình
2 sin cos sin 2 1 0xx x có nghĩa .xD 
Ta có
2 sin cos sin 2 1 0 2 sin cos 2sin cos 1 0. 1xx x xx xx 
Đặt

sin cos , 2 .txxt
TOANMATH.co
m
Trang 36
Ta có

2
22
0
1
sin cos 1 2 1 1 0 2 0 .
2
2
t
t
xx tt t t
t


Do
2t nên 0.t
Với
0,t ta có sin cos 2 sin 0 sin 0
44
txx x x

 

 
 
,.
44
xkx kk


Do
0;x  nên
3
.
4
x
Câu 18.
Phương trình
33
3
sin cos 1 sin 2
2
x
xx có nghĩa
.xD 
Ta có


33 2 2
3
sin cos 1 sin 2 sin cos sin sin cos cos 1 3sin cos
2
x
xxxxxxxxxx
sin cos 1 sin cos 1 3sin cos . 1x x xx xx
Đặt
sin cos , 2 .txxt
Ta có

222
32
111
sin cos 1 1 1 3 3 5 0 1.
222
ttt
xx t ttt t





Với
1,t 
ta có
22
sin cos 2 cos 1 cos cos .
44242
txx x x x

 
  
 
 
Câu 19.
Phương trình
sin cos sin cos 0 1xx x xm
có nghĩa .xD 
Đặt

sin cos , 2 .txxt
Ta có
 
22
2
2
11
sin cos 1 0 2 2 1 1 2 2.
22
tt
xx tm mt t t m


Do

2
222112101322.tt t 
Để phương trình có nghiệm thì
122
022322 1.
2
mm

Vì
m nên
1; 0;1 .m 
Câu 20.
Phương trình
sin cos sin 2 0mx x x có nghĩa .xD 
Ta có
sin cos sin 2 0 sin cos 2sin cos 0mx x x mx x xx  . (1)
Đặt
sin cos 2 2 .txx t
Ta có

2
2
1
sin cos 1 1 0.
2
t
xx tmt

2
40m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
12
;.tt
Theo Vi-ét ta có
12
.1.tt 
Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn
22t .
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
| 1/36
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ
BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Mục tiêu Kiến thức
+ Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải.  Kĩ năng
+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỀ Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác BÀI
4 phương trình lượng giác cơ bản
4 dạng phương trình lượng giác
Đưa về phương trình tích hoặc thường gặp
đánh giá bất đẳng thức, hàm số
asin x bcos x c
4 phương trình lượng giác cơ bản 2 2
asin x bsin x cos x c cos x d
asin x  cos x  bsin xcos x c  0 a 2 2
tan x  cot x  btan x  cot x  c  0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình thuần nhất Phương pháp giải
Ví dụ: Giải phương trình 3 sin 3x  cos3x  2.
a sin x b cos x c a,b   \  0 . Hướng dẫn giải
Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện theo các bước sau Bước 1. Kiểm tra - Nếu 2 2 2
a b c phương trình vô nghiệm. Trang 1 - Nếu 2 2 2
a b c khi đó phương trình có
nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2.
Bước 2. Chia hai vế phương trình cho Ta có 3 sin 3x  cos3x  2. 2 2
a b  0 ta được 3 1    
sin 3x  cos3x  1  sin 3x  1   a b c 2 2  6  sin x  cos x  . ** 2 2 2 2 2 2 a b a b a b    
x    k k  2 k2 3 2  x   k . a b Đặt  cos ;   sin , 6 2 9 3 2 2 2 2 a b a b
phương trình (**) trở thành
Vậy phương trình đã cho có nghiệm c 2 k2 sin . x cos   cos . x sin   x   k . 9 3 2 2 a b c
 sin x    . 2 2 a b c
Phương trình sin  x    là phương 2 2 a b
trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải được.
Một số dạng mở rộng: 2 2
a sin u b cos u a b sin v a b   sin u
cos u  sin v 2 2 2 2 a b a b
 sin u    sin .v 2 2
a sin u b cos u a b cos v a b   sin u
cos u  cos v 2 2 2 2 a b a b
 cosu    cos .v
a sin u b cos u asin v bcos v với 2 2 2 2
a b a  b 
sin u    sin v  . Dạng đặc biệt:
1)sin x  cos x  0  x    kk . 4 
2)sin x  cos x  0  x   kk . 4 TOANMATH.com Trang 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình sin 2x  2 cos 2x  1 sin x  4 cos . x Hướng dẫn giải
Ta có sin 2x  2cos 2x  1 sin x  4 cos x x x   2 2sin cos 2 2cos x  
1 1 sin x  4cos x  0 x x   2 sin 2 cos
1  4 cos x  4 cos x  3  0
 sin x2cos x   1  2cos x  
1 2cos x  3  0  2cos x  
1 2sin x  2cos x  3  0  1 
cos x   x    k2k    2 3 
2sin x  2cos x  3 
Xét phương trình 2sin x  2cos x  3  ; có     2 2 2 2 2 8 3 nên vô nghiệm. 
Vậy phương trình có nghiệm x    k2k . 3
Ví dụ 2. Giải phương trình 3
3sin 3x  3 cos9x  1 4sin 3 . x Hướng dẫn giải Ta có 3 x x   x   3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 .
3sin 3x  4sin 3x  3 cos9x 1   2 x   k      18 9
 sin 9x  3 cos9x 1  sin 9x   sin     k .  3  6 7 2 x   k  54 9  2 7 2
Vậy phương trình có nghiệm x   k , x   kk . 18 9 54 9
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Phương trình 3 sin x  cos x  1 có nghiệm là    2
x    k2 x    k2  A.  3  , k  .     B. , k .  x   k2    6 x   k2  6   x k2 x   k2 C.  3 , k  .      D. , k .  x   k2
x    k2  6
Câu 2: Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghiệm âm lớn nhất bằng   5   5 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 TOANMATH.com Trang 3
Câu 3: Nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 là x k2
A. x k2k . B.   k .
x   k2  2       x k2 
C. x   k2k . D. 4  k . 4 
x    k2  4
Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng 0; là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sin x m cos x  5 vô nghiệm là m  4  A. . 
B. m  4. C. m  4.  D. 4   m  4. m  4
Câu 6: Điều kiện để phương trình msin x  3cos x  5 có nghiệm là m  4 
A. m  4. B. 4  m  4. C. m  34. D. .  m  4
Câu 7: Phương trình 3 sin 3x  cos3x  1
 tương đương với phương trình nào sau đây?    1     A. sin 3x    .   B. sin 3x    .    6  2  6  6    1    1 C. sin 3x    .   D. sin 3x   .    6  2  6  2
Câu 8: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 1 1
A. 3 sin x  2.
B. cos 4x  . 4 2
C. 2sin x  3cos x  1. D. 2
cot x  cot x  5  0.
Câu 9: Cho phương trình 3 cos x  sin x  2 trên đoạn 0;. Chọn câu trả lời đúng.  3 5
A. Phương trình có nghiệm x  ; x
. B. Phương trình có nghiệm x  . 4 4 12 3 4 2
C. Phương trình có nghiệm x  ; x
. D. Phương trình có nghiệm x  . 7 7 5
Câu 10: Phương trình sin 8x  cos 6x  3 sin 6x  cos8x có nghiệm là     x   k  x   k  A. 3  , k  .  B. 5  , k  .       x   k   x   k  6 2  7 2 TOANMATH.com Trang 4     x   k  x   k  C. 4  , k  .  D. 8  , k  .       x   k   x   k  12 7  9 3
Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2x  cos 2x  2. B. 3sin x  4 cos x  5.
C. sin x  cos .
D. 3 sin x  cos x  3  . 4  5 
Câu 12: Số nghiệm của phương trình sin 2x  2 cos x  0 thuộc đoạn  ;  là 2 2   
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Câu 13: Phương trình cos 7x  3 sin 7x   2 có các họ nghiệm là  5 2  5   2 x   kx   kA. 84 7  , k  .  B. 84 7  , k  .  11 2  11 2 x   k   x   k  84 7  84 7   2  5   2 x   kx   kC. 84 7  , k  .  D. 84 7  , k  .   2  11   2 x   k   x   k  84 7  84 7
Câu 14: Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng 2 5 A. . B. . C. .  D. 0. 3 6  1 
Câu 15: Phương trình tan x  sin 2x  cos 2x  2 2cos x   0  
có nghiệm dương nhỏ nhất bằng  cos x   
A. . B. . C. .  D. 0. 4 2
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  cos x  1  với k  là  
x    k2     x k2 
A. x k2 .  B.  4 
. C. x   k2 .  D.  .
x    k2 4    2
x    k2  4
Câu 17: Để phương trình 2 2
2sin x  sin x cos x  cos x m có nghiệm thì giá trị của m là 1 10 1 10 A. m  . B. m  . 2 2 1 10 1 10 1 10 C. m  . D.m  . 2 2 2
Câu 18: Phương trình cos 2x  sin x 1  0 có số họ nghiệm là
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. TOANMATH.com Trang 5  1 
Câu 19: Phương trình tan x  sin 2x  cos 2x  2 2cos x   0   có các họ nghiệm là  cos x    
A. x   k , k  . 
B. x   k ,  k  .  4 2 4    
C. x    k , k  .
D. x    k , k  .  4 2 6 2
Câu 20: Cho phương trình tan x  3cot x  4sin x  3 cos x. Với k  thì nghiệm của phương trình là        
x    k2 
x    k  x   k2  x   k2  A. 3  . B. 3  . C. 3  . D. 12  . 4   2  4 2 4 2 4 2 x   k     x   k x   k x   k  9 3  9 3  9 3  9 3
Dạng 2:Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác Phương pháp giải
Ví dụ: Giải phương trình 2
2sin x  sin x  3  0.
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng Hướng dẫn giải
giác có dạng tổng quát 2
at bt c  0. Trong đó: Đặt si
t  n x, điều kiện t  1.
t là một trong các hàm số sin u, cosu, tan u, cot u Phương trình đã cho trở thành
và u u x. t 1 2      a; ;
b c  , a  0. 2t t 3 0 3 . t   2
Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều Kết hợp với điều kiện t 1 ta được t 1.
kiện của ẩn phụ. Nếu đặt +) sin t
u,t  cosu thì điều kiện t  1. 
Với t  1 thì sin x  1  x   k2 ,  k . 2 +) 2 2
t  sin u,t  cos u thì điều kiện 0  t  1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
+) t  sin u ,t  cosu thì điều kiện 0  t  1.  x   k2 ,
 k . 2
Khi tìm được t ;t thỏa mãn thì phải giải tiếp 1 2
sin  t ;sin u t ;... 1 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giải phương trình 2
3sin 2x  7 cos 2x  3  0. Hướng dẫn giải Ta có 2 x x     2 3sin 2 7 cos 2 3 0
3 1 cos 2x  7cos 2x 3  0 cos 2x  0 2
 3cos 2x  7 cos 2x  0  cos 2x3cos 2x  7  0  .  3cos 2x  7  0   
Trường hợp 1: cos 2x  0  2x   k  x   k ,k . 2 4 2 TOANMATH.com Trang 6 7
Trường hợp 2: 3cos 2x  7  0  cos 2x   1(loại). 3  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x   k ,k . 4 2
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2
2sin x  sin x  3  0 có nghiệm là 
A. kk .
B.   kk . 2  
C.k2k .
D.   k2k . 2 2
Câu 2: Với k   , phương trình 2
cos x  2cos x  3  0 có nghiệm là 
A. x k2 .
B. x  0. C. x   k2 .  D. Vô nghiệm. 2
Câu 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2
2sin x  5sin x  3  0 là   3 5
A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 6 2 2 6
Câu 4: Xét phương trình 2
3cos x  2cos x  4  0 trên đoạn 0;3. Chọn câu trả lời đúng.
A. Phương trình có 3 nghiệm. B.
Phương trình có 4 nghiệm.
C. Phương trình có 2 nghiệm. D. Phương trình vô nghiệm. 
Câu 5: Nghiệm của phương trình 2
2sin x  3sin x 1  0 thỏa mãn điều kiện 0  x  là 2    5
A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 3 2 6 6
Câu 6: Nghiệm của phương trình 2
tan x  2 tan x 1  0 là    
A.k , k  .
B.   k ,  k  .  C.k2 ,  k  .  D. k ,  k  .  4 2 4 2 3 Câu 7: Với ,
k  phương trình 2
cos 2x  cos 2x   0 có nghiệm là 4  2
A. x k .
B. x k2 .
C. x    k .
D. x    k2 .  6 3 Câu 8: Với ,
k  phương trình 2
sin x  2sin x  0 có nghiệm là
A. x k2 .
B. x k .
C. x    k2 .
D. x  k2 . 
Câu 9: Nghiệm của phương trình 2
cot 3x  cot 3x  2  0 là       k    kA. 4 3 x   , k  .  B. 4 3 x   , k  .  1   1  arccot 2  k    arccot 2  k 3 3  3 3 TOANMATH.com Trang 7    k   k  C. 4 x   , k  .  D. 4 x   , k  .  1   1 arccot 2  k   arccot 2  k 3 3 3
Câu 10: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 cos 2x  2 cos x  2  0 là 5 7   A. x   . B. x  
. C. x   . D. x   . 6 6 3 4
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 1 1
A. 3 sin x  2.
B. cos 4x  . 4 2
C. 2sin x  3cos x  5. D. 2
cot x  cot x  5  0.
Câu 12: Xét phương trình 2
13sin x  78sin x 15  0 trên đoạn 0;2. Lựa chọn phương án đúng.
A. Phương trình có 2 nghiệm. B.
Phương trình có 4 nghiệm.
C. Phương trình vô nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 13: Phương trình 3cos x  2 sin x  2 có nghiệm là  
A. x   kk .
B. x   kk . 8 2  
C. x   kk .
D. x   kk . 4 6 4 3
Câu 14: Xét phương trình 2 tan x
tan x 1  0 trên đoạn 0;3. Chọn câu trả lời đúng? 3
A. Phương trình có 5 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm.
C. Phương trình có 6 nghiệm. D. Phương trình có 3 nghiệm.
Câu 15: Xét phương trình 2
sin x  5sin x  6  0 trên đoạn 0;2. Chọn câu trả lời đúng?
A. Phương trình có 2 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm.
C. Cả A, B, D đều sai. D. Phương trình có 3 nghiệm.
Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau  x x2 tan cot
 tan x  cot x  2 1
Giá trị của biểu thức tan x  là tan x
A. 0. B. 2. C. 3. D. 2. x
Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình 2 sin x  sin
 0,5. Giá trị của biểu thức y  tan x là 2
A. 1. B. 0,5. C. 3. D. 0.  1  
Câu 18: Cho x  arctan  k  
là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình  3  nào? A. 2 2
3sin x  sin 2x  cos x  0. B. 2 2
3sin 2x  4cos 2x  2. TOANMATH.com Trang 8 1 1 2 C.   . D. 2
cos x  2cos x  0. sin 2x cos 2x sin 4x 3 3 sin x  cos x
Câu 19: Cho phương trình  cos 2 .
x Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan x = t thì 2cos x  sin x
phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây? A. 2
2t t 1  0. B. 2
t  2t 1  0. 1 C. 2
t t   0. D. 2
t t 1  0. 2
Câu 20: Cho phương trình 2sin x  2cos x  1 3. Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế
thì ta được phương trình nào sau đây?  
A. sin 2x  sin . B.
sin 2x  sin . 4 6  
C. sin 2x  sin .
D. cos 2x  cos . 3 3
Dạng 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp Phương pháp giải
Phương trình lượng giác đẳng cấp có dạng tổng Ví dụ: Giải phương trình sau quát 2 2 3 cos x  6sin .
x cos x  3  3.   1 2 2 . a sin x  .
b sin x cos x  .
c cos x d. Hướng dẫn giải
Ta có thể giải phương trình lượng giác đẳng cấp theo hai cách sau Cách 1:
Bước 1. Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm của 
Với cos x  0  x   k ,  k  . 
phương trình hay không, nếu có thì nhận nghiệm 2 này.
Thay vào phương trình (1) ta có 0  3  3
Bước 2. Nếu cos x  0 thì chia cả hai vế của phương trình vô nghiệm. phương trình cho 2
cos x đưa về phương trình bậc Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình hai theo tan x . (1) cho 2 cos x ta được 2 2   sin x sin x cos x cos x d 1  abc   x     2 2 3 6 tan 3 3 1 tan x 2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x 2  2 a x b
x c d  2 tan tan 1 tan x.
 3 3tan x 6tan x 3 3  0 2.Đặt
Bước 3. Đặt t  tan x đưa về phương trình bậc tan x t phương trình (2) trở thành hai để giải. t 1 
3 3 2t 6t 3 3 0  3 3  t    3  3 TOANMATH.com Trang 9 tan x  1   x   k   4  3  3   , k  .     tan x   3  3 x   k  12
Vậy phương trình đã cho có nghiệm   x   k  4  , k  .  
x   k  12 Ta có 2 2 3 cos x  6sin .
x cos x  3  3
 3 1 cos 2x  3sin 2x  3 3
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc. 1 cos 2x 1 cos 2x
 cos 2x  3 sin 2x  3 2 2 sin x  ;cos x  ; 2 2 1 3 3  cos 2x  sin 2x  sin 2x 2 2 2 sin x cos x  . 2    3  cos 2x  
Đưa phương trình đã cho về phương trình    3  2
bsin 2x  c acos 2x d c  . a   x   k  4
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cosin   , k  .  
x   k
ta đã biết cách giải ở dạng 1.  12
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là   x   k  4  , k  
x   k  12
Tổng quát: Đối với phương trình đẳng cấp bậc
  2: sinn ,cosn ,sink cosh n n A x x x x  0 trong
đó k h  ; n k, ,
h n  , ta cũng giải tương tự theo hai cách.
Cách 1: Nếu cos x  0 thì chia cả hai vế cho cosn x .
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc. Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho phương trình 2 2
2sin x  sin x cos x  cos x  .
m Tìm m để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 10
- Nếu cos x  0  Phương trình có dạng 2 2sin x m
Để phương trình có nghiệm thì m  2. * -
Nếu cos x  0  m  2 thì ta chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x . m
Phương trình đã cho trở thành 2
2 tan x  tan x 1  0 2 cos x    m 2 2
tan x  tan x m 1  0.   1
Với m  2 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn t  tan . x Xét 2   4
m  4m  9. 1 10 1 10   0   m
Để phương trình đã cho có nghiệm thì    2 2 .** m  2 m  2 1 10 1 0
Kết hợp (*) và (**), ta được  m
là những giá trị cần tìm. 2 2 1 10 1 0 Vậy với  m
thì phương trình đã cho có nghiệm. 2 2
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Phương trình 2 2
cos x  3sin x cos x  2sin x  1 có nghiệm là x k2 x k2 A.  
k . B.   k . x   k x   k2  4  4 x k x k C.   k .     D.k . x   k2 x   k  3  4 1
Câu 2: Phương trình 3 sin x  cos x  có nghiệm là cos xx k x k2 A.   k .     B.k . x   k
x   k2  3  3  kx   C. 2  k .
D. x  kk . 
x   k  3
Câu 3: Phương trình 2 2
3cos 4x  5sin 4x  2  2 3 sin 4 .
x cos 4x có nghiệm là    A. x   k ,  k  .  B. x   k , k  .  6 12 2     C. x   k ,k  .  D. x   k , k  .  18 3 24 4 TOANMATH.com Trang 11 1 3
Câu 4: Cho x thỏa mãn phương trình 2 2 sin x
sin 2x  3 cos x  0 . Giá trị nguyên của tan x là 2 A. 1. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 5: Phương trình 2 2
2sin x  sin 2x  cos x  1 có nghiệm là    
x    k2 x   k A.  4 , k  .  B.  4 , k  .   
x  arctan 2  k
x  arctan 2  k   x k
x    k C. , k  .   D.  4 , k  . 
x  arctan 2  k 
x  arctan 2  k
Câu 6: Giải phương trình 2
sin x  2 3 sin x cos x 1  2 ta được nghiệm là   A. x   k ,  k  . 
B. x   k ,  k  .  6 3  1 3 x  arctan  k  C. 2  , k  .  D. x   k ,  k  .   1   3 3 x  arctan  k  2
Câu 7: Cho x thỏa mãn phương trình 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin .
x cos x  3 sin . x cos .
x Giá trị nguyên của tan x là tan x   3 A. 1. B. 1.  C. 3. D.  . tan x  1 
Câu 8: Phương trình 2 2
2sin x  5sin x cos x  cos x  2
 có thể được đưa về phương trình nào trong các phương trình sau A. 2 2
4sin x  5sin 2x  cos x  0.
B. 5sin 2x  3cos 2x  5. C. 2 2
4sin x  5sin x cos x  cos x  0.
D. Một phương trình khác. x x
Câu 9: Kết quả nào cho dưới đây là đúng? Phương trình 2 2 sin  sin x  3cos  0 có tập nghiệm là 2 2 A. S  . 
B. S    k2 ,  k    .  
C. S    k2 ,  k . D. Đáp án khác.  2 
Câu 10: Khi m  2 thì phương trình
  m 3 x   m   x  m   2 4 6 sin 3 2 1 sin 2 2 sin .
x cos x  4m  3cos x  0 có bao nhiêu họ nghiệm? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 11: Cho phương trình 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin .
x cos x  3 sin . x cos .
x Nghiệm của phương trình là TOANMATH.com Trang 12   A. x   k . 
B. x   k ,  k  .  3 4    x   k     C. 4 2  , k  . 
D. x   k , x    k ,  k  .    4 2 3
x    k  3
Câu 12: Phương trình 2
2sin x  sin 2x 1  0 có tập nghiệm là A. S  . 
B. S  k ,  k    .
C. Phương trình vô số nghiệm. D. Đáp án khác.
Câu 13: Phương trình 2 2
sin 2x  3 sin 4x  3cos 2x  0 có nghiệm là   A. x
kk .
B. x   kk . 3 4      C. x
k k .
D. x   k , x   kk . 6 2 4 2 3
Câu 14: Phương trình 2 2
sin 4x  3cos 4x  0 có tập nghiệm là A. S  . 
B. S  k ,  k    .
C. Phương trình vô số nghiệm. D. Đáp án khác.
Câu 15: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x  2 tan x  3. Giá trị của biểu thức  x   2 tan
1 2 tan x  tan x  3 là
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. x x
Câu 16: Cho phương trình 2 2 3sin  3 sin x  cos
 0. Số nghiệm của phương trình đã cho trong 2 2 khoảng 0;2 là A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 17: Cho phương trình 2
2 3 cos x  sin 2x  0, khẳng định đúng là
A. Phương trình có 1 họ nghiệm.
B. Phương trình vô nghiệm.
C. Phương trình có 2 họ nghiệm.
D. Cả A, B, C đều sai.   
Câu 18: Cho x thỏa mãn phương trình 3 sin x   2 sin . x  
Giá trị của biểu thức  4   2
2 tan x  tan x  3 tan x là A. 1. B. 6.  C. 3. D. 2. 1 tan x
Câu 19: Cho phương trình
1 sin 2x, khẳng định đúng là 1 tan x
A. Phương trình có 2 họ nghiệm.
B. Phương trình vô nghiệm.
C. Phương trình có 1 họ nghiệm.
D. Cả A, B, C đều sai. TOANMATH.com Trang 13
Câu 20: Cho phương trình
2 x   m   x
x  m   2 sin 2 2 sin .cos
1 cos x m  0. Giá trị của m để phương trình có nghiệm là A. 2   m  1.
B. 0  m  1. C. 0  . m D. m  2. 
Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng Phương pháp giải
Phương trình lượng giác đối xứng có dạng tổng Ví dụ. quát
sin x  cos x  2sin x cos x 1  0.   1
a sin x  cos x  bsin x cos x c  0 Hướng dẫn giải Trong đó a, , b c  . 
Để giải phương trình lượng giác đối xứng, ta làm như sau.   
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  .    4  2 t 1  
Điều kiện t  2. sin x cos x . 2 Ta có  x x2 sin cos
1 2sin x cos x
Khi đó phương trình (1) trở thành 2  t 1 t  1  2 t 1 2 t  2
 1  0  t t  2  0  .
 sin x cos x  .  2   t  2 2
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Kết hợp với điều kiện  2  t  2 ta được 2
bt  2at b  2c  0.    t  1
  sin x  cos x  1   2 sin x   1     4
Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải. 
Chú ý: Cách giải trên áp dụng cho phương trình      2
x    k2 sin x       2 k    .
a sin x  cos x  bsin x cos x c  0.  4  2 
x    k2 2 1 t
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là
Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  . 2  
x    k2  2 k . 
x    k2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình sin x  cos x 14sin x cos x  1.   1 Hướng dẫn giải t Đặt t x x   t   2 1 sin cos 2
2  sin x cos x  . 2 t 1
Khi đó phương trình (1) trở thành t 7 2 1 t  2 1 7t t 6 0          6 .  t    7 TOANMATH.com Trang 14       x   k2
- Nếu t  1 thì sin x cos x 1 sin x sin        2 k    .  4  4 
x    k2 6 6 
- Nếu t   thì sin x  cos x  7 7   3  2 x   arcsin  k2    3  2 4 7  sin x     k    .  4  7  5 3  2 x   arcsin  k2  4 7 
Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm x   k2 ;
x    k2 2  3  2 5 3  2 x   arcsin  k2 ;  x   arcsin
k2k . 4 7 4 7 3
Ví dụ 2. Giải phương trình 3 3
sin x  cos x 1  sin 2 . x 2 2 Hướng dẫn giải
    x x 2 2 2 1 sin cos
sin x  sin x cos x  cos x  3sin xcos x
 1 sin x  cos x1 sin x cos x  3sin x cos .x * t  Đặt t x x   t   2 1 sin cos 2
2  sin x cos x  . 2 2 2  t 1 t 1
Khi đó phương trình (*) trở thành 1 t 1     3.  2  2 t  1   3 2
t  3t  3t  5  0  t  
1  2t  2t 5  0  t  1
  6   2  t  1  .  t  1   6  2    
Suy ra sin x  cos x  1   2 cos x   1     4 
x    k2    3 cos x cos         k .  4  4 x   k2  2 
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm x    k2 ;  x
k2k . 2
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho phương trình  2 sin x  cos x  2sin x cos x 1  0 . Đặt t  sin x  cos x, ta được phương trình nào dưới đây? A. 2
t  2t  0. B. 2
t  2t  2  0. C. 2
t  2t  0. D. 2
t  2t  2  0. TOANMATH.com Trang 15   
Câu 2: Nếu 1 sin x1 cos x  2 thì cos x    nhận giá trị là  4  2 2 A. 1. B. 1. C.  . D. . 2 2
Câu 3: Phương trình sin x  cos x  2sin 2x 1  0 có nghiệm là x k2 x k A.  3 , k  .  B.  3 , k  .  x   k2 x   k  2  2 3 C. x   k2 ,  k  .  D. Vô nghiệm. 2
Câu 4: Cho phương trình sin 2x  2sin x  cos x  2  0. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là  3 5 A. x  . B. x  0. C. x  . D. x  . 2 2 6
Câu 5: Phương trình sin 2x  2cos x  sin x 1  0 có nghiệm là  
A. x   k ,  k  . 
B. x   k2 ,  k  .  4 4 
C. x    k ,  k  .  D. Vô nghiệm. 4
Câu 6: Cho phương trình 2 sin x  cos x  tan x  cot .
x Nếu t  sin x  cos x thì giá trị của t thỏa mãn t  2 là 2 A. 1. B. 2. C.  2. D.  . 2
Câu 7: Cho phương trình sin 2x  4sin x  cos x  5  0. Số nghiệm của phương trình thỏa mãn 0  x   là A. 1. B. 0. C. 2. D. 4.
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2x  cos 2x  2.
B. sin 2x  sin x  cos x  1. 
C. sin x  cos .
D. 3 sin x  cos x  3  . 4   
Câu 9: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x  sin x  cos x  1. Giá trị lớn nhất tìm được của sin x     4  là 2 1 A. 0. B. . C. . D. 1. 2 2
Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình sin 2x  sin x  cos x 1  0 là TOANMATH.com Trang 16 A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 4sin x  cos x  sin 2x  5  0. B. 2
2 cos x  cos x 1  0.
C. 2sin x  cos x  sin 2x  2  0. D. 3sin x  2  0. 1
Câu 12: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x  cos x  1 sin 2x là 2   3 5 A. x   . B. x   . C. x   . D. x   . 6 2 2 6
Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2 2 sin x  cos x  sin 2x  3  0 thỏa mãn điều kiện   x  5 là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Câu 14: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 1 1
A. 3 sin x  2. B. cos 4x  . 4 2
C. 2 2 sin x  cos x  sin 2x  3  0. D. 2
cot x  cot x  5  0.
Câu 15: Điều kiện để phương trình 2 sin x  cos x  m  2  0 có nghiệm là
A. m  0.
B. Không có giá trị nào của m.
C. m  4.
D. 0  m  4.
Câu 16: Phương trình  x x 1 3 sin cos  sin 2x  3  có nghiệm là 2   
x    k2
A. x    k ,  k  .  B.  2 , k  .  4  x    k2 
C. x    k2 ,  k  .  D. Vô nghiệm. 2
Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin x  cos x  sin 2x 1  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   là 3   A. x  . B. x  . C. x  .  D. x  . 4 2 4 3   
Câu 18: Từ phương trình 3 3
sin x  cos x 1  sin 2x ta tìm được cos x    có giá trị bằng 2  4  2 2 2 A. 1. B.  . C.  . D. . 2 2 2
Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x  sin x  cos x m  0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 20: Giá trị của m để phương trình msin x  cos x  sin 2x  0 có nghiệm là TOANMATH.com Trang 17
A. Không có giá trị nào của m. B. . mC. m  1.
D. Cả A, B, C đều sai.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Phương trình thuần nhất 1- C 2- A 3- B 4- B 5- D 6- D 7- C 8- C 9- B 10- C 11- D 12- B 13- A 14- A 15- A 16- B 17- D 18- B 19- A 20- B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Phương trình 3 sin x  cos x  1 có nghĩa x     D  .  3 1 1    1
Ta có 3 sin x  cos x  1 
sin x  cos x   sin x     2 2 2  6  2   
x    k2        6 6 x   k2 sin x sin          3 , k  .   6  6   
x     k2 x   k2  6 6 Câu 2.
Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghĩa x     D  .  1 3     
Ta có sin x  3 cos x  0  sin x
cos x  0  sin x
 0  x   k  x    k .    2 2  3  3 3 
Vậy phương trình có nghiệm âm lớn nhất x   là với k  0. 3 Câu 3.
Phương trình sin x  cos x  1 có nghĩa x     D  .  1 1 1    1
Ta có sin x  cos x  1  sin x  cos x   sin x     2 2 2  4  2   
x    k2  x k2      4 4  sin x   sin     , k  .   4  4   
x      k2  x   k2  4 4 2 Câu 4.
Phương trình sin x  cos x  1 có nghĩa x     D  .  1 1 1    1
Ta có sin x  cos x  1  sin x  cos x   sin x     2 2 2  4  2   
x    k2  x k2      4 4  sin x   sin     , k  .   4  4   
x      k2  x   k2  4 4 2 
Theo bài ra x 0;  x  . 2 TOANMATH.com Trang 18 Câu 5.
Phương trình 3sin x m cos x  5 có nghĩa x     D  .  m  4 
Điều kiện để phương trình có nghiệm 2 2 2 2
3  m  5  m  16  .  m  4
Vậy phương trình vô nghiệm khi 4  m  4. Câu 6. Phương trình .s
m in x  3cos x  5 có nghĩa x     D  .  m  4 
Điều kiện để phương trình có nghiệm m   3  2 2 2 2  5  m 16  .  m  4 Câu 7.
Phương trình 3 sin 3x  cos3x  1  có nghĩa x     D  .  3 1 1    1
Ta có 3 sin 3x  cos 3x  1  
sin 3x  cos3x    sin 3x    .   2 2 2  6  2 Câu 8.
Phương trình 2sin x  3cos x  1 có nghĩa x     D  .  Ta có 2 2 2 2  3 1  12  0.
Vậy phương trình 2sin x  3cos x  1 có nghiệm. Câu 9.
Phương trình 3 cos x  sin x  2 có nghĩa x     D  .  3 1 2    2
Ta có 3 cos x  sin x  2 
cos x  sin x   sin x     2 2 2  3  2    
x    k2  x    k2      3 4 12  sin x   sin     , k  .   3  4   5
x     k2  x   k2  3 4 12 5
Vì x 0; nên x  . 12 Câu 10.
Phương trình sin 8x  cos 6x  3 sin 6x  cos8x có nghĩa x     D  . 
Ta có sin 8x  cos 6x  3 sin 6x  cos8x  sin 8x  3 cos8x  cos 6x  3 sin 6x 1 3 1 3       sin 8x
cos8x  cos 6x
sin 6x  sin 8x   sin 6x      2 2 2 2  3   6     
8x   6x   k2  x   k        3 6 4 sin 8x   sin 6x        , k  .   3   6     k 8
x   6x   k2  x    3 6 12 7 Câu 11.
Phương trình 3 sin x  cos x  3  có nghĩa x     D  .  2
Để phương trình có nghiệm thì     2   2 3 1 3  4  9 (vô lí).
Vậy phương trình 3 sin x  cos x  3  vô nghiệm. Câu 12.
Phương trình sin 2x  2cos x  0 có nghĩa x     D  .  TOANMATH.com Trang 19
Ta có sin 2x  2cos x  0  2sin x cos x  2cos x  0  
cos x  0  x   k    x x   2 2 cos sin 1  0  
x   k .   2
sin x 1 x   k2  2  5  5 3   Vì x   ;  nên x   ; x  
; x   ; x  . 2 2    12 2 2 2
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn đề bài. Câu 13.
Phương trình cos 7x  3 sin 7x   2 có nghĩa x     D  .  1 3 2
Ta có cos 7x  3 sin 7x   2  cos 7x  sin 7x   2 2 2    5 k2
7x    k2  x   3 1 2      6 4 84 7 
sin 7x  cos 7x   sin 7x   sin     , k  .  2 2 2  6  4   11 k2
7x     k2  x    6 4 84 7 Câu 14.
Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghĩa x     D  .  1 3     
Ta có sin x  3 cos x  0  sin x
cos x  0  sin x
 0  x   k  x    k .    2 2  3  3 3 2
Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là x  với k  1. 3 Câu 15.   
Phương trình có nghĩa  cos x  0  x   k  D   \   k. 2  2   1  sin x 2
Ta có tan x  sin 2x  cos 2x  2 2 cos x   0 
 sin 2x  cos 2x  4cos x   0    cos x  cos x cos x 2  x x x x x   2 x     x  2 sin 2sin cos cos 2 cos 2 2cos 1 0
sin 1 2cos x  cos 2xcos x  2cos 2x  0
 sin x cos 2x  cos 2x cos x  2cos 2x  0  cos 2xsin x  cos x  2  0 cos 2x  0   
x   k , k  .  
sin x  cos x  2 4 2 
Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là x  với k  0. 4 Câu 16.
Phương trình sin x  cos x  1 có nghĩa x     D  .  1 1 1    1
Ta có sin x  cos x  1   sin x  cos x    sin x      2 2 2  4  2    
x     k2  x    k2      4 4 2  sin x   sin     , k  .   4  4   x   
k2  x    k2  4 4 Câu 17. TOANMATH.com Trang 20 Phương trình 2 2
2sin x  sin x cos x  cos x m có nghĩa x     D  .  1 1 Ta có 2 2
2sin x  sin x cos x  cos x m  1 cos 2x  sin 2x  1 cos 2x  m 2 2
 sin 2x  3cos 2x  2  m 1.   1 1 10 1 10
Để phương trình (1) có nghiệm thì 1 2m2 2
 1 9  4m  4m  9  0   m  . 2 2 Câu 18.
Phương trình cos 2x  sin x 1  0 có nghĩa x     D  .  Ta có 2
cos 2x  sin x 1  0  1 2sin x  sin x 1  0  1 1 1 2
sin x    sin x    1 1  1  1  2 2 4 4 2
 2sin x  sin x  0  sin x  sin x  0  sin x       . 2  4  16 1 1
sin x     sin x  02  4 4   x   k2 1   Giải (1) ta có 6
sin x   sin x  sin   . 2 6 5
x   k2  6
Giải (2) ta có sin x  0  x k ,  k  .  Câu 19.   
Phương trình có nghĩa  cos x  0  x   k  D   \   k. 2  2   1  sin x 2
Ta có tan x  sin 2x  cos 2x  2 2 cos x   0 
 sin 2x  cos 2x  4cos x   0    cos x  cos x cos x 2  x x x x x   2 x     x  2 sin 2sin cos cos 2 cos 2 2 cos 1 0
sin 1 2 cos x  cos 2xcos x  2cos 2x  0
 sin x cos 2x  cos 2x cos x  2cos 2x  0      x x x   cos 2x 0 cos 2 sin cos 2  0 
x   k , k  .  
sin x  cos x  2 4 2 Câu 20.   
Phương trình có nghĩa  sin 2x  0  x k
D   \ k . 2  2  sin x cos x
Ta có tan x  3cot x  4sin x  3 cos x   3
 4sin x  3 cos x cos x sin x 2 2
 sin x  3cos x  4sin x cos xsin x  3 cos x      x x x x  x x x x sin x 3 cos x 0 sin 3 cos sin 3 cos 4sin .cos sin 3 cos  
sin x  3 cos x  4sin .xcos x Trường hợp 1: 1 3     
sin x  3 cos x  0  sin x
cos x  0  sin x
 0  x   k  x    k .    2 2  3  3 3 1 2
Trường hợp 2: sin x  3 cos x  4sin .
x cos x  sin x  cos x  2sin . x cos x 2 2 TOANMATH.com Trang 21   x   k2     3  sin x   sin 2x     .  3  4 k2 x    9 3
Dạng 2. Phương trình bậc hai của hàm số lượng giác 1- C 2- A 3- A 4- A 5- C 6- B 7- C 8- B 9- A 10- D 11- D 12- A 13- B 14- C 15- C 16- B 17- B 18- A 19- A 20- C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Phương trình 2
2sin x  sin x  3  0 có nghĩa x     D  .  t  1
Đặt t  sin x, t  1. Ta có 2 2 2sin x sin x 3 0 2t t 3 0         
3  t  1 (do t  1). t   2 
Với t  1, ta có sin x  1  x   k2k . 2 Câu 2. Phương trình 2
cos x  2cos x  3  0 có nghĩa x     D  .  t 1
Đặt t  cos x, t  1. Ta có 2 2
cos x  2cos x  3  0  t  2t  3  0   t 1  (do t  1). t  3  Với 1
t  , ta có cos x  1  x k2k . Câu 3. Phương trình 2
2sin x  5sin x  3  0 có nghĩa x     D  .   1 t  1
Đặt t  sin x, t  1. Ta có 2 2
2sin x 5sin x 3 0 2t 5t 3 0         
2  t  (do t  ).  1 2 t  3    x   k2 1 1  Với t  , ta có 6 sin x    k . 2 2 5
x   k2  6 
Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là x  . 6 Câu 4. Phương trình 2
3cos x  2cos x  4  0 có nghĩa x     D  . 
Đặt t  cos x, t  1.  1 13 t  3 1 13 Ta có 2 2
3cos x  2cos x  4  0  3t  2t  4  0    t  (do t  1).  1 13 3 t   3 TOANMATH.com Trang 22  1 13 x  arccos  k2 1 13 1 13 Với t  , ta có 3 cos x    k . 3 3  1 13 x   arccos  k2  3
Vì x 0,3 nên phương trình chỉ có 3 nghiệm. 1 13 1 13 1 13 x  arccos , x  arccos  2 ,  x  arccos  2 .  3 3 3 Câu 5. Phương trình 2
2sin x  3sin x 1  0 có nghĩa x     D  .   1 t
Đặt t  sin x, t  1.Ta có 2 2
2sin x 3sin x 1 0 2t 3t 1 0          2 .  t  1   x   k2 1 1  Với t  , ta có 6 sin x    k . 2 2 5
x   k2  6  Với 1
t  , ta có sin x  1  x   k2k . 2     Vì x  0;   nên x  .  2  6 Câu 6.  Phương trình 2
tan x  2 tan x 1  0 có nghĩa  x   k .  2 Đặt t
t  an x . Ta có 2 2
tan x  2 tan x 1  0  t  2t 1  0  t  1.    Với 1
t   , ta có tan x  1   tan x  tan
x    kk . 4 4 Câu 7. 3 Phương trình 2
cos 2x  cos 2x   0 có nghĩa x     D  .  4  1 t  3 3  2 1
Đặt t  cos 2x, t  1. Ta có 2 2
cos 2x  cos 2x   0  t t   0  
t  (do t  1). 4 4 3  2 t   2     2x   k2 x   k 1 1    Với t  , ta có 3 6 cos 2x   cos     k . 2 2 3   2x k2     
x    k  3  6 Câu 8. Phương trình 2
sin x  2sin x  0 có nghĩa x     D  .  t  0
Đặt t  sin x, t  1. Ta có 2 2
sin x  2sin x  0  t  2t  0   t  0  (do t  1). t  2
Với t  0, ta có sin x  0  x kk . Câu 9. TOANMATH.com Trang 23 k Phương trình 2
cot 3x  cot 3x  2  0 có nghĩa  x  . 3 t  1  Đặt t  cot 3 . x Ta có 2 2
cot 3x  cot 3x  2  0  t t  2  0  .  t  2 3 3  k Với t  1,  ta có cot 3x  1   cot 3x  cot  3x
k  x   k . 4 4 4 3 1 
Với t  2, ta có cot 3x  2  3x  arccot 2  k  x arc cot 2  k k . 3 3 Câu 10.
Phương trình 2 cos 2x  2cos x  2  0 có nghĩa x     D  .  Ta có 2 2
2 cos 2x  2 cos x  2  0  4 cos x  2  2cos x  2  0  4 cos x  2cos x  2  2  0.
Đặt t  cos x, t  1.  2 t  2 2 Ta có 2 2 4 cos x 2cos x 2 2 0 4t 2t 2 2 0             t  (do t  1).  2 2   36 16 2 t   8 2 2   Với t  , ta có cos x
 cos  x    k2k . 2 2 4 4 
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x   . 4 Câu 11. 2
Ta có 3 sin x  2  sin x  1 (vô nghiệm). 3 1 1
Ta có cos 4x   cos 4x  2  1 (vô nghiệm). 4 2 Ta có 2 2 2
2  2  5 nên phương trình 2sin x  3cos x  5 (vô nghiệm) Câu 12. Phương trình 2
13sin x  78sin x 15  0 có nghĩa x     D  .
 Đặt t  sin x, t  1. t  0,199 Ta có 2 2
13sin x  78sin x 15  0  13t  78t 15  0   t  0,199  (do t  1). t  5,801
x  arcsin 0.199  k2 Với 0
t  ,199, ta có sin x  0,199  k   .
x    arcsin 0.199  k2
Vì x 0;2 nên phương trình có hai nghiệm. Câu 13.
Phương trình 3cos x  2 sin x  2 có nghĩa x     D  .  Ta có 2
3cos x  2 sin x  2  3cos x  2 1 cos x  2.
Đặt t  cos x, t  1. Ta có 2
3cos x  2 sin x  2  3t  2 1 t  2  t  0. 
Với t  0, ta có cos x  0  x   kk . 2 Câu 14. TOANMATH.com Trang 24 4 3  Phương trình 2 tan x
tan x 1  0 có nghĩa  x   k .  3 2  3 4 3 4 3 t  Đặt t t  an . x Ta có 2 2 tan x
tan x 1  0  t t 1  0  3 . 3 3  t  3 3 3   Với t  , ta có tan x
 tan x  tan  x   kk . 3 3 6 6  
Với t  3, ta có tan x  3  tan x  tan  x   kk . 3 3  7 13  4 7
Vì x 0;3 nên x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  . 6 6 6 3 3 3
Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài. Câu 15. Phương trình 2
sin x  5sin x  6  0 có nghĩa x     D  . 
Đặt t  sin x, t  1. t  3 Ta có 2 2
sin x  5sin x  6  0  t  5t  6  0   t    (do t  1). t  2
Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 16.  
cos x  0  x   k  Phương trình  x x2 tan cot
 tan x  cot x  2 có nghĩa   2  x k . 2 si
 n x  0  x k t  2
Đặt t  tan x  cot .
x Ta có tan x  cot x2  tan x  cot x 2
 2  t t  2  0  .  t  1 
tan x  cot x  2 tan x 1 Với 2 t  , ta có    .
tan x cot x  1 cot x 1
tan x  cot x  1  Với 1 t   , ta có  (vô nghiệm).
tan x cot x  1 1 Vậy tan x   2. tan x Câu 17. x 1 Phương trình 2 sin x  sin  có nghĩa x     D  .  2 2 x 1 1 cos x 1 Ta có 2 sin x  sin   sin x
  2sin x 1 cos x  1  2sin x  cos x  0. * 2 2 2 2 x
Vì cos x  0 thì (*) vô nghiệm nên   sin 1 *  2
1  0  2 tan x 1  0  tan x  . cos x 2 Câu 18. Phương trình 2 2
3sin x  sin 2x  cos x  0 có nghĩa x     D  .  Ta có 2 2 2 2
3sin x  sin 2x  cos x  0  3sin x  2sin x cos x  cos x  0.   1
Vì cos x  0 không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x . Ta có 2 2 2
3sin x  2sin x cos x  cos x  0  3tan x  2 tan x 1  0. TOANMATH.com Trang 25 t 1 Đặt t t  an . x Ta có 2 2
3tan x 2 tan x 1 0 3t 2t 1 0          1 .  t    3  
Với t  1, ta có tan x  1  tan x  tan  x   kk . 4 4 1 1 1 
Với t   , ta có tan x    x  arctan
kk . 3 3 3 Câu 19. 3 3 sin x  cos x Ta có 3 3
 cos 2x  sin x  cos x   2 2
cos x  sin x2cos x  sin x
2 cos x  sin x 3 3 3 2 2 3
 sin x  cos x  2cos x  2cos xsin x  sin x cos x  sin x 3 2 2
cos x 2sin x cos x sin x cos x 3 2 2
 cos x  2sin x cos x  sin x cos x  0     0 3 3 3 cos x cos x cos x
(Điều kiện cos x  0  x   k ). 2 2 2
 1 2 tan x  tan x  0  2 tan x  tan x 1  0.
Đặt tan x t, ta có 2 2
2 tan x  tan x 1  0  2t t 1  0. Câu 20.
Phương trình 2sin x  2cos x  1 3 có nghĩa x     D  .  2    Ta có x x     x x2 1 3 2sin 2cos 1 3 sin cos     2    3 3  2 2
 sin x  cos x  2sin x cos x  1  sin 2x   sin 2x  sin . 2 2 3
Dạng 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp 1- D 2- A 3- D 4- B 5- C 6- C 7- D 8- B 9- A 10- C 11- C 12- A 13- C 14- A 15- B 16- D 17- C 18- B 19- C 20- A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Phương trình 2 2
cos x  3sin x cos x  2sin x  1 có nghĩa . x
    D   
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x ta được 2 2 2 2
cos x  3sin x cos x  2sin x  1  1 3tan x  2 tan x  1 tan x   tan x  1
  x    k 2 tan x tan x 0      4 k . 
tan x  0  x kCâu 2. 1 
Phương trình 3 sin x  cos x
có nghĩa khi cos x  0  x   k ,  k  .  cos x 2
Chia cả 2 vế của phương trình cho cos x ta được TOANMATH.com Trang 26 1 2
3 sin x  cos x
 3 tan x 1  1 tan x cos x  
tan x  3  x   k 2 tan x 3 tan x 0      3 k . 
tan x  0  x kCâu 3. Phương trình 2 2
3cos 4x  5sin 4x  2  2 3 sin 4 .
x cos 4x có nghĩa x     D  .   k
Với cos 4x  0  x  
, k    phương trình vô nghiệm. 8 4
Với cos 4x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos 4x ta được 2 2 2 x x   x x   x   2 3cos 4 5sin 4 2 2 3 sin 4 .cos 4 3 5 tan 4
2 1 tan 4x  2 3 tan 4x 3    2
 3tan 4x  2 3 tan 4x 1  0  tan 4x  
 4x    k  x  
k k . 3 6 24 4 Câu 4. 1 3 Phương trình 2 2 sin x
sin 2x  3 cos x  0 có nghĩa x     D  .  2 1 3 Ta có 2 2 2 sin x
sin 2x  3 cos x  0  sin x  1 3 2
sin x cos x  3 cos x  0. 2 
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x ta được tan x  1  2 sin x  1 3 2 2
sin x cos x  3 cos x  0  tan x  1 3tan x  3  0   . tan x  3
Vậy giá trị nguyên của tan x là 1. Câu 5. Phương trình 2 2
2sin x  sin 2x  cos x  1 có nghĩa x     D  .  Ta có 2 2 2 2
2sin x  sin 2x  cos x  1  2sin x  2sin x cos x  cos x  1. 
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x ta được 2 2 2 2
2sin x  2sin x cos x  cos x  1  2 tan x  2 tan x 1  1 tan x
tan x  0  x k 2
 tan x  2 tan x  0  , k  .  
tan x  2  x  arctan 2  kCâu 6. Phương trình 2
sin x  2 3 sin x cos x 1  2 có nghĩa x     D  .  
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x ta được 2 2 2
sin x  2 3 sin x cos x 1  2   tan x  2 3 tan x  1 tan x TOANMATH.com Trang 27  1 3 1 3 tan x   x  arctan  k 2 2 2
 2 tan x  2 3 tan x 1  0   , k  .   1   3 1   3 tan x   x  arctan  k  2 2 Câu 7. Phương trình 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin .
x cos x  3 sin .
x cos x có nghĩa x     D  .  
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 3 cos x ta được 3 3 2 2 3 2
sin x  3 cos x  sin .
x cos x  3 sin .
x cos x  tan x  3  tan x  3 tan x tan x 1  3 2
 tan x  3 tan x  tan x  3  0  tan x  1  .   tan x   3 Câu 8. Phương trình 2 2
2sin x  5sin x cos x  cos x  2  có nghĩa x     D  .  Ta có 2 2 2 2
2sin x  5sin x cos x  cos x  2
  4sin x  5.2sin x cos x  2cos x  4  2 2  x x x    x   2 2 x x  2 2 5sin 2 2cos 4sin 4 0 5sin 2 3 cos sin
cos x  sin x  4  0
 5sin 2x  3cos 2x  5. Câu 9. x x Phương trình 2 2 sin  sin x  3cos  0 có nghĩa x     D  .  2 2 x x 1 cos x 3 1 cos x 2 2   Ta có sin  sin x  3cos  0   sin x
 0  sin x  cos x  2  0 2 2 2 3 1 1 2     sin x  cos x   sin x   2.   2 2 2  4 
Có 2  1 phương trình vô nghiệm. Câu 10.
Phương trình   m
3 x   m  
x  m   2 4 6 sin 3 2 1 sin 2 2 sin .
x cos x  4m  3cos x  0  1 có nghĩa x     D  .  Với m     3 2
1  8sin x  9sin x  5cos x  0.  3 2 sin x  Với 3 3 4 cos x  0  8
 sin x  9sin x  5cos x  0  8
 sin x  9sin x  0   (loại).  3 2 sin x    4 
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 3 cos x ta có 3 3  x x x    x x  2  x   2 8sin 9sin 5cos 0 8 tan 9 tan 1 tan 5 1 tan x  0  3 2
tan x  5 tan x  9 tan x  5  0  tan x  1  x   k ,  k  .  4 TOANMATH.com Trang 28
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Câu 11. Phương trình 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin .
x cos x  3 sin x cos x có nghĩa x     D  .  
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 3 cos x ta có 3 3 2 2 3 2
sin x  3 cos x  sin .
x cos x  3 sin x cos x  tan x  3  tan x  3 tan x  
tan x  1  x   k  4   3 2 tan x 3 tan x tan x 3 0       tan x  1
  x    k , k  .   4  
tan x   3  x    k  3    x   k
Kết hợp nghiệm ta được 4 2  k . 
x    k  3 Câu 12. Phương trình 2
2sin x  sin 2x 1  0 có nghĩa x     D  .  Ta có 2 2
2sin x  sin 2x 1  0  2sin x  2sin x cos x 1  0 
Với cos x  0  x   k ,
k   phương trình vô nghiệm. 2
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x ta có 2 2 2 2
2sin x  2sin x cos x 1  0  2 tan x  2 tan x 1 tan x  0  3tan x  2 tan x 1  0 (vô nghiệm). Câu 13. Phương trình 2 2
sin 2x  3 sin 4x  3cos 2x  0 có nghĩa x     D  .  Ta có 2 2 2 2
sin 2x  3 sin 4x  3cos 2x  0  sin 2x  2 3 sin 2x cos 2x  3cos 2x  0.  k
Với cos 2x  0  x  
, k    phương trình vô nghiệm. 4 2
Với cos 2x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos 2x ta có 2 2 2
sin 2x  2 3 sin 2x cos 2x  3cos 2x  0  tan 2x  2 3 tan 2x  3  0  k
 tan 2x   3  x    , k  .  6 2 Câu 14. Phương trình 2 2
sin 4x  3cos 4x  0 có nghĩa x     D  .   k
Với cos 4x  0  x  
, k    phương trình vô nghiệm. 8 4
Với cos 4x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos 4x ta có 2 2 2
sin 4x  3cos 4x  0  tan 4x  3  0 (Vô lí).
Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 15.
Phương trình sin 2x  2 tan x  3 có nghĩa cos x  0  x   k ,  k  .  2 TOANMATH.com Trang 29
Ta có sin 2x  2 tan x  3  2sin x cos x  2 tan x  3.
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x ta có x x x   x x  2 x     2 2sin cos 2 tan 3 2 tan 2 tan tan 1 3 tan x   1 3 2  x x x     x   2 2 tan 3 tan 4 tan 3 0 tan
1 2 tan x  tan x  3  0. Câu 16. x x Phương trình 2 2 3sin  3 sin x  cos  0 có nghĩa x     D  .  2 2 x x 1 cos x 1 cos x Ta có 2 2 3sin  3 sin x  cos  0  3  3 sin x   0 2 2 2 2 3 1   
 2 3 sin x  2cos x  4  0 
sin x  cos x  1   sin x   1    2 2  6    
x     k2  x    k2 ,  k  .  6 2 3 5
Vì x 0;2 nên x  với k  1. 3
Phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài. Câu 17. Phương trình 2
2 3 cos x  sin 2x  0 có nghĩa x     D  .  Ta có 2
2 3 cos x  sin 2x  0  3 1 cos 2x  sin 2x  0  sin 2x  3 cos 2x  3  0    
2x    k2  x   k 1 3 3   3    3 3 3  sin 2x  cos 2x   sin 2x    sin     , k  .  2 2 2  3  2 3  2  2x  
k2  x   k  3 3 2
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Câu 18.    Phương trình 3 sin x   2 sin x   có nghĩa x     D  .   4  3   
 sin x  cos x  Ta có 3 sin x   2 sin x   2 sin x   4      2  3 2 2 3
 sin x  3sin x cos x  3sin x cos x  cos x  4sin . x (1) 
Với cos x  0  x   k ,  k  . 2   sin x  2  3
1  sin x  4sin x  0   (loại).
sin x  0  x k
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 3 cos x ta có   3 2  x x x   x  2 1 tan 3tan 3 tan 1 4 tan 1 tan x 3 2
 3tan x  3tan x  tan x 1  0  tan x  1  . Vậy  2
2 tan x  tan x  3 tan x  6  . Câu 19. TOANMATH.com Trang 30   x   k 1 tan x cos x  0  Phương trình
 1 sin 2x có nghĩa 2     k . 1 tan x tan x  1  
x    k  4 sin x 1 1 tan x Ta có cos x 2 2 1 sin 2x
 sin x  2sin x cos x  cos x 1 tan x sin x 1 cos x cos x  sin x
 cos x  sin x2  cos x sin x  cos x  sin x3 . 3 cos x  sin x
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho 3
cos x  0 ta được  x    xx    x3 2 2 1 tan 1 tan tan 1 tan 3 2  x x x    2 tan tan 2 tan 0
tan x  tan x  2 tan x  0. * Do 2
tan x  tan x  2  0 vô nghiệm nên *  tan x  0  x kk .
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Câu 20. Phương trình
2 x   m   x
x  m   2 sin 2 2 sin .cos
1 cos x m  0  1 có nghĩa x     D  .  
Với cos x  0  x   k ,  k  .  2 Ta có  
1  1 m  0. Để phương trình có nghiệm thì m  1.
Với cos x  0. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 cos x ta có   2 
x   m  
x  m    m 2 
x     m 2 1 tan 2 2 tan 1 1 tan 0 1
tan x  2m  
1 tan x  2m   1  0.
Để phương trình có nghiệm thì m  2    m m   2 1 1 2
1  0  m m  2  0  2   m 1.
Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng 1- C 2- D 3- A 4- C 5- A 6- B 7- B 8- D 9- B 10- B 11- A 12- C 13- D 14- C 15- D 16- B 17- A 18- B 19- C 20- B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Phương trình  2 sin x  cos x  2sin x cos x 1  0  1 có nghĩa x     D  . 
Đặt t  sin x  cos x, t  2. 2 t 1
Ta có sin x cos x     2
1  t  2t  0. 2 Câu 2.
Phương trình 1 sin x1 cos x  2 có nghĩa x     D  . 
Ta có 1 sin x1 cos x  2  cos x  sin x  sin xcos x 1.
Đặt t  sin x  cos x, t  2. TOANMATH.com Trang 31 2 t 1 t 1
Ta có sin x cos x    2
1  t  2t  3  0  . 2  t  3 
Do t  2 nên t  1.       2
Với t  1, ta có t  sin x  cos x  2 cos x   1  cos x   .      4   4  2 Câu 3.
Phương trình sin x  cos x  2sin 2x 1  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có sin x  cos x  2sin 2x 1  0  sin x  cos x  4sin x cos x 1  0.   1
Đặt t  sin x  cos x, t  2. t  1  2 1 t
Ta có sin x cos x   1 t 2 2 1 t  2 1 0 2t t 3 0              3 . 2 t   2
Do t  2 nên t  1.        1  Với t  1,
 ta có t  sin x  cos x  2 sin x   1   sin x     sin      4   4  2 4   
x     k2  x k2  4 4   , k  .    3 x   
k2  x   k2  4 4 2 Câu 4.
Phương trình sin 2x  2sin x  cos x  2  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có sin 2x  2sin x  cos x  2  0  2sin x  cos x  2sin x cos x  2  0.   1 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x, t  2. Ta có sin xcos x  2
    t  2  t  2 1 2 1
 2  0  t  2t 1  0  t  1  .       1  Với 1
t   , ta có t  sin x  cos x  2 sin x   1   sin x     sin      4   4  2 4   
x     k2  x k2  4 4   , k  .    3 x   
k2  x   k2  4 4 2 3
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x  . 2 Câu 5.
Phương trình sin 2x  2cos x  sin x 1  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có sin 2x  2cos x  sin x 1  0  2sin x cos x  2sin x  cos x 1  0.   1 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x, t  2.Ta có sin xcos x  2    t  0 2 2
1  1 t  2t 1  0  t  2t  0  .  t  2  TOANMATH.com Trang 32
Do t  2 nên t  0.         Với 0
t  , ta có t  sin x  cos x  2 sin x   0  sin x
 0  x   k  x   k ,  k  .       4   4  4 4 Câu 6.  
cos x  0  x   k 
Phương trình 2 sin x  cos x  tan x  cot x có nghĩa   2  x k . 2
sin x  0  x k
Ta có 2 sin x  cos x  tan x  cot x     sin x cos x x x     x x 1 2 sin cos 2 sin cos  .   1 cos x sin x sin x cos x 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x, t  2. Ta có sin xcos x  2    2 3 1  2t
 2t  2t  2  0 t  1  t  2. 2   t 1 Câu 7.
Phương trình sin 2x  4sin x  cos x  5  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có sin 2x  4sin x  cos x  5  0  4sin x  cos x  2sin x cos x  5  0.   1 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x, t  2.Ta có sin xcos x  2    2 2
1  4t 1 t  5  0  t  4t  4  0  t  2 (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm hay không có nghiệm thỏa mãn 0  x  .  Câu 8.
Phương trình 3 sin x  cos x  3  có nghĩa x     D  .  2
Ta có     2   2 3 1 3  .
Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 9.
Phương trình sin 2x  sin x  cos x  1 có nghĩa x     D  . 
Ta có sin 2x  sin x  cos x  1  sin x  cos x  2sin x cos x 1  0.   1 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x, t  2.Ta có sin xcos x  2 t  1    2 2
1  t 1 t 1  0  t t  0  .  t  0       2 Với 1
t  , ta có t  sin x  cos x  2 sin x  1  sin x   .      4   4  2       Với 0
t  , ta có t  sin x  cos x  2 sin x   0  sin x   0.      4   4     2
Vậy giá trị lớn nhất của sin x   .    4  2 Câu 10.
Phương trình sin 2x  sin x  cos x 1  0 có nghĩa x     D  .  TOANMATH.com Trang 33
Ta có sin 2x  sin x  cos x 1  0  sin x  cos x  2sin x cos x 1  0.   1 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x, t  2.Ta có sin xcos x  2    t   1  t   1 2 1 t  2
1  0  t t  0  .  t  0       1  Với t  1,
 ta có t  sin x  cos x  2 sin x   1   sin x     sin      4   4  2 4   
x     k2  x k2  4 4   , k  .    3 x   
k2  x   k2  4 4 2        
Với t  0, ta có t  sin x  cos x  2 sin x   0  sin x
 0  x   k  x   k ,  k  .       4   4  4 4
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Câu 11.
Phương trình 4sin x  cos x  sin 2x  5  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có 4sin x  cos x  sin 2x  5  0  4sin x  cos x  2sin x cos x  5  0. (1) 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x, t  2.Ta có sin xcos x  2    2 2
1  4t 1 t  5  0  t  4t  4  0  t  2 (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 12. 1
Phương trình sin x  cos x  1 sin 2x có nghĩa x     D  .  2 1
Ta có sin x  cos x  1 sin 2x  sin x  cos x  sin x cos x 1  0.   1 2 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x, t  2. Ta có sin xcos x  2 2 t 1 t  1    2 1  t
1  0  t  2t  3  0  . 2  t  3 
Do t  2 nên t  1.       2 
Với t  1, ta có t  sin x  cos x  2 sin x   1  sin x    sin      4   4  2 4   
x    k2  x k2  4 4   , k  .   3 
x    k2  x   k2  4 4 2 3
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x   . 2 Câu 13.
Phương trình 2 2 sin x  cos x  sin 2x  3  0 có nghĩa x     D  .  TOANMATH.com Trang 34
Ta có 2 2 sin x  cos x  sin 2x  3  0  2 2 sin x  cos x  2sin x cos x  3  0.   1 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x, t  2. Ta có sin xcos x  2    
t   2t   2 1 2 2
1  3  0  t  2 2t  2  0  t  2.    1    
Với t  2, ta có t  sin x  cos x  2 sin x    sin x
 1  x   k2 ,  k       .  4  2  4  4 9 17 Do x  ;5   nên x  ; x  . 4 4
Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài. Câu 14. 2
Ta có 3 sin x  2  sin x
1 Phương trình vô nghiệm. 3 1 1
Ta có cos 4x   cos 4x  2  1 Phương trình vô nghiệm. 4 2 Ta có    2 1  4.1.5  19   0  Phương trình 2
cot x  cot x  5  0 vô nghiệm. Câu 15.
Phương trình 2 sin x  cos x  m  2  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có 2 sin x  cos x  m  2  0  m   2 sin x  cos x  2.
Có  2  sin x  cos x  2  2
  2 sin x  cos x  2  2
   2 sin x  cos x  2  0   2 sin x  cos x  2  4  0  m  4. Câu 16. Phương trình  x x 1 3 sin cos  sin 2x  3  có nghĩa x     D  .  2 1
Ta có 3sin x  cos x  sin 2x  3
  3sin x  cos x  sin xcos x  3  0.   1 2
Đặt t  sin x  cos x, t  2. 2 2 t 1 t 1 t  1 
Ta có sin x cos x     2 1  3t
 3  0  t  6t  5  0  . 2 2  t  5 
Do t  2 nên t  1.        2  Với t  1,
 ta có t  sin x  cos x  2 sin x   1   sin x     sin      4   4  2 4    
x     k2  x    k2  4 4 2   , k  .    x   
k2  x    k2  4 4 Câu 17.
Phương trình 2sin x  cos x  sin 2x 1  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có 2sin x  cos x  sin 2x 1  0  2sin x  cos x  2sin x cos x 1  0.   1
Đặt t  sin x  cos x, t  2. TOANMATH.com Trang 35 2 t 1 t  0
Ta có sin x cos x     2 2
1  2t t 11  0  t  2t  0  . 2  t  2 
Do t  2 nên t  0.      
Với t  0, ta có t  sin x  cos x  2 sin x   0  sin x   0      4   4   
x   k  x    k ,  k  .  4 4 3
Do x 0; nên x  . 4 Câu 18. 3 Phương trình 3 3
sin x  cos x 1  sin 2x có nghĩa x     D  .  2 3 Ta có 3 3
sin x  cos x 1  sin 2x  sin x  cos x 2 2
sin x  sin x cos x  cos x 1  3sin xcos x 2
 sin x  cos x1 sin x cos x 1  3sin x cos .x   1
Đặt t  sin x  cos x, t  2. 2 2 2 t 1  t 1 t 1
Ta có sin x cos x     3 2 1  t 1  1  3
t  3t t  5  0  t  1  . 2  2  2       2    2 Với t  1,
 ta có t  sin x  cos x  2 cos x   1   cos x     cos x    .        4   4  2  4  2 Câu 19.
Phương trình sin x cos x  sin x  cos x m  0  1 có nghĩa x     D  . 
Đặt t  sin x  cos x, t  2. 2 2 t 1 t 1
Ta có sin x cos x     1 
t m  0  2
m t  2t 1  t  2 2 1  2  m  2. 2 2 Do   t      t  
   t  2 2 2 2 1 1 2 1 0 1  3  2 2. 1 2 2
Để phương trình có nghiệm thì 0  2
m  2  3 2 2    m 1. 2
Vì m   nên m  1;  0;  1 . Câu 20.
Phương trình msin x  cos x  sin 2x  0 có nghĩa x     D  . 
Ta có msin x  cos x  sin 2x  0  msin x  cos x  2sin x cos x  0 . (1)
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2. 2 t 1
Ta có sin x cos x     2
1  t mt 1  0. 2 2
  m  4  0  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt t ;t . 1 2
Theo Vi-ét ta có t .t  1  . 1 2
Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn  2  t  2 .
Vậy phương trình luôn có nghiệm. TOANMATH.com Trang 36