















Preview text:
BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải. Kiến thức
+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình sin x = a
Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
Nếu a 1. Đặt a sin hoặc a sin , phương trình tương đương với
x k2 in s x sin k .
x k2
x k.360 in
s x sin k .
x 180 k.360
x arcsin a k2 in
s x a k .
x arcsin a k2 Tổng quát:
f x g x k s
f x in g x 2 in s k . f
x g x k2
Các trường hợp đặc biệt
sin x 1 x k2 k . 2 sin x 1
x k2 k . 2
sin x 0 x k k .
2. Phương trình cos x a
Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
Nếu a 1. Đặt a cos hoặc a cos , phương trình tương đương với
cos x cos x
k2 k .
cos x cos x k.360 k .
cos x a x arccos a k2 k . Tổng quát:
cos f x cos g x f x g x k2 k .
Các trường hợp đặc biệt Trang 1
cos x 1 x k2 k . cos x 1
x k2 k .
cos x 0 x k k . 2
3. Phương trình tan x a
Điều kiện cos x 0 .
tan x tan x k k .
tan x tan x k.180 k .
tan x a x arctan a k k . Tổng quát:
tan f x tan g x f x g x k k .
5. Phương trình cot x = a
Điều kiện sin x 0 .
cot x cot x k k .
cot x cot x k.180 k .
cot x a x arc cot a k k . Tổng quát:
cot f x cot g x f x g x k k . TOANMATH.com Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện: x
k , k . 2 Đặt a tan .
đặc biệt x k . không đặc biệt
x arctan a k . ta
Trường hợp 1: a 1. n
Trường hợp 1: a 1. x = a Phương trình vô nghiệm. Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: a 1 .
Trường hợp 2: a 1 . Đặt a sin . Phương sin x = a cos x a Đặt a cos . trình lượng đặc biệt đặc biệt giác cơ bản
x k2
x k2
x k2 x k2 k k cot không đặc biệt không đặc biệt x = a
x arcsin a k2
x arccos a k2
x arcsin a k2
x arccos a k2 k k .
Điều kiện x k , k . Đặt a cot .
đặc biệt x k . không đặc biệt
x arc cot a k .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình sin x = a Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 3
Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin 3x 3 . 1 4
Hướng dẫn giải 3 1 sin 3x sin 3x sin 4 2 4 3 2 3x k2 3x k2 x k 4 3 4 3 36 3 k . 5 2 3x k2 3x k2 x k 4 3 3 4 36 3 2 x k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 36 3 k . 5 2 x k 36 3 2 7
Ví dụ 2. Giải phương trình sin 3x sin x 0 . 2 3 5
Hướng dẫn giải 2 2 2 2 2 sin 3x sin x 0 sin 3x sin x 3 5 3 5 2 2 8 3x x k2 x k 3 5 15 k . 2 2 11 k 3x x k2 x 3 5 60 2 8 x k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 15 k . 11 k x 60 2
Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình 2 sin
3x 9x 16x 80 0. 4
Hướng dẫn giải Ta có 2 x x x 2 sin 3 9 16 80 0
3x 9x 16x 80 k 4 4 2 2
3x 9x 16x 80 4k 9x 16x 80 3x 4k 3 x 4k 3 x 4k 2 . 2 2 2 2k 10 9
x 16x 80 9x 24kx 16k x 3k 2 2k 10 18k 90 2 2 2 2 9k 4 98 98 Xét x 9x 23k 2 . 3k 2 3k 2 3k 2 3k 2 TOANMATH.com Trang 4 Vì * x nên *
9x 3k 2 Ư 98 1 ; 2; 7 ; 1 4; 4 9; 9 8 . * x Lại có
3k 2 0 3k 21;2;7;14;49; 98 k 1;3; 17 . 2 2k 10 0 k
Với k 1 thì x 12 (thỏa mãn 3x 4k ).
Với k 3 thì x 4 (thỏa mãn 3x 4k ).
Với k 17 thì x 12 (không thỏa mãn 3x 4k ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x 4;1 2 .
Bài tập tự luyện dạng 1 m
Câu 1: Cho phương trình x 2 sin
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có m 1 nghiệm? 1 1 A. m . B. m . 4 2 C. m .
D. Không tồn tại giá trị của m 1
Câu 2: Phương trình sin x có nghiệm thỏa mãn x là 2 2 2 5 A. x
k2 ,k . B. x . 6 6 C. x
k2 , k . D. x . 3 3 sin 2x
Câu 3: Số nghiệm của phương trình
0 trên đoạn 0;3 là 1 cos x
A. 8. B. 7. C. 4. D. 5. x
Câu 4: Cho phương trình 2
sin m 9 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vô 3 nghiệm? A. 3 m 3 . B. m 3 . C. m .
D. Không tồn tại giá trị của m . ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-D 4-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. m Phương trình x 2 sin có nghĩa x
D , 1 m . m 1 TOANMATH.com Trang 5 m 2 1 1 Ta có x m 1 1 sin 1 . m 2 1 2 m 1 m 1 m 2 2m 1 Giải 1 . Ta có 1 0 1 . m 1 m 1 m 2 m 2 3 Giải 2 . Ta có 1
0 m 1 0 m 1. m 1 m 1 1
Kết hợp nghiệm ta có m . 2 Câu 2. 1
Phương trình sin x có nghĩa x
D . 2 x k2 x k2 1 1 Do sin nên 6 6
sin x sin x sin k . 6 2 2 6 5 x k2 x k2 6 6 Vì
x nên x . 2 2 6 Câu 3. sin 2x Phương trình
0 có nghĩa 1 cos x 0 cos x 1 x k2 D \k2. 1 cos x sin 2x k Ta có
0 sin 2x 0 x k . 1 cos x 2
x 2k 1
Kết hợp với điều kiện ta có k . x k 2 3 5
Do x 0;3 x , x , x , x , x 3 . 2 2 2
Vậy phương trình có 5 nghiệm. Câu 4. x Phương trình 2
sin m 9 có nghĩa x
D . 3 x Ta có 2 2 1 sin 1 1
m 9 1 1 0 m 8 (vô lí). 3
Vậy phương trình vô nghiệm với m .
Dạng 2: Phương trình cos x = b TOANMATH.com Trang 6 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình 2 cos 2x 2 . 1 6
Hướng dẫn giải 2 1 cos 2x 6 2 cos 2x
cos 2x k2 k . 6 4 6 4 2x k2 2x k2 x k 6 4 12 24 k . 5 5 2x k2 2x k2 x k 6 4 12 24 x k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 24 k . 5 x k 24
Ví dụ 2. Giải phương trình cos 2x sin 5x 0 . 2 3
Hướng dẫn giải 2 cos 2x
sin 5x cos 2x cos 5x 3 3 2 k2 2x
5x k2 x 3 2 42 7 k . 5 2k 2x 5x k2 x 3 2 18 3 k2 x
Vậy nghiệm của phương trình là 42 7 k . 5 2k x 18 3 m
Ví dụ 3. Cho phương trình x 2 cos
, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. m 1
Hướng dẫn giải m Phương trình x 2 cos có nghĩa x
D , m 1. m 1 m 2 1 1 Ta có x m 1 1 cos 1 . m 2 1 2 m 1 TOANMATH.com Trang 7 m 1 m 2 2m 1 Giải 1 . Ta có 1 0 1 . m 1 m 1 m 2 m 2 3 Giải 2 . Ta có 1
0 m 1 0 m 1. m 1 m 1 1
Kết hợp nghiệm ta có m . 2 1
Vậy với m thì phương trình đã cho có nghiệm. 2
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2 cos x 2 0 có nghiệm là 3 x k2 x k2 A. 4
, k . B. 4 , k . 3 3 x k2 x k2 4 4 5 x k2 x k2 C. 4
, k . D. 4 , k . 5 x k2 x k2 4 4 x
Câu 2: Phương trình 2 cos 3 0 có nghiệm là 2 5 5 A. x
k2 ,k . B. x
k2 ,k . 3 6 5 5 C. x
k4 ,k . D. x
k4 ,k . 6 3
Câu 3: Phương trình cos3x cos có nghiệm là 15 k2 A. x
k2 ,k . B. x , k . 15 45 3 k2 k2 C. x
, k . D. x , k . 45 3 45 3 1
Câu 4: Phương trình 2
cos x có nghiệm là 2 A. x
k , k . B. x k , k . 4 2 2 C. x
k2 , k . D. x k2 , k . 2 2
Câu 5: Phương trình cos 2x cos x có cùng tập nghiệm với phương trình TOANMATH.com Trang 8 3x A. sin
0 . B. sin x 1. C. sin 4x 1. D. sin 2x 1. 2
Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2 cos x 1
với 0 x 2 là 3
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 5 1
Câu 7: Phương trình sin cos x
có bao nhiêu họ nghiệm? 3 2
A. 1 họ nghiệm. B. 4 họ nghiệm. C. 6 họ nghiệm. D. 2 họ nghiệm. ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Phương trình 2 cos x 2 0 có nghĩa x
D . 2
Ta có 2 cos x 2 0 cos x . 2 3 x k2 3 2 2 3 Do cos nên 4 cos x cos x cos k . 4 2 2 4 3 x k2 4 Câu 2. x
Phương trình 2cos 3 0 có nghĩa x
D . 2 x x 3
Ta có 2 cos 3 0 cos . 2 2 2 5 3 x 3 x 5 5 Do cos nên cos cos cos x
k4 k . 6 2 2 2 2 6 3 Câu 3.
Phương trình cos 3x cos12 có nghĩa x
D . Do cos12 cos
nên cos3x cos12 cos3x cos 15 15 k2 3x k2 x 15 45 3 k . k2 3x k2 x 15 45 3 Câu 4. 1 Phương trình 2
cos x có nghĩa x
D . 2 TOANMATH.com Trang 9 2 cos x 1 Ta có 2 2 cos x . 2 2 cos x 2 2 Xét cos x
cos x cos x k2 k . 2 4 4 2 3 3 Xét cos x cos x cos x
k2 k . 2 4 4 k
Kết hợp nghiệm ta được x k . 4 2 Câu 5.
Phương trình cos 2x cos x có nghĩa x
D .
2x x k2 x k2 k2
Ta có cos 2x cos x k2 x k .
2x x k2 x 3 3 3x 3x 2k sin 0
k x k ; 2 2 3
sin x 1 x
k2 k ; 2 k
sin 4x 1 4x
k2 x k ; 2 8 2
sin 2x 1 2x
k2 x k k . 2 4 3x Vậy phương trình sin
0 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2x cos x . 2 Câu 6.
Phương trình 2 cos x 1 có nghĩa x
D . 3 x k2 1 Ta có 12 2 cos x 1 cos x
x k2 . 3 3 2 3 4 7 x k2 12 23 17
Do 0 x 2 nên x ; x . 12 12
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0 x 2 . Câu 7. 5 1 Phương trình sin cos x có nghĩa x
D . 3 2 TOANMATH.com Trang 10 5 cos x k2 1 5 1 5 Vì sin nên 3 6 sin cos x sin cos x sin 6 2 3 2 3 6 5 5 cos x k2 3 6 1 cos x 1 6 10 cos x k 10 5 1 cos x
(vì 1 cos x 1). 1 6 2
cos x k 2 5 7 cos x 10 1 1 Ta có cos x
x arc cos
k2 k ; 10 10 1 1 cos x cos
x k2 k x 2k k ; 2 3 3 3 7 7 1 7 cos x
x arc cos
k2 k x arccos
2k k . 10 10 10
Vậy phương trình có 6 họ nghiệm.
Dạng 3: Phương trình tan x = m Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình 3tan 5x 3 . 1 4
Hướng dẫn giải k
Điều kiện cos 5x
0 5x k x , k . 4 4 2 20 5 3 1 tan 5x tan 5x tan 4 3 4 6
5x k 5x
k x
k ,k . 4 6 12 60 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
k ,k . 60 5
Ví dụ 2. Giải phương trình tan 2x cot x . 2 4
Hướng dẫn giải 3 k cos 2x 0
2x k x Điều kiện 4 4 2 8
2 k;l . sin x 0 x l x l k 2 tan 2x tan
x 2x x k x , k . 4 2 4 2 4 3 TOANMATH.com Trang 11 k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x ,(k ) . 4 3
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Nghiệm của phương trình tan x 15 1 với 90 x 270 là
A. x 210 . B. x 135 . C. x 60 . D. x 120 .
Câu 2: Phương trình 3 tan x 3 0 có nghiệm là A. x
k , k . B. x k2 , k . 3 3 C. x
k , k . D. x k , k . 6 3
Câu 3: Phương trình 2
tan x 3 có nghiệm là
A. x k , k . B. x k , k . 3 3 C. Vô nghiệm. D. x
k , k . 3
Câu 4: Nghiệm của phương trình tan x tan trong khoảng ; là 5 2 4 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 5 3
Câu 5: Phương trình tan sin 4x
có bao nhiêu họ nghiệm? 4 2
A. 2 họ nghiệm. B. 6 họ nghiệm. C. Vô nghiệm. D. 4 họ nghiệm.
Câu 6: Phương trình lượng giác 2 tan 2x 2 0 có nghiệm là 4
A. x k , k . B. x
k , k . 2 2 2
C. x k , k .
D. x k , k . 3 ĐÁP ÁN
1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Ta có tan 45 1 tan x 15 tan 45 x 15 45 k.180 x 30 k.180 k .
Với 90 x 270 90 30 k.180 270 k 1 x 210 . Câu 2.
Phương trình 3.tan x 3 0 có nghĩa cos x 0 x
k D \ k . 2 2 TOANMATH.com Trang 12
Ta có 3 tan x 3 0 tan x 3 tan x tan
x k k . 3 3 Câu 3. Phương trình 2
tan x 3 có nghĩa cos x 0 x
k D \ k . 2 2 tan x 3 Ta có 2 tan x 3 . tan x 3
Xét tan x 3 tan x tan
x k k . 3 3
Xét tan x 3 tan x tan x
k k . 3 3
Vậy x k k . 3 Câu 4.
Phương trình tan x tan có nghĩa cos x 0 x
k D \ k . 5 2 2
Ta có tan x tan tan x tan x
k k . 5 5 5 4 Do x ; nên x . 2 5 Câu 5. Ta có sin 4x cos sin 4x 0 , x . 4 4 4 4
Phương trình xác định với x
D . 3 3 4 3 tan sin 4x
sin 4x arc tan k sin 4x arc tan 4k . 4 2 4 2 2 4 3
Với k 0 thì arc tan 4k 1 sin 4x 1 (vô lí). 2 4 3
Với k 1 thì arc tan 4k 1 sin 4x 1 (vô lí). 2
Vậy đã cho phương trình vô nghiệm. Câu 6. Phương trình 2 tan 2x 2 0 có nghĩa 4 k k cos
2x 0 2x k x D \ k . 4 4 2 8 2 8 2 Ta có 2 tan
2x 2 0 tan
2x 1 2x k x k k . 4 4 4 4 2 TOANMATH.com Trang 13
Dạng 4: Phương trình cot x = n Ví dụ mẫu 1
Ví dụ 1. Giải phương trình cot 2x . 1 6 3
Hướng dẫn giải k
Điều kiện sin 2x
0 2x k x , k . 6 6 12 2 1 cot 2x
cot 2x k 6 3 6 3
2x k x k , k . 2 4 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
k , k . 4 2 4
Ví dụ 2. Giải phương trình tan x 2cot x 3 . 2 9 18 Hướng dẫn giải Điều kiện 4 4 cos x 0
x k x k 9 9 2 18 x
k , k;m . 18 sin x 0 x k x k 18 18 18 4 4 Ta có x x tan x cot x . 9 18 2 9 18 2 cot x 2cot x 3 3cot x 3 18 18 18 3 5 cot x
x k x k , k . 18 3 18 3 18 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
k ,k . 18
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phương trình 3cot x 3 0 có nghiệm là A. x
k , k . B. x k , k . 6 3 C. x
k2 , k . D. Vô nghiệm. 3 3
Câu 2: Cho phương trình 2 cot x m 4
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình 4 trên vô nghiệm?
A. m 2 .
B. 2 m 2 . TOANMATH.com Trang 14 C. m . D.
Không tồn tại giá trị của m .
Câu 3: Phương trình cot .
x cot 2x 1 0 có nghiệm là x k A. x
k , k . B. 6 , k . 4 5 x k 6 C. x
k , k . D. x
k , k . 6 2 3 ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Phương trình 3cot x 3 0 có nghĩa sin x 0 x k D \ k k . 3
Ta có 3cot x 3 0 cot x
cot x cot x k k . 3 3 3 Câu 2. 3
Tập giá trị y cot x nên với m
phương trình luôn có nghiệm. 4
Vậy không tồn tại giá trị m để phương trình vô nghiệm. Câu 3. si n x 0 x k k Phương trình cot .
x cot 2x 1 0 có nghĩa x . si n 2x 0 2x k 2 k
Tập xác định D \ x . 2 2 2 cos x cos 2x
cos x 1 2sin x 1 2sin x 1 Ta có cot .
x cot 2x 1 . 1 . 1 1 2 . 2 2 sin x sin 2x
sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin x 1 sin x sin x sin 1 1 2 2 6 cot .
x cot 2x 1 0
2 0 sin x . 2 2sin x 4 1 sin x sin x sin 2 6 x k2 Nếu 6 sin x sin . 6 5 x k2 6 x k2 Nếu 6 sin x sin . 6 7 x k2 6 TOANMATH.com Trang 15 x k Kết hợp nghiệm ta có 6 k . 5 x k 6 TOANMATH.com Trang 16