Trang 1
BÀI GING PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BN
Mc tiêu: Nm vng 4 phương trình lượng giác cơ bn và cách gii.
Kiến thc
+ Biết cách áp dng công thc nghim đối vi tng phương trình lượng giác cơ bn.
+ Vn dng để gii nhng trường hp m rng ca 4 phương trình lượng giác cơ bn.
I. LÍ THUYT TRNG TÂM
1. Phương trình
sin x=a
Nếu
1a : Phương trình vô nghim.
Nếu
1a
. Đặt
sina
hoc
sina

, phương trình tương đương vi
2
in
2
ssin
xk
x
x
k





k .
.360
in sin
180 .
s
360
xk
x
xk




k .
arcsin 2
in
arc
s
sin 2
xak
xa
x
ak




k .
Tng quát:
 
 
2
in s
2
sin
fx gx k
fx gx
f
xgxk




k .
Các trường hp đặc bit
sin 1 2
2
x
xk


k .
sin 1 2
2
x
xk
 
k .
sin 0
x
xk

k .
2. Phương trình
cos xa
Nếu 1a : Phương trình vô nghim.
Nếu 1a . Đặt cosa
hoc cosa
, phương trình tương đương vi
cos cos 2
x
xk


k .
cos cos .360xxk

k .
cos arccos 2
x
ax ak

k .
Tng quát:
cos cos 2
f
xgxfxgxk

k .
Các trường hp đặc bit
TOANMATH.co
m
Trang 2
cos 1 2
x
xk

k .
cos 1 2
x
xk

k
.
cos 0
2
x
xk

k
.
3. Phương trình
tan xa
Điu kin cos 0x .
tan tan
x
xk


k
.
tan tan .180xxk


k .
tan arctan
x
ax ak


k
.
Tng quát:
tan tan
f
xgxfxgxk


k
.
5. Phương trình cot x=a
Điu kin
sin 0x
.
cot cot
x
xk



k
.
cot cot .180xxk


k .
cot cot
x
axarcak


k .
Tng quát:
cot cot
f
xgxfxgxk

k
.
TOANMATH.co
m
Trang 3
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
II. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Phương trình
sin x=a
Ví d mu
Trường hp 1: 1a .
Phương trình vô nghim.
Trường hp 2:
1a
.
Đặt
sina
.
đặc bit
2
2
xk
x
k




k
không đặc bit
arcsin 2
arcsin 2
xak
x
ak


k
Điu kin:
2
x
k

,
k .
Đặt
tana
.
đặc bit
x
k

.
không đặc bit
arctan
x
ak
 .
Trường hp 1:
1a
.
Phương trình vô nghim.
Trường hp 2:
1a .
Đặt
cosa
.
đặc bit
2
2
xk
x
k


k
không đặc bit
arccos 2
arccos 2
xak
x
ak


k .
Điu kin
x
k
,
k
.
Đặt
cota
.
đặc bit
x
k
 .
không đặc bit
cot
x
arc a k

.
Phương
trình lượng
giác cơ bn
sin
x
=a
cos
x
a
tan x = a
cot x = a
TOANMATH.co
m
Trang 4
Ví d 1. Gii phương trình
2sin 3 3
4
x




.

1
Hướng dn gii

3
1 sin 3 sin 3 sin
42 4 3
xx

 

 
 
2
323 2
43 43 36 3
52
3232
43 34 363
xk x kxk
xkxkxk










 


k .
Vy phương trình đã cho có nghim là
2
36 3
52
36 3
xk
xk


k .
Ví d 2. Gii phương trình
27
sin 3 sin 0
35
xx





.
2
Hướng dn gii

22 2 2
2 sin 3 sin 0 sin 3 sin
35 3 5
xx x x

 

 
 
22
8
32
35
15
22
11
32
35
60 2
xxk
x
k
k
xxk
x











k
.
Vy phương trình đã cho có nghim là
8
15
11
60 2
x
k
k
x


k .
Ví d 3. Tìm s nghim nguyên dương ca phương trình
2
sin 3 9 16 80 0
4
xx x




.
Hướng dn gii
Ta có
22
sin 3 9 16 80 0 3 9 16 80
44
x
xx xxx k


 


22
3 9 16 80 4 9 16 80 3 4
x
xx k xx xk  
2
222
34
34
210
9 16 80 9 24 16
32
xk
xk
k
xx xkxk
x
k



.
Xét

2
22
29 4 98
210 1890 98
9232
32 32 32 32
k
kk
xx k
kkk k




.
TOANMATH.co
m
Trang 5
*
x
nên
*
932xk
Ư
98
1; 2; 7; 14; 49; 98 .
Li có

*
2
320
2100
x
k
kk


3 2 1;2;7;14; 49;98 1;3;17kk .
Vi
1k
thì
12x
(tha mãn
34
x
k
).
Vi 3k thì 4x (tha mãn 34
x
k ).
Vi
17k
thì
12x
(không tha mãn
34
x
k
).
Vy phương trình đã cho có hai nghim nguyên dương là
4;12x .
Bài tp t luyn dng 1
Câu 1:
Cho phương trình

2
sin
1
m
x
m

,
m
là tham s. Vi giá tr nào ca
m
thì phương trình có
nghim?
A.
1
4
m  .
B.
1
2
m  .
C.
m
. D. Không tn ti giá tr ca
m
Câu 2: Phương trình
1
sin
2
x có nghim tha mãn
22
x

A.
5
2,
6
xkk
 . B.
6
x
.
C. 2,
3
xkk
 . D.
3
x
.
Câu 3: S nghim ca phương trình
sin 2
0
1cos
x
x
trên đon

0; 3
A. 8. B. 7. C. 4. D. 5.
Câu 4: Cho phương trình
2
sin 9
3
x
m
,
m là tham s. Vi giá tr nào ca m thì phương trình vô
nghim?
A. 33m . B. 3m .
C.
m
. D. Không tn ti giá tr ca
m
.
ĐÁP ÁN
1-B 2-B 3-D 4-C
HƯỚNG DN GII CHI TIT
Câu 1.
Phương trình

2
sin
1
m
x
m

có nghĩa xD , 1m .
TOANMATH.co
m
Trang 6
Ta có

2
1
1
1sin 1
2
1
1
m
m
x
m
m



1
2
.
Gii
1
. Ta có
1
221
10
1
11
2
m
mm
mm
m



.
Gii
2 . Ta có
23
10101
11
m
mm
mm


.
Kết hp nghim ta
1
2
m 
.
Câu 2.
Phương trình
1
sin
2
x có nghĩa
xD .
Do
1
sin
62
nên
22
1
66
sin sin sin
5
26
22
66
xk xk
xx
x
kxk




 







k
.
22
x
 nên
6
x
.
Câu 3.
Phương trình
sin 2
0
1cos
x
x
có nghĩa
1 cos 0 cos 1 2 \ 2xxxkDk
 .
Ta có
sin 2
0sin20
1cos 2
x
k
xx
x
 
k .
Kết hp vi điu kin ta có
21
2
xk
xk


k .
Do

0; 3
2
xx
,
x
,
3
2
x
,
5
2
x
, 3x
.
Vy phương trình có 5 nghim.
Câu 4.
Phương trình
2
sin 9
3
x
m có nghĩa xD .
Ta có
22
1sin 1 1 91 10 8
3
x
mm  (vô lí).
Vy phương trình vô nghim vi
m .
Dng 2: Phương trình cos x=b
TOANMATH.co
m
Trang 7
Ví d mu
Ví d 1.
Gii phương trình 2cos 2 2
6
x




.
1
Hướng dn gii

2
1cos2
62
x





cos 2 cos 2 2
64 64
xxkk





.
22
22
64
12 24
55
2222
6 4 12 24
xk
xk x k
x
kxkxk















k .
Vy phương trình đã cho có nghim là
24
5
24
xk
x
k


k .
Ví d 2. Gii phương trình
cos 2 sin 5 0
3
xx




.
2
Hướng dn gii

2 cos 2 sin 5 cos 2 cos 5
332
x
xx x

 

 
 
2
252
32 42 7
52
252
32 183
k
xxkx
k
xxkx











k .
Vy nghim ca phương trình là
2
42 7
52
18 3
k
x
k
x


k .
Ví d 3. Cho phương trình

2
cos
1
m
x
m

,
m
là tham s. Tìm
m
để phương trình đã cho có nghim.
Hướng dn gii
Phương trình

2
cos
1
m
x
m

có nghĩa
xD , 1m .
Ta có

2
1
1
1cos 1
2
1
1
m
m
x
m
m



1
2
.
TOANMATH.co
m
Trang 8
Gii

1
. Ta có
1
221
10
1
11
2
m
mm
mm
m



.
Gii
2
. Ta có
23
10101
11
m
mm
mm


.
Kết hp nghim ta
1
2
m  .
Vy vi
1
2
m  thì phương trình đã cho có nghim.
Bài tp t luyn dng 2
Câu 1:
Phương trình 2cos 2 0x  có nghim là
A.
2
4
3
2
4
xk
x
k


,
k
. B.
3
2
4
3
2
4
xk
x
k


,
k
.
C.
5
2
4
5
2
4
xk
x
k


,
k . D.
2
4
2
4
xk
x
k


,
k .
Câu 2: Phương trình 2cos 3 0
2
x
 có nghim là
A.
5
2,
3
xkk
 . B.
5
2,
6
xkk
 .
C.
5
4,
6
xkk

. D.
5
4,
3
xkk

.
Câu 3: Phương trình cos 3 cos
15
x
có nghim là
A. 2,
15
xkk
 . B.
2
,
45 3
k
xk
 .
C.
2
,
45 3
k
xk
 . D.
2
,
45 3
k
xk
 .
Câu 4: Phương trình
2
1
cos
2
x có nghim là
A.
,
42
xkk

. B.
,
2
xkk

.
C. 2,
2
xkk
 . D. 2,
2
xkk
 .
Câu 5: Phương trình cos 2 cos
x
x có cùng tp nghim vi phương trình
TOANMATH.co
m
Trang 9
A.
3
sin 0
2
x
.
B.
sin 1
x
. C.
sin 4 1
x
. D.
sin 2 1
x
.
Câu 6: S nghim ca phương trình 2cos 1
3
x




vi
02x

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 7: Phương trình
51
sin cos
32
x



có bao nhiêu h nghim?
A. 1 h nghim. B. 4 h nghim. C. 6 h nghim. D. 2 h nghim.
ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C
HƯỚNG DN GII CHI TIT
Câu 1.
Phương trình
2cos 2 0x 
có nghĩa
xD 
.
Ta có
2
2cos 2 0 cos
2
xx
 .
Do
32
cos
42
nên
3
2
23
4
cos cos cos
3
24
2
4
xk
xx
x
k



k
.
Câu 2.
Phương trình
2cos 3 0
2
x

có nghĩa
xD .
Ta có
3
2cos 3 0 cos
222
xx
 .
Do
53
cos
62
nên
355
cos cos cos 4
22 2 6 3
xx
x
k


k .
Câu 3.
Phương trình cos 3 cos12x  có nghĩa xD .
Do
cos12 cos
15
 nên cos 3 cos12 cos3 cos
15
xx

2
32
15 45 3
2
32
15 45 3
k
xk x
k
xkx









 


k .
Câu 4.
Phương trình
2
1
cos
2
x có nghĩa
xD .
TOANMATH.co
m
Trang 10
Ta có
2
2
cos
1
2
cos
2
2
cos
2
x
x
x

.
Xét
2
cos cos cos 2
244
x
xxk


k
.
Xét
233
cos cos cos 2
244
x
xxk


k .
Kết hp nghim ta được
42
k
x

k .
Câu 5.
Phương trình cos 2 cos
x
x có nghĩa xD .
Ta có
22 2
2
cos 2 cos
2
3
22
3
xxk xk
k
xx x
k
xxk x




k .
33 2
sin 0
22 3
x
xk
kx

k
;
sin 1 2
2
x
xk

k ;
sin 4 1 4 2
282
k
xxkx


k ;
sin 2 1 2 2
24
x
xkxk

k .
Vy phương trình
3
sin 0
2
x
có cùng tp nghim vi phương trình
cos 2 cos
x
x .
Câu 6.
Phương trình 2cos 1
3
x




có nghĩa
xD .
Ta có
2
1
12
2 cos 1 cos 2
7
3334
2
2
12
xk
xxxk
x
k


 
 
 
 

.
Do
02x

nên
23
12
x
;
17
12
x
.
Vy phương trình có 2 nghim tha mãn
02x

.
Câu 7.
Phương trình
51
sin cos
32
x



có nghĩa
xD .
TOANMATH.co
m
Trang 11
1
sin
62
nên
5
cos 2
515
36
sincos sincos sin
55
323 6
cos 2
36
xk
xx
x
k





 

 
 

1
cos
16
10
cos
1
10 5
cos
16
2
cos
7
25
cos
10
x
xk
x
xk
x



(vì
1cos 1
x
 ).
Ta có
11
cos cos 2
10 10
x
xarc k


k
;
1
cos cos 2
23 3
x
xk

 
k
1
2
3
x
k
k ;
77
cos cos 2
10 10
x
xarc k



k
17
cos 2
10
x
arc k

k .
Vy phương trình có 6 h nghim.
Dng 3: Phương trình
tan x=m
Ví d mu
Ví d 1.
Gii phương trình 3tan 5 3
4
x




.
1
Hướng dn gii
Điu kin cos 5 0 5
442205
k
xxkx





,
k .

3
1tan5 tan5 tan
43 4 6
xx

 

 
 
55
4 6 12 60 5
x
kx kx k


 ,
k .
Vy phương trình đã cho có nghim là
60 5
x
k
 ,
k .
Ví d 2. Gii phương trình
tan 2 cot
4
x
x




.
2
Hướng dn gii
Điu kin
3
cos 2 0
2
4
82
42
sin 0
k
x
x
xk
xl
xl
x











;kl .

2 tan 2 tan 2
42 42 43
k
xxxxkx


 


,
k .
TOANMATH.co
m
Trang 12
Vy phương trình đã cho có nghim là
,( )
43

k
xk
.
Bài tp t luyn dng 3
Câu 1:
Nghim ca phương trình
tan 15 1x 
vi
90 270x
A.
210x 
. B.
135x 
. C.
60x 
. D.
120x 
.
Câu 2: Phương trình
3tan 3 0x 
có nghim là
A.
3
x
k

,
k
. B.
2
3
x
k

,
k
.
C.
6
x
k

, k . D.
3
x
k

, k .
Câu 3: Phương trình
2
tan 3x nghim là
A.
3
x
k

,
k
. B.
3
x
k

,
k
.
C. Vô nghim. D.
3
x
k
 , k .
Câu 4: Nghim ca phương trình tan tan
5
x
 trong khong ;
2



A.
4
5
. B.
2
3
. C.
3
5
. D.
2
5
.
Câu 5: Phương trình
3
tan sin 4
42
x



có bao nhiêu h nghim?
A. 2 h nghim. B. 6 h nghim. C. Vô nghim. D. 4 h nghim.
Câu 6: Phương trình lượng giác 2tan 2 2 0
4
x




có nghim là
A.
2
x
k
, k . B.
22
x
k
 , k .
C.
x
k
, k . D.
3
x
k

, k .
ĐÁP ÁN
1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A
HƯỚNG DN GII CHI TIT
Câu 1.
Ta có
tan 45 1 tan 15 tan 45 15 45 .180 30 .180xxkxk   
k .
Vi
90 270 90 30 .180 270 1 210xkkx .
Câu 2.
Phương trình 3.tan 3 0x  có nghĩa
cos 0 \
22
x
xkD k





.
TOANMATH.co
m
Trang 13
Ta có
3 tan 3 0 tan 3 tan tan
33
x
xxxk

k
.
Câu 3.
Phương trình
2
tan 3x nghĩa cos 0 \
22
x
xkD k





.
Ta có
2
tan 3
tan 3
tan 3
x
x
x


.
Xét
tan 3 tan tan
33
x
xxk

k .
Xét
tan 3 tan tan
33
x
xxk


k .
Vy
3
x
k

k .
Câu 4.
Phương trình
tan tan
5
x
 có nghĩa cos 0 \
22
x
xkD k





.
Ta có
tan tan tan tan
555
x
xxk



k
.
Do
;
2
x



nên
4
5
x
.
Câu 5.
Ta có sin 4 cos sin 4 0
44 4 4
xx





,
x .
Phương trình xác định vi
xD .
3343
tan sin 4 sin 4 tan sin 4 tan 4
424 2 2
x
xarc k x arc k





.
Vi
0k thì
43
tan 4 1 sin 4 1
2
arc k x
 (vô lí).
Vi
1k  thì
43
tan 4 1 sin 4 1
2
arc k x
 (vô lí).
Vy đã cho phương trình vô nghim.
Câu 6.
Phương trình
2tan 2 2 0
4
x




có nghĩa
cos 2 0 2 \
44282 82
kk
xxkx D







k .
Ta có
2 tan 2 2 0 tan 2 1 2
44442
x
xxkxk

 

 
 
k .
TOANMATH.co
m
Trang 14
Dng 4: Phương trình
cot x=n
Ví d mu
Ví d 1.
Gii phương trình
1
cot 2
6
3
x




.

1
Hướng dn gii
Điu kin
sin 2 0 2
66122
k
xxkx





,
k .

1cot2 cot 2
63 63
x
xk





2
242
x
kx k


,
k .
Vy phương trình đã cho có nghim là
42
x
k

,
k
.
Ví d 2. Gii phương trình
4
tan 2cot 3
918
xx





.
2
Hướng dn gii
Điu kin
4
4
cos 0
9
92 18
18
sin 0
18 18
18
x
xkx k
x
k
xk x k
x





















,
;km .
Ta có
44
tan cot
9182 9 18
x
xxx

 

 
 
.

2 cot 2cot 3 3cot 3
18 18 18
xx x

  

  
  
35
cot
18 3 18 3 18
x
xkx k





,
k
.
Vy phương trình đã cho có nghim là
5
18
x
k
 ,
k .
Bài tp t luyn dng 4
Câu 1:
Phương trình 3cot 3 0x  nghim là
A.
6
x
k

, k . B.
3
x
k

, k .
C. 2
3
x
k
 ,
k
. D. Vô nghim.
Câu 2: Cho phương trình
2
3
cot 4
4
xm




,
m là tham s. Vi giá tr nào ca m thì phương trình
trên vô nghim?
A. 2m  . B. 22m .
TOANMATH.co
m
Trang 15
C.
m
. D. Không tn ti giá tr ca
m
.
Câu 3: Phương trình cot .cot 2 1 0xx nghim là
A.
4
x
k

,
k
. B.
6
5
6
x
k
x
k


,
k
.
C.
6
x
k
 ,
k
. D.
23
x
k
 ,
k
.
ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B
HƯỚNG DN GII CHI TIT
Câu 1.
Phương trình 3cot 3 0x  có nghĩa
sin 0 \
x
xk D k

k .
Ta có
3
3cot 3 0 cot cot cot
333
x
xxxk


k
.
Câu 2.
Tp giá tr
3
cot
4
yx




nên vi m phương trình luôn có nghim.
Vy không tn ti giá tr
m để phương trình vô nghim.
Câu 3.
Phương trình
cot .cot 2 1 0xx có nghĩa
sin 0
sin 2 0 2
2
xxk
k
x
xxk






.
Tp xác định
\
2
k
Dx




.
Ta có
22
22
cos cos 2 cos 1 2sin 1 2sin 1
cot .cot 2 1 . 1 . 1 1 2
sin sin 2 sin 2sin cos 2sin 2sin
xx x x x
xx
xxxxxxx

   
.
2
2
1
sin sin
sin
11
6
2
cot .cot 2 1 0 2 0 sin
1
2sin 4
sin sin sin
26
x
x
xx x
x
xx



.
Nếu
2
6
sin sin
5
6
2
6
xk
x
x
k



.
Nếu
2
6
sin sin
7
6
2
6
x
k
x
x
k



.
TOANMATH.co
m
Trang 16
Kết hp nghim ta
6
5
6
x
k
x
k


k .

Preview text:

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải. Kiến thức
+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình sin x = a
 Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a  1. Đặt a  sin hoặc a  sin  , phương trình tương đương với
x    k2 in s x  sin   k  .
x     k2
x     k.360 in
s x  sin     k  .
x  180     k.360
x  arcsin a k2 in
s x a   k  .
x    arcsin a k2 Tổng quát:
f x  g x  k  s
f x  in g x 2 in s   k  .  f
  x    g x  k2
Các trường hợp đặc biệt
 sin x 1  x   k2 k  . 2   sin x  1
  x    k2 k  . 2
 sin x  0  x k k  .
2. Phương trình cos x a
 Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a 1. Đặt a  cos hoặc a  cos , phương trình tương đương với
cos x  cos  x  
  k2 k  .
cos x  cos    x     k.360 k  .
cos x a x   arccos a k2 k  . Tổng quát:
cos f x  cos g x  f x  g x  k2 k  .
Các trường hợp đặc biệt Trang 1
 cos x 1  x k2 k  .  cos x  1
  x    k2 k  .
 cos x  0  x   k k  . 2
3. Phương trình tan x a
Điều kiện cos x  0 .
 tan x  tan  x    k k  .
 tan x  tan   x     k.180 k  .
 tan x a x  arctan a k k  . Tổng quát:
tan f x  tan g x  f x  g x  k k  .
5. Phương trình cot x = a
Điều kiện sin x  0 .
 cot x  cot  x    k k  .
 cot x  cot   x     k.180 k  .
 cot x a x arc cot a k k  . Tổng quát:
cot f x  cot g x  f x  g x  k k  . TOANMATH.com Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA  Điều kiện: x
k , k  . 2 Đặt a  tan .
 đặc biệt  x    k .  không đặc biệt
x  arctan a k . ta
Trường hợp 1: a  1. n
Trường hợp 1: a  1. x = a Phương trình vô nghiệm. Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: a  1 .
Trường hợp 2: a  1 . Đặt a  sin . Phương sin x = a cos x a Đặt a  cos .  trình lượng đặc biệt  đặc biệt giác cơ bản
x    k2
x    k2    
x     k2 x     k2 k  k  cot  không đặc biệt  không đặc biệt x = a
x  arcsin a k2
x  arccos a k2    
x    arcsin a k2
x  arccos a k2 k  k  .
Điều kiện x k , k   . Đặt a  cot .
 đặc biệt  x    k .  không đặc biệt
x arc cot a k .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình sin x = a Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 3   
Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin 3x   3   .   1  4 
Hướng dẫn giải      3     1  sin 3x    sin 3x   sin      4  2  4  3         2 3x    k2 3x     k2 x   k  4 3  4 3  36 3       k  .     5 2 3xk2 3x k2          x   k  4 3  3 4  36 3   2 x   k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 36 3  k  . 5 2 x   k  36 3  2   7 
Ví dụ 2. Giải phương trình sin 3x   sin x   0     . 2  3   5 
Hướng dẫn giải    2   2   2   2  2  sin 3x   sin x   0  sin 3x   sin x           3   5   3   5   2 2  8 3x   x   k2 x    k  3 5  15     k  .  2  2  11 k 3xx k2          x    3  5    60 2  8 x    k 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 15  k  . 11 k x    60 2  
Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình   2 sin
3x  9x 16x  80   0. 4   
Hướng dẫn giải    Ta có   2 x x x       2 sin 3 9 16 80 0
3x  9x 16x  80   k  4  4 2 2
 3x  9x 16x  80  4k  9x 16x  80  3x  4k 3  x  4k 3  x  4k  2      . 2 2 2 2k 10 9
x 16x 80  9x  24kx 16k x   3k  2 2k 10 18k  90  2 2 2 2 9k  4  98 98 Xét x   9x    23k  2  . 3k  2 3k  2 3k  2 3k  2 TOANMATH.com Trang 4 Vì * x   nên *
9x    3k  2 Ư 98   1  ; 2;  7  ; 1  4; 4  9; 9   8 . * x Lại có 
 3k  2  0  3k  21;2;7;14;49;  98  k 1;3;  17 . 2 2k 10  0  k 
 Với k 1 thì x  12 (thỏa mãn 3x  4k ).
 Với k  3 thì x  4 (thỏa mãn 3x  4k ).
 Với k  17 thì x  12 (không thỏa mãn 3x  4k ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x 4;1  2 .
Bài tập tự luyện dạng 1 m
Câu 1: Cho phương trình x   2 sin 
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có m 1 nghiệm? 1 1 A. m   . B. m   . 4 2 C. m    .
D. Không tồn tại giá trị của m 1   
Câu 2: Phương trình sin x  có nghiệm thỏa mãn  x  là 2 2 2 5  A. x
k2 ,k  . B. x  . 6 6   C. x
k2 , k  . D. x  . 3 3 sin 2x
Câu 3: Số nghiệm của phương trình
 0 trên đoạn 0;3  là 1 cos x
A. 8. B. 7. C. 4. D. 5. x
Câu 4: Cho phương trình 2
sin  m  9 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vô 3 nghiệm? A. 3   m  3 . B. m  3 . C. m    .
D. Không tồn tại giá trị của m . ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-D 4-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. m  Phương trình x   2 sin  có nghĩa x
    D   , 1 m  . m 1 TOANMATH.com Trang 5 m  2 1     1   Ta có   x   m 1 1 sin 1   . m  2   1  2  m 1 m 1 m  2 2m 1 Giải   1 . Ta có 1 0       1  . m 1 m 1 m   2 m  2 3 Giải 2 . Ta có 1 
 0  m 1 0  m 1. m 1 m 1 1
Kết hợp nghiệm ta có m   . 2 Câu 2. 1
Phương trình sin x  có nghĩa x
    D   . 2            x k2 x k2 1 1    Do sin  nên 6 6
sin x   sin x  sin     k  . 6 2 2 6  5 x k2     x   k2  6  6    Vì 
x  nên x  . 2 2 6 Câu 3. sin 2x Phương trình
 0 có nghĩa  1 cos x  0  cos x  1  x k2  D   \k2. 1 cos x sin 2x k Ta có
 0  sin 2x  0  x  k  . 1 cos x 2
x  2k   1 
Kết hợp với điều kiện ta có   k   . x   k  2  3 5
Do x 0;3   x  , x   , x  , x  , x  3 . 2 2 2
Vậy phương trình có 5 nghiệm. Câu 4. x Phương trình 2
sin  m  9 có nghĩa x
    D   . 3 x Ta có 2 2 1   sin  1  1
  m  9 1  1  0  m  8  (vô lí). 3
Vậy phương trình vô nghiệm với m    .
Dạng 2: Phương trình cos x = b TOANMATH.com Trang 6 Ví dụ mẫu   
Ví dụ 1. Giải phương trình 2 cos 2x   2   .  1  6 
Hướng dẫn giải      2 1  cos 2x      6  2        cos 2x
 cos  2x     k2 k     .  6  4 6 4        2x    k2 2x   k2 x   k  6 4  12  24       k  .   5   5   2x k2 2x k2        x   k  6 4  12  24   x   k 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 24  k  . 5   x   k  24   
Ví dụ 2. Giải phương trình cos 2x   sin 5x  0   . 2  3 
Hướng dẫn giải           2  cos 2x
 sin 5x  cos 2x   cos  5x        3   3   2       k2 2x
  5x k2 x    3 2  42 7     k  .   5 2k 2x 5x k2       x    3 2  18 3   k2 x   
Vậy nghiệm của phương trình là 42 7  k  . 5 2k x    18 3 m
Ví dụ 3. Cho phương trình x   2 cos 
, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. m 1
Hướng dẫn giải m  Phương trình x   2 cos  có nghĩa x
    D   , m  1. m 1  m  2 1    1   Ta có   x   m 1 1 cos  1   . m  2   1  2  m 1 TOANMATH.com Trang 7 m 1 m  2 2m 1 Giải   1 . Ta có 1 0       1  . m 1 m 1 m   2 m  2 3 Giải 2 . Ta có 1 
 0  m 1 0  m 1. m 1 m 1 1
Kết hợp nghiệm ta có m   . 2 1
Vậy với m   thì phương trình đã cho có nghiệm. 2
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2 cos x  2  0 có nghiệm là    3 x   k2  x   k2  A. 4 
, k   . B. 4  , k   . 3  3   x   k2      x k2  4  4  5   x   k2  x   k2  C. 4 
, k   . D. 4  , k   . 5      x   k2      x k2  4  4 x
Câu 2: Phương trình 2 cos  3  0 có nghiệm là 2 5 5 A. x  
k2 ,k  . B. x  
k2 ,k  . 3 6 5 5 C. x  
k4 ,k  . D. x  
k4 ,k  . 6 3 
Câu 3: Phương trình cos3x  cos có nghiệm là 15   k2 A. x  
k2 ,k  . B. x    , k  . 15 45 3  k2  k2 C. x   
, k   . D. x   , k   . 45 3 45 3 1
Câu 4: Phương trình 2
cos x  có nghiệm là 2    A. x
k , k  . B. x    k , k  . 4 2 2   C. x
k2 , k  . D. x    k2 , k  . 2 2
Câu 5: Phương trình cos 2x  cos x có cùng tập nghiệm với phương trình TOANMATH.com Trang 8 3x A. sin
 0 . B. sin x 1. C. sin 4x 1. D. sin 2x 1. 2   
Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2 cos x  1  
với 0  x  2 là  3 
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.  5  1
Câu 7: Phương trình sin cos x   
có bao nhiêu họ nghiệm?  3  2
A. 1 họ nghiệm. B. 4 họ nghiệm. C. 6 họ nghiệm. D. 2 họ nghiệm. ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Phương trình 2 cos x  2  0 có nghĩa x
    D   .  2
Ta có 2 cos x  2  0  cos x  . 2  3 x   k2 3  2  2 3  Do cos  nên 4 cos x   cos x  cos   k  . 4 2 2 4 3   x   k2  4 Câu 2. x
Phương trình 2cos  3  0 có nghĩa x
    D   . 2 x x  3
Ta có 2 cos  3  0  cos  . 2 2 2 5  3 x  3 x 5 5 Do cos  nên cos   cos  cos  x  
k4 k  . 6 2 2 2 2 6 3 Câu 3.
Phương trình cos 3x  cos12 có nghĩa x
    D   .   Do cos12  cos
nên cos3x  cos12  cos3x  cos 15 15     k2 3x   k2 x    15  45 3     k  .     k2 3x k2    x    15  45 3 Câu 4. 1 Phương trình 2
cos x  có nghĩa x
    D   . 2 TOANMATH.com Trang 9  2 cos x  1 Ta có 2 2 cos x    . 2   2 cos x   2 2   Xét cos x
 cos x  cos  x    k2 k  . 2 4 4  2 3 3 Xét cos x   cos x  cos  x  
k2 k  . 2 4 4  k
Kết hợp nghiệm ta được x   k  . 4 2 Câu 5.
Phương trình cos 2x  cos x có nghĩa x
    D   .
2x x k2  x k2 k2
Ta có cos 2x cos x    k2  x  k   .
2x  x k2  x  3  3 3x 3x 2k sin  0 
k  x  k  ; 2 2 3 
sin x  1  x
k2 k  ; 2   k
sin 4x  1  4x
k2  x   k  ; 2 8 2  
sin 2x  1  2x
k2  x   k k  . 2 4 3x Vậy phương trình sin
 0 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2x  cos x . 2 Câu 6.   
Phương trình 2 cos x  1   có nghĩa x
    D   .  3    x    k2   1        Ta có 12 2 cos x   1  cos x  
x     k2       .  3   3  2 3 4 7 x    k2  12 23 17
Do 0  x  2 nên x  ; x  . 12 12
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0  x  2 . Câu 7.  5  1 Phương trình sin cos x    có nghĩa x
    D   .  3  2 TOANMATH.com Trang 10 5       cos x k2 1 5 1 5       Vì sin  nên 3 6 sin cos x   sin cos x  sin       6 2  3  2  3  6 5 5  cos x   k2  3 6  1 cos x  1 6   10 cos x   k   10 5 1     cos x
(vì 1  cos x  1). 1 6  2
cos x   k   2 5 7  cos x   10 1 1 Ta có cos x
  x  arc cos
k2 k  ; 10 10 1   1 cos x   cos
  x    k2 k   x    2k k  ; 2 3 3 3 7  7  1 7  cos x
  x  arc cos
k2 k   x   arccos
 2k k  . 10 10  10
Vậy phương trình có 6 họ nghiệm.
Dạng 3: Phương trình tan x = m Ví dụ mẫu   
Ví dụ 1. Giải phương trình 3tan 5x   3   .   1  4 
Hướng dẫn giải       k
Điều kiện cos 5x
 0  5x    k  x     , k  .  4  4 2 20 5      3     1  tan 5x    tan 5x   tan      4  3  4  6     
 5x    k  5x  
k  x  
k ,k  . 4 6 12 60 5  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  
k ,k  . 60 5   
Ví dụ 2. Giải phương trình tan 2x   cot x   . 2  4 
Hướng dẫn giải         3 k cos 2x   0  
2x    k x   Điều kiện   4    4 2   8
2 k;l   . sin x  0 x l x l           k 2  tan 2x   tan
x  2x    x k  x       , k  .  4   2  4 2 4 3 TOANMATH.com Trang 11 k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   ,(k  ) . 4 3
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Nghiệm của phương trình tan  x 15 1 với 90  x  270 là
A. x  210 . B. x  135 . C. x  60 . D. x  120 .
Câu 2: Phương trình 3 tan x  3  0 có nghiệm là   A. x
k , k  . B. x    k2 , k  . 3 3   C. x
k , k  . D. x    k , k  . 6 3
Câu 3: Phương trình 2
tan x  3 có nghiệm là  
A. x    k , k   . B. x    k , k   . 3 3  C. Vô nghiệm. D. x
k , k  . 3    
Câu 4: Nghiệm của phương trình tan x   tan trong khoảng ;   là 5  2  4 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 5    3
Câu 5: Phương trình tan sin 4x   
có bao nhiêu họ nghiệm?  4  2
A. 2 họ nghiệm. B. 6 họ nghiệm. C. Vô nghiệm. D. 4 họ nghiệm.   
Câu 6: Phương trình lượng giác 2 tan  2x  2  0   có nghiệm là  4    
A. x k , k   . B. x
k , k  . 2 2 2 
C. x k , k   .
D. x    k , k   . 3 ĐÁP ÁN
1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.

Ta có tan 45  1  tan  x 15  tan 45  x 15  45  k.180  x  30  k.180 k  .
Với 90  x  270  90  30  k.180  270  k  1 x  210 . Câu 2.   
Phương trình 3.tan x  3  0 có nghĩa  cos x  0  x
k  D   \   k . 2  2  TOANMATH.com Trang 12   
Ta có 3 tan x  3  0  tan x   3  tan x  tan
x    k k  . 3 3 Câu 3.    Phương trình 2
tan x  3 có nghĩa  cos x  0  x
k  D   \   k . 2  2  tan x  3 Ta có 2 tan x  3   . tan x   3  
Xét tan x  3  tan x  tan
x   k k  . 3 3    
Xét tan x   3  tan x  tan  x
k k  . 3 3 
Vậy x    k k  . 3 Câu 4.    
Phương trình tan x   tan có nghĩa  cos x  0  x
k  D   \   k . 5 2  2      
Ta có tan x   tan  tan x  tan  x
k k  . 5 5 5    4 Do x  ;   nên x  .  2  5 Câu 5.        Ta có  sin 4x   cos sin 4x  0   , x    . 4 4 4  4 
Phương trình xác định với x
    D   .    3  3 4 3 tan sin 4x  
sin 4x arc tan  k  sin 4x arc tan  4k   .  4  2 4 2  2 4 3
Với k  0 thì arc tan  4k  1 sin 4x  1 (vô lí).  2 4 3
Với k  1 thì arc tan  4k  1   sin 4x  1  (vô lí).  2
Vậy đã cho phương trình vô nghiệm. Câu 6.    Phương trình 2 tan  2x  2  0   có nghĩa  4        k   k   cos
 2x  0   2x   k    x    D   \      k  .  4  4 2 8 2  8 2           Ta có 2 tan
 2x  2  0  tan
 2x 1   2x   k  x k     k  .  4   4  4 4 2 TOANMATH.com Trang 13
Dạng 4: Phương trình cot x = n Ví dụ mẫu    1
Ví dụ 1. Giải phương trình cot 2x     .   1  6  3
Hướng dẫn giải      k
Điều kiện sin 2x
 0  2x   k  x     , k  .  6  6 12 2         1  cot 2x
 cot  2x    k    6  3 6 3   
 2x   k  x   k , k  . 2 4 2  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
k , k  . 4 2  4    
Ví dụ 2. Giải phương trình tan  x  2cot  x  3     . 2  9  18  Hướng dẫn giải Điều kiện   4  4 cos  x  0       
x   kx   k 9         9 2 18       x
k , k;m .       18 sin  x  0  x k    x   k    18  18   18  4       4     Ta có  x   x   tan  x  cot  x         .  9  18  2  9  18            2  cot  x  2cot  x  3  3cot  x  3       18  18  18     3   5  cot  x  
x   k  x    k   , k  . 18  3 18 3 18 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  
k ,k  . 18
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phương trình 3cot x  3  0 có nghiệm là   A. x
k , k  . B. x   k , k  . 6 3  C. x
k2 , k  . D. Vô nghiệm. 3  3 
Câu 2: Cho phương trình 2 cot x   m  4  
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình  4  trên vô nghiệm?
A. m  2 .
B. 2  m  2 . TOANMATH.com Trang 14 C. m    . D.
Không tồn tại giá trị của m .
Câu 3: Phương trình cot .
x cot 2x 1  0 có nghiệm là       x k A. x
k , k  . B. 6  , k   . 4 5 x   k  6    C. x
k , k  . D. x
k , k  . 6 2 3 ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.

Phương trình 3cot x  3  0 có nghĩa sin x  0  x k  D   \ k k  . 3  
Ta có 3cot x  3  0  cot x
 cot x  cot  x   k k  . 3 3 3 Câu 2.  3 
Tập giá trị y  cot x      nên với m
   phương trình luôn có nghiệm.  4 
Vậy không tồn tại giá trị m để phương trình vô nghiệm. Câu 3. si  n x  0 x kk Phương trình cot .
x cot 2x 1  0 có nghĩa      x  . si  n 2x  0 2x k 2  k 
Tập xác định D   \ x  .  2  2 2 cos x cos 2x
cos x 1 2sin x 1 2sin x 1 Ta có cot .
x cot 2x 1  . 1  . 1  1   2 . 2 2 sin x sin 2x
sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin x  1   sin x  sin x  sin 1 1   2 2 6 cot .
x cot 2x 1  0 
 2  0  sin x      . 2 2sin x 4 1    sin x   sin x  sin  2  6   x   k2   Nếu 6 sin x  sin   . 6 5 x   k2  6    x   k2    Nếu 6 sin x  sin   . 6 7 x   k2  6 TOANMATH.com Trang 15   x   k  Kết hợp nghiệm ta có 6  k  . 5 x   k  6 TOANMATH.com Trang 16