Bài giảng phương trình lượng giác cơ bản

Tài liệu gồm 16 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề phương trình lượng giác cơ bản, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số 

28 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

16 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
Kiến thức
+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình
sin x=a
Nếu
1a : Phương trình vô nghiệm.
Nếu
1a
. Đặt
sina
hoặc
sina

, phương trình tương đương với
2
in
2
ssin
xk
x
x
k





k .
.360
in sin
180 .
s
360
xk
x
xk




k .
arcsin 2
in
arc
s
sin 2
xak
xa
x
ak




k .
Tổng quát:
 
 
2
in s
2
sin
fx gx k
fx gx
f
xgxk




k .
Các trường hợp đặc biệt
sin 1 2
2
x
xk


k .
sin 1 2
2
x
xk
 
k .
sin 0
x
xk

k .
2. Phương trình
cos xa
Nếu 1a : Phương trình vô nghiệm.
Nếu 1a . Đặt cosa
hoặc cosa
, phương trình tương đương với
cos cos 2
x
xk


k .
cos cos .360xxk

k .
cos arccos 2
x
ax ak

k .
Tổng quát:
cos cos 2
f
xgxfxgxk

k .
Các trường hợp đặc biệt
TOANMATH.co
m
Trang 2
cos 1 2
x
xk

k .
cos 1 2
x
xk

k
.
cos 0
2
x
xk

k
.
3. Phương trình
tan xa
Điều kiện cos 0x .
tan tan
x
xk


k
.
tan tan .180xxk


k .
tan arctan
x
ax ak


k
.
Tổng quát:
tan tan
f
xgxfxgxk


k
.
5. Phương trình cot x=a
Điều kiện
sin 0x
.
cot cot
x
xk



k
.
cot cot .180xxk


k .
cot cot
x
axarcak


k .
Tổng quát:
cot cot
f
xgxfxgxk

k
.
TOANMATH.co
m
Trang 3
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình
sin x=a
Ví dụ mẫu
Trường hợp 1: 1a .
Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2:
1a
.
Đặt
sina
.
đặc biệt
2
2
xk
x
k




k
không đặc biệt
arcsin 2
arcsin 2
xak
x
ak


k
Điều kiện:
2
x
k

,
k .
Đặt
tana
.
đặc biệt
x
k

.
không đặc biệt
arctan
x
ak
 .
Trường hợp 1:
1a
.
Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2:
1a .
Đặt
cosa
.
đặc biệt
2
2
xk
x
k


k
không đặc biệt
arccos 2
arccos 2
xak
x
ak


k .
Điều kiện
x
k
,
k
.
Đặt
cota
.
đặc biệt
x
k
 .
không đặc biệt
cot
x
arc a k

.
Phương
trình lượng
giác cơ bản
sin
x
=a
cos
x
a
tan x = a
cot x = a
TOANMATH.co
m
Trang 4
Ví dụ 1. Giải phương trình
2sin 3 3
4
x




.

1
Hướng dẫn giải

3
1 sin 3 sin 3 sin
42 4 3
xx

 

 
 
2
323 2
43 43 36 3
52
3232
43 34 363
xk x kxk
xkxkxk










 


k .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
2
36 3
52
36 3
xk
xk


k .
Ví dụ 2. Giải phương trình
27
sin 3 sin 0
35
xx





.
2
Hướng dẫn giải

22 2 2
2 sin 3 sin 0 sin 3 sin
35 3 5
xx x x

 

 
 
22
8
32
35
15
22
11
32
35
60 2
xxk
x
k
k
xxk
x











k
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
8
15
11
60 2
x
k
k
x


k .
Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình
2
sin 3 9 16 80 0
4
xx x




.
Hướng dẫn giải
Ta có
22
sin 3 9 16 80 0 3 9 16 80
44
x
xx xxx k


 


22
3 9 16 80 4 9 16 80 3 4
x
xx k xx xk  
2
222
34
34
210
9 16 80 9 24 16
32
xk
xk
k
xx xkxk
x
k



.
Xét

2
22
29 4 98
210 1890 98
9232
32 32 32 32
k
kk
xx k
kkk k




.
TOANMATH.co
m
Trang 5
Vì
*
x
nên
*
932xk
Ư
98
1; 2; 7; 14; 49; 98 .
Lại có

*
2
320
2100
x
k
kk


3 2 1;2;7;14; 49;98 1;3;17kk .
Với
1k
thì
12x
(thỏa mãn
34
x
k
).
Với 3k thì 4x (thỏa mãn 34
x
k ).
Với
17k
thì
12x
(không thỏa mãn
34
x
k
).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là
4;12x .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Cho phương trình

2
sin
1
m
x
m

,
m
là tham số. Với giá trị nào của
m
thì phương trình có
nghiệm?
A.
1
4
m  .
B.
1
2
m  .
C.
m
. D. Không tồn tại giá trị của
m
Câu 2: Phương trình
1
sin
2
x có nghiệm thỏa mãn
22
x
 là
A.
5
2,
6
xkk
 . B.
6
x
.
C. 2,
3
xkk
 . D.
3
x
.
Câu 3: Số nghiệm của phương trình
sin 2
0
1cos
x
x
trên đoạn

0; 3
là
A. 8. B. 7. C. 4. D. 5.
Câu 4: Cho phương trình
2
sin 9
3
x
m
,
m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vô
nghiệm?
A. 33m . B. 3m .
C.
m
. D. Không tồn tại giá trị của
m
.
ĐÁP ÁN
1-B 2-B 3-D 4-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình

2
sin
1
m
x
m

có nghĩa xD , 1m .
TOANMATH.co
m
Trang 6
Ta có

2
1
1
1sin 1
2
1
1
m
m
x
m
m



1
2
.
Giải
1
. Ta có
1
221
10
1
11
2
m
mm
mm
m



.
Giải
2 . Ta có
23
10101
11
m
mm
mm


.
Kết hợp nghiệm ta có
1
2
m 
.
Câu 2.
Phương trình
1
sin
2
x có nghĩa
xD .
Do
1
sin
62
nên
22
1
66
sin sin sin
5
26
22
66
xk xk
xx
x
kxk




 







k
.
Vì
22
x
 nên
6
x
.
Câu 3.
Phương trình
sin 2
0
1cos
x
x
có nghĩa
1 cos 0 cos 1 2 \ 2xxxkDk
 .
Ta có
sin 2
0sin20
1cos 2
x
k
xx
x
 
k .
Kết hợp với điều kiện ta có
21
2
xk
xk


k .
Do

0; 3
2
xx
,
x
,
3
2
x
,
5
2
x
, 3x
.
Vậy phương trình có 5 nghiệm.
Câu 4.
Phương trình
2
sin 9
3
x
m có nghĩa xD .
Ta có
22
1sin 1 1 91 10 8
3
x
mm  (vô lí).
Vậy phương trình vô nghiệm với
m .
Dạng 2: Phương trình cos x=b
TOANMATH.co
m
Trang 7
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Giải phương trình 2cos 2 2
6
x




.
1
Hướng dẫn giải

2
1cos2
62
x





cos 2 cos 2 2
64 64
xxkk





.
22
22
64
12 24
55
2222
6 4 12 24
xk
xk x k
x
kxkxk















k .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
24
5
24
xk
x
k


k .
Ví dụ 2. Giải phương trình
cos 2 sin 5 0
3
xx




.
2
Hướng dẫn giải

2 cos 2 sin 5 cos 2 cos 5
332
x
xx x

 

 
 
2
252
32 42 7
52
252
32 183
k
xxkx
k
xxkx











k .
Vậy nghiệm của phương trình là
2
42 7
52
18 3
k
x
k
x


k .
Ví dụ 3. Cho phương trình

2
cos
1
m
x
m

,
m
là tham số. Tìm
m
để phương trình đã cho có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Phương trình

2
cos
1
m
x
m

có nghĩa
xD , 1m .
Ta có

2
1
1
1cos 1
2
1
1
m
m
x
m
m



1
2
.
TOANMATH.co
m
Trang 8
Giải

1
. Ta có
1
221
10
1
11
2
m
mm
mm
m



.
Giải
2
. Ta có
23
10101
11
m
mm
mm


.
Kết hợp nghiệm ta có
1
2
m  .
Vậy với
1
2
m  thì phương trình đã cho có nghiệm.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Phương trình 2cos 2 0x  có nghiệm là
A.
2
4
3
2
4
xk
x
k


,
k
. B.
3
2
4
3
2
4
xk
x
k


,
k
.
C.
5
2
4
5
2
4
xk
x
k


,
k . D.
2
4
2
4
xk
x
k


,
k .
Câu 2: Phương trình 2cos 3 0
2
x
 có nghiệm là
A.
5
2,
3
xkk
 . B.
5
2,
6
xkk
 .
C.
5
4,
6
xkk

. D.
5
4,
3
xkk

.
Câu 3: Phương trình cos 3 cos
15
x
có nghiệm là
A. 2,
15
xkk
 . B.
2
,
45 3
k
xk
 .
C.
2
,
45 3
k
xk
 . D.
2
,
45 3
k
xk
 .
Câu 4: Phương trình
2
1
cos
2
x có nghiệm là
A.
,
42
xkk

. B.
,
2
xkk

.
C. 2,
2
xkk
 . D. 2,
2
xkk
 .
Câu 5: Phương trình cos 2 cos
x
x có cùng tập nghiệm với phương trình
TOANMATH.co
m
Trang 9
A.
3
sin 0
2
x
.
B.
sin 1
x
. C.
sin 4 1
x
. D.
sin 2 1
x
.
Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2cos 1
3
x




với
02x
 là
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 7: Phương trình
51
sin cos
32
x



có bao nhiêu họ nghiệm?
A. 1 họ nghiệm. B. 4 họ nghiệm. C. 6 họ nghiệm. D. 2 họ nghiệm.
ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình
2cos 2 0x 
có nghĩa
xD 
.
Ta có
2
2cos 2 0 cos
2
xx
 .
Do
32
cos
42
nên
3
2
23
4
cos cos cos
3
24
2
4
xk
xx
x
k



k
.
Câu 2.
Phương trình
2cos 3 0
2
x

có nghĩa
xD .
Ta có
3
2cos 3 0 cos
222
xx
 .
Do
53
cos
62
nên
355
cos cos cos 4
22 2 6 3
xx
x
k


k .
Câu 3.
Phương trình cos 3 cos12x  có nghĩa xD .
Do
cos12 cos
15
 nên cos 3 cos12 cos3 cos
15
xx

2
32
15 45 3
2
32
15 45 3
k
xk x
k
xkx









 


k .
Câu 4.
Phương trình
2
1
cos
2
x có nghĩa
xD .
TOANMATH.co
m
Trang 10
Ta có
2
2
cos
1
2
cos
2
2
cos
2
x
x
x

.
Xét
2
cos cos cos 2
244
x
xxk


k
.
Xét
233
cos cos cos 2
244
x
xxk


k .
Kết hợp nghiệm ta được
42
k
x

k .
Câu 5.
Phương trình cos 2 cos
x
x có nghĩa xD .
Ta có
22 2
2
cos 2 cos
2
3
22
3
xxk xk
k
xx x
k
xxk x




k .
33 2
sin 0
22 3
x
xk
kx

k
;
sin 1 2
2
x
xk

k ;
sin 4 1 4 2
282
k
xxkx


k ;
sin 2 1 2 2
24
x
xkxk

k .
Vậy phương trình
3
sin 0
2
x
có cùng tập nghiệm với phương trình
cos 2 cos
x
x .
Câu 6.
Phương trình 2cos 1
3
x




có nghĩa
xD .
Ta có
2
1
12
2 cos 1 cos 2
7
3334
2
2
12
xk
xxxk
x
k


 
 
 
 

.
Do
02x

nên
23
12
x
;
17
12
x
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn
02x

.
Câu 7.
Phương trình
51
sin cos
32
x



có nghĩa
xD .
TOANMATH.co
m
Trang 11
Vì
1
sin
62
nên
5
cos 2
515
36
sincos sincos sin
55
323 6
cos 2
36
xk
xx
x
k





 

 
 

1
cos
16
10
cos
1
10 5
cos
16
2
cos
7
25
cos
10
x
xk
x
xk
x



(vì
1cos 1
x
 ).
Ta có
11
cos cos 2
10 10
x
xarc k


k
;
1
cos cos 2
23 3
x
xk

 
k
1
2
3
x
k
k ;
77
cos cos 2
10 10
x
xarc k



k
17
cos 2
10
x
arc k

k .
Vậy phương trình có 6 họ nghiệm.
Dạng 3: Phương trình
tan x=m
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Giải phương trình 3tan 5 3
4
x




.
1
Hướng dẫn giải
Điều kiện cos 5 0 5
442205
k
xxkx





,
k .

3
1tan5 tan5 tan
43 4 6
xx

 

 
 
55
4 6 12 60 5
x
kx kx k


 ,
k .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
60 5
x
k
 ,
k .
Ví dụ 2. Giải phương trình
tan 2 cot
4
x
x




.
2
Hướng dẫn giải
Điều kiện
3
cos 2 0
2
4
82
42
sin 0
k
x
x
xk
xl
xl
x











;kl .

2 tan 2 tan 2
42 42 43
k
xxxxkx


 


,
k .
TOANMATH.co
m
Trang 12
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
,( )
43

k
xk
.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1:
Nghiệm của phương trình
tan 15 1x 
với
90 270x là
A.
210x 
. B.
135x 
. C.
60x 
. D.
120x 
.
Câu 2: Phương trình
3tan 3 0x 
có nghiệm là
A.
3
x
k

,
k
. B.
2
3
x
k

,
k
.
C.
6
x
k

, k . D.
3
x
k

, k .
Câu 3: Phương trình
2
tan 3x có nghiệm là
A.
3
x
k

,
k
. B.
3
x
k

,
k
.
C. Vô nghiệm. D.
3
x
k
 , k .
Câu 4: Nghiệm của phương trình tan tan
5
x
 trong khoảng ;
2



là
A.
4
5
. B.
2
3
. C.
3
5
. D.
2
5
.
Câu 5: Phương trình
3
tan sin 4
42
x



có bao nhiêu họ nghiệm?
A. 2 họ nghiệm. B. 6 họ nghiệm. C. Vô nghiệm. D. 4 họ nghiệm.
Câu 6: Phương trình lượng giác 2tan 2 2 0
4
x




có nghiệm là
A.
2
x
k
, k . B.
22
x
k
 , k .
C.
x
k
, k . D.
3
x
k

, k .
ĐÁP ÁN
1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có
tan 45 1 tan 15 tan 45 15 45 .180 30 .180xxkxk   
k .
Với
90 270 90 30 .180 270 1 210xkkx .
Câu 2.
Phương trình 3.tan 3 0x  có nghĩa
cos 0 \
22
x
xkD k





.
TOANMATH.co
m
Trang 13
Ta có
3 tan 3 0 tan 3 tan tan
33
x
xxxk

k
.
Câu 3.
Phương trình
2
tan 3x có nghĩa cos 0 \
22
x
xkD k





.
Ta có
2
tan 3
tan 3
tan 3
x
x
x


.
Xét
tan 3 tan tan
33
x
xxk

k .
Xét
tan 3 tan tan
33
x
xxk


k .
Vậy
3
x
k

k .
Câu 4.
Phương trình
tan tan
5
x
 có nghĩa cos 0 \
22
x
xkD k





.
Ta có
tan tan tan tan
555
x
xxk



k
.
Do
;
2
x



nên
4
5
x
.
Câu 5.
Ta có sin 4 cos sin 4 0
44 4 4
xx





,
x .
Phương trình xác định với
xD .
3343
tan sin 4 sin 4 tan sin 4 tan 4
424 2 2
x
xarc k x arc k





.
Với
0k thì
43
tan 4 1 sin 4 1
2
arc k x
 (vô lí).
Với
1k  thì
43
tan 4 1 sin 4 1
2
arc k x
 (vô lí).
Vậy đã cho phương trình vô nghiệm.
Câu 6.
Phương trình
2tan 2 2 0
4
x




có nghĩa
cos 2 0 2 \
44282 82
kk
xxkx D







k .
Ta có
2 tan 2 2 0 tan 2 1 2
44442
x
xxkxk

 

 
 
k .
TOANMATH.co
m
Trang 14
Dạng 4: Phương trình
cot x=n
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Giải phương trình
1
cot 2
6
3
x




.

1
Hướng dẫn giải
Điều kiện
sin 2 0 2
66122
k
xxkx





,
k .

1cot2 cot 2
63 63
x
xk





2
242
x
kx k


,
k .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
42
x
k

,
k
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
4
tan 2cot 3
918
xx





.
2
Hướng dẫn giải
Điều kiện
4
4
cos 0
9
92 18
18
sin 0
18 18
18
x
xkx k
x
k
xk x k
x





















,
;km .
Ta có
44
tan cot
9182 9 18
x
xxx

 

 
 
.

2 cot 2cot 3 3cot 3
18 18 18
xx x

  

  
  
35
cot
18 3 18 3 18
x
xkx k





,
k
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
5
18
x
k
 ,
k .
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1:
Phương trình 3cot 3 0x  có nghiệm là
A.
6
x
k

, k . B.
3
x
k

, k .
C. 2
3
x
k
 ,
k
. D. Vô nghiệm.
Câu 2: Cho phương trình
2
3
cot 4
4
xm




,
m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình
trên vô nghiệm?
A. 2m  . B. 22m .
TOANMATH.co
m
Trang 15
C.
m
. D. Không tồn tại giá trị của
m
.
Câu 3: Phương trình cot .cot 2 1 0xx có nghiệm là
A.
4
x
k

,
k
. B.
6
5
6
x
k
x
k


,
k
.
C.
6
x
k
 ,
k
. D.
23
x
k
 ,
k
.
ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình 3cot 3 0x  có nghĩa
sin 0 \
x
xk D k

k .
Ta có
3
3cot 3 0 cot cot cot
333
x
xxxk


k
.
Câu 2.
Tập giá trị
3
cot
4
yx




nên với m phương trình luôn có nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị
m để phương trình vô nghiệm.
Câu 3.
Phương trình
cot .cot 2 1 0xx có nghĩa
sin 0
sin 2 0 2
2
xxk
k
x
xxk






.
Tập xác định
\
2
k
Dx




.
Ta có
22
22
cos cos 2 cos 1 2sin 1 2sin 1
cot .cot 2 1 . 1 . 1 1 2
sin sin 2 sin 2sin cos 2sin 2sin
xx x x x
xx
xxxxxxx

   
.
2
2
1
sin sin
sin
11
6
2
cot .cot 2 1 0 2 0 sin
1
2sin 4
sin sin sin
26
x
x
xx x
x
xx



.
Nếu
2
6
sin sin
5
6
2
6
xk
x
x
k



.
Nếu
2
6
sin sin
7
6
2
6
x
k
x
x
k



.
TOANMATH.co
m
Trang 16
Kết hợp nghiệm ta có
6
5
6
x
k
x
k


k .
| 1/16
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải. Kiến thức
+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình sin x = a
 Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a  1. Đặt a  sin hoặc a  sin  , phương trình tương đương với
x    k2 in s x  sin   k  .
x     k2
x     k.360 in
s x  sin     k  .
x  180     k.360
x  arcsin a k2 in
s x a   k  .
x    arcsin a k2 Tổng quát:
f x  g x  k  s
f x  in g x 2 in s   k  .  f
  x    g x  k2
Các trường hợp đặc biệt
 sin x 1  x   k2 k  . 2   sin x  1
  x    k2 k  . 2
 sin x  0  x k k  .
2. Phương trình cos x a
 Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a 1. Đặt a  cos hoặc a  cos , phương trình tương đương với
cos x  cos  x  
  k2 k  .
cos x  cos    x     k.360 k  .
cos x a x   arccos a k2 k  . Tổng quát:
cos f x  cos g x  f x  g x  k2 k  .
Các trường hợp đặc biệt Trang 1
 cos x 1  x k2 k  .  cos x  1
  x    k2 k  .
 cos x  0  x   k k  . 2
3. Phương trình tan x a
Điều kiện cos x  0 .
 tan x  tan  x    k k  .
 tan x  tan   x     k.180 k  .
 tan x a x  arctan a k k  . Tổng quát:
tan f x  tan g x  f x  g x  k k  .
5. Phương trình cot x = a
Điều kiện sin x  0 .
 cot x  cot  x    k k  .
 cot x  cot   x     k.180 k  .
 cot x a x arc cot a k k  . Tổng quát:
cot f x  cot g x  f x  g x  k k  . TOANMATH.com Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA  Điều kiện: x
k , k  . 2 Đặt a  tan .
 đặc biệt  x    k .  không đặc biệt
x  arctan a k . ta
Trường hợp 1: a  1. n
Trường hợp 1: a  1. x = a Phương trình vô nghiệm. Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: a  1 .
Trường hợp 2: a  1 . Đặt a  sin . Phương sin x = a cos x a Đặt a  cos .  trình lượng đặc biệt  đặc biệt giác cơ bản
x    k2
x    k2    
x     k2 x     k2 k  k  cot  không đặc biệt  không đặc biệt x = a
x  arcsin a k2
x  arccos a k2    
x    arcsin a k2
x  arccos a k2 k  k  .
Điều kiện x k , k   . Đặt a  cot .
 đặc biệt  x    k .  không đặc biệt
x arc cot a k .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình sin x = a Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 3   
Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin 3x   3   .   1  4 
Hướng dẫn giải      3     1  sin 3x    sin 3x   sin      4  2  4  3         2 3x    k2 3x     k2 x   k  4 3  4 3  36 3       k  .     5 2 3xk2 3x k2          x   k  4 3  3 4  36 3   2 x   k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 36 3  k  . 5 2 x   k  36 3  2   7 
Ví dụ 2. Giải phương trình sin 3x   sin x   0     . 2  3   5 
Hướng dẫn giải    2   2   2   2  2  sin 3x   sin x   0  sin 3x   sin x           3   5   3   5   2 2  8 3x   x   k2 x    k  3 5  15     k  .  2  2  11 k 3xx k2          x    3  5    60 2  8 x    k 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 15  k  . 11 k x    60 2  
Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình   2 sin
3x  9x 16x  80   0. 4   
Hướng dẫn giải    Ta có   2 x x x       2 sin 3 9 16 80 0
3x  9x 16x  80   k  4  4 2 2
 3x  9x 16x  80  4k  9x 16x  80  3x  4k 3  x  4k 3  x  4k  2      . 2 2 2 2k 10 9
x 16x 80  9x  24kx 16k x   3k  2 2k 10 18k  90  2 2 2 2 9k  4  98 98 Xét x   9x    23k  2  . 3k  2 3k  2 3k  2 3k  2 TOANMATH.com Trang 4 Vì * x   nên *
9x    3k  2 Ư 98   1  ; 2;  7  ; 1  4; 4  9; 9   8 . * x Lại có 
 3k  2  0  3k  21;2;7;14;49;  98  k 1;3;  17 . 2 2k 10  0  k 
 Với k 1 thì x  12 (thỏa mãn 3x  4k ).
 Với k  3 thì x  4 (thỏa mãn 3x  4k ).
 Với k  17 thì x  12 (không thỏa mãn 3x  4k ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x 4;1  2 .
Bài tập tự luyện dạng 1 m
Câu 1: Cho phương trình x   2 sin 
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có m 1 nghiệm? 1 1 A. m   . B. m   . 4 2 C. m    .
D. Không tồn tại giá trị của m 1   
Câu 2: Phương trình sin x  có nghiệm thỏa mãn  x  là 2 2 2 5  A. x
k2 ,k  . B. x  . 6 6   C. x
k2 , k  . D. x  . 3 3 sin 2x
Câu 3: Số nghiệm của phương trình
 0 trên đoạn 0;3  là 1 cos x
A. 8. B. 7. C. 4. D. 5. x
Câu 4: Cho phương trình 2
sin  m  9 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vô 3 nghiệm? A. 3   m  3 . B. m  3 . C. m    .
D. Không tồn tại giá trị của m . ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-D 4-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. m  Phương trình x   2 sin  có nghĩa x
    D   , 1 m  . m 1 TOANMATH.com Trang 5 m  2 1     1   Ta có   x   m 1 1 sin 1   . m  2   1  2  m 1 m 1 m  2 2m 1 Giải   1 . Ta có 1 0       1  . m 1 m 1 m   2 m  2 3 Giải 2 . Ta có 1 
 0  m 1 0  m 1. m 1 m 1 1
Kết hợp nghiệm ta có m   . 2 Câu 2. 1
Phương trình sin x  có nghĩa x
    D   . 2            x k2 x k2 1 1    Do sin  nên 6 6
sin x   sin x  sin     k  . 6 2 2 6  5 x k2     x   k2  6  6    Vì 
x  nên x  . 2 2 6 Câu 3. sin 2x Phương trình
 0 có nghĩa  1 cos x  0  cos x  1  x k2  D   \k2. 1 cos x sin 2x k Ta có
 0  sin 2x  0  x  k  . 1 cos x 2
x  2k   1 
Kết hợp với điều kiện ta có   k   . x   k  2  3 5
Do x 0;3   x  , x   , x  , x  , x  3 . 2 2 2
Vậy phương trình có 5 nghiệm. Câu 4. x Phương trình 2
sin  m  9 có nghĩa x
    D   . 3 x Ta có 2 2 1   sin  1  1
  m  9 1  1  0  m  8  (vô lí). 3
Vậy phương trình vô nghiệm với m    .
Dạng 2: Phương trình cos x = b TOANMATH.com Trang 6 Ví dụ mẫu   
Ví dụ 1. Giải phương trình 2 cos 2x   2   .  1  6 
Hướng dẫn giải      2 1  cos 2x      6  2        cos 2x
 cos  2x     k2 k     .  6  4 6 4        2x    k2 2x   k2 x   k  6 4  12  24       k  .   5   5   2x k2 2x k2        x   k  6 4  12  24   x   k 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 24  k  . 5   x   k  24   
Ví dụ 2. Giải phương trình cos 2x   sin 5x  0   . 2  3 
Hướng dẫn giải           2  cos 2x
 sin 5x  cos 2x   cos  5x        3   3   2       k2 2x
  5x k2 x    3 2  42 7     k  .   5 2k 2x 5x k2       x    3 2  18 3   k2 x   
Vậy nghiệm của phương trình là 42 7  k  . 5 2k x    18 3 m
Ví dụ 3. Cho phương trình x   2 cos 
, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. m 1
Hướng dẫn giải m  Phương trình x   2 cos  có nghĩa x
    D   , m  1. m 1  m  2 1    1   Ta có   x   m 1 1 cos  1   . m  2   1  2  m 1 TOANMATH.com Trang 7 m 1 m  2 2m 1 Giải   1 . Ta có 1 0       1  . m 1 m 1 m   2 m  2 3 Giải 2 . Ta có 1 
 0  m 1 0  m 1. m 1 m 1 1
Kết hợp nghiệm ta có m   . 2 1
Vậy với m   thì phương trình đã cho có nghiệm. 2
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2 cos x  2  0 có nghiệm là    3 x   k2  x   k2  A. 4 
, k   . B. 4  , k   . 3  3   x   k2      x k2  4  4  5   x   k2  x   k2  C. 4 
, k   . D. 4  , k   . 5      x   k2      x k2  4  4 x
Câu 2: Phương trình 2 cos  3  0 có nghiệm là 2 5 5 A. x  
k2 ,k  . B. x  
k2 ,k  . 3 6 5 5 C. x  
k4 ,k  . D. x  
k4 ,k  . 6 3 
Câu 3: Phương trình cos3x  cos có nghiệm là 15   k2 A. x  
k2 ,k  . B. x    , k  . 15 45 3  k2  k2 C. x   
, k   . D. x   , k   . 45 3 45 3 1
Câu 4: Phương trình 2
cos x  có nghiệm là 2    A. x
k , k  . B. x    k , k  . 4 2 2   C. x
k2 , k  . D. x    k2 , k  . 2 2
Câu 5: Phương trình cos 2x  cos x có cùng tập nghiệm với phương trình TOANMATH.com Trang 8 3x A. sin
 0 . B. sin x 1. C. sin 4x 1. D. sin 2x 1. 2   
Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2 cos x  1  
với 0  x  2 là  3 
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.  5  1
Câu 7: Phương trình sin cos x   
có bao nhiêu họ nghiệm?  3  2
A. 1 họ nghiệm. B. 4 họ nghiệm. C. 6 họ nghiệm. D. 2 họ nghiệm. ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Phương trình 2 cos x  2  0 có nghĩa x
    D   .  2
Ta có 2 cos x  2  0  cos x  . 2  3 x   k2 3  2  2 3  Do cos  nên 4 cos x   cos x  cos   k  . 4 2 2 4 3   x   k2  4 Câu 2. x
Phương trình 2cos  3  0 có nghĩa x
    D   . 2 x x  3
Ta có 2 cos  3  0  cos  . 2 2 2 5  3 x  3 x 5 5 Do cos  nên cos   cos  cos  x  
k4 k  . 6 2 2 2 2 6 3 Câu 3.
Phương trình cos 3x  cos12 có nghĩa x
    D   .   Do cos12  cos
nên cos3x  cos12  cos3x  cos 15 15     k2 3x   k2 x    15  45 3     k  .     k2 3x k2    x    15  45 3 Câu 4. 1 Phương trình 2
cos x  có nghĩa x
    D   . 2 TOANMATH.com Trang 9  2 cos x  1 Ta có 2 2 cos x    . 2   2 cos x   2 2   Xét cos x
 cos x  cos  x    k2 k  . 2 4 4  2 3 3 Xét cos x   cos x  cos  x  
k2 k  . 2 4 4  k
Kết hợp nghiệm ta được x   k  . 4 2 Câu 5.
Phương trình cos 2x  cos x có nghĩa x
    D   .
2x x k2  x k2 k2
Ta có cos 2x cos x    k2  x  k   .
2x  x k2  x  3  3 3x 3x 2k sin  0 
k  x  k  ; 2 2 3 
sin x  1  x
k2 k  ; 2   k
sin 4x  1  4x
k2  x   k  ; 2 8 2  
sin 2x  1  2x
k2  x   k k  . 2 4 3x Vậy phương trình sin
 0 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2x  cos x . 2 Câu 6.   
Phương trình 2 cos x  1   có nghĩa x
    D   .  3    x    k2   1        Ta có 12 2 cos x   1  cos x  
x     k2       .  3   3  2 3 4 7 x    k2  12 23 17
Do 0  x  2 nên x  ; x  . 12 12
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0  x  2 . Câu 7.  5  1 Phương trình sin cos x    có nghĩa x
    D   .  3  2 TOANMATH.com Trang 10 5       cos x k2 1 5 1 5       Vì sin  nên 3 6 sin cos x   sin cos x  sin       6 2  3  2  3  6 5 5  cos x   k2  3 6  1 cos x  1 6   10 cos x   k   10 5 1     cos x
(vì 1  cos x  1). 1 6  2
cos x   k   2 5 7  cos x   10 1 1 Ta có cos x
  x  arc cos
k2 k  ; 10 10 1   1 cos x   cos
  x    k2 k   x    2k k  ; 2 3 3 3 7  7  1 7  cos x
  x  arc cos
k2 k   x   arccos
 2k k  . 10 10  10
Vậy phương trình có 6 họ nghiệm.
Dạng 3: Phương trình tan x = m Ví dụ mẫu   
Ví dụ 1. Giải phương trình 3tan 5x   3   .   1  4 
Hướng dẫn giải       k
Điều kiện cos 5x
 0  5x    k  x     , k  .  4  4 2 20 5      3     1  tan 5x    tan 5x   tan      4  3  4  6     
 5x    k  5x  
k  x  
k ,k  . 4 6 12 60 5  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  
k ,k  . 60 5   
Ví dụ 2. Giải phương trình tan 2x   cot x   . 2  4 
Hướng dẫn giải         3 k cos 2x   0  
2x    k x   Điều kiện   4    4 2   8
2 k;l   . sin x  0 x l x l           k 2  tan 2x   tan
x  2x    x k  x       , k  .  4   2  4 2 4 3 TOANMATH.com Trang 11 k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   ,(k  ) . 4 3
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Nghiệm của phương trình tan  x 15 1 với 90  x  270 là
A. x  210 . B. x  135 . C. x  60 . D. x  120 .
Câu 2: Phương trình 3 tan x  3  0 có nghiệm là   A. x
k , k  . B. x    k2 , k  . 3 3   C. x
k , k  . D. x    k , k  . 6 3
Câu 3: Phương trình 2
tan x  3 có nghiệm là  
A. x    k , k   . B. x    k , k   . 3 3  C. Vô nghiệm. D. x
k , k  . 3    
Câu 4: Nghiệm của phương trình tan x   tan trong khoảng ;   là 5  2  4 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 5    3
Câu 5: Phương trình tan sin 4x   
có bao nhiêu họ nghiệm?  4  2
A. 2 họ nghiệm. B. 6 họ nghiệm. C. Vô nghiệm. D. 4 họ nghiệm.   
Câu 6: Phương trình lượng giác 2 tan  2x  2  0   có nghiệm là  4    
A. x k , k   . B. x
k , k  . 2 2 2 
C. x k , k   .
D. x    k , k   . 3 ĐÁP ÁN
1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Ta có tan 45  1  tan  x 15  tan 45  x 15  45  k.180  x  30  k.180 k  .
Với 90  x  270  90  30  k.180  270  k  1 x  210 . Câu 2.   
Phương trình 3.tan x  3  0 có nghĩa  cos x  0  x
k  D   \   k . 2  2  TOANMATH.com Trang 12   
Ta có 3 tan x  3  0  tan x   3  tan x  tan
x    k k  . 3 3 Câu 3.    Phương trình 2
tan x  3 có nghĩa  cos x  0  x
k  D   \   k . 2  2  tan x  3 Ta có 2 tan x  3   . tan x   3  
Xét tan x  3  tan x  tan
x   k k  . 3 3    
Xét tan x   3  tan x  tan  x
k k  . 3 3 
Vậy x    k k  . 3 Câu 4.    
Phương trình tan x   tan có nghĩa  cos x  0  x
k  D   \   k . 5 2  2      
Ta có tan x   tan  tan x  tan  x
k k  . 5 5 5    4 Do x  ;   nên x  .  2  5 Câu 5.        Ta có  sin 4x   cos sin 4x  0   , x    . 4 4 4  4 
Phương trình xác định với x
    D   .    3  3 4 3 tan sin 4x  
sin 4x arc tan  k  sin 4x arc tan  4k   .  4  2 4 2  2 4 3
Với k  0 thì arc tan  4k  1 sin 4x  1 (vô lí).  2 4 3
Với k  1 thì arc tan  4k  1   sin 4x  1  (vô lí).  2
Vậy đã cho phương trình vô nghiệm. Câu 6.    Phương trình 2 tan  2x  2  0   có nghĩa  4        k   k   cos
 2x  0   2x   k    x    D   \      k  .  4  4 2 8 2  8 2           Ta có 2 tan
 2x  2  0  tan
 2x 1   2x   k  x k     k  .  4   4  4 4 2 TOANMATH.com Trang 13
Dạng 4: Phương trình cot x = n Ví dụ mẫu    1
Ví dụ 1. Giải phương trình cot 2x     .   1  6  3
Hướng dẫn giải      k
Điều kiện sin 2x
 0  2x   k  x     , k  .  6  6 12 2         1  cot 2x
 cot  2x    k    6  3 6 3   
 2x   k  x   k , k  . 2 4 2  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
k , k  . 4 2  4    
Ví dụ 2. Giải phương trình tan  x  2cot  x  3     . 2  9  18  Hướng dẫn giải Điều kiện   4  4 cos  x  0       
x   kx   k 9         9 2 18       x
k , k;m .       18 sin  x  0  x k    x   k    18  18   18  4       4     Ta có  x   x   tan  x  cot  x         .  9  18  2  9  18            2  cot  x  2cot  x  3  3cot  x  3       18  18  18     3   5  cot  x  
x   k  x    k   , k  . 18  3 18 3 18 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  
k ,k  . 18
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phương trình 3cot x  3  0 có nghiệm là   A. x
k , k  . B. x   k , k  . 6 3  C. x
k2 , k  . D. Vô nghiệm. 3  3 
Câu 2: Cho phương trình 2 cot x   m  4  
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình  4  trên vô nghiệm?
A. m  2 .
B. 2  m  2 . TOANMATH.com Trang 14 C. m    . D.
Không tồn tại giá trị của m .
Câu 3: Phương trình cot .
x cot 2x 1  0 có nghiệm là       x k A. x
k , k  . B. 6  , k   . 4 5 x   k  6    C. x
k , k  . D. x
k , k  . 6 2 3 ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Phương trình 3cot x  3  0 có nghĩa sin x  0  x k  D   \ k k  . 3  
Ta có 3cot x  3  0  cot x
 cot x  cot  x   k k  . 3 3 3 Câu 2.  3 
Tập giá trị y  cot x      nên với m
   phương trình luôn có nghiệm.  4 
Vậy không tồn tại giá trị m để phương trình vô nghiệm. Câu 3. si  n x  0 x kk Phương trình cot .
x cot 2x 1  0 có nghĩa      x  . si  n 2x  0 2x k 2  k 
Tập xác định D   \ x  .  2  2 2 cos x cos 2x
cos x 1 2sin x 1 2sin x 1 Ta có cot .
x cot 2x 1  . 1  . 1  1   2 . 2 2 sin x sin 2x
sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin x  1   sin x  sin x  sin 1 1   2 2 6 cot .
x cot 2x 1  0 
 2  0  sin x      . 2 2sin x 4 1    sin x   sin x  sin  2  6   x   k2   Nếu 6 sin x  sin   . 6 5 x   k2  6    x   k2    Nếu 6 sin x  sin   . 6 7 x   k2  6 TOANMATH.com Trang 15   x   k  Kết hợp nghiệm ta có 6  k  . 5 x   k  6 TOANMATH.com Trang 16