15 trang 12 lượt tải

Bài tập Chương 1: Xác suất thống kê chi tiết và ví dụ thực tế | Lý thuyết xác suất và thống kê toán | Học viện Tài chính

24

Bài 1.21. Một công ty quảng cáo một loại sản phẩm mới bằng 2 hình thức: qua internet và qua truyền hình. Biết rằng 32% khách hàng nắm được thông tin này qua internet, 45% khách hàng nắm được thông tin này qua truyền hình và 17% khách hàng nắm được thông tin này qua cả hai hình thức quảng cáo. Tính tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm mới này. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Lý thuyết xác suất và thống kê toán 10 tài liệu

Trường: Học viện Tài chính 531 tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 tháng trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/15
1
BÀI TẬP CHƯƠNG I
D t c t c a t u ki n ạng 1. Xác suấ ủa tích, Xác suấ ủ ổng, Xác suất có điề ệ
I. Xác suấ ủa tícht c
1. Trườ ợp các biếng h n cố độc lập nhau
P
A
1
A A
2
…
n
=
đl
P
A
1
. P
A
2
… . P(A
n
)
2. Trườ ợp cácng h biến cố phụ thuộc nhau
P
A
1
A A
2
…
n
= P
A
1
. P
A A
2
/A
1
… . P(A
n
/ A
1
A
2
…
n−1
)
3. Đặc biệt: Khi biết 𝑃 𝑃 𝑃
𝐴
,
𝐵
,
𝐴𝐵
thì
𝑃
𝐴𝐵
= 𝑃
𝐴
−𝑃
𝐴𝐵
;
𝑃
𝐴
𝐵
= 𝑃
𝐵
−𝑃(𝐴𝐵)
II. Xác suất của tổng
1. Trường hợp hai biến cố
𝑃
𝐴 + 𝐵 𝐵
= 𝑃
𝐴
+ 𝑃
−𝑃
𝐴𝐵
2. Trường hợp 3 biến cố
P P P
A + B + C
= P
A
+ P
B
+ P
C
−
AB
−
AC
− P
BC
+ P(ABC)
3. N n c xung kh c t ếu các biế ố ắ ừng đôi thì
P
A
1
+ A + A
2
+ ⋯
n
=
xk
P
A
1
+ P
A
2
+ ⋯ + P
A
n
4. N n c c l ếu các biế ố độ ập nhau thì
P P
A
1
+ A
2
+ ⋯ + A
n
= 1 −
A
1
+ A + A
2
+ ⋯
n
= 1 A
− P
1
A
2
… A
n
=
đl
1 − P
A
1
P
A
2
… P
A
n
Chú ý: Phương pháp khá hữ bài tập tính xác suấphần bù u hiệu trong một số t.
III. Xác suất có điều kiện
P
A ∕ B
=
P
AB
P
B
Chú ý: P
A
∕ B
= 1 − P
A ∕ B
Bài 1.21. Một công ty quảng cáo một loại s n phả ẩm mới bằng 2 hình thức: qua internet và qua
truyền hình. Biết rằng 32% khách hàng nắm được thông tin này qua internet, 45% khách hàng
nắm được thông tin này qua truyền hình và 17% khách hàng nắm được thông tin này qua cả hai
hình thức quảng cáo. Tính tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm mới này.
Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng.
G n cọi A là biế ố "Khách hàng đó ắm được thông tin qua internet".n
Gọi B là biến cố "Khách hàng đó nắm được thông tin qua truyền hình".
2
Theo giả thiết, ta có:
0,32, 0,45, 0,17P A P B P AB
G n c "ọi C là biế ố Khách hàng đó nắm được thông tin về sản phẩm mới này".
Ta có:
0,32 0,45 0,17 0,6P C P A B P A P B P AB
Vậy tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm mới này là 60%.
Bài 1.23. Theo thống kê về sinh viên mới t t nghiố ệp ở một trường đại h c, tọ ỷ l ệ sinh viên nữ tốt
nghiệ ạp lo i giỏi là 19%. Tuy nhiên, trong số các sinh viên nữ , số em tốt nghiệp lo i giạ ỏi chiếm
25%. Tính tỷ lệ sinh viên nữ m i tớ ốt nghiệp trường đó.
Giải
Chọ ố ện ng i tẫu nhiên 1 sinh viên mớ t nghi p c i h ủa trường đạ ọc đó.
G n c ọi A là biế ố “Sinh viên đó là sinh viên nữ”.
G n c t nghiọi B là biế ố “Sinh viên đó tố ệp lo ại giỏi”.
Theo gi thiả ết, ta có:
0,19, / 0,25P AB P B A
Do
/
P AB
P B A
P A
nên
( ) 0,19
( ) 76%.
( / ) 0,25
P AB
P A
P B A
Bài 1.26. Có hai hộ ất có 5 sả ọai II và 4 p sản phẩm. Hộp thứ nh n phẩm loại I, 3 sản phẩm l
sản ph m lo i III. H p th n ph i I, 3 s n ph m lo n ph m lo i III. ẩ ạ ộ ứ hai có 6 sả ẩm loạ ả ẩ ại II và 2 sả ẩ ạ
T m i h p l y ra m t s n ph : ừ ỗ ộ ấ ộ ả ẩm. Tính xác suất để
a) Hai s n ph m l b) Hai s n ph m l ả ẩ ấy ra cùng loại. ả ẩ ấy ra khác loại.
Giải
Gọi
i
A
n c n ph m l h p 1 s n ph m lolà biế ố “Sả ẩ ấy ở ộ là ả ẩ ại i”,
.
Gọi
j
B
n c n ph m l h p 2 s n ph m lolà biế ố “Sả ẩ ấy ở ộ là ả ẩ ại j”,
1,3j
.
a) G n c n ph m l ọi A là biế ố “Hai sả ẩ ấy ra cùng loại”.
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
. . .
5 6 3 3 4 2 47
. . .
12 11 12 11 12 11 132
xk
dl
P A P A B A B A B
P A B P A B P A B
P A P B P A P B P A P B
b) Ta có
A
n c n ph m l là biế ố “Hai sả ẩ ấy ra khác loại”.
3
85
1
132
P A P A
Bài 1.28. Kiện tướ A đấu liên tiế ới các kiện tướ B và C tổ ộng 4 ván cờng cờ p v ng cờ ng c (A
đấ ồ ắ ấu v c r u v i với B trướ ồi đấ ới C, sau đó lạ ới B r i v t A thới C). Xác suấ ng ở ván thứ nh t
đố ắi v i v t A thới B là 0,1 và đố ới C là 0,2. Xác suấ ng ở i v i vván thứ hai đố ới B là 0,3 và đố ới
C là 0,4. Tính xác suất:
a) A th i v i B. ắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đố ớ
b) A th i v i C.ắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đố ớ
Giải
Ký hiệu các ván cờ có xác suấ ắng là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 lần lượt là 1, 2, 3, 4. t A th
Gọi
i
A
n c ng là biế ố “A thắ ở ván cờ thứ i”,
1,4i
.
a) G n c i v ọi D là biế ố “A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đố ới B”.
1 2
1 3
1 2
1 3
1 2
1 3
. .
0,1 0,9.0,8.0,3 0, 316.
xk
dl
P D P A A A A
P A P A A A
P A P A P A P A
b) G n cọi E là biế ố “A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đố ới C”.i v
Bài 1.30. Có 3 kiện hàng, mỗ ện có 10 sả ại 1 có trong mỗi ki n phẩm. Số sản phẩm lo i kiện
hàng tương ứng là 7, 8, 9. Từ ện hàng ngườ ẫu nhiên, đồ mỗi ki i ta lấy ng ng thời 2 sản phẩm
để ể ế ki m tra, n u cả 2 sản ph c kiẩm đượ ểm tra đều là loại 1 thì mua kiện hàng đó. Tìm xác
suất để có ít nhấ ện hàng đượ t 1 ki c mua.
Giải
Gọi
i
A
n c là biế ố “Kiện hàng thứ i được mua”,
.
Ta có
1 2 3
, ,A A A
c lđộ ập nhau và
2 2 2
7 8 9
1 2 3
2 2 2
10 10 10
7 28 4
; ;
15 45 5
C C C
P A P A P A
C C C
1 1 2 3
2 4
1 1 2 3
2 4
1 1 2 3
2 4
. . . .
0.9.0,2 0, 9.0, 8.0,7.0, 4 0,3816.
xk
dl
P E P A A A A A A
P A A P A A A A
P A P A P A P A P A P A
4
G n c t m t ki ọi A là biế ố “Có ít nhấ ộ ện hàng được mua”.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1 . .
1 . .
8 17 1
1 . . 0,9597
15 45 5
dl
P A P A A A
P A A A
P A A A
P A P A P A
Bài 1.31. Có 2 người luân phiên tung 1 đồ ới khi đồ ấp thì ng xu cho t ng xu xuất hiện mặt s
d ng l c m t s ng cu ừ ại và người tung đượ ặ ấp đó thắ ộc.
a) Tính xác suất để ộc chơi dừ ại sau không quá 3 lần tung đồ cu ng l ng xu.
b) Tính xác suấ ủa người tung trướt thắng cuộc c c.
Giải
Gọi
i
A
n c c m t s p l n tung th là biế ố “Tung đượ ặ ấ ở ầ ứ i”,
1,2,3,...i
a) G i A n c "Cu ng l ng xu". ọ là biế ố ộc chơi dừ ại sau không quá 3 lần tung đồ
1 1 2 1 2 3
1 1 2 1 2 3
1 1 2 1 2 3
2 3
. . .
0, 5 0,5 0.5 0,875
xk
dl
P A P A A A AA A
P A P AA P A A A
P A P A P A P A P A P A
b) G n c c th ng cu c". ọi B là biế ố "Người tung trướ ắ ộ
1 1 2 3 1 2 3 4 5
1 1 2 3 1 2 3 4 5
1 1 2 3 1 2 3 4 5
3 5
2
...
...
. . . . . ...
0, 5 2
0, 5 0.5 0, 5 ...
3
1 0, 5
xk
dl
P B P A A A A AA A A A
P A P A A A P A A A A A
P A P A P A P A P A P A P A P A P A
Bài 1.34. Một máy gồ ạt động độ ập nhau, xác suấm hai bộ phận ho c l t bộ phận thứ nhất bị
h ph n th hai b h c khi ch c n mỏng là 0,1; bộ ậ ứ ị ỏng là 0,15. Máy sẽ không hoạt động đượ ỉ ầ ột
b ph n b h ng. Gi s ng ho t b ph n b h ng. ộ ậ ị ỏ ả ử máy ngừ ạt động. Tính xác suất để chỉ có mộ ộ ậ ị ỏ
Giải
Gọi
i
A
n c phlà biế ố “Bộ ận th b hứ i ị ỏng”,
1,2i
.
5
Ta có
1 2
,A A
c lđộ ập nhau và
1 2
0,1, 0,15P A P A
.
G n c ng ho . ọi A là biế ố “Máy ngừ ạt động”
G n c t b ph n b h ọi B là biế ố “Chỉ có mộ ộ ậ ị ỏng”.
Ta cần tính
/
P AB
P B A
P A
Nhậ ến thấy, n u B x y ra y ra. ả thì A cũng xả Do đó
B A
nên
AB B
. Suy ra:
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
. . 0,1.0,85 0,9.0,15 0,22
xk
dl
P AB P B P AA A A P A A P AA
P A P A P A P A
Mặt khác:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
. 0,1 0,15 0,1.0,15 0,235.
dl
P A P A A P A P A P A A
P A P A P A P A
V ậy ta có:
0,22 44
( / )
0,235 47
P B A
V y n ng ho t b ph n b h ậ ếu máy ngừ ạt động thì xác suất để chỉ có mộ ộ ậ ị ỏng là 44/47.
Bài 1.35. Ở một trường THPT có 50% học sinh yêu thích môn Toán, 40% học sinh yêu thích
môn Lý, 30% học sinh yêu thích môn óa, 20% học sinh yêu thích cả môn Toán và môn ý, H L
15% h c sinh ọc sinh yêu thích cả môn Toán và môn Hóa, 10% họ yêu thích cả môn Lý và
môn Hóa, 5% học sinh yêu thích cả ba môn Toán, Lý , Hóa.
a) Tính tỷ trường đó yêu thích ít nhấ ột trong ba môn Toán, Lý, Hóa. lệ học sinh ở t m
b) Trong s hố ọc sinh yêu thích môn Toán ở trường đó, tỷ ọc sinh yêu thích môn Lý bằ lệ h ng
ba o nhiêu?
Giải
Chọn ng ẫu nhiên 1 học sinh trường đó.
G n c ọi A là biế ố "Học sinh đó yêu thích môn Toán".
G n cọi B là biế ố "Học sinh đó yêu thích môn Lý".
G n c ọi C là biế ố "Học sinh đó yêu thích môn Hóa".
6
0,5, 0, 4, 0, 3, 0,2
0,15, 0,1, 0, 05
P A P B P C P AB
P AC P BC P ABC
a) G n cọi D là biế ố "Học sinh đó yêu thích ít nhấ ột trong ba môn Toán, Lý, Hóa".t m
0,5 0, 4 0, 3 0,2 0,15 0,1 0, 05 0, 8
P D P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
V y t l h c sinh ậ ỷ ệ ọ trường đó yêu thích ít nhấ môn Toán, Lý, Hóa là 80%.t 1 trong 3
b) Ta cần tính
0,2
/ 0,4
0,5
P AB
P B A
P A
V y trong s h t l hậ ố ọc sinh yêu thích môn Toán ở rường đó, tỷ ệ ọc sinh yêu thích môn Lý
chi m 40%. ế
Bài 1.51. Nghiên cứu hai công ty kinh doanh Bất độ ằng, xác suấng sản tại Việt Nam. Biết r t
để ị công ty Bất độ ản Phát Đạng s t kinh doanh b thua lỗ năm tới là 0,2; công ty Bất động sản
Phương Bắ năm tới là 0,15; cả hai công ty trên đề năm tới là c kinh doanh bị thua lỗ u thua lỗ
0,1. Tính xác suất để:
a) C thua l ả hai công ty trên đều không bị ỗ trong năm tới.
b) Có đúng một công ty kinh doanh bị trong năm tớ thua lỗ i.
Giải
G n cọi A là biế ố "Công ty Phát Đạ trong năm tớt bị thua lỗ i".
G n cọi B là biế ố "Công ty Phương Bắ trong năm tớc bị thua lỗ i".
Ta có:
0,2, 0,15, 0,1P A P B P AB
Nhận thấy 𝑃
𝐴𝐵
≠𝑃
𝐴
. 𝑃(𝐵 ) nên A, B phụ thuộc nhau.
a) G n c thua l ọi C là biế ố "Cả hai công ty trên đều không bị ỗ trong năm tới".
Suy ra: C
n clà biế ố "Có ít nhất 1 công ty bị ăm tớ thua lỗ trong n i".
Ta có: 𝑃 𝑃 𝑃
𝐶
= 𝑃
𝐴 + 𝐵
=
𝐴
+
𝐵
−𝑃
𝐴𝐵
= 0,2 + 0,15 − 0,1 = 0,25
Suy ra: 𝑃
𝐶
= 1 −𝑃
𝐶
= 0,75
b) G n c " thua l i". ọi D là biế ố Có đúng một công ty kinh doanh bị ỗ trong năm tớ
7
𝑃 𝑃
𝐷
=
𝐴𝐵
+ 𝐴
𝐵
=
𝑥𝑘
𝑃
𝐴𝐵
+ 𝑃
𝐴
𝐵
= 𝑃
𝐴
−𝑃
𝐴𝐵
+ 𝑃
𝐵
−𝑃
𝐴𝐵
= 0,2 0,1 + 0,− 15 − 0,1 = 0,15
8
D - c Bayes ạng 2. Công thức xác suất đầy đủ Công thứ
Cho t h n c A
1
; A ; A
2
; …
n
là mộ ệ đầy đủ các biế ố. Ta có:
I. Công thức xác suất đầy đủ
1 1 2 2
/ / ... /
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A
II. Công thức Bayes
/
/
k k
k
P A P B A
P A B
P B
Chú ý 1: Ta áp dụng công thức xác suất đầy đủ ần tính xác suấ khi biến cố c t phụ thuộc hệ
đầy đủ các biế n cố.
Chú ý 2: Phân biệt công thức Bayes v u kiới công thức xác suất có điề ện (Ta áp dụng công
thức Bayes khi c u ki n n c c n cần tính xác suất có điề ệ mà biế ố ần tính xác suất là thành phầ ủa
h n cệ đầy đủ các biế ố).
Bài 1.37. Một h m i. L y ra ngộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 quả ớ ần đầu tiên lấ ẫu nhiên
3 qu u xong l 3 qu p. Lả bóng để thi đấu. Thi đấ ại hoàn trả ả vào hộ ầ ứ ạn th hai l i lấy ra ng u ẫ
nhiên 3 quả thi đấu. Tính xác suất để để cả 3 quả được lấy ra l u m ở ần hai đề ới.
Giải
Gọi
i
A
n c y ra l qu mlà biế ố “Trong 3 quả bóng bàn lấ ần đầu có i ả ới”,
.
Có
0 1 2 3
, , ,A A A A
n c . là hệ đầy đủ các biế ố
3 1 2
6 9 6
0 1
3 3
15 15
2 1 3
9 6 9
2 33 3
15 15
.
4 27
;
91 91
.
216 12
;
455 65
C C C
P A P A
C C
C C C
P A P A
C C
G n c y ra l u m ọi A là biế ố “3 quả bóng bàn lấ ần sau đề ới”.
33 3 3
79 8 6
0 1 2 3
3 3 3 3
15 15 15 15
12 8 1 4
/ ; / ; / ; /
65 65 13 91
CC C C
P A A P A A P A A P A A
C C C C
Áp dụ công thức xác suất đầy đủ, ta cóng :
0 0 1 1 2 2 3 3
. / . / . / . /P A P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A
=
4
91
.
12
65
+
27
91
.
8
65
+
216
455
.
1
13
+
12
65
.
4
91
=
528
5915
≈ 0,0893
9
Bài 1.38. Có ba khẩu pháo cùng bắn vào mộ ục tiêu, mỗ ột phát. Xác suất m i khẩu bắn m t bắn
trúng mục tiêu củ ba tương ứng là 0,5; 0,7 và 0,8. Nếu trúng ít a khẩu thứ nhất, thứ hai, thứ
nh b t, n t m u bất hai phát thì mục tiêu sẽ ị tiêu diệ ếu trúng một phát thì xác suấ ục tiê ị tiêu diệt
là 0,6. Tính xác suấ ục tiêu bị tiêu diệ ắn ba phát đạn trên.t m t khi b
Giải
G n c "Kh bọi 𝐴
𝑖
là biế ố ẩu pháo thứ i ắn trúng mục tiêu", 𝑖 = 1,3
.
Ta có 𝐴
1 3
, 𝐴
2
, 𝐴 c lđộ ập nhau và 𝑃
𝐴
1 2
= 0,5, 𝑃
𝐴
= 0,7, 𝑃
𝐴
3
= 0,8.
Gọi 𝐵
𝑗
n c khlà biế ố "Có j ẩu pháo bắn trúng mục tiêu", 𝑗 = 0; 3
.
𝑃
𝐵
0 1 2
= 𝑃
𝐴
𝐴
𝐴
3
=
đ𝑙
𝑃
𝐴
1 2
. 𝑃𝐴
. 𝑃
𝐴
3
= 0,5.0,3.0,2 = 0,03
𝑃
𝐵
1 1
= 𝑃
𝐴 𝐴
2
𝐴
3
+ 𝐴
1
𝐴
2
𝐴
3
+ 𝐴
1
𝐴
2
𝐴
3
=
𝑥𝑘
𝑃
𝐴
1
𝐴
2
𝐴
3
+ 𝑃
𝐴
1
𝐴
2
𝐴
3
+ 𝑃
𝐴 𝐴
1
2 3
𝐴
=
đ𝑙
𝑃
𝐴
1 2
. 𝑃𝐴
. 𝑃
𝐴
3
+ 𝑃
𝐴
1
. 𝑃 𝑃
𝐴
2
.
𝐴
3
+ 𝑃
𝐴
1
. 𝑃
𝐴
2
. 𝑃
𝐴
3
= 0,5.0,3.0,2 + 0,5.0,7.0,2 + 0,5.0,3.0,8 = 0,22
𝑃
𝐵
3 1 2 3
= 𝑃
𝐴 𝐴 𝐴
=
đ𝑙
𝑃
𝐴
1 2 3
. 𝑃 𝐴
. 𝑃
𝐴
= 0,5.0,7.0,8 = 0,28
𝑃
𝐵
2 0
= 1 −𝑃
𝐵
−𝑃
𝐵
1
−𝑃
𝐵
3
= 0,47
G n c t". ọi C là biế ố "Mục tiêu bị tiêu diệ
0 1 2 3
/ 0, / 0,6, / / 1P C B P C B P C B P C B
Áp dụng công thức xác suất đầ đủ, ta có:y
0 0 1 1 2 2 3 3
. / . / . / . /P C P B P C B P B P C B P B P C B P B P C B
= 0, .1 = 0,03.0 + 0, .0,6 + 0, .1 + 0,22 47 28 882
Bài 1.39. Có 20 sinh viên được chia thành 4 nhóm, trong đó nhóm một có 5 sinh viên, nhóm hai
có 6 sinh viên, nhóm ba có 7 sinh viên, nhóm bốn có 2 sinh viên. Khả năng hoàn thành chương
trình thực tập của sinh viên trong 4 nhóm trên lần lượt là 0,9; 0,8; 0,85; 0,7. Chọn ngẫu nhiên một
sinh viên từ nhóm đó.
a) Tính khả năng sinh viên đượ ọn không hoàn thành chương trình thự c ch c tập.
b) N c ch c tếu sinh viên đượ ọn không hoàn thành chương trình thự ập thì khả năng sinh viên
đó thuộc nhóm nào trong những nhóm trên là lớn nhất?
Giải
Gọi
i
A
n c c ch n thulà biế ố “Sinh viên đượ ọ ộc nhóm ”, i
1,4i
.
Có
1 2 3 4
, , ,A A A A
n c . là hệ đầy đủ các biế ố
10
𝑃
𝐴
1
=
5
20
= 0,25; 𝑃
𝐴
2
=
6
20
= 0,3; 𝑃
𝐴
3
=
7
20
= 0,35; 𝑃
𝐴
4
=
2
20
= 0,1
G n c c chọi A là biế ố “Sinh viên đượ ọn không hoàn thành chương trình thực tập”.
𝑃
𝐴/𝐴
1
= 0,1; 𝑃
𝐴/𝐴
2 3 4
= 0,2; 𝑃
𝐴/𝐴
= 0,15; 𝑃
𝐴/𝐴
= 0,3
a) ng t Áp dụ công thức xác suấ đầy đủ, ta có:
𝑃
𝐴
= 𝑃
𝐴
1 1 2
. 𝑃
𝐴/𝐴
+ 𝑃
𝐴
. 𝑃
𝐴/𝐴
2 4
+ 𝑃
𝐴
3 3 4
. 𝑃
𝐴/𝐴
+ 𝑃
𝐴
. 𝑃
𝐴/𝐴
= 0,25.0,1 + 0,3.0,2 + 0,35.0,15 + 0,1.0,3 = 0,1675
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
𝑃
𝐴
1
/𝐴
=
𝑃
𝐴
1
. 𝑃𝐴/𝐴
1
𝑃
𝐴
=
0, .0,125
0,
1675
=
10
67
𝑃
𝐴
2
/𝐴
=
𝑃
𝐴
2
. 𝑃
𝐴/𝐴
2
𝑃
𝐴
=
0,3.0,2
0,
1675
=
24
67
𝑃
𝐴
3
/𝐴
=
𝑃
𝐴
3
. 𝑃
𝐴 𝐴/
3
𝑃
𝐴
=
0,35 15.0,
0,
1675
=
21
67
𝑃
𝐴
4
/𝐴
=
𝑃
𝐴
4
. 𝑃
𝐴/𝐴
4
𝑃
𝐴
=
0,1.0,3
0,
1675
=
12
67
Nhận thấy
2
( / )P A A
l n nh t. T c chớ ấ ức là nếu sinh viên đượ ọn ra không hoàn thành chương
trình thự ập thì khả năng sinh viên đó thuộc nhóm 2 là lớc t n nhất.
Bài 1.40. Ở công ty A có 45% nhân viên đi làm bằng xe máy, 15% nhân viên đi làm bằng ô
tô riêng, số còn lại đi làm bằ xe buýt. Khả năng đến công ty đúng giờ ủa nhân ng dự kiến c
viên đi làm bằng xe máy, ô tô riêng, xe buýt tương ứng là 98%; 95% và 90%.
a) Tính tỷ lệ nhân viên công ty A đến công ty đúng giờ d ki n. ự ế
b) Trong s d ki n, t lố nhân viên đến công ty đúng giờ ự ế ỷ ệ nhân viên đi làm bằng xe buýt
chi ếm bao nhiêu %?
Giải
Ký hiệ ại phương tiện xe máy, ô tô, xe buýt lần lượt là phương tiệu lo n loại 1, 2, 3.
Chọn ng m ẫu nhiên ột nhân viên của công ty A.
Gọi
i
A
n c ng ti n lolà biế ố “Nhân viên đó đi làm bằng phươ ệ ại i”,
1,3i
.
Ta có
1 2 3
, ,A A A
n c . là hệ đầy đủ các biế ố
𝑃
𝐴
1 2 3
= 0,45, 𝑃
𝐴
= 0,15, 𝑃
𝐴
= 0,4
G n c d ki ọi B là biế ố “Nhân viên đó đến công ty đúng giờ ự ến”.
1 2 3
/ 0,98, / 0,95, / 0, 9P B A P B A P B A
11
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
3
1
. / 0,45.0,98 0,15.0,95 0, 4.0,9 0,9435.
i i
i
P B P A P B A
Vậy tỷ lệ nhân viên công ty A đến công ty đúng giờ d ki n ự ế là 94,35%.
b) Áp dụng c Bayes : công thứ , ta có
3 3
3
/
0,4.0,9 240
/ 0,38156
0,9435 629
P A P B A
P A B
P B
V y trong s d ki n, t l nhậ ố nhân viên đến công ty đúng giờ ự ế ỷ ệ ân viên đi làm bằng xe buýt
chi 38,156 %. ếm
Bài 1.41. Ban ph huynh m t l p h t mua 12 h ng d p t ng k t cuụ ộ ớ ọc đặ ộp bút chì làm quà tặ ị ổ ế ối
năm. Trong đó, có 5 hộp bút loạ ộp có 8 bút chì ruộ ềm và 2 bút chì ruội A, mỗi h t m t cứng; 4
h p lo i B, m i h t m t c ng; 3 h p lo i C, m i hộ ạ ỗ ộp có 7 bút chì ruộ ềm và 3 bút chì ruộ ứ ộ ạ ỗ ộp có 6
bút chì ruộ ềm và 4 bút chì ruộ lô bút đó ngườ ẫu nhiên một m t cứng. Từ i ta chọn ra ng t chiếc
để ể ki m tra.
a) Tính xác suất để ếc bút đượ ấy ra là bút chì ruộ chi c l t mềm.
b) Bi t r i ru t m c l y ra t h i A. ế ằng bút chì lấy ra là loạ ộ ềm, tính xác suất để nó đượ ấ ừ ộp bút loạ
Giải
G i h i A, B, C l i 1, 2, 3. ọ ộp bút loạ ần lượt là hộp bút loạ
G n c c l ", ọi 𝐴
𝑖
là biế ố "Hộp bút đượ ấy ra là hộp bút loại i 𝑖 = 1; 3
.
Ta có 𝐴
1 3
, 𝐴
2
, 𝐴 n c . là hệ đầy đủ các biế ố
𝑃
𝐴
1
=
5
12
; 𝑃
𝐴
2
=
4
12
; 𝑃
𝐴
3
=
3
12
G n c "Chi t m m". ọi D là biế ố ếc bút lấy ra là chiếc bút ruộ ề
1 2 3
8 7 6
/ ; / ; /
10 10 10
P D A P D A P D A
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
1 1 2 2 3 3
. / . / . /P D P A P D A P A P D A P A P D A
=
5
12
.
8
10
+
4
12
.
7
10
+
3
12
.
6
10
=
43
60
≈ 0,7167
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
12
1 1
1
5 8
.
. /
20
12 10
/ 0, 4651
43 43
60
P A P D A
P A D
P D
Bài 1.42. Có hai lô sản phẩm: lô một có 7 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm hỏng; lô hai có 3 sản
phẩm tốt và 4 sản ph m hẩ ỏng. Từ lô hai lấy ra ngẫu nhiên cùng lúc 2 sản phẩ ỏm b vào lô một.
Sau đó từ lô một lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Khả năng ở lô hai còn lại
mấy sản phẩm hỏng là lớn nhất?
Giải
G n cọi 𝐴
𝑖
là biế ố "Có lô sang lô i sản phẩm hỏng trong 2 s/phẩm lấy từ 2 1", 𝑖 = 0; 2
.
Ta có 𝐴 𝐴
0
,
1
, 𝐴
2
n c . là hệ đầy đủ các biế ố
𝑃
𝐴
0
=
𝐶
3
2
𝐶
7
2
=
1
7
; 𝑃
𝐴
1
=
𝐶
3
1
. 𝐶
4
1
𝐶
7
2
=
4
7
; 𝑃
𝐴
2
=
𝐶
4
2
𝐶
7
2
=
2
7
G n c n ph m l y t n ph m t t". ọi B là biế ố "Sả ẩ ấ ừ lô 1 là sả ẩ ố
𝑃
(𝐵/𝐴
0
) =
9
11
; ) =𝑃(𝐵/𝐴
1
8
11
; 𝑃(𝐵/𝐴
2
) =
7
11
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
0 0 1 1 2 2
. / . / . /P B P A P B A P A P B A P A P B A
=
1
7
.
9
11
+
4
7
.
8
11
+
2
7
.
7
11
=
5
7
Áp dụng công thứ Bayes, ta có:c
0 0
0
1 9
.
. /
9
7 11
/
5 55
7
P A P B A
P A B
P B
1 1
1
4 8
.
. /
32
7 11
/
5 55
7
P A P B A
P A B
P B
2 2
2
2 7
.
. /
14
7 11
/
5 55
7
P A P B A
P A B
P B
Nhận thấy
1
/P A B
lớn nh u s n ph m lất nên nế ả ẩ ấy ở lô 1 là sả ốt thì khản phẩm t năng lô 2
còn lạ ỏng là lới 3 sản phẩm h n nhất.
13
Bài 1.43. Có 2 thùng đựng sách: thùng 1 có 7 quyển sách tự nhiên và 5 quyển sách xã hộ i;
thùng 2 có 3 quyển sách tự nhiên và 3 quyển sách xã hội. Trong quá trình vậ ển thùng 1 n chuy
b t 2 quy i ta chuy n m sao cho ị rơi mấ ển sách. Sau đó ngườ ể ột ít sách từ thùng 1 sang thùng 2
số ng nhau. sách ở 2 thùng bằ
a) Tính xác suất để ển sách từ thùng 1 sang thì số ển sách tự nhiên và số sau khi chuy quy
quy n b ng nhau. ển sách xã hội ở thùng 2 vẫ ằ
b) Nếu sau khi chuy quy quyển sách từ thùng 1 sang, thùng 2 có số ển sách tự nhiên và số ển
sách xã hộ ằng nhau thì khả năng thùng 1 bị ển sách tự nhiên là bao nhiêu?i b mất 2 quy
Giải
Gọi
i
A
c q/ là b/ ố “Trong 2 quyển sách bị rơi của thùng 1 có i sách tự nhiên”,
.
Có
0 1 2
, ,A A A
h n c . là ệ đầy đủ các biế ố
1 1 22
7 5 75
0 1 2
2 2 2
12 12 12
.
5 35 7
; ;
33 66 22
C C CC
P A P A P A
C C C
G n cọi A là biế ố “Sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 thì số ển sách tự nhiên và quy
số quyển sách xã hội ở n b thùng 2 vẫ ằng nhau”.
Hay n c t chuyA chính là biế ố “Từ thùng mộ ển sang thùng hai 1 quyển sách tự nhiên và 1
quy ển sách xã hội”.
1 1 1 1 1 1
7 3 6 4 5 5
0 1 2
2 2 2
10 10 10
. . .
7 8 5
/ ; / ; /
15 15 9
C C C C C C
P A A P A A P A A
C C C
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
0 0 1 1 2 2
. / . / . /
5 7 35 8 7 5 35
. . .
33 15 66 15 22 9 66
P A P A P A A P A P A A P A P A A
b) Áp dụng c Bayes : công thứ , ta có
2 2
2
7 5
.
. /
1
22 9
/
35 3
66
P A P A A
P A A
P A
Bài 1.45. M t b g m hai lo u ch u v ch v i t lộ ản tin điện báo chỉ ồ ại tín hiệ ấm và tín hiệ ạ ớ ỷ ệ tương
ứng là 65% và 35%. Biế ằng, trong quá trình truyền tin 10% tín hiệ bóp méo thành t r u chấm bị
tín hiệ ạch và 8% tín hiệ bóp méo thành tín hiệ ấm. Xác định xác suất tín hiệu v u vạch bị u ch u
khi truy nh u: ền đi sẽ ận được đúng nế
a) Nh u ch ận được tín hiệ ấm.
b) Nh u v ch. ận được tín hiệ ạ
14
Giải
G n c u truy u ch ọi A là biế ố “Tín hiệ ền đi là tín hiệ ấm”.
Ta có:
,A A
n c . là hệ đầy đủ các biế ố
0,65, 0,35P A P A
G n c u nh u ch ọi B là biế ố “Tín hiệ ận được là tín hiệ ấm”.
/ 0,9, / 0,08P B A P B A
a) ng Áp dụ công thức xác suất đầy đủ, ta có:
( ) ( ). ( / ) . / 0,65.0,9 0, 35.0,08 0,613.P B P A P B A P A P B A
Áp dụ công thứ , ta cóng c Bayes :
( ) ( / ) 0,65.0,9
( / ) 0,9543.
( ) 0,613
P A P B A
P A B
P B
b) Ta có:
1 1 0,613 0,387P B P B
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
. /
0,35.0,92 322
/ 0,832
0,387 387
P A P B A
P A B
P B
Bài 1.48. M o hi m c a Hoa K c qu n tr r i ro cột công ty bả ể ủ ỳ muốn nâng cao năng lự ả ị ủ ủa mình
bằng cách chia khách hàng của công ty thành 3 đối tượng: ít rủ ủi ro trung bình và rủi ro, r i ro
cao v i t l ớ ỷ ệ tương ứng là 60% ; 27% và 13%. Khả năng khách hàng thuộc 3 đối tượng trên
g p r i ro trong m ặ ủ ột năm lần lượt là 0,08 ;0,4 và 0,75.
a) Tính tỷ khách hàng của công ty đó gặ ủi ro trong năm. lệ p r
b) Trong s p r i ro chi m bao ố khách hàng của công ty gặ ủi ro trong năm, đối tượng ít rủ ế
nhiêu ph ần trăm?
Giải
Chọn ng cẫu nhiên 1 khách hàng ủa công ty bả ểm đó.o hi
G i ro, r i ro cao l ng lo i 1, 2, 3. ọi đối tượng ít rủ ủi ro trung bình, rủ ần lượt là đối tượ ạ
G n cọi 𝐴
𝑖
là biế ố "Khách hàng đó thuộc đối tượng loại i", 𝑖 = 1; 3
.
Ta có 𝐴
1 3
, 𝐴
2
, 𝐴 n c . là hệ đầy đủ các biế ố
𝑃
𝐴
1 2 3
= 0,6; 𝑃
𝐴
= 0,27; 𝑃
𝐴
= 0,13
G n cọi B là biế ố "Khách hàng đó gặ ủi ro trong năm".p r
1 2 3
/ 0,08, / 0,4, / 0,75P B A P B A P B A
15
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
1 1 2 2 3 3
. / . / . /
0,6.0, 08 0,27.0, 4 0,13.0,75 0,2535
P B P A P B A P A P B A P A P B A
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
1 1
1
. /
0,6.0, 08 32
/ 0,1893
0,2535 169
P A P B A
P A B
P B
Bài 1.49. Để m r ng cho s n xu c Th t mua 50 ở ộng nhà xưở ả ất, công ty Đứ ịnh đặ ống thép
180, tuy nhiên trong lô hàng này có 3 ống không đạt tiêu chuẩ ực. Trướn chịu l c khi tiến
hành lắp đặt cho nhà xưở ống thép phả ất lượng, mỗi i qua một bộ phận kiểm duyệt ch ng. Biết
r b ph n ki m duy t vằng, xác suất để ộ ậ ể ệt đồng ý lắp đặ ới ống đạt tiêu chuẩ ực và ốn chịu l ng
không đạt tiêu chuẩ ực tương ứng là 0,95 và 0,02. Lấ ẫu nhiên từ lô hàng đó n chịu l y một ng
một ống thép để kiểm duyệt.
a) Tính xác suất để ống thép này đượ ắp đặ c chấp nhận cho l t.
b) Bi t r ng mế ằ ột ống thép được đồng ý cho lắp đặ năng để ống thép này không đạt, hỏi khả t
tiêu chuẩ ằng bao nhiêu?n chịu lực b
Giải
G n c " n ch u l c". ọi A là biế ố Ống thép đó đạt tiêu chuẩ ị ự
Ta có: là hệ đầy đủ các biế𝐴, 𝐴
n cố.
𝑃
𝐴
=
47
50
; 𝑃
𝐴
=
3
50
G n c " c ch p nh n cho l t". ọi B là biế ố Ống thép đó đượ ấ ậ ắp đặ
/ 0,95; / 0,02P B A P B A
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
47 3
. / . / .0,95 .0, 02 0,8942
50 50
P B P A P B A P A P B A
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
3
.0, 02
. /
6
50
/
0, 8942 4471
P A P B A
P A B
P B

Tài liệu khác của Học viện Tài chính

Preview text:

BÀI TẬP CHƯƠNG I
Dạng 1. Xác suất của tích, Xác suất của tổng, Xác suất có điều kiện
I. Xác suất của tích
1. Trường hợp các biến cố độc lập nhau đl P A1A A 2 … n = P A1 . P A2 … . P(An)
2. Trường hợp các biến cố phụ thuộc nhau P A1A A 2 … n = P A1 . P A A 2/A1 … . P(An / A1A2 … n−1)
3. Đặc biệt: Khi biết 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐴𝐵 thì
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 −𝑃 𝐴𝐵 ; 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴𝐵)
II. Xác suất của tổng
1. Trường hợp hai biến cố
𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴𝐵
2. Trường hợp 3 biến cố
P A + B + C = P A + P B + P C − P AB − P AC − P BC + P(ABC) 3. N n c ếu các biế
ố xung khắc từng đôi thì xk P A1 + A + A 2 + ⋯ n = P A1 + P A2 + ⋯ + P An 4. N n c ếu các biế ố c l độ ập nhau thì P A P 1 + A2 + ⋯ + An = 1 − A1 + A + A 2 + ⋯ n đl = 1 − P A 1A 2 … A n = 1 − P A 1 P A 2 … P A n
Chú ý: Phương pháp phần bù khá hữ
u hiệu trong một số bài tập tính xác suất.
III. Xác suất có điều kiện P AB P A ∕ B = P B
Chú ý: P A ∕ B = 1 − P A ∕ B
Bài 1.21. Một công ty quảng cáo một loại sản phẩm mới bằng 2 hình thức: qua internet và qua
truyền hình. Biết rằng 32% khách hàng nắm được thông tin này qua internet, 45% khách hàng
nắm được thông tin này qua truyền hình và 17% khách hàng nắm được thông tin này qua cả hai
hình thức quảng cáo. Tính tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm mới này. Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng. G n c ọi A là biế
ố "Khách hàng đó nắm được thông tin qua internet".
Gọi B là biến cố "Khách hàng đó nắm được thông tin qua truyền hình". 1
Theo giả thiết, ta có: P  
A  0, 32, P B  0,45, P AB  0,17 Gọi C là biến c "
ố Khách hàng đó nắm được thông tin về sản phẩm mới này".
Ta có: P C  P A B  P  
A P B P AB  0,32  0,45  0,17  0,6
Vậy tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm mới này là 60%.
Bài 1.23. Theo thống kê về sinh viên mới t t
ố nghiệp ở một trường đại h c,
ọ tỷ lệ sinh viên nữ tốt
nghiệp loại giỏi là 19%. Tuy nhiên, trong số các sinh viên nữ, số em tốt nghiệp loại giỏi chiếm
25%. Tính tỷ lệ sinh viên nữ mới tốt nghiệp trường đó. Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên mớ ố i t t nghiệp c i h ủa trường đạ ọc đó. G n c ọi A là biế
ố “Sinh viên đó là sinh viên nữ” . Gọi B là biến cố t nghi “Sinh viên đó tố ệp loại giỏi”.
Theo giả thiết, ta có: P AB  0,19, P B / A  0,25 P ABP(AB) 0,19
Do P B / A  nên ( P ) A    76%. P AP(B / ) A 0,25
Bài 1.26. Có hai hộp sản phẩm. Hộp thứ nhất có 5 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm lọai II và 4 sản phẩm loại III. H p
ộ thứ hai có 6 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm loại II và 2 n ph sả ẩm loại III. T m ừ i h ỗ p l ộ ấy ra m t s ộ ản ph : ẩm. Tính xác suất để
a) Hai sản phẩm lấy ra cùng loại.
b) Hai sản phẩm lấy ra khác loại. Giải Gọi A n c là biế
ố “Sản phẩm lấy ở h p 1 ộ là sản phẩm loại i”,  1, 3 i . Gọi B n c là biế
ố “Sản phẩm lấy ở h p 2 ộ
là sản phẩm loạji j”,  1,3 j . a) Gọi A n c là biế ố n ph “Hai sả
ẩm lấy ra cùng loại”. P  
A P AB A B A B 1 1 2 2 3 3  xk
P A B P A B P A B 1 1   2 2  3 3 dl
P A .P B P A .P B P A .P B 1   1  2  2  3  3 5 6 3 3 4 2 47  .  .  .  12 11 12 11 12 11 132 b) Ta có A n c là biế ố n ph “Hai sả
ẩm lấy ra khác loại”. 2
P A   P  85 1 A  132
Bài 1.28. Kiện tướng cờ A đấu liên tiếp ới
v các kiện tướng cờ B và C tổng ộn c g 4 ván cờ (A
đấu với B trước rồi đấu với C, sau đó lại với B rồi với C). Xác suất A thắng ở ván thứ nhất
đối với B là 0,1 và đối với C là 0,2. Xác suất A thắng ở ván thứ i v
hai đố ới B là 0,3 và đối với C là 0,4. Tính xác suất:
a) A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đối với B.
b) A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đối với C. Giải
Ký hiệu các ván cờ có xác suất A thắng là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 lần lượt là 1, 2, 3, 4. Gọi A n c là biế
ố “A thắng ở ván cờ thứ i”, i  1, 4 i . a) Gọi D n c là biế
ố “A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đối với B”.
P D  P A  1 A 2 A A 1 3  xk
P A   P  1 A 2 A A 1 3  dl
P A   P  1 A .P  2 A .P A 1   3
 0,1 0,9.0, 8.0,3  0, 316. b) Gọi E n c là biế
ố “A thắng ván đầu tiên trong cuộc chơi là đố ới C”. i v
P E  P 1 A A  1 A 2 A 3 A A  2 4  xk
P A1A  P A1A2A3A 2 4  dl
P A1.P A  P A1.P A2.P A3 .P A 2   4 
 0.9.0,2  0, 9.0, 8.0,7.0, 4  0,3816.
Bài 1.30. Có 3 kiện hàng, mỗi ện
ki có 10 sản phẩm. Số sản phẩm loại 1 có trong mỗi kiện
hàng tương ứng là 7, 8, 9. Từ mỗi ện
ki hàng người ta lấy ngẫu nhiên, đồng thời 2 sản phẩm để ể ki m tra, ế
n u cả 2 sản phẩm được kiểm tra đều là loại 1 thì mua kiện hàng đó. Tìm xác suất để có ít nhấ
t 1 kiện hàng được mua. Giải Gọi A n c là biế
ố “Kiện hàng thứ i được mua”, i  1,3 i . 2 2 2 C 7 C 28 C 4
Ta có A ,A ,A c l
độ ập nhau và P A   ; P A   ; P A   1  7 2  2  8 2  3  9 1 2 3 2 C 15 C 45 C 5 10 10 10 3 Gọi A là biến c ố t m “Có ít nhấ t ki ộ ện hàng được mua”. P  
A P A A A 1 2 3 
 1 P A A A 1 2 3 
 1 P A .A .A 1 2 3  dl
1  P A .P A .P A 1   2  3 8 17 1  1 . .  0,9597 15 45 5
Bài 1.31. Có 2 người luân phiên tung 1 đồng xu cho tới khi đồng xu xuất hiện mặt sấp thì d ng l ừ
ại và người tung được mặt sấp đó thắng cuộc .
a) Tính xác suất để c ộc chơi dừ u
ng lại sau không quá 3 lần tung đồng xu.
b) Tính xác suất thắng cuộ ủa người tung trướ c c c. Giải Gọi A n c là biế
ố “Tung được mặt sấp ở lần tung thứ ii”,  1,2, 3,... i a) G i A ọ n c là biế ố "Cu ng l ộc chơi dừ ng xu
ại sau không quá 3 lần tung đồ ".
P A  P A A A A A A 1 1 2 1 2 3  xk
P A P AA P A A A 1   1 2   1 2 3  dl
P A P A .P A P A .P A .P A 1   1  2   1   2   3  2 3
 0, 5  0, 5  0.5  0, 875 b) Gọi B là biến cố c th "Người tung trướ ắng cu c". ộ
P B   P A A A A A A A A A  ... 1 1 2 3 1 2 3 4 5  xk
P A P A A A P A A A A A  ... 1   1 2 3  1 2 3 4 5 dl
P A P A .P A .P A P A .P A .P A P A .P A  ... 1   1  2  3
 1  2  3  4  5 3 5 0, 5 2
 0, 5  0.5  0, 5  ...   2 1 0, 5 3
Bài 1.34. Một máy gồm hai bộ phận hoạt động độc ập
l nhau, xác suất bộ phận thứ nhất bị hỏng là 0,1;
bộ phận thứ hai bị hỏng là 0,15. Máy sẽ không hoạt động được khi chỉ cần một b ph ộ ận bị h ng. Gi ỏ ả sử ng máy ngừ
hoạt động. Tính xác suất để chỉ có một b ph ộ ận bị hỏng. Giải Gọi A n c là biế ố “B ph ộ ận thứ i bị hỏng”, i  1,2 i . 4 Ta có A ,A c l
độ ập nhau và P A  0,1, P A  0,15 1   2  1 2 . Gọi A là biến c
ố “Máy ngừng hoạt động”. Gọi B n c là biế ố “Chỉ có một b ph ộ ận bị hỏng”. P AB
Ta cần tính P B /  A P   A
Nhận thấy, nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra. D o đó
B A nên AB B . Suy ra: xk
P AB  P B  P AA A A P A A P AA 1 2 1 2   1 2   1 2  dl
P A .P A P A .P A  0,1.0, 85  0,9.0,15  0,22 1  2  1  2 Mặt khác: P  
A P A A P A P A P A A 1 2   1  2  1 2 dl
P A P A P A .P A  0,1  0,15  0,1.0,15  0,235. 1   2   1  2  Vậy ta có: 0,22 44 ( P B / ) A   0,235 47
Vậy nếu máy ngừng hoạt động thì xác suất để chỉ t b có mộ ph ộ ận bị hỏng là 44/47.
Bài 1.35. Ở một trường THPT có 50% học sinh yêu thích môn Toán, 40% học sinh yêu thích
môn Lý, 30% học sinh yêu thích môn óa, H
20% học sinh yêu thích cả môn Toán và môn Lý,
15% học sinh yêu thích cả môn Toán và môn Hóa, 10% c
họ sinh yêu thích cả môn Lý và
môn Hóa, 5% học sinh yêu thích cả ba môn Toán, Lý , Hóa.
a) Tính tỷ lệ học sinh ở trường đó yêu thích ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hóa.
b) Trong số học sinh yêu thích môn Toán ở trường đó, tỷ lệ học sinh yêu thích môn Lý bằng bao nhiêu? Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trường đó. G n c ọi A là biế ố "H
ọc sinh đó yêu thích môn Toán".
Gọi B là biến cố "Học sinh đó yêu thích môn Lý". Gọi C là biến c ố "H
ọc sinh đó yêu thích môn Hóa". 5
P A  0,5,P B   0, 4,P C   0, 3,P AB   0,2
P AC  0,15,P BC  0,1,P ABC  0, 05
a) Gọi D là biến cố "Học sinh đó yêu thích ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hóa".
P D   P A B C
P A P B P C  P AB  P AC  P BC  P ABC
 0,5  0, 4  0, 3  0,2  0,15  0,1  0, 05  0, 8 Vậy t l ỷ ệ h c sinh ọ
trường đó yêu thích ít nhất 1 trong 3 môn Toán, Lý, Hóa là 80%. P AB 0,2
b) Ta cần tính P B /  A    0, 4 P   A 0,5 Vậy trong s
ố học sinh yêu thích môn Toán ở trường đó, tỷ lệ học sinh yêu thích môn Lý chiếm 40%.
Bài 1.51. Nghiên cứu hai công ty kinh doanh Bất động sản tại Việt Nam. Biết ằng, r xác suất
để công ty Bất động sản Phát Đạt kinh doanh bị thua lỗ năm tới là 0,2; công ty Bất động sản
Phương Bắc kinh doanh bị thua lỗ năm tới là 0,15; cả hai công ty trên đều thua lỗ năm tới là 0,1. Tính xác suất để:
a) Cả hai công ty trên đều không bị thua lỗ trong năm tới.
b) Có đúng một công ty kinh doanh bị thua lỗ trong năm tớ i. Giải G n c ọi A là biế
ố "Công ty Phát Đạt bị thua lỗ trong năm tớ i".
Gọi B là biến cố "Công ty Phương Bắc bị thua lỗ trong năm tới". Ta có: P  
A  0,2, P B  0,15, P AB  0,1
Nhận thấy 𝑃 𝐴𝐵 ≠𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵) nên A, B phụ thuộc nhau.
a) Gọi C là biến cố "Cả hai công ty trên đều không bị thua l ỗ trong năm tới". Suy ra: C n c là biế
ố "Có ít nhất 1 công ty bị thua lỗ trong năm tới".
Ta có: 𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴𝐵 = 0,2 + 0,15 − 0,1 = 0,25
Suy ra: 𝑃 𝐶 = 1 −𝑃 𝐶 = 0,7 5 b) Gọi D là biến c "
ố Có đúng một công ty kinh doanh bị thua l ỗ trong năm tới". 6 𝑥𝑘
𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 −𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴𝐵
= 0,2 − 0,1 + 0,15 − 0,1 = 0,15 7
Dạng 2. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes Cho A là mộ ệ đầy đủ các biế ố. Ta có: 1; A ; A 2; … n t h n c
I. Công thức xác suất đầy đủ
P B  P A P B / A P A P B / A ...  P A P B / A 1   1   2   2   n  n II. Công thức Bayes P A P B A k   / k
P A / B kP B
Chú ý 1: Ta áp dụng công thức xác suất đầy đủ khi biến cố cần tính xác suất phụ thuộc hệ
đầy đủ các biến cố.
Chú ý 2: Phân biệt công thức Bayes với công thức xác suất có u
điề kiện (Ta áp dụng công
thức Bayes khi cần tính xác suất có u điề kiện mà n c biế
ố cần tính xác suất là thành phần của
hệ đầy đủ các biến cố).
Bài 1.37. Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 quả mới. Lần đầu tiên lấy ra ngẫu nhiên
3 quả bóng để thi đấu. Thi đấu xong lại hoàn trả 3 quả vào p. hộ Lần thứ hai ạ l i lấy ra ngẫu
nhiên 3 quả để thi đấu. Tính xác suất để
cả 3 quả được lấy ra ở lần hai đều mới. Giải Gọi A n c là biế
ố “Trong 3 quả bóng bàn lấy ra lần đầu có i quả mới”, i  0, 3 i .
Có A ,A ,A ,A là hệ đầy đủ các biến c . ố 0 1 2 3 3 1 2 C 4 C . P A C 27 6   ; P A   3   9 6 0 1 3 C 91 C 91 15 15 2 1 3 P A C .C 216 C 12 9 6   ; P A   3   9 2 3 3 C 455 C 65 15 15 Gọi A là biến c ố
“3 quả bóng bàn lấy ra l u m ần sau đề ới”. 3 3 3 3  C C C C P A / A  12 8 1 4 9   ; P A /A   ;P A /A   ;P A /A   3   8 3   7 3   6 0 1 2 3 3 C 65 C 65 C 13 C 91 15 15 15 15
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P  
A P A .P B / A P A .P B / A P A .P B / A P A .P B / A 0   0   1   1   2   2   3   3  412 27 8 216 1 12 4 528 = . + . + . + . = ≈ 0,0893 91 65 91 65 455 13 65 91 5915 8
Bài 1.38. Có ba khẩu pháo cùng bắn vào một ục
m tiêu, mỗi khẩu bắn một phát. Xác suất bắn
trúng mục tiêu của khẩu thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,5; 0,7 và 0,8. Nếu trúng ít
nhất hai phát thì mục tiêu sẽ bị tiêu diệt, nếu trúng một phát thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt
là 0,6. Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệ
t khi bắn ba phát đạn trên. Giải Gọi 𝐴 là biế ố
ẩu pháo thứ i ắn trúng mục tiêu", 𝑖 n c "Kh b 𝑖 = 1,3 . Ta có 𝐴1, 𝐴2, 3 𝐴 c l
độ ập nhau và 𝑃 𝐴1 = 0,5, 𝑃 2 𝐴 = 0,7, 𝑃 𝐴3 = 0,8. Gọi 𝐵 n c là biế
ố "Có j khẩu pháo bắn trúng mục tiêu", 𝑗 𝑗 = 0; 3 . đ𝑙 𝑃 𝐵 . 𝑃 0 = 𝑃 1 𝐴 𝐴 2 𝐴 3 = 𝑃 𝐴 1
𝐴 2. 𝑃 𝐴 3 = 0,5.0,3.0,2 = 0,03 𝑃 𝐵1 = 𝑃 1
𝐴 𝐴 2 𝐴 3 + 𝐴 1 𝐴2 𝐴 3 + 𝐴 1 𝐴 2 𝐴3 𝑥𝑘 𝑃 𝐴 𝐴 𝐴
= 1 𝐴 2 𝐴 3 + 𝑃 𝐴 1 2 𝐴 3 + 𝑃 𝐴1 𝐴2 3 đ𝑙 =
𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴 2 . 𝑃 𝐴 3 + 𝑃 𝐴 1 . 𝑃 𝐴2 . 𝑃 𝐴
3 + 𝑃 𝐴 1 . 𝑃 𝐴2 . 𝑃 𝐴3
= 0,5.0,3.0,2 + 0,5.0,7.0,2 + 0,5.0,3.0,8 = 0,2 2 đ𝑙 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐴 = 0,5.0,7.0,8 = 0,28 3 = 𝑃 1 𝐴 2 𝐴 𝐴3 = 1 2 3
𝑃 𝐵2 = 1 −𝑃 𝐵0 −𝑃 𝐵1 −𝑃 𝐵3 = 0,47 Gọi C là biến c
ố "Mục tiêu bị tiêu diệt".
P C / B  0, P C / B  0,6, P C / B P C / B  1 0   1   2   3 
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P C  P B .P C / B P B .P C / B P B .P C / B P B .P C / B 0   0   1   1   2   2   3   3  = 0,03.0 + 0,2 .0,6 2 + 0,4 . 7 1 + 0,28.1 = 0,88 2
Bài 1.39. Có 20 sinh viên được chia thành 4 nhóm, trong đó nhóm một có 5 sinh viên, nhóm hai
có 6 sinh viên, nhóm ba có 7 sinh viên, nhóm bốn có 2 sinh viên. Khả năng hoàn thành chương
trình thực tập của sinh viên trong 4 nhóm trên lần lượt là 0,9; 0,8; 0,85; 0,7. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ nhóm đó.
a) Tính khả năng sinh viên đượ
c chọn không hoàn thành chương trình thực tập.
b) Nếu sinh viên được chọn không hoàn thành chương trình th c
ự tập thì khả năng sinh viên
đó thuộc nhóm nào trong những nhóm trên là lớn nhất? Giải Gọi A n c là biế
ố “Sinh viên được ch n thu ọ ộc nhóm i”, i  1, 4 i .
Có A ,A ,A , A là hệ đầy đủ các biến c . ố 1 2 3 4 9 5 6 7 2 𝑃 𝐴1 = = 0,25; 𝑃 𝐴 = 0,3; 𝑃 𝐴 = 0,35; 𝑃 𝐴 = 0,1 20 2 = 20 3 = 20 4 = 20 Gọi A là biến c ố c ch “Sinh viên đượ
ọn không hoàn thành chương trình thực tập”.
𝑃 𝐴/𝐴1 = 0,1; 𝑃 𝐴/𝐴2 = 0,2; 𝑃 𝐴/ 3 𝐴 = 0,15; 𝑃 𝐴/ 4 𝐴 = 0,3
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴/ 1 𝐴 + 𝑃 2
𝐴 . 𝑃 𝐴/𝐴2 + 𝑃 𝐴3 . 𝑃 𝐴/ 3 𝐴 + 𝑃 4 𝐴 . 𝑃 𝐴/ 4 𝐴
= 0,25.0,1 + 0,3.0,2 + 0,35.0,15 + 0,1.0,3 = 0,1675
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có: 𝑃 𝐴1 . 𝑃 𝐴/𝐴1 0,2 .0,1 5 10 𝑃 𝐴1/𝐴 = = = 𝑃 𝐴 0,1675 67 𝑃 𝐴2 . 𝑃 𝐴/𝐴2 0,3.0,2 24 𝑃 𝐴2/𝐴 = = = 𝑃 𝐴 0,1675 67 𝑃 𝐴 0,35.0,15 21 3 . 𝑃 𝐴/𝐴3 𝑃 𝐴 = 3/𝐴 = = 𝑃 𝐴 0,1675 67 𝑃 𝐴4 . 𝑃 𝐴/𝐴4 0,1.0,3 12 𝑃 𝐴4/𝐴 = = = 𝑃 𝐴 0,1675 67
Nhận thấy P(A / )
A lớn nhất. Tức là nếu sinh viên được chọn ra không hoàn thành chương 2
trình thực tập thì khả năng sinh viên đó thuộc nhóm 2 là lớ n nhất.
Bài 1.40. Ở công ty A có 45% nhân viên đi làm bằng xe máy, 15% nhân viên đi làm bằng ô
tô riêng, số còn lại đi làm bằng xe buýt. Khả năng đến công ty đúng giờ dự kiến của nhân
viên đi làm bằng xe máy, ô tô riêng, xe buýt tương ứng là 98%; 95% và 90%.
a) Tính tỷ lệ nhân viên công ty A đến công ty đúng giờ d ki ự ến.
b) Trong số nhân viên đến công ty đúng giờ d ự kiến, t
ỷ lệ nhân viên đi làm bằng xe buýt chi ếm bao nhiêu %? Giải
Ký hiệu loại phương tiện xe máy, ô tô, xe buýt lần lượt là phương tiện loại 1, 2, 3.
Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty A. Gọi A n c là biế ố “Nhân viên đó ng ti đi làm bằng phươ ện loại i”, i  1, 3 i .
Ta có A ,A ,A là hệ đầy đủ các biến c . 1 2 3 ố 𝑃 𝐴1 = 0,45, 𝑃 2 𝐴 = 0,15, 𝑃 3 𝐴 = 0,4 Gọi B n c là biế
ố “Nhân viên đó đến công ty đúng giờ d ki ự ến”.
PB / A  0,98, P B / A  0,95, P B / A  0, 9 1   2   3  10
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: 3 P B P
 A.P B /A  0,45.0,98 0,15.0,95 0,4.0,9 0,9435. i i i 1 
Vậy tỷ lệ nhân viên công ty A đến công ty đúng giờ d ki ự ến là 94,35%. b) Áp dụng c Bay công thứ es, ta có:
P A P B /A 3   3  P  0, 4.0,9 240 A / B     0, 38156 3  P B 0,9435 629
Vậy trong số nhân viên đến công ty đúng giờ dự kiến, t
ỷ lệ nhân viên đi làm bằng xe buýt chiếm 38,156 %.
Bài 1.41. Ban phụ huynh m t
ộ lớp học đặt mua 12 hộp bút chì làm quà tặng dịp t ng ổ kết cuối
năm. Trong đó, có 5 hộp bút loại A, mỗi hộp có 8 bút chì ruột mềm và 2 bút chì ruột cứng; 4 h p lo ộ ại B, m i h ỗ ộp có 7 bút chì t
ruộ mềm và 3 bút chì ruột cứng; 3 h p ộ loại C, m i ỗ hộp có 6
bút chì ruột mềm và 4 bút chì ruột cứng. Từ lô bút đó người ta chọn ra ngẫu nhiên một chiếc để ể ki m tra.
a) Tính xác suất để chiếc bút đượ ấy ra là bút chì ruộ c l t mềm.
b) Biết rằng bút chì lấy ra là loại ru t m ộ
ềm, tính xác suất để nó được lấy ra từ hộp bút loại A. Giải G i h ọ
ộp bút loại A, B, C lần lượt là hộp bút loại 1, 2, 3. Gọi 𝐴 là biế
ố "Hộp bút đượ ấy ra là hộp bút loại i 𝑖 n c c l ", 𝑖 = 1; 3. Ta có 𝐴
là hệ đầy đủ các biế ố 1, 𝐴2 , 3 𝐴 n c . 5 4 3 𝑃 𝐴1 = ; 𝑃 𝐴 ; 𝑃 𝐴 12 2 = 12 3 = 12 G n c ọi D là biế
ố "Chiếc bút lấy ra là chiếc bút ruột mềm". P  8 7 6 D / A  ; P D / A  ; P D / A  1   2   3  10 10 10
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P 
D PA .P D / A P A .P D / A P A .P D / A 1   1   2  2   3  3  8 54 7 3 6 43 . =+ . + . = ≈ 0,7167 12 10 12 10 12 10 60
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có: 11 5 8 P  .
A .P D / A 1   1  P  20 12 10 A / D     0, 4651 1  P D  43 43 60
Bài 1.42. Có hai lô sản phẩm: lô một có 7 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm hỏng; lô hai có 3 sản
phẩm tốt và 4 sản phẩm hỏng. Từ lô hai lấy ra ngẫu nhiên cùng lúc 2 sản phẩm bỏ vào lô một.
Sau đó từ lô một lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Khả năng ở lô hai còn lại
mấy sản phẩm hỏng là lớn nhất? Giải Gọi 𝐴 là biế
ố "Có i sản phẩm hỏng trong 2 s/phẩm lấy từ lô sang lô 2 1", 𝑖 n c 𝑖. = 0; 2 Ta có 𝐴 𝐴
là hệ đầy đủ các biến c . ố 0, 1 , 𝐴2 𝐶 2 1 𝐶 1. 𝐶 1 4 𝐶 2 4 2 𝑃 𝐴 3 3 4 0 = = ; 𝑃 𝐴 = ; 𝑃 𝐴 = 𝐶2 1 = 2 2 = 2 7 7 𝐶7 7 𝐶7 7
Gọi B là biến cố "Sản phẩm lấy từ lô 1 là sản phẩm t t". ố 9 8 7 𝑃(𝐵/𝐴0) = ; 𝑃(𝐵/𝐴 ) = ; 𝑃(𝐵/𝐴 11 1 11 2 ) = 11
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P B  P A .P B / A P A .P B / A P A .P B / A 0   0   1  1   2   2  9 1 4 8 2 7 5 . = + . + . = 7 11 7 11 7 11 7
Áp dụng công thức Bayes, ta có: 1 9 P  .
A .P B / A 0   0  P  9 7 11 A /B    0  P B 5 55 7 4 8 P  .
A .P B / A 1   1  P  32 7 11 A / B    1  P B  5 55 7 2 7 P  .
A .P B / A 2   2  P  7 11 14 A /B    2  P B 5 55 7
Nhận thấy P A / B lớn nhất nên nếu sản phẩm lấy ở lô 1 là sản phẩm tốt thì khả năng lô 2 1 
còn lại 3 sản phẩm hỏng là lớn nhất. 12
Bài 1.43. Có 2 thùng đựng sách: thùng 1 có 7 quyển sách tự nhiên và 5 quyển sách xã hội;
thùng 2 có 3 quyển sách tự nhiên và 3 quyển sách xã hội. Trong quá trình vận chuyển thùng 1 bị rơi t
mấ 2 quyển sách. Sau đó người ta chuyển một ít sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách ở ng nhau. 2 thùng bằ
a) Tính xác suất để sau khi ển
chuy sách từ thùng 1 sang thì số quyển sách tự nhiên và số
quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau.
b) Nếu sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang, thùng 2 có số quyển sách tự nhiên và số quyển
sách xã hội bằng nhau thì khả năng thùng 1 bị
mất 2 quyển sách tự nhiên là bao nhiêu? Giải Gọi A là b/c
ố “Trong 2 quyển sách bị rơi của thùng 1 có i q/sách tự nhiên”, i  0, 2 i .
Có A ,A ,A là hệ đầy đủ các biến c . ố 0 1 2 2 1 1 2 C 5 C . P A C 35 C 7 5   ; P A   ; P A   0 2  1 7 5 2  2 7 2 C 33 C 66 C 22 12 12 12 Gọi A là n
biế cố “Sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 thì số quyển sách tự nhiên và
số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau”.
Hay A chính là biến cố “Từ thùng một chuyển sang thùng hai 1 quyển sách tự nhiên và 1 quyển sách xã hội”. 1 1 1 1 1 1 C .C 7 C .C 8 C .  C P A /A  5 7 3   ; P A /A   ; P A /A   2   6 4 2   5 5 0 1 2 2 C 15 C 15 C 9 10 10 10
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P  
A P A .P A /A P A .P A /A P A .P A /A 0   0   1  1   2  2  5 7 35 8 7 5 35  .  .  .  33 15 66 15 22 9 66 b) Áp dụng c Bay công thứ es, ta có: 7 5 P  .
A .P A / A 2  2 P  1 22 9 A /A    2  P A 35 3 66
Bài 1.45. Một bản tin điện báo chỉ g m hai ồ loại tín hiệu chấm và u tín hiệ vạch với t l ỷ ệ tương
ứng là 65% và 35%. Biết rằng, trong quá trình truyền tin 10% tín hiệu chấm bị bóp méo thành
tín hiệu vạch và 8% tín hiệu vạch bị bóp méo thành tín hiệu chấm. Xác định xác suất tín hiệu khi truy nh ền đi sẽ u: ận được đúng nế
a) Nhận được tín hiệu chấm.
b) Nhận được tín hiệu vạch. 13 Giải Gọi A là biến c ố “Tín hiệu truy u ch ền đi là tín hiệ ấm”. Ta có: ,
A A là hệ đầy đủ các biến c . ố P  
A  0,65, P   A  0, 35 Gọi B n c là biế
ố “Tín hiệu nhận được là tín hiệu chấm”. P B / 
A  0, 9, P B / A  0,08
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(B)  P( )
A .P(B / ) A P  
A .P B / 
A  0, 65.0, 9  0, 35.0, 08  0, 613. P A P B A
Áp dụng công thức Bayes, ta có: ( ) ( / ) 0, 65.0, 9
P(A / B)    0, 9543. P(B) 0, 613 b)
Ta có: P B  1  P B  1 0,613  0, 387
Áp dụng công thức Bayes, ta có: P  
A .P B /  A P A B 0, 35.0,92 322 /     0, 832 P B 0, 387 387 Bài 1.48. M o hi ột công ty bả ểm c a Ho ủ a K
ỳ muốn nâng cao năng lực quản trị r i r ủ o của mình
bằng cách chia khách hàng của công ty thành 3 đối tượng: ít rủi ro, ủi r ro trung bình và rủi ro cao với t
ỷ lệ tương ứng là 60% ; 27% và 13%. Khả năng khách hàng thuộc 3 đối tượng trên gặp r i r ủ o trong m
ột năm lần lượt là 0,08 ;0,4 và 0,75.
a) Tính tỷ lệ khách hàng của công ty đó gặ p rủi ro trong năm.
b) Trong số khách hàng của công ty gặp rủi ro trong năm, đối tượng ít i rủ ro chiếm bao nhiêu phần trăm? Giải
Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng của công ty bảo hiểm đó.
Gọi đối tượng ít rủi ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao lần lượt là đối tượng loại 1, 2, 3. Gọi 𝐴 là biế
ố "Khách hàng đó thuộc đối tượng loại i", 𝑖 n c 𝑖 = 1; 3 . Ta có 𝐴
là hệ đầy đủ các biế ố 1, 𝐴2 , 3 𝐴 n c . 𝑃 𝐴1 = 0,6; 𝑃 2
𝐴 = 0,27; 𝑃 𝐴3 = 0,13
Gọi B là biến cố "Khách hàng đó gặ ủi ro trong năm". p r
PB / A  0,08, P B / A  0,4, P B / A  0,75 1   2   3  14
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P B  P A .P B /A P A .P B /A P A .P B / A 1   1   2  2   3   3 
 0,6.0, 08  0,27.0, 4  0,13.0,75  0,2535
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P A .P B / A 1   1  P  0,6.0, 08 32 A / B     0,1893 1  P B  0,2535 169
Bài 1.49. Để mở rộng nhà xưởng cho sản xuất, công ty Đức Thịnh đặt mua 50 ống thép
180, tuy nhiên trong lô hàng này có 3 ống không đạt tiêu chuẩn chịu ực. l Trước khi tiến
hành lắp đặt cho nhà xưởng, mỗi ống thép phải qua một bộ phận kiểm duyệt chất lượng. Biết
rằng, xác suất để bộ phận kiểm duyệt đồng ý lắp đặt với ống đạt tiêu chuẩn chịu ực l và ống
không đạt tiêu chuẩn chịu ực l
tương ứng là 0,95 và 0,02. Lấy một ngẫu nhiên từ lô hàng đó
một ống thép để kiểm duyệt.
a) Tính xác suất để ống thép này đượ
c chấp nhận cho lắp đặt.
b) Biết rằng một ống thép được đồng ý cho lắp đặt, hỏi khả năng để ống thép này không đạt tiêu chuẩn chịu lự ằng bao nhiêu? c b Giải G n c ọi A là biế ố " n ch
Ống thép đó đạt tiêu chuẩ ịu lực". Ta có: 𝐴, 𝐴 là hệ đầy đủ c ác biến cố. 47 3 𝑃 𝐴 = ; 𝑃 𝐴 = 50 50 Gọi B là biến c " ố c ch Ống thép đó đượ ấp nhận cho l t". ắp đặ PB / 
A  0, 95; PB /  A  0, 02
a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P B   P AP B A P AP B A 47 3 . / . /  .0, 95  .0, 02  0, 8942 50 50
b) Áp dụng công thức Bayes, ta có: 3
P AP B A .0, 02 . / P A B  6 50 /    P B 0, 8942 4471 15

Tài liệu liên quan: