Bài tập chương 3 toán cap cấp ( có đáp án )

lOMoARcPSD| 36207943
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP
BÀI TẬP CHƯƠNG III
Giảng viên: Phạm Văn Chững
NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN Trần Thanh Bình Man Đắc Sang Hoàng Thị Thanh Phương Trần Thị Thu Thảo Vương Hoàng Trân Nguyễn Thị Bích Ngọc BÀI TẬP CƠ BẢN BÀI TẬP CƠ BẢN \ lOMoARcPSD| 36207943
V.6. Cho hàm sản lượng cầu Q= theo giá P ( đơn vị : USD )
a) Xác định doanh thu, doanh thu cận biên và hệ số co giãn của cầu theo giá khi P = 4.
Giải thích ý nghĩa của các giá trị tính được.
b) Nếu P = 4 giá giảm đi 2% thì doanh thu thay đổi bao nhiêu phần trăm ? a)
Ta có phương trình hàm cầu Q= Doanh thu R = P.Q = P( Khi giá sản phẩm P = 4 : Q= = 15 Doanh thu R = 4x[] = 60
Doanh thu cận biên MR = = [P(]’ = ln(65 -) -
Khi giá sản phẩm P=4 : MR = -192
Ý nghĩa : Doanh thu sẽ giảm đi 192 khi tăng giá lên 1$ = () . Tại P = 4 =>> -13.8
Ý nghĩa của -13.8 là nếu tăng giá lên 1 đơn vị thì lượng cầu giảm đi 13.8 b) = [ ln(65 -) + ] . Tại giá p=4 =>>
Ý nghĩa: Từ hệ số co giãn của doanh thu theo giá P, ta suy ra kết luận sau: khi giá giảm 2% thì doanh thu tăng 12.8x2= 25.6 %
V.7. Giả sử một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu cho bởi
P = 2800 – 15Q ( đơn vị tính USD ) với Q = Qd là lượng cầu ( tính bằng số lượng sản phẩm ). Cho
biết chi phí bình quân là
AC = 2Q2 – 12Q + 280 + 1500Q-1; Q > 0.
a) Xác định doanh thu và lợi nhuận.
b) Tìm mức sản lượng tối ưu hóa lợi nhuận và xác định giá tương ứng. a) Chi phí là: Doanh thu là: Lợi nhuận là: b) Ta có: \ lOMoARcPSD| 36207943 Tại Q = 20 ta có P = ;
Vì π’’(Q) < 0 trên khoảng nên π đạt giá trị cực đại tại Q = 20 với .
Với sản lượng cầu Q = 20, giá tương ứng P = 2500 (USD) thì lợi nhuận lớn nhất
V.8. Giả sử doanh thu một loại sản phẩm cho bởi công thức R = 240Q +57Q2 – Q3, Q là lượng
hàng hóa bán ra. Tìm sản lượng Q để tối ưu hóa doanh thu và tính doanh thu lúc đó Doanh thu là: Ta có:
Với Q = 40 ta có R == 36800.
Thay Q = 40 vào R’’ ta có R’’(40) = -126 < 0 nên R đạt cực đại tại Q = 40 với .
Với sản lượng Q = 40, doanh thu lớn nhất
V.9. Giả sử hàm cầu của một loại sản phẩm là P = -5Q + 30 với P là giá bán sản phẩm, Q là lượng
cầu sản phẩm đó. Tìm mức giá P để tối ưu hóa doanh thu và tính doanh thu lúc đó.
Ta có hàm cầu của sản phẩm là : P = -5Q + 30
R = P.Q = (-5Q+30).Q = -5+30Q R’= MR = -10Q + 30Q
Để tối ưu hóa doanh thu thì MR phải bằng 0 :
MR = 0 => Q = 3 P = 15 => R max = 45
Vậy mức giá để tối đa hóa doanh thu là P = 15 với doanh thu là R = 45
V.10. Giả sử một loại sản phẩm có hàm cầu là P = 42 -4Q và chi phí bình quân là AC= 2 + 80Q-1 với
P là giá bán sản phẩm và Q là lượng cầu của sản phẩm đó. Tìm mức giá bán P để tối ưu hóa
lợi nhuận và xác định lợi nhuận lúc đó. Ta có :
Chi phí sản xuất = AC.Q = (2 + )Q = 2Q + 80
Doanh thu R = P.Q =( 42 -4Q )Q = 42Q - 4
Lợi nhuận = Doanh thu – Chi Phí = = R – C = 42Q - 4-2Q - 80 = - 4 + 40Q – 80
= (- 4 + 40Q – 80 )’ = -8Q +40
= 0 -8Q +40 = 0 Q = 5 P = 42 -4x5 = 22 = 20 với giá P= 22
V.11. Giả sử chi phí bình quân của một loại sản phẩm cho bởi \ lOMoARcPSD| 36207943
AC = 2Q2 -36Q + 210 – 200Q-1, Q là sản lượng. a)
Tính chi phí cận biên và hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q. b)
Tìm mức sản lượng Q [ 4, 20 ] để tối ưu hóa chi phí và tính chí lúc đó. a)
Ta có chi phí bình quân AC = 2 – 36Q + 210 - 200
Chi phí là C = Q.AC = Q.( 2 – 36Q + 210 - 200) = 2 – 36 + 210Q – 200
Do đó chi phí cận biên được tính như sau : MC = C’ = 6Q’ – 72Q +
210Q = C’. = 6 – 72Q + 210. = b)
Để chi phí đạt giá trị tối ưu thì C phải đại giá trị nhỏ nhất : MC = C’ = 6() C’’ = 12Q – 72
MC = 0 MC = 6() = 0 Q = 5 ; Q = 7
C(4) = 192 ; C(5) = 200 ; C(7) = 192 : C(20) = 5600
Vậy Q = 4 hoặc Q = 7 thì có chi phí tối ưu là 192
V.12. Hàm cầu và chi phí bình quân của một loại sản phẩm độc quyền được cho bởi P = 600 – 2Q,
AC = 0,2Q + 28 + 200Q-1 ( Q là sản lượng cầu, P là giá bán một sản phẩm ) a)
Tìm sản lượng Q để tối ưu hóa lợi nhuận ( trước thuế ). Tìm giá P và lợi nhuận lúc đó. b)
Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm này là 22 (USD). Tìm sản lượng để
tối ưu hóa lợi nhuận sau thuế và xác định mức giá và lợi nhuận ( sau thuế ) lúc đó. a) Chi phí: Doanh thu: Lợi nhuận: b) Lợi nhuận sau thuế:
V.13. Một doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giả sử giá trên thị trường
của sản phẩm mà doanh nghiệp sản xuất là P = 130$ và tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm là C
(Q) = – Q2 + 10Q +20 Hãy tìm mức sản lượng Q đẻ lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại. Ta có:
+ Chi phí là C (Q) = – Q2 + 10Q +20.
+ Doanh thu là R = P.Q = 130Q. \ lOMoARcPSD| 36207943
+ Lợi nhuận = R – C = 130Q - – Q2 + 10Q +20 = .Q3 + Q2 +120.Q - 20. Ta có M = = -Q2 +2Q + 120. = -2Q + 2. M = 0 -Q2 +2Q + 120 = 0.
[ Q = 12 (nhận) hoặc Q = -10 (loại) ]. Tại Q = 12 ta có:
(12) = .123 + 122 +120.12 – 20 = 988.
Vì (Q) < 0 trên khoảng ( 0, + ) nên đạt cực đại tại Q = 12 với max = 988. Hơn nữa, Q = 12 còn là điểm
cực đại toàn cục của trên khoảng ( 0, + ). Nghĩa là giá trị cực đại cũng là lợi nhuận lớn nhất.
Kết luận: Với sản lượng Q = 12, giá tương ứng P = 130$ thì lợi nhuận lớn nhất max = 988.
V.14. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử hàm cầu ( theo giá ) của
loại sản phẩm này là QD = 1200 – P và hàm tổng chi phí để đạt mức sản lương Q là C (Q) = – Q2 + Q +20000
Hãy tìm mức sản lượng và giá bán để daonh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại Doanh thu: Lợi nhuận:
R C 1Q3 237Q2 2093Q 20000 4 8 2
Xét hàm lợi nhuận có đạo hàm
Tại điểm Q = 93.88 lợi nhuận tối ưu nhất P = 1106.12
V.15. Một xí nghiệp độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Giả sử hàm cầu của loại sản
phẩm này là Q = 48 – P và hàm chi tổng phí sản xuất ứng là C (Q) = 20 + 6Q +Q2, trong đó Q là số
lượng sản phẩm được sản xuất và P là mức giá của mỗi sản phẩm được bán ra. Hãy tính mức lợi
nhuận tối đa mà xí nghiệp có thể thu được biết rằng mỗi sản phẩm bán ra, xí nghiệp phải chịu thêm
mức thuê là 2$ Q = 48 – P P = 48 – Q
+ Chi phí là C (Q) = 20 + 6Q + Q2
+ Doanh thu là R = P.Q = ( 48 – Q ).Q
+ Lợi nhuận = R – C - T = 48Q – Q2 – ( Q2 + 6Q + 20) – 2Q = - 2Q2 + 40Q – 20. Ta có M = = -40Q + 40. = -4 < 0 \ lOMoARcPSD| 36207943 M = 0 -40Q + 40 = 0. Q = 10 Tại Q = 10 ta có:
(10) = - 2.102 + 40.10 – 20 = 180.
Kết luận: Với sản lượng Q = 10, giá tương ứng P = 38$ thì lợi nhuận lớn nhất max = 180. BÀI TẬP NÂNG CAO
V.18. Chứng minh rằng giao điểm của hàm chi phí biên và hàm chi phí trung bình là cực tiểu của
hàm chi phí trung bình.
Mối quan hệ giữa chi phí biên (MC) và chi phí trung bình (AC). Ta có:
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
Do đó, ta có thể kết luận: - Khi AC giảm thì . - Khi AC tăng thì . - Khi thì . V.19.
Mỗi cửa hàng kì vọng sẽ bán được 30 chiếc xe đạp diẹnd mỗi tuần với giá P = 400$.
Ngườiquản lý ước lượng rằng nếu giá bán mỗi chiếc xe giảm 15$ thì số lượng xe bán được sẽ tăng 2
chiếc. Nếu tổng chi phí đầu vào mỗi chiếc xe là 200$ thì cửa hàng nên bán với giá P là bao nhiêu để
lợi nhuận thu được là tối đa ?
Hàm cầu có dạng Q = a – bP. Ta có
Hàm cầu Q = - P P = 625 - .Q Chi phí C = 200Q V.20.
Một cửa hàng nội thất dự tính bán được 250 chiếc ghế sofa trong năm tới. Giả sử chi phí
thuêkho để trữ hàng là 100$/1 sofa/ 1 năm, giá gốc mỗi chiếc sofa là 300$ và tổng chi phí mỗi lần
nhập hàng của cửa hàng là 500$. Để tối ưu hóa chi phí phải trả, cửa hàng dự tính nhập hàng nhiều
đợt trong năm, bán hết hàng mới nhập thêm. Hãy tìm số lần nhập hàng của cửa hàng là cực tiểu.
Giả sử rằng số lượng sofa bán được là đều theo thời gian và tiền thuê kho chỉ tính trên thời gian thực
tế lưu khi của sản phẩm trong mỗi đợt nhập hàng Gọi Q là số hàng nhập trong một lần, x là số lần nhập. \ lOMoARcPSD| 36207943 Lúc này, ta có: MC(Q) = , MC(Q) = 0
Vậy số lần nhập là 15.
MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu V.T1. Tìm đạo hàm của hàm ẩn y(x) cho bởi phương trình tan y = xy . Ta có: tan y = xy x =
Đạo hàm hai vế (x ) ‘ = ( ) ‘ Y’(x)
Câu V.T2. Tìm đạo hàm của hàm ẩn y(x) cho bởi phương trình: Ta có: F Chọn đáp án C
Câu V.T3. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn y(x) cho bởi phương trình Ta có: Vì:
Câu V.T5. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổng chi phí
của sản phẩm trên là QD = 480 – P, C (Q) = Q2 + 60Q + 20. Hãy tìm mức giá P đẻ lợi nhuận thu được
của xí nghiệp trên là cực đại Ta có: Doanh thu là: Lợi nhuận là: Ta có: \ lOMoARcPSD| 36207943
Tại Q = 105 ta có: P = 480 - 105 = 375
Vì trên khoảng nên π đạt giá trị lớn nhất tại Q = 105 với .
Với sản lượng cầu Q = 105, giá tương ứng P = 375 (USD) thì lợi nhuận lớn nhất
Câu V.T6. Một xí nghiệp sản xuất và phân phối độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm
tổng chi phí của sản phẩm trên là QD = 480 – P, C (Q) = Q2 + 60Q + 20. Hãy tìm mức giá P để lợi
nhuận thu đượ của xí nghiệp trên là cực đại biết rằng mỗi sản phẩm bán được, xí nghiệp phải chịu
một mức thuế là 10$
Ta cần tìm mức giá P để tối ưu hóa lợi nhuận ( cực đại ) tức là tìm P để lớn nhất với mức thuế 10$
Ta có : R = P.Q =(480-Q).Q = 480Q -
Lợi nhuận = R – C(Q) - T = 480Q - - ( + 60Q + 20)–10Q = 410Q- 2-20 ’ = -4Q + 410 ’’ = -4 < 0 , Q> 0
’ = 0 Q = 102,5 ( Thỏa mãn ) => P = 377,5$ Đáp án C
Câu V.T7. Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Giả sử hàm cầu của sản
phẩm trên là QD = 300 – P. Doanh thu biên MR và hệ số co dãn của hàm cầu tại mức sản lượng Q = 200 là Tại Q = 200 Chọn D
Câu V.T8. Giả sử hàm sản xuất Q (L) là hàm ẩn cho bởi phương trình QL2 = , trong đó L là ký hiệu
chỉ lực lượng lao động. Hãy tìm hàm sản xuất biên MQ(L). MQ(L) = = Ta có: + dQ = QQ .– 2LQ + QL2 = ln (QL2) = ln () lnQ + lnL2 = QQ .lnL lnQ + 2lnL - QQ .lnL = 0 lnQ = -lnL ( 2 - QQ ) lnL =
dL = L’ = . QQ ( lnQ + 1).lnL – L2 MQ (L) = \