Bài tập chương V: Cơ học lượng tử môn Vật lý đại cương | Học viện Báo chí và Tuyên truyền

Học online tại: tcc.mapuni.vn
BÀI TẬP: VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG III
CHƯƠNG V: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Bài 1: Viết phương trình Srôđinghe đối với hạt vi mô : 1
a) Chuyển dộng một chiều trong trường thế 2 U = kx 2
b) Chuyển động trong trường tĩnh diện Culông Ze  1  U = −k  k =  o o r 4  o  1
c) Chuyển động trong không gian hai chiều dưới tác dụng của trường thế 2 U = kr . 2
Hướng dẫn giải 2 d  2 m  1  a) 2 + E − kx  =   0 . 2 2 dx  2  2 2m  Ze  b) Δ +  E + k   = 0 . 2 o  r  2 2 d  d  2 m  1  c) + + E − k  ( 2 2 x + y  = 0  2 2 2 ) dx dy  2 
Bài 2: Dựa vào phương trình Srôđinghe đối với vi hạt chuyển động một chiều, kết luận rằng Ψ và
dΨ phải liên tục. dx
Hướng dẫn giải Ta có phương trình : 2 d  2 m +
E −U x  = 0 2 2 ( ( )) dx
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường
Học online tại: tcc.mapuni.vn 2 d  d d
Vì E,U, đều hữu hạn nên
hữu hạn, như vậy nghĩa là
liên tục. Nhưng để cho tồn tại 2 dx dx dx
trong tất cả các miền khảo sát thì bản thân  phải liên tục.
Bài 3: Hạt ở trong giếng thế năng một chiều, chiều cao vô cùng
( ) 0 0  x  a U x = 
x  0; x  a
a) Hạt ở trạng thái ứng với n = 2 . Xác định những vị trí ứng với cực đại và cực tiểu của mật độ xác suất tìm hạt a 2a
b) Hạt ở trạng thái n = 2 . Tính xác suất để tìm hạt có vị trí trong khoảng  x  3 3
c) Tìm vị trí x tại đó xác suất tìm hạt ở các trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau; d) Chứng minh rằng: Ψ x Ψ x dx =   m ( ) n ( ) mn 0 khi m  n với  = (kí hiệu Kronecker) mn 1 khi m = n
e) Chứng minh rằng tại trạng thái n , số điểm nút của mật độ xác suất tìm hạt (tức là những điểm
tại đó mật độ xác suất = 0 ) bằng n + 1.
Hướng dẫn giải 2 2 a)  x = sin x . 2 ( ) a a 2  2 
Mật độ xác suất  (x) 2 2 = sin  x ; 2  a  a   2  a 3a cực đại khi sin x = 1   x =   ; ,  a  4 4  2  a cực tiểu khi sin
x = 0  x =   .  a  2
b) Xác suất phải tìm bằng :
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường
Học online tại: tcc.mapuni.vn 2a/ 3   ( ) 2 1 3 x dx = − = 0,195 2 3 4 a/ 3 2 2
c) Tìm x để  x =  x 1 ( ) 2 ( )       2 2 2 sin x =   sin  x  a   a  a 2a  x = và tại đó  ( ) 2 3 | x | = 3 3 2a
d) và e) Bằng tính toán trực tiếp sẽ tìm được kết quả.
Bài 4: Dòng hạt chuyển động từ trái sang phải qua một hàng rào thế bậc thang 0 khi x  0
U = U khi x  0 0
Giả sử năng lượng của hạt bằng E  U , biét hàm sóng hạt tới cho bởi : o  2mE  ikx
Ψ = e  k =  s    
a) Viết biểu thức hàm sóng phản xạ và hàm sóng truyền qua
b) Tính bước sóng Đơbrơi của hạt ở 2 miền I (x  0) và II(x  0 ).
Tính tỉ số n =  /  (chiết suất của sóng Đơbrơi) I II
c) Tìm liên hệ giữa hệ số phản xạ R và chiết suất n .
Hướng dẫn giải a) Nếu ikx
 = e nghĩa là A = 1 thì sóng phản xạ có dạng: s − − B k k ikx  = BE ,với 1 = B = R A k + k1 2m(E −U 2mE o ) trong đó : k = ; k = . 1 k − k 2k
Còn sóng truyền qua có dạng ik x 1  = Ce , với 1
C = A + B = 1+ = D k + k k + k 1 1
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường
Học online tại: tcc.mapuni.vn
 k − k  − 2k Do đó 1 ikx ik x 1  =  e ; = e . R D k + k k +   k 1 1 h 2 b) Theo định nghĩa :  = = . p k 2 2
Vậy trong miền I :  = , trong miền II :  = I k II k1  k U chiết suất I 1 n = = 1−  . k E II 2 2  k − k   1− n  c) Hệ số phản xạ: 1 R =   =    k + k   1+ n  1
Bài 5: Khảo sát sự truyền của dòng hạt từ trái sang phải qua hàng rào thế bậc thang bề cao vô cùng 0 x  0 U =  x  0
a) Tìm hàm sóng của hạt ;
b) Tính hệ số phản xạ và hệ số truyền qua : giả sử hạt có năng lượng xác định E .
Hướng dẫn giải a) Ta có: ikx −ikx  = Aee + Be I  = 0 II
Điều kiện liên tục tại x = 0 .
A + B = 0 → B = −A.
Vậy  = A( ikx −ikx e − e , I )
hay có thể viết dưới dạng :  = asinkx I
b) Hệ số phản xạ R = 1 .
Hệ số truyền qua D = 0 .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường
Học online tại: tcc.mapuni.vn
Bài 6: Xét phương trình Schrôđingo trạng thái dừng trong không gian một chiều:
U = U (x) không phụ thuộc t
Chứng minh rằng nếu có một nghiệm  (x) sao cho khi x → 
 :  (x) → 0 thì nghiệm đó phải
không suy biến (không suy biến nghĩa là các hàm sóng ứng với cùng một giá trị năng lượng thì sai
khác nhau một hệ số nhân).
Hướng dẫn giải
Giả sử có 2 hàm sóng  (x) , (x) cùng thoả mãn những điều kiện đã cho và cùng thoả mãn phương
trình Schrôđinger với cùng mức năng lượng E 2m   +
E −U  = 0 (*) 2 ( ) 2m  +
E −U  = 0 2 ( ) Dễ dàng suy ra    −  = 0 nghĩa là    −   = const
Điều kiện biên khi x → 0 cho    −   = 0    nghĩa là =  = C  
Bài 7: Giải phương trình Srôdingơ một chiều cho vi hạt chuyển động trong giếng thế U  =  x  0 (I) U  = 0
0  x  a (II)
U =U x  a (III)  0
Hướng dẫn giải
Phương trình Srôđinger trong miền (II) và (III) :
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường
Học online tại: tcc.mapuni.vn '' 2m  + E = 0 II 2 II '' 2m  − U − E  = 0 III 2 ( o ) III
Với các điều kiện biên :  = 0 x = 0  →0 khi x → ta được :   2mE    = sin x  II II 2 ( )        = A.e III  III ( ) d
Điều kiện liên tục tại x = a của  và cho : dx  2mE  E tg  a  = − 2   U − E   o
Phương trình này có thể giải bằng đồ thị, tìm được những giá trị gián đoạn của E . __HẾT__
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường