Bài tập Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Sư phạm Toán – Tin H 0982 708 113 L Bài tập Đại số tuyến tuy tính CHƯƠNG 1
MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hướng dẫn tự học:
H 1.1. Khái niệm ma trận, các loại ma trận. Nêu ví dụ minh họa.
H 1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. Nêu ví dụ minh họa.
H 1.3. Khái niệm định thức. Nêu ví dụ minh họa.
H 1.4. Một số tính chất cơ bản của định thức.
H 1.5. Các cách tính định thức thông dụng. Nêu ví dụ minh họa.
H 1.6. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát và thuần nhất. Nêu ví dụ minh họa.
H 1.7. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính. Nêu ví dụ minh họa.
H 1.8. Hệ Cramer. Nêu ví dụ minh họa.
H 1.9. Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính. Nêu ví dụ minh họa. Bài 1.   4 0 ! 10 −7 5   a Cho ma trận A = và B =  −5 1 . 2 5 6   6 9
Tìm ma trận X sao cho: 2Bt − 2X = A. b
Tính định thức sau theo số thực a: 1 2 a 2 5 2 . 3 6 3 Bài 2. a
Định nghĩa phép cộng hai ma trận.       3 −2 4 0 −2 7 Cho ma trận A =        4 7 , B =  −5 1 , C =  8 0 . Tính 3A + 5B − 2C .       1 −5 6 9 11 −3 b Tìm số thực x sao cho: 1 1 1 1 1 1 − x 1 1 = 0. 1 1 2 − x 1 1 1 1 3 − x Bài 3.
Bài tập Đại số tuyến tính 1 H 0982 708 113 Khoa Sư phạm Toán – Tin a
Định nghĩa phép nhân hai ma trận.   2 −1 ! 1 −2 −5 Cho ma trận A =    1 0  và ma trận B = . Tính AB.   3 4 0 −3 4 b
Cho x, y, z, x′, y′, z′, a, b là các số thực, tính định thức sau: x x′ ax + bx′ y y′ ay + by′ . z z′ az + bz′ Bài 4. a
Nêu điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông là khả nghịch.   1 −2 3 Cho ma trận A =    4 0
5 . Tìm ma trận nghịch đảo của A.   −1 2 3 b Tìm số thực x biết 1 −2 3 5 1 x 3 5 = 0. 1 −2 x 5 1 −2 3 x Bài 5.   1 −2 6   a Cho ma trận A =  4 3
−8 . Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I3, trong đó I3 là   2 −2 5 ma trận đơn vị cấp 3. b
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng a + b c 1 b + c a 1 = 0. c + a b 1 Bài 6.   4 0 ! 1 8 3   a Cho ma trận A = và ma trận B =  −5 1 . −2 7 0   6 9
Tìm ma trận X sao cho: 3X + At − 2B = 0. 2
Bài tập Đại số tuyến tính Khoa Sư phạm Toán – Tin H 0982 708 113 b Tính định thức sau: 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 4 5 . 1 1 1 4 5 1 1 1 1 5 Bài 7.     13 −1 5 −7 19 −15     a Cho ma trận A =  0 7
−6  và ma trận B =  20 −13 14 .     8 −1 6 −12 19 −14
Tìm ma trận X sao cho: X − A + B = 20I3, trong đó I3 là ma trận đơn vị cấp 3. b
Tính định thức sau theo số thực a: a 1 1 1 1 a 1 1 . 1 1 a 1 1 1 1 a Bài 8.   4 10 0   −3 5 4 0    −2 4 3    a Cho ma trận A =    0 −2 6 5  và ma trận B = .      7 5 1  2 5 1 1   6 3 9
Tìm ma trận X sao cho: At − X = 2B. b Tìm số thực x để: 1 x x2 x3 1 −2 4 −8 = 0. 1 3 9 27 1 −1 1 −1 Bài 9. a Tìm ma trận X sao cho:     0 1 2 0 3 6      3 5 0  X =  6 18 −20  .     1 0 −1 2 1 −5 b Tính định thức sau:
Bài tập Đại số tuyến tính 3 H 0982 708 113 Khoa Sư phạm Toán – Tin 5 3 3 3 3 3 5 3 3 3 3 3 5 3 3 . 3 3 3 5 3 3 3 3 3 5 Bài 10. a Tìm ma trận X sao cho:     0 1 2 0 3 6      3 5 0  X =  6 18 −20  .     1 0 −1 2 1 −5 b
Tính định thức sau theo hai số thực a, b: a b a + b b a + b a . a + b a b Bài 11. a
Cho A, B là hai ma trận vuông khả nghịch cấp n. Chứng minh rằng ma trận AB khả nghịch và (AB)−1 = B−1A−1. b
Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng: sin a cos a cos(a + d) sin b cos b cos(b + d) = 0. sin c cos c cos(c + d) Bài 12.   0 5 7   a Cho ma trận A =  x 4 0
. Tìm số thực x để ma trận A khả nghịch.   4 0 −3 b Tìm số thực x sao cho: 1 x x2 x3 1 2 4 8 = 0. 1 3 9 27 1 −1 1 −1 Bài 13. a
Nêu ví dụ chứng tỏ phép toán nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán. 4
Bài tập Đại số tuyến tính Khoa Sư phạm Toán – Tin H 0982 708 113 1 2 3 4 5 −1 0 3 4 5 b Tính định thức sau: −1 −2 0 4 5 . −1 −2 −3 0 5 −1 −2 −3 −4 0 Bài 14. a
Chứng minh rằng nếu ma trận vuông thực A cấp n thỏa điều kiện A = AAt thì A2 = A. b
Cho x, a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 là các số thực. Chứng minh rằng: a1 b1 a1x + c1 a1 b1 c1 a = . 2 b2 a2x + c2 a2 b2 c2 a a 3 b3 a3x + c3 3 b3 c3
Bài tập Đại số tuyến tính 5 H 0982 708 113 Khoa Sư phạm Toán – Tin Bài 15. a
Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = 0. Chứng minh rằng: (In − A)−1 = In + A,
trong đó In là ma trận đơn vị cấp n. b
Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng: a b c d b c d a = 0. c d a b a + b b + c c + d d + a 2 2 2 2 Bài 16. a
Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa A2 = A. Chứng minh rằng ma trận B = 2A − In là ma
trận khả nghịch và B−1 = B. b
Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng: a b c d b c d a = 0. c d a b a + b b + c c + d d + a 2 2 2 2 Bài 17.   a1 0 0 0    0 a2 0 0  a Cho ma trận A =  . Tính An (n ≥ 1).    0 0 a3 0    0 0 0 a4 1 2 3 4 1 x + 1 3 4 b Giải phương trình: = 0. 1 2 x + 1 4 1 2 3 x + 1
Bài 18. Xác định hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c, d ∈ R, a ̸= 0, biết rằng đồ thị
của f (x) đi qua các điểm A(1, 0), B(0, −1), C(−1, −2), D(2, 7).
Bài 19. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (1, 2), (1, −2), (0, −1). Biết rằng trong mặt
phẳng tọa độ Oxy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 với a, b, c ∈ R, a2 + b2 − c ≥ 0.
Bài 20. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  x  1 + x2 + x3 + x4 = 7   x1 + 2x2 + 2x3 + 6x4 = 23    5x1 + 4x2 + 3x3 − x4 = 12 6
Bài tập Đại số tuyến tính Khoa Sư phạm Toán – Tin H 0982 708 113
Bài 21. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  x  1 − x2 + x3 − 2x4 = −1   x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1    5x1 − 5x2 + 8x3 − 7x4 = 1
Bài 22. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:  2x  1 − x2 − x3 + x4 = 0   x1 − x2 − x3 − 2x4 = 0    5x1 − x2 − 3x3 − 2x4 = 0
Bài 23. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  2x  1 − x2 + x3 − x4 = 1   2x1 − x2 − 3x4 = 2    3x1 − x3 + x4 = −3
Bài 24. Giải hệ phương trình sau:  3x  1 + 2x2 + x3 − x4 − x5 = 7  
2x1 + 3x2 + 2x3 − 2x4 − 2x5 = 8   
x1 + 4x2 + 3x3 − 3x4 − 3x5 = 9
Bài 25. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:   x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 1      x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 2  2x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3      3x1 + 5x2 + 4x3 + 6x4 = 5
Bài 26. Cho hệ phương trình tuyến tính sau:  2x  1 − x2 + x3 + x4 = a   x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 5   
x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = −12 a
Với giá trị nào của tham số a thì hệ phương trình trên có nghiệm. b
Khi hệ phương trình có nghiệm, hãy tìm công thức nghiệm tổng quát của hệ.
Bài tập Đại số tuyến tính 7 H 0982 708 113 Khoa Sư phạm Toán – Tin CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VECTƠ Hướng dẫn tự học:
H 2.1. Khái niệm không gian vectơ, các phép toán trong không vectơ. Nêu ví dụ minh họa.
H 2.2. Khái niệm không gian vectơ con; điều kiện để một tập hợp là không gian vectơ con. Nêu ví dụ minh họa.
H 2.3. Khái niệm biểu thị tuyến tính; hệ sinh. Nêu ví dụ minh họa.
H 2.4. Khái niệm hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính. Nêu ví dụ minh họa.
H 2.5. Khái niệm cơ sở, số chiều, tọa độ trong không gian vectơ. Nêu ví dụ minh họa.
H 2.6. Cơ sở chính tắc của một số không gian như n K , Kn[x], Mm×n(K).
H 2.7. Khái niệm hạng của hệ vectơ. Nêu ví dụ minh họa.
Bài 27. Trình bày khái niệm không gian vectơ con của một không gian vectơ, cho ví dụ?
Bài 28. Trình bày khái niệm hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính trong
một không gian vectơ? Cho ví dụ về một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính trong một không gian vectơ nào đó?
Bài 29. Trình bày khái niệm cơ sở của một không gian vectơ hữu hạn chiều, cho ví dụ?
Bài 30. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của không gian vectơ thực 3 R , giải thích? a
A = {(1, 2, 0), (0, 3, 4), (5, 0, 6)}; b
B = {(1, 2, 3), (3, 2, 1), (4, 0, −4)}. Bài 31. Trong không gian 3
R cho hai hệ vectơ S = {(1, 2, 3), (1, 0, 3), (1, 2, 0)}
và T = {(0, 1, 2), (2, 3, 0), (−1, 0, 4)}. a
Chứng minh rằng S và T là hai cơ sở trong 3 R . b
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở T.
Bài 32. Cho W = {(a, a − 2b, a, c) : a, b, c ∈ 4
R}. Chứng minh rằng W là không gian con của R ,
tìm một cơ sở và số chiều của W .
Bài 33. Chứng minh hệ vectơ
S = {v1 = (1, 2, −1, 2), v2 = (2, 3, 0, −1), v3 = (1, 2, 1, 3), v4 = (1, 3, −1, 0)} là cơ sở của 4
R . Tìm tọa độ của vectơ x = (7, 14, −1, 2) đối với cơ sở S.
Bài 34. Cho W = {(a, b, c) ∈ 3 R }, trong đó a + c = 0. a
Chứng minh rằng W là một không gian con của 3 R . b Tìm số chiều của W . Bài 35. Trong 3
R cho hệ vectơ S = {(2, −1, 4), (4, 2, 3), (2, 7, −6)}. a
S có phải là một cơ sở của 3 R không, vì sao? b
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ S. Bài 36. Chứng minh hệ ( ! ! ! !) 1 0 1 1 1 1 1 1 S = v1 = , v2 = , v3 = , v4 = 0 0 0 0 1 0 1 1 8
Bài tập Đại số tuyến tính Khoa Sư phạm Toán – Tin H 0982 708 113
là cơ sở của không gian các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực M2(R). Tìm tọa độ của ! 3 1 x = đối với cơ sở S. 0 1
Bài 37. Cho W = {(a, b, c) ∈ 3
R }, trong đó a + c = m là một hằng số. a
Tìm những giá trị của m để W là một không gian con của 3 R . b
Tìm số chiều của W khi m = 0. ( ! ) a b Bài 38. Cho W =
: a, b, c ∈ R . Chứng minh rằng W là không gian con của không b c
gian các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực M2(R), tìm một cơ sở và số chiều của W . Bài 39. Trong 4
R cho hệ vectơ S = {(1, 2, 3, 0), (0, 1, 2, 1), (1, 3, 0, 1), (2, 6, 5, m)}. a
Tìm số thực m để S là một cơ sở của 4 R . b
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ S khi m = 2.
Bài 40. Cho W1, W2 là các không gian con của một không gian vectơ hữu hạn chiều nào đó. Chứng
minh rằng nếu W1 ⊂ W2 thì dim W1 ≤ dim W2.
Bài tập Đại số tuyến tính 9 H 0982 708 113 Khoa Sư phạm Toán – Tin CHƯƠNG 3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Hướng dẫn tự học:
H 3.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính, phép biến đổi tuyến tính. Nêu ví dụ minh họa.
H 3.2. Khái niệm ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính. Nêu ví dụ minh họa.
H 3.3. Khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Nêu ví dụ minh họa.
H 3.4. Khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cặp cơ sở cho trước. Nêu ví dụ minh họa.
H 3.5. Ma trận của tích hai ánh xạ tuyến tính.
H 3.6. Ma trận của cùng một phép biến đổi tuyến tính đối với các cơ sở khách nhau.
H 3.7. Phép chuyển cơ sở trong không gian vectơ. Nêu ví dụ minh họa.
H 3.8. Giá trị riêng, vectơ riêng và việc chéo hóa một phép biến đổi tuyến tính. Nêu ví dụ minh họa.
Bài 41. Trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ V vào không gian vectơ V ′ cho ví dụ?
Bài 42. Trình bày khái niệm vectơ riêng, giá trị riêng của một phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ V , cho ví dụ? Bài 43. a
Trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ? b
Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính f : 3 3
R → R , f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 + x3, x3 − x1)
đối với cơ sở chính tắc. Bài 44. Cho ánh xạ f : 3 3
R → R , f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 + x3, x3 − x1). a
Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tuyến tính. b
Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}.
Bài 45. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3
R → R , f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 + x3, x3 − x1) a
Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính. b
Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) . Bài 46. Cho ánh xạ f : 3 4
R → R , f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 + x3, x3 − x1, 4x3). a
Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b
Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.
Bài 47. Cho f là phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ thực 3
R có ma trận (đối với cơ sở chính tắc) là   0 1 2 [f ] =    1 2 0  .   2 0 1
f có phải là đẳng cấu không? vì sao? Tìm biểu thức xác định của f .
Bài 48. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2 R
→ R sao cho f(1, −1, 2) = (−1, 1), f(0, 2, 3) = (4, 5),
f (1, 0, −2) = (1, −2). Xác định f (x, y, z) với (x, y, z) ∈ 3 R . 10
Bài tập Đại số tuyến tính Khoa Sư phạm Toán – Tin H 0982 708 113
Bài 49. Cho ánh xạ tuyến tính f : 2 2
R → R sao cho f (1, 1) = (1, 0), f (1, 2) = (0, 1). Xác định f (x, y) với (x, y) ∈ 2 R .
Bài 50. Cho ánh xạ ánh xạ tuyến tính f : 3 2
R → R , f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 − x2 − x3).
Xác định ker f và số chiều của ker f . Bài 51. Cho ánh xạ f : 3 3
R → R , f (x1, x2, x3) = (3x1 − 2x2, −2x1 + 3x3, 5x3). a
Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính. b Tìm một cơ sở của 3
R sao cho ma trận của f đối với cơ sở đó có dạng chéo. Bài 52. Cho ánh xạ f : 3 3
R → R , f (x1, x2, x3) = (2x1 + 5x2 + 3x3, 3x2 + 4x3, −6x3). a
Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính. b Tìm một cơ sở của 3
R trong đó ma trận của f có dạng chéo.
Bài tập Đại số tuyến tính 11
Document Outline

• Bài tập Đại số tuyến tính