Giáo trình Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Giáo trình Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.
Môn: Đại số tuyến tính ( IUH) 5 tài liệu
Trường: Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh 765 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Học phần: ĐẠI SỐ (Đại số tuyến tính)
Số tín chỉ: 3, số tiết 45 tiết Nội dung:
+Chương 1: Mệnh đề, tập hợp, ánh xạ
+Chương 2: Không gian vecto
+Chương 3: Ma trận và định thức
+Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính
+Chương 5: Ánh xạ tuyến tính
+Chương 6: Dạng song tuyến tính và không gian Euclid
Đánh giá điểm số: Quá trình (điểm danh, bài tập, kiểm tra), Thi cuối kỳ
Giáo trình: Đại số, Lê Bá Long.
Tài liệu: bài giảng, file Đại số.
Email: hoangnam.sp101@gmail.com
CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 Mệnh đề
(*)Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định, có tính đúng/sai, tính đúng/sai được
gọi là chân trị, ký hiệu 1, 0. Tên gọi: p, q, r,…
Ví dụ 1: p= “Hôm nay là Chủ Nhật” p có giá trị 0.
Nếu ghép nhiều mệnh đề đơn giản ta có mệnh đề phức hợp.
(*)Các phép liên kết logic mệnh đề
+) Phép phủ định: Phủ định của p là 𝑝̅, là mệnh đề không xảy p.
+) Phép hội 2 mệnh đề: Hội của p và q ký hiệu là 𝑝 ∧ 𝑞, là mệnh đề xảy p và q,
chân trị của nó là 1 nếu cả 2 chân trị của p và q là 1.
+) Phép tuyển 2 mệnh đề: Tuyển của 𝑝 và 𝑞 ký hiệu là 𝑝 ∨ 𝑞, là mệnh đề xảy p
hoặc q, chân trị của nó là 1 nếu chân trị của p hoặc q là 1.
+) Phép kéo theo: Mệnh đề p kéo theo q ký hiệu là 𝑝 ⇒ 𝑞, chân trị của nó là 0 chỉ
trong trường hợp p có giá trị 1, q có giá trị 0.
+)Phép tương đương: Mệnh đề p tương đương q, ký hiệu là 𝑝 ⇔ 𝑞, chân trị của
nó là 1 chỉ khi p và q cùng chân trị. (*)Bảng chân trị: p q 𝑝̅ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑝 ⇔ 𝑞 𝑝̅ ∨ 𝑞 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1
Mênh đề p luôn có chân trị ta nói p là hằng đúng, ký hiệu là 1. Mệnh đề luôn sai, ký hiệu 0.
Nếu 𝑝 ⇔ 𝑞 là hằng đúng thì ta viết 𝑝 ≡ 𝑞. (*)Tính chất:
1) 𝑝̅ ≡ 𝑝 , luật phủ định kép
2) 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ 𝑝̅ ∨ 𝑞, luật kéo theo.
3) 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝; 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝, luật giao hoán
4) (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟); (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟), luật kết hợp
5) 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟); 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟); luật phân phối.
6) 𝑝 ∧ 𝑝̅ ≡ 0; 𝑝 ∨ 𝑝̅ ≡ 1; luật bài trung
7) 𝑝 ∨ 1 ≡ 1; 𝑝 ∧ 0 ≡ 0; luật thống trị
8) 𝑝 ∧ 1 ≡ 𝑝; 𝑝 ∨ 0 ≡ 𝑝; luật trung hòa
9) 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑝̅ ∧ 𝑞; 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑝̅ ∨ 𝑞; luật De Morgan
10) 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ 𝑞 ⇒ 𝑝̅; luật phản chứng.
11) 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝; 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝; luật lũy đẳng
12) 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝; 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝; luật hấp thụ.
Chứng minh một mệnh đề logic, có nghĩa là chứng minh nói là hằng đúng. Ta
chứng minh bằng cách vẽ bảng chân trị hoặc dùng luật logic trên.
Ví dụ 2: Chứng minh: 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝. Bảng chân trị: p q 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Luật logic:
𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 (𝑙𝑢ậ𝑡 𝑘é𝑜 𝑡ℎ𝑒𝑜)
≡ (𝑝̅ ∨ 𝑞) ∨ 𝑝 (𝑙𝑢ậ𝑡 𝐷𝑒 𝑀𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛)
≡ (𝑝̅ ∨ 𝑝) ∨ 𝑞 (𝑙𝑢ậ𝑡 𝑔𝑖𝑎𝑜 ℎ𝑜á𝑛, 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝)
≡ (1) ∨ 𝑞 (𝑙𝑢ậ𝑡 𝑏à𝑖 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔)
≡ 1 (𝑙𝑢ậ𝑡 𝑡ℎố𝑛𝑔 𝑡𝑟ị)
Ví dụ 3: Chứng minh 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑝̅) ∧ 𝑝 ⇒ 𝑟 1.2 Tập hợp
Tập hợp được mô tả là sự tụ tập của một số đối tượng. Tên gọi: A, B, C,…
Đối tượng thuộc tập hợp gọi là phần tử, ký hiệu: a,b,x,y,…
Nếu phần tử 𝑥 thuộc tập A ta viết: 𝑥 ∈ 𝐴, ngược lại 𝑥 ∉ 𝐴. (*)Biểu diễn:
+)Liệt kê: A={a,b,c,…} không có tính thứ tự, không lặp lại.
+)Nếu tính chất: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐷|𝑆(𝑥)}, S(x) là mệnh đề chứa x, gọi là hàm mệnh đề,
những x làm cho S(x) đúng sẽ thuộc vào A.
Ví dụ 4: 𝐴 = {𝑥 là số nguyên |𝑥 − 8𝑥 < 0}, nếu viết dưới dạng liệt kê thì 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7}. (*)Tập số:
+Tập số tự nhiên ℕ = {0,1,2,3,4, … }.
+Tập số nguyên ℤ = {0,1, −1,2, −2, … }, +Tập số hữu tỷ ℚ =
| 𝑎, 𝑏 là số nguyên, 𝑏 ≠ 0
+Tập số thực ℝ gồm số hữu tỷ, vô tỷ.
+Tập số phức ℂ = {𝑥 + 𝑦𝑖 | 𝑥, 𝑦 là số thực , 𝑖 = −1}. (*)Tập con:
Định nghĩa: Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A đều thuộc B. Ký hiệu: 𝐴 ⊂ 𝐵.
Như vậy: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Chú ý: 1/ 𝐴 ⊂ 𝐴
2/ 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐶 thì 𝐴 ⊂ 𝐶.
3/ Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵 và 𝐵 ⊂ 𝐴 thì 𝐴 = 𝐵 (hai tập bằng nhau).
Tập rỗng ∅ xem là tập con của mọi tập: là tập không chứa phần tử. (*)Phép toán
1/ Phép hợp: 𝐴 ∪ 𝐵 là tập chứa những phần tử thuộc A hoặc B.
2/ Phép giao: 𝐴 ∩ 𝐵 là tập chứa các phần tử thuộc A và B.
3/ Phép hiêu: 𝐴\𝐵 là tập chứa những phần tử thuộc A và không thuộc B.
Nếu A, B là tập con của U, ta gọi 𝑈\𝐴 = 𝐴̅: phần bù của A, có thể nói 𝐴̅ chứa
những phần tử x không thuộc.
(*)Giản đồ Venn: tập hợp có thể mô tả bằng đường cong kín, phần tử bên trong gọi là thuộc A. (*)Tính chất
1/ 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴; 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴, tính lũy đẳng
2/ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴; 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴, tính giao hoán
3/ 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶; 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶; kết hợp
4/ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶); 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
5/ 𝐴̅ = 𝐴, 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴.
6/ 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝑈; 𝐴 ∩ 𝐴̅ = ∅;
7/ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵 ; 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵, luật De Morgan
8/ 𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴\(𝐴 ∩ 𝐵)
9/ 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵.
10/ Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵; 𝐴 ⊂ 𝐶 thì 𝐴 ⊂ 𝐵 ∩ 𝐶; Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝐵 thì 𝐴 ∪ 𝐶 ⊂ 𝐵.
Ví dụ 5: Chứng minh 1.2 a)
𝐴\𝐵 = ∅ ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵.
Chứng minh ⇒). Ta có 𝐴\𝐵 = ∅, cần chứng minh 𝐴 ⊂ 𝐵.
Lấy x thuộc A. Giả sử x không thuộc B, suy ra 𝑥 ∈ 𝐴\𝐵, nhưng 𝐴\𝐵 = ∅, mẫu thuẫn.
Suy ra x thuộc B. Vậy A là tập con của B.
Chứng minh ⇐). Ta có 𝐴 ⊂ 𝐵, cần chứng minh 𝐴\𝐵 = ∅. Giả sử 𝐴\𝐵 ≠ ∅, như vậy
có phần tử x thuộc A\B. Phần tử x này thuộc A và x không thuộc B. Do 𝐴 ⊂ 𝐵, nên
x thuộc B, điều này mâu thuẫn với x không thuộc B. Vậy 𝐴\𝐵 = ∅.
(*)Lượng từ phổ biến (với mọi) và lượng từ tồn tại.
Với mọi: ∀ thể hiện tất cả các đối tượng.
Tồn tại ∃ thể hiện có ít nhất 1 đối tượng.
Mệnh đề chứa ∀ đúng khi tất cả các đối tượng đều làm mệnh đề đúng.
Mệnh đề chứa ∃ đúng khi có ít nhất 1 đối tượng làm mệnh đề đúng. Ví dụ 6:
+) ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛(𝑛 + 1)𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎế𝑡 2: đúng
+)∀𝑛 ∈ ℕ: |𝑛| > 0: sai
+) ∃𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 + 𝑛 chia hết 3: đúng
Phủ định: ∀𝑥, 𝑆(𝑥) = ∃𝑥, 𝑆(𝑥); ∃𝑥, 𝑆(𝑥) = ∀𝑥, 𝑆(𝑥)
Ví dụ 7: ∀n ∈ ℕ: n(n + 1) chıa hết 2 = ∃n ∈ ℕ: n(n + 1) không chia hết 2. Sửa bài tập
1.2 Cho A, B, C, D là con của tập E.
a/𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ 𝐵 ∩ 𝐴 = ∅
Chứng minh ⇒). Ta có 𝐴 ⊂ 𝐵, cần chứng minh 𝐵 ∩ 𝐴 = ∅.
Giả sử 𝐵 ∩ 𝐴 ≠ ∅, tồn tại 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐴 suy ra 𝑥 ∈ 𝐵 𝑣à 𝑥 ∈ 𝐴
⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑣à 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑑𝑜 𝐴 ⊂ 𝐵)
𝑀â𝑢 𝑡ℎ𝑢ẫ𝑛 này suy ra giả sử là sai, vậy 𝐵 ∩ 𝐴 = ∅.
Chứng minh ⇐). 𝐵 ∩ 𝐴 = ∅, cần chứng minh 𝐴 ⊂ 𝐵.
Với mọi x thuộc A, giả sử 𝑥 ∉ 𝐵 thì 𝑥 ∈ 𝐵, suy ra 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐴, nhưng 𝐵 ∩ 𝐴 = ∅ , dẫn
đến mâu thuẫn. Vậy 𝑥 ∈ 𝐵 hay 𝐴 ⊂ 𝐵.
b/ 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝐷 thì 𝐴 ∪ 𝐶 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐷; 𝐴 ∩ 𝐶 ⊂ 𝐵 ∩ 𝐷 …
(*)PHÉP GIAO VÀ HỢP MỞ RỘNG
Cho tập 𝐼 bất kỳ, giả sử ta có họ các tập hợp 𝐴 với 𝑖 ∈ 𝐼. Hợp của họ này là 𝐴 ∈
và là tập chứa mọi phần tử x nếu 𝑥 ∈ 𝐴 với 𝑖 ∈ 𝐼. Giao của họ này là 𝐴 ∈
Mỗi x thuộc giao này đều thuộc 𝐴 với mọi 𝑖 ∈ 𝐼. (*)Tập tích Đề-cát
Cho các tập 𝐴 , 𝐴 , … , 𝐴 . Tập tích Đề-cát của các tập trên ký hiệu là
𝐴 × 𝐴 × … 𝐴 = {(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 )| 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
Chú ý: Phần tử trong tập có tính thứ tự.
Ví dụ 8: 𝑋 = {𝑎, 1,2}; 𝑌 = {𝑎, 2} khi đó
𝑋 × 𝑌 = {(𝑎, 𝑎), (𝑎, 2), (1, 𝑎), (1,2), (2, 𝑎), (2,2)} Và (𝑎, 2) ≠ (2, 𝑎).
Đặc biệt: 𝐴 = 𝐴 = ⋯ = 𝐴 = 𝐴 thì tập tích Đề-cát ký hiệu: 𝐴 .
Ví dụ 9: ℝ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} = (𝑂𝑥𝑦𝑧) 1.3 ÁNH XẠ
(*)Định nghĩa: Cho hai tập hợp X và Y khác rỗng. Một ánh xạ đi từ X đến Y là một
quy tắc f biến mỗi phần tử của X thành 1 phần tử duy nhất thuộc Y.
Có 2 yêu cầu: tất cả mọi phần tử trong X đều biến thành phần tử trong Y và chỉ
biến duy nhất thành 1 phần tử.
Nếu x biến thành y qua f, ta viết y=f(x) gọi là ảnh của x qua f.
Ví dụ 10: Mọi hàm số đều là ánh xạ nếu X là miền xác định.
Ký hiệu ánh xạ: 𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥)
Tập X gọi là tập nguồn, Y là tập đích.
Ví dụ 11: 𝑓: 𝑅 → [0; +∞) 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) = 𝑥
Là một ánh xạ, R là tập nguồn, [0; +∞)là tập đích,
Ảnh của -2 là 𝑓(−2) = (−2) = 4.
(*)Tập ảnh và nghịch ảnh:
Cho ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑌, A là tập con của X, B là tập con của Y. Ta đặt
+ 𝑓(𝐴) = {𝑓(𝑥)|𝑥 ∈ 𝐴} là tập con của Y, gọi tập ảnh của A. Nếu A=X, thì
𝑓(𝑋) = 𝐼𝑚 𝑓 gọi là ảnh của f.
+ 𝑓 (𝐵) = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑓(𝑥) ∈ 𝐵} gọi là nghịch ảnh của B, nếu 𝐵 = {𝑦} thì 𝑓 ({𝑦}) = 𝑓
(𝑦) = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑓(𝑥) = 𝑦}
Ví dụ 12: 𝑓: 𝑅 → [0; +∞);với 𝑓(𝑥) = 𝑥 .
𝐴 = (−5; 2) thì 𝑓(𝐴) = [0,25), 𝐵 = (4,9) thì 𝑓 (𝐵) = (−3,2) ∪ (2,3)
Ví dụ 13: Phép nhúng chính tắc, cho 𝐴 ⊂ 𝐵, ánh xạ 𝑖 : 𝐴 → 𝐵; 𝑖 (𝑥) = 𝑥. 𝑖 (𝐴) = 𝐴; 𝑖 (𝐴) = 𝐴.
Đặc biệt: 𝑖 : 𝐴 → 𝐴 thì 𝑖 là ánh xạ đồng nhất, ký hiệu: 𝐼𝑑 : 𝐴 → 𝐴, 𝐼𝑑 (𝑥) = 𝑥. (*)Phân loại ánh xạ:
+)Đơn ánh: Ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑌 nếu hai phần tử khác nhau thuộc X là có ảnh khác nhau qua f.
𝑓: 𝑋 → 𝑌 là đơn ánh ⇔ ∀𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 ≠ 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥 ) ≠ 𝑓(𝑥 )
⇔ ∀𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) ⇒ 𝑥 = 𝑥 .
Ví dụ 14: 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥 không là đơn ánh vì
1 ≠ −1 nhưng 𝑓(1) = 1 = 𝑓(−1)
Ví dụ 15: 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥 là đơn ánh. Thật vậy,
∀𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )
⇒ 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑥 − 𝑥 = 0 ⇒ (𝑥 − 𝑥 )(𝑥 + 𝑥 𝑥 + 𝑥 ) = 0
⇒ 𝑥 = 𝑥 hoặc 𝑥 + 𝑥 𝑥 + 𝑥 = 0 1 1 3
⇒ 𝑥 = 𝑥 hoặc 𝑥 + 2𝑥 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 0 2 4 4 1 3
⇒ 𝑥 = 𝑥 hoặc 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 0 2 4
⇒ 𝑥 = 𝑥 hoặc 𝑥 = 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑥 .
Nói chung: hàm số f(x) đơn ánh nếu f(x) luôn biến thiên 1 chiều trên TXĐ.
+)Toàn ánh: Ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑌 là toàn ánh nếu mọi 𝑦 ∈ 𝑌 đều có nghịch ảnh.
𝑓: 𝑋 → 𝑌 là toàn ánh ⇔ ∀𝑦 ∈ 𝑌, ∃𝑥 ∈ 𝑋: 𝑓(𝑥) = 𝑦.
Ví dụ 16: Ánh xạ 𝑓: 𝑅 → 𝑅; 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 không là toàn ánh. Thật vậy
Với y = 2, thì không tại 𝑥 ∈ 𝑅 sao cho sin 𝑥 = 2.
Ví dụ 17: Ánh xạ 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 là toàn ánh. Thật vậy 1 1
∀𝑦 ∈ 𝑅, ∃𝑥 = 𝑦 + ∈ 𝑅: 3 3 1 1 1 1 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑦 + = 3. 𝑦 + − 1 = 𝑦 3 3 3 3
Như vậy f(x) là toàn ánh khi ta đều giải ra được x với mọi y.
+)Song ánh: là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh
Cho 𝑓: 𝑋 → 𝑌 là song ánh, khi đó đặt 𝑔(𝑦) = 𝑥, 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑦, 𝑡ℎì 𝑔(𝑦) gọi là
ánh xạ ngược của 𝑓. Ký hiệu là 𝑓 , như vậy 𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑥.
Ví dụ 18: Tìm ánh xạ ngược của 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1.
Giả sử 𝑓(𝑥) = 𝑦 khi đó 3𝑥 − 1 = 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦 + .
Vậy ánh xạ ngược là 𝑔(𝑥) = 𝑥 + . (Do ánh xạ ký hiệu biến là x).
Kiểm tra lại 𝑔(𝑓(𝑥)) = (3𝑥 − 1) + = 𝑥. (*)Hàm hợp:
Cho các ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑌, 𝑔: 𝑌 → 𝑍, đặt ℎ: 𝑋 → 𝑍, ℎ(𝑥) = 𝑔 𝑓(𝑥) thì h gọi là ánh
xạ hợp, nếu f, g là hàm số thì h gọi là hàm hợp của f và g, ký hiệu 𝑔 ∘ 𝑓, như vậy
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔 𝑓(𝑥)
Ví dụ 19: Cho 𝑓: 𝑅 → 𝑅; 𝑓(𝑥) = 𝑥 ; 𝑔: 𝑅 → 𝑅; 𝑔(𝑥) = sin 𝑥
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔 𝑓(𝑥) = sin 𝑥
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑔(𝑥) = (𝑠𝑖𝑛𝑥)
Ví dụ 20: Cho hàm số 𝑓(𝑥) = √sin 𝑥 + 1 thì f là hàm hợp của các hàm
ℎ(𝑥) = √𝑥; 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1; 𝑘(𝑥) = 𝑥 ; 𝑡(𝑥) = sin 𝑥
hay 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔 ∘ 𝑘 ∘ 𝑡
Nếu thứ tự khác, chẳng hạn
(𝑘 ∘ 𝑔 ∘ 𝑡 ∘ ℎ)(𝑥) = sin √𝑥 + 1
(*)Lực lượng của tập hợp:
Hai tập được coi là cùng lực lượng nếu có một song ánh từ tập này đến tập kia.
Ký hiệu lực lượng là |X|.
Tập X có cùng lực lượng với N được gọi là tập đếm được.
Tập X có cùng lực lượng với {0,1,2,…,n} thì X gọi là hữu hạn.
Ví dụ 21: Chứng minh (0; 1) cùng lực lượng với R.
Email: hoangnam.sp101@gmail.com 1.4 ĐẠI SỐ BOOLE
(*)Định nghĩa: Cho tập B khác rỗng, trong B ta trang bị 2 phép toán 2 ngôi ∧,∨, và
phép toán 1 ngôi ′ . Nếu B cùng 3 phép toán thỏa mãn:
+B1) ∧,∨ có tính kết hợp +B2) ∧,∨ giao hoán
+B3) ∧,∨ phân phối với nhau
+B4) Tồn tại trong B phần tử 1 và 0 khác nhau: 𝑎 ∧ 1 = 𝑎, 𝑎 ∨ 0 = 𝑎
+B5) Với mọi a thì 𝑎 ∧ 𝑎 = 0; 𝑎 ∨ 𝑎 = 1.
Thì (𝐵,∨,∧, ′) gọi là một đại số Boole.
Ví dụ 22: B={ước nguyên dương của 12}={1,2,3,4,6,12}
𝑎 ∨ 𝑏 = 𝐵𝐶𝑁𝑁 𝑐ủ𝑎 𝑎, 𝑏; 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑈𝐶𝐿𝑁 𝑎, 𝑏; 𝑎 = 12/𝑎 𝟏 = 12; 𝟎 = 1
3 = 4; 6 = 2; 2 ∨ 4 = 4; 4 ∧ 6 = 2
Khi đó B cùng 3 phép toán là đại số Boole
(*)công thức Boole, hàm boole, đối ngẫu
Công thức Boole là biểu thức chứa: biến x, y, z nhận giá trị là phần tử thuộc B,
cùng phép toán. Ví dụ: (𝑥 ∧ 1) ∨ 𝑦
Hàm Boole là hàm số có biểu thức là công thức Boole: 𝑡(𝑥, 𝑦) = (𝑥 ∧ 1) ∨ 𝑦
Đối ngẫu: Nếu thay ∨ thành ∧, 1 thành 0 và ngược lại thì công thức ban đầu thành
công thức mới gọi đối ngẫu của công thức ban đầu.
(𝑥 ∧ 1) ∨ 𝑦 → đố𝑖 𝑛𝑔ẫ𝑢: (𝑥 ∨ 0) ∧ 𝑦
Nguyên lý đối ngẫu: Nếu hai công thức Boole là tương đương bằng phép toán thì,
đối ngẫu của chúng cũng tương đương.
(*)Tính chất của đối ngẫu:
1/ 𝑎 ∨ 𝑎 = 𝑎; 𝑎 ∧ 𝑎 = 𝑎 2/ 0 = 1; 1 = 0
3/ 𝑎 ∨ 1 = 1; 𝑎 ∧ 0 = 0
4/ 𝑎 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑎; 𝑎 ∧ (𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑎
5/ Nếu tồn tại c sao cho
𝑎 ∨ 𝑐 = 𝑏 ∨ 𝑐; 𝑎 ∧ 𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑐 𝑡ℎì 𝑎 = 𝑏
6/ Nếu 𝑎 ∨ 𝑏 = 1; 𝑎 ∧ 𝑏 = 0, 𝑡ℎì 𝑎 = 𝑏
7/ (𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑎 ∨ 𝑏 ; (𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑎 ∧ 𝑏
CHƯƠNG 3. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
3.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN VÀ VÍ DỤ
(*)Định nghĩa: Ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 là một bảng chữ nhật có m dòng (hàng), n cột,
mỗi ô là một số thực, được viết trong ngoặc (...) hoặc […]. Ví dụ 1. 3 4
6 là một ma trận cấp 2 × 3. 0 −1 𝜋 Tên gọi: A, B, X, Y,…
Các số trong ma trận gọi là hệ số, phần tử, số hạng. Ký hiệu: 𝑎 là hệ số ở dòng
thứ 𝑖 và cột thứ 𝑗 của A, hệ số còn ký hiệu là a, b, c,… Ví dụ 2: Gọi 3 4 6 𝐴 =
thì hệ số của A là 𝑎 = 3, 𝑎 = 4, … , 𝑎 = 𝜋. 0 −1 𝜋
(*)Ký hiệu ma trận: 𝐴 = 𝑎 ; ℎ𝑎𝑦 𝑎 , hay 𝑎 . 𝒎×𝒏
Số 𝑖, 𝑗 gọi là chỉ số dòng và cột: 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.
(*)Tập hợp ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 ký hiệu là 𝑀 × (𝑅).
(*)Sự bằng nhau: Ma trận A bằng ma trận B nếu chúng cùng cấp và hệ số cùng vị
trí là bằng nhau. Tức là: 𝑎 = 𝑏
⇔ 𝑎 = 𝑏 , ∀𝑖, 𝑗 Ví dụ 3: 1 2 𝑎 𝑏 =
⇔ 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑥 = 3, 𝑦 = 4. 𝑥 𝑦 3 4
(*)Một số ma trận đặc biệt:
1/ Ma trận dòng (hàng): là ma trận có 1 dòng, 𝐴 = [1 2 3]
2/ Ma trận cột: là ma trận có 1 cột, 4 𝐵 = . 5
3/ Ma trận không: là ma trận có hệ số đều là 0. Ký hiệu: 𝑂, 0 ℎ𝑎𝑦 𝑂 × 𝑂 × = 0 0 0 . 0 0 0
4/ Ma trận vuông là ma trận có số dòng = số cột, m=n, lúc này ta gọi là ma trận
vuông cấp n, thay vì ma trận cấp nxn, ký hiệu tập các ma trận vuông cấp n là 𝑀 (𝑅). 1 2 3 𝐶 = 4 5 6 ∈ 𝑀 (𝑅) 7 8 10
+Đường chéo (chính): là tập chứa hệ số: 𝑎 , 𝑎 , … 𝑎 .
+Đường chéo phụ: là tập các hệ số 𝑎 ; 𝑎 ( ) … ; 𝑎 .
5/ Ma trận tam giác trên: là ma trận vuông có hệ số phía dưới đường chéo bằng 0. 1 2 3 𝐷 = 0 5 6 0 0 10
6/ Ma trận tam giác dưới: là ma trận vuông có hệ số phía trên đường chéo bằng 0. 1 0 0 𝐸 = 4 5 0 7 8 10
7/ Ma trận (đường) chéo: là ma trận vuông có hệ số ngoài đường chéo bằng 0. 1 0 0 𝐹 = 0 5 0 0 0 10
8/ Ma trận đơn vị: là ma trận vuông có hệ số thuộc đường chéo là 1, ngoài đường
chéo là 0. Ký hiệu: 𝐼, ℎ𝑎𝑦 𝐼 (gọi là ma trận đơn vị cấp n) 1 0 0 𝐼 = 0 1 0 ; 𝐼 = [1]. 0 0 1
3.2 PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN (*)PHÉP CỘNG 2 MA TRẬN:
Điều kiện: hai ma trận cùng cấp.
Tổng của A và B ký hiệu là A+B là ma trận cùng cấp với A, B, có hệ số bằng tổng 2
hệ số của A và B cùng vị trí. 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 Ví dụ 4. 1 2 5 6 1 + 5 2 + 6 6 8 + = = . 3 4 7 8 3 + 7 4 + 8 10 12 Tính chất:
1/ 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (giao hoán)
2/ (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (kết hợp)
3/ 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴
4/ Với mỗi A, tồn tại −𝐴 sao cho 𝐴 + (−𝐴) = (−𝐴) + 𝐴 = 𝑂.
Ma trận -A gọi là ma trận đối của A, luôn tồn tại duy nhất. Ví dụ 5. 1 2 −1 −2 𝐴 = thì − 𝐴 = . 0 −4 0 4
Hệ quả: Phép trừ: 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵).
Chú ý: 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐵 ⇒ 𝐴 + 𝐵 + (−𝐵) = 𝐶 + 𝐵 + (−𝐵) ⇒ 𝐴 = 𝐶
𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⇒ 𝐴 + 𝐵 + (−𝐵) = 𝐶 + (−𝐵) ⇒ 𝐴 = 𝐶 − 𝐵
(*)PHÉP NHÂN VÔ HƯỚNG (NHÂN SỐ VỚI MA TRẬN)
Tích của số thực k với ma trận A ký hiệu là kA, là ma trận cùng cấp với A, có hệ số
bằng k nhân với hệ số tương ứng của A. 𝑘 𝑎 = 𝑘𝑎 Ví dụ 6. 1 2 2 4 3/2 5/2 𝟏 3 5 2 = ; = . 0 −4 0 −8 0 4 𝟐 0 8
Chú ý: Nếu 𝐴 + 𝐴 + ⋯ . +𝐴 (𝑚 𝑙ầ𝑛) = 𝑚𝐴.
−𝐴 − 𝐴 − ⋯ . −𝐴 (𝑚 𝑙ầ𝑛) = −𝑚𝐴
Tính chất: Với các số thực h, k và ma trận A, B thì
1/ (ℎ𝑘)𝐴 = ℎ(𝑘𝐴) = 𝑘(ℎ𝐴)
2/ 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
3/ (ℎ + 𝑘)𝐴 = ℎ𝐴 + 𝑘𝐴
4/ 1. 𝐴 = 𝐴; −1. 𝐴 = −𝐴; 0𝐴 = 𝑂 (*)PHÉP NHÂN 2 MA TRẬN
Điều kiện: Ma trận A nhân được với B nếu số cột của A bằng số dòng của B.
Tích của A và B ký hiệu là AB, là ma trận có số dòng = số dòng của A, số cột = số cột của B. (𝑎 ) 𝑏 = 𝑐
Trong đó: 𝑐 = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 𝑏 + ⋯ + 𝑎 𝑏 .
(ghi nhớ: c = dòng i của A × cột j của B ) 2 3 Ví dụ 7. 1 2 3 𝐴 = ; 𝐵 = 1 5 . 4 5 0 0 −1
Do số cột của A = 3 = số dòng của B nên tích AB tồn tại, AB có cấp 2x2. 𝑐 𝑐 𝐴𝐵 = 𝑐 𝑐 𝑐 = 1.2 + 2.1 + 3.0 = 4; 𝑐
= 1.3 + 2. (5) + 3. (−1) = 10 𝑐 = 4.2 + 5.1 + 0.0 = 13; 𝑐 = 4.3 + 5.5 + 0. (−1) = 37 4 10 𝐴𝐵 = . 13 37
Do số cột của B =2=số dòng của A nên tích BA tồn tại, có cấp 3x3.
Nhận xét: Tích AB, BA có thể không tồn tại, cho dù tồn tại thì AB thông thường
khác BA, nên phép nhân không giao hoán (nói chung). Tính chất:
1/ (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶)
2/ 𝑘(𝐴𝐵) = (𝑘𝐴)𝐵 = 𝐴(𝑘𝐵)
3/ (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶; 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
4/ 𝐴 𝑐ấ𝑝 𝑚 × 𝑛 thì 𝐼 𝐴 = 𝐴; 𝐴𝐼 = 𝐴.
(*)Hệ quả: Phép lũy thừa:
Cho A là ma trận vuông cấp n, với số tự nhiên k thì
𝐴 = 𝐴𝐴 … 𝐴 (𝑘 𝑙ầ𝑛); 𝐴 = 𝐼 . Tính chất: 1/ 𝐴 = 𝐴 2/ 𝐴 𝐴 = 𝐴
3/ (𝑟𝐴) = 𝑟 𝐴 , 𝑟 ∈ 𝑅
4/ (𝐴𝐵) = 𝐴 𝐵 𝑐ℎỉ đú𝑛𝑔 𝑘ℎ𝑖 𝑣à 𝑐ℎỉ 𝑘ℎ𝑖 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.
5/ Hằng đẳng thức, nhị thức Newton chỉ đúng khi: AB=BA.
Chẳng hạn: (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 − 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 + 𝐵 . Ví dụ 8. Cho −3 5 𝐴 = , tính 𝐴 ; 𝐴 . −2 3
Chú ý: 𝐴𝐵 = 𝑂 ⇏ 𝐴 = 𝑂 ℎ𝑜ặ𝑐 𝐵 = 0; 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ⇏ 𝐵 = 𝐶 (*)PHÉP CHUYỂN VỊ
Cho A là ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 thì ma trận chuyển vị của A ký hiệu là 𝐴 ℎ𝑎𝑦 𝐴 , là
ma trận cấp 𝑛 × 𝑚, với hệ số được tìm bằng cách viết A lại từ dòng thành cột 𝑎 = 𝑎 1 4 Ví dụ 9. 1 2 3 𝐴 = → 𝐴 = 2 5 . 4 5 6 3 6 Tính chất 1/ (𝐴 ) = 𝐴
2/ (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 𝐵 3/ (𝑘𝐴) = 𝑘 𝐴 4/ (𝐴𝐵) = 𝐵 𝐴
Đặc biệt: Ma trận đối xứng là ma trận vuông A mà: 𝐴 = 𝐴. 2 3 5 2 3 5
Ví dụ 10. 𝐴 = 3 4 6 → 𝐴 = 3 4 6 = 𝐴. 5 6 7 5 6 7
Ma trận phản đối xứng là ma trận vuông A mà: 𝐴 = −𝐴. (*)ĐA THỨC MA TRẬN
Cho A là ma trận vuông cấp n, và đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Khi đó giá trị hàm số tại A là
𝑓(𝐴) = 𝑎. 𝐴 + 𝑏. 𝐴 + 𝑐. 𝐼 Ví dụ 11. Cho 1 1 𝐴 =
và 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 + 4. Tính f(A) 0 1
𝑓(𝐴) = 2𝐴 + 3𝐴 + 4𝐼 1 1 1 1 1 1 1 0 = 2 + 3 + 4 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 0 = 2 + 3 + 4 0 1 0 1 0 1 2 4 3 3 4 0 9 7 = + + = 0 2 0 3 0 4 0 9 3.3 ĐỊNH THỨC
Cho A là ma trận vuông cấp n, định thức của A là một số thực ký hiệu là
det 𝐴 ℎ𝑎𝑦 |𝐴|. Được tính theo cấp n của A.
(*)Nếu 𝑛 = 1, 𝐴 = [𝑎]; thì det 𝐴 = 𝑎 (*)Nếu 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑛 = 2, 𝐴 = thì det 𝐴 = = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐. 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦
Ví dụ 12. 1 2 = 1.4 − 2.3 = −2; 3 4 𝑦 𝑥 = 𝑥 − 𝑦 𝑎 𝑎 𝑎 (*)Nếu 𝑛 = 3, 𝐴 = 𝑎 𝑎 𝑎 thì 𝑎 𝑎 𝑎 det 𝐴 = (𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 ) − (𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 ) Hoặc 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 det 𝐴 = 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 1 2 3
Ví dụ 13. Tính định thức của 𝐴 = 0 4 5 −1 3 −2
det 𝐴 = (1.4. (−2) + 2.5. (−1) + 3.3.0) − (3.4. (−1) + 2.0. (−2) + 1.5.3) = −21 1 2 𝑥
Ví dụ 14. Tính định thức của 𝐴 = 2 5 2𝑥 . 3 7 3𝑥 + 3
(*)Nếu 𝑛 ≥ 4, 𝐴 = 𝑎
thì ta khai triển định thức theo cột 1 như sau det 𝐴 = 𝑎 𝐴 + 𝑎 𝐴 + ⋯ + 𝑎 𝐴
Trong đó: 𝑎 ; 𝑎 ; … ; 𝑎 là hệ số ở cột 1 của A. 𝐴 = (−1)
× Định thức của A khi bỏ đi dòng i, cột j
Chú ý: ta có thể khai triển định thức theo dòng hay cột bất kỳ. 1 2 0 2 2 0 1 1
Ví dụ 15. Tính định thức ma trận 𝐴 = . 0 3 3 4 3 1 2 5 det 𝐴 = 𝑎 𝐴 + 𝑎 𝐴 + 𝑎 𝐴 + 𝑎 𝐴 Ta có: 𝑎 = 1; 𝑎 = 2; 𝑎 = 0; 𝑎 = 3. 0 1 1 𝐴 = (−1) 3 3 4 = 1. (10 − 18) = −8 1 2 5 2 0 2 𝐴 = (−1) 3 3 4 = −1(42 − 22) = −20 1 2 5 2 0 2 𝐴 =∗ ; 𝐴 = (−1) 0 1 1 = −(8 − 12) = 4. 3 3 4
Vậy det 𝐴 = 1. (−8) + 2(−20) + 0𝐴 + 3.4 = −36
Chú ý: 𝐴 gọi là phần bù đại số của 𝑎 . Ta nên chọn khai triển theo cột, dòng có nhiều số 0 nhất.
(*)Tính chất của định thức:
1/ Nếu A có 1 dòng, cột bằng 0 thì detA=0.
2/ Nếu A là ma trận tam giác thì det 𝐴 = 𝑎 𝑎
… 𝑎 (tích các số trên đường chéo chính)
3/ Nếu A và B vuông thì det(𝐴𝐵) = det 𝐴 . det 𝐵 4/ det 𝐴 = det 𝐴 5/ det 𝐼 = 1
(*)CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP THEO DÒNG
+Loại 1: Đổi chỗ 2 hàng (dòng): ℎ ↔ ℎ 𝑑 ↔ 𝑑
+Loại 2: Nhân 1 hàng với số thực k khác 0: 𝑘. ℎ → ℎ hay ℎ ≔ 𝑘. ℎ
+Loại 3: Cộng hàng này với k lần hàng khác: ℎ + 𝑘. ℎ → ℎ ℎ𝑎𝑦 ℎ ≔ ℎ + 𝑘. ℎ
Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n, khi đó nếu ta thực hiện
+) ℎ ↔ ℎ thì định thức đổi dấu: |𝐴| = −|𝐴 |
+) 𝑘. ℎ → ℎ thì định thức nhân với k, tức là 𝑘. |𝐴| = |𝐴 | ℎ𝑎𝑦 |𝐴| = |𝐴 |.
+) ℎ + 𝑘. ℎ → ℎ thì định thức không đổi, tức là: |𝐴| = |𝐴 |
Nhận xét: Với mọi ma trận A, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để
đưa về ma trận tam giác trên B, từ đó có thể suy detA. Ngoài ra, ta cũng có thể
thực hiện biến đổi sơ cấp theo cột. 1 2 0 2 2 0 1 1 Ví dụ 16. 𝐴 = , tính detA. 0 3 3 4 3 1 2 5 1 2 0 2 0 −4 1 −3
Thưc hiện: ℎ − 2ℎ → ℎ : det 𝐴 = 0 3 3 4 3 1 2 5 1 2 0 2 0 −4 1 −3
Thưc hiện: ℎ − 3ℎ → ℎ : det 𝐴 = = 0 3 3 4 0 −5 2 −1 −4 1 −3 1. (−1) 3 3 4 −5 2 −1
= (12 − 20 − 18) − (45 − 3 − 32) = −36.
Hệ quả của phép biến đổi sơ cấp:
1/ Có thể đặt nhân tử chung 1 dòng (cột) ra ngoài định thức: 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏 𝑐 = 𝑎. ∗ ∗ ∗ ∗
2/ Nếu 1 dòng đều có hệ số dạng tổn thì có thể tách thành tổng 2 định thức: 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 = + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
3/ Nếu A là ma trận vuông cấp n, với số thực k bất kỳ thì: det(𝑘𝐴) = 𝑘 det 𝐴 𝐵 ∗ 𝐵 0
4/ Nếu A có dạng khối, 𝐴 = ℎ𝑎𝑦
với B, C là ma trận vuông thì 0 𝐶 ∗ 𝐶
det 𝐴 = det 𝐵 . det 𝐶 1 2 0 2 0 −4 1 −3 1 2 3 4 Chẳng hạn: = . = −4. (−11) = 44. 0 0 3 4 0 −4 2 −1 0 0 2 −1 𝑥 1 … 1 1 𝑥 … 1
Ví dụ 17. Tính định thức cấp n: 𝐷 =
, trên đường chéo chính là x, … … … … 1 1 … 𝑥 ngoài đường chéo là 1. Giải: 𝑥 1 … 1 1 𝑥 …
1 (𝑑 + 𝑑 + ⋯ + 𝑑 → 𝑑 ) … … … … 1 1 … 𝑥
𝑥 + 𝑛 − 1 𝑥 + 𝑛 − 1 … 𝑥 + 𝑛 − 1 1 1 … 1 1 𝑥 … 1 1 𝑥 … 1 = = (𝑥 + 𝑛 − 1) … … … … … … … … 1 1 … 𝑥 1 1 … 𝑥 1 1 … 1 0 𝑥 − 1 … 0
(𝑑 − 𝑑 → 𝑑 , 𝑖 = 2,3, . . 𝑛) = (𝑥 + 𝑛 − 1) … … … … 0 0 … 𝑥 − 1
= (𝑥 + 𝑛 − 1)(𝑥 − 1) . 3.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
(*)Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n, ta nói A khả nghịch nếu có ma trận
vuông B sao cho 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 . Khi đó, B là ma trận nghịch đảo của A.
(*)Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n, khi đó A khả nghịch khi tồn tại ma trận B sao cho 𝐴𝐵 = 𝐼 .
(*)Nhận xét: Ma trận nghịch đảo của A nếu có là duy nhất, ký hiệu là 𝐴 . 3 6 5/3 −2 Ví dụ 18. Cho 𝐴 = , 𝑐ℎọ𝑛 𝐵 = thì 2 5 −2/3 1 5 −2 3 6 1 0 𝐴𝐵 = 3 = = 𝐼 . 2 5 2 0 1 − 1 3 5/3 −2
Vậy A khả nghịch, và 𝐴 = . −2/3 1
(*)Điều kiện cần và đủ để A khả nghịch:
Cho A là ma trận vuông cấp n, A khả nghịch ⇔ det 𝐴 ≠ 0.
(*)Công thức ma trận nghịch đảo: 1 𝐴 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) det 𝐴
Trong đó: 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴
gọi là ma trận phụ hợp của A, hệ số là các phần bù đại số của A. 1 2 3
Ví dụ 19. Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 = 2 5 4 nếu có. 3 7 6
det 𝐴 = −1 ≠ 0, nên A khả nghịch. Ta tìm các phần bù đại số 2 4 𝐴 = (−1) 5 4 = 2; 𝐴 = (−1) = 0; 𝐴 = (−1) 2 5 7 6 3 6 3 7 = −1 2 3 1 3 1 2 𝐴 = (−1) = 9; 𝐴 = (−1) = −3; 𝐴 = (−1) = −1; 7 6 3 6 3 7 2 3 1 3 1 2 𝐴 = (−1) = −7; 𝐴 = (−1) = 2; 𝐴 = (−1) = 1; 5 4 2 4 2 5 2 9 −7 −2 −9 7 Vậy 𝐴 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = 0 −3 2 = 0 3 −2 . −1 −1 1 1 1 −1 1 2 3 −2 −9 7 1 0 0 Kiểm tra: 2 5 4 0 3 −2 = 0 1 0 . 3 7 6 1 1 −1 0 0 1
(*)Tính chất của ma trận nghịch đảo: 1/ 𝐼 = 𝐼 2/ (𝐴 ) = 𝐴 3/ (𝐴𝐵) = 𝐵 𝐴 4/ (𝑘𝐴) = 𝐴 ; 𝑘 ≠ 0 5/ (𝐴 ) = (𝐴 ) 3.5 HẠNG CỦA MA TRẬN
(*)Định nghĩa về định thức con: Cho A là ma trận cấp 𝑚 × 𝑛. Khi bỏ đi một số
dòng và cột để được ma trận vuông, ta gọi định thức ma trận vuông đó là định thức con của A.
(*)Định nghĩa hạng: Cho A là ma trận cấp 𝑚 × 𝑛. Hạng của A là một số tự nhiên
bằng cấp cao nhất trong tất cả định thức con khác 0 của A. 1 1 2 1
Ví dụ 20. Tìm hạng của A bằng định nghĩa: 𝐴 = 2 0 1 1 . 1 3 5 2
Kiểm tra các định thức con cấp 3: 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 = 0; 2 1 1 = 0; 2 0 1 = 0; 2 0 1 = 0 3 5 2 1 5 2 1 3 2 1 3 5 1 1
Kiểm tra các định thức con cấp 2: = −2 ≠ 0. 2 0
Nên định thức con khác 0 có cấp cao nhất là 2, nên hạng của A là 2.
(*)Ký hiệu hạng của ma trận A là r(A).
(*)Ma trận bậc thang: là ma trận thỏa mãn:
1/ Dòng chứa toàn số 0 (dòng 0) là dòng cuối
2/ Số khác 0 đầu tiên của dòng dưới phải ở cột bên phải số khác 0 đầu tiên của dòng trên. 1 2 1 0 2 1
Ví dụ 21. Ma trận 𝐴 = 0 2 1 ; 𝐵 = 0 0 3 là ma trận bậc thang. 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 1
Ma trận 𝐶 0 0 0 ; 𝐷 = 0 3 1 không là ma trận bậc thang. 0 0 2 0 0 0
(*)Định lý: Ma trận bậc thang có hạng bằng số dòng khác dòng 0 của nó.
(*)Định lý: Nếu A biến đổi sơ cấp theo dòng thành ma trận B, ta nói A tương
đương dòng với B và r(A)=r(B).
Do đó, để tìm r(A) ta thực hiện biến đổi sơ cấp theo dòng thành ma trận bậc
thang B, gọi là dạng bậc thang của A, khi đó r(A)=r(B)=số dòng khác 0 của B. 1 1 2 1
Ví dụ 22. Tìm hạng của A ở VD20: 𝐴 = 2 0 1 1 . 1 3 5 2 → 1 1 2 1 1 1 2 1 → → 𝐴 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 −2 −3 −1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 −2 −3 −1 = 𝐵 0 2 3 1 0 0 0 0
Khi đó, B gọi là dạng bậc thang của A, r(A)=r(B)=số dòng khác 0 của B = 2. (*)Tính chất:
1/ 𝑟(𝐴 ) = 𝑟(𝐴), có thể thực hiện biến đổi sơ cấp theo cột để tìm hạng.
2/ 𝑟(𝐴 + 𝐵) ≤ 𝑟(𝐴) + 𝑟(𝐵)
3/ 𝑟(𝐴𝐵) ≤ min{𝑟(𝐴), 𝑟(𝐵)}
4/ Nếu A cấp 𝑚 × 𝑛 thì 𝑟(𝐴) ≤ min{𝑚, 𝑛}
5/ 𝑟(𝐴) = 0 𝑘ℎ𝑖 𝑣à 𝑐ℎỉ 𝑘ℎ𝑖 𝐴 = 𝑂.
6/ 𝑟(𝑘𝐴) = 𝑟(𝐴); 𝑘 ≠ 0.
(*)Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, các điều sau tương đương 1/ A khả nghịch 2/ r(A)=n
3/ A biến đổi sơ cấp thành 𝐼 .
Hơn nữa, nếu A biến đổi sơ cấp thành 𝐼 qua các phép biến đổi 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 , thì ma
trận 𝐼 biến đổi thành 𝐴 .
(*)Phương pháp Gauss-Jordan
+)Lập ma trận ghép [𝐴|𝐼 ]
+)Biến đổi sơ cấp về [𝐼 |𝐵], nếu ma trận bên trái có 1 dòng (cột) bằng 0, thì A
không thể biến đổi sơ cấp thành I, hay r(A)+)Khi đó, 𝐴 = 𝐵. 2 3 1
Ví dụ 23. Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 = 1 2 3 nếu có. 3 5 3 2 3 1 1 0 0 1 1 −2 1 −1 0 → [𝐴|𝐼 ] = 1 2 3 0 1 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 2 3 0 1 0 3 5 3 0 0 1 3 5 3 0 0 1 → 1 1 −2 1 −1 0 → 1 0 −7 2 −3 0 → → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 5 −1 2 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 5 −1 2 0 0 2 9 −3 3 1 0 0 −1 −1 −1 1 1 0 −7 2 −3 0 → 1 0 0 9 4 −7 ( ) → → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 5 −1 2 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 0 −6 −3 5 0 0 1 1 1 −1 0 0 1 1 1 −1
Suy ra A biến đổi sơ cấp theo dòng thành 𝐼 , nên A khả nghịch, và 9 4 −7 𝐴 = −6 −3 5 . 1 1 −1 Sửa bài tập: 3.46
(*)Mối liên hệ giữa hạng và định thức của ma trận vuông A.
1/ 𝐴 khả nghịch ⇔ 𝑟(𝐴) = 𝑛 ⇔ det 𝐴 ≠ 0.
2/ 𝐴 không khả nghịch ⇔ 𝑟(𝐴) < 𝑛 ⇔ det 𝐴 = 0. 𝑎 𝑏
(*)Đặc biệt nếu A là ma trận vuông cấp 2, 𝐴 = 𝑐 𝑑 1 𝑑 −𝑏 → 𝐴 =
; 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0. 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 −𝑐 𝑎
CHƯƠNG 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ
(*)Định nghĩa: Một hệ phương trình tuyến tính bao gồm m phương trình, n ẩn có dạng tổng quát
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏 (∗) … 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
Trong đó: 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 là n ẩn.
𝑎 là hệ số của ẩn 𝑥 trong phương trình thứ 𝑖.
𝑏 là hệ số tự do (hệ số vế phải) ở phương trình thứ 𝑖. 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 2 Ví dụ 1. Hệ PTTT
là hệ PTTT có 2 phương trình, 3 ẩn với hệ số 𝑥 − 2𝑥 = 0 𝑎 = 1; 𝑎
= 1; … ; 𝑏 = 2; 𝑏 = 0.
(*)Nghiệm của hệ PTTT: là bộ n số có thứ tự (𝑥∗, 𝑥∗, … , 𝑥∗ ) thỏa mãn tất cả phương trình.
Ví dụ 2. Hệ ở VD1 có nghiệm là (2,1,1); (4,0,2); …
(*)Giải hệ PTTT: là việc tìm tất cả các nghiệm của hệ hoặc chứng minh hệ vô nghiệm.
(*)Hệ tương đương: Hai hệ PTTT được gọi là tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng tập nghiệm.
(*)Dạng ma trận: Đối với hệ PTTT (*), ta đặt các ma trận 𝐴 = 𝑎 : là ma trận hệ số 𝑥 𝑏 𝑥 𝑏
𝑋 = … : là ma trận ẩn; 𝐵 = : là ma trận vế phải. … 𝑥 𝑏
Thì hệ PTTT (*) có thế viết lại là AX=B, là một phương trình ma trận, gọi là dạng ma trận của hệ. 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 2 Ví dụ 3. Hệ PTTT . 𝑥 − 2𝑥 = 0 𝑥 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 2 1 1 −1 2 ⟷ 𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 = 0 1 0 −2 𝑥 0 𝑥 1 1 −1 2 Đặt 𝐴 = ; 𝑋 = 𝑥 ; 𝐵 = thì AX=B. 1 0 −2 𝑥 0
4.2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM
(*)Định lý Kronecker-Capelli: Cho hệ PTTT có dạng ma trận AX=B, đặt 𝐴̅ = [𝐴|𝐵]
gọi là ma trận hệ số bổ sung. Khi đó, hệ PTTT có nghiệm ⇔ 𝑟(𝐴̅) = 𝑟(𝐴).
Nhận xét: Do 𝐴̅ chứa A, nên khi biến đổi sơ cấp theo dòng, để đưa 𝐴̅ về dạng bậc
thang, ta cũng có dạng bậc thang của A bằng cách bỏ cột cuối. 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 2
Ví dụ 4. Kiểm tra sự tồn tại nghiệm 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 4 3𝑥 + 4𝑥 − 𝑥 = 7 Giải: 1 1 −1 2 → 1 1 −1 2 →
Ma trận hệ số bổ sung: 𝐴̅ = 1 2 1 4 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 2 2 3 4 −1 7 0 1 2 1 1 1 −1 2 → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 2 2 0 0 0 −1
Suy ra: 𝑟(𝐴̅) = 3; 𝑟(𝐴) = 2; nên 𝑟(𝐴̅) ≠ 𝑟(𝐴). Vậy hệ vô nghiệm. 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 2
Ví dụ 5. Tìm m để hệ 2𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 = 1 có nghiệm. 𝑥 + 0𝑥 − 4𝑥 = 𝑚 1 1 −1 2 → 1 1 −1 2 →
Ma trận hệ số bổ sung: 𝐴̅ = 2 3 1 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 3 −3 1 0 −4 𝑚 0 −1 −3 𝑚 − 2 1 1 −1 2 → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 3 −3 . 0 0 0 𝑚 − 5
Suy ra: 𝑟(𝐴) = 2. Hệ PTTT có nghiệm ⇔ 𝑟(𝐴̅) = 𝑟(𝐴) = 2.
⇔ 𝑚 − 5 = 0 ⇔ 𝑚 = 5.
4.3 PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS
(*)Định lý: Cho hệ PTTT có dạng ma trận 𝐴𝑋 = 𝐵. Nếu ma trận [𝐴|𝐵] biến đổi sơ
cấp theo dòng thành ma trận [𝐴 |𝐵 ] thì hệ ban đầu tương đương với hệ mới có
dạng ma trận 𝐴 𝑋 = 𝐵 .
(*)Thuật toán Gauss để giải hệ PTTT:
+)Bước 1: Lập ma trận hệ số bổ sung [𝐴|𝐵].
+)Bước 2: Biến sơ cấp theo dòng về dạng bậc thang [𝐴 |𝐵 ].
+)Bước 3: Suy ra 𝑟(𝐴̅), 𝑟(𝐴). Kết luận về sự tồn tại nghiệm
Nếu 𝑟(𝐴̅) ≠ 𝑟(𝐴)thì hệ vô nghiệm
Nếu 𝑟(𝐴̅) = 𝑟(𝐴) thì hệ có nghiệm phụ thuộc vào n-r(A) tham số.
+)Bước 4: Hệ tương đương: có dạng ma trận A’X=B’.
+)Bước 5: Chọn n-r(A) ẩn làm tham số, tính các ẩn còn lại theo tham số, từ
phương trình dưới lên trên. Kết luận nghiệm
𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 2
Ví dụ 6. Giải hệ PTTT: 2𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 1
𝑥 + 0𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥 = 5 Giải: 1 1 −1 1 2
Ma trận hệ số bổ sung: 𝐴̅ = 2 3 1 −1 1 1 0 −4 4 5 → 1 1 −1 1 2 → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 3 −3 −3 0 −1 −3 3 3 1 1 −1 1 2 → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 3 −3 −3 (1.0) 0 0 0 0 0
Suy ra 𝑟(𝐴̅) = 2 = 𝑟(𝐴) nên hệ có nghiệm (0.5). Hệ tương đương:
𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 2
𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 2
𝑥 + 3𝑥 − 3𝑥 = −3 (0.5) ⇒ 𝑥 = −3 − 3𝑡 + 3𝑠 𝑥 = 𝑡; 𝑥 = 𝑠
𝑥 + (−3 − 3𝑡 + 3𝑠) − 𝑡 + 𝑠 = 2 𝑥 = 5 + 4𝑡 − 4𝑠 ⇒ 𝑥 = −3 − 3𝑡 + 3𝑠
⇒ 𝑥 = −3 − 3𝑡 + 3𝑠 (0.5) 𝑥 = 𝑡; 𝑥 = 𝑠 𝑥 = 𝑡; 𝑥 = 𝑠
Vậy nghiệm của hệ là: (𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = (5 + 4𝑡 − 2𝑠, 5 + 4𝑡 − 4𝑠, 𝑡, 𝑠), 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅
Tập nghiệm: 𝑆 = {(5 + 4𝑡 − 4𝑠, 5 + 4𝑡 − 2𝑠, 𝑡, 𝑠)| 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅 } (0.5) (*)Thuật toán nâng cao:
Bước 2’: Biến đổi ma trận về dạng bậc thang rút gọn: là ma trận bậc thang thỏa mãn 2 điều:
+) Số đầu tiên khác 0 của mỗi dòng là số 1
+) Các hệ số còn lại của cột chứa số 1 trên là 0. 1 1 −1 1 2 1 0 −4 4 5 → → VD7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 3 −3 −3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 1 3 −3 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥 = 5 𝑥 = 4𝑥 − 4𝑥 + 5
𝑥 + 3𝑥 − 3𝑥 = −3 → 𝑥 = −3𝑥 + 3𝑥 − 3
Chú ý: Tham số được chọn là ẩn không phải đầu tiên của mỗi dòng.
𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 1
Ví dụ 7. Giải và biện luận hệ PTTT: 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 = 8 theo m.
𝑥 + 0𝑥 − 3𝑥 + 4𝑥 = 𝑚 4.4 PHƯƠNG PHÁP CRAMER
(*)Hệ Cramer: Hệ PTTT có dạng ma trận AX=B gọi là hệ Cramer nếu A là ma trận
vuông (số pt = số ẩn) và A khả nghịch, tức là det 𝐴 ≠ 0.
(*)Định lý: Hệ Cramer có duy nhất một nghiệm.
(*)Công thức nghiệm: 𝑥 = ; 𝑥 = , … , 𝑥 =
Trong đó: 𝐷 = det 𝐴 , 𝐷 = Định thức của A thay cột thứ 𝑖 bởi B. 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 1
Ví dụ 8: Giải hệ 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 8 . 2𝑥 + 3𝑥 − 𝑥 = 4 1 1 −1 1 Ta có: : 𝐴 = 1 2
1 ; 𝐵 = 8 , 𝐷 = det 𝐴 = −3 − (−2) = −1 ≠ 0, nên hệ là 2 3 −1 4
Cramer có duy nhất 1 nghiệm. 1 1 −1 𝐷 = 8 2 1 = −22 − (−13) = −9; 4 3 −1 1 1 −1 1 1 1 𝐷 = 1 8
1 = −10 − (−13) = 3; 𝐷 = 1 2 8 = 27 − (32) = −5 2 4 −1 2 3 4 Suy ra: 𝑥 = = 9; 𝑥 = = −3; 𝑥 =
= 5. Vậy nghiệm của hệ là
(𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = (9, −3,5).
(*)Quy tắc Cramer: Đối với hệ PTTT có dạng ma trận 𝐴𝑋 = 𝐵, 𝐴 vuông
+)Bước 1: Tính 𝐷, 𝐷 , … , 𝐷
+)Bước 2: Nếu 𝐷 ≠ 0 thì hệ là Cramer có 1 nghiệm.
Nếu 𝐷 = 0 𝑣à tồn tại 𝐷 ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu 𝐷 = 𝐷 = ⋯ = 𝐷 = 0 thì chưa kết luận được (vô nghiệm, vô số
nghiệm). Lúc này, ta dùng pp Gauss.
4.5 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Cho hệ PTTT có dạng ma trận là AX=B, A vuông khả nghịch, tồn tại 𝐴 . Khi đó:
𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝐴 𝐴𝑋 = 𝐴 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴 𝐵. 𝑥 + 2𝑥 = 3 Ví dụ 9: Giải hệ . 3𝑥 + 5𝑥 = 1 1 2 𝑥 3 Ta có: 𝐴 = ; 𝑋 =
; det 𝐴 = −1 ≠ 0 nên A khả nghịch, 𝐴 = 3 5 𝑥 ; 𝐵 = 1 −5 2 −5 2 3 −13 . Khi đó: 𝑋 = 𝐴 𝐵 = = . 3 −1 3 −1 1 8
Vậy nghiệm của hệ là (𝑥 , 𝑥 ) = (−13,8).
4.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
(*)Định nghĩa: Hệ PTTT có vế phải là số 0 gọi là hệ PTTT thuần nhất (hệ thuần nhất). 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 0 Ví dụ 10: Hệ là hệ thuần nhất. 3𝑥 + 5𝑥 − 2𝑥 = 0
(*)Nhận xét: Hệ thuần nhất luôn có nghiệm, ít nhất là nghiệm (0,0,…,0) gọi là
nghiệm tầm thường, nghiệm khác (0,0,…,0) nếu có gọi là nghiệm không tầm thường.
(*)Định lý: Cho hệ thuần nhất có dạng ma trận AX=0. Hệ có nghiệm không tầm
thường khi và chỉ khi 𝑟(𝐴) < 𝑛 (𝑠ố ẩ𝑛), ℎ𝑎𝑦 det 𝐴 = 0 nếu A vuông.
(*)Cách giải hệ thuần nhất: Dùng pp Gauss:
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 0
Ví dụ 11: Giải hệ 𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 = 0
2𝑥 + 3𝑥 + 5𝑥 + 7𝑥 = 0
Chú ý: Do B=0 nên chỉ cần biến đổi sơ cấp ma trận A, không cần 𝐴̅.
Nghiệm (𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = (−7𝑎 − 8𝑏, 3𝑎 + 3𝑏, 𝑎, 𝑏); 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. (*)Nghiệm cơ bản:
Nếu cho các tham số lần lượt bằng 1, tham số khác bằng 0, ta có được 1 nghiệm
cơ bản. Tập các nghiệm cơ bản gọi là hệ nghiệm cơ bản.
Ví dụ 12. Tìm hệ nghiệm cơ bản của nghiệm tổng quát:
(𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = (−7𝑎 − 8𝑏, 3𝑎 + 3𝑏, 𝑎, 𝑏); 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅.
Cho a=1, b=0 ta được (-7,3,1,0)
Cho a=0,b=1 ta được (-8,3,0,1)
Hệ nghiệm cơ bản là {(−7,3,1,0); (−8,3,0,1)}.
Chú ý: (𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = (−7𝑎 − 8𝑏, 3𝑎 + 3𝑏, 𝑎, 𝑏)
= (−7𝑎, 3𝑎, 𝑎, 0) + (−8𝑏, 3𝑏, 0, 𝑏)
= 𝑎(−7,3,1,0) + 𝑏(−8,3,0,1)
Nhận xét: Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất có dạng
(𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = 𝑡 𝑢 + ⋯ + 𝑡 𝑢 ; 𝑢 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑏ả𝑛, 𝑡 là tham số.
Số lượng tham số = 𝑛 − 𝑟(𝐴).
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 0
Ví dụ 13: Giải lại VD11: 𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 = 0 .
2𝑥 + 3𝑥 + 5𝑥 + 7𝑥 = 0
Cho 𝑥 = 1 → ℎệ 𝑐ó 𝑉𝑆𝑁 , 𝑟(𝐴) < 3, r(A)=2, suy ra cần 2 tham số, cần 2 nghiệm cơ bản.
Cho 𝑥 = 1, 𝑥 = 0 → 𝑥 = −7, 𝑥 = 3 → (−7,3,1,0)
Tài liệu liên quan:
-
Bài tập Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
17 9 -
Câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 – C2 môn Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
22 11 -
Sách Thomas S Blyth Edmund F Robertson - Basic Linear Algebra-Springer (2002) môn Đại số tuyến tính | Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
28 14 -
Giáo trình vi xử lý | Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM
1 K 517