Bài tập môn Đại số tuyến tính 1 | Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

BÀI TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 1 Câu 1.1:  4 0 10 −7 5  
a. Cho ma trận A =    và B =  −5 1 . 2 5 6       6 9
Tìm ma trận X sao cho: 2 t
B − 2X = A.
b. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
 2x − x + x + x = 27  1 2 3 4
 x + 2x − x + 4x = 5 1 2 3 4
x + 7x − 4x + 11x = −  12. 1 2 3 4 Câu 1.2: 1 2 2  
a. Cho ma trận A = 2 5 2  . Chứng minh rằng A là ma trận khả nghịch. Tìm ma trận   3 6 3
nghịch đảo của ma trận A .
b. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:
 x + 2x + x + 2x = 1  1 2 3 4
 x + x + 2x + 2x = 2  1 2 3 4
2x + x + x + 2x =  3 1 2 3 4
3x + 5x + 4x + 6x =  5. 1 2 3 4 Câu 1.3:  2 −1   1 −2 −5
a. Cho ma trận A =  1
0  và ma trận B =   .   3 4 0  −    3 4  Tính + t A B vàAB .
x + 3x − x + 2x = 10  1 2 3 4
b. Giải hệ phương trình 2x + 7x + x − x = 25  1 2 3 4
x + 4x + 2x + x =  15. 1 2 3 4 Câu 1.4: a. Cho x, ,
y z,x,y,z, ,
a b là các số thực, tính định thức sau:
x x ' ax + bx '
y y ' ay + by ' .
z z ' az + bz '
x − 2x + 3x − x = 8  1 2 3 4
2x − 3x + x + 2x = 1
b. Giải hệ phương trình  1 2 3 4
4x − 7x + 7x =  17 1 2 3
−x + 3x − 5x + 4x = −  11. 1 2 3 4 Câu 1.5: a. Cho a, ,
b c là các số thực. Chứng minh rằng a + b c 1 b + c a 1 = 0 . c + a b 1
b. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:
 x + 2x + x + 2x = 1  1 2 3 4
 x + x + 2x + 2x = 2  1 2 3 4
2x + x + x + 2x =  3 1 2 3 4
3x + 5x + 4x + 6x =  5. 1 2 3 4 Câu 1.6:  4 0  1 8 3  
a. Cho ma trận A =    B =  −5 1 − . 2 7 0 và ma trận       6 9
Tìm ma trận X sao cho: 3 + t X A − 2B = 0.
b. Giải hệ phương trình tuyến tính sau
 3x + 2x + x − x − x = 7  1 2 3 4 5
2x + 3x + 2x − 2x − 2x = 8  1 2 3 4 5
x + 4x + 3x − 3x − 3x =  9. 1 2 3 4 5 Câu 1.7: a. Tính định thức sau: 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 4 5 . 1 1 1 4 5 1 1 1 1 5
b. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
2x − x + x − x = 1  1 2 3 4
 2x − x − 3x = 2  1 2 4
3x − x + x = −  3. 1 3 4 Câu 1.8: 13 −1 5   −7 19 −15    
a. Cho ma trận A =  0 7
−6 và ma trận B =  20 −13 14 .   8 −    1 6  −12 19 −  14 
Tìm ma trận X sao cho: X − A + B = 20 , trong đó
là ma trận đơn vị cấp 3. 3 3
b. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
 2x − x − x + x = 0  1 2 3 4
 x − x − x − 2x = 0  1 2 3 4
5x − x − 3x − 2x =  0. 1 2 3 4 Câu 1.9:
a. Tính định thức sau theo số thực a : a 1 1 1 1 a 1 1 . 1 1 a 1 1 1 1 a
b. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
 x − x + x − 2x = −1  1 2 3 4
 x − x + 2x − x = 1  1 2 3 4
5x − 5x + 8x − 7x =  1. 1 2 3 4 Câu 1.10:
a. Tìm ma trận X sao cho: 0 1 2  0 3 6     
3 5 0  X = 6 18 −20     1 0 −1 2 1 −    5 
b. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
 x + x + x + x = 7  1 2 3 4
x + 2x + 2x + 6x = 23  1 2 3 4
5x + 4x + 3x − x =  12. 1 2 3 4 Câu 1.11:
a. Tính định thức sau: 5 3 3 3 3 3 5 3 3 3 3 3 5 3 3 . 3 3 3 5 3 3 3 3 3 5
b. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (1, 2),(1, −2),(0, −1). Biết rằng trong
mặt phẳng tọa độ Oxy phương trình đường tròn có dạng: 2 x + 2
y − 2ax − 2by + c = 0 với a b c  2 ,a + 2 , , b − c  0. Câu 1.12:
a. Tính định thức sau theo hai số thực , a b : a b a + b b a + b a . a + b a b
b. Xác định hàm số bậc ba f x = 3 ax + 2 ( ) bx + cx + , d , a , b ,
c d  ,a  0, biết rằng đồ
thị của f (x ) đi qua các điểm ( A 1, 0), ( B 0, −1),C −
( 1, −2) và D(2, 7). Câu 1.13:
a. Tìm số thực x sao cho: 2 3 1 x x x 1 2 4 8 = 0. 1 3 9 27 1 −1 1 −1
b. Giải hệ phương trình sau:
 3x + 2x + x − x − x = 7  1 2 3 4 5
5x + 5x + 3x − 3x − 3x = 15  1 2 3 4 5
x + 4x + 3x − 3x − 3x =  9. 1 2 3 4 5 Câu 1.14:
a. Tính định thức sau: 1 2 3 4 5 −1 0 3 4 5 −1 −2 0 4 5 . −1 −2 −3 0 5 −1 −2 −3 −4 0
b. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:
 x + 2x + x + 2x = 1  1 2 3 4
2x + 3x + 3x + 4x = 3  1 2 3 4
2x + x + x + 2x =  3 1 2 3 4
3x + 5x + 4x + 6x =  5. 1 2 3 4 Câu 1.15: 1 −2 6   
a. Cho ma trận A =  4 3
−8 . Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = , trong đó 3   2 −  2 5 
là ma trận đơn vị cấp 3. 3
b. Giải hệ phương trình tuyến tính sau
 −2x + x + x + x = 1  1 2 3 4
x + −2x + x + x = −2  1 2 3 4
x + x − 2x + x =  4. 1 2 3 4 CHƯƠNG 2
Câu 2.1. Trong không gian 3 cho hai hệ vectơ
S = {u = (1, 2,3),u = (1, 0,3), u = (1, 2, 0)} và T = {v = (0,1, 2), v = (2,3, 0), v = ( 1 − ,0,4)}. 1 2 3 1 2 3
a) Chứng minh rằng S và T là hai cơ sở trong 3 .
b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở T. Câu 2.2:
Trong không gian 4 cho hệ vectơ
S = {v = (1, 2, 1 − ,2),v = (2,3,0, 1
− ),v = (1,2,1,3),v = (1,3, 1 − ,0)}. 1 2 3 4
a) Chứng minh hệ vectơ S là cơ sở của 4 .
b) Tìm tọa độ của vectơ x = (7, 4, 1
− ,2) đối với cơ sở S. Câu 2.3:
Trong không gian 3 cho hệ vectơ S = {(2, 1 − ,4),(4,2,3),(2,7, 6 − )}.
a) S có phải là một cơ sở của 3 không, vì sao?
b) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ S. Câu 2.4:
Trong không gian các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực M ( ) cho hệ vectơ 2  1 0 1 1 1 1 1 1 S = v = , v = , v = , v =         1 2 3 4   0 0  0 0 1 0 1 1 .
a) Chứng minh hệ S là cơ sở của M ( ) . 2  3 1
b) Tìm tọa độ của x = 
 đối với cơ sở S . 0 1 Câu 2.5:
Trong không gian vectơ 3 , cho =  3 W (a, , b c)  | a + c =  0 .
a) Chứng minh rằng W là một không gian con của 3 .
b) Tìm một cơ sở và số chiều của W . Câu 2.6:
Trong không gian vectơ 3 , cho =  3 W (a, , m b) 
 với m là một hằng số.
a) Tìm những giá trị của m để W là một không gian con của 3 .
b) Tìm một cơ sở và số chiều của W khi m = 0. Câu 2.7:
Trong không gian vectơ 3 , cho =  3 W (a, , m b)  | a + b = 
m với m là một hằng số.
a) Tìm những giá trị của m để W là một không gian con của 3 .
b) Tìm một cơ sở và số chiều của W khi m = 0. Câu 2.8:
Trong không gian các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực M ( ) , cho 2   a b  W =  a, , b c     .   b c   
a) Chứng minh rằng W là không gian con của M ( ) . 2
b) Tìm một cơ sở và số chiều của W . Câu 2.9: Trong không gian 4 , cho = (  a b c d) 4 W , , ,  a − c =  0 .
a) Chứng minh rằng W là không gian con của 4.
b) Tìm một cơ sở và số chiều của W. Câu 2.10:
Trong không gian 4 cho hệ vectơ
S = {v = (1, 2,3, 0), v = (0,1, 2,1), v = (1,3, 0,1), v = (2, 6,5, ) m } . 1 2 3 4
a) Tìm số thực m để S là một cơ sở của 4 .
b) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ S khi m  2 . Câu 2.11:
Trong không gian 4 cho hệ vectơ
S = v = (1, 0, 1 − ,3),v = (1,2, 1
− ,2),v = (1,3,1,2),v = (2, 1 − ,0,3) 1 2 3 4 
a) Chứng minh hệ vectơ S là cơ sở của 4 .
b) Tìm tọa độ của vectơ x = (5, 7, 2, 1
− ) đối với cơ sở S. Câu 2.12:
Trong không gian các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực M ( ) cho hệ vectơ 2  1 0 1 1 0 1 0 1 S = v = , v = , v = , v =         1 2 3 4  0 1 0 0 1 0 1 1
a) Chứng minh hệ S là cơ sở của M ( ) . 2  −1 1
b) Tìm tọa độ của x = 
 đối với cơ sở S .  0 3 Câu 2.13:
Trong không gian 4 cho hệ vectơ
S = v = (1, 0, 1 − ,3),v = (1,2, 1
− ,2),v = (1,3,1,2),v = (2, 1 − ,0,7) . 1 2 3 4 
a) S có phải là một cơ sở của 4 không, vì sao?
b) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ S. Câu 2.14:
Trong không gian 3 cho hai hệ vectơ
S = {u = (1,1, 0),u = (0,1,1),u = (1, 0,1)} và T = {v = (2,1,1), v = (1, 2,1), v = (1,1, 2)}. 1 2 3 1 2 3
a) Chứng minh rằng S và T là hai cơ sở của 3.
b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở T. Câu 2.15: Trong không gian 4 , cho = (  a b c d) 4 W , , ,  2a + c =  0 .
a) Chứng minh rằng W là không gian con của 4.
b) Tìm một cơ sở và số chiều của W. CHƯƠNG 3 Câu 3.1: Cho ánh xạ 3 3 f : →
, f (x , x , x ) = (x − x , x + x , x − x ) . 1 2 3 1 2 2 3 3 1
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {(0,1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)} . Câu 3.2: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : →
, f (x , x , x ) = (x + x , x + x , x + x ) . 1 2 3 1 2 2 3 1 3
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. b) Tìm Im( f ), e
K r( f ) và cho biết f có phải là đẳng cấu không? vì sao? Câu 3.3: Cho ánh xạ tuyến tính 2 2 f : →
sao cho f (1,1) = (1, 1
− ) , f (1,2) = (3,1) . Xác định f ( , x y) với 2 (x, y)  . Câu 3.4: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : →
, f (x , x , x ) = (2x , x + x , x − x ) 1 2 3 1 2 3 3 1
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {(0, 2,1), (2, 0,1), (2,1, 0)}. Câu 3.5:
Cho f là phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ thực 3 có ma trận (đối với cơ sở chính tắc) là 0 1 2   [ f ] = 1 2 0   .   2 0 1   a) Tìm Im( f ), e
K r( f ) và cho biết f có phải là đẳng cấu không? vì sao?
b) Tìm biểu thức xác định của f . Câu 3.6: Cho ánh xạ tuyến tính 2 2 f : →
sao cho f (1,1) = (1, 0) , f (1, 2) = (0,1) . Xác định f ( , x y) với 2 (x, y)  . Câu 3.7: Cho ánh xạ 3 4 f : →
, f (x , x , x ) = (x − x , x + x , x − x , 4x ) . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 3
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc. Câu 3.8:
Cho f là phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ thực 3 có ma trận (đối với cơ sở chính tắc) là 0 1 2   [ f ] = 1 3 0   .   4 0 1   a) Tìm Im( f ), e
K r( f ) và cho biết f có phải là đẳng cấu không? vì sao?
b) Tìm biểu thức xác định của f . Câu 3.9: Cho ánh xạ tuyến tính 2 2 f : →
sao cho f (4,5) = (1, 0) , f (3,3) = (0,1) . Xác định f ( , x y) với 2 (x, y)  . Câu 3.10: Cho ánh xạ 3 4 f : →
, f (x , x , x ) = (5x , x + x , x − x , 4x ) . 1 2 3 1 2 3 3 1 3
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. Câu 3.11: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : →
, f (x , x , x ) = (x + 2x , x + 2x , 2x + x ) . 1 2 3 1 2 2 3 1 3
c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. d) Tìm Im( f ), e
K r( f ) và cho biết f có phải là đẳng cấu không? vì sao? Câu 3.12: Cho ánh xạ tuyến tính 2 2 f : →
sao cho f (4,5) = (1, 1
− ), f (3,3) = (3,0) . Xác định f ( , x y) với 2 (x, y)  . Câu 3.13: Cho ánh xạ 3 4 f : →
, f (x , x , x ) = (5x , x − x , x , 2x ) . 1 2 3 1 2 3 3 3
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. Câu 3.14:
Cho f là phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ thực 3 có ma trận (đối với cơ sở chính tắc) là 0 1 1 −    [ f ] = 1 1 − 0   .   2 0 1   a) Tìm Im( f ), e
K r( f ) và cho biết f có phải là đẳng cấu không? vì sao?
b) Tìm biểu thức xác định của f . Câu 3.15: Cho ánh xạ 3 4 f : →
, f (x , x , x ) = (x + x , x − x , x , 20x ) . 1 2 3 1 2 2 3 3 3
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.