11 trang 11 lượt tải

Bài tập môn Giải tích | Trường Đại Học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên

22

Bài tập môn Giải tích | Trường Đại Học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Môn: Hệ thống thông tin kế toán 10 tài liệu

Trường: Trường Đại Học Sư phạm Kỹ thuật Hưng yên 149 tài liệu

Tác giả:

Profile

Sanq_ _Ngyn.Chie_

2 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/11
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
BÀI TäPCH◊ÃNG MÔN GIÉITÍCH(3TC)
NãMH≈C2024–2025
1. Hàm sË nhi∑ubi∏nsË
1.1. Tìm và v≥ mi∑nxác‡nh cıacáchàmsË sau:
a) f (x, y)=
p
y x
2
.b)f(x, y)=
p
y 2x +1.
c) f (x, y)=
p
4x x
2
y
2
.d)f(x, y)=ln(9 x
2
y
2
).
e) f (x, y)=y
p
ln x.f)f(x, y)=
p
1+y x
2
.
g) f (x, y)=arcsin
y 1
x
. h) f (x, y)=
p
y ln x.
1.2. Tìm các §ohàmriêngcßpmÎtcıacáchàmsË sau:
a) f (x, y)=5x
2
y 7x y
2
6y +2 b) f (x, y)=(2x 3y)
3
c) f (x, y)=e
x
2
y+1
d) f (x, y)=e
x
sin(x +2y)
e) f (x, y)=
x + y
xy 1
f) f (x, y)=
x
x
2
+ y
2
g) f (x, y)=cos
2
(3x y) h) f (x, y)=xy ln(x +2y).
i) f (x, y)=
p
x
2
y
2
j) f (x, y)=
y
p
x
2
+ y
2
.
1.3. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË z =ln(x
2
+ xy + y
2
) tho£ mãn ph˜Ïng trình:
xz
0
x
(x, y)+yz
0
y
(x, y)=2.
1.4. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË z = y ln(x
2
y
2
) tho£ mãn ph˜Ïng trình:
1
x
z
0
x
(x, y)+
1
y
z
0
y
(x, y)=
z
y
2
.
1.5. Ch˘ng minh r¨ng xz
0
x
+ yz
0
y
= xy + z n∏u z = xy + xe
y
x
.
1.6. Cho c ác hàm sË x = r cos ' và y = r sin ',tính‡nh th˘c
x
0
r
x
0
'
y
0
r
y
0
'
.
1.7. Tính các §ohàmriêngcßpmÎtcıacáchàmsË sau ây:
a) f (x, y)=ln(x
2
+2y
2
) t§i i∫m (1; 2)
b) f (x, y)=
p
x
2
+ y
3
t§i i∫m (1; 1)
c) f (x, y)=x
y
t§i i∫m (1; 2)
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
1
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
d) f (x, y)=
p
x
2
+ lny t§i i∫m (1; 1)
e) f (x, y)=x + y
p
x
2
+ y
2
t§i i∫m (3; 4)
f) f (x, y)=ln
x +
y
2x
t§i i∫m (1; 2).
1.8. Tìm vi phân toàn phncıacáchàmsË sau:
a) f (x, y)=ln(x
2
+ xy + y
2
) b) f (x, y)=x
2
y(4 x y)
c) f (x, y)=
3
p
x
2
+ y
2
d) f (x, y)=
1
x +2y
e) f (x, y)=x sin(x + y) f) f (x, y)=e
x
2
+y
2
.
g) f (x, y)=sin(xy) h) f (x, y)=e
x
(cos y + x sin y).
i) f (x, y)=
x + y
x y
j) f (x, y)=sin
2
x +cos
2
y.
1.9. (*) Ÿng dˆng vi phân toàn phn ∫ tính gn úng:
a)
p
(1, 02)
3
+(1, 97)
3
b) ln(7, 01 3.1, 98)
c)
3
p
(1, 98)
2
+(2, 03)
2
d)
p
5.e
0,03
+(1, 98)
2
e)
p
(1, 04)
2
+ln(1, 02) f) arctan
1, 02
0, 95
g) ln
0, 02
2
+
3
p
1, 03
h) (1, 02)
3
(0, 97)
2
i)
3
p
(1, 04)
3
+(2, 03)
2
+3 j) (0, 95)
2,01
.
1.10. Tìm các §ohàmriêngcßphaicıacáchàmsË sau:
a) f (x, y)=x
3
y +12x
2
8y b) f (x, y)=(x
2
+ y
2
)
3
c) f(x, y)=
x y
x + y
d) f(x, y)=x
3
2x
2
y +3xy
3
y
3
+2x 3y 1
e) f (x, y) = ln(2x 3y). f) f (x, y)=e
2x
2
y
3
1.11. Tính các §ohàmriêngcßphai˜Òcchø ra:
a) f (x, y)=e
xy
; f
00
xx
(x, y),f
00
xy
(x, y)
b) f (x, y)=x
2
+ xy + y
2
4lnx 2lny; f
00
xx
(x, y),f
00
yy
(x, y)
c) f (x, y)=y
x
, (y>0); f
00
xx
(2, 1),f
00
yx
(2, 1).
1.12. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË f(x, y)=arctan
y
x
tho£ mãn ph˜Ïng trình:
f
00
xx
(x, y)+f
00
yy
(x, y)=0.
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
2
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
1.13. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË z = e
x
sin y tho£ mãn ph˜Ïng trình:
z
00
xx
(x, y)+z
00
yy
(x, y)=0.
1.14. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË u(x, t) = sin(x at) tho£ mãn ph˜Ïng trình truy∑nsóng:
@
2
u
@t
2
= a
2
@
2
u
@x
2
.
1.15. Tính x
2
z
00
xx
+2xyz
00
xy
+ y
2
z
00
yy
ËivÓihàmhaibi∏n z cho bi:
a)z = x cos
x
y
b)z = ye
y
x
.
1.16. Tìm các i∫mtÓih§n(n∏ucó)cıacáchàmsË sau:
a) f (x, y)=3x x
3
+2y
2
+ y
4
b) f(x, y)=x
2
+ y
2
+ xy 2x y
c) f (x, y)=x
3
+3y
2
12x 18y d) f(x, y)=9 2x +4y x
2
4y
2
e) f (x, y)=x
3
+ y
3
3xy +2 f) f (x, y)=x
3
y +12x
2
8y.
1.17. Tìm c¸ctr‡ (n∏ucó)cıacáchàmsË sau:
a) z = x
3
+ y
2
6xy +1 b) z =4(x y) x
2
y
2
c) z = x
2
+ y
2
+ xy 3x 6y d) z = x
2
+ xy + x y +1
e) z = x
3
+ y
3
3xy f) z = x
2
+ y
2
+
1
x
2
y
2
.
g) z = x
3
3lnx +2y
2
5lny + y h) z = x + y xe
y
i) z = x
3
x
2
x +4e
y
e
4y
+1 j) z = x
4
+ y
4
2x
2
+4xy 2y
2
.
2. Phép tính tích phân hàm mÎtbi∏n
2.1. Tính các tích phân sau b¨ng phép Íibi∏nchotr˜Óc:
a)
R
cos3xdx,∞ t u =3x;
b)
R
x(4 + x
2
)
10
dx, ∞t u =4+x
2
;
c)
R
x
p
4x
2
+1dx, ∞t u =4x
2
+1;
d)
R
cos
2
x.sinx dx, ∞t u = cosx.
2.2. Dùng ph˜Ïng pháp tích phân t¯ng phn, tính các tích phân sau:
a)
R
x cos xdx b)
R
x
4
ln xdx
c)
R
x sin(4x) dx d)
R
xe
2x
dx
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
3
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
e)
R
xe
x
dx f)
R
x cos(2x) dx
2.3. Dùng ph˜Ïng pháp Íibi∏n, tính các tích phân sau:
a)
2
R
1
x(1 x)
7
dx b)
2
R
1
x
p
x 1 dx
c)
2
R
0
x
2
p
x
3
+1dx d)
1
R
1
6066x
2
(1 + x
3
)
2021
dx
e)
e
R
1
dx
x(ln
2
x +1)
f)
⇡
2
R
0
sin x
1+cosx
dx
g)
ln2
R
0
p
e
x
1 dx h)
⇡
4
R
0
sin
3
x. cos xdx.
2.4. Dùng ph˜Ïng pháp tích phân t¯ng phn, tính các tích phân sau:
a)
e
R
1
x
2
ln xdx b)
1
R
0
xe
2x
dx
c)
1
R
0
(2x +1)e
x
dx d)
1
R
0
(4x +3)ln(x +1)dx;
e)
⇡
6
R
0
x cos(2x) dx f)
⇡
2
R
0
x sin xdx.
2.5. Xét s¸ hÎitˆ cıacáctíchphânsuyrÎng sau:
i) Lo§i1
a)
1
R
1
dx
(3x +1)
2
b)
1
R
1
cos
2
x
x
2
+1
dx
c)
1
R
1
dx
p
x
3
+1
d)
1
R
0
x
1+x
4
dx
e)
1
R
1
dx
x
2
(1 + x)
f)
1
R
1
xe
x
dx
ii) Lo§i2*
a)
0
R
1
dx
x
2
b)
9
R
1
dx
3
p
x 9
c)
1
R
0
x
2
p
1 x
3
dx d)
2
R
0
dx
x
2
5x +6
.
3. Tích phân bÎi
3.1. Tính các tích phân sau:
a)
3
R
1
1
R
0
(1 + 4xy)dxdy b)
1
R
1
2
R
0
(10xy
4
+6x
2
y)dydx
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
4
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
c)
1
R
0
2
R
0
(x
2
y +4xy)dxdy d)
2
R
1
2
R
0
(18x
2
y
3
+6xy
2
)dydx
e)
4
R
1
2
R
1
(
x
y
+
y
x
)dydx f)
ln 2
R
0
ln 5
R
0
e
2xy
dxdy
g)
4
R
1
⇡
3
R
0
x
2
(2 siny)dydx h)
e
R
1
4
R
0
x ln ydxdy
i)
4
R
1
p
x
R
0
xydydx j)
1
R
0
p
y
R
y
(x
2
+ y
2
)dxdy.
k)
1
R
0
5
R
y
2
4
(x +2y)dxdy l)
2
R
1
x
R
1
x
x
2
y
2
dydx.
3.2. Tích các tính phân bÎihaisau:
a) I =
RR
D
(6x
3
y
2
5x
4
)dxdy,trongó D = {(x, y)|0 x 1; 0 y 3}
b) I =
RR
D
xye
x
dxdy,trongó D = {(x, y)|0 x 1; 0 y 2}
c) I =
RR
D
x
3
y
2
dxdy,trongó D = {(x, y)|0 x 2; x y x}
d) I =
RR
D
e
y
2
dxdy,trongó D = {(x, y)|0 y 1; 0 x y}
e) I =
RR
D
y(1 + x
2
)dxdy,trongó D = {(x, y)|0 x 1; x y
p
x}.
3.3. Tích các tính phân bÎihaisau:
a) I =
RR
D
18x
3
y
2
dxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng x =1,x =2,y =0và y =2.
b) I =
RR
D
(2x 3y
2
)dxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng x =0,x =4,y =0và
y =2.
c) I =
RR
D
6x
2
ydxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng x =1,y =1và x + y =3.
d) I =
RR
D
(x + y)dxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng y =
p
x và y = x
2
.
e) I =
RR
D
x cos ydxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng y =0,y = x
2
và x =1.
f) I =
RR
D
(x y)dxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng y =2 x
2
và y =2x 1.
g) I =
RR
D
(1 + 2x + y)dxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng x =
p
y, y = x và y =1.
h) I =
RR
D
(3x +2y)dxdy,vÓimi∑n D giÓih§nbicác˜Ìng y = x
2
và y =2x +3
j) I =
RR
D
ydxdy,vÓimi∑n D là tam giác vÓicácønh O(0; 0),A(1; 1) và B(1; 0).
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
5
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
3.4.
⇤
)V≥ mi∑nlßytíchphânvàÍith˘ t¸ lßytíchphâncıacáctíchphânsau:
a)
1
R
0
x
R
0
f(x, y)dydx b)
1
R
0
2y
R
y
2
f(x, y)dxdy.
c)
2
R
1
2x
2
R
x
f(x, y)dydx d)
1
R
0
y
2
R
1
f(x, y)dxdy.
3.5.
⇤
)B¨ng cách Íith˘ t¸ tích phân, tính: I =
1
R
0
p
x
R
x
xydydx .
3.6. Tính các tích phân bÎihaisautronghª tÂa Î c¸c:
a) I =
RR
D
xydxdy,trongómi∑n D = {(x, y) |x
2
+ y
2
4}.
b) I =
RR
D
xdxdy,trongómi∑n D = {(x, y) |x
2
+ y
2
25,x 0,y 0}.
c) I =
RR
D
p
x
2
+ y
2
dxdy,trongómi∑n D = {(x, y) |1 x
2
+ y
2
9,y 0}.
d) I =
RR
D
e
x
2
y
2
dxdy,trongómi∑n D = {(x, y) |x
2
+ y
2
4,x 0}.
e) I =
RR
D
(x + y)dxdy,trongómi∑n D = {(x, y) |1 x
2
+ y
2
4, 0 x, 0 y}.
f
⇤
) I =
RR
D
y
2
p
x
2
+ y
2
dxdy,trongó D = {(x, y) |x
2
+ y
2
4x 0,y 0}.
g
⇤
) I =
RR
D
(x
2
+ y
2
)dxdy,trongómi∑n D giÓih§nbi ˜Ìng tròn x
2
+ y
2
=2x.
h
⇤
) I =
RR
D
xdxdy,trongó D = {(x, y) |2y x
2
+ y
2
4y, y x, x 0}.
4. Tích phân ˜Ìng và tích phân m∞t
4.1. Tính các tích phân ˜Ìng lo§i1sau:
a) I =
R
C
x
3
ds,trongó C là cung parabol y =
x
2
2
, 0 x
p
3.
b) I =
R
C
2yds,trongó C là cung parabol x = y
2
,t¯i∫m (0; 0) ∏n i∫m (1; 1).
c) I =
R
C
2xds,trongó C = C
1
[ C
2
,vÓi C
1
là o§nparaboly = x
2
t¯i∫m (0; 0) ∏n
i∫m (1; 1) và C
2
là o§nthØng nËit¯i∫m (1; 1) ∏n i∫m (1; 2).
d) I =
R
C
xy ds,trongó C là cung parabol y = x
2
, it¯ gËcto§Î∏n i∫m A(1, 1).
e) I =
R
C
(2 + x
2
y) ds,trongó C là n˚atrêncıa ˜Ìng tròn x
2
+ y
2
=1.
f) I =
R
C
yds,trongó C ˜ÒcthamsË hóa bi x = t
2
,y = t, 0 t 2.
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
6
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
4.2. Tính các tích phân ˜Ìng lo§i2sau:
a) I =
R
L
(2x y) dx + xy dy trong ó L là ˜Ìng y = x 1 t¯i∫m A(1; 2) ∏n i∫m
B(1; 0)
b) I =
R
L
2ydx trong ó L là cung parabol x = y
3
+ y t¯i∫m A(2; 1) ∏n i∫m
B(2; 1)
c) I =
R
L
(xy 1) dx + x
2
ydy,trongó L là ˜Ìng 2x + y =2nËit¯i∫m A(1; 0) ∏n
i∫m B(0; 2)
d) I =
R
L
y
2
dx + x
2
dy,trongó L là o§nthØng t¯i∫m A(1; 0) ∏n i∫m B(0; 2)
e) I =
R
L
(x
2
+y) dx +(y +1)dy,trongó L là ˜Ìng gßpkhúcABC,vÓi A(0; 0), B(1; 1),
C(0; 2)
f) I =
R
L
(x + y) dx + xy dy,trongó L là chu tuy∏n OAB,vÓi O(0; 0), A(1; 1), B(1; 0),
tích phân lßytheochi∑ud˜Ïng.
g) I =
R
L
ydx+ x
2
dy,trongó L là cung parabol y = x
2
it¯i∫m A(1; 1) ∏n i∫m
B(0; 0).
h) I =
R
L
ydx (y + x
2
) dy,trongó L là cung parabol y =4 x
2
n¨mtrêntrˆcOx
theo chi∑ukimÁng hÁ.
i) I =
R
L
x
p
ydx+2y
p
xdy,trongó L là cung tròn x
2
+ y
2
=1t¯i∫m (1; 0) ∏n i∫m
(0; 1).
j
⇤
) I =
R
L
ydx + xdy,trongó L là cung tròn x
2
+ y
2
=2x t¯i∫m (0; 0) ∏n i∫m (1; 1)
theo chi∑ukimÁng hÁ.
4.3. *Ápdˆng công th˘cGreentínhcáctíchphânsau:
a) Tính I =
H
L
(x
2
+3y) dx+2ydy,trongó L là tam giác OAB vÓicácønh O(0; 0),A(1; 1),B(0; 2),
ng˜Òcchi∑ukimÁng hÁ.
b) Tính I =
H
L
x
2
y
2
dx +4xy
3
dy,trongó L là tam giác vÓicácønh A(0; 0),B(1; 3),
C(0; 3),tíchphânlßytheochi∑ud˜Ïng.
c) Tính I =
H
L
e
x
(2x sin ydx+cosydy),trongó L là ˜Ìng tròn x
2
+ y
2
=4,ng˜Òc
chi∑ukimÁng hÁ.
d) Tính I =
H
L
(3y e
sin x
) dx +(7x +
p
y
4
+1)dy,trongó L là ˜Ìng tròn x
2
+ y
2
=9,
ng˜Òcchi∑ukimÁng hÁ.
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
7
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
e) Tính I =
H
L
(y + e
p
x
) dx +(2x +cosy
2
) dy,trongó L là biên cıami∑n óng ˜ÒcgiÓi
h§nbi y = x
2
và ˜Ìng thØng x = y
2
,lßytheochi∑ud˜Ïng.
5. Ph˜Ïng trình vi phân
5.1. Gi£icácph˜Ïng trình vi phân vÓibi∏nsË phân ly sau:
a)
dy
dx
= y
2
b) yy
0
= x
c) x
2
y
0
=(x 1)y d) (1 + e
2x
)y
2
dy = e
x
dx.
5.2. Tìm nghiªmcıaph˜Ïng trình vi phân th‰amãni∑ukiªnban¶u:
a)
dy
dx
=
ycosx
1+y
2
, y
x=0
=1 b) x(y
2
+1)dx + y(x
2
+1)dy =0, y
x=0
= e
2
1
c)
dy
dx
= xe
y
, y
x=1
=0 d) y
0
cos y = y, y
x=
⇡
2
=0.
5.3. Gi£icácph˜Ïng trình vi phân tuy∏ntínhcßpmÎtsau:
a) y
0
4y = x b) y
0
+2y = e
4x
c) y
0
+ xy = 2x d) y
0
+
2
x
y = cosx
e) y
0
+3x
2
y =6x
2
f) x(1 + x
2
)y
0
(x
2
1)y = 2x.
5.4. Gi£icácph˜Ïng trình vi phân tuy∏ntínhcßphaithunnhßtsau:
a) y
00
7y
0
+6y =0 b) y
00
+2y
0
+5y =0
c) y
00
2y
0
+ y =0 d) 2 y
00
+5y
0
+3y =0
e) y
00
2y
0
=0 f) y
00
+9y =0.
5.5. Gi£icácph˜Ïng trình vi phân tuy∏ntínhcßphaikhôngthunnhßtsau:
a) y
00
2y
0
3y = x,b)y
00
3y
0
=5 6x
c) y
00
+4y
0
+8y =5e
x
,d)y
00
5y
0
+6y =(2x +1)e
x
e) y
00
y
0
=(x +1)e
x
,f)y
00
6y
0
+9y = xe
3x
g) y
00
2y
0
+ y =(6x +2)e
x
,h)y
00
+9y =6e
3x
i) y
00
8y
0
+16y = 3cos3x,j)y
00
+16y =2sin4x.
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
8
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
6. L˛ thuy∏tchuÈi
6.1. Dùng tiêu chu©nsosánh,xéts¸ hÎitˆ cıacácchuÈisË sau:
a)
1
P
n=1
1
n
2
+ n +1
b)
1
P
n=1
1
2n 1
c)
1
P
n=1
1
p
n(n +1)
d)
1
P
n=1
n
(n +1)(n +2)(n +3)
e)
1
P
n=1
sin
2
n
n
p
n
6.2. Dùng tiêu chu©nD’Alembertho∞ctiêuchu©n Cauchy, xét s¸ hÎitˆ cıacácchuÈisË
sau:
a)
1
P
n=1
n
2
2
n
b)
1
P
n=1
3
n
p
n
c)
1
P
n=1
6
n
(n +1)3
2n+1
d)
1
P
n=1
n!
n
n
e)
1
P
n=1
(n +1)!
p
n
2
n
+1
f)
1
P
n=1
1.3.5.....(2n 1)
2
2n
.(n 1)!
g)
1
P
n=1
1
p
n.2
n
h)
1
P
n=1
1
2
n
1+
1
n
n
2
k)
1
P
n=1
n 1
n +1
n(n1)
.
6.3. Xét s¸ hÎitˆ cıacácchuÈisËan dßusau:
a)
1
P
n=1
(1)
n
3
p
n
b)
1
P
n=1
(1)
n
n +1
. c)
1
P
n=1
(1)
n
n +1
n
2
+ n +1
.
6.4. Tìm mi∑nhÎitˆ cıacácchuÈilÙyth¯asau:
a)
1
P
n=1
x
n
p
n
b)
1
P
n=1
x
n
n
2
c)
1
P
n=1
(1)
n
x
n
n +1
d)
1
P
n=1
n2
n
2n +3
(x 2)
n
e)
1
P
n=1
x
n
n3
n
. f)
1
P
n=1
n +1
n
2
+3
(x +1)
n
.
g)
1
P
n=1
x
n
3
n
n!
h)
1
P
n=1
(x +1)
n
(2n 1)!
. i)
1
P
n=1
n +1
2n +1
n
(x 2)
2n
.
Tr˜ng bÎ môn TK Nhóm biên so§n
dfjkdljd
NguyπnQuangChung NguyπnAnhài
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
9
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
ó THI MàUS» 01 (ThÌigian:90phút)
Câu 1:(2,0i∫m) Cho hàm sË
f(x, y)=(x
2
+2y
3
)e
7xy
.
Tính các §ohàmriêngf
0
x
(1; 2),f
0
y
(1; 2).
Câu 2:(2,0i∫m) Tìm c¸ctr‡ cıahàmsË sau
f(x, y)=x
2
y
3
4x +3y
2
4.
Câu 3:(3,0i∫m) Tính các tích phân sau:
a) I =
RR
D
(6y
2
2x) dxdy,trongómi∑n D ˜ÒcgiÓih§nbicác˜Ìng y =0,y=3,
x =0và x =1.
b) I =
R
L
(y +16)dx + x
2
ydy,trongó L là ˜Ìng y =2x 2 nËit¯i∫m A(0; 2) ∏n
B(3; 4).
Câu 4:(2,0i∫m) Gi£iph˜Ïng trình vi phân sau:
y
00
2y
0
+10y =(18x 9)e
x
.
Câu 5:(1,0i∫m) Xét s¸ hÎitˆ cıachuÈisË sau:
1
X
n=1
3n
2
+5
4n
2
5n +8
.
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
10
CALCULUS - UTEHY
Tr˜Ìng §ihÂcS˜ ph§mKˇ thu™tH˜ng Yên BÎ môn Toán
ó THI MàUS» 02 (ThÌigian:90phút)
Câu 1:(2,0i∫m) Tìm các §ohàmriêngcßphait§i i∫m M(1; 1) cıahàmsË
f(x, y)=x
2
x
5
y
2
+4ln(x +2y)+ln(x y).
Câu 2:(2,0i∫m) Tìm c¸ctr‡ cıahàmsË
f(x, y)=6x x
2
+3y
2
+4y
3
+1.
Câu 3:(3,0i∫m) Tính các tích phân sau:
a) I =
RR
D
(9x 10y) dxdy,trongómi∑n D ˜ÒcgiÓih§nbicác˜Ìng x =0, x =2,
y =0và y =1.
b) I =
R
L
(x + y
2
) dx +(x
2
+ y) dy,trongó L là ˜Ìng y = x +8 nËit¯i∫m A(1; 9) ∏n
B(2; 10).
Câu 4:(2,0i∫m) Gi£iph˜Ïng trình vi phân sau:
y
00
+6y
0
+9y =50sin(2x).
Câu 5:(1,0i∫m) Xét s¸ hÎitˆ cıachuÈisË sau:
1
X
n=1
3
n
n!4
n
.
Bài t™pch˜Ïng môn Gi£itích,n´mhÂc2024–2025
Chú ˛: Phn ánh dßu ⇤ là không b≠tbuÎc
11

Tài liệu khác của Trường Đại Học Sư phạm Kỹ thuật Hưng yên

Preview text:

Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán
BÀI TäP CH◊ÃNG MÔN GIÉI TÍCH (3TC) NãM H≈C 2024 – 2025 1. Hàm sË nhi∑u bi∏n sË
1.1. Tìm và v≥ mi∑n xác ‡nh cıa các hàm sË sau: p p a) f (x, y) = y x2. b) f (x, y) = y 2x + 1. p Y c) f (x, y) = 4x x2 y2. d) f (x, y) = ln(9 x2 p p ln x. f) f (x, y) = 1 + y x2 H y2). e) f (x, y) = y . y 1 p g) f (x, y) = arcsin . h) f (x, y) = y ln x. x
1.2. Tìm các §o hàm riêng cßp mÎt cıa các hàm s b) f UTE Ë sau: a) f (x, y) = 5x2y 7x y2 6y + 2 - (x,y)=(2x 3y)3 c) f (x, y) = ex2 y+1 d) f (x, y) = e xsin(x + 2y) x + y x e) f (x, y) = f) f (x, y) = xy 1 x2 + y2 g) f (x, y) = cos2(3x y) h) f (x, y) = xy ln(x + 2y). p y i) f (x, y) = x2 y2 j) f (x, y) = p . x2 + y2
1.3. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË z = ln(x2 + xy + y2) tho£ mãn ph˜Ïng trình: xz0x(x, y) + yz0y(x, y) = 2.
1.4. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË z = y ln(x2
y2) tho£ mãn ph˜Ïng trình: 1 1 z z0 z0 . x x(x, y) + y y(x, y) = y2 y 1.5. Ch˘ng minh CALCULUS
r¨ng xz0x + yz0y = xy + z n∏u z = xy + xex . x0
1.6. Cho các hàm sË x = r cos ' và y = r sin ', tính ‡nh th˘c r x0' . y0r y0'
1.7. Tính các §o hàm riêng cßp mÎt cıa các hàm sË sau ây:
a) f (x, y) = ln(x2 + 2y2) t§i i∫m (1; 2) p b) f (x, y) = x2 + y3 t§i i∫m (1; 1)
c) f (x, y) = xy t§i i∫m (1; 2)
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 1
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán p d) f (x, y) = x2 + lny t§i i∫m (1; 1) p e) f (x, y) = x + y x2 + y2 t§i i∫m (3; 4) y f) f (x, y) = ln x + t§i i∫m (1; 2). 2x
1.8. Tìm vi phân toàn ph¶n cıa các hàm sË sau: a) f (x, y) = ln(x2 + xy + y2) b) f (x, y) = x2y(4 x y) p 1 c) f (x, y) = 3 x2 + y2 d) f (x, y) = x + 2y Y e) f (x, y) = x sin(x + y) f) f (x, y) = ex2 H +y2 . g) f (x, y) = sin(xy)
h) f (x, y) = ex(cos y + x sin y). x + y i) f (x, y) = j) f (x, y) = sin2 x + cos2 y. x y
1.9. (*) Ÿng dˆng vi phân toàn ph¶n ∫ tính g¶n p(1,02)3 + (1,97)3 b) UTE úng: a) p p (1, 98)2 + (2, 03)2 -ln(7,01 3.1,98) c) 3 d) 5.e0,03 + (1, 98)2 p 1, 02 e) (1, 04)2 + ln(1, 02) f) arctan 0,95 p g) ln 0, 022 + 3 1, 03 h) (1, 02)3(0, 97)2 p i) 3 (1, 04)3 + (2, 03)2 + 3 j) (0, 95)2,01.
1.10. Tìm các §o hàm riêng cßp hai cıa các hàm sË sau: a) f (x, y) = x3y + 12x2 8y b) f (x, y) = (x2 + y2)3 x y c) f (x, y) = d) f (x, y) = x3 2x2y + 3xy3 y3 + 2x 3y 1 x + y e) f (x, y) = ln(2x 3y). f) f (x, y) = e2x2 y3 1.11. Tính các § CALCULUS
o hàm riêng cßp hai ˜Òc chø ra:
a) f (x, y) = exy; f 00xx(x, y), f00xy(x, y) b) f (x, y) = x2 + xy + y2 4 ln x
2 ln y; f 00xx(x, y), f00yy(x, y)
c) f (x, y) = yx, (y > 0); f 00xx(2, 1), f00yx(2, 1). y
1.12. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË f (x, y) = arctan tho£ mãn ph˜Ïng trình: x
f 00xx(x, y) + f00yy(x, y) = 0.
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 2
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán
1.13. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË z = ex sin y tho£ mãn ph˜Ïng trình: z00xx(x, y) + z00yy(x, y) = 0.
1.14. Ch˘ng minh r¨ng hàm sË u(x, t) = sin(x
at) tho£ mãn ph˜Ïng trình truy∑n sóng: @2u @2u = a2 . @t2 @x2
1.15. Tính x2z00xx + 2xyz00xy + y2z00yy Ëi vÓi hàm hai bi∏n z cho bi: y x a)z = x cos b)z = ye x Y . y
1.16. Tìm các i∫m tÓi h§n (n∏u có) cıa các hàm sË sau: H a) f (x, y) = 3x x3 + 2y2 + y4 b) f (x, y) = x2 + y2 + xy 2x y c) f (x, y) = x3 + 3y2 12x 18y d) f (x,UTE y) = 9 2x + 4y x2 4y2 e) f (x, y) = x3 + y3 3xy + 2 f) f (x, y) = x3y + 12x2 8y.
1.17. Tìm c¸c tr‡ (n∏u có) cıa các hàm sË sau: - a) z = x3 + y2 6xy + 1 b) z = 4(x y) x2 y2 c) z = x2 + y2 + xy 3x 6y d) z = x2 + xy + x y + 1 1 e) z = x3 + y3 3xy f) z = x2 + y2 + . x2y2 g) z = x3 3 ln x + 2y2 5 ln y + y h) z = x + y xey i) z = x3 x2 x + 4ey e4y + 1 j) z = x4 + y4 2x2 + 4xy 2y2. 2.
Phép tính tích phân hàm mÎt bi∏n
2.1. Tính các tích phân sau b¨ng phép Íi bi∏n cho tr˜Óc: R a) cos3x dx, ∞ R x(4 + x2)10 R p CALCULUS t u = 3x; b) dx, ∞t u = 4 + x2; c)
x 4x2 + 1 dx, ∞t u = 4x2 + 1; R d) cos2x.sinx dx, ∞t u = cosx.
2.2. Dùng ph˜Ïng pháp tích phân t¯ng ph¶n, tính các tích phân sau: R R a) x cos xdx b) x4 ln xdx R R c) x sin(4x) dx d) xe2x dx
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 3
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán R R e) xe xdx f) x cos(2x) dx
2.3. Dùng ph˜Ïng pháp Íi bi∏n, tính các tích phân sau: 2 R 2 R p a) x(1 x)7 dx b) x x 1 dx 1 1 2 R p 1 R c) x2 x3 + 1 dx d) 6066x2(1 + x3)2021 dx 0 1 ⇡ e R dx 2 R sin x e) f) dx 1 x(ln2 x + 1) 0 1 + cos x ⇡ Y ln2 R p 4 R g) ex 1 dx h) sin3 x. cos x dx. 0 0 H
2.4. Dùng ph˜Ïng pháp tích phân t¯ng ph¶n, tính các tích phân sau: e R 1 R a) x2 ln x dx b) xe 2x dx 1 0 1 R 1 R c) (2x + 1)ex dx d) (4x + 3) ln(x + 1) dx; 0 0 UTE ⇡ ⇡ 6 R 2 R e) x cos(2x) dx f) x - sin x dx. 0 0
2.5. Xét s¸ hÎi tˆ cıa các tích phân suy rÎng sau: i) Lo§i 1 1 R dx 1 R cos2 x a) b) dx 1 (3x + 1)2 1 x2 + 1 1 R dx 1 R x c) p d) dx 1 x3 + 1 0 1 + x4 1 R dx 1 R e) f) xe xdx 1 x2(1 + x) 1 ii) Lo§i 2 * 0 R dx 9 R dx a) b) p3 1 x2 1 R x2 CALCULUS1 x 9 2 R dx c) p dx d) . 0 1 x3 0 x2 5x + 6 3. Tích phân bÎi
3.1. Tính các tích phân sau: 3 R 1 R 1 R 2 R a) (1 + 4xy)dxdy b) (10xy4 + 6x2y)dydx 1 0 1 0
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 4
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán 1 R 2 R 2 R 2 R c) (x2y + 4xy)dxdy d) (18x2y3 + 6xy2)dydx 0 0 1 0 4 R 2 R x y ln 2 R ln 5 R e) ( + )dydx f) e2x ydxdy 1 1 y x 0 0 ⇡ 4 R 3R e R 4 R g) x2(2 siny)dydx h) x ln ydxdy 1 0 1 0 p p 4 R x R 1 R y R i) xydydx j) (x2 + y2)dxdy. 1 0 0 y 1 R 5 R 2 R x R x2 Y k) (x + 2y)dxdy l) dydx. 0 y2 y2 4 1 1x H
3.2. Tích các tính phân bÎi hai sau: RR a) I = (6x3y2
5x4)dxdy, trong ó D = {(x, y)| 0  x  1; 0  y  3} D RR b) I =
xyexdxdy, trong ó D = {(x, y)| 0  x  1; 0  y  2} D RR UTE c) I =
x3y2dxdy, trong ó D = {(x, y)| 0  x  2; x  y  x} D RR - d) I =
ey2dxdy, trong ó D = {(x, y)| 0  y  1; 0  x  y} D RR p e) I =
y(1 + x2)dxdy, trong ó D = {(x, y)| 0  x  1; x  y  x}. D
3.3. Tích các tính phân bÎi hai sau: RR a) I =
18x3y2dxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng x = 1, x = 2, y = 0 và y = 2. D RR b) I = (2x
3y2)dxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng x = 0, x = 4, y = 0 và D y = 2. RR c) I =
6x2ydxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng x = 1, y = 1 và x + y = 3. D RR p d) I =
(x + y)dxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng y = x và y = x2. D RR e) I =
x cos ydxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng y = 0, y = x2 và x = 1. D RR CALCULUS f) I = (x
y)dxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng y = 2 x2 và y = 2x 1. D RR p g) I =
(1 + 2x + y)dxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng x = y, y = x và y = 1. D RR h) I =
(3x + 2y)dxdy, vÓi mi∑n D giÓi h§n bi các ˜Ìng y = x2 và y = 2x + 3 D RR j) I =
ydxdy, vÓi mi∑n D là tam giác vÓi các ønh O(0; 0), A(1; 1) và B(1; 0). D
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 5
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán
3.4. ⇤) V≥ mi∑n lßy tích phân và Íi th˘ t¸ lßy tích phân cıa các tích phân sau: 1 R x R 1 R 2 y R a) f (x, y)dydx b) f (x, y)dxdy. 0 0 0 y2 2 R 2 x2 R 1 R y2 R c) f (x, y)dydx d) f (x, y)dxdy. 1 x 0 1 p 1 R x R
3.5. ⇤) B¨ng cách Íi th˘ t¸ tích phân, tính: I = xydydx . 0 x
3.6. Tính các tích phân bÎi hai sau trong hª tÂa Î c¸c: Y RR a) I =
xydxdy, trong ó mi∑n D = {(x, y) | x2 + y2  4}. D H RR b) I =
xdxdy, trong ó mi∑n D = {(x, y) | x2 + y2  25, x 0, y 0}. D RR p c) I =
x2 + y2dxdy, trong ó mi∑n D = {(x, y) | 1  x2 + y2  9, y 0}. D RR d) I =
e x2 y2dxdy, trong ó mi∑n D = {(x, y) | x2 + y2  4, x 0}. D UTE RR e) I =
(x + y)dxdy, trong ó mi∑n D = {(x, y) | 1  x2 + y2  4, 0  x, 0  y}. D - RR y2 f ⇤) I = p
dxdy, trong ó D = {(x, y) | x2 + y2 4x  0, y 0}. D x2 + y2 RR g⇤) I =
(x2 + y2)dxdy, trong ó mi∑n D giÓi h§n bi ˜Ìng tròn x2 + y2 = 2x. D RR h⇤) I =
xdxdy, trong ó D = {(x, y) | 2y  x2 + y2  4y, y x, x 0}. D 4.
Tích phân ˜Ìng và tích phân m∞t
4.1. Tính các tích phân ˜Ìng lo§i 1 sau: R x2 p a) I =
x3 ds, trong ó C là cung parabol y = , 0  x  3. C 2 R b) I =
2y ds, trong ó C là cung parabol x = y2, t¯ i∫m (0; 0) ∏n i∫m (1; 1). C R c) I =
2x ds, trong ó C = C1 [ C2, vÓi C1 là o§n parabol y = x2 t¯ i∫m (0; 0) ∏n C CALCULUS
i∫m (1; 1) và C2 là o§n thØng nËi t¯ i∫m (1; 1) ∏n i∫m (1; 2). R d) I =
xy ds, trong ó C là cung parabol y = x2, i t¯ gËc to§ Î ∏n i∫m A(1, 1). C R
e) I = (2 + x2y) ds, trong ó C là n˚a trên cıa ˜Ìng tròn x2 + y2 = 1. C R f) I =
y ds, trong ó C ˜Òc tham sË hóa bi x = t2, y = t, 0  t  2. C
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 6
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán
4.2. Tính các tích phân ˜Ìng lo§i 2 sau: R a) I = (2x
y) dx + xy dy trong ó L là ˜Ìng y = x
1 t¯ i∫m A( 1; 2) ∏n i∫m L B(1; 0) R b) I =
2ydx trong ó L là cung parabol x = y3 + y t¯ i∫m A( 2; 1) ∏n i∫m L B(2; 1) R c) I = (xy
1) dx + x2y dy, trong ó L là ˜Ìng 2x + y = 2 nËi t¯ i∫m A(1; 0) ∏n L i∫m B(0; 2) R Y d) I =
y2 dx + x2 dy, trong ó L là o§n thØng t¯ i∫m A(1; 0) ∏n i∫m B(0; 2) L R H
e) I = (x2 + y) dx + (y + 1) dy, trong ó L là ˜Ìng gßp khúc ABC, vÓi A(0; 0), B(1; 1), L C(0; 2) R
f) I = (x + y) dx + xy dy, trong ó L là chu tuy∏n OAB, vÓi O(0; 0), A(1; 1), B(1; 0), L
tích phân lßy theo chi∑u d˜Ïng. R UTE g) I =
y dx + x2 dy, trong ó L là cung parabol y = x2 i t¯ i∫m A(1; 1) ∏n i∫m L B(0; 0). - R h) I = y dx
(y + x2) dy, trong ó L là cung parabol y = 4 x2 n¨m trên trˆc Ox L theo chi∑u kim Áng hÁ. R p p i) I =
x y dx + 2y x dy, trong ó L là cung tròn x2 + y2 = 1 t¯ i∫m (1; 0) ∏n i∫m L (0; 1). R j⇤) I =
ydx + xdy, trong ó L là cung tròn x2 + y2 = 2x t¯ i∫m (0; 0) ∏n i∫m (1; 1) L theo chi∑u kim Áng hÁ.
4.3. * Áp dˆng công th˘c Green tính các tích phân sau: H
a) Tính I = (x2+3y) dx+2y dy, trong ó L là tam giác OAB vÓi các ønh O(0; 0), A(1; 1), B(0; 2), L ng˜Òc chi∑u
H x2y2 dx + 4xy3 dy, trong ó L là tam giác vÓi các ønh A(0;0),B(1;3), L CALCULUS kim Áng hÁ. b) Tính I =
C(0; 3), tích phân lßy theo chi∑u d˜Ïng. H c) Tính I =
e x( 2x sin y dx + cos y dy), trong ó L là ˜Ìng tròn x2 + y2 = 4, ng˜Òc L chi∑u kim Áng hÁ. H p d) Tính I = (3y esin x) dx + (7x +
y4 + 1) dy, trong ó L là ˜Ìng tròn x2 + y2 = 9, L ng˜Òc chi∑u kim Áng hÁ.
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 7
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán H p
e) Tính I = (y + e x) dx + (2x + cos y2) dy, trong ó L là biên cıa mi∑n óng ˜Òc giÓi L
h§n bi y = x2 và ˜Ìng thØng x = y2, lßy theo chi∑u d˜Ïng. 5. Ph˜Ïng trình vi phân
5.1. Gi£i các ph˜Ïng trình vi phân vÓi bi∏n sË phân ly sau: dy a) = y2 b) yy0 = x dx c) x2y0 = (x 1)y d) (1 + e2x)y2dy = exdx. Y
5.2. Tìm nghiªm cıa ph˜Ïng trình vi phân th‰a mãn i∑u kiª dy ycosx Hnban ¶u: a) = , y = 1
b) x(y2 + 1)dx + y(x2 + 1)dy = 0, y = e2 1 dx 1 + y2 x=0 x=0 dy c) = xey, y = 0 d) y0 cos y = y, y = 0. dx x=1
5.3. Gi£i các ph˜Ïng trình vi phân tuy∏n tính cßp UTE x= ⇡2 mÎt sau: a) y0 4y = x b) y0 + -2y=e 4x 2 c) y0 + xy = 2x d) y0 + y = cosx x e) y0 + 3x2y = 6x2 f) x(1 + x2)y0 (x2 1)y = 2x.
5.4. Gi£i các ph˜Ïng trình vi phân tuy∏n tính cßp hai thu¶n nhßt sau: a) y00 7y0 + 6y = 0 b) y00 + 2y0 + 5y = 0 c) y00 2y0 + y = 0 d) 2y00 + 5y0 + 3y = 0 e) y00 2y0 = 0 f) y00 + 9y = 0.
5.5. Gi£i các ph˜Ïng trình vi phân tuy∏n tính cßp hai không thu¶n nhßt sau: a) y00 2y0 3y = x, b) y00 3y0 = 5 6x c) y00 + 4y0 + 8y CALCULUS = 5ex, d) y00 5y0 + 6y = (2x + 1)ex e) y00 y0 = (x + 1)ex, f) y00 6y0 + 9y = xe3x g) y00 2y0 + y = (6x + 2)ex, h) y00 + 9y = 6e3x i) y00 8y0 + 16y = 3cos3x, j) y00 + 16y = 2sin4x.
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 8
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán 6. L˛ thuy∏t chuÈi
6.1. Dùng tiêu chu©n so sánh, xét s¸ hÎi tˆ cıa các chuÈi sË sau: 1 P 1 1 P 1 a) b) n=1 n2 + n + 1 n=1 2n 1 1 P 1 1 P n c) p d) n=1 n(n + 1) n=1 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 P sin2n e) p n=1 n n Y
6.2. Dùng tiêu chu©n D’Alembert ho∞c tiêu chu©n Cauchy, xét Hs¸hÎitˆcıacácchuÈisË sau: 1 P n2 1 P 3n 1 P 6n a) b) p c) n=1 2n n=1 n n=1 (n + 1)32n+1 p 1 P n! 1 P (n + 1)! n 1 P 1.3.5.....(2n 1) d) e) f) n=1 nn n=1 2n + 1 1 P 1 1 P 1 1 1 P n 1 p n2 n(n 1) h) 1 + UTE n=1 22n.(n 1)! g) k) . n=1 n.2n n=1 2n n
6.3. Xét s¸ hÎi tˆ cıa các chuÈi sË an dßu sau - n=1 n + 1 : 1 P ( 1)n 1 P ( 1)n 1 P n + 1 a) p b) . c) ( 1)n . 3 n=1 n n=1 n + 1 n=1 n2 + n + 1
6.4. Tìm mi∑n hÎi tˆ cıa các chuÈi lÙy th¯a sau: 1 P xn 1 P xn 1 P ( 1)nxn a) p b) c) n=1 n n=1 n2 n=1 n + 1 1 P n2n 1 P xn 1 P n + 1 d) (x 2)n e) . f) (x + 1)n. n=1 2n + 3 n=1 n3n n=1 n2 + 3 1 P xn 1 P (x + 1)n 1 P n + 1 n g) h) . i) (x 2)2n. n=1 3nn! n=1 (2n 1)! n=1 2n + 1 Tr˜ CALCULUS ng bÎ môn TK Nhóm biên so§n dfjkdljd Nguyπn Quang Chung Nguyπn Anh ài
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 9
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán
ó THI MàU S» 01 (ThÌi gian: 90 phút)
Câu 1: (2,0 i∫m) Cho hàm sË f (x, y) = (x2 + 2y3)e7xy.
Tính các §o hàm riêng f 0x(1; 2), f0y(1; 2).
Câu 2: (2,0 i∫m) Tìm c¸c tr‡ cıa hàm sË sau Y f (x, y) = x2 y3 4x + 3y2 4. H
Câu 3: (3,0 i∫m) Tính các tích phân sau: RR a) I = (6y2
2x) dxdy, trong ó mi∑n D ˜Òc giÓi h§n bi các ˜Ìng y = 0, y = 3, D x = 0 và x = 1. UTE R
b) I = (y + 16) dx + x2y dy, trong ó L là ˜Ìng y = 2x 2 nËi t¯ i∫m A(0; 2) ∏n L - B(3; 4).
Câu 4: (2,0 i∫m) Gi£i ph˜Ïng trình vi phân sau: y00 2y0 + 10y = (18x 9)ex.
Câu 5: (1,0 i∫m) Xét s¸ hÎi tˆ cıa chuÈi sË sau: 1 X 3n2 + 5 . 4n2 5n + 8 n=1 CALCULUS
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 10
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc
Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Kˇ thu™t H˜ng Yên BÎ môn Toán
ó THI MàU S» 02 (ThÌi gian: 90 phút)
Câu 1: (2,0 i∫m) Tìm các §o hàm riêng cßp hai t§i i∫m M (1; 1) cıa hàm sË f (x, y) = x2 x5y2 + 4 ln(x + 2y) + ln(x y).
Câu 2: (2,0 i∫m) Tìm c¸c tr‡ cıa hàm sË Y f (x, y) = 6x x2 + 3y2 + 4y3 + 1. H
Câu 3: (3,0 i∫m) Tính các tích phân sau: RR a) I = (9x
10y) dxdy, trong ó mi∑n D ˜Òc giÓi h§n bi các ˜Ìng x = 0, x = 2, D y = 0 và y = 1. R UTE
b) I = (x + y2) dx + (x2 + y) dy, trong ó L là ˜Ìng y = x + 8 nËi t¯ i∫m A(1; 9) ∏n L B(2; 10). -
Câu 4: (2,0 i∫m) Gi£i ph˜Ïng trình vi phân sau: y00 + 6y0 + 9y = 50 sin(2x).
Câu 5: (1,0 i∫m) Xét s¸ hÎi tˆ cıa chuÈi sË sau: 1 X 3n . n!4n n=1 CALCULUS
Bài t™p ch˜Ïng môn Gi£i tích, n´m hÂc 2024 – 2025 11
Chú ˛: Ph¶n ánh dßu ⇤ là không b≠t buÎc

Tài liệu liên quan: