Bài tập môn Xác Suất Thống Kê | Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

Bài tập môn Xác Suất Thống Kê | Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng. Tài liệu gồm 125 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê (KT1)

Trường: Đại học Kiến trúc Đà Nẵng

Thông tin:

125 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Profile Phạm Thị Huyền
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
1
BÀI TP
XÁC SUT THNG KÊ
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
2
CHƯƠNG 1: XÁC SUT
1.1.
Mt hp có 100 tm th như nhau ñưc ghi các s t 1 ñn 100, Rút ngu
nhiên hai th ri ñt theo th t t trái qua phi. Tính xác sut ñn
a/ Rút ñưc hai th lp nên mt s có hai ch s.
b/ Rút ñưc hai th lp nên mt s chia ht cho 5.
Gii
a/
A
:“Hai th rút ñưc lp nên mt s có hai ch s”
( )
2
9
2
100
9.8
0,0073
100.99
A
P A
A
= = ≈
b/
B
: “Hai th rút ñưc lp nên mt s chia ht cho 5”
S chia ht cho 5 tn cùng phi là 0 hoc 5. Đ có bin c
B
thích hp vi ta rút
th th hai mt cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn li ñt vào v trí ñâu. Do ñó s trưng hp thun li cho là 99.20
( )
2
100
99.20
0,20
P B
A
= =
1.2.
Mt hp có cha 7 qu cu trng và 3 qu cu ñen cùng kích thưc. Rút
ngu nhiên cùng mt lúc 4 qu cu. Tính xác sut ñ trong 4 qu cu rút ñưc có
a/ Hai qu cu ñen.
b/ Ít nht 2 cu ñen
c/ Toàn cu trng
Gii
Rút ngu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu cu nên s trưng hp ñng kh
năng là
4
10
C
a/
A
:”trong 4 qu cu rút có 2 qu cu ñen”
( )
2 2
3 7
4
10
.
0,30
C C
P A
C
= =
b/
B
:”trong 4 qu cu ñưc rút có ít nht 2 qu cu ñen”
( )
2 2 3 1
3 7 3 7
4
10
. .
3
C C C C
P B
C
+
= =
c/
C
:”trong 4 qu cu ñưc chn có toàn cu trng”
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
3
( )
4
7
4
10
1
6
C
P C
C
= =
1.3.
Mt hp thuc có 5 ng thuc tt và 3 ng kém cht lưng. Chn ngu
nhiên ln lưt không tr li 2 ng. Tính xác sut ñ:
a/ C hai ng ñưc chn ñu tt.
b/ Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt.
c/ trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt.
Gii
Chn ngu nhiên ln lưt không tr li 2 trong 8 ng nên các trưng hp
ñng kh năng là
2
8
A
.
a/
A
:” C hai ng ñưc chn ñu tt”
( )
2
5
2
8
0,357
A
P A
A
= ≈
b/
B
:” Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt”
( )
1 1
3 5
2
8
.
0,268
C C
P B
A
= ≈
c/
C
:” trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt”
( )
2
3
2
8
1 0,893
A
P C
A
= − ≈
1.4.
Mt hp ñng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu mi. Ln ñu ngưi ta ly
ngu nhiên 3 qu ñ thi ñu, sau ñó li tr vào hp. Ln th hai ly ngu nhiên 3
qu. Tính xác sut ñ c 3 qu ly ra ln sau ñu mi.
Gii
Đt
A
:” c 3 qu ly ra ln sau ñu mi”
i
B
:” Trong 3 qu ly ra ñ thi ñu có
i
qu mi”
{
}
0;1;2;3
i ∈
Ta thy các
{
}
0 1 2 3
; ; ;
B B B B
lp thành nhóm ñy ñ các bin c, theo công thc xác
sut toàn phn
(
)
= + + +
( )
    

= + + + ≈
1.5.
T mt lp có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngưi ta chn ngu nhiên
5 sinh viên ñ lp Ban cán b lp (BCB). Tính xác sut ñ
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
4
a/ BCB gm 3 n và 2 nam,
b/ BCB có ít nht mt n,
c/ BCB có ít nht hai nam và hai n.
Gii
Đt
k
A
: “BCB có k nam sinh viên” (
{
}
0,1, 2,3,4,5
k ∈
),
chúng ta có:
5
12 8
5
20
.
C
C
( )
C
k
k
k
P A
−
=
a/ BCB gm 3 n và 2 nam.
Xác sut phi tính:
3
2
12
8
5
20
.
77
2
323
( )
C
C
P A
C
= =
b/ Đt N: “BCB có ít nht mt n”, thì
5
N A
=
.
Do ñó,
0
5
12
8
5
20
5 5
.
33 613
646 646
( ) ( ) 1 ( )
1
P N P A P A
C
C
C
= = −
= − = − =
c/ Đt H: “BCB có ít nht hai nam và hai n”.
Do ñó,
(
)
(
)
(
)
2 3
P H P A P A
= +
=


 
 
+ =
1.6.
T mt hp cha 8 viên bi ñ và 5 viên bi trng ngưi ta ly ngu nhiên 2
ln, m i ln 1 viên bi, không hoàn li. Tính xác sut ñ ly ñưc
a/ 2 viên bi ñ;
b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi trng.
Gii
Vi
{
}
1, 2 ,
i ∈
ñăt:
i
T
: “viên bi ly ra ln th
i
là bi trng”,
i
D
: “viên bi ly ra ln th
i
là bi ñ”.
a/ Đt
A
:“ly ñưc 2 viên bi ñ”, chúng ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
8 7
14
13 12 3
1
9
. . /P A P D D P D P D D = ===
b/ Đt
B
: “ly ñưc hai viên bi khác màu”, chúng ta có:
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
5
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P B P T D D T P T D P D T
P T P D T P D P T D
= + = +
= +
Suy ra:
5 8 8 5 20
13 12 13 12 39
( )P B = + =
c/
2 1 2 1 2
T TT D T
= +
, nên xác sut phi tính là:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P T P TT P D T
P T P T T P D P D T
= +
= +
suy ra
(
)
5 8 5 5
4
2
13 12 13 12 13
P T
= + =
1.7.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn,
a) có duy nht mt nam;
b) có ít nht mt n.
Gii
Đt
: “Có
nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên”
∈
Gi
: “có duy nht 1 nam”
( ) ( )
1 3
5 3
1
4
8
.
5
70
= = =
a) Gi
: “có ít nht 1 n”
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
1.8.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn,
a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n, bit r"ng có ít nht mt n ñã ñưc tuyn.
Gii
Đt
: “Có
nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên”
∈
a/ Gi
: “có không quá 2 nam”
( )
1 3 2 2
5 3 5 3
1 2
4
8
. .
1
( ) ( )
2
+
= + = =
b/ Gi
: “chn ra 3 n, bit r"ng có ít nht 1 n ñưc tuyn”.
Gi
B
: “Có ít nht mt n ñưc chn”.
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
6
Ta có
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
( )
1
1
( )
1
( | )
( ) 13
= = =
1.9.
Mt c#a hàng sách ưc lưng r"ng: Trong t$ng s các khách hàng ñn c#a
hàng, có 30% khách cn hi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách thc hi%n c hai ñiu trên. Gp ngu nhiên mt khách trong nhà sách. Tính
xác sut ñ ngưi này
a/ không thc hi%n c hai ñiu trên;
b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng.
Gii
Đt
: “khách hàng cn tư vn”
: “khách hàng cn mua sách”
Theo ñ ta có:
(
)
(
)
(
)
0,3; 0,2; 0,15
= = =

a/ Xác sut khách hàng không cn mua sách cũng không cn tư vn là:
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 15 13
. 1 1 1
10 10 100 20
= + − = − + − − − =

b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 15
1
10 100
/
3
2
10
−
−
= = = =

1.10.
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m
, 50% dùng loi sn ph(m
và trong s nhng ngưi dùng
, có
36,5% dùng
. Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác
sut ñ ngưi y
a/ Dùng c
và
;
b/ Không dùng
, cũng không dùng
.
Gii
Đt
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m
”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m
”
Theo ñ bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; | 0,365
= = =
a) Xác sut ngưi dân ñó dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =

b) Xác sut ngưi dân ñó không dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
(
)
. . 0,4755
= + − =

1.11.
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
7
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m
, 50% dùng loi sn ph(m
và trong s nhng ngưi dùng
, có
36,5% dùng
. Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác
sut ñ ngưi y
a/ Dùng c
và
;
b/ Dùng
, bit r"ng ngưi y không dùng
.
Gii
Đt
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m
”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m
”
Theo ñ bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; / 0,365
= = =
a/ Xác sut ngưi dân ñó dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =

b/ Xác sut ngưi dân ñó dùng
, bit r"ng không dùng
là
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
.
0,5 0,1852
/ 0,404
1 0,207
−
−
= = = =
−
1.12.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nhp trên 20 tri%u.
Gii
Đt
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên
20 tri%u là:
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0,45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính nhưng thu nhp ít hơn 20
tri%u là:
(
)
( ) ( )
0,52 0,45 0,07
= − = − =
1.13.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ Có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u, bit r"ng h ñó không có máy vi
tính.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
8
Gii
Đt
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên
20 tri%u là:
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0,45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u nhưng
không có máy vi tính là:
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
0,6 0,45
/ 0,3125
1 0,52
−
−
= = = =
−
1.14.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau:
a/ Đi tuyn thng hai trn;
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn.
Gii
Đt
: “vn ñng viên
thng” vi
{
}
,
∈
Theo ñ bài ta có:
( ) ( )
(
)
0,8; / 0,6; / 0,3
= = =
a/ Xác sut ñi tuyn thng 2 trn là
(
)
(
)
(
)
. / 0,8.0,6 0,48
= = =
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn nghĩa là có ít nht mt trong hai vn ñng viên
A, hoc B thng. Xác sut cn tính là:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
0,54 0,8 0,48 0,86
A B B A A B
P M M P M P M P M M
∪ = + −
= + − =
1.15.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau:
a/ B thng trn;
b/ Đi tuyn ch thng có mt trn.
Gii
Đt
: “vn ñng viên
thng” vi
{
}
,
∈
Theo ñ bài ta có:
( ) ( )
(
)
0,8; / 0,6; / 0,3
= = =
a/ Xác sut B thng trn là:
( ) ( )
(
)
(
)
( ) | . . | 0,54
B A B A A B A
P M P M P M M P M P M M
= + =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
9
b/ Đt
: “ñi tuyn ch thng 1 trn”
Xác sut ñi tuyn ch thng 1 trn là:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. . . .
B A
A B A A B B A B
P D P M M P M M P M P M M P M P M M
= + = − + −
(
)
(
)
(
)
2. . 0,8 0,54 2.0,48 0,38
A B A B
P M P M P M M= + − = + − =
`
1.16.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi. Tính xác sut ñ
mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th ba.
Gii
Đt
: “thí sinh ñưc chn ' vòng
” vi
{
}
1,2,3
∈
Theo ñ bài ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0,45
= = =
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
b/ Xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng th III là
(
)
( ) ( )
(
)
3 3
1 2 1 2 1 1 2
. / . /=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
. | . 1 | 0,8.0,7.0,55 0,308
= − = =
1.17.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi Tính xác sut ñ
mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th hai, bit r"ng thí sinh này b loi.
Gii
Đt
: “thí sinh ñưc chn ' vòng
” vi
{
}
1,2,3
∈
Theo ñ bài ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0,45
= = =
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
b/ Đt K: “Thí sinh ñó b loi”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 3
1 1 2 1 1 1 2 1 2
1= + + = − + − +
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
10
( ) ( )
(
)
3
1 2 1 1 2
1 . / 1 0,8.0,7 0,308 0,748
= − + = − + =
Vy, xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng II, bit r"ng thí sinh ñó b loi là:
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
2
. . . |
0,8 1 0,7
| 0,3209
0,748
−
= = = = =
1.18.
Mt lô hàng có 9 sn ph(m ging nhau. M i ln kim tra, ngưi ta chn
ngu nhiên 3 sn ph(m; kim tra xong tr sn ph(m li lô hàng. Tính xác sut ñ
sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra.
Gii
Chia 9 sn ph(m thành 3 nhóm. Gi
: “Kim tra nhóm
”
{
}
1,2,3
∈
Đt
:”Sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra”
( )


= = =
1.19.
Mt lp hc ca Trưng Đi hc AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n
sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chim t l% 40% trong n sinh viên, và
chim t l% 60% trong nam sinh viên.
a)
Chn ngu nhiên mt sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ chn ñưc mt
sinh viên quê ' An Giang. Nu bit r"ng sinh viên va chn quê ' An
Giang thì xác sut ñ sinh viên ñó là nam b"ng bao nhiêu?
b)
Chn ngu nhiên không hoàn li hai sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ
có ít nht mt sinh viên quê ' An Giang, bit r"ng lp hc có 60 sinh viên.
Gii
a)
Đt :
: “Chn ñưc sinh viên nam”
( )
2
3
=
: “Chn ñưc sinh viên n”
( )
1
3
=
: “Chn ñưc sinh viên quê ' An Giang”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
( ) | |
15
= + = + =

Do ñó,
( ) ( ) ( | ) 3
( | )
( ) ( ) 4
= = =

b)
Lp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24
S sinh viên N quê ' An Giang: 8
Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên
: “ít nht mt sinh viên quê ' An Giang”
2
28
2
60
232
( ) 1 ( ) 1
295
= − = − =
1.20.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
11
Có ba hp A, B và C ñng các l thuc. Hp A có 10 l tt và 5 l hng,
hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C có 5 l tt và 5 l hng
a/ Ly ngu nhiên t m i hp ra mt l thuc, tính xác sut ñ ñưc 3 l
cùng loi.
b/ Ly ngu nhiên mt hp ri t hp ñó ly ra 3 l thuc thì ñưc 1 l tt
và 2 l hng. Tính xác sut ñ hp A ñã ñưc chn.
Gii
a/ và
:“l ly ra t hp th
là tt”
{
}
∈
Nên, xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi

      
+ = +
= + =
b/ Đt
:“Ly ñưc hp th
”
{
}
∈
;
:“Ly ñưc 2 l hng và 1 l
tt”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

  


= + +
= + + =
Khi ñó xác sut ñ hp A ñưc chn
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)




= = = =
1.21.
Có hai hp B và C ñng các l thuc. Hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C
có 5 l tt và 5 l hng. Ly ngu nhiên hai l thuc t hp B b vào hp C, ri
tip theo ly ngu nhiên mt l thuc t hp C thì ñưc l hng. Tính xác sut ñ
a/ L hng ñó là ca hp B b sang;
b/ Hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng.
Gii
Gi
: “Hai l thuc ly t hp B b vào hp C có
l hng”
{
}
∈
và ñt
: “l thuc ly t hp C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b hng”
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


= + + =
a/ l hng ñó là ca hp B b sang
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
 

   
+
= =
= + =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
12
b/ hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng
(
)
(
)
(
)
 
 
 
= = = =
1.22.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp
nhau.Tính xác sut ñ:
a/ ñi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ ñi tuyn thng 2 trn.
Gii
Đt :
: “vn ñng viên A chin thng”
(
)
0,6
=
: “vn ñng viên B chin thng”
(
)
0,7
=
: “vn ñng viên C chin thng”
(
)
0,8
=
a/ Gi
: “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
(
)

= − = − =
b/ Gi
: “ ñi tuyn thng 2 trn”
(
)
(
)
(
)

= + + =
1.23.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp
nhau.Tính xác sut ñ:
a/ Đi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn.
Gii
Đt :
: “vn ñng viên A chin thng”
(
)
0,6
=
: “vn ñng viên B chin thng”
(
)
0,7
=
: “vn ñng viên C chin thng”
(
)
0,8
=
a/ Gi
: “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
(
)

= − = − =
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn
Gi
: “ ñi tuyn thng 2 trn”
(
)
(
)
(
)

= + + =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
13
(
)

  


= = = ≈
1.24.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Gp ngu nhiên mt sinh viên
ca trưng XYZ.
a/ Tính xác sut ñ anh ta trưt c hai môn Toán và Tâm lý; ñu c hai môn
Toán và Tâm lý.
b/ Nu bit r"ng sinh viên này trưt môn Tâm lý thì xác sut ñ anh ta ñu
môn Toán là bao nhiêu?
Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán”
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý”
(
)
0,205
=
khi ñó
( | ) 0,5
=
a/ Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
 
= = =
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
(
)
(
)

= − ∪ = − − + =
b/ Xác sut sinh viên ñu môn Toán, bit r"ng trưt môn Tâm Lý:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)


−
= = =
.
1.25.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Chn ngu nhiên 12 sinh viên ca
trưng XYZ. Nhiu kh năng nht là s+ có bao nhiêu sinh viên thi trưt c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác sut tương ng.
Đáp s
Gi
: “sinh viên thi trưt môn Toán”
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý”
(
)
0,205
=
khi ñó
( | ) 0,5
=
Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
 
= = =
Nên, Sinh viên trưt c Toán và Tâm lý vi xác sut không ñ$i

=
.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
14
Do ñó, chn 12 sinh viên nghĩa là thc hi%n 12 phép th# Bernoulli vi xác
sut thành công (trưt c Toán và Tâm lý) không ñ$i

=
.s sinh viên nhiu
kh năng trưt c hai môn
(
)

+ = =
.
Xác sut tương ng là
( ) ( ) ( )
2 10
2
12 12
2 0,17 . 1 0,17 0,296
= − = .
1.26.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Phi chn bao nhiêu sinh viên
ca trưng XYZ sao cho, vi xác sut không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nht
mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm lý.
Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán”
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý”
(
)
0,205
=
khi ñó
( | ) 0,5
=
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
(
)
(
)

= − ∪ = − − + =
Gi
n
là s sinh viên cn chn. Xác sut ñ sinh viên ñu c hai môn Toán
và Tâm Lý không ñ$i

=
nên ta có quá trình Bernoulli
(
)
,
B n p
.
Đt
: “ ít nht mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu cu bài toán ta ñưc
(
)
(
)
(
)
  
= − = − − ≥
(
)
(
)
      
⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Vy, chn ít nht 5 sinh viên.
1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 ca mt xí nghi%p sn xut, theo th t, 60%, 30% và
10% t$ng s sn ph(m ca mt xí nghi%p. T l% sn xut ra ph ph(m ca các máy
trên, theo th t, là 2%, 3% và 4%. Ly ngu nhiên mt sn ph(m t lô hàng ca
xí nghi%p, trong ñó ñ ln ln các sn ph(m do 3 máy sn xut.
a/ Tính xác sut ñ sn ph(m ly ra là sn ph(m tt. Ý nghĩa ca xác
sut ñó ñi vi lô hàng là gì?
b/ Nu sn ph(m ly ñưc là ph ph(m, thì nhiu kh năng nht là do
máy nào sn xut?
Gii
Đt
: “sn ph(m ly ra do máy
sn xut” vi
{
}
1,2,3
∈
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0,6; 0,3; 0,1
= = =
Và
:“sn ph(m ly ra là ph ph(m”
(
)
(
)
(
)
  
= = =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
15
a/
:”sn ph(m ly ra là sn ph(m tt”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= + + =
Ý nghĩa, xác sut th hi%n t l% sn ph(m tt ca lô hàng.
b/ Xác sut ly ra sn ph(m là ph ph(m
(
)
(
)

= − =
Theo công thc Bayes
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 


= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 


= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 


= = = =
Do ñó, sn ph(m do máy 1 sn xut ra ph ph(m nhiu nht.
1.28.
Chia ngu nhiên 9 tm vé s, trong ñó có 3 vé trúng thư'ng, ñu cho 3
ngưi (m i ngưi 3 tm). Tính xác sut ñ c 3 ngưi ñu ñưc trúng thư'ng.
Gii
Đt
: “Ngưi mua vé th
ñưc vé trúng thư'ng” vi
{
}
1,2,3
∈
( ) ( ) ( ) ( )

= = =
1.29.
Trong s các b%nh nhân ñang ñưc ñiu tr ti mt b%nh vi%n, có 50% ñiu
tr b%nh A, 30% ñiu tr b%nh B và 20% ñiu tr b%nh C. Ti b%nh vi%n này, xác
sut ñ cha khi các b%nh A, B và C, theo th t, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t
l% b%nh nhân ñưc cha khi b%nh A trong t$ng s b%nh nhân ñã ñưc cha khi
b%nh trong b%nh vi%n.
Gii
Đt
: “b%nh nhân ñiu tr b%nh
” vi
{
}
, ,
∈
: “b%nh nhân ñưc khi b%nh”
Theo ñ bài ta có:
(
)
(
)
(
)
0,5; 0,3; 0, 2
= = =
và
(
)
(
)
(
)
/ 0,7; / 0,8; / 0,9
= = =
Xác sut ñ b%nh nhân khi b%nh là
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
16
( ) ( ) ( )
. / 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77
=
= = + + =
∑
Xác sut ñ b%nh nhân tr khi b%nh A là
( )
(
)
(
)
. |
0,5.0,7
| 45,45%
( ) 0,77
= = =
1.30.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng. Gieo mt con xúc xc vô tư: Nu mt 3 hoc mt 5
xut hi%n thì chn ngu nhiên mt bi t bình B; các trưng hp khác thì chn ngu
nhiên mt bi t bình A. Tính xác sut ñ chn ñưc viên bi ñ. Nu viên bi trng
ñưc chn, tính xác sut ñ mt 5 ca con xúc xc xut hi%n.
Gii
Đt
: “Gieo con xúc xc ñưc mt 3 hoăc mt 5”,
=
: “Ly t bình ra mt bi là bi ñ”. Ta có

= + = + =
Gi
: “mt viên bi ñưc chn là bi trng”
= + = + =
Đt
: “gieo con xúc xc ñưc mt 5”.
Xác sut mt 5 xut hi%n, bit r"ng bi ñưc chn là bi trng là
( )
(
)
(
)
(
)



= = = =
1.31.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng.
Ly ngu nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, ri t bình B ly ngu
nhiên 1 viên bi thì ñưc bi ñ. Theo ý bn, viên bi ñó vn thuc bình nào?
Gii
Gi
: “ có
k
bi ñ trong 3 viên bi ly t bình A b vào bình B” vi
{
}
0,1,2,3
∈
Đt
: “Ly mt bi t bình B ra là bi ñ”.
 
 

 
 

  
=
= = + +
+ + =
∑
Đt
: “bi ñ sau cùng ly t bình B”.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
17


= =
Do ñó
(
)
(
)
(
)
(
)

 
  
= = = = >
.
Vy, bi ñ sau cùng nhiu kh năng nht là ca bình B.
1.32.
Có hai chung nuôi th. Chung th nht có 1 con th trng và 5 con th
nâu; chung th hai có 9 con th trng và 1 con th nâu. T m i chung bt ngu
nhiên ra mt con ñ nghiên cu. Các con th còn li ñưc dn vào mt chung th
ba. T chung th ba này li bt ngu nhiên ra mt con th. Tính xác sut ñ con
th bt ra sau cùng là mt con th nâu.
Gii
Đt
: “Th bt ' chung 1 ra nghiên cu là th nâu ”
=
: “Th bt ' chung 2 ra nghiên cu là th nâu”

=
Gi
: “Th bt ' chung 3 ra nghiên cu là th nâu ”
(
)
(
)
(
)
(
)
= + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= + +
+ +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= + +
+ +
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
(
)

    
= + + + =
1.33.
Ban giám ñc mt công ty liên doanh vi nưc ngoài ñang xem xét kh
năng ñình công ca công nhân ñ ñòi tăng lương ' hai nhà máy A và B. Kinh
nghi%m cho h bit cuc ñình công ' nhà máy A và B xy ra ln lưt vi xác sut
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bit r"ng nu công nhân ' nhà máy B ñình công
thì có 90% kh năng ñ công nhân ' nhà máy A ñình công ng h.
a/ Tính xác sut ñ công nhân ' c hai nhà máy ñình công.
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà
máy B ñình công ñ ng h b"ng bao nhiêu?
Gii
Đt :
: “ Công nhân ñình công ' nhà máy A”
=
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
18
: “Công nhân ñình công ' nhà máy B”
(
)

= =
a/ Xác sut công nhân ñình công ' 2 nhà máy là
(
)
(
)
(
)
. | , . , ,
 
= = =
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà máy B
ñình công là
( )
(
)
( )
,
| ,
,




= = =
1.34.
Mt nhân viên kim toán nhn thy 15% các bn cân ñi thu chi cha các
sai lm. Trong các bn cha sai lm, 60% ñưc xem là các giá tr bt thưng so
vi các s xut phát t gc. Trong tt c các bn cân ñi thu chi thì 20% là nhng
giá tr bt thưng. Nu mt con s ' mt bng cân ñi t ra bt thưng thì xác sut
ñ s y là mt sai lm là bao nhiêu?
Gii
Đt
: “bn cân ñi thu chi cha sai lm”

=
: “bn cân ñi thu chi cha giá tr bt thưng”
(
)
= =
Xác sut 1 con s ' 1 bng cân ñi t ra bt thưng là 1 sai lm:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
| ,
,



= = = =
1.35.
Mt hãng sn xut mt loi t lnh X ưc tính r"ng khong 80% s ngưi
dùng t lnh có ñc qung cáo t lnh do hãng y sn xut. Trong s nhng ngưi
ñc qung cáo, có 30% mua loi t lnh X; 10% không ñc qung cáo cũng mua
loi t lnh X. Tính xác sut ñ mt ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có
ñc qung cáo.
Gii
Đt
: “ngưi ñó ñc qung cáo”
=
: “ngưi ñó mua t lnh X”
( )
(
)
/ , ; / ,
= =
Trưc tiên tính xác sut ñ ngưi mua t lnh X
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
. / . / ,

= + = + =
Xác sut ñ 1 ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có ñc qung cáo:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
|
,



= = = =
1.36.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ
a/ H% thng I b hng;
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
19
b/ H% thng II không b hng.
Gii
a/ Đt
:”bóng ñèn th
trong h% thng I bi hng”
{
}
∈
.
Xác sut h% thng I b hng
(
)

= + + + = − = − =
b/ Đt
:”bóng ñèn th
trong h% thng II bi hng”
{
}
∈
.
Xác sut h% thng II không b hng
 
+ + = − = − =
1.37.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ
a/ C hai h% thng b hng;
b/ Ch có mt h% thng b hng.
Gii
a/ Đt
: “bóng ñèn th
trong h% thng I bi hng”
{
}
∈
.
và
:”bóng ñèn th
trong h% thng II bi hng”
{
}
∈
.
Xác sut h% thng I b hng
(
)
 
= + + + = − = − =
Xác sut h% thng II b hng là:
(
)

= =
Nên, xác sut c hai h% thng b hng là
  
= = =
b/ Xác sut ch có mt h% thng b hng

+ = + =
1.38.
Mt lô hàng gm rt nhiu bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn xu. Mt
ngưi ñn mua hàng vi qui ñnh: Chn ngu nhiên 10 bóng ñèn ñem kim tra và
nu có nhiu hơn mt bóng ñèn xu thì không nhn lô hàng. Tính xác sut ñ lô
hàng ñưc chp nhn.
Gii
Vi%c kim tra 10 bóng ñèn, nghĩa là thc hi%n 10 phép th# Bernoulli, vi
xác sut “thành công” gp bóng xu

=
(không ñ$i).
Khi ñó
(
)
; , , . , , , , ,...,
−
= =



(
:s ln thành công trong 10 phép th#)
Đt
: “nhn lô hàng”
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

  
     
= + = − =
1.39.
Mt nhóm nghiên cu ñang nghiên cu v nguy cơ mt s c ti mt nhà
máy ñi%n nguyên t# s+ gây ra s rò r phóng x. Nhóm nghiên cu nhn thy các
loi s c ch có th là: ho hon, s gãy ñ$ ca vt li%u hoc sai lm ca con
ngưi, và 2 hay nhiu hơn 2 s c không bao gi cùng xy ra.
Nu có ha hon thì s rò r phóng x xy ra khong 20% s ln. Nu có s
gãy ñ$ ca vt li%u thì s rò r phóng x xy ra khong 50% s ln, và nu có s
sai lm ca con ngưi thì s rò r s+ xy ra khong 10% s ln. Nhóm nghiên cu
cũng tìm ñưc xác sut ñ: Ho hon và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0010,
gãy ñ$ vt li%u và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0015, sai lm ca con ngưi
và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0012. Tìm xác sut ñ
a/ có ho hon; có gãy ñ$ vt li%u và có sai lm ca con ngưi;
b/ có mt s rò r phóng x;
c/ mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi.
Gii
Đt
: “xy ra ha hon”
: “xy ra gãy ñ$”
: “xy ra sai lm ca con ngưi”
: “s rò r phóng x”
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
  
  
= = =
= = =
a/ Xác sut có ho hon là
( )
(
)
( )
,
|

= =
Xác sut có gãy ñ$ vt li%u là
( )
(
)
( )
,
|


= =
và xác sut sai lm ca con ngưi
( )
(
)
( )
,
|


= =
b/ Xác sut có s rò r phóng x xy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,

   
= + + = + + =
c/ Xác sut mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi là
(
)
(
)
 
 

= = =
1.40.
| 1/125
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân BÀI T P XÁC SU T TH NG KÊ 1 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SU T 1.1.
M t h p có 100 t m th như nhau ñư c ghi các s t 1 ñ n 100, Rút ng u
nhiên hai th r i ñ t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t ñ n
a/ Rút ñư c hai th l p nên m t s có hai ch s .
b/ Rút ñư c hai th l p nên m t s chia h t cho 5. Gi i
a/ A :“Hai th rút ñư c l p nên m t s có hai ch s ” 2 A 9.8 P ( A) 9 = = ≈ 0, 0073 2 A 100.99 100
b/ B : “Hai th rút ñư c l p nên m t s chia h t cho 5”
S chia h t cho 5 t n cùng ph i là 0 ho c 5. Đ có bi n c B thích h p v i ta rút
th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn l i ñ t vào v trí ñâu. Do ñó s trư ng h p thu n l i cho là 99.20 99.20 P (B) = = 0, 20 2 A100 1.2.
M t h p có ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u ñen cùng kích thư c. Rút
ng u nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t ñ trong 4 qu c u rút ñư c có a/ Hai qu c u ñen. b/ Ít nh t 2 c u ñen c/ Toàn c u tr ng Gi i
Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s trư ng h p ñ ng kh năng là 4 C 10
a/ A :”trong 4 qu c u rút có 2 qu c u ñen” 2 2 C .C P ( A) 3 7 = = 0,30 4 C10
b/ B :”trong 4 qu c u ñư c rút có ít nh t 2 qu c u ñen” 2 2 3 1
C .C + C .C 1 P (B) 3 7 3 7 = = 4 C 3 10
c/ C :”trong 4 qu c u ñư c ch n có toàn c u tr ng” 2 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 4 C 1 P (C) 7 = = 4 C 6 10 1.3.
M t h p thu c có 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t lư ng. Ch n ng u
nhiên l n lư t không tr l i 2 ng. Tính xác su t ñ :
a/ C hai ng ñư c ch n ñ u t t.
b/ Ch ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t.
c/ trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t. Gi i
Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 trong 8 ng nên các trư ng h p ñ ng kh năng là 2 A . 8 2 A
a/ A :” C hai ng ñư c ch n ñ u t t” P ( A) 5 = ≈ 0,357 2 A8 1 1 C .C
b/ B :” Ch ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t” P (B) 3 5 = ≈ 0, 268 2 A8 2 A
c/ C :” trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t” P (C) 3 = 1− ≈ 0,893 2 A8 1.4.
M t h p ñ ng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu m i. L n ñ u ngư i ta l y
ng u nhiên 3 qu ñ thi ñ u, sau ñó l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3
qu . Tính xác su t ñ c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i. Gi i
Đ t A :” c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i”
B :” Trong 3 qu l y ra ñ thi ñ u có i qu m i” i ∈{0;1;2; } 3 i
Ta th y các {B ; B ; B ; B l p thành nhóm ñ y ñ các bi n c , theo công th c xác 0 1 2 3} su t toàn ph n ( ) = + + + = ( + + + ) ≈ 1.5.
T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên
5 sinh viên ñ l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t ñ 3 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a/ BCB g m 3 n và 2 nam, b/ BCB có ít nh t m t n ,
c/ BCB có ít nh t hai nam và hai n . Gi i
Đ t A : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈{0,1,2,3,4, } 5 ), k chúng ta có: k 5− k C . C 12 8 P(A ) k = 5 C20 a/ BCB g m 3 n và 2 nam. Xác su t ph i tính: 2 3 C12. C8 77 P( 2 A ) = = 5 323 C20
b/ Đ t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì N = 5 A . Do ñó,
P(N ) = P( 5 A ) = 1 − P( 5 A ) 5 0 C 12. C8 33 613 = − = 1 − = 5 646 646 C20
c/ Đ t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”. Do ñó,
P (H ) = P( A + P A 2 ) ( 3 ) = + = 1.6.
T m t h p ch a 8 viên bi ñ và 5 viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên 2
l n, m i l n 1 viên bi, không hoàn l i. Tính xác su t ñ l y ñư c a/ 2 viên bi ñ ; b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi tr ng. Gi i V i i ∈{1, } 2 , ñăt:
T : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”, i
D : “viên bi l y ra l n th i là bi ñ ”. i
a/ Đ t A :“l y ñư c 2 viên bi ñ ”, chúng ta có:
P( A) = P( 8 7 14 1 D 2 D ) = P( 1 D ).P( 2 D / 1 D ) = . = 13 12 39
b/ Đ t B : “l y ñư c hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
P (B) = P (T D + D T = P T D + P D T 1 2 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
= P (T .P D / T + P D .P T / D 1 ) ( 2 1) ( 1) ( 2 1 ) Suy ra: 5 8 8 5 20 P(B) = + = 13 12 13 12 39
c/ T = TT + D T , nên xác su t ph i tính là: 2 1 2 1 2
P (T = P TT + P D T 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
= P (T .P T / T + P D .P D / T 1 ) ( 2 1) ( 1) ( 2 1) suy ra P( 2 T ) 5 4 8 5 5 = + = 13 12 13 12 13 1.7.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p
ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t
ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n, a) có duy nh t m t nam; b) có ít nh t m t n . Gi i Đ t
: “Có nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên” ∈ 1 3 . 5
G i : “có duy nh t 1 nam” ( ) = ( ) 5 3 = = 1 4 70 8
a) G i : “có ít nh t 1 n ” 4 13 ( ) 5 = 1− ( ) = 1− = 4 4 14 8 1.8.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p
ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t
ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n, a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n , bi t r"ng có ít nh t m t n ñã ñư c tuy n. Gi i Đ t
: “Có nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên” ∈
a/ G i : “có không quá 2 nam” 1 3 2 2 . + . 1 ( ) 5 3 5 3 = ( ) + ( ) = = 1 2 4 2 8
b/ G i : “ch n ra 3 n , bi t r"ng có ít nh t 1 n ñư c tuy n”.
G i B : “Có ít nh t m t n ñư c ch n”. 5 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 4 Ta có 13 ( ) 5 = 1− ( ) = 1− = 4 4 14 8 ( ) 1 ( ) 1 = ( | ) = = 1 ( ) 13 1.9.
M t c#a hàng sách ư c lư ng r"ng: Trong t$ng s các khách hàng ñ n c#a
hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách th c hi%n c hai ñi u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính xác su t ñ ngư i này
a/ không th c hi%n c hai ñi u trên;
b/ không mua sách, bi t r"ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng. Gi i
Đ t : “khách hàng c n tư v n”
: “khách hàng c n mua sách”
Theo ñ ta có: ( ) = 0,3; ( ) = 0,2; ( ) = 0,15
a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách cũng không c n tư v n là: ( ) = ( )+ ( )− ( ) 3 2  15  13 . = 1− +1− − 1−  = 10 10  100  20
b/ không mua sách, bi t r"ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng. 3 15 ( ) − ( ) ( ) − ( ) 1 10 100 / = = = = ( ) ( ) 3 2 10 1.10.
M t cu c ñi u tra cho th y, ' m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph(m
, 50% dùng lo i s n ph(m và trong s nh ng ngư i dùng , có 36,5% dùng
. Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác su t ñ ngư i y a/ Dùng c và ; b/ Không dùng , cũng không dùng . Gi i
Đ t : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ”
: “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ”
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,207; ( ) = 0,5; ( | ) = 0,365
a) Xác su t ngư i dân ñó dùng c và là (
) = ( ). ( / ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b) Xác su t ngư i dân ñó không dùng c và là
( . ) = ( .)+ ( )− ( ) = 0,4755 1.11. 6 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
M t cu c ñi u tra cho th y, ' m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph(m
, 50% dùng lo i s n ph(m và trong s nh ng ngư i dùng , có 36,5% dùng
. Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác su t ñ ngư i y a/ Dùng c và ;
b/ Dùng , bi t r"ng ngư i y không dùng . Gi i
Đ t : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ”
: “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ”
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,207; ( ) = 0,5; ( / ) = 0,365
a/ Xác su t ngư i dân ñó dùng c và là (
) = ( ). ( / ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b/ Xác su t ngư i dân ñó dùng , bi t r"ng không dùng là ( . ) ( ) − ( ) ( ) 0,5 − 0,1852 / = = = = 0, 404 ( ) ( ) 1− 0, 207 1.12.
Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u
thu nh p hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì
60% có thu nh p trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia
ñình ñư c ch n ng u nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nh p trên 20 tri%u. Gi i
Đ t : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,52; ( ) = 0,6; ( / ) = 0,75
a/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P(B).P( A / B) = 0,6.0,75 = 0,45
b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính nhưng thu nh p ít hơn 20 tri%u là:
( ) = ( )− ( ) = 0,52−0,45 = 0,07 1.13.
Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u
thu nh p hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì
60% có thu nh p trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia
ñình ñư c ch n ng u nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u;
b/ Có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u, bi t r"ng h ñó không có máy vi tính. 7 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i
Đ t : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,52; ( ) = 0,6; ( / ) = 0,75
a/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P(B).P( A / B) = 0,6.0,75 = 0,45
b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u nhưng không có máy vi tính là: ( ) ( ) ( ) − ( ) 0,6 − 0,45 / = = = = 0,3125 ( ) ( ) 1− 0,52 1.14.
Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có
60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%.
Tính xác su t c a các bi n c sau:
a/ Đ i tuy n th ng hai tr n;
b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n. Gi i Đ t
: “v n ñ ng viên th ng” v i ∈{ , } Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,8; ( / ) = 0,6; ( / ) = 0,3
a/ Xác su t ñ i tuy n th ng 2 tr n là ( ) = ( ). ( / ) = 0,8.0,6 = 0,48
b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n nghĩa là có ít nh t m t trong hai v n ñ ng viên
A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là: P(M ∪ M = P M + P M − P M M A B ) ( B ) ( A ) ( . A B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86 1.15.
Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có
60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%.
Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ B th ng tr n;
b/ Đ i tuy n ch th ng có m t tr n. Gi i Đ t
: “v n ñ ng viên th ng” v i ∈{ , } Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,8; ( / ) = 0,6; ( / ) = 0,3
a/ Xác su t B th ng tr n là:
P (M ) = P(M )P(M | M .) + P(M ).P(M | M ) = 0,54 B A B A A B A 8 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
b/ Đ t : “ñ i tuy n ch th ng 1 tr n”
Xác su t ñ i tuy n ch th ng 1 tr n là:
P (D) = P (M .M B + P M M = P M − P M M + P M − P M M A ) ( A. B ) ( A ) ( . A B ) ( B ) ( . A B )
= P (M ) + P (M ) − 2.P (M .M ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38 A B A B ` 1.16.
Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c
thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí
sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi. Tính xác su t ñ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i tuy n; b/ B lo i ' vòng th ba. Gi i
Đ t : “thí sinh ñư c ch n ' vòng ” v i ∈{1,2, } 3 Theo ñ bài ta có: ( = 0,8; | = 0, 7; | = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là ( = . | . | = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1) ( 3 1 2 )
b/ Xác su t ñ thí sinh ñó b lo i ' vòng th III là ( 3 ) = ( ). ( / ). ( 3 / 1 2 1 2 1 1 2 ) = ( . | . 1− | = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308 1 ) ( 2 1 ) ( ( 3 1 2 )) 1.17.
Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c
thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí
sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi Tính xác su t ñ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i tuy n;
b/ B lo i ' vòng th hai, bi t r"ng thí sinh này b lo i. Gi i
Đ t : “thí sinh ñư c ch n ' vòng ” v i ∈{1,2, } 3 Theo ñ bài ta có: ( = 0,8; | = 0, 7; | = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là ( = . | . | = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1) ( 3 1 2 )
b/ Đ t K: “Thí sinh ñó b lo i” ( ) = ( 1) + ( 2 ) + ( 3 ) = 1− ( ) + ( ) − ( ) + ( 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 ) 9 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân = 1− ( ). ( / ) + ( 3
= 1− 0,8.0, 7 + 0,308 = 0, 748 1 2 1 1 2 )
V y, xác su t ñ thí sinh ñó b lo i ' vòng II, bi t r"ng thí si nh ñó b lo i là: ( 2. ) ( . 2) ( ). ( 2 | 1 1 1 ) ( 0,8 1− 0,7 2 | ) ( ) = = = = = 0, 3209 ( ) ( ) ( ) 0, 748 1.18.
M t lô hàng có 9 s n ph(m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ngư i ta ch n
ng u nhiên 3 s n ph(m; ki m tra xong tr s n ph(m l i lô hàng. Tính xác su t ñ
sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph(m ñ u ñư c ki m tra. Gi i
Chia 9 s n ph(m thành 3 nhóm. G i : “Ki m tra nhóm ” ∈{1,2, } 3
Đ t :”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph(m ñ u ñư c ki m tra” ( ) = = = 1.19.
M t l p h c c a Trư ng Đ i h c AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n
sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chi m t l% 40% trong n sinh viên, và
chi m t l% 60% trong nam sinh viên.
a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ ch n ñư c m t
sinh viên quê ' An Giang. N u bi t r"ng sinh viên v a ch n quê ' An
Giang thì xác su t ñ sinh viên ñó là nam b"ng bao nhiêu?
b) Ch n ng u nhiên không hoàn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ
có ít nh t m t sinh viên quê ' An Giang, bi t r"ng l p h c có 60 sinh viên. Gi i a) Đ t : 2
: “Ch n ñư c sinh viên nam” ( ) = 3 1
: “Ch n ñư c sinh viên n ” ( ) = 3
: “Ch n ñư c sinh viên quê ' An Giang” 8 ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 15 ( ) ( ) ( | ) 3 Do ñó, ( | ) = = = ( ) ( ) 4
b) L p có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24
S sinh viên N quê ' An Giang: 8
Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên
: “ít nh t m t sinh viên quê ' An Giang” 2 232 28 ( ) = 1− ( ) = 1− = 2 295 60 1.20. 10 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Có ba h p A, B và C ñ ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng,
h p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng
a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t ñ ñư c 3 l cùng lo i.
b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p ñó l y ra 3 l thu c thì ñư c 1 l t t
và 2 l h ng. Tính xác su t ñ h p A ñã ñư c ch n. Gi i
a/ và :“l l y ra t h p th là t t” ∈ { }
Nên, xác su t ñ ñư c 3 l cùng lo i + = + = + = b/ Đ t
:“L y ñư c h p th ” ∈ { } ;
:“L y ñư c 2 l h ng và 1 l t t” = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = + + =
Khi ñó xác su t ñ h p A ñư c ch n ( ) ( ) ( ) = = = = ( ) ( ) 1.21.
Có hai h p B và C ñ ng các l thu c. H p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C
có 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i
ti p theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì ñư c l h ng. Tính xác su t ñ
a/ L h ng ñó là c a h p B b sang;
b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng. Gi i G i
: “Hai l thu c l y t h p B b vào h p C có l h ng” ∈ { }
và ñ t : “l thu c l y t h p C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b h ng” = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) =
a/ l h ng ñó là c a h p B b sang ( ) ( ) + ( ) ( ) = = ( )     = + =     11 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
b/ hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng ( ) ( )     = = = = ( )     1.22.
Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t
chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau.Tính xác su t ñ :
a/ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ ñ i tuy n th ng 2 tr n. Gi i Đ t :
: “v n ñ ng viên A chi n th ng” ( ) = 0,6
: “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) = 0,7
: “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) = 0,8
a/ G i : “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n” = − ( ) = − =
b/ G i : “ ñ i tuy n th ng 2 tr n” = ( )+ ( )+ ( ) = 1.23.
Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t
chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau.Tính xác su t ñ :
a/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n,
b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n. Gi i Đ t :
: “v n ñ ng viên A chi n th ng” ( ) = 0,6
: “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) = 0,7
: “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) = 0,8
a/ G i : “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n” = − ( ) = − =
b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n
G i : “ ñ i tuy n th ng 2 tr n” = ( )+ ( )+ ( ) = 12 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ( ) = = = ≈ 1.24.
Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t
môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t
môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên c a trư ng XYZ.
a/ Tính xác su t ñ anh ta trư t c hai môn Toán và Tâm lý; ñ u c hai môn Toán và Tâm lý.
b/ N u bi t r"ng sinh viên này trư t môn Tâm lý thì xác su t ñ anh ta ñ u môn Toán là bao nhiêu? Gi i
: “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) = 0,34
và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) = 0,205 khi ñó ( | ) = 0,5
a/ Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý = ( ) ( ) = =
Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý ( ) = − ∪ = − ( )− ( ) + ( ) =
b/ Xác su t sinh viên ñ u môn Toán, bi t r"ng trư t môn Tâm Lý: ( ) ( )− ( ) ( ) = = = . ( ) ( ) 1.25.
Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t
môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t
môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a
trư ng XYZ. Nhi u kh năng nh t là s+ có bao nhiêu sinh viên thi trư t c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác su t tương ng. Đáp s
G i : “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) = 0,34
và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) = 0,205 khi ñó ( | ) = 0,5
Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý = ( ) ( ) = =
Nên, Sinh viên trư t c Toán và Tâm lý v i xác su t không ñ$i = . 13 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
Do ñó, ch n 12 sinh viên nghĩa là th c hi%n 12 phép th# Bernoulli v i xác
su t thành công (trư t c Toán và Tâm lý) không ñ$i = .s sinh viên nhi u
kh năng trư t c hai môn ( .  )    + = =       Xác su t tương ng là (2) = (0,17)2 .(1 − 0,17)10 2 = 0, 296 . 12 12 1.26.
Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t
môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t
môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên
c a trư ng XYZ sao cho, v i xác su t không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nh t
m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm lý. Gi i
: “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) = 0,34
và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) = 0,205 khi ñó ( | ) = 0,5
Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý ( ) = − ∪ = − ( )− ( ) + ( ) =
G i n là s sinh viên c n ch n. Xác su t ñ sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm Lý không ñ$i =
nên ta có quá trình Bernoulli B( , n p).
Đ t : “ ít nh t m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu c u bài toán ta ñư c ( ) = − ( ) = − ( − ) ≥ ⇔ ≥ ( ) ⇔ ≥ ( ) ⇔ ≥
V y, ch n ít nh t 5 sinh viên. 1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi%p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và
10% t$ng s s n ph(m c a m t xí nghi%p. T l% s n xu t ra ph ph(m c a các máy
trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph(m t lô hàng c a
xí nghi%p, trong ñó ñ l n l n các s n ph(m do 3 máy s n xu t.
a/ Tính xác su t ñ s n ph(m l y ra là s n ph(m t t. Ý nghĩa c a xác
su t ñó ñ i v i lô hàng là gì?
b/ N u s n ph(m l y ñư c là ph ph(m, thì nhi u kh năng nh t là do máy nào s n xu t? Gi i Đ t
: “s n ph(m l y ra do máy s n xu t” v i ∈{1,2, } 3 ( = 0, 6; = 0,3; = 0,1 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Và :“s n ph(m l y ra là ph ph(m” ( ) = ( ) = ( ) = 14 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
a/ :”s n ph(m l y ra là s n ph(m t t” ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) =
Ý nghĩa, xác su t th hi%n t l% s n ph(m t t c a lô hàng.
b/ Xác su t l y ra s n ph(m là ph ph(m ( ) = − ( ) = Theo công th c Bayes ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = ( ) ( )
Do ñó, s n ph(m do máy 1 s n xu t ra ph ph(m nhi u nh t. 1.28.
Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong ñó có 3 vé trúng thư'ng, ñ u cho 3
ngư i (m i ngư i 3 t m). Tính xác su t ñ c 3 ngư i ñ u ñư c trúng thư'ng. Gi i
Đ t : “Ngư i mua vé th ñư c vé trúng thư'ng” v i ∈{1,2, } 3 ( ) = ( ) ( ) ( ) = = 1.29.
Trong s các b%nh nhân ñang ñư c ñi u tr t i m t b%nh vi%n, có 50% ñi u
tr b%nh A, 30% ñi u tr b%nh B và 20% ñi u tr b%nh C. T i b%nh vi%n này, xác
su t ñ ch a kh i các b%nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t
l% b%nh nhân ñư c ch a kh i b%nh A trong t$ng s b%nh nhân ñã ñư c ch a kh i b%nh trong b%nh vi%n. Gi i
Đ t : “b%nh nhân ñi u tr b%nh ” v i ∈{ , , }
: “b%nh nhân ñư c kh i b%nh”
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,5; ( ) = 0,3; ( ) = 0,2
và ( / ) = 0,7; ( / ) = 0,8; ( / ) = 0,9
Xác su t ñ b%nh nhân kh i b%nh là 15 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
( ) = ∑ ( ). ( / ) = 0,5.0,7 + 0,3.0,8 + 0,2.0,9 = 0,77 =
Xác su t ñ b%nh nhân tr kh i b%nh A là ( ). ( | ) 0,5.0,7 ( | ) = = = 45, 45% ( ) 0,77 1.30.
Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B
ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vô tư: N u m t 3 ho c m t 5
xu t hi%n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các trư ng h p khác thì ch n ng u
nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t ñ ch n ñư c viên bi ñ . N u viên bi tr ng
ñư c ch n, tính xác su t ñ m t 5 c a con xúc x c xu t hi%n. Gi i
Đ t : “Gieo con xúc x c ñư c m t 3 hoăc m t 5”, =
: “L y t bình ra m t bi là bi ñ ”. Ta có = + = + =
G i : “m t viên bi ñư c ch n là bi tr ng” = + = + =
Đ t : “gieo con xúc x c ñư c m t 5”.
Xác su t m t 5 xu t hi%n, bi t r"ng bi ñư c ch n là bi tr ng là ( ) ( ) = = = = ( ) ( ) 1.31.
Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng.
L y ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u
nhiên 1 viên bi thì ñư c bi ñ . Theo ý b n, viên bi ñó v n thu c bình nào? Gi i G i
: “ có k bi ñ trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i ∈{0,1,2, } 3
Đ t : “L y m t bi t bình B ra là bi ñ ”. = = + + ∑ = + + =
Đ t : “bi ñ sau cùng l y t bình B”. 16 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân = = ( ) ( ) Do ñó = = = = > . ( ) ( )
V y, bi ñ sau cùng nhi u kh năng nh t là c a bình B. 1.32.
Có hai chu ng nuôi th . Chu ng th nh t có 1 con th tr ng và 5 con th
nâu; chu ng th hai có 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u
nhiên ra m t con ñ nghiên c u. Các con th còn l i ñư c d n vào m t chu ng th
ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t ñ con
th b t ra sau cùng là m t con th nâu. Gi i
Đ t : “Th b t ' chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ” =
: “Th b t ' chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu” =
G i : “Th b t ' chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ” = ( ) + ( )+ ( )+ ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )+ + ( ) ( )+ ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) =
( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1.33.
Ban giám ñ c m t công ty liên doanh v i nư c ngoài ñang xem xét kh
năng ñình công c a công nhân ñ ñòi tăng lương ' hai nhà máy A và B. Kinh
nghi%m cho h bi t cu c ñình công ' nhà máy A và B x y ra l n lư t v i xác su t
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bi t r"ng n u công nhân ' nhà máy B ñình công
thì có 90% kh năng ñ công nhân ' nhà máy A ñình công ng h .
a/ Tính xác su t ñ công nhân ' c hai nhà máy ñình công.
b/ N u công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân ' nhà
máy B ñình công ñ ng h b"ng bao nhiêu? Gi i
Đ t : : “ Công nhân ñình công ' nhà máy A” = 17 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
: “Công nhân ñình công ' nhà máy B” = ( ) =
a/ Xác su t công nhân ñình công ' 2 nhà máy là ( ) = ( ). ( | ) = , . , = ,
b/ N u công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân ' nhà máy B ñình công là ( ) , ( | ) = = = , ( ) , 1.34.
M t nhân viên ki m toán nh n th y 15% các b n cân ñ i thu chi ch a các
sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% ñư c xem là các giá tr b t thư ng so
v i các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân ñ i thu chi thì 20% là nh ng
giá tr b t thư ng. N u m t con s ' m t b ng cân ñ i t ra b t thư ng thì xác su t
ñ s y là m t sai l m là bao nhiêu? Gi i
Đ t : “b n cân ñ i thu chi ch a sai l m” =
: “b n cân ñ i thu chi ch a giá tr b t thư ng” = ( ) =
Xác su t 1 con s ' 1 b ng cân ñ i t ra b t thư ng là 1 sai l m: ( ) ( ). ( | ) , . , ( | ) = = = = , ( ) ( ) , 1.35.
M t hãng s n xu t m t lo i t l nh X ư c tính r"ng kho ng 80% s ngư i
dùng t l nh có ñ c qu ng cáo t l nh do hãng y s n xu t. Trong s nh ng ngư i
ñ c qu ng cáo, có 30% mua lo i t l nh X; 10% không ñ c qu ng cáo cũng mua
lo i t l nh X. Tính xác su t ñ m t ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có ñ c qu ng cáo. Gi i
Đ t : “ngư i ñó ñ c qu ng cáo” =
: “ngư i ñó mua t l nh X” ( / ) = , ; ( / ) = ,
Trư c tiên tính xác su t ñ ngư i mua t l nh X ( ) = ( ) + (
) = ( ). ( / )+ ( ). ( / ) = ,
Xác su t ñ 1 ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có ñ c qu ng cáo: ( ) ( ). ( | ) , . , ( | ) = = = = ( ) ( ) , 1.36.
Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h% th ng bóng ñèn ñ c l p. H%
th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h% th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t,c là 0,1. Vi%c h ng c a
m i bóng c a m i h% th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ a/ H% th ng I b h ng; 18 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân
b/ H% th ng II không b h ng. Gi i
a/ Đ t :”bóng ñèn th trong h% th ng I bi h ng” ∈ { }. Xác su t h% th ng I b h ng = + + + = − ( ) = − = b/ Đ t
:”bóng ñèn th trong h% th ng II bi h ng” ∈ { }.
Xác su t h% th ng II không b h ng + + = − = − = 1.37.
Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h% th ng bóng ñèn ñ c l p. H%
th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h% th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t,c là 0,1. Vi%c h ng c a
m i bóng c a m i h% th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ a/ C hai h% th ng b h ng;
b/ Ch có m t h% th ng b h ng. Gi i
a/ Đ t : “bóng ñèn th trong h% th ng I bi h ng” ∈ { }. và
:”bóng ñèn th trong h% th ng II bi h ng” ∈ { }. Xác su t h% th ng I b h ng = + + + = − ( ) = − =
Xác su t h% th ng II b h ng là: ( ) = =
Nên, xác su t c hai h% th ng b h ng là = = =
b/ Xác su t ch có m t h% th ng b h ng + = + = 1.38.
M t lô hàng g m r t nhi u bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn x u. M t
ngư i ñ n mua hàng v i qui ñ nh: Ch n ng u nhiên 10 bóng ñèn ñem ki m tra và
n u có nhi u hơn m t bóng ñèn x u thì không nh n lô hàng. Tính xác su t ñ lô hàng ñư c ch p nh n. Gi i
Vi%c ki m tra 10 bóng ñèn, nghĩa là th c hi%n 10 phép th# Bernoulli, v i
xác su t “thành công” g p bóng x u = (không ñ$i). Khi ñó ( ; , ) , . , − = , = , , ,...,
( :s l n thành công trong 10 phép th#) Đ t : “nh n lô hàng” 19 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ( ) = ( ) + ( ) = ( ) − ( ) = 1.39.
M t nhóm nghiên c u ñang nghiên c u v nguy cơ m t s c t i m t nhà
máy ñi%n nguyên t# s+ gây ra s rò r phóng x . Nhóm nghiên c u nh n th y các
lo i s c ch có th là: ho ho n, s gãy ñ$ c a v t li%u ho c sai l m c a con
ngư i, và 2 hay nhi u hơn 2 s c không bao gi cùng x y ra.
N u có h a ho n thì s rò r phóng x x y ra kho ng 20% s l n. N u có s
gãy ñ$ c a v t li%u thì s rò r phóng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u có s
sai l m c a con ngư i thì s rò r s+ x y ra kho ng 10% s l n. Nhóm nghiên c u
cũng tìm ñư c xác su t ñ : Ho ho n và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0010,
gãy ñ$ v t li%u và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ngư i
và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t ñ
a/ có ho ho n; có gãy ñ$ v t li%u và có sai l m c a con ngư i; b/ có m t s rò r phóng x ;
c/ m t s rò r phóng x ñư c gây ra b'i s sai l m c a con ngư i. Gi i
Đ t : “x y ra h a ho n” : “x y ra gãy ñ$”
: “x y ra sai l m c a con ngư i” : “s rò r phóng x ” Ta có ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = a/ Xác su t có ho ho n là ( ) ( ) = = , ( | )
Xác su t có gãy ñ$ v t li%u là ( ) ( ) = = , ( | )
và xác su t sai l m c a con ngư i ( ) ( ) = = , ( | )
b/ Xác su t có s rò r phóng x x y ra: ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = , + , + , = ,
c/ Xác su t m t s rò r phóng x ñư c gây ra b'i s sai l m c a con ngư i là ( ) = = = ( ) 1.40. 20