Bài tập Nhân đa thức với đa thức nâng cao
A. Lý thuyết nhân đa thức với đa thức
1. Tính chất liên hợp giữa phép cộng và phép nhân
+ Trong chương trình Toán học ở các lớp dưới, các bạn học sinh đã được học về tính
chất liên hợp giữa phép cộng với phép nhân. Đó là: A.(B + C) = A.B + A.C
Mở rộng: (A + B).(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
+ Nhân đa thức với đa thức ta cũng sẽ sử dụng tính chất mở rộng trên
2. Quy tắc nhân một đa thức với đa thức
+ Muốn nhân một đa thức với một đa thưc, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau
3. Ví dụ minh họa nhân đơn thức với đa thức
Ví dụ: Làm tính nhân: (x+3)(x2−4x+7) Lời giải: Ta có:
(x+3)(x2−4x+7)=x(x2−4x+7)+3(x2−4x+7)=x3−4x2+7x+3x2−12x+21=x3−x2−5x+21
4. Các dạng toán thường gặp
+ Dạng 1: Làm tính nhân đa thức với đa thức
Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức
+ Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại một điểm cho trước
Phương pháp: Thay giá trị x0 vào biểu thức f(x) + Dạng 3: Tìm x
Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để biến đổi biểu thức rồi đưa về
các dạng tìm x cơ bản để tìm giá trị của x
B. Bài tập nâng cao nhân đa thức với đa thức
Bài 1: Thực hiện phép tính: a,
(x−a)(x−b)(x+c)với a, b, c là các tham số b, (x+y)(x4−x3y+x2y2−xy3+y4) c,
(a+1)(a6−a5+a4−a3+a2−a+1)
Bài 2: Tìm x, biết: a,
(2x+7)(5x+6)−(x+1)(10x+17)=(x+2)−(x−7) b,
4(x+5)(2x−3)−8(x−1)(x+4)=0 c, (x+3)(x−7)+(5−x)(x+4)=10 Bài 3: Cho
a2+b2+c2=0. Chứng minh rằng A = B = C với A=a2(a2+b2)(a2+c2) B=b2(b2+c2)(b2+a2) C=c2(c2+a2)(c2+b2)
Bài 4: Cho a + b + c = 2; ab + bc + ca = -5 và abc = 3. Hãy tính giá trị cửa biểu thức: M=(x2+a)(x2+b)(x2+c) với |x|=1 Bài 5: Tìm các hệ số a, b, c thỏa mãn
(ax+b)(x2−2cx+abc)=x3−4x2+3x+95 với mọi x
Bài 6: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:
C. Lời giải bài tập nâng cao nhân đa thức với đa thức Bài 1: a,
(x−a)(x−b)(x+c)=(x2−bx−ac+ab)(x+c)=x3−bcx−ac2+abx+cx2−cbx−ac2+abc=x3+cx2−2b cx+abx−2ac2+abc b,
(x+y)(x4−x3y+x2y2−xy3+y4)=(x+y)[x3(x−y)+xy2(x−y)+y4]=x3(x+y)(x−y)+xy2(x+y)(x−y)+
y4(x+4)=x3(x2−y2)+xy2(x2−y2)+y4(x+4)=x5−x3y2+x3y2−xy4+xy4+4y4=x5+4y4 c,
(a+1)(a6−a5+a4−a3+a2−a+1)=(a+1)[a5(a−1)+a3(a−1)+a(a−1)+1]=a5(a+1)(a−1)+a3(a+
1)(a−1)+a(a+1)(a−1)+a+1=a5(a2−1)+a3(a2−1)+a(a2−1)+a+1=a7−a5+a5−a3+a3−a+a+1 =a7+1 Bài 2: a,
(2x+7)(5x+6)−(x+1)(10x+17)=(x+2)−(x−7)⇔10x2+12x+35x+42−(10x2+17x+10x+17)=x+
2−x+7⇔10x2+12x+35x+42−10x2−17x−10x−17=9⇔20x=−16 ⇔x=−45 Vậy S={−45} b,
4(x+5)(2x−3)−8(x−1)(x+4)=0⇔(4x+10)(2x−3)−(8x−8)(x+4)=0⇔8x2−12x+20x−30−(8x2+
32x−8x−32)=0⇔8x2−12x+20x−30−8x2−32x+8x+32=0⇔−16x=−2 ⇔x=18 Vậy S={18} c,
(x+3)(x−7)+(5−x)(x+4)=10⇔x2−7x+3x−21+(5x+20−x2−4x)=10⇔x2−4x−21+x+20−x2=1 0⇔−3x=11 ⇔x=−113 Vậy S={−113} Bài 3:
A=a2(a2+b2)(a2+c2)=(a4+a2b2)(a2+c2)=a6+a4c2+a4b2+a2b2c2=a4(a2+c2+b2)+a2b2 c2=a2b2c2(1)
B=b2(b2+c2)(b2+a2)=(b4+b2c2)(b2+a2)=b6+a2b4+b4c2+a2b2c2=b4(b2+a2+c2)+a2b2 c2=a2b2c2(2)
C=c2(c2+a2)(c2+b2)=(c4+a2c2)(c2+b2)=c6+c4b2+a2c4+a2b2c2=c4(a2+b2+c2)+a2b2c 2=a2b2c2(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra A = B = C Bài 4:
M=(x2+a)(x2+b)(x2+c)=(x4+bx2+ax2+ab)(x2+c)=x6+cx4+bx4+bcx2+ax4+acx2+abx2+a
bc=(x2)3+(a+b+c)x4+(ab+bc+ca)x2+abc Có |x|=1⇒(x2)3=1
Vậy M = 1 + 1.2 + 1. (-5) + 3 = 1 Bài 5:
(ax+b)(x2−2cx+abc)=ax3−2acx2+a2bcx−2bcx+ab2c=ax3+(a2bc−2ac)x2−2bcx+ab2c Để
(ax+b)(x2−2cx+abc)=x3−4x2+3x+95
⇔{a=1a2bc−2ac=−4−2bc=3ab2c=95⇔{a=1b=−65c=54 Bài 6. Ta có:
T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1
= 2x.(2x + 3) – 3.(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1
= 4x2 + 6x – 6x – 9 – 3x - 4x2 + 3x + 1
= (4x2−4x2) + (6x – 6x – 3x + 3x) + (1 – 9) = -8
Vậy giá trị của biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị của biến x