Bài Tập Nhóm Lần 2: Tối Ưu Hóa Lợi Nhuận AC 2Q2 12Q 280 Q 0 Môn Toán kinh tế |Trường Đại học Kinh Tế - Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Bài V.7:
AC = 2Q2 – 12Q + 280 + 1500Q-1; Q > 0 P = 2800 – 15Q; Q = Qd
a. Xác định doanh thu và lợi nhuận
- Chi phí: C = Q.AC = Q.(2Q2 – 12Q + 280 + 1500Q-1) = 2Q3 – 12Q2 +280Q + 1500
- Doanh thu: R = P.Q = (2800 – 15Q).Q = 2800Q – 15Q2
- Lợi nhuận: π = R – C = 2800Q – 15Q2 – (2Q3 – 12Q2 +280Q + 1500) = –2Q3 – 3Q2 + 2520Q – 1500; Q > 0
b. Tìm mức sản lượng tối ưu hóa lợi nhuận và xác định giá tương ứng - Tìm Q để πmax
Ta có M π = π' = –6Q2 – 6Q + 2520
π'' = –12Q – 6 = –6(2Q + 1) < 0; ∀Q > 0
M π = 0 ⇔ –6Q2 – 6Q + 2520 = 0 ⇔ Q = 20 (nhận) hoặc Q = –21 (loại) - Tại Q = 20, ta có:
P = 2800 – 15.20 = 2500 (USD)
π(20) = –2.203 – 3.202 + 2520.20 – 1500 = 31700 (USD)
- Vì π''(Q) < 0 trên khoảng (0,+∞) nên π đạt cực đại tài Q = 20 với πmax = 31700.
Hơn nữa, Q = 20 còn là cực đại toàn cục của π trên khoảng (0,+∞). Nghĩa là giá trị
cực đại πmax = 31700 cũng là lợi nhuận lớn nhất.
- Vậy: Với sản lượng cầu Q = 20, giá tương đương P = 2500 USD thì lợi nhuận lớn nhất πmax = 31700 USD. Bài V.12 AC = 0,2Q + 28 + 200Q-1 P = 600 – 2Q
a. Tìm sản lượng để tối ưu hóa lợi nhuận (trước thuế). Tìm giá và lợi nhuận lúc đó.
- Chi phí: C = Q.AC = Q.(0,2Q + 28 + 200Q-1) = 0,2Q2 +28Q + 200
- Doanh thu: R = P.Q = (600 – 2Q).Q = 600Q – 2Q2
- Lợi nhuận: π = R – C = 600Q – 2Q2 – (0,2Q2 +28Q + 200) = – 2,2Q2 + 572Q – 200 - Tìm Q để πmax
Ta có M π = π' = –4,4Q + 572
M π = 0 ⇔ – 4,4Q + 572 = 0 ⇔ Q = 130 - Tại Q = 130, ta có: P = 600 – 2.130 = 340 (USD)
π(130) = – 2,2.1302 + 572.130 – 200 = 36980 (USD)
- Vậy: Trước thuế, với sản lượng cầu Q = 130, giá tương đương P = 340 USD thì lợi
nhuận lớn nhất πmax = 36980 USD.
b. Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm = 22 USD. Tìm sản lượng để tối
ưu hóa lợi nhuận sau thuế và xác định mức giá và lợi nhuận (sau thuế) lúc đó.
- Gọi mức thuế trên 1 đơn vị sản phẩm là T, với T = 22 (USD)
- Lợi nhuận sau thuế:πst = π – T.Q = – 2,2Q2 + 572Q – 200 – 22Q = – 2,2Q2 + 550Q – 200 - Tìm Q để πst max Ta có M πst = s π 't = –4,4Q + 550
M πst= 0 ⇔ – 4,4Q + 550 = 0 ⇔ Q = 125 - Tại Q = 125, ta có: P = 600 – 2.125 = 350 (USD)
πst(125) = – 2,2.1252 + 550.125 – 200 = 34175 (USD)
- Vậy: Sau thuế, với sản lượng cầu Q = 125, giá tương đương P = 350 USD thì lợi
nhuận sau thuế lớn nhất πstmax = 34175 USD.
Bài tập bổ sung Chương V:
Gọi hàm cầu: Q(P) = a – bP (với a, b là các hằng số) - Ta có: P = 400, Q = 30
P giảm 15, Q tăng 2 ⇒ P = 385, Q = 32a=250 a−385 b=32 ⇒ Hệ phương trình: b= 2 3 15
{a−400b=30⇔{ 315 ⇒Q(P)=250− 2 P
- Ta có: π = TR – TC = P.Q – 205.Q = P.( 250− 2 P) – 205.( 250− 2 P) 3 15 3 15 = −2 P2+332 P−51250 15 3 3 - Ta có: π'(P) = −4 P+ 332 15 3
π'( P) = 0 ⇔ −4 P+ 332=0 ⇔ P = 415 15 3 - Với P = 415: 2 • Q(415) = 250 − .415=28 3 15
• π( 415) = −2 .(415)2+ 332 .415−51250 = 5880 15 3 3 - Vì π''(P) = −4
15 < 0 trên khoảng (0,+∞) nên π đạt cực đại tại P = 415 với πmax = 5880.
- Vậy: Với giá P = $415, sản lượng tương đương Q = 28 thì lợi nhuận lớn nhất πmax = $5880.