Toán Cao Cấp: Phân Tích Doanh Thu và Lợi Nhuận trong Sản Xuất Môn Toán kinh tế |Trường Đại học Kinh Tế - Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

V7
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ độc quyền một loại sản phẩm có
hàm cầu cho bởi P = 2800 – 15Q ( đơn vị tính USD) với Q = Qd là lượng hàm cầu
( tính bằng số lượng sản phẩm). Cho biết chi phí bình quân là
AC = 2Q2 – 12Q + 280 + 1500Q-1; Q > 0
a) Xác định doanh thu và lợi nhuận
b) Tìm mức sản lượng tối ưu hóa lợi nhuận và xác định giá tương ứng
a) Xem giá P là hàm của sản lượng Q ta có: P = 2800 – 15Q; Q > 0
Chi phí là C = Q.AC = Q.( 2Q2 – 12Q + 280 + 1500Q-1) = 2Q3 – 12Q2 + 280Q + 1500.
Doanh thu R = PQ = (2800 – 15Q)Q = 2800Q – 15Q2
Lợi nhuận π = R – C = ( 2800Q – 15Q2) – ( 2Q3 – 12Q2 + 280Q + 1500) = -2Q3 – 3Q2 + 2520Q - 1500
b) Ta cần tim mức sản lượng để tối ưu hóa lợi nhuận tức là tim Q để π lớn nhất.
Ta có Mπ = π' = - 6Q2 – 6Q + 2520 = - 6(Q2 + Q - 420).
π' ' = -12Q – 6 = - 6(2Q +1) < 0; ∀ Q > 0.
Mπ = 0 ⟺ - 6Q2 – 6Q + 2520 = 0
⟺[Q = 20 ( nhận ) hoặc Q = - 21( loại)]. Tại Q = 20 ta có: P = 2800 – 15 x 20 = 2500
π(20) =-2 x 203 – 3 x 202 + 48900 = 31700
Vì π” (Q) < 0 trên khoảng (0, +∞) nên n đạt cực đại tại Q = 20 với Amax = 31700.
Hơn nữa, Q = 20 còn là điểm cực đại toàn cục của n trên khoảng (0, +∞). Nghĩa là
giá trị cực đại Nmax = 31700 cũng là lợi nhuận lớn nhất. Kết luận: Với sản lượng cầu
Q = 20, giá tương ứng P = 2500 (USD) thì lợi nhuận lớn nhất max = 31700 (USD) VI.15
Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x(x ≥ 0, y≥0) trên hai loại hàng
hóa X, Y( x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng). Đơn giá của từng loại hàng là p₁
= 4 USD, p2 = 9USD. Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định
U0= 10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng.
Gọi x,y lần lượt là lượng hàng hóa X , Y mà người đó cần mua để tối đa hóa lợi ích.
Khi đó chi phí cần dùng là m = 4x+9y = 10800
Vấn đề kinh tế đặt ra là xác định x, y ( không âm) để tối đa hóa lợi ích .
Ta đưa về bài toán cực trị điều kiện sau: Tìm cực đại của
U = 12xy + 8x ; x ≥ 0, y ≥ 0, với điều kiện 4x + 9y = 10800.
Ta có 4x + 9y = 10800 ⟺ 4x + 9y – 10800 = 0. Do đó, hàm điều kiện là φ = φ (x,y) = 4x + 9y – 10800
Rõ ràng U, φ đều khả vì liên tục đến cấp 2 trên miền phẳng xác định bởi x ≥ 0, y ≥
0 nên ta có thể dùng phương pháp nhân tử Lagrange. Ta lập hàm Lagrange
L=L(x,y) = U + φλ = 12xy +8x + λ(4x + 9y – 10800); x ≥0, y ≥0
Các đạo hàm riêng cấp 1,2 của L và đạo hàm riêng cấp 1 của φ như sau
L’x = 12y + 8 + 4 λ, L’y = 12x + 9 λ; x ≥ 0, y ≥ 0.
L’ xx = 0, L’ yy = 0 , L’ xy = 0; x ≥0, y ≥0.
φ'x = 4, φ'y = 9 ; x ≥ 0, y ≥ 0.
Ta tìm điểm dừng và nhân tử Lagrange x= 5 403 L’ x =0 12 y +8+ 4 λ=0 4 L' y=0 { = φ ( x, y)=0 {⟺ 12x+9λ=0 17 99
4 x+9 y=10800 ⟺{y 3 λ=−1801
Ta được điểm dừng duy nhất M(5403, 1799) ứng với nhân tử λ = -1801. Lúc đó, 4 3 Hessian như sau
L’’ xx L’’ xy φ' x 0 0 4 H = φ' x φ' y 0 4 9 0
[L’’xy L’’yy φ'y]=[0 0 9]=0=0
Do đó M(5403, 1799 ) là điểm cực đại của U trong điều kiện lợi ích cố định U0= 4 3 10800 với Umax = 9730803
Kết luận vấn đề kinh tế: để chi phí tối ưu, lượng cầu Hick tương ứng là ^x = = 1799
3 tối đa hoá lợi ích Umax = 9730803
Document Outline

• V7
• VI.15