8 trang 4 lượt tải

Bài tập ôn tập Chương 1 | Phương trình vi phân đạo hàm riêng | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

8

Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF với mục đích hỗ trợ học tập và tham khảo. Nội dung tài liệu được trình bày rõ ràng, dễ tiếp cận, phù hợp cho việc ôn tập và củng cố kiến thức trong quá trình học đại học. Đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn sinh viên chuẩn bị tốt hơn cho các buổi học, đồng thời mở rộng thêm hiểu biết về môn học. Hy vọng tài liệu này sẽ mang lại nhiều giá trị và hỗ trợ các bạn trong hành trình học tập. Mời bạn đọc cùng tham khảo!

Môn: Phương trình vi phân đạo hàm riêng 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 tuần trước
Tải xuống Chia sẻ Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/8
1
Bài tập 1: Giải các phương trình vi phân sau:
a)
2
2
2
2
y xy x
= + +
b)
2 3
2y xy y y
= +
c)
( )
2
1y x y y
= + +
d)
2
2
y y x
= + −
e)
( )
3
2
4 8 0y xyy y
− + =
f)
( )
2 2
2 2 0y y x y x
+ + + =
g)
( )
2 2
0ydx x x y dy+ + =
h)
x y
y
x y
− +
=
+ +
Bài tập 2: Dạng không thuần nhất, không đưa được về Giải các phương trình vi phân sau:
phương trình vi phân cấp 1
a)
3 2
( ) 4 8 0y xyy y
− + =
b)
2 3
2y xy y y
= +
c)
2
2
2
2
y
y xy x
= + +
d)
2
1y
x
y y
= +
e)
( )
2
1y x y y
= + +
f)
2
2
2
2
y
y xy x
= + +
g)
'2 '2
y xy y= +
h)
2
y y x
= + −
i)
2
2y xy
y
= +
j)
'2
y y x
= + −
k)
2 3
2y xy y y
= +
Bài tập 3: Dạng thuần nhất, BernoilliGiải các phương trình vi phân sau:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG
01
Chương
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
A
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48
2
a)
2
2
cos sin 2
x
y
x y y
=
+
b)
2 2 3
1, 0x y y xy x
+ =
c)
2
2 lnxy y x y y y
+ =
d)
( )
2 2
2 2 0,y y x y x
+ + + =
Bài tập 4: Phương pháp thừa số tích phân.Giải các phương trình vi phân sau:
a) Tìm thừa số tích phân rồ phương trình i gi i ả
( ) ( )
2 2
3 2 3 0y x dx y y x dy− + − =
b) Tìm thừa số tích phân rồ ải phương tr i gi ình
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 0y x xy dx y x xy dy− + + − − =
c) Tìm thừa số tích phân rồ ải phương trình i gi
2
ln 0xdy ydx xy xdx+ − =
d) Tìm thừa số tích phân rồ ải phương trình i gi
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 0y x xy dy y x xy dx− − + − + =
e) Tìm thừa số tích phân rồ ải phương trình i gi
( )xy
=
rồi gi i ả
2
( tan ) 0y dx xy xy dxy+ + =
f) Tìm thừa số tích phân rồ ải phương trình i gi
( )
3 2 2
2 0 ( 0)y dx x xy dxy y+ − =
g) Tìm thừa số tích phân rồ ải phương trình i gi
( )
2
2 0x y x dx dy− + − =
Bài tập 5: Phương pháp thừa số tích phânGiải các phương trình vi phân sau:
a)
( )
3 2 2
2 0( 0)y dx x xy dy y+ − =
b)
( )
2
3lnx y ydx xdy+ =
c)
2
( tan ) 0y dx xy xy dy+ + =
d)
2
( ) 1xdx xdy ydx x= + +
e)
2
ln 0xdy ydx xy xdx+ − =
f)
( )
2
2 0x y x dx dy− + − =
Bài tập 6: Phương pháp thừa số tích phân. Giải các phương trình vi phân sau:
a) Tìm thừa số tích phân rồ ải phương trình i gi
( )
2
3lnx y ydx xdy+ =
b) Tìm thừa số tích phân dạng
( )
2
x y
=
rồi giải phương trình
( )
3 2 2
2 0 ( 0)y dx x xy dy y+ − =
c)
( )
2
2 0x y x dx dy− + − =
Bài tập 1: Trong file ôn tậGiải các phương trình vi phân sau: ( p)
a)
1
( 1) ( 2)x x y x y y x
x
+ + + − = +
b)
( )
2 2
1 2 2 1x y xy y x
− + − = −
c)
3
(2 1) (4 2) 8 2 (2 1)
x
x y x y y e x
+ + − − = +
d)
( )
2 2
1 2 2 4 2x y xy y x
+ + − = +
e)
2
xy y x
− =
f)
2
1 1
2sin(ln )y y y x
x x
+ + =
g)
4 3
1
2 4x y x y y
x
+ − =
h)
2 3 1
x
y y y e x
−
+ + = +
i)
2
(2 1) 4(2 1) 8 8 4x y x y y x
+ − + + = − −
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
B
3
Bài tập 2: Giải các phương trình vi phân sau:117 (Phương trình vi phân cấp hai không thuần
nhất)
a)
2
3xyy xy yy
+ =
. b)
( )
y
xy y e
= −
. c)
2
yy y x
+ =
d)
( )
2
2
0x yy xy y
− − =
Bài tập 3: Giải các phương trình vi phân sau: (Phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất)
a)
1
2
1 1
(1 ln ) 0, ( ) lnx y y y y x x
x x
− + − = =
b)
1
( 1) ( 2)x x y x y y x
x
+ + + − = +
. Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng
dạng đa thức.
c)
( )
2 2
1 2 2 1x y xy y x
− + − = −
. Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng
đa thức.
d)
3
(2 1) (4 2) 8 2 (2 1)
x
x y x y y e x
+ + − − = +
. Biết phương trình thuần nhất có nghiệm tương ứng là
2
1
( ) .
x
y x e
−
=
e)
( )
2 2
1 2 2 4 2x y xy y x
+ + − = +
. Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng
dạng đa thức.
f)
2 2
4 lnx y xy y x x
+ − =
Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa
thức.
g)
( )
2 2
1 2 2 1x y xy y x
− + − = −
. Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng
đa thức.
h)
2 3 4
x
y y y e
−
+ − =
i)
2 3 1
x
y y y e x
−
+ + = +
j)
4 3
1
2 4x y x y y
x
+ − =
k)
x
x
e
y y
e
− =
+
l)
2
5 6
1
x
y y y
e
+ + = −
+
Dạng 1: Phương trình thuần nhất ( Phương pháp tách biến Fourier).
Bài Toán tìm hàm phân bố nhiệt
( , )u u x t=
trên thanh có độ dài
l
biết nhiệt độ tại
t =
0 là
( )x
,
thanh có nhiệt độ tại hai đầu bằng 0 .
( , )u x t
là nghiệm phương trình:
2
2
2
, 0 , 0
u u
a x l t
t x
=
thoả điều kiện đầu
( ,0) ( ),0 (2)u x x x l
=
.
thoả điều kiện biên
(0, ) ( , ) 0, 0u t u l t t= =
(3).
với
a =
const,
0, ( )l x
lên tục,
1
C
từng khúc trên
[0, )l
.
Phương trình đạo hàm riêng
B
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48
4
2 2 2
2
0
1
( , ) sin , ( )sin ,
n a t
l
l
n n
n
n x n x
u x t a e a x dx n
l l l
−
=
= =
Bài 1. Giải phương trình
2
2
, 0 1, 0
u u
x t
t x
=
thoả điều kiện đầu
( ,0) (1 ),0 1u x x x x= −
thoả điều kiện biên
(0, ) (1, ) 0u t u t= =
.
Bài 2. Giải phương trình
2
2
4 ,0 2, 0
u u
x t
t x
=
thỏa điều kiện đầu
( ,0) (2 ),0 2,u x x x x= −
thỏa điều kiện biên
(0, ) (2, ) 0, 0u t u t t= =
Dạng 2: Phương trình không thuần nhất ( Bài toán biên thứ nhất cho phương trình
truyền nhiệt).
2
2
2
( , ),(1)
u u
a f x t
t x
= +
thoả điều kiện đầu
( ,0) ( ),0u x x x l
=
thoả điều kiện biên
(0, ) ( , ) 0u t u l t= =
.
( , )f x t
liên tục,
f
x
liên tục từng khúc,
( )x
liên tục
và
1
C
từng khúc trên
[0, )l
.
Bài 1. ải bài toánGi
2
3
2
4 sin ,0 , 0
t
u u
e x x t
t x
−
= +
thỏa điều kiện đầu
( ,0) sin ,0u x x x
=
thỏa điều kiện biên
(0, ) ( , ) 0u t u t
= =
Bài 2.
2
2
4 sin ,0 , 0
t
u u
e x x t
t x
−
= +
thoả điều kiện đầu
( ,0) sin3 ,0u x x x
=
,thoả điều
kiện biên
(0, ) ( , ) 0u t u t
= =
.
Bài 3.
2
3
2
4 sin ,0 , 0
t
u u
e x x t
t x
−
= +
, thỏ ều kiện đầu a đi
( ,0) sin ,0u x x x
=
, thỏ ều a đi
kiện biên
(0, ) ( , ) 0u t u t
= =
.
Dạng 3: Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt.
Xét bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, tức là tìm hàm
( , )u u x t=
liên tục và bị
chặn sao cho
2
2
2
, , 0.
u u
a x t
t x
= −
thỏa điều kiện đầu
( ,0) ( ),u x x x
= −
Nghiệm của phương trình trên có dạng:
2
2
( )
4
( , ) ( ) .
x
a t
u x t e d
a t
−
−
−
=
Trước khi đi vào giải bài tập, ta có một số lưu ý nhỏ như sau:
5
1.
2
1
1e d
−
−
=
(công thức tích phân Poisson).
2.
2
( ) 0f e d
−
−
=
nếu
f
là hàm lẻ.
3.
2
2
4
( ) cos( )
s
I s e s d e
−
−
−
= =
.
Nhận xét: Đối với bài toán mở rộng là tìm hàm
( , )u x t
thoả mãn
2
2
2
( , ), , 0
u u
a f x t x t
t x
= + −
thoả điều kiện đầu
( ,0) ( )u x x
=
.
Cách giải của chúng ta là đặt
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t g x t= +
để đưa về dạng cơ bản. Ở đây, ta nêu ra
cách tìm hàm
( , )g x t
cho một số trường hợp đặc biệt:
1. Nếu
( , )f x t
chỉ chứa biến
t
thì ta chọn
( , )g x t
là nguyên hàm một lần của
( , )f x t
theo biến
t
.
2. Nếu
( , )f x t
chỉ chứa biến
x
thì ta chọn
( , )g x t
là nguyên hàm hai lần của
( , )f x t
theo biến
x
.
3. Nếu
( , ) cos
t
f x t e x
−
=
thì ta chọn
( , ) cos
t
g x t te x
−
=
.
4. Nếu
( , ) sin
t
f x t e x=
thì ta chọn
( , ) sin
2
t
g x t e x=
.
Bài 1. Giải các bài toán Cauchy sau:
a)
2
2
9 , 0, , ( ,0) cos4 sin2
u u
t x u x x x
t x
= − + =
b)
2
2
4 2
2
4 , 0, , ( ,0)
x x
u u
t x u x e
t x
− +
= − + =
c)
2
2
2 3
2
9 , 0, , ( ,0)
x x
u u
t x u x e
t x
− + +
= − + =
d)
2
2
4 , 0,
u u
t x
t x
= − +
,
2
( ,0) sin
x
u x e x
−
=
e)
2
2
2 2
2
9 , 0, , ( ,0)
x x
u u
t x u x e
t x
− + +
= − + =
f)
2
2
4 , 0, , ( ,0) 2
t
u u
t e t x u x
t x
= + + − + =
g)
2
2
2
3 , 0, , ( ,0) sin
u u
t t x u x x
t x
= + − + =
h)
2
2
cos , 0, , ( ,0) cos
t
u u
e x t x u x x
t x
−
= + − + =
i)
2
2
2
sin , 0, , ( ,0)
x
u u
t t x u x e
t x
−
= + − + =
j)
2
2
2
, 0, , ( ,0)
x
u u
t x u x xe
t x
−
= − + =
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48
6
k)
2
2
4 4
2
4 , 0, ( ,0)
, ,
x x
u u
t x u x e x
t x
− +
= − + = +
Dạng 4: Bài toán hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt
Xét bài toán hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt, tức là tìm hàm
( , )u u x t=
liên tục và bị
chặn sao cho:
2
2
2
. ( , )
u u u
a b f x t
t x x
= + +
thỏa điều kiện đầu:
( ,0) ( )u x x
=
Căn cứ vào điều kiện biên ta chia bài toán thành 4 dạng sau:
1.
1
(0, ) ( )u t t
=
và
2
( , ) ( )u l t t
=
2.
1
(0, ) ( )
u
t t
=
và
2
( , ) ( )
u
l t t
=
3.
1
(0, ) ( )
u
t t
=
và
2
( , ) ( )u l t t
=
4.
1
)(0, ()u tt
=
và
2
( , ) ( )
u
l t t
=
.
Phương pháp giải bài toán h n h p ỗ ợ
Bước 1: Đưa điều kiện biên các dạng 1,2,3,4 về dạng thuần nhất
1 2
( ) ( ) 0t t
= =
bằng phương
pháp sau t : Đặ
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t g x t= +
trong đó
( , )g x t
ta tìm b ng cách sau: ằ
1.
1
(0, ) ( )u t t
=
và
2
( , ) ( )u l t t
=
( )
1 2 1
( , ) ( ) ) ( )(
x
g x t t t
l
t
→ = + −
2.
1
(0, ) ( )
u
t t
x
=
và
2
( , ) ( )
u
l t t
x
=
( )
2
1 2 1
) () )( , ( ( )
x
g x t x t t
l
t
→ = + −
3.
1
(0, ) ( )
u
t t
x
=
và
2
( , ) ( )u l t t
=
1 2
( , ) ( ) ( ) ( )g x t x l t t
→ = − +
4.
1
)(0, ()u tt
=
và
2
( , ) ( )
u
l t t
=
.
1 2
( , ) ( ) ( )g x t t x t
→ = +
Khử
u
x
nếu có.
Ta đặt
( , ) . ( , )
x t
v x t e h x t
+
=
, thế vào phương trình chọn
,
thích hợp
7
Bước 2. Sau khi đưa điều kiện biên về dạng thuần nhất và khử
u
x
ta tìm nghiệm của bài toán ở
dạng tương ứng như sau:
Dạng (1):
0
( , ) ( ) sin
n
n
n x
u x t T t
l
=
=
Dạng (2):
0
( , ) ( ) cos
n
n
n x
u x t T t
l
=
=
Dạng (3):
2 1
0
(2 1)
( , ) ( ) cos
2
n
n
n x
u x t T t
l
+
=
+
=
Dạng (4):
2 1
0
(2 1)
( , ) ( ) sin
2
n
n
n x
u x t T t
l
+
=
+
=
Bước 3 Lần lượt thế nghiệm (ở bước 2 ) vào điều kiện biên, điều kiện đầu và phương trình
chính để tìm các hàm
( )
n
T t
(hoặc
2 1
( )
n
T t
+
), từ đó thu được nghiệm của bài toán.
- Đặc biệt: Muốn đưa một hàm
( )f x
nào đó về dạng khai triển theo chuổi sin hoặc chuổi
cos
,
ta có hai công thức sau
- Đưa về chuổi theo (với bán kính tuần hoàn sin
l
):
0
( ) sin ,
n
n
n x
f x a
l
=
=
với
0
2
( ) sin ; 0,1,2,
l
n
n x
a f x n
l l
= =
- Đưa về chuổi theo cos (với bán kính tuần hoàn
l
):
0
1
( ) cos ,
2
n
n
a n x
f x a
l
=
= +
với
0
2
( ) cos ; 0,1,2,
l
n
n x
a f x n
l l
= =
Bài 1 Trong File ôn tập.
a)
2
2
2
6 (1 6 ) 2( 3 ) cos2
u u
u x t t x x
t x
= + + − − + +
d)
2
2
6 2 (1 3 ) 6 2cos cos2
u u
u t t x x x
t x
= + + − − +
(0, ) 1, ( , ) 2 1, 0
u u
t t t x
x x
= = +
2
(0, ) 1, , , 0
2 2 2
u
t u t t x
x
= = +
( ,0)u x x=
( ,0)u x x=
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48
8
b)
2
2
(2 ) 2cos
u u
u xt t t
t x
− − = − +
e)
2 2
2 2
3
3 (4 ) cos
2
u u u x
u x t
t t x
− = + − + +
2
(0, ) ( , )
u u
t t t
x x
= =
,
0 x
(0, ) 1, ( , ) ( 1), 0
u
t t u t t x
x
= + = +
( ,0) cos2u x x=
( ,0) ( ,0)
u
x u x x
t
= =
2 2
2 2 2
2 2
c) 2 sin f) 4 2 4 2cos
(0, ) 1 , ( , ) 1 , 0 (0, ) 0, ( , ) 2 , 0
( ,0) 1 sin 2 ( ,0) 0
x
x
u u u u u
u e x t u x t x t x
t x x t x
u u
u t t u t t x t t t x
x x
u x e x u x
− + − = − − − = − − +
= + = + = =
= + =
Bài 2 Trong các đề thi các năm.
a)
2
2
2
(2 ) 2cos ,0 , 0
(0, ) ( , ) , ( ,0) cos2
u u
u xt t t x t
t x
u u
t t t u x x
x x
− − = − +
= = =
b)
2
2
2
6 2 (1 3 ) 6 2cos cos2 ,0
2
(0, ) 1, , , ( ,0) .
2 2
u u
u t t x x x x
t x
u
t u t t u x x
x
= + + − − +
= = + =
c)
2
2
2 sin ,0
( , ) 1 , (0, ) 1 , ( ,0) 1 sin 2
x
x
u u u
u e x t x
t x x
u t t u t t u x e x
− + − = −
= + = + = +
d)
2 2
2
9 4sin cos3 9 2, 0 , 0.
(0, ) 0, ( , ) 2 , ( ,0) 2.
t xx
x x
u u u t x x x t
u t u t u x x
− − = − −
= = = +
e)
2
2 2
2
2
9 4sin cos3 9 2, 0
(0, ) 0, ( , ) 2 , ( ,0) 2
u u
u t x x x
t x
u u
t t u x x
x x
= + + − −
= = = +

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

Chương 01
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG A
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Bài tập 1: Giải các phương trình vi phân sau: 2  y a) 2 y = 2xy + + x b)  2  3 y = 2xy + y y c) y = x( + y ) 2 1 + y 2  2 y d) y y = + − x e) (y )3  2 −4xyy +8y = 0 f) ( 2 2 y 2y x ) y + + + 2x = 0 2  x − y +1 g) ydx +( 2 2 x + x y ) dy = 0 h) y = x + y +3
Bài tập 2: Giải các phương trình vi phân sau: Dạng không thuần nhất, không đưa được về
phương trình vi phân cấp 1 a) 3  2 (y ) − 4xyy + 8y = 0 b)  2  3 y = 2xy + y y 2  y c) 2 y = 2xy + + x 2 y 1 d) x = +  2 y y  e) y = x ( + y ) 2 1 + y 2  y f) 2 y = 2xy + + x 2 g) '2 '2 y = xy + y 2 y h) y y = + − x 2  1 i) y = 2xy + 2 y '2 y j) y y = + − x 2 k)  2  3 y = 2xy + y y
Bài tập 3: Giải các phương trình vi phân sau: Dạng thuần nhất, Bernoilli 1
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48  2x a) y = 2 x  cosy + sin 2y b) 2 2  3 x y y + xy = 1, x  0 c)  2 xy y 2x y ln y y + =    d) ( 2 2 y 2y x ) y + + + 2x = 0,
Bài tập 4: Giải các phương trình vi phân sau: Phương pháp thừa số tích phân.
a) Tìm thừa số tích phân rồi giải p
hương trình ( 2y − x)dx + y ( 2 3 2 y −3x )dy = 0
b) Tìm thừa số tích phân rồi g ả i i phương trìn h ( 2 2 y − x + xy)dx + ( 2 2 2 y − x − 2xy)dy = 0
c) Tìm thừa số tích phân rồi g ả i i phương trình 2 xdy + ydx − xy ln xdx = 0
d) Tìm thừa số tích phân rồi g ả i i phương trình ( 2 2 y − x − xy)dy + ( 2 2 2 y − x + 2xy)dx = 0
e) Tìm thừa số tích phân rồi g ả
i i phương trình  = (xy) rồi giải 2 y dx + (xy + tan xy)dxy = 0
f) Tìm thừa số tích phân rồi g ả i i phương trình 3 y dx + ( 2 2 2 x − xy )dxy = 0 (y  0)
g) Tìm thừa số tích phân rồi g ả
i i phương trình ( 2x − y + 2x)dx −dy = 0
Bài tập 5: Giải các phương trình vi phân sau: Phương pháp thừa số tích phân a) 3 y dx + ( 2 2 2 x − xy )dy = 0(y  0) b) ( 2 x + 3ln y) ydx = xdy c) 2 y dx + (xy + tan xy)dy = 0 d) 2 xdx = (xdy + ) ydx 1+ x e) 2 xdy + ydx − xy ln xdx = 0
f) ( 2x − y + 2x)dx − dy = 0
Bài tập 6: Giải các phương trình vi phân sau: Phương pháp thừa số tích phân.
a) Tìm thừa số tích phân rồi g ả i i phương trình ( 2 x + 3ln y ) ydx = xdy
b) Tìm thừa số tích phân dạng  =  ( 2
x y) rồi giải phương trình 3 y dx + ( 2 2 2 x − xy )dy = 0 (y  0)
c) ( 2x − y + 2x)dx −dy = 0 B
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Bài tập 1: Giải các phương trình vi phân sau: ( Trong file ôn tập)   1
a) x(x +1)y +(x +2)y − y = x + b) ( 2 − x )   2 1 y + 2xy − 2y= 1− x x c)   x 3
(2 x +1) y +(4 x−2) y −8 y = 2e (2 x +1) d) ( 2 + x )   2 1 y + 2xy − 2y= 4x + 2 e)   2 xy  1  1 − y = x f) y + y + y = 2sin(ln x) 2 x x g) 4  3  1
x y + 2x y − 4y = h)  +2  + =3 −x y y y e x 1 + x i) 2 (2x 1) y 4(2x 1)y + − + + 8y = −8x − 4 2
Bài tập 2: Giải các phương trình vi phân sau:117 (Phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất) a)  2 xyy xy 3yy + = . b)   = ( y xy y e − ) 1 . c)  2 yy y + = x d) x yy ( xy − − y)2 2 = 0
Bài tập 3: Giải các phương trình vi phân sau: (Phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất)  1  1 a) (1− ln x) y + y − y = 0, y (x) = ln x 2 1 x x   1
b) x(x +1) y + (x +2) y − y = x + . Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng x dạng đa thức. c) ( 2 − x )   2 1
y + 2xy − 2y= 1− x . Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa thức.   x d) 3
(2 x+1) y + (4 x− 2) y − 8 y= 2e (2 x+1) . Biết phương trình thuần nhất có nghiệm tương ứng là 2 x 1 y( )x e− = . e) ( 2 + x )   2 1
y + 2xy − 2y= 4x + 2 . Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa thức. f) 2   2
x y + xy − 4y = x ln x Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa thức. g) ( 2 − x )   2 1
y + 2xy − 2y= 1− x . Biết phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa thức.   − h) + 2 − 3 = 4 x y y y e   − x i) y + 2y + y = 3e x +1 j) 4  3  1 x y + 2x y − 4y = x x  e k) y − y = x e +1  1 l) y + 5y + 6y = − 2 1 x + e B
Phương trình đạo hàm riêng
Dạng 1: Phương trình thuần nhất ( Phương pháp tách biến Fourier).
Bài Toán tìm hàm phân bố nhiệt u = u(x,t) trên thanh có độ dài l biết nhiệt độ tại t = 0 là (x) ,
thanh có nhiệt độ tại hai đầu bằng 0 . u(x,t) là nghiệm phương trình : 2 u  2  u = a , 0  x  l,t  0 2 t  x 
thoả điều kiện đầu u(x,0) = (  x),0  x  l(2) .
thoả điều kiện biên u(0,t) = u(l,t) = 0,t  0 (3).
với a = const, l  0,(x) lên tục, 1 C từng khúc trên [0,l) . 3
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48 2 2 2 n  a t  n x −  2 2 ( u ,x )t = a sin e , l n x l a =  x dx n   n n ( )sin ,  0 n=1 l l l 2 u   u
Bài 1. Giải phương trình =
, 0  x  1,t  0 thoả điều kiện đầu = −   2 u(x,0) x(1 x),0 x 1 t  x 
thoả điều kiện biên u(0,t) = u(1,t) = 0 . 2 u   u
Bài 2. Giải phương trình = 4
,0  x  2,t  0 thỏa điều kiện đầuu(x,0) = x(2 − x),0  x  2, 2 t x 
thỏa điều kiện biên u(0,t) = u(2,t) = 0,t  0
Dạng 2: Phương trình không thuần nhất ( Bài toán biên thứ nhất cho phương trình truyền nhiệt). 2 u  2  u = a + f (x,t),(1) 2 t x 
thoả điều kiện đầu u(x,0) = (  x),0  x  l f
thoả điều kiện biên u(0,t) = u(l,t) = 0 . f (x,t) liên tục,
liên tục từng khúc, (x) liên tục x và 1 C từng khúc trên [0,l) . 2 u   u Bài 1. Giải bài toán 3 = 4 − t
+ e sin ,x0 x , t  0 thỏa điều kiện đầu u(x,0) = sin x,0  x   2 t  x 
thỏa điều kiện biênu(0,t) =u(,t) =0 2 u   u Bài 2. = 4 −t + e sin ,x0  x  ,
 t  0 thoả điều kiện đầu u(x,0) = sin3x,0  x   ,thoả điều 2 t  x 
kiện biên u(0,t) =u(,t) = 0 . 2 u   u Bài 3. 3 = 4 − t + e sin ,
x 0  x  ,t  0 , thỏa điều kiện đầu u(x,0) =sin x,0  x   , thỏa điều 2 t  x 
kiện biên u(0,t) =u(,t) = 0 .
Dạng 3: Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt.
Xét bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, tức là tìm hàm u = u( , x t) liên tục và bị 2 u   u chặn sao cho 2 = a  ,−  x  ,  t  0. 2 t x 
thỏa điều kiện đầu u(x,0) = (  x), −  x   2 ( x − ) 1  −
Nghiệm của phương trình trên có dạng: 2 4 ( , ) = (  ) a t u x t  e d .   2a t −
Trước khi đi vào giải bài tập, ta có một số lưu ý nhỏ như sau: 4 1.  2 1 e− d = 
1 (công thức tích phân Poisson).  − 2.  2 f ( )e−  d =  0 nếu f là hàm lẻ . − 2 s 3. 1  2  − − 4 I (s) = e cos(s)d = e   . −
Nhận xét: Đối với bài toán mở rộng là tìm hàm u(x,t) thoả mã n 2 u  2  u = a + f ( ,x ), t −  x  ,  t  0 2 t  x 
thoả điều kiện đầu u(x,0) = (  x) .
Cách giải của chúng ta là đặt u( , x t) = v( ,
x t) + g( ,xt) để đưa về dạng cơ bản. Ở đây, ta nêu ra
cách tìm hàm g(x,t) cho một số trường hợp đặc biệt:
1. Nếu f (x,t) chỉ chứa biến t thì ta chọn g(x,t) là nguyên hàm một lần của f (x,t) theo biến t .
2. Nếu f (x,t) chỉ chứa biến x thì ta chọn g(x,t) là nguyên hàm hai lần của f (x,t) theo biến x . 3. Nếu ( , ) t f x t e− = cos x thì ta chọn ( , ) − t g x t =te cos x . 4. Nếu ( , ) t f x t 1 = e sin x thì ta chọn ( , ) t g x t = e sin x . 2
Bài 1. Giải các bài toán Cauchy sau: 2 a) u
 =9  u,t 0, −  x  + , (u ,x0) =cos4xsin2x 2 t   x 2 u   u b) 2 4 − 2 4 =
, t  0,−  x  +,u(x,0) x x = e + 2 t   x 2 c)   2 u u − + 2 + 3 =9 , t 0, −  x  + ,  ( u ,x0) x x = e 2 t   x 2 u   u d) 4 =
, t  0,−  x  + , 2 ( ,0) x u x e− = sin x 2 t   x 2 e)   2 u u − + 2 + 2 =9 , t 0, −  x  + ,  ( u ,x0) x x = e 2 t   x 2 u   u f) = 4 t
+ t + e ,t  0,−  x  +,u(x,0) = 2 2 t  x  2 g) u   u 2 =
+ 3t ,t  0,−  x  +,u(x,0)= sin x 2 t  x  2 u   u h) − t =
+ e cosx,t  0,−  x  +,u (x,0) = cosx 2 t  x  2 i)   2 u u =
+ sint,t  0,−  x  +,u(x,0) − x = e 2 t  x  2 u   u j) 2 =
,t  0,−  x  +,u(x,0) − x = xe 2 t  x  5
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48 2 u   u k) 2 4 x−x 4 4 =
, t  0,−  x  + ,u(x,0) = e + ,  x  + 2 t  x 
Dạng 4: Bài toán hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt
Xét bài toán hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt, tức là tìm hàm u = u(x,t) liên tục và bị chặn sao cho: 2 u  2  u . u a b  =  + + f ( , x t) 2 t x  x 
thỏa điều kiện đầu: u(x,0) = (  x)
Căn cứ vào điều kiện biên ta chia bài toán thành 4 dạng sau: 1. u(0,t) = 1  (t) và u(l,t) = 2(t) 2. u  (0,  t) u =  = 1(t) và (l,t) (t) x  2 x  3. u
 (0,t) =  t1() và u(l,t) = (t) x  2 4. u(0,t) u =  và ( ,l )t =  ( )t . 1(t ) 2 x
Phương pháp giải bài toán hỗn hợp
Bước 1: Đưa điều kiện biên các dạng 1,2,3,4 về dạng thuần nhất  =  bằng phương 1(t) 2(t) = 0
pháp sau: Đặt u(x,t) = v(x,t) + g( ,xt) trong đó g(x,t) ta tìm bằng cách sau: 1. u(0,t) = 1  (t) và u(l,t) =2(t) → ( , ) x g x t = +  − 1( ) t ( 2( )t 1( )t ) l 2. u  (0,t) u  =  t l t =  t 1( ) và ( , ) ( ) x  2 x  2 → ( , ) x g x t = x +  t − 1(t) ( 2( ) 1(t)) 2l 3. u  (0,t) = t và =  1( ) u(l,t) (t) x  2 → g( , x t) = (x −l) + 1 (t ) 2 (t) 4. u(0,t) u  =  ( ,l )t = ( )t 1(t ) và 2 . x  → g(x,t) = +  1(t ) x 2(t)  Khử u nếu có. x Ta đặt ( , ) x +t v x t = e
.h(x,t) , thế vào phương trình chọn ,  thích hợp 6 u
Bước 2. Sau khi đưa điều kiện biên về dạng thuần nhất và khử
ta tìm nghiệm của bài toán ở x
dạng tương ứng như sau:   n x Dạng (1): ( u ,x t)  =  nT (t) sin   n =0  l    n x Dạng (2): ( u ,x t)  =  n T (t) cos  n =0  l    (2n +1)x Dạng (3): ( u ,x )t  =  2 T n 1  + (t) cos   n =0  2l    (2n + 1)x Dạng (4): ( u ,x )t T  =  + t n ( ) sin 2 1   n =0  2l 
Bước 3 Lần lượt thế nghiệm (ở bước 2 ) vào điều kiện biên, điều kiện đầu và phương trình chính để tìm các hàm
), từ đó thu được nghiệm của bài toán. n T ( )t (hoặc T + t 2n 1( )
- Đặc biệt: Muốn đưa một hàm f (x) nào đó về dạng khai triển theo chuổi sin hoặc chuổi cos , ta có hai công thức sau
- Đưa về chuổi theo sin (với bán kính tuần hoàn l ):  ( )  n x f x  a  =  n sin ,   n=0  l  với 2 l nx  =   =  n a  f (x) sin ; n 0,1, 2, 0 l  l 
- Đưa về chuổi theo cos (với bán kính tuần hoàn l ): a  0   ( )  cos n x f x a  = +   , 2 n n 1 =  l  với 2 l nx  n a =   f (x)cos ; n = 0,1,2,   0 l  l 
Bài 1 Trong File ôn tập. a) 2 u   u 2 2 u   u =
+ 6u + x (1−6t) − 2(t + 3 ) x + cos2x =
+ 6u + 2t(1−3t) − 6x + 2cos xcos2x 2 d) t  x  2 t  x  u  (0, ) 1, u t  u      =
(,t ) = 2t +1, 0  x   2 (0,t) =1, u  ,t =  t + , 0  x  x  x  x   2  2 2 u(x,0) = x u(x,0) = x 7
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng PHẠM VĂN XUÂN K48 2 u   u 2 2  u u   u 3x b) − − u = x (2 t − )t +2cos t e) − 3 = + u− (4 x + t)+ cos 2 t  x  2 2 t  t  x  2 u  u  2 (0,t ) = ( ,t ) =t , 0  x  x  x  u
 (0,t)= t +1,u(,t) =(t +1), 0  x  x  u(x,0) u  = cos 2x ( ,x0) = ( u ,x0) = x t  2 2 u  u u x u  u 2 2 2 c) − + 2 − u = e sin x − t f) −
− 4u = x − 2t − 4x t + 2cos x 2 2 t x x t x (0, ) =1+ , (, ) =1 + , 0 u    (0, ) = 0, u u t t u t t x t
(, )t = 2 ,t 0  x   x x ( u ,x0) =1 x + e sin 2x ( u ,x0) = 0
Bài 2 Trong các đề thi các năm. a) 2 u  u −
− u = xt(2 − t) + 2cos t,0  x  ,t  0 2 t x u u 2 (0,t ) = ( ,t) =t ,u(x,0) = cos2x x x b) 2 u  u =
+ 6u + 2 (t1−3 )t −6x + 2cos xcos 2 , x 0  x   2 t x 2 u    2 (0,t) =1,u ,t = t  + ,u(x,0) =   .x x  2  2 c) 2 u  u − + 2 u x
− u = e sin x − t,0  x   2 t x x (
u , t) =1+ ,t u(0,t) =1+ ,t u( ,x0) =1 x + e sin 2 x d) 2 2  − − = − −    t u uxx 9u 4sin tcos3x 9x 2, 0 x , t 0.  2 =  =  x u (0,t) 0, x u ( ,t) 2 , u( , x 0) = x +  2. e) 2 u  u 2 2 =
+ 9u + 4sin tcos3x −9x −2, 0  x   2 t x u u 2 (0,t ) = 0,
( ,t ) = 2 , u(x,0) = x + 2 x x  8

Tài liệu liên quan: