Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến số | Phương trình vi phân đạo hàm riêng | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF với mục đích hỗ trợ học tập và tham khảo. Nội dung tài liệu được trình bày rõ ràng, dễ tiếp cận, phù hợp cho việc ôn tập và củng cố kiến thức trong quá trình học đại học. Đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn sinh viên chuẩn bị tốt hơn cho các buổi học, đồng thời mở rộng thêm hiểu biết về môn học. Hy vọng tài liệu này sẽ mang lại nhiều giá trị và hỗ trợ các bạn trong hành trình học tập. Mời bạn đọc cùng tham khảo!
Môn: Phương trình vi phân đạo hàm riêng 10 tài liệu
Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
3.1. Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến
3.1.1. Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân cận của một điểm trong Rn
n=2→B (a , r )= {(x , y)| x2+ y2 Với
là tập những điểm nằm trong hình
tròn có tâm (0,0) bán kính bằng a, là tập mở trong R2.
¯B(a, r )= {( x , y)| x2+ y2≤a2 }
là tập những điểm nằm trong hình
tròn và biên của hình tròn có tâm (0,0) bán kính bằng a, là tập đóng trong R2 (tập compact). V x Một tập con
⊂ Rn gọi là lân cận của điểm0∈Rn
nếu tồn tại số dương r B ( x ,r )⊂V sao cho 0 . Ta qui ước tập φ, Rn là các tập mở.
Ví dụ 3.1 : y y A B A B d d c c D C D C a b x a b x
Các hình trên biểu diễn các tập mở, tập không mở không đóng, và tập đóng trong không gian R2. A ⊂Rn A
Định lý 3.1: Tập
là compact khi và chỉ khi là đóng và bị chặn.
Ví dụ 3.2: Xét tính chất vừa nêu trên với các tập sau trong R2 A= {( x , y) : x2+ y2<4}
B= {(1, 2), (−1, 0 ), ( 0, 0)} và C= R2. Giải: 1
A là hình tròn mở tâm O, bán kính bằng ∂ 2, A = {( x , y) : x2+ y2=4 } là
đường tròn tâm O bán kính bằng 2, A
= {( x, y): x2+ y2≤4 } là hình tròn kể cả biên.
A, R2 là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc).
A, B là các tập giới nội (bị chặn), C không giới nội (cả mặt phẳng Oxy).
Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y thuộc A, t thuộc (0,1), (1−t ) xthì +ty ∈A .
3.1.2. Khái niệm hàm nhiều biến số
Cho D⊂ Rn . Ta gọi ánh xạ: f : D→ R M ( x , x ,. . .. , x , x , .. .. , x 1 2
n) ∈ D ↦ u= f ( M )= f ( x1 2 n) ∈ R là một
hàm số của n biến số xác định trên D, ở đó D là miền xác định của hàm số f; x1, x2
…,xn là các biến số độc lập. Hàm số được cho là một hàm đơn trị.
Ví dụ 3.3: Tìm miền xác định của các hàm số sau và mô tả hình học các miền đó: a. z= √1−x2− y2 4 2 2
b. z= √9− (x2+ y2) +√ x + y −1 .
Giải: a. Miền xác định là tập các điểm
( x, y)∈ R2 sao cho 1−x2−y2≥0 hay
x2+ y2≤1 . Đó là hình tròn đóng tâm O bán kính bằng 1. Hình tròn đóng này có {−1≤x≤1¿¿¿¿
thể mô tả bởi hệ bất phương trình: . {9− (x2+ y2)≥0 ¿ ¿¿¿ b. Điều kiện
Điều kiện (1) tương đương với tập x, y nằm trong đường tròn tâm O bán kính bằng 3.
Điều kiện (2) tương đương với tập x, y nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
Đồ thị của hàm hai biến số Cho hàm 2 biến
z=f ( x , y) với (x, y )∈D . Tập các điểm( x, y ,z )∈R3 với
z=f (x , y) được gọi là đồ thị hàm số đã cho. Như vậy đồ thị của hàm 2 biến
thường là một mặt cong trong không gian 3 chiều Oxyz. 2 Mặt phẳng
Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có dạng:
Ax +By+Cz+ D=0 , trong đó A2+B2+C2>0 (1.1) 1 z=− (D+ Ax +By) Chẳng hạn C≠0 có C
, hàm số xác định trên R2. Ellipsoid
Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng: x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2
Đây là hàm hai biến cho dưới dạng hàm không tường minh (dạng ẩn). Hàm số là
đa trị (miền xác định của hàm ẩn là hình ellipse). Chẳng hạn, coi z là biến phụ
thuộc vào x và y thì miền xác định là hình ellipse có các bán trụ a và b: x2 y2 + ≤1 a2 b2 .
Khi a = b = c = R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ và bán kính R: x2+ y2+z2=R2 .
3.1.3. Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Xét trong R2. Ở đây một biến số đóng vai trò là khoảng cách d(M0, M) giữa hai điểm M 2 0 và M trong không gian R .
1. Ta nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0), ký hiệu M → M n 0 khi n→ ∞ nếu
limd(M0,Mn)=0 hay ¿{limxn=x0¿¿¿ n→∞ n→∞ . 3
2. Cho hàm z = f(x, y) xác định ở lân cận M0(x0, y0) có thể trừ tại M0. Ta nói
hàm f ( M) có giới hạn là khi M(x, y) dần đến M0(x0, y0) nếu mọi dãy điểm M , y n( xn
n) thuộc lân cận M0(x0, y0) dần đến M0 ta đều có: (giới hạn
bội của hàm nhiều biến).
Người ta thường ký hiệu .
Chú ý: Trong định nghĩa trên, khi
M →M0 ta phải hiểu là các toạ độ của M đồng
thời dần đến các toạ độ của M0.
Ví dụ 3.4: Tìm các giới hạn sau: xy lim x2 y lim a. (x , y)→(0,0) x2+ y2 b. (x , y)→(0,0) x2+ y2 x2 y | −0|≤|y| a. Ta có x2+ y2 , d ( M , O)= √ x2+ y2 . lim x2 y =0 Vậy (x , y)→(0,0 ) x2+ y2 . xy lim 2 2 b. (x , y)→(0,0) x + y
Cho M (x , y) →O(0,0 ) theo đường y=Cx , C = const thì xy Cx2 = xy C ⇒ lim =
x2+ y2 (1+C2 ) x2 x→0 x2+ y2 1+C2 .
Điều này chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ thuộc vào C. Vậy
hàm không có giới hạn tại điểm (0,0).
3.1.4. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Định nghĩa Cho , , M ∈ D 0
. Ta nói rằng hàm số f(M) lim f ( M )=f ( M0) liên tục tại M M → M 0 nếu 0 .
Hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M ∈ D .
Hàm số f(M) liên tục trên miền đóng D
nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại
mọi điểm N ∈ ∂ D theo nghĩa .
Số gia toàn phần của hàm số tại (x0, y0) là Δf (x , y + Δx , y + Δy , y 0 0) =f ( x0 0 ) −f ( x0 0) . (1.12) 4
Vậy hàm số f(x,y) liên tục tại (x0, y0) nếu .
Tương tự như hàm số một biến số, chúng ta cũng có các phép tính: tổng,
tích, thương, hợp các hàm số liên tục.
Ví dụ 3.5: Xét sự liên tục của các hàm số sau:
f (x,y)=¿ { xy khi(x,y)≠ (0, 0)¿¿¿¿ x2+y2 a. , −2 x b. f ( x , y) =cos (x2−e +xy ) . Giải:
a. Hàm số liên tục trên (xem ví dụ 3.4).
b. Hàm số liên tục trên R2 vì nó là hợp của hai hàm số liên tục trên R2: .
Định lý 3.3 (Weierstrass) Hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng, giới nội D thì đạt giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đó. để .
3.2 Đạo hàm và vi phân.
3.2.1 Đạo hàm riêng
Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D M , y 0và ( x 0 0)∈ D . Thay y = y0
vào hàm số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số u = f(x,y0). Nếu hàm số này
có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) đối với x tại
M0(x0,y0) và ký hiệu như sau: ∂u (x , y u' , y ∂u , y 0 0) ∂ f , f' , y , y x ( x0 0) , (x (x (x ∂ x 0 0), ∂ x x 0 0), ∂ x 0 0) . 5 Đặt Δ f , y + Δx , y , y x ( x0 0)=f (x0 0)− f ( x0
0) và gọi là số gia riêng của hàm
f(x,y) theo biến x tại (x0,y0). Ta có: ∂ f Δ f ( x , y ( x , y x 0 0) ∂ x 0 0)= lim Δx → 0 Δx .
Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0(x0,y0): ∂ f Δ f (x , y ) (x , y y 0 0 ∂ y 0 0)= lim Δy →0 Δy , với các ký hiệu: ∂ u ∂u (x , y ∂f u' ( x , y ), (x , y ) , 0 0) , f' (x , y ) , ( x , y ) y 0 0 ∂ y 0 0 ∂ y y 0 0 ∂ y 0 0 .
Chú ý: a. Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm số một biến số:
cộng, trừ, nhân, chia sang phép tính đạo hàm riêng.
b. Sự tồn tại của các đạo hàm riêng chưa đảm bảo tính liên tục của hàm số.
Thật vậy, ta xét hàm số sau đây: f(x,y)=¿ {0 khi xy=0¿ ¿ f ( Δx , 0) −f ( 0,0) 0 lim = lim =f ' (0,0) =0 Ta có x Δx →0 Δx Δx → 0Δx .
Tuy nhiên hàm số không liên tục tại (0,0) vì 1
f (1, )=1→1 khi n→∞, ∀ n∈ N¿ n n ,
f (1, 0)=0→0 khi n→∞,∀n∈N¿ n .
Ví dụ 3.6: Tính đạo hàm riêng tương ứng của các hàm số sau: a. . ' '
b. u=x y ( x >0 ), u ( x , y), u ( x , y) x y Giải: ' ' a. u (x , y) (1 , 2)=6 x =3 x2 y ⇒ ux , ' '
b. ux= yx y−1, uy =x y ln x .
3.2.2. Vi phân toàn phần
Định nghĩa Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D chứa (x0,y0). Nếu số gia
toàn phần của hàm số tại (x0,y0) có dạng: 6 Δf (x , y 0
0)= A . Δx + B . Δy +α . Δx + β . Δy (1.13)
trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào (x α , β 0,y0), còn dần đến 0 khi
M →M0, tức là khi Δx→0, Δy →0 thì ta nói rằng hàm số f(x,y) khả vi tại M0 và ký hiệu là df ( x , y , y 0 0) , hay du ( x0 0) . df (x , y 0 0)= A . Δx + B . Δy (1.14)
Hàm số u = f(x,y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền.
Định lý 3.4 (Điều kiện cần của hàm số khả vi): Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì liên tục tại đó.
Định lý 3.5: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì hàm số có đạo hàm riêng tại (x0,y0) và ' '
A=f x( x0, y0) , B=f y (x0 , y0) .
Ví dụ 3.7. Xét sự khả vi và tính vi phân dz(x,y), dz(0,1) (nếu có) của các hàm số Giải.
, là những hàm liên tục trên R2.
Vậy hàm số là khả vi trên R2 và . .
Chú ý. Với hàm một biến
, sự tồn tại đạo hàm (hữu hạn) tương
đương với hàm f(x) khả vi tại x = x0. Đối với hàm nhiều biến, sự tồn tại các đạo
hàm riêng chưa đủ để hàm khả vi tại đó.
Ví dụ 3.8. Xét sự khả vi tại (0,0) của hàm số Dễ thấy
. Tuy nhiên, theo Ví dụ , 3.4 hàm này không liên
tục tại (0,0). Vậy nó không khả vi tại (0,0).
Định lý 3.6 (Điều kiện đủ) Nếu hàm số u=f ( x , y) có các đạo hàm riêng f' ( x , y) , f' (x , y) , y , y x y liên tục tại
M0(x0 0) thì f(x,y) khả vi tại M0(x0 0) .
Vi phân toàn phần của hàm số f(x,y) tại (x0,y0) có thể viết dưới dạng: 7
Ý nghĩa của vi phân toàn phần
Cho hàm số f(x,y) khả vi tại (x0,y0), tức là: Δf ( x , y , y 0 0)=df ( x0 0) + αΔx+ βΔy
Khi |Δx|, |Δy| khá bé ta sẽ nhận được: Tức là,
Chú ý: Tính khả vi của tổng, tích, thương hai hàm cũng giống như hàm một biến số.
Ví dụ 3.9: a. Cho f ( x , y)=x cos xy , tính . f ( x , b. y) = (Cho x− y )exy2 . Tính df(x,y). Giải: π π f' (x , y) √2
=cos xy−xy sin xy , f ' (1, )= (1− ) x x a. 4 2 4 . f' (x, y) π
=−x2 sin xy , f ' (1, )=− √2 y y 4 2 . df(1, π) √2 √2 √2 =
(1−π ).0,01− .0,02=− (1+π).0,01=−0,013 4 2 4 2 2 4 . '
b. f ( x , y)=exy2+ y2 ( x− y )exy2 x
f ' (y x, y)=−exy2+2 yx ( x− y ) exy2
df ( x , y)=exy2 {[1+ y2( x− y ) ] dx +[2 xy( x− y )−1 ]dy} . 1,05 arctg
Ví dụ 3.10: Tính gần đúng 0,97 1,05 1+0,05 x arctg =arctg f ( x , y)=arctg Giải: Ta biểu diễn 0,97 1−0,03 và xét hàm số y . 1, 05 arctg =f +Δx , y +Δy 0, 97 (x0 0 ) , trong đó x0 = y0 = 1, .
Ta áp dụng công thức xấp xỉ (*) : 8 f (x +Δx , y + Δy , y , y 0 0 )≈f (x0 0)+df( x0 0)=
=f (1 , 1)+f ' (1 , 1 ). 0 , 05+f ' ( 1 , 1) .(−0 , 03 ) x y 1 y x x f' ( x , y) 1 1 = = , f' ( x , y)=− =− x y x2 y2+ x2 y y2 x2 y2+x2 1+ 1+ y2 y2 .
3.2.3 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao
Đạo hàm riêng cấp cao
Đạo hàm riêng cấp hai của một hàm số là đạo hàm riêng của các đạo hàm
riêng cấp một của nó. Vậy hàm số hai biến f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau:
f'' = ∂ ( ∂f ), f' = ∂ (∂f ), f'' = ∂ ( ∂f ), f'' = ∂ (∂f ) x2 ∂ x ∂ x xy ∂ y ∂ x yx ∂ x ∂ y y2 ∂ y ∂ y hay .
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn
hai của hàm có số đối số nhiều hơn hai. f (3) , f(3) , f(3)
Ví dụ 3.11: Tính các đạo hàm riêng x2 y xyx xyz, biết
f ( x , y , z)=e x−2 y+ 4 z . Giải: f' −2 +4 z ' (3 ) x=ex y , f =ex−2y+4z , f =−2ex−2y+4z. x2 x2 y
f'' =−2ex−2 y+4z , f (3) =−2ex−2 y+4z , f (3 ) =−8ex−2y+4 z xy xyx xyz f (3) =f (3)
Nhận xét: Trong ví dụ trên cóx2 y xyx .
Định lý 3.7: (Schwarz) Nếu f(x,y) có đạo hàm riêng hỗn hợp trong lân
cận của M0(x0,y0) và liên tục tại M0(x0,y0) thì: f ″xy( M0)=f ″ yx( M0) .
(Đạo hàm riêng theo các biến không phụ thuộc vào thứ tự lấy theo các biến)
Chú ý: Định lý trên cũng mở rộng cho các đạo hàm cấp cao hơn và hàm nhiều biến hơn.
Vi phân cấp cao 9 ' '
df ( x , y)=f ( x, y) dx+f ( x , y) dy x y
Nếu df(x,y) khả vi thì vi phân của nó được gọi là vi phân cấp hai của hàm số, được ký hiệu là
d2 f ( x , y)=d ( df( x, y) ) và nói rằng f(x,y) khả vi đến cấp 2 tại (x,y).
Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu:
dn f ( x , y) =d ( dn−1 f ( x , y)) Công thức vi phân cấp 2: ∂2 f d2 f ( ∂2 f x , y) ∂2 f = d x2+2 dxdy + d y2 . ∂ x2 ∂ x ∂ y ∂ y2
3.2.4 Đạo hàm riêng của hàm số hợp D Cho ⊂ Rn và các ánh xạ: .
Ánh xạ tích f. ϕ : D →R cụ thể là
u=f (ϕ ( M) ), M ∈ D , ϕ (M )⊂ Rm gọi là
hàm số hợp. Để đơn giản, ta xét n = 2, m = 2.
Ví dụ: u=ex ln y , x=st , y =s2−t2 . Định = (s , t)
lý 3.8: Cho u = f(x,y) với x=x (s,t ) , y y
thoả mãn các biến trung gian
x( s, t) , y ( s,t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a,b), f(x,y) khả vi tại điểm ( p,q )= (x(a,b) , y( a,b ) . Khi đó hàm hợp
u=u ( s,t ) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a,b) tính theo công thức: ∂u ∂u ∂ x ∂ u ∂ y = + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s ∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y = + . ∂ t ∂ x ∂t ∂ y ∂t
Ví dụ 3.12: Tính các đạo hàm riêng: u=ex ln y , x=st , y=s2−t2 Giải: ∂u 1 2 s =e x ln y . t+ex . . 2 s=est [t ln(s2−t2 )+ ] ∂ s y s2−t2 ∂u 1 =e x ln y . s+ex . .( 2 t −2 t )=est [sln(s2−t2 )− ] ∂t y s2−t2 .
Chú ý: Nếu u = f(x,y), y = y(x) khi đó u là hàm số hợp của một biến x. Do vậy
người ta đưa ra khái niệm đạo hàm toàn phần và công thức tính là: du ∂ f ∂ f = + . y ' dx ∂ x ∂ y 10
3.2.5 Vi phân của hàm hợp Xét hàm hợp
u=f ( x , y ), x=x( s , t ), y= y(s ,t ) . ∂u ∂u ,
Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng
∂s ∂t liên tục thì nó khả vi và ta có: ∂ u du= ∂u ds+ dt ∂ s ∂t . u= 1 , r= √x2+ y2+z2 Δu=u ' ' ' ' ' ' Ví +u +u =0
dụ 3.13: Cho r . Chứng minh x2 y2 z2 .
Nhận xét: Vì vai trò của x, y, z trong hàm r là như nhau, do đó ta chỉ cần tính
u rSb{ size8{x rSup{ size6{2} {, sau đó thay x bởi y và z. , 3 3 ( x2+ y2+ z2) Δu=− 3 3 + =− + =0 Suy ra r3 r5 r 3 r 3 .
3.2.6 Đạo hàm của hàm số ẩn
A. Hàm ẩn một biến
Cho một hệ thức giữa hai biến x, y dạng:
F ( x , y)=0(1), trong đó F(x,y) là hàm
hai biến xác định trong miền mở D chứa( x , y , y 0 0) và F ( x0 0)= 0 . Giả sử rằng . Hàm số
y= y ( x) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình .
Định lý 3.9: Nếu F(x,y) thoả mãn các điều kiện:
i. F liên tục trong lân cận , ∂F ∂F ,
ii. Các đạo hàm riêng∂ x ∂ y liên tục và trong lân cận Ω M δ ( 0) .
Khi đó phương trìnhF (x , y)=0 xác định một hàm ẩn y(x) khả vi liên tục dy −F '
trong lân cận của điểm và ta y' có: = = x dx F ' . y 11
Ví dụ 3.14: Cho hàm số
xác định hàm ẩn từ phương trình Tính .
B. Hàm ẩn hai biến F ( x , y , z) =0 F ( x , y , z)
Định lý 1.19: Cho phương trình hàm ẩn (2) và thỏa mãn các điều kiện: F ( x , y , z) Ω F (M , y , z i.
liên tục trong hình cầu mởδ( M 0) và 0)= F ( x0 0 0) =0 , F' , F' , F'
ii. Các đạo hàm riêng x y z liên tục và trong lân cận Ω (hình cầu) δ (M0) . z=z ( x , y)
Khi đó phương trình (2) xác định một hàm ẩn có các đạo hàm
riêng liên tục trong lân cận của đồng thời: ∂ z −F ' ∂ z −F ' = x ; = y ∂ x F 'z ∂ y F 'z
Để tính các đạo hàm riêng cũng như vi phân của hàm ẩn ta lấy vi phân toàn ∂ z ∂z , ,dz ∂ x ∂ y
phần hai vế của phương trình hàm ẩn, sau đó đi tìm . Ví z' , z' ,dz
dụ 3.15: Cho xyz=x + y + z . Coi z là hàm số ẩn, hãy tính x y . Giải:
Lấy vi phân toàn phần phương trình hàm ẩn, ta có: 12 d ( xyz)=d (x+ y+z) yzdx+zxdy+xydz=dx+dy+dz
(xy−1 ) dz= (1− yz ) dx+(1−zx ) dy 1 dz=− [( yz−1 )dx+(zx−1 ) dy] xy−1 yz−1 xz−1 ⇒ z ' =− , z' =− x yx−1 y xy−1 ∂ z −F ' ∂ z −F ' = x ; = y ∂ x F 'z ∂ y F 'z
Ví dụ 3.16: Cho
là hàm số xác định bởi phương trình . Tính . . . −F' −F' Tại d (0 ; 1): z' = x =1, z' = y =1 . x F' y F' z z Suy ra: .
Cách khác: Ta có thể lấy vi phân 2 vế.
3.2.7 Công thức Taylor
Định lí 3.12 Giả sử hàm
có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp
trong một lân cận nào đó của điểm . Giả sử cũng
thuộc lân cận đó. Khi đó ( ). 13
Công thức Talor tại lân cận điểm
( 0,0) được gọi là công thức M’claurin của hàm số. f ( x , y)=x+ y+ey cos x
Ví dụ 3.27: Viết công thức M’claurin của hàm số đến cấp n=1 f(0,0)=1,f' ( (0,) x x,y)=1−eysinx⇒f'x =1 f' (x,y)=1+eycosx⇒f'(0, )=2
=−eysinx,f rSub {y rSup { size 6{2} } left (size 12{x,y} right )} size 12{ }=e rSup {y} size 12{cosx} {} } y y
f rSub { size 8{x rSup { size 6{2} } left (x,y right )= -e rSup {y} size 12{cosx,`(fx,y)xy1 f ( x , y) =1+ (x+2 y)+
eθy[−x2cosθx−2 xysin θx+ y2cosθx ], θ ∈ (0 , 1) Vậy 2! . Bài tập
Số 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y u= a. √9−x2−y2−z2 z= b. ln (x+ y) z= c.
ln (x2+ y2−4 )− √ y−x2 .
Số 2: Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại M(1.2). z= a. x4 + y4−x2−2xy− y2 b. c. . ' '2 ' ' '' Số 3: Cho hàm số . Tính ∆=z −z . z xy xx yy tại M(1,0).
Số 4: Tính đạo hàm riêng tương ứng của các hàm số sau:
u=x2 zarctg y , u' ( x , y , z), u' ( x , y, z) , u' ( x , y , z) x y z z . Số 5: Tính
y',y} {¿ biết x−y+arctgy=0 . 14 : Cho hàm số . Chứng minh rằng: . Số 6
Số 7: Cho hàm số z =yf(x2-y2), ở đó f là hàm số có đạo hàm riêng theo các biến. Chứng minh rằng: Cho hàm số ẩn xác định bởi: yTính } {¿. Số 8:
Số 9: Tính y’(1) biết phương trình hàm ẩn: xy −ex sin y=π . ∂2 z ∂2z , Số 10: Cho
ez=x + y +z . Hãy tìm ∂x∂ y ∂ x2 .
Số 11: Cho hàm số z = z(x,y) xác định hàm ẩn từ phương trình:
Tính các đạo hàm riêng
Số 12: Cho hàm số z = z(x,y) xác định hàm ẩn từ phương trình: . z' (0;−1), z ' (0,−1) Tính các đạo hàm x riêng y . ĐÁ:
Số 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau y u= a. √9−x2−y2−z2 b. z=ln ( x + y)
c. z=ln (x2+ y2−4 )− √ y−x2 . 15
a. Miền xác định là tập các điểm
( x, y)∈R3 thoả mãn x2+ y2+z2<9 . Đó là hình
cầu mở tâm O bán kính bằng 3. Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phương trình:
{−3b. Miền xác định là tập các điểm
( x, y)∈R2 thoả mãn: x + y >0 hay y > −x . Đó là
nửa mặt phẳng có biên là đường là đường y=
−x . Nửa mặt phẳng này được mô tả
{−∞bởi hệ bất phương trình: {x2+y2−4≥0¿¿¿¿ c. Điều kiện: . Số 2: Tìm giới hạn xy lim (x , y)→(0,0) √x2+ y2 . Giải: xy lim (x , y)→(0,0) √x2+ y2 xy |x| | −0|≤ .|y|≤|y| xy lim =0 √x2+ y2 √x2+y2 . Tương tự a), suy ra: ( x , y)→(0,0 ) √x2+ y2 .
Số 3: Xét sự liên tục của hàm số sau:
f(x,y)=¿ {x2y khi(x,y)≠(0, 0)¿¿¿¿ x2+y2 a. ,
b. Hàm số liên tục trên R2 (xem ví dụ 1.3a).
Số 4: Tính đạo hàm riêng tương ứng của các hàm số sau:
u=x2 zarctg y , u' ( x , y , z), u' ( x , y, z) , u' ( x , y , z) x y z z . 16 u' (x , y ,z)=2 xzarctg y Giải: x z , u' ( x , y , z) 1 1 x2 z2 =x2 z . = y z y2+ z2 1+ y2 z2 , y y 1 y yz u' ( . =x2 z x , y , z) = x2 arctg −x2 z . (arctg − ) z z2 z y2+z2 1+ y2 z2 . Số 5: Tính
y',y} {¿ biết x−y+arctgy=0 . Giải:
Lấy đạo hàm toàn phân hai vế và coi y= y ( x) : y ' 1+ y2 1− y '+ =0 ⇒ y '= ⇒ y2 y '=1+ y2 1+ y2 y2
Lấy đạo hàm tiếp, ta có 2y('1−y' )
2y '2+y2y=2 ital y ' drar ow y=
⇒y= - { {2 left (1+y rSup { size 8{2} } right )} over {y rSup { size 8{5} } } } y . : Cho hàm số . Chứng minh rằng: . Số 6 . .
: Cho hàm số z =yf(x2-y2), ở đó f là hàm số có đạo hàm riêng theo các biến. Số 7 Chứng minh rằng: 17
Suy ra điều phải chứng minh. Chú ý rằng là . Số 8: Cho hàm số ẩn xác định bởi: y}Tính {¿. Suy ra .
Số 9: Tính y’(1) biết phương trình hàm ẩn: xy −ex sin y=π .
Lấy đạo hàm toàn phần và coi y là hàm của x, hai vế của phương trình đã cho có:
y+xy'−ex sin y−ex cos y. y'=0
Thay x=1 vào phương trình hàm ẩn, nhận được: . Dùng
phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm: y(1 ) =π . Vậy
π+ y' (1)−esin π−ecos π . y ' (1)=0 π y ' (1) =− 1+e . ∂2 z ∂2z , Số 10: Cho
ez=x + y +z . Hãy tìm ∂x∂ y ∂ x2 .
Lấy vi phân hai vế ta được: ∂ z 1 ∂ z 1 ez dz=dx +dy +dz ⇒ = , = ∂ x ez−1 ∂ y ez−1
Tiếp tục lấy đạo hàm riêng theo biến y và x: 18 ∂2 z =−ez ∂ z =−ez =x+ y +z
∂ x ∂ y (ez−1 )2 ∂ y (ez−1 )3 (1−x−y−z )3 ∂2 z =−ez ∂ z =−ez =x+ y +z
∂ x2 (ez−1 )2 ∂ x (ez−1 )3 (1−x− y− z )3 .
Số 11: Cho hàm số z = z(x,y) xác định hàm ẩn từ phương trình:
Tính các đạo hàm riêng , z=0 , z' (−1,0 ) (−1,0 ) =1. x =−1 , z' y .
Số 12: Cho hàm số z = z(x,y) xác định hàm ẩn từ phương trình: ' '
. Tính các đạo hàm riêng zx (0;−1), zy(0,−1) . Đặt , Suy ra . KẾT LUẬN
Nhắc lại các công thức quan trọng và một số dạng bài tập, hướng dẫn học viên ôn
tập và làm bài tập theo bài giảng biên soạn được trình bày trên máy chiếu.
Về: - Cách tính đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao. 19
- Tính vi phân tại một điểm, vi phân cấp cao.
- Tính gần đúng bằng vi phân.
- Cách tính đạo hàm của hàm hợp, vi phân của hàm hợp, đạo hàm của hàm số ẩn.
HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU
Học viên cần nắm được các khái niệm và tính chất quan trọng đã được nhắc lại
trong bài, làm lại các Ví dụ và Bài tập đã chữa để thuần phục trong việc tính toán
một cách chính xác. Làm xong bài rồi phải kiểm tra lại, xem bài đó đã vận dụng
các công thức cũng như kiến thức nào để giải quyết.
Ngày 18 tháng 3 năm 2022
NGƯỜI BIÊN SOẠN
Thượng tá, TS. Nguyễn Thị Thu Hương 20