Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế học | Phương trình vi phân đạo hàm riêng | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Bài 1. Một cái bể chứa 100 lít nước tinh khiết. Người ta đổ dung dịch nước muối chứa 0,1 kg muối/lít vào bể với tốc độ 10 lít/phút. Dung dịch được hòa tan và chảy ra khỏi bể với tốc độ bằng tốc độ chảy vào. Hỏi lượng muối trong bể sau 6 phút là bao nhiêu? Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Phương trình vi phân đạo hàm riêng 10 tài liệu
Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
3.3. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế
3.3.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên
Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế học
Xét mô hình hàm kinh tế: w =f(x ;1 x2; . .; xn) trong đó x ;1 x2; . .; x ;n w là các biến số kinh tế.
Đạo hàm riêng của hàm w theo biến x o o o
i tại điểm M (x , x ,...,x ) được gọi là giá o 1 2 n trị w – cận biên theo x '
i tại điểm đó. Nghĩa là w
biểu diễn xấp xỉ lượng x (M i o )
thay đổi giá trị của biến w khi giá trị xi tăng thêm 1 đơn vị trong điều kiện giá trị
các biến độc lập còn lại không thay đổi.
* Hàm sản xuất: Q = f(K, L)
Có các đạo hàm riêng: Q , K L
Q được gọi tương ứng là hàm sản phẩm hiện vật
cận biên của tư bản (MPPK) và hàm sản phẩm hiện vật cận biên của lao động (MPPL) tại điểm (K; L). Ý nghĩa: K
Q biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một
đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao động. Tương tự, L
Q biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm một
đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng tư bản. 1 3
Ví dụ 3.21. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là 4 4 Q =10 K 0 L ; trong
đó: K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày.
Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị tư bản và 81 đơn vị lao động
trong một ngày tức là K = 16; L = 81. Xác định sản lượng cận biên của tư bản
và lao động tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.
Giải: Hàm sản lượng cận biên của tư bản và của lao động lần lượt là: −3 3 1 −1 ' ' = = 4 4 = = 4 4 Q
f (K;L) 25K L ; Q
f (K;L) 75 K K L L K L
Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động tại K = 16; L = 81 tương ứng là: −3 3 ' 4 4 25.27
MPP (16;81) =Q (16;81) = 25 1 6 81 = = 84,375 K K ; 8 1 1 − ' 4 4 75.2
MPP (16;81) =Q (16;81) = 7516 81 = = 50 L L . 3
Nghĩa là, nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư bản K từ 16 lên 17 đơn vị
và giữ nguyên lao động L = 81 trong 1 ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ
84,375 đơn vị sản phẩm. Tương tự, nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng lao
động từ 81 lên 82 trong một ngày và giữ nguyên sử dụng tư bản K =16 trong 1
ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 50 đơn vị sản phẩm.
* Hàm lợi ích:
U = U(x1, x2, . ., xn). Trong đó xi là số đơn vị hàng hóa thứ i (i = ,1n) .
Đạo hàm riêng của hàm lợi ích đối với các biến độc lập là: MUi =Ux (i =1,n) i
MUi được gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i.
Ý nghĩa: Đạo hàm riêng MU o o o
i tại điểm M (x , x ,...,x ) biểu diễn xấp xỉ lợi ích o 1 2 n
tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều
kiện số đơn vị các hàng hóa khác không thay đổi.
Ví dụ 3.22. Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng đối với 1 1 hai loại hàng hóa là U = 2 2 1 x 0 x . 1 2
Trong đó: x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U là lợi ích của
người tiêu dùng hàng ngày.
Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng
hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa. Giải:
Lợi ích cận biên của hàng hóa 1 và hàng hóa 2 đối với người tiêu dùng tương ứng là: −1 1 1 −1 2 2 2 2 MU = x 5 x ; MU = x 5 x 1 1 2 2 1 2
Lợi ích cận biên của hàng hóa 1 và hàng hóa 2 đối với người tiêu dùng tại
x1=64; x2=25 tương ứng là: −1 1 2 2 5 . 5 MU (6 , 4 2 ) 5 = . 5 64 25 = = 1 , 3 25; 1 8 1 1 − 2 2 5.8 MU2(64,25) = 5.64 25 = = 8. 5
Nghĩa là, nếu người tiêu dùng tăng mức sử dụng hàng hóa 1 thêm một đơn vị x 1
= 65 và giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 2 trong một ngày thì lợi ích tăng
thêm khoảng 3,125 đơn vị. Tương tự, nếu giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 1
và tăng mức sử dụng hàng hóa 2 thêm một đơn vị trong một ngày thì lợi ích
tăng thêm khoảng 8 đơn vị.
3.3.2. Đạo hàm riêng cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Xét mô hình hàm kinh tế hai biến số: z =f(x; y) xác định trên tập D. z' =
là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến x; x f ' (x;y) x z' =
là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến y; y f 'y(x;y)
Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng: giá trị z – cận
biên của biến x giảm dần khi x tăng y không đổi. Tương tự, cho giá trị z – cận
biên của biến y giảm dần khi y tăng và x không đổi (Chú ý: chúng ta xét trong
điều kiện giá trị của các biến x, y đủ lớn). Cơ sở toán học:
z' = f ' (x;y) là hàm số giảm khi ′′ ′′ ới x, y đủ ớ x x
𝑧𝑥𝑥 = 𝑓𝑥𝑥(𝑥; 𝑦) < 0 v l n Tượng tự: z' = f '
là hàm số giảm khi ′′ ′′ y y (x; y)
𝑧𝑦𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 (𝑥; 𝑦) < 0 với x, y đủ lớn
Tổng quát xt hàm kinh tế nhiều biến số w = f(x1, x2, …, xn) xác định trên miền D.
Hàm f tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần nếu ∀𝑖 = 1 , 𝑛 : 𝑓′′ (𝑥 ớ đủ lớn 𝑥2
1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) < 0; v i x1, x2,…, xn 𝑖
Ví dụ 3.23. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb- Douglas như sau: Q = aKL (a, , 0)
Tìm điều kiện của , để hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Giải:
Hàm sản phẩm cận biên của tư bản: ' −1 Q = K a K L
Hàm sản phẩm cận biên của lao động: ' 1 Q = a K L − L
Biểu hiện của quy luật lợi ích cận biên giảm dần: − 2 Q
2 = a( −1)K L 0 1 K −2
Q = a( − 1)K L 0 1 2 L 0 1 V ậy điều kiện là . 0 1 1 3
Áp dụng cho bài toán cụ thể với hàm sản xuất 4 4
Q =100K L . Trong đó K, L, Q
là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Hàm
này thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
Ví dụ 3.24. Cho hàm lợi ích U = 3xy – 2x2 – y2 (x, y >0). Hàm số U có tuân
theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
Giải: Ta có U' = −4 ;0U' = − mọi x, y >0 nên hàm tuân theo quy luật xx yy 2 0
lợi ích cận biên giảm dần.
3.3.3. Hệ số co giãn
Cho hàm kinh tế: w = f(x1,x2, . ., xn) = f(M)
Định nghĩa 3.10. Hệ số co giãn của w theo biến x o o o
k tại điểm M (x , x ,...,x ) là o 1 2 n
xx lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xk tăng thêm 1% trong điều
kiện giá trị của các biến độc lập khác không đổi, được ký hiệu và xác định như sau: f (M f xk 0) (M ) = . o x o k x k f (M0)
Ví dụ 3.25. Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai hàng hóa có liên quan có dạng: 2 2 Q = 6300− 2p − p
3 ; trong đó p1, p2 tương ứng là giá của hàng d 1 1 2 hóa 1, 2.
Xác định hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1; p2)
Và hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa thứ hai p2 tại (p1;
p2). Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1, p2 và cho biết ý nghĩa tại điểm (p1, p2) =(20, 30) Giải:
* Hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1; p2): 2 p − 4p Q1d 1 1 = 4 − p = p1 1 2 2 2 2 6300 −2p − p 3 6300− 2p − p 3 1 2 1 2
* Hệ số co giãn của cầu hàng hóa 1 đối với giá của hàng hóa thứ hai p2 tại (p1; p2): 2 p −6p Q1d 2 2 = 6 − p = p2 2 2 2 2 2 6300 − 2p − p 3 6300 − 2p − p 3 1 2 1 2
Tại điểm (20; 30) ta có: p = 0 − ,57;p = 1 − ,93. 1 2
Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa 2 ở mức giá 30
nếu tăng giá hàng hóa 1 thêm 1% còn giá hàng hóa 2 không đổi thì cầu đối với
hàng hóa 1 sẽ giảm xx 0,57%. Tương tự nếu giá của hàng hóa 1 không đổi
nhưng giá của hàng hóa hai tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm khoảng 1,9%.
Ví dụ 3.26. Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng: 1 2 4 3 Q =120K L
Xác định hệ số co giãn của sản lượng theo vốn, lao động tại thời điểm (K; L). Giải:
Hệ số co giãn của sản lượng theo vốn tại thời điểm (K, L) là −3 2 Q 4 3 K 30 1 K = 30K L = = = 0,25 % 1 2 120 4 3 3 120K L
Và hệ số co giãn của sản lượng theo lao động tại thời điểm (K, L) là 1 1 − Q 3 3 L 80 2 =80 L K L = = =0,67% 1 2 120 3 3 3 120K L
Nhận xét: Nếu mô hình hàm số kinh tế có dạng mô hình hàm Cobb- Douglass
thì hệ số co giãn của w theo xk đúng bằng lũy thừa của xk trong công thức xác định w.
Ví dụ 3.27. Người ta ước lượng hàm sản xuất hàng ngày của một doanh nghiệp như sau: Q 803 = K L
a) Với K =64; L = 25 hãy cho biết mức sản xuất hàng ngày của doanh nghiệp.
b) Bằng các đạo hàm riêng của Q, cho biết nếu doanh nghiệp:
* Sử dụng thêm một đơn vị lao động mỗi ngày và giữ nguyên mức K =64 thì
sản lượng sẽ thay đổi là bao nhiêu.
* Ngược lại, nếu sử dụng thêm một đơn vị vốn mỗi ngày và giữ nguyên mức L
= 25 thì sản lượng sẽ thay đổi bằng bao nhiêu. Giải:
a) Mức sản xuất hàng hóa của doanh nghiệp khi K =64; L = 25 là 3 (
Q 64;25) = 80 64 25 = 80.4.5 =1600 (đơn vị sản phẩm)
b) Các đạo hàm riêng của hàm sản xuất: ' 1 1 80 L ' 1 3 3 K Q = = = = K 80 L ;QL 8 .0 K. 40 3 3 K2 3 3 K2 2 L L ' 80 25 80 5 3 ' 64 40 4 . Q = = = = L (6 ; 4 2 ) 5 . . , 8 333 ; 3 QK (25 6 ; 4) 40. 32 3 3 642 3 16 25 5
Vậy, nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K = 64 và sử dụng thêm một đơn vị
lao động mỗi ngày thì sản lượng tăng một lượng xấp xỉ là 8,333 đơn vị. Ngược
lại, nếu giữa nguyên mức sử dụng lao động L = 25 thì sản lượng thay đổi một
lượng xấp xỉ 32 đơn vị.
3.3.4. Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả theo quy mô
3.3.4.1. Khái niệm hàm thuần nhất
Định nghĩa 3.11. Hàm số f(x1, x2, …,xn) được gọi là hàm thuần nhất cấp k (
k 0) nếu với t 0, chúng ta có: f(t.x k
1, t.x2, …, t.xn ) = t .f(x1, x2, …, xn).
Ví dụ 3.28. Hàm
Q = aK L là hàm thuần nhất cấp ( + ) vì t 0 ta có ( Q tK,t ) L = a(tK) (t )
L = t+(aKL ) = t+Q(K,L) Ví d 1 4 4 ụ 3.29. Hàm 0,5 0,5 ( Q K, )
L = K + K L + L là hàm thuần nhất cấp 1 9 9 9
Q(tK, tL)= 1/9. t.K + 4/9. (t.K)^0,5. (t.L)^0,5 +4/9. t.L
= t ( 1/9.K+ 4/9. (K)^0,5. (L)^0,5 +4/9 L) =t. Q(K, L)
Ví dụ 3.30. Hàm x 2 y z =
là hàm thuần nhất cấp 0. 2 2 x − y F=x+2xy
F(tx, ty)=tx+2(tx)(ty)=tx+t^2.xy hamf ko thuan nhaats
Cc tính chất
Tnh chất 1. DL Euler: Hàm w=f(x1, x2, …, xn) có các đạo hàm riêng liên tục: ' ' '
f là thuần nhất bậc k x + + + = 1 f . x x 1 2 f . x . . x 2 n f . x f. k n VD.
Q = aK L là hàm thuần nhất bậc ( + ) 1 − 1 − K
Q = a. K L ; L
Q = a. K L
K .Q + L.Q = a. K
L + a. K
L = ( + ) K L aK L
Tnh chất 2. Nếu f là hàm thuần nhất bậc k và g là hàm thuần nhất bậc m thì f.g là hàm thu f
ần nhất bậc k+m; fn là hàm thuần nhất bậc kn, là hàm thuần nhất g bậc k –m (nếu k m).
3.3.4.2. Vấn đề hiệu quả theo quy mô
Xét hàm sản xuất Q = f(K, L); trong đó K, L là yếu tố đầu vào; Q là yếu tố
đầu ra. Bài toán đặt ra là. Nếu các yếu tố đầu vào K, L tăng gấp m lần (m > 1)
thì đầu ra Q có tăng gấp m lần hay không? Giải:
+) Nếu Q(mK, mL) > m.Q(K, L) thì chúng ta nói hàm sản xuất cos hiệu quả tăng theo quy mô.
+) Nếu Q(mK, mL) < m.Q(K, L) thì chúng ta nói hàm sản xuất cos hiệu quả giảm theo quy mô.
+) Nếu Q(mK, mL) = mQ(K, L) thì chúng ta nói hàm sản xuất biểu thị hiệu quả không đổi theo quy mô.
* Liên hệ hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất
Giả sử hàm sản xuất Q = f(K, L) là hàm thuần nhất bậc k.
- Nếu k > 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô;
- Nếu k < 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô;
- Nếu k = 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô.
Ví dụ 3.31. Hàm sản xuất 1 4 0,5 0,5 4
Q = K + K L + L có cấp thuần nhất bằng 1, nên 9 9 9
nó có hiệu quả không đổi theo quy mô.
Ví dụ 3.32. Hàm sản xuất:
Q = aK L có cấp thuần nhất + nên
- Nếu + > 1 thì hàm sản xuất biểu thị hiệu quả tăng theo quy mô;
- Nếu + < 1 thì hàm sản xuất biểu thị hiệu quả giảm theo quy mô;
- Nếu + = 1 thì hàm sản xuất biểu thị hiệu quả không đổi theo quy mô.
3.3.5. Hàm ẩn và đạo hàm của nó
3.3.5.1. Hàm ẩn mt biến
a) Khái niệm hàm ẩn
Giả sử các giá trị của 2 biến x và y quan hệ với nhau bởi phương trình F(x, y) = 0 (3.1)
Ở đây coi F(x, y) như một hàm 2 biến xác định trên miền D R2.
Nếu với mọi x X , tồn tại y = f(x) thỏa mãn hệ thức (5.1) thì ta nói hệ thức này
xác định hàm ẩn y = f(x) trên tập X.
Ví dụ 3.33. Xét hệ thức F(x, y) = x2 + y2 – 4 (3.2) Tìm y để F(x, y) = 0 Giải:
Với mọi x − ;22= D ta có: 2 y(x) = 4 − x . Vậy các hàm 2
y(x) = 4 − x xác định trên D là các hàm ẩn xác định bởi (3.2).
b) S tn tại hàm ẩn
Ở đây chúng ta chỉ xt sự tồn tại đạo hàm của hàm ẩn đối với phương trình (3.1).
Trên trục số ta gọi khoảng V = (x −
− là lân cận của điển xo bán kính o ;xo ) ( >0).
Người ta chứng minh được định lý sau:
Định l 3.3. Giả sử F(x, y) xác định, liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục
trong một lân cận của điểm Mo(xo, y )o và tại điểm Mo(xo, yo) thỏa mn các điều kiện: F(x ' o, yo) = 0; F (x y o , yo ) 0 Khi đó
* Phương trình (3.1) xác định một hàm số y = f(x) trong một lân cận V của điểm xo;
* Tại điểm xo hàm y = f(x) nhận giá trị yo: f(x )o = yo;
* Hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trong lân cận V của điểm xo.
c) Đạo hàm của hàm ẩn
* Xt phương trình (3.1).
Định lý 3.3 khng định sự tồn tại hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình
(3.1), đồng thời khng định sự tồn tại đạo hàm của hàm ẩn (khi đ biết đạo hàm
tồn tại) có thể thực hiện tương đối đơn giản. Với hàm y = f(x) xác định bởi (3.1): ( F x, ( y x)) = 0 F'( , x ( y x)) + F' = (3.3) x y ( , x ( y x)) y . 'x 0
Từ (3.3), với điều kiện F' 0, ta tìm được y ' − F' (x, y) y x = (3.4) x F' (x, y) y
Ví dụ 3.34. Cho hàm cầu D = D(p, Yo) với p là giá, Yo là mức thu nhập và hàm
S = S(p) với giả thiết D'
. Chứng minh rằng khi thu nhập Yo p ; 0 D'Y , 0 ' S 0 o
tăng thì giá tại điểm cân bằng tăng. Giải:
Giả sử giá cân bằng p phụ thuộc vào mức thu nhập Yo là hàm ẩn biểu diễn bởi
hệ thức: F(p; Yo) = D(p; Yo) – S(p) = 0. ' F' D' Yo Y D' Khi đó p o Yo = − = − = . Y 0 o F ' D' − − p p ' S ' S D'p
Điều đó nói lên rằng khi thu nhập Yo tăng thì sẽ kéo theo giá tại điểm cân bằng tăng.
3.3.5.2. Hàm ẩn nhiều biến số
Giả sử mối liên hệ giữa biến số y và các biến số x1, x2, …, xn được biểu diễn
dưới dạng phương trình: F(x1, x2, …, xn, y) = 0 (3.5)
Trong đó F là một hàm số của n + 1 biến số x1, x2, …, xn, y. Nếu với mỗi điểm M(x n
1, x2, …, xn) thuộc miền D R tồn tại một và chỉ một
giá trị của biến y sao cho (x1, x2, …, x ,ny) thỏa mn phương trình (3.5) thì
phương trình (3.5) xác định một hàm số y = y(x1, x2, …, xn).
Hàm số y = y(x1, x2, …, x )n xác định một cách gián tiếp thông qua phương trình
(3.5) được gọi là hàm ẩn. Ta nói phương trình (3.5) xác định hàm ẩn y = y(x1, x n
2, …, xn) trong miền D R khi và chỉ khi: ( F x = ; ( M x . 1, x 2,. ., xn ) D 1, x2 ,. ., xn , ( y x1,x2,. .,xn)) 0
Định lý về sự tồn tại hàm ẩn trong trường hợp này được phát biểu như sau:
Định l 3.4. Giả sử hàm số F(x1, x2, …, x )
n xác định, liên tục, có đạo hàm riêng
liên tục trong một lân cận của điểm M (x1 và tại điểm o , x2,. ., xn, y) M (x1
thỏa mn các điều kiện: o , x2,. .,xn, y) ( F x ' 1, x 2,. ., x n , y) = 0 , F . y (x1, x 2 ,. ., x n , y) 0 Khi đó:
* Phương trình (3.5) xác định hàm ẩn y = y(x1, x2, …, xn) trong một lân cận V của điểm M (x1 ; o , x2,. .,xn )
* Hàm số y = y(x1, x2, …, xn) nhận giá trị y tại điểm M = M :o y(x1, x2,.. , xn ) = y ;
* Hàm ẩn y = y(x1, x2, …, xn) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
lân cận V của điểm M (x1 . o ,x2,. .,xn )
Việc tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn nhiều biến số được thực hiện tương tự
như việc tính đạo hàm của hàm ẩn một biến số.
Chng hạn tính đạo hàm riêng của hàm ẩn y theo biến xk, lấy đạo hàm riêng của (3.5) theo biến xk ta có F F y + . = 0 . x k y xk V F ới giả thiết
0, từ đây ta tìm được: y F F xk = − (3.6) x F k y
V dụ 3.35. Xt hàm ẩn z = z(x,y) xác định bởi phương trình 2 2 2 x y z + + =1 (3.7) a2 b2 c2
Tính đạo hàm riêng của z theo x và y. Giải 2 2 2 x y z 2x 2y z 2 Đặt ( F x, , y z) = + + , ta có ' ' ' F = ;F = ;F = . 2 2 2 a b c x 2 y 2 z 2 a b c
Với điều kiện z 0 , theo công thức (3.7) ta tìm được: ' F'x c2x ' F' 2 y c y z = − = − ;z = − = − . (3.8) x F'z a2z y F'z b2z
V dụ 3.36. Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình:
x2 + 2y2 + 3z2 + 2x + 4y - 6z = 0
Tính các đạo hàm riêng của z theo x và y. Giải Đặt F(x, y, z) = x2 2
+ 2y2 + 3z + 2x + 4y - 6z, ta có F' = 2x + ; 2 F' = + = − . x y 4y ; 4 F'z z 6 6
Với điều kiện z 1, ta có + + ' F'x x 1 F' ' y ( 2 y ) 1 z = − = = − = . x ;z F' − − z 1 ( 3 z) y F'z 1 ( 3 z)
3.3.6. Hệ số thay thế hay bổ sung
Cho hàm số kinh tế w = f(x o o o
1, x2, …, xn) và điểm M (x ; x ;.. , . x ) . Khi đó o 1 2 n
wo = f(Mo). Bài toán đặt ra khi hai biến xi và xj thay đổi còn các biến khác giữ
nguyên sao cho w không đổi (tức là w = wo), thì sự thay đổi của hai biến này
phải tuân theo tỷ lệ nào? Tùy vào thực tiễn của hai biến, tỷ lệ này có thể gọi là
tỷ lệ (hệ số) thay thế (ví dụ: thay thế giữa vốn và lao động), tỷ lệ bổ sung (ví dụ:
bổ sung giữa hai mặt hàng), tỷ lệ chuyển đổi (ví dụ: chuyển đổi giữa tiêu dùng
hiện tại và tiêu dùng tương lai). Ta có thể tính hệ số này như sau:
Theo công thức vi phân toàn phần, ta có f f f dw = dx + dx + . . + dx 1 2 n x x x 1 2 n
Do các biến xi và xj thay đổi còn các biến khác không đổi nên: dx f 0 j x i
= fxd ix + fx dxj = − = xj i j ( ) x dx f i i j x dx N dx ếu j 0 thì ta nói x j
j có thể thay thế (chuyển đổi) cho xi tại Mo với tỷ lệ dx dx i i . N dx dx ếu j 0 thì ta nói x j
j bổ sung cho xi tại Mo với tỷ lệ . dx dx i i N dx
ếu j = 0 thì ta nói xi, xj không thể thay thế hoặc bổ sung cho nhau tại Mo. dxi
3.3.7. Phương trình đường đng lượng, đường bàng quan
3.3.7.1. Phương trình đường đng lượng
Cho hàm sản xuất Q = f (K, L) . Giả sử K=Ko, L=Lo; sản lượng khi đó là Q = . Phương trình o f(Ko,Lo) Q = Q f , K ( ) L = Q (3.9) o o
được gọi là phương trình đường đồng lượng tại điểm (Ko, Lo).
Phương trình (3.9) xác định hàm ẩn K = K(L). Dọc theo đường đồng lượng,
các yếu tố sản xuất có thể thay thế cho nhau để cho cùng một mức sản lượng Qo. Tỷ số ' dK fL MP L P = − = = KL ' dL f K MP K P
được gọi là tỷ lệ thay thế k thuật cận biên (marginal rate of technical
substition). Tỷ lệ này cho biết xấp xỉ lượng vốn phải tăng thêm khi lượng lao
động giảm 1 đơn vị để giữ nguyên mức sản lượng.
Tương tự như lý thuyết người tiêu dùng, khi phân tích sản xuất người ta thừa nhận các tiên đề sau:
• Sản lượng đầu ra Q biến thiên cùng chiều với lượng sử dụng một yếu tố
sản xuất (với các yếu tố khác giữ nguyên);
• Tỷ lệ thay thế k thuật cận biên giảm dần, tức là khi lượng sử dụng lao
động càng lớn thì lượng vốn phải tăng thêm để thay thế cho 1 đơn vị lao động
bớt đi (mà giữ nguyên mức sản lượng) càng nhỏ.
Với các tiên đề nói trên, ta có: MPP dK
K > 0, MPPL >0, ko theo 0 ; dL 2 2 ( ) d K d K KL = − 0 , ko theo 0 . L dL2 dL2
Đường đồng lượng có đồ thị dốc xuống và quay bề lm lên trên. VD.
Cho ham san xuat: Q=100.K^0,5. L^0,5
Viet phuong trinh duong dong luong tai diem M0(81; 16).
Q0=Q(M0)=100.sqrt(81).sqrt(16)=100.9.4=3600
Phuong trinh duong dong luong: 100.K^0,5. L^0,5=36 Tuong duong K^0,5. L^0,5=36 Tuong duong K.L=1296 Tuong duong K=1296/L
3.3.7.2. Phương trình đường bàng quan
Cho hàm lợi ích U = U(x, y) . Giả sử x = xo, y = y ;o sản lượng khi đó là U = . Phương trình U = U ( U ,
x y) = U được gọi là phương trình o ( U xo,yo) o o
đường bàng quan tại điểm (xo, yo). Hệ số góc (hoặc độ dốc) của đường đó tại dy − MU − 1 U'x(x o;yo) điểm (xo, yo) bằng: (x = = . o ; yo ) dx MU2 U'y (xo ;yo )
Lý thuyết người tieu dùng trong Kinh tế học thừa nhận tiên đề về tính không
bảo hòa, hay “nhiều được ưa chuộng hơn ít”, tức là lợi ích của người tiêu dùng
tăng (người tiêu dùng ưa thích hơn) khi có thêm một loại hàng hóa trong cơ cấu
tiêu dùng mà không bớt đi các hàng hóa khác. Về mặt toán học điều đó có nghĩa l dy
à MU = U' 0 , MU = U' 0 , do đó
0 , tức là y = y(x) là hàm nghịch 1 x1 2 x2 dx
biến. Như vậy, các hàng hóa có thể thay thế nhau để duy trì một mức lợi ích
nhất định. Theo ý nghĩa của đạo hàm thì −dy MU 1 21 = = − dx MU 2
xấp xỉ bằng lượng tăng hàng hóa B để bù cho 1 đơn vị hàng hóa A bị bớt đi mà
vn giữ nguyên lợi ích người tiêu dùng. Các nhà kinh tế gọi tỷ số là tỷ lệ 21
thay thế cận biên (marginal rate of substitution) của hàng hóa B cho hàng hóa
A. Một tiên đề khác được thừa nhận trong kinh tế học là “tỷ lệ thay thế cận biên
giảm dần”, tức là giảm khi x tăng và y không đổi. Dạng toán học là: 21 2 2 ( ) −d y d y 12 = 0 0 . x dx2 dx2
Như vậy, đường bàng quan có đồ thị dáng dốc xuống và quay bề lm lên trên.
Ví dụ 3.37. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: U(x, y ) = 5 0,4 0,4 x y
(x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2; x ;0 y 0 ).
a) Hai hàng hóa này là thay thế hay bổ sung cho nhau.
b) Tại điểm (xo, yo) = (32; 32); viết phương trình đường bàng quan, xác định hệ
số góc của đường đó và nêu ý nghĩa. Giải: ' 0 − ,6 0,4 a) Ta có dy −U − − x 2x y y = = =
0 với mọi x > 0; y > 0. Vậy hai dx U ' − y 2x0,4 y 0,6 x
hàng hóa trên là thay thế cho nhau. b) Tại điểm (x 0,4 0,4
o, yo) = (32; 32): Uo = 5.32 .32 = 80. Phương trình đường
bàng quan tại điểm (xo, yo): U = Uo x ,04y0,4 −16 = 0. ' H − ' dy Ux −y
ệ số góc của đường bàng quan: y = = = . x dx U'y x T − 32 ại điểm (xo, yo): y' = = − . x 1 32
Ý nghĩa: Tại (xo, yo), khi tăng số đơn vị hàng hóa 1 lên 1 đơn vị thì phải
giảm số đơn vị hàng hóa 2 xuống 1 đơn vị để lợi ích tiêu dùng không đổi.
3.3.8. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
Cho hàm số kinh tế Y = f(t), trong đó t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng f (t ) của Y, ký hiệu là r r =
Y được xác định bởi công thức: f f (t) (%)
Thông thường rY được tính theo tỷ lệ %. Tính chất a) Cho U= U(t); V = V(t).
Nếu Y = U.V thì rY = rU + rV N U ếu Y = thì rY = rU - r V V N U V ếu Y = U + V thì r = r + r Y U V U +V U+ V N U V ếu Y = U – V thì r = r − r Y U V U −V U −V
b) Cho hàm w = f(x1, x2, …,xn)
trong đó x1= x1(t); x2 = x2(t); …; xn = x ( n t). n f r = . f r = . f r + .r +. . f + . f r x x x x x x x x i i 1 1 2 2 i 1 n n = VD. Cho Q=100.K0,5.L , 0,5 trong do K=3+3t, L=5+4t. Trong đó t là tháng 3 4 r = ; K r = 3+ 3 L t 5 + 4t Q Q 3 4
r = .r + .r =0,5. + 0,5. Q K K L L 3+ 3t 5 + 4t rQ (9) = 0,5.rK+0,5.rL= 0,1 %
Tăng trưởng sản lượng của tháng 10 là 0,1% Và cho biết ý nghĩa.