Bài tập ôn tập - Môn đại số tuyến tính | Học viện nông nghiệp

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 2 4 6 7 1 2   1 34
Bài 1. Cho các ma trận: A  , B  , C   3 5 7 0  4 3   2 6         Hãy th c ự hiện các phép t
ính sau: A  B , t t
A 3B , A  2B , t A B , . t A B , . t A B C . 14  14 5        t 62 0 t 6 34 ĐS: t A B  28 16  23   , . A B   , . A B C     2 1   0 62 42  34 9      1 3 2   2 6 5     
Bài 2. Cho hai ma trận: A  2 1  1   và B  1  4  3   . 3 0 2    3 9 7  
1) Hãy tính các tích AB và BA. T ừ t
đó hãy cho biế ma trận A có khả nghịch không? chỉ ra ma
trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A .
ĐS: AB  I , BA  I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3.
2) Tìm ma trận X (nếu có) th a
ỏ mãn: XA  B. ĐS: 2 X  B  ... Bài 3. Th c ự hiện các phép tính : 4 3 1  3 1   1 27 9 2 1 3 1  4  1) 3 ; 2) 2  2 0     ĐS: ; 18 28  0 . 1  2 0         1  0   1      0  1 1     0 9 1       2 1 1   
Bài 4. Cho ma trận : A  1 1  1  t   . Tính det( ) A , det(5 A ) , 4 det(A ) .  2 1 3   
ĐS: det A  2 ; t 3
det(5A )  5 .2  250 ; 4 4 det(A )  2 16 .
Bài 5. Tính định th c ứ c a ủ các ma trận sau:  1 0 3 1 4 0 0 1   x 1 1 0 1 1 1 a 1  2 2 6 0 3 1 0 2  1) 1      x 1       ; 2) 1 0 x   ; 3) 2 1 a   ; 4) ; 5) . 1 0 3 1 0 1 2 2  1 1 x   1  x 0   3 2 1        4 1 12 0 1 2   1 0  ĐS: 1) 2
(x  2)(x 1) ; 2) 0 ; 3) 2
3a  4a  2 ; 4) 0 ; 5) -45 BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 1
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 Bài 6. Tìm hạng c a ủ các ma trận sau: 3 4 1 2 0 1 0 1 0 2  7 3 1 6        1 4 7 2 1 3 1 3 1 A  3 5 2 2 4       ; B  ; C  . 1  10 17 4  3 5 3 5 3 9  4 1 7 2       4 1 3 3 7  9 7 9 7 
ĐS: r  A  2 ; r B   3 ; r(C)  2 1  2  1   
Bài 7. Cho ma trận: A  0 m 1    1  1  3   
1) Tìm m để ma trận A ả kh nghịch. 2) Với m  1
 , hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng ba cách (cách 1: sử d ng m ụ a trận ph ụ
hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính, cách 3: s d ử ụng bi p) ến đổi sơ cấ .  4 5  3   1   ĐS: 1) m   ; 2) 1 A  1 2  1  2     1 1 1    1 2 1   
Bài 8. Cho ma trận: A  m 1 0    1   1 2
1) Với giá trị nào của m thì hạng của ma trận A bằng 3? Với các giá trị m vừa tìm được thì ma
trận A có khả nghịch không? 2) Với m  1
 , hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng hai cách (cách 1: sử d ng m ụ a trận ph ụ
hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính). 3 ĐS: 1) Hạng c a
ủ mt vuông A bằng cấp c a
ủ mt khi và chỉ khi det( )
A  0 . ĐS: m   5 2  5  1   1  2  .5 0.5 1 2) 1     A  2 3  1   1 1  .5 0.5 2     0  1 1  0  0.5 0.5     
Bài 9. Hãy tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau bằng hai cách (cách 1: S d ử ng ụ
phương pháp biến đổi sơ cấp; cách 2: sử dụng ma trận phụ hợp):  0 2 1 2 3 8 1  2 2 3    5 2 1)     A  ;  
2) B  3 4 2 ; 3) C  ; ĐS: 1 1 A  ; B  1 1 3 . 2 5         4 6  2 1        1 1 1  1  2 6   BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 2
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017
Bài 10. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau
x  y 2z  t  2  
x  2 x  3 x  x  5  1 2 3 4 
1) 2x  y  z  3t  3  ; 2)  2     ; 1 x 4 2 x 3 3 x 4 4 x 2
x2 y3z2t  1   
5x 10x 13x  6x  20  1 2 3 4 x  z 5
x  2 x 12 1 2  
y  1 3z x  2 3 ĐS: 1)  ; 2)  . t  2  2z  x  1  4 z   x   2 Bài 11.
1) Với giá trị nào của m thì các hệ phương trình sau có nghiệm:
 x 2y  z  t  1 
x  y 10z  6t  3   a) 3
 x  y  2z  t  2 ; b) x  2y  mz  t 1 .   x
  5y  4z  mt  5
2 x 5 y z mt   2
HD: Biến đổi ma trận b
ổ sung của hệ pttt về dạng bậc thang.
Hệ pttt có nghiệm khi và chỉ khi ( )  ( bs r A r A )
ĐS: a) m  4 ; b) m  3
2) Với giá trị nào của m thì hệ m
phương trình sau có nghiệ duy nhất? Có vô s nghi ố ệm? x  3y  2t  0 
  y  2z  t  0  2x  z t  0 
4x y mz   0 HD: det( )
A  11m  5 với A là ma trận hệ số c a ủ hệ pttt.
Hệ vuông thuần nhất có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi det( ) A  0 .
Hệ vuông thuần nhất có vô s nghi ố ệm khi và chỉ khi det( ) A  0
Bài 12. Tìm tất cả các m
a trận X (nếu có) thỏa mãn: 1 2 1 2 1 2 1   2 1 1 1)  X  X  ; 2) X 1 1 0  . 1 3 1 3          1 0 2 1 1   2    x y 
ĐS: 1) Các ma trận X th a
ỏ mãn pt có dạng: X  , , x y    ; y x y    3  7 2  2) X   1 1.5 0.5    BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 3
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017
Bài 13. Trong không gian véctơ
cho tập hợp: W   ; x ; y z  y  z   0
a) Véctơ u  1;2; 
3 có thuộc W không? Chỉ ra một véctơ (khác véc tơ không) thuộc W .
b) Chứng minh rằng W là một không gian véctơ con của . c) Tìm một cơ sở, s c ố hiều c a ủ không gian W .
d) Chứng minh véctơ u  1;2;5 thuộc W và tìm tọa
độ của u trong cơ sở của W tìm được ở câu h i ỏ trên.
ĐS: a) không; VD: u 1;1;  2 W c) M t ộ cơ sở S 
 u  3;1;0 ; u  1  ;0;1 ; dimW  2 1   2   d) u  . S  2;  5   x  t  
Bài 14. Trong không gian véctơ
cho tập hợp: V   x y z t 2 0 ; ; ;  .
y  z  t    0
a) Véctơ u  1;2;5;4 có thuộc V không?
b) Chứng minh rằng V là một a không gian véc tơ con củ .
c) Tìm một cơ sở và tính s c ố hiều c a ủ không gian V .
ĐS: a) Không; c) Một cơ sở S  u  2
 ;1;1;0 ; u  0;1;0;1 ; dimV  2 . 1   2  
Bài 15. Trong không gian véctơ
cho tập hợp: V  
 ;x y; ;zt   0 .
a) Chứng minh V là một không gian véctơ con của .
b) Tìm một cơ sở, số chiều của không gian V .
c) Chứng minh véctơ u   4  ;2; 1   ;1 thu c
ộ V và tìm tọa độ của u u trong cơ sở tìm đượ c ở trên.
ĐS: b) Một cơ sở S  u  1;0;0;0 ; u  0; 2
 ;1;0 ;u  0;0;0;1 ; dimV  3. 1   2   3   c) u    S  4; 2  ;1
Bài 16. Các tập hợp sau có là không gian véctơ con c ng không?
ủa các không gian tương ứ a ) V   ; x ; y ;
z t | 2x  3z   1 trong . b) V   ; x ;
y z | xy  2z   0 trong . 
x  t    c) V    x y z t  2 3 0 ; ; ; |   trong .
y  t  z    0 
ĐS: a) không; b) không; c) không.   x  z  
Bài 17. Trong không gian véctơ
cho tập hợp: V   x y z   2 0 ; ;   . x 
  y  z  0
a) Chứng minh rằng V là không gian véctơ con của . BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 4
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017
b) Tìm một cơ sở và tính số chiều của không gian V .  1 1
c) Chứng minh rằng véctơ u  1; ;  thu c
ộ V và tìm tọa độ c a
ủ u trong cơ sở tìm được ở trên.  2 2
ĐS: b) Một cơ sở S  v  2;1 
;1 ; dimV 1; c) u  S   2 Bài 18. H
ọ các véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thu c ộ tuyến tính:
a) S u  1; 2  ;0;4 ; u  3; 2
 ;1,1 ; u  2;2;1;3 trong . 1   2   3  
b) S u  1; 2  ;0;4 ; u  3; 2
 ;1,1 ; u  2;0;1; 3  trong . 1   2   3  
c) U  u  1  ;2;4 ; u  3; 2
 ;2 ; u  1;0;3 ;u  1;1;1 trong . 1   2   3   4  
ĐS: a) ĐLTT b) PTTT c) PTTT. Bài 19.
1) Chứng minh họ vectơ sau là một cơ sở của không gian vectơ : V  v  1
 ;2;4 ; v  3;2;1 ; v  2; 1  ;5 1   2   3  
2) Họ vectơ sau đây có phải là một cơ sở của không gian vectơ không? U  u  2  ;3;4 ; u  3; 2  ;5 ; u  5;0;23 1   2   3   ĐS: 2) không
Bài 20. Với giá trị nào của m thì h ọ vectơ sau đây c
độ lập tuyến tính? Ph t ụ huộc tuyến tính?
a) V v  2;1;1;m ; v  2;1; 1
 ,m ; v  10;5; 1  ;5 trong . 1   2   3  m
b) U u  2;1;2m ; u  2;1; 1  ; u  1 ; m 2; 3  trong . 1   2   3   c) V u  ;
m 2;1 ; u  1; 2
 , m ; u  2;2;3 trong . 1   2   3   1  1 ĐS: a) PTTT khi m ; ĐLTT khim  2 2 1 1 b) PTTT khi m 
hoặc m=3; ĐLTT khi m  và m  3 2 2 c) PTTT khi m  1
 hoặc m=0; ĐLTT khim  1  và m  0 Bài 21. Trong
, véctơ u sau đây có phải là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại không? Tại sao?
Với u  1;1;1 ; u  0; 1  ;1 ; u  2  ; 1  ;3 ;u  2; 1  ;5 . 1   2   3    
ĐS: Có vì u  2u  3 . 1 u2 Bài 22. Tìm u
điề kiện của m để véctơ u trong
sau đây là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại với u  0;1; 1  ; u  2  ;1;3 ; u  ; m 2; 1  ;u  1; ; m 2 . 1   2   3     BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 5
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 1
ĐS: Là THTT khi và chỉ khi m  2
Bài 23. Trong không gian véctơ cho hai tập hợp:
U  u  1; 1
 ; u  2;1 và V v  3;1 ; v  1; 1  . 1   2   1   2  
a) Chứng minh rằng U và V là hai cơ sở c a ủ .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V .
c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ V sang U .
d) Tìm tọa độ của vectơ x  3; 1
  trong cơ sở U .
e) Tìm vectơ y trong
có tọa độ trong cơ sở U là y  (4; 5  ) . U
f) Biết tọa độ của vectơ z trong cơ sở U là z  (7;2), hãy tìm tọa
độ của vectơ z trong cơ sở U V . 1   3  1   0    5 2   3 13 3 4 ĐS: b) A    ; c) B    ; d) x  ;   ; e) y   6  ; 9   ; f) z  ;    4 1 U 3 3 V  2 2 0       1 3     4 
Bài 24. Trong không gian vectơ
cho hai tập hợp: U  u  1;1; 1
 ; u  1;1;0 ; u  2;1; 1  và 1   2   3  
V  v  1;1;0 ; v  1;0; 1  ; v  1;1;1 . 1   2   3  
a) Chứng minh U và V c là hai cơ sở ủa .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V .
c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ V sang U .
d) Tìm tọa độ của vectơ x  2;3; 1
  trong cơ sở U .
e) Tìm vectơ y trong
có tọa độ trong cơ sở U là y   . U 1;1;  1 f) Biết tọa c
độ ủa vectơ z trong cơ sở V là z 
, hãy tìm tọa độ của vectơ z trong cơ sở V 1;0;  2 U . 0  0 1    2 1 1     ĐS: b) A  1 1  2   ; c) B  0 0 1   ; 0  1 0     1   0 0 d) x  
; e) y  0;1;0 ; f ) z   U 0;2;  1 U 2;2; 1
Bài 25. Tìm hạng c a ủ họ các véc tơ sau:
a) U  u  2  ;1;1 ; u  2; 3
 ;1 ; u  1;0;1 ; u  1; 3
 ;2 trong không gian vectơ . 1   2   3   4  
b) V  v  2  ;1;1 ; v  2; 3
 ;1 ; v  4;0;1 trong không gian vectơ . 1   2   3   BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 6
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017
c) W  w  2;2;0;0; 1  ; w  3; 3  ;1;5;2 ; w  1; 1  ; 1
 ;0;0 trong không gian vectơ . 1   2   3   ĐS: a) 2; b) 3; c) 3. Bài 26. T rong không gian véc tơ hãy tìm hạng của h
ọ các véc tơ sau tùy theo m :
U u  2;1;1;m ; u  1;3; 1
 ;2 ; u  3;1; 3  ; m 0 1   2   3  
ĐS: m 1 thì hạng c a ủ h
ọ vectơ là 2; với m 1 thì hạng c a ủ h ọ 3. vectơ là
Bài 27. Cho ánh xạ f : xác định bởi: u    ; x ; y z   x  ; y y  z 
1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm ker f , Im f và tính hạng của f .
3. Tìm ma trận của f trong cơ sở U  u  (1;1;0); u  (1;0;1); u  (1;1;1) 1 2 3  của và cơ sở
V  v  (1;1); v  (1; 2) của . 1 2   3 3 4 
ĐS: ker f u   t
 ;t;t | t  ; Im f 
; r( f )  dimIm f   2; A    1 2 2    
Bài 28. Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định bởi: u    ; x y; z    x  2 ;
y 3y  z;3x  2z 
1. Tìm ker f , Im f và chỉ ra cho m i
ỗ không gian này một cơ sở.
2. Tìm hạng của ánh xạ f .
3. Tìm ma trận A c a
ủ ánh xạ f trong cơ sở U  u  (0;1;1); u  (1;0;1); u  (1;1;1) của . 1 2 3 
ĐS: ker f u  2t; t
 ;3t | t  1  ;  3 ;
Im f  span 
 1;0; 3,2;3;0,0;1; 2
   1;0;3,0;1; 2
  ; r( f )  2 ; 4 0 2   A  6  0 3     8 1 6    0 1 1  
Bài 29. Cho ánh xạ tuyến tính f :
có ma trận là A 1 0 1 
 trong cơ sở chính tắc 1 1 0  
E  e  (1;0;0); e  (0;1;0); e  (0;0;1) của . 1 2 3 
1. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính f .
2. Tìm ma trận của ánh xạ f trong cơ sở U  u  (1;0;0); u  (1;0;1); u  (1;1;1) của . 1 2 3 
3. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ?
nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A . BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 7
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017
HD&ĐS: 1. Giả sử u   ; x y; z  có u  x  
suy ra f (u)  xf (e )  yf (e )  zf (e ) 1 e y 2 e z 3 e 1 2 3
do f là axtt. ĐS: f (u)  y  z; x  z; x  y  1 0 0 2.   B  0 1 0    1 2 2  
3. Mt A có hai giá trị riêng là   2(bội 1) và   1  (b i ộ 2). 1 2
Vectơ riêng ứng với gt riêng   2 có dạng   t v x x x ,  . 1 x
Vectơ riêng ứng với gt riêng   1  có dạng    t v x y x y , x,  . 2 y 1  1 0   2 0 0  Ma trận      P  1 0 1 
 làm chéo hóa A và 1 P AP  0 1 0   . 1  1   1 0 0 1   1 1 2
Bài 30. Cho ánh xạ tuyến tính f :
có ma trận là A    trong hai cơ sở 2 1 1
U  u  (1;1;0); u  (1;0;1); u  (1;1;1)
V  v  (1;1); v  (1;2) 1 2  1 2 3  của và cơ sở của . 1. Tính f (4;2;1).
2. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính f .
3. Tìm hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f và chỉ ra cho m i
ỗ không gian con này một cơ sở.
ĐS: 1.u  4; 2;1  3u  2 
 f (u)  3 f (u )  2 f (u )  f (u ) . ĐS: f (4;2;1)  (10;17) 1 u2 u3 1 2 3 2.Với u   ; x y; z 
có u  (x  z)u  (x  y)u  (x  y  z) 1 2 3 u
CT xác định f là: f (u)  2x  ;
y 4x  y  z .
3. ker f u  ; x 2  ; x 2  x , x  2  ; 
2  một cơ sở: S  1; 2  ;2 1   nh l Dùng đị
ý: dim(ker f )  dim(Im f )  dim( suy ra Im f 
, có 1 cơ sở là V . Bài 31. Cho f :
là ánh xạ xác định bởi: u    ; x y    8  x 15y; 6
 x 11y  .
1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm ker f , Im f và tính hạng của f .
3. Tìm ma trận A c a
ủ ánh xạ tuyến tính f trong trong cơ sở U  u  (1;1); u  (2;1) của . 1 2 
4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ?
nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A . BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 8
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 3  1  
HD&ĐS: 2. ker f  (0;0  )  Im f  ; 3. A  ; 2  0   
4. A có 2 giá trị riêng là   1 và   2 . 1 2  x 
Vectơ riêng ứng với gt riêng   1 có dạng u  , 1 x 2   x  
Vectơ riêng ứng với gt riêng   2 có dạng x 2 u  , x   x 1 1 1 0 Ma trận P 
làm chéo hóa A và 1 P AP  . 2  1     0 2
Bài 32. Cho ánh xạ f : xác định bởi: u    ; x ; y z 
  x  z; ; y x  z  .
1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm ker f , Im f và tính hạng của f . Chỉ ra cho m i
ỗ không gian con ker f , Im f một cơ sở.
3. Tìm ma trận A c a
ủ ánh xạ tuyến tính f trong trong cơ sở chính tắc
E  e  (1;0;0); e  (0;1;0); e  (0;0;1) của . 1 2 3 
4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ?
nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A .
HD&ĐS: 2. ker f  ;
x 0; x, x  ; 1
 ) ; Im f  (1;0;1),(0;1;0) ; r( f )  2 1  0 1  3.   A  0 1 0   1  0 1   
4. A có 3 giá trị riêng là   0 ,  1 và   2 . 1 2 3
Vectơ riêng ứng với gt riêng   0 có dạng  0  t u x x ,  1 x
Vectơ riêng ứng với gt riêng  1 có dạng  0 0t u y ,  2 y
Vectơ riêng ứng với gt riêng   2 có dạng   0 t u x x ,  3 x  1 0 1  0 0 0 Ma trận     P  0 1 0  
 làm chéo hóa A và 1 P AP  0 1 0   .   1 0 1  0 0 2   1 6  6   3 
Bài 33. Cho ma trận A 
và u   , v 
. Hỏi u,v có phải là những vectơ riêng 5  2     5     2
của ma trận A không ? vì sao ? 9 HD: Au  4  u ; Av   v,     11   BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 9
BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 Bài 34. Ma tr c
ận sau có chéo hóa đượ không ? nếu được hãy đưa ma trận đó về dạng chéo :  2 4 3    A  4  6  3     3 3 1   
HD: Ma trận A có hai giá trị riêng là   1 (bội 1) và   2  (b i ộ 2). 1 2 K/g riêng ng v ứ
ới giá trị riêng   1 (bội 1) là không gian 1 chiều sinh bởi v  1 1   1 t 1 K/g riêng ng v ứ
ới giá trị riêng   2  (b i
ộ 2) là không gian 1 chiều sinh bởi v  1 1  0 t 2
nên mt A vuông cấp 3 không có đủ c
3 vectơ riêng độ lập tuyến tính, do đó ma trận A không thể chéo hóa được.
-------------------------------------------- HẾT -
------------------------------------------- BỘ MÔN TOÁN-KHO C
A ÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 10