lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
PHÂN 1. PH¯¡NG TRNH VI PH´N CÀP 1
Phương trnh vi phn c biến số phn ly
1. y′cos2y − sin y = 0 14. y′ = 1 x + y −1
2. y′ = sin y + cos y
y′ = 4x + 2y −1 15.
3. x(1− y) y′ = −2y 16. (y + ) − ) 2
xy2 dx +(x2 yx2 dy = 0 4. dydx = e + ) y
1 17. 2y y − y2 dx −(1+ x2 dy = 0 5. x(1+ y1 )dx + y(1+ x2 )dy = 0 18. y′ = x2 + y − 2x 6. y′ = 1
19. xydx +(x +1)dy 1 + x x = 0 ( 2 2 1 +x ) + 1 +x
20. y2 +1dx = xydy 2 dy x +2 x 1 − = 7. y′ =
21. (1+ y2 )(e2xdx −eydy)−(1+ y)dy = 0 dx ( x + ) 1 x 1 + 8. ( ) 2 22. y′ = x 9. y′ = − 3 1
23. y′ = x2 + 2xy −1+ y2 x + y = 10. y′ = y3 2 1 2 1 24. 11.
y′ = −y −2xy − x ′ x − y +1 ′
1 . xy′ = y − xex 4. ax2 + 2bxy + cy2 + y (bx2 + 2cxy + f y2)= 0 lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7 12.
y′ = (4x + y −1)2 + 1 13.
y′ = ex+y −1 25. y′ =1 2 y
26. (xy2 − y2 + x −1)dx + (x2y − 2xy + x2 + 2y − 2x + 2)dy = 0 + y 27. y′ +1= ( x ) m n
p Đặt z = x + y .
(x + y) + (x + y)
28. a(xy′ + 2y)= xyy′ (biến ổi về x(a − y)y′ = −2ay)
29. y′ = y2 − 22 (Đặt z = xy) x ′
30. Giải phương trnh vi phn (y′2 −1)x2y2 + y (x4 − y4)= 0 (coi l phương trnh cấp 2 ối với y)
Phương trnh vi phn thuần nhất 2 2 » y ¿
1. xdy−ydx= x +y dx
3. xy′ = ycos ¼½ ln x ÀÁ y
5. x2y′2 −3xyy′+ 2y2 = 0 6. (2x + y
12. xy′ = y(1+ln y −ln x) thỏa mªn y(1) = e
+1)dx − (4x + 2y −3)dy = 0 y
13. y′ = y +sin thỏa mªn y(1) =π x
7. (xy′+ y)2 = y2 y′. x 2
14. x2 y′+ y2 = xyy′ 8. xyy′ + x 2 − 2y2 = 0 » y ¿ y
15. ¼½ x − ycos x
ÀÁdx + xcos x
9. (3x2 + y2)y + (y2 − x2)xy′ = 0 dy = 0
10. xy′ = y(1+ ln y − ln x), y(1)= e 11. y2 + x 2 y′ = xyy′ lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7 x + y
16. (x2 + 2xy − y2 )dx +(y2 + 2xy − x2 )dy
22. xy′− y = (x + y)ln = 0 x
17. (x + y −2)dx +(x − y + 4)dy = 0 23. dx = dy y + x y − x
Phương trnh vi phn tuyến tnh
1. xy′ − y = x2arctgx 24. = 2 dx 2 2 dy
2x −2xy + 2y y −4xy
2. (1+ x2)y′ − 2xy = (1+ x2)2 )
25. (y + xy dx = xdy 3. y′ + 2xy = xe−x2
26. (2x −4y +6)dx +(x + y −3)dy = 0
4. x(1+ x2)y′ − (x2 −1)y + 2x = 0
27. (2x + y +1)dx −(4x + 2y −3)dy = 0
28. (x − y −1)+(y − x + 2)y′ = 0
5. y′sin x − y = 1− cos x
18. (2x −2y −1)dx +(x − y +1)dy = 0
29. (y + 2)dx +(2x + y − 4)dy = 0
19. x(x + 2y)dx +(x2 − y2 )dy = 0
30. y′ = 2x + y x
20. (x2 + y2 )dx − xydy = 0
21. (x2 + y2 )dy + xydx = 0
31. (y2 −2xy)dx + x2dy = 0
6. (sin2 y + xcot g y)y′ =1 x− hm, y − biến = x 7. y′ + tgy
Đặt z = sin y cos y
8. (2ey − x)y′ =1 x − hm, y − biến
9. (1− 2xy)y′ = y(y −1) x− hm, y − biến 10. y′ + xy = x3 § ′ − 2 lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7 11. ª¨ y x y = x32 ª©y(1)=1 12. y′ + = 0 (coi x l hm của y) ′
13. yey = y (y3 + 2xey ), với y(0) = -1 (coi x l hm của y) 14. (x 2 − y)dx + xdy = 0
15. Giải phương trnh vi phn 2xy′ + y = 1 1− x
16. 2x(1+ x)y′ − (3x + 4)y + 2x 1+ x = 0
17. xy′ − y = x2 sin x
18. Tm nghiệm riŒng của phương trnh y′cos2 x + y = tgy thỏa mªn iều kiện y(0)=0.
19. Tm nghiệm riŒng của phương trnh y′ 1− x2 + y = arcsin x thỏa mªn iều kiện y(0) =0.
20. xy′ + y = y2 ln x
21. 3y2 y′ − ay3 = x +1
22. (xy + x2 y3 )y′ =1 x − hm, y − biến
23. y′x3 sin y = x′y − 2y x − hm, y − biến
24. (x2 + y2 +1)dx + xydy = 0
25. (x2 −1)y′sin y + 2xcos y = 2x − 2x3 Đặt z = cos y lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7 ′
26. x(ey − y )= 2 Đặt z = ey
27. y′−1= ex+2y
28. (x2 + y2 + 2x − 2y)dx + 2(y −1)dy = 0 Đặt z = y −1
29. x 2 y′ = y(x + y) (biến ổi về dạng y′ − 1 y = 12 y2 ) x x = 2y x
30. Tm nghiệm của phương trnh vi phn ydx + 2xdy 2
dy thỏa mªn iều kiện y(0)= π . cos y 31. (x +1)(y′ + y2)= −y
43. y′+ 2 y = 22 y x cos x 32. xydy = (y2 + x)dx
44. y′− 2 y = 32 thỏa mªn y(1) =1 x x ) 33. (y + xy dx = xdy
34. xy′ − 2x2 y = 4y
45. y′+ y + y2 = 0 x +1
35. 2x2y′ = y2(2xy′ − y) (coi x = x(y))
46. y′− y = 1 x
36. xyy′ − y2 = xα (α l tham số) y
37. y′+ 2y = x2
38. (x +1)y′+ y = x
47. 2xy′+ y = 1
39. x2 y′− xy = y2
40. x3 y′−2x2 y + 2y2 = 0 1− x
48. xyy′− y2 = x3
41. y′− y = x x y
49. xyy′− y2 = x4
50. y′− y = y22 x x
Phương trnh vi phn ton phần
42. y′cos2 x + y = tan x lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7 » x y y y 1.
¼¼ 1y sin y − x + 2 cos x
1ÁÀÀ¿dx + ¼¼½» 1x cos x − x x 1 y Á ¿ÀÀ 2 sin y + y 2 dy = 0 . ½ 2. »¼¼x + e ¿À »¼ xy Àdx + exy
1− x ¿ÀÀdy = 0. ¼ ½ Á ½ y Á ( ) 3. 2 (
x 1+ x2 − y dx − x2 − ydy = 0. 4.
x2 + y2 )(xdy − ydx) =
(a + x)x4dx .
5. (x cos y − y sin y)dy + (xsin y + y cos y)dx = 0 .
6. (x4 ln x − 2xy3 )dx + 3x2 y2dy = 0. + 7. y2dx (2xy + 3)dy = 0
8. ex (2 + 2x − y2 )dx − 2ex ydy = 0 )
9. (y2 +1)32dx+ (y2 +3xy 1+y2 dy=0
10. (ycos2 x − sin x)dy = ycosx(ysin x +1)dx
11. (2x + 3x 2 y)dx = (3y2 − x3 )dy )
12. »¼¼½ sinx y + 2¿ÀÀÁdx − (x 22+sin1 2cosy y = 0 lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
13. (y + ex sin y)dx + (x + ex cosy)dy = 0 +
14. (x + sin y)dx (x cos x + sin y)dy = 0 ¿
15. 3x2 (1 + ln y)dx = »¼¼2y − xy3 ÀÀÁ dy ½
16. (2xy + 3)dx + x2dy = 0
17. 2xeydx −ey (2+ 2y − x2)dy = 0 ( )
18. x2 +3xy 1+ x2 dx +(x2 +1)3/2 dy = 0
19. (3x2 − y3 )dx = (2y +3xy2 )dy
20. »¼½ siny x + 2¿ÀÁdy − (y22+sin1)2cosx x dx = 0
21. (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
22. »¼½ 2x − yx ¿ÀÁ ( 3
dx = 3y2 1+ ln x)dy
23. (1+ y2 sin2x)dx −2ycos2 xdy = 0 » 2 y ¿ 24. ¼½ x + ÀÁ 2
2xsin2y + x
dx +(2x2 cos2y +ln x)dy = 0
25. (sin y − xcos2 y)dx + xcos y(xsin y +1)dy = 0 lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
26. (2xy +ey cos x)dx +(x2 +ey sin x)dy = 0
27. (ycos x + 2x2 sin x)dx +(y2 +sin x)dy = 0 ¿À
28. 3x2 (x + ln y)dx = »¼½ 2y2 − xy3 Á dy 2 ¿
29. (2y2 cos2x +ln y)dx +»¼ y + ÀÁ 2
2ysin2x + xy dy = 0 ½ 30. e ¼½» ¿ÀÁ yx
x y −1¿ÀÁ dx = ½»¼ y +eyx dy
Phương trnh F(x, y)=0, F(y, y) = 0, F(x,y,y)=0, Phương trnh Lagrange- Klero
1. x′y3 =1+ y′.
2. y = ey′.y′2 . 1
3. y′2 x = ey .
4. y = y′(1+ y′cos y′).
5. y = 2xy′ + sin y′.
6. y = xy′ + ey′ .
7. y = 2y′x + y2 y′3 ( Nhn hai vế với y , Đặt z = y2 ).
8. x = y + 12 ( x − hm, y − biến). y′ y′
9. xy′ − y = ln y′.
10. 2y′2 (y − xy′) =1.
PHÂN 2. PH¯¡NG TRNH VI PH´N CÀP CAO lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
Phương trnh vi phn tuyến tnh
1. x 2 y′′ − 2y = x3 cosx , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần nhất tương ứng l y1 = x2
2. Giải phương trnh vi phn: x 2 (x +1)y′′ = 2y biết một nghiệm y = 1 1+ 1 x
3. Giải phương trnh vi phn (x 2 +1)y′′ − 2y = 0 nếu biết một nghiệm của n c dạng a thức.
4. Giải phương trnh vi phn (2x +1)y′′ + (2x −1)y′ − 2y = x 2 + x biết n c hai nghiệm riŒng x 2 + 4x −1 x 2 +1 y = = 1 y2 2 2
5. XÆc ịnh hằng số α sao cho y=eαx2 l nghiệm riŒng của phương trnh vi phn y′′ + 4xy′ + (4x 2 +
2)y = 0. Tm nghiệm tổng quÆt của phương trnh.
6. Tm nghiệm tổng quÆt của phương trnh vi phn (3x2 +1)xy′′ + 2y′ − 6xy = 4 −12x2 biết rằng n c =
hai nghiệm riŒng y = ( 1 2x, y2 x +1)2
7. Giải phương trnh xy′′+ 2y′+ xy = cot x biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần
nhất tương ứng y1 = sin x x
8. (x 2 +1)y′′ − 2y = 0 nếu biết một nghiệm của n c dạng a thức.
9. Giải phương trnh x2 y′′− xy ’+ y = 4x3 , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần nhất tương ứng l y1 = x
10. Giải phương trnh xy′′− y ’ = x2 lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
11. Giải phương trnh x2 y′′− 2xy ’+ 2y = 2x3 , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần nhất tương ứng l y1 = x
12. Giải phương trnh y′′
y y x , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi
phn thuần nhất tương ứng l y = 1 ex
13. Giải phương trnh x2 (ln x −1) y′′− xy ’+ y = 0 , biết một nghiệm riŒng c dạng y = xα,α l hằng số.
14. Tm nghiệm riŒng của phương trnh (2x − x2 )y′′+(x2 − 2)y ’+ 2(1− x)y = 0 thỏa mªn y(1) = 0, y’
(1) =1, biết một nghiệm riŒng của n l y = ex
15. Giải phương trnh (2x − x2 )y′′+ 2(x −1)y ’− 2y = −2 , biết n c hai nghiệm riŒng l y = = 1 1, y2 x
16. Giải phương trnh y′′ y
, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn
thuần nhất tương ứng l y = 1 1
17. Giải phương trnh (2x +1) y′′+(4x − 2) y ’−8y = 0 , biết một nghiệm riŒng c dạng y = eax,α∈
18. Giải phương trnh xy′′−(x +1) y ’− 2(x −1) y + x2 = 0 , biết một nghiệm riŒng của phương trnh
thuần nhất tương ứng c dạng y = eax,α∈
19. Giải phương trnh (x2 −1)y′′− 6y = 0 biết một nghiệm riŒng c dạng a thức.
20. Giải phương trnh y′′− 1 y ’ = x x
21. Giải phương trnh (x2 +1)y′′+ 2xy ’− 2y = 4x2 + 2 , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi
phn thuần nhất tương ứng l y = 1 x
22. Giải phương trnh x2y′′− xy ’+ y = 4x3, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần
nhất tương ứng c dạng a thức.
23. Giải phương trnh (x2 −1)y′′+ 4xy ’+ 2y = 6x, biết n c hai nghiệm riŒng l y = = + 1 x, y2 x2 x +1 x +1 lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7 2x 2
24. Tm nghiệm riŒng của phương trnh y′′ = − 2
y ’+ 2 y thỏa mªn x +1 x +1
y(3) = 22, y ’(1005) = 2000 , biết một nghiệm riŒng của n l y = 1 x
25. Giải phương trnh (x2 +1)y′′− 2xy ’+ 2y = 0 , biết một nghiệm riŒng c dạng a thức.
26. Giải phương trnh y′′+ 4xy ’+(4x2 + 2)y = 0 , biết một nghiệm riŒng c dạng y = 1 eαx2 ,α∈
27. Giải phương trnh y′′+ 2 y ’+ y = cot x , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần x x
nhất tương ứng l y1 = sin x x
28. Giải phương trnh y′′− 4xy ’+(4x2 −1) y = ex2 , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn
thuần nhất tương ứng l y = 1 ex2 sin x
29. Giải phương trnh xy′′+ 2y ’− xy = ex, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần
nhất tương ứng l y = ex 1 x
30. Giải phương trnh x2y′′− 2xy ’+ 2y = x2, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần
nhất tương ứng l y = 1 x
31. Giải phương trnh x2y′′− 2xy ’+ 2y = x3 sin x, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn
thuần nhất tương ứng l y = 1 x
32. Giải phương trnh x2y′′− 2xy ’+ 2y = x3 cos x, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn
thuần nhất tương ứng l y = 1 x
33. Giải phương trnh x2y′′− 2xy ’+ 2y = x3 ln x , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn
thuần nhất tương ứng l y = 1 x
34. Giải phương trnh x2y′′− xy ’+ y = x3, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần nhất tương ứng l y = 1 x
35. Giải phương trnh x2y′′− xy ’+ y = −8x2, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần
nhất tương ứng l y = 1 x lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
36. Giải phương trnh x2y′′− xy ’+ y = x , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần nhất tương ứng l y = 1 x
37. Giải phương trnh x2y′′− xy ’+ y = x ln x , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần
nhất tương ứng l y = 1 x
38. Giải phương trnh (1− x) y′′+ xy ’− y = x2 − 2x +1, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi
phn thuần nhất tương ứng l y = 1 ex
39. Giải phương trnh (1− x) y′′+ xy ’− y = 0 , biết một nghiệm riŒng c dạng y = eαx,α∈
40. Tm nghiệm riŒng của phương trnh (x2 +1)y′′− 2xy ’+ 2y = 0 thỏa mªn yx=2 =1, y’ = x=2
−1, biết một nghiệm riŒng l y = 1 x 2 + 2
41. Tm nghiệm riŒng của phương trnh y" = − x +x + = = − 2 1 y ’ x2
1 y thỏa mªn yx=1 1, y’x=1 1,
biết một nghiệm riŒng l y = 1 x
42. Giải phương trnh (1+ x2 )y′′+ 2xy ’− 2y = x, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn
thuần nhất tương ứng l y = 1 x − 2 = 1
43. Giải phương trnh y′′+ 2x2 y ’ 2 y
2 , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi 1+ x 1+ x 1+ x
phn thuần nhất tương ứng l y = 1 x
44. Giải phương trnh (1+ x2)y′′+ 2xy ’− 2y = 1 , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn x
thuần nhất tương ứng l y = 1 x
45. Giải phương trnh xy′′+ 2y ’− xy =1, biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần nhất
tương ứng l y = ex 1 x lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
46. Giải phương trnh y′′+ 2 y ’− y = e2x , biết một nghiệm riŒng của phương trnh vi phn thuần x x
nhất tương ứng l y = ex 1 x
Phương trnh vi phn tuyến tnh hệ số hằng số
1. y′′′−13y′−12y = 0 .
7. y′′− 3y′ + 2y = 3e2x + 2x2 .
2. y′′′− 2y′′ + 9y′ −18y = 0 .
8. y′′− y = 2sin x − 4cos x.
3. y(4) + y = 0 .
9. y′′′− 2y′+ 4y = e−x cos x.
4. y(4) + 2y′′′+ 3y′′+ 2y′ + y = 0 . 10. y′′+ n2 y = sin3 nx .
5. y(7) + 3y(6) + 3y(5) + y(4) = 0 .
11. y′′+ y = sin xsin 2x .
6. y′′+ y = 4ex.
12. x2 y′′− xy′+ 2y = x ln x t = ln x.
13. (2x +1)2 y′′− 4(2x +1)y′ + 8y = −8x − 4 t = ln(2x +1).
14. y′′+ 1 y′+ 12 y = 2sin(ln x) t = ln x. x x
15. (1+ x)2 y′′+ (1+ x)y′ + y = 4cosln(1+ x) t = ln(1+ x). x
16. y′′+ 9y = ln 2sin 2
17. Døng phØp biến ổi hm y = z ể
2 giải phương trnh vi phn: x 2 y′′ + 4xy′ + (x 2 + 2)y = ex . x
18. y′′ + y′ = e−x (sin x − cos x) (Đặt y = e-xz) lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
19. Giải phương trnh y′′ − (2ex +1)y′ + e2x y = e3x bằng ổi biến t = ex
20. y′′cos x + y′sin x − y cos3 x = 0 ặt t = sinx
21. Giải phương trnh vi phn xy′′ + 2y′ − xy = ex bằng phØp ổi hm z = xy.
22. y′′ + y′tgx − y cos2 x = 0 døng t = sinx
23. Giải phương trnh vi phn xy′′ + 2(1 − x)y′ + (x − 2)y = e−x bằng phØp ổi hm z=xy
24. x 2 y′′ + 2xy′ + y = 2
0 bằng phØp biến ổi x = 1/t x
25. x 2 y′′ + xy′ + y = x (biến ổi x = et )
26. x 2 y′′ − 4xy′ + 6y = 0 (biến ổi x = et )
27. y′′ + 4y′ + 4y =1 + e−2x ln x
37. y′′ − 2y′ + y =1 + ex x 28. y′′ + y′ = xe−x
29. y′′ − 2y′ − 3y = xe4x + x 2
38. y′′ − 4y′ + 5y = e2x + cos x
30. y′′ − 2y′ + 5y = x sin 3x
39. y′′ − 4y′ + 8y = e2x + sin 2x
31. y′′ + y′ = x + e−x x
40. y′′− 3y′+ 2y = 2e2x − 5 +ex cos
32. y′′ − 2y′ + 2y = x(ex +1) 2
y′′ + 2y′ + y = sin x + e−x 41.
33. 2y′′ + 5y′ = 29x sin x x 34. y′′ + y = 1 sin x 42. y′′ + y = 1 sin x
35. y′′ − 4y = (2 − 4x)e2x
43. y′′ + y = xex + 2e−x
36. y′′ − 2y′ + y = ex + cos x x
44. y′′ + y′ − 2y = cos x − 3sin x
45. y′′ − 2y′ = 2cos2 x lOMoAR cPSD| 47708777
Bi tập Phương trnh vi phn ĐHCQ K7
46. y′′ + y = sin x + cos 2x
47. y′′− 3y′+ 2y = 3e2x + 2x2
48. y′′− y = 2sin x − 4cos x
49. y′′+ n2y = sin3 nx.
50. y′′+ y = sin xsin 2x
51. x2y′′− xy′+ 2y = x ln x
52. (2x +1)2 y′′− 4(2x +1)y′+ 8y = −8x − 4
53. y′′+ 1 y′+ 12 y = 2sin (ln x) x x
54. (1+ x)2 y′′+(1+ x)y′+ y = 4cosln (1+ x)
55. x2 y′′+ 4xy′+(x2 + 2)y = ex
56. x2y′′+ xy′− 4y = x2 ln x
57. y′′+ y′ = e−x (sin x − cos x)
58. y′′−(2ex +1)y′+e2xy = e3x
59. y′′+ y′ = x +e−x