Bài Tập Toán 8 Bài Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Hằng Đẳng Thức

7. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PP HẰNG ĐẲNG THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
• Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là
một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn
1. Bình phương của một tổng:
A + A B + B = (A + B )2 2 2 2
2. Bình phương của một hiệu:
A - A B + B = (A - B )2 2 2 2
3. Hiệu của hai bình phương: 2 2
A - B = (A - B )(A + B ) .
4. Lập phương của một tổng:
A + A B + A B + B = (A + B )3 3 2 2 3 3 3
5. Lập phương của một hiệu: A -
A B + A B - B = (A - B )3 3 2 2 3 3 3
6. Tổng của hai lập phương: 3 3
A + B = (A + B )( 2 2
A - A B + B ) .
7. Hiệu của hai lập phương: 3 3
A - B = (A - B )( 2 2
A + A B + B ) .
II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 4 −12x + 9 b) x2 4 + 4x +1 c) + x + x2 1 12 36 x2 d) x2 − xy + y2 9 24 16 e) + xy + y2 2 4
f) −x2 + 10x − 25 4
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2 (3 −1) −16 b) x 2 − − x2 (5 4) 49 c) x 2 + − x 2 (2 5) ( − 9) d) x 2 + − x 2 (3 1) 4( − 2) e) x 2 + − x 2 9(2 3) 4( +1) f) b c
2 2 − b2 + c2 − a2 2 4 ( )
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 y3 a) x3 8 − 64 b) + x6y3 1 8 c) x 27 + d) x3 + y3 125 27 8
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 + x2 6 +12x + 8 b) x3 − x2 3 + x 3 −1 c) − x + x2 − x3 1 9 27 27 3 3 1 d) x3 + x2 + x + e) x3 − x2y + xy2 − y3 27 54 36 8 2 4 8
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Trang 1 a) xy 2 + − x + y 2 ( 1) ( )
b) x + y 3 − x − y 3 ( ) ( )
c) x4y2 + x y 3 2 + xy2 + y2 3 3 3 3 d)
x2 − y2 − x − ay − a2 4( ) 8( ) 4( −1)
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2 x + 2x − 8; b) 2 x + 5x + 6; c) 2 4x −12x + 8; d) 2 2
3x + 8xy + 5y .
Bài 7: Tìm x , biết 2 2
a) (2x − 5) − (5 + 2x) = 0; b) 3 2
27x − 54x + 36x = 8. c) ( 3
x + 8) − (x + 2)(x − 4) = 0 d) 6 x −1 = 0
Bài 8: Chứng minh a) 9 2 −1 chia hết cho 73. b) 6 4 5 −10 chia hết cho 9. 2 2
c) (n + 3) − (n − )
1 chia hết cho 8 với mọi số tự nhiên .n 2 2
d) (n + 6) − (n − 6) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên . n Bài 9: Tính nhanh a) 2 2 85 −15 ; b) 3 2 93 + 21.93 + 3.49.93 + 343; 3 3 97 + 83 c) 2 2 2 73 −13 −10 + 20.13; d) − 97.83. 180 Bài tương tự
Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử a) − a b 4 6 − a b 5 5 − a b 6 4 16 24 9 b) x2 − xy + y2 25 20 4 c) x4 − x2y + y2 25 10
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 − x 2 − − x2 + x 2 (4 3 18) (4 3 ) b) x + y 2 − − x + y 2 9( 1) 4(2 3 +1) c) − x2 + xy − y2 4 12 9 + 25
d) x2 − xy + y2 − m2 + mn − n2 2 4 4
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử 3 y a) 3 8x − 64 b) 6 3 1+ 8x y c) 3 27x + d) 3 3 125x + 27 y 8
Bài 13: Tìm x biết: a) 2
x −10x = −25; b) 2 4x − 4x = 1 − ; 2 2 3 3
c) (1− 2x) = (3x − 2) ;
d) ( x − 2) + (5 − 2x) = 0. 3 3 1 1
e) x − = ( − x)2 3 3 ; f) 3 2
x + x + x + = . 2 4 8 64 Bài 14: Chứng minh Trang 2 a) ( n − )2 3
1 − 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên . n b) − ( n + )2 100 7
3 chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên . n c) ( n + )2 3
1 − 25 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .n d) ( n + )2 4
1 − 9 chia hết cho 8 với mọi số tự nhiên . n Bài 15: Tính nhanh a) 2 2 73 − 27 ; b) 2 2 36 −14 ; c) 2 2 2 2 63 − 27 + 72 −18 ; d) 2 2 2 2 54 + 82 −18 − 46 . III. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Phân tích đa thức 2
12x - 9 - 4x được kết quả là
A . (2x - 3)(2x + 3) B . - ( x - )2 2 3 C .( - )2 3 2x D . - ( x + )2 2 3
Câu 2: Phân tích đa thức 3 2 2 3
x - 6x y + 12xy - 8x được kết quả là A . ( - )3 x y B. ( - )3 2x y C. x - ( y)3 3 2 D. (x - y)3 2
Câu 3: Phân tích thành nhân tử đa thức ( + )3 − ( − )3 a b
a b thu được kết quả là A. a( 2 2 2 a + 3b ) a( 2 2 2 3a + b ) b( 2 2 2 a + 3b ) b( 2 2 2 3a + b ) . B. . C. . D. .
Câu 4: - y + y = - ( - y)2 2 1 2 1 A. Đúng B. Sai
Câu 5: x - x + x - = ( - x )2 3 2 3 3 1 1 A . Đúng B . Sai Câu 6: Biết 2
25x −1 = 0 . Giá trị của x là 1 1 1 1 A. . B. − . C. hoặc 1 − . D. hoặc 0 . 5 5 5 5 5
Câu 7: Kết quả phân tích đa thức 3
−8x +1 thành nhân tử là A. ( x − )( 2 2 1 4x + 2x + ) ( + x)( 2 1 2 1− 2x + 4x ) 1 . B. . C. ( − x)( 2 1 2 1+ 2x + 4x ) ( − x)( 2 1 2 1− 2x + 4x ) . D. .
Câu 8: Nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng ? A B
a) (x - y)(x + y) 1) - (x - )2 5 Trang 3 b) 2 10x - 25 - x 2) 2 2 x - y 1 æ 1öæ ç ÷ 1ö c) 3 8x - 3) ç 2 2 ç x - ÷ 4 ç x + x ÷ + ÷ ç ÷ ç ç ÷ 8 è 2÷ç øè 4÷ ø 4) ( - )2 x y
Câu 9: Điền vào chỗ trống để có đẳng thức đúng : (x + y)2 - 4 = ..................................... Câu 10: Tính nhanh : 2 2
2002 - 2 = ........................................................
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
II. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: a) 2
4x −12x + 9 = (2x − 3)2 b) 2 4x + 4x +1 = (2x + )2 1 c) 2 1+12x + 36x = (1+ 6x)2 d) 2 2
9x − 24xy +16y = (3x − 4y)2 2 2 x  x  e) 2 + 2xy + 4y = + 2  y  f) 2
−x +10x − 25 = −(x −5)2 4  2  Bài 2: a) 2
(3x - 1) - 16 = (3x - 1 - 4)(3x - 1 + 4)= (3x - 5)(3x + 3)= 3(3x - 5)(x + ) 1 b) 2 2
(5x - 4) - 49x = (5x - 4 - 7x)(5x - 4 + 7x)= (- 2x - 4)(12x - 4)= - 8(x + 2)(3x - ) 1 c) 2 2
(2x + 5) - (x - 9) = (2x + 5 - x + 9)(2x + 5 + x - 9)= (x + 14)(3x - 4) d) 2 2 (3x 1) 4(x 2) 3 é x 1 2 ê (x 2)ù3éx 1 2 ë úê (x 2)ù + - - = + - - + + - = ûë ú (x + 5)(5x - 3) û e) 2 2 9(2x 3) 4(x 1) 3 é ê (2x+ 3) 2(x ) 1 ù3 é ë úê (2x+ 3) 2(x ) 1 ù + - + = - + + + = ûë ú (4x + 7)(8x + 1 ) 1 û f) 2 2 2 2 2 2
4b c - (b + c - a ) é bc ( 2 2 2 b c a )ùébc ( 2 2 2 2 2 b c a )ù = - + - + + - ê úê ú ë ûë û é ê - ( - )2ùú(éê + )2 2 2 ù = a b c b
c - a ú= (a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) êë úê ûë úû Bài 3: a) 3 2
x + 6x +12x + 8 = ( x + 2)3 b) 3 2
x − 3x + 3x −1 = ( x − )3 1 3 3 3 1  1  c) 2 3
1− 9x + 27x − 27x = (1− 3x)3 d) 3 2
x + x + x + = x +   2 4 8  2  Trang 4 e) 3 2 2 3
27x − 54x y + 36xy − 8y = (3x − 2y)3 Bài 4: a) 3 2
x + 6x +12x + 8 = ( x + 2)3 b) 3 2
x − 3x + 3x −1 = ( x − )3 1 3 3 3 1  1  c) 2 3
1− 9x + 27x − 27x = (1− 3x)3 d) 3 2
x + x + x + = x +   2 4 8  2  Bài 5: a) 2 2
(xy + 1) - (x + y) = (xy+ 1 - x- y)(xy+ 1 + x+ y) = x (y − ) 1 − (y − )
1  x (y + ) 1 + (y + ) 1  = (x − ) 1 (y − ) 1 (x + ) 1 (y +     )1 b) 3 3
(x + y) - (x - y) 2 2 (x y x y) (éx y) (x y)(x y) (x y) ù = + - + + + + - + - êë úû 2 2 2 2 2 2
= 2y(x + 2 xy+ y + x - y + x - 2 xy+ y ) 2 2 = 2 y(3 x + y ) c) 4 2 3 2 2 2
3x y + 3x y + 3xy + 3y 2 4 3 = 3y (x + x + x+ 1) 2 3 3y x é (x 1) (x 1)ù = + + + 2 3 2 2 2 ê
= 3y (x+ 1)(x + 1) = 3y (x+ 1) (x - x+ 1) ë úû d) 2 2 2
4(x - y ) - 8(x - ay) - 4(a - 1) 2 2 2
= 4x - 4y - 8x + 8ay - 4a + 4 2 2 2
= - 4(y + 2 ay+ a ) + 4(x - 2 x+ 1) 2 2 = 4(x- 1) - 4(y+ a) 2 2 4 (éx 1) (y a) ù = - - + ê = 4(x- 1 - y- a)(x- 1 + y+ a) ë úû Bài 6: 2 a) 2
x + 2x − 8 = ( x + )
1 − 9 = ( x − 2)( x + 4) . 2 b) 2 2
x + 5x + 6 = x + 4x + 4 + x + 2 = ( x + 2) + ( x + 2) = ( x + 2)(x + 3) . 2 c) 2 2 x − x + = x −
x + − = ( x − ) 2 4 12 8 4 12 9 1 2
3 −1 = 4( x − 2)( x − ) 1 . 2 d) 2 2
x + xy + y = ( 2 2
x + xy + y ) 2 3 8 5 3 2
+ 2xy + 2y = 3(x + y) + 2y(x + y) = (x + y)(3x + 5y) . 2 2
Bài 7: a) (2x − 5) − (5 + 2x) = 0  1
− 0.4x = 0  x = 0 . 2
b). 27x − 54x + 36x = 8  (3x − 2)3 3 2 = 0  x = 3 x + 2 = 0 c) ( 3
x + 8) −(x + 2)(x − 4) = 0  (x + 2)( 2
x − 3x + 8) = 0   . 2
x − 3x + 8 = 0 2  3  23 Do đó x = −2 vì 2
x − 3x + 8 = x − +  0   với mọi x .  2  4 d) 6 x − =  ( 2 x − )( 4 2 1 0 1 x + x + ) 1 = 0 Trang 5 2  x −1 = 0 (Vì 4 2
x + x + 1  0 với mọi x )  x = 1.
Bài 8: a) 9 − = ( 3 − )( 6 3 2 1 2 1 2 + 2 + ) 1 = 7.73 73 . 2 2 b) 6 4 − = ( 3) 2 2
− + − ( 2 ) = ( 3 − )( 3 + )+ ( 2 − )( 2 5 10 5 1 1 10 5 1 5 1 1 10
1+10 ) =124.126 − 99.101 9 . 2 2
c) (n + 3) − (n − )
1 = (n + 3− n + )
1 (n + 3+ n − ) 1 = 8.(n + ) 1 8 . 2 2
d) (n + 6) − (n − 6) = (n + 6 − n + 6)(n + 6 + n − 6) = 24n 24 . Bài 9 : a) 2 2
85 −15 = (85 −15)(85 +15) = 7000 . b) + + + = ( + )3 3 2 3 93 21.93 3.49.93 343 93 7 = 100 = 1000000 . c) − − + = − ( − )2 2 2 2 2 2 2 73 13 10 20.13 73
13 10 = 73 − 3 = 70.76 = 5320 . 3 3 97 + 83 2 d) 2 2
− 97.83 = 97 − 2.97.83+ 83 = (97 −83) 2 =14 =196 . 180 Bài 10: a) − b − b −
b = −( b + b )2 4 6 5 5 6 4 2 3 3 2 16a 24a 9a 4a 3a b) 2 2
25x − 20xy + 4y = (5x − 2y)2 c) − y + y = ( − y)2 4 2 2 2 25x 10x 5x Bài 11: a) 2 2 2 2
(4x − 3x −18) − (4x + 3x) 2 2 2 2 (é4x 3x 18) (4x 3x)ù(é4x 3x 18) (4x 3x)ù = - - + + - - - + êë úê ûë úû = ( 2 8x - 18)(- 6x - 18) = ( 2 2 4x - )
9 (- 6)(x + 3)= - 12(2x - 3)(2x + 3)(x + 3) b) 2 2
9(x + y −1) − 4(2x + 3y +1) 3
é (x y 1) 2(2x 3y 1)ù3
é (x y 1) 2(2x 3y 1)ù = + - - + + + - + + + êë úê ûë úû
= (- x - 3y - 5)(7x + 9y - ) 1 2 c) 2 2
- 4x + 12xy - 9y + 25
(2x 3y) 25 5é (2x 3y)ù5é (2x 3y)ù = - - + = - - + - êë úê ûë úû
= (5 - 2x + 3y)(5 + 2x - 3y) 2 2 d) 2 2 2 2
x - 2xy + y - 4m + 4mn - n = (x - y) - (2m - n )
(éx y) (2m n)ù(éx y) (2m n)ù = - - - - + - ê
= (x - y - 2m + n )(x - y + 2m - n ) ë úê ûë úû Bài 12: a) 3 − = ( − )( 2 8x 64 8 x 2 x + 2x + 4) b) 6 3 + y = ( 2 + y)( 2 4 2 1 8x 1 2x
1− 2x y + 4x y ) Trang 6 3 2 y y  y    c) 3 2 3 27x + = 3x +  9x − xy +  d) 3 3 + y = ( y)( 2 2 125x 27 5x+3
25x −15xy + 9 y ) 8 2  2 4    
Bài 13: a) x − x = −  (x − )2 2 10 25 5 = 0  x = 5 . 1 b) 4x − 4x = 1 −  (2x − )2 2 1 = 0  x = . 2  3 2 2 x = c) (1 2x) (3x 2) (3 5x)(x ) 1 0  − = −  − − =  5  . x =1 3 3 3 3
d) ( x − 2) + (5 − 2x) = 0  ( x − 2) = (2x − 5)  x − 2 = 2x − 5  x = 3 . é é 2 x - 3 = 0 x = 3 e) x 3 (3 x) (x 3)(4 x) 0 ê ê - = - Û - - = Û Û . 4 ê x 0 x ê - = = 4 êë êë 3 3 3 3 1 1 æ 1ö ç ÷ 1 æ ö ç ÷ - 1 3 2 x + x + x + = Û x ç + ÷ = ç ÷ Û x = . f) 2 4 8 64 çè 2÷ ÷ ç ø è4÷ ÷ ø 4 2
Bài 14: a) (3n − )
1 − 4 = (3n −1− 2)(3n −1+ 2) = 3(n − ) 1 (3n + )
1 3 với mọi số tự nhiên . n 2
b) 100 − (7n + 3) = (10 − 7n − 3)(10 + 7n + 3) = 7(1− n)(7n +13) 7 với mọi số tự nhiên . n 2 c) (3n + )
1 − 25 = (3n +1− 5)(3n +1+ 5) = 3(3n − 4)(n + 2) 3 với mọi số tự nhiên . n 2 d) (4n + )
1 − 9 = (4n +1− 3)(4n +1+ 3) = (4n − 2)(4n + 4) = 8(2n − ) 1 (n + )
1 8 với mọi n Î ¥ Bài 15: a) 2 2
73 − 27 = (73− 27)(73+ 27) = 46.100 = 4600 . b) 2 2
36 −14 = (36 −14)(36 +14) = 22.50 =11.100 =1100 . c) 2 2 2 2
63 − 27 + 72 −18 = (63− 27)(36 + 27) + (72 −18)(72 +18) =1800 + 5400 = 7200 . d) 2 2 2 2
54 + 82 −18 − 46 = (82 −18)(82 +18) + (54 − 46)(54 + 46) = 7200
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trang 7