Bài Tập Toán 8 Bài Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Có Lời Giải

5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần đặc biết chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ)
là tất cả các mẫu thức phải khác 0.
 Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1. Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4. Kiểm tra và kết luận. II. BÀI TẬP
(Phần ĐKXĐ ở mỗi bài toán đều có vì vậy trong phiếu không đề cập dạng tìm ĐKXĐ)
Bài 1: Giải phương trình
4x − 8 + (4 − 2x) 2 x + 2x +1 a) = 0 b) = 0 2 x +1 x +1 2x − 5 4 c) = 3 d) − 2 = 0 x + 5 x − 2
Bài 2: Giải các phương trình sau: 7x + 7 2 2 1 a) = b) = x - 1 3 1 + x 3 - 7x 1 3 - x 14 2 + x 3 5 c) + 3 = d) - = - x - 2 x - 2 3x - 12 x - 4 8 - 2x 6
Bài 3: Giải các phương trình sau: 4 5 1 x - 1 a) - = - 3 b) 3x - = x - 1 x - 2 x - 2 2 - x x + 4 x + 1 2x + 5 2 1 x - 4 c) + = d) - + = 0 2 2 2 x - 3x + 2 x - 4x + 3 x - 4x + 3 2 x - 4 x(x - 2) x(x + 2) 4x æ 1 1 ö ç ÷ 3 15 7 e) - 1 = 6ç - ÷ f) + = 2 x + 4x + 3 x çè + 3 2x + 2÷÷ø 2 4(x - 5) 50 - 2x 6x + 30 2 1 2x - 5 4 2 12x + 1 9x - 5 108x - 36x - 9 g) + = h) - = 3 2 x - 1 x - 1 x + x + 1 2 6x - 2 3x + 1 4(9x - 1) 1 1 1 1 æ ö ç ÷ i) 2 x + = x + j) + 2 = ç + 2 ç ( 2 ÷ x + ÷ ) 2 2 x x x x ç ÷ è ø Trang 1 2 2 æ 1ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ k) x ç + 1 + ÷ = x ç - 1 - ÷ ç çè x ÷ ÷ ç ø è x ÷ ÷ ø
Bài 4: Giải các phương trình sau: x +1 x −1 3 a) − = 2 2 4 2
x + x +1 x − x +1
x(x + x +1) 1 1 1 1 b) + + = 2 2 2
x + 9x + 20 x +11x + 30 x +13x + 42 18 1 2 6 c) + = 2 2 2
x − 2x + 2 x − 2x + 3 x − 2x + 4
Bài 5: Giải các phương trình sau: 2 2 2 x x 4x - 20 322 a) + - = 2 2 4 x + 2x + 2 x - 2x + 2 x + 4 65 1 1 1 1 1 b) + + + = 2 2 2 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 x + 11x + 30 8 2 5 2 9 c) + + = 2 2 2 x + 4x + 3 x + 11x + 24 x + 18x + 80 52 x + 4 x - 4 x + 8 x - 8 d) + = + + 6 x - 1 x + 1 x - 2 x + 2 1 1
Bài 6: Tìm x sau cho hai biểu thức A và B có giá trị bằng nhau, với 2
A = x + ; B = x + . 2 x x
(Cách giải khác của Bài 3 – câu i) 2x − 9 3x
Bài 7: Tìm x sau cho biểu thức + có giá trị bằng 2.
2x − 5 3x − 2 Tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau: 4x − 3 29 2x −1 4x − 5 x a) = b) = 2 c) = 2+ x − 5 3 5− x 3 x −1 x −1 7 3 2x + 5 x d) = e) − = 0 x + 2 x − 5 2x x + 5
Bài 2: Giải phương trình: 1 1 2 a) = 5 b) + = 0 1 + x x x − 2 Trang 2 2 2 1 12 æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ c) 1 + = d) x ç + 1 + ÷ = x ç - 1 - ÷ 2 3 + x x + 8 çè x ÷ ÷ ç ø è x ÷ ÷ ø
Bài 3: Giải các phương trình sau: 2 x + 6x −16 1 x −1 a) = x + 8 b) 3x − = x − 2 x − 2 2 − x 2 x −15x +1 x −1 1 c) = x − 2 d) − 3+ x = x +17 x − 2 x − 2
Bài 4: Giải các phương trình sau: 8 11 9 10 x x x x a) + = + b) − = −
x − 8 x −11 x − 9 x −10 x − 3 x − 5 x − 4 x − 6 4 3 1 2 3 6 c) − +1= 0 d) + + = x2 − x
3 + 2 2x2 − 6x +1
x −1 x − 2 x − 3 x − 6 x 6 −1 x 2 + 5
Bài 5: Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức và bằng nhau. x 3 + 2 x − 3 x + 5 x + 1 - 8
Bài 6: Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức - và bằng nhau. x - 1 x - 3 (x - 1)(x - 3)
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu là: A. 2
x + 5x - 3 = 0 ; B. 2x + 5 = 0 ; 3 C. 2
3x + 5x - 8 = 0 ; D. x + = 15 x + 5 x + 3 3x − 5
Câu 2: ĐKXĐ của phương trình = là: 2x 4x − 9
A. x ¹ 0 và x ¹ - 2, 25 ;
B. x ¹ 0 ; C. x ¹ 0 và x ¹ 2, 25 ; D. x ¹ - 2, 25 96 2x - 1 3x - 1
Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình 5 + = - là : 2 x - 16 x + 4 4 - x A. x ¹ 4 B. x ¹ - 4
C. x ¹ 4 và x ¹ - 4
D. Xác định với mọi x thuộc R. 2 2x + 1 x - 2
Câu 4: Phương trình = 2 x có tập nghiệm là: A. S = { - } 2 ; B. S = {- 4}; C. S = {- } 1 ; D.S = {- 1; } 3 . Trang 3 2x +1 x − 2 Câu 5: =
x 2x + 1 = x - 2 2 + x x ¹ x ¹ - 2 + x x  ( ) ( )( ) (ĐKXĐ: 0 và 2 ) A. Đúng ; B. Sai . x + 3 x - 2 Câu 6: =
x + x = x + 2 + x x  2 2 3 2 A. Đúng ; B. Sai . 96 2x - 1 3x - 1
Câu 7: Giải phương trình 5 + = - ta được nghiệm là : 2 x - 16 x + 4 4 - x 1 1 1 1 A. − B. C. D. − 2 3 4 2 1 3 x
Câu 8: Giải phương trình x - = - ta được nghiệm là : 4 8 2 1 1 1 5 A. x = B. x = C. x = D. x = 3 2 4 4 x x 2x
Câu 9: Giải phương trình + = ta được nghiệm là :
2(x − 3) 2(x +1) (x − 3)(x +1) A. x = 4 B. x = −1 C. x = 0 D. Vô nghiệm
Câu10: Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng: A B x x 1) = x ¹ - và x ¹ 2 1 + x x −1 có ĐKXĐ là: a) 5 1 x 2) = x ¹ - và x ¹ 1 2 + x
2x + 1 có tập nghiệm là b) 1 2 x x 3) = S = - 1; 1 5 + x
x − 2 có ĐKXĐ là: c) { } 1) …. 2) …… 3) ……. d) S = {- 1; } 3
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Trang 4
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1:
4x − 8 + (4 − 2x) 2 x + 2x +1 a) = 0 b) = 0 2 x +1 x +1 Điều kiện: 2
x +1 0  x vì
Điều kiện: x +1 0  x  −1 2
x +1 0 x 2 x + 2x + 1 = 0
4x - 8 + (4 - 2x ) x + 1 = 0 2
Þ x + 2x + 1 = 0 2 x + 1 2
Þ 4x - 8 + (4 - 2x )= 0 Û (x + ) 1 = 0 Û 2x - 4 = 0 Û x + 1 = 0 Û x = 2  x = −1 (loại) S =  Vậy S =   2 Vậy . 2x − 5 4 c) = 3 d) − 2 = 0 x + 5 x − 2
Điều kiện: x + 5  0  x  −5
Điều kiện: x − 2  0  x  2 2x - 5 4 = 3 - 2 = 0 x + 5 x - 2 3.(x x + - ) 5 2 5 2.(x - ) 2 4 Û = Û - = 0 x + 5 x + 5 x - 2 x - 2
Þ 2x - 5 = 3.(x + 5) Þ 4 - 2.(x - 2)= 0
Û 2x - 5 = 3x + 15 Û 4 - 2x + 4 = 0
 x = 20 (nhận). Vậy S =   20 Û - 2x = - 8
 x = 4(nhận). Vậy S =   4
Bài 2: Hướng dẫn giải 7x - 7 2 2 1 3 a) = (ĐK x  1 ) b) = (ĐK x  1 − ; x  ) x - 1 3 1 + x 3 - 7x 7
Û 3(7x + 7) = 2(x - 1)
Þ 6 - 14x = x + 1
Û 21x + 21 = 2x - 2 Û 15x = 5 Û 19x = - 23 1 Û x = (tm ) - 23 3 Û x = (tm ) 19 1 Vậy S =    23 −  3 Vậy S =    19  1 3 - x 14 2 + x 3 5 c) + 3 = (ĐK x  2 ) d) - = - (ĐK x  4 x - 2 x - 2 3x - 12 x - 4 8 - 2x 6 ) Trang 5 1 3(x - 2) 3 - x 14 2 + x 3 5 Û + = Û - = - x - 2 x - 2 x - 2 3(x - 4) x - 4 2(4 - x) 6 1 + 3x - 6 3 - x Û = 56 - 24 - 12x - 18 - 10x + 40 x - 2 x - 2 Û = 12(x - 4) 12(x - 4)
Û 3x - 5 = 3 - x
Û 32 - 12x = 58 - 10x Û 4x = 8 Û - 26 = 2x  x = 2(loại) Û x = - 13(tm ) Vậy S =  S = − Vậy   13 Bài 3: KQ: 4 5 x −1  0 x  1 a) − = 3 −    x −1 x − (1) Điều kiện: 2 x − 2  0 x  2 Mẫu chung: (x - ) 1 (x - 2)
Phương trình (1) trở thành 4(x - 2) 5(x - 1)
- 3(x - 1)(x - 2) - = (x - 1)(x - 2) (x - 2)(x - 1) (x - 1)(x - 2)
Þ 4(x - 2) - 5(x - 1) = - 3(x - 1)(x - 2) 2
Û 4x - 8 - 5x + 5 = - 3(x - 3x + 2) 2
Û - x - 3 = - 3x + 9x - 6 2
Û 3x - 10x + 3 = 0 2
Û 3x - 9x - x + 3 = 0
Û 3x(x - 3) - (x - 3) = 0
Û (x - 3)(3x - 1) = 0 é x é = 3 x - 3 = 0 ê ê 1  Û Û ê ê
1 (nhận) . Vậy S =  ;3 3x - 1 = 0 ê x ê = ë ê 3  ë 3 x = 2 (l)   1 − 
b) Điều kiện: x − 2  0  x  2 . Giải ra nghiệm 1 − S =    x = (t / m) . Vậy  3   3 Trang 6 x −1  0 x 1  
c) Điều kiện x − 2  0  x  2 . Tập nghiệm S = −  4 x 3 0  −  x  3   x  0 x  0   x = 2 (l)
d) Điều kiện: x + 2  0  x  2 − .Giải ra nghiệm  . Vậy S =   3 
x = 3 (t / m) x 2 0  −  x  2   x + 1  0 x  −1 x = 0 (t / m) e) Điều kiện:    .  . Vậy S =   0 x + 3  0
x  −3 Giải ra nghiệm x = 3 − (l) x + 5  0 x  −5 f) Điều kiện:    x =
(loại) . Vậy S =    x − 5  0
x  5 Giải ra nghiệm 5 2
g) Điều kiện: x − 1  0  x  1 vì x + x + 1  0 x  .
x = 0(t / m) Giải ra nghiệm  . Vậy S =   0 x =1(l) ìï 1 ìï 3 - 1 ¹ 0 ïï x x ¹ ï ï 1 h) Điều kiện: ï 3 í Û í
. Giải ra tập nghiệm S =   ï 3x + 1 ¹ 0 ï - 1 ïî ï 2 ï x ¹ ïïî 3
i) Điều kiện: x  0 1 2 2 2 1 æ ö æ ö æ ö x + = x + 1 1 ç ÷ 1 1 ç ÷ 1 Û x + = x ç + ÷ - 2x. Û x ç + ÷ - x ç ÷ ç + ÷- 2 = 0 2 x ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ x x çè x ÷ ø x è x ø çè x ÷ ø 1 2
Điều kiện: x  0 . Đặt x +
= t , phương trình trở thành t − t − 2 = 0 x 2
Û t + t - 2t - 2 = 0 Û t(t + 1) - 2(t + 1) = 0 té 2 0 té - = = 2 (t 2)(t 1) 0 ê ê Û - + = Û Û tê 1 0 tê + = = - 1 êë êë 1 Với t = 2, ta có 2 2 x +
= 2 Þ x + 1 = 2x Û x - 2x + 1 = 0 x 2
Û (x - 1) = 0 Û x - 1 = 0 Û x = 1 (nhận) Trang 7 1 Với t = - 1 , ta có 2 2 x +
= - 1 Þ x + 1 = - x Û x + x + 1 = 0 x 2 æ 2 1ö ç ÷ 3 æ 1ö ç ÷ 3 Û x ç + ÷ + = 0 ç (vô nghiệm) vì x ç + ÷ + > 0" x ç ç ÷ è 2÷ ÷ø 4 çè 2÷ ø 4 Vậy S =   1  1 − 
j) Điều kiện: x  0 . Dùng pp nhóm giải ra nghiệm S =    2  2 2  1   1  2 2 æ 1ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ k) x + 1 + = x −1 −     Û x ç + 1 + ÷ - x ç - 1 -
÷ = 0 Điều kiện: x  0  x   x  çè x ÷÷ ç ø è x ÷÷ ø æ 1 1öæ ç ÷ 1 1ö æ ç ÷ 2ö Û x ç + 1 + + x - 1 - ÷ x ç + 1 + - x + 1 + ÷= 0 Û 2x 2 ç ÷ ç + ÷= 0 ç çè x x ÷ç ÷ øè x x ÷ ÷ ç ø è x ÷ ÷ ø x é = 0 ê x é = 0 (l) ê Û ê 2 Û . Vậy S = −  1 2 + = 0 x ê ê = - 1 (t / m ) ê êë x ë Bài 4: x + 1 x - 1 3 a) - = ĐKXĐ: x  0 2 2 4 2 x + x + 1 x - x + 1
x(x + x + 1) x + 1 x - 1 3 - = 2 2 4 2 x + x + 1 x - x + 1
x(x + x + 1) x + 1 x - 1 3 Û - = 2 2 2 2 x + x + 1 x - x + 1
x(x + x + 1)(x - x + 1) 2 2
Þ (x + 1)(x - x + 1).x - (x - 1)(x + x + 1)x = 3 3 3 3
Û (x + 1)x - (x - 1)x = 3 Û 2x = 3 Û x = (t / m ) 2 3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = { } 2 1 1 1 1 b) + + = 2 2 2 x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
ĐKXĐ: x ¹ - 4, x ¹ - 5, x ¹ - 6, x ¹ - 7 Trang 8 1 1 1 1 + + = 2 2 2 x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 1 1 1 1 Û + + = (x + 4)(x + 5) (x + 5)(x + 6) (x + 6)(x + 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Û - + - + - = Û - = x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18 x + 4 x + 7 18
Þ (x + 7).18 - (x + 4).18 = (x + 4)(x + 7) 2 2
Û 18x + 126 - 18x - 72 = x + 11x + 28 Û x + 11x - 26 = 0 x é = 2 (x 2)(x 13) 0 ê Û - + = Û x ê = - 13 êë
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2; -13} 1 2 6 c) + =
x − x + = t t  2 2 2
x − 2x + 2 x − 2x + 3
x − 2x + . Đặt 2 2 2 , 0 4 1 2 6 + = 2 2 2 x - 2x + 2 x - 2x + 3 x - 2x + 4 1 2 6 Þ + = t t + 1 t + 2
Û (t + 1)(t + 2) + 2t(t + 2) = 6t(t + 1) 2 2 2
Û t + 3t + 2 + 2t + 4t = 6t + 6t é - 3 ê 2 t = (l)
Û 3t - t - 2 = 0 Û (3t + 2)(t - 1) = 0 Û ê 2 têê = 1 ë Với t = 1 2 2
Þ x - 2x + 2 = 1 Û (x - 1) = 0 Û x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = { } 1 2 2 2 x x 4x - 20 322 Bài 5: a) + - = ( 1) 2 2 4 x + 2x + 2 x - 2x + 2 x + 4 65
Điều kiện với mọi x  R 2 2 Ta có 4 x + = ( 2 x ) 2 + = ( 2 x + ) 2 4 2 2 - 2.2x = ( 2 x + - x )( 2 2 2 x + 2 + 2x ) 2 2 2 2 2
65x (x - 2x + 2)
65x (x + 2x + 2) 65(4x - 20) (1) Û + - 2 2 2 2 4
65(x + 2x + 2)(x - 2x + 2)
65(x - 2x + 2)(x + 2x + 2) 65(x + 4) 4 322(x + 4) = 4 65(x + 4) Trang 9 4 3 2 4 3 2 2
Þ 65x - 130x + 130x + 65x + 130x + 130x - 260x + 1300 4 = 322x + 1288 12 1 1 4 4
Û 130x + 1300 = 322x + 1288 4 Û 192x = 12 4 Û x = = Û x = ± 192 16 2  1 Vậy S =    2 1 1 1 1 1 b) + + + = 2 2 2 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 x + 11x + 30 8
ĐK: x ¹ {- 2;- 3;- 4;- 6- ; } 6 1 1 1 1 1 Û + + + = (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) (x + 5)(x + 6) 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Û - + - + - + - = x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 8 1 1 1 Û - = x + 2 x + 6 8 8(x + 6) 8(x + 2) (x + 6)(x + 2) Û - = 8(x + 2)(x + 6) 8(x + 6)(x + 2) 8(x + 6)(x + 2) 2 2
Þ 8x + 48 - 8x - 16 = x + 8x + 12 Û x + 8x - 20 = 0 2
Û x - 2x + 10x - 20 = 0 Û x(x - 2) + 10(x - 2) = 0 Û (x - 2)(x + 10) = 0 é é x - 2 = 0 x = 2 ê ê Û Û
(nhận). Vậy S = 2;−  10 x ê 10 0 x ê + = = - 10 êë êë 2 5 2 9 c) + + = 2 2 2 x + 4x + 3 x + 11x + 24 x + 18x + 80 52
ĐKXĐ: x ¹ {- 1;- 3;- 8;- 1 } 0 2 5 2 9 Û + + = (x + 3)(x + 1) (x + 8)(x + 3) (x + 8)(x + 10) 52 1 1 1 1 1 1 9 1 1 9 Û - + - + - = Û - = x + 1 x + 3 x + 3 x + 8 x + 8 x + 10 52 x + 1 x + 10 52 52(x + 10) 52(x + 1) 9(x + 10)(x + 1) Û - =
52(x + 1)(x + 10)
52(x + 10)(x + 1)
52(x + 10)(x + 1)
Þ 52(x + 10) - 52(x + 1) = 9(x + 10)(x + 1) Trang 10 2
Û 52x + 520 - 52x - 52 = 9x + 99x + 90 2 2
Û 9x + 99x - 378 = 0 Û x + 11x - 42 = 0 Û (x - ) 3 (x + 14)= 0 x é 3 0 x é - = = 3 ê ê Û Û
(nhận). Vậy S = 3;−  14 x ê 14 0 x ê + = = - 14 êë êë x + 4 x - 4 x + 8 x - 8 + = +
+ 6 Điều kiện x  1; x  2 d) x - 1 x + 1 x - 2 x + 2 5 - 5 10 - 10 Û 1 + + 1 + = 1 + + 1 + + 6 x - 1 x + 1 x - 2 x + 2 æ 1 1 ö æ ç ÷ 1 1 ö - - Û 5ç + ÷- 10ç ÷ ç + ÷= 6 x çè - 1 x + 1÷÷ø x çè - 2 x + 2÷÷ø 5.2 10.4 Û - = 6 (x - 1)(x + 1) (x - 2)(x + 2) 2 2 2 2
Þ 10(x - 4) - 40(x - 1) = 6(x - 1)(x - 4) 2 2 4 2 Û x - - x + = x - x + 4 10 40 40 40 6( 5 4) Û 6x + 24 = 0 4 Û 6(x + 4) = 0 4
(vô nghiệm) vì x + 4  0 x  . Vậy S =   
Bài 6: (Cách giải khác của Bài 3 – câu i) 1 1 1 1 Ta có 2 x + = x + 2
 x + − x − = 0.
Điều kiện: x  0 2 x x 2 x x 3 4 1 1 x x x 1 2 x + - x - = 0 Û + - - = 0 2 2 2 2 2 x x x x x x 3 4
Þ x + x - x - = Û - ( 4 3 1 0
x - x )+ (x - ) 1 = 0 x é - 1 = 0 3 x (x ) 1 (x ) 1 0 (x ) 1 ( 3 1 x ) 0 ê Û - - + - = Û - - = Û ê 3 1 - x = 0 êë  x = 1(nhận) 2x − 9 3x
Bài 7: Biểu thức có giá trị bằng 2 tức là +
= 2 . Ta sẽ đi giải phương trình này.
2x − 5 3x − 2  5  2 − 5  0 x x  2 Điều kiện:    3x − 2  0 2 x   3 Trang 11 2x - 9 3x + = 2 2x - 5 3x - 2 (2x - 9)(3x - 2) 3x (2x - 5)
2.(3x - 2)(2x - 5) Û + = (
2x - 5)(3x - 2) (3x - 2)(2x - 5) (3x - 2)(2x - 5) Þ (2x - )
9 (3x - 2)+ 3x (2x - 5)= 2.(3x - 2)(2x - 5) 2 2 2 - 1
Û 6x - 4x - 27x + 18 + 6x - 15x = 12x - 30x - 8x + 20 Û - 8x = 2 Û x = (nhận) 4
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trang 12