Bài tập toán 9 tuần 10 (có đáp án và lời giải chi tiết)

BÀI TẬP TOÁN 9 TUẦN 10 I. ĐẠI SỐ x  2 5 1 Bài 1. Cho biểu thức B    . x  3 x  x  6 2  x a) Rút gọn B ;
b) Tìm các giá trị của x để B < B . 1 3 1 Bài 2. Cho C    . x 1 x x 1 x  x 1 a) Rút gọn C ;
b) Tìm các giá trị của x để C 1.
 a a 1 a a 1 a  2 Bài 3.
Cho biểu thức A     :   . a  a a  a a  2  
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.  x 4   1 4  Bài 4. Cho M    .     . x  2 x  2 x 
  x  2 x  4  a) Rút gọn M .
b) Tính giá trị của M khi x  4  2 3 .
c) Tìm giá trị của x để M  0 . 1 1 a 1 1 a 1 Bài 5. Cho biểu thức A    .
1 a  1 a
1 a  1 a 1 a
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi giá trị của a . Bài 6.
Cho hàm số y  f (x)  4x  3 .
a) Tính f (0) ; f (1) ; f (4) ; f (2) .
b) Chứng tỏ hàm số trên đồng biến. Bài 7.
Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 1 3 a) y  x 1  b) y  x  2 
c) y  16  x  x  1 x  2 1 x  3
II. HÌNH HỌC: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN Bài 8.
Cho tam giác cân ABC  AB  AC  . Gọi E là trung điểm của BC và BD là đường cao của tam giác
ABC D  AC . Gọi giao điểm của AE với BD là H. Trang 1
a) Chứng minh rằng bốn điểm A ; D; E; B cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Xác định tâm I của đường tròn đi qua ba điểm H ; D ; C.
c) Chứng minh rằng đường tròn tâm O và đường tròn tâm I có hai điểm chung. Bài 9. Cho đường tròn  ;
O R , dây cung AB  R . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC  BA. Tia
CO cắt đường tròn O ở D, biết R  3cm . a) Tính góc ACD. b) Tính CD.
……………………………….Hết……………………………….
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x  2 5 1
Bài 1. Cho biểu thức B    . x  3 x  x  6 2  x a) Rút gọn B ;
b) Tìm các giá trị của x để A < A . Lời giải a) Rút gọn B ; ìï x ¹ 4 Điề ï u kiện xác định : íï . x ³ 0 ïî x  2 5 1 x  2 5 1 B       x  3 x  x  6 2  x x  3
 x 3 x 2 x 2
 x 2 x 25 x 3 x45 x 3 x  x 12    
x  3 x  2
 x 3 x 2  x 3 x 2
 x 3 x 4 x 4   
x  3 x  2 x  2
b) Tìm các giá trị của x để B < B .
 x  4  0  x  4 x 16      x  2  0  x  2 x  4 x 4 x 16 Trước hết ta phải có  0         x  2      0  x 16 0  x  4 x 4 0 x 4           0  x  4 x 2 0 x 2
Ta có B < B Û B - B > 0 Û B ( B - ) 1 > 0 Û B - 1 > 0 Û
B > 1 Û B > 1 x  4 x  2  2 2  2   1  1  0  1 1  0 
 0  x  2  0 x  2 x  2 x  2 x  2 Trang 2
 x  2  0  x  4
Kết hợp với điều kiện, ta được 0  x  4. 1 3 1
Bài 2. Cho C    . x 1 x x 1 x  x 1 a) Rút gọn C ;
b) Tìm các giá trị của x để C 1. Lời giải a) Rút gọn C ;
Điều kiện xác định : x ³ 0 . 1 3 1 1 3 1 C       x 1 x x 1 x  x 1
x 1  x3 3 x  x 1 1 1 3 1   
x 1  x  
1 x  x   1 x  x 1 x  x 1 3 x 1     x  
1 x  x   1
 x  1x x  1  x  1x x  1      
 x  1 x  x x x x 1 1 3 1 1 x 1      x  
1 x  x   1
 x  1x x  1  x  1x x  1 x x 1
b) Tìm các giá trị của x để C 1. x 1 x 1
x 1 x  x 1
x  2 x  2 Ta có C  1  1  1 0   0   0 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1
x  2 x  11  x  2 1 1  x  21 1   0   0    0 2 2 2  1  3  1  3  1  3 x   x   x          2  4  2  4  2  4 2   x  2  1  3 1 1 Vì  x  2 1 1  0 và x    0  
với mọi x nên 
 0 với mọi x Kết hợp  2  4 2  1  3 x      2  4
với điều kiện ta được với x ³ 0 thì C 1.
 a a 1 a a 1 a  2
Bài 3. Cho biểu thức A     :   . a  a a  a a  2  
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên. Trang 3 Lời giải
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định ìï a > 0 ïï
A xác định khi í a ¹ 1 ï ïï a ¹ 2 ïî
b) Rút gọn biểu thức A          a 3   a  a a a a a 3 3 3 1 1 1 1 2  a  2 A     :       a  a a  a a   
 a  a   1
a  a   . 2 1 a  2   
  a  1a a  1  a  1a a  1 a2  a a 1 a a 1 a2             a  a   1 a  a   . . 1 a  2 a a a  2    
a  a 1 a  a 1 a  2 a  2  .  2. a a  2 a  2
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên. a  2 a  2 A  2. . Để A nguyên thì a  2 a  nguyên. 2 a  2 a  2  4 4 Ta có  1 a  2 a  2 a  2
Do đó, để A nguyên thì a + 2 là ước của 4 , tức là a + 2 Î {- 4;- 2;- 1;1;2; } 4 .
Suy ra a Î {- 6;- 4;- 3;- 1;0; } 2 .  x 4   1 4  Bài 4. Cho M    .     . x  2 x  2 x 
  x  2 x  4  a) Rút gọn M .
b) Tính giá trị của M khi x  4  2 3 .
c) Tìm giá trị của x để M  0 . Lời giải a) Rút gọn M .  x 4   1 4  M    .    
 (Điều kiện x  0 ; x  4) x  2 x  2 x 
  x  2 x  4  Trang 4     x 4 1 4 M         x  x   x 2 . 2   x  2  
 x 2 x 2     x 4 x  2 4 M         x  x  x x  . 2
2    x 2 x 2  x 2 x 2            x  4 x  2  4 M 
x  x   .
2  x  2 x  2
 x 2 x 2 x  2 M 
x  x   . 2
 x 2 x 2 x  2 M  x  x  2
b) Tính giá trị của M khi x  4  2 3 .
Ta có x  4  2 3 (thỏa mãn điều kiện) x        2      2 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3.1 1 3 1  x  3 1 x  2 Thay
x  3 1 vào biểu thức M  ta được x  x  2 3 1 2 3  3 3  3 3  3 3  3 M       3  
1  3 1 2  3   1  3   1   32 3 1 2 1 3  3
Vậy với x  4  2 3 thì giá trị của M  . 2
c) Tìm giá trị của x để M  0 . x  2 Ta có M 
(Điều kiện x  0 ; x  4 ) x  x  2 x  2 M  0  
x  x   0 2
 x  2  0 (vì x  0 , x  2  0)  x  2  x  4
Kết hợp với điều kiện x  0 ; x  4 ta có x  4 . Trang 5
Vậy với x  4 thì M  0 . 1 1 a 1 1 a 1 Bài 5. Cho biểu thức A    .
1 a  1 a
1 a  1 a 1 a
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Chứng minh rằng khi xác định thì A luôn dương với mọi giá trị của a . Lời giải
a) Rút gọn biểu thức A . 1 1 a 1 1 a 1 A    (Điều kiện 1
  a 1; a  0)
1 a  1 a
1 a  1 a 1 a 1 1 a 1 1 a 1 A   
1 a  1 a   1
1 a  1 a   1 1 a 1 1  1 A    1 a 1 a 1 a 1 A  1 a
b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi giá trị của a . Với 1
  a 1; a  0ta có 1 a  0. Do đó 1 a  0 1 Suy ra A   0 1 a
Vậy A luôn dương với mọi giá trị của a thỏa mãn 1
  a 1; a  0. Bài 6.
Cho hàm số y  f (x)  4x  3 .
a) Tính f (0) ; f (1) ; f (4) ; f (2) .
b) Chứng tỏ hàm số trên đồng biến. Lời giải
Cho hàm số y  f (x)  4x  3 .
a) Tính f (0) ; f (1) ; f (4) ; f (2) .
f (0)  4.0  3  3
f (1)  4.1 3  7
f (4)  4.4  3  19 Trang 6
f (2)  4.2  3  11
b) Chứng tỏ hàm số trên đồng biến.
* Trường hợp 1. Xét hai giá trị x ; x 
sao cho x  x hay x  x  0 1 2 1 2 1 2
Ta có y  f (x )  4x  3 ; y  f (x )  4x  3 1 1 1 2 2 2
f  x  f x  4x  3  4x  3  4x  3 4x  3  4 x  x 1   2  1   2  1 2  1 2
Ta có x  x  0 nên 4  x  x
 0 hay f x  f x 1   2 1 2  1 2
Do đó x  x thì f  x  f x 1   2 1 2
* Trường hợp 2. Xét hai giá trị x ; x 
sao cho x  x hay x  x  0 1 2 1 2 1 2
Ta có y  f (x )  4x  3 ; y  f (x )  4x  3 1 1 1 2 2 2
f  x  f x  4x  3  4x  3  4x  3 4x  3  4 x  x 1   2  1   2  1 2  1 2
Ta có x  x  0 nên 4 x  x  0 hay f  x  f x 1   2 1 2  1 2
Do đó x  x thì f  x  f x 1   2 1 2
Vậy hàm số y  f (x)  4x  3 đồng biến với mọi x  .
Bài 7. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 a) y 
x 1  x  1 1 b) y 
x  2  x  1 3 c) 2
y  16  x  x  3 Lời giải 1 a) y 
x 1  x  1 x 1  0 x  1  Hàm số xác định     x 1  0 x  1 1 b) Với giá y 
x  2  x  1 x  0 x  0 Hàm số xác định      x  0 x 1  0 x  1 3 c) 2
y  16  x  x  3 Trang 7 x  0 x  0 Hàm số xác định      x  0 x 1  0 x  1
II. HÌNH HỌC: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
Bài 8. Cho tam giác cân ABC  AB  AC  . Gọi E là trung điểm của BC và BD là đường cao của tam giác ABC
D AC . Gọi giao điểm của AE với BD là H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A ; D; E; B cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Xác định tâm I của đường tròn đi qua ba điểm H ; D ; C.
c) Chứng minh rằng đường tròn tâm O và đường tròn tâm I có hai điểm chung. Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của AB. Xét A
 DB vuông tại D có DO là đường trung tuyến nên DO  OA  OB . Từ đó suy ra D thuộc
đường tròn tâm O bán kính AB : 2 . Xét AEB 
vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên
EO  OA  OB . Từ đó suy ra E thuộc đường tròn tâm O bán kính OA. Vậy 4 điểm A, D, E, B
cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính AB : 2
b) Gọi I là trung điểm của HC. Vì HDC 
vuông tại D có DI là đường trung tuyến nên
DI  IH  IC . Từ đó suy ra ba điểm H, D, C thuộc đường tròn tâm I bán kính là HC : 2 (với I là trung điểm HC) c) Vì H
 EC vuông tại E có EI là đường trung tuyến nên EI  IH  IC . Từ đó suy ra ba điểm H,
E, C thuộc đường tròn tâm I bán kính là HC : 2.
Ta có: 4 điểm A, D, E, B thuộc đường tròn tâm O bán kính AB : 2
Ta có: 4 điểm H, D, C, E thuộc đường tròn tâm O bán kính HC : 2
Vậy hai đường tròn trên có hai điểm chung là E và D.
Bài 9. Cho đường tròn  ;
O R , dây cung AB  R . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC  BA. Tia CO
cắt đường tròn O ở D, biết R  3cm . a) Tính góc ACD. b) Tính CD. Lời giải a) Xét O
 AB có OA  OB  AB  R nên O
 AB đều. Từ đó suy ra: 0 0 O
 AC  60  A  CD  30 b) TH1: D nằm giữa O và C Xét O  AC có: 2 2 2
OA  OC  AC (ĐL Pytago) Trang 8
 R  OC   R2 2 2 2 2 2
 OC  3R  OC  R 3
Khi đó: DC  OC  OD  R 3  R  R  3   1
TH2: D không nằm giữa O và C
Khi đó: DC  2R  R  3   1  R  3   1  HẾT  Trang 9