Bài tập toán cao cấp 1 | Trường đại học Điện Lực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
——————— * ——————— BÀI TẬP: TOÁN CAO CẤP 1 Hà Nội - 2022
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 1
(SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC)
Câu 1. Chuyển số phức sau về dạng lượng giác. √ √ a. 3 − i (1 + 3i)6(1 − i) z = . d. I = √ . 1 − i ( 3 − i)3 √ √ b. 1 + 3i z = . (2 − 2i)8(− 3 + i)2 1 − i e. I = . 4 √ (1 + i) c. (−1 + 3i)6(1 + i) I = √ . (− 3 − i)3
Câu 2. Tìm mô đun và argument của số phức a. 1 2 z = √ . b. z = √ . 3 − i −1 − i 3 Câu 3. √ √ a. Cho −1 − i 3 2 − 2i 3 z = √ , tính z1000. c. Cho z = , tính z50. 3 − i −1 − i √ b. Cho 1 − i 3 z = √ , tính z100. 3 + i
Câu 4. Tìm căn bậc ba của số phức: √ √ a. z = −4 − 4i 3. 1 + 3i √ c. z = . b. 1 + i z = 2 − 2i 3. √3i
Câu 5. Tìm căn bậc tám của số phức: −1 + z = −2 + 2i
Câu 6. Giải phương trình: √ √ a. z3 + 3 + i = 0.
c. z3(1 − i) = (−1 + 3i)3(1 − i)5. √ b. √ z5 − (1 − 3i)2 = 0.
d. z3(1 + i) = (1 + 3i)3(1 + i)5. Trang 2 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2
(MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH) Câu 1. Cho ma trận 1 1 2 1 −1 1 1 −1 3 −1 −1 −2 . A = −3 −1 −5 . B = 2 1 1 −
Chứng minh rằng A; B khả nghịch. Tìm ma trận nghịch đảo A−1; B−1?
Câu 2. Giải phương trình ma trận XA = B với 1 2 3 1 2 5 2 5 3 3 −3 −1 A = 1 0 8 ; B = −2 −1 2
Câu 3. Giải phương trình ma trận AX = B với 1 2 3 2 2 6 2 5 3 3 −3 −1 A = 1 0 8 ; B = 0 −1 2
Câu 4. Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất: (a − 1)x1 + x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 + ax3 = 5 3x1 − x2 + 2x3 = 1 . 3x1 − x2 − ax3 = −7 a. 2x1 + x2 + 3ax3 = a c. 2x1 + x2 + 3x3 = 1 x1 + 2x2 + ax3 = 1 2x 3 1 + ax2 + x3 = −1 b. x1 + 2x2 − 2x3 = 1
Câu 5. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer: 2x + 4y + 3z = 1 2x − 2y − z = 2 3x + y − 2z = −2 y + z = 3 a. 4x + 11y + 7z = 4 c. −x + y + z = −1 x + y + 2z = −1 2x − y + 2z = −2 b. 4x + y + 4z = −5
Câu 6. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss: 2x + 4y + 3z = 2 x + 2y + z = 2 3x + y − 2z = −2 x − y − 2z = −5 a. 4x + 11y + 7z = 5 c. 2x + y − z = 3 x + y + 2z = −3 2x − y + 2z = 1 b. 4x + y + 4z = −2 Trang 3
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
Câu 7. Tìm hạng của ma trận 1 2 3 4 5 −1 −2 −4 −5 −2 −2 −3 −4 −5 0 2 3 1 1 3 3 4 5 6 5 − 0 1 7 9 1 A = 4 5 6 7 10 − B = 1 3 11 14 3
Câu 8. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a: x1 + x2 + ax3 = 2022 x + y + z = 1 x1 + ax2 + x3 = 2022 x + (a − 1)y + z = 3 a. ax1 + x2 + x3 = 2022 d. x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + z = 3 x + y + az = 0 x + ay + z = −2 b. ax + y + z = 3 e. x + y + az = 1 2ax + y + z = 1 x + 2ay + z = 2a c. x + y + 2az = 4a2 Trang 4 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 3 (KHÔNG GIAN VÉC TƠ)
Câu 1. Trong không gian vectơ R3 cho ho vectơ S = {u1, u2, u3}. Trong dó
u1 = (3; 0; 4), u2 = (−1; 4; −2), u3 = (7; −4; 10).
a) Hỏi rằng họ vectơ S là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
b) Tìm biểu diễn tuyến tính của vectơ u đối với họ {u1, u2}. 3
Câu 2. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ S = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (1; 7; −4), u2 = (−3; 1; 0), u3 = (10; 4; . −4)
a) Hỏi rằng họ vectơ S là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
b) Tìm biểu diễn tuyến tính của vectơ u đối với họ {u1, u2}. 3
Câu 3. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ S = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (−1; 2; −1), u2 = (−2; 0; −1), u3 = (3; −10; 4)
a) Hỏi rằng họ vectơ S có là cơ sở của R3 không? Tai sao?
b) Hãy biểu diễn vectơ u3 thành một tổ hợp tuyến tính của {u1, u2}.
Câu 4. Trong không gian R3, cho họ véctơ:
B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (−1, 2,
− −3); u3 = (2, 1, 3)} và u = (6, 5, 10).
a) Chứng minh B là một cơ sở của R3.
b) Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Câu 5. Trong không gian R3, cho họ véctơ:
B = {u1 = (1, 0, −1); u2 = (1, 1, 1); u3 = (−3, −2, 1)} và u = (1, 1, 3).
a) Chứng minh B là một cơ sở của R3.
b) Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Câu 6. Trong không gian R3, cho họ véctơ:
B = {u1 = (0, 1, −1); u2 = (−2, −1, 0); u3 = (−2, 3, 1)} và u = (3, 3, 1).
a) Chứng minh B là một cơ sở của R3.
b) Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Câu 7. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó u1 = (1; 2; 3), u2 = (4; 5; − −6), u3 = (7; −8; 9)
a) Hỏi B có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?
b) Nếu B là một cơ sở của R3, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R3. Trang 5
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
Câu 8. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (2; 2; −1), u2 = (−2; 0; −1), u3 = (3; −9; 4)
a) Hỏi B có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?
b) Nếu B là một cơ sở của R3, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R3.
Câu 9. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (−1; 0; 1), u2 = (1; 2; 1), u3 = (−3; 5; −7)
a) Hỏi B có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?
b) Nếu B là một cơ sở của R3, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R3.
Câu 10. Trong không gian R3 cho 2 cơ sở
B = {v1 = (6, 6, 0); v2 = (−2, −6, 4); v3 = (−2, −3, 7) ; } và
B0 = {e1 = (−3, 0, −3); e2 = (−3, 2, 1); e3 = (1, 6, . −1)}
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0. b) Tìm (v) nếu biết B (v)B0 = (1, 3, 0).
Câu 11. Trong không gian R3 cho 2 cơ sở
B = {v1 = (−1, 0, 0); v2 = (2, 2, 0); v3 = (3, 3, 3)} và
B0 = {e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1) . }
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0. b) Tìm (v) nếu biết B (v)B0 = (2, −1, 0).
Câu 12. Trong không gian R3 cho 2 cơ sở B = {v1 = (0, 1, −1); v2 = (2, 1, 0); v3 = (2, −3, −1)} và B0 = {e1 = (1, 0, 0); e 0, 1, 0 0, 0, 1 2 = ( ); e3 = ( )}.
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0. b) Tìm (v) nếu biết B (v)B0 = (3, 0, 7). Trang 6 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 4 (ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH)
Câu 1. Cho ánh xạ: T : R3 → R3 với
T(x; y; z) = (2x − y − z; −x + 2y − z; x + y − 2z).
a) Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính; b) Tìm Im(T).
Câu 2. Cho ánh xạ: T : R3 → R3 với
T(x; y; z) = (2x − y + 3z; x + 2y − 2z; 8x + y + 5z).
a) Chứng minh T là ánh xạ tuyến; b) Tìm Im(T).
Câu 3. Cho ánh xạ f : R3 → R3 được xác định bởi
f (x; y; z) = (x + y − z; 2x + 3y − z; 3x + 5y − z).
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính; b) Tìm Ker( f ).
Câu 4. Cho ánh xạ f : R3 → R3 được xác định bởi
f (x; y; z) = (x − y + z; x + 2y − z; 2x + y).
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính; b) Tìm Ker( f ).
Câu 5. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi:
f (x, y, z) = (x − y − z, 2x + y − z, 4x − y − 3z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc trong R3.
Câu 6. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi:
f (x, y, z) = (x + y − z, 2x − y + z, x + 2y − z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc trong R3.
Câu 7. Cho ánh xạ f : R3 → R3, xác định bởi
f (x, y, z) = (x − 2y + z, x + y, x + y − 2z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {e1 = (−1, 0, 0); e2 = (2, 2, 0); e 3, 3, 3 3 = ( )} trong R3. Trang 7
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
Câu 8. Cho ánh xạ f : R3 → R3, xác định bởi
f (x, y, z) = (x − y − z, 2x + y − z, 4x − y − 3z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {e1 = (1, 1, 1); e2 = (−2, −2, 0); e3 = (3, 0, 0)} trong R3.
Câu 9. Cho ánh xạ f : R3 → R3, xác định bởi
f (x, y, z) = (x + y + z, x − y + z, 2x + y + 3z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {v1 = (1, 0, 1); v2 = (1, 3, 0); v3 = (0, −2, 1)} trong R3.
Câu 10. Cho f : R3 → R3 xác định bởi f (x, y, z) = (x + 2y; −x; z).
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (−1, 1, − −1); v2 = (2, 2, 0); v 3, 0, 0 ; 3 = ( )}
b) Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (1, 3, 0).
Câu 11. Cho f : R3 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 − x1, x1 − x3) .
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (1, 0, 1); v2 = (0, 1, 1); v 1, 1, 0 3 = ( )};
b) Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (3, 0, 2).
Câu 12. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi
f (x, y, z) = (x + 2y − z; −x + y + z; x + z).
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (−1, 1, 2); v2 = (−2, 2, 0); v 1, 0, 4 3 = ( )};
b) Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (0, 3, 4).
Câu 13. Tìm giá trị riêng và không gian riêng ứng với giá trị riêng tìm được của ma trận A, biết 2 −2 2 −2 5 1 a. 1 4 A = 2 3 d. A = 2 1 5 . 1 0 1 0 0 0 . 5 −3 1 b. A = 1 0 1 −3 5 1 e. 0 0 8 . 1 2 1 A = 2 4 2 c. A = 1 2 1 .
Câu 14. Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận 2 0 2 − −2 0 36 − 0 3 0 0 −3 0 . a. A = 0 0 3 . b. A = −36 0 −23 Trang 8 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 5 (DẠNG TOÀN PHƯƠNG)
Câu 1. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương a. Q = x2 + + x2 1 x22 + 4 3 x1x2 + 4x2x3 + 4x1x3. b. Q = x2 + 3 + 4x 1 x22 − x23 1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3. c. Q = x2 + 1 x2 + 2 + 2 2 x23 x1x2 + 2x2x3. d. Q = x2 + 2 1 x1x2 + 4x1x3 − 2x2 + + 2 2 x23 x2x3. e. Q = 4x2 + 2 + 2x2 + 4x 1 x22 3 1 x2 − x2x3 − 4x1x3. f. Q = x2 + x2 + 2x 1 − x2 2 3 1 x2 − 3x2x3 − x1x3. g. Q = 2x2 + 2 1 x2 + 2 2 x23 − 2x1x2 + x2x3. h. Q = 2x2 . 1 − 10x2 2 − 8x2
3 − 4x1 x2 + 8x1 x3 + 16x2 x3 i. Q = 3x2 + 2 + x2 . 1 x22 3 − 3x1 x2 + x2 x3
Hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đồi tọa độ.
Câu 2. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương: ϕ = 2x2 + 3 1 x2 + 2 x2 + 2λ 3 x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3.
a) Với λ = 1, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ;
b) Tìm λ để dạng toàn phương trên là xác định dương.
Câu 3. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương: ϕ = 5x2 + 1 x2 + λ + 4 2 x23 x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.
a) Với λ = 3, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ;
b) Tìm λ dể dạng toàn phương trên là xác định dương.
Câu 4. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương: Q = 5x2 + 1 x2 + λ + 4 2 x23 x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.
a) Với λ = 1, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ.
b) Tìm λ để dạng toàn phương trên là xác định dương. Trang 9
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Câu 1. Mạch điện gồm điện trở 3Ω mắc nối tiếp điện trở 5Ω nối tiếp với cuộn cảm
với độ tự cảm L = 40mH nối tiếp tụ điện có điện dung C = 100µF với tần số
f = 100 Hz. Xác định tổng trở phức của mạch? Câu 2.
Một mạch điện gồm hai nhánh mắc song song. Nhánh 1
gồm có điện trở 10Ω mắc nối tiếp với cuộn cảm với độ tự
cảm L = 150mH. Nhánh 2 có điện trở 15Ω mắc nối tiếp
với tụ điện có điện dung C = 100µF. Với tần số làm việc
của mạch là f = 50 Hz. Xác định tổng trở phức tương đương của mạch?
Câu 3. Một hãng sử dụng 4 loại vật liệu khác nhau để sản xuất 3 loại sản phẩm.
Cho biết, định mức về số đơn vị vật liệu cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại tương
ứng và giá của một đơn vị vật liệu (tính bằng nghìn đồng) mỗi loại ở bảng sau Vật liệu 1 2 3 4 Sản phẩm I 2 4 0 1 II 3 0 1 2 III 1 2 3 4 Giá vật liệu 12 9 14 8 Câu 4. Câu 5. Câu 6. Câu 7. Câu 8. Câu 9. Câu 10. Trang 10