9 trang 14 lượt tải

Bài tập Toán cao cấp 1 | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

28

Bài tập Toán cao cấp 1 | Trường Đại học Tôn Đức Thắng. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Môn: Toán cao cấp 1 (TCC1) 26 tài liệu

Trường: Trường Đại học Tôn Đức Thắng 4.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Thạch Đỗ Công

1 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/9
1
Chương 1. ĐẠO HÀM RIÊNG
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng
f
x
và
f
y
1.
2
f x,y 2x 3y 4
2.
2 2
f x, y x xy y
3.
2
f x, y x 1 y 2
4.
2 2
f x,y 5xy 7x y 3x 6y 2
5.
3
f x,y 2x 3y
6.
2
f x, y xy 1
7.
2 2
f x, y x y
8.
2 2
x
f x, y
x y
9.
1
f x, y
x y
10.
2/3
3
y
f x, y x
2
11.
y
f x, y arctan
x
12.
x y 1
f x, y e
13.
x
f x, y e sin x y
14.
f x, y ln x y
15.
xy
f x, y e ln y
16.
2
f x, y sin x 3y
17.
2 2
f x, y cos 3x y
18.
y
f x, y x
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng
x
f
,
y
f
, và
z
f
.
1.
2 2
f x, y,z 1 xy 2z
2.
f x, y,z xy yz zx
3.
2 2
f x, y,z x y z
4.
1/2
2 2 2
f x, y,z x y z
5.
f x, y,z arcsin xyz
6.
f x, y,z ln x 2y 3z
7.
f x, y,z yzln xy
8.
xyz
f x, y,z e
9.
2 2 2
x y z
f x, y,z e
Bài 3. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm sau
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
2
1.
f x, y x y xy
2.
2
g x, y x y cos y ysin x
3.
f x, y sin xy
4.
y
h x, y xe y 1
5.
r x, y ln x y
6.
y
s x, y arctan
x
7.
2
w x, y x tan xy
8.
2
x y
w ye
9.
2
w x sin x y
10.
2
x y
w
x y
Bài 4. Tính các đạo hàm của hàm hợp sau
1.
2 2
w x y
,
cos
x t
,
sin
y t
tại
π
t
.
2.
2 2
w x y
,
cos sin , cos sin
x t t y t t
tại
0
t
.
3.
x y
w
z z
,
2 2
1
cos , sin ,x t y t z
t
tại
0
t
.
4.
2 2 2
ln
w x y z
,
cos , sin , 4
x t y t z t
, tại
3
t
.
5.
2 ln
x
w ye z
,
2
ln 1
x t
,
arctan
y t
,
t
z e
tại
1
t
.
6.
sin
w z xy
,
1
, ln ,
t
x t y t z e
tại
1
t
.
Bài 5. Tính các đạo hàm riêng
,
u v
w w
của hàm hợp sau
1.
w xy yz zx
,
x u v
,
y u v
,
z uv
tại
, 1/ 2,1
u v
.
2.
2 2 2
ln
w x y z
,
sin , cos ,
v v v
x ue u y ue u z ue
tại
, 2,0
u v
.
Bài 6. Tính đạo hàm
dy
dx
của hàm ẩn
y x
xác định từ các phương trình sau
1.
3 2
2 0
x y xy
tại
1,1
2.
2
3 3 0
xy y x
tại
1,1
3.
2 2
7 0
x xy y

tại
1,2
4.
sin ln 2 0
y
xe xy y
tại
0,ln 2
Bài 7. Tính các đạo hàm riêng
x
z
và
y
z
1.
3 3
2 0
z xy yz y

tại
1,1,1
2.
1 1 1
1 0
x y z
tại
2,3,6
3.
sin sin sin 0
x y y z z x
4.
2ln 0
y z
xe ye x
Bài 8. Tìm các vector Gradient
1.
,
f x y y x
tại
2,1
2.
2 2
, ln
f x y x y
tại
1,1
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
3
3.
2
,
g x y xy
tại
2, 1
,
2, 1 1, 4
g
4.
2 2
,
2 2
x y
g x y
5.
, 2 3
f x y x y
6.
, arctan
x
g x y
y
Bài 9. Tính
f
1.
2 2 2
, , 2 ln
f x y z x y z z x
tại
1,1,1
.
1,1,1 3, 2, 4
f
2.
3 2 2
, , 2 3 arctan
f x y z z x y z xz
tại
1,1,1
3.
1/2
2 2 2
, , ln
f x y z x y z xyz
tại
1,2, 2
4.
, , cos 1 arcsin
x y
fxyze zy x
.
Bài 10. Tính đạo hàm theo hướng
1.
2
, 2 3
f x y xy y
tại
0
5,5
P
theo hướng
4 3
u i j
,
4
D
2.
2 2
, 2
f x y x y
tại
0
1,1
P
theo hướng
12 5
u i j
.
13
8
D
3.
,
2
x y
g x y
xy
tại
0
1, 1
P
theo hướng
12 5
u i j
4.
, arctan 3 arcsin
2
y xy
h x y
x
tại
0
1,1
P
theo hướng
3 2
u i j
.
5.
, ,
f x y z xy yz zx
tại
0
1, 1, 2
P
theo hướng
3 6 2
u i j k
6.
2 2 2
, , 2 3
f x y z x y z
tại
0
1,1,1
P
theo hướng
u i j k
7.
, , 3 cos
x
g x y z e yz
tại
0,0,0
H
theo hướng
2,1, 2
v
8.
, , cos ln
yz
h x y z xy e zx
tại
1,0,1/ 2
J
theo hướng
1,2,2
v
Bài 11. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của các mặt được cho bởi các phương trình sau
1.
2 2
ln
z x y
tại
1,0,0
2.
2 2
x y
z e
tại
0,0,1
3.
z y x
tại
1,2,1
4.
2 2
4
z x y
tại
1,1, 5
Bài 12. Tìm hàm tuyến tính hóa của các hàm tại điểm chỉ ra
1.
2 2
, 1
f x y x y
tại
0,0
và tại
1,1
2.
2
, 2
f x y x y
tại
0,0
và tại
1, 2
3.
, 3 4 5
f x y x y
tại
1,1
4.
3 4
,
f x y x y
tại
0,0
5.
, cos
x
f x y e y
tại
0,
π
2
6.
2
,
y x
f x y e
tại
1, 2
7.
, ,
f x y z xy yz zx
tại
1,1,1
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
4
8.
2 2 2
, ,
f x y z x y z
tại
0,1,0
9.
2 2 2
, ,
f x y z x y z
tại
1,2, 2
10.
sin
, ,
xy
f x y z
z
tại
,1,
2
π
1
11.
, , cos
x
f x y z e y z
tại
0,
π
,
4
π
4
12.
, , arctan
f x y z xyz
tại
1,1, 0
Bài 13. Tìm xấp xỉ tuyến tính chuẩn của hàm số tại các điểm được chỉ ra
1.
2
, 3 5
f x y x xy
tại
2.01,0.99
2.
2 2
1 1
, 3 3 4
2 4
f x y x xy y x y

tại
2.05,2.03
3.
, 1 cos
f x y y x y
tại
0.05, 0.09
4.
2
, cos 1
f x y xy y x
tại
1.05,2.01
5.
, cos
x
f x y e y
tại
0.05, 0.05
6.
, ln ln
f x y x y
tại
1.05,1.09
7.
, , 3 2
f x y z xz yz
tại
1.05,1.05,1.95
8.
2 2
1
, ,
4
f x y z x xy yz z

tại
1.05,1.05,1.95
9.
, , 2 3
f x y z xy yz xz
tại
0.99,1,01,0
10.
, , 2 cos sin
f x y z x y z
tại
0.05,0.05,
4
π
Bài 14. Tìm cực trị địa phương của các hàm sau
1.
2 2
, 3 3 4
fxyxxyy xy

.
2.
2 2
, 2 5 2 444
f x y xy x y x y
.
3.
2
, 3 2 5
f x y x xy x y

.
4.
2
, 5 7 3 6 2
f x y xy x x y
.
5.
2 2
, 2 2 3 4
f x y xy x y x
.
6.
2 2
, 4 6 2
f x y x xy y y
.
7.
2 2
, 23452
f x y x xy y x y
8.
2 2
, 2 4 6
f x y x y x y
9.
2
, 2
f x y x xy
10.
2 2
, 56 8 16 31 1 8
f x y x y x x

11.
2 2
3
, 1
f x y x y
12.
3 3
, 2 6
f x y x y xy
13.
3 3
, 3
f x y x xy y
14.
2 3 2
, 6236
fxyxxyxy
15.
3322
, 3 3 8
f x y x y x y
16.
3 2 3
, 3 15 15
f x y x xy x y y
17.
3 3 2 2
, 229312
f x y x y x y y
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
5
18.
4 4
, 4
f x y xy x y
19.
4 4
, 4
f x y x y xy

20.
2 2
1
,
1
f x y
x y
21.
1 1
,f x y xy
x y
22.
, sin
f x y y x
23.
2
, cos
x
f x y e y
24.
2 2
4
,
x y x
f x y e
25.
,
y x
f x y e ye
26.
2 2
,
y
f x y e x y
27.
2 2
,
x
fxyexy
28.
, 2 ln ln 4
f x y x y x y
29.
2
, ln
f x y x y x y

Bài 15. Tìm cực trị toàn cục (GTLN, GTNN) của các hàm số sau
1.
2 2
, 2 4 4 1
f x y x x y y
trong miền tam giác giới hạn bởi
0,2,2
xyyx
2.
2 2
, 1
f x y x xy y
trong miền tam giác giới hạn bởi 0, 4,
xyyx
3.
2 2
,
f x y x y
trong miền tam giác giới hạn bởi
0, 0, 2 2
xyyx
4.
2 2
, 6 2
g x y x xy y x

bên trong hình chữ nhật
0 5, 3 3
x y

5.
3 2
,
f x y x y
bên trong hình tròn
2 2
1
x y
6.
,
f x y xy
bên trong hình tròn
2 2
1
x y
7.
2 2
, 3
f x y x y x xy
bên trong hình tròn
2 2
9
x y
.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
2
6 2 , : 0 1,0 2
R
y x dxdy R x y

b)
2
, : 0 4,1 2
R
x
dxdy R x y
y

c)
cos , : 1 ,
π
0
R
xy ydxdy R x y

d)
sin , :
π π
0,0
R
y x y dxdy R x y

e)
, : 0 ln 2,0 ln 2
x y
R
e dxdy R x y

f)
2
, : 0 2,0 1
xy
R
xye dxdy R x y

Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
6
g)
3
2
, : 0 1,0 2
1
R
xy
dxdy R x y
x

h)
2 2
, : 0 1,0 1
1
R
y
dxdy R x y
x y

Bài 2. Tính tích phân bội hai trên miền tổng quát
a)
R
x
dxdy
y

biết
R
nằm trong góc phần tư thứ nhất, bao quanh bởi
, 2 , 1, 2
y x y x x x
.
b)
2 2
R
x y dxdy

, biết
R
là miền tam giác có các đỉnh là
0,0 , 1,0 , 0,1
.
c)
R
v u dudv

, biết
R
là miền tam giác trong mặt phẳng
Ouv
, nằm trong góc phần tư
thứ nhất, dưới đường
1
u v
d)
ln t dsdt
s
R
e

, biết
R
nằm trong mặt phẳng
Ost
, phía dưới dường cong
ln t
s
, từ
1
t
đến
2
t
.
e)
2
2
R
y x dxdy

, với
R
là miền bị bên trong hình vuông
1
x y
f)
R
xydxdy

, với
R
là miền bên trong tam giác giới hạn bởi
, 2 , 2
y x y x x y
.
Bài 3.
a) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt paraboloid
2 2
z x y
bên trong miền tam giác
, 0, 2
y x x x y
.
b) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt
2
z x
bên trong miền giới hạn bởi
2
2 ,
y x y x
.
Bài 4. Tính diện tích của miền
D
, biết
a)
D
là miền giới hạn bởi
0, 0, 2
x y x y
b)
D
là miền giới hạn bởi
0,2,4
x y x y
c)
D
là miền giới hạn bởi
2
, 2
x y y x
d)
D
là miền giới hạn bởi
2
,
x y y y x
e)
D
là miền giới hạn bởi
,0,0,ln2
x
y e y x x

f)
D
là miền giới hạn bởi
ln , 2ln ,
y x y x x e
.
Bài 5. Tính tích phân
,
D
f xydxdy

bằng phương pháp đổi biến trong tọa độ cực, biết
a)
,
f x y xy
,
D
là hình tròn tâm góc tọa độ, bán kính 3.
b)
,
f x y x y
,
D
là miền bên trái trục
Oy
, nằm giữa hai đường tròn
2 2
1
x y
và
2 2
4
x y
.
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
7
c)
2 2
, cos
f x y x y
,
D
là miền nằm phía trên trục
Ox
và bên trong
2 2
9
x y
.
d)
2 2
, 4
f x y x y
,
2 2
, | 4, 0
D x y x y x
e)
2 2
,
x y
f x y e
,
D
là miền giới hạn bởi
2
4
x y
và trục
Oy
f)
,
x
f x y ye
với
D
là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất, bên trong
2 2
25
x y
.
g)
,
f x y x
với
D
nằm bên trong
22 22
4, 2
xy xy x
 
.
Bài 6. Tính các tích phân bội ba sau
a)
2
E
xdxdydz

, với
2
, , |0 2,0 4 ,0
E x y z y x y z y
b)
5
cos
E
yz x dxdydz

, với
, , | 0 1,0 , 2
E xyz x y xx z x
c)
6
E
xydxdydz

, với
E
nằm phía dưới mặt phẳng
1
z x y
và phía trên miền trong
mặt
Oxy
bị giới hạn bởi
, 0, 1
y x y x
.
d)
E
ydxdydz

, với
E
giới hạn bởi các mặt
0, 0, 0, 2 x 2 y z 4
x y z
.
Bài 7. Tính tích phân
, ,z
E
f x y dxdydz

trong tọa độ trụ, biết
a)
2 2
, ,
f x y z x y
và
E
là miền nằm bên trong mặt trụ
2 2
16
x y
và nằm giữa các
mặt phẳng
5, 4
z z
.
b)
3 2
, ,
f x y z x xy
và
E
là miền nằm ở góc phần tám thứ nhất, bên trong paraboloid
2 2
1
z x y
.
c)
, ,
z
f x y z e
và
E
là miền bên trong paraboloid
2 2
1
z x y
và hình trụ
2 2
5
x y
, mặt tọa độ
Oxy
.
d)
, ,
f x y z x
và
E
là miền giới hạn bởi hai mặt
0
z
,
5
z x y

, và hai hình trụ
2 2 2 2
4, 9
xy xy
 
e)
2
, ,
f x y z x
và
E
là miền giới hạn bởi hình trụ
2 2
1
x y
, phía trên
0
z
, phía dưới
hình nón
2 2
4 4
z x y
.
Bài 8. Tính tích phân
, ,z
E
f x y dxdydz

trong tọa độ cầu, biết
a)
2
2 2 2
, ,
f x y z x y z
và
E
là quả cầu tâm
0,0,0
O
, bán kính
5
R
.
b)
2 2
, , 9
f x y z x y
và
E
là miền
2 2 2
9, 0
x y z z
.
c)
, ,
f x y z z
và
E
là miền bên trong
2 2 2
1
x y z
,
2 2 2
4
x y z
trong góc phần
tám thứ nhất.
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
8
d)
2 2 2
, ,
x y z
f x y z e
và
E
là miền bên trong mặt cầu
2 2 2
9
x y z
trong góc phần
tám thứ nhất.
e)
2
, ,
f x y z x
và
E
là miền bị giới hạn bởi mặt
Oxz
,
2 2
9
y x z
,
2 2
16
y x z
Chương 3. DÃY SỐ VÀ CHUỖI
Bài 1. Tính tổng riêng của các chuỗi sau:
a)
1
2 2 2 2
2 ...
3 9 27
3
n
 
b)
2
9 9 9
... ...
100 100 100
n

c)
1 1 1 1
...
2.3 3.4 4.5 1 2
n n
d)
5 5 5 5
... ...
1.2 2.3 3.4 1n n
Bài 2. Tính tổng của các chuỗi sau
a)
0
1
4
n
n
n
b)
0
1
4
n
n
c)
0
7
4
n
n
d)
0
5
1
4
n
n
n
e)
0
5 1
2 3
n n
n
f)
0
5 1
2 3
n n
n
g)
0
1
1
2 5
n
n n
n
h)
1
0
2
5
n
n
n
.
Bài 3. Sử dụng tiêu chuẩn tích phân, khảo sát các chuỗi sau
a)
2
1
1
n
n
b)
0.2
1
1
n
n
c)
2
1
1
4
n
n
d)
1
1
4
n
n
e)
2
1
n
n
e
f)
2
1
ln
n
n
n
Bài 4. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau
a)
2
1
1
30
n
n
b)
4
1
1
2
n
n
n
c)
1
1
1
n
n
d)
2
2
2
n
n
n n
e)
2
3/2
1
cos
n
n
n
f)
1
3
n
n
n
g)
4
1
4
4
n
n
n
h)
2
1
1
3
n
n
n
.
Bài 5. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau
a)
3 2
1
2
3
n
n
n n
b)
2
1
1
2
n
n
n
c)
2
2
1
1 1
n
n n
n n
d)
1
2
3 4
n
n
n
e)
1
5
n
n
n
n
f)
1
2 3
5 4
n
n
n
n
.
Bài 6. Sử dụng tiêu chuẩn tỉ số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau
a)
1
2
!
n
n
n
b)
1
2
3
n
n
n
c)
2
1
1 !
1
n
n
n
d)
1
1
1
2
3
n
n
n
n
e)
4
1
4
n
n
n
f)
2
1
3
ln
n
n
n n
g)
2
2
1
2 !
!3
n
n
n n
n
h)
1
5
2 3 ln 1
n
n
n
n n
.
Bài 7. Sử dụng tiêu chuẩn căn số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau
a)
1
7
2 5
n
n
n
b)
1
4
3
n
n
n
n
c)
1
4 3
3 5
n
n
n
n
d)
1
2
1
1
ln
n
n
e
n
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
9
e)
2
1
8
1
3
n
n
n
f)
1
1
sin
n
n
n
g)
2
1
1
1
n
n
n
h)
1
1
1
n
n
n
.
Bài 8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi đan dấu
a)
1
1
1
1
n
n
n
b)
1
3/2
1
1
1
n
n
n
c)
1
1
1
1
3
n
n
n
n
d)
2
1
4
1
ln
n
n
n
e)
2
1
1
1
n
n
n
n
f)
2
1
2
1
5
1
n
n
n
n
g)
1
2
1
1
n
n
n
h)
1
10
1
1 !
n
n
n
n
.
Bài 9. Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện của các chuỗi số sau
a)
1
1
1
1
10
n
n
n
b)
1
1
1
1
10
n
n
n
n
c)
1
1
1
n
n
n
d)
1
1
1
n
n
n
e)
1
3
1
1
1
n
n
n
n
f)
1
1
!
1
n
n
n
n
g)
1
1
1
3
n
n
n
h)
1
2
1
1
1
n
n
n
n
.
Bài 10. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
a)
1
n
n
x
b)
1
5
n
n
x
c)
1
1 4 1
n n
n
x
d)
1
3 2
n
n
x
n
e)
1
2
10
n
n
n
x
f)
1
2
n
n
x
g)
1
2
n
n
nx
n
h)
1
1 2
n n
n
x
n
i)
1
3
n
n
n
x
n n
j)
1
1
n
n
x
n
k)
1
1
!
n
n
n
x
n
l)
1
3
!
n n
n
x
n
m)
2
1
4
n n
n
x
n
n)
3
1
1
3
n
n
n
x
n
o)
2
1
3
n
n
x
n
p)
1
1
1
3
n
n
n
x
n
q)
1
3
5
n
n
n
n x
t)
2
1
4 1
n
n
n
nx
n
u)
1
3
n
n
n
nx
v)
1
2 5
n
n
n
n x
r)
1
1
1
n
n
n
x
n
x)
1
ln
n
n
n x
y)
1
n n
n
n x
z)
1
! 4
n
n
n x
.
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping

Tài liệu khác của Trường Đại học Tôn Đức Thắng

Preview text:

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: w 1
ww.foxitsoftware.com/shopping
Chương 1. ĐẠO HÀM RIÊNG f  f 
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng và x  y  1.   2 f x, y  2x  3y  4 2.   2 2 f x, y  x  xy  y 3.     2 f x, y x   1  y  2 4.   2 2
f x, y  5xy  7x  y  3x  6y  2 5.      3 f x, y 2x 3y 6.      2 f x, y xy 1 7.   2 2 f x, y  x  y x 8. f  x, y  2 2 x  y 1 9. f x, y  x  y 2/3  y  10. f x, y 3  x     2   y 
11. f x, y  arctan    x  12.   x y 1 f x, y e    13.   x f x, y  e sin  x  y
14. f x, y  ln x  y 15.   xy f x, y  e ln y 16.   2 f x, y  sin x  3y 17.   2   2 f x, y cos 3x  y  18.   y f x, y  x
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng f , f , và f . x y z 1.   2 2 f x, y, z  1 xy  2z
2. f x, y, z  xy  yz  zx 3.   2 2 f x, y, z  x  y  z  4.        1/2 2 2 2 f x, y, z x y z
5. f x, y, z  arcsin xyz
6. f x, y, z  ln x  2y  3z
7. f x, y, z  yz ln xy 8.   xyz f x, y, z e  2 2 2  x  y z 9. f x, y, z    e
Bài 3. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm sau
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: 2
www.foxitsoftware.com/shopping
1. f  x, y  x  y  xy 2.   2
g x, y  x y  cos y  y sin x 3. f x, y  sin xy 4.   y h x, y  xe  y 1
5. r x, y  ln  x  y  y 
6. s x, y  arctan    x  7.   2 w x, y  x tan xy 2 8. x y w ye   9.   2 w x sin x y x  y 10. w  2 x  y
Bài 4. Tính các đạo hàm của hàm hợp sau 1. 2 2
w x y , x  cos t , y  sin t tại t  π . 2. 2 2
w x y , x  cos t  sin t, y  cos t sin t tại t  0 . x y 1 3. w   , 2 2
x  cos t, y  sin t, z  tại t  0 . z z t 4. w   2 2 2
ln x y z , x  cos t, y  sin t, z  4 t , tại t  3 . 5.  2 x w
ye  ln z , x   2 ln t  
1 , y  arctan t , t
z e tại t 1.
6. w z sin xy , 1 , ln , t x t y t z e     tại t  1.
Bài 5. Tính các đạo hàm riêng w , w của hàm hợp sau u v
1. w xy yz zx , x u v , y u v , z uv tại u, v  1/ 2,  1 . 2. w   2 2 2
ln x y z , v  sin , v  cos , v x ue u y ue
u z ue tại u, v  2,  0 . dy
Bài 6. Tính đạo hàm
của hàm ẩn yx xác định từ các phương trình sau dx 1. 3 2
x  2 y xy  0 tại 1  ,1 2. 2
xy y 3x  3  0 tại  1   ,1 3. 2 2
x xy y  7  0 tại 1,  2 4. y
xe  sin xy y  ln 2  0 tại 0, ln 2
Bài 7. Tính các đạo hàm riêng z và z x y 1. 3 3
z xy yz y  2  0 tại 1,1,  1 1 1 1 2.
  1 0 tại 2,3,6 x y z
3. sin x y sin y z sin z x  0 4. y z
xe ye  2 ln x  0
Bài 8. Tìm các vector Gradient
1. f x, y  y x tại   2,1
2. f x y   2 2 ,
ln x y  tại 1  ,1
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: w 3
ww.foxitsoftware.com/shopping 3. g x y 2 ,
xy tại 2,  1 , g 2,  1  1, 4   2 2 x y
4. g x, y   2 2 5. f  ,
x y  2x  3y    x
6. g x, y  arctan     y  Bài 9. Tính f 1. f x y z 2 2 2 , ,
x y  2z z ln x tại 1,1,  1 . f  1,1,  1  3, 2,4 2. f x y z 3  z   2 2 , , 2
3 x y z arctanxz tại 1,1,  1 1  /2
3. f x y z   2 2 2 , ,
x y z
 lnxyz tại 1, 2,2 4.  , ,  xy f x y z e
cos z  y   1 arcsin x .
Bài 10. Tính đạo hàm theo hướng 1. f x y 2 ,
 2xy 3y tại P 5,5 theo hướng u  4i 3 j , D  4  0   13 2. f x y 2 2 ,
 2x y tại P 1,1 theo hướng u 12i 5 j . D   0   8 x y
3. g x, y 
tại P 1,1 theo hướng u  12i  5 j 0   xy  2  y  xy
4. hx, y  arctan    3 arcsin     
tại P 1,1 theo hướng u  3i  2 j . 0       x  2 
5. f x, y, z  xy yz zx tại P 1,1, 2 theo hướng u  3i  6 j  2k 0   6. f x y z 2 2 2 , ,
x  2 y 3z tại P 1,1,1 theo hướng u i j k 0   7.  , ,  3 x g x y z
e cos yz tại H 0, 0, 
0 theo hướng v  2,1, 2   8.  , ,  cos yz h x y z
xy e  ln zx tại J 1, 0,1 / 2 theo hướng v  1, 2, 2
Bài 11. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của các mặt được cho bởi các phương trình sau 1. z   2 2
ln x y  tại 1, 0, 0  2 2  x y  2. z e tại 0,  0,1 3. z
y x tại 1, 2,  1 4. 2 2
z  4x y tại 1,1,  5
Bài 12. Tìm hàm tuyến tính hóa của các hàm tại điểm chỉ ra 1. f x y 2 2 ,
x y 1 tại 0,0 và tại 1  ,1
2. f x y  x y  2 ,
2 tại 0,0 và tại 1,  2
3. f x, y  3x  4 y  5 tại 1  ,1 4. f x y 3 4 ,
x y tại 0,0  π 5.  ,  x
f x y e cos y tại 0,    2 6.   2 , y x f x y e   tại 1,  2
7. f x, y, z  xy yz zx tại 1,1,  1
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: 4
www.foxitsoftware.com/shopping 8. f x y z 2 2 2 , ,
x y z tại 0,1,0 9. f x y z 2 2 2 , ,
x y z tại 1,2,2 sin xy  π 
10. f x, y, z  tại  ,1,1   z  2   π π 11.  , ,  x
f x y z e  cos y z tại 0, ,     4 4
12. f x, y, z  arctan xyz tại 1,1, 0
Bài 13. Tìm xấp xỉ tuyến tính chuẩn của hàm số tại các điểm được chỉ ra 1. f x y 2 ,
x 3xy  5 tại 2.01,0.99 1 1
2. f x, y 2 2
x xy y  3x 3y  4 tại 2.05,  2.03 2 4
3. f x, y 1 y x cos y tại 0.05,0.09 4. f x y 2 ,
xy y cosx   1 tại 1.05,  2.01 5.  ,  x
f x y e cos y tại 0.05,0.0  5
6. f x, y  ln x  ln y tại 1.05,1.09
7. f x, y, z  xz 3yz  2 tại 1.05,1.05,1.95 1
8. f x, y, z 2 2
x xy yz z tại 1.05,1.05,1.95 4
9. f x, y, z  xy  2 yz 3xz tại 0.99,1, 01, 0  π
10. f x, y, z  2 cosxsin y z tại 0.05,0.05,    4
Bài 14. Tìm cực trị địa phương của các hàm sau 1. f x y 2 2 ,
x xy y  3x3y  4 . 2. f x y 2 2 ,
 2xy 5x  2y  4x  4 y  4 . 3. f x y 2 ,
x xy  3x  2 y  5 . 4. f x y 2 ,
 5xy 7x  3x6 y  2 . 5. f x y 2 2 ,
 2xy x 2 y  3x  4 . 6. f x y 2 2 ,
x  4xy y  6 y  2 . 7. f x y 2 2 ,
 2x  3xy  4y 5x  2y 8. f x y 2 2 ,
x y  2x  4y  6 9. f x y 2 ,  x  2xy 10. f x y 2 2 ,
 56x 8y 16x 31 18x 11. f x y 2 2 3 ,
1 x y 12. f x y 3 3 ,
x y  2xy  6 13. f x y 3 3 ,
x  3xy y 14. f x y 2 3 2 ,
 6x  2x  3y  6xy 15. f x y 3 3 2 2 ,
x y  3x 3y 8 16. f x y 3 2 3 ,
x  3xy 15x y 15y 17. f x y 3 3 2 2 ,
 2x  2 y 9x  3y 12y
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: w 5
ww.foxitsoftware.com/shopping 18. f x y 4 4 ,
 4xy x y 19. f x y 4 4 ,
x y  4xy 1
20. f x, y  2 2 x y 1 21. f x y 1 1 ,   xy x y
22. f x, y  y sin x 23.   2 , x
f x y e cos y 24.   2 2 4 , x y x f x y e    25.  ,  y x
f x y e ye 26.      2 2 , y f x y e x y  27.    2 2 , x f x y e x y
28. f x, y  2 ln x  ln y  4x y
29. f x y  x y 2 , ln  x y
Bài 15. Tìm cực trị toàn cục (GTLN, GTNN) của các hàm số sau 1. f x y 2 2 ,
 2x  4x y  4 y 1 trong miền tam giác giới hạn bởi x  0, y  2, y  2x 2. f x y 2 2 ,
x xy y 1 trong miền tam giác giới hạn bởi x  0, y  4, y x 3. f x y 2 2 ,
x y trong miền tam giác giới hạn bởi x  0, y  0, y  2x  2 4. g x y 2 2 ,
x xy y 6x  2 bên trong hình chữ nhật 0  x  5,3 y  3 5. f x y 3 2 ,
x y bên trong hình tròn 2 2 x y 1
6. f x, y  xy bên trong hình tròn 2 2 x y 1 7. f x y 2 2 ,
x y 3xxy bên trong hình tròn 2 2 x y  9 .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tính các tích phân sau a)   2
6 y  2xdxdy, R : 0  x 1, 0  y  2 R x b)
dxdy, R : 0  x  4,1  y  2  2 y R c) xy cos ydxdy, R : 1 x ,  0  y  π  R d)
y sinx ydxdy, R : π
  x  0,0  y  π  R e) xy e
dxdy, R : 0  x  ln 2, 0  y  ln 2  R 2 f) xy xye dxdy,
R : 0  x  2, 0  y 1  R
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: 6
www.foxitsoftware.com/shopping 3 xy g) dxdy,
R : 0  x 1, 0  y  2  2 x 1 R y h) dxdy,
R : 0  x 1, 0  y 1  2 2 x y 1 R
Bài 2. Tính tích phân bội hai trên miền tổng quát x a) dxdy  biết
R nằm trong góc phần tư thứ nhất, bao quanh bởi y R
y x, y  2x, x  1, x  2 . b)   2 2
x y dxdy , biết R là miền tam giác có các đỉnh là 0,0,1, 0,0,  1 . R
c)  vududv , biết R là miền tam giác trong mặt phẳng Ouv , nằm trong góc phần tư R
thứ nhất, dưới đường u v  1 d) s e lntdsdt 
, biết R nằm trong mặt phẳng Ost , phía dưới dường cong s  ln t , từ R
t  1 đến t  2 . e)   2
y  2x dxdy , với R là miền bị bên trong hình vuông x y 1 R f) xydxdy 
, với R là miền bên trong tam giác giới hạn bởi y  , x y  2 ,
x x y  2 . R Bài 3.
a) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt paraboloid 2 2
z x y bên trong miền tam giác y  ,
x x  0, x y  2 .
b) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt 2
z x bên trong miền giới hạn bởi 2
y  2  x , y x .
Bài 4. Tính diện tích của miền D , biết
a) D là miền giới hạn bởi x  0, y  0, x y  2
b) D là miền giới hạn bởi x  0, y  2x, y  4
c) D là miền giới hạn bởi 2
x  y , y x  2
d) D là miền giới hạn bởi 2
x y y , y  x
e) D là miền giới hạn bởi x
y e , y  0, x  0, x  ln 2
f) D là miền giới hạn bởi y  ln x, y  2 ln x, x e .
Bài 5. Tính tích phân
f x, ydxdy 
bằng phương pháp đổi biến trong tọa độ cực, biết D
a) f x, y  xy , D là hình tròn tâm góc tọa độ, bán kính 3.
b) f x, y  x y , D là miền bên trái trục Oy , nằm giữa hai đường tròn 2 2
x y  1 và 2 2 x y  4 .
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: w 7
ww.foxitsoftware.com/shopping
c) f x y   2 2 ,
cos x y , D là miền nằm phía trên trục Ox và bên trong 2 2 x y  9 . d) f x y 2 2 ,
 4 x y , D    x y 2 2 ,
| x y  4, x   0 e)   2 2 , x y f x y e  
, D là miền giới hạn bởi 2
x  4  y và trục Oy f)  ,  x
f x y ye với D là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất, bên trong 2 2
x y  25 .
g) f x, y  x với D nằm bên trong 2 2 2 2
x y  4, x y  2x .
Bài 6. Tính các tích phân bội ba sau a) 2xdxdydz  , với E    x y z 2 , ,
| 0  y  2, 0  x  4  y , 0  z yE b) yz  5 cos x dxdydz  , với E  
x, y, z| 0 x 1,0  y x, x z  2xE c) 6xydxdydz 
, với E nằm phía dưới mặt phẳng z 1 x y và phía trên miền trong E
mặt Oxy bị giới hạn bởi y
x , y  0, x  1 . d) ydxdydz 
, với E giới hạn bởi các mặt x  0, y  0, z  0, 2 x 2 y z  4 . E
Bài 7. Tính tích phân
f x, y, zdxdydz 
trong tọa độ trụ, biết E a) f x y z 2 2 , ,
x y và E là miền nằm bên trong mặt trụ 2 2
x y 16 và nằm giữa các
mặt phẳng z  5, z  4 . b) f x y z 3 2 , ,
x xy và E là miền nằm ở góc phần tám thứ nhất, bên trong paraboloid 2 2
z  1 x y . c)  , ,  z
f x y z e và E là miền bên trong paraboloid 2 2
z  1 x y và hình trụ 2 2
x y  5 , mặt tọa độ Oxy .
d) f x, y, z  x và E là miền giới hạn bởi hai mặt z  0 , z x y  5 , và hai hình trụ 2 2 2 2
x y  4, x y  9 e) f x y z 2 , ,
x và E là miền giới hạn bởi hình trụ 2 2
x y  1, phía trên z  0 , phía dưới hình nón 2 2
z  4x  4 y .
Bài 8. Tính tích phân
f x, y, zdxdydz 
trong tọa độ cầu, biết E
a) f x y z  x y z 2 2 2 2 , ,
và E là quả cầu tâm O0, 0, 0, bán kính R  5 . b) f x y z 2 2 , ,
 9 x y và E là miền 2 2 2
x y z  9, z  0 .
c) f x, y, z  z và E là miền bên trong 2 2 2
x y z 1 , 2 2 2
x y z  4 trong góc phần tám thứ nhất.
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: 8
www.foxitsoftware.com/shopping   d)   2 2 2 , , x y z f x y z e
và E là miền bên trong mặt cầu 2 2 2
x y z  9 trong góc phần tám thứ nhất. e) f x y z 2 , ,
x và E là miền bị giới hạn bởi mặt Oxz , 2 2
y  9 x z , 2 2
y  16  x z
Chương 3. DÃY SỐ VÀ CHUỖI
Bài 1. Tính tổng riêng của các chuỗi sau: 2 2 2 2 9 9 9 a) 2     ...  b)   ...   ... 1 3 9 27 3n 2 100 100 100n 1 1 1 1 5 5 5 5 c)    ...  d)    ...   ... 2.3 3.4 4.5 n   1 n  2 1.2 2.3 3.4 n n   1
Bài 2. Tính tổng của các chuỗi sau   n 1  1  7  n 5 a)  b)  c)  d)    1 n  4n n 4n n 4n  4n n 0 0 0 0 n   5 1    5 1    1   1    n 1 2  e)    f)    g)     h)  .   n 5n n 2n 5n n  2n 3n   2n 3n n 0  0  0   0
Bài 3. Sử dụng tiêu chuẩn tích phân, khảo sát các chuỗi sau  1  1  1 a)  b)  c)  2 0.2 2   n n 4  nn n 1 n 1 1 2  1   ln n  d)  e) 2n e  f)    nn n 4 1 n 1  n 1
Bài 4. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau  1  n 1  1  n  2 a)  b)  c)  d)  2  4  2   n nn n 2  n n 30 1 1 n 1  n 1 n 2  2 cos n  1  n  4  n  1 e)  f)  g)  h)  . 3/ 2 4  2  n n 4  n n 3nn n 1 1 1 n 1  n  3
Bài 5. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau  n  2  n 1  n n   1 a)  b)  c)  3 2   2  2  n n 2  n n n 3 1 1
n2 n   1 n   1  2n  5n n   2n  3  d)  e)  f)   .  n    n n 5 4  3 4n n 1 n 1  n 4 1 
Bài 6. Sử dụng tiêu chuẩn tỉ số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau  2n  2  n  n   1 !  n 1 2  a)  b)  c)  d)  n 1  n n 3 n 3nn n ! 1 1
n  n  2 1 1 1  4 nn2 3 2  n n  2!  5n n e)  f)  g)  h)  . 2  n n !3 nn n n ln  4n n 1 1 1    n n n 2 3 ln 1 1    
Bài 7. Sử dụng tiêu chuẩn căn số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau n 1   n 7  4n   4n  3     1   a)  b)  c)  d) 2 ln e   n n          n n 3 5 n 1   2n  5 n 1  3n  1     n n 1  
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit: w 9
ww.foxitsoftware.com/shopping 2  n 8   1    1   1 e)  f) sinn  g) 1  h)  . 2 n     1nn   n n 1   1  n 1   n n 1  n 1 3     n
Bài 8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi đan dấu   n 1 n 1 a)    1 1 b)    1 1 3/ 2  n n 1  n n 1   n 1 n 4 c)    1 1 d)    1  n3n n 1 n ln n2 1   2 n n n 1   n  5  e)   1 f)   1 2    2   n n 4  n n 1 1 1     n  2n n n 10 g)    1 1 h)   1 . 2  n n 1   n n 1 ! 1  
Bài 9. Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện của các chuỗi số sau    n 1 n 1 n 1 a)    1 1 b)    1 1 c)    1  n n 10n  10n n 1 1 n 1  n   n 1   n   nn n! d)  e)   1 1  f)    1 1 3  n   n 2  n n 1 n 1  1  n 1  1   n 1
n  n  1  g)   1 h)   1 1   .  2   nn n 3 1 n 1 
Bài 10. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    n n n a) n x  b)  x  5 c)   1 4x    1 n 1  n 1  n 1  n   n 3x  2   x  2  n d)  e)  f) 2xn 10nn n 1 1 n 1  n nn nx    1  x  2  n x g)  h)  i)   nnn n 2 1 n 1 n 1  n n3 n
  x  n 1    1 n x  3n n x j)  k)  l)   n n !  n n ! n 1  n 1 1 n  2 4n n x   x   1  n x m)  n)  o)  3 2  n n 3nn n 1 1 n 1  n  3  n  n n 1 1 x    n x  3  n nx p)  q)  t)  n 2 n 5n n 1  n  3 1 n 1  4 n   1  n n nx   n  1  u)  v) n n  2x  5 r) 1 nx     n  3n n 1 n 1  n 1     n
x) ln nn x y) n n n x  z) n!  x  4 . n 1  n 1  n 1 

Tài liệu liên quan: