Bài tập toán cao cấp

lOMoARcPSD| 36207943
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG THEO 5 NHÓM NGÀNH
I. Bài tập về ứng dụng ma trận và hệ phương trình tuyến tính trong Kinh tế, xã hội
I.1. Bài tập trong thực tiễn xã hội
Bài 1: Theo nghiên cứu về sự di chuyển của dân cư ở một vùng nọ trong khoảng 10
năm gần đây, người ta thấy rằng mỗi năm hiện tượng di chuyển dân cư diễn ra như dưới đây
- Đối với cư dân thành thị: 95% tiếp tục ở lại thành thị, còn 5% di chuyển về
vùng nông thôn sinh sống.
- Đối với cư dân nông thôn: 97% tiếp tục ở lại nông thôn, còn 3% di chuyển lên thành thị.
Giả sử tại thời điểm xuất phát 2018, số dân vùng đó gồm 600.000 dân thành thị và
400.000 dân nông thôn. Hãy tính cư dân thành thị và nông thôn của vùng đó tại thời điểm năm 2023.
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán áp dụng phép toán nhân và lũy thừa ma trận và
chung cho mọi ngành.
Ma trận A về sự di chuyển dân cư trong 1 năm từ năm t đến năm t + 1 và cột X về t
số dân (thành thị, nông thôn của vùng đó tại năm t được cho như dưới đây. 0,95 0,03 ct
A = 0,050,97 ; Xt = rt . Hiển nhiên X
. Xem thời điểm xuất phát t = 0 là năm 2018 thì năm 2023 t + 1 = AXt ứng với t = 5. Vậy 0,95 0,03 5 600000 0,97 X5 = A5X0 = 0,05 400000 .
Phần còn lại là tính toán giản đơn.
Bài 2: Lượng (g) dinh dưỡng trong một đơn vị (100 g) chất tương ứng và lượng dinh
dưỡng cần thiết của một người trong chế độ ăn kiêng Cambridge được cho trong bảng dưới đây. lOMoARcPSD| 36207943 Dinh dưỡng Sữa không Bột đậu Váng sữa Lượng DD ( DD ) béo Nành cần mỗi ngày Chất đạm 36 51 13 33 Tinh bột 52 34 74 45 Chất béo 0 7 1, 1 3
Tìm số lượng đơn vị của từng loại thức ăn Sữa không béo, Bột đậu nành, Váng sữa
cần thiết cho một người ăn kiêng trong ngày để đảm bảo được lượng dinh dưỡng
cần thiết của từng chất đạm, tinh bột và béo.
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán áp dụng hệ phương trình tuyến tính và chung
cho mọi ngành.
Ma trận A về lượng dinh dưỡng của từng loại thức ăn và cột b nhu cầu cần thiết trong ngày là 36 51 13 33 52 34 74 45 A = 0 7 1,1 ; b = 3 .
Gọi x1, x2, x3 tương ứng là lượng đơn vị (100g) từng loại thức ăn Sữa không béo, Bột
đậu nành, Váng sữa cần thiết cho một người ăn kiêng dùng trong ngày để đảm bảo
được lượng dinh dưỡng cần thiết của từng chất đạm, tinh bột và béo. Ta cần giải hệ phương trình tuyến tính 36 51 13 x1 33 52 34 74 x2 45 AX = b 0 71,1 x3 = 3 . 0,277 0,392
Giải hệ ta được X = 0,233 . Nghĩa là trong mỗi ngày, người ăn kiêng đó cần dùng
- x1 = 0,277 100 g = 27,7 g Sữa không béo;
- x2 = 0,392 100 g = 39,2 g Bột đậu nành; -
x3 = 0,233 100 g = 23,3 g Vãng sữa. lOMoARcPSD| 36207943
I.2. Bài tập thuộc ngành Kinh tế (kể cả Kinh tê đối ngoại)
Bài 3: Một công ty kinh doanh đồ ăn nhanh gồm đậu phộng, xúc xích và cốc soda
tại một hội chợ của Hoa Kỳ với 3 khu vực tại các cửa Bắc, Nam và Tây. Số lượng
đơn vị đồ ăn nêu trên được bán ra trong mỗi ngày và giá bán mỗi đơn vị (tính bằng
USD) đậu phộng (đơn vị tính: gói), xúc xích (đơn vị tính: gói) và soda (đơn vị tính:
cốc) được cho bởi bảng dưới đây. Khu vực Đậu Xúc xích
Soda Mặt hàng Giá (Nghìn Bán phộng VNĐ)/1 đơn hàng vị Bắc 120 250 305 Đậu phộng 2 , 00 Nam 207 140 419 Xúc xích 3 , 00 Tây 29 120 190 Soda 2 , 75
Hãy tính tổng doanh thu trong ngày của từng loại mặt hàng và tổng doanh thu chung
cả 3 mặt hàng của Công ty kinh doanh đó.
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán dùng phép nhân ma trận. 120 250 305 2 1828,75 207 140 419 3 1986,25 120
Ta cần thực hiện phép nhân ma trận 29 190 2,75 = 940,50 .
Đối với ngành KT (kể cả KTĐN), tất cả những BT cuối chương I mang nội
dung Kinh tế của tài liệu TCC của UEL đều phù hợp.
I.3. Bài tập thuộc ngành Tài chính – Ngân hàng (TCNH)
Bài 4: Một Công ty cần vay 500.000 USD tại một Ngân hàng (NH) để mở rộng và
phát triển kinh doanh của mình. Theo chính sách ưu đãi của NH, Công ty được phép
vay một số tiền nào đó ở mức lãi suất 3%, và vay một số ở mức lãi suất 4% gấp 2,5
số tiền được vay ở mức lãi suất 3%, số tiền vay còn lại phải ở mức lãi suất 5% sao
cho tổng tiền mà công ty phải trả lãi hàng năm cho NH đó là 20.500 USD. Hãy xác
định từng số tiền mà Công ty đã được vay ở mỗi mức lãi suất.
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán áp dụng giải hệ phương trình tuyển tính.
Gọi x, y và z lần lượt là số tiền mà Công ty cần vay tương ứng ở mức lãi suất
3%, 4% và 5%. Theo dữ liệu đã cho ta có hệ phương trình tuyến tính dưới đây
+ x y z 500000; lOMoARcPSD| 36207943 2,5x = 0;y
0,03x 0,04y 0,05z 20500.
Việc giải hệ là để có được câu trả lời cho vấn đề là đơn giản.
I.4. Bài tập thuộc ngành Kế toán – Kiểm toán (KTKT)
Bài 5: Một trường Đại học tự chủ có 8000 sinh viên với nguồn từ thu học phí là 20
và khoản tài trợ từ các doanh nghiệp là 10000 (đơn vị: triệu VNĐ). Trường cần chi các khoản dưới đây.
- L: lương kèm các khoản phụ cấp (gọi tắt là lương) cho viên chức, người lao động.
- Đ: Các công việc phục vụ đào tạo.
- T: Sửa chữa, mua mới, lắp đặt các trang thiết bị người phục vụ viên chức người lao động.
- K: Thưởng các công trình khoa học chất lượng.
- D: Dự trữ và các khoản khác.
Hãy xác định lượng tiền cho mỗi khoản chi biết rằng lượng tiền cho khoản Đ bằng
60% cho khoản L và gấp 4 lần cho khoản T, lượng tiền cho khoản K kém cho khoản
T đúng 270, còn lượng tiền cho khoản D bằng 10% của cho khoản L.
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán áp dụng giải hệ phương trình tuyển tính. Ta cần
xác lập hệ phương trình tuyến tính mà các ẩn chính là lượng tiền dành cho các khoản L, Đ, T, K và D.
Dễ thấy nguồn thu từ học phí sinh viên là: 8000 20 = 160000.
Còn tổng thu của trường là: 160000 (thu học phí) + 10000 (tài trợ) = 170000.
Gọi x1, x2, x3, x4 và x5 lần lượt là lượng tiền (đơn vị: triệu VNĐ) cần chi cho L, Đ, T,
K và D. Nhớ là trong kế toán cần có cân bằng thu chi và theo giả thiết, ta có hệ
phương trình tuyến tính dưới đây x1 x2 x3 x4 x5 170000; 0,6x1 x2 0; x2 4x3 0; x3 x4 270; 0,1x1 x5 0. lOMoARcPSD| 36207943
Giải hệ này là việc đơn giản ta được x = 12,48 tỷ và
1 = 85 tỷ, x2 = 51 tỷ, x3 = 12, 75 tỷ, x4 x5 = 8,77 tỷ.
I.5. Bài tập thuộc ngành Quản trị kinh doanh (QTKD)
Bài 6: Hai Ngân hàng (NH) cạnh tranh cung cấp dịch vụ (DV) cho vay ưu đãi tại
một phường của thành phố với 100.000 cư dân. Một nghiên cứu gần đây cho biết cứ mỗi năm
- Trong số khách hàng của NH A, sẽ có 70% tiếp tục trung thành với NH A,
20% đổi sang chọn NH B và 10% thôi không dùng DV nữa.
- Trong số khách hàng của NH B, sẽ có 80% tiếp tục trung thành với NH B,
15% đổi sang chọn NH A và 5% thôi không dùng DV nữa.
- Trong số người không dùng DV, sẽ có 75% tiếp tục không dùng DV, 10%
chọn làm khách hàng của NH A, 12% chọn làm khách hàng của NH B.
Biết rằng đầu năm 2023, số người dùng DV của các NH A, B và không dùng DV
ở phường đó được cho trong bảng sau đây: Ngân hàng A Ngân hàng B Không dùng DV 15000 20000 65000
Giả sử cư dân ở phường không đổi trong 5 năm tới. Hỏi
a) Đầu năm tới 2024, mỗi NH sẽ có bao nhiêu khách hàng và số người không dùng DV là bao nhiêu?
b) Đến đầu năm 2026, mỗi NH sẽ có bao nhiêu khách hàng và số người không dùng DV là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán dùng phép nhân ma trận.
Ma trận K thể hiện sự thay đổi, không thay đổi sự lựa chọn của người dân ở
vùng đó trong 1 năm là và cột X0 số người khách hàng hiện tại năm 2023 của mỗi
NH hay không dùng DV được cho như sau: 0,7 0,15 0,1 15000 0,2 0,8 0,12 20000
K = 0,1 0,05 0,78 ; X0 = 65000 .
a) Lượng khách cần tìm X1 của năm 2024 nhận từ kết quả của phép nhân X1 = K.X0
b) Lượng khách cần tìm X3 của năm 2026 nhận từ kết quả của phép nhân X3 = K3.X0. lOMoARcPSD| 36207943
I.6. Bài tập thuộc ngành Hệ thống thống tin quản lý (HTTTQL)
Bài 7: Trong một số ngành khoa học thực nghiệm hay kinh tế, đặc biệt là hệ thống
thông tin quản lý, người ta thường dùng khái niệm mạng lưới. Theo định nghĩa, một
mô hình mạng lưới (network) là một sơ đồ bao gồm các nút (đánh số thứ tự) và tại
mỗi nút sẽ có đường ra (mũi tên đi ra) hoặc đường vào (mũi tên đi vào) mà trên
chúng ghi các con số chỉ tổng lưu lượng đơn vị (của một loại sản phẩm nào đó cần
quản lý) ra, vào thích hợp sao cho lưu lượng ra hay vào tại mỗi nút phải bằng nhau.
Hãy tìm các lưu lượng đơn vị sản phẩm x1, x2, x3, x4, x5
trong mạng lưới cho bởi hình vẽ phía bên phải biết rằng
mỗi lưu lượng sản phẩm đều không âm, x1 không dưới 5
đơn vị và x5 không quá 15 đơn vị.
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán áp dụng hệ phương
trình tuyến tính cho ngành HTTTQL.
Từ hình vẽ về mạng lưới, ta nhận được hệ phương trình tuyến tính dưới đây.
x1 x2 20; x3 x4 20; x2 x3 20; x1 x5 10; A = x4 x5 10.
Giải hệ này ta được x1 = – 10 + a, x2 = 30 – a, x3 = – 10 + a, x4 = 10 + a, x5 = a (a là số thực tùy ý)
Vì x1 ≥ 5, x3 ≥ 0 nên 15 a 30. Lại vì x5 15 nên a = 15. Vậy lưu lượng đơn vị sản
phẩm từng loại sản phẩm là
x1 = 5, x2 = 15, x3 = 5, x4 = 25, x5 = 15.
II. Bài tập về ứng dụng phép tính vi phân, tích phân trong Kinh tế, xã hội lOMoARcPSD| 36207943 Nhận xét chung
Có thể thấy, phần ứng dụng của phép tính vi phân 1, 2 biến và tích phân 1 biến
trong Kinh tế đã được trình bày khá chi tiết trong giáo trình Toán Cao Cấp của
UEL. Thật khó để phân tách ra chi tiết cho từng nhóm ngành.
Nếu muốn khiên cưỡng, có thể thấy
a) Đối với nhóm ngành Kinh tế: chủ yếu xét các hàm Chi phí (kể cả quảng
cáo), Doanh thu, Lợi nhuận, Lợi ích, Tiết kiệm.
b) Đối với nhóm ngành Quản trị kinh doanh (QTKD), Hệ thống thông tin
quản lý (HTTTQL): chủ yếu xét các hàm Chi phí, Doanh thu, Lợi
nhuận, Lợi ích, Tiết kiệm
c) Đối với nhóm ngành Tài chính – Ngân hàng (TCNH): chủ yếu cét các
hàm Chi phí, Lợi nhuận, Lợi ích.
d) Đối với nhóm ngành Kế toán – Kiểm toán (KTKT): chủ yếu cét các
hàm Chi phí, Lợi ích, Tiết kiệm.
Vì vậy, cứ lấy các BT trong cuốn giáo trình TCC của UEL liên quan tới
các hàm kể trên thì có thể xem như phù hợp với chuyên ngành mà chúng ta đang giảng dạy.
Như vậy BT ứng dụng của nhóm ngành Kinh tế chỉ cần “bê nguyên
văn” các BT từ cuốn giáo trình TCC của UEL.
Dưới đây, xin chọn thêm vài BT tổng hợp ứng dụng cho từng nhóm ngành
khác với nhó ngành Kinh tế.
II.1. BT ứng dụng của phép tính vi phân hàm 1, 2 biến trong Kinh tế 1) BT
ứng dụng trong nhóm ngành QTKD, HTTTQL
Bài 8: Giả sử một Công ty cứ chi x (đơn vị tính: nghìn USD) cho quảng cáo thì
có lượng sản phẩm cận biên bán ra là MN(x) cho bởi
MN(x) = 160 – 4x (0 x 40).
a) Xác định lượng sản phẩm bán ra N(x) tại mỗi mức chi quảng cáo x biết rằng
dù không quảng cáo, Công ty vẫn bán được 100 sản phẩm.
b) Xác định lượng lớn nhất sản phẩm bán ra của Công ty và xác định chi phí quảng cáo tương ứng.
Bài 9: Giả sử một Công ty cứ chi x (đơn vị tính: nghìn USD) cho quảng cáo thì
bán ra được lượng sản phẩm N(x) cho bởi
N(x) = 50 + 80x – x2 (0 x 40).
a) Xác định biên tế và hệ số co giãn của lượng sản phẩm bán ra khi chi quảng cáo 10.000 USD. lOMoARcPSD| 36207943
b) Xác định lượng lớn nhất sản phẩm bán ra của Công ty và xác định chi phí quảng cáo tương ứng.
Bài 10: Giả sử một Công ty cứ chi x tiền quảng cáo và y tiền mua sắm trang thiết
bị mới (gọi tắt là chi phí mua sắm) phục vụ kinh doanh (đơn vị tính: nghìn USD)
thì bán ra được lượng sản phẩm N(x, y) cho bởi
N(x, y) = 120 + 160x + 180y – 2x2 – 3y2 (0 x 40, 0 y 30).
a) Xác định biên tế riêng và hệ số co giãn riêng của lượng sản phẩm bán ra theo
chi phí quảng cáo cũng như theo chi phí mua sắm khi chi quảng cáo 10.000
USD và chi mua sắm 5000 USD.
b) Xác định lượng lớn nhất sản phẩm bán ra của Công ty đồng thời xác định chi
phí quảng cáo, chi phí mua sắm tương ứng.
2) BT ứng dụng trong nhóm ngành TCNH
Bài 11: Một Ngân hàng (NH) cứ chi x (đơn vị tính: chục triệu VNĐ) cho quảng
cáo thì có được lượng khách hàng C(x) (mà dùng dịch vụ của NH) cho bởi
C(x) = 40 + 180x – 2x2 (0 x 45).
a) Xác định biên tế và hệ số co giãn của lượng khách hàng của NH khi chi quảng cáo 300.000.000 VNĐ.
b) Xác định lượng khách hàng lớn nhất của NH và xác định chi phí quảng cáo tương ứng.
Bài 12: Một Ngân hàng (NH) cứ chi x cho quảng cáo và y tiền mua sắm trang
thiết bị và phần mềm mới (gọi tắt là chi phí mua sắm) cho nghiệp vụ (đơn vị tính:
nghìn USD) thì có được lượng khách hàng C(x, y) (mà dùng dịch vụ của NH) cho bởi
C(x, y) = 30 + 180x + 200y – 3x2 – 2y2 (0 x 30, 0 y 50).
a) Xác định biên tế riêng và hệ số co giãn riêng của lượng khách hàng theo chi
chi phí quảng cáo cũng như theo chi phí mua sắm khi chi phí của quảng cáo
15.000 USD còn chi phí mua sắm là 25000 USD.
b) Xác định lượng lớn nhất lượng khách hàng của NH đồng thời xác định chi phí
quảng cáo, chi phí mua sắm tương ứng.
3) BT ứng dụng trong nhóm ngành KTKT
Bài 13: Một trường đại học tư thục cứ chi x (đơn vị tính: chục triệu VNĐ) cho
quảng cáo một năm thì năm ấy tuyển sinh được lượng sinh viên S(x) cho bởi S(x)
= 600 + 300x – 2x2 (0 x 75). lOMoARcPSD| 36207943
a) Xác định biên tế và hệ số co giãn của lượng sinh viên tuyển sinh mỗi năm của
trường đó khi chi quảng cáo là 300.000.000 VNĐ.
b) Xác định lượng tuyển sinh lớn nhất của trường đó và xác định chi phí quảng cáo tương ứng.
Bài 14: Một trường đại học tư thục cứ chi x tiền cho quảng cáo và y tiền mua sắm
trang thiết bị và phần mềm mới phục vụ đào tạo (gọi tắt là chi phí mua sắm) một
năm (đơn vị tính: chục triệu VNĐ) thì năm ấy tuyển được lượng sinh viên S(x, y) cho bởi
S(x, y) = 600 + 300x + 100y – 2x2 – y2 (0 x 75, 0 y 50).
a) Xác định biên tế riêng và hệ số co giãn riêng của lượng tuyển sinh trong năm
theo chi chi phí quảng cáo và theo chi phí mua sắm khi chi phí quảng cáo
trong năm 15.000 USD và chi mua sắm trong năm 25000 USD.
b) Xác định lượng tuyển sinh lớn nhất một năm của trường đại học đó đồng thời
xác định chi phí quảng cáo, chi phí mua sắm thiết bị và phần mềm mới tương ứng trong năm ấy.
II.2. BT ứng dụng của ứng dụng tích phân 1 biến trong Kinh tế
1) BT ứng dụng trong nhóm ngành QTKD, HTTTQL
Bài 15 (ứng dụng nguyên hàm): Giả sử một Công ty cứ chi x (đơn vị tính: nghìn
USD) cho quảng cáo thì có lượng sản phẩm cận biên bán ra là MN(x) cho bởi
MN(x) = 160 – 4x (0 x 40).
Xác định lượng sản phẩm bán ra N(x) theo chi phí quảng cáo x biết rằng dù không
quảng cáo, Công ty vẫn bán được 100 sản phẩm.
Bài 16 (ứng dụng tích phân xác định): Giả sử một Công ty cứ chi x (đơn vị tính:
nghìn USD) cho quảng cáo thì có lượng sản phẩm bán ra là N(x) cho bởi
N(x) = 100 + 180x – 3x2 (0 x 30).
Xác định tổng lượng sản phẩm bán ra khi chi phí quảng cáo x không dưới
10.000 USD và không quá 30.000 USD.
2) BT ứng dụng trong nhóm ngành TCNH
Bài 17 (ứng dụng nguyên hàm): Một Ngân hàng (NH) cứ chi x (đơn vị tính:
chục triệu VNĐ) cho quảng cáo thì có được lượng khách hàng cận biên MN(x)
(mà có dùng dịch vụ của NH) cho bởi
MN(x) = 180 – 4x (0 x 45). lOMoARcPSD| 36207943
Xác định lượng khách hàng N(x) theo chi phí quảng cáo x biết rằng dù không
quảng cáo, NH vẫn có được có được 200 khách hàng (mà dùng dịch vụ của NH).
Bài 18 (ứng dụng tích phân xác định): Một Ngân hàng (NH) cứ chi x (đơn vị
tính: chục triệu VNĐ) cho quảng cáo thì có được lượng khách hàng N(x) (mà
dùng dịch vụ của NH) cho bởi
N(x) = 50 + 240x – 3x2 (0 x 40).
Xác định tổng lượng khách hàng (mà dùng dịch vụ của NH) khi chi phí quảng
cáo x không dưới 100.000.000 VNĐ và không quá 300.000.000 VNĐ.
3) BT ứng dụng trong nhóm ngành KTKT
Bài 19 (ứng dụng nguyên hàm): Một trường đại học tư thục cứ chi tiền quảng
cáo x (đơn vị tính: chục triệu VNĐ) mỗi năm thì cận biên của lượng sinh viên mà
trường tuyển sinh năm đó được cho bởi
MS(x) = 300 – 4x (0 x 75).
Xác định lượng sinh viên tuyển sinh mỗi năm của trường đó theo mức chi quảng
cáo biết rằng dù không quảng cáo, trường đó vẫn tuyển được 500 sinh viên.
Bài 20 (ứng dụng tích phân xác định): Một trường đại học tư thục cứ tuyển sinh
được x (đơn vị tính: ngàn sinh viên) thì quỹ vốn K(x) (đơn vị tính: chục triệu
VNĐ) của trường theo x được cho bởi
K(x) = 100 + 90x – 3x2 (0 x 15).
Xác định tổng quỹ vốn của trường đó theo mức tuyển sinh x từ 5.000 đến 15.000 sinh viên.