Bài tập toán cấp cao 2 | Trường đại học Điện Lực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
——————— * ——————— BÀI TẬP: TOÁN CAO CẤP 2 Hà Nội - 2019 Nguyễn Như Quân
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 1
(GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính các giới hạn sau: a. lim √ x2 3x x2 + 1 − x . f. lim √ x→+∞ . x→0 1 + x sin 2x − 1 b. lim x15 − 2x + 1. ln cos 2x x→1 x10 − 3x + 2 g. lim . x→0 ln cos 3x 2x 3x c. lim e − e . x→0 sin 7x − sin 8x h. lim 4−3x . 3 + x 5 + x d. lim 2 3 x−sisn in x2x x→∞ sin x . k. lim p x 3 x→0 √ √ x3 + 2x2 − 1 − x . x→+∞ 1 e. lim 3x + 1. 3 5x + 1 − 1 l. lim (2 − cos 2x) x2 . x→0 2x x→0
Câu 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau: |x| + sin 3x nếu x 6= 0 2x a. f (x)= a nếu x = 0 √7x + 1 − 1 nếu x < 0 e7x − 1 b. f (x)= 1 nếu 0 ≤ x ≤ 2 2 x2 − 4x + 1 nếu x > 2
Câu 3. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 5 : 1 f (x)= 1 1 + e x−5
Câu 4. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 2 : √3x − 2 − 2 nếu x 6= 2 x2 − 4 . f (x)= a nếu x = 2
Câu 5. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 0: √ √ 5x + 1 − 3 3x + 1 , x 6= 0 x f (x)= a , x = 0
Câu 6. Tìm m, n để hàm số sau liên tục trên miền xác định x − 5, nếu x ≤ 1 mx2 + nx, nếu 1 < x < 3 f (x)= x + 1, nếu x ≥ 3 Trang 2
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên Nguyễn Như Quân
Câu 7. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x=0 : √ √ 2ax + 1 − 2bx + 1 nếu x 6= 0 x f (x)= b nếu x = 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2
(ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: 5x2 − 1 7x2 − 5, với n ≥ 2. a. y = . c. y = 2x + 1 x + 3 b. y =(5x2 − 3x)e2x.
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số: a. f (x)=2x |x| . a a x b b. x y = b
, a > 0, b > 0, x > 0. b x a
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số: 5x p 3x + 2 x a. y = . b. y = 4 + 2x2 . x
Câu 4. Cho hàm số f (x)= x(x − 1)(x − 2)...(x − 2020). Tính f ′(0).
Câu 5. Cho hàm số f (x)=(x2 + 3x − 1)sin 2x. Tính f ′(x).
Câu 6. Tính đạo hàm cấp 10 của hàm số : y = e−5x(3x2 + 5x + 1).
Câu 7. Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y =(5x − 1) sin 5x.
Câu 8. Dùng vi phân tính gần đúng giá trị biểu thức: • A = arctan 1, 03. • B = 3 √1, 04.
Câu 9. Khai triển Taylor hàm số
a. f (x)=x4 − 3x3 − 5x2 + 3x + 1 trong lân cận điểm x0 = 2.
b. f (x)=3 + 2x − 7x2 + e−nx, n ∈ N theo lũy thừa nguyên dương của (x − 1), đến (x − 1)4. 1 c. f (x)= , tại x n x2 − 5x + 6 0 = 1 đến cấp .
Câu 10. Tìm khai triển Macloranh đến cấp 5 của hàm số 2 f (x)=1 + x − 3x2 + x3 + e2x. 3 Trang 3 Nguyễn Như Quân
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 3
(TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng +∞ 2 dx dx • I = Z • P = Z 3 √ . √ . 3 x4 − 1 1 x x2 − 1 +∞ 1 √ dx x • J = Z e − 1 √ √ . • Q = Z dx. x(x + 1) 2 1 + x. 3 1 + x2 0 +∞ +∞ dx dx • K = Z • R = Z . √ . x2 + x − 6 3 e−x x − 1 3 +∞ 2 dx dx • L = Z . • S = Z x3 − 8 3 √ . 2 1 x4 − 1 +∞ arctanx +∞ dx • M = Z dx. • T = Z x(2x + 3) √ . 0 0 x (1 + x2) 3 +∞ dx dx • N = Z . • H = Z x2 + x − 6 √ . 2 1 x 1 + x2
Câu 2. Tính tích phân suy rộng π/2 ∞ dx dx • I = Z . • K = . cos Z x 5x2 + 1 0 1 +∞ dx • J = Z . x2 − 1 2
Câu 3. Tính độ dài cung parabol y = x2 nối điểm A(0, 0) và điểm B(1, 1). Trang 4
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên Nguyễn Như Quân
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 4 (CHUỖI SỐ, CHUỖI HÀM)
Câu 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∞ √ ∞ a. ∑ n + 2 f. n2 . e1/n − 1 ln √ . ∑ 3n + 2 n= n 1 5n − 1 ∞ 3n + 4n n=1 ∞ b. ∑ . g. ∑ n . 7n 2n − sin 5n + 1 n=1 √ 3n + 1 + n ∞ nn n=1 ∞ c. ∑ . h. ∑ 21/n − 1 n! √ . n=1 n=1 n ∞ ∞ d. ∑ n2 . k. ∑ n+1 . 3n + 2 n − 1 3n − 1 2n + 1 n=1 ∞ n=1 ∞ 2 e. ∑ 2.4.6....(2n) (n + 2) . l. ∑ . nn 53n+4 n=1 n=1
Câu 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ ∞ a. ∑ (x − 3)n . d. ∑ n+1 x2n. n × 2n n − 1 n=1 n + 1 ∞ n=1 ∞ b. ∑ n (x + 5)n. e. ∑ n (x − 3)2n. 2n n + 1 2n − 2 2n + 1 n=3 n=3 ∞ c. ∑ (x − 1)n . (n2 + 1)5n n=1 Trang 5