Bài tập toán cấp cao 2 | Trường đại học Điện Lực
Bài tập toán cấp cao 2 | Trường đại học Điện Lực được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
——————— * ——————— BÀI TẬP: TOÁN CAO CẤP 2 Hà Nội - 2019 Nguyễn Như Quân
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 1
(GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính các giới hạn sau: a. lim √ x2 3x x2 + 1 − x . f. lim √ x→+∞ . x→0 1 + x sin 2x − 1 b. lim x15 − 2x + 1. ln cos 2x x→1 x10 − 3x + 2 g. lim . x→0 ln cos 3x 2x 3x c. lim e − e . x→0 sin 7x − sin 8x h. lim 4−3x . 3 + x 5 + x d. lim 2 3 x−sisn in x2x x→∞ sin x . k. lim p x 3 x→0 √ √ x3 + 2x2 − 1 − x . x→+∞ 1 e. lim 3x + 1. 3 5x + 1 − 1 l. lim (2 − cos 2x) x2 . x→0 2x x→0
Câu 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau: |x| + sin 3x nếu x 6= 0 2x a. f (x)= a nếu x = 0 √7x + 1 − 1 nếu x < 0 e7x − 1 b. f (x)= 1 nếu 0 ≤ x ≤ 2 2 x2 − 4x + 1 nếu x > 2
Câu 3. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 5 : 1 f (x)= 1 1 + e x−5
Câu 4. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 2 : √3x − 2 − 2 nếu x 6= 2 x2 − 4 . f (x)= a nếu x = 2
Câu 5. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 0: √ √ 5x + 1 − 3 3x + 1 , x 6= 0 x f (x)= a , x = 0
Câu 6. Tìm m, n để hàm số sau liên tục trên miền xác định x − 5, nếu x ≤ 1 mx2 + nx, nếu 1 < x < 3 f (x)= x + 1, nếu x ≥ 3 Trang 2
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên Nguyễn Như Quân
Câu 7. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x=0 : √ √ 2ax + 1 − 2bx + 1 nếu x 6= 0 x f (x)= b nếu x = 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2
(ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: 5x2 − 1 7x2 − 5, với n ≥ 2. a. y = . c. y = 2x + 1 x + 3 b. y =(5x2 − 3x)e2x.
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số: a. f (x)=2x |x| . a a x b b. x y = b
, a > 0, b > 0, x > 0. b x a
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số: 5x p 3x + 2 x a. y = . b. y = 4 + 2x2 . x
Câu 4. Cho hàm số f (x)= x(x − 1)(x − 2)...(x − 2020). Tính f ′(0).
Câu 5. Cho hàm số f (x)=(x2 + 3x − 1)sin 2x. Tính f ′(x).
Câu 6. Tính đạo hàm cấp 10 của hàm số : y = e−5x(3x2 + 5x + 1).
Câu 7. Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y =(5x − 1) sin 5x.
Câu 8. Dùng vi phân tính gần đúng giá trị biểu thức: • A = arctan 1, 03. • B = 3 √1, 04.
Câu 9. Khai triển Taylor hàm số
a. f (x)=x4 − 3x3 − 5x2 + 3x + 1 trong lân cận điểm x0 = 2.
b. f (x)=3 + 2x − 7x2 + e−nx, n ∈ N theo lũy thừa nguyên dương của (x − 1), đến (x − 1)4. 1 c. f (x)= , tại x n x2 − 5x + 6 0 = 1 đến cấp .
Câu 10. Tìm khai triển Macloranh đến cấp 5 của hàm số 2 f (x)=1 + x − 3x2 + x3 + e2x. 3 Trang 3 Nguyễn Như Quân
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 3
(TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng +∞ 2 dx dx • I = Z • P = Z 3 √ . √ . 3 x4 − 1 1 x x2 − 1 +∞ 1 √ dx x • J = Z e − 1 √ √ . • Q = Z dx. x(x + 1) 2 1 + x. 3 1 + x2 0 +∞ +∞ dx dx • K = Z • R = Z . √ . x2 + x − 6 3 e−x x − 1 3 +∞ 2 dx dx • L = Z . • S = Z x3 − 8 3 √ . 2 1 x4 − 1 +∞ arctanx +∞ dx • M = Z dx. • T = Z x(2x + 3) √ . 0 0 x (1 + x2) 3 +∞ dx dx • N = Z . • H = Z x2 + x − 6 √ . 2 1 x 1 + x2
Câu 2. Tính tích phân suy rộng π/2 ∞ dx dx • I = Z . • K = . cos Z x 5x2 + 1 0 1 +∞ dx • J = Z . x2 − 1 2
Câu 3. Tính độ dài cung parabol y = x2 nối điểm A(0, 0) và điểm B(1, 1). Trang 4
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên Nguyễn Như Quân
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 4 (CHUỖI SỐ, CHUỖI HÀM)
Câu 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∞ √ ∞ a. ∑ n + 2 f. n2 . e1/n − 1 ln √ . ∑ 3n + 2 n= n 1 5n − 1 ∞ 3n + 4n n=1 ∞ b. ∑ . g. ∑ n . 7n 2n − sin 5n + 1 n=1 √ 3n + 1 + n ∞ nn n=1 ∞ c. ∑ . h. ∑ 21/n − 1 n! √ . n=1 n=1 n ∞ ∞ d. ∑ n2 . k. ∑ n+1 . 3n + 2 n − 1 3n − 1 2n + 1 n=1 ∞ n=1 ∞ 2 e. ∑ 2.4.6....(2n) (n + 2) . l. ∑ . nn 53n+4 n=1 n=1
Câu 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ ∞ a. ∑ (x − 3)n . d. ∑ n+1 x2n. n × 2n n − 1 n=1 n + 1 ∞ n=1 ∞ b. ∑ n (x + 5)n. e. ∑ n (x − 3)2n. 2n n + 1 2n − 2 2n + 1 n=3 n=3 ∞ c. ∑ (x − 1)n . (n2 + 1)5n n=1 Trang 5