Bài tập cơ bản toán cao cấp 1 | Trường đại học Điện Lực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
——————— * ——————— BÀI TẬP: TOÁN CAO CẤP 1 Hà Nội - 2022
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 1
(SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC)
Câu 1. Chuyển số phức sau về dạng lượng giác. √ √ a. 3 − i (1 + 3i)6(1 − i) z = . d. I = √ . 1 − i ( 3 − i)3 √ √ b. 1 + 3i z = .
(2 − 2i)8(− 3 + i)2 1 − i e. I = . 4 √ (1 + i) c.
(−1 + 3i)6(1 + i) I = √ . (− 3 − i)3
Câu 2. Tìm mô đun và argument của số phức a. 1 2 z = √ . b. z = √ . 3 − i −1 − i 3 Câu 3. √ √ a. Cho −1 − i 3 2 − 2i 3 z = √ , tính z1000. c. Cho z = , tính z50. 3 − i −1 − i √ b. Cho 1 − i 3 z = √ , tính z100. 3 + i
Câu 4. Tìm căn bậc ba của số phức: √ √
a. z = −4 − 4i 3. 1 + 3i √ c. z = . b. 1 + i z = 2 − 2i 3. √3i
Câu 5. Tìm căn bậc tám của số phức: −1 + z = −2 + 2i
Câu 6. Giải phương trình: √ √
a. z3 + 3 + i = 0.
c. z3(1 − i) = (−1 + 3i)3(1 − i)5. √ b. √
z5 − (1 − 3i)2 = 0.
d. z3(1 + i) = (1 + 3i)3(1 + i)5. Trang 2 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2
(MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH) Câu 1. Cho ma trận  1 1 2   1 −1 1  A = 1 . .  −1 3 
B =  −1 −1 −2  −3 −1 −5 2 1 1 −
Chứng minh rằng A; B khả nghịch. Tìm ma trận nghịch đảo A−1; B−1?
Câu 2. Giải phương trình ma trận XA = B với  1 2 3   1 2 5  A = 2 5 3 ; B = 3    −3 −1  1 0 8 −2 −1 2
Câu 3. Giải phương trình ma trận AX = B với  1 2 3   2 2 6  A = 2 5 3 ; 3   B =  −3 −1  1 0 8 0 −1 2
Câu 4. Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất:  (a − 1)x  1 + x2 + x3 = 1
x1 + 2x2 + ax3 = 5 a.   3x c.
1 − x2 + 2x3 = 1 .
3x1 − x2 − ax3 = −7  2x 
1 + x2 + 3ax3 = a
2x1 + x2 + 3x3 = 1
 x1 + 2x2 + ax3 = 1 b.  2x 3 1 + ax2 + x3 = −1
 x1 + 2x2 − 2x3 = 1
Câu 5. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
 2x + 4y + 3z = 1
2x − 2y − z = 2 a.  
3x + y − 2z = −2 c. y + z = 3
 4x + 11y + 7z = 4
 −x + y + z = −1
 x + y + 2z = −1
b.  2x − y + 2z = −2
 4x + y + 4z = −5
Câu 6. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:
 2x + 4y + 3z = 2
 x + 2y + z = 2 a.  
3x + y − 2z = −2 c.
x − y − 2z = −5
 4x + 11y + 7z = 5
 2x + y − z = 3
 x + y + 2z = −3
b.  2x − y + 2z = 1
 4x + y + 4z = −2 Trang 3
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
Câu 7. Tìm hạng của ma trận  1 2 3 4 5 
 −1 −2 −4 −5 −2  −2 −3 −4 −5 0 2 3 1 1 3 A =      B = 3 4 5 6 5   0 1 7 9 1   −    4 5 6 7 10 − 1 3 11 14 3
Câu 8. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a:  
x1 + x2 + ax3 = 2022 x + y + z = 1 a.   x d.
1 + ax2 + x3 = 2022
x + (a − 1)y + z = 3 
ax1 + x2 + x3 = 2022  x + y + az = 1 
x + ay + z = 1 
ax + y + z = 3 b.  
x + y + az = 0 e.
x + ay + z = −2 
ax + y + z = 3
 x + y + az = 1 
2ax + y + z = 1
c.  x + 2ay + z = 2a
 x + y + 2az = 4a2 Trang 4 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 3 (KHÔNG GIAN VÉC TƠ)
Câu 1. Trong không gian vectơ R3 cho ho vectơ S = {u1, u2, u3}. Trong dó
u1 = (3; 0; 4), u2 = (−1; 4; −2), u3 = (7; −4; 10).
a) Hỏi rằng họ vectơ S là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
b) Tìm biểu diễn tuyến tính của vectơ u đối với họ {u1, u2}. 3
Câu 2. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ S = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (1; 7; −4), u2 = (−3; 1; 0), u3 = (10; 4; . −4)
a) Hỏi rằng họ vectơ S là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
b) Tìm biểu diễn tuyến tính của vectơ u đối với họ {u1, u2}. 3
Câu 3. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ S = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (−1; 2; −1), u2 = (−2; 0; −1), u3 = (3; −10; 4)
a) Hỏi rằng họ vectơ S có là cơ sở của R3 không? Tai sao?
b) Hãy biểu diễn vectơ u thành một tổ hợp tuyến tính của {u1, u2}. 3
Câu 4. Trong không gian R3, cho họ véctơ:
B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (−1, 2,
− −3); u3 = (2, 1, 3)} và u = (6, 5, 10).
a) Chứng minh B là một cơ sở của R3.
b) Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Câu 5. Trong không gian R3, cho họ véctơ:
B = {u1 = (1, 0, −1); u2 = (1, 1, 1); u3 = (−3, −2, 1)} và u = (1, 1, 3).
a) Chứng minh B là một cơ sở của R3.
b) Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Câu 6. Trong không gian R3, cho họ véctơ:
B = {u1 = (0, 1, −1); u2 = (−2, −1, 0); u3 = (−2, 3, 1)} và u = (3, 3, 1).
a) Chứng minh B là một cơ sở của R3.
b) Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Câu 7. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (1; 2; 3), u2 = (4; 5;
− −6), u3 = (7; −8; 9)
a) Hỏi B có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?
b) Nếu B là một cơ sở của R3, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R3. Trang 5
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
Câu 8. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (2; 2; −1), u2 = (−2; 0; −1), u3 = (3; −9; 4)
a) Hỏi B có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?
b) Nếu B là một cơ sở của R3, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R3.
Câu 9. Trong không gian vectơ R3 cho họ vectơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (−1; 0; 1), u2 = (1; 2; 1), u3 = (−3; 5; −7)
a) Hỏi B có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?
b) Nếu B là một cơ sở của R3, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R3.
Câu 10. Trong không gian R3 cho 2 cơ sở
B = {v1 = (6, 6, 0); v2 = (−2, −6, 4); v3 = (−2, −3, 7) ; } và
B′ = {e1 = (−3, 0, −3); e2 = (−3, 2, 1); e3 = (1, 6, . −1)}
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′.
b) Tìm (v) nếu biết B
(v)B′ = (1, 3, 0).
Câu 11. Trong không gian R3 cho 2 cơ sở
B = {v1 = (−1, 0, 0); v2 = (2, 2, 0); v3 = (3, 3, 3)} và
B′ = {e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1) . }
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′.
b) Tìm (v) nếu biết B
(v)B′ = (2, −1, 0).
Câu 12. Trong không gian R3 cho 2 cơ sở B = {v1 = (0, 1, −1); v2 = (2, 1, 0); v3 = (2, −3, −1)}
và B′ = {e1 = (1, 0, 0); e 0, 1, 0 0, 0, 1 2 = ( ); e3 = ( )}.
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′.
b) Tìm (v) nếu biết B
(v)B′ = (3, 0, 7). Trang 6 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 4 (ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH)
Câu 1. Cho ánh xạ: T : R3 → R3 với
T(x; y; z) = (2x − y − z; −x + 2y − z; x + y − 2z).
a) Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính; b) Tìm Im(T).
Câu 2. Cho ánh xạ: T : R3 → R3 với
T(x; y; z) = (2x − y + 3z; x + 2y − 2z; 8x + y + 5z).
a) Chứng minh T là ánh xạ tuyến; b) Tìm Im(T).
Câu 3. Cho ánh xạ f : R3 → R3 được xác định bởi
f (x; y; z) = (x + y − z; 2x + 3y − z; 3x + 5y − z).
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm Ker( f ).
Câu 4. Cho ánh xạ f : R3 → R3 được xác định bởi
f (x; y; z) = (x − y + z; x + 2y − z; 2x + y).
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm Ker( f ).
Câu 5. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi:
f (x, y, z) = (x − y − z, 2x + y − z, 4x − y − 3z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc trong R3.
Câu 6. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi:
f (x, y, z) = (x + y − z, 2x − y + z, x + 2y − z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc trong R3.
Câu 7. Cho ánh xạ f : R3 → R3, xác định bởi
f (x, y, z) = (x − 2y + z, x + y, x + y − 2z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {e1 = (−1, 0, 0); e2 = (2, 2, 0); e 3, 3, 3 3 = ( )} trong R3. Trang 7
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
Câu 8. Cho ánh xạ f : R3 → R3, xác định bởi
f (x, y, z) = (x − y − z, 2x + y − z, 4x − y − 3z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {e1 = (1, 1, 1); e2 = (−2, −2, 0); e3 = (3, 0, 0)} trong R3.
Câu 9. Cho ánh xạ f : R3 → R3, xác định bởi
f (x, y, z) = (x + y + z, x − y + z, 2x + y + 3z).
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {v1 = (1, 0, 1); v2 = (1, 3, 0); v3 = (0, −2, 1)} trong R3.
Câu 10. Cho f : R3 → R3 xác định bởi f (x, y, z) = (x + 2y; −x; z).
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (−1, 1,
− −1); v2 = (2, 2, 0); v 3, 0, 0 ; 3 = ( )}
b) Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (1, 3, 0).
Câu 11. Cho f : R3 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 − x1, x1 − x3) .
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (1, 0, 1); v2 = (0, 1, 1); v 1, 1, 0 3 = ( )};
b) Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (3, 0, 2).
Câu 12. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi
f (x, y, z) = (x + 2y − z; −x + y + z; x + z).
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (−1, 1, 2); v2 = (−2, 2, 0); v 1, 0, 4 3 = ( )};
b) Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (0, 3, 4).
Câu 13. Tìm giá trị riêng và không gian riêng ứng với giá trị riêng tìm được của ma trận A, biết     a. 1 4 2 A = −2 2 2 3 d. A = .  −2 5 1  2 1 5  1 0 1  b. A = 0 0 0 .     5 −3 1 1 0 1 e. A = .  −3 5 1  0 0 8  1 2 1  c. A = 2 4 2 .   1 2 1
Câu 14. Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận  2 0 2 −   −2 0 36 −  a. A = 0 3 0 . b. 0 .   A =  −3 0  0 0 3 −36 0 −23 Trang 8 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 5 (DẠNG TOÀN PHƯƠNG)
Câu 1. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương
a. Q = x21 + x22 + x23+ 4x1x2 + 4x2x3 + 4x1x3.
b. Q = x21 + 3x22 − x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.
c. Q = x21 + x22 + 2x23 + 2x1x2 + 2x2x3.
d. Q = x21 + 2x1x2 + 4x1x3 − 2x22 + x23 + 2x2x3.
e. Q = 4x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1x2 − x2x3 − 4x1x3.
f. Q = x21 − x22 + x23+ 2x1x2 − 3x2x3 − x1x3.
g. Q = 2x21 + 2x22 + 2x23 − 2x1x2 + x2x3. h. Q = 2x2 . 1 − 10x2 2 − 8x2
3 − 4x1 x2 + 8x1 x3 + 16x2 x3 i. Q = 3x2 . 1 + 2x2 2 + x2
3 − 3x1 x2 + x2 x3
Hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ.
Câu 2. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương:
ϕ = 2x21 + 3x22 + x23 + 2λx1x2 + 4x1x3 + 2x2x3.
a) Với λ = 1, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ;
b) Tìm λ để dạng toàn phương trên là xác định dương.
Câu 3. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương:
ϕ = 5x21 + x22 + λx23 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.
a) Với λ = 3, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ;
b) Tìm λ dể dạng toàn phương trên là xác định dương.
Câu 4. Trong không gian R3 cho dạng toàn phương:
Q = 5x21 + x22 + λx23 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.
a) Với λ = 1, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ.
b) Tìm λ để dạng toàn phương trên là xác định dương. Trang 9
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Câu 1. Mạch điện gồm điện trở 5Ω mắc nối tiếp điện trở 7Ω nối tiếp với cuộn cảm
với độ tự cảm L = 50mH nối tiếp tụ điện có điện dung C = 100µF với tần số
f = 100 Hz. Xác định tổng trở phức của mạch?
Gợi ý: Tổng trở phức của mạch: Z = R R ; 1 +
2 + iZL − iZC ZL = 2π f L; ZC = 1 . 2π f C Câu 2.
Một mạch điện gồm hai nhánh mắc song song. Nhánh 1
gồm có điện trở 15Ω mắc nối tiếp với cuộn cảm với độ tự
cảm L = 150mH. Nhánh 2 có điện trở 10Ω mắc nối tiếp
với tụ điện có điện dung C = 100µF. Với tần số làm việc
của mạch là f = 50 Hz. Xác định tổng trở phức tương đương của mạch?
Câu 3. Một hãng sử dụng 4 loại vật liệu khác nhau để sản xuất 3 loại sản phẩm.
Cho biết, định mức về số đơn vị vật liệu cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại tương
ứng và giá của một đơn vị vật liệu (tính bằng nghìn đồng) mỗi loại ở bảng sau Vật liệu 1 2 3 4 Sản phẩm I 2 4 0 1 II 3 0 1 2 III 1 2 3 4 Giá vật liệu 12 9 14 8
Hãy tính chi phí vật liệu cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại.
Câu 4. Mô hình cân bằng cung cầu 3 thị trường của 3 loại hàng hóa 1, 2, 3 có các
phương trình quan hệ giữa lượng cung và lượng cầu của mỗi loại hàng hóa theo
giá của chúng được cho bởi các phương trình sau: qs = = 2p 1 −10 + p1, qs2 2, qs 3 = −5 + 3p3, qd = 20 = 40 1
− p1 − p3, qd2
− 2p2 − p3, qd3 = 10 − p1 + p2 − p3, trong đó qs và
lần lượt là lượng cung và lượng cầu của loại hàng hóa i qdi i, i =
1, 2, 3; p là giá của loại hàng hóa i, i = 1, 2, 3. Hãy xác định các mức giá cân bằng i
thị trường của 3 loại hàng hóa trên. Trang 10 EPU
Đề cương ôn tập Toán 1  1 2 1 
Câu 5. Cho ma trận A = 2 2 1
và một sự tương ứng giữa các kí tự và các  −  1 0 1 số như sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 H N E D A O I M T K
Một người muốn gửi một dòng mật khẩu cho đồng nghiệp. Để đảm bảo bí mật
anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyển dòng mật khẩu này thành một dãy số và
viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi số
là một vị trí trên dòng của B. Sau khi tính C = BA và chuyển ma trận C về dãy số thì được dãy: 16 20 13 6 6 3 15 20 6.
Hãy giải mã dòng thông tin trên?
Câu 6. Nhà máy sử dụng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 4 loại sản phẩm. Lượng vật
liệu thô cần thiết để sản xuất mỗi loại sản phẩm được cho bởi  1   1   0   5  u1 = 2 , u 0 , u 5 , u 31 ,   2 =   3 =   4 =   1 2 2 17
a) Biểu diễn tuyến tính u qua các vecto còn lại, nêu ý nghĩa kinh tế của nó; 4
b) Xác định số lượng các loại vật liệu thô cần thiết để sản xuất 4 sản phẩm loại
1, 3 sản phẩm loại 2 và 1 sản phẩm loại 3.
Câu 7. Kết quả bỏ phiếu của cuộc bầu cử thứ k tại nước M được đại diện bởi một
vectơ Xk = (x1(k), x2(k), x3(k)) trong không gian R3, trong đó x1(k), x2(k) và x3(k)
lần lượt là tỳ lệ người dân bầu cho đảng dân chù (D), đảng tự do (R) và đàng cầm
quyền (L) ở cuộc bầu cử thứ k. Giả sử rằng kết quả của cuộc bầu cử lần sau chỉ phụ
thuộc vào kết quả của cuộc bầu cử trước đó thông qua mô hình sau:  0.7 0.1 0.3 
Xk+1 = PXk, P = 0.2 0.8 0.3 .   0.1 0.1 0.4
Biết kết quả bầu cử lần thứ nhất là X1 = (0.55, 0.4, 0.05)t và có 10 triệu người đi
bầu ở cuộc bầu cử thứ 3 . Hãy xác định số người bầu cho đảng dân chủ, đảng tự
do và đảng cầm quyền trong cuộc bầu cử thứ 3 .
Câu 8. Đề bảo mật, ta mã bảng chữ cái bằng cách thay thế mỗi chữ cái bằng biểu diễn số từ 1-26: A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Trang 11
Đề cương ôn tập Toán 1 EPU
Giả sử chúng ta muốn gửi tin nhắn sau cho bạn của mình "MEETTOMORROW".
a) Sử dụng bảng tương ứng trên chuyển dòng tin nhắn trên thành một dãy số
(ứng với mỗi chữ cái là một số hạng của dãy số) được gọi là đoạn mã hóa gốc.
b) Chia đoạn mã hóa gốc thành 4 véc tơ trong không gian R3 là u1, u2, u3, u4.
Tiếp tục mã hóa ở mức cao hơn để có đoạn mã hóa gửi đi chúng ta áp dụng một
phép biến đổi tuyến tính L theo quy tắc vi = L (ui) , ∀i = 1, 2, 3, 4 và thu được dãy
số mã hóa có 12 số hạng lần lượt là các thành phần của các véc tơ v . Cho
1, v2, v3, v4 biết
L(x) = L (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + 3x3, x1 + x2 + 2x3, x2 + 2x3) .
Hãy đưa ra đoạn mã hóa gửi đi.
Câu 9. Xét sự dịch chuyển dân cư giữa thành phố và vùng nông thôn thông qua mô hình:  0.95 0.03 
Xk+1 = AXk, A = . 0.05 0.97
với Xk = (x1(k), x2(k))t là véc tơ phân bố dân cư ở năm thứ k, nghĩa là x1(k) và
x2(k) lần lượt là tỳ lệ người dân sống tại vùng nông thôn và thành phố ở năm thứ
k; A là ma trận phân bố dân cư (các cột của nó là các véc tơ xác suất). Cho biết
X0 = (0.7, 0.3)t hãy phân tích sự dịch chuyển cư dân ở hai vùng sau 10 năm.
Câu 10. Một nhà máy cùng sản xuất 2 loại thiết bị với số lượng lần lượt là Q1, Q2
và giá thị trường là p1 = 110, p2 = 200. Chi phí sản suất của nhà máy đạt được khi
sản xuất 2 loại thiết bị này là
C = 2Q21 + Q1Q2 + 3Q22 + 64
Hãy xác định cơ cấu sản xuất (Q1, Q2) để nhà máy đạt lợi nhuận lớn nhất. Trang 12