BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
——————— * ——————— BÀI TẬP: TOÁN CAO CẤP 2 Hà Nội - 2019 Nguyễn Như Quân
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 1
(GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính các giới hạn sau: a. √  lim 3x x2 + 1 − x . x2 x→+∞ f. lim √ . x→0 1 + x sin 2x − 1 b. x15 − 2x + 1 lim . ln cos 2x x→1 x10 − 3x + 2 g. lim . x→0 ln cos 3x 2x 3x c. e − e lim .  3 + x4−3x x→0 sin 7x sin 8 − x h. lim . x→∞ 5 + x 3 sin x   d. sin x 2x−sin 2x lim . k.  3 p  x→0 x lim x3 + 2x2 − 1 − x . x→+∞ √ √ e. 3x + 1. 3 5x + 1 − 1 1 lim l. lim (2 − cos 2x)x2 . x→0 2x x→0
Câu 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau:  |x| + sin 3x a.  nếu x f (x) = 6= 0 2x a nếu x = 0  √7x + 1 − 1   nếu x < 0    e7x − 1 b.  f (x) = 1 nếu 0 ≤ x ≤ 2  2     x2 − 4x + 1 nếu x > 2
Câu 3. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 5 : 1 f (x) = 1 1 + e x−5
Câu 4. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 2 : √  3x − 2 − 2  nếu x 6= 2 f (x) = x2 − 4 .  a nếu x = 2
Câu 5. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 0: √ √  5x + 1 − 3 3x + 1  , f (x) = x 6= 0 x  a , x = 0
Câu 6. Tìm m, n để hàm số sau liên tục trên miền xác định x − 5, nếu x ≤ 1   f (x) = mx2 + nx, nếu 1 < x < 3  x + 1, nếu x ≥ 3 Trang 2
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên Nguyễn Như Quân
Câu 7. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x=0 : √ √  2ax + 1 − 2bx + 1  nếu f (x) = x 6= 0 x b nếu x = 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2
(ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: 7x2 − 5 a. 5x2 − 1 c. y = , với n ≥ 2. y = . x + 3 2x + 1 b. y = (5x2 − 3x)e2x.
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số: a. f (x) = 2x |x| . a b.  ax b  xb y = , a > 0, > > b 0, x 0. b x a
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số:  5x a. 3x + 2 p y = . b. y = 4 + 2x2x. x
Câu 4. Cho hàm số f (x) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 2020). Tính f 0(0).
Câu 5. Cho hàm số f (x) = (x2 + 3x − 1)sin2x. Tính f 0(x).
Câu 6. Tính đạo hàm cấp 10 của hàm số : y = e−5x(3x2 + 5x + 1).
Câu 7. Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y = (5x − 1) sin 5x.
Câu 8. Dùng vi phân tính gần đúng giá trị biểu thức: √ • A = arctan 1, 03. • B = 3 1, 04.
Câu 9. Khai triển Taylor hàm số
a. f (x) = x4 − 3x3 − 5x2 + 3x + 1 trong lân cận điểm x0 = 2.
b. f (x) = 3 + 2x − 7x2 + e−nx, n ∈ N theo lũy thừa nguyên dương của (x − 1), đến (x − 1)4. c. 1 f (x) = , tại x0 = 1 đến cấp n. x2 − 5x + 6
Câu 10. Tìm khai triển Macloranh đến cấp 5 của hàm số 2
f (x) = 1 + x − 3x2 + x3 + e2x. 3 Trang 3 Nguyễn Như Quân
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 3
(TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng +∞ 2 Z dx Z dx • I = √ . • P = √ . 3 x4 − 1 x x2 − 1 3 1 +∞ 1 √ Z dx Z e x − 1 • J = √ √ . • Q = dx. 1 + x. 3 1 + x2 x(x + 1) 2 0 +∞ +∞ Z dx Z dx • K = √ . • R = . e−x  x − 1 x2 + x − 6 3 3 +∞ 2 Z dx Z dx • L = . • S = √ . x3 − 8 3 x4 − 1 2 1 +∞ +∞ Z arctanx Z dx • M = dx. • T = √ . x(2x + 3) x (1 + x2) 0 0 3 +∞ Z dx Z dx • N = . • H = √ . x2 + x − 6 x 1 + x2 2 1
Câu 2. Tính tích phân suy rộng π/2 ∞ Z dx Z dx • I = . • K = . cos x 5x2 + 1 0 1 +∞ Z dx • J = . x2 − 1 2
Câu 3. Tính độ dài cung parabol y = x2 nối điểm A(0, 0) và điểm B(1, 1). Trang 4
Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên Nguyễn Như Quân
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 4 (CHUỖI SỐ, CHUỖI HÀM)
Câu 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∞ √ ∞  3 n2 a.   n + 2 ∑ n + 2 e1/n − 1 ln √ . f. ∑ . n 5n − 1 n=1 n=1 ∞ ∞  2 + 1 n b. 3n + 4n n − sin 5n ∑ . g. ∑ √ . 7n 3n + 1 + n n=1 n=1 ∞ ∞ 21/n c. nn − 1 ∑ . h. ∑ √ . n! n n=1 n=1 ∞ ∞   n2 n − 1 n+1 d. 3n + 2 ∑ . k. ∑ . 3n 2n + 1 n=1 − 1 n=1 ∞ ∞ 2 e. 2.4.6....(2 ( ∑ n) n + 2) . l. ∑ . nn 53n+4 n=1 n=1
Câu 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ ∞  n − 1n+1 a. (x − 3)n ∑ d. . ∑ x2n. n n + 1 n=1 × 2n n=1 ∞ ∞  n  n n + 1 b. 2n ∑ (x + e. 5)n. ∑ (x − 3)2n. 2n − 2 2n + 1 n=3 n=3 ∞ c. (x ∑ − 1)n . (n2 + 1)5n n=1 Trang 5