Bài tập toán nâng cao lớp 8 có đáp án chi tiết nhất
1. Các dạng bài tập Toán nâng cao lớp 8
Dạng 1: Nhân các đa thức
Ví dụ: Tính giá trị B = x^15 - 8x^14 + 8x^3 - 8x^2 +..... - 8x² + 8x - 5 với x = 7
Dạng 2 : Các hằng đẳng thức đáng nhớ
Hệ quả với các hằng đẳng thức bậc hai (a + b )2 = (a - b)2 + 4ab (a - b)2 = (a + b)² - 4ab a² + b² = a + b² - 2ab
a2 + b2 + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
a2 + b2 - c² = a² + b² + c² + 2ab - 2ac - 2bc
a2 - b2 - c² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac - 2bc
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử x² - x - 6x4 + 4x^2 - 5x^3 - 19x - 30
Dạng 4: Chia đa thức
Xác định a để cho đa thức x³ - 3x + a chia hết cho (x - 1)²
2. Bài tập toán nâng cao lớp 8 Đề 1
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. 6x² - 3xy b. x2 -y2 - 6x + 9 c. x2 + 5x - 6
Câu 2 thực hiện phép tính a. x + 2² - x - 3 (x + 1)
b. x³ - 2x² + 5x - 10 : ( x - 2)
Câu 3 Cho biểu thức A = (x - 5) / (x - 4) và B = (x + 5)/ 2x - (x - 6) / (5 - x) - (2x² - 2x - 50) / (2x² - 10x) (điều
kiện x khác 0, x khác 4, x khác 5
a. Tính giá trị của A khi x² - 3x = 0 b. Rút gọn B
c. Tìm giá trị nguyên của x để A : B có giá trị nguyên
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua cạnh OA.
a. Chứng minh tứ giác ADCE là hình chữ nhật
b. Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE
c. cho AB = 10 cm BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác OAB
d. đường thẳng Oy cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân Đáp án: Bài 1:
Nếu tổng các hệ số trong đa thức bằng 0 thì đây thức có một nghiệm là 1, đa thức trên sẽ có một nghiệm là
1 nên đa thức có thể phân tích thành (x - 1) x a
Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là -1
Ví dụ đa thức -x² + 5x + 6 có tổng hệ số bằng chẵn bằng -1 + 6 = 5 bằng hệ số bậc lẻ, đa thức trên sẽ có
một nghiệm là -1 nên đa thức có thể phân tích thành (a + 1) x a a. 6x² - 3xy = 3x x 2x - y
b. x^2 - y^2 - 6x + 9 = x² - 6x + 9 - y²( x - 3)^2 - y ^2 = x - 3 - y x (x - 3) + y
c. x² + 5x - 6 = x² - x + 6x - 6 = (x - 1) x (x + 6) Bài 2
A = (x + 2)^ 2 - x - 3 x (x + 1) = x² + 4x + 4 - x² + 2x + 3 = 6x + 7
B = x^3 - 2x² + 5x - 10 = x² x (x - 2) + 5 x (x - 2) = (x - 2) x (x² + 5)
Vậy x^3 - 2x² + 5x - 10 : (x - 2) = x² + 5
Bài 3: Cho biểu thức A = x - 5/x - 4 và B = x + 5/2x - x - 6/5 - x - 2x² - 2x - 50 / 2 x^2 - 10x t
Ta có x² - 3x = 0 suy ra x x (x - 3) = 0 x = 0; x = 3 Với x = 0 suy ra A = 5/4 v Với x = 3 suy ra A = 2
Để p đạt giá trị nguyên khi 8/x - 4 cũng phải có giá trị nguyên 28 : (x - 4)
Vậy x - 4 thuộc ước chung của 8 = -8, -4, -1, 1, 4, 8 x - 4 = 8 suy ra x = 4 x - 4 = 4 suy ra 2x = 0 loại
x - 4 = -1 suy ra x = 3 thỏa mãn x - 4 = 1 suy ra x = 5 loại x - 4 = 4 - 2x = 8 thỏa mãn
x - 4 = 8 suy ra x = 12 thỏa mãn Bài 4: Ta có OA = OC
DO = OE do D đối xứng với E qua O Góc ADC bằng 90 độ
Vậy ADCE là hình chữ nhật ADCE là hình chữ nhật thì AE song song BC, AE = BC và DC = BD
Do tam giác ABC cân suy ra AE = BD
ABDE là hình bình hành, I là trung điểm AB thì I là trung điểm DE
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ta có AD = (AB) ^2 - (BC/ 2)^ 2 = căn 10^2 - 6^2 = 8 cm
Diện tích tam giác OAB bằng 1/2 diện tích tam giác ABC bằng 1/2 x 1/2 AD x DC = 1/4 x 8 x 6 = 12 cm
Ta có tứ giác ABDE là hình bình hành, do đó AKDE là hình thang
Để AKDE là hình thang cân thì KD = AE mà KD = 1/2 AC AE = 1/2 BC Suy ra AC = BC
Suy ra tam giác ABC là tam giác đều
3. Một số bài toán nâng cao lớp 8: Đề 2
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức A = 2018 + 2016² + 2014 +....... + 4² + 2² - 20172 + 2015 2 + 2013 2 + 3² + 1
A = 2018 2 + 20162 + 20142 + 4^2 + 2^2 - 2017^2 + 2015 2 + 20132 + 3^2 + 1
A = 2018^2 - 2017^2 + 2016^2 - 2015 2 + 2014^2 - 2013 2 + 2^2 - 12
A = 2018 + 2017 + 2016 + 2015 + 2014 + 2013 + 2 + 1 = 2018 x 2018 + 12 = 2037 171
Câu 2 Chứng minh rằng C = n^ 4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 là số chính phương
Ta có C = n^4 + 6n^ 3 + 11n^ 2 + 6n + 1
C = n^ 4 + 2n ^ 2 x 3n + 1 + 9n^ 2 + 6n + 1
C = n^ 4 + 2n^ 2 x (3n + 1) + (3n + 1)^2 C = n ^ 2 + (3n + 1) ^ 2
Vì n là số tự nhiên nên C sẽ là số chính phương
Câu 3: Chứng minh rằng F(x) = 19x^5/5 + 8x^3/3 + 27x^ 2 / 2 - 29x/30 nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên
Đáp án F(x) = 19x^5/5 + 8x^3/3 + 27x^ 2/ 2 - 29x/30 = 114x^5 + 8^x^3 + 405x^2 - 29x/30
F(x) nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 114 x^5 + 80x³ + + 405x^2 - 29x - 30
Ta có 114x^5 + 8^x^3 + 405x^2 - 29 x = 120 x^5 + 90 x^3 + 390x² - 30 x - 6x^5 + 10x^3 - 15x^2 - x
Do đó cần chứng minh 6x^ 5 + 10x^3 - 15x^2 - x : 30
Ta có 6x^ 5 + 10x^3 - 15x^2 - x = 6 x x^ 5 - x + 10 x x^ 3 - x -15x x (x - 1)
Vì x ^ 5 - x chia hết cho 30 x ^3 trừ x chia 30
Và x x (x trừ 1) trên 30 với mọi số nguyên x
Do đó 6 x x^5 + 10x^3 - 15x ^ 2 - x = 6 x ^ 5 - x + 10x^3 - x - 15x x (x - 1) : 30
Vậy nhận giá trị nguyên khí x là số nguyên
Câu 4: Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP đồng quy tại I Chứng minh rằng MB/MC x
NC/NA x BA x TB = IM/AM + IN/BN + IB/CB
Đáp án: Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có MB/MC = AB/ AC NC/ NA = BC/BA BP = CA/CB
Suy ra MB /MC x NC/ NA x BA x PB