Bài tập trắc nghiệm phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM æ 2x p ö
Câu 1. Giải phương trình sin - = 0. ç ÷ è 3 3 ø 2p k3p A. x = p k (k Î!). B. x = + (k Î!). 3 2 p p k3p C. x = + kp (k Î!). D. x = + (k Î!). 3 2 2 3
Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin ( 0 2x - 40 ) = với 0 0 180 - £ x £180 2 là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. æ p ö 1
Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x + = trên ç ÷ è 3 ø 2
đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và
y = sin x bằng nhau? éx = k2p éx = kp A. ê p (k Î!). B. ê p p (k Î!). êx = + k2p êx = + k ë 4 ë 4 2 p p
C. x = k (k Î!).
D. x = k (k Î!). 4 2 2cos 2x
Câu 5. Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình = 0. Mệnh 0 1- sin 2x
đề nào sau đây là đúng? æ p ö ép p ù æ p 3p ö A. x Î 0; . B. x Î ; . C. x Î ; . D. 0 ç ÷ ç ÷ è 4 ø 0 ê 4 2 ú ë û 0 è 2 4 ø é3p ù x Î ;p . 0 ê 4 ú ë û
Câu 6. Hỏi trên đoạn [ 20
- 17;2017], phương trình (sin x + ) 1 (sin x - 2) = 0 có
tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.
Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình æ p ö 3 sin 3x - = bằng: ç ÷ è 4 ø 2 p p p p A. . B. - . C. . D. - . 9 6 6 9 Trang 1 3
Câu 8. Gọi x là nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos( 0 5x - 45 ) = . 0 2
Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x Î( 0 0 30 - ;0 x Î( 0 0 45 - ; 30 - 0 ) 0 ). B. . C. x Î( 0 0 60 - ; 45 - x Î( 0 0 90 - ; 60 - 0 ) 0 ). D. . é p ù 13
Câu 9. Hỏi trên đoạn - ;2p , phương trình cos x = có bao nhiêu nghiệm? ê 2 ú ë û 14 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 . æ x ö
Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình 0 cos +15 = sin . x Mệnh đề ç ÷ è 2 ø nào sau đây là đúng? A. 0 290 Î X. B. 0 20 Î X. C. 0 220 Î X. D. 0 240 Î X.
Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x - cos x = 0 trên [0;2p ]. 5p
A. T = 3p. B. T = .
C. T = 2p.
D. T = p. 2 æ p ö æ p ö
Câu 12. Trên khoảng ;2p , phương trình cos
- 2x = sin x có bao nhiêu ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 6 ø nghiệm? A. 3. B. 4 . C. 5 . D. 2.
Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình ( 0
tan 2x -15 ) =1 trên khoảng ( 0 0 -90 ;90 ) bằng: A. 0 0 . B. 0 30 - . C. 0 30 . D. 0 60 - .
Câu 14. Giải phương trình cot(3x - ) 1 = - 3. 1 5p p 1 p p A. x = + + k (k Î!). B. x = + + k (k Î!). 3 18 3 3 18 3 5p p 1 p C. x = + k (k Î!). D. x = - + kp (k Î!). 18 3 3 6 æ p ö
Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan - x ç ÷ è 4 ø
và y = tan 2x bằng nhau? p p p p A. x = + k (k Î!). B. x = + k (k Î!). 4 2 12 3 p p p æ 3m +1 ö C. x = + kp (k Î!). D. x = + k k ¹ ; k,m Î ! . ç ÷ 12 12 3 è 2 ø 3p æ p ö
Câu 16. Số nghiệm của phương trình tan x = tan trên khoảng ;2p là? ç ÷ 11 è 4 ø A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. Trang 2
Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x - tan x = 0 trên nửa khoảng [0;p ) bằng: p p A. p 3 . B. . C. 2p 5 . D. . 2 2
Câu 18. Giải phương trình tan 3 . x cot 2x = 1. p p p
A. x = k (k Î!).
B. x = - + k (k Î!). 2 4 2 C. x = p k (k Î!). D. Vô nghiệm. æ p ö æ p ö
Câu 19. Cho tan x + -1 = 0. Tính sin 2x - . ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 6 ø æ p ö 1 æ p ö 3 A. sin 2x - = - . B. sin 2x - = . ç ÷ è 6 ø 2 ç ÷ è 6 ø 2 æ p ö 3 æ p ö 1 C. sin 2x - = - . D. sin 2x - = . ç ÷ ç ÷ è 6 ø 2 è 6 ø 2
Câu 20. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của
phương trình tan x = 1? 2 2 A. sin x = . B. cos x = .
C. cot x = 1. D. 2 cot x = . 1 2 2
Câu 21. Giải phương trình cos 2x tan x = 0. é p p x = + kp
A. x = k (k Î!). B. ê 2 (k Î !). 2 ê ëx = kp é p p x = + k p C. ê 4 2 (k Î !). D. x = + kp (k Î!). ê 2 ëx = kp
Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x = m có nghiệm.
A. m £ 1. B. m ³ 1. - C. 1 - £ m £ 1. D. m £ 1. -
Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x - m = 0 vô nghiệm. A. mÎ(- ; ¥ - ) 1 È(1;+¥).
B. mÎ(1;+¥) . C. m Î[ 1; - ] 1 . D. mÎ(- ; ¥ - ) 1 .
Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
cos x = m +1 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương æ p ö trình cos 2x -
- m = 2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S. ç ÷ è 3 ø
A. T = 6.
B. T = 3. C. T = 2. - D. T = 6. -
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Trang 3 æ 2x p ö
Câu 1. Giải phương trình sin - = 0. ç ÷ è 3 3 ø 2p k3p A. x = p k (k Î!). B. x = + (k Î!). 3 2 p p k3p C. x = + kp (k Î!). D. x = + (k Î!). 3 2 2 æ 2x p ö 2x p
Lời giải. Phương trình sin - = 0 Û - = kp ç ÷ è 3 3 ø 3 3 2x p p k3p Û = + kp Û x = +
(k Î!) .Chọn D. 3 3 2 2 3
Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin ( 0 2x - 40 ) = với 0 0 180 - £ x £180 2 là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. 3
Lời giải. Phương trình sin ( 0 2x - 40 ) = Û sin( 0 2x - 40 ) 0 = sin 60 2 0 0 0 0 0 0 0
é2x - 40 = 60 + k360 é2x =100 + k360 éx = 50 + 1 k 80 Û ê Û ê Û ê . 0 0 0 0 0 0 0 0
ë2x - 40 =180 - 60 + k360 ë2x =160 + k360 ëx = 80 + 1 k 80 = Xét nghiệm 0 0 x = 50 + 180 k . Vì 0 0 0 0 0 0 180 - £ x £180 ¾¾ ® 180 - £ 50 + 180 k £180 0 23 13 ék = 1 - ® x = 1 - 30 kÎ Û - £ k £ ¾¾¾ !®ê . 0 18 18
ëk = 0 ® x = 50 = Xét nghiệm 0 0 x = 80 + 180 k . Vì 0 0 0 0 0 0 180 - £ x £180 ¾¾ ® 180 - £ 80 + 180 k £180 0 13 5 ék = 1 - ® x = 1 - 00 Î Û - £ k £ ¾¾ k ¾ !®ê . 0 9 9
ëk = 0 ® x = 80
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Chọn B.
Cách 2 (CASIO). Ta có 0 0 0 0 180 - £ x £180 ¾¾ ® 360 - £ 2x £ 360 .
Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm f ( X ) = ( X - ) 3 sin 2 40 -
với các thiết lập Start = 3 - 60, End = 360, Step = 40. 2
Quan sát bảng giá trị của f ( X ) ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm. æ p ö 1
Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x + = trên ç ÷ è 3 ø 2
đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải. Trang 4 Phương trình é p p é p 2x + = + k2p x = - + kp p p ê 3 6 ê æ ö 12 Û sin 2x + = sin Û ç ÷ ê Û ê (k Î!). è 3 ø 6 p p p ê2x p k2p ê + = - + x = + kp êë 3 6 êë 4 p
Biểu diễn nghiệm x = -
+ kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 12 1). p
Biểu diễn nghiệm x =
+ kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 4 2). O O Hình 1 Hình 2
Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. Chọn C. 2p
Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng x = a + k ¾¾
® số vị trí biểu diễn trên n
đường tròn lượng giác là n . p p 2p = Xét x = - + kp Û x = - + k ¾¾
® có 2 vị trí biểu diễn. 12 12 2 p p 2p = Xét x =
+ kp Û x = + k ¾¾
® có 2 vị trí biểu diễn. 4 4 2
Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau.
Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và
y = sin x bằng nhau? éx = k2p éx = kp A. ê p (k Î!). B. ê p p (k Î!). êx = + k2p êx = + k ë 4 ë 4 2 p p
C. x = k (k Î!).
D. x = k (k Î!). 4 2
Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin3x = sin x Trang 5 éx = kp
é3x = x + k2p ê Û Û p p (k Î ê !). Chọn B.
ë3x = p - x + k2p êx = + k ë 4 2 2cos 2x
Câu 5. Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình = 0. Mệnh 0 1- sin 2x
đề nào sau đây là đúng? æ p ö ép p ù æ p 3p ö A. x Î 0; . B. x Î ; . C. x Î ; . D. 0 ç ÷ ç ÷ è 4 ø 0 ê 4 2 ú ë û 0 è 2 4 ø é3p ù x Î ;p . 0 ê 4 ú ë û
Lời giải. Điều kiện: 1-sin 2x ¹ 0 Û sin 2x ¹1. 2cos 2x ésin 2x =1 loaÔ i 2 2 ( ) Phương trình
sin 2 x+cos 2 x 1 = 0 Û cos2x = 0 = ¾¾¾¾¾¾ ®ê 1- sin 2x êsin 2x = - ë ( 1 tho˚a maın) p p Û sin 2x = 1
- Û 2x = - + k2p Û x = - + kp (k Î!). 2 4 p 1 Cho - + kp > 0 ¾¾ ®k > . 4 4 3p é3p ù
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k = 1 ® x = Î ;p . Chọn D. 4 ê 4 ú ë û
Câu 6. Hỏi trên đoạn [ 20
- 17;2017], phương trình (sin x + ) 1 (sin x - 2) = 0 có
tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.
Lời giải. Phương trình ésin x = 1 - p Û ê Û sin x = 1
- Û x = - + k2p (k Î!). êsin x = 2 ë (vo nghiem) 2 p p 2017 - + 2017 p + Theo giả thiết 2 2 2017 - £ - + k2p £ 2017 Û £ k £ 2 2p 2p xap xi
320,765 k 321,265 kÎ ¾¾¾ ®- £ £ ¾¾¾ !®k Î{ 320 - ; 319 - ;...; } 321 .
Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn
yêu cầu bài toán. Chọn D.
Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình æ p ö 3 sin 3x - = bằng: ç ÷ è 4 ø 2 p p p p A. . B. - . C. . D. - . 9 6 6 9 Trang 6 Lời giải. Ta có é p p 3x - = + k2p p 3 p p ê æ ö æ ö 4 3 sin 3x - = Û sin 3x - = sin Û ç ÷ ç ÷ ê è 4 ø 2 è 4 ø 3 p p
ê3x - = p - + k2p êë 4 3 é 7p é 7p k2p 3x = + k2p x = + ê 12 ê 36 3 Û ê Û ê (k Î!). 11p 11p k2p ê3x = + k2p êx = + êë 12 êë 36 3 é 7 7p
x > 0 Û k > - Þ k = 0 ® x = ê min 7p k2p TH1. Với Cho 24 36 x = + ¾¾®ê . 36 3 7 17p
êx < 0 Û k < - Þ k = -1® x = - max êë 24 36 é 11 11p
x > 0 Û k > - Þ k = 0 ® x = ê min 11p k2p TH2. Với Cho 24 36 x = + ¾¾® ê . 36 3 11 13p
êx < 0 Û k < - Þ k = -1® x = - max êë 24 36 13p
So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là x = - và nghiệm dương 36 7p 13p 7p p nhỏ nhất là x =
. Khi đó tổng hai nghiệm này bằng - + = - .Chọn 36 36 36 6 B. 3
Câu 8. Gọi x là nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos( 0 5x - 45 ) = . 0 2
Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x Î( 0 0 30 - ;0 x Î( 0 0 45 - ; 30 - 0 ) 0 ). B. . C. x Î( 0 0 60 - ; 45 - x Î( 0 0 90 - ; 60 - 0 ) 0 ). D. .
Lời giải. Ta có .. 0 0 0 0 é5x = 75 + k360 éx =15 + k72 Û ê Û ê (k Î!). 0 0 0 0 ë5x =15 + k360 ëx = 3 + k72 5 TH1. Với 0 0 0
x = 15 + k72 < 0 Û k < - Þ k = -1 ® x = -57 . max 24 1 TH2. Với 0 0 0
x = 3 + k72 < 0 Û k < - Þ k = -1Þ x = -69 . max 24
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là 0 x = -57 . Chọn C. é p ù 13
Câu 9. Hỏi trên đoạn - ;2p , phương trình cos x = có bao nhiêu nghiệm? ê 2 ú ë û 14 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 . Trang 7 13 13
Lời giải. Phương trình cos x = Û x = ± arccos + k2p (k Î!). 14 14 13 é p ù p 13 = Với x = arccos
+ k2p . Vì x Î - ;2p ¾¾ ®- £ arccos + k2p £ 2p 14 ê 2 ú ë û 2 14 CASIO kÎ! 13 ¾¾¾® 0,
- 3105 £ k £ 0,9394 ¾¾¾ ®k = 0 ¾¾ ® x = arccos . xapxi 14 13 = Với x = - arccos + k2p. Vì 14 é p ù p 13 x Î - ;2p ¾¾ ®- £ -arccos + k2p £ 2p ê 2 ú ë û 2 14 CASIO kÎ! ì 13 13 ü ¾¾¾® 0
- ,1894 £ k £ 1,0605 ¾¾¾ ®k Î 0;1 ¾¾
® x Î í- arccos ;- arccos + k2p ý. xapxi { } î 14 14 þ
Vậy có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn. Chọn B.
Cách 2 (CASIO). Dùng chức năng TABLE nhập hàm f ( X ) 13 = cos X - với 14 p p
các thiết lập Start = - , End = 2p , Step = . Ta thấy f ( X ) đổi dấu 3 lần nên 2 7 có 3 nghiệm.
Cách 3. Dùng đường tròn lượng giác O p
Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn cung từ - đến 2p . Tiếp theo ta kẻ 2 13 13 đường thẳng x =
. Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng x = cắt cung lượng 14 14
giác vừa vẽ tại 3 điểm. æ x ö
Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình 0 cos +15 = sin . x Mệnh đề ç ÷ è 2 ø nào sau đây là đúng? A. 0 290 Î X. B. 0 20 Î X. C. 0 220 Î X. D. 0 240 Î X. æ x ö æ x ö Lời giải. Ta có 0 0 + = x Û + = ( 0 cos 15 sin cos 15 cos 90 - ç ÷ ç ÷ x) è 2 ø è 2 ø Trang 8 é x 0 0 0
+15 = 90 - x + k360 0 0 ê éx = 50 + k240 2 Û ê Û ê (k Î!). ê x + = -( - x) 0 0 0 0 ëx = 210 - k720 15 90 + k360 êë2 Nhận thấy 0
290 Î X (do ứng với k = 1 của nghiệm 0 0
x = 50 + k240 ). Chọn A.
Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x - cos x = 0 trên [0;2p ]. 5p
A. T = 3p. B. T = .
C. T = 2p.
D. T = p. 2 æ p ö
Lời giải. Ta có sin 2x - cos x = 0 Û sin 2x = cos x Û sin 2x = sin - x ç ÷ è 2 ø é p é p k2p 2x = - x + k2p x = + ê 2 ê 6 3 Û ê Û ê . ê æ p ö p 2x p x k2p ê = - - + ç ÷ x = + k2p êë è 2 ø êë 2 é p k2p é 1 11 0 £ + £ 2p - £ k £ Þ k Î{0;1; } 2 ê ê
Vì x Î[0;2p ], suy ra 6 3 4 4 ê Û ê . p 1 3 ê0 £ + k2p £ 2p
ê- £ k £ Þ k Î{ } 0 êë 2 êë 4 4
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn [0;2p ] là p 5p 3p p ; ; ; ® T = 3p. 6 6 2 2 Chọn A. æ p ö æ p ö
Câu 12. Trên khoảng ;2p , phương trình cos
- 2x = sin x có bao nhiêu ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 6 ø nghiệm? A. 3. B. 4 . C. 5 . D. 2. æ p ö æ p ö æ p ö
Lời giải. Ta có cos
- 2x = sin x Û cos - 2x = cos - x ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 6 ø è 6 ø è 2 ø ép p é p
- 2x = - x + k2p x = - - k2p ê 6 2 ê 3 Û ê Û ê (k Î!). êp æ p ö 2p k2p 2x x k2p ê - = - - + ç ÷ x = - êë 6 è 2 ê ø ë 9 3 æ p ö Vì x Î ;2p , suy ra ç ÷ è 2 ø ép p é 7 5 < - - k2p < 2p kÎ - £ k < - ¾¾¾ !®k = -1 ê 2 3 ê 6 12 ê Û ê . p 2p k2p 8 5 ê < - < 2p ê kÎ - £ k < - ¾¾¾ !®k = {-2;- } 1 êë 2 9 3 êë 3 12 Trang 9 æ p ö
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên khoảng ;2p . Chọn A. ç ÷ è 2 ø
Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình ( 0
tan 2x -15 ) =1 trên khoảng ( 0 0 -90 ;90 ) bằng: A. 0 0 . B. 0 30 - . C. 0 30 . D. 0 60 - . Lời giải. Ta có ( 0 x - ) 0 0 0 0 0 tan 2
15 = 1 Û 2x -15 = 45 + 1
k 80 Û x = 30 + k90 (k Î!). Do x Î( 0 0 - ) 0 0 0 0 4 2 90 ;90 ¾¾ ® 90 -
< 30 + k90 < 90 Û - < k < 3 3 0 ék = 1 - ® x = 6 - 0 kÎ! 0 0 0 ¾¾¾ ®ê ¾¾ ® 60 - + 30 = 30 - . Chọn B. 0
ëk = 0 ® x = 30
Câu 14. Giải phương trình cot(3x - ) 1 = - 3. 1 5p p 1 p p A. x = + + k (k Î!). B. x = + + k (k Î!). 3 18 3 3 18 3 5p p 1 p C. x = + k (k Î!). D. x = - + kp (k Î!). 18 3 3 6 æ p ö
Lời giải. Ta có cot (3x - ) 1 = - 3 Û cot (3x - ) 1 = cot - ç ÷ è 6 ø p 1 p p
Û x - = - + kp Û x = - + k (k Î!) k= p 1 1 5 3 1 ¾¾® x = + . Chọn A. 6 3 18 3 3 18 æ p ö
Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan - x ç ÷ è 4 ø
và y = tan 2x bằng nhau? p p p p A. x = + k (k Î!). B. x = + k (k Î!). 4 2 12 3 p p p æ 3m +1 ö C. x = + kp (k Î!). D. x = + k k ¹ ; k,m Î ! . ç ÷ 12 12 3 è 2 ø ì p ì æ p ö x ¹ - - p m ïcos - x ¹ 0 ï ç ÷ ï p p
Lời giải. Điều kiện: 4 í è 4 ø Û í Û x ¹ + m . p p 4 2 ïîcos2x ¹ 0 ïx ¹ + ï m î 4 2 æ p ö
Xét phương trình hoành độ giao điểm: tan 2x = tan - x ç ÷ è 4 ø p p p
Û 2x = - x + kp Û x = + k (k Î!). 4 12 3 Trang 10 p p p p 3m +1
Đối chiếu điều kiện, ta cần có
+ k ¹ + m Û k ¹ (k, mÎ!). 12 3 4 2 2 p p æ 3m +1 ö
Vậy phương trình có nghiệm x = + k k ¹
; k,m Î ! . Chọn D. ç ÷ 12 3 è 2 ø 3p æ p ö
Câu 16. Số nghiệm của phương trình tan x = tan trên khoảng ;2p là? ç ÷ 11 è 4 ø A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. 3p 3p
Lời giải. Ta có tan x = tan Û x =
+ kp (k Î!). 11 11 Do æ p ö p 3p CASIO x Î ;2p ® <
+ kp < 2p ¾¾¾®-0,027 < k < 1,72 kÎ ¾¾¾ !®k Î 0;1 . ç ÷ xap xi { } è 4 ø 4 11 Chọn B.
Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x - tan x = 0 trên nửa khoảng [0;p ) bằng: p p A. p 3 . B. . C. 2p 5 . D. . 2 2 Lời giải. Ta có kp
tan 5x - tan x = 0 Û tan 5x = tan x Û 5x = x + kp Û x = (k Î!). 4 kp
Vì x Î[0;p ), suy ra 0 p 0 k 4 kÎ £ < Û £ < ¾¾¾ !® k = {0;1;2; } 3 . 4 ì p p 3p ü
Suy ra các nghiệm của phương trình trên [0;p ) là í0; ; ; ý. î 4 2 4 þ p p 3p 3p Suy ra 0 + + + = . Chọn B. 4 2 4 2
Câu 18. Giải phương trình tan 3 . x cot 2x = 1. p p p
A. x = k (k Î!).
B. x = - + k (k Î!). 2 4 2 C. x = p k (k Î!). D. Vô nghiệm. ì p p x ¹ + ìcos3 ¹ 0 ï k x ï
Lời giải. Điều kiện: 6 3 í Û í (k Î!). sin î 2x ¹ 0 p ïx ¹ ï k î 2 Phương trình 1 Û tan3x =
Û tan3x = tan 2x Û 3x = 2x + kp Û x = kp (k Î!). cot 2x p
Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x = p
k không thỏa mãn x ¹ k . 2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D. Trang 11 æ p ö æ p ö
Câu 19. Cho tan x + -1 = 0. Tính sin 2x - . ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 6 ø æ p ö 1 æ p ö 3 A. sin 2x - = - . B. sin 2x - = . ç ÷ è 6 ø 2 ç ÷ è 6 ø 2 æ p ö 3 æ p ö 1 C. sin 2x - = - . D. sin 2x - = . ç ÷ ç ÷ è 6 ø 2 è 6 ø 2 æ p ö æ p ö
Lời giải. Phương trình tan x + -1 = 0 Û tan x + = 1 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø p p p
Û x + = + kp Û x = - + kp (k Î!) . 2 4 4 p p 2p
Suy ra 2x = - + k2p ¾¾ ®2x - = - + k2p (k Î!). 2 6 3 æ p ö æ 2p ö æ 2p ö 3 Do đó sin 2x - = sin - + k2p = sin - = - . Chọn C. ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 6 ø è 3 ø è 3 ø 2
Câu 20. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của
phương trình tan x = 1? 2 2 A. sin x = . B. cos x = .
C. cot x = 1. D. 2 cot x = . 1 2 2p
Lời giải. Ta có tan x = 1 Û x = + kp (k Î!). 4 p
Xét đáp án C, ta có cot x = 1 Û x =
+ kp (k Î!). Chọn C. 4 1
Cách 2. Ta có đẳng thức cot x =
.Kết hợp với giả thiết tan x = 1, ta được tan x
cot x = 1. Vậy hai phương trình tan x = 1 và cot x = 1 là tương đương.
Câu 21. Giải phương trình cos 2x tan x = 0. é p p x = + kp
A. x = k (k Î!). B. ê 2 (k Î !). 2 ê ëx = kp é p p x = + k p C. ê 4 2 (k Î !). D. x = + kp (k Î!). ê 2 ëx = kp p
Lời giải. Điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp (k Î!). 2 écos2x = 0
Phương trình cos2x tan x = 0 Û ê ëtan x = 0 Trang 12 é p é p p 2x = + kp x = + k (tho˚a maın) ê Û 2 ê Û 4 2
(k Î!) .Chọn C. ê ê ëx = kp êx = kp ë (tho˚a maın)
Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x = m có nghiệm.
A. m £ 1. B. m ³ 1. - C. 1 - £ m £ 1. D. m £ 1. -
Lời giải. Với mọi x Î ! , ta luôn có 1 - £ sin x £ . 1
Do đó, phương trình sin x = m có nghiệm khi và chỉ khi 1
- £ m £ 1. Chọn C.
Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x - m = 0 vô nghiệm. A. mÎ(- ; ¥ - ) 1 È(1;+¥).
B. mÎ(1;+¥) . C. m Î[ 1; - ] 1 . D. mÎ(- ; ¥ - ) 1 .
Lời giải. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a .
= Phương trình có nghiệm khi a £1.
= Phương trình vô nghiệm khi a >1.
Phương trình cos x - m = 0 Û cos x = . m ém < 1 -
Do đó, phương trình cos x = m vô nghiệm Û m >1 Û . Chọn A. ê ëm >1
Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
cos x = m +1 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Lời giải. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a .
= Phương trình có nghiệm khi a £1.
= Phương trình vô nghiệm khi a >1.
Do đó, phương trình cos x = m +1 có nghiệm khi và chỉ khi m +1 £ 1 1 1 1 2 0 Î Û - £ + £ Û - £ £ ¾¾ m m m ¾ !®mÎ{ 2 - ; 1 - ; } 0 . Chọn C.
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương æ p ö trình cos 2x -
- m = 2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S. ç ÷ è 3 ø
A. T = 6.
B. T = 3. C. T = 2. - D. T = 6. - æ p ö æ p ö
Lời giải. Phương trình cos 2x -
- m = 2 Û cos 2x - = m + 2. ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø
Phương trình có nghiệm Û 1
- £ m+ 2 £1Û -3 £ m £ - 1 Î ¾¾ m ¾ !®S = { 3; - 2 - ;- } 1 ¾¾ ®T = ( 3 - ) + ( 2 - ) + (- ) 1 = 6 - . Chọn D. Trang 13