Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng - Toán 8

Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng - Toán 8. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !

Chủ đề:

Tài liệu chung Toán 8 211 tài liệu

Môn:

Toán 8 1.9 K tài liệu

Thông tin:
37 trang 4 tháng trước
Tác giả:
Student
Phạm Thị Huyền
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng - Toán 8

Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng - Toán 8. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !

96 48 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 211 tài liệu

Môn: Toán 8 1.9 K tài liệu

Thông tin:

37 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Profile Phạm Thị Huyền
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page1
I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) :
Cho 2 bộ số thực
()
12
; ;...;
n
aa a và
()
12
; ;...;
n
bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:
()
()
(
)
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2
... ... ...
nn n n
ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
12
12
...
n
n
a
aa
bb b
===
với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.
II. Các hệ quả :
Hệ quả 1:
Nếu
11
...
nn
ax a x C++ =(không đổi) thì
()
22
1
22
1
min ...
...
n
n
C
xx
aa
++ =
+
+
đạt được khi
1
1
...
n
n
x
x
aa
==
Hệ quả 2:
Nếu
222
1
...
n
x
xC++ = (không đổi) thì
()
22
11 1
max ... ...
nn n
ax a x C a a
+
+= ++
đạt được khi
1
1
... 0
n
n
x
x
aa
== ≥
()
22
11 1
min ... ...
nn n
ax a x C a a++ =− ++
Dấu “=” xảy ra
1
1
... 0
n
n
x
x
aa
⇔==≤
III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng:
• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm
()
12
; ;...;
n
aa a ;
()
12
; ;...;
n
bb b ;
()
12
; ;...;
n
cc c ta luôn có :
()
()
(
)
(
)
2
33 333 333 3
111 222 1 2 1 2 1 2
... ... ... ...
nnn n n n
abc abc a bc a a a b b b c c c+++ ≤+++ +++ +++
Chứng minh:
Đặt
33 3 33 3 33 3
333
12 12 12
... , ... , ...
nn n
Aaa aBbb bCcc c= + ++ = + ++ = + ++
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page2
Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức
đều bằng 0.
Vậy ta chỉ xét trường hợp
0; 0; 0ABC>>>
Đặt
;;
iii
iii
abc
xyz
ABC
===
với 1;2;3i =
Khi đó ta có:
333
123
333
123
333
123
1
1
1
xxx
yyy
zzz
⎧
++=
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩
và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz++≤
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm:
(
)
333
;; 1;2;3
iii
xyzi=
ta có:
333
111
111
333
222
222
333
333
333
3
3
3
x
xx
xyz
xx
xyz
x
xx
xyz
⎧
++
≤
⎪
⎪
⎪
+
+
≤
⎨
⎪
⎪
++
≤
⎪
⎩
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz
+
+≤(đpcm)
Đẳng thức xảy ra
111
111
222
222
333
333
abc
ABC
xyz
abc
xyz
ABC
xyz
abc
ABC
⎧
==
⎪
==
⎧
⎪
⎪⎪
⇔==⇔ ==
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩
⎪
==
⎪
⎩
Hay
()
:: :: 1;2;3
iii
abc ABCi==tức là:
111 2 2 2 3 3 3
:: :: ::abc abc abc
=
=
• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm:
Cho
m dãy số thực không âm:
()
12
; ;...;
n
aa a ,
()
12
; ;...;
n
bb b , … ,
()
12
; ;...;
n
KK K
Ta có:
()
(
)
(
)( )
11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
... ... ... ... ... ... ... ...
m
mm mmm m m m m
nn n n n n
ab K a b K a b K a a a b b b K K K+++ ≤++++++ +++
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
11 1 2 2 2
: : ...: : :...: : : ...:
nn n
ab K ab K a b K==( chứng minh tương tự như trên)
I- MỘT SỐ VÍ DỤ :
Bài 1:
Cho ,,
x
yz là ba số dương thỏa 4 9 16 49xy z++ =. Chứng minh rằng:
12564
49T
xy z
=
++≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page3
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2;3;4
x
yzvà
158
;;
x
yz
ta được:
()
()()()
2
2
2
222
12584 1 5 8
49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z
xy z
xyz
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
⎢
⎥
=++ ++ = + + + +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦
2
2
158
2. 3. 4. 49xyz
xyz
⎛⎞
≥++ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
12564
49T
xy z
⇒=+ + ≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
158
5
234
3
4 9 16 49
2
x
xyz
y
xy z
z
⎧
=
⎪
⎧
⎪
==
⎪⎪
⇔=
⎨⎨
⎪⎪
++ =
⎩
=
⎪
⎪
⎩
Bài 2 : Cho 0; 0xy>> và
22
x
yxy+≤+.Chứng minh:
325xy+≤+
Hướng dẫn giải
Giả thiết:
22
22
111
222
xyxy x y
⎛⎞⎛⎞
+≤+⇔− +− ≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
()
11
1; 3 ; ;
22
xy
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
ta có:
2
22
11 11
1. 1 3. 10 5
22 22
yxy
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−≤ −+−≤
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
()
2
32 5xy⇒+− ≤
32 5xy⇒+ −≤
325xy⇒+ ≤+
Đẳng thức xảy ra khi
15
210
135
210
x
y
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎩
Bài 3 :
Cho , , 0abc≥ ; 1abc++=.Chứng minh:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page4
222
1111
30
ab bc ac
abc
+
++≥
++
Hướng dẫn giải
Gọi
222
1111
A
ab bc ac
abc
=+++
++
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
(
)
222
222
1111
;;;
;3 ;3 ;3
ab bc ca
abc
abc ab bc ca
⎛⎞
⎜⎟
++
⎝⎠
++
Ta có:
()
()
2
222
1333 9 9 9a b c ab bc ca A+++ ≤ + + + + +
()( )
2
100 7abc abbcca A
⎡⎤
⇒≤+++ ++
⎣⎦
(*)
Mà
()
2
11
(do 1)
33
ab bc ca a b c a b c++≤ ++ = ++=
Do đó: (*)
30.A⇒≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
abc===
Bài 4 : Cho ; ; 0xyz> và thoả 1
x
yz++≤.Chứng minh :
222
222
111
82xyz
xyz
++ ++ +≥
Hướng dẫn giải
Gọi
222
222
111
Sx y z
x
yz
=+++++
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
()
1
1; 9 ; ;x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Ta có:
22
22
911
181. 82.xxx
x
x
x
+≤ + + = +
(1)
Tương tự:
2
2
91
82.yy
y
y
+≤ +
` (2)
2
2
91
82.zz
z
z
+≤ +
(3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:
111
.82 9Sxyz
x
yz
⎛⎞
≥+++ + +
⎜⎟
⎝⎠
Hay
() ()
111
.82 81 9 80Sxyz xyz
xyz
⎛⎞
≥+++++−++
⎜⎟
⎝⎠
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page5
()
111
2.9.3. 80 162 80 82xyz
xyz
⎛⎞
≥++++−≥−=
⎜⎟
⎝⎠
Vậy
222
222
111
82xyz
xyz
++ ++ +≥
Bài 5 : Cho ba số thực dương ,,abcthoả ab bc ca abc
+
+= .Chứng minh rằng:
22 22 22
222
3
ba cb ac
ab bc ca
+++
++≥
Hướng dẫn giải
Ta có:
22 22
22 2 2
2211
2
ba ba
ab
ab a b
++
==+
(do ,abdương)
Đặt
111
;;xyz
abc
===
thì
giả thiết
,, 0 ;; 0
1
abc x yz
ab bc ca abc x y z
>>
⎧⎧
⇔
⎨⎨
++= ++=
⎩⎩
và (đpcm)
22 22 22
2223xy yz zx⇔+++++≥
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
()
(
)
()
2
22 222
323
x
yxyyxyy+=++≥++
()
22
1
22
3
x
yxy⇒+≥ +
Tương tự
()
22
1
22
3
y
zyz+≥ +
()
22
1
22
3
zx zx+≥ +
Vậy
()
22 22 22
1
2223333
3
xy yz zx xyz+++++≥ ++=
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
xyz===
Với
1
3
xyz=== thì
3abc===
Bài 6 : Chứng minh:
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + với mọi số thực dương
;; 1abc≥
Hướng dẫn giải
Đặt
222
1;1;1axbycz−= −= −=
Với ; ; 0.xyz> Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣
⎦
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page6
()() ()
(
)
22 22
11 11
x
yx y xyzx y z+≤++⇒++≤+++ (1)
()() ()()
22 22 2
11 111.1xy zxy z+++≤++++ (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣
⎦
Vậy
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + (đpcm)
Bài 7 : Cho ; ; 0abc> và thoả
1abc =
.Chứng minh:
()()()
333
1113
2
abc bca cab
++≥
+++
Hướng dẫn giải
Đặt
111
;;xyz
abc
===
1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>>
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A=
222
3
2
xyz
yz zx xy
+
+≥
+++
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số :
()
;; ; ; ;
xyz
yz zx xy
y
zzxxy
⎛⎞
+++
⎜⎟
⎜⎟
+++
⎝⎠
Ta có:
()( )
2
x
yz yzzxxyA++ ≤ +++++
3
33
.
22 2
xyz
Axyz
++
⇒≥ ≥ =(do 1xyz = )
3
2
A⇒≥
Đẳng thức xảy ra khi 1
x
yz===
Với 1
x
yz===thì 1.abc===
Bài 8 : Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
(
)
(
)
;;;ab ca
Ta có:
()
()() ()()
2
ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++
()()
aacaba abca⇒+ + ≤+ + +
()()
aaa
aacab abc
aabac
⇒≤=
++ ++
++ +
(1)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page7
Tương tự:
()()
bb
abc
bbcba
≤
++
++ +
(2)
()()
cc
abc
ccacb
≤
++
++ +
(3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +
Đẳng thức xảy ra khi
abc==.
Bài 9 : Cho ; 0ab> và thoả
22
9ab+=.Chứng minh :
32 3
32
ab
ab
−
≤
++
Hướng dẫn giải
Ta có:
22
9ab+=
()
()()
2
29
233
ab a b
ab a b a b
⇔=+−
⇔=++ +−
2
3
3
3
322
ab
ab
ab
ab a b
ab
⇔=+−
++
+
⇔=−
++
Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì
22
2. 3 2ab a b+≤ + =
Nên
32 3
32
ab
ab
−
≤
++
Đẳng thức xảy ra khi
22
;0
3
9
2
ab
ab ab
ab
>
⎧
⎪
⎪
+=⇔==
⎨
⎪
⎪
=
⎩
Bài 10: Cho ; ; ;abcddương tuỳ ý.Chứng minh :
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
() ()
2
2
..
pq pq
p
qpaqb paqb
ab ab
⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
Tương tự ta chứng minh được
() ()() ()
22
;
pq pq
p
qpbqcpqpcqa
bc ca
⎛⎞ ⎛⎞
+≤+ + +≤+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page8
() ()
2
111 111
pq pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
⎛⎞
+++≤+++
⎜⎟
⎢⎥
+++
⎝⎠
⎣⎦
Hay
()
111111
pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
+++≤++
⎢⎥
+++
⎣⎦
Vậy
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++
Bài 11 : Cho 4 số dương ;;;abcd.Chứng minh:
33332222
3
a b c d abcd
bcd cd a bd a abc
+++
+++≥
++ ++ + + ++
Hướng dẫn giải
Đặt
3333
abcd
P
bcd cda bd a abc
=+++
++ ++ ++ ++
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
()()()()
()
3333
;;;; ;;;
abcd
ab c d bc d a cd b a d a b c
bcd cd a bd a abc
⎛⎞
++ + + ++ ++
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++ ++
⎝⎠
Ta có:
()
()()()()
2
222 2
a b c d Pabcd bcda cd ab dabc+++ ≤ +++ +++ +++ ++⎡⎤
⎣⎦
()
()
(
)
2
2
222 2 222 2
abcd Pabcd abcd
⎡⎤
⇔ +++ ≤ +++ − +++
⎣⎦
(1)
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
()
(
)
; ; ; ; 1; 1;1;1abcd ta được:
()
()
2
222 2
4abcd abcd+++ ≤ + + + (2)
Từ (1) và (2) ta được
()
(
)
2
222 2 222 2
222 2
3
3
abcd Pabcd
abcd P
+++ ≤ +++
⇔+++≤
Vậy
33332222
3
a b c d abcd
bcd cd a bda abc
+++
+++≥
++ ++ ++ ++
Bài 12 :
Cho các số dương ;;abc thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : 1
111
abc
ba cb ac
+
+≥
+− +− +−
Hướng dẫn giải
Đặt
111 222
abc abc
A
ba cb ac bc ca ab
=++ =++
+− +− +− + + +
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
() () () ()
()()()
2
2
222
222
222
222
abc
abc a bc b ca c ab
bc ca ab
abc
abc bca cab
bc ca ab
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
++ +
⎣⎦
⎡⎤
≤++ +++++
⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+++
⎣⎦
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page9
()
()
2
3
abc
A
ab bc ca
++
⇔≥
++
Ta lại có:
()( )
2
3abc abbcca++ ≥ + +
. Suy ra
(
)
()
3
1
3
ab bc ca
A
ab bc ca
++
≥=
++
Vậy
1
111
abc
ba cb ac
++≥
+− +− +−
Dấu đẳng thức xảy ra khi
222
1
3
1
bc ca ab
abc abc
abc
+= += +
⎧
⎪
== ⇔===
⎨
⎪
++=
⎩
Bài 13 : Giả sử các số thực ;;;
x
yztthoả mãn điều kiện:
(
)
(
)
22 22
1ax y bz t
+
++= với ;ablà hai số dương cho
trước. Chứng minh:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤
Hướng dẫn giải
Do ; 0ab> nên từ giả thiết ta có:
()()
2222
22 22
22 22
1
1
1
xy zt
ax y bz t
baab
xzyt
babaab
++
++ +=⇔ + =
⇔+++=
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
() ()
2
22
2
..
x
zxz
xz b a ba
ba
ba
⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(1)
Tương tự :
()()
22
2
y
t
yt ba
ba
⎛⎞
+≤+ +
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được:
()()()
22 22
22
x
zyt ab
xz yt ba
baba ab
⎛⎞
+
+++≤+ +++ =
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Mặt khác
()()()()
22
2
x
zyt xzyt+++≥ + + (4)
Do đó từ (3) và (4) suy ra:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤
Dấu đẳng thức xảy ra
xz
ba
xy
yt
ax
ba
zt
b
xz yt
⎧
=
⎪
=
⎪
⎧
⎪⎪
⇔= ⇔
⎨⎨
==
⎪⎪
⎩
+=+
⎪
⎪
⎩
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page10
Bài 14 : Cho các số thực dương ;;;
x
yztthoả mãn 1.xyzt
=
Chứng minh:
()()()()
3333
11114
3
x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx
+++ ≥
++ ++ ++ + +
Hướng dẫn giải
Với
;;;
x
yzt
dặt
1111
; ; ; ( ; ; ; 0)abcd abcd
xyzt
==== >và
1abcd
=
1111
;;;xyzt
abcd
⇒= = = =
Bất đẳng thức cần chứng minh tương với:
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
3333
4
3
abcd
bcd cda dab abc
bcd adc abd abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
()()()()
333 3
4
3
abcd
abcd bcd a cdab dabc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
(vì
1abcd =
)
222 2
4
3
abcd
bcd cd a d ab abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
Đặt
2222
abcd
S
bcd cd a dab abc
=+++
++ + + ++ ++
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
()()()()( )
2
.S bcd cda dab abc abcd++ + + + + ++ + ++ ≥ +++
⎡⎤
⎣⎦
()
()
()
2
1
33
abcd
Sabcd
abcd
+++
⇒≥ = +++
+++
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương:
2 ; 2ab ab cd cd+≥ +≥
Suy ra
()
2abcd ab cd+++ ≥ +
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương
;ab cd ta có:
4
222ab cd abcd abcd+≥ = =
(vì
1abcd
=
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
4
3
S ≥
Vậy
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
Dấu đẳng thức xảy ra khi
11abcd x yzt====⇔==== .
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page11
4444
1234
3333
1234
1
4
xxxx
xxxx
+++
≥
+++
Bài 15 : Cho
1234
;;;
x
xxxdương thoả điều kiện
1234
1xx xx
+
++=.Chứng minh :
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
()
(
)
2
2222
1234 1 2 3 4
14
x
xxx xxxx= +++ ≤ +++
2222
1234
1
4
xxxx⇒+++≥
(1)
•
()
(
)
2
2222 3 3 3 3
1234 11 22 33 44
....
x
xxx xxxxxxxx+++ = + + +
()
()
3333
12341 234
x
xxxxxxx≤+++ +++
3333
1234
x
xxx=+++
(vì
1234
1xxxx+++=)
3333
2222
1234
1234
2222
1234
xxxx
x
xxx
xxxx
+++
⇔ ≥+++
+++
(2)
•
()
2
3333
1234
x
xxx+++
()
2222
11 2 2 33 4 4
....
x
xxxxxxx=+++
()()
22224444
12341234
x
xxxxxxx≤ +++ +++
4444 3333
1234 1234
3333 2222
1234 1234
x
xxx xxxx
x
xxx xxxx
+++ +++
⇒≥
+++ +++
(3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra:
Bài 16 : Cho bốn số dương ; ; ;abcd.Chứng minh:
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
4
abc dabcd
aba b bcb c cdc d dad a
+++
++ + ≥
++ ++ ++ ++
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
()
()()
()
(
)
(
)
22
22 22 22 22
224ab ab abab ab ab+≤ +⇔+ +≤ +≤ + (1)
()
()
()
44
22
1
4
ab
ab
aba b
+
⇔≥+
++
Mặt khác:
()
()
44
22
ab
ab
aba b
−
=−
++
Đặt
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
abc d
N
abab bcbc cdcd dad a
=+++
++ ++ ++ ++
4444
1234
3333
1234
1
4
xxxx
xxxx
+++
≥
+++
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page12
Ta có:
()()
()
()
()()
()
()
(
)
(
)
()
()
(
)( )
()
()
44 44 44 44 4 4 4 4 44 44
22 22 2 2 22
2
ab ab bc bc cd cd da d a
N
aba b bcb c cdc d d ad a
−++ −++ −++ −++
=+++
++ ++ ++ ++
(1)
() () () ()
1111
2
4444
Nababbcbccdcddada⇔≥ ++−+ ++−+ ++−+ ++−
()()
11
2
44
N abbccdda N abcd⇔ ≥ +++++++ ⇔ ≥ +++ ( đpcm )
Bài 17 : Cho ; ;abclà các số thực dương.Chứng minh:
222
1
888
abc
abcbaccab
+
+≥
+++
(Trích đề thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)
Hướng dẫn giải
Đặt
222
888
abc
A
abcbaccab
=++
+++
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki hai lần ta được:
()
2
2
222
444
222
444
222
222
333
.. 8 .. 8 .. 8
888
. 8 8 8
888
. . 8 . 8 . 8
abc
abc aa bc bb ac cc ab
abc bac cab
abc
a a bc b b ac c c ab
abcbaccab
A a a abc b b abc c c abc
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
+++
⎣⎦
⎡⎤
⎡
⎤
≤++ +++++
⎢⎥
⎣
⎦
+++
⎣⎦
⎡⎤
=+++++
⎣⎦
()
()
333
.24A abca b c abc≤+++++ (1)
Mặt khác
() ()()()
3
333
3abc a b c abbcac++ = + + + + + +
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:
2 ; 2 ; 2a b ab b c bc a c ac+≥ +≥ +≥
Suy ra:
()()()
8a b b c a c abc+++≥
() ()()()
3
333 333
324abc a b c abbcac a b c abc⇒++ =+++ + + +≥+++ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
()()()()
232
..abc A abcabc Aabc++ ≤ ++ ++ = ++
Do đó
1
A
≥
, nghĩa là
222
1
888
abc
abcbaccab
++≥
+++
Dấu đẳng thức xảy ra khi
abc==.
Bài 18 : Cho ; ;xyz
+
∈ thoả 1xy yz zt tx+ ++=.Chứng minh:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page13
3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
()
()
(
)
2
22222222
x
yyzzttx x y z t y z t x+++ ≤ +++ +++
2222
1
x
yzt⇔≤ + + + (1)
Đặt: ; ; ;
X
y z tY x z tZ x y tT x y z=++ =++ =++ =++
Không mất tính tổng quát giả sử:
x
yzt≥≥≥
2222
x
yzt⇒≥≥≥và
3333
x
yzt≥≥≥
và
y
zt xzt xyt xyz X Y Z T++≤++≤++≤++⇔ ≤ ≤ ≤
1111
X
YZT
⇒≥≥≥
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau:
3333
1111
x
yzt
X
YZT
⎧
≥≥≥
⎪
⎨
≥≥≥
⎪
⎩
()
3333
3333
11111
4
xyzt
x
yzt
XY ZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy
2222
xyzt
x
yzt
≥≥≥
⎧
⎨
≥≥≥
⎩
()
()
()
3333 2222
1
4
x
yzt xyztxyzt+++ ≥ +++ +++
Mặt khác:
()()
11
33
x
yzt xyzxytxztyzt XYZT+++= +++++++++++ = +++
()()
()
3333 2222
11
.
43
x
yzt xyzt XYZT⇒+++≥ +++ +++ (3)
Từ (2) và (3) rút ra:
()
()
3333
2222
1 1111
48
xyzt
xyztXYZT
X
YZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠
Theo (1) ta lại có:
2222
1
x
yzt≤+++
Áp dụng BĐT Cauchy cho
;;; 0XYZT> ta có:
()
4
4
4...
1111 1
4
...
1111
.16
XYZT XYZT
XYZT XYZT
XYZT
XYZT
+++≥
+++≥
⎛⎞
⇒+++ +++≥
⎜⎟
⎝⎠
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page14
Vậy
3333
11
.1.16
48 3
xyzt
XY ZT
+++≥ =
Thay
;;;
X
YZTta được kết quả:
3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
xyzt====
Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng:
(
)
12
... 2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Hướng dẫn giải
Chọn hai dãy
(
)
()
12
12 12
; ;...; ; ... 1
n
nnnn n
aCaCaCbb b== = ====
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
(
)
()
()
2
12 12
... ... 1 1 ... 1
nn
nn n nn n
CC C CC C+++ ≤+++ +++ (1)
Theo nhị thức Newton ta có:
()
1
n
n
kknk
n
k
ab Cab
−
=
+=
∑
Cho
1ab==.Ta có:
01 1
2 ... 2 1 ...
nnnn
nn n n n
CC C C C=+++⇒−=++
Vậy từ (1) ta có:
(
)
12
... 2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Dấu đẳng thức xảy ra khi
12
... 1
n
nn n
CC Cn===⇔=
.
Bài 20 : Cho ; ; ; 0abcd> .Chứng minh :
2
23 2 3 23 23 3
abcd
bcdcdad ababc
+
++≥
++ + + ++ ++
(Trích đề dự bị Quốc Tế Toán Mỹ năm 1993)
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
2
11 1
nn n
i
ii i
ii i
i
x
x
yx
y
== =
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
≥
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑
với
()()( )
(
)
1234 1234
4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3n x x x x abcd y y y y b c dc d ad a ba b c== =++++++++
⇒VT
()
()
2
4
abcd
ab ac ad bc bd cd
+++
≥
++ +++
(1)
Mặt khác
()()
2
3
8
ab ac ad bc bd cd a b c d+++++ ≤ +++ (2)
Từ (1) và (2) ⇒VT
2
3
≥ ( đpcm )
Bài 21 : Cho 0; 0; 0abc>>>.Chứng minh :
444333
2
a b c abc
bc ca ab
+
+
++≥
++ +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page15
Hướng dẫn giải
Đặt
444
222
123
;;
abc
xxx
bc ca ab
===
++ +
và
() () ()
2
22 22 2
123
;;abc ybca ycab y
+
=+=+=
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có cho các số
123
;;
x
xxvà
123
;;
y
yyta được:
()()()
()
444
2
2
2
22 333
abc
abc bca cab a b c
bc ca ab
⎛⎞
⎡⎤
++ +++++≥++
⎜⎟
⎣⎦
++ +
⎝⎠
Nên
()
()()()
2
333
444
2
22
abc
abc
bc ca ab
abc bca cab
++
++≥
++ +
++ ++ +
Để chứng minh được bài toán ta cần chứng minh:
()
()()()
2
333 2 2
2 abc abcbcacab++ ≥ ++ ++ + (**)
(**)
332 2 332 2332 2
0ababbabcbcbccacaca⇔+−−++−−++−−≥
()()()()()()
222
0ab ab bc bc ca ca⇔− ++− ++− +≥
(***)
Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài toán đúng.
Vậy
444333
2
abcabc
bc ca ab
++
++≥
++ +
Bài 22 : Cho 0; 1;2;...;
i
x
in>= có
12
... 1
n
xx x+++=.Cho
12
; ;...;
n
ii i
x
xxlà hoán vị của
12
; ;...;
n
x
xx.Chứng minh:
(
)
2
2
2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
Hướng dẫn giải
Theo Bunhiacôpxki:
2
22
11 11
11 1
.
kk k
nn nn
kkk
kk kk
ii i
nx x x
xx x
== ==
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+≥ + = +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
∑∑ ∑∑
Mà
1
1
n
k
k
x
=
=
∑
2
22
11 1
1
11
k
kk
k
nn n
i
n
kk k
ii
i
k
n
x
nn
xx
x
== =
=
⎛⎞
⎛⎞
≥⇒ ≥ =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑
∑
Vậy
(
)
2
2
2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
BÀI TẬP :
Bài 1:
Cho
;;; 0abcd>
và thỏa
()
3
22 22
cd ab+= + .Chứng minh:
33
1
ab
cd
+
≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page16
Bài 2: Cho ;;; 0abcd> .Chứng minh:
11416 64
abc d abcd
+++ ≥
+
++
Bài 3: Cho ;;abclà 3 số dương và
222
1abc++≥.Chứng minh:
333
1
2
abc
bc ca ab
+
+≥
++ +
Bài 4: Cho
222
1abc++=
.Chứng minh: 13abcabacbc+++ + + ≤+
Bài 5: Cho ;;abclà các số dương.Chứng minh:
444222
222222
3
abcabc
abab bbcc caca
++
++≥
+
+++++
Bài 6: Cho 3 số ;;
x
yzthoả
()()()
4
111
3
xx yy zz−+ −+ −≤.Chứng minh: 4xyz
+
+≤
Bài 6: Cho ; ;abclà 3 số không âm.Chứng minh:
222
333
ab bc ca
abc
+++
++≥++
Bài 7: Cho 3 số dương ; ;abccó
1abc =
.Chứng minh:
22 22 22
3
2
bc ca ab
ab ac bc ba ca cb
+
+≥
+
++
Bài 8: Cho 3 số dương ;;
x
yzcó 1
x
yz++=.Chứng minh:
1
11933
2
y
xz
yz zx xy
+
+++
++≥
+++
Bài 9: Chứng minh:
()
2
abc
abc
xyz xyz
++
++≥
++
Bài 10: Cho 0xyz≥≥>.Chứng minh:
()
222
2
222
xy yz zx
x
yz
zxy
++≥++
Bài 11: Cho 1; 1ab≥≥.Chứng minh:
22 2
log log 2 log
2
ab
ab
+
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠
Bài 12: Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()
()
2
333
111
abc abc
abc
⎛⎞
++ ++ ≥++
⎜⎟
⎝⎠
Bài 13: Cho ; ;abc∈ .Chứng minh:
() () ()
222
222
32
111
2
abbcca+− + +− + +− ≥
Bài 14: Cho ;; 0xyz> và
3
2
xyz++≤.Chứng minh:
222
222
1113
17
2
xyz
xyz
++ ++ +≥
Bài 15: Cho trước 2 số dương ;abvà 2 số dương ;cdthay đổi sao cho abcd
+
<+.Chứng minh:
()
2
22
ac
ca
cd abcd ab
−
+≥
++−−+
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 16: Cho
12
; ;...;
n
aa alà các số thực thoả mãn
22 2
12
... 3
n
aa a
+
++ =.Chứng minh:
12
... 2
23 1
n
a
aa
n
+++ <
+
Bài 17: Cho ; ; ; ; 0abc pq> .Chứng minh:
3abc
p
bqc pcqa paqb pq
++≥
+
+++
Bài 18: Chứng minh rằng với mọi
()
1;2;...;
i
ai n∈= ta có:
() () ()
22 2
22 2
1223 1
1 1 ... 1
2
n
n
aaaa aa+− ++− +++−≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page17
Bài 1: Cho
A
BCΔ
thoả mãn hệ thức:
333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
++=
++ +
(1).CM
A
BCΔ
đều
Hướng dẫn giải
Để đơn giản ta đặt:
0
0
0
xbrcR
ycraR
zarbR
=+ >
=+ >
=+ >
(2)
vậy (1)
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R
++
⇔++=
Từ (2) ta có:
()()ax by cz ab bc ca r R++= ++ +(3)
333
444 2 2 2 2 2 2
()( ) ()()()
abc y x z y x z
ax by cz a b c ab a b bc b c ca c a
x
yz x y y z z x
++ ++ =+++ + + + + +
Theo BĐTCauchy,ta có:
333
444 2222
( )( ) 2 . .2 .2 ( )
abc
ax by cz a b c ab ab bc bc ca ca a b c
xyz
++ ++ ≥+++ + + ≥ ++
Suy ra :
()
333 222
()
()
()
abc abc
x
y z ab bc ca r R
++
++ ≥
++ +
(theo 3) (4)
mặt khác ta luôn có (Cauchy):
222
a b c ab bc ca++≥ ++
nên (4):
333 2222 222
222
()
()()
a b c abc abc
x y z a b c rR rR
++ ++
++≥ =
++ + +
2
()
3( )
abc
rR
++
≥
+
(theo BĐT BCS)
Mà
9
23( )3( )
22
R
R
Rr rR R≥⇒ +≤ +=
từ đó:
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R
++
++≥
333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
⇒++≥
++ +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page18
dấu “=” xảy ra khi
222222
,,
abc
Rr
y
yz yx z
abbcca
x
zy zy x
⎧
⎪
==
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
===
⎪
⎩
⇔
A
BC
Δ
đều
Bài 2 : CM: 1 cos cos cos 3 sin sin sinABC ABC+≥ với A, B,C nhọn
Hướng dẫn giải
Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và 1
22 22 22
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++=
Áp dụng BCS ta có:
22 22 22
1
22 22 223
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++≥
(1)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:
222
3
3
22 22 22 2 2 2
AB BC C A A B C
tg tg tg tg tg tg tg tg tg++≥
(2)
1
3
2223
ABC
tg tg tg⇔≤
từ (1)và(2):
22 22 22
4
143
22 22 223 222
AB BC C A ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg+++≥≥
222 222
111 111 83
222 222 222
ABC ABC ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔+ + + +− − − ≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
222
222 222
111 222
222 222
1.. 3..
111 111
222 222
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
−−−
⇔+ ≥
+++ +++
1 cos cos cos 3 sin sin sinABC ABC⇔+ ≥
Dấu “=” xảy ra khi
A
BCΔ
đều
Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ .chứng minh rằng
acb
a
T
−+
=
22
+
1
2222
≥
−+
+
−+ cba
c
bac
b
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số:
()()()
cbacbacbacba
cba
c
bac
b
acb
a
−+−+−+
−+−+−+
22;22;22;
22
;
22
;
22
Ta có:
()()()
[]
(
)
2
222222. cbacbacbacbacbaT ++≥−++−++−+
Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh:
(a + b+ c)
2
≥ 4ab +4bc +4ca –a
2
–b
2
- c
2
Từ đó suy ra đpcm.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page19
Bài 4 : Cho ABCΔ và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của
Δ
nhỏ
và
có diện tích S
1
; S
2
; S
3
. Gọi S là diện tích
ABC
Δ
. Chứng minh:
3
321
S
SSS ≥++
Hướng dẫn giải
Giả sử S
1
= S
AMN
Ta có: AMNΔ đồng dạng ABCΔ với tỉ số đồng dạng là:
ha
rha 2
−
với r là bán kính đường tròn nội tiếp và h
a
là
đường cao kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
2
2
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
p
a
ha
rha
S
S
(Vì S =
p
a
ha
r
praha =⇒=
2
2
1
với p là nửa chu vi)
Vậy:
p
a
S
S
−=1
1
Tương tự:
p
b
S
S
−=1
2
;
p
c
S
S
−=1
3
Do đó:
13
321
=
++
−=
++
p
cba
S
SSS
Áp dụng BĐT Bun ta có:
S =
()
()
()
321
222
2
321
111.1.1.1 SSSSSS ++++≤++
⇒
123
3
S
SSS++≥ (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi
ABC
Δ
đều
Bài 5 : Cho ABCΔ và 1 điểm Q nào đó ở trong
Δ
. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt
BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R. Kí hiệu S
1
= dt(QMP); S
2
= dt(QEN); S
3
= dt(QFR) và S =
dt(ABC).Chứng minh:
a)
()
2
123
SSSS=++ b)
123
1
3
SSS S++≥
Hướng dẫn giải
a) Ta có: QMPΔ đồng dạng
B
ACΔ (tỉ số
M
P
AC
).
Suy ra
2
1
1
S
S
M
PMP
SAC AC
S
⎛⎞
=⇒=
⎜⎟
⎝⎠
.
Tương tự
3
2
;
S
S
PC AM
AC AC
SS
==
Do đó:
123
1
SSS
MP PC AM AC
AC AC
S
++
++
===
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page20
Suy ra:
()
2
123 123
SSSSSSSS=++⇒= ++
b) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
()
()
()
2
222
123 123
123
1. 1. 1. 1 1 1
1
Suy ra
3
SSSS SSS
SSS S
=++ ≤++++
++≥
Dấu “=” xảy ra khi
123
SSS== ⇔ Q là trọng tâm ABC
Δ
Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh:
abc
abc
bca cab abc
++≥++
+− +− +−
Hướng dẫn giải
Đặt
0
0
0
bca x
cab y
abc z
+−= >
⎧
⎪
+−= >
⎨
⎪
+−=>
⎩
Khi đó ta cần chứng minh:
() () ()
()
222
222
2 (1)
yz zx xy yz zx xy
xyz
yz y z zx z x xy x y xyz x y y z x z
+++ + + +
++≥ + +
⇔+++++≥ +++++
Dễ thấy
()
(1) 2VT xy yz zx≥++ (2)
Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
()
()
()
()
2
6
6
(2) 2 3 (3)
xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
VT xyz x y z
++ ++ + ≤ ++
⇒+++++≤ ++
≤++
Rõ ràng ta có
()
()()
()
22 22 22
2
3
3 (4)
xy xy xy xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
++≥ ++
⇒++ ≥ ++
⇒++≥ ++
Từ (1) (2) (3) (4)⇒đpcm. Dấu “=” xảy ra khi
abc
=
=
Bài 7 : Cho ∆ABC. Chứng minh : a
2
b(a – b) +b
2
c(b – a) + c
2
a(c – a) ≥ 0
( Trích đề thi vô địch toán quốc tế 1983 )
Hướng dẫn giải
Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
| 1/37

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) :
Cho 2 bộ số thực (a ;a ;...;a và (b ;b ;...;b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: 1 2 n ) 1 2 n )
(a b + a b +...+ a b ≤ a + a + + a b +b + +b n n )2 ( 2 2 2 ... n ) ( 2 2 2 ... 1 1 2 2 1 2 1 2 n )
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a a a 1 2 = = ... n =
với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. b b b 1 2 n II. Các hệ quả : Hệ quả 1: C
Nếu a x + ... + a x = C (không đổi) thì min ( 2 2 x + ... + x = 1 n ) 1 1 n n 2 2 a + ... + a 1 n x x đạt được khi 1 = ... n = a a 1 n Hệ quả 2: Nếu 2 2 2
x + ... + x = C (không đổi) thì max (a x + ... + a x = C a + ... + a 1 1 n n ) 2 2 1 n 1 n x x đạt được khi 1 = ... n = ≥ 0 a a 1 n
min (a x + ... + a x = − C a + + a n n ) 2 2 ... 1 1 1 n x x Dấu “=” xảy ra 1 ⇔ = ... n = ≤ 0 a a 1 n
III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng:
• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm
(a ;a ;...;a ;(b ;b ;...;b ;(c ;c ;...;c ta luôn có : 1 2 n ) 1 2 n ) 1 2 n )
(a b c + a b c +...+ a b c ≤ a + a + + a b + b + + b c + c + + c n n n )2 ( 3 3 3 ... n ) ( 3 3 3 ... n ) ( 3 3 3 ... 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 n ) Chứng minh: Đặt 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A = a + a + ... + a , B = b + b + ... + b
, C = c + c + ... + c 1 2 n 1 2 n 1 2 n
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 1
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
Nếu A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0.
Vậy ta chỉ xét trường hợp A > 0; B > 0;C > 0 a b c Đặt i x = ; i y = ; i z = với 1 i = ; 2;3 i i i A B C 3 3 3
⎧x + x + x = 1 1 2 3 ⎪ Khi đó ta có: 3 3 3
⎨y + y + y = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x y z + x y z + x y z ≤ 1 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ⎪ 3 3 3
z + z + z = 1 ⎩ 1 2 3 3 3 3 ⎧ x + x + x 1 1 1 x y z ≤ ⎪ 1 1 1 3 ⎪ 3 3 3 ⎪ x + x + x Áp
dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: 3 3 3
x ; y ; z (i = 1;2;3 ta có: 2 2 2 ⎨x y z ≤ i i i ) 2 2 2 3 ⎪ 3 3 3 ⎪ x + x + x 3 3 3 ⎪x y z ≤ 3 3 3 3 ⎩
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: x y z + x y z + x y z ≤ 1(đpcm) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ⎧a b c 1 1 1 = = ⎪ A B C
⎧x = y = z ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎪a b c Đẳng thức xảy ra 2 2 2
⇔ ⎨x = y = z ⇔ ⎨ = = 2 2 2 A B C ⎪x y z ⎪ = = ⎩ 3 3 3 ⎪a b c 3 3 3 = = ⎪⎩ A B C
Hay a : b : c = A : B : C (i = 1;2;3 tức là: a : b : c = a : b : c = a : b : c i i i ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3
• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm:
Cho m dãy số thực không âm:
(a ;a ;...;a ,(b ;b ;...;b , … , (K ;K ;...;K 1 2 n ) 1 2 n ) 1 2 n ) Ta có:
(a b ...K + a b ...K +...+ a b ... m m m K ≤ a + a + ... m m m + a b + b + ... m + b ... m m K + K + ... m + K 1 1 1 2 2 2 n n n ) ( 1 2 n ) ( 1 2 n ) ( 1 2 n )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a : b : ... : K = a : b : ... : K = a : b : ... : K ( chứng minh tương tự như trên) 1 1 1 2 2 2 n n n
I- MỘT SỐ VÍ DỤ :
Bài 1: Cho x, y, z là ba số dương thỏa 4x + 9y +16z = 49 . Chứng minh rằng: 1 25 64 T = + + ≥ 49 x y z
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 2
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hướng dẫn giải 1 5 8
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 x;3 y; 4 z và ; ; ta được: x y z 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
T = ( x + y + z) + + = ⎜
⎟ ⎢( x )2 + ( y )2 + ( z )2 1 25 84 1 5 8 49. 4 9 16 2 3 4 ⎢ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎥ ⎝ x y z ⎠ ⎣ ⎥ ⎜ ⎟ ⎦ ⎢⎝ x ⎜ ⎠ y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ z ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎛ 1 5 8 ⎞ 2 ≥ ⎜ 2 x. + 3 y. + 4 z. ⎟ = 49 ⎜ x y z ⎟ ⎝ ⎠ 1 25 64 ⇒ T = + + ≥ 49 x y z ⎧ 1 x = ⎪ 2 ⎧ 1 5 8 ⎪ ⎪ = = ⎪ 5
Đẳng thức xảy ra khi ⎨2x 3y 4z ⇔ ⎨y = 3
⎪⎩4x 9y 16z 49 ⎪ + + = ⎪z = 2 ⎪⎩
Bài 2 : Cho x > 0; y > 0 và 2 2
x + y ≤ x + y .Chứng minh:
x + 3y ≤ 2 + 5
Hướng dẫn giải 2 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 Giả thiết: 2 2
x + y ≤ x + y ⇔ x − + y − ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 1
1;3 ; x − ; y − ⎜ ⎟ ta có: ⎝ 2 2 ⎠ 2 2 2 ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎤ ⎞ 1. 1− + 3. y − ≤ 10 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ x − + y − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ≤ 5 ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎥⎦
⇒ (x + y − )2 3 2 ≤ 5
⇒ x + 3y − 2 ≤ 5
⇒ x + 3y ≤ 2 + 5 ⎧ 1 5 ⎪x = + ⎪ Đẳng thức xảy ra khi 2 10 ⎨ ⎪ 1 3 5 y = + ⎪⎩ 2 10
Bài 3 : Cho a,b,c ≥ 0 ; a + b + c = 1.Chứng minh:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 3
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn 1 1 1 1 + + + ≥ 30 2 2 2 a + b + c ab bc ac
Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Gọi A = + + + 2 2 2 a + b + c ab bc ac
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎜ ; ; ; ⎟ 2 2 2
⎝ a + b + c ab bc ca ⎠ ( 2 2 2
a + b + c ;3 ab;3 bc;3 ca ) Ta có: ( + + + )2 ≤ ( 2 2 2 1 3 3 3
a + b + c + 9ab + 9bc + 9ca) A ⇒
≤ ⎡(a + b + c)2 100
+ 7(ab + bc + ca)⎤ A ⎣ ⎦ (*) 1 1
Mà ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = (do 1
a + b + c = ) 3 3
Do đó: (*) ⇒ A ≥ 30. 1
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3 1 1 1 Bài 4 : Cho ;
x y; z > 0 và thoả x + y + z ≤ 1.Chứng minh : 2 2 2 x + + y + + z + ≥ 82 2 2 2 x y z
Hướng dẫn giải 1 1 1 Gọi 2 2 2 S = x + + y + + z + 2 2 2 x y z ⎛ ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 1;9 ; ; x ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ 9 1 1 Ta có: 2 2 x + ≤ 1+ 81. x + = 82. x + (1) 2 2 x x x 9 1 2 y + ≤ 82. y + Tương tự: 2 y y ` (2) 9 1 2 z + ≤ 82. z + (3) 2 z z ⎛ 1 1 1 ⎞
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: S. 82 ≥ x + y + z + 9 + + ⎜ ⎟ ⎝ x y z ⎠ ⎛ ⎞ S ≥
(x + y + z) 1 1 1 . 82 81 + 9 + + − 80 ⎜ ⎟
(x + y + z) Hay ⎝ x y z ⎠
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 4
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn ⎛ ⎞ ≥
(x + y + z) 1 1 1 2.9.3. + + − 80 ≥ 162 − 80 = 82 ⎜ ⎟ ⎝ x y z ⎠ 1 1 1 Vậy 2 2 2 x + + y + + z + ≥ 82 2 2 2 x y z
Bài 5 : Cho ba số thực dương a, ,
b c thoả ab + bc + ca = abc .Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ 3 ab bc ca
Hướng dẫn giải 2 2 2 2 b + 2a b + 2a 1 1 Ta có: = = + 2
(do a,b dương) 2 2 2 2 ab a b a b 1 1 1
Đặt x = ; y = ; z = thì a b c ⎧a, , b c > 0 ⎧ ; x y; z > 0 giả thiết ⎨ ⇔ ⎨
⎩ab + bc + ca = abc
⎩x + y + z = 1 và (đpcm) 2 2 2 2 2 2
⇔ x + 2y + y + 2z + z + 2x ≥ 3
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: (x + y )= (x +y +y )≥(x+y+y)2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 2 ⇒ x + 2y ≥ (x + 2y) 3 1 Tương tự 2 2 y + 2z ≥ ( y + 2z) 3 1 2 2 z + 2x ≥ (z + 2x) 3 1 Vậy 2 2 2 2 2 2
x + 2y + y + 2z + z + 2x ≥
(3x + 3y + 3z) = 3 3 1
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 3 1
Với x = y = z = thì a = b = c = 3 3
Bài 6 : Chứng minh: a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + )
1 với mọi số thực dương ; a ; b c ≥ 1
Hướng dẫn giải Đặt 2 2 2
a −1 = x ;b −1 = y ;c −1 = z Với ;
x y; z > 0.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
x + y + z ≤ ( 2
z + ) ⎡⎣( 2x + )( 2 1 1 y + ) 1 +1⎤⎦
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 5
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn x + y ≤ ( 2 x + )( 2
y + ) ⇒ x + y + z ≤ ( 2 x + )( 2 1 1 1 y + ) 1 + z (1)
( 2x + )( 2y + ) + z ≤ ( 2x + )( 2y + ) 2 1 1 1 1 + 1. z +1 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có x + y + z ≤ ( 2
z + ) ⎡⎣( 2x + )( 2 1 1 y + ) 1 +1⎤⎦
Vậy a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + ) 1 (đpcm) Bài 7 : Cho ; a ;
b c > 0 và thoả abc = 1.Chứng minh: 1 1 1 3 + + ≥ 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2
Hướng dẫn giải 1 1 1
Đặt x = ; y = ; z = ⇒ xyz = 1; x > 0; y > 0; z > 0 a b c 2 2 2 x y z 3
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= + + ≥ y + z z + x x + y 2 ⎛ x y z ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : ( y + z; z + x; x + y );⎜ ; ; ⎟ ⎜ y z z x x y ⎟ + + + ⎝ ⎠ Ta có: ( + + )2 x y z
≤ ( y + z + z + x + x + y) A x + y + z 3 3 3 3 ⇒ A ≥
≥ . xyz = (do xyz = 1) ⇒ A ≥ 2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 Với 1
x = y = z = thì a = b = c = 1. Bài 8 : Cho ; a ;
b c > 0 .Chứng minh: a b c + + ≤ 1
a + (a + b)(a + c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a)(c + b)
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
( a; b);( c; a) Ta có: ( + )2 ac ab
≤ (a + b)(c + a) ⇒ ac + ab ≤ (a + b)(c + a)
⇒ a + ac + ab ≤ a + (a + b)(c + a) a a a ⇒ ≤ = (1)
a + (a + b)(a + c)
a + ac + ab a + b + c
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 6
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn b b Tương tự: ≤ (2)
b + (b + c)(b + a) a + b + c c c ≤ (3)
c + (c + a)(c + b) a + b + c
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: a b c + + ≤ 1
a + (a + b)(a + c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a)(c + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . ab 3 2 − 3 Bài 9 : Cho ; a b > 0 và thoả 2 2
a + b = 9 .Chứng minh : ≤ a + b + 3 2
Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 a + b = 9
⇔ ab = (a + b)2 2 − 9
⇔ 2ab = (a + b + 3)(a + b − 3) 2ab ⇔ = a + b − 3 a + b + 3 ab a + b 3 ⇔ = − a + b + 3 2 2
Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì 2 2
a + b ≤ 2. a + b = 3 2 ab 3 2 − 3 Nên ≤ a + b + 3 2 ⎧ ; a b > 0 ⎪⎪ 3 Đẳng thức xảy ra khi 2 2
⎨a + b = 9 ⇔ a = b = 2 ⎪ ⎪⎩a = b 1 1 1 p + q p + q p + q Bài 10: Cho ; a ; b ;
c d dương tuỳ ý.Chứng minh : + + ≥ + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có 2 ( + ) ⎛ ⎞ 2 p q ⎛ p q ⎞ p q = ⎜ . pa + . qb ⎟ ≤ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟( pa + qb) a b ⎝ ⎠ ⎝ a b ⎠
Tương tự ta chứng minh được ( )2 ⎛ p q ⎞ ⎜ ⎟( ) ( ⎛ ⎞ + ≤ + + p + q)2 p q p q pb qc ; ≤ + ⎜ ⎟( pc + qa) ⎝ b c ⎠ ⎝ c a ⎠
Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 7
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn ( + )2 ⎡ 1 1 1 ⎤ + + ≤ ⎢ ⎥ ( + )⎛ 1 1 1 ⎞ p q p q + + ⎜ ⎟ ⎣ pa + qb pb + qc pc + qa ⎦ ⎝ a b c ⎠ ⎡ ⎤ Hay ( + ) 1 1 1 1 1 1 p q + + ≤ + + ⎢ ⎣ pa qb pb qc pc qa ⎥ + + + ⎦ a b c 1 1 1 p + q p + q p + q Vậy + + ≥ + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa
Bài 11 : Cho 4 số dương ; a ; b ; c d .Chứng minh: 3 3 3 3 2 2 2 2 a b c d
a + b + c + d + + + ≥ b + c + d
c + d + a b + d + a a + b + c 3
Hướng dẫn giải 3 3 3 3 a b c d Đặt P = + + + b + c + d
c + d + a b + d + a a + b + c
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: 3 3 3 3 ⎛ a b c d ⎞ ⎜ ; ; ; ⎟; ⎜ + + + + + +
+ + ⎟ ( a (b + c + d ); b(c + d + a); c(d + b + a); d (a + b + c) ) b c d c d a b d a a b c ⎝ ⎠ Ta có: ( + + + )2 2 2 2 2 a b c d
≤ P ⎡a (b + c + d ) + b(c + d + a) + c(d + a + b) + d (a + b + c)⎤ ⎣ ⎦ 2
⇔ ( + + + ) ≤ ⎡( + + + )2 2 2 2 2 − ( 2 2 2 2 a b c d P a b c d
a + b + c + d )⎤ ⎣ ⎦ (1)
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: (a; ; b ; c d );(1;1;1; ) 1 ta được:
(a + b + c + d )2 ≤ ( 2 2 2 2
4 a + b + c + d ) (2)
(a +b + c + d )2 2 2 2 2 ≤ 3P ( 2 2 2 2
a + b + c + d ) Từ (1) và (2) ta được 2 2 2 2
⇔ a + b + c + d ≤ 3P 3 3 3 3 2 2 2 2 a b c d
a + b + c + d Vậy + + + ≥ b + c + d
c + d + a b + d + a a + b + c 3 a b c
Bài 12 : Cho các số dương ; a ;
b c thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : + + ≥ 1
1+ b − a 1+ c − b 1 + a − c
Hướng dẫn giải a b c a b c Đặt A = + + = + +
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
2b + c 2c + a 2a + b
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 ( + + ) ⎡ ⎤ 2 a = ⎢ ( b c a b c
a 2b + c) +
b(2c + a) +
c (2a + b)⎥ 2b + c 2c + a 2a + b ⎣ ⎦ ⎡ a b c ⎤ ≤ + + ⎡a ⎢
⎥ ⎣ (2b + c) + b(2c + a) + c (2a + b)⎤
⎣ 2b + c 2c + a 2a + b ⎦ ⎦
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 8
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
(a +b + c)2 ⇔ A ≥
3(ab + bc + ca) Ta lại có: (
3(ab + bc + ca)
a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) . Suy ra A ≥ ( =
ab + bc + ca) 1 3 a b c Vậy + + ≥ 1
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
⎧2b + c = 2c + a = 2a + b ⎪ 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi ⎨a = b = c
⇔ a = b = c = 3
⎪a +b + c =1 ⎩
Bài 13 : Giả sử các số thực ;
x y; z;t thoả mãn điều kiện: a ( 2 2
x + y ) + b( 2 2
z + t ) = 1 với ;
a b là hai số dương cho +
trước. Chứng minh: ( + )( + ) a b x z y t ≤ ab
Hướng dẫn giải Do ;
a b > 0 nên từ giả thiết ta có: + +
a (x + y ) + b(z + t ) 2 2 2 2 x y z t 1 2 2 2 2 = 1 ⇔ + = b a ab 2 2 2 2 x z y t 1 ⇔ + + + = b a b a ab
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 2 2 ( + )2 ⎛ x z ⎞ ⎛ x z ⎞ x z = . b + . a ≤ ⎜ ⎟
(b + a)⎜ + ⎟ (1) ⎝ b a ⎠ ⎝ b a ⎠ 2 2 ⎛ y t ⎞ Tương tự :
( y + t)2 ≤ (b + a)⎜ + ⎟ (2) ⎝ b a ⎠
Cộng từng vế (1) và (2) ta được: 2 2 2 2 ⎛ x z y t ⎞ a + b
(x + z)2 + ( y + t)2 ≤ (b + a)⎜ + + + ⎟ = (3) ⎝ b a b a ⎠ ab
Mặt khác ( x + z)2 + ( y + t)2 ≥ 2( x + z)( y + t) (4) +
Do đó từ (3) và (4) suy ra: ( + )( + ) a b x z y t ≤ ab ⎧ x z = ⎪b a ⎪ ⎧x = y ⎪ y t ⎪
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ⎨ = ⇔ ⎨ ax b a z = t = ⎪ ⎪⎩ b
⎪x + z = y + t ⎪⎩
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 9
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
Bài 14 : Cho các số thực dương ;
x y; z;t thoả mãn xyzt = 1.Chứng minh: 1 1 1 1 4 + + + ≥ 3
x ( yz + zt + ty) 3
y ( xz + zt + tx) 3
z ( xt + ty + yx) 3
t ( xy + yz + zx) 3
Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Với ;
x y; z;t dặt a = ;b = ;c = ; d = ( ; a ; b ;
c d > 0) và abcd = 1 x y z t 1 1 1 1
⇒ x = ; y = ; z = ;t = a b c d
Bất đẳng thức cần chứng minh tương với: 1 1 1 1 4 + + + ≥ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 3 + + + + + + + + 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟
a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd
ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠ 3 3 3 3 a b c d 4 ⇔ + + + ≥ b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3 bcd adc abd abc 3 3 3 3 a b c d 4 ⇔ + + + ≥ (vì abcd = 1)
a (b + c + d ) b(c + d + a) c(d + a + b) d (a + b + c) 3 2 2 2 2 a b c d 4 ⇔ + + + ≥ b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3 2 2 2 2 a b c d Đặt S = + + + b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
S ⎡⎣(b + c + d ) + (c + d + a) + (d + a + b) + (a + b + c)⎤ ≥
⎦ (a + b + c + d )2 .
(a + b + c + d)2 1 ⇒ S ≥ =
a + b + c + d (1)
3(a + b + c + d ) ( ) 3
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương:
a + b ≥ 2 ab; c + d ≥ 2 cd
Suy ra a + b + c + d ≥ 2( ab + cd )
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ab; cd ta có: 4 ab + cd ≥ 2
abcd = 2 abcd = 2 (vì abcd = 1) (2) 4
Từ (1) và (2) suy ra S ≥ 3 1 1 1 1 4 Vậy + + + ≥ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 3 + + + + + + + + 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟
a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd
ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1 ⇔ x = y = z = t = 1 .
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 10
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
Bài 15 : Cho x ; x ; x ; x dương thoả điều kiện x + x + x + x = 1.Chứng minh : 1 2 3 4 1 2 3 4 4 4 4 4 + + + x x x x 1 1 2 3 4 ≥ 3 3 3 3
x + x + x + x 4 1 2 3 4
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
1 = ( x + x + x + x )2 ≤ 4( 2 2 2 2
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ) 1 2 2 2 2
⇒ x + x + x + x ≥ (1) 1 2 3 4 4 2 • ( 2 2 2 2
x + x + x + x ) = ( 3 3 3 3
x . x + x . x + x . x + x . x 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 )
≤ ( x + x + x + x )( 3 3 3 3
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ) 3 3 3 3
= x + x + x + x (vì x + x + x + x = 1) 1 2 3 4 1 2 3 4 3 3 3 3
x + x + x + x 1 2 3 4 2 2 2 2 ⇔
≥ x + x + x + x (2) 2 2 2 2 1 2 3 4
x + x + x + x 1 2 3 4 •
(x + x + x + x )2 3 3 3 3 1 2 3 4 = ( 2 2 2 2
x .x + x .x + x .x + x .x 1 1 2 2 3 3 4 4 ) ≤ ( 2 2 2 2
x + x + x + x )( 4 4 4 4
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ) 4 4 4 4 3 3 3 3
x + x + x + x
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ⇒ ≥ (3) 3 3 3 3 2 2 2 2
x + x + x + x
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 Từ (1);(2) và (3) suy ra: 4 4 4 4
x + x + x + x 1 1 2 3 4 ≥ 3 3 3 3
x + x + x + x 4 1 2 3 4
Bài 16 : Cho bốn số dương ; a ; b ; c d .Chứng minh: 4 4 4 4 a b c d
a + b + c + d + + + ≥ ( a + b)( 2 2
a + b ) (b + c)( 2 2
b + c ) (c + d )( 2 2
c + d ) (d + a)( 2 2 d + a ) 4
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
(a + b)2 ≤ (a + b ) ⇔ (a + b )(a + b)2 2 2 2 2 ≤ ( 2 2 a + b ) ≤ ( 2 2 2 2 4 a + b ) (1) 4 4 a + b 1 ⇔ ≥ + ( a + b)( a b 2 2 a + b ) ( ) 4 4 4 a − b Mặt khác: = − ( a + b)( a b 2 2 a + b ) 4 4 4 4 a b c d Đặt N = + + + ( a + b)( 2 2
a + b ) (b + c)( 2 2
b + c ) (c + d )( 2 2
c + d ) (d + a)( 2 2 d + a )
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 11
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn Ta có: ( 4 4 a − b ) + ( 4 4 a + b ) ( 4 4 b − c ) + ( 4 4 b + c ) ( 4 4 c − d ) + ( 4 4 c + d ) ( 4 4 d − a ) + ( 4 4 d + a ) 2N = + + + ( (1) a + b)( 2 2 a + b ) (b + c)( 2 2 b + c ) (c + d)( 2 2 c + d ) (d + a)( 2 2 d + a ) 1
⇔ N ≥ (a + b) 1
+ a − b + (b + c) 1
+ b − c + (c + d ) 1 2
+ c − d + (d + a) + d − a 4 4 4 4 1
⇔ N ≥ (a + b + b + c + c + d + d + a) 1 2
⇔ N ≥ (a + b + c + d ) ( đpcm ) 4 4 a b c Bài 17 : Cho ; a ;
b c là các số thực dương.Chứng minh: + + ≥ 1 2 2 2 a + 8bc b + 8ac c + 8ab
(Trích đề thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)
Hướng dẫn giải a b c Đặt A = + + 2 2 2 a + 8bc b + 8ac c + 8ab
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki hai lần ta được: 2 ( ⎡ ⎤
a + b + c)2 a b c 4 2 4 2 4 2 = ⎢
. a. a + 8bc +
. b. b + 8ac +
. c. c + 8ab ⎥ 4 2 4 2 4 2 ⎣ a + 8bc b + 8ac c + 8ab ⎦ ⎡ a b c ⎤ 2 2 2 ⎡ ⎢ ⎥ . a a 8bc b b 8ac c c 8ab ⎤ ≤ + + + + + + + 2 2 2 ⎣ a 8bc b 8ac c 8ab ⎣ ⎦ + + + ⎦ 3 3 3 .
A ⎡ a. a 8abc b. b 8abc c. c 8abc ⎤ = + + + + + ⎣ ⎦
≤ A (a + b + c)( 3 3 3 .
a + b + c + 24abc) (1) Mặt khác
(a + b + c)3 3 3 3
= a + b + c + 3(a + b)(b + c)(a + c)
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:
a + b ≥ 2 ab; b + c ≥ 2 bc; a + c ≥ 2 ac
Suy ra: (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc
⇒ (a + b + c)3 3 3 3
= a + b + c + (a + b)(b + c)(a + c) 3 3 3 3
≥ a + b + c + 24abc (2) Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)2 ≤ A (a + b + c)(a + b + c)3 = A (a + b + c)2 . . a b c
Do đó A ≥ 1, nghĩa là + + ≥ 1 2 2 2 a + 8bc b + 8ac c + 8ab
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Bài 18 : Cho ; x y; z + ∈
thoả xy + yz + zt + tx = 1.Chứng minh:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 12
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn 3 3 3 3 x y z t 1 + + + ≥ y + z + t x + z + t x + y + t x + y + z 3
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( + + + )2 ≤ ( 2 2 2 2 + + + )( 2 2 2 2 xy yz zt tx x y z t
y + z + t + x ) 2 2 2 2
⇔ 1 ≤ x + y + z + t (1)
Đặt: X = y + z + t;Y = x + z + t; Z = x + y + t;T = x + y + z
Không mất tính tổng quát giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ t 2 2 2 2
⇒ x ≥ y ≥ z ≥ t và 3 3 3 3
x ≥ y ≥ z ≥ t
và y + z + t ≤ x + z + t ≤ x + y + t ≤ x + y + z ⇔ X ≤ Y ≤ Z ≤ 1 1 1 1 T ⇒ ≥ ≥ ≥ X Y Z T
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau: 3 3 3 3
⎧x ≥ y ≥ z ≥ t ⎪ ⎨ 1 1 1 1 ≥ ≥ ≥ ⎪⎩ X Y Z T 3 3 3 3 x y z t 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ + + + ≥ + + + ⎜ ⎟( 3 3 3 3
x + y + z + t ) (2) X Y Z T 4 ⎝ X Y Z T ⎠
⎧x ≥ y ≥ z ≥ t
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy ⎨ 2 2 2 2
⎩x ≥ y ≥ z ≥ t 1 ( 3 3 3 3
x + y + z + t ) ≥ (x + y + z + t)( 2 2 2 2
x + y + z + t ) 4 Mặt khác: 1
x + y + z + t = ( x + y + z + x + y + t + x + z + t + y + z + t) 1
= ( X + Y + Z + T ) 3 3 ⇒ ( 1 1 3 3 3 3
x + y + z + t ) ≥ ( 2 2 2 2
x + y + z + t ). ( X + Y + Z + T ) (3) 4 3 Từ (2) và (3) rút ra: 3 3 3 3 x y z t 1 ( ⎛ 1 1 1 1 2 2 2 2 ⎞ + + + ≥
x + y + z + t )( X + Y + Z + T ) + + + ⎜ ⎟ X Y Z T 48 ⎝ X Y Z T ⎠ Theo (1) ta lại có: 2 2 2 2
1 ≤ x + y + z + t
Áp dụng BĐT Cauchy cho X ;Y; Z;T > 0 ta có: 4
X + Y + Z + T ≥ 4 X .Y.Z.T 1 1 1 1 1 4 + + + ≥ 4 X Y Z T
X .Y.Z.T ( ⎛ ⎞
⇒ X + Y + Z + T ) 1 1 1 1 . + + + ≥ 16 ⎜ ⎟ ⎝ X Y Z T ⎠
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 13
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn 3 3 3 3 x y z t 1 1 Vậy + + + ≥ .1.16 = X Y Z T 48 3
Thay X ;Y; Z;T ta được kết quả: 3 3 3 3 x y z t 1 + + + ≥ y + z + t x + z + t x + y + t x + y + z 3 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t = 2
Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng: 1 2 C + C + ... n
+ C ≤ n(2n − n n n )1
Hướng dẫn giải Chọn hai dãy ( 1 2
a = C ; a = C ;...; n
a = C ; b = b = ... = b = 1 1 n 2 n n n ) ( 1 2 n ) 2
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( 1 2 n
C + C + + C ) ≤ ( 1 2 ... C + C + ... n + C + + + (1) n n n n n n ) (1 1 ... ) 1 n
Theo nhị thức Newton ta có: (a + b)n k k n k = ∑C a b − n k 1 =
Cho a = b = 1.Ta có: n 0 1 n n 1
2 = C + C + ... + C ⇒ 2 −1 = C + ... n + C n n n n n Vậy từ (1) ta có: 1 2 C + C + ... n
+ C ≤ n(2n − n n n )1
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2 C = C = ... n = C ⇔ n = 1. n n n a b c d 2 Bài 20 : Cho ; a ; b ;
c d > 0 .Chứng minh : + + + ≥
b + 2c + 3d
c + 2d + 3a
d + 2a + 3b
a + 2b + 3c 3
(Trích đề dự bị Quốc Tế Toán Mỹ năm 1993)
Hướng dẫn giải 2 n n n ⎛ x ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: i
⎜ ∑ ⎟ ∑ x y ≥ ∑ x ⎜ i i ⎟ ⎜ i ⎟
⎝ i 1= yi ⎠⎝ i 1= ⎠ ⎝ i 1= ⎠
với n = 4;( x ; x ; x ; x = a; ; b ;
c d ; y ; y ; y ; y = b + 2c + 3d;c + 2d + 3a;d + 2a + 3 ;
b a + 2b + 3c 1 2 3 4 ) ( ) ( 1 2 3 4 ) ( )
(a + b + c + d )2 ⇒ VT ≥ (1)
4(ab + ac + ad + bc + bd + cd ) 3
Mặt khác (ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ≤ (a + b + c + d )2 (2) 8 2
Từ (1) và (2) ⇒ VT ≥ ( đpcm ) 3 4 4 4 3 3 3 a b c a + b + c Bài 21 : Cho 0
a > ;b > 0;c > 0 .Chứng minh : + + ≥ b + c c + a a + b 2
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 14
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
Hướng dẫn giải 4 4 4 a b c Đặt 2 2 2 x = ; x = ; x = và 2 a (b + c) 2 2
= y ;b c + a = y ;c a + b = y 1 ( ) 2 2 2 ( ) 2 1 2 3 b + c c + a a + b 3
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có cho các số x ; x ; x và y ; y ; y ta được: 1 2 3 1 2 3 4 4 4 ⎛ a b c ⎞ 2 ⎜ + + ⎡
⎟ a (b + c) 2
+ b (c + a) 2
+ c (a + b) 2 ⎤ ≥ ( 3 3 3
a + b + c )2
⎝ b + c c + a a + b ⎣ ⎦ ⎠ (a +b + c a b c )2 3 3 3 4 4 4 Nên + + ≥ 2 b + c c + a a + b a (b + c) 2
+ b (c + a) 2
+ c (a + b)
Để chứng minh được bài toán ta cần chứng minh: ( + + ) 2 3 3 3 ≥ ( + ) 2 + ( + ) 2 2 a b c a b c
b c a + c (a + b) (**) (**) 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
⇔ a + b − a b − b a + b + c − b c − bc + c + a − c a − ca ≥ 0
⇔ (a − b)2 (a + b) + (b − c)2 (b + c) + (c − a)2 (c + a) ≥ 0 (***)
Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài toán đúng. 4 4 4 3 3 3 a b c a + b + c Vậy + + ≥ b + c c + a a + b 2
Bài 22 : Cho x > 0;i = 1; 2;...;n có x + x + ... + x = 1.Cho x ; x ;...; x là hoán vị của x ; x ;...; x .Chứng minh: i 1 2 n 1 i 2 i n i 1 2 n 2 n ⎛ 1 ⎞ ( 2n + )2 1 ∑⎜ x + ⎟ ≥ k ⎜ ⎟ k 1 = x n ⎝ ⎠ k i
Hướng dẫn giải 2 2 2 n ⎛ 1 ⎞ ⎡ n ⎛ 1 ⎞⎤ n n ⎛ 1 ⎞ Theo Bunhiacôpxki: . n ∑⎜ x + ⎟ ≥ ⎢∑⎜ x +
⎟⎥ = ⎜ ∑ x + ∑ ⎟ k k k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k 1 = x ⎝ ⎠ ⎢ = x ⎣ ⎝ ⎠⎥ = = x i k 1 i k 1 k 1 ⎦ ⎝ ⎠ k k k i n n n n 2 ⎛ ⎞⎛ 1 ⎞ 1 n Mà ∑ x = 1 2 2 ∑x ⎜ ⎟⎜ ∑ ⎟ ≥ n ⇒ ∑ ≥ = n k k i n ⎜ ⎟ k 1 = ⎝ k 1= ⎠ k 1= x = x i k 1 ⎝ ⎠ k k i ∑xki k 1 = 2 n ⎛ 1 ⎞ ( 2n + )2 1 Vậy ∑⎜ x + ⎟ ≥ k ⎜ ⎟ k 1 = x n ⎝ ⎠ k i BÀI TẬP : 3 3 a b Bài 1: Cho ; a ; b ; c d > 0 và thỏa + = ( + )3 2 2 2 2 c d a b .Chứng minh: + ≥ 1 c d
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 15
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn 1 1 4 16 64 Bài 2: Cho ; a ; b ;
c d > 0 .Chứng minh: + + + ≥ a b c d
a + b + c + d 3 3 3 a b c 1 Bài 3: Cho ; a ;
b c là 3 số dương và 2 2 2
a + b + c ≥ 1.Chứng minh: + + ≥ b + c c + a a + b 2 Bài 4: Cho 2 2 2
a + b + c = 1.Chứng minh: a + b + c + ab + ac + bc ≤ 1+ 3 4 4 4 2 2 2 a b c a + b + c Bài 5: Cho ; a ;
b c là các số dương.Chứng minh: + + ≥ 2 2 2 2 2 2
a + ba + b
b + bc + c
c + ac + a 3 Bài 6: Cho 3 số ;
x y; z thoả x ( x − ) + y ( y − ) + z ( z − ) 4 1 1
1 ≤ .Chứng minh: x + y + z ≤ 4 3 a + 2b b + 2c c + 2a Bài 6: Cho a; ;
b c là 3 số không âm.Chứng minh: + +
≥ a + b + c 3 3 3 bc ca ab 3
Bài 7: Cho 3 số dương ; a ;
b c có abc = 1.Chứng minh: + + ≥ 2 2 2 2 2 2
a b + a c b c + b a c a + c b 2 1+ x 1+ y 1+ z 9 + 3 3
Bài 8: Cho 3 số dương ;
x y; z có x + y + z = 1.Chứng minh: + + ≥ y + z z + x x + y 2 ( + + )2 a b c a b c Bài 9: Chứng minh: + + ≥ x y z x + y + z 2 2 2 x y y z z x 2
Bài 10: Cho x ≥ y ≥ z > 0 .Chứng minh: + + ≥ ( 2 2 2
x + y + z ) z x y ⎛ a + b ⎞
Bài 11: Cho a ≥ 1;b ≥ 1.Chứng minh: log a + log b ≤ 2 log 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 1 1 ⎞
Bài 12: Cho a; ;
b c > 0 .Chứng minh: (a + b + c ) + + ≥ ⎜
⎟ (a + b + c)2 3 3 3 ⎝ a b c ⎠ 3 2
Bài 13: Cho a; ;
b c ∈ .Chứng minh: a + (1− b)2 + b + (1− c)2 + c + (1− a)2 2 2 2 ≥ 2 3 1 1 1 3 Bài 14: Cho ;
x y; z > 0 và x + y + z ≤ .Chứng minh: 2 2 2 x + + y + + z + ≥ 17 2 2 2 2 x y z 2
Bài 15: Cho trước 2 số dương ;
a b và 2 số dương ;
c d thay đổi sao cho a + b < c + d .Chứng minh: c ( − )2 2 2 a c a + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi nào? c + d
a + b − c − d a + b a a a
Bài 16: Cho a ; a ;...; a là các số thực thoả mãn 2 2 2
a + a + ... + a = 3.Chứng minh: 1 2 + + ... n + < 2 1 2 n 1 2 n 2 3 n +1 a b c 3
Bài 17: Cho a; ; b ;
c p;q > 0 .Chứng minh: + + ≥ pb + qc pc + qa pa + qb p + q
Bài 18: Chứng minh rằng với mọi a ∈ (i = 1;2;...;n ta có: i ) + ( n a
1− a )2 + a + (1− a )2 + ... + a + − a ≥ n (1 )2 2 2 2 1 2 2 3 1 2
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 16
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c)
Bài 1: Cho ΔABC thoả mãn hệ thức: + + = (1).CM ΔABC đều
br + cR cr + aR ar + bR 9R
Hướng dẫn giải
x = br + cR > 0
Để đơn giản ta đặt: y = cr + aR > 0 (2)
z = ar + bR > 0 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c) vậy (1) ⇔ + + = x y z 9R Từ (2) ta có:
ax + by + cz = (ab + bc + ca)(r + R) (3) 3 3 3 a b c y x z y x z 4 4 4 2 2 2 2 2 2
(ax + by + cz)( +
+ ) = a + b + c + ab(a + b ) + bc(b + c ) + ca(c + a ) x y z x y y z z x Theo BĐTCauchy,ta có: 3 3 3 a b c 4 4 4 2 2 2 2
(ax + by + cz)( +
+ ) ≥ a + b + c + 2 . ab ab + .2 bc bc + c .2
a ca ≥ (a + b + c ) x y z 3 3 3 2 2 2 a b c
(a + b + c ) Suy ra : ( + + ) ≥ (theo 3) (4) x y z
(ab +bc + ca)(r + R)
mặt khác ta luôn có (Cauchy): 2 2 2
a + b + c ≥ ab + bc + ca 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c
(a + b + c ) a + b + c nên (4): + + ≥ = 2 2 2 x y z
(a + b + c )(r + R) r + R 2
(a + b + c) ≥ (theo BĐT BCS) 3(r + R) R 9R
Mà R ≥ 2r ⇒ 3(r + R) ≤ 3( + R) = 2 2 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c) 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c) từ đó: + + ≥ ⇒ + + ≥ x y z 9R
br + cR cr + aR ar + bR 9R
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 17
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn ⎧
⎪a = b = c ⎪⎪
dấu “=” xảy ra khi ⎨R = r ⇔ ΔABC đều ⎪ y y z y x z 2 2 2 2 2 2 ⎪a = b ,b = c ,c = a ⎪⎩ x z y z y x
Bài 2 : CM: 1+ cos Acos B cosC ≥ 3 sin Asin B sin C với A, B,C nhọn
Hướng dẫn giải A B B C C A
Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A 1 Áp dụng BCS ta có: 2 2 2 2 2 2 tg tg + tg tg + tg tg ≥ (1) 2 2 2 2 2 2 3
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có: A B B C C A A B C 2 2 2 3 tg tg + tg tg + tg tg ≥ 3 tg tg tg (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C 1 ⇔ 3tg tg tg ≤ 2 2 2 3 từ (1)và(2): A B B C C A 4 A B C 2 2 2 2 2 2 1+ tg tg + tg tg + tg tg ≥ ≥ 4 3tg tg tg 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ⎛ A ⎞⎛ B ⎞⎛ C ⎞ ⎛ A ⎞⎛ B ⎞⎛ C ⎞ A B C 2 2 2 2 2 2 ⇔ 1+ tg 1+ tg 1+ tg + 1− tg 1− tg 1− tg ≥ 8 3tg tg tg ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 2 2 2 2 A 2 B 2 C A B C 1− tg 1− tg 1− tg 2tg 2tg 2tg 2 2 2 2 2 2 ⇔ 1+ . . ≥ 3 . . 2 A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 1+ tg 1+ tg 1+ tg 1+ tg 1+ tg 1+ tg 2 2 2 2 2 2
⇔ 1+ cos Acos B cosC ≥ 3 sin Asin Bsin C
Dấu “=” xảy ra khi ΔABC đều
Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ .chứng minh rằng a b c T = + + ≥1 b 2 + 2c − a
2c + 2a − b 2a + 2b − c
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số: a b c ; ; ; a( b
2 + 2c − a); b(2c + 2a − b); c(2a + b 2 − c) b 2 + 2c − a
2c + 2a − b 2a + b 2 − c
Ta có: T [.a(2b + 2c − a)+ b(2c + 2a − b)+ c(2a + b − c)]≥ (a + b + c)2 2
Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh:
(a + b+ c)2 ≥ 4ab +4bc +4ca –a2 –b2 - c2 Từ đó suy ra đpcm.
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 18
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn Bài 4 : Cho ABC Δ
và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của Δ nhỏ S
và có diện tích S1; S2; S3. Gọi S là diện tích ΔABC . Chứng minh: S + S + S ≥ 1 2 3 3
Hướng dẫn giải Giả sử S1= SAMN ha − 2r Ta có: AM Δ
N đồng dạng ABC Δ
với tỉ số đồng dạng là:
với r là bán kính đường tròn nội tiếp và h ha a là
đường cao kẻ từ đỉnh A. 2 2 S
⎛ ha − 2r ⎞ ⎛ a ⎞ Ta có: 1 = ⎜ ⎟ = 1 ⎜⎜ − ⎟⎟ S ⎝ ha ⎠ ⎝ p ⎠ 1 r a (Vì S = aha = 2 pr ⇒ = với p là nửa chu vi) 2 ha p S1 a Vậy: =1− S p S S 2 b 3 c Tương tự: =1− ; =1− S p S p S + S + S a + b + c Do đó: 1 2 3 = 3 − = 1 S p Áp dụng BĐT Bun ta có: 2 S = ( . 1 S + . 1 S + . 1 S
≤ 1 +1 +1 S + S + S 1 2 3 ) ( 2 2 2)( 1 2 3) ⇒ S
S + S + S ≥
(đpcm). Dấu “=” xảy ra khi ABC Δ đều 1 2 3 3
Bài 5 : Cho ΔABC và 1 điểm Q nào đó ở trong Δ . Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt
BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R. Kí hiệu S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S = dt(ABC).Chứng minh: 1
a) S = ( S + S + S )2 b) S + S + S ≥ S 1 2 3 1 2 3 3
Hướng dẫn giải MP a) Ta có: QM Δ
P đồng dạng B Δ AC (tỉ số ). AC 2 S ⎛ MP ⎞ S MP Suy ra 1 1 = ⇒ = ⎜ ⎟ . S ⎝ AC ⎠ S AC S PC S AM Tương tự 2 3 = ; = S AC S AC S + S + S
MP + PC + AM AC Do đó: 1 2 3 = = = 1 S AC AC
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 19
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.MATHVN.com GV Ñoã Kim Sôn
Suy ra: S = S + S + S ⇒ S = ( S + S + S )2 1 2 3 1 2 3
b) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
S = (1. S +1. S +1. S )2 ≤ ( 2 2 2 1 +1 +1 S + S + S 1 2 3 )( 1 2 3) 1
Suy ra S + S + S ≥ S 1 2 3 3
Dấu “=” xảy ra khi S = S = S ⇔ Q là trọng tâm ABC Δ 1 2 3
Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh: a b c + +
≥ a + b + c
b + c − a
c + a − b
a + b − c
Hướng dẫn giải b
⎧ + c − a = x > 0 ⎪
Đặt ⎨c + a − b = y > 0
⎪a +b −c = z > 0 ⎩
Khi đó ta cần chứng minh: y + z z + x x + y y + z z + x x + y + + ≥ + + 2 x 2 y 2 z 2 2 2
⇔ yz ( y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) ≥ 2 xyz ( x + y + y + z + x + z ) (1)
Dễ thấy VT (1) ≥ 2( xy + yz + zx) (2)
Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
( x+ y + y + z + z + x)2 ≤ 6(x+ y + z)
⇒ x + y + y + z + z + x ≤ 6(x + y + z)
VT (2) ≤ 2 3xyz ( x + y + z) (3) Rõ ràng ta có 2 2 2 2 2 2
x y + x y + x y ≥ xyz ( x + y + z)
⇒ ( xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz (x + y + z)
⇒ xy + yz + zx ≥ 3xyz (x + y + z) (4)
Từ (1) (2) (3) (4) ⇒ đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Bài 7 : Cho ∆ABC. Chứng minh : a2b(a – b) +b2c(b – a) + c2a(c – a) ≥ 0
( Trích đề thi vô địch toán quốc tế 1983 )
Hướng dẫn giải
Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.MATHVN.com Page 20