Bộ đề thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, thành phố môn Toán lớp 11 (có đáp án)
Bộ đề thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, thành phố môn Toán lớp 11 có đáp án gồm 30 đề được viết dưới dạng PDF gồm 73 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Preview text:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 1 Câu 1.(2,0 điểm)
a) Giải bất phương trình: 2
x - 6x + 2 ³ 2(2 - x) 2x -1. 5 4 10 6
ìx + xy = y + y ï
b) Giải hệ phương trình: í 2
ï 4x + 5 + y + 8 = 6 î Câu 2.(2,0 điểm) 2
ìïx - m = y(x + my)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm í 2
ïîx - y = xy Câu 3.(2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
I (2; 4) và các đường thẳng
d : 2x - y - 2 = 0, d : 2x + y - 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt d tại 1 2 1 ,
A B và cắt d tại C, D thỏa mãn 2 2 AB + CD +16 = 5 . AB C . D 2 Câu 4. (2,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và CM 3 = 5 - b
2 5 .Tính và cos A. AL 2 c 9
2. Cho a,b Î ! thỏa mãn: (2 + a)(1+ b) = .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 4 4
P = 16 + a + 4 1+ b Câu 5. (2,0 điểm) Cho ( ) 2
f x = x - ax + b với a,bÎ ! thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên ,
m n, p đôi một phân biệt và 1 £ , m ,
n p £ 9 sao cho: f (m) = f (n) = f ( p) = 7 . Tìm tất cả các bộ số (a;b).
Câu 6: (2,0 điểm) Giải phương trình 2 2
2cos x(tan x + tan x) = sin x + cos x .
Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 2 2
(C) : x + y - 2x - 4y - 4 = 0 tâm
I và điểm M (3; 2) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua M , D cắt (C) tại hai điểm phân biệt , A B
sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 4 4
ìx - 2x = y - y ï
Câu 8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình í 3 (x, y Î ! ) ( 2 2 ï x - y î ) =3
Câu 9 (2,0 điểm). Cho các số a, ,
b c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng a b c
9 ab + bc + ca : + + + ³ 6 . b + c a + c a + b a + b + c
Câu 10.(2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho A(3; ) 1 , B( 3; - 9),C(2; 3 - ) . !!!"
a) Gọi D là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo BC . Xác định tọa độ D.
b) Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt đoạn thẳng CD tại M sao cho tứ giác ABCM có diện tích bằng 24. Trang 1
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ 01 Câu1 Đáp án Điểm 1
Điều kiện: x ³ . Đặt t = 2x -1 ( t ³ 0 ) thì 2
2x = t +1. Khi đó ta có 2 1.0 2 2 2
x - 6x + 2 - 2(2 - x)t ³ 0 Û x + 2tx - 4t - 3(t +1) + 2 ³ 0 2 2
Û (x + t) - (2t +1) ³ 0 Û (x + 3t +1)(x - t -1) ³ 0
1điểm Û x -1³ t (do 1
x + 3t +1 > 0; x " ³ ; t " ³ 0 ). 2 ìx ³1
Với x -1 ³ t ta có x -1 ³ 2x -1 Û í Û x ³ 2 + 2. 2
îx - 2x +1 ³ 2x -1
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = [2 + 2; +¥). 5 4 10 6
ìx + xy = y + y (1) ï 5 í
Điều kiện: x ³ - 2 1,0
ï 4x + 5 + y + 8 = 6 (2) î 4
Th1: y = 0 Þ x = 0 không thỏa mãn 5 æ x ö x Th2: y ¹ 0 ta có: 5 4 3 2 2 3 4 (1) Û
+ = y + y Û (t - y)(t + t y + t y + ty + y ) = 0 với t=x/y ç ÷ è y ø y 1 điểm Û 2 2 2 2 2 2
(t - y) é(t + y ) + (t + y) (t - yt + y ) + 2ù = 0 t=y hay = ë û Û 2 y x ì 23 ïx £
Thay vào (2): 4x + 5 + x + 8 = 6 2
Û 2 4x + 37x + 40 = 23 - 5x Û í 5 2
ïîx -42x + 41= 0 Þ x =1 Þ y = 1 ±
Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: ( ; x y) = {(1;1);( 1 - ;1 } ) 2
ìïmy - y + m = 0 (1) Câu2
Hệ đã cho tương đương với: í 2.0 2
ïîx - yx - y = 0 (2) é y ³ 0
Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm là 2
D = y + 4y ³ 0 Û x ê ë y £ 4 -
Th1: m = 0, ta có y = 0, x = 0. Suy ra m = 0 thỏa mãn.
Th2: m ¹ 0.Phương trình (1) (ẩn y ) không có nghiệm thuộc khoảng ( ; -¥ 4] - È[0;+¥) (*) là (1) vô
nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc ( 4 - ;0), điều kiện là 2 éD =1- 4m < 0 é 1 1 m Î ( ; -¥ - ) È ( ;+¥) ê ê 2 2 2 êì éD =1- 4m < 0 ê ê 2 êïD = 1- 4m ³ 0 êì 1 3 điểm 2 êìD = 1- 4m ³ 0 êï - £ m < 0 êï 2 êï Û 2 êï 1- 1- 4m Û (B) êï í 4 - < y < 0 í 4 - < < 0 ï 1 ê 2 ï ê 2m
êí 1- 4m >1+ 8m ( ) A ê 4 - < y < 0 ï ëî ê êï 2 ï 2 ê 1+ 1- 4m 2 ê 1- 4m < 1 - - 8m ï 4 - < < 0 ï êëî 2m êï ëî
(với y , y là 2 nghiệm của phương trình (1)). 1 2 Trang 2 ì 1 1 - £ m < - ï 1 4 (A) Û 2 8 í Û - £ m < - Þ (B) Û 4 1 m Î ( ; -¥ - ) È ( ;+¥) 2 17 ï 17 2 2 î 1- 4m < 1 - - 8m
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn y ) có ít nhất một nghiệm - thuộc khoảng ( ; -¥ 4] - È[0;+¥ 4 1
) hay (*) không xảy ra, điều kiện là
£ m £ ;m ¹ 0. Vậy tất cả 17 2 4 - 1
các giá trị m cần tìm là £ m £ . 17 2 2 6
Gọi hình chiếu của I trên d , d lần lượt là E, F.khi đó IE = d = ; IF = d = . 1 2 (I ; 1 d ) (I ;d2 ) 2,0 5 5 6
Gọi R là bán kính của đường tròn (C) cần tìm ( R > ) 5 4 36 2 2
AB = 2AE = 2 R - ;CD = 2CF = 2 R - Câu3 5 5 2 điểm æ 4 ö æ 36 ö 4 36 Theo giả thiết ta có: 2 2 2 2 4 R - + 4 R - +16 = 20 R - R - . ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 ø 5 5 2 2 2 2 2 2
Û 8R -16 = 4 (5R - 4)(5R - 36) Û 2R - 4 = (5R - 4)(5R - 36) 2 2 2 2
Û (2R - 4) = (5R - 4)(5R - 6 36) (do R > ) Û R = 6 2 2 ( do R > ) 5 5
Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là 2 2
(C) : (x - 2) + ( y - 4) = 8. !!!" b !!!" c !!!" Ta có: AL = AB + AC 1.0 b + c b + c !!!" !!!" !!!" !!!"
!!!!" CA + CB AB - 2AC CM = = 2 2 !!!" !!!!"
Theo giả thiết: AL ^ CM Û . AL CM = 0 !!!" !!!" !!!" !!!"
Û (bAB + cAC)( AB - AC) 2 2 2 2 2
= 0 Û bc + bc cos A - 2cb cos A - 2cb = 0 4.a
Û (c - 2b)(1+ cos A) = 0 Þ c = 2b (do cos A > 1 - ) 1 điểm 2 2 2 2 2 b + a c a - b Khi đó: 2 CM = - = 2 4 2 !!!" !!!" 2 1 1 !!!" !!!" 2 2
AL = ( AB + AC) = ( 2 2 AB + AC + 2 . AB AC ) = ( 2 2 9b - a ) 9 9 9 2 2 2 CM 3 CM 9 a - b 9 2 2 - 2 = a b a 5 - 2 5 Û = . = 5 - 2 5 Û = 5 - 2 5 Û = 6 - 5 2 2 2 ( ) AL 2 AL 4 9b - a 4 2 2 9b - a 2 b 2 2 2 2 2 b + c - a 5b - a 5 -1 cos A = = = 2 2bc 4b 4 C/M được : 2 2 2 2 2 2
a + b + c + d ³ (a + c) + (b + a b
d ) . ấu bằng xẩy ra khi: = 1.0 c d 2 2 4.b 2 2 2 2 2 p æ a ö æ a ö (a + 4b ) 4 2 = + ç ÷ + + ³ + ç + ÷ = + 1điểm Áp dụng (1) ta có : 1 1 b 4 b 4 4 è 4 ø è 4 ø 16 9
Mặt khác: (1+ 2a)(1+ b) = Û 5
a + 2b + ab = (2) 2 2 Trang 3 ì 2 ïa +1³ 2a 2 2 ï 3(a + 4b ) Mà: 2 2 2 í4b +1 ³ 4b Þ
+ 2 ³ 2a + 4b + 2ab Þ a + 4b ³ 2 (3) 2 ï 2 2 a + 4b ï ³ 2ab î 2
Từ (1) và (3) suy ra: p ³ 1
2 17 .Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và b = 2 Vậy: MinP = 1
2 17 Đạt được khi a=1 và b = . 2
3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên:
Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc -7 Þ loại vì phương trình f(x)-7=0 có 3 nghiệm phân biệt 2,0
Th2: f (m) = f (n) = 7 và f ( p) = 7 -
Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và m - p ³ n - p ta có: m,n là nghiệm pt: 2
x - ax + b - 7 = 0 và p là nghiệm pt: 2
x - ax + b + 7 = 0 nên : éìn - p = 2
ìm + n = a êí
Þ n - m = 9(l) Câu 5 ï êî p - m = 7
2 điểm í(n - p)(n + p - a) = 14 Þ (n - p)( p - m) = 14 Þ ï êìn - p = -2
(m - p)(m + p - a) = 14 î êí
Þ n - m = -9(l)
êëî p - m = -7
Th3: f (m) = f (n) = 7
- và f ( p) = 7,khiđó hoàn toàn tương tự ta có: ìm - p = 7 - ìm - p = 7
( p - n)(m - p) = 14 - Þ í hoặc í î p - n = 2 î p - n = 2 -
Do m,n,pÎ[1;9] nên tìm được 4 bộ là: (a;b)={(11;17),(13;29),(7; 1 - ),(9;7 } ) . Câu 6 2,0 Điều kiện: os
c x ¹ 0 (*). PT đã cho tương đương 2 2sin x + 2sin .
x cos x = sin x + cos x Û 2sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x
Û (sin x + cos x)(2sin x -1) = 0 p
+) sin x + cos x = 0 Û tan x = 1 - Û x = - + kp 4 1 p 5p + sin x = Û x = + k2p; x = + k2p 2 6 6
Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của PT là p p 5p
x = - + kp ; x = + k2p; x = + k2p (k Î!) 4 6 6 Câu 7 2,0 I t A B M H Trang 4
(C) có tâm I (1; 2) , bán kính R = 3. Ta có IM = 2 < R nên M nằm trong đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu của I trên AB và đặt IH = t , 0 < t £ 2 . 1 2 2 Ta có S
= IH.AB = t 9 - t . Xét hàm f (x) = t 9 - t ;0 < t £ 2 . IAB 2 2 9 - 2t Ta có f '(t) = > 0, t
" Î(0;2], suy ra f (t) đồng biến trên (0;2] Þ f (t) £ f (2) 2 9 - t Vậy S
lớn nhất khi d (I;D) = t = 2, hay H º M IAB !!!"
Khi đó D nhận IM là véc tơ pháp tuyến, suy ra D : x - 3 = 0. Câu 8 2,0 điểm
Đặt x + y = a, x - y = b. Để cho tiện ta đặt 3 3 = c
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có: ( )3 3
ab = c Û ab = c . a + b a - b ab 4 4 2 2 0,25 Từ x = , y = , suy ra x - y = (a + b ) và 2 2 2 3 (a - b) a + 3b a + c b
2x - y = (a + b) - = = 2 2 2 3 ab a + c b 2 2 2 2 3
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành: (a + b ) =
Û c(a + b ) = a + c b 2 2 2 2 3
ìïc(a + b ) = a + c b Ta có hệ í , suy ra 0,25 ïîab = c 2 4 æ c ö c 1 2 4 3 3 4 3 3 c ç a + ÷ = a +
Û ca + c = a + ac Û (ca -1)(a - c ) = 0 Û a = Ú a = c . 2 a a è ø c 3 3 c +1 3 +1 3 -1
- Nếu a = c,b = 1 thì x = = , y = . 2 2 2 0,25 1 3 3 1 æ 1 ö 1+ c 2 1 æ 1 ö 1- c 1 - - Nếu 2
a = ,b = c thì 2 2 x = + c = = , y = - c = = ç ÷ ç ÷ c 3 3 2 è c ø 2c 3 2 è c ø 2c 3 3 3 æ 3 +1 3 -1ö æ 2 1 - ö
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x; y) = ç ; ÷,ç ; ÷ . 0,25 ç ÷ 3 3 2 2 è ø è 3 3 ø Câu 9 2,0 điểm a b c
9 ab + bc + ca Đặt P = + + + b + c a + c a + b a + b + c 0,25 ab ac b b c c
Giả sử a ³ b ³ . . c , khi đó + ³ + = b + c a + c a + b b + c c + b b c b + c Suy ra + ³ . 0,25 a + c a + b a a t at Đặt t = b + 9 c thì P ³ + + . 0,25 t a a + t a t 9 at
a + t 9 at Ta có + + = +
³ 6 (AM-GM). Do đó P ³ 6 (đpcm). 0,25 t a a + t at a + t
Chú ý: Đẳng thức xảy ra khi a + t = 3 at và chẳng hạn một bộ (a, , b c) thỏa mãn là Trang 5 æ 7 + 3 5 ö ( ; a ; b c) = ç
;1;0÷ (HS có thể không cần nêu bước này). ç 2 ÷ è ø Câu 10(2,0 điểm) !!!" !!!" !!!" a/ BC = (5; 12
- ) D = T!!!" ( A) Û AD = BC BC ìx - 3 = 5 ìx = 8 D D í Û í Û D(8;- ) 11 y -1 = 12 - y = -11 î D î D !!!" b/ AB = ( 6
- ;8) Þ AB =10;Pt(AB): 4x + 3y -15 = 0 Þ d ((CM ) ( AB)) = d (C ( AB)) 16 , , = . 5
( AB + CM ).d ((CM ),(AB)) S = = 24 Þ CM = 5 àABCM 2 AB CD
Do M thuộc đoạn thẳng CD, CM = 5 = =
suy ra M là trung điểm CD Þ M (5; 7 - ). 2 2
Pt (AM) là: 4x + y -13 = 0 --------Hết--------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 2 Câu 1 (3,0 điểm) a) Cho hàm số 2
y = x - 3x + 2 và hàm số y = -x + m . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt
nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB
đến các trục tọa độ bằng nhau.
b) Giải bất phương trình: 1 1 - > 0 2
-x + 4x - 3 2x - 4 Câu 2 (3,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) . Đường thẳng D là đường
phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y -1 = 0 ; Khoảng cách từ C đến D gấp 3
lần khoảng cách từ B đến D . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi a là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN 3
của tam giác. Chứng minh rằng sin a £ 5 Câu 3 (3,0 điểm) !!!" 2 !!!" !!!" 1 !!!"
a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD = BC; AE = AC . 3 4
Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ !!" !!" !!" " thức: 2 2 2
b IB + c IC - 2a IA = 0 ; Tìm điểm M sao cho biểu thức ( 2 2 2 2 2 2 b MB + c MC - 2a MA )
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: + ( x + ) 2 x - = ( 2 1 6 2 2 1 2 5x + 4x)
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . Chứng minh rằng: Trang 6 2 2 2 1+ 1+ x 1+ 1+ y 1+ 1+ + + z £ xyz . x y z Câu 5: (3,0 điểm) b a b - a a a) Cho tan = 3sin 4 tan . Chứng minh : tan = . 2 2 2 5 - 3cos a 1 1 4 b) Chứng minh : + = . 0 0 cos 290 3 sin 250 3 1 7 35 c) 8 8 sin x + cos x = cos8x + cos 4x + . 64 16 64
Câu 6: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) 6 2 6
sin x + 3sin x cos x + cos x =1 5 b) 12 cos x + 5sin x + + 8 = 0 . 12cos x + 5sin x +14 1+ t co 2 . x tan x 1 c) 2 +1 = 6(1- sin 2x) ; 2 cos x 2
Câu 7(1,0 điểm): Tìm các giá trị a để phương trình : 2
(cos a + 3sin a - 3)x + ( 3 cos a - 3sin a - 2)x + sin a - cos a + 3 = 0 có nghiệm x =1. Câu 8(2,0 điểm): !
a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 . Hãy xác định !
phương trình của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) có phương trình ! : 2 2
x + y - 2x + 4y - 4 = 0 .Tìm ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5).
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2 Câu Ý Nội dung Điểm Cho hàm số 2
y = x - 3x + 2 và hàm số y = -x + m . Tìm m để đồ thị các 1
a hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm của 1,5
đoạn thẳng AB cách đều các trục tọa độ.
Yêu cầu bài toán Þ PT sau có hai nghiệm phân biệt 2
x - 3x + 2 = -x + m hay 2
x - 2x + 2 - m = 0 (*)có D ' > 0 Û m>1 x + x
Gọi x ; x là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có A B x = = 1; A B I 2 y = -x + m = m -1 I I
Yêu cầu bài toán Û y = x Û m -1 = 1 Û m = 2; m = 0 I I
Kết hợp ĐK, kết luận m = 2 1 1
b Giải bất phương trình: - > 0 (1) 1,5 2
-x + 4x - 3 2x - 4 2
ì-x + 4x - 3 > 0 TXĐ: í
Û 1< x < 2;2 < x < 3 0,25 îx ¹ 2 (1) 1 1 Û > 2
-x + 4x - 3 2x - 4
Nếu 1 < x < 2 thì 2
-x + 4x - 3 > 0 > 2x - 4, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 0,25 1 < x < 2 Trang 7 ì2x - 4 > 0 Nếu ï bất pt đã cho 2 Û 2x - 4 > -x + 4x - 3 2 < x < 3 Þ í 2
ïî -x + 4x - 3 > 0 0,25 2 2 Û 5 5
4x -16x +16 > -x + 4x - 3 2
Û 5x - 20x +19 > 0 x > 2 + ; x < 2 - 0,25 5 5 5
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 2 + < x < 3 5 0,25 5
Tập nghiệm của bpt đã cho: (1;2) È (2 + ;3) 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) . Đường thẳng
D là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y -1 = 0 ; khoảng 2 a 1,5
cách từ C đến D gấp 3 lần khoảng cách từ B đến D . Tìm tọa độ của A và C
biết C nằm trên trục tung. y -1 y -1 9 D(B; D 3 )= ; C(0:y 0 0 0) ; D(C; D )= , theo bài ra ta có = Û y = 10; y = 8 - 0 0 0,25 5 5 5 5
Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, chú ý C khác phía B đối với D suy ra C(0;-8) 0,25
Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua D thì B’nằm trên AC. !!!!" !!" Do BB' ^ u = (1; 2)
- nên ta có: a - 2b + 3 = 0 ; 0,25 D
Trung điểm I của BB’ phải thuộc D nên có: 2a + b + 2 = 0 Từ đó ta có: a= -7/5; b=4/5 !!!" 3 !!!!" !!!" !!!!" æ ö
Theo định lý Ta - Let suy ra CA = CB' = ( + ) 7 44 A(x; y);CA x; y 8 ;CB' = - ; ç ÷ 2 è 5 5 0,25 ø 21 - 26 Từ đó suy ra A( ; ) ;C(0;-8) 0,25 10 5 B N G A C M
Xét các tam giác vuông ABC vuông ở A, gọi a là góc giữa hai đường trung
b tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng 3 sin a £ 1,5 5
Gọi a, b và c tương ứng là độ dài các cạnh đối diện các góc A, B và C của tam giác. Có 2 c 2 b 2 2 2 2 CN = b + BM = c + 4 4 + -
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có ∑ 2 2 2 BG CG BC cos BGC = 2BG.CG 2 2 2 2 2( - b + c ) 2(b + c ) = ; Do đó cosa = 2 2 2 2 (4c + b )(4b + c ) 2 2 2 2 (4c + b )(4b + c ) Trang 8 2 2 Có 5(b + c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (4c + b )(4b + c ) £
;" = " Û 4c + b = 4b + c Û b = c 2 2 2 2 2 2(b + c ) 2(b + c ).2 4 Do đó cosa = ³ = 2 2 2 2 2 2 (4c + b )(4b + c ) 5(b + c ) 5 3 Hay 2
sin a = 1- cos a £ . Dấu bằng có khi tam giác vuông cân đỉnh A 5 !!!" !!!" !!!" !!!"
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các 2 1 BD = BC;AE = AC . Tìm vị 3 a 3 4 1,5
trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. A E K B D C !!!" 1 !!!" !!!" 1 !!!" 3 !!!"
Vì AE = AC Þ BE = BC + BA(1) 4 4 4 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Giả sử AK = x.AD Þ BK = x.BD + (1- x)BA !!!" 2 !!!" !!!" !!!" !!!" 2x !!!" !!!"
Mà BD = BC nên AK = x.AD Þ BK = BD + (1- x)BA 3 3 !!!" !!!"
Vì B, K, E thẳng hàng(B ¹ E ) nên có m sao cho BK = mBE m !!!" 3m !!!" 2x !!!" !!!" Do đó có: BC + BA = BC + (1- x)BA 4 4 3 æ m 2x ö !!!" æ 3m ö !!!" " Hay - BC + 1- x - BA = 0 ç ÷ ç ÷ è 4 3 ø è 4 ø !!!" !!!" m 2x 3m
Do BC; BA không cùng phương nên - = 0 &1- x - = 0 Từ đó suy ra 4 3 4 1 8 !!!" !!!" x = ;m = 1 . Vậy AK = AD 3 9 3
Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. !!" !!" !!" " 3
b Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 2a -
IA + b IB + c IC = 0 ; Tìm điểm M: 1,5 biểu thức 2 2 2 2 2 2 2a -
MA + b MB + c MC đạt giá trị lớn nhất.
Kẻ đường cao AH, ta có 2 2 b = a.CH;c = a.BH nên 2 2 b .BH = c .CH . Do đó: !!!" !!!" " 2 2 b .BH + c .CH = 0 !!" !!" !!" !!" !!" Suy ra 2 2 2 2 2
b .IB + c .IC = b .IH + c .IH = a .IH !!" !!" !!" !!"
Kết hợp giả thiết suy ra 2 2 2a .IA = a .IH hay 2.IA = IH
Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH A B H C Trang 9 !!" !!" !!" "
Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: x.IA + y.IB + z.IC = 0 (*) bình phương vô hướng 2 vế (*), chú ý !!" !!" rằng 2 2 2 2IA.IB = IA + IB - AB ta có: 2 2 2 2 2 2
(x.IA + y.IB + z.IC )(x + y + z) = xyc + xzb + yza Từ đó có 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2a - .IA + b .IB + c .IC ) = 3b c !!" !!!" !!" !!!" Mặt khác 2 2 2 2
xMA = x(IA - IM) = x(IM + IA - 2IA.IM)
Tương tự cho yMB2; zMC2 rồi cộng các đẳng thức đó lại ta có 2 2 2 2 2 2 2
xMA + yMB + zMC = (x + y + z)IM + xIA + yIB + zIC Thay số có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a -
MA + b MB + c MC = -a IM + 3b c £ 3b c
Dấu bằng xảy ra khi M trùng I 2 2 4 a
Giải phương trình: 1+ (6x + 2) 2x -1 = 2(5x + 4x) 1,5 (*) 1 1 ĐK: x ³ ; x £ - 2 2 (*) 2 2 2 2 2 2
Û (3x +1) + (2x -1) - 2(3x +1) 2x -1 -1 = (3x +1) + (2x -1) - (10x + 8x) 2 2 é - = + 2 2x 1 2x 2(a) 2 Û 3x +1- 2x -1 = x -1 Û ê ( ) ( ) 2 êë 2x -1 = 4x(b) 4 - + 6
Giải(a) và đối chiếu ĐK có 1 nghiệm x = 2 4 - + 6
Giải (b) vô nghiệm. Kết luận (*) có 1 nghiệm x = 2
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . Chứng minh rằng: b 2 2 2 1+ 1+ x 1+ 1+ y 1+ 1+ z 1,5 + + £ xyz (I) x y z 1 1 1 Giả thiết suy ra: + + = 1. Ta Có: xy yz zx 2 1+ x 1 1 1 1 æ 1 1 öæ 1 1 ö æ ö = + + + = + + 1 2 1 1 £ + + ;" = " Û y = z 2 ç ÷ç ÷ ç ÷ x x xy yz zx è x y øè x z ø 2 è x y z ø
Viết hai BĐT tương tự rồi cộng lại ta được: 2 2 2 1+ 1+ x 1+ 1+ y 1+ 1+ z æ 1 1 1 ö + + £ 3 + + ;" = " Û x = y = z ç ÷ x y z è x y z ø æ 1 1 1 ö Ta sẽ CM: 3 + + £ xyz Û ( + + ) £ ( )2 = ( + + )2 3 xy yz zx xyz x y z ç ÷ è x y z ø Û ( - )2 + ( - )2 + ( - )2 x y y z
z x ³ 0 Điều này luông đúng
Dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z
Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z= 3 Câu 5(2,0 điểm) b a tan - tan a b b - a 3t
a) Đặt tan = t thì tan = 4t ,do đó : 2 2 tan = = 2 2 2 2 a b 1+ 4 1+ tan tan t 2 2 Trang 10 2t 3 2 b - a 3sin a + 3 1 t t Mặt khác : tan = = =
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 2 2 2 5 - 3cos a 1- t 1+ 4t 5 - 3 2 1+ t 1 1 1 1 b)VT = - = - 0 0 0 0 cos 70 3 sin 70 sin 20 3 cos 20 æ 3 ö 0 1 0 2ç cos 20 - sin 20 ÷ 0 0 3 cos 20 - sin 20 2 2 è ø 0 4sin 40 4 = = = = ( đpcm). 0 0 3 sin 20 cos 20 3 0 0 sin 40 3 sin 40 3 2 c) VT = 4 4 2 4 4
(sin x + cos x) - 2sin x cos x = 2 2 2 4 4
(1- 2sin x cos x) - 2sin x cos x 2
1- cos 4x 1 æ1- cos 4x ö = 2 2 4 4
1- 4sin x cos x + 2sin x cos x = 1- + =…. ç ÷ 2 8 è 2 ø 1 7 35 = cos8x + cos 4x + 64 16 64
Câu 6(2,0 điểm): a) 6 2 6
sin x + 3sin x cos x + cos x = 1 Û 2 2 3 2 2 2 2 2
(sin x + cos x) - 3sin x cos x(sin x + cos x) + 3sin x cos x = 1 p Û 2 2 2 k 3
- sin x cos x + 3sin x cos x = 0 giải phương trình này ta được nghiệm x = . 2 5
b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình y +
- 6 = 0 giải phương trình này ta được y =1vày =5. Do đó y 5 : 12 cos x + 5sin x + + 8 = 0 12cos x + 5sin x +14 é12cos x + 5sin x +14 =1 12 é cos x + 5sin x = 13 - (1) Û Û 12 ê ê ë cos x + 5sin x +14 = 5 ë12cos x + 5sin x = 9 - (2) æ ö 12
Giải (1) và (2) ta được : x = a + p + k2p 9 ; x = a ± arccos - + k2p với cos a = 5 và sin a = . ç ÷ è 13 ø 13 13 p 1+ t co 2 . x tan x 1 cos x
c)ĐK: x ¹ k ; 2 +1 = 6(1- sin 2x) Û 2
+1 = 6 - 3sin 2x 2 2 cos x 2 2 sin 2 . x sin . x cos x 2 Û 2 2 2
= 5 - 3sin 2x Û 3t - 5t + 2 = 0 (t = sin 2x) 2 sin 2x é p p x = - + k ê 4 2 2 2 é sin 2x =1 é cos 2x = 0 ê a p Û ê ê Û Û ê x = + k 2 1 2 êsin 2x ê = cos 4x = - = cos a ê 4 2 êë 3 êë 3 ê a p êx = - + k êë 4 2
Câu 7(1,0 điểm) x= 1 là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi ta có đẳng thức 3 cos a + sin a = 2 3 1 p hay
cos a + sin a = 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = + k2p . 2 2 6 Câu 8(2,0 điểm)
a) Lấy M(0;1) thuộc d .Khi đó M ' = T! (M) = ( 2
- ;2) Îd ' . Vì d’ song song với d nên d’ có phương trình dạng : 2x- v
3y + C = 0 .Thay toạ độ M’vào pt d’ ta được C =10 . Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0.
b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I ' = T! (I) = ( 1
- ;3) và ( C’) là ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo v !
vectơ v thì ( C’) có tâm I’ bán kính R’= 3 có pt : 2 2 (x +1) + (y - 3) = 9 Trang 11
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 3 Câu 1 (2 điểm) a. Cho hàm số 2
y = x + 2mx - 3m và hàm số y = 2
- x + 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt
nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b.Giải bất phương trình: 2
-x + 8x -12 >10 - 2x Câu 2 (2 điểm) a. Giải phương trình: 3 3 3 3
(4x - x + 3) - x = 2 b. Giải phương trình: 2
2x -11x + 23 = 4 x +1 Câu 3 (2 điểm)
a. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành
tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ
nhất của diện tích tam giác OAB.
b. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2
(x - 2) + ( y + 3) = 9 và điểm ( A 1; 2)
- . Đường thẳng D qua A, D cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Câu 4 (3 điểm)
a. Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2
AB + BC + CD + DA = AC + BD . 1 1 1
b.Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: = +
(trong đó AB=c; AC=b; đường cao 2 2 2 h b c a qua A là h ). a
Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: 2a 2b 2c
(a -b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 + + ³ 3 +
b + c c + a a + b
(a + b + c)2 æ p
Câu 6(2,0 điểm) Giải phương trình: x 7 ö x 2 2 2 sin + tan (3p - x) - os c = 0. ç ÷ è 2 4 ø 2 ì 1 1 16 2x + + = ïï x + y x - y 3
Câu 7(2,0 điểm) Giải hệ phương trình: í 2 2 1 1 100 ï2(x + y ) + + = 2 2 ïî (x + y) (x - y) 9
Câu 8: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai tam giác đều ABM
và ACN. Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đó suy ra MC=BN.
Câu 9:(2,0 điểm)
Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sin (p sin x ) .
Câu 10: (2.0 điểm) Trang 12
Trong mph¼ng to¹ ®é Oxy cho tam gi¸c ABC có diÖn tÝch b»ng 3 vµ ®iÓm A(2;-3), B(3;- 2
2) träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng
(d): 3x- y - 8 = 0. T×m to¹ ®é ®iÓm C.
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN SỐ 03 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Tìm m: 2
y = x + 2mx - 3m và y = 2
- x + 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ dương 1,00
Yêu cầu bài toán Û PT sau có hai nghiệm dương phân biệt ìD' > 0 ï 2 2
x + 2mx - 3m = 2
- x + 3 Û x + 2(m +1)x - 3m - 3 = 0 Û í 3( - m +1) > 0 0,25 ï 2( - m +1) > 0 î ém > 1 - D' > 0 Û 0,25 ê ëm < 4 -
Kết hợp nghiệm, kết luận m < 4 - 0,25
b Giải bất phương trình: 2
-x + 8x -12 >10 - 2x 1,00 TXĐ: 2
-x + 8x -12 ³ 0 Û 2 £ x £ 6 0,25
Nếu 5 < x £ 6 thì 2
-x + 8x -12 ³ 0 >10 - 2x , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 5 < x £ 6 0,25 10 ì - 2x ³ 0 ï Nếu 2 £ x £ 5 Þ í bất pt đã cho 2
ïî -x + 8x -12 ³ 0 0,25 2 2
Û -x + 8x -12 > 4x - 40x +100 2 28
Û 5x - 48x +112 < 0 Û 4 < x < 5
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 4 < x £ 5
Tập nghiệm của bpt đã cho: (4;6] 0,25 2
a Giải phương trình: 3 3 3 3
(4x - x + 3) - x = (1) 1,00 2 3 3 ìï2y - 2x = 3 Đặt 3
y = 4x - x + 3. (1) có dạng: í
(I ) Khi đó nghiệm của (1) là x ứng với (x;y) 3 0,25
ïî4x - x + 3 = y là nghiệm của (I) 3 3 ìï2y - 2x = 3 3 3
ìï2y - 2x = 3(2) (I) Û Û í í 3 3 2 2 0,25
ïî2x + 2y - (x + y) = 0
ïî(x + y)(2x - 2xy + 2y -1) = 0(3) 3
TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1): 3 x = - 0,25 4 TH2: 2 2 2
2x - 2xy + 2y -1 = 0;D' = 2 - 3y . Nếu có nghiệm thì 2 . Tương tự cũng x y £ 3 2 3 æ ö 2 8 2 có x £ . Khi đó VT (2) £ 4ç ÷ =
< 3. Chứng tỏ TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm 3 3 3 3 è ø 3 3 x = - 0,25 4 Trang 13
b Giải phương trình: 2
2x -11x + 23 = 4 x +1 1,00 ĐK: x ³ 1 - . 2
(1) Û 2(x - 6x + 9) + (x +1- 4 x +1 + 4) = 0 0,25 2 2
2(x - 3) + ( x +1 - 2) = 0(*) 0,25 ìx - 3 = 0 ï Do 2 a ³ 0( a " ) nên pt(*) Û í 0,25 ïî x +1 - 2 = 0
Û x = 3 . Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3 0,25
M (1;4) . Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm giá 3 a 1,00
trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB( x ; y > 0 ) A B x y
Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB: + =1 0,25 a b 1 4 4 16 Vì AB qua M nên + =1Þ1³ 2 Þ1³ 0,25 a b ab ab ab 1 4 1 ìa = 2 Þ ³ 8;" = " Û = = Û í 0,25 2 a b 2 b î = 8 1 1
Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S = O .
A OB = ab ³ 8 . Vậy S nhỏ nhất bằng 8 khi d 0,25 2 2 qua A(2;0), B(0;8) b (C): 2 2
(x - 2) + ( y + 3) = 9 ; ( A 1; 2)
- . D qua A, D cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị 1,0
nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
(C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3. Có A nằm trong đường tròn(C) vì 2 2 2 IA = (1- 2) + ( 2 - + 3) = 2 < 9 0,25 2 2 2 2 2 2
IH + HN = IN = 9 Þ MN = 4HN = 4(9 - IH )
Kẻ IH vuông góc với MN tại H ta có 0,25
Mà IH ^ AH Þ IH £ IA = 2 2
Þ MN ³ 4(9 - 2) = 28 Þ MN ³ 2 7 0,25
Vậy MN nhỏ nhất bằng 2 7 khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A 0,25
Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 4 a 2 2 2 2 2 2 1,5
AB + BC + CD + DA = AC + BD !!!" !!!" !!!" !!!" "
Tứ giác lồi ABCD là hình bình hành Û AB = DC Û AB - DC = 0 0,25 !!!" !!!" !!!"2 !!!"2 !!!" !!!"
Û ( AB - DC)2 = 0 Û AB + DC - 2 . AB DC = 0 0,25 !!!" !!!" !!!" 2 2 Û AB + DC - 2 .( AB AC - AD) = 0 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2
Û AB + DC - (AB + AC - BC ) + (AB + AD - BD ) = 0 (*) 0,25 ! ! 2 !2 ! ! !2 ! ! !2 !2 ! ! 2
( vì (a - b) = a - 2 . a b + b Þ 2 .
a b = a + b - (a - b) ) 0,25 (*) Û 2 2 2 2 2 2
AB + BC + CD + DA = AC + BD (Đpcm) 0,25
( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ) 1 1 1 4
b Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: = + (1) 1,5 2 2 2 h b c a Có .
a h = 2S = bcsin A 0,25 a 2 2 1 a 4R Þ = = 2 2 2 2 2 2 0,25 h b c sin A b c a Trang 14 (1) 2 2 2
Û b + c = 4R 2 2
Û sin B + sin C = 1 0,25
Û 1- cos2B +1- cos2C = 2 Û cos2B + cos2C = 0 0,25
Û 2cos(B + C)cos(B - C) = 0 0,25 é p p B + C = hay A = ê 2 2 Û ê
(0 < B +C
B -C
p ê B - C = 0,25 êë 2 p
Vậy tam giác ABC vuông ở A hoặc có B - C = 2 2a 2b 2c
(a -b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 5 CMR : + + ³ 3 + ;a, , b c > 0 1,00
b + c c + a a + b
(a + b + c)2 2a 2b 2c
a - b + a - c b - c + b - a c - a + c - b XétM= -1+ -1+ -1 = + + b + c c + a a + b b + c c + a a + b 0,25 1 1 1 1 1 1 = (a - b)( - ) + (b - c)( - ) + (c - a)( - )
b + c c + a c + a a + b
a + b b + c 2 1 2 1 2 1 = (a - b) + (b - c) + (c - a) 0,25
(b + c)(c + a)
(c + a)(a + b)
(a + b)(b + c) 1 4 4 1 Vì ³ > = ;
(b + c)(c + a) 2 2 2
(a + b + 2c)
(2a + 2b + 2c)
(a + b + c) 2 0,25 - 2 1 (a b) (a - b) ³ 0 2 Þ (a - b) ³
;" = " Û a = b 2
(b + c)(c + a) (a + b + c)
Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức còn lại 2 2 2
(a -b) + (b - c) + (c - a) Suy ra M ³
(Đpcm); “=” Û a = b = c 0,25
(a + b + c)2 Hình vẽ câu 3b: I A M N H Câu Đ/k: cosx ¹ 0 . Pt đã cho 6 2 æ x p ö x 1 é æ p öù sin x 1 2,0 đ 2 2 2 Û sin - tan x - os c = 0 Û 1- os c x - - 1+ cos x = 0 ç ÷ ê ç ÷ú 2 ( ) è 2 4 ø 2 2 ë è 2 øû os c x 2 Û (1-sinx)( 2
1- cos x) - (1+ cos x)( 2
1- sin x) = 0 Û (1-sinx)(1+ cos x)(sinx + cos x) = 0 ésinx =1 loai éx = (2k + ) 1 p êcos x 1 ê Û = - Û k Î Z ê p êx = - + kp êt anx = 1 - ê ë ë 4 Trang 15
Câu 7 ĐK: x ¹ ± y 2,0 ì 1 1 16 điểm
x + y + x - y + + = ïï x + y x - y 3
Hệ phương trình tương đương với í 2 2 1 1 100
ï(x + y) + (x - y) + + = 2 2 ïî (x + y) (x - y) 9 1 1
Đặt a = x + y +
;b = x - y +
(| a |,| b |³ 2) x + y x - y ì 16 a + b = ìa = 2 ì 10 ïï ï ïa = Ta có: 3 í Û í 10 Ú í 3 = 2 2 100 b ïa - 2 + b - 2 ï = î 3 b ïî = 2 ïî 9 ì 2 ì 2 x = x = ìx = 2 ïï 3 ìx = 2 ïï
Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm 3 í Ú í Ú í Ú í îy = 1 - 1 ï îy =1 1 y ï = y = - ïî 3 ïî 3 Câu 8 Qua phép quay Q 0
thì điểm M biến thành B;điểm C biến thành điểm N .Do đó ,qua ( A;60 ) 2,0 phép quay Q 0
thì đoạn MC biến thành đoạn BN .Vậy MC=BN điểm ( A;60 )
Câu 9 Tập xác định của hàm số y = f (x) = sin (p sin x ) là D = ! (đối xứng qua 0) 2,0 x
" Î ! , f (-x) = f (x). Vậy, f chẵn (f không lẻ vì nó không đồng nhất bằng 0) điểm x
" Î ! , f (x + 2 )
p = f (x). Vậy, f tuần hoàn
Tập giá trị của hàm số t = p sin x là [0; p] nên
min f = min sin t = 0, max f = max sin t = 1 0£t £p 0£t£p Câu1 * Ta có 1 2S 3 S = .
AB d(C, AB) Þ d(C, AB) ABC = = (1) ABC 0 2 !!!" AB 2
* Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương AB = (1;1) 2,0 !
Þ véctơ pháp tuyến là nAB = ( 1 - ;1) Þ AB: x-y-5=0
điểm Gäi ®iÓm G(xG, yG) th× C( 3xG-5 ;3yG +5) éìx =1 G êí
3x - 5 - 3y - 5 - 5 3 ì x - y = 8 y = 5 - G G 3 ï êî Ta có = Ta có G G G í Û 2 2 ï 3x 3y 15 3 ê - - = î ì = G G x 2 G êí ê y = 2 - ëî G
VËy có hai ®iÓm tho¶ m·n C1(1;-1) , C2(-2;-10)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 4
Câu 1.(4,0 điểm). Cho parabol (P): 2
y = -x và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1
- ) và có hệ số góc là k . Gọi
A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x ; x . 1 2
1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung. Trang 16 2) Chứng minh rằng 3 3
x - x ³ 2 "k Î R 1 2 ( )
Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình: 2
3x +1 + 5x + 4 = 3x - x + 3 2 3 2
ìïx + x y - xy + xy - y =1
Câu 3. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: í 4 2
ïîx + y - xy(2x -1) =1
Câu 4. (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (
A 2;6) , chân đường phân giác trong kẻ æ 3 ö æ 1 ö
từ đỉnh A là điểm D 2;-
, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm I - ;1 . Viết phương trình ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø
của đường thẳng BC.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a;CA = ;
b BA = c (b ≠ c) và diện tích là S . Kí hiệu
m ; m ; m lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng 2 2 2
2m ³ m + m . a b c a b c a) Chứng minh rằng 2
a £ 4S.cotA
b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng góc ÐMGO không nhọn. 3 3
Câu 6.(2,0 điểm). Cho ; a ;
b c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c =
. Tìm giá trị lớn nhất 2 1 1 1 của biểu thức M = + + . 2 2 2 2 2 2
a + b + 3 b + c + 3 c + a + 3 x
Câu 6.(2.0 điểm) Giải phương trình 2 2
cos x + cos x = 2sin + sinx 2 3 3 2
ìï2(x - ay ) = (a +1)
Câu 7. (2,0 điểm) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình í
có nghiệm và mọi nghiệm của 3 2 2
ïîx + ax y + xy =1
nó thoả mãn x, y là hai số đối nhau. Câu 8. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc Oxy cho tam giác ABC, biết
B(-3; 0); C(3; 0). Điểm A di động sao cho tam giác ABC thoả mãn độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần
bán kính đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng khi A thay đổi thì điểm I thuộc một đường cong cố định.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 T = cosA + cosB + cosC + A B C sin sin sin 2 2 2
HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ 04 Câu Nội dung Điểm Cho parabol (P): 2
y = -x và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1
- )và có hệ số góc là k . Gọi A và B là 2,0
các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x ; x . 1 2 Trang 17
1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
+ Đường thẳng (d) có pt: y = kx - 1 0,5
+ PT tương giao (d) và (P): 2 2
- x = kx - 1€ x + kx - 1= 0(*) 0,5
+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x ; x 2
D = k + 4 > 0(" k) 1 2 vì 0,5 x + x -k -k 1 2
+ Trung điểm M của AB có hoành độ là =
; M nằm trên trục tung € = 0 Û k = 0 0,5 2 2 2 2) Chứng minh rằng 3 3
x - x ³ 2 "k Î R 1 2 ( ) 2,0
Theo Vi et có: x + x = -k, x x = 1 - 0,5 I 1 2 1 2 Ta có: 3 3 2
x - x = (x - x ) é(x + x ) - x x ù = 2
x - x . (x + x ) - x x 0,5 1 2 1 2 ë 1 2 1 2 û 1 2 1 2 1 2 2 2 Có x - x = x + x - 4x x = k + 4 1 2 ( 1 2 ) 2 1 2 0,5 3 3 Þ x - x = 2 2
k + 4(k +1) ³ 2, k
" Î R. Đẳng thức xảy ra khi k = 0 0,5 1 2 2 Giải phương trình: 2
3x +1 + 5x + 4 = 3x - x + 3(1) 2,0 1 0,25
Điều kiện: x ³ - 3 3x 5x 0,25
(1) Û ( x + - ) + ( x + - ) 2 3 1 1 5 4 2 = 3x - x Û = x(3x - ) 1
3x +1 +1 5x + 4 + 2 éx = 0(TM ) € ê 3 5 0,25 ê + = 3x -1 (*) êë 3x +1+1 5x + 4 + 2
Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 là một nghiệm của (*) 0,25
Nếu x>1 thì VT(*)<20,25
Nếu x<1 thì VT(*)>2>VP(*). Vậy (1) có 2 nghiệm x=0; x=1 0,25 2 3 2
ìïx + x y - xy + xy - y =1(1) 3
2) Giải hệ phương trình: í (*) 1,5 4 2
ïîx + y - xy(2x -1) =1(2) 2 2
ì(x - y) + xy(x - y) + xy =1 ï (*) Û í 2 0,25 ( 2 ï x - î y) + xy =1 2
ìa = x - y
ìa + ab + b = 1 Đặt í . Hệ trở thành: í (*) 0,25 b î = xy 2 îa + b = 1 3 2 2
ìïa + a - 2a = 0
ìïa(a + a - 2) = 0 Hệ (*) Û í Û í 2 2 b ïî =1- a b ïî =1- a 0,25 Từ đó tìm ra ( ;
a b) Î{(0; 1); (1; 0); ( 2 - ;- 3 } ) 2 ìx - y = 0 Với ( ;
a b) = (0; 1) ta có hệ í Û x = y = 1. 0,25 îxy = 1 2 ìx - y = 1 Với ( ;
a b) = (1; 0) ta có hệ í Û ( ; x y) = (0; 1 - );(1;0);( 1 - ;0) . 0,25 îxy = 0 Trang 18 Với ( ; a b) = ( 2 - ; 3 - ) ta có hệ ì 3 ì 3 2 ìx - y = 2 - ïy = - ïy = - í Û í x Û í x Û x = 1; - y = 3 . 0,25 îxy = 3 - 3 2 ïîx 2x 3 0 ï + + =
î(x +1)(x - x + 3) = 0
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( ;
x y) Î{(1; 1);(0;-1);(1; 0);( 1 - ; 0);( 1 - ; 3 } ) . 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (
A 2;6), chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh æ 3 ö æ 1 ö
A là điểm D 2;-
, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm I - ;1 . Viết phương trình 2,0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø
của đường thẳng BC.
Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính IA 0,5 !!!!" 15 ö !"
Đường thẳng AD đi qua A và có VTCP AD æ 0;-
Þ n(1;0) là véc tơ pháp tuyến của AD ç è 2 ÷ 0,5 ø
PT đường thẳng AD là: x = 2 '
A = AD Ç(C); A' ¹ A Þ '
A’ thuộc AD và IA’=IA, Tìm được A (2; 4 - ) 0,5
A’ là trung điểm cung ª
BC không chứa A nên IA’ ^ BC 0,5 !!!!" æ 5 0,5 ö
đường thẳng BC đi qua D và có A' I = - ;5 là vecto pháp tuyến ç 2 ÷ è ø
Từ đó viết được pt đường thẳng BC là: x - 2 y - 5 = 0 0,5
Câu 5. Cho tam giác ABC có BC = a;CA = ;
b BA = c (b ≠ c) và diện tích là S . Kí hiệu
m ; m ; m lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng a b c 2 2 2
2m ³ m + m (*) 2,0 a b c a) Chứng minh rằng 2
a £ 4S.cotA
Viết được công thức các trung tuyến 0,25 2 2 2 2 2 2 2 a c + a b a + b c (*) 2 2 € b + c - ≥ - + - 0,25 2 2 4 2 4 2 2 2
€ b + c ≥ 2a (**) 0,25 0,25 cos A
Ta có 4S.cot A = 2 . bc sin . A 2 2 2 = 2 .
bc cos A = b + c - a sin A 0,25 Từ (**) 2 2 2 2
€ b + c - a ≥ a Hay 2
4S.cotA ≥ a 0,25
2b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. 1,0
Chứng minh rằng góc ÐMGO không nhọn. uuur uuur uuur uuur Ta sẽ chứng minh . GO GM £ 0 € . OG GM ≥ 0 0.25 Ta có !!!" !!!" !!!" !!!"
!!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
3OG = OA + OB + OC ; 6GM =2AM = AB + AC = OB + OC - 2OA !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 0.25 Þ 3 .6G OG
M = (OA+ OB + OC).(OB + OC - 2OA) !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 2 2 2
= OB + OC - 2OA + 2 . OB OC - . OA OC - . OA OB= 2 . OB OC - . OA OC - . OA OB * Mặt khác ta có 0.25 Trang 19 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
BC = (OC -OB)2 2 2 2 2 2
= OB + OC - 2O . B OC Þ 2O .
B OC = 2R - a ( trong đó R= OA = OB = OC ). !!!" !!!" !!!" !!!" Tương tự có 2 2 2 2 2 .
OA OC = 2R - b ; 2 .
OA OB = 2R - c . 2 2 !!!" !!!!" b + c !!!" !!!!" Vậy 2 18. . OG GM = - a ³ 0 Þ .
OG GM ³ 0 ( do có (**)) 0.25 2 3 3 Cho ; a ;
b c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c =
. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2,0 1 1 1 biểu thức M = + + . 2 2 2 2 2 2
a + b + 3 b + c + 3 c + a + 3
* Bđt phụ: Cho các số thực x, y, z > 0, a, b, c là các số thực bất kì. Khi đó a b c ( + + )2 2 2 2 a b c a b c + + ³
(*). Dấu bằng xảy ra khi = = . 0,5 x y z x + y + z x y z
+ Dễ thấy bđt trên suy ra từ bđt Bunhia * Vào bài chính 1 1 1 1
Ta sẽ chứng minh M = + + £ . 2 2 2 2 2 2
a + b + 3 b + c + 3 c + a + 3 2 æ 1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö 1 Û - + - + - ³ ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷
è 3 a + b + 3 ø è 3 b + c + 3 ø è 3 c + a + 3 ø 2 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a 3 Û P = + + ³ 2 2 2 2 2 2 0,5
a + b + 3 b + c + 3 c + a + 3 2
Giả sử a ³ b ³ c . 6 a + b (a +b)2 (a -b)2 2 2 Biến đổi = + . 2 2 a + b + ( 2 2 a + b + ) ( 2 2 3 2 3 2 a + b + 3)
Biến đổi tương tự với 2 số hạng còn lại của P.
Sau đó áp dung bđt (*) ta có: 2 2 0,5
(a +b +b + c + c + a) (a -b +b -c + a -c) P ³ + 4( 2 2 2
a + b + c ) +18 4( 2 2 2
a + b + c ) +18
4(a + b + c)2 + 4(a - c)2
2(a + b + c)2 + 2(a - c)2 Û P ³ Û P ³ 4( 2 2 2
a + b + c ) +18 2( 2 2 2
a + b + c ) + 9 Ta sẽ chứng minh
2(a + b + c)2 + 2(a - c)2 3
³ Û (a + b + c)2 + (a - c)2 ³ ( 2 2 2 4 4
6 a + b + c ) + 27 2( 2 2 2
a + b + c ) + 9 2
Û 4(a + b + c)2 + 4(a - c)2 ³ 6(a + b + c )+ 2(a + b + c)2 2 2 2
Û 2(a + b + c)2 + 2(a - c)2 ³ 3(a + b + c )+ (a + b + c)2 2 2 2 0,5 2 Û b
- + ab + bc - ca ³ 0 Û (a - b)(b - c) ³ 0
Bđt cuối cùng đúng, suy ra đpcm. Đ/K cosx ³ 0 0.5 2 7
Phương trình tương đương với cos x + cos x = 1- cos x + sinx 2đ 1 1 2 2 æ 1 ö æ 1 ö Û 2
cos x + cos x + = sin x + sin x + Û cos x + = sin x + ç ÷ ç ÷ 4 4 è 2 ø è 2 ø Trang 20 0.5 é 1 1
cos x + = sin x + ê 2 2 é cos x = sin x (1) Û ê Û ê 1 1 ê
êë cos x +1= -sin x(2)
cos x + = -sinx - êë 2 2 0.50 -1+ 5 æ p ö
Giải (1) được nghiệm x = a + k p 2 với cosa = ,a Î ç ; 0 ÷ 2 è 2 ø p 0.5
Giải (2) được nghiệm x = - + k2p 2 p
Vậy phương trình có nghiệm x = - + k2p ; 2 -1+ 5 æ p ö x = a + k p 2 với cosa = ,a Î ç ; 0 ÷ 2 è 2 ø
Giả sử a thoả mãn điều kiện bài toán và (x0; y0) là một nghiệm của hệ đã cho, ta có 0.25 ì ( 2 3 x - 3 ay ) = (a + ) 1 2 (1) 8 ï 0 0 2đ í 3 x + 2 ax y + 2 x y = 1 (2) 0 0 0 0 0 ï îx + y = 0 (3) 0 0 0.25 ì 1 3 2
ïx (a +1) = (a +1) (4) Từ (3) suy ra y 0
0 = -x0 thay vào (1) và (2) ta được í 2 (5) 3 ïx (2 - a) =1 î 0 a +1 1 0.25 Từ (5) ta thấy x 2
0 ¹ 0; a ¹ 2 chia các vế của (4) cho (5) ta được: = (a +1) 2 - a 2 Û a = 0;a = 1 - ;a = 1 0.25 0.25 ì 1 ì 1 ì 1 x = x = 3 ï 3 ïx = ï 2 ï 3 ï 2 +, a =0 hệ trở thành í 2 Û í (loại) và í Suy ra a = 0 (loại) 1 1 3 2
ïîx + xy =1 ïy = ïy = - 3 ïî 2 3 ïî 2 0.25 ì 1 x = 3 3 ï 3 ìïx + y = 0 ìy = -x ï 3 +, a = -1 ta có hệ í Û í Û í thoả mãn x + y = 0 3 2 2 3 2 2
ïîx - x y + xy =1
îx - x y + xy = 1 1 ïy = - 3 ïî 3 3 3 0.25 ïìx - y = 2 ( ) 6 +, a = 1 ta có hệ: í 3 2 2
ïîx + x y + xy = 1(7)
Nhân hai vế của (7) với 2 rồi trừ đi các vế tương ứng của (6) ta được: (x + y)(x2 + y2 + xy) = 0 (8) 1 3 0.25 Từ (7) suy ra x 2 2 2 2
¹ 0 Þ x + y + xy = (y + x) + x > 0 2 4
do đó từ (8) suy ra x + y = 0 ìx = 1
Thay y = -x vào (6) ta dễ dàng thấy hệ có nghiệm duy nhất í thoả mãn x + y = 0 îy = 1 - Kết luận: a = -1; a = 1 y
Kẻ AH ^ BC, IK ^ BC, đặt AH = h, 0.25
bán kính đường tròn nội tiếp là r và I(x; y). A 8 2đ I B C x -3 O K H 3 Trang 21 1 0.5 Có h = 3r , S = pr = BC h . Û (AB + BC + CA)r = 3BC.r ABC D 2 B C 0.5
Û AB + CA = 2BC Û sinC + sinB = 2sinA Û cot .cot = 3 (*) 2 2 B BK C CK 0.25 Mà cot = ,cot =
Từ (*) suy ra BK.CK = 3IK2 (**) 2 IK 2 IK
Do I là tâm đường tròn nội tiếp suy ra K ÎBC nên BK.CK = (3 + x)(3 - x), IK2 = y2 0.25 2 2 0.25 x
Thay vào (**) ta có x2 + 3y2 = 9. Suy ra I thuộc elip có phương trình + y = 1 9 3 A B C 0.5
Chứng minh được cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin sin > 1 2 2 2 3 0.5
Chứng minh được cosA + cosB + cosC £ (1) 2 3 1
Như vậy 1 < cosA + cosB + cosC £ . Theo (1) ta có 0 < t £ 2 8 2 0.5 1 1 t -1
Xét f(t) = t + với 0 < t £ f’(t) = = 0 Û t = 1 ± t 8 2 t 1 0.5 Ta có BBT: t 0 8 f’(t) - f(t) + ¥ 65 8 67 Suy ra minT = Û D ABC đều 2
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 5
Câu 1.(3.0 điểm) x x
1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số y = - × 10 - x 10 + x
2) Cho các nửa khoảng A = (a a ; +1], B = [ ;
b b + 2). Đặt C = A È .
B Với điều kiện nào
của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó.
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm m để phương trình 2 4 2
x -1 = m - m +1 có bốn nghiệm phân biệt. (m - )1x + 2
Câu 3. (2,0 điểm) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: < m +1. x - 2
Câu 4.(2,0 điểm) Giải phương trình 2
x - 7x + 8 = 2 x.
ìï 7x + y + 2x + y = 5
Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình í
ïx - y + 2x + y =1. î
Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và ∑ 0
BAC = 60 . Các điểm M, N được xác !!!" !!!" !!!" !!!" định bởi MC = 2 - MB và NB = 2
- NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. Trang 22
Câu 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy
các điểm A', B ' và C '. Gọi S , S , S và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB 'C ', a b c 3
BC ' A', CA'B ' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức S + S + S £
S . Dấu đẳng thức a b c 2
xảy ra khi và chỉ khi nào?
Câu 8. (2,0 điểm)(2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi
A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp
xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. p
Câu 9. (2.0 điểm) Giải phương trình: sin 4x + cos 4x = 4 2 sin (x + ) -1. (x Î R) 4
Câu 10. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. 3 3 3 a b c 3 Chứng minh rằng: + + ³ . 2 2 2
b + 3 c + 3 a + 3 4 ---HẾT--- Câu
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 05 Điểm x x
1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số y = - × - + I 10 x 10 x
2) Cho các nửa khoảng A = (a a ; +1], B = [ ;
b b + 2). Đặt C = A È .
B Với điều kiện nào của các số thực
a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó. 3.0
Hàm số y có tập xác định D = ( 10 - 10) ;
là tập đối xứng qua điểm x = 0. 1.5 1 Kiểm tra: x " Î , D
f (-x) = f (x) Þ f chẵn
f không lẻ (vì nó không đồng nhất bằng 0 trên D), kết luận C = [b b ; + 2) È (a a
; +1] là một đoạn Û b £ a < b + 2 £ a +1 1.5 2
Û b +1 £ a < b + 2. (*)
Khi đó, C = [b b ; + 2) È (a a ; +1] = [ ; b a
+1] là đoạn có độ dài a - b +1.
Câu 2:Tìm m để phương trình 2 4 2
x -1 = m - m +1 có bốn nghiệm phân biệt. Câu (m - )1 x + 2
Câu 3: Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: < m +1. x - 2 4,0 đ Ta có: 4 2 m - m +1 > 0 2 4 2
éx = m - m + 2 (1) 2 PT Û ê 2 2 4 2 2
êëx = m - m = m (1- m ) (2) 2
(1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì 4 2
m - m + 2 > 0 Trang 23
(2) có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 và 2
1- m > 0 Û m Î ( 1 - ; 1) { \ 0}
PT có 4 nghiệm phân biệt Û m Î ( 1 - ;1) { \ 0} và 4 2 2 4
m - m + 2 ¹ m - m Û m Î( 1 - ;1) { \ 0} và 4 2
m - m +1 ¹ 0 Û m Î ( 1 - ;1) { \ 0}, kết luận
(m +1)(x - 2) + (1- m)x - 2 x - (m + 2) BPT Û > 0 Û > 0 x - 2 x - 2 2 3
Nếu m = 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi x ¹ 2
Nếu m > 0 thì m + 2 > 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x Î (- ; ¥ 2) È (m + 2;+¥)
Nếu m < 0 thì m + 2 < 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x Î (- ; ¥ m + 2) È (2;+¥)
Câu 4 : Giải phương trình 2
x - 7x + 8 = 2 x. Câu
ìï 7x + y + 2x + y = 5
Câu 5.Giải hệ phương trình í
ïx - y + 2x + y = 1. î 4
Điều kiện: x ≥ 0 PT Û 2
x -1- 7x + 7 + 2 - 2 x = 0 Û ( x -1)(x x + x - 6 x - 8) = 0 2
Û ( x -1)(x x + 8 + x - 6 x -16) = 0
Û ( x -1)( x + 2)(x - 2 x + 4 + x - 8) = 0 4
Û ( x -1)( x + 2)(x - x - 4) = 0 éx = 1 é x -1 = 0 ê Û ê Û 2 ê æ + ö Kết luận 1 17 9 + 17
êëx - x - 4 = 0 x = ê ç ÷ = ç 2 ÷ 2 ë è ø ì7x + y ³ 0 u
ìï = 7x + y ³ 0 2 u ìï = 7x + y 2 2 u - v 2 2 7v - 2u Điều kiện í ; Đặt í Þ í Þ x = và y = î2x + y ³ 0
ïv = 2x + y ³ 0 î 2
ïîv = 2x + y 5 5 2 u ì + v = 5 ï u ì + v = 5 ï HPT trở thành: í Û í 2 2 2 2 u
ïî - v - 7v + 2u + 5v = 5 2 2 3
ïî u -8v + 5v -5 = 0 5 u ì = 5 - v ï u ì = 5 - v ï u ì = 5 - v ï Û í Û í Û í 2 2 3(
ïî 5 - v) -8v + 5v -5 = 0 2 ïî 5
- v - 25v + 70 = 0 2
ïîv + 5v -14 = 0 (*) u ì = 3
(*) Û v = 2 (nhận) hoặc v = -7 (loại) ; nên HPT trên Û í îv = 2 ì7x + y = 9 ìx = 1
Do đó HPT đã cho trở thành í Û í (phù hợp) î2x + y = 4 îy = 2
Câu 6 :Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và ∑ 0
BAC = 60 . Các điểm M, N được xác định bởi !!!!" !!!" !!!" !!!" MC = 2 - MB và NB = 2
- NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.
Câu 7 : Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B ' và
Câu C'. Gọi S , S , S và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. a b c 3
Chứng minh bất đẳng thức S + S + S £
S . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? a b c 2 4 !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" Ta có: MC = 2
- MB Û AC - AM = -2(AB - AM ) Û 3AM = 2AB + AC 2 !!!" !!!" !!!"
Tương tự ta cũng có: 3CN = 2CA + CB !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 6
Vậy: AM ^ CN Û AM ×CN = 0 Û (2AB + AC)(2CA + CB) = 0 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Û (2AB + AC)(AB - 3AC) = 0 Û 2 2 2AB - 3AC - 5 . AB AC = 0 Trang 24 bc Û 2 2 5 2c - 3b - = 0 Û 2 2
4c - 6b - 5bc = 0 2
Ta có các công thức tính diện tích: 2S = AC '× AB 'sin ;
A 2S = AB × AC sin A a S AC ' AB '
1 æ AC ' AB ' ö Þ a = × £ + (BĐT Cauchy) ç ÷ S AB AC 2 è AB AC ø 2 S 1 æ BA' BC ' ö S 1 æ CB ' CA' ö Tương tự ta cũng có: b £ + và c £ + ç ÷ ç ÷ S 2 è BC BA ø S 2 è CA CB ø S S S
1 æ AC ' BC ' BA' CA' CB ' AB ' ö 3 a b c 7 Do đó: + + £ + + + + + = (đpcm) ç ÷ S S S 2 è AB BA BC CB CA AC ø 2 ì AC ' AB ' = ï AB AC ï C ì ' B '//BC ï BA' BC ' ï Dấu bằng xảy ra Û í =
Û íA'C '//CA Û A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB BC BA ï ï ï
B ' A' //AB CB ' CA' î = ïî CA CB
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là 8
các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy
xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 2,0 ab
Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử A(a;0), B (0;b) với a > 0,b > 0.(*) Suy ra S = . OAB 2 0,25 1 1 1 2 2 1 a + b Mà + = (**)Þ 2 2 2 2 2 2 =
Þ a b = R (a + b ) ³ 2R ab 2 2 2 a b R 2 2 2 R a b ab Þ 2 S =
³ R không đổi (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b) OAB 2 0,25
Kết hợp với (*) và (**): dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = R 2 0,25
Kết luận: A(±R 2;0); B(0;±R 2) (4 cặp điểm) 0,25 9
2. PT Û 2sin 2x cos 2x + 2cos2 2x = 4(sin x + cos x) 2,0
Û (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) ésinx + cos x = 0 Û ê
ë(cos x - sinx)(sin 2x + os c 2x) = 2 é p x = - + kp Û ê 4 ê ë os3 c x - sinx = 2
Chứng minh được phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm p KL: x = - + kp 4 3 3 3 a b c 3 + +
³ (***).Do ab + bc + ca = 3 nên 2 2 2
b + 3 c + 3 a + 3 4 3 3 3 a b c VT (***) = + + 2 2 2
b + ab + bc + ca c + ab + bc + ca a + ab + bc + ca 10 3 3 3 a b c = + +
(b + c)(a + b) (c + a)(b + c) (a + b)(c + a) 0,5 3 a
b + c a + b 3a 3 a
5a - 2b - c Theo BĐT AM-GM ta có + + ³ Þ ³ (1)
(b + c)(c + a) 8 8 4
(b + c)(c + a) 8 Trang 25
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: 3 b
5b - 2c - a 3 c
5c - 2a - b ³ (2), ³ (3)
(c + a)(a + b) 8
(a + b)(c + a) 8 a + b + c
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được VT (***) ³ 4
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được :a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca) = 3. 0,5
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (Đpcm)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 6 Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho phương trình bậc hai 2
x - 2mx + 3m - 2 = 0 , trong đó x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả các
giá trịcủa m để phương trình đã cho có hai nghiệm x , x và 2 2
x + x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
b) Cho tam thức bậc hai f (x) 2
= ax + bx + c, a ¹ 0 . Chứng minh rằng nếu f (x) ³ 0 với mọi xÎ!
thì 4a + c ³ 2b . Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x - 2 - 3x = 1- 2x + 3 (xÎ ! ) ( ì x - y ï )( 2 2
x + xy + y + 3) = 3( 2 2 x + y ) + 2
b) Giải hệ phương trình í (x, yÎ! ) 2
ï x + 6 + y + 3 = -x + 2x + 8 î Câu 3 (2,0 điểm) 1. Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a b c 3 ( + + ³ a + ) 1 (b + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1 (c + ) 1 (a + ) 1 4
2. Giải bất phương trình 3 3 - x ³ 1- x - 2 (xÎ! ) Câu 4 (3,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC ( AB < AC) nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O), trọng tâm G và
a = BC, b = C ,
A c = AB . Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng nếu bốn điểm A,
O, M, G cùng nằm trên một đường tròn thì 2 2 2
b + c = 2a .
2. Cho tam giác ABC không vuông và a = BC, b = C ,
A c = AB . Chứng minh rằng nếu 2 2 2
a + b = 2c và tan A + tan B = 2 tan C thì ABC là một tam giác cân.
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy ; cho tam giác ABC có tọa độ tâm æ ö
đường tròn ngoại tiếp, trong tâm lần lượt có tọa độ là I ( ) 11 1 4;0 , G ; ç ÷ . Tìm tọa độ các è 3 3 ø
đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng (d ) : 2x + y -1 = 0
và điểm M (4;2) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC. ( x - x)2 2 sin cos (1+ 2sin2x)
Câu 5;(1,0 điểm) Giải phương trình: = 1- tan x . sin 3x + sin 5x Trang 26
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ 06
Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (3,0 điểm) 1a (2,0 điểm) ém ³ 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm 2
D ' = m - 3m + 2 ³ 0 Û ê 0,5 ëm £1
Theo định lí Vi – ét ta có x + x = 2 , m x x = 3m - 2 0,25 1 2 1 2
Do đó x + x = x + x
- 2x x = 4m - 2 3m - 2 = 4m - 6m + 4 1 2 ( 1 2 )2 2 2 2 1 2 ( ) 2 0,5
Lập bảng biến thiên của hàm số f (m) 2
= 4m - 6m + 4 trên (-¥ ] ;1 ![2;+¥) ta được m -¥ 1 2 +¥ +¥ +¥ f(m) 0,75 2 8
Từ bảng biến thiên ta được f (m) 2
= 4m - 6m + 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi m =1. 1b (1,0 điểm)
Do f ( x) ³ 0 với mọi x Î ! nên f (0) ³ 0 Û c ³ 0 . ìa > 0 ìa > 0
Mặt khác f ( x) ³ 0 với mọi x Î ! Û í Û í 0,5 2 2
îD = b - 4ac £ 0 b î £ 4ac Ta có 2
4a + c ³ 2 4ac ³ 2 b = 2 b ³ 2b . 0,5 2 (2,0 điểm) 2a (1,0 điểm) ì 3 ì x ³ 0 ïx ³ 0 ï ï
Đkxđ íx - 2 ³ 0 Û íx ³ 2 Û x ³ 2 ï2x 3 0 ï + ³ 3 î ïx ³ - î 2 0,5
Phương trình đã cho tương đương với:
x - 2 + 2x + 3 = 3x +1 Û x - 2 + 2x + 3 + 2 ( x - 2)(2x + 3) = 3x +1+ 2 3x
Û (x - 2)(2x + 3) = 3x Û ( éx = - x - 2)(2x + 3) 1 2 2
= 3x Û 2x - x - 6 = 3x Û 2x - 4x - 6 = 0 Û 0,25 ê ëx = 3
Kết hợp với đkxđ ta được x = 3. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { } 3 . 0,25 2b (1,0 điểm) Đkxđ: x ³ 6, - y ³ -3
Từ phương trình đầu của hệ ta có: ( x - y)( 2 2
x + xy + y + ) = ( 2 2 3 3 x + y ) + 2 Trang 27 2 2 2 2 3 3 2 2 Û - + + + - = + + Û - + - = + +
(x y)(x xy y ) 3(x y) 3x 3y 2 x y 3x 3y 3x 3y 2 0,5 Û (x - )3 1 = ( y + )3
1 Û x -1 = y +1 Û y = x - 2 Þ x ³ -1
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 2
x + 6 + x +1 = -x + 2x + 8 Û x + 6 - 3 + x +1 - 2 + x - 2x - 3 = 0 - - x 3 x 3 æ 1 1 ö Û + + - + = Û - + + + = Û = (x 3)(x ) 1 0 (x 3) x 1 0 x 3 ç ÷ x + 6 + 3 x +1 + 2 è x + 6 + 3 x +1 + 2 ø
So sánh với đkxđ ta được ( x, y) = (3, ) 1 . 0,5 3 (2,0 điểm) 3a (1,0 điểm) a b c 3 Ta có + + ³ 0,25 (a + )1(b + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1 (c + ) 1 (a + ) 1 4 Û 4a (c + ) 1 + 4b(a + ) 1 + 4c (b + ) 1 ³ 3(a + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1
Û 4(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) ³ 3abc + 3+ 3(ab + bc + ca) + 3(a + b + c)
Û ab + bc + ca + a + b + c ³ 6 0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho ba số dương ta được: 3
ab + bc + ca ³ 3 . ab . bc ca = 3 3 0,25
a + b + c ³ 3 abc = 3
Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta được ab + bc + ca + a + b + c ³ 6 . 0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy bđt được chứng minh. 3b (1,0 điểm)
Đkxđ x ³ 2 . Đặt t = x - 2, t ³ 0 suy ra 2
x = t + 2, thay vào bất phương trình ta được: 0,25
- t ³ - t Û - t ³ ( - t)3 3 2 2 1 1 1 1
- t ³ - t Û - t ³ ( - t)3 3 2 2 1 1 1 1 3 2
Û t - 4t + 3t ³ 0 Û t (t - ) 1 (t - 3) ³ 0 0,25 é ³ é t 3 x - 2 ³ 3 éx ³11 Û Û ê ê Û ê 0,25 ë0 £ t £1 êë0 £ x - 2 £1 ë2 £ x £ 3
Kết hợp với đkxđ ta được tập nghiệm là S = [2; ] 3 ![11;+¥) . 0,25 4 (3,0 điểm) 4a (1,0 điểm) A M G O B C !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Ta có OA + OB + OC = OG Þ OG = (OA+ OB + OC)2 2 3. 9. 0,25 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 2 2 2
= OA + OB + OC + 2. . OA OB + 2. .
OB OC + 2.OC.OA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 3R + OA + OB - AB + OB + OC - BC + OC + OA - CA 2 2 2 2
= 9R - a - b - c .
Do 4 điểm A, G, O, M cùng nằm trên một đường tròn nên OG vuông góc với GA hay Trang 28 1 1 0,5 2 2 2
OG + GA = OA Û ( 2 2 2 2
9R - a - b - c ) + ( 2 2 2
2b + 2c - a ) 2 = R 9 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Û 9R - a - b - c + 2b + 2c - a = 9R Û b + c = 2a 0,25 4b (1,0 điểm) 2S sin A 4S Ta có tan bc A = = =
. Tương tự ta tính được tan B, tan C 2 2 2 2 2 2 0,5 cos A b + c - a b + c - a 2bc 4S 4S 4S
Theo giả thiết tan A + tan B = 2 tan C Û + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,25 b + c - a c + a - b a + b - c
Û a - (b - c )2 + b -(c - a )2 = (c -(a -b )2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 ) 4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 4 4 2 2
Û a - b - c + 2b c + b - c - a + 2c a = 2c - 2a - 2b + 4a b
Û c - (a -b )2 = c (a + b ) Û c -(a -b )2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2
= 2c Û a = b. Hay tam giác ABC cân 0,25 4c (1,0 điểm) A M N H G I (d) C B !!!" !!"
Ta chứng minh IH = 3.IG 0,25 x - 4 y - 2 Suy ra H (3; ) 1 Þ pt MH : =
Û x - y - 2 = 0 . 3 - 4 1- 2
Do B là giao của (d) và đường thẳng MH nên tọa độ B là nghiệm của hệ: ìx - y - 2 = 0 ìx = 1 í Û í Þ B (1;- ) 1 . 0,25 î2x + y -1 = 0 îy = 1 - !!!" 3 !!!"
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó BN = BG Þ N (5; ) 1 2 !!!" !!!" Ta có n = u = Þ pt AC x - +
y - = Û x + y - = AC MN (1 ) ;1 :1( 5) 1.( ) 1 0 6 0 .
Do A thuộc đường thẳng AC nên A(t;6 - t) , kết hợp với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,25 ét = 3
ABC nên IA = IB Û (t - 4)2 + (6 - t)2 2 2 = 10 Û ê ët = 7
+) Với t = 3 Þ A(3;3),C (7;- ) 1
+) Với t = 7 Þ A(7;- ) 1 ,C (3;3) 0,25
Vậy A(3;3), B(1;- ) 1 ,C (7;- ) 1 hoặc A(7;- ) 1 , B (1;- ) 1 ,C (3;3) Câu si
ì n 3x + sin 5x ¹ 0 5 ĐK: í Û sin 4x ¹ 0(*) 0.5 îcos x ¹ 0
Biến đổi được ( ) Û ( x - x)2 1 sin cos
(1+ 2sin2x) = 2sin4x(cos x -sin x) 0.5 Trang 29
ésin x - cos x = 0(2) Û ê
êë(cos x - sin x)(1+ 2sin 2x) = 2 sin 4x(3) ( p
2) Û x = + kp (k Î!) (Loại) 0.5 4
(3) Û cos x -sin x + sin3x + sin x + os3 c
x - cos x = 2 sin 4x é p x = + k2p p ê æ ö 0.5 4 Û 2 sin 3x + = 2 sin 4x Û ç ÷ ê (k Î!) è 4 ø 3p k2p êx = + êë 28 7 3p k2p
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là x = +
(k ¹ 7m -3,k,mÎ!) 0.5 28 7
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 7
Câu 1. (5,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3 2 4
x -1 + x + x + x +1 = 1+ x -1 . 2 2 ì + + + = -
2. Giải hệ phương trình: x 2x y y 3 xy í . î
xy + x + 2y = 1
3. Giải bất phương trình: 2
x - x -12 < 7 - x .
Câu 2.(2 điểm)Cho phương trình: 3 x - (m + ) 2 x - ( 2 1
2m - 3m + 2) x + 2m(2m - ) 1 = 0 .
Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x , x , x . 1 2 3
Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
S = x + x + x . 1 2 3
Câu 3. (1,0 điểm)Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương x " Î ! 2
f (x) = (m- 4) x + (m+1) x+ 2 m-1 . Câu 4. (1 điểm)
Cho tam giác ABC có a = 2 3;b = 2 2;c = 6 - 2 .Tính các góc của tam giác ABC .
Câu 5.(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B ( 2 - ) ;1 ;C(1; 3
- ) trung điểm I của cạnh AC thuộc đường thẳng (d) : 2 x+ y = 0 . Xác định tọa
độ điểm A biết diện tích tam giác ABC bằng 3 .
Câu 6. (2.0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt là : x - 2y -13 = 0 và 13x - 6y - 9 = 0 .Tìm tọa độ các điểm ,
A B,C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I ( 5 - ;1) . Câu 7. (2.0 điểm) Cho các số thực 1 1 1 a, ,
b c Î[1;2].Chứng minh rằng: 2 (a+ b+ c)( + + ) £ 27 . a b c ------Hết------ Trang 30
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 7 Câu Đáp án Điể m I
1. (1 điểm) Giải phương trình: 3 2 4
x -1 + x + x + x +1 = 1+ x -1 . 2.0 ĐKXĐ: x ³1 Đặt 3 2 4
x -1 = a(a ³ 0); x + x + x +1 = b(b > 0) Þ ab = x -1 éa =1
Phương trình đã cho trở thành: a + b =1+ ab Û (a-1)(1- b) = 0 Û ê ë = b 1
Với a =1Þ x -1 =1 Û x = 2(t/m ĐKXĐ) Với 3 2 2
b = 1Þ x + x + x +1 = 1 Û x(x + x+1) = 0 Û x = 0 (loại)
KL: x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 2 2
ìx + 2x + y + y = 3- xy(1)
2. ( 1 điểm) Giải hệ phương trình: í . î
xy + x + 2y = 1(2) 2,0 2 2
ìx + 2x + y + y + xy = 3 Û í 2 2
Þ x + y + 2xy + 3x + 3y - 4 = 0 î
xy + x + 2y = 1 2
Û (x + y) + 3(x+ y) - 4 = 0 Û x + y =1 hoặc x + y = 4 - é y = 2 éx = 1 - 2
Với x + y =1Þ x =1- y .Thay vào (2) ta được -y + 2y = 0 Û Þ ê ë y 0 ê = ë x =1 Với x + y = 4
- Þ x = -4 - y .Thay vào (2) ta được 2
y + 3y + 5 = 0(VN)
KL: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm : (1;0) và (-1;2) Trang 31
1. (1 điểm) Giải bất phương trình: 2
x - x -12 < 7 - x 1.0 ìéx £ 3 - ï 2 ì ê x - x -12 ³ 0 2 ìx - x -12 ³ 0 ïë x ³ 4 ï é x £ 3 - Bất phương trình ï Û ï ï í 7 - x > 0
Û í 7 - x > 0 Û í x < 7 ê Û 61 ï ï ï ê4 £ x < ïx - x -12 < - < î (7 - x)2 2 13x 61 0 61 î ï ë x < 13 ï 13 î
KL: Bất phương trình đã cho có tập nghiệm 61 T = ( ; -¥ 3 - ]È[4; ) 13 2 Cho phương trình 3 x - (m + ) 2 x - ( 2 1
2m - 3m + 2) x + 2m(2m - ) 1 = 0 (1)
Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x , x , x . 1 2 3
Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
S = x + x + x . 1 2 3 2,0 éx = 2 2
(1) Û (x - 2)[x - (m -1)x - m(2m - ) 1 ] = 0 Û ê 2
x - (m -1)x - m ë (2m - ) 1 = 0(*) 2
Đặt: f (x) = x - (m -1)x - m(2m -1)
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ì 1 m ¹ ï ' ì 3 ïD > 0 ï Û í Û ím ¹ -2 ï f î (2) ¹ 0 ï 3 ïm ¹ î 2
Đặt x = 2 Þ x , x là hai nghiệm pt(*). 3 1 2 2 æ 2 ö 21 21 Ta có: 2 2 2
S = x + x + x 2 2
= (x + x ) - 2x x + 4 = 5m - 4m + 5 = 5 m - + ³ 1 2 3 1 2 1 2 ç ÷ è 5 ø 5 5 21 2 Vậy M in S =
đạt được khi m = (t / m) 5 5
Câu 3(1điểm) Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương x " Î ! 2
f (x) = (m- 4) x + (m+1) x+ 2 m-1 . = +
f (x) 5x 7 0,25 Nếu m = 4 thì 7
f (x) > 0 Û 5x + 7 > 0 Û x > - Þ m = 4(L) 3 5 ìm - 4 > 0 0.25
Nếu m ¹ 4 thì f (x) > 0"x Î ! Û í î D < 0 ì ì m > 4 0,25 ï ï m 4 0 ï - > ïé 3 Û í
Û í m < Û m > 5 2 7m 38m 15 0 ê - + - < 7 ï ïê ï ï î îë m > 5
KL: m > 5 là giá trị cần tìm. 0.25 4)
Cho tam giác ABC có a = 2 3;b = 2 2;c = 6 - 2 .Tính các góc của tam giác ABC . 2.0 Trang 32 2 2 2 b + c - a 1- 3 1 0,25 2 2 2 o
Ta có: a = b + c - 2bc cosA Þ cosA = = = - Þ A = 120 2bc 2( 3 -1) 2 2 2 2 a + c - b 3 -1 2 0,25
Tương tự có: cos B = = = Þ B = 45o 2ac 2( 3 -1) 2 o o o o
C = 180 - (120 + 45 ) = 15 0,25
KL: Các góc của tam giác ABC là A =120o;B = 45o; =15o C 0,25 5
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B( 2 - ) ;1 ;C(1; 3
- ) trung điểm I của
AC thuộc đường thẳng (d) : 2 x+ y = 0 . Xác định tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC bằng 3 . 2,0 Do I Î(d) Þ I(x; 2
- x) vì I là trung điểm của AC nên (2 A x-1; 4 - x+ 3) 0,5 !!!" BC = (3; 4)
- Þ BC = 5 Phương trình đường thẳng BC là: 4x + 3y + 5 = 0 0,5 4 - x +10 d( ; A BC) = 5 1 1 4 - x +10 é x =1 é ( A 1; 1 - ) 0,5 S
= 3 Û d(A;BC).BC = 3 Û . .5 = 3 Û 5 - 2x = 3 Û Þ ABC KL. 2 2 5 ê ëx 4 ê = ë ( A 7; 13 - )
Câu 6.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao 6
và đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt là : x - 2y -13 = 0 và 13x - 6y - 9 = 0 .Tìm tọa độ các điểm ,
A B,C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I ( 5 - ;1) . 2,0
ì x - 2y -13 = 0 ìx = 3 -
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình: í Û í Þ ( A 3 - ; 8 - ) 13x - 6y - 9 = 0 î îy = 8 -
Gọi AH; AM lần lượt là các đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A Þ IM ! AH
Phương trình của IM là: x - 2y + 7 = 0
ì x - 2y + 7 = 0 ìx = 3
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình í Û í Þ M (3;5) 13x - 6y - 9 = 0 î îy = 5
BC ^ AH nên phương trình BC có dạng 2x + y + c = 0
Mà M Î BC nên có 2.3+ 5 + c = 0 Þ c = 11 -
Phương trình đường thẳng BC là: 2x + y -11 = 0 !!" !!"
B Î BC Þ B(a;11- 2a) IA = (2; 9)
- ; IB = (a + 5;10 - 2a) éa = 4 2
Lại có: IA = IB Û a - 6a + 8 = 0 Û ê ëa = 2
Với a = 4 Þ B(4;3);C(2;7) Với a = 2 Þ B(2;7);C(4;3)
KL: B(4;3);C(2;7) hoặc B(2;7);C(4;3) 7 Cho các số thực 1 1 1 a, ,
b c Î[1;2].Chứng minh rằng: 2 (a+ b+ c)( + + ) £ 27 . a b c 2.0 Vì 2
a Î[1;2] Þ (a-1)(a-2) £ 0 Û a + 2 £ 2 3a Û a + £ 3 a Trang 33 Tương tự ta cũng có: 2 b + £ 2 3 và c + £ 3 b c
Cộng ba bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 1 1
9 ³ (a+ b+ c) + ( + + ) + ( + + ) a b c a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 3
9 ³ 3 (a+ b+ c)( + + ) Û (a+ b+ c)( + + ) £ 27 a b c a b c
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ a = b = c =1 ---HẾT---
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI SỐ 8 Câu 1. (3,0 điểm) a) Giải phương trình 1 1 + = 2 (xÎ! ) 2 x 2 - x
b) Cho phương trình bậc hai 2 2
x - 2mx + m - 2m + 4 = 0 ( x là ẩn và m là tham số). Tìm tất cả
các giá trị thực của m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm không âm x , x . Tính 1 2
theo m giá trị của biểu thức P = x + x P 1
2 và tìm giá trị nhỏ nhất của . 2 2
ìx - xy + y + x - 2y = 0
Câu 2.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: í (x, yÎ! )
î2x - xy + y = 2
Câu 3.(1,0 điểm) Cho a, ,
b c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng ( æ 1 1 1 2 2 2 ö
a + b + c ) + + ³ 10 ç 2 2 2 ÷ è a b c ø Câu 4. (3,0 điểm)
a) Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội tiếp đường tròn ( ;
O R) . Gọi G và M lần lượt là
trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Chứng minh nếu đường thẳng OG vuông
góc với đường thẳng OM thì 2 2 2 2
AC + AB + 2BC = 12R .
b) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là ,
m n, p . Tính độ
dài các cạnh AB, BC, CA theo , m n, p .
c) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng
chứa đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt có phương trình là
x - 2y = 0, x - 2 = 0, x + y - 3 = 0 .
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
10 và đỉnh A có hoành độ âm. Câu 5. (1,0 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M nằm bên trong tứ giác đó (M không nằm trên các
cạnh của tứ giác ABCD). Chứng minh tồn tại ít nhất một trong các góc ∑ ∑ ∑ ∑
MAB, MBC, MCD, MDA có số đo không lớn hơn 0 45 . Trang 34
sin 2x + cos 2x - 3 2 sin x - 2
Câu 6. (1,0 điểm) Giải phương trình = 1. (sin x + cosx)2
-------------Hết-----------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 08 Câu Nội dung trình bày Điểm
1(3đ) 1.a (1,5 điểm) ìx ¹ 0 0,25 Điều kiện: í Û x Î - 2;0 ! 0; 2 2 ( ) ( ) î2 - x > 0 Đặt 2 y = 2 - x > 1 1
0. Thay vào ta được: + = 2. Do đó ta có hệ phương trình: x y 2 2 ìx + y = 2 ï ìx + y = 2 ( ìï x + y)2 2 2 - 2xy = 2 í1 1 Û í Û í 0,5 + = 2 ï
îx + y = 2xy
ïîx + y = 2xy î x y éìx + y = 2 êí 2 (
ìï x + y) -(x + y)- 2 = 0 êîxy =1 í Û 0,25
ïîx + y = 2xy êìx + y = 1 - êí êëîxy = 0, - 5 ìx + y = 2 ìy = 2 - x ìx =1 +) í Û í Û í 2 0,25 îxy =1 îx - 2x +1 = 0 îy =1 ì 1 - - 3 ïx = ìx + y = 1 - ìx = 1 - - y ï 2 +) í Û í Û í (do y > 0) 2 îxy = 0, - 5 î2y + 2y -1 = 0 ï 3 -1 y = ïî 2 0,25 ìï 1 - - 3 üï
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = í ;1ý ï 2 î ïþ 1.b (1,5 điểm) Phương trình 2 2
x - 2mx + m - 2m + 4 = 0 (1) có hai nghiệm không âm 2 2
ìD ' = m - m + 2m - 4 ³ 0 ï 0,75 Û íS = 2m ³ 0 Û m ³ 2. ï 2
P = m - 2m + 4 ³ 0 î
Theo định lý Vi-ét ta có 2 x + x = 2 ;
m x x = m - 2m + 4 . Do đó 1 2 1 2 0,5 x + x = x + x
= x + x + 2 x x = 2m + 2 m -1 + 3 1 2 ( 1 2 )2 1 2 1 2 ( )2
Do m ³ 2 Þ x + x ³ 8 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 2 . 0,25 1 2 2(2đ)
Đặt z = y -1, thay vào hệ ta được: 0,5 Trang 35
ìx - xz + z = (
ìï x + z)2 - xz = ( ìï x + z)2 2 2 1 3 1
- 3(x + z) + 2 = 0 í Û í Û í
îx - xz + z = 1
ïîx + z -1 = xz
ïîx + z -1= xz éìx + z = 2 ìéx + z = 2 êí ïê êîxz = 1 Û íëx + z =1 Û ê ï ìx + z = 1
îxz = x + z -1 êí 0,5 êëîxz = 0 ìx + z = 2 ìz = 2 - x ìx =1 ìx =1 +) í Û í Û í Û í 2 0,25 îxz =1 îx - 2x +1 = 0 îz =1 îy = 2 ìx + z =1 ìz =1- x ìx =1, z = 0 ìx =1, y =1 +) í Û í Û í Û í 2 îxz = 0 îx - x = 0 îx = 0, z =1 îx = 0, y = 2 0,5
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = ( { 1;2),(1 ) ;1 ,(0;2)} 0,25 3(1đ) Do a, ,
b c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn nên có một trong các bất đẳng thức sau xảy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a ³ b + c , b ³ c + a ,c ³ a + b . Giả sử 2 2 2
a ³ b + c , khi đó ta có: 0,25 2 2 æ 1 1 1 ö æ 1 1 ö b + c æ 1 1 ( 2 2 2 ö
a + b + c ) 2 + + = 1+ a + + + ÷ ç ÷ ( 2 2 b + c + ç 2 2 2 2 2 2 ) ç 2 2 ÷ è a b c ø è b c ø a è b c ø 0,25 2 2 4 b + c 2 ³1+ a . + + 4 2 2 2 b + c a 2 2 2 2 2 2 2 3a a b + c a b + c =1+ + + + 4 ³1+ 3+ 2 . + 4 =10 . Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 b + c b + c a b + c a 0,5 ( æ 1 1 1 2 2 2 ö
a + b + c ) + + ³ 10 . ç 2 2 2 ÷ è a b c ø 4(3đ) 4.a (1,0 điểm)
Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có: !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" 0,25
OA + OB + OC OB + OC OG = , OM = . Khi đó 3 2 !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" OG ^ OM Þ .
OG OM = 0 Û (OA+ OB + OC)(OB + OC) = 0 0,25 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 2 Û . OA OB + . OA OC + 2 . OB OC + 2R = 0 !2 !2 ! ! 0,25 1
! ! a + b - (a -b)2 Û ( 1 2 2 2R - AB ) + ( 2 2 2R - AC ) 2 2 2
+ 2R - BC + 2R = 0 (chú ý . a b = ) 2 2 2 2 2 2 2
Û AB + AC + 2BC = 12R 0,25 4.b(1,0 điểm) a + b = c S S S 0,25
Kí hiệu a = BC,b = C ,
A c = AB, p = 2 2 2 . Khi đó ta có a = ,b = ,c = 2 m n p
Theo công thức Hê – rông ta có: S = p ( p - a)( p - b)( p - c) æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö 0,25 Û 4S = 2S + + 2S - + + 2S - + 2S + - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è m n p ø è m n p ø è m n p ø è m n p ø 1 2
Û 4S = 4S .k Û S = , trong đó k 0,25
æ 1 1 1 öæ 1 1 1 öæ 1 1 1 öæ 1 1 1 ö k = + + - + + - + + - ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è m n p øè m n p øè m n p øè m n p ø Trang 36 2 2 2 0,25 Do đó a = ,b = ,c = . mk nk pk 4.c (1,0 điểm)
Do BC vuông góc với đường cao kẻ từ A nên BC có dạng 2x + y + c = 0 . Tọa độ đỉnh B là
ì2x + y + c = 0 ìx = 2 nghiệm của hệ í Û í
Þ B(2;- c - 4) , îx - 2 = 0 îy = -c - 4 0,25
ì2x + y + c = 0 ìx = -c - 3
tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình í Û í
Þ C (-c -3;c + 6) . îx + y - 3 = 0 îy = c + 6
AB đi qua B (2;- c - 4) và vuông góc với đường cao kẻ từ C nên
AB : 1.( x - 2) -1.( y + c + 4) = 0 Û x - y - c - 6 = 0 . Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ 0,25
ìx - y - c - 6 = 0 ìx = 2c +12 í Û í
Þ A(2c +12;c + 6). îx - 2y = 0 îy = c + 6 . AB AC.BC . AB AC.BC . AB AC 0,25 Theo giả thiết ta có 10 = Û 10 = Û = 2 10 4S 2.d ( , A BC ).BC d ( , A BC ABC )
( c + )2 +( c + )2 2 10 2 10 . 3c +15 éc = 7 - Û = 2 10 Û c + 5 = 2 Û
4c 24 c 6 c ê + + + + ëc = 3 - 5 +) Nếu c = 7 - Þ A(-2;- )
1 , B (2;3),C (4;- ) 1 . +) Nếu c = 3
- Þ A(6;3), B(2;- )
1 ,C (0;3) không thỏa mãn hoành độ của A âm. 0,25 Vậy A( 2; - - )
1 , B (2;3),C (4;- ) 1 . 5(1đ) Giả sử ∑ ∑ ∑ ∑ {MAB MBC MCD MD } 0 min , , , A > 45 (1). ∑ 2 2 2 2 2 2 cos MAB
MA + AB - MB
MA + AB - MB 0,25 Ta có ∑ cot MAB = = = . ∑ ∑ sin MAB 2.M . A . AB sin MAB 4SMAB 2 2 2 + - MA AB MB
Kết hợp với (1) ta được 0 2 2 2
< cot 45 =1Þ MA + AB - MB < 4S (2) 4 MAB SMAB
Tương tự ta được các bất đẳng thức sau đây : 0,25 2 2 2
MB + BC - MC < 4S (3 MBC ) 2 2 2
MC + CD - MD < 4S (4 MCD ) 2 2 2
MD + DA - MA < 4S (5 MDA )
Cộng theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4), (5) ta được: 2 2 2 2
AB + BC + CD + DA < 4(S + S + S + S = S MAB MBC MCD MDA ) 4 (6) 0,25 ABCD Mặt khác ta lại có: 2 2 2 2
AB + BC + CD + DA ³ 2 . AB BC + 2C . D DA ³ 4S + 4S = 4S , mâu thuẫn với ABC CDA ABCD
(6). Do đó giả sử ban đầu là sai suy ra tồn tại ít nhất một trong các góc 0,25 ∑ ∑ ∑ ∑
MAB, MBC, MCD, MDA có số đo không lớn hơn 0 45 .
Câu 6 ĐK: sin x + cos x π 0. 0,5
Phương trình tương đương: sin 2x + cos 2x - 3 2 sin x - 2 = 1 + sin 2x 0,5 si
È n x = - 2(loai) Í 2
€ 2 sin x + 3 2 sin x + 2 = 0 Í € ! Í - 1 0,5 sin x = Í ÍÎ 2 Trang 37 È - p x Í = + k2p Í 4 € Í (k Œ! ) Í 5p x = + k2p Í 1,0 Î 4 5p
Từ đó tìm được nghiệm x = + k2p (k Œ! ) 4
----------------------Hết----------------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 9
Câu 1. (3,0 điểm)
Cho hàm số y = f(x) = m x2 - 2(m - 1)x + m -2.
1. Tìm m để f(x) đồng biến trên ( 2; - +¥).
2. Tìm m để trên đồ thị của f(x) có hai điểm A( x ; y ), B( x ; y A A B B ) thỏa mãn :
2x - y - 3 = 0, 2x - y - 3 = 0 và AB= 5 . A A B B
Câu 2. (3,0điểm) 1. Giải phương trình: 2 2
2x + x + 9 + 2x - x +1 = x + 4, (x Î ! ). ì 3 2y + =1 ï 2 2 ïx + y -1 x
2. Giải hệ phương trình: í (x,yÎ ! ). 2 2 2x ïx + y - = 4 ïî y
Câu 3. (3,0 điểm) x - 3 1
1. Giải bất phương trình ³ , (x Î ! ). 2x -1 -1 x + 3 - x - 3
2. Tìm k bé nhất để bất PT sau luôn đúng : 2 4
x - x + ( - k )( 2 2 1
x + 1- x )+ 2- k £ 0,
Câu 4. (6,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, E,F lần lượt là chân
đường cao của tam giác ABC kẻ từ B và C; H là trực tâm. K là giao điểm của FE và BC. Chứng minh: HK vuông góc với AM.
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần
lượt đi qua các điểm P(0;-5), Q(-2;5), M(1;-2), N(3;6). Viết phương trình các cạnh của hình vuông.
3) Cho tam giác ABC có trọng tâm G thỏa mãn : cot ∑ GAB +cot ∑ GBC + cot ∑
GCA= 3 3 . Chứng minh : tam giác ABC đều.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 a b c S= + + .
(b + c)(b + 2c) (c + a)(c + 2a) (a + b)(a + 2b)
Câu 6. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác A BC có góc A nhọn, điểm I (4;2
) là trung điểm đoạn BC, điểm A nằm trên đường thẳng d : 2x - y - 1 = 0. Dựng bên ngoài
tam giác A BC các tam giác A BD, A CE vuông cân tại A. Biết phương trình đường thẳng
DE : x - 3y + 18 = 0 và BD = 2 5 điểm D có tung độ nhỏ hơn 7 . Xác định tọa độ các điểm A, B,C . Trang 38 x æ 7p ö 2 2 4 os c + 2 os c ç - x ÷ - 3 os c (2x - 3p ) - 3 2 è 4 ø
Câu 7.(1,0 điểm) Giải phương trình = 0 1- 2sinx HƯỚNG DẪN CHẤM Câu NỘI DUNG Điểm Câu I 1) Ta có m=0 tm 0,5 æ 1ù 1
m > 0 hs đồng biến trên ( 2;
- +¥) khi......... khi m Î 0; ç ú è 3û é 1ù KL : m Î 0; 0,5 ê 3ú ë û
2) Yêu cầu bài toán tương đương với ĐT hs cắt đường y = 2x – 3 tại A, B thỏa mãn AB ìD ' ³ 0
= 5 . Khi đó, ta có pt hoành độ gđ : m x2 - 2m x + m +1=0 có hai nghiệm í Û m < 0 0,5 îm ¹ 0 AB= 5 ....... Û m = 4 - 1 Tìm được m = 4. - 0,5 Câu II
Nhận xét nhân liên hợp giải pt được nghiệm x= 0 hoặc x=8/9 2 Đặt ẩn phụ a = 2 2
x + y -1, b= x/y. Tìm được nghiệm(1 ;-1), (-1 ;1), (3 ;1), (-3 ;-1) 2
Câu III 1) Điều kiện x ³ 3 2
Nhận xét hai mẫu luôn dương, nên quy đồng bỏ mẫu, bình phương ta được tập nghiệm S = [4;5] 2) Ta có xÎ[ 1; - ] 1 . Đặt t = ( 2
x + 1- x ), Đk tÎ 1; é 2 ù ë û 2 3 + 2
Đưa về BPT ẩn t . Tìm ĐK được k bé nhất bằng 1+ 2
Câu IV 1) gắn hệ trục tọa độ được ĐPCM 2
2) Gọi vecto PT của AB (a ;b) ta có PT đường AB, AD. Ta có d(M ;AB)= d(Q ;AD) tìm
được b = 0 hoặc a = -b . KL : có 2 hình vuông 2
AB : x+y+5=0, BC : x-y+7=0, CD : x+y+1=0, DA : x-y+3=0
Hoặc AB : x=0, BC : y=5, CD : x=1, DA : y=6 2 2 2 a + b + c
3) Áp dụng định lí cos, sin ta tính được : VT= 3 4SABC 2 3 3 3 Mà : 2 2 2 2 S £
(a + b + c) £
(a + b + c ) . Vậy : VT ³ 3 3 . Dấu bằng xảy ra ABC 36 36 Û ABC D đều. ĐPCM Câu V 3 a
b + c b + 2c a Áp dụng BĐT CoSi ta có + + ³ . 2
(b + c)(b + 2c) 12 18 2
Tương tự.............................. a + b + c 3 3 abc Vậy S ³ ³ = 1 6 6 Min S = 1 khi a = b = c = 2 Trang 39 !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!"
Câu 6:Ta có2A I .DE = (AB + AC )(AE - AD)= AB.AE - AC.AD fi AI ^ DE 0,5 E D A J B I C
Phương trình đường thẳng A I : 3(x - 4)+ y - 2 = 0 € 3x + y - 14 = 0 Ï 3
Ô x + y - 14 = 0 Ï x Ô = 3
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ Ô Ô Ì € Ì fi A (3;5). 2 Ô x - y - 1 = 0 y Ô = 5 Ô Ó Ô 0,5 Ó
BD = 2 5 fi A D =
10 . Gọi D (3a - 18;a t ) a có È 38 a Í = loai A D = 10 € (3a - )2 21 + (a - 5)2 2 ( )
= 10 € 10a - 136a + 456 = 0 € Í 5 ! a Í Í = 6 Î 0,5
a = 6 fi D (0;6 ) !!!"
Đường thẳng A B đi qua A (3;5 , vt
) pt là AD = (- 3;1 )có phương trình
- 3(x - 3)+ y - 5 = 0 € 3x - y - 4 = 0 0,5 È 2 2 b = 4
Gọi tọa độ điểm B ( ; b 3b - 4 ) ta cóAB 10
(b 3) (3b 9) 10 Í = fi - + - = € b Í = 2 ÍÎ
Với b = 4 fi B (4;8)fi C (4;- 4), loại do góc ∑ BA C tù.
Với b = 2 fi B (2;2)fi C (6;2 , t ) hỏa mãn. 0,5
*Lưu ý: Nếu học sinh không chứng minh được AI ^ DE mà sử dụng luôn thì cả bài cho 1,0 điểm 1,5 x æ 7p ö 2 2 4 os c + 2 os c ç - x ÷ - 3 os c (2x - 3p ) - 3 điểm 2 è 4 ø
Câu 7.Giải phương trình = 0 1- 2sinx 1 p 5p Điều kiện: sinx ¹ Û x ¹ + k2p;x ¹ + k2p . Khi đó 2 6 6 0.5 x æ 7p ö 2 2 pt Û 4 os c + 2 os c - x - 3 os c ç ÷ (2x -3p ) -3 = 0 2 è 4 ø æ x ö é æ 7p ö ù 2 2 Û 2 2 os c -1 + 2 os c - x -1 + 3 os c 2x = 0 ç ÷ ê ç ÷ 2 ë 4 ú è ø è ø û 0.5 æ 7p ö Û 2cos x + os c - 2x + 3 os c 2x = 0 Û 2 osx c - sin 2x + 3 os c 2x = 0 ç ÷ è 2 ø Trang 40 é 5p 2p x = + k p p ê æ ö æ ö 18 3 Û sin 2x - = sin - x Û ç ÷ ç ÷ ê (k Î!) è 3 ø è 2 ø 5p 0.25 êx = + k2p ê ë 6 5p 2p
Kết hợp với điều kiện ta có; pt có nghiệm x = + k , k Î ! 0.25 18 3
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 10 Câu 1. (1,0 điểm). Giải phương trình: 2
19 + 3x + 4 -x - x + 6 = 6 2 - x +12 3 + x . Câu 2. (1,0 điểm). 2 2
ìïx + 2y -3xy - y -1= 0
Giải hệ phương trình: í 2 2
ïîx + y - y - 3 = 0 Câu 3. (1,0 điểm).
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình (m - ) 2
1 x + 2(m + 2) x + 2m + 2 ³ 0 vô
nghiệm (x là ẩn, m là tham số). Câu 4. (1,0 điểm).
Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi
M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh
rằng O, G, G’ thẳng hàng. Câu 5. (1,0 điểm).
Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c . Chứng minh rằng nếu
tam giác ABC thỏa mãn 2 2 2
a + b = 2c và tan A + tan C = 2 tan B thì tam giác ABC đều. Câu 6. (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường
tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm H (2;2) là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN
của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M (5;3), N (1;3) và đường thẳng BC đi qua điểm P (4;2) . Câu 7.(1,0 điểm). Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2015 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2015a - a 2015b - b 2015c - c æ 2015 - a 2015 - b 2015 - c ö + + + 6 ³ 2 2 ç + + ÷ . ç ÷ bc ca ab è a b c ø 3 3 sin . x sin 3x + cos . x cos3x 1
Câu 8.(1,0 điểm) Giải phương trình: = - p p 8
tan(x - ) tan(x + ) 6 3
Câu 9(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;3), B(7;0), C(2;5). Lập phương trình
đường tròn (T) có bán kính nhỏ nhất sao cho A, B, C nằm trên hoặc nằm trong (T). Trang 41
Câu 10(1,0 điểm) Giải hệ phương trình Ï 2 x Ô
Ô - xy - 2y - 4 + 2x - 1 - 2y + 3 = 0 Ô Ì (x,y Œ° ). ( 2 Ô
Ô4x - 4x - 4) 2x - 1 + (x - )
1 - y - 1 = 3x - 7 Ô Ó
-------------Hết-------------
HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ 10 Câ Nội dung trình bày Điể u m 1 2
ì-x - x + 6 ³ 0 ï
Điều kiện xác định: í2 - x ³ 0 Û 3 - £ x £ 2 . ï 3 + x ³ 0 î
Bất phương trình đã cho tương đương với:19 + 3x + 4 (2 - x)(3 + x) = 6( 2 - x + 2 3+ x )
Đặt t = 2 - x + 2 3 + x, t > 0 ta có: 2
t = 2 - x + 4(3+ x) + 4 (2 - x)(3+ x) =14 + 3x + 4 (2 - x)(3+ x) 0,25 ét =1
Thay vào phương trình trên ta được: 2 2
5 + t = 6t Û t - 6t + 5 = 0 Û ê ët = 5
+) t = 1 Û 2 - x + 2 3 + x = 1 Û 2 - x + 4(3 + x) + 4 (2 - x)(3+ x) =1 0,25 2
Û 3x +13 + 4 -x - x + 6 = 0 vô nghiệm do 3 - £ x £ 2
+) t = 5 Û 2 - x + 2 3 + x = 5 Û 2 - x + 4(3+ x) + 4 (2 - x)(3+ x) = 25 16
ìï (-x - x + 6) = (11-3x)2 2 2
Û 4 -x - x + 6 = 11- 3x Û í 11 ïî - 3x ³ 0 2 0,25
ì25x - 50x + 25 = 0 ï Û í
Û x = 1 thỏa mãn điều kiện. 11 x £ ïî 3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = { } 1 . 2 2 2
ìx + 2y - 3xy - y -1 = 0 ï ( ) 1 í (I ) 2 2
ïx + y - y - 3 = 0 î (2) 0,25 éx = y -
Ta có ( ) Û ( x - y + )( x - y - ) 1 1 1 2 1 = 0 Û ê ëx = 2y +1 é y = 2
Với x = y -1 thay vào (2) ta được 2 2y 3y 2 0 ê - - = Û 1 0,25 ê y = - ë 2 Trang 42 +) y = 2 Þ x = 1 3
1. +) y = - Þ x = - . 2 2 é y = 1 -
Với x = 2y +1 thay vào (2) ta được 2 5y 3y 2 0 ê + - = Û 2 ê y = ë 5 0,25 +) y = 1 - Þ x = - 2 9
1. +) y = Þ x = . 5 5 æ ö æ ö
Vậy, hệ (I) có nghiệm ( ; x y) là: ( ) (- - ) 3 1 9 2 1; 2 , 1; 1 , - ; - , ; . ç ÷ ç ÷ è 2 2 ø è 5 5 ø 0,25 3
Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi (m - ) 2
1 x + 2(m + 2) x + 2m + 2 < 0 x " Î ! 0,25 TH1. Nếu m = 2 1 thì 6x + 4 < 0, x
" Î ! Û x < - , x " Î ! vô lí. 0,25 3
TH2. Nếu m ¹ 1 thì (m - ) 2
1 x + 2(m + 2) x + 2m + 2 < 0 x " Î ! ìm < 1 ìm -1 < 0 ï ìm < 1 ï 0,25 í Û í Û é
í m > 2 + 10 Û m < 2 - 10 ïD ' = î (m + 2)2 -(m - ) 1 (2m + 2) 2 < 0
î-m + 4m + 6 < 0 ê ï ê îëm < 2 - 10 .
Vậy tập hợp các giá trị của m là S = ( ; -¥ 2 - 10 ). 0,25 4
(1,0 điểm) Bài này học sinh không nhất thiết phải vẽ hình.
Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G. Khi đó với mọi điểm O ta có !!!" !!!" !!!" !!!"
OA + OB + OC = 3.OG . 0,5
Do M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác OBC, OCA, OAB nên: !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
OB + OC = 3.OM OC + OA = 3.ON OA + OB = 3.OP !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!"
Cộng từng vế 3 hệ thức trên ta được: 2(OA+ OB + OC) = 3(OM + ON + OP) 0,5 !!!" !!!!" !!!" !!!!"
Û 2.3.OG = 3.3.OG ' Û 2.OG = 3.OG ' Þ O,G,G ' thẳng hàng. 5 (1,0 điểm) a sin A abc
Theo định lí hàm số sin và côsin ta có: 2 tan R A = = = 2 2 2 0,25 cos A b + c - a R ( 2 2 2
b + c - a ) 2bc abc abc
Tương tự ta có tan B == , tan C = . R ( 2 2 2
c + a - b ) R ( 2 2 2
a + b - c ) 0,25 abc abc abc
Þ tan A + tan C = 2.tan B Û + = 2. R ( 2 2 2
b + c - a ) R( 2 2 2
a + b - c ) R ( 2 2 2
a + c - b ) 1 1 1 Û + = 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b + c - a a + b - c a + c - b Û ( 2 2 2 + - )( 2 2 2 + - ) + ( 2 2 2 + - )( 2 2 2 c a b a b c b c a
a + c - b ) 0,25 = ( 2 2 2 + - )( 2 2 2 2 2 2 2 b c a
a + b - c ) 4 Û a - ( 2 2 b - c ) 4 + c - ( 2 2 a - b ) = ( 4 b - ( 2 2 2 a - c ) ) Trang 43 2 Û a ( 2 2 2
a + b - c ) + ( 2 2 c - b )( 2 2 2
c + 2b ) = 0 Û b = c (do 2 2 2
a + b = 2c ), 0,25 kết hợp với 2 2 2
a + b = 2c Þ a = b = c .Vậy tam giác ABC đều. 6 (1,0 điểm)
Nhận xét. Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình bình hành suy ra nếu gọi E, F lần lượt là trung điểm æ 7 5 ö æ 3 5 ö
của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm của HM, HN. Do đó M ; , N ; . ç ÷ ç ÷ è 2 2 ø è 2 2 ø æ 7 5 ö x - 4 y - 2
Đường thẳng BC đi qua điểm P(4;2), M ; nên: BC : =
Û x + y - 6 = 0 . ç ÷ è 2 2 ø 7 5 - 4 - 2 2 2 0,25 !
AH vuông góc với BC suy ra AH có vtpt nAH = (1;- )
1 , kết hợp với AH đi qua điểm H (2;2)suy
ra: AH :1( x - 2) -1( y - 2) = 0 Û x - y = 0 .
AÎ AH Þ A(a;a), C Î BC Þ C ( ;
b 6 - b) .Do F là trung điểm AC nên: ì x + x A C x = ï F ï ìa + b = 3 ìa = 1 2 í Û í Û í Þ A(1; )
1 , C (2;4) .Do E là trung điểm của BC nên: y + y ï îa + 6 - b = 5 b î = 2 A C y = F ïî 2 0,5 ì x + x B C x = ï E ï
ìx = 2x - x ìx = 5 2 B E C B í Û í Û í Þ B (5; ) 1 . y + y
y = 2y - y y = 1 ï B C î B E C î B y = E ïî 2 Vậy A(1 ) ;1 , B (5 ) ;1 , C (2;4) . A F H N I 0,25 B C E P M 7 (1,0 điểm)
Thay 2015 = a + b + c thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
a (b + c) b(c + a) c(a + b) æ b + c c + a a + b ö 0,25 + + + 6 ³ 2 2 ç + + ÷ bc ca ab ç a b c ÷ è ø
a (b + c) b(c + a) c(a + b) a a b b c c Ta có + + + 6 = + + + + + + 6 bc ca ab b c a c a b 0,5 b + c c + a a + b b + c c + a a + b = + 2 + + 2 + + 2 ³ 2 .2 + 2 .2 + 2 .2 a b c a b c Trang 44 æ b + c c + a a + b ö = 2015 2 2 ç + +
÷ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = . 0,25 ç a b c ÷ è ø 3 8 ì æ p ö æ p ö sin x - .cos x - ¹ 0 ï ç ÷ ç ÷ ï è 6 ø è 6 ø æ p ö p p Điều kiện: í Û sin 2x - ¹ 0 Û x ¹ + m ç ÷ (mÎ!) (*) ï æ p ö æ p ö è 3 ø 6 2 sin x + .cos x + ¹ 0 ç ÷ ç ÷ ïî è 3 ø è 3 ø æ p ö æ p ö æ p ö æ p ö Ta cã tan x - tan x + = - cot x + .tan x + = 1 - . ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 6 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø 1 1 Suy ra(1) 3 3 2
Û sin xsin 3x + cos x cos3x = Û sin x[sin xsin 3x] 2
+ cos x[cos xcos3x] = 8 8 2 Û x[ x - x] 2 + x[ x + x] 1 sin cos 2 cos 4 cos cos 2 cos 4 = 4 2 2 2 2 1
Û ésin x + cos xù cos 2x + écos x - sin xù.cos 4x = ë û ë û 4 1 Û x + x x = Û x[ + x] 1 3 1 cos 2 cos 2 cos 4
cos 2 1 cos 4 = Û cos 2x = 4 4 8 1 p
Û cos 2x = Û x = ± + kp (k Î!) 2 6 p
KL: x = - + kp (k Î!) . 6 9
Mọi đường tròn chứa bên trong hoặc trên nó cả 3 điểm A, B, C có đường kính d không thể nhỏ hơn 3 đoạn AB, BC, CA
Chỉ ra tam giác ABC vuông tại A Þ BC = 5 2 là cạnh lớn nhất. d ³ a
m x{AB, BC, AC} = 5 2 Þ min d = 5 2
Suy ra đường tròn đường kính BC có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn bài toán æ 9 5 ö 1 5
Tâm đường tròn là I ; , bán kính là R = BC = ç ÷ è 2 2 ø 2 2 2 2 æ 9 ö æ 5 ö 25
Vậy pt (T ) : x - + y - = ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø 2 Ï 2 x Ô
Ô - xy - 2y - 4 + 2x - 1 - 2y + 3 = 0 Ô ( ) 1 Ì (x,y Œ° ). ( 2 Ô
Ô4x - 4x - 4) 2x - 1 + (x - )
1 - y - 1 = 3x - 7 (2) Ô Ó 1 3 Điều kiện x ≥ ;- £ y £ - 1 2 2 Phương trình ( )
1 € (x - y - 2)(x + 2)+ 2x - 1 - 2y + 3 = 0 ( ) 0,5 ÏÔ 1 x Ô Ô = Trường hợp 1: Ô 2
2x - 1 + 2y + 3 = 0 € Ì
, không thỏa mãn hệ phương trình Ô 3 y Ô Ô = - Ô Ô Ó 2
Chú ý: Nếu không xét trường hợp 2x - 1 + 2y + 3 = 0 thì trừ 0,25đ Trang 45
Trường hợp 2: 2x - 1 + 2y + 3 π 0 2(x - y - 2) ( )
1 € (x - y - 2)(x + 2)+ = 0 0,5 2x - 1 + 2y + 3 1 3
€ x - y - 2 = 0 ( Vì (x + ) 2 2 + > 0, " x ≥ ;- £ y £ - 1) 2x - 1 + 2y + 3 2 2 Thế vào phương trình (2 ) ta được 1 È ˘ ( 2
4x - 4x - 4) 2x - 1 + (x - )
1 1 - x - 3x + 7 = 0(3 , Đ ) K x ŒÍ ;1˙ 2 Í ˙ Î ˚ 2 Ï 4
Ô x - 4x - 4 < 0 1 È ˘ Ô
Với x ŒÍ ;1˙ ta có Ô Ì
( Theo bất đẳng thức Cauchy) 1,0 2 Í ˙ 2x - 1 + 1 Î ˚ Ô Ô 2x - 1.1 £ = x Ô Ô Ó 2
Kết hợp với phương trình (3) ta có ≥ x ( 2 0
4x - 4x - 4)- 3x + 7 + (x - ) 1 1 - x 3 2
€ 0 ≥ 4x - 4x - 7x + 7 + (x - ) 1 1 - x € ≥ ( - x )( 2 0 1 7 - 4x - 1 - x ) 1 È ˘ € x = 1 ( vì 2 7 - 4x -
1 - x > 0; 1 - x ≥ 0, " x ŒÍ ;1˙) 2 Í ˙ 0,5 Î ˚
Với x = 1 thỏa mãn phương trình (3)fi y = - 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)= (1;- ) 1 .
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 11
Câu 1.(1,0 điểm Giải phương trình x + ( x + x) 2 cos 3 sin 2 sin - 4cos2 .
x cos x - 2cos x + 2 = 0. 2sin x - 3
ì 2x - 3 - y = 2x - 6 ï
Câu 2.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình : í 3 3
ïx + y + 7( x + y) xy = 8xy 2( 2 2 x + y ) î
ì2x - y + m £ 0
Câu 3.(1,0 điểm) Cho hệ bất phương trình í .
î6x + 3y + 5m ³ 0
Gọi W là tập hợp nghiệm của hệ đã cho. Trong mặt phẳng tọa độ, xét 2 điểm (
A 0;9) và B(3;6).
Tìm các giá trị của m để đoạn thẳng AB nằm trọn trong . W
Câu 4.(1,0 điểm)
Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác
nhau sao cho các chữ số 1; 2; 3 không đứng cạnh nhau từng đôi một.
Câu 5.(1,0 điểm)
Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính bằng 2. Điểm M ÎD : x + y = 0 . Từ M kẻ hai tiếp tuyến
MA, MB đến (C) với A, B là tiếp điểm. Đường thẳng AB : 3x + y - 2 = 0 , d (I,D) = 2 2 . Viết
phương trình đường tròn (C). Trang 46
Câu 6.(1,0 điểm) Cho x, y, z > 0 . 2xy 2yz 3zx 5
Chứng minh rằng: P = + + ³
(z + x)(z + y) (x + y)(x + z) ( y + z)( y + x) 3 Câu 7.(3,0 điểm) Cho hình hộp ABC .
D A'B 'C 'D'. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi (P) là mặt
phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD ').
a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).
b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.
-------- HẾT --------
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 11 Câu NỘI DUNG Điểm 1 1,0 x + ( x + x) 2 cos 3 sin 2 sin - 4cos 2 .
x cos x - 2cos x + 2 = 0. 2sin x - 3 3 ìp 2p ü ĐKXĐ: sin x ¹
Û x Î í + k2p;
+ k2p ( k Î!)ý 2 î 3 3 þ 2 2
(*) Þ 3 sin x(2cos x +1) - 4(2cos x -1) cos x - 2cos x + cos x + 2 = 0 2
Û 3 sin x(2cos x +1) = (2cos x +1)(4cos x - cos x - 2) é 1 cos é2cos +1 = 0 x x = - ê 2 Û ê Û ê
ë 3 sin x + cos x = 2cos 2x p
êcos(x - ) = cos2x êë 3
Giải ra sau đó kiểm tra lại ta được phương trình đã cho có các họ nghiệm là 2p p p k2p x = -
+ k2p , x = - + k2p , x = + ( k Î Z ) 3 3 9 3 2 1,0 ì
2x - 3 - y = 2x - 6 ï
Giải hệ phương trình í 3 3
ïx + y + 7( x + y) xy = 8xy 2( 2 2 x + y ) î 3 3 3 3
Ta có x + y + 7 ( x + y) xy = ( x + y) + 4( x + y) xy ³ 2 ( x + y) 4( x + y) xy = (x + y)2 2 2 xy =
xy éx + y + xyù ³ xy ë û ( 2 2
x + y ) xy = xy ( 2 2 4 4 2 4 .2 2 8 2 x + y )
ìïx + y = 2 xy í Û x = y đẳng thức xảy ra khi 2 2
ïîx + y = 2xy
Từ đó giải ra nghiệm được ( ; x y) = (3;3). 3
ì2x - y + m £ 0 (1) 1,0
Cho hệ bất phương trình í .
î6x + 3y + 5m ³ 0 (2)
Gọi W là tập hợp nghiệm của hệ đã cho. Trong mặt phẳng tọa độ, xét 2 điểm (
A 0;9) và B(3;6).
Tìm các giá trị của m để đoạn thẳng AB nằm trọn trong . W Trang 47
*) Điều kiện cần: Giả sử đoạn AB nằm trong W . ìx = 0 27 Vì ( A 0;9) ÎW Þ í
là một nghiệm của hệ, suy ra - £ m £ 9. îy = 9 5 Vì B(3;6) ÎW 36 nên suy ra - £ m £ 0. 5
Do đó, điều kiện để đoạn AB nằm trong W 27 là - £ m £ 0. 5 27
*) Điều kiện đủ: Giả sử - £ m £ 0. 5
Ta có đường thẳng AB có phương trình là y = -x + 9 , điểm M (x ;9 - x ) (0 £ x £ 3) là một 0 0 0
điểm bất kỳ thuộc đoạn AB.
+) Thay x = x , y = 9 - x vào (1) ta được 0 0
VT = 2x - 9 + x + m = 3x + m - 9 27
= 3(x - 3) + m £ 0 x " Î[0;3] và - £ m £ 0. 0 0 0 0 0 5
+) Thay x = x , y = 9 - x vào (2) ta được 0 0 æ 27 ö
VT = 6x + 27 - 3x + 5m = 3x + 27 + 5m ³ 27 + 5. - ³ 0 0 0 0 ç ÷ è 5 ø
Do đó điểm M (x ;9 - x ) thuộc tập nghiệm W của hệ đã cho. 0 0 é 27 ù Vậy m Î - ;0 là giá trị cần tìm. ê 5 ú ë û 4
Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau 1,0
sao cho các chữ số 1; 2; 3 không đứng cạnh nhau từng đôi một
Trước hết chọn và xếp vị trí theo hàng ngang cho 3 chữ số 4, 5, 6 ta có P cách. 3
Mỗi cách xếp vị trí cho các chữ số 4, 5 và 6 như thế thì có 4 khoảng trống gồm 1 vị trí ở đầu (bên
trái), một vị trí cuối cùng (bên phải) và 2 vị trí xen giữa.
Do các chữ số 1, 2, 3 không đứng cạnh nhau từng đôi một nên chúng sẽ được xếp vào các khoảng
trống do các chữ số 4, 5 và 6 tạo ra. Khi đó có 3
A cách xếp vị trí cho các chữ số 1, 2, 3 vào 4 khoảng trống đó. 4 Vậy có cả thảy 3
P .A = 144 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 3 4 5
Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính bằng 2. Điểm M Î D : x + y = 0 . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,
MB đến (C) với A, B là tiếp điểm. Đường thẳng AB : 3x + y - 2 = 0 , d (I, D) = 2 2 . Viết
phương trình đường tròn (C). 3x+y=2 B 2 I E
x+y=0 M A K H
+) Gọi K là giao điểm của D và AB E là giao điểm của IM và AB
H là hình chiếu của I lên D
+) I(a;b) Þ d (I, D) = IH = 2 2 |
Þ a + b |= 4 (1) !" !"
AB có véc tơ pháp tuyến n 3;1 D n 1;1 1 ( ) 1 ( ) có véc tơ pháp tuyến Trang 48 !" !!" 2
Góc giữa AB và D chính là góc ∑ ∑ AKM Þ os c AKM | = os
c (n ,n |= 1 2 ) 5 Nhận xét: ∑ ∑
HIM = AKM (cùng phụ với góc ∑ IMH ). Suy ra ∑ 2 cosHIM = 5 2 IH 2 2 IB 4 Ta có: 2 IM = =
= 10; IB = IE.IM Þ IE = = ∑ 2 os c HIM IM 10 5 4 | 3a + b - 2 | 4
Vậy d (I, AB) = Þ = | Û 3a + b - 2 |= 4 (2) 10 10 10 | ì a + b |= 4 Từ (1) và (2) ta có: í | î 3a + b - 2 |= 4
Giải hệ phương trình ta tìm được nghiệm ( ;
a b) lần lượt là: ( 3; - 7),(1;3),(1; 5 - ),(5; 9 - )
Thử lại ta được 2 phương trình đường tròn (C) thỏa mãn:
(x - )2 +( y - )2 =
(x - )2 +( y + )2 1 3 4; 1 5 = 4 6
Đặt: a = y + z,b = z + x,c = x + y 1,0 Khi đó: a, ,
b c là ba cạnh của một tam giác ABC. 2 2 xy
(b + c - a)(c + a - b)
c - (a - b) Ta có: = =
(z + x)(z + y) 4ab 4ab 2 2 2 c - a - b 1 1 1 = + = - cosC + 4ab 2 2 2 yz 1 1 zx 1 1 Tương tự ta có: = - cos A + = - cos B +
(x + y)(x + z) 2 2
( y + z)( y + x) 2 2 æ 3 ö 7
Suy ra: P = - cosC + cos A + cos B + ç ÷ è 2 ø 2 3 A + C A - C 3
Ta có: cosC + cos A + cos B = 2cos cos + cos B 2 2 2 2 B A - C 3 2 B 2 B B 3 = 2sin cos + (1- 2sin ) £ 3 - sin + 2sin + 2 2 2 2 2 2 2 2 æ 2 B 2 B 1 ö 11 æ B 2 ö 11 11 = 3 - sin - sin + + = 3 - sin - + £ . ç ÷ ç ÷ è 2 3 2 9 ø 6 è 2 3 ø 6 6 7 11 5 Suy ra: P ³ - = . 2 6 3 ì B 2 ì 4 si ï n = b ï = a
Dấu bằng xảy ra và chỉ khi í 2 3 Û í
3 Þ x = z = 2y ïîA = C ïîa = c
Lưu ý: Có thể giải bài này bằng biến đổi đại số Trang 49 7.1 I D' Q R C' F A' P D B' S C K O A E N J M B
Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N.
Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACÇBD) cắt B’D’ tại F.
Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q.
Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S.
Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P.
Thiết diện là lục giác MNPQRS 7.2
Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên MNPQRS
song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.
Þ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI Þ = = = = = = =
Þ MJ=NK và PK=QI MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP
Þ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các tam
giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S) 2 2 2 AM æ ö æ ö æ ö Đặt
= k; ta có điều kiện 0 < k < 1 và có: 1 S JM AM AM 2 = ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ = k Þ S1 AB S è AC ø è DC ø è AB ø = k2S 2 2 2 S æ JK ö æ JM + MK ö æ JM MK ö = ç ÷ = ç ÷ = ç + ÷ = (k + )2 2
1 Þ S2 =( k2 + 2k +1)S S è AC ø è AC ø è AC AC ø
Þ Diện tích thiết diện: S = S - 3S td 2 1 2 1 é3 1 ù æ ö 3S 1 2
S = 2S(-k + k + ) = 2S ê - k - ç ÷ ú £
(dấu bằng xảy ra Û k = ) td 2 ê4 è 2 ø ë ú 2 û 2 1
S lớn nhất Û k =
Û M là trung điểm của AB 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 12
Câu 1.(1,0 điểm) . Giải phương trình: cos x - 3 3 sin x = cos 7x 2 2 1
ìï + x + y = 5x + 2xy
Câu 2.(1,0 điểm):Giải hệ phương trình: í 2 2
ïîxy - 2y(y + y +1) = 2(x +1) 1
Câu 3. (1,0điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm là H(3; - ), tâm 4 29 5
đường tròn ngoại tiếp là K(0;
), trung điểm cạnh BC là M( 3
; ). Xác định tọa độ các đỉnh A, B, 8 2
C; biết hoành độ của B lớn hơn hoành độ của C. Trang 50
Câu 4. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c (với a ≠ 0) sao cho: phương trình ax2 + bx + c = 0 có
(a -b)(2a -b)
hai nghiệm thuộc đoạn [0; ]
1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
a (a - b + c)
Câu 5. (1,0 điểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông
góc của G xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: !!!" !!!" !!!!" " 2 2 2
a .GA + b .GB + c .GC = 0 1 1 1
. (với a=BC, b=AC, c=AB). Câu 6.(1,0 điểm)
Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26. Tìm các số đó, biết
rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng thứ chín. Câu 7.(1,0 điểm)
Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số.
Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Câu 8.(2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt
phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S. Chứng minh rằng: 4 SB' SD' 3 £ + £ . 3 SB SD 2
Câu 9. (1,0 điểm)
Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sin (p sin x ) .
---------------------------- Hết----------------------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 13
Câu 1:(1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: (cot 3x + cot x)cot 4x = (cot 3x - cot x)cot 2 . x
Câu 2.(1,0 điểm) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 £ k £ 2011. Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 - 5 k-5 k C .C + C .C + ... + C .C = C 5 2011 5 2011 5 2011 2016
Câu 3.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( A 5 - ;2) . M ( 1 - ; 2)
- là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho ∑ ∑
MDC = MBC và MB ^ MC . Tìm tọa độ điểm D biết ∑ 1 tan DAM = . 2
Câu 4.(2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi E là một điểm thuộc
miền trong của tam giác SCD.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBE), suy ra giao điểm của BE và mặt phẳng (SAC).
2) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ABE).
Câu 5.(1,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc A,B,C lập thành một cấp số cộng với A ³ B ³ C . A B C 3 + 3 Biết: cos cos cos =
, tính các góc của tam giác ABC. 2 2 2 8 Câu 6.(1,0 điểm) Trang 51
Có hai hộp đựng bi, hộp A đựng 7 viên bi xanh, 7 viên bi đỏ; hộp B đựng 5 viên bi xanh và 9 viên
bi đỏ. Bốc ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp A bỏ vào hộp B, sau đó bốc ngẫu nhiên 3 viên bi trong
hộp B bỏ lại vào hộp A. Tính xác suất để sau khi đổi bi xong số bi xanh trong hai hộp bằng nhau.
Câu 7.(1,0 điểm) Giải bất phương trình 2 2
x + 1- x ³ 2 - 3x - 4x . 2
ìïx +3 xy + x - y - y = 5y + 4
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình í 2
ï 4y - x - 2 + y -1 = x -1 î
Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, ,
b c là các số dương và a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: bc ca ab P = + + 3a + bc 3b + ca 3c + ab
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 14 æ p ö æ 5p
Câu 1.(1.0 điểm). Giải phương trình. ö
3 sin 2x + sin 2x + + 3 cos x + - 5cos x + 3 = 0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø 1- x
Câu 2.(1.0 điểm) Giải phương trình x + 2x + 2x - 2x +1 = (x + x) 2 4 3 2 3 x Câu 3.(1.0 điểm).
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 3 3 3
x + y + z = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 2 x y + z
1+ yz ( y + z) P = + - 2
x + x + yz ( y + z) +1 x + y + z +1 9 Câu 4.(1.0 điểm).
Cho tập A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 . Có bao nhiêu cách chọn một bộ 3 số phân biệt của A
(không tính thứ tự) để hiệu của 2 số bất kỳ trong 3 số đó có giá trị tuyệt đối không nhỏ hơn 2. Câu 5.(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Hạ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Biết - M (2; 1
- ) , N lần lượt là trung điểm của các đoạn HD và HB và điểm 1 1 K ( ; ) là trực tâm của 2 2
tam giác AMN. Tìm tọa độ đỉnh D của hình chữ nhật biết đỉnh A thuộc đường thẳng x + 2y + 4 = 0 và A có tung độ dương.
Câu 6. (1.0 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa 6
x trong khai triển: T = x + - x (x - )8 9 ( 1) . 2
Câu 7.(2,0 điểm). Cho hình hộp ABC .
D A'B 'C 'D'. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi
(P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD ').
a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).
b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất. Câu 8.(1,0 điểm) :
Cho tam giác ABC ( AB < AC) nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O), trọng tâm G và
a = BC, b = C ,
A c = AB . Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng nếu bốn điểm A,
O, M, G cùng nằm trên một đường tròn thì 2 2 2
b + c = 2a . Trang 52 2
ìx + xy - x ï
(1+ y -1)-(y- )1 y-1=0
Câu 9.(1,0 điểm) : Giải hệ phương trình í 2 3 16
ï x y -16y + 21 = 6 4xy - 3x î
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 15
sin 3x + cos3x - 4cos 2x + 3
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình =1. 2sin x +1
Câu 2 (1,0 điểm). Cho tập hợp Ω các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được lập từ các số
0,1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc Ω, tính xác suất được chọn bé hơn 4653.
Câu 3 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên cạnh AD lấy
điểm E và dựng đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABE. Gọi F là giao điểm của AC với đường
tròn (C). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết rằng (C) 2 2
: x + y - x - y -12 = 0 , F (4;0) , điểm D
nằm trên đường thẳng d : 3x + 4y +13 = 0 và điểm B có hoành độ dương.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tổng
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
Câu 6.( 1.0 điểm ). Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng: Câu 7.(2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh SB và AD ; G là trọng tâm tam giác SAD, đường thẳng BN cắt CD tại K .Tìm thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MCG) . Tính tỉ số mà thiết diện chia đoạn SA . Từ đó
cho biết thiết diện là hình gì? Câu 8.(1,0 điểm) p
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn A £ B £ C £ . Tính các góc của tam giác đó khi 2
biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất P = 2cos 4C + 4cos 2C + cos 2A + cos 2B 1 1 2
Câu 9.(1,0 điểm) Giải bất phương trình + - x ³ 1 x + 2 - x -1 3 ---Hết---
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 16
Câu 1 (1,0 điểm). Tìm đặc điểm ABC D
biết : (b2 + c2 )sin(C - B) = (c2 - b2 )sin(C + B) trong đó
AC = b & AB = c
Câu 2 (1 điểm).Giải phương trình 2 3 sin x + cos x = sin 2x + 3 .
Câu 3. (0.5 điểm). Tìm hệ số của x2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = (x2 + x – 1) 6 Trang 53 2 2 3 4 3 2 3 ì 3
ïx - y + 2 x + x + y = 2y y -1(x + x)
Câu 4. (1 điểm). Giải hệ phương trình í . 4 3 2 3
ïîx + x - x +1 = x(y -1) +1
Câu 5. (1 điểm). Cho phương trình x +
- x + m x( - x) - x ( - x) 3 4 1 2 1 2 1 = m
Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất
Câu 6 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) (x - )2 + ( y - )2 : 1 2 = 4
có tâm là I và điểm M ( 1;
- 0). Viết phương trình đường thẳng D đi qua M cắt (C) tại hai điểm ,
A B sao cho tam giác IAB có diện tích S = 3 .
Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhận trục hoành làm đường phân
giác trong của góc A, điểm E (3; ) 1
- thuộc đường thẳng BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình 2 2
x + y - 2x -10y - 24 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết điểm A có hoành độ âm.
Câu 8 (1 điểm). Cho tứ diện ABCD ,các cạnh bằng nhau và bằng 12.Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AC, BC .Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD .
a.Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK ).Chứng minh rằng thiết diện là hình thang cân.
b.Tính diện tích thiết diện.
Câu 9 (0.5 điểm). Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ
các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5.
Câu 10 (1 điểm). Cho a, b, c là các số dương thuộc khoảng (0; 6) và a + b + c = 3 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + . 2 2 2 6 - a 6 - b 6 - c
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 17 3 +
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình cos x sin x =1+ sin x + cot . x sin x - sin2 x 1 3x
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình > -1 2 2 1- x 1- x 3 3 Ï x
Ô - y = 4x + 2y
Câu 3 (1,0 điểm):Giải hệ phươ ng trình: Ô Ì 2 2 x Ô Ô + 3y = 4 Ó
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 3
2(x - 3x -1) - 7 x +1 = 0
Câu 5 (0,5điểm). Tính tổng : 2 1 2 2 2 3 2 2014 S = 1 C + 2 C + 3 C +!+ 2014 C 2014 2014 2014 2014 Câu 6 (0,5điểm).
Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT có 100 học sinh, trong đó có 60 học sinh
nam và 40 học sinh nữ. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ đội thanh niên tình nguyện đó Trang 54
để tham gia một tiết mục văn nghệ chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Tính xác
suất để 3 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn (
4 x + y + z) = 3 .
xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + . 2 + x + yz
2 + y + zx 2 + z + xy
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính .
BD Đỉnh B thuộc đường thẳng D có phương trình x + y - 5 = 0 . Các điểm E và F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của D và B lên AC . Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết CE = 5 và A(4;3), C (0; 5 - ).
Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình 4 3 2
x -12x + 38x -12x - 67 + x +1 + 7 - x = 0 (xÎ ! ) .
Câu 10 (2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, SA.
1. Chứng minh MN ! ( SBC) và (SAD).
2. Xác định giao điểm I của CP và (SBD).
3. Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD), từ đó hãy suy ra thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt
hình chóp? Thiết diện là hình gì? 4.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 18 3x - 2m
Câu 1.(1,0 điểm). Cho hàm số y = ( )1 mx +1
Chứng minh rằng m
" ¹ 0, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d : y = 3x - 3m tại 2 điểm phân biệt ,
A B . Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho S = 2S . OA D B OC D D
sin 2x + 3tan 2x + sin 4x
Câu 2.(1,0 điểm). Giải phương trình: = 2 tan 2x - sin 2x
Câu 3.(1,0 điểm). Giải bất phương trình sau +
x ( x + - x )3 1 4 2 1 3 > 0
Câu 4.(1,0 điểm.)
Biển số xe là một dãy kí tự gồm hai chữ cái đứng trước và bốn chữ số đứng sau. Các chữ cái
lấy từ 26 chữ cái A, B ..., Z ; các chữ số được chọn từ 10 chữ số 0, 1,2 ..., 9. Hỏi có bao nhiêu biển
số xe có hai chữ số đầu (sau 2 chữ cái) khác nhau, đồng thời có đúng 2 chữ số chẵn và hai số chẵn đó giống nhau ? Câu 5.(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; -5), B(2; -1) và đường tròn (C):
(x - 2)2 + (y + )
3 2 = 4 . Gọi D là đường thẳng đi qua B và tiếp xúc với đường tròn (C), MN là một
đường kính thay đổi của (C) sao cho các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng D lần lượt tại P và
Q. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MNP biết H nằm trên đường thẳng d: x + y + 3 = 0 Trang 55 (
ì 2 - x)(2 + y) = 8 ï
Câu 6. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình í 2 2
ïx 4 - y + y 4 - x = 4. î
Câu 7.(1,0 điểm) Cho a, b, c là ba hằng số và (u ) là dãy số được xác định bởi công thức: n
u = a n +1 + b n + 2 + c n + 3 ( n " Ε *). n
Chứng minh rằng limu = 0 khi và chỉ khi a + b + c = 0. n n®¥ Câu 8.(3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (
song song với AC và BD cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần
lượt tại các điểm P, Q, R, S.
a) Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của điểm P trên cạnh AB để tứ giác PQRS có diện tích lớn nhất.
------------------------------Hết-------------------------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 19
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2
3(x -1) + 4x = 4 .
x 4x - 3
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 2x +1 = 6sin x + cos 2x . u
ì + u + u + u + u = 35
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết: 1 2 3 4 5 í 2 2 2 2 2
u + u + u + u + u = 405 î 1 2 3 4 5
Câu 4 (1,0 điểm). Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học
sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 C - 2.2.C + 3.2 .C - 4.2 .C +...+ n + C + = n+ n+ n+ n+ (2 ) 2n 2n 1 1 2 . 2013 2 1 2 1 2 1 2 1 2n 1 +
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (1;3) và đường tròn 2 2
(C) : x + y - 2x - 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của điểm M và ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến ! theo véc tơ u = ( 1; - 2).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tiếp tuyến tại
A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ∑ ADB có
phương trình x - y + 2 = 0 , điểm M ( 4; - )
1 thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB . 2
ìïx +3 xy + x - y - y = 5y + 4
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình í 2
ï 4y - x - 2 + y -1 = x -1 î
Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, ,
b c là các số dương và a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: bc ca ab P = + + 3a + bc 3b + ca 3c + ab Trang 56
Câu 10.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của AC
và BD, M là điểm thuộc miền trong tam giác SOC. Tìm giao điểm của DM với mặt phẳng (SAB) và
tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MOB), (SCD). …….Hết……….
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 20 3 +
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình cos x sin x =1+ sin x + cot . x sin x - sin2 x
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 1 3x > -1 2 2 1- x 1- x 3 3 Ï x
Ô - y = 4x + 2y
Câu 3 (1,0 điểm):Giải hệ phươ ng trình: Ô Ì 2 2 x Ô Ô + 3y = 4 Ó
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 3
2(x - 3x -1) - 7 x +1 = 0
Câu 5 (0,5điểm). Tính tổng : 2 1 2 2 2 3 2 2014 S = 1 C + 2 C + 3 C +!+ 2014 C 2014 2014 2014 2014 Câu 6 (0,5điểm).
Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT có 100 học sinh, trong đó có 60 học sinh
nam và 40 học sinh nữ. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ đội thanh niên tình nguyện đó
để tham gia một tiết mục văn nghệ chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Tính xác
suất để 3 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn (
4 x + y + z) = 3 .
xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + . 2 + x + yz
2 + y + zx 2 + z + xy
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính .
BD Đỉnh B thuộc đường thẳng D có phương trình x + y - 5 = 0 . Các điểm E và F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của D và B lên AC . Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết CE = 5 và A(4;3), C (0; 5 - ).
Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình 4 3 2
x -12x + 38x -12x - 67 + x +1 + 7 - x = 0 (xÎ ! ).
Câu 10 (2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, SA.
1. Chứng minh MN ! ( SBC) và (SAD).
2. Xác định giao điểm I của CP và (SBD).
3. Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD), từ đó hãy suy ra thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt
hình chóp? Thiết diện là hình gì? Trang 57
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 21
Ngày 01 tháng 11 năm 2017 1 sin 2x
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: tan x + = 2sin x 2 sin x + cos x
Câu 2 (1,0 điểm).Giải phương trình: 2 2
4x + 5x +1 - 2 x - x +1 = 9x - 3
Câu 3 (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên k, n (0 £ k £ n - 2015) ta có: 0 k 1 k 1 + 2 k +2 2015 k +2015 k +2015 C C + C C + C C + ...+ C C = C 2015 n 2015 n 2015 n 2015 n n+2015
Câu 4 ( 1,0 điểm). Chứng minh : 2 0 2 0 2 0
tan 20 ; tan 40 ; tan 80 là các nghiệm của phương trình : 3 2
x - 33x + 27x - 3 = 0
Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y)
ìx'= ax + by
thành điểm M’(x’;y’) sao cho : í
îy'= cx + dy trong đó 2 2 2 2
a + c = b + d = 1 và a.b + c. d = 0 .
Chứng tỏ F là phép dời hình
Câu 6 (1,0 điểm). a) Cho khai triển n 2
(1+ 2x) = a + a x + a x + ... n
+ a x . Tìm số nguyên dương n biết a + 8a = 2a +1. 0 1 2 n 0 1 2
b) Gọi A là tập các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số
0, 2,3,5,6,8. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập .
A Tính xác suất để số lấy được có chữ số 0 và
chữ số 5 không đứng cạnh nhau.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD.
1) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của tứ diện.
2) Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mp(MNP) là hình gì?
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình
AD : x - 2y + 3 = 0 . Trên đường thẳng qua B và vuông góc với đường chéo AC lấy điểm E sao cho
BE = AC (D và E nằm về hai phía so với đường thẳng AC). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD , biết điểm E(2; 5
- ) , đường thẳng AB đi qua điểm F(4; 4)
- và điểm B có hoành độ dương. 3 3 2
ìïx - 7y + 3xy(x + y) - 24y + 3x - 27y =14
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình í (x, yÎ! ). 3 2
ï 3 - x + y + 4 = x + y - 5 î
Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx + xyz = 4. Chứng minh rằng 2 æ 1 1 1 ö 3ç + +
÷ ³ (x + 2)(y + 2)(z + 2). ç x y z ÷ è ø
----------Hết---------- Trang 58
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 21 Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1
Giải phương trình: 1 sin 2x tan x + = 2sin x 0,5 2 sin x + cos x
Điều kiện: cosx ¹ 0, sinx + cosx ¹ 0. 2 Pt Û 1 2sin x cos x 1 sin x 2sin x tan x = 2sin x - Û = 2 sin x + cos x 2 cos x sin x + cos x Û sin x + cos x æ p 2 ö sin . x
= 2sin x cos x Û sin x = 0,sin x + = sin 2x ç ÷ . 0,25 2 è 4 ø
+)sin x = 0 Û x = p k p æ p p p p +)Û ö k2 2x = x +
+ k2p , 2x = p - x + + k2p ç ÷
Û x = + k2p, x = + Û 4 è 4 ø 4 4 3 p k2p 0,25 x = + 4 3 p p
Các nghiệm đều tmđk nên phương trình có nghiệm: x = p k , k2 x = + . 4 3 2 Đặt 2 u
ìï = 4x + 5x +1ta có : u2 – 4v2 = u – 2v Û (u -2v)(u + 2v - )1 = 0 í 2
ïîv = x - x +1 Giải hệ u ì - 2v = 0 ta được nghiệm x = 1/3 íu î - 2v = 9x - 3 ì 56 = Giải hệ x u ì + 2v = 1 ì2u = 9x - 2 ïï 65 (so đk loại) í Û í Û í u î - 2v = 9x - 3 î4v = 4 - 9x 56 ïx = hay x = 0 ïî 65
kết luận pt có nghiệm x = 1/3 3 Nhận xét :
VP(*) là hệ số của k 2015 x + trong khai triển 2015 (1 )n x + +
VT(*) là hệ số của k 2015 x + trong khai triển 2015 ( +1) (1+ )n x x Mặt khác 2015 (1 )n x + + = 2015 ( +1) (1+ )n x x
Hệ số của k 2015 x + trong khai triển 2015 (1 )n x + +
bằng hệ số của k 2015 x + trong khai triển 2013 ( +1) (1+ )n x x 0 k 1 k 1 + 2 k +2 2015 k +2015 k +2015
Suy ra . C C + C C + C C + ...+ C C = C
(0 £ k £ n - 2015) (*) 2015 n 2015 n 2015 n 2015 n n+2015 4 3 3t ana - tan a Ta có tan 3a = 2 1- 3tan a Với a=200 ta 0 3 0 có : 3tan 20 - tan 20 0 6 0 4 0 2 0 tan 60 =
Û tan 20 - 33tan 20 + 27 tan 20 - 3 = 0 * 2 0 ( ) 1- 3tan 20 Vậy : tan2 0 20 là nghiệm của PT(*)
Làm tương tự ta có tan2400,tan800 cũng là nghiệm của PT(*) Trang 59 F ìx' = ax + by M ( ; x y) ¾
¾ ® M '(x'; y') í îy'= cx +dy ìx '= ax + by
N (x ; y ) ¾
¾F® M '(x '; y ') 1 1 1 1 í 1 1 1 îy '= cx +dy 1 1 1 5
MN = (x - x)2 + ( y - y)2 1 1
M ' N '= (x' -x')2 + ( y' - y')2 1 1 = (x - x)2 (. 2 2
a + c ) + ( y - y)2.( 2 2 b + d ) + (
2 x - x)( y - y)(ab + cd) 1 1 1 1
= (x - x)2 + (y - y)2 = MN. 1 1 Þ F là phép dời hình 6 1, 0 điểm a n n Ta có (1 + 2x)n k
= åC (2x)k k = åC 2k k x . Khi đó, suy ra k
a = C 2k n n k n k =0 k =0 0,25 Do đó, ta có 0 1 2
a = C ;a = 2C ;a = 4C 0 n 1 n 2 n Vậy 8n(n - 1) 0 1 2
a + 8a = 2a + 1 Û C + 16C = 8C + 1 Û 1 + 16n = + 1 0 1 2 n n n 2! 0,25
16n = 4n(n - 1) Û 4 = n - 1(n > 0) Û n = 5
b + Số các số trong tập hợp A bằng: 6!- 5!= 600. 0,25
+ Số các số trong tập A mà mỗi số có chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau bằng: 5!+ 4*4! = 216 . 0,25
Xác suất của biến cố cần tìm: 216 P = 1- = 0,64. 600 7 1,0 điểm
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD. A P N B D Q M C
(MNP) Ç (ABC)=MN ; (MNP) Ç (ACD)=NP
+ P là điểm chung của hai
mp (MNP) và (ABD) có + MN Ì (MNP) + AB Ì (ABD) + MN//AB
Þ Giao tuyến của (MNP) và (ABD) là đường thẳng qua P và song song với
AB cắt BD tại Q .Ta có: (MNP) Ç (ABD)=PQ; (MNP) Ç (BCD)=MQ Trang 60
Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNPQ.
Ta có MN//=PQ//= 1 AB nên MNPQ là hình bình hành. 2 8 1,0 điểm E A B F H D C
Ta có AB ^ AD : x - 2y + 3 = 0 và AB đi qua F(4 ; -4) 0,25
Þ AB : 2x + y - 4 = 0 . Khi đóA = A B Ç A D Þ A(1;2)
Ta có đường thẳng EF đi qua hai điểm E(2;-5) và F(4;-4). Do đó ta lập được
phương trình EF : x - 2y - 12 = 0 0,25
Suy ra EF ! AD Þ EF ^ AB tại F. Khi đó, ta A D BC = E D FB vì ∑ ∑
A C = BE, EBF = BCA (cùng phụ với ∑
HBC ) Þ A B = EF = 5 .
Ta có B Î AB : 2x + y - 4 = 0 Þ B( ;
b 4 - 2b), b > 0. Vậy 2 2 2
A B = 5 Û (b - 1) + (2 - 2 )
b = 5 Û 5b - 10b = 0 Û b = 2(dob > 0) Þ B(2;0) 0,25
Ta có BC ^ A B : 2x + y - 4 = 0 và BC đi qua B(2; 0) Þ BC : x - 2y - 2 = 0 !!!"
AC đi qua A(1; 2) và vuông góc với BE Þ AC nhậnBE = (0; 5 - ) là véc tơ pháp tuyến Þ A C : 5
- (y - 2) = 0 Û y = 2 . Khi đó, ta có C = A C Ç BC Þ C (6;2) 0,25
CD đi qua C(6; 2) và CD ^ A D : x - 2y + 3 = 0 Þ CD : 2x + y - 14 = 0.
Khi đó D = CD Ç A D Þ D(5;4) . Vậy ta có tọa độ A(1;2), B(2;0), C(6;2), D(5;4). 9 3 3 2
ìïx - 7y + 3xy(x + y) - 24y + 3x - 27y =14 (1) í
(x, yÎ! ). 3 2
ï 3 - x + y + 4 = x + y - 5 (2) î ìx £ 3 Đkxđ í îy ³ 4 -
Từ (1) ta có x + y + x + y = ( y + )3 3 ( ) 3( ) 2 2 + 3(2y + 2) 0,25
Û (x - y - ) é x + y + x + y ( y + ) + ( y + )2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2
2 + 3ù = 0 Û y = x - . ë û 2 Suy ra 2 - £ x £ 3. Thế vào (2) ta được 3 2
x + 2 + 3 - x = x + x - 4x -1 0,25 1 1 2
Û x + 2 - (x + 4) + 3- x - (-x + 5) = (x - x - 2)(x + 2) 3 3 Trang 61 Û ( æ 1 1 ö 2 x - x - 2) 3 ç ( x + 2) + + = 0 ÷ è
3 x + 2 + x + 4 3 3 - x + 5 - x ø Û ( é = x - )( x + ) x 2 2 1 = 0 Û 0,25 ê ëx = 1 -
Với x = 2 Þ y = 0; x = 1 - Þ y = -3. KL ( ; x y) = ( 1 - ;- 3),( ; x y) = (2;0) 0,25 10 1,0 điểm
Từ giả thiết suy ra 0 < xy, yz, zx < 4
Đặt zy = 2cos A, xz = 2cos B, xy = 2cos C , trong đó A, B, C là các góc nhọn. Từ giả thiết suy ra 2 2 2
cos A + cos B + cos C + 2cos Acos B cosC = 1 Û (cosC + cos(A - B))(cosC + cos(A + B)) = 0, 0 25
Û cosC + cos(A + B) = 0
Suy ra A, B, C là ba góc nhọn của một tam giác. Ta có 2cos Acos B 2cos AcosC 2cosC cos B z = ; y = ; x = cosC cosB cosA 2 2 2 2
3(cos A + cos B + cosC)
8sin A sin B sin C YCBT Û ³
2cos Acos B cos C
cos Acos B cos C A B C
Û 3(1+ 4sin sin sin ) ³ 4sin Asin Bsin C 0,25 2 2 2 1 1 4 Û + ³ A B C sinAsinBsinC 3 2cos cos cos 2 2 2 1 1 1 1 + ³ + 3 3 A B C sinAsinBsinC æ sinA+ sinB+ sinC 2cos cos cos ö æ A B C ö cos + cos + cos 2 2 2 ç ÷ ç ÷ 0,25 è 3 ø 2 2 2 2ç ÷ 3 ç ÷ è ø 8 4 4 ³ + = . 0,25 3 3 3 3 3 ------Hết------ Trang 62
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 22
Ngày 04 tháng 11 năm 2017
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: x2 – 4x - 3 = x + 5
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình ( 2 x - )( 2 x +1 + ) 1 < 5 2 x - x . 0 1 2 2017 A A A A
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tổng sau đây : 2017 2017 2017 2017 S = + + + ...+ 0! 1! 2! 2017!
cos x + 2sin x + 3
Câu 4 (1,0 điểm). Tìm GTLN,GTNN của y =
2cos x - sin x + 4
Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):
a. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) tạo thành một dây cung có độ dài bằng 4. æ 11p ö æ11p x ö æ x p
Câu 6 (1,0 điểm).Giải phương trình : ö cos x - + cos - + sin - = 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 10 2 ø è 2 10 ø
Câu 7 (1,0 điểm).
Giải U21 Quốc tế báo Thanh Niên – Cúp Clear Men 2017 quy tụ 6 đội bóng gồm: ĐKVĐ U21
HA.GL, U21 Singapore, U21 Thái Lan, U21 Báo Thanh niên Việt Nam, U21 Myanmar và U19
Hàn Quốc. Các đội chia thành 2 bảng A, B, mỗi bảng 3 đội. Việc chia bảng được thực hiện bằng Trang 63
cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai đội tuyển U21 HA.GL và U21 Thái Lan nằm ở hai bảng khác nhau.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A trên BC , các điểm M (2;- )
1 , N lần lượt là trung điểm của HB và æ 1 1 ö
HC ; điểm K - ; ç
÷ là trực tâm tam giác AMN . Tìm tọa độ điểm C , biết rằng điểm A có tung è 2 2 ø
độ âm và thuộc đường thẳng d : x + 2y + 4 = 0 . 2 2 3
ìï x + 2xy+ 2y -3x - 2y = 0
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình í . 2 2
ïî5x + 2xy + 5y - 3x - 3y - 2 = 0 3
Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương , x ,
y z thỏa mãn x + y + z £
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 biểu thức z ( xy + )2 1 x ( yz + )2 1 y (zx + )2 1 P = + + . 2 y ( yz + ) 2 1 z (zx + ) 2 1 x (xy + ) 1
-----------------------Hết---------------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018 SỐ 23 Câu 1.(4 điểm)
1. Giải phương trình: ( + ) 2 3 1 cos x + ( 3 - ) 1 sin .
x cos x + sin x - cos x - 3 = 0 2 2 ìx - 2y =1 ï
2. Giải hệ phương trình: 2 2
í2y - 3z =1 ( x, y, z Î ! )
ïxy + yz + zx =1 î Câu 2. (2 điểm) Giả sử ,
A B,C, D lần lượt là số đo các góc ∑ ∑ ∑ ∑
DAB, ABC, BCD,CDA của tứ giác lồi ABCD bất kì. A + B + C
1. Chứng minh rằng sin A + sin B + sin C £ 3sin . 3 A
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = -sin + sin B + sin C + sin D . 3 Câu 3.(1 điểm)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự
nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9. Câu 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC lần lượt tại các điểm A , B ,C . Đường thẳng AA cắt đường thẳng CC tại điểm I ; đường 1 1 1 1 1 Trang 64
thẳng AA cắt đường thẳng BC tại điểm N ; đường thẳng BB cắt đường thẳng A C tại điểm P . 1 1 1 1
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC . Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm 1
M. Biết rằng BM = MN và ∑ ∑
BAC = 2ABC . Tính các góc của tam giác ABC. Câu 5.(1 điểm) æ 1 Cho hàm số ö
f : (0;+¥) ® (0;+¥) thỏa mãn điều kiện f (3x) ³ f f ç
(2x) + 2x với mọi x > 0 . ÷ è 2 ø
Chứng minh rằng f (x) ³ x với mọi x > 0 .
-------------Hết-------------
ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018 SỐ 24 x x p
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình. 2 æ ö
cos x + cos x = 2 2 sin × sinç + ÷ 2 è 2 4 ø 1
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm hệ số của 8 2 10
x trong khai triển thành đa thức của: (x + x + )(1+ 2x) 4 3 2 2 3
ìï x + x y -3x - xy = 4
Câu 3 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình: í 2
ïîx + 2x + y = 4 6x - 4
Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình: 2x + 4 - 2 2 - x = (1) 2 x + 4
Câu 5 (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D;
AB = 2AD, CD = 3AD . Đường thẳng BD có phương trình x - 2y +1 = 0 , đường thẳng AC đi Trang 65
qua điểm M (4;2) . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2
a + b + c + 12abc £ 1 Câu 7(2,0 điểm)
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm của cạnh SD, G là trọng
tâm của tam giác ACD.
a. Tìm giao tuyến của mp( AMG) và mp(SCD)?
b. Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC) ? Tính tỉ số IB ? IM Câu 8.(1,0 điểm)
Một thùng đựng 12 hộp sữa. Trong 12 hộp đó có 5 hộp sữa cam, 7 hộp sữa dâu. Lấy ngẫu
nhiên 3 hộp sữa trong thùng, tính xác suất để trong 3 hộp sữa được lấy ra có ít nhất 2 hộp sữa cam. Câu 9.(1,0 điểm) A B C A B C
Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: cot + cot + cot = cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2
………. Hết……….
LUYỆN ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018 SỐ 25
Câu 1 (0,5 điểm). Không dùng máy tính.Tính sin180
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 3
sin 4x + 2sin x = sin x + 3 cos c x os2 . x
Câu 3 (0,5điểm). Giải bất phương trình 2 4 3 3
(n - 5)C + 2C £ 2A n n n
Câu 4 R(1,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S = {1,2,..., }
11 . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12. ì 2
x + 2y + 3 + 2y - 3 = 0
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: ïí ïî2(2 3 y + 3
x )+ 3y(x + ) 1 2 + 6x(x + ) 1 + 2 = 0 Trang 66 2 2(x -16) 7 - x
Câu 6 (1,0 điểm. Giải bất phương trình: + x - 3 > . x - 3 x - 3
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn 2 2
(C) : x + y - 2x + 4y - 20 = 0 và
đường thẳng D : 3x + 4y - 20 = 0. Chứng tỏ rằng đường thẳng D tiếp xúc với đường tròn (C). Tam
giác ABC có đỉnh A thuộc (C), các đỉnh B và C cùng nằm trên đường thẳng D sao cho trung điểm
cạnh AB thuộc (C). Tìm tọa độ các đỉnh ,
A B,C , biết rằng trực tâm H của tam giác ABC trùng với
tâm của đường tròn (C) và điểm B có hoành độ dương.
Câu 8 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc cạnh AB, CD.
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua MN và song song với SA.
1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (SAB).
2. Xác định thiết diện do mặt phẳng (α) cắt hình chóp
3. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. é1
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực ù a, , b c Î
;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ê2 ú ë û
a - b b - c c - a P = + + . c a b
------------------- Hết ----------------
LUYỆN ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018 SỐ 26 x ( + x) 2 x 2 3 sin . 1 cos - 4 cos . x sin - 3
Câu 1 .(1,0 điểm). Giải phương trình: 2 = 0 2sin x -1
Câu 2. (1,0 điểm). Giải phương trình: 6x - 4 2x + 4 - 2 2 - x = 2 x + 4 2 ì 2 4x ïx + ³ 5
Câu 3. (1,0 điểm).Tìm m để hệ 2 í (x + 2) có nghiệm. ï 4 2 2
îx + 8x +16mx +16m + 32m +16 = 0
Câu 4 (1,0 điểm): Tính tổng: 1 0 1 1 1 S = C + C + ... n + C n n n với n nguyên 1.2 2.3 (n + ) 1 (n + 2) dương . Câu 5 (1,0 điểm):
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có góc ∑ 0 BAD = 60 .
Trên các cạnh AB, BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB. Biết P( 3 ; 1)
thuộc đường thẳng DN và đường phân giác trong của góc ∑
MDN có phương trình là d:
x - 3y + 6 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh D của hình thoi ABCD. Câu 6(1,0 điểm)
Trong kỳ bầu cử Quốc hội khóa XIV diễn ra vào ngày 22/05/2018, lớp 12A1 trường THPT
Dân tộc nội trú có 22 bạn đủ 18 tuổi được đi bầu cử, trong đó có 12 bạn nữ và 10 bạn nam. Trang 67
Chọn ngẫu nhiên trong số đó 6 bạn tham gia công tác chuẩn bị cho ngày bầu cử. Tìm xác
suất để 6 bạn được chọn có ít nhất 4 bạn nữ. Câu 7.(1,0 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: ( æ 1 1
1 ö 3 æ b + c c + a a + b 3 3 3 ö
a + b + c ) + + ³ + + ç ÷ ç ÷ 3 3 3 è a b c ø 2 è a b c ø Câu 8.(2,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD.
1) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của tứ diện.
2) Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mp(MNP) là hình gì? Câu 9.(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (1;3) và đường tròn 2 2
(C) : x + y - 2x - 4y - 4 = 0. !
Tìm ảnh của điểm M và ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo véc tơ u = ( 1; - 2).
………… HẾT …………
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 27
Câu 1. (1,0 điểm)Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức - n
(C + C + C + + n- C + n C = C n )2
2( n )2 3( n )2 ... ( ) 1 ( nn )2 ( nn)2 1 2 3 1 n 2 2 n 2 3 cos - cos -1
Câu 2 (1,0 điểm).Giải phương trình: 2 cos 2 - tan = x x x x . 2 cos x Câu 3. (1,0 điểm)
Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác
đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn là một
tam giác cân nhưng không phải tam giác đều. Câu 4. (1,0 điểm). Trang 68 x -1
Giải phương trình: ( x - 2)(4 - x) + x - 2 + 4 - x =
+ x +1 (xÎ ! ) . 2 (
ì 1- y) x + y + x + 2y = 2 + (x + y - ï ) 1 y
Câu 5. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í (xÎ! , yÎ! ) 2 3 4 2
ïy + 2x + y - 2y = 4 î
Câu 6.(2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc cạnh AB, CD.
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua MN và song song với SA.
4. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (SAB).
5. Xác định thiết diện do mặt phẳng (α) cắt hình chóp
6. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
Câu 7.(1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường tròn (H): (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4 và
(G): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 4. Hãy chỉ ra một phép vị tự tỉ số k = -3 (nếu có) để biến (H) thành (G) Câu 8. (1,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng
CD. Biết điểm D( 1; - - )
1 , đường thẳng IG có phương trình 6x - 3y - 7 = 0 và điểm E có hoành
độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 9. (1,0 điểm). Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d-¬ng tháa m·n x + y + z = 3.
x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) Chøng minh r»ng: + + ³ 2xyz 4 - yz 4 - zx 4 - xy .
---------------Hết----------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 28
Câu 1. (1.0 điểm) Tìm m để phương trình 3 2
x - 2x + x = m(x- 1) có ba nghiệm phân biệt
x , x , x thỏa mãn 2 2 2
x + x + x = 4. 1 2 3 1 2 3
Câu 2. (1 điểm 2
cosx + 3(sin2x +sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + 2 = 0 Trang 69
Câu 3.(1.0điểm) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 . Đặt a = BC, b = AC, c = AB . 4 Chứng minh rằng 2 2 2
cot A+ cot B + cot C = a + b + c . (ì 2 x + y ï
)(y-2x)= 6-x
Câu 4.(1.0 điểm) Giải hệ phương trình: í 2 2 3
ïî x - 5x + 3xy + y = 0
Câu 5.(1.0 điểm) Cho hai số dương a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 2016 P = + + . 2 2 4a + 2 4b + 2 ab
Câu 6. (1,0 điểm) Giải phương trình: 3 2 3 2
x + 3x + 7x + 6 = (3x + 7) 3x + 6x + 2.
Câu 7. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng
tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh đường
thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM. u ì = 3 1 ï
Câu 8.(2.0 điểm) Cho dãy số (u ) thỏa mãn điều kiện: 2 í n u 2014u n n u = + ï n 1+ î 2016 2016
a) Chứng minh: (u ) là dãy số tăng. n u
b) Với mỗi n ³ 1, n Î • , đặt n v =
. Chứng minh rằng với mọi n ³ 1. n u - 2 n 1 +
v + v + ... + v < 2016. 1 2 n
Câu 9. (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương lẻ n thỏa mãn 2 0 3 1 4 2 n + 2 2 C 2 C 2 C 2 n C 2 n n n - + - ... n - = . 1.2 2.3 3.4 (n + ) 1 (n + 2) 2017
-------------------- Hết --------------------
LUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 29 Trang 70
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 11- 2y + 4 x - y + 5 , với x, y là các số thực thỏa
mãn x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0.
Bài 2: Cho các số thực a, b, c ≥ 1, a2 + b2 + c2 = 4. Tìm phần nguyên của B =
a + b + c 1 1 1 + + + . 2 a b c
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức C = 2006 1 2004 3 2 2005 2007 2009 .C + 2009 .C + ...+ 2009 .C + C . 2008 2008 2008 2008
Bài 4: Giải phương trình lượng giác với xÎ(0, 2p ):
cos3x + sin 3x 5(sinx + ) = 3 + cos2x . 1+ 2sin 2x
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 – 4y2 = 17. 2 3 2
ìx = y + y + y -10 ï
Bài 6:Giải hệ phương trình: 2 3 2
í y = z + z + z -10 . ï 2 3 2
z = x + x + x -10 î
Bài 7: Giả sử ba điểm G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam ® ®
giác nào đó. Chứng minh rằng 2. GO = HG .
Bài 8:Chứng minh rằng với mọi DABC nhọn ta luôn có tanA.tanB.tanC > 1.
Bài 9:Tìm tất cả các hàm số f: R ® R thỏa mãn f(x3 – y) + 2y.(3f2(x) + y2) = f(y + f(x)), "x, yÎR.
Bài 10: Cho các hằng số thực a, b, c với a ≠ 0. Chứng minh rằng đường thẳng (d) x = - b là trục đối 2a
xứng của parabol (P) y = ax2 + bx + c.
LUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 30 3 4 + 2sin 2x
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: + - 2 3 = 2(cot x +1) . 2 cos x sin 2x
Câu 2 (2,0 điểm).Chứng minh 0 2 1 2 n 2
(C ) + (C ) + ...+ (C ) n = C . n n n 2n Câu 3 (1,0 điểm).
Từ các số 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số gồm 6 chữ số đôi một
khác nhau mà tổng ba chữ số cuối nhỏ hơn tổng ba chữ số đầu là 3 đơn vị. Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: 3 2 4 2 x - 3x +1 = - x + x +1 . 3 Trang 71 Câu 5 (1,0 điểm). 3 3
ìy - 7x + 3xy (x + y) 2 = 12x + 6x +1 ï
Giải hệ phương trình: í x, y Î ! 2 2
ï y - x - 4 + ( y - 5) î
( 2x + 2x + 2015) ( ) - y = 0 Câu 6 (1,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của các cạnh AD và BC. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO. Chứng
minh rằng HK ^ IJ. Câu 7 (1,0 điểm).
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:
(b + c)cosA+(c + a)cosB + (a + b)cosC=a + b + c Câu 8 (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC. Một
đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD tại F , đường thẳng chứa đường trung tuyến AM của
tam giác AEF cắt CD tại K. Tìm tọa độ điểm D biết A( 6; - 6), M ( 4; - 2), K ( 3 - ;0) . Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của ab bc ca biểu thức: P = + + c + ab a + bc b + ca
-------------Hết------------- Trang 72