Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 – 2024 trường THPT Tĩnh Gia 2 – Thanh Hóa

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11 năm học 2023 – 2024 trường THPT Tĩnh Gia 2, tỉnh Thanh Hóa; đề thi gồm 07 trang, hình thức trắc nghiệm với 50 câu, thời gian làm bài 90 phút, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

25 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Phương
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2
(Đề thi có 07 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN TOÁN HỌC – Khối lớp 11
Thời gian làm bài : 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
Họ và tên học sinh :..................................................... Số báo danh : ...................
Câu 1. Trong các dãy số
( )
n
u
sau đây, dãy nào là cấp số nhân ?
A.
n
un=
3
. B.
1
1
2
n
n
u
+
=
. C.
n
u
n
=
1
. D.
n
n
u = +21
.
Câu 2. Đặt
3
log 2
a=
khi đó
bằng
A.
3
4
a
B.
3
4a
C.
4
3a
D.
4
3
a
Câu 3. Biết
1
lim ( ) 4
x
fx
→−
=
. Khi đó
( )
4
1
()
lim
1
x
fx
x
→−
+
bằng
A.
−∞
. B.
4
. C.
+∞
. D.
0
.
Câu 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở
biểu đồ dưới đây.
Hãy ước lượng mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6
quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau?
A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu
cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là
100.
Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
Nhóm
[
)
50;60
[
)
60;70
[
)
70;80
[
)
80;90
[
)
90;100
Tần số
4
5
23
6
2
40N
=
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là
A.
12 3
71, 76, 78.QQ Q≈≈≈
B.
12 3
71, 75, 78.QQ Q≈≈≈
C.
123
70, 76, 79.QQQ≈≈≈
D.
123
70, 75, 79.QQQ≈≈≈
Câu 7. Cho hình lập phương
111 1
.ABCD A B C D
. Góc giữa hai đường thẳng
AC
và
1
DA
bằng
A.
60°
. B.
90°
. C.
45°
. D.
120°
.
Mã đề 001
Câu 8. Từ một hộp chứa
7
quả cầu màu đỏ và
5
quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời
3
quả cầu từ hộp đó. Số phần tử của không gian mẫu là
A.
220
. B.
1320
. C.
350
. D.
12600
.
Câu 9. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
MNP
có
( )
1; 1M −
,
( )
5; 3N −
và
P
thuộc trục
Oy
,
trọng tâm
G
nằm trên trục
Ox
. Toạ độ của điểm
G
là
A.
( )
2; 4G
. B.
( )
2;0G
. C.
( )
0; 4
G
. D.
( )
0; 2
G
.
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy,cho
( )
1; 2
−
Am
,
( )
2;5 2−Bm
và
( )
3; 4
−Cm
. Tìm giá trị
m
để
,,ABC
thẳng hàng?
A.
3=m
. B.
2=m
. C.
2= −
m
. D.
1=m
.
Câu 11. Cho hàm số
( )
(
)
++− +
≠
=
−
+− =
2
3
2 71
khi 1
21
1 khi 1
xx x
x
fx
x
xm x
. Biết rằng
=
2a
m
b
( với
a
,
b
∈
và
a
b
là phân số tối giản) thì hàm số
( )
fx
liên tục tại
=1x
. Giá trị của
ab+
bằng:
A.
5
. B.
37
. C.
13
. D.
51
.
Câu 12. Tính
2
23
lim
23
x
x
x
→−∞
+
−
.
A.
1
2
. B.
1
2
−
. C.
2
. D.
2−
.
Câu 13. Cho hàm số
(
)
khi
khi
xx
x
x
fx
x
+−
≠
−
=
−
=
3 12
1
1
5
1
4
. Tính
( )
'f
1
.
A. Không tồn tại. B.
0
C.
7
50
−
. D.
9
64
−
.
Câu 14. Cho hàm số
32
1
() 4 3
3
f x x mx x= + ++
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao
cho
( ) 0,fx x
′
≥ ∀∈
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 15. Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm tại điểm
0
2x =
. Tìm
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
x
→
−
−
.
A.
0
. B.
( )
2f
′
. C.
( ) ( )
22 2ff
′
−
. D.
( ) (
)
22 2
ff
′
−
.
Câu 16. Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm
Nhóm ghép
Tần số
Nhóm ghép
Tần số
[
)
62,5;67,5
4
[
)
82,5;87,5
22
[
)
67,5;72,5
7
[
)
87,5;92,5
5
[
)
72,5;77,5
10
[
)
92,5;97,5
10
[
)
77,5;82,5
26
[
)
97,5;102,5
16
A.
77,5 82,5.
e
M≤<
B.
82,5 87,5.
e
M≤<
C.
87,5 92,5.
e
M≤<
D.
92,5 97,5.
e
M≤<
Câu 17. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm
2013
dân số Việt Nam là
90
triệu người, tốc
độ tăng dân số là
1,1% /
năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp
đôi (đạt ngưỡng
180
triệu ) vào năm nào?
A.2077. B. 207
4
. C. 2075. D.
2
076.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
( )
= − −+
2
log 2 1y x xm
có tập xác
định là
.
A.
≤
2m
B.
> 2m
C.
≥ 0m
D.
<
0m
Câu 19. Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
1
1
8
,1
5
n
n
u
u
un
+
=
+
= ∀≥
và dãy số
( )
n
v
xác định bởi
2
nn
vu= −
. Biết
( )
n
v
là một cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là
A.
( )
1
1
1.
5
n
n
v
−

=−−


. B.
1
1
1.
5
n
n
v
−

= −


. C.
( )
1
1.
5
n
n
v

= −


. D.
( )
1
1
1.
5
n
n
v
−

= −


.
Câu 20: Cho Elip
( )
22
: 1
25 9
+=
y
E
x
. Đường thẳng
( )
:4= −dx
cắt
( )
E
tại hai điểm
,
MN
. Khi
đó:
A.
9
25
=MN
. B.
18
25
=MN
. C.
18
5
=MN
. D.
9
5
=MN
.
Câu 21. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
2015 4
1000
uu+=
. Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng đó là:
A.
1009000
. B.
100800
. C.
1008000
. D.
100900
.
Câu 22. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gọi
I
,
J
lần lượt là
trung điểm
SA
và
SB
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
( ) ( )
∩=
IJCD SAB IJ
B.
( ) (
)
∩=SAB IBC IB
.
C.
(
) ( )
∩=SBD JCD JD
. D.
( ) ( )
∩=IAC JBD AO
.
Câu 23. Cho các số thực a, b thỏa mã
và
2
log log 3
ab
ba
+=
. Tính giá trị của biểu thức
2
log
2
ab
ab
T
+
=
.
A.
1
6
. B.
3
2
. C.
6
. D.
2
3
.
Câu 24. Cho tứ diện
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang
( )
//AB CD
. Gọi
M
,
N
và
P
lần
lượt là trung điểm của
BC
,
AD
và
SA
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
MNP
là
A. đường thẳng qua
M
và song song với
SC
.
B. đường thẳng qua
P
và song song với
AB
.
C. đường thẳng
PM
.
D. đường thẳng qua
S
và song song với
AB
.
Câu 25. Xét các số nguyên dương
, ab
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0a xb x+ +=
có hai nghiệm
phân biệt
12
, xx
và phương trình
2
5log log 0xb xa+ +=
có hai nghiệm phân biệt
34
, xx
thỏa mãn
12 34
xx xx>
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
23
S ab= +
A.
min
33S =
. B.
min
30S =
. C.
min
17S =
. D.
min
25S =
.
Câu 26. Với các chữ số
012345,,,,,
có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ
số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
A.
6720
số. B.
40320
số. C.
5880
số. D.
840
số.
Câu 27. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo
có ít nhất một mặt 6 chấm:
A.
( ) ( )
( )
(
) (
)
{
}
1;6,2;6,3;6,4;6,5;6
A =
. B.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6A =
C.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6,
6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5
A


=



D.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
6,1 , 6,2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5A =
.
Câu 28. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số
chấm của hai con súc sắc bằng
6
” là
A.
5
6
. B.
7
36
. C.
11
36
. D.
5
36
.
Câu 29. Cho hình chóp đều
.S ABCD
có
O
là giao điểm của
AC
và
BD
. Gọi
, , ME F
lần lượt
là trung điểm của
, , AB SC SD
. Biết
;2SO a AB a= =
. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
ME
và
CF
bằng
A.
2
4
a
. B.
6
6
a
. C.
2
6
a
. D.
6
4
a
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có
,SA a
3AB a
,
2AC a
. Góc
0
60SAB
,
0
90BAC
,
0
AS 120
C
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
3
a
Câu 31. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành;
M
là trung điểm của
SD
,
E
thuộc
cạnh
BC
sao cho
2BE EC=
, mặt phẳng
( )
AME
cắt
SC
tại
F
. Tính tỉ số diện tích 2
tam giác
SFD
và
FCD
.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
2
.
Câu 32. Cho tam giác
ABC
đều.Gọi
D
là điểm đối xứng của
C
qua
AB
. Vẽ đường tròn tâm
D
qua
A
,
B
;
M
là điểm bất kì trên đường tròn đó
( )
,M AM B≠≠
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
B. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cân ( không phải tam giác
đều).
C. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của 1 tam giác đều.
D.
MB MC MA>>
.
Câu 33. Trên hệ trục tọa độ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Điểm
M
thuộc cạnh
CD
sao cho
=
 
2MC DM
,
( )
0;2019
N
là trung điểm của cạnh
BC
,
K
là giao điểm của hai đường thẳng
AM
và
BD
. Biết đường thẳng
AM
có phương trình
−+ =10 2018 0xy
. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến đường thẳng
NK
bằng
A.
2019
. B.
2019 101
. C.
2018
11
. D.
2019 101
101
.
Câu 34. Cho tập hợp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5A =
. Gọi
S
là tập hợp các số có
3
chữ số khác nhau được
lập thành từ các chữ số của tập
A
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để số được chọn
có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
A.
1
.
5
B.
23
.
25
C.
2
.
25
D.
4
.
5
Câu 35. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật tâm
O
với
;2AB a AD a= =
.
Cạnh bên
SA a=
và vuông góc với đáy. Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua
SO
và vuông góc với
( )
SAD
. Tính diện tích
S
của thiết diện tạo bởi
( )
α
và hình chóp đã cho
A.
2
3
2
a
S =
. B.
2
2
2
a
S =
. C.
2
2
a
S =
. D.
2
a
.
Câu 36: Trong mặt phẳng cho
n
điểm, trong đó không có
3
điểm nào thẳng hàng và trong tất
cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau
hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác
định bởi
2
trong
1n −
điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau
nhiều nhất là bao nhiêu?
A.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

. B.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 2 15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

.
C.
( )( )
2 23
1
12
2
3 2 15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

. D.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

.
Câu 37. An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành
chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là (không có hòa). Tính xác suất An
thắng chung cuộc
A. . B. . C. . D. .
Câu 38. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
( )
cos 2 sin 2
44
y fx x x
ππ

= = ++ −


, ta được
( )
y fx=
là
hàm số :
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 39. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn
10−
của
m
để phương trình
( )( )
2
2cos 1 2cos 2 2cos 3 4sinx x xm x− + −=−
có hai nghiệm thuộc
;
22
ππ

−


?
0, 4
0,064
0,1152
0,13824
0,31744
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +
2
π
−
5
6
π
−
6
π
−
2
3
π
−
A.
7
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình:
( ) ( )
m 1 cosx m 1 sinx 2m 3+ +− =+
có 2 nghiệm
12
x ,x
thoả mãn:
12
xx
3
π
−=
?
A.
0
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
Câu 42. Một nhóm gồm
5
bạn nam,
4
bạn nữ và thầy giáo đứng thành
2
hàng, mỗi hàng
5
người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các
bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng
A.
1
35
. B.
1
105
. C.
1
70
. D.
2
105
.
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang, đáy lớn
BC
,
2,BC a AD AB a= = =
, tam
giác
SAD
đều. Gọi
I
là một điểm trên đoạn
BD
(
I
không trùng với
B
và
D
). Qua
I
kẻ đường thẳng song song với
AD
cắt cạnh
AB
tại
M
, qua
M
kẻ đường thẳng song
song với
SA
cắt cạnh
SB
tại
Q
. Đặt
AM x=
. Tìm
x
để diện tích thiết diện của hình
chóp
.S ABCD
khi cắt bởi mặt phẳng
()IMQ
đạt giá trị lớn nhất?
A.
2
a
. B.
3
a
. C.
4
a
. D.
2
3
a
.
Câu 44. Cho hàm số
( )
32
31f x x x mx=+ ++
. Gọi
S
là tổng tất cả giá trị của tham số
m
để đồ thị
hàm số
( )
y fx=
cắt đường thẳng
1
y
=
tại ba điểm phân biệt
( )
0;1A
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại
B
,
C
vuông góc với nhau. Giá trị của
S
bằng
A.
9
2
. B.
9
5
. C.
9
4
. D.
11
5
.
Câu 45: Ba số
;;abc
khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai dương. Nếu
cộng thêm vào số hạng thứ ba 9 đơn vị thì ta thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân. Nếu ta tiếp tục nhân số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số nhân
này với
1
8
−
ta lại thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính giá
trị biểu thức
23Pa b c=++
.
A.
18−
. B. 14. C. 30. D. 12.
Câu 46. Tìm giới hạn
12
lim ( )( )...( )
n
n
x
C xaxa xa x
→+∞

= + + +−

.
A.
+∞
. B.
−∞
. C.
12
...
n
aa a
n
+ ++
. D.
12
...
2
n
aa a
n
+ ++
.
câu 47. Cho hàm số
( )
4
.
42
x
x
fx=
+
Tính giá trị biểu thức
1 2 100
... ?
100 100 100
Af f f
 
= + ++
 
 
A.
50
. B.
49
. C.
149
3
. D.
301
6
.
Câu 48. Tìm tập
S
tất cả các giá trị thực của số
m
để tồn tại duy nhất cặp số
( )
;xy
thỏa mãn
( )
22
2
2
log 4 4 6 1
xy
xy m
++
+ −+ ≥
và
22
2 4 10xy xy+ + − +=
.
A.
{ }
5; 1;1; 5S =−−
. B.
{ }
1;1S = −
.
C.
{ }
5;5S = −
. D.
{ }
7 5; 1;1; 5; 7S =−− −
.
Câu 49. Cho tứ diện
.DS ABC
và
M
là một điểm di động, nằm bên trong tam giác
ABC∆
. Qua
M
kẻ các đường thẳng song song với
,,SA SB SC
cắt các mặt phẳng tương ứng
( )
,SBC
( )
,SAC
( )
SAB
lần lượt tại
', ', 'ABC
. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức
' ' ' '''
..
MA MB MC MA MB MC
T
SA SB SC SA SB SC
=+++
là
A.
9
8
. B.
28
27
. C.
62
27
. D.
13
8
Câu 50. Cho khối lăng trụ
.
ABC A'B'C'
, khoảng cách từ
C
đến
'BB
là
5
, khoảng cách từ
A
đến
'BB
và
'CC
lần lượt là
1; 2
. Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
'''ABC
là trung điểm
M
của
''BC
,
15
'
3
=AM
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
25
3
. B.
5
C.
2 15
3
D.
15
3
…………….HẾT……………
ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NĂM 2023 – 2024
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
C
A
D
D
A
A
B
B
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
D
D
A
C
B
A
D
D
C
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
A
D
D
B
B
C
C
D
B
B
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
A
D
C
B
D
D
D
A
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A
D
B
C
C
C
D
A
B
C
Câu 1. Trong các dãy số
( )
n
u
sau đây, dãy nào là cấp số nhân ?
A.
n
un= 3
. B.
1
1
2
n
n
u
+
=
. C.
n
u
n
=
1
. D.
n
n
u = +21
.
Câu 2. Đặt
3
log 2 a=
khi đó
16
log 27
bằng
A.
3
4
a
B.
3
4a
C.
4
3a
D.
4
3
a
Câu 3. Biết
1
lim ( ) 4
x
fx
→−
=
. Khi đó
( )
4
1
()
lim
1
x
fx
x
→−
+
bằng
A.
−∞
. B.
4
. C.
+∞
. D.
0
.
Câu 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu
đồ dưới đây.
Hãy ước lượng mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển
sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau?
A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu cho
điểm mẫu áo đó theo thang điểm là
100.
Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
Nhóm
[
)
50;60
[
)
60;70
[
)
70;80
[
)
80;90
[
)
90;100
Tần số
4
5
23
6
2
40N =
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là
A.
12 3
71, 76, 78.QQ Q≈≈≈
B.
12 3
71, 75, 78.QQ Q≈≈≈
C.
123
70, 76, 79.QQQ≈≈≈
D.
123
70, 75, 79.QQQ≈≈≈
Câu 7. Cho hình lập phương
111 1
.ABCD A B C D
. Góc giữa hai đường thẳng
AC
và
1
DA
bằng
A.
60°
. B.
90°
. C.
45
°
. D.
120°
.
Câu 8. Từ một hộp chứa
7
quả cầu màu đỏ và
5
quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời
3
quả cầu từ hộp đó. Số phần tử của không gian mẫu là
A.
220
. B.
1320
. C.
350
. D.
12600
.
Câu 9. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
MNP
có
( )
1; 1M −
,
( )
5; 3N −
và
P
thuộc trục
Oy
,
trọng tâm
G
nằm trên trục
Ox
. Toạ độ của điểm
G
là
A.
( )
2; 4G
. B.
( )
2; 0G
. C.
( )
0; 4G
. D.
(
)
0; 2G
.
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy,cho
(
)
1; 2
−Am
,
( )
2;5 2−Bm
và
( )
3; 4−Cm
. Tìm giá trị
m
để
,,ABC
thẳng hàng?
A.
3=m
. B.
2=
m
. C.
2= −m
. D.
1=m
.
Câu 11. Cho hàm số
( )
(
)
++− +
≠
=
−
+− =
2
3
2 71
khi 1
21
1 khi 1
xx x
x
fx
x
xm x
. Biết rằng
=
2
a
m
b
( với
a
,
b
∈
và
a
b
là phân số tối giản) thì hàm số
( )
fx
liên tục tại
=1x
. Giá trị của
ab+
bằng:
A.
5
. B.
37
. C.
13
. D.
51
.
Câu 12. Tính
2
23
lim
23
x
x
x
→−∞
+
−
.
A.
1
2
. B.
1
2
−
. C.
2
. D.
2−
.
Câu 13. Cho hàm số
( )
khi
khi
xx
x
x
fx
x
+−
≠
−
=
−
=
3 12
1
1
5
1
4
. Tính
( )
'f 1
.
A. Không tồn tại. B.
0
C.
7
50
−
. D.
9
64
−
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
lim lim lim lim
xx x x
xx xx x
fx f
x
x xx xx
→→ → →
+− +− − − −
= = = = =
−
− ++ ++
2
11 1 1
312 314 41 5
1
14
1 3 12 3 12
⇒
Hàm số liên tục lại
x = 1
.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
' lim lim lim
lim lim
xx x
xx
xx
fx f
xx
x
f
xx
x
xx
x xx xx
→→ →
→→
+−
+
−
+− −
−
= = =
−−
−
+− +
−
= = = −
− ++ + ++ +
2
11 1
2
2
11
3 12 5
1
43 1 3 5
14
1
11
41
16 3 1 3 5
99
64
4 1 43 1 3 5 443 1 3 5
Câu 14. Cho hàm số
32
1
() 4 3
3
f x x mx x= + ++
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
sao
cho
( ) 0,fx x
′
≥ ∀∈
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 15. Cho hàm số
(
)
y fx=
có đạo hàm tại điểm
0
2x
=
. Tìm
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
x
→
−
−
.
A.
0
. B.
( )
2
f
′
. C.
( ) ( )
22 2ff
′
−
. D.
( ) ( )
22 2ff
′
−
.
Câu 16. Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm
Nhóm ghép
Tần số
Nhóm ghép
Tần số
[
)
62,5;67,5
4
[
)
82,5;87,5
22
[
)
67,5;72,5
7
[
)
87,5;92,5
5
[
)
72,5;77,5
10
[
)
92,5;97,5
10
[
)
77,5;82,5
26
[
)
97,5;102,5
16
A.
77,5 82,5.
e
M≤<
B.
82,5 87,5.
e
M≤<
C.
87,5 92,5.
e
M
≤<
D.
92,5 97,5.
e
M≤<
Câu 17. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm
2013
dân số Việt Nam là
90
triệu người, tốc
độ tăng dân số là
1,1% /
năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp
đôi (đạt ngưỡng
180
triệu ) vào năm nào?
A.2077. B. 207
4
. C. 2075. D.
2
076.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
( )
= − −+
2
log 2 1y x xm
có tập xác
định là
.
A.
≤ 2m
B.
> 2m
C.
≥ 0m
D.
<
0m
Câu 19. Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
1
1
8
,1
5
n
n
u
u
un
+
=
+
= ∀≥
và dãy số
( )
n
v
xác định bởi
2
nn
vu= −
.
Biết
( )
n
v
là một cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là
A.
(
)
1
1
1.
5
n
n
v
−

=−−


. B.
1
1
1.
5
n
n
v
−

= −


. C.
( )
1
1.
5
n
n
v

= −


. D.
( )
1
1
1.
5
n
n
v
−

= −


.
Câu 20: Cho Elip
( )
22
: 1
25 9
+=
y
E
x
. Đường thẳng
( )
:4= −dx
cắt
( )
E
tại hai điểm
,MN
. Khi đó:
A.
9
25
=MN
. B.
18
25
=MN
. C.
18
5
=MN
. D.
9
5
=MN
.
Câu 21. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
2015 4
1000uu+=
. Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
đó là:
A.
1009000
. B.
100800
. C.
1008000
. D.
100900
.
Câu 22. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gọi
I
,
J
lần lượt là
trung điểm
SA
và
SB
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
( )
(
)
∩=
IJCD SAB IJ
B.
( )
(
)
∩=
SAB IBC IB
.
C.
(
)
(
)
∩=
SBD JCD JD
. D.
(
)
(
)
∩=
IAC JBD AO
.
Câu 23. Cho các số thực a, b thỏa mã
1 ab<<
và
2
log log 3
ab
ba
+=
. Tính giá trị của biểu
thức
2
log
2
ab
ab
T
+
=
.
A.
1
6
. B.
3
2
. C.
6
. D.
2
3
.
Câu 24. Cho tứ diện
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang
( )
//AB CD
. Gọi
M
,
N
và
P
lần lượt
là trung điểm của
BC
,
AD
và
SA
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
MNP
là
A. đường thẳng qua
M
và song song với
SC
.
B. đường thẳng qua
P
và song song với
AB
.
C. đường thẳng
PM
.
D. đường thẳng qua
S
và song song với
AB
.
Câu 25. Xét các số nguyên dương
, ab
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0a xb x+ +=
có hai nghiệm
phân biệt
12
, xx
và phương trình
2
5log log 0xb xa+ +=
có hai nghiệm phân biệt
34
,
xx
thỏa mãn
12 34
xx xx>
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
23S ab= +
A.
min
33
S
=
. B.
min
30S =
. C.
min
17
S
=
. D.
min
25S
=
.
Câu 26. Với các chữ số
012345,,,,,
có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số
1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
A.
6720
số. B.
40320
số. C.
5880
số. D.
840
số.
Câu 27. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo
có ít nhất một mặt 6 chấm:
A.
( )
(
) (
) ( ) ( )
{ }
1;6,2;6,3;6,4;6,5;6A =
. B.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6A =
C.
(
) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6,
6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5
A


=



D.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5A =
.
Câu 28. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm
của hai con súc sắc bằng
6
” là
A.
5
6
. B.
7
36
. C.
11
36
. D.
5
36
.
Câu 29. Cho hình chóp đều
.S ABCD
có
O
là giao điểm của
AC
và
BD
. Gọi
, , ME F
lần lượt
là trung điểm của
, , AB SC SD
. Biết
;2SO a AB a= =
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
ME
và
CF
bằng
A.
2
4
a
. B.
6
6
a
. C.
2
6
a
. D.
6
4
a
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có
,SA a
3
AB a
,
2AC a
. Góc
0
60SAB
,
0
90BAC
,
0
AS 120C
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
3
a
Câu 31. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành;
M
là trung điểm của
SD
,
E
thuộc
cạnh
BC
sao cho
2
BE EC=
, mặt phẳng
( )
AME
cắt
SC
tại
F
. Tính tỉ số diện tích 2 tam
giác
SFD
và
FCD
.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
2
.
Lời giải
Trong mặt phẳng
( )
ABCD
gọi
K
là giao điểm của
AE
và
CD
, trong mặt phẳng
( )
SCD
ta có
F MK SC= ∩
.
Khi đó:
1
2
EC CK CK
EB AB CD
= = =
.
Gọi
N
là trung điểm
SC
, ta có:
1
CF CK
FN MN
= =
suy ra
F
là trung điểm
NC
.
Vậy
3
SFD
FCD
S
SF
S FC
= =
.
Câu 32. Cho tam giác
ABC
đều.Gọi
D
là điểm đối xứng của
C
qua
AB
. Vẽ đường tròn tâm
D
qua
A
,
B
;
M
là điểm bất kì trên đường tròn đó
( )
,M AM B≠≠
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
B. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cân ( không phải tam giác
đều).
C. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của 1 tam giác đều.
D.
MB MC MA>>
.
Lời giải.
Chọn A
Chọn hệ trục
Oxy
sao cho
Ox
trùng với
AB
, chiều
dương hướng từ
A
đến
B
,trục
Oy
là đường trung trực
của đoạn
AB
⇒
( )
1; 0A −
;
(
)
1; 0
B
,
( )
0; 3C
,
( )
0; 3D −
.
Phương trình đường tròn tâm
D
qua
A
,
B
là:
22
( 3) 4
xy++ =
( )
1
.
Giả sử
( )
;M ab
là điểm bất kì trên đường tròn
( )
1
.Ta có
:
(
)
2
22
1MA a b=++
,
(
)
2
22
1MB a b
=−+
,
(
)
2
22
3MC a b
=+−
.
( )
2
2 2 2 22
3 2 31
MA MB a b a b b+ =+− +++ −
( )
2
22
34MC a b= +++ −
.
M
nằm trên đường tròn
( )
1
nên :
( )
2
2
3 40ab+ + −=
22 2
MA MB MC⇒+=
⇒
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Câu 33. Trên hệ trục tọa độ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Điểm
M
thuộc cạnh
CD
sao cho
=
 
2MC DM
,
( )
0;2019N
là trung điểm của cạnh
BC
,
K
là giao điểm của hai đường thẳng
AM
và
BD
. Biết đường thẳng
AM
có phương trình
−+ =10 2018 0xy
. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến
đường thẳng
NK
bằng
A.
2019
. B.
2019 101
. C.
2018
11
. D.
2019 101
101
.
Lời giải
Chọn D
Gọi cạnh hình vuông bằng
a
. Do
∆ ∆ ⇒==⇒=
11
34
MD DK DK
ABK MDK
AB K B DB
.
Ta có
=+=+
    
1
3
AM AD DM AD DC
( )
=−=−= +−=+
         
313 131
424 244
NK BK BN BD BC BA BC BC BA BC
Từ và suy ra
= + =⇒⊥
     
11
. . .0
44
AM NK AD BC BA DC AM NK
.
Vì
⊥AM NK
nên NK có phương trình tổng quát:
+− =10 2019 0xy
.
Khoảng cách từ O đến NK là
( )
−
= =
+
22
2019
2019 101
,
101
10 1
d O NK
.
a
M
K
N
C
A
D
B
Câu 34. Cho tập hợp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5A =
. Gọi
S
là tập hợp các số có
3
chữ số khác nhau được
lập thành từ các chữ số của tập
A
. Chọn ngẫu nhiên một số từ
S
, tính xác suất để số được chọn
có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
A.
1
.
5
B.
23
.
25
C.
2
.
25
D.
4
.
5
Lời giải.
Gọi số cần tìm của tập
S
có dạng
abc
. Trong đó
,,
0
;;
abc A
a
abbcca
∈
≠
≠≠≠
.
Khi đó
● Số cách chọn chữ số
a
có
5
cách chọn vì
0a
≠
.
● Số cách chọn chữ số
b
có
5
cách chọn vì
ba
≠
.
● Số cách chọn chữ số
c
có
4
cách chọn vì
ca≠
và
cb≠
.
Do đó tập
S
có
5.5.4 100=
phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên
1
số từ tập
S
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
1
100
100nCΩ= =
.
Gọi
X
là biến cố
''
Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu
''
. Khi đó ta có các
bộ số là
12b
hoặc
24b
thỏa mãn biến cố
X
và cứ mỗi bộ thì
b
có
4
cách chọn nên có
tất cả
8
số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố
X
là
( )
8nX =
.
Vậy xác suất cần tính
( )
( )
( )
82
.
100 25
nX
PX
n
= = =
Ω
Câu 35. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật tâm
O
với
;2AB a AD a= =
.
Cạnh bên
SA a=
và vuông góc với đáy. Gọi
(
)
α
là mặt phẳng qua
SO
và vuông góc với
( )
SAD
.
Tính diện tích
S
của thiết diện tạo bởi
( )
α
và hình chóp đã cho
A.
2
3
2
a
S
=
. B.
2
2
2
a
S =
. C.
2
2
a
S =
. D.
2
a
.
Câu 36: Trong mặt phẳng cho
n
điểm, trong đó không có
3
điểm nào thẳng hàng và trong tất cả
các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc
vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi
2
trong
1n −
điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là
bao nhiêu?
A.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

. B.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 2 15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

.
C.
( )( )
2 23
1
12
2
3 2 15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

. D.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

.
Đáp án D.
*Gọi
n
điểm đã cho là
12
, ,...,
n
AA A
. Xét một điểm cố định, khi đó có
2
1n
C
−
đường thẳng được
xác định bởi
2
trong
1n −
điểm còn lại nên sẽ có
2
1n
C
−
đường thẳng vuông góc đi qua điểm
cố định đó.
*Do đó có tất cả
( )( )
2
1
12
2
n
nn n
nC
−
−−
=
đường thẳng vuông góc nên có
( )( )
2
12
2
nn n
C
−−
giao điểm
(tính cả những giao điểm trùng nhau)
*Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại
- Qua một điểm có
( )( )
2
1
12
2
n
nn
C
−
−−
=
đường thẳng vuông góc nên ta phải trừ đi
( )
2
1
1
n
nC
−
−
điểm.
- Qua ba điểm
123
, ,AA A
của 1 tam giác có 3 đường thẳng cùng vuông góc với
45
AA
và 3
đường thẳng này song song với nhau nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải
loại đi
3
3
n
C
- Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất
2
điểm cho mỗi
tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi
3
2
n
C
.
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là:
( )( )
( )
2 23
1
12
2
15
nn
nn n
C nC C
−
−−

− −+

.
Câu 37. An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành
chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là (không có hòa). Tính xác suất An thắng
chung cuộc
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Phân tích: Bài này điểm mấu chốt là phải liệt kê được các trường hợp mà An thắng Bình
ching cuộc. Ví dụ như: Séc : An thắng; Séc : An thắng; Séc : Bình thắng; Séc :
An thắng.
An thắng chung cuộc.
Lưu ý là ta phải tính cả thứ tự các séc An thắng hoặc thua. Như ở ví dụ trên là An thua
ở séc thứ .
Lời giải: Giả sử số séc trong trân đấu giữa An và Bình là . Dễ dàng nhận thấy
.
Ta xét các trường hợp:
TH1: Trận đấu có séc An thắng cả séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là:
TH2: Trận đấu có séc An thua trong séc: hoặc và thắng séc thứ .
Số cách chọn séc để An thua là: (Chú ý xác xuất để An thua trong séc là )
TH3: Trận đấu có séc An thua 2 séc và thắng ở séc thứ .
Số cách chọn trong séc đầu để An thua là cách.
Như vậy xác suất để An thắng chung cuộc là:
0, 4
0,064
0,1152
0,13824
0,31744
1
2
3
4
⇒
3
x
35x≤≤
3
⇒
3
1
0,4.0,4.0,4 0,064P = −
4
⇒
1
3
1, 2
3
4
1
1
3
C
1
0,6.
13
23
.0,4 .0,6 0,1152PC⇒= =
5
⇒
5
2
4
2
4
C
2 32
34
.0,4 .0,6 0,13824PC⇒= =
123
0,31744PPPP=++=
Câu 38. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
( )
cos 2 sin 2
44
y fx x x
ππ

= = ++ −


, ta được
( )
y fx=
là
hàm số :
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 39. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn
10−
của
m
để phương trình
( )( )
2
2 cos 1 2cos 2 2 cos 3 4sinx x xm x− + −=−
có hai nghiệm thuộc
;
22
ππ

−


?
A.
7
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
Đáp án A.
PT
( )(
)
2
2cos 1 2cos 2x 2cos 3 4sinx xm x− + −=−
có đúng hai nghiệm
;
22
ππ

∈−


( )
( )
( )( )
( )
( )
2
2
2
2
2 cos 1 4cos 2 2 cos
2 cos 1 2cos 1
2 cos 1 4cos 3 0
1
cos (1)
2 cos 1 0
2
3
4 cos 3 0
cos (2)
4
x x xm
xx
x xm
x
x
m
xm
x
⇔ − −+ −
=−+
⇔ − −− =
=
−=
⇔⇔
+
−− − =
=
Giải (1):
1
cos
2
x =
có hai nghiệm thuộc
;
22
ππ

−


=> Phương trình có hai nghiệm thuộc
;
22
ππ

−


⇔
(2) vô nghiệm hoặc (2)
1
cos
2
x⇔=±
3
1
4
1
3
03
4
2
31
44
m
m
m
m
m
m
+
−>
>
+
⇔ < ⇔ <−
=
+
=
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.
Chú ý:
[ ]
2
cos 0;1x xR∈ ∀∈
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình:
( ) ( )
m 1 cosx m 1 sinx 2m 3+ +− = +
có 2 nghiệm
12
x ,x
thoả mãn:
12
xx
3
π
−=
?
A.
0
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +
2
π
−
5
6
π
−
6
π
−
2
3
π
−
Lời giải.
Ta có phương trình đã cho tương đương với
222
m 1 m 1 2m 3
cosx sinx
2m 2 2m 2 2m 2
+−+
+=
+++
( )
cos x cos⇔ +α = β
(với đk
2
2m+3
11
2m 2
−≤ ≤
+
(*) )
(Trong đó
22
m 1 2m+3
cos ; cos
2m 2 2m 2
+
α= β=
++
)
x k2⇔ =β±α+ π
Do đó
12
x ,x
có dạng
1 12 2
x k 2 ; x k 2=β+α+ π =β−α+ π
(Vì nếu x
1
,x
2
cùng thuộc một họ nghiệm thì
12
x x l2 , l Z − =π∈
)
Do đ ó:
12
12
x x 2 (k k )2
3
3
π
π
− = ⇔ α+ − π =
12
1
cos (k k ) cos cos 2
32
22
π
⇔ − = ⇔ α=
α+ π
.
Mặt khác
2
cos2 2cos 1α= α−
nên ta có:
( )
2
2
2
2
m1
1 m1 3
21
24
2m 2
2m 2

+
+

= −⇔
=

+
+

2
m 4m 1 0 m 2 3⇔ − +=⇔ =±
(ko thoả mãn (*))
Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán .
Câu 42. Một nhóm gồm
5
bạn nam,
4
bạn nữ và thầy giáo đứng thành
2
hàng, mỗi hàng
5
người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các
bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng
A.
1
35
. B.
1
105
. C.
1
70
. D.
2
105
.
Lời giải
*) Ta có: .
*) Chọn hàng cho thầy giáo, có cách chọn.
*) Đối với hàng có thầy giáo, có cách xếp như sau:
+) TH1: Trong hàng thầy giáo có nam, nữ.
Vì thầy giáo xen giữa hai bạn nam nên xếp bạn nam đứng hai bên thầy giáo, có:
cách.
Vì các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng nên ta xếp hai bạn nữ đứng
ở hai đầu hàng, có cách xếp.
Hàng còn lại gồm bạn nam và bạn nữ còn lại.
Ta xếp bạn nam, có cách, tạo ra vị trí giữa các bạn.
Xếp bạn nữ vào trong vị trí đó, có: cách xếp.
10!Ω=
2
2
2
2
2
2
5
A
2
4
A
3
2
3
3!
4
2
2
4
2
4
A
Do đó, trường hợp này có: cách xếp.
+) TH2: Trong hàng thầy giáo có nam, nữ.
Xếp 1 bạn nam, 1 bạn nữ và thầy giáo thành một hàng, có .
Xếp hai bạn nam trong 4 bạn nam còn lại đứng hai bên thầy giáo, có cách.
Hàng còn lại gồm bạn nữ và bạn nam còn lại.
Ta xếp bạn nữ, có cách, tạo ra vị trí xen giữa các bạn.
Xếp bạn nam vào vị trí đó, có: cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: cách xếp.
Vậy xác suất cần tính là:
2 2 2 11
5 4 4 54
2( . .3!. . .3!.2!)
2
10! 105
A A A CC+
=
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang, đáy lớn
BC
,
2,BC a AD AB a= = =
, tam
giác
SAD
đều. Gọi
I
là một điểm trên đoạn
BD
(
I
không trùng với
B
và
D
). Qua
I
kẻ
đường thẳng song song với
AD
cắt cạnh
AB
tại
M
, qua
M
kẻ đường thẳng song song
với
SA
cắt cạnh
SB
tại
Q
. Đặt
AM x=
. Tìm
x
để diện tích thiết diện của hình chóp
.S ABCD
khi cắt bởi mặt phẳng
()IMQ
đạt giá trị lớn nhất?
A.
2
a
. B.
3
a
. C.
4
a
. D.
2
3
a
.
Lời giải
Chọn B
Trong
()ABCD
:
MI CD N∩=
.
+
( )( )IMQ ABCD MN∩=
.
+
( )( )IMQ SAB MQ∩=
.
+ Xét
()IQM
và
()SBC
có
Q
chung và
//MN BC
( ) ( ) , //BC,IQM SBC QP QP P SC⇒ ∩= ∈
.
22 2
54 4
. .3!.AA A
3
1
11
54
. .3!CC
2
4
A
3
2
3
3!
2
2
2
2!
11 2
54 4
. .3! .3!.2!CC A
P
Q
M
N
B
C
A
S
D
I
+
()()IMQ SCD PN∩=
.
Thiết diện cần tìm là hình thang
MNPQ
.
Ta có
CP BQ BM CN
CS BS BA CD
= = =
. Do đó
//NP SD
.
Khi đó
NP CP BQ MQ
SD CS BS SA
= = =
.
Mà
SA SD=
. Suy ra
MQ PN=
.
Ta có
2
PQSQMA
PQ x
BC SB AB
== ⇒=
.
Mà
2 ,0
MN MI IN a x x a x x a= + =−+ =+ <<
. Suy ra
MN QP>
Do đó
MNPQ
là hình thang cân.
Trong hình thang cân
MNPQ
kẻ đường cao
QH
,
H MN∈
.
Ta có
22
MN PQ a x
MH
−−
= =
,
MQ a x= −
.
222 2
33
() ()
42
QH MQ MH a x QH a x= − = −⇒ = −
.
22
1 33
( ). ( 3 )( ) ( 3 2 )
2 44
MNPQ
S MN PQ QH a x a x x ax a
= + = + −= − + +
.
Biểu thức
22
32x ax a
−+ +
đạt giá trị lớn nhất khi
(0; )
3
a
xa= ∈
.
Câu 44. Cho hàm số
( )
32
31f x x x mx=+ ++
. Gọi
S
là tổng tất cả giá trị của tham số
m
để đồ thị
hàm số
( )
y fx=
cắt đường thẳng
1y =
tại ba điểm phân biệt
( )
0;1A
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại
B
,
C
vuông góc với nhau. Giá trị của
S
bằng
A.
9
2
. B.
9
5
. C.
9
4
. D.
11
5
.
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y fx=
và đường thẳng
1y =
là:
32
3 11x x mx+ + +=
32
30x x mx
⇔+ + =
2
0
30
x
x xm
=
⇔
+ +=
.
Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình
2
30x xm+ +=
phải có hai
nghiệm phân biệt khác
0
2
2
3 4.1. 0
0 3.0 0
m
m
−>
⇔
+ +≠
49
0
m
m
− >−
⇔
≠
9
4
0
m
m
<
⇔
≠
.
Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt
( )
0;1A
,
( )
;
BB
Bx y
,
( )
;
CC
Cx y
, ở
đó
B
x
,
C
x
là nghiệm của phương trình
2
30x xm+ +=
.
Ta có:
( )
2
36fx x xm
′
= ++
.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại
B
,
C
lần lượt là
( )
2
36
B B BB
k fx x x m
′
= =++
;
( )
2
36
C C CC
k fx x x m
′
= =++
.
Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì
.1
BC
kk
= −
.
Suy ra:
( )( )
22
36 36 1
BB CC
x xmx xm+ + + +=−
(
)
2
2 22 2 2
9 18 3 18 36 6 3 6 1
BC BC B BC BC B C C
x x x x mx x x x x mx mx mx m
⇔ ++++++++=−
( ) (
)
( )
( )
2
22 2
9 18 3 36 6 1 0
BC BC B C B C BC B C
xx xx x x mx x xx mx x m
⇔ + ++ ++ + +++=
.
Ta lại có theo Vi-et:
3
BC
BC
xx
xx m
+=−
=
. Từ đó
( )
2
22
2
BC BC BC
xx xx xx+= + −
92
m= −
.
Suy ra:
( ) ( ) ( )
22
9 18 3 3 9 2 36 6 3 1 0m m m m mm m+ −+ − + + −+ +=
2
4 9 10
mm⇔ − +=
9 65
8
9 65
8
m
m
+
=
⇔
−
=
(thỏa mãn).
Vậy
9 65 9 65
88
S
+−
= +
9
4
=
.
Câu 45: Ba số
;;abc
khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai dương. Nếu
cộng thêm vào số hạng thứ ba 9 đơn vị thì ta thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân. Nếu ta tiếp tục nhân số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số nhân này
với
1
8
−
ta lại thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính giá trị biểu
thức
23Pa b c=++
.
A.
18−
. B. 14. C. 30. D. 12.
Lời giải
+ Dãy số
;;abc
là cấp số cộng có công sai dương
( )
( )
*
2
2 0, 1
abc
abc
bac
a bc
<<
<<
⇔⇔

= +
− +=
+) Do
,ab
khác 0 nên dãy số
;; 9
abc+
là cấp số nhân
( )
2
9b ac⇔= +
( )
2
.
+) Dãy số
9
;;
88
bc
a
+
−−
là cấp số cộng
9
2. 8 2 9
88
cb
a a bc
+

⇔− = − ⇔ + −=


( )
3
.+) Từ
( )
1
và
( )
3
ta có
1
21
a
cb
=
= −
.
+) Thay vào
(
)
2
, ta được:
22
2 8 2 80
b b bb= +⇔ − −=
4
2
b
b
=
⇔
= −
.
+) Đối chiếu điều kiện
( )
*,
ta được
4b =
.
+) Với
4b =
ta có
7c =
. Khi đó 3 số cần tìm là
1; 4; 7ab c= = =
.
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GD&ĐT THANH HÓA
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2 NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN TOÁN HỌC – Khối lớp 11
Thời gian làm bài : 90 phút
(Đề thi có 07 trang)
(không kể thời gian phát đề)
Họ và tên học sinh :..................................................... Số báo danh : ................... Mã đề 001
Câu 1. Trong các dãy số (u sau đây, dãy nào là cấp số nhân ? n ) A. 1 1 u = 3n . B. u = .
C. u = . D. n u = 2 + 1. n n n 1 2 + n n n
Câu 2. Đặt log 2 = a khi đó log 27 bằng 3 16 A. 3a B. 3 C. 4 D. 4a 4 4a 3a 3 Câu 3. Biết lim f (x)
f (x) = 4. Khi đó lim bằng x 1 →− x→− (x + )4 1 1 A. −∞ . B. 4 . C. +∞ . D. 0 .
Câu 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.
Hãy ước lượng mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6
quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau? A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu
cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
Nhóm [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100) Tần số 4 5 23 6 2 N = 40
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là
A. Q ≈ 71, Q ≈ 76, Q ≈ 78.
B. Q ≈ 71, Q ≈ 75, Q ≈ 78. 1 2 3 1 2 3
C. Q ≈ 70, Q ≈ 76, Q ≈ 79.
D. Q ≈ 70, Q ≈ 75, Q ≈ 79. 1 2 3 1 2 3
Câu 7. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Góc giữa hai đường thẳng DA bằng 1 1 1 1 AC và 1 A. 60°. B. 90° . C. 45°. D. 120°.
Câu 8. Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3
quả cầu từ hộp đó. Số phần tử của không gian mẫu là A. 220 . B. 1320. C. 350. D. 12600.
Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M (1;− ) 1 , N (5; 3
− ) và P thuộc trục Oy ,
trọng tâm G nằm trên trục Ox . Toạ độ của điểm G là A.G(2;4) . B.G(2;0).
C. G(0;4).
D. G(0;2).
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy,cho A(m −1;2) , B(2;5− 2m) và C (m −3;4) . Tìm giá trị m để ,
A B,C thẳng hàng? A. m = 3. B. m = 2 . C. m = 2 − . D. m =1.  2 x + x + − 3 2 7x +1  khi x ≠ 1 Câu 11. Cho hàm số a 2 f (x) =  2 (x − ) 1 . Biết rằng m =
( với a , b ∈  b
x + m −1 khi x = 1
và a là phân số tối giản) thì hàm số f (x) liên tục tại x =1. Giá trị của a +b bằng: b A. 5. B. 37 . C. 13. D. 51. Câu 12. Tính 2x + 3 lim . x→−∞ 2 2x −3 A. 1 . B. 1 − . C. 2 . D. − 2 . 2 2  3x +1 − 2x  khi x ≠ 1
Câu 13. Cho hàm số ( )  x f x − =  1 . Tính f '(1) . −  5 khi x =  1  4
A. Không tồn tại. B. 0 C. 7 − . D. 9 − . 50 64 Câu 14. Cho hàm số 1 3 2
f (x) = x + mx + 4x + 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao 3
cho f (′x) ≥ 0, x ∀ ∈  A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 .
2 f (x) − xf (2)
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2. Tìm lim . 0 x→2 x − 2
A. 0 . B. f ′(2). C. 2 f ′(2) − f (2). D. f (2) − 2 f ′(2).
Câu 16. Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm
Nhóm ghép Tần số Nhóm ghép Tần số [62,5;67,5) 4 [82,5;87,5) 22 [67,5;72,5) 7 [87,5;92,5) 5 [72,5;77,5) 10 [92,5;97,5) 10 [77,5;82,5) 26 [97,5;102,5) 16
A. 77,5 ≤ M <
B. 82,5 ≤ M < e 87,5. e 82,5.
C. 87,5 ≤ M <
D. 92,5 ≤ M < e 97,5. e 92,5.
Câu 17. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc
độ tăng dân số là 1,1% / năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp
đôi (đạt ngưỡng 180 triệu ) vào năm nào? A.2077. B. 207 4 . C. 2075. D. 2 076.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x − m + 1) có tập xác
định là  . A. m≤2
B. m > 2
C. m ≥ 0 D. m < 0 u  =1 1
Câu 19. Cho dãy số (u xác định bởi 
và dãy số (v xác định bởi n ) n )  u + n 8 u = ∀ ≥  + n n , 1 1  5
v = u − . Biết (v là một cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là n ) n n 2 n 1 − n 1 − n n 1 − A.  1 v   = − − . B. v  = − . C. v   = − . D. v   = − . n ( ) 1 1 . n ( ) 1 1 . n 1. n ( ) 1 1 . 5          5   5   5  2 2
Câu 20: Cho Elip ( ): + y E x
= 1. Đường thẳng (d ) : x = 4
− cắt (E) tại hai điểm M , N . Khi 25 9 đó: 9 MN = 18 MN = 18 MN = 9 MN = A. 25 . B. 25 . C. 5 . D. 5 .
Câu 21. Cho cấp số cộng (u có u + u =1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số n ) 2015 4 cộng đó là: A. 1009000. B. 100800. C. 1008000. D. 100900.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I , J lần lượt là
trung điểm SA và SB . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. (IJCD)∩(SAB) = IJ
B. (SAB)∩(IBC) = IB.
C. (SBD)∩(JCD) = JD .
D. (IAC)∩(JBD) = AO .
Câu 23. Cho các số thực a, b thỏa mã 1< a < b và 2 log b +
a = . Tính giá trị của biểu thức a logb 3 2 log a b T + = . ab 2 A. 1 . B. 3 . C. 6 . D. 2 . 6 2 3
Câu 24. Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB//CD) . Gọi M , N và P lần
lượt là trung điểm của BC , AD và SA. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MNP) là
A. đường thẳng qua M và song song với SC .
B. đường thẳng qua P và song song với AB .
C. đường thẳng PM .
D. đường thẳng qua S và song song với AB .
Câu 25. Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2
a ln x + bln x + 5 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x , x và phương trình 2
5log x + blog x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 3 4
x x > x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 2a + 3b 1 2 3 4A. S =33. B. S = 30. C. S =17 . D. S = 25 . min min min min
Câu 26. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ
số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? A.6720 số. B. 40320 số. C.5880 số. D. 840 số.
Câu 27. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo
có ít nhất một mặt 6 chấm: A. A = (
{ 1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6)}. B. A = (
{ 1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)} (
 1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),  C. A  =
A = { 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 } (   D. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .  6,  ) 1 ,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) 
Câu 28. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số
chấm của hai con súc sắc bằng 6” là A. 5 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 6 36 36 36
Câu 29. Cho hình chóp đều S.ABCD có O là giao điểm của AC và BD . Gọi M , E, F lần lượt
là trung điểm của AB, SC, SD . Biết SO = a; AB = 2a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng ME và CF bằng A. 2 a . B. 6 a . C. 2 a . D. 6 a . 4 6 6 4
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có SA a, AB a 3 , 2 AC a . Góc  0 SAB  60 ,  0 BAC  90 ,  0
CAS 120 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 3 3 3 A. a 3 . B. a 3 . C. a 6 . D. a 3 6 3 3
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SD , E thuộc
cạnh BC sao cho BE = 2EC , mặt phẳng ( AME) cắt SC tại F . Tính tỉ số diện tích 2
tam giác SFD và FCD. A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 5 . 2
Câu 32. Cho tam giác ABC đều.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB . Vẽ đường tròn tâm D
qua A , B ; M là điểm bất kì trên đường tròn đó (M ≠ ,
A M ≠ B) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
B. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cân ( không phải tam giác đều).
C. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác đều.
D. MB > MC > MA .
Câu 33. Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Điểm M thuộc cạnh CD sao cho  
MC = 2DM , N (0;2019) là trung điểm của cạnh BC , K là giao điểm của hai đường thẳng AM
và BD . Biết đường thẳng AM có phương trình x −10y + 2018 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ O
đến đường thẳng NK bằng A. 2019. B. 2019 101 . C. 2018 . D. 2019 101 . 11 101
Câu 34. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; }
5 . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được
lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn
có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. A. 1. B. 23. C. 2 . D. 4. 5 25 25 5
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O với AB = a; AD = 2a .
Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Gọi (α ) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD)
. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α ) và hình chóp đã cho 2 2 2 A. a 3 S a = . B. a 2 S = . C. S = . D. 2 a . 2 2 2
Câu 36: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất
cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau
hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác
định bởi 2 trong n −1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau
nhiều nhất là bao nhiêu? A. 2 2C −  − +  2 2C −  − +  − − 2 n C − C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − n C − C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 ( )( ) n  . B. ( )( ) n  . 2 2 C. 2 2 3 3C −  − +  2 C −  − +  − − n C − C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − nC  − C n(n ) 2 n n 1 5 1 ( 2) 1 n  . D. ( )( ) n  . 2 2
Câu 37. An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành
chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc A. 0,064 . B. 0,1152 . C. 0,13824 . D. 0,31744 .
Câu 38. Xét tính chẵn lẻ của hàm số  π   π
y f (x) cos 2x  sin  2x  = = + + − 
, ta được y = f (x) là 4 4     
hàm số : A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 39. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3 = 3cot x + 3 là: 2 sin x A. π π π π − . B. 5 − . C. − . D. 2 − . 2 6 6 3
Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10
− của m để phương trình (  π π x − )( x + x − m) 2 2cos 1 2cos 2 2cos
= 3− 4sin x có hai nghiệm thuộc ;  −  ? 2 2    A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình: ( π
m + 1)cosx + (m − 1)sinx = 2m + 3 có 2 nghiệm 1 x ,x2 thoả mãn: 1 x − x2 = ? 3 A. 0 . B. 6 . C. 2 . D. 3.
Câu 42. Một nhóm gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và thầy giáo đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5
người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các
bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 35 105 70 105
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn BC , BC = 2a, AD = AB = a , tam
giác SAD đều. Gọi I là một điểm trên đoạn BD ( I không trùng với B và D ). Qua I
kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh AB tại M , qua M kẻ đường thẳng song
song với SAcắt cạnh SB tại Q . Đặt AM = x . Tìm x để diện tích thiết diện của hình
chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (IMQ) đạt giá trị lớn nhất? A. a . B. a . C. a . D. 2a . 2 3 4 3
Câu 44. Cho hàm số f (x) 3 2
= x + 3x + mx +1. Gọi S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị
hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y =1 tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B , C sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng A. 9 . B. 9 . C. 9 . D. 11. 2 5 4 5 Câu 45: Ba số ; a ;
b c khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai dương. Nếu
cộng thêm vào số hạng thứ ba 9 đơn vị thì ta thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân. Nếu ta tiếp tục nhân số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số nhân này với 1
− ta lại thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính giá 8
trị biểu thức P = a + 2b + 3c . A. 18 − . B. 14. C. 30. D. 12.
Câu 46. Tìm giới hạn C = lim n (x + a )(x + a )...(x + a − xn ) 1 2 x→+∞   . A. + + + + + + +∞ . B. a a ... a a a ... a −∞ . C. 1 2 n . D. 1 2 n . n 2n x
câu 47. Cho hàm số f (x) 4 =
. Tính giá trị biểu thức  1   2  100 A f f ... f  = + + +      ? 4x + 2 100  100  100  A. 50. B. 49 . C. 149 . D. 301. 3 6
Câu 48. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số ( ;x y) thỏa mãn 2 log
4x + 4y − 6 + m ≥1 và 2 2
x + y + 2x − 4y +1 = 0 . 2 2 x + y +2 ( ) A. S = { 5 − ; 1; − 1; } 5 . B. S = { 1; − } 1 . C. S = { 5; − } 5 . D. S = { 7 − − 5; 1; − 1;5; } 7 .
Câu 49. Cho tứ diện S.ABCD và M là một điểm di động, nằm bên trong tam giác A ∆ BC . Qua
M kẻ các đường thẳng song song với ,
SA SB, SC cắt các mặt phẳng tương ứng (SBC),
(SAC), (SAB) lần lượt tại A',B',C '. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức
MA' MB ' MC ' MA' MB ' MC ' T = + + + . . là SA SB SC SA SB SC A. 9 . B. 28 . C. 62 . D. 13 8 27 27 8
Câu 50. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB' là 5 , khoảng cách từ A đến
BB' và CC ' lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A'B'C ' là trung điểm
M của B 'C ', 15 A'M =
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 A. 2 5 . B. 5 C. 2 15 D. 15 3 3 3
…………….HẾT……………
ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NĂM 2023 – 2024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C A D D A A B B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D D A C B A D D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A D D B B C C D B B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A A D C B D D D A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A D B C C C D A B C
Câu 1. Trong các dãy số (u sau đây, dãy nào là cấp số nhân ? n ) A. 1 1 u = 3n . B. u = .
C. u = . D. n u = 2 + 1. n n n 1 2 + n n n
Câu 2. Đặt log 2 = a khi đó log 27 bằng 3 16 A. 3a B. 3 C. 4 D. 4a 4 4a 3a 3
Câu 3. Biết lim f (x) f (x) = 4. Khi đó lim bằng x 1 →− x→− (x + )4 1 1 A. −∞ . B. 4 . C. +∞ . D. 0 .
Câu 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.
Hãy ước lượng mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển
sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau? A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu cho
điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
Nhóm [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100) Tần số 4 5 23 6 2 N = 40
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là
A. Q ≈ 71, Q ≈ 76, Q ≈ 78.
B. Q ≈ 71, Q ≈ 75, Q ≈ 78. 1 2 3 1 2 3
C. Q ≈ 70, Q ≈ 76, Q ≈ 79.
D. Q ≈ 70, Q ≈ 75, Q ≈ 79. 1 2 3 1 2 3
Câu 7. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA bằng 1 1 1 1 1 A. 60°. B. 90° . C. 45°. D. 120°.
Câu 8. Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3
quả cầu từ hộp đó. Số phần tử của không gian mẫu là A. 220 . B. 1320. C. 350. D. 12600.
Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M (1;− ) 1 , N (5; 3
− ) và P thuộc trục Oy ,
trọng tâm G nằm trên trục Ox . Toạ độ của điểm G là A.G(2;4) . B.G(2;0).
C. G(0;4).
D. G(0;2).
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy,cho A(m −1;2) , B(2;5− 2m) và C (m −3;4) . Tìm giá trị m để ,
A B,C thẳng hàng? A. m = 3. B. m = 2 . C. m = 2 − . D. m =1.  2 x + x + − 3 2 7x +1  khi x ≠ 1 Câu 11. Cho hàm số a 2 f (x) =  2 (x − ) 1 . Biết rằng m =
( với a , b ∈  b
x + m −1 khi x = 1
và a là phân số tối giản) thì hàm số f (x) liên tục tại x =1. Giá trị của a +b bằng: b A. 5. B. 37 . C. 13. D. 51. Câu 12. Tính 2x + 3 lim . x→−∞ 2 2x −3 A. 1 . B. 1 − . C. 2 . D. − 2 . 2 2  3x +1 − 2x  khi x ≠ 1
Câu 13. Cho hàm số ( )  x f x − =  1 . Tính f '(1) . −  5 khi x =  1  4
A. Không tồn tại. B. 0 C. 7 − . D. 9 − . 50 64 Lời giải Ta có: 2
lim ( ) lim 3x +1 − 2x lim 3x + 1− 4x lim −4x f x − 1 −5 = = = = = f 1 x→1 x→1 x x → − 1 1
(x −1)( 3x+1 + 2x) x→1 ( 3x+1 + 2x) ( ) 4
⇒ Hàm số liên tục lại x = 1. 3x + 1 − 2x 5 f x f + − 1 '(1) ( ) ( ) lim lim x f − 1 4 4 3 1 3 5 = = = lim x + − x − x→ x→ x x −1 x → − 1 4(x −1)2 1 1 1
16(3x +1) −(3x + 5)2 lim lim −9 9 = = = − x→ 4( x −1)2 1
(4 3x+1+3x+5) x→1 4(4 3x+1+3x+5) 64 Câu 14. Cho hàm số 1 3 2
f (x) = x + mx + 4x + 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao 3
cho f (′x) ≥ 0, x ∀ ∈  A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 .
2 f (x) − xf (2)
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2. Tìm lim . 0 x→2 x − 2
A. 0 . B. f ′(2). C. 2 f ′(2) − f (2). D. f (2) − 2 f ′(2).
Câu 16. Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm
Nhóm ghép Tần số Nhóm ghép Tần số [62,5;67,5) 4 [82,5;87,5) 22 [67,5;72,5) 7 [87,5;92,5) 5 [72,5;77,5) 10 [92,5;97,5) 10 [77,5;82,5) 26 [97,5;102,5) 16
A. 77,5 ≤ M <
B. 82,5 ≤ M < e 87,5. e 82,5.
C. 87,5 ≤ M <
D. 92,5 ≤ M < e 97,5. e 92,5.
Câu 17. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc
độ tăng dân số là 1,1% / năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp
đôi (đạt ngưỡng 180 triệu ) vào năm nào? A.2077. B. 207 4 . C. 2075. D. 2 076.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x − m + 1) có tập xác
định là  . A. m≤2
B. m > 2
C. m ≥ 0 D. m < 0 u  =1 1
Câu 19. Cho dãy số (u xác định bởi 
và dãy số (v xác định bởiv = u − . n n 2 n ) n )  u + n 8 u = ∀ ≥  + n n , 1 1  5
Biết (v là một cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là n ) n 1 − n 1 − n n 1 − A.  1 v   = − − . B. v  = − . C. v   = − . D. v   = − . n ( ) 1 1 . n ( ) 1 1 . n 1. n ( ) 1 1 . 5          5   5   5  2 2
Câu 20: Cho Elip ( ): + y E x
= 1. Đường thẳng (d ) : x = 4
− cắt (E) tại hai điểm M , N . Khi đó: 25 9 9 MN = 18 MN = 18 MN = 9 MN = A. 25 . B. 25 . C. 5 . D. 5 .
Câu 21. Cho cấp số cộng (u có u + u =1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng n ) 2015 4 đó là: A. 1009000. B. 100800. C. 1008000. D. 100900.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I , J lần lượt là
trung điểm SA và SB . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. (IJCD)∩(SAB) = IJ
B. (SAB)∩(IBC) = IB.
C. (SBD)∩(JCD) = JD .
D. (IAC)∩(JBD) = AO .
Câu 23. Cho các số thực a, b thỏa mã 1< a < b và 2 log b +
a = . Tính giá trị của biểu a logb 3 2 thức log a b T + = . ab 2 A. 1 . B. 3 . C. 6 . D. 2 . 6 2 3
Câu 24. Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB//CD) . Gọi M , N và P lần lượt
là trung điểm của BC , AD và SA. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MNP) là
A. đường thẳng qua M và song song với SC .
B. đường thẳng qua P và song song với AB .
C. đường thẳng PM .
D. đường thẳng qua S và song song với AB .
Câu 25. Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2
a ln x + bln x + 5 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x , x và phương trình 2
5log x + blog x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 3 4
x x > x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 2a + 3b 1 2 3 4A. S =33. B. S = 30. C. S =17 . D. S = 25 . min min min min
Câu 26. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số
1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? A.6720 số. B. 40320 số. C.5880 số. D. 840 số.
Câu 27. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo
có ít nhất một mặt 6 chấm: A. A = (
{ 1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6)}. B. A = ({1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)} (
 1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),  C. A  =
A = { 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 } (   D. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .  6,  )1,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) 
Câu 28. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm
của hai con súc sắc bằng 6” là A. 5 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 6 36 36 36
Câu 29. Cho hình chóp đều S.ABCD có O là giao điểm của AC và BD . Gọi M , E, F lần lượt
là trung điểm của AB, SC, SD . Biết SO = ;
a AB = 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
ME và CF bằng A. 2 a . B. 6 a . C. 2 a . D. 6 a . 4 6 6 4
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có SA a, AB a 3 , 2 AC a . Góc  0 SAB  60 ,  0 BAC  90 ,  0
CAS 120 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 3 3 3 A. a 3 . B. a 3 . C. a 6 . D. a 3 6 3 3
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SD , E thuộc
cạnh BC sao cho BE = 2EC , mặt phẳng ( AME) cắt SC tại F . Tính tỉ số diện tích 2 tam
giác SFD và FCD. A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 5 . 2 Lời giải
Trong mặt phẳng ( ABCD) gọi K là giao điểm của AE và CD , trong mặt phẳng (SCD) ta có
F = MK ∩ SC . Khi đó: EC CK CK 1 = = = . EB AB CD 2
Gọi N là trung điểm SC , ta có: CF CK =
= 1 suy ra F là trung điểm NC . FN MN Vậy S SF SFD = = 3. S FC FCD
Câu 32. Cho tam giác ABC đều.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB . Vẽ đường tròn tâm D
qua A , B ; M là điểm bất kì trên đường tròn đó (M ≠ ,
A M ≠ B) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
B. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cân ( không phải tam giác đều).
C. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác đều.
D. MB > MC > MA . Lời giải. Chọn A
Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với AB , chiều
dương hướng từ A đến B ,trục Oy là đường trung trực
của đoạn AB ⇒ A( 1;
− 0) ; B(1;0),C (0; 3), D(0;− 3).
Phương trình đường tròn tâm D qua A , B là: 2 2
x + (y + 3) = 4 ( ) 1 .
Giả sử M (a;b)là điểm bất kì trên đường tròn ( ) 1 .Ta có : 2 MA = (a + )2 2 1 + b , 2 MB = (a − )2 2 1 + b ,
MC = a + (b − )2 2 2 3 .
MA + MB = a + (b − )2 2 2 2 2 2
3 + a + b + 2b 3 −1
= MC + a + (b + )2 2 2 3 − 4 .
M nằm trên đường tròn ( )
1 nên : a + (b + )2 2 3 − 4 = 0 2 2 2
⇒ MA + MB = MC ⇒ MA , MB
, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Câu 33. Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Điểm M thuộc cạnh CD sao cho  
MC = 2DM , N (0;2019) là trung điểm của cạnh BC , K là giao điểm của hai đường thẳng AM và
BD . Biết đường thẳng AM có phương trình x −10y + 2018 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng NK bằng A. 2019. B. 2019 101 . C. 2018 . D. 2019 101 . 11 101 Lời giải Chọn D
Gọi cạnh hình vuông bằng a . Do MD DK 1 DK 1
∆ABK  ∆MDK ⇒ = = ⇒ = . AB KB 3 DB 4
    1 
Ta có AM = AD + DM = AD + DC A a B 3
   3  1  3   1  3  1 
NK = BK − BN = BD − BC = (BA+ BC)− BC = BA+ BC N 4 2 4 2 4 4 K
  1   1   D C
Từ và suy ra AM.NK = AD.BC + B .
A DC = 0 ⇒ AM ⊥ NK . M 4 4
Vì AM ⊥ NK nên NK có phương trình tổng quát: 10x + y − 2019 = 0 . 2019
Khoảng cách từ O đến NK là d (O NK) − 2019 101 , = = . 2 + 2 101 10 1
Câu 34. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4 }
; 5 . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được
lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn
có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. A. 1. B. 23. C. 2 . D. 4. 5 25 25 5 Lời giải.
a,b,c ∈ A
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó a ≠ 0 .
a ≠ ;bb ≠ ;cc ≠  a Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a ≠ 0 .
● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b ≠ a .
● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c ≠ a và c ≠ b .
Do đó tập S có 5.5.4 =100 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 = C =100 . 100
Gọi X là biến cố ' Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu' . Khi đó ta có các
bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có
tất cả 8 số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) = 8.
Vậy xác suất cần tính P( X ) n( X ) 8 2 = = = n(Ω) . 100 25
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O với AB = a; AD = 2a .
Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Gọi (α ) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD).
Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α ) và hình chóp đã cho 2 2 2 A. a 3 S = . B. a 2 S = . C. a S = . D. 2 a . 2 2 2
Câu 36: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả
các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc
vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi
2 trong n −1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là bao nhiêu? A. 2 2C −  − +  2 2C −  − +  − − 2 n C − C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − n C − C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 ( )( ) n  . B. ( )( ) n  . 2 2 C. 2 2 3 3C −  − +  2 C −  − +  − − n C − C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − nC  − C n(n ) 2 n n 1 5 1 ( 2) 1 n  . D. ( )( ) n  . 2 2 Đáp án D.
*Gọi n điểm đã cho là A , A ,..., A . Xét một điểm cố định, khi đó có 2 đường thẳng được 1 2 n Cn 1−
xác định bởi 2 trong n −1 điểm còn lại nên sẽ có 2
C đường thẳng vuông góc đi qua điểm n 1 − cố định đó. *Do đó có tất cả n n −1 n − 2 2 ( )( ) nC =
đường thẳng vuông góc nên có 2 C giao điểm n 1 − 2 n(n− ) 1 (n−2) 2
(tính cả những giao điểm trùng nhau)
*Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại - Qua một điểm có n −1 n − 2 2 ( )( ) C =
đường thẳng vuông góc nên ta phải trừ đi n( 2 C − n− 1 1 ) n 1 − 2 điểm.
- Qua ba điểm A , A , A của 1 tam giác có 3 đường thẳng cùng vuông góc với A A và 3 1 2 3 4 5
đường thẳng này song song với nhau nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi 3 3C n
- Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi
tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi 3 2C . n
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: 2 C −  − +  − − n C − C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 ( )( ) n  . 2
Câu 37. An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành
chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc A. 0,064 . B. 0,1152 . C. 0,13824 . D. 0,31744 . Đáp án D.
Phân tích: Bài này điểm mấu chốt là phải liệt kê được các trường hợp mà An thắng Bình
ching cuộc. Ví dụ như: Séc 1: An thắng; Séc 2 : An thắng; Séc 3 : Bình thắng; Séc 4 : An thắng.
⇒ An thắng chung cuộc.
Lưu ý là ta phải tính cả thứ tự các séc An thắng hoặc thua. Như ở ví dụ trên là An thua ở séc thứ3.
Lời giải: Giả sử số séc trong trân đấu giữa An và Bình là x . Dễ dàng nhận thấy 3 ≤ x ≤ 5 . Ta xét các trường hợp:
TH1: Trận đấu có 3 séc⇒ An thắng cả 3 séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là:
P = 0,4.0,4.0,4 − 0,064 1
TH2: Trận đấu có 4 séc⇒ An thua 1 trong 3 séc: 1,2 hoặc 3 và thắng séc thứ 4 .
Số cách chọn 1 séc để An thua là: 1 C 1 0,6.
3 (Chú ý xác xuất để An thua trong séc là ) 1 3
⇒ P = C .0,4 .0,6 = 0,1152 2 3
TH3: Trận đấu có 5 séc ⇒ An thua 2 séc và thắng ở séc thứ 5.
Số cách chọn 2 trong 4 séc đầu để An thua là 2 C4 cách. 2 3 2
⇒ P = C .0,4 .0,6 = 0,13824 3 4
Như vậy xác suất để An thắng chung cuộc là: P = P + P + P = 0,31744 1 2 3
Câu 38. Xét tính chẵn lẻ của hàm số  π   π
y f (x) cos 2x  sin  2x  = = + + − 
, ta được y = f (x) là 4 4     
hàm số : A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 39. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3 = 3cot x + 3 là: 2 sin x A. π π π π − . B. 5 − . C. − . D. 2 − . 2 6 6 3
Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10
− của m để phương trình (  π π x − )( x + x − m) 2 2cos 1 2cos 2 2cos
= 3− 4sin x có hai nghiệm thuộc ;  −  ? 2 2    A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3. Đáp án A. PT (  π π x − )( + x − m) 2 2cos 1 2cos 2x 2cos
= 3− 4sin x có đúng hai nghiệm ;  ∈ −  2 2    ⇔ (2cos x − ) 1 ( 2
4cos x − 2 + 2cos x − m) = (2cos x − ) 1 (2cos x + ) 1 ⇔ (2cos x − ) 1 ( 2
4cos x − 3− m) = 0  1 cos x = (1) 2cos x −1 = 0  2 ⇔  ⇔  2 4cos x − 3 − − m = 0  2 m + 3 cos x = (2)  4 Giải (1): 1  π π
cos x = có hai nghiệm thuộc ;  − 2  2 2   
=> Phương trình có hai nghiệm thuộc  π π ;  −  2 2   
⇔ (2) vô nghiệm hoặc (2) 1 ⇔ cos x = ± 2  m + 3 − > 1  4  m > 1 m + 3 ⇔ < 0  ⇔ m < 3 −  4   m = 2 m + 3 1  =  4 4
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn. Chú ý: 2 cos x ∈[0; ] 1 x ∀ ∈ R
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình: (m + 1)cosx + (m − 1)sinx = 2m + 3 có 2 nghiệm π 1 x ,x2 thoả mãn: 1 x − x2 = ? 3 A. 0 . B. 6 . C. 2 . D. 3. Lời giải.
Ta có phương trình đã cho tương đương với m + 1 m − 1 2m + 3 cosx + sinx = 2 2 2 2m + 2 2m + 2 2m + 2 2m+3
⇔ cos(x + α) = cosβ (với đk 1 − ≤ ≤ 1 (*) ) 2 2m + 2 (Trong đó m + 1 2m+3 cosα = ;cosβ = ) ⇔ x = β ± α + k2π 2 2 2m + 2 2m + 2
Do đó 1x,x2 có dạng 1x =β+ α + k12 ;π x2 =β−α + k22π
(Vì nếu x1,x2 cùng thuộc một họ nghiệm thì 1x − x2 = l2π, l∈Z ) Do đ ó: π π 1 x − x2 = ⇔ 2 ( α+ 1 k −k2)2π = 3 3 π 1 ⇔ cos 2α ( + 1
k −k2)2π = cos ⇔ cos2α = . 3 2 Mặt khác 2
cos2α = 2cos α − 1 nên ta có: 2 1  m + 1  3 (m + 1)2 = 2  − 1 ⇔ =   2 2 2 4  2m + 2  2m + 2 2
⇔ m − 4m + 1 = 0 ⇔ m = 2 ± 3 (ko thoả mãn (*))
Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán .
Câu 42. Một nhóm gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và thầy giáo đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5
người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các
bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 35 105 70 105 Lời giải *) Ta có: Ω =10!.
*) Chọn hàng cho thầy giáo, có 2 cách chọn.
*) Đối với hàng có thầy giáo, có 2 cách xếp như sau:
+) TH1: Trong hàng thầy giáo có 2 nam, 2 nữ.
Vì thầy giáo xen giữa hai bạn nam nên xếp 2 bạn nam đứng hai bên thầy giáo, có: 25 A cách.
Vì các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng nên ta xếp hai bạn nữ đứng ở hai đầu hàng, có 24 A cách xếp.
Hàng còn lại gồm 3 bạn nam và 2 bạn nữ còn lại.
Ta xếp 3 bạn nam, có 3! cách, tạo ra 4 vị trí giữa các bạn.
Xếp 2 bạn nữ vào2 trong 4 vị trí đó, có: 24 A cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: 2 2 2 5 A . 4 A .3!. 4 A cách xếp.
+) TH2: Trong hàng thầy giáo có 3 nam, 1 nữ.
Xếp 1 bạn nam, 1 bạn nữ và thầy giáo thành một hàng, có 1 1 5 C .C4.3!.
Xếp hai bạn nam trong 4 bạn nam còn lại đứng hai bên thầy giáo, có 24 A cách.
Hàng còn lại gồm 3 bạn nữ và 2 bạn nam còn lại.
Ta xếp 3 bạn nữ, có 3! cách, tạo ra 2 vị trí xen giữa các bạn.
Xếp 2 bạn nam vào 2 vị trí đó, có: 2! cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: 1 1 2 5 C .C4.3! 4 A .3!.2! cách xếp. 2 2 2 1 1
Vậy xác suất cần tính là: 2(A .A .3!.A + C .C .3!.2!) 2 5 4 4 5 4 = 10! 105
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn BC , BC = 2a, AD = AB = a , tam
giác SAD đều. Gọi I là một điểm trên đoạn BD ( I không trùng với B và D ). Qua I kẻ
đường thẳng song song với AD cắt cạnh AB tại M , qua M kẻ đường thẳng song song
với SAcắt cạnh SB tại Q . Đặt AM = x . Tìm x để diện tích thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (IMQ) đạt giá trị lớn nhất? A. a . B. a . C. a . D. 2a . 2 3 4 3 Lời giải Chọn B S Q P B C M I N A D
Trong (ABCD) : MI ∩CD = N .
+ (IMQ) ∩ (ABCD) = MN .
+ (IMQ) ∩ (SAB) = MQ .
+ Xét (IQM ) và (SBC) có Q chung và MN // BC
⇒ (IQM ) ∩ (SBC) = QP, QP//BC, P ∈ SC .
+ (IMQ) ∩ (SCD) = PN .
Thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ . Ta có CP BQ BM CN = = =
. Do đó NP//SD . CS BS BA CD Khi đó NP CP BQ MQ = = = . SD CS BS SA
Mà SA = SD . Suy ra MQ = PN . Ta có PQ SQ MA = = ⇒ PQ = 2x . BC SB AB
Mà MN = MI + IN = a − x + 2x = a + x, 0 < x < a . Suy ra MN > QP
Do đó MNPQ là hình thang cân.
Trong hình thang cân MNPQ kẻ đường cao QH , H ∈ MN . Ta có MN PQ a x MH − − = =
, MQ = a − x . 2 2 2 2 2 3 2 3
QH = MQ − MH = (a − x) ⇒ QH = (a − x) . 4 2 1 3 3 2 2 S = MN + PQ QH =
a + x a − x =
− x + ax + a . MNPQ ( ). ( 3 )( ) ( 3 2 ) 2 4 4 Biểu thức 2 2 3
− x + 2ax + a đạt giá trị lớn nhất khi a x = ∈(0;a) . 3
Câu 44. Cho hàm số f (x) 3 2
= x + 3x + mx +1. Gọi S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị
hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y =1 tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B , C sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng A. 9 . B. 9 . C. 9 . D. 11. 2 5 4 5 Lời giải Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y =1 là: x = 0 3 2
x + 3x + mx +1 =1 3 2
⇔ x + 3x + mx = 0 ⇔  . 2
x + 3x + m = 0
Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình 2
x + 3x + m = 0 phải có hai 2 3   9  − 4.1.m > 0  4 − m > 9 −  <
nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m  ⇔  ⇔  4 . 2 0 + 3.0 + m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0
Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B(x y , C (x y , ở C ; C ) B ; B )
đó x , x là nghiệm của phương trình 2
x + 3x + m = 0 . B C Ta có: f ′(x) 2
= 3x + 6x + m .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C lần lượt là
k = f ′ x = x + x + m ; k = f ′ x = x + x + m . C ( C ) 2 3 C 6 B ( B ) 2 3 B 6 B C
Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì k k = − . B . C 1 Suy ra: ( 2 x + x + m
x + x + m = − B B )( 2 3 6 3 C 6 C ) 1 ⇔ (x x
+ x x + mx + x x + x x + mx + mx + mx + m = − B C )2 2 2 2 2 2 9
18 B C 3 B 18 B C 36 B C 6 B 3 C 6 C 1 ⇔ (x x
+ x x x + x + m x + x + x x + m x + x + m + = . B C )2 B C ( B C ) ( 2 2 B C ) B C ( B C ) 2 9 18 3 36 6 1 0 x + x = − B C 3 Ta lại có theo Vi-et:  . Từ đó 2 2
x + x = x + x − x x = − . B C ( B C )2 2 9 2m x x =  m B C B C Suy ra: 2
m + m(− ) + m( − m) + m + m(− ) 2 9 18 3 3 9 2 36 6 3 + m +1 = 0 2
⇔ 4m − 9m +1 = 0  9 + 65 m = 8 ⇔  (thỏa mãn).  9 − 65 m =  8 9 65 9 65 Vậy S + − = + 9 = . 8 8 4 Câu 45: Ba số ; a ;
b c khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai dương. Nếu
cộng thêm vào số hạng thứ ba 9 đơn vị thì ta thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân. Nếu ta tiếp tục nhân số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số nhân này với 1
− ta lại thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính giá trị biểu 8
thức P = a + 2b + 3c . A. 18 − . B. 14. C. 30. D. 12. Lời giải
a < b < c
a < b < c (*) + Dãy số ; a ;
b c là cấp số cộng có công sai dương ⇔  ⇔ 2b a c  = +
a − 2b + c = 0,  ( )1
+) Do a,b khác 0 nên dãy số a; ;
b c + 9 là cấp số nhân 2
⇔ b = a(c + 9) (2) . +) Dãy số b c + 9 a;− ;− là cấp số cộng c + 9 2. b a  ⇔ − = −
⇔ 8a + 2b − c =   9 (3) .+) Từ ( ) 1 8 8 8  8  a =1 và (3) ta có  . c = 2b −1 b = 4
+) Thay vào (2) , ta được: 2 2
b = 2b + 8 ⇔ b − 2b −8 = 0 ⇔  . b = 2 −
+) Đối chiếu điều kiện (*), ta được b = 4 .
+) Với b = 4 ta có c = 7 . Khi đó 3 số cần tìm là a =1;b = 4;c = 7 .