Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 – 2024 trường THPT Tĩnh Gia 2 – Thanh Hóa

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11 năm học 2023 – 2024 trường THPT Tĩnh Gia 2, tỉnh Thanh Hóa; đề thi gồm 07 trang, hình thức trắc nghiệm với 50 câu, thời gian làm bài 90 phút, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2
(Đề thi có 07 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN TOÁN HỌC Khối lớp 11
Thời gian làm bài : 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
Họ và tên học sinh :..................................................... Số báo danh : ...................
Câu 1. Trong các dãy s
( )
n
u
sau đây, dãy nào cấp s nhân ?
A.
n
un=
3
. B.
1
1
2
n
n
u
+
=
. C.
n
u
n
=
1
. D.
n
n
u = +21
.
Câu 2. Đt
3
log 2
a=
khi đó
bằng
A.
3
4
a
B.
3
4a
C.
4
3a
D.
4
3
a
Câu 3. Biết
1
lim ( ) 4
x
fx
→−
=
. Khi đó
( )
4
1
()
lim
1
x
fx
x
→−
+
bằng
A.
−∞
. B.
4
. C.
+∞
. D.
0
.
Câu 4. Kết qu đo chiu cao ca 200 cây keo 3 năm tui một nông trưng đưc biu din
biu đ i đây.
Hãy ưc lưng mt ca mu số liu ghép nhóm trên.
A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyn sách Văn khác nhau, 8 quyn sách Toán khác nhau và 6
quyn sách Tiếng Anh khác nhau. Hi có bao nhiêu cách chn hai quyn sách khác môn nhau?
A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Ngưi ta tiến hành phng vn 40 ngưi v một mu áo khoác. Ngưi điu tra yêu cu
cho đim mu áo đó theo thang đim là
100.
Kết qu đưc trình bày trong bng ghép nhóm sau:
Nhóm
[
)
50;60
[
)
60;70
[
)
70;80
[
)
80;90
[
)
90;100
Tn s
4
5
23
6
2
40N
=
Tứ phân v ca mu s liu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn v) là
A.
12 3
71, 76, 78.QQ Q≈≈
B.
12 3
71, 75, 78.QQ Q≈≈
C.
123
70, 76, 79.QQQ≈≈
D.
123
70, 75, 79.QQQ≈≈
Câu 7. Cho hình lp phương
111 1
.ABCD A B C D
. Góc gia hai đưng thng
AC
1
DA
bằng
A.
60°
. B.
90°
. C.
45°
. D.
120°
.
Mã đ001
Câu 8. Từ một hp cha
7
qu cầu màu đ
5
qu cầu màu xanh, ly ngu nhiên đng thi
3
qu cầu t hộp đó. S phn t của không gian mu là
A.
220
. B.
1320
. C.
350
. D.
12600
.
Câu 9. Trong mt phng
Oxy
, cho tam giác
MNP
( )
1; 1M
,
( )
5; 3N
P
thuc trc
Oy
,
trng tâm
G
nằm trên trc
Ox
. To độ của đim
G
A.
( )
2; 4G
. B.
( )
2;0G
. C.
( )
0; 4
G
. D.
( )
0; 2
G
.
Câu 10. Trong mặt phng Oxy,cho
( )
1; 2
Am
,
( )
2;5 2Bm
( )
3; 4
Cm
. Tìm giá tr
m
để
,,ABC
thng hàng?
A.
3=m
. B.
2=m
. C.
2=
m
. D.
1=m
.
Câu 11. Cho hàm s
( )
(
)
++ +
≠
=
+− =
2
3
2 71
khi 1
21
1 khi 1
xx x
x
fx
x
xm x
. Biết rng
=
2a
m
b
( với
a
,
b
a
b
là phân s tối gin) thì hàm s
( )
fx
liên tc ti
=1x
. Giá tr của
ab+
bằng:
A.
5
. B.
37
. C.
13
. D.
51
.
Câu 12. Tính
2
23
lim
23
x
x
x
−∞
+
.
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
2
.
Câu 13. Cho hàm s
(
)
khi
khi
xx
x
x
fx
x
+−
=
=
3 12
1
1
5
1
4
. Tính
( )
'f
1
.
A. Không tn ti. B.
0
C.
7
50
. D.
9
64
.
Câu 14. Cho hàm s
32
1
() 4 3
3
f x x mx x= + ++
. bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
sao
cho
( ) 0,fx x
∀∈
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 15. Cho hàm số
( )
y fx=
có đo hàm ti đim
0
2x =
. Tìm
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
x
.
A.
0
. B.
( )
2f
. C.
( ) ( )
22 2ff
. D.
( ) (
)
22 2
ff
.
Câu 16. Dưi đây là mt mu s liu cho dạng bng tn s ghép nhóm
Nhóm ghép
Tần s
Nhóm ghép
Tần s
[
)
62,5;67,5
4
[
)
82,5;87,5
22
[
)
67,5;72,5
7
[
)
87,5;92,5
5
[
)
72,5;77,5
10
[
)
92,5;97,5
10
[
)
77,5;82,5
26
[
)
97,5;102,5
16
A.
77,5 82,5.
e
M≤<
B.
82,5 87,5.
e
M≤<
C.
87,5 92,5.
e
M≤<
D.
92,5 97,5.
e
M≤<
Câu 17. Kết qu thng kê cho biết thi đim năm
2013
dân s Vit Nam
90
triu ngưi, tc
độ tăng dân s
1,1% /
năm. Nếu mc tăng dân s n đnh như vy thì dân s Vit Nam s gấp
đôi (đt ngưng
180
triu ) vào năm nào?
A.2077. B. 207
4
. C. 2075. D.
2
076.
Câu 18. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
( )
= −+
2
log 2 1y x xm
có tpc
định là
.
A.
2m
B.
> 2m
C.
0m
D.
<
0m
Câu 19. Cho dãy s
( )
n
u
xác đnh bi
1
1
1
8
,1
5
n
n
u
u
un
+
=
+
= ∀≥
và dãy s
( )
n
v
xác đnh bởi
2
nn
vu=
. Biết
( )
n
v
là mt cp s nhân, số hạng tng quát ca cp s nhân đó
A.
( )
1
1
1.
5
n
n
v

=−−


. B.
1
1
1.
5
n
n
v

=


. C.
( )
1
1.
5
n
n
v

=


. D.
( )
1
1
1.
5
n
n
v

=


.
Câu 20: Cho Elip
( )
22
: 1
25 9
+=
y
E
x
. Đưng thng
( )
:4= dx
cắt
( )
E
tại hai điểm
,
MN
. Khi
đó:
A.
9
25
=MN
. B.
18
25
=MN
. C.
18
5
=MN
. D.
9
5
=MN
.
Câu 21. Cho cp s cộng
( )
n
u
2015 4
1000
uu+=
. Tng 2018 s hạng đu tiên ca cp s
cộng đó là:
A.
1009000
. B.
100800
. C.
1008000
. D.
100900
.
Câu 22. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gi
I
,
J
ln lưt là
trung đim
SA
SB
. Khng đnh nào sau đây là sai?
A.
( ) ( )
∩=
IJCD SAB IJ
B.
( ) (
)
∩=SAB IBC IB
.
C.
(
) ( )
∩=SBD JCD JD
. D.
( ) ( )
∩=IAC JBD AO
.
Câu 23. Cho các s thc a, b tha
2
log log 3
ab
ba
+=
. Tính giá tr của biu thc
2
log
2
ab
ab
T
+
=
.
A.
1
6
. B.
3
2
. C.
6
. D.
2
3
.
Câu 24. Cho t din
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang
( )
//AB CD
. Gi
M
,
N
P
lần
t là trung đim ca
BC
,
AD
SA
. Giao tuyến ca hai mt phng
( )
SAB
( )
MNP
A. đưng thng qua
M
và song song vi
SC
.
B. đưng thng qua
P
và song song vi
AB
.
C. đưng thng
PM
.
D. đưng thng qua
S
và song song vi
AB
.
Câu 25. Xét các s nguyên dương
, ab
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0a xb x+ +=
có hai nghim
phân bit
12
, xx
phương trình
2
5log log 0xb xa+ +=
hai nghim phân bit
34
, xx
tha mãn
12 34
xx xx>
. Tìm giá tr nh nht ca
23
S ab= +
A.
min
33S =
. B.
min
30S =
. C.
min
17S =
. D.
min
25S =
.
Câu 26. Với các ch số
012345,,,,,
có th lập đưc bao nhiêu s gồm 8 ch số, trong đó ch
số 1 có mt 3 ln, mi ch số khác có mt đúng mt ln?
A.
6720
số. B.
40320
số. C.
5880
số. D.
840
số.
Câu 27. Gieo con súc sc cân đi và đng cht hai ln. Biến c A là biến c để sau hai ln gieo
có ít nht mt mt 6 chm:
A.
( ) ( )
( )
(
) (
)
{
}
1;6,2;6,3;6,4;6,5;6
A =
. B.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6A =
C.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6,
6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5
A


=



D.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
6,1 , 6,2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5A =
.
Câu 28. Gieo ngu nhiên hai con súc sc cân đi, đng cht. Xác sut ca biến cTổng s
chm ca hai con súc sc bng
6
A.
5
6
. B.
7
36
. C.
11
36
. D.
5
36
.
Câu 29. Cho hình chóp đu
.S ABCD
O
là giao đim ca
AC
BD
. Gi
, , ME F
lần lưt
là trung đim ca
, , AB SC SD
. Biết
;2SO a AB a= =
. Khong cách gia hai đưng
thng
ME
CF
bằng
A.
2
4
a
. B.
6
6
a
. C.
2
6
a
. D.
6
4
a
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
,SA a
3AB a
,
2AC a
. Góc
0
60SAB
,
0
90BAC
,
0
AS 120
C
. Th tích khi chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
3
a
Câu 31. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành;
M
là trung đim ca
SD
,
E
thuc
cạnh
BC
sao cho
2BE EC=
, mt phng
( )
AME
cắt
SC
tại
F
. Tính t số din tích 2
tam giác
SFD
FCD
.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
2
.
Câu 32. Cho tam giác
ABC
đều.Gi
D
là đim đi xng ca
C
qua
AB
. V đưng tròn tâm
D
qua
A
,
B
;
M
là đim bt kì trên đưng tròn đó
( )
,M AM B≠≠
. Khng đnh nào sau đây
đúng?
A. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là đ dài ba cnh ca mt tam giác vuông.
B. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
đ dài ba cnh ca 1 tam giác cân ( không phi tam giác
đều).
C. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là đ dài ba cnh ca 1 tam giác đu.
D.
MB MC MA>>
.
Câu 33. Trên h trc ta đ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Đim
M
thuc cnh
CD
sao cho
=
 
2MC DM
,
( )
0;2019
N
là trung đim ca cnh
BC
,
K
là giao đim ca hai đưng thng
AM
BD
. Biết đưng thng
AM
có phương trình
−+ =10 2018 0xy
. Khong cách t gốc ta đ
O
đến đưng thng
NK
bằng
A.
2019
. B.
2019 101
. C.
2018
11
. D.
2019 101
101
.
Câu 34. Cho tp hp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5A =
. Gi
S
là tp hp các s
3
ch số khác nhau đưc
lập thành t các ch số của tp
A
. Chn ngu nhiên mt s từ
S
, tính xác sut đ số đưc chn
có ch số cui gp đôi ch số đầu.
A.
1
.
5
B.
23
.
25
C.
2
.
25
D.
4
.
5
Câu 35. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình ch nht tâm
O
với
;2AB a AD a= =
.
Cạnh bên
SA a=
và vuông góc vi đáy. Gi
( )
α
là mt phng qua
SO
và vuông góc vi
( )
SAD
. Tính din tích
S
của thiết din to bi
( )
α
và hình chóp đã cho
A.
2
3
2
a
S =
. B.
2
2
2
a
S =
. C.
2
2
a
S =
. D.
2
a
.
Câu 36: Trong mt phng cho
n
đim, trong đó không có
3
đim nào thng hàng và trong tt
cả các đưng thng ni hai đim bt kì không có hai đưng thng nào song song, trùng nhau
hoc vuông góc. Qua mi đim v các đưng thng vuông góc vi các đưng thng đưc xác
định bi
2
trong
1n
đim còn li. S giao đim ca các đưng thng vuông góc giao nhau
nhiu nht là bao nhiêu?
A.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

. B.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 2 15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

.
C.
( )( )
2 23
1
12
2
3 2 15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

. D.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

.
Câu 37. An và Bình thi đu vi nhau mt trn bóng bàn, ngưi nào thng trưc 3 séc s giành
chiến thng chung cuc. Xác sut An thng mi séc là (không có hòa). Tính xác sut An
thng chung cuc
A. . B. . C. . D. .
Câu 38. Xét tính chn l của hàm s
( )
cos 2 sin 2
44
y fx x x
ππ

= = ++


, ta được
( )
y fx=
hàm s :
A. Hàm s chn. B. Hàm s lẻ.
C. Không chn không lẻ. D. Vừa chn va lẻ.
Câu 39. Nghim âm ln nht ca phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. Có bao nhiêu giá tr nguyên âm ln hơn
10
của
m
để phương trình
( )( )
2
2cos 1 2cos 2 2cos 3 4sinx x xm x + −=
có hai nghim thuc
;
22
ππ



?
0, 4
0,064
0,1152
0,13824
0,31744
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +
2
π
5
6
π
6
π
2
3
π
A.
7
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
Câu 41. Có bao nhiêu giá tr của tham s m để phương trình:
( ) ( )
m 1 cosx m 1 sinx 2m 3+ +− =+
có 2 nghim
12
x ,x
thoả mãn:
12
xx
3
π
−=
?
A.
0
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
Câu 42. Mt nhóm gm
5
bạn nam,
4
bạn n và thy giáo đng thành
2
hàng, mi hàng
5
ngưi đ chp nh k nim. Xác sut đ khi đng, thy giáo xen gia hai bn nam đng thi các
bạn n không đng cnh nhau trong cùng mt hàng bng
A.
1
35
. B.
1
105
. C.
1
70
. D.
2
105
.
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang, đáy ln
BC
,
2,BC a AD AB a= = =
, tam
giác
SAD
đều. Gi
I
là mt đim trên đon
BD
(
I
không trùng vi
B
D
). Qua
I
k đưng thng song song vi
AD
cắt cnh
AB
tại
M
, qua
M
k đưng thng song
song vi
SA
cắt cnh
SB
tại
Q
. Đt
AM x=
. Tìm
x
để din tích thiết din ca hình
chóp
.S ABCD
khi ct bi mt phng
()IMQ
đạt giá tr lớn nht?
A.
2
a
. B.
3
a
. C.
4
a
. D.
2
3
a
.
Câu 44. Cho hàm s
( )
32
31f x x x mx=+ ++
. Gi
S
tng tt c giá tr của tham s
m
để đồ th
hàm s
( )
y fx=
cắt đưng thng
1
y
=
tại ba đim phân bit
( )
0;1A
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến
của đ th hàm s
( )
y fx=
tại
B
,
C
vuông góc vi nhau. Giá tr của
S
bằng
A.
9
2
. B.
9
5
. C.
9
4
. D.
11
5
.
Câu 45: Ba s
;;abc
khác 0 theo th tự đó lp thành mt cp s cộng có công sai dương. Nếu
cộng thêm vào s hạng th ba 9 đơn v thì ta thu đưc dãy s mới theo th tự đó lp
thành mt cp s nhân. Nếu ta tiếp tc nhân s hạng th 2 và th 3 ca cp s nhân
này vi
1
8
ta li thu đưc dãy s mới theo th tự đó lp thành cp s cộng. Tính giá
tr biu thc
23Pa b c=++
.
A.
18
. B. 14. C. 30. D. 12.
Câu 46. Tìm giới hạn
12
lim ( )( )...( )
n
n
x
C xaxa xa x
+∞

= + + +−

.
A.
+∞
. B.
−∞
. C.
12
...
n
aa a
n
+ ++
. D.
12
...
2
n
aa a
n
+ ++
.
câu 47. Cho hàm s
( )
4
.
42
x
x
fx=
+
Tính giá tr biu thc
1 2 100
... ?
100 100 100
Af f f
 
= + ++
 
 
A.
50
. B.
49
. C.
149
3
. D.
301
6
.
Câu 48. Tìm tp
S
tất c các gtr thc ca s
m
để tồn ti duy nht cp s
( )
;xy
tha mãn
( )
22
2
2
log 4 4 6 1
xy
xy m
++
+ −+
22
2 4 10xy xy+ + +=
.
A.
{ }
5; 1;1; 5S =−−
. B.
{ }
1;1S =
.
C.
{ }
5;5S =
. D.
{ }
7 5; 1;1; 5; 7S =−−
.
Câu 49. Cho t din
.DS ABC
M
là mt đim di đng, nm bên trong tam giác
ABC
. Qua
M
k các đưng thng song song vi
,,SA SB SC
cắt các mt phng tương ng
( )
,SBC
( )
,SAC
( )
SAB
lần lưt ti
', ', 'ABC
. Khi đó giá tr lớn nht ca biu thc
' ' ' '''
..
MA MB MC MA MB MC
T
SA SB SC SA SB SC
=+++
A.
9
8
. B.
28
27
. C.
62
27
. D.
13
8
Câu 50. Cho khi lăng tr
.
ABC A'B'C'
, khong cách t
C
đến
'BB
5
, khong cách t
A
đến
'BB
'CC
lần t
1; 2
. Hình chiếu vuông góc ca
A
lên mt phng
'''ABC
trung đim
M
của
''BC
,
15
'
3
=AM
. Th tích ca khi lăng tr đã cho bng
A.
25
3
. B.
5
C.
2 15
3
D.
15
3
…………….HẾT……………
ĐÁP ÁN ĐHC SINH GII TOÁN 11 NĂM 2023 2024
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
C
A
D
D
A
A
B
B
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
D
D
A
C
B
A
D
D
C
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
A
D
D
B
B
C
C
D
B
B
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
A
D
C
B
D
D
D
A
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A
D
B
C
C
C
D
A
B
C
Câu 1. Trong các dãy s
( )
n
u
sau đây, dãy nào cp s nhân ?
A.
n
un= 3
. B.
1
1
2
n
n
u
+
=
. C.
n
u
n
=
1
. D.
n
n
u = +21
.
Câu 2. Đt
3
log 2 a=
khi đó
16
log 27
bng
A.
3
4
a
B.
3
4a
C.
4
3a
D.
4
3
a
Câu 3. Biết
1
lim ( ) 4
x
fx
→−
=
. Khi đó
( )
4
1
()
lim
1
x
fx
x
→−
+
bng
A.
−∞
. B.
4
. C.
+∞
. D.
0
.
Câu 4. Kết qu đo chiu cao ca 200 cây keo 3 năm tui mt nông trưng đưc biu din biu
đồ i đây.
Hãy ưc lưng mt ca mu s liu ghép nhóm trên.
A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyn sách Văn khác nhau, 8 quyn sách Toán khác nhau 6 quyn
sách Tiếng Anh khác nhau. Hi có bao nhiêu cách chn hai quyn sách khác môn nhau?
A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Ngưi ta tiến hành phng vn 40 ngưi v một mu áo khoác. Ngưi điu tra yêu cu cho
đim mu áo đó theo thang đim là
100.
Kết qu đưc trình bày trong bng ghép nhóm sau:
Nhóm
[
)
50;60
[
)
60;70
[
)
70;80
[
)
80;90
[
)
90;100
Tần s
4
5
23
6
2
40N =
T phân v ca mu s liu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn v) là
A.
12 3
71, 76, 78.QQ Q≈≈
B.
12 3
71, 75, 78.QQ Q≈≈
C.
123
70, 76, 79.QQQ≈≈
D.
123
70, 75, 79.QQQ≈≈
Câu 7. Cho hình lp phương
111 1
.ABCD A B C D
. Góc gia hai đưng thng
AC
1
DA
bng
A.
60°
. B.
90°
. C.
45
°
. D.
120°
.
Câu 8. T một hp cha
7
qu cu u đ
5
qu cu màu xanh, ly ngu nhiên đng thi
3
qu cu t hp đó. S phn t ca không gian mu là
A.
220
. B.
1320
. C.
350
. D.
12600
.
Câu 9. Trong mt phng
Oxy
, cho tam giác
MNP
( )
1; 1M
,
( )
5; 3N
P
thuc trc
Oy
,
trng tâm
G
nm trên trc
Ox
. To độ ca đim
G
A.
( )
2; 4G
. B.
( )
2; 0G
. C.
( )
0; 4G
. D.
(
)
0; 2G
.
Câu 10. Trong mặt phng Oxy,cho
(
)
1; 2
Am
,
( )
2;5 2Bm
và
( )
3; 4Cm
. Tìm giá tr
m
đ
,,ABC
thng hàng?
A.
3=m
. B.
2=
m
. C.
2= m
. D.
1=m
.
Câu 11. Cho hàm s
( )
(
)
++ +
≠
=
+− =
2
3
2 71
khi 1
21
1 khi 1
xx x
x
fx
x
xm x
. Biết rng
=
2
a
m
b
( vi
a
,
b
a
b
là phân s ti gin) thì hàm s
( )
fx
liên tc ti
=1x
. Giá tr ca
ab+
bng:
A.
5
. B.
37
. C.
13
. D.
51
.
Câu 12. Tính
2
23
lim
23
x
x
x
−∞
+
.
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
2
. D.
2
.
Câu 13. Cho hàm s
( )
khi
khi
xx
x
x
fx
x
+−
=
=
3 12
1
1
5
1
4
. Tính
( )
'f 1
.
A. Không tn ti. B.
0
C.
7
50
. D.
9
64
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
lim lim lim lim
xx x x
xx xx x
fx f
x
x xx xx
→→
+ +−
= = = = =
++ ++
2
11 1 1
312 314 41 5
1
14
1 3 12 3 12
Hàm s liên tc li
x = 1
.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
' lim lim lim
lim lim
xx x
xx
xx
fx f
xx
x
f
xx
x
xx
x xx xx
→→
→→
+−
+
+−
= = =
−−
+− +
= = =
++ + ++ +
2
11 1
2
2
11
3 12 5
1
43 1 3 5
14
1
11
41
16 3 1 3 5
99
64
4 1 43 1 3 5 443 1 3 5
Câu 14. Cho hàm s
32
1
() 4 3
3
f x x mx x= + ++
. bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
sao
cho
( ) 0,fx x
∀∈
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 15. Cho hàm s
(
)
y fx=
có đo hàm ti đim
0
2x
=
. Tìm
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
x
.
A.
0
. B.
( )
2
f
. C.
( ) ( )
22 2ff
. D.
( ) ( )
22 2ff
.
Câu 16. Dưi đây là mt mu s liu cho dng bng tn s ghép nhóm
Nhóm ghép
Tn s
Nhóm ghép
Tn s
[
)
62,5;67,5
4
[
)
82,5;87,5
22
[
)
67,5;72,5
7
[
)
87,5;92,5
5
[
)
72,5;77,5
10
[
)
92,5;97,5
10
[
)
77,5;82,5
26
[
)
97,5;102,5
16
A.
77,5 82,5.
e
M≤<
B.
82,5 87,5.
e
M≤<
C.
87,5 92,5.
e
M
≤<
D.
92,5 97,5.
e
M≤<
Câu 17. Kết qu thng kê cho biết thi đim năm
2013
dân s Vit Nam là
90
triu ngưi, tc
độ tăng dân s
1,1% /
năm. Nếu mc tăng dân s n đnh như vy thì dân s Vit Nam s gp
đôi (đt ngưng
180
triu ) vào năm nào?
A.2077. B. 207
4
. C. 2075. D.
2
076.
Câu 18. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
( )
= −+
2
log 2 1y x xm
tp xác
định là
.
A.
2m
B.
> 2m
C.
0m
D.
<
0m
Câu 19. Cho dãy s
( )
n
u
xác đnh bi
1
1
1
8
,1
5
n
n
u
u
un
+
=
+
= ∀≥
và dãy s
( )
n
v
xác đnh bi
2
nn
vu=
.
Biết
( )
n
v
là mt cp s nhân, s hng tng quát ca cp s nhân đó là
A.
(
)
1
1
1.
5
n
n
v

=−−


. B.
1
1
1.
5
n
n
v

=


. C.
( )
1
1.
5
n
n
v

=


. D.
( )
1
1
1.
5
n
n
v

=


.
Câu 20: Cho Elip
( )
22
: 1
25 9
+=
y
E
x
. Đưng thng
( )
:4= dx
ct
( )
E
ti hai điểm
,MN
. Khi đó:
A.
9
25
=MN
. B.
18
25
=MN
. C.
18
5
=MN
. D.
9
5
=MN
.
Câu 21. Cho cp s cng
( )
n
u
2015 4
1000uu+=
. Tng 2018 s hng đu tiên ca cp s cng
đó là:
A.
1009000
. B.
100800
. C.
1008000
. D.
100900
.
Câu 22. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành tâm
O
. Gi
I
,
J
lần t
trung đim
SA
SB
. Khng đnh nào sau đây là sai?
A.
( )
(
)
∩=
IJCD SAB IJ
B.
( )
(
)
∩=
SAB IBC IB
.
C.
(
)
(
)
∩=
SBD JCD JD
. D.
(
)
(
)
∩=
IAC JBD AO
.
Câu 23. Cho các s thc a, b tha
1 ab<<
2
log log 3
ab
ba
+=
. Tính giá tr ca biu
thc
2
log
2
ab
ab
T
+
=
.
A.
1
6
. B.
3
2
. C.
6
. D.
2
3
.
Câu 24. Cho t din
.S ABCD
đáy
ABCD
hình thang
( )
//AB CD
. Gi
M
,
N
P
lần lưt
là trung đim ca
BC
,
AD
SA
. Giao tuyến ca hai mt phng
( )
SAB
( )
MNP
A. đưng thng qua
M
và song song vi
SC
.
B. đưng thng qua
P
và song song vi
AB
.
C. đưng thng
PM
.
D. đưng thng qua
S
và song song vi
AB
.
Câu 25. Xét các s nguyên dương
, ab
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0a xb x+ +=
hai nghim
phân bit
12
, xx
phương trình
2
5log log 0xb xa+ +=
hai nghim phân bit
34
,
xx
tha mãn
12 34
xx xx>
. Tìm giá tr nh nht ca
23S ab= +
A.
min
33
S
=
. B.
min
30S =
. C.
min
17
S
=
. D.
min
25S
=
.
Câu 26. Vi các ch s
012345,,,,,
có th lập đưc bao nhiêu s gm 8 ch s, trong đó ch s
1 có mt 3 ln, mi ch s khác có mt đúng mt ln?
A.
6720
s. B.
40320
s. C.
5880
s. D.
840
s.
Câu 27. Gieo con súc sc cân đi đng cht hai ln. Biến c A biến c để sau hai ln gieo
có ít nht mt mt 6 chm:
A.
( )
(
) (
) ( ) ( )
{ }
1;6,2;6,3;6,4;6,5;6A =
. B.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6A =
C.
(
) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6,
6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5
A


=



D.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5A =
.
Câu 28. Gieo ngu nhiên hai con súc sc cân đi, đng cht. Xác sut ca biến c “Tng s chm
ca hai con súc sc bng
6
A.
5
6
. B.
7
36
. C.
11
36
. D.
5
36
.
Câu 29. Cho hình chóp đu
.S ABCD
O
giao đim ca
AC
BD
. Gi
, , ME F
lần t
trung đim ca
, , AB SC SD
. Biết
;2SO a AB a= =
. Khong cách gia hai đưng thng
ME
CF
bằng
A.
2
4
a
. B.
6
6
a
. C.
2
6
a
. D.
6
4
a
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
,SA a
3
AB a
,
2AC a
. Góc
0
60SAB
,
0
90BAC
,
0
AS 120C
. Th tích khi chóp
.S ABC
bng
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
3
a
Câu 31. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy hình bình hành;
M
trung đim ca
SD
,
E
thuc
cnh
BC
sao cho
2
BE EC=
, mt phng
( )
AME
ct
SC
ti
F
. Tính t s din tích 2 tam
giác
SFD
FCD
.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
2
.
Lời giải
Trong mặt phng
( )
ABCD
gi
K
là giao điểm ca
AE
CD
, trong mặt phng
( )
SCD
ta
F MK SC=
.
Khi đó:
1
2
EC CK CK
EB AB CD
= = =
.
Gi
N
là trung điểm
SC
, ta có:
1
CF CK
FN MN
= =
suy ra
F
là trung điểm
NC
.
Vy
3
SFD
FCD
S
SF
S FC
= =
.
Câu 32. Cho tam giác
ABC
đều.Gi
D
đim đi xng ca
C
qua
AB
. V đưng tròn tâm
D
qua
A
,
B
;
M
là đim bt kì trên đưng tròn đó
( )
,M AM B≠≠
. Khng đnh nào sau đây đúng?
A. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là đ dài ba cnh ca mt tam giác vuông.
B. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
đ dài ba cnh ca 1 tam giác cân ( không phi tam giác
đều).
C. Độ dài
MA
,
MB
,
MC
là đ dài ba cnh ca 1 tam giác đu.
D.
MB MC MA>>
.
Li gii.
Chọn A
Chọn hệ trục
Oxy
sao cho
Ox
trùng với
AB
, chiều
dương hướng từ
A
đến
B
,trục
Oy
đường trung trực
của đoạn
AB
( )
1; 0A
;
(
)
1; 0
B
,
( )
0; 3C
,
( )
0; 3D
.
Phương trình đường tròn tâm
D
qua
A
,
B
là:
22
( 3) 4
xy++ =
( )
1
.
Giả sử
( )
;M ab
điểm bất kì trên đường tròn
( )
1
.Ta có
:
(
)
2
22
1MA a b=++
,
(
)
2
22
1MB a b
=−+
,
(
)
2
22
3MC a b
=+−
.
( )
2
2 2 2 22
3 2 31
MA MB a b a b b+ =+− +++
( )
2
22
34MC a b= +++
.
M
nằm trên đường tròn
( )
1
nên :
( )
2
2
3 40ab+ + −=
22 2
MA MB MC⇒+=
MA
,
MB
,
MC
là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Câu 33. Trên h trc ta đ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
. Đim
M
thuc cnh
CD
sao cho
=
 
2MC DM
,
( )
0;2019N
trung đim ca cnh
BC
,
K
giao đim ca hai đưng thng
AM
BD
. Biết đưng thng
AM
phương trình
−+ =10 2018 0xy
. Khong cách t gc ta đ
O
đến
đưng thng
NK
bng
A.
2019
. B.
2019 101
. C.
2018
11
. D.
2019 101
101
.
Li gii
Chn D
Gi cnh hình vuông bng
a
. Do
==⇒=
11
34
MD DK DK
ABK MDK
AB K B DB
.
Ta có
=+=+
    
1
3
AM AD DM AD DC
( )
==−= +−=+
         
313 131
424 244
NK BK BN BD BC BA BC BC BA BC
T và suy ra
= + =⇒⊥
     
11
. . .0
44
AM NK AD BC BA DC AM NK
.
AM NK
nên NK có phương trình tng quát:
+− =10 2019 0xy
.
Khong cách t O đến NK là
( )
= =
+
22
2019
2019 101
,
101
10 1
d O NK
.
a
M
K
N
C
A
D
B
Câu 34. Cho tp hp
{ }
0; 1; 2; 3; 4; 5A =
. Gi
S
tp hp các s
3
ch s khác nhau đưc
lập thành t các ch s ca tp
A
. Chn ngu nhiên mt s t
S
, tính xác sut đ s đưc chn
có ch s cui gp đôi ch s đầu.
A.
1
.
5
B.
23
.
25
C.
2
.
25
D.
4
.
5
Li gii.
Gi s cn tìm ca tp
S
có dng
abc
. Trong đó
,,
0
;;
abc A
a
abbcca
≠≠
.
Khi đó
Số cách chn ch s
a
5
cách chn vì
0a
.
Số cách chn ch s
b
5
cách chn vì
ba
.
Số cách chn ch s
c
4
cách chn vì
ca
cb
.
Do đó tp
S
5.5.4 100=
phn t.
Không gian mu là chn ngu nhiên
1
s t tp
S
.
Suy ra s phn t ca không gian mu là
( )
1
100
100nCΩ= =
.
Gi
X
biến c
''
Số đưc chnch s cui gp đôi ch s đầu
''
. Khi đó ta các
b s
12b
hoc
24b
tha mãn biến c
X
và c mỗi b thì
b
4
cách chn nên có
tt c
8
s tha yêu cu.
Suy ra s phn t ca biến c
X
( )
8nX =
.
Vy xác sut cn tính
( )
( )
( )
82
.
100 25
nX
PX
n
= = =
Câu 35. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình ch nht tâm
O
vi
;2AB a AD a= =
.
Cnh bên
SA a=
và vuông góc vi đáy. Gi
(
)
α
là mt phng qua
SO
và vuông góc vi
( )
SAD
.
Tính din tích
S
ca thiết din to bi
( )
α
và hình chóp đã cho
A.
2
3
2
a
S
=
. B.
2
2
2
a
S =
. C.
2
2
a
S =
. D.
2
a
.
Câu 36: Trong mt phng cho
n
đim, trong đó không có
3
đim nào thng hàng và trong tt c
các đưng thng ni hai đim bt không hai đưng thng nào song song, trùng nhau hoc
vuông góc. Qua mi đim v các đưng thng vuông góc vi các đưng thng đưc xác đnh bi
2
trong
1n
đim còn li. S giao đim ca các đưng thng vuông góc giao nhau nhiu nht là
bao nhiêu?
A.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

. B.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
2 2 15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

.
C.
( )( )
2 23
1
12
2
3 2 15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

. D.
( )( )
( )
2 23
1
12
2
15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

.
Đáp án D.
*Gi
n
đim đã cho
12
, ,...,
n
AA A
. Xét mt đim c định, khi đó
2
1n
C
đưng thng đưc
xác đnh bi
2
trong
1n
đim còn li nên s
2
1n
C
đưng thng vuông góc đi qua đim
c định đó.
*Do đó có tt c
( )( )
2
1
12
2
n
nn n
nC
−−
=
đưng thng vuông góc nên có
( )( )
2
12
2
nn n
C
−−
giao đim
(tính c nhng giao đim trùng nhau)
*Ta chia các đim trùng nhau thành 3 loi
- Qua mt đim có
( )( )
2
1
12
2
n
nn
C
−−
=
đưng thng vuông góc nên ta phi tr đi
( )
2
1
1
n
nC
điểm.
- Qua ba đim
123
, ,AA A
ca 1 tam giác 3 đưng thng cùng vuông góc vi
45
AA
3
đưng thng này song song vi nhau nên ta mt 3 giao đim, do đó trong TH này ta phi
loi đi
3
3
n
C
- Trong mi tam giác thì ba đưng cao ch mt giao đim, nên ta mt
2
đim cho mi
tam giác, do đó trưng hp này ta phi tr đi
3
2
n
C
.
Vy s giao đim nhiu nht có đưc là:
( )( )
( )
2 23
1
12
2
15
nn
nn n
C nC C
−−

−+

.
Câu 37. An Bình thi đu vi nhau mt trn bóng bàn, ngưi nào thng trưc 3 séc s giành
chiến thng chung cuc. Xác sut An thng mi séc (không hòa). Tính xác sut An thng
chung cuc
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Phân tích: Bài này điểm mấu chốt phải liệt được các trường hợp An thắng Bình
ching cuộc. Ví dụ như: Séc : An thắng; Séc : An thắng; Séc : Bình thắng; Séc :
An thắng.
An thắng chung cuộc.
Lưu ýta phải tính cả thứ tự các séc An thắng hoặc thua. Như ví dụ trên là An thua
ở séc thứ .
Lời giải: Giả sử số séc trong trân đấu giữa An và Bình . Dễ dàng nhận thấy
.
Ta xét các trường hợp:
TH1: Trận đấu có séc An thắng cả séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là:
TH2: Trận đấu có séc An thua trong séc: hoặc và thắng séc thứ .
Số cách chọn séc để An thua là: (Chú ý xác xuất để An thua trong séc là )
TH3: Trận đấu có séc An thua 2 séc và thắng ở séc thứ .
Số cách chọn trong séc đầu để An thua là cách.
Như vậy xác suất để An thắng chung cuộc là:
0, 4
0,064
0,1152
0,13824
0,31744
1
2
3
4
3
x
35x≤≤
3
3
1
0,4.0,4.0,4 0,064P =
4
1
3
1, 2
3
4
1
1
3
C
1
0,6.
13
23
.0,4 .0,6 0,1152PC⇒= =
5
5
2
4
2
4
C
2 32
34
.0,4 .0,6 0,13824PC⇒= =
123
0,31744PPPP=++=
Câu 38. Xét tính chn l ca hàm s
( )
cos 2 sin 2
44
y fx x x
ππ

= = ++


, ta đưc
( )
y fx=
hàm s :
A. Hàm s chn. B. Hàm s lẻ.
C. Không chn không l. D. Va chn va l.
Câu 39. Nghim âm ln nht ca phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. bao nhiêu giá tr nguyên âm ln hơn
10
ca
m
để phương trình
( )( )
2
2 cos 1 2cos 2 2 cos 3 4sinx x xm x + −=
có hai nghim thuc
;
22
ππ



?
A.
7
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
Đáp án A.
PT
( )(
)
2
2cos 1 2cos 2x 2cos 3 4sinx xm x + −=
có đúng hai nghim
;
22
ππ

∈−


( )
( )
( )( )
( )
( )
2
2
2
2
2 cos 1 4cos 2 2 cos
2 cos 1 2cos 1
2 cos 1 4cos 3 0
1
cos (1)
2 cos 1 0
2
3
4 cos 3 0
cos (2)
4
x x xm
xx
x xm
x
x
m
xm
x
−+
=−+
−− =
=
−=
⇔⇔
+
−− =
=
Gii (1):
1
cos
2
x =
có hai nghim thuc
;
22
ππ



=> Phương trình có hai nghim thuc
;
22
ππ



(2) vô nghim hoc (2)
1
cos
2
x⇔=±
3
1
4
1
3
03
4
2
31
44
m
m
m
m
m
m
+
−>
>
+
< <−
=
+
=
Vy có 7 giá tr ca m tha mãn.
Chú ý:
[ ]
2
cos 0;1x xR ∀∈
Câu 41. Có bao nhiêu giá tr ca tham s m để phương trình:
( ) ( )
m 1 cosx m 1 sinx 2m 3+ +− = +
có 2 nghim
12
x ,x
thoả mãn:
12
xx
3
π
−=
?
A.
0
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +
2
π
5
6
π
6
π
2
3
π
Li gii.
Ta có phương trình đã cho tương đương vi
222
m 1 m 1 2m 3
cosx sinx
2m 2 2m 2 2m 2
+−+
+=
+++
( )
cos x cos = β
(vi đk
2
2m+3
11
2m 2
−≤
+
(*) )
(Trong đó
22
m 1 2m+3
cos ; cos
2m 2 2m 2
+
α= β=
++
)
x k2 =β±α+ π
Do đó
12
x ,x
có dng
1 12 2
x k 2 ; x k 2=β+α+ π =β−α+ π
(Vì nếu x
1
,x
2
cùng thuc mt h nghim thì
12
x x l2 , l Z =π∈
)
Do đ ó:
12
12
x x 2 (k k )2
3
3
π
π
= α+ π =
12
1
cos (k k ) cos cos 2
32
22
π
= α=
α+ π
.
Mt khác
2
cos2 2cos 1α= α−
nên ta có:
( )
2
2
2
2
m1
1 m1 3
21
24
2m 2
2m 2

+
+

= −⇔
=

+
+

2
m 4m 1 0 m 2 3 += =±
(ko tho mãn (*))
Vy không tn ti m tho mãn yêu cu bài toán .
Câu 42. Mt nhóm gm
5
bn nam,
4
bn n thy giáo đng thành
2
hàng, mi hàng
5
ngưi đ chp nh k nim. Xác sut đ khi đng, thy giáo xen gia hai bn nam đng thi các
bn n không đng cnh nhau trong cùng mt hàng bng
A.
1
35
. B.
1
105
. C.
1
70
. D.
2
105
.
Li gii
*) Ta có: .
*) Chn hàng cho thy giáo, có cách chn.
*) Đi vi hàng có thy giáo, có cách xếp như sau:
+) TH1: Trong hàng thy giáo có nam, n.
Vì thy giáo xen gia hai bn nam nên xếp bn nam đng hai bên thy giáo, có:
cách.
Vì các bn n không đng cnh nhau trong cùng mt hàng nên ta xếp hai bn n đứng
hai đu hàng, có cách xếp.
Hàng còn li gm bn nam và bn n còn li.
Ta xếp bn nam, có cách, to ra v trí gia các bn.
Xếp bn n vào trong v trí đó, có: cách xếp.
10!Ω=
2
2
2
2
2
2
5
A
2
4
A
3
2
3
3!
4
2
2
4
2
4
A
Do đó, trưng hp này có: cách xếp.
+) TH2: Trong hàng thy giáo có nam, n.
Xếp 1 bn nam, 1 bn n và thy giáo thành mt hàng, có .
Xếp hai bn nam trong 4 bn nam còn li đng hai bên thy giáo, có cách.
Hàng còn li gm bn n bn nam còn li.
Ta xếp bn n, có cách, to ra v trí xen gia các bn.
Xếp bn nam vào v trí đó, có: cách xếp.
Do đó, trưng hp này có: cách xếp.
Vy xác sut cn tính là:
2 2 2 11
5 4 4 54
2( . .3!. . .3!.2!)
2
10! 105
A A A CC+
=
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy hình thang, đáy ln
BC
,
2,BC a AD AB a= = =
, tam
giác
SAD
đều. Gi
I
là mt đim trên đon
BD
(
I
không trùng vi
B
D
). Qua
I
k
đưng thng song song vi
AD
ct cnh
AB
ti
M
, qua
M
k đưng thng song song
vi
SA
ct cnh
SB
ti
Q
. Đt
AM x=
. Tìm
x
để din tích thiết din ca hình chóp
.S ABCD
khi ct bi mt phng
()IMQ
đạt giá tr lớn nht?
A.
2
a
. B.
3
a
. C.
4
a
. D.
2
3
a
.
Lời giải
Chn B
Trong
()ABCD
:
MI CD N∩=
.
+
( )( )IMQ ABCD MN∩=
.
+
( )( )IMQ SAB MQ∩=
.
+ Xét
()IQM
()SBC
Q
chung và
//MN BC
( ) ( ) , //BC,IQM SBC QP QP P SC ∩=
.
22 2
54 4
. .3!.AA A
3
1
11
54
. .3!CC
2
4
A
3
2
3
3!
2
2
2
2!
11 2
54 4
. .3! .3!.2!CC A
P
Q
M
N
B
C
A
S
D
I
+
()()IMQ SCD PN∩=
.
Thiết din cần tìm là hình thang
MNPQ
.
Ta có
CP BQ BM CN
CS BS BA CD
= = =
. Do đó
//NP SD
.
Khi đó
NP CP BQ MQ
SD CS BS SA
= = =
.
SA SD=
. Suy ra
MQ PN=
.
Ta có
2
PQSQMA
PQ x
BC SB AB
== ⇒=
.
2 ,0
MN MI IN a x x a x x a= + =−+ =+ <<
. Suy ra
MN QP>
Do đó
MNPQ
là hình thang cân.
Trong hình thang cân
MNPQ
k đường cao
QH
,
H MN
.
Ta có
22
MN PQ a x
MH
−−
= =
,
MQ a x=
.
222 2
33
() ()
42
QH MQ MH a x QH a x= = −⇒ =
.
22
1 33
( ). ( 3 )( ) ( 3 2 )
2 44
MNPQ
S MN PQ QH a x a x x ax a
= + = + −= + +
.
Biu thc
22
32x ax a
−+ +
đạt giá tr lớn nht khi
(0; )
3
a
xa=
.
Câu 44. Cho hàm s
( )
32
31f x x x mx=+ ++
. Gi
S
là tng tt c giá tr ca tham s
m
để đồ th
hàm s
( )
y fx=
ct đưng thng
1y =
ti ba đim phân bit
( )
0;1A
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến
ca đ th hàm s
( )
y fx=
ti
B
,
C
vuông góc vi nhau. Giá tr ca
S
bng
A.
9
2
. B.
9
5
. C.
9
4
. D.
11
5
.
Li gii
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ th hàm số
( )
y fx=
và đường thng
1y =
là:
32
3 11x x mx+ + +=
32
30x x mx
⇔+ + =
2
0
30
x
x xm
=
+ +=
.
Để hai đồ th ct nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình
2
30x xm+ +=
phải có hai
nghiệm phân biệt khác
0
2
2
3 4.1. 0
0 3.0 0
m
m
−>
+ +≠
49
0
m
m
>−
9
4
0
m
m
<
.
Với điều kiện trên, hai đồ th ct nhau tại ba điểm phân biệt
( )
0;1A
,
( )
;
BB
Bx y
,
( )
;
CC
Cx y
, ở
đó
B
x
,
C
x
là nghiệm của phương trình
2
30x xm+ +=
.
Ta có:
( )
2
36fx x xm
= ++
.
H s góc của tiếp tuyến với đồ th hàm số
( )
y fx=
ti
B
,
C
lần lượt là
( )
2
36
B B BB
k fx x x m
= =++
;
( )
2
36
C C CC
k fx x x m
= =++
.
Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì
.1
BC
kk
=
.
Suy ra:
( )( )
22
36 36 1
BB CC
x xmx xm+ + + +=
(
)
2
2 22 2 2
9 18 3 18 36 6 3 6 1
BC BC B BC BC B C C
x x x x mx x x x x mx mx mx m
++++++++=
( ) (
)
( )
( )
2
22 2
9 18 3 36 6 1 0
BC BC B C B C BC B C
xx xx x x mx x xx mx x m
+ ++ ++ + +++=
.
Ta lại có theo Vi-et:
3
BC
BC
xx
xx m
+=
=
. T đó
( )
2
22
2
BC BC BC
xx xx xx+= +
92
m=
.
Suy ra:
( ) ( ) ( )
22
9 18 3 3 9 2 36 6 3 1 0m m m m mm m+ −+ + + −+ +=
2
4 9 10
mm +=
9 65
8
9 65
8
m
m
+
=
=
(thỏa mãn).
Vy
9 65 9 65
88
S
+−
= +
9
4
=
.
Câu 45: Ba s
;;abc
khác 0 theo th t đó lp thành mt cp s cng công sai dương. Nếu
cng thêm vào s hng th ba 9 đơn v thì ta thu đưc dãy s mới theo th t đó lp
thành mt cp s nhân. Nếu ta tiếp tc nhân s hng th 2 và th 3 ca cp s nhân này
vi
1
8
ta li thu đưc dãy s mới theo th t đó lp thành cp s cng. Tính giá tr biu
thc
23Pa b c=++
.
A.
18
. B. 14. C. 30. D. 12.
Lời giải
+ Dãy s
;;abc
là cp s cộng có công sai dương
( )
( )
*
2
2 0, 1
abc
abc
bac
a bc
<<
<<
⇔⇔

= +
+=
+) Do
,ab
khác 0 nên dãy số
;; 9
abc+
là cấp s nhân
( )
2
9b ac⇔= +
( )
2
.
+) Dãy s
9
;;
88
bc
a
+
−−
là cp s cng
9
2. 8 2 9
88
cb
a a bc
+

= + −=


( )
3
.+) T
( )
1
( )
3
ta có
1
21
a
cb
=
=
.
+) Thay vào
(
)
2
, ta được:
22
2 8 2 80
b b bb= + −=
4
2
b
b
=
=
.
+) Đối chiếu điều kin
( )
*,
ta được
4b =
.
+) Vi
4b =
ta có
7c =
. Khi đó 3 số cần tìm là
1; 4; 7ab c= = =
.
| 1/25

Preview text:

SỞ GD&ĐT THANH HÓA
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2 NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN TOÁN HỌC – Khối lớp 11
Thời gian làm bài : 90 phút
(Đề thi có 07 trang)
(không kể thời gian phát đề)
Họ và tên học sinh :..................................................... Số báo danh : ................... Mã đề 001
Câu 1
. Trong các dãy số (u sau đây, dãy nào là cấp số nhân ? n ) A. 1 1 u = 3n . B. u = .
C. u = . D. n u = 2 + 1. n n n 1 2 + n n n
Câu 2. Đặt log 2 = a khi đó log 27 bằng 3 16 A. 3a B. 3 C. 4 D. 4a 4 4a 3a 3 Câu 3. Biết lim f (x)
f (x) = 4. Khi đó lim bằng x 1 →− x→− (x + )4 1 1 A. −∞ . B. 4 . C. +∞ . D. 0 .
Câu 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.
Hãy ước lượng mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6
quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau? A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu
cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
Nhóm [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100) Tần số 4 5 23 6 2 N = 40
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là
A. Q ≈ 71, Q ≈ 76, Q ≈ 78.
B. Q ≈ 71, Q ≈ 75, Q ≈ 78. 1 2 3 1 2 3
C. Q ≈ 70, Q ≈ 76, Q ≈ 79.
D. Q ≈ 70, Q ≈ 75, Q ≈ 79. 1 2 3 1 2 3
Câu 7. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Góc giữa hai đường thẳng DA bằng 1 1 1 1 AC và 1 A. 60°. B. 90° . C. 45°. D. 120°.
Câu 8. Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3
quả cầu từ hộp đó. Số phần tử của không gian mẫu là A. 220 . B. 1320. C. 350. D. 12600.
Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP M (1;− ) 1 , N (5; 3
− ) và P thuộc trục Oy ,
trọng tâm G nằm trên trục Ox . Toạ độ của điểm G A.G(2;4) . B.G(2;0).
C. G(0;4).
D. G(0;2).
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy,cho A(m −1;2) , B(2;5− 2m) và C (m −3;4) . Tìm giá trị m để ,
A B,C thẳng hàng? A. m = 3. B. m = 2 . C. m = 2 − . D. m =1.  2 x + x + − 3 2 7x +1  khi x ≠ 1 Câu 11. Cho hàm số a 2 f (x) =  2 (x − ) 1 . Biết rằng m =
( với a , b ∈  b
x + m −1 khi x = 1
a là phân số tối giản) thì hàm số f (x) liên tục tại x =1. Giá trị của a +b bằng: b A. 5. B. 37 . C. 13. D. 51. Câu 12. Tính 2x + 3 lim . x→−∞ 2 2x −3 A. 1 . B. 1 − . C. 2 . D. − 2 . 2 2  3x +1 − 2x  khi x ≠ 1
Câu 13. Cho hàm số ( )  x f x − =  1 . Tính f '(1) . −  5 khi x =  1  4
A. Không tồn tại. B. 0 C. 7 − . D. 9 − . 50 64 Câu 14. Cho hàm số 1 3 2
f (x) = x + mx + 4x + 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao 3
cho f (′x) ≥ 0, x ∀ ∈  A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 .
2 f (x) − xf (2)
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2. Tìm lim . 0 x→2 x − 2
A. 0 . B. f ′(2). C. 2 f ′(2) − f (2). D. f (2) − 2 f ′(2).
Câu 16. Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm
Nhóm ghép Tần số Nhóm ghép Tần số [62,5;67,5) 4 [82,5;87,5) 22 [67,5;72,5) 7 [87,5;92,5) 5 [72,5;77,5) 10 [92,5;97,5) 10 [77,5;82,5) 26 [97,5;102,5) 16
A. 77,5 ≤ M <
B. 82,5 ≤ M < e 87,5. e 82,5.
C. 87,5 ≤ M <
D. 92,5 ≤ M < e 97,5. e 92,5.
Câu 17. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc
độ tăng dân số là 1,1% / năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp
đôi (đạt ngưỡng 180 triệu ) vào năm nào? A.2077. B. 207 4 . C. 2075. D. 2 076.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x m + 1) có tập xác
định là  . A. m≤2
B. m > 2
C. m ≥ 0 D. m < 0 u  =1 1
Câu 19. Cho dãy số (u xác định bởi 
và dãy số (v xác định bởi n ) n )  u + n 8 u = ∀ ≥  + n n , 1 1  5
v = u − . Biết (v là một cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là n ) n n 2 n 1 − n 1 − n n 1 − A.  1 v   = − − . B. v  = − . C. v   = − . D. v   = − . n ( ) 1 1 . n ( ) 1 1 . n 1. n ( ) 1 1 . 5          5   5   5  2 2
Câu 20: Cho Elip ( ): + y E x
= 1. Đường thẳng (d ) : x = 4
− cắt (E) tại hai điểm M , N . Khi 25 9 đó: 9 MN = 18 MN = 18 MN = 9 MN = A. 25 . B. 25 . C. 5 . D. 5 .
Câu 21. Cho cấp số cộng (u u + u =1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số n ) 2015 4 cộng đó là: A. 1009000. B. 100800. C. 1008000. D. 100900.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I , J lần lượt là
trung điểm SASB . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. (IJCD)∩(SAB) = IJ
B. (SAB)∩(IBC) = IB.
C. (SBD)∩(JCD) = JD .
D. (IAC)∩(JBD) = AO .
Câu 23. Cho các số thực a, b thỏa mã 1< a < b và 2 log b +
a = . Tính giá trị của biểu thức a logb 3 2 log a b T + = . ab 2 A. 1 . B. 3 . C. 6 . D. 2 . 6 2 3
Câu 24. Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB//CD) . Gọi M , N P lần
lượt là trung điểm của BC , AD SA. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MNP) là
A. đường thẳng qua M và song song với SC .
B. đường thẳng qua P và song song với AB .
C. đường thẳng PM .
D. đường thẳng qua S và song song với AB .
Câu 25. Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2
a ln x + bln x + 5 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x , x và phương trình 2
5log x + blog x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 3 4
x x > x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 2a + 3b 1 2 3 4A. S =33. B. S = 30. C. S =17 . D. S = 25 . min min min min
Câu 26. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ
số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? A.6720 số. B. 40320 số. C.5880 số. D. 840 số.
Câu 27. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo
có ít nhất một mặt 6 chấm: A. A = (
{ 1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6)}. B. A = (
{ 1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)} (
 1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),  C. A  =
A = { 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 } (   D. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .  6,  ) 1 ,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) 
Câu 28. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số
chấm của hai con súc sắc bằng 6” là A. 5 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 6 36 36 36
Câu 29. Cho hình chóp đều S.ABCD O là giao điểm của AC BD . Gọi M , E, F lần lượt
là trung điểm của AB, SC, SD . Biết SO = a; AB = 2a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng ME CF bằng A. 2 a . B. 6 a . C. 2 a . D. 6 a . 4 6 6 4
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC SA a, AB a 3 , 2 AC a . Góc  0 SAB  60 ,  0 BAC  90 ,  0
CAS 120 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 3 3 3 A. a 3 . B. a 3 . C. a 6 . D. a 3 6 3 3
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SD , E thuộc
cạnh BC sao cho BE = 2EC , mặt phẳng ( AME) cắt SC tại F . Tính tỉ số diện tích 2
tam giác SFD FCD. A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 5 . 2
Câu 32. Cho tam giác ABC đều.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB . Vẽ đường tròn tâm D
qua A , B ; M là điểm bất kì trên đường tròn đó (M ≠ ,
A M B) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
B. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cân ( không phải tam giác đều).
C. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác đều.
D. MB > MC > MA .
Câu 33. Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Điểm M thuộc cạnh CD sao cho  
MC = 2DM , N (0;2019) là trung điểm của cạnh BC , K là giao điểm của hai đường thẳng AM
BD . Biết đường thẳng AM có phương trình x −10y + 2018 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ O
đến đường thẳng NK bằng A. 2019. B. 2019 101 . C. 2018 . D. 2019 101 . 11 101
Câu 34. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; }
5 . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được
lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn
có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. A. 1. B. 23. C. 2 . D. 4. 5 25 25 5
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O với AB = a; AD = 2a .
Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Gọi (α ) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD)
. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α ) và hình chóp đã cho 2 2 2 A. a 3 S a = . B. a 2 S = . C. S = . D. 2 a . 2 2 2
Câu 36: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất
cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau
hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác
định bởi 2 trong n −1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau
nhiều nhất là bao nhiêu? A. 2 2C −  − +  2 2C −  − +  − − 2 n C C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − n C C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 ( )( ) n  . B. ( )( ) n  . 2 2 C. 2 2 3 3C −  − +  2 C −  − +  − − n C C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − nC  − C n(n ) 2 n n 1 5 1 ( 2) 1 n  . D. ( )( ) n  . 2 2
Câu 37. An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành
chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc A. 0,064 . B. 0,1152 . C. 0,13824 . D. 0,31744 .
Câu 38. Xét tính chẵn lẻ của hàm số  π   π
y f (x) cos 2x  sin  2x  = = + + − 
, ta được y = f (x) là 4 4     
hàm số : A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 39. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3 = 3cot x + 3 là: 2 sin x A. π π π π − . B. 5 − . C. − . D. 2 − . 2 6 6 3
Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10
− của m để phương trình (  π π x − )( x + x m) 2 2cos 1 2cos 2 2cos
= 3− 4sin x có hai nghiệm thuộc ;  −  ? 2 2    A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình: ( π
m + 1)cosx + (m − 1)sinx = 2m + 3 có 2 nghiệm 1 x ,x2 thoả mãn: 1 x − x2 = ? 3 A. 0 . B. 6 . C. 2 . D. 3.
Câu 42. Một nhóm gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và thầy giáo đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5
người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các
bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 35 105 70 105
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn BC , BC = 2a, AD = AB = a , tam
giác SAD đều. Gọi I là một điểm trên đoạn BD ( I không trùng với B D ). Qua I
kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh AB tại M , qua M kẻ đường thẳng song
song với SAcắt cạnh SB tại Q . Đặt AM = x . Tìm x để diện tích thiết diện của hình
chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (IMQ) đạt giá trị lớn nhất? A. a . B. a . C. a . D. 2a . 2 3 4 3
Câu 44. Cho hàm số f (x) 3 2
= x + 3x + mx +1. Gọi S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị
hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y =1 tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B , C sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng A. 9 . B. 9 . C. 9 . D. 11. 2 5 4 5 Câu 45: Ba số ; a ;
b c khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai dương. Nếu
cộng thêm vào số hạng thứ ba 9 đơn vị thì ta thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân. Nếu ta tiếp tục nhân số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số nhân này với 1
− ta lại thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính giá 8
trị biểu thức P = a + 2b + 3c . A. 18 − . B. 14. C. 30. D. 12.
Câu 46. Tìm giới hạn C = lim n (x + a )(x + a )...(x + a xn ) 1 2 x→+∞   . A. + + + + + + +∞ . B. a a ... a a a ... a −∞ . C. 1 2 n . D. 1 2 n . n 2n x
câu 47. Cho hàm số f (x) 4 =
. Tính giá trị biểu thức  1   2  100 A f f ... f  = + + +      ? 4x + 2 100  100  100  A. 50. B. 49 . C. 149 . D. 301. 3 6
Câu 48. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số ( ;x y) thỏa mãn 2 log
4x + 4y − 6 + m ≥1 và 2 2
x + y + 2x − 4y +1 = 0 . 2 2 x + y +2 ( ) A. S = { 5 − ; 1; − 1; } 5 . B. S = { 1; − } 1 . C. S = { 5; − } 5 . D. S = { 7 − − 5; 1; − 1;5; } 7 .
Câu 49. Cho tứ diện S.ABCD và M là một điểm di động, nằm bên trong tam giác ABC . Qua
M kẻ các đường thẳng song song với ,
SA SB, SC cắt các mặt phẳng tương ứng (SBC),
(SAC), (SAB) lần lượt tại A',B',C '. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức
MA' MB ' MC ' MA' MB ' MC ' T = + + + . . là SA SB SC SA SB SC A. 9 . B. 28 . C. 62 . D. 13 8 27 27 8
Câu 50. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB' là 5 , khoảng cách từ A đến
BB' và CC ' lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A'B'C ' là trung điểm
M của B 'C ', 15 A'M =
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 A. 2 5 . B. 5 C. 2 15 D. 15 3 3 3
…………….HẾT……………
ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NĂM 2023 – 2024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C A D D A A B B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D D A C B A D D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A D D B B C C D B B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A A D C B D D D A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A D B C C C D A B C
Câu 1
. Trong các dãy số (u sau đây, dãy nào là cấp số nhân ? n ) A. 1 1 u = 3n . B. u = .
C. u = . D. n u = 2 + 1. n n n 1 2 + n n n
Câu 2. Đặt log 2 = a khi đó log 27 bằng 3 16 A. 3a B. 3 C. 4 D. 4a 4 4a 3a 3
Câu 3. Biết lim f (x) f (x) = 4. Khi đó lim bằng x 1 →− x→− (x + )4 1 1 A. −∞ . B. 4 . C. +∞ . D. 0 .
Câu 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.
Hãy ước lượng mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. A. 9.35 B.9.1 C. 9.2 D. 8.
Câu 5. . Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển
sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau? A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Câu 6. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu cho
điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:
Nhóm [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100) Tần số 4 5 23 6 2 N = 40
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là
A. Q ≈ 71, Q ≈ 76, Q ≈ 78.
B. Q ≈ 71, Q ≈ 75, Q ≈ 78. 1 2 3 1 2 3
C. Q ≈ 70, Q ≈ 76, Q ≈ 79.
D. Q ≈ 70, Q ≈ 75, Q ≈ 79. 1 2 3 1 2 3
Câu 7. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Góc giữa hai đường thẳng AC DA bằng 1 1 1 1 1 A. 60°. B. 90° . C. 45°. D. 120°.
Câu 8. Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3
quả cầu từ hộp đó. Số phần tử của không gian mẫu là A. 220 . B. 1320. C. 350. D. 12600.
Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP M (1;− ) 1 , N (5; 3
− ) và P thuộc trục Oy ,
trọng tâm G nằm trên trục Ox . Toạ độ của điểm G A.G(2;4) . B.G(2;0).
C. G(0;4).
D. G(0;2).
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy,cho A(m −1;2) , B(2;5− 2m) và C (m −3;4) . Tìm giá trị m để ,
A B,C thẳng hàng? A. m = 3. B. m = 2 . C. m = 2 − . D. m =1.  2 x + x + − 3 2 7x +1  khi x ≠ 1 Câu 11. Cho hàm số a 2 f (x) =  2 (x − ) 1 . Biết rằng m =
( với a , b ∈  b
x + m −1 khi x = 1
a là phân số tối giản) thì hàm số f (x) liên tục tại x =1. Giá trị của a +b bằng: b A. 5. B. 37 . C. 13. D. 51. Câu 12. Tính 2x + 3 lim . x→−∞ 2 2x −3 A. 1 . B. 1 − . C. 2 . D. − 2 . 2 2  3x +1 − 2x  khi x ≠ 1
Câu 13. Cho hàm số ( )  x f x − =  1 . Tính f '(1) . −  5 khi x =  1  4
A. Không tồn tại. B. 0 C. 7 − . D. 9 − . 50 64 Lời giải Ta có: 2
lim ( ) lim 3x +1 − 2x lim 3x + 1− 4x lim −4x f x − 1 −5 = = = = = f 1 x→1 x→1 x x → − 1 1
(x −1)( 3x+1 + 2x) x→1 ( 3x+1 + 2x) ( ) 4
⇒ Hàm số liên tục lại x = 1. 3x + 1 − 2x 5 f x f + − 1 '(1) ( ) ( ) lim lim x f − 1 4 4 3 1 3 5 = = = lim x + − x xxx x −1 x → − 1 4(x −1)2 1 1 1
16(3x +1) −(3x + 5)2 lim lim −9 9 = = = − x→ 4( x −1)2 1
(4 3x+1+3x+5) x→1 4(4 3x+1+3x+5) 64 Câu 14. Cho hàm số 1 3 2
f (x) = x + mx + 4x + 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao 3
cho f (′x) ≥ 0, x ∀ ∈  A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 .
2 f (x) − xf (2)
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2. Tìm lim . 0 x→2 x − 2
A. 0 . B. f ′(2). C. 2 f ′(2) − f (2). D. f (2) − 2 f ′(2).
Câu 16. Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm
Nhóm ghép Tần số Nhóm ghép Tần số [62,5;67,5) 4 [82,5;87,5) 22 [67,5;72,5) 7 [87,5;92,5) 5 [72,5;77,5) 10 [92,5;97,5) 10 [77,5;82,5) 26 [97,5;102,5) 16
A. 77,5 ≤ M <
B. 82,5 ≤ M < e 87,5. e 82,5.
C. 87,5 ≤ M <
D. 92,5 ≤ M < e 97,5. e 92,5.
Câu 17. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc
độ tăng dân số là 1,1% / năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp
đôi (đạt ngưỡng 180 triệu ) vào năm nào? A.2077. B. 207 4 . C. 2075. D. 2 076.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x m + 1) có tập xác
định là  . A. m≤2
B. m > 2
C. m ≥ 0 D. m < 0 u  =1 1
Câu 19. Cho dãy số (u xác định bởi 
và dãy số (v xác định bởiv = u − . n n 2 n ) n )  u + n 8 u = ∀ ≥  + n n , 1 1  5
Biết (v là một cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là n ) n 1 − n 1 − n n 1 − A.  1 v   = − − . B. v  = − . C. v   = − . D. v   = − . n ( ) 1 1 . n ( ) 1 1 . n 1. n ( ) 1 1 . 5          5   5   5  2 2
Câu 20: Cho Elip ( ): + y E x
= 1. Đường thẳng (d ) : x = 4
− cắt (E) tại hai điểm M , N . Khi đó: 25 9 9 MN = 18 MN = 18 MN = 9 MN = A. 25 . B. 25 . C. 5 . D. 5 .
Câu 21. Cho cấp số cộng (u u + u =1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng n ) 2015 4 đó là: A. 1009000. B. 100800. C. 1008000. D. 100900.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I , J lần lượt là
trung điểm SASB . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. (IJCD)∩(SAB) = IJ
B. (SAB)∩(IBC) = IB.
C. (SBD)∩(JCD) = JD .
D. (IAC)∩(JBD) = AO .
Câu 23. Cho các số thực a, b thỏa mã 1< a < b và 2 log b +
a = . Tính giá trị của biểu a logb 3 2 thức log a b T + = . ab 2 A. 1 . B. 3 . C. 6 . D. 2 . 6 2 3
Câu 24. Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB//CD) . Gọi M , N P lần lượt
là trung điểm của BC , AD SA. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MNP) là
A. đường thẳng qua M và song song với SC .
B. đường thẳng qua P và song song với AB .
C. đường thẳng PM .
D. đường thẳng qua S và song song với AB .
Câu 25. Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2
a ln x + bln x + 5 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x , x và phương trình 2
5log x + blog x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 3 4
x x > x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 2a + 3b 1 2 3 4A. S =33. B. S = 30. C. S =17 . D. S = 25 . min min min min
Câu 26. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số
1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? A.6720 số. B. 40320 số. C.5880 số. D. 840 số.
Câu 27. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo
có ít nhất một mặt 6 chấm: A. A = (
{ 1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6)}. B. A = ({1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)} (
 1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),  C. A  =
A = { 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 } (   D. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .  6,  )1,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) 
Câu 28. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm
của hai con súc sắc bằng 6” là A. 5 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 6 36 36 36
Câu 29. Cho hình chóp đều S.ABCD O là giao điểm của AC BD . Gọi M , E, F lần lượt
là trung điểm của AB, SC, SD . Biết SO = ;
a AB = 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
ME CF bằng A. 2 a . B. 6 a . C. 2 a . D. 6 a . 4 6 6 4
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC SA a, AB a 3 , 2 AC a . Góc  0 SAB  60 ,  0 BAC  90 ,  0
CAS 120 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 3 3 3 A. a 3 . B. a 3 . C. a 6 . D. a 3 6 3 3
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SD , E thuộc
cạnh BC sao cho BE = 2EC , mặt phẳng ( AME) cắt SC tại F . Tính tỉ số diện tích 2 tam
giác SFD FCD. A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 5 . 2 Lời giải
Trong mặt phẳng ( ABCD) gọi K là giao điểm của AE CD , trong mặt phẳng (SCD) ta có
F = MK SC . Khi đó: EC CK CK 1 = = = . EB AB CD 2
Gọi N là trung điểm SC , ta có: CF CK =
= 1 suy ra F là trung điểm NC . FN MN Vậy S SF SFD = = 3. S FC FCD
Câu 32. Cho tam giác ABC đều.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB . Vẽ đường tròn tâm D
qua A , B ; M là điểm bất kì trên đường tròn đó (M ≠ ,
A M B) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
B. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cân ( không phải tam giác đều).
C. Độ dài MA, MB , MC là độ dài ba cạnh của 1 tam giác đều.
D. MB > MC > MA . Lời giải. Chọn A
Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với AB , chiều
dương hướng từ A đến B ,trục Oy là đường trung trực
của đoạn AB A( 1;
− 0) ; B(1;0),C (0; 3), D(0;− 3).
Phương trình đường tròn tâm D qua A , B là: 2 2
x + (y + 3) = 4 ( ) 1 .
Giả sử M (a;b)là điểm bất kì trên đường tròn ( ) 1 .Ta có : 2 MA = (a + )2 2 1 + b , 2 MB = (a − )2 2 1 + b ,
MC = a + (b − )2 2 2 3 .
MA + MB = a + (b − )2 2 2 2 2 2
3 + a + b + 2b 3 −1
= MC + a + (b + )2 2 2 3 − 4 .
M nằm trên đường tròn ( )
1 nên : a + (b + )2 2 3 − 4 = 0 2 2 2
MA + MB = MC MA , MB
, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Câu 33. Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Điểm M thuộc cạnh CD sao cho  
MC = 2DM , N (0;2019) là trung điểm của cạnh BC , K là giao điểm của hai đường thẳng AM
BD . Biết đường thẳng AM có phương trình x −10y + 2018 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng NK bằng A. 2019. B. 2019 101 . C. 2018 . D. 2019 101 . 11 101 Lời giải Chọn D
Gọi cạnh hình vuông bằng a . Do MD DK 1 DK 1
ABK  ∆MDK ⇒ = = ⇒ = . AB KB 3 DB 4
    1 
Ta có AM = AD + DM = AD + DC A a B 3
   3  1  3   1  3  1 
NK = BK BN = BD BC = (BA+ BC)− BC = BA+ BC N 4 2 4 2 4 4 K
  1   1   D C
Từ và suy ra AM.NK = AD.BC + B .
A DC = 0 ⇒ AM NK . M 4 4
AM NK nên NK có phương trình tổng quát: 10x + y − 2019 = 0 . 2019
Khoảng cách từ O đến NK là d (O NK) − 2019 101 , = = . 2 + 2 101 10 1
Câu 34. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4 }
; 5 . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được
lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn
có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. A. 1. B. 23. C. 2 . D. 4. 5 25 25 5 Lời giải.
a,b,c A
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó a ≠ 0 .
a ≠ ;bb ≠ ;cc ≠  a Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a ≠ 0 .
● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b a .
● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c a c b .
Do đó tập S có 5.5.4 =100 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 1 = C =100 . 100
Gọi X là biến cố ' Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu' . Khi đó ta có các
bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có
tất cả 8 số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố X n( X ) = 8.
Vậy xác suất cần tính P( X ) n( X ) 8 2 = = = n(Ω) . 100 25
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O với AB = a; AD = 2a .
Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Gọi (α ) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD).
Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α ) và hình chóp đã cho 2 2 2 A. a 3 S = . B. a 2 S = . C. a S = . D. 2 a . 2 2 2
Câu 36: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả
các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc
vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi
2 trong n −1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là bao nhiêu? A. 2 2C −  − +  2 2C −  − +  − − 2 n C C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − n C C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 ( )( ) n  . B. ( )( ) n  . 2 2 C. 2 2 3 3C −  − +  2 C −  − +  − − n C C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 − − nC  − C n(n ) 2 n n 1 5 1 ( 2) 1 n  . D. ( )( ) n  . 2 2 Đáp án D.
*Gọi n điểm đã cho là A , A ,..., A . Xét một điểm cố định, khi đó có 2 đường thẳng được 1 2 n Cn 1−
xác định bởi 2 trong n −1 điểm còn lại nên sẽ có 2
C đường thẳng vuông góc đi qua điểm n 1 − cố định đó. *Do đó có tất cả n n −1 n − 2 2 ( )( ) nC =
đường thẳng vuông góc nên có 2 C giao điểm n 1 − 2 n(n− ) 1 (n−2) 2
(tính cả những giao điểm trùng nhau)
*Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại - Qua một điểm có n −1 n − 2 2 ( )( ) C =
đường thẳng vuông góc nên ta phải trừ đi n( 2 C n− 1 1 ) n 1 − 2 điểm.
-
Qua ba điểm A , A , A của 1 tam giác có 3 đường thẳng cùng vuông góc với A A và 3 1 2 3 4 5
đường thẳng này song song với nhau nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi 3 3C n
- Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi
tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi 3 2C . n
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: 2 C −  − +  − − n C C n n n n 1 5 1 2  ( 2 1 ) 3 ( )( ) n  . 2
Câu 37. An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành
chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc A. 0,064 . B. 0,1152 . C. 0,13824 . D. 0,31744 . Đáp án D.
Phân tích: Bài này điểm mấu chốt là phải liệt kê được các trường hợp mà An thắng Bình
ching cuộc. Ví dụ như: Séc 1: An thắng; Séc 2 : An thắng; Séc 3 : Bình thắng; Séc 4 : An thắng.
⇒ An thắng chung cuộc.
Lưu ý là ta phải tính cả thứ tự các séc An thắng hoặc thua. Như ở ví dụ trên là An thua ở séc thứ3.
Lời giải: Giả sử số séc trong trân đấu giữa An và Bình là x . Dễ dàng nhận thấy 3 ≤ x ≤ 5 . Ta xét các trường hợp:
TH1: Trận đấu có 3 séc⇒ An thắng cả 3 séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là:
P = 0,4.0,4.0,4 − 0,064 1
TH2: Trận đấu có 4 séc⇒ An thua 1 trong 3 séc: 1,2 hoặc 3 và thắng séc thứ 4 .
Số cách chọn 1 séc để An thua là: 1 C 1 0,6.
3 (Chú ý xác xuất để An thua trong séc là ) 1 3
P = C .0,4 .0,6 = 0,1152 2 3
TH3: Trận đấu có 5 séc ⇒ An thua 2 séc và thắng ở séc thứ 5.
Số cách chọn 2 trong 4 séc đầu để An thua là 2 C4 cách. 2 3 2
P = C .0,4 .0,6 = 0,13824 3 4
Như vậy xác suất để An thắng chung cuộc là: P = P + P + P = 0,31744 1 2 3
Câu 38. Xét tính chẵn lẻ của hàm số  π   π
y f (x) cos 2x  sin  2x  = = + + − 
, ta được y = f (x) là 4 4     
hàm số : A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 39. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3 = 3cot x + 3 là: 2 sin x A. π π π π − . B. 5 − . C. − . D. 2 − . 2 6 6 3
Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10
− của m để phương trình (  π π x − )( x + x m) 2 2cos 1 2cos 2 2cos
= 3− 4sin x có hai nghiệm thuộc ;  −  ? 2 2    A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3. Đáp án A. PT (  π π x − )( + x m) 2 2cos 1 2cos 2x 2cos
= 3− 4sin x có đúng hai nghiệm ;  ∈ −  2 2    ⇔ (2cos x − ) 1 ( 2
4cos x − 2 + 2cos x m) = (2cos x − ) 1 (2cos x + ) 1 ⇔ (2cos x − ) 1 ( 2
4cos x − 3− m) = 0  1 cos x = (1) 2cos x −1 = 0  2 ⇔  ⇔  2 4cos x − 3 − − m = 0  2 m + 3 cos x = (2)  4 Giải (1): 1  π π
cos x = có hai nghiệm thuộc ;  − 2  2 2   
=> Phương trình có hai nghiệm thuộc  π π ;  −  2 2   
⇔ (2) vô nghiệm hoặc (2) 1 ⇔ cos x = ± 2  m + 3 − > 1  4  m > 1 m + 3 ⇔ < 0  ⇔ m < 3 −  4   m = 2 m + 3 1  =  4 4
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn. Chú ý: 2 cos x ∈[0; ] 1 x ∀ ∈ R
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình: (m + 1)cosx + (m − 1)sinx = 2m + 3 có 2 nghiệm π 1 x ,x2 thoả mãn: 1 x − x2 = ? 3 A. 0 . B. 6 . C. 2 . D. 3. Lời giải.
Ta có phương trình đã cho tương đương với m + 1 m − 1 2m + 3 cosx + sinx = 2 2 2 2m + 2 2m + 2 2m + 2 2m+3
⇔ cos(x + α) = cosβ (với đk 1 − ≤ ≤ 1 (*) ) 2 2m + 2 (Trong đó m + 1 2m+3 cosα = ;cosβ = ) ⇔ x = β ± α + k2π 2 2 2m + 2 2m + 2
Do đó 1x,x2 có dạng 1x =β+ α + k12 ;π x2 =β−α + k22π
(Vì nếu x1,x2 cùng thuộc một họ nghiệm thì 1x − x2 = l2π, l∈Z ) Do đ ó: π π 1 x − x2 = ⇔ 2 ( α+ 1 k −k2)2π = 3 3 π 1 ⇔ cos 2α ( + 1
k −k2)2π = cos ⇔ cos2α = . 3 2 Mặt khác 2
cos2α = 2cos α − 1 nên ta có: 2 1  m + 1  3 (m + 1)2 = 2  − 1 ⇔ =   2 2 2 4  2m + 2  2m + 2 2
⇔ m − 4m + 1 = 0 ⇔ m = 2 ± 3 (ko thoả mãn (*))
Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán .
Câu 42. Một nhóm gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và thầy giáo đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5
người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các
bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 35 105 70 105 Lời giải *) Ta có: Ω =10!.
*) Chọn hàng cho thầy giáo, có 2 cách chọn.
*) Đối với hàng có thầy giáo, có 2 cách xếp như sau:
+) TH1: Trong hàng thầy giáo có 2 nam, 2 nữ.
Vì thầy giáo xen giữa hai bạn nam nên xếp 2 bạn nam đứng hai bên thầy giáo, có: 25 A cách.
Vì các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng nên ta xếp hai bạn nữ đứng ở hai đầu hàng, có 24 A cách xếp.
Hàng còn lại gồm 3 bạn nam và 2 bạn nữ còn lại.
Ta xếp 3 bạn nam, có 3! cách, tạo ra 4 vị trí giữa các bạn.
Xếp 2 bạn nữ vào2 trong 4 vị trí đó, có: 24 A cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: 2 2 2 5 A . 4 A .3!. 4 A cách xếp.
+) TH2: Trong hàng thầy giáo có 3 nam, 1 nữ.
Xếp 1 bạn nam, 1 bạn nữ và thầy giáo thành một hàng, có 1 1 5 C .C4.3!.
Xếp hai bạn nam trong 4 bạn nam còn lại đứng hai bên thầy giáo, có 24 A cách.
Hàng còn lại gồm 3 bạn nữ và 2 bạn nam còn lại.
Ta xếp 3 bạn nữ, có 3! cách, tạo ra 2 vị trí xen giữa các bạn.
Xếp 2 bạn nam vào 2 vị trí đó, có: 2! cách xếp.
Do đó, trường hợp này có: 1 1 2 5 C .C4.3! 4 A .3!.2! cách xếp. 2 2 2 1 1
Vậy xác suất cần tính là: 2(A .A .3!.A + C .C .3!.2!) 2 5 4 4 5 4 = 10! 105
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn BC , BC = 2a, AD = AB = a , tam
giác SAD đều. Gọi I là một điểm trên đoạn BD ( I không trùng với B D ). Qua I kẻ
đường thẳng song song với AD cắt cạnh AB tại M , qua M kẻ đường thẳng song song
với SAcắt cạnh SB tại Q . Đặt AM = x . Tìm x để diện tích thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (IMQ) đạt giá trị lớn nhất? A. a . B. a . C. a . D. 2a . 2 3 4 3 Lời giải Chọn B S Q P B C M I N A D
Trong (ABCD) : MI CD = N .
+ (IMQ) ∩ (ABCD) = MN .
+ (IMQ) ∩ (SAB) = MQ .
+ Xét (IQM ) và (SBC) có Q chung và MN // BC
⇒ (IQM ) ∩ (SBC) = QP, QP//BC, P SC .
+ (IMQ) ∩ (SCD) = PN .
Thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ . Ta có CP BQ BM CN = = =
. Do đó NP//SD . CS BS BA CD Khi đó NP CP BQ MQ = = = . SD CS BS SA
SA = SD . Suy ra MQ = PN . Ta có PQ SQ MA = = ⇒ PQ = 2x . BC SB AB
MN = MI + IN = a x + 2x = a + x, 0 < x < a . Suy ra MN > QP
Do đó MNPQ là hình thang cân.
Trong hình thang cân MNPQ kẻ đường cao QH , H MN . Ta có MN PQ a x MH − − = =
, MQ = a x . 2 2 2 2 2 3 2 3
QH = MQ MH = (a x) ⇒ QH = (a x) . 4 2 1 3 3 2 2 S = MN + PQ QH =
a + x a x =
x + ax + a . MNPQ ( ). ( 3 )( ) ( 3 2 ) 2 4 4 Biểu thức 2 2 3
x + 2ax + a đạt giá trị lớn nhất khi a x = ∈(0;a) . 3
Câu 44. Cho hàm số f (x) 3 2
= x + 3x + mx +1. Gọi S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị
hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y =1 tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B , C sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng A. 9 . B. 9 . C. 9 . D. 11. 2 5 4 5 Lời giải Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y =1 là: x = 0 3 2
x + 3x + mx +1 =1 3 2
x + 3x + mx = 0 ⇔  . 2
x + 3x + m = 0
Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình 2
x + 3x + m = 0 phải có hai 2 3   9  − 4.1.m > 0  4 − m > 9 −  <
nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m  ⇔  ⇔  4 . 2 0 + 3.0 + m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0
Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B(x y , C (x y , ở C ; C ) B ; B )
đó x , x là nghiệm của phương trình 2
x + 3x + m = 0 . B C Ta có: f ′(x) 2
= 3x + 6x + m .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C lần lượt là
k = f x = x + x + m ; k = f x = x + x + m . C ( C ) 2 3 C 6 B ( B ) 2 3 B 6 B C
Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì k k = − . B . C 1 Suy ra: ( 2 x + x + m
x + x + m = − B B )( 2 3 6 3 C 6 C ) 1 ⇔ (x x
+ x x + mx + x x + x x + mx + mx + mx + m = − B C )2 2 2 2 2 2 9
18 B C 3 B 18 B C 36 B C 6 B 3 C 6 C 1 ⇔ (x x
+ x x x + x + m x + x + x x + m x + x + m + = . B C )2 B C ( B C ) ( 2 2 B C ) B C ( B C ) 2 9 18 3 36 6 1 0 x + x = − B C 3 Ta lại có theo Vi-et:  . Từ đó 2 2
x + x = x + xx x = − . B C ( B C )2 2 9 2m x x =  m B C B C Suy ra: 2
m + m(− ) + m( − m) + m + m(− ) 2 9 18 3 3 9 2 36 6 3 + m +1 = 0 2
⇔ 4m − 9m +1 = 0  9 + 65 m = 8 ⇔  (thỏa mãn).  9 − 65 m =  8 9 65 9 65 Vậy S + − = + 9 = . 8 8 4 Câu 45: Ba số ; a ;
b c khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai dương. Nếu
cộng thêm vào số hạng thứ ba 9 đơn vị thì ta thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân. Nếu ta tiếp tục nhân số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số nhân này với 1
− ta lại thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính giá trị biểu 8
thức P = a + 2b + 3c . A. 18 − . B. 14. C. 30. D. 12. Lời giải
a < b < c
a < b < c (*) + Dãy số ; a ;
b c là cấp số cộng có công sai dương ⇔  ⇔ 2b a c  = +
a − 2b + c = 0,  ( )1
+) Do a,b khác 0 nên dãy số a; ;
b c + 9 là cấp số nhân 2
b = a(c + 9) (2) . +) Dãy số b c + 9 a;− ;− là cấp số cộng c + 9 2. b a  ⇔ − = −
⇔ 8a + 2b c =   9 (3) .+) Từ ( ) 1 8 8 8  8  a =1 và (3) ta có  . c = 2b −1 b = 4
+) Thay vào (2) , ta được: 2 2
b = 2b + 8 ⇔ b − 2b −8 = 0 ⇔  . b = 2 −
+) Đối chiếu điều kiện (*), ta được b = 4 .
+) Với b = 4 ta có c = 7 . Khi đó 3 số cần tìm là a =1;b = 4;c = 7 .