lOMoAR cPSD| 27879799
BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI
B Ộ TÀI LI Ệ U ÔN T Ậ P TR Ắ C NGHI Ệ M
GI Ả I TÍCH II
____________________________________________________ Biên so
ạ n b ở i: Team GT2 – BKĐCMP Hà N
ội, tháng 9 năm 2021 lOMoAR cPSD| 27879799 MỤC LỤC
Đề bài…..……………………………………………………………………..……1
Lời giải tham khảo……………………………………………………….………18
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………….95 LỜI NÓI ĐẦU lOMoAR cPSD| 27879799
Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh
vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ôn tập. Trong tinh hình đó,
nhóm “BK – Đại cương môn phái” đã biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC
NGHIỆM MÔN GIẢI TÍCH II” để giúp các bạn thuận tiện hơn trong việc ôn tập.
Nhóm tác giả: Team Giải Tích II BK- Đại cương môn phái
(Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc
Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu)
Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Thanh Tùng
Do quá trình soạn bộ tài liệu gấp rút cùng với những hạn chế nhất ịnh về
kiến thức, dù ã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những sai
sót về tính toán, lỗi ánh máy, mọi ý kiến góp ý của bạn ọc xin gửi qua ường link fb
“fb.com/tungg810” hoặc email tungcrossroad@gmail.com.
Tài liệu chỉ mang tính chất tham khảo, không có tác dụng thay thế các giáo
trình, sách giáo khoa chính thống. Xin chân thành cảm ơn!
I. Bài tập trắc nghiệm Tích phân Euler +
Câu 1: Kết quả của tích phân x e dx5 −x4 là: 0 lOMoAR cPSD| 27879799 6 8 2 6 B. C. 2
Câu 2: Kết quả của tích phân sin6 xcos4 xdx là: D. 0 A. A. 7 B. 512 512 512 512 2 C. D. 3 + lOMoAR cPSD| 27879799 (ln3)7/2 0 b
A. 𝑎 − 𝑏 = −1
B. 𝑎 + 𝑏 = 10
C. 𝑎 > 𝑏
D. 𝑎. 𝑏 < 100 + 2 x
Câu 4: Biểu diễn tích phân
4 4) dx theo hàm Gamma: (1+ 0 x A. 34 . 13 4 43 . 13 4 6. ( )4 C. 4. ( )4 34 . 14 D. B. 34 . 54 4. ( )4 1 4. ( )4 1
Câu 5: Tính tích phân 30 dx 0 30 1− x A. B. C. D. 30sin 20 30sin 30 sin 30 50sin 30 =
Câu 3: Biết x63−x a 4 dx , chọn khẳng ịnh úng: lOMoAR cPSD| 27879799 1 lOMoAR cPSD| 27879799 + 4 x
Câu 6: Tính tích phân 3 +1)2 dx ( 0 x 4 3 4 2 2 2 2 3 A. B. C. D. 27 27 27 27 1 10 ln
Câu 7: Tính tích phân 1 dx 0 x A. 11! B. 10! C. 12! D. 9! 1
Câu 8: Tính tích phân x5(ln x)10dx 0 A. B. C. D. 0
Câu 9: Biểu diễn tích phân e2x 31−e3xdx theo hàm Gamma: − 2 . 4 2 . 1 A. 3 3 C. 3 3 2. ( )2 9. ( )2 2 lOMoAR cPSD| 27879799 B. 23 . 13 D. 23 . 43 3. ( )2 3. ( )2 2
Câu 10: Tính tích phân sin7 xcos5 xdx 0 5 3 7 A. B. C. D. 128 2 256 2 256 2 256 2
II. Bài tập trắc nghiệm Tích phân ường
1. Tích phân ường loại I:
Câu 11: Tính tích phân (x y ds+ ) với 𝐿 là oạn thẳng nối iểm 𝑂(0; 0) và 𝐴(4; 3) L A. B. C. D. 𝑥 = 2 + 2 cos 𝑡
Câu 12: Tính (x y ds+ )với 𝐿 là nửa ường tròn { 𝑦 = 2 sin 𝑡 L 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 A. 4 8+ B. 8 4+ C. 4 D. 2 4+
Câu 13: Tìm 𝑚 ể (mx y ds− ) = −18 với 𝐶: 𝑦 = C A. 𝑚 = 1 B. 𝑚 = 2 C. 𝑚 = 3 D. 𝑚 = 4 3 lOMoAR cPSD| 27879799
Câu 14: Với 𝐶 là ường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥, tính (x y ds− ) C A. 𝜋 B. 2𝜋 C. 3𝜋 D. 6𝜋 −
Câu 15: Tính (x y ds+ )với cung 𝐶: 𝑟2 = cos 2𝜑, C 4 4 A. B. C. D.
Câu 16: Với 𝐶 là ường cong 𝑥2/3 + 𝑦2/3 = 1 trong góc phần tư thứ nhất nối 𝐴(1,0) và 𝐵(0,1), tính (y2 +1)ds C A. B. C. D.
Câu 17: Tính yds với 𝐶 là ường 𝑥 = 𝑦2 i từ 𝑂(0,0) ến 𝐴(1,1) C A. (5 5 −1) B. (5 5 −1) C. (5 5 −1)
D. (5 5 −1) Câu 18:
Tính xydsvới 𝐿 là chu tuyến của hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴(0,0); 𝐵(4,0), L 𝐶(4,2), 𝐷(0,2) A. 20 B. 25 C. 24 D. 18
Câu 19: Tính xydsvới 𝐶 là biên của miền |𝑥| + |𝑦| ≤ 1 C A. 1 B. 4 C. 2 D. 0
Câu 20: Tính x2 + y ds2 với 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥 4 lOMoAR cPSD| 27879799 L A. 8 B. 6 C. 4 D. 10
2. Tích phân ường loại II:
Câu 21: Tính (x −3 )y dx + 2ydy với 𝐴𝐵⏜ là cung 𝑦 = 1 − 𝑥2, 𝐴(1,0), 𝐵(−1,0) AB A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
Câu 22: Tính 5y dx4 − 4x dy3 với 𝐴𝐵𝐶 là ường gấp khúc i qua các iểm ABC
𝐴(0,1); 𝐵(1,0); 𝐶(0, −1) A. 2 B. 3 C. 5 D. 4
Câu 23: Tìm 𝑚 ể (x xy dx mx dy+ ) + . 2 =
với 𝐶 là cung bé trên ường tròn C
𝑥2 + 𝑦2 = 4 i từ 𝐴(−2,0) ến 𝐵(0,2) A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Câu 24: Tính (xy e+ xsinx x y dx+ + ) + − + − +( xy e−y x sin )y dyvới 𝐿 là ường L
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥 theo chiều dương. A. −3𝜋 B. 3𝜋 C. −2𝜋 D. 4𝜋
Câu 25: Tính 2xdx− x + 2y + 2 ey + 2 1+ sin(y2)
dy với 𝐿 là chu tuyến của tam giác L
𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(−1,0), 𝐵(0,2), 𝐶(2,0) chiều cùng chiều kim ồng hồ. 5 lOMoAR cPSD| 27879799 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
Câu 26: Tính (xy e dx+ x) + (y10 −x dy2 ) với 𝐴𝐵⏜ là cung 𝑦 = i từ iểm AB 𝐴(−1,0) ến 𝐵(1,0)
A. e2 −1
B. e2 −1
C. e2 −2 D. e2 2e e 2e 3
Câu 27: Tính (2ex + y dx2) + +(x4 e dyy) với 𝐶: 𝑦 = i từ 𝐴(−1,0) ến C 𝐵(1,0)
A. − +2 2e
B. − 3 −𝑒 C. − 3 D. − +3 3e 2 e 2 e 2 e 2 e (3,0)
Câu 28: Tính tích phân (x4 +4xy dx3 ) +(6x y2 2 −5 )y dy4 ( 2− −, 1) A. 61 B. 62 C. 63 D. 64
Câu 29: Tìm 𝑚 ể tích phân ex + 2 y
2xy dx2+ (y2 + m y dy. )
= e với 𝐿 là ường L
𝑥 = 1 − 𝑦2 i từ 𝐴(1,0) ến 𝐵(0,1) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 30: Tính tích phân L − +y( −2xy x2 −−1)22+1dx+ ( x x−− 22
−−1)1 2 dy với 𝐿: 𝑦 = 2𝑥 + 2 y x y x 6 lOMoAR cPSD| 27879799
i từ 𝐴(0,2) ến 𝐵(2,6) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 31: Tìm 𝑎, 𝑏 ể tích phân ex
(2x + ay2 +1)dx +(bx + 2y dy) không phụ L thuộc vào ường i A. {𝑎 = 1 𝑏 B. {𝑎 = 0 𝑏 C. {𝑎 = 0 𝑏 D. {𝑎 = 1 = 0 = 1 = 0 𝑏 = 1
Câu 32: Tìm hằng số 𝑎, 𝑏 ể biểu thức [𝑦2 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑥 + [𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑥
sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑦 là vi phần toàn phần của một hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) nào ó A. {𝑎 = 1 B. {𝑎 = 2 C. {𝑎 = 2 D. {𝑎 = 1 𝑏 = 1 𝑏 = 2 𝑏 = 1 𝑏 = 2
Câu 33: Tính xe dx ye+ dy x y + x y 2+ 2 2 2
với L y: = 2x x− 2 i từ 2 2 𝑂(0,0) ến 𝐴(2,0) ( L x− +1) y A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 +
Câu 34: Cho tích phân (5 x+ 2 )y dy 𝐼 = C (2x−5 )y dx2 + y2 với 𝐶 là biên của hình x = phẳng 2 y 𝐷: 𝑥
, theo chiều dương, bạn 𝐴 lập luận “Ta ặt P xx2 +−5y 2 = 5x + y và Q ' ' 2
+2y 2 , Qx − =Py 0, 𝐶 là ường cong kín, chiều dương, giới hạn miền 𝐷 nên x
𝐼 = 0”. Hỏi bạn 𝐴 làm vậy có úng không? Nếu sai, thì sửa lại áp án chính xác 7 lOMoAR cPSD| 27879799 A. Đúng B. Sai, 𝐼 = 10𝜋 C. Sai, 𝐼 = 𝜋 D. Sai, 𝐼 = 5𝜋
Câu 35: Tìm 𝑚 ể tích phân (x−3 )y dx+ 2ydy = 4với AB y m x: = − 2 và hai AB
iểm A(1,0),B( 1− ,0) A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
Câu 36: Tính ydx zdy xdz+ + với theo C chiều tăng của 𝑡 A. 2𝜋 B. 𝜋 C. −𝜋 D. 3𝜋 (4,5,6)
Câu 37: Tính tích phân e dx xe dyy + y + +(z 1)e dzz (1,2,3)
A. 4𝑒5 + 6𝑒6 − 𝑒2 − 3𝑒3
B. 4𝑒4 + 6𝑒6 − 𝑒2 − 3𝑒3
C. 4𝑒4 + 6𝑒6 − 2𝑒2 − 3𝑒3
D. 4𝑒5 + 6𝑒6 − 2𝑒2 − 3𝑒3
Câu 38: Tìm hàm thế vị của biểu thức (𝑥4 + 4𝑥𝑦3)𝑑𝑥 + (6𝑥2𝑦2 − 5𝑦4)𝑑𝑦 A. 2
1 x2 + 2x y2 3 − y5 C.
x2 +x y2 3 − y5 5 5 B. 1
2 x2 + 2x y2 3 − y5 D.
x2 +x y2 3 − y5 5 5
Câu 39: Tính (2xy−5)dx+ (2x+3 )y dy với 𝐿 là biên của miền 𝐷 xác ịnh bởi L
các ường 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, chiều dương A. B. C. D. 8 lOMoAR cPSD| 27879799 Câu 40: Tính C 3x y22 + 4x22+1 dx + 3x y3 + y32+ 4
dy với 𝐶 là ường cong 𝑦 =
i từ 𝐴(1,0) ến 𝐵(−1,0). A. C. − 3arctan2 B. D. + 2arctan2
3. Ứng dụng của tích phân ường
Câu 41: Tính diện tích của miền D giới hạn bởi 𝐿: 𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡) { với trục 𝑂𝑥 𝑦 = 2(1 − cos 𝑡)
biết rằng 𝑡 i từ 2𝜋 dến 0
A. 13𝜋 (đvdt)
B. 12𝜋 (đvdt)
C. 11𝜋 (đvdt) D. 10𝜋 (đvdt)
Câu 42: Tính công của lực 𝐹⃗ = (𝑥 + 2𝑦)𝑖⃗ + (3𝑥 + 4𝑦)𝑗⃗ làm dịch chuyển một
chất iểm từ 𝐴(1,3) ến 𝐵(2,4) dọc theo oạn thẳng 𝐴𝐵. ( vc: ơn vị công)
A. 21 ( vc) B. 21,5 ( vc)
C. 26 ( vc) D. 27 ( vc) Câu 43: Tính khối lượng
của ường cong vật chất 𝐿 có phương trình
biết hàm mật ộ là 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑦 A. 1 (đvkl) B. 2 (đvkl) C. 3 (đvkl) D. 5 (đvkl)
Câu 44: Tính công làm dịch chuyển một chất iểm từ A(0,1) ến B(1,0) của lực
𝐹⃗ = [8𝑥3 − 2𝑦 ln(1 + 𝑥2𝑦2)]𝑖⃗ + [5𝑦4 − 2𝑥 ln(1 + 𝑥2𝑦2)]𝑗⃗ A. 1 ( vc) B. 2 ( vc) C. 5 ( vc) D. 4 ( vc)
Câu 45: Tính khối lượng của ường cong vật chất 𝐿 có phương trình 𝑥2 + 𝑦2 = 1
biết hàm mật ộ là 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
A. 3𝜋 (đvkl)
B. 4𝜋 (đvkl)
C. 2𝜋 (đvkl) D. 𝜋 (đvkl) 9 lOMoAR cPSD| 27879799
III. Bài tập trắc nghiệm Tích phân mặt
1. Tích phân mặt loại I: Câu 46: Tính
xydS với 𝑆 là mặt 𝑧 = S A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 47: Tính
x dS2 với 𝑆 là biên của miền giới hạn bởi mặt 𝑧 = , 𝑧 = 1 S (2+ 2) (2+ 3) (1+ 2) (1+ 3) A. B. C. D. 4 4 4 4 10 lOMoAR cPSD| 27879799 Câu 48: Tìm 𝑚 ể (x y mz dS+ + ) =
với 𝑆 là mặt 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 4 và iều S kiện A. 𝑚 = 0 B. 𝑚 = 1 C. 𝑚 = −1 D. 𝑚 = 2 Câu 49: Tính
xyzdS với 𝑆 là mặt 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 giới hạn trong mặt trụ có S
phương trình 2𝑥2 + 3𝑦2 = 6 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Câu 50: Biết 5 + 1 S xdS= a12 b
biết 𝑆 là phần mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦2 + 𝑧2 thỏa mãn
. Kết luận nào sau ây là chính xác?
A. 𝑎 + 𝑏 < 70
B. 𝑎 − 𝑏 > 0
C. 𝑎. 𝑏 < 70 D. 𝑎/𝑏 > 1 Câu 51: Tính 1+ +x2 y dS2
với 𝑆 là phần mặt 2𝑧 = 𝑥 . Chọn S
áp án gần với kết quả của tích phân nhất. A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 Câu 52: Biết dS
với 𝑆 là mặt z= (x3/2 +y3/2 ) với iều S kiện . Tìm khẳng ịnh úng? A. 𝑎 < 𝑏
B. 𝑎 + 𝑏 = 10
C. 𝑎 − 𝑏 = 5
D. 𝑎. 𝑏 = 10 11 lOMoAR cPSD| 27879799 Câu 53: Tính
zy dS2 với 𝑆 là phần mặt nón 𝑧 =
nằm giữa hai mặt 𝑧 = 1 S và 𝑧 = 2
31 2 31 2 31 2 31 2 A. B. C. D. 3 10 4 5 Câu 54: Tính
yx dS2với 𝑆 là phần mặt nón 𝑦 = S
32 2 31 2 33 2 34 2 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 55: Tính
xdS với 𝑆 là mặt trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 4 nằm giữa hai mặt 𝑧 = 0 và 𝑧 = 6 S A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. Tích phân mặt loại II: Câu 56: Tính
(1− −x z dzdx) với 𝑆 là mặt trên của mặt S A. B. C. D. =
Câu 57: Tính I
(x2 + +y2z dxdy2) với 𝑆 là mặt nửa cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 phía S
trên 𝑂𝑥𝑦, mặt 𝑆 hướng lên trên. A. 𝜋 B. −𝜋 C. 2𝜋 D. 3𝜋 Câu 58: Cho 𝐼 =
ydzdx z dxdy+ 2 , 𝑆 là phía ngoài mặt 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 với iều S 12 lOMoAR cPSD| 27879799 kiện
Chọn áp án gần nhất với kết quả của 𝐼 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Câu 59: Tính 𝐼 =
xdzdx z dxdy+ 2 với 𝑆 là phía ngoài mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 với iều S kiện −4 −7 −5 −4 A. B. C. D. 5 3 3 3 Câu 60: Tính
xz dydz2+4yx dzdx2+9zy dxdy2 với mặt 𝑆: 4𝑥2 + 9𝑦2 + 𝑧2 = 1, S hướng ra ngoài. 4 2 2 2 A. B. C. D. 15 15 13 19 = Câu 61: Biết a 𝐼 =
S 2xydydz+ +(x y dzdx2) + +(4x y dxdy2) b với mặt 𝑆 là biên
của miền 𝑉: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài. Tìm khẳng ịnh úng
A. 𝑎 − 𝑏 = 7
B. 𝑎. 𝑏 = 7
C. 𝑎 + 𝑏 = 7 D. 𝑎/𝑏 = 7 Câu 62: Tính 𝐼 =
(xy2+2 )z dydz3+ +(z3 2 )y dzdx x zdxdy+ 2 với 𝑆 là nửa mặt S
cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài mặt cầu. 8 8 6 8 13 lOMoAR cPSD| 27879799 A. B. C. D. 5 3 7 7 Câu 63: Tính 𝐼 =
(x3+2 )yz dydz+(3x y y dzdx2 + )+(6y z xy dxdy2 + ) với 𝑆 là mặt S
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 với 𝑧 ≤ 1, hướng xuống dưới. A. 1 B. 0 C. 2 D. 8 1 2 2 Câu 64: Tính
(−xdydz ydzdx dxdy− + )với 𝑆 là mặt 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, S 1+x +y 3
𝑧 ≤ 2 theo chiều âm của trục 𝑂𝑥 ( 2 (2 10 5)+ − A. + 3 5 ) (2+ 5) B. D. 3 3 ( 2 10 5)− + C. Câu 65: Biết
xdydz zdxdy+= a với 𝑆 là phần trên của mặt nón có phương S b trình 𝑧 = −
khi nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧. Tính 2𝑎 + 𝑏 A. 1 B. 9 C. 0 D. 5
Câu 66: Tính x y dx dy zdz2 3 + + dọc theo ường tròn 𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 0 C
chiều dương giới hạn mặt cầu 𝑧 = 14