Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học - Giải tích II (MI1120) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoAR cPSD| 27879799
BK ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI - BÀI TẬP GIẢI TÍCH II
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Câu 1. Viết phương trình pháp diện của ường cong x =t3, y = + = +t2 1,z 2t 1 tại iểm M(1;2;3) .
Câu 2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cong ( )S z = −x2 2y2 tại A(1;1;−1 .) t −
Tính ộ cong tại =0 của ường
xy==ee −tt−−sintcost. Câu 3.
Câu 4. Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện tại A(1;1;0) của mặt z = ln 3( x−2y). = −t
Câu 5. Cho hàm vector p (sin2 ,cos2t,et )
và r t( )= +(t2 1 .) p t( ). Tính r ' 0 .( ) lOMoAR cPSD| 27879799
Câu 6. Viết phương trình pháp diện và tiếp tuyến của mặt cong ln 2( x+ y2)+3z3 = 3
tại iểm M(0; 1;− 1 .)
Câu 7. Tìm hình bao của họ ường cong cx2 − − + =3y c3 2 0 với c là tham số. =
Câu 8. Tính ộ cong của ường cong y= ln cos(
x) tại iểm ứng với x . 4
Câu 9.Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của ường cong x = 2cos ,t y = 4sint z
=4cos2 t +1tại iểm M( 3;2;4 .)
Câu 10. Tìm hình bao của họ ường thẳng 4x−3cy + 2c3 = 0, với c là tham số.
Câu 11. Tính ộ cong của ường cong x = cost +tsin ,t y = sint −tcost tại iểm ứng với t = .
Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của ường cong cho dưới dạng giao
x2 + + =y2 z2 25 ( )
của hai mặt cong , tại iểm M 3, 4,− 0 . 4x+ + =3y 5z 0
Câu 13. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cầu
(x− + − + =1)2 (y 1)2 z2 25 tại iểm M(4,1,−4 .)
CAPRICORN | CƯỜNG SEVEN
BK ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI - BÀI TẬP GIẢI TÍCH II () t ( 2 t d ) () .
Câu 14. Cho p t = +e i.
arctant. j + arcsint. .k Tính e p t dt |t=0 lOMoAR cPSD| 27879799
Câu 15. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của ường cong x
= cos ,yt = sint,z = t tại iểm ứng với t =− . lOMoAR cPSD| 27879799 lOMoAR cPSD| 27879799
Câu 16. Viết phương trình tiếp diện của mặt cong S x +2y − =yz 0 tại iểm
CAPRICORN | CƯỜNG SEVEN
BÀI TẬP TÍCH PHÂN KÉP 𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 với miền 𝐷 giới hạn bởi 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0, 𝑦 = 2, 𝑥 + 𝑦 = 3 lOMoAR cPSD| 27879799 𝐷 PHAM THANH TUNG
𝑖) ∬ 𝑥𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với miền 𝐷 giới hạn bởi 𝑥 = 0, 𝑥 = 4, 𝑦 = 0, 𝑦 = 4, 𝑥𝑦 = 4 𝐷
Câu 3: Tính các tích phận bội 2 sau:
𝑎) ∬ ( 3 𝑥+2𝑥𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷:1≤ 𝑥𝑦 ≤9,𝑦≤𝑥≤4𝑦 𝐷
𝑏) ∬ ( 4 𝑥 2 −2 𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷:1≤ 𝑥𝑦 ≤4,𝑥≤𝑦≤4𝑥 𝐷 𝑥 2 𝑐) ∬
𝑑𝑥𝑑𝑦 với D là miền giới hạn bởi 4 parabol 𝑦=𝑥 2 ,𝑦=2𝑥 2 ,𝑥=𝑦 2 ,𝑥=2𝑦 2 𝑦 𝐷
𝑑)∬ ( 𝑥+𝑦 )( 𝑥−2𝑦−1 ) 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D giới hạn bởi 𝑥+𝑦=±3,𝑥−2𝑦=1,𝑥−2𝑦=2 𝐷
𝑒) ∬ ( 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D giới hạn bởi 𝑦=−2𝑥+1,𝑦=−2𝑥+3,𝑦=𝑥−2,𝑦=𝑥 𝐷
Câu 4: Tính các tích phân b ộ i 2 sau:
𝑎) ∬ln ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) với 𝐷 giới hạn bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑒 2 và 𝑥 2 + 𝑦 2 4 𝐷
𝑏) ∬ ( 𝑥+𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là miền 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤4,𝑥≥0,𝑦≤0 𝐷
𝑐) ∬sin √ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là miền 𝜋 2 ≤𝑥 2 + 𝑦 2 ≤4𝜋 2 ,𝑥≤0,𝑦≥0 𝐷
𝑑)∬𝑥 √ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 ,𝐷: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤𝑥,𝑦≥0 𝐷 = 𝑒
𝑒) ∬(𝑥4 − 𝑦4)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là miền giới hạn bởi x = và x = 0 𝐷 lOMoAR cPSD| 27879799 PHAM THANH TUNG
𝑓) ∬ √2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là miền 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑦, 𝑥 ≥ 0 𝐷
𝑒) ∬|𝑥 + 𝑦|𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: |𝑥| ≤ 1, |𝑦| ≤ 1 𝑓) ∬ √|𝑦 − 𝑥2|𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷: |𝑥| ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝐷 𝐷 PHAM THANH TUNG lOMoAR cPSD| 27879799
BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI BA
Câu 1: Tính các tích phân bội ba sau
𝑎) ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉) { 𝑉
𝑏) ∭ 𝑥2𝑦3𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 2 ≤ 𝑦 ≤ 3, 3 ≤ 𝑧 ≤ 4 𝑉 𝑉
𝑑) ∭ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 3𝑥 + 𝑦 ≥ 1, 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 2, 𝑦 ≥ 0, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 𝑦 𝑉
Câu 2: Tính các tích phân bội ba sau:
𝑎) ∭(−𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 1 ≤ −𝑥 + 2𝑦 ≤ 2, −1 ≤ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3 𝑉
𝑏) ∭(2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ±3 , 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = ±1 , 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = ±2 𝑉
𝑐) ∭(4𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 1 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 2,0 ≤ 𝑧 ≤ 2 𝑉
𝑑) ∭(3𝑥2 + 2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: |𝑥 − 𝑦| ≤ 1, |𝑦 − 𝑧| ≤ 1, |𝑧 + 𝑥| ≤ 1 𝑉
Câu 3: Tính các tích phân bội ba sau:
𝑎) ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 được giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 1. 𝑉 PHAM THANH TUNG lOMoAR cPSD| 27879799
𝑏) ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑧2 = 4(𝑥2 + 𝑦2), 𝑧 = 2. 𝑉
𝑐) ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑧, 𝑧 = 2 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 được giới hạn bởi 𝑦 =
−√4𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑧 = 4 𝑉
𝑒) ∭ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 được giới hạn bởi 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑦2, 𝑥 = 2𝑦2, 𝑥 = 1 + 𝑦2 𝑉
𝑓) ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 xác định bởi 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4, 𝑧 ≥ 0 𝑉
𝑔) ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧, 𝑧 = 4 𝑉
ℎ) ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 2 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 𝑉
𝑘) ∭(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑥 = 𝑦2 + 4𝑧2, 𝑥 = 4 𝑉
𝑙) ∭ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑦 = , 𝑦 = 2 𝑉 PHAM THANH TUNG lOMoAR cPSD| 27879799 𝑧 3
𝑚)∭ 1+ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧,𝑉:𝑥≥0, √ 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥, 𝑧 = 0, 𝑧 = 2 𝑉
𝑜) ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 6, 𝑧 ≥ 𝑥2 + 𝑦2 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4, 𝑧 ≥ 0 𝑉
𝑞) ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 là miền nằm trong trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 1, giới hạn bởi 𝑧 = , 𝑧 = 0 𝑉
Câu 4: Tính các tích phân bội ba sau:
𝑎) ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 𝑏) ∭
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉: 𝑥 𝑉
𝑐) ∭ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. 𝑉
𝑑) ∭(𝑥2 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1 𝑉
𝑒) ∭ √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. 𝑉 PHAM THANH TUNG lOMoAR cPSD| 27879799
𝑓) ∭ √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 𝑥 𝑉
𝑔) ∭(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4 , 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧2 𝑉
ℎ) ∭ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 𝑥 𝑉 𝑥2 + 𝑦2 𝑧2 𝑥2 + 𝑦2𝑧2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉
𝑗) ∭(4𝑧 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4𝑧 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4𝑧, 𝑦 ≥ 0 𝑉
𝑙) ∭(2𝑦 − 𝑧)2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1 𝑉
𝑚) ∭ √6𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 6𝑦 𝑉
𝑛) ∭ 𝑒√𝑥2+𝑦2+𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1, 𝑧 ≥ 0. 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1, 𝑧 ≥ 0 PHAM THANH TUNG lOMoAR cPSD| 27879799 𝑉 2
2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 3 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , (𝑉): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1 𝑥 𝑉
BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
I. Tính diện tích:
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng ược giới hạn bởi các ường 𝑦 =
𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 𝑦 = −3𝑥 + 1, 𝑦 = −3𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2
Câu 3: Tính diện tích miền 𝐷 với 𝐷: 1 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 9, 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑦
Câu 4: Tính diện tích miền 𝐷 giới hạn bởi 2𝑥 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑦
Câu 5: Tính diện tích phần hình tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦 nằm ngoài ường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 1
Câu 6: Tính diện tích miền giới hạn bởi hai ường cong 𝑦 = 𝑥2, 𝑦2 = 𝑥
Câu 7: Tính diện tích phần mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 2 nằm trong mặt trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 9
Câu 8: Tính diện tích miền 𝐷 giới hạn bởi ường trơn 𝑟 = 1 và 𝑟 = cos 𝜑
Câu 9: Tính diện tích miền giới hạn bởi ường (𝑥2 + 𝑦2)2 = 4𝑥𝑦
Câu 10: Tính diện tích hình giới hạn bởi 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑)
II. Tính thể tích:
Câu 1: Tích thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑦2 và 𝑧 = 4 − 3𝑥2 − 𝑦2
Câu 2: Tính thể tích vật thể xác ịnh bởi 𝑦
Câu 3: Tính thể tích vật 𝑉 xác ịnh bởi 𝑉: 3𝑥 ≤ 𝑦2 ≤ 4𝑥, 5𝑦 ≤ 𝑥2 ≤ 6𝑦, 3 ≤ 𝑧 ≤ 6
Câu 4: Tính thể tích vật thể xác ịnh bởi 1 ≤ 𝑧 ≤ √5 − 𝑥2 − 4𝑦2
Câu 5: Tính thể tích miền (𝑉): 2𝑥 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑦, 𝑥 ≥ 0, 1 ≤ 𝑧 ≤ 3
Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 𝑥 = 1 + 𝑦2 + 𝑧2 và 𝑥 = 2(𝑦2 + 𝑧2) PHAM THANH TUNG lOMoAR cPSD| 27879799
Câu 7: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 𝑦 =
Câu 8: Tính thể tích miền giới hạn bởi |𝑥 − 𝑦| + |𝑥 + 3𝑦| + |𝑥 + 𝑦 + 𝑧| ≤ 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ±3
Câu 9: Tính thể tích miền (𝑉) ược giới hạn bởi: {𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = ±1 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = ±2
Câu 10: Tính thể tích miền giới hạn bởi các mặt cong 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2, 𝑧 = 𝑦2 và mặt 𝑂𝑥𝑦 PHAM THANH TUNG