Các dạng bài tập tính giới hạn | Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoARcPSD|36442750
CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN
 Đây là phần cơ bản nhất của Giải Tích I các bạn nên nắm chắc để áp dụng cho các dạng bài tập về sau
 Bước đầu tiên khi làm một câu giới hạn là lấy số x tiến tới thay vào biểu thức tính lim để phân dạng ^^
 VD: lim  1 x  x thay x   vào biểu thức ta được  1        x
 Câu này thuộc dạng   
 Có tất cả 5 dạng tính lim bất định cần nhớ
 Khi ta thay x vào mà có thể tính được giá trị của bt thì đó chính là giá trị của lim
DẠNG 1: CÁC BÀI TẬP DẠNG    1, Cách giải
- Về dạng này các bạn đã gặp nhiều ở lớp 11 cách giải vẫn không thay đổi
- Ta thường dùng cách nhân liên hợp 2, Ví dụ
Tính lim  1 x  x x
 Thay x   vào ta thấy dạng    => Nhân liên hợp 
  x  x 1 x  x 1 lim 1  lim  lim  0 x x 1  x x x
 1 x  x 3, Bài tập: a         2 x x x b 3 3 2 ) lim 2 5 ) lim x x 1 x x x 
DẠNG 2: CÁC BÀI TẬP DẠNG  0 , 0  1, Cách giải
- Dạng này ta áp dụng quy tắc L’Hospital f x f 'x - Quy tắc L’Hospital: lim  lim xx g x
xx g ' x 0   0  
- Có thể áp dụng L’Hospital nhiều lần để đưa biểu thức tính lim về dạng dễ tính 
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 3   2, Ví dụ Tính x 2x 5 lim 3 x 2
 x  9x  3 
 Thay x   vào ta thấy dạng => L’  3 L'     L’ 2 lần ta được x 2x 5 6x 6 1 lim  lim  lim  3 x 2
 x  9x  3 x 1  2x x 1  2 2 3, Bài tập
arctan 2x  2arctan x sin )lim ( 60) )lim x a K b (K59) 3 3 0 x 0 x x x e 1
DẠNG 3: CÁC BÀI TẬP DẠNG 0. 1, Cách giải  0 0 0.    - Ta có 1/  0 
=> đưa về được dạng 2   0.    1/ 0  - Cách làm tương tự 2, Ví dụ Tính  2 lim xln .arctan x   x   
 Thay x vào ta thấy dạng 0.
 Ta sẽ ưu tiên để ln trên tử để sử dụng L’ dễ dàng  2  1 1 ln .arctan x . 2  2     1 x arctan lim xln .arctan x  lim    lim x 1 x   x  x   x 1   2 x 2 x 2   lim  x  2
1 x arctan x  3, Bài tập   )lim tan x a ln2 x  b) lim ln . x ln        x  1 x 1   2 x 1  
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Dạng 4: Tính giới hạn bằng phương pháp thay thế vô cùng bé(VCB),
vô cùng lớn(VCL); ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp 1, Cách giải
- Phương pháp này rất quan trọng các bạn cần phải nắm vững sau này có thế áp
dụng cho rất nhiều bài tập.
- Một số VCB tương đương khi x  0 ( Học thuộc) x x a 1
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(x 1) ~ e 1~ lna 2 1 cos ~ x x
1 x 1~ x 2
- Quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL
+ VCB: Nếu f(x) bậc cao h(x) thì f (x)  g(x) ~ g(x) Làm ví dụ cho dễ hiểu 4 8    x x x x 1 lim  lim  8 x 0  2x  sin x x 0  2x 2
 Vì khi x  0thì 4 8
x  0 x  0 x  0 vì x bậc thấp nhất nên ta ngắt 4 8 x x
+ VCL: Ta ngắt bỏ ngược với VCB 4 4  Ví dụ: x 3x x 1 lim  lim  4 2 4
x 2x  x x 2x 2
2, Ví dụ dùng VCB tương đương Tính các giới hạn sau 3 x 2 sin x arctan x 2  1  e 1 )lim )lim ) lim 1  cos  )lim x a b c x d 3x 2 x 0  e  x 0  x  x x  x x 0 1 2   x tan x a) sin lim x 3 0 x x e 1
 Cách 1: Thay x  0 vào thấy dạng 0/0 => dùng L’
 Cách 2: Thay x  0 vào thấy 3 sin  0 x x
e 1  0 => sin x và 3x e 1 0 là 2 VCB  Vậy 3 sin ~ ; x x x e 1~ 3x  Nên sin x x 1 lim  lim  3 0 x x e  x0 1 3x 3
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 b) arctan lim x 2
x0 2x  x  Cách 1: ………
 Cách 2: Nhìn mẫu có tổng của 2 cái tiến tới 0 => Ngắt bỏ VCB trước  arctan x arctan lim  lim x 2
x0 x  x x 0 2  2x
 Thay x  0thấy arctan x  0 => arctan x là VCB
 arctan x ~ x  arctan x arctan x x 1 lim  lim  lim  2 x 0  x  x x0 2 2x x 0  2x 2
 => Nên ngắt bỏ VCB trước khi thay thế VCB c) 2  1 lim x 1 cos     x  x   Cách 1:……..
 Cách 2: câu này để ý một chút khi thay x   thì 1  0 x 2  1  2    Ta có 1 cos ~ X X
khi X  0 ở đây có 1   0 nên 1 1 cos ~  x   2 x x 2 2  1     2  1  2  x  1 lim x 1 cos  lim x    x  x x  2 2
 => VCB không nhất thiết phải là x nó có thể thay thế cả biểu thức nếu biểu
thức đó tiến tới 0 khi x  0 3 x 2   d) e 1 lim x x 0  x tan x  Cách 1:…….
 Cách 2: Ta thấy 3x
e 1 và tan x là 2 VCB có thể thay thế nhưng trên tử là 3 x 2
e 1 x về nguyên tắc chúng ta không thể thay thể VCB vào tổng được nên ta
tách làm 2 lim rồi thay thế VCB 3 3 x 2 x 2 3 2     e 1 x e 1 lim  lim  lim x
 lim x  lim x 1 x0 x tan x x 0
 x tan x x0 x tan x x0 . x x x0 . x x
 => Nếu muốn thay thế VCB vào tổng thì tách ra thành 2 lim 3, Chú ý
 Chỉ được thay thế VCB khi VCB đứng 1 mình hoặc trong tích nếu muốn thay vào
tổng phải tách thành 2 lim
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
 Không được thay VCB vào hiệu  VD: tan x sin lim x 3 x0 x  
+ Cách thay thế VCB trực tiếp tan x sin lim
x  lim x x  0 3 3 x0 x x0 x + Cách 2:  1   1  1 2 sin x 1  1 tan sin  cos x   cos x    1 cos x x x x 1 2 lim  lim  lim  lim  lim  3 3 2 2 2 x0 x x0 x x0 x x0 x x x0 cos x cos x 2
Vậy cách 1 sai sml ^^ 4, Bài tập arctan xln 2 1 2x  a)lim 3 x0 x x 2
2  x  ln x  4.3x b) lim 2
 x  x  2ln x  5.2x  2.3x x 2 3
x  sin x  tan x  arcsin x4 c)lim x 3 0
2x  3x  2arctan x2 2 3 4 . x sin 3 . x tan . x arcsin x sin3 . x sin 2 )lim )lim x d e 5 4 x sin 2 . x arcsin . x arctan 2x x x x 4 0 0 3
DẠNG 4: CÁC BÀI TẬP DẠNG  0 0 1 ,0 , 1, Cách giải a) Dạng 1 :
 Ta học thuộc công thức biến đổi sau lim vlnu u 1  lim v v u  e  u 1  v  Sau đó dùng VCB b) Dạng 0  và 0 0
 Ta học thuộc công thức biến đổi sau lim vlnu u v  v0 lim u  e u v0
 Sau đó dùng L’  Dạng 0 0 tương tự
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 2, Ví dụ 2x5 2x   Tính 2 x 2   1 a) lim b) lim 1       c)lim x x
x  x 1 x   x  5 x0  2x5 a)   x 2 lim   
x  x 1 
 Thay x   thấy dạng 1 lim vlnu u 1 
 Ốp công thức lim v v u  e  u 1  v 2x5   lim2x5 x 2 ln      lim2x5  1 ln1    x 2   x  x 1 x    x 1 lim  e    e  
x  x 1 
 Khi x  thấy 1  0 vậy  1 ln1   là 1 VCB x 1  x 1   2x5
 x   x2  x   1  2x5 lim 2 5 ln lim 2 5 ln 1       lim  x 2  x  x 1 x    x 1   x x 1  2 lim  e  e  e    e
x  x 1  
 Ta thấy sau khi thay thế VCB được 1 x 2 
1 nên dạng 1 có công thức x 1 x 1 lim vu  1 u 1 
giải nhanh lim v v u  e  u 1  v 2x b)  1 lim 1     x  x  5 
 Thay x   thấy dạng 1 2x 1 2 lim2x.
 Ốp công thức ta được  1  x x5 5 lim 1  e    e x  x  5  c) 2 lim x x x 0 
 Thay x  0thấy dạng 0 0
 Ốp công thức ta được 2 2 lim x ln x x  A x 0 lim x  e  e 1 x0  1 L' 3 2 ln
 lim ln  lim x lim x A x x  lim x  0 2  3 x 0 x 0 x x 0 2  x    x0 2  x
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 3, Bài tập 1 a   )lim x e  x1   x  x b)limtan x 2 2x 1 tan arcsin c)lim x   x0 x0
x0  1 sin x 
DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG NGUYÊN LÝ KẸP VÀ HÀM BỊ CHẶN 1, Cách giải
a) Nguyên lý kẹp có g(x)  f (x)  h(x)
Mà lim g(x)  lim h(x)  a  lim f (x)  a xx xx xx 0 0 0 b) Hàm bị chặn
Nếu hàm số f (x) bị chặn và lim g(x)  0 xx0
Thì lim f (x)g(x)  0 xx0 2, Ví dụ Tính 1 lim . x sin x0 x 1  sin 1  Ta có  1 x   lim . x sin  0 0 lim  0 x x x   x0 
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)