30 trang 5 lượt tải

Các Dạng Toán 9 Kết Nối Tri Thức Bài 17 Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn

9

Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm của chúng. Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 5: Đường tròn (KNTT) 5 tài liệu

Môn: Toán 9 3 K tài liệu

Sách: Kết nối tri thức

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

2 tuần trước
Danh sách Quiz
/30
Trang 1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC
1. Hai đường tròn cắt nhau
* Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm
chung đó gọi là hai giao điểm của chúng.
* Nhận xét: Hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
cắt nhau khi:
− +R R OO R R
(với
RR
)
2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau
* Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng
* Lưu ý: Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (hình a) và hai đường
tròn tiếp xúc trong (hình b)
* Nhận xét:
+ Hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
tiếp xúc ngoài khi

=+OO R R
và tiếp xúc trong khi

=−O O R R
(với
)
+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.
3. Hai đường tròn không giao nhau.
* Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau
* Lưu ý: Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn ngoài nhau (hình a) và đường tròn
này đựng đường tròn kia (hình b)
* Nhận xét:
+ Hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
ngoài nhau khi

+OO R R
+ Đường tròn
( )
;OR
đựng đường tròn
( )
;

OR
khi
RR
và

−O O R R
.
Đặc biệt khi
O
trùng với
O
và
RR
thì ta có hai đường tròn đồng tâm.
Trang 2
Ta có bảng tổng kết sau:
Vị trí tương đối của hai đường
tròn
( )
;OR
và
( )( )
'; O r R r
Số
điểm
chung
Hệ thức
Hình vẽ
Cắt nhau
2
'− +R r OO R r
Tiếp
xúc
Tiếp xúc trong
1
'0= − OO R r
Tiếp xúc ngoài
' =+OO R r
Không
cắt nhau
Ngoài nhau
0
' +OO R r
Đựng nhau
0' −OO R r
O'
O
R
r
O'
O
R
r
O'
O
r
R
O'
O
r
R
Trang 3
' OO O
3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó
a) Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài
b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung (hình vẽ
b)
c) Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có một tiếp tuyến chung (hình c)
d) Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong (hình
vẽ d)
e) Hai đường tròn chứa nhau không có tiếp tuyến chung
f) Hai đường tròn đồng tâm không có tiếp tuyến chung
Hình a
Hình
b
Hình c
Hình d
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn tròn hình chụp bộ cồng chiêng Tây
Nguyên.
Lời giải
Hình a) là hai đường tròn ngoài nhau
Hình b) là hai đường tròn tiếp xúc ngoài
O'
O
O'
O
O'
O
O'
O
O'
O
Trang 4
Hình c) là hai đường tròn ngoài nhau
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
trong mỗi trường hợp sau:
a)
12
=OO
;
5=R
;
3
=R
b)
8
=OO
;
5=R
;
3
=R
c)
7
=OO
;
5=R
;
3
=R
d)
0
=OO
;
5=R
;
4
=R
Lời giải
a) Ta có
12 5 3+
nên

+O O R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
ở ngoài
nhau.
b) Ta có
8 5 3=+
nên

=+O O R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
tiếp xúc
ngoài.
c) Ta có
5 3 7 5 3− +
nên
− +R R OO R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
cắt nhau
d) Ta có
05
nên

−OO R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;OR
đựng đường tròn
( )
;

OR
.
Bài 3: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn
( )
;IR
và
( )
;
JR
trong mỗi trường hợp sau:
a)
5=IJ
;
3=R
;
2
=R
b)
4=IJ
;
;
7
=R
c)
6=IJ
;
9=R
;
4
=R
d)
10=IJ
;
4=R
;
1
=R
Lời giải
a) Ta có
5 3 2=+
nên

=+IJ R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;IR
và
( )
;
JR
tiếp xúc ngoài.
b) Ta có
4 11 7=−
nên

=−IJ R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;IR
và
( )
;
JR
tiếp xúc trong.
c) Ta có
9 4 6 9 4− +
nên
− +R R IJ R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;IR
và
( )
;
JR
cắt
nhau
d) Ta có
10 4 1+
nên

+IJ R R
, suy ra hai đường tròn
( )
;IR
và
( )
;
JR
ở ngoài nhau.
Bài 4: Cho hai điểm
O
và O\prime sao cho
5cm
=OO
. Hãy giải thích tại sao hai đường tròn
( )
;4cmO
và
( )
;3cm
O
cắt nhau.
Lời giải
Đặt
4cm=R
,
3cm
=R
. Ta thấy
1cm 5cm<7cm
, nên
− +R R OO R R
Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau
Bài 5: Cho đường tròn
( )
;5cmO
và điểm
I
cách
O
một khoảng
2cm
. Xác định vị trí tương đối
của đường tròn đã cho và đường tròn
( )
;Ir
trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải
a) Đặt
5cm=R
, ta thấy
1cm 2cm<9cm
, nên
− +R r OI R r
Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau
b) Đặt
5cm=R
, ta thấy
1cm 2cm 11cm
, nên
− +R r OI R r
Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau.
Bài 6: Cho hai đường tròn
( )
;4cmO
và
( )
;3cm
O
. Biết rằng
5cm
=OO
. Xét vị trí tương đối của
hai đường tròn đó.
Trang 5
Lời giải
Ta thấy bán kính của hai đường tròn
( )
O
và
( )
O
lần lượt là
4cm=R
;
3cm=r
Do
4 3 1− = − =Rr
;
4 3 7cm+ = + =Rr
và
1 5 7
nên
− +R r OO R r
Vậy hai đường tròn
( )
;4cmO
và
( )
;3cm
O
cắt nhau.
Bài 7: Cho hai đường tròn
( )
;14cmO
;
( )
;5cmO
với
8cm
=OO
. Hỏi hai đường tròn đó có cắt
nhau hay không?
Lời giải
Ta thấy bán kính của hai đường tròn
( )
O
và
( )
O
lần lượt là
14cm=R
;
5cm=r
Do
14 5 9− = − =Rr
;
14 5 19cm+ = + =Rr
và
8 9 14
Vậy hai đường tròn
( )
;14cmO
và
( )
;5cm
O
không cắt nhau.
Bài 8: Cho hai điểm
O
và
O
sao cho
5cm
=OO
. Giải thích tại sao hai đường tròn
( )
;3cmO
và
( )
;2cm
O
tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?
Lời giải
Đặt
3cm=R
,
2cm
=R
ta thấy
5cm 2cm 3cm=+
, nghĩa là

=+OO R R
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài với nhau.
Bài 9: Cho hai điểm
O
và
O
sao cho
3cm
=OO
. Giải thích tại sao hai đường tròn
( )
;8cmO
và
( )
;5cm
O
tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?
Lời giải
Đặt
8cm=R
,
5cm
=R
ta thấy
3cm 8cm 5cm=−
, nghĩa là

=−O O R R
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.
Bài 10: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
( )
;3cmO
và
( )
;5cm
O
biết
8cm
OO
Lời giải
Đặt
3cm=R
,
5cm
=R
ta có
8cm

= +OO R R
Vậy hai đường tròn đã cho là hai đường tròn ngoài nhau.
Bài 11: Cho hai điểm
O
và
O
sao cho
2cm
=OO
. Xác định vị trí tương đối cảu hai đường tròn
( )
;5cmO
và
( )
;
Or
biết rằng
3cmr
.
Lời giải
Đặt
3cm=R
, vì
3r
nên
5 5 3 2
− = − − = =R r r OO
Vậy đường tròn
( )
;5cmO
đừng đường tròn
( )
;
Or
.
Bài 12: Cho đường tròn tâm
O
, bán kính
R
. Lấy điểm
A
tùy ý trên
( )
O
. Vẽ đường tròn đường
kính
OA
. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Lời giải
Gọi
O
là tâm đường tròn đường kính
OA
. Ta có
O
là trung điểm của
OA
và bán kính
đường tròn
( )
O
là
22
==
OA R
R
.
Độ dài đoạn nối tâm
22
= = =
OA R
d OO
Trang 6
Ta có
2
−==
R
R R d
nên
( )
O
và
( )
O
tiếp xúc trong tại
A
.
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hai điểm
( )
1;1−A
và
( )
3;0B
. Vẽ các đường tròn
( )
;Ar
và
( )
;
Br
. Khi
3=r
và
1
=r
, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Lời giải
Độ dài đoạn nối tâm
( )
2
2
3 1 1 17= = + + =d AB
(1)
Tổng hai bán kính
3 1 4
+ = + =rr
(2)
Từ (1) và (2) ta thấy
17 4
nên hai đường tròn không giao nhau
Hai đường tròn
( )
A
và
( )
B
nằm ngoài nhau.
Bài 14: Cho
ABC
có
( )
, 90BC
, đường cao
AH
. Từ
H
kẻ
HK
vuông góc với
AB
tại
K
,
HI
vuông góc với
AC
tại
I
. Xác định vị trí tương đối của đường tròn ngoại tiếp tam
giác
BHK
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
CHI
.
Lời giải
+ Trường hợp 1:
Xét
ABC
có
90B
và
90C
.
Gọi
12
,OO
lần lượt là trung điểm của
BH
và
CH
Vì
BHK
vuông tại
K
,
1
O
là trung điểm của cạnh huyền
BH
nên
1 1 1 1
1
2
= = = =KO BO HO BH R
1 2 1 2 1 2
+ = + =R R HO HO O O
nên
( )
11
;OR
tiếp xúc ngoài tại
H
với
( )
22
;OR
+ Trường hợp 2:
Xét
ABC
có
90=B
(hoặc
90C
)
Tương tự trường hợp
1
ta có:
1 2 1 2
=−O O R R
nên
( )
11
;OR
tiếp xúc trong tại
H
với
( )
22
;OR
.
Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau
I. Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường
hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau
=ABH ANH
II. Bài toán
Bài 1: Cho đường tròn
( )
O
và
( )
'O
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC
với
B
thuộc
( )
O
,
C
thuộc
( )
'O
. Tiếp tuyến chung trong tại
A
cắt tiếp tuyến chung ngoài
BC
ở
I
Trang 7
a. Vẽ đường kính
BOD
và
'CO E
. Chứng minh các bộ ba điểm
,,B A E
và
,,C A D
thẳng
hàng
b. Chứng minh
,BAC DAE
có diện tích bằng nhau
c. Gọi
K
là trung điểm của
DE
. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
'OKO
tiếp xúc với
BC
d. Cho
4,5 ; ' 2==OA cm O A cm
. Tính
,,AI BC CA
Lời giải
a. Xét
ABC
, có
= = BI IC AI ABC
vuông tại
0
90=A BAC
Lại có:
0
90= = BAD CAE
đpcm
b. Ta có:
( )
.. = =
ABC DAE
BAD EAC gg AD AE AB AC S S#
c. Có
'OIO K
là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)
Vậy đường tròn ngoại tiếp
'OKO
chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, có đường
kính là
IK
mà:
⊥IK BC I
d. Ta có:
2
. ' 4,5.2 9 3= = = =AI OAO A AI cm
Xét
0
2 2 2
1 1 1 1 1 5
( 90 ) 2,68
9 36 36
= = + = + = =BCD B AB cm
AB BC BD
Xét
0 2 2 2 2 2 2
( 90 ) 36 7,2 5,4 = = + = − = − =ABC A BC AB AC CA BC AB AC cm
Bài 2: Cho hai đường tròn
và
( )
';Or
tiếp xúc ngoài với nhau tại
A
. Vẽ tiếp tuyến chung
ngoài
BC
với
( ) ( )
,'B O C O
. Đường thẳng vuông góc với
'OO
kẻ từ
A
cắt
BC
ở
M
a) Tính
MA
theo
R
và
r
b) Tính diện tích tứ giác
'BCO O
theo
R
và
r
c) Tính diện tích
theo
R
và
r
d) Gọi
I
là trung điểm của
'OO
. Chứng minh rằng
BC
là tiếp tuyến của đường tròn
( )
;I IM
Lời giải
a) Chứng minh được:
0
' 90=O MO
Aps dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được:
=MA Rr
I
O'
O
C
D
E
K
B
M
B
C
O'
A
I
O
Trang 8
b) Chứng minh
( )
'
=+
BCOO
S R r Rr
c) Chứng minh được:
( )
2
2
'
2
'
.
4
'
'
'

= = =

+

BAC OMO
ABC
OMO
S S BC
BC Rr Rr
BAC OMO S
S OO R r
OO
#
d) Tứ giác
'OBCO
là hình thang vuông tại
B
và
C
có
IM
là đường trung bình
⊥ =IM BC M
Bài 3: Cho hai đường tròn
( )
O
và
( )
'O
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ các đường kính
AOB
,
'AO C
.
Gọi
DE
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Gọi
M
là giao điểm của
BD
và
CE
a. Tính
DAE
b.
ADME
là hình gì ? Vì sao ?
c. Chứng minh rằng
MA
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
d. Chứng minh:
..=MD MB ME MC
e. Gọi
H
là trung điểm của
BC
, chứng minh rằng
⊥MH DE
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
0
11
00
12
0
22
180 : 2
90 90
180 : 2
=−
+ = =
=−
AO
A A DAE
AO
b) Có
ADME
là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật)
c) Gọi
I
là giao điểm của
DE
và
=AM ID IA
0
( ) 90 ( ) = = = ⊥ IAO IDO ccc IAO IDO MA OA A O
Chứng minh tương tự:
' ( ')⊥ MA O A A O
Vậy
MA
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
d. Ta có:
02
( 90 ), . = ⊥ =MAB A AD MB MA MD MB
02
( 90 ), . . . = ⊥ = =MAC A AE MC MA ME MC MB MD ME MC
e)
0
111
90+ = + = ⊥M D B BMA MH DE
Bài 4: Cho ba điểm
, , 'JIJ
cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết
10cm=IJ
,
'4=IJ CM
. Vẽ đường tròn
( )
O
đường kính
IJ
và đường tròn
( )
'O
đường kính
'IJ
a. Chứng minh
( )
O
và
( )
'O
tiếp xúc ngoài ở
I
b. Gọi
A
là 1 điểm trên đường tròn
( )
O
, tia
AI
cắt
( )
'O
ở
'A
. Chứng minh rằng
''AIJ A IJ#
c. Qua điểm
I
kẻ 1 cát tuyến cắt
( )
O
ở
B
(
B
và
A
thuộc hai nửa mặt phẳng bờ
IJ
), cắt
đường tròn
( )
'O
ở
'B
. Chứng minh:
''IAB IA B#
1
2
2
1
1
1
I
M
D
E
C
O'
A
H
O
B
Trang 9
d. Chứng minh rằng:
; ' 'OAB O A B#
e.
''ABA B
là hình gì vì sao ?
Lời giải
a) Ta có:
''=+OO OI O I
. Vậy Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại
I
b) Xét
AIJ
và
''A IJ
có:
0
12
' 90
''
==
=
AA
AII A IJ
II
#
c)
( ) ( )
10 5
' ' 1
' ' 4 2
= = =
IA IJ
AII A IJ gg
IA JI
#
( ) ( )
'
11
5
' ' / / ' ' 2
' ' ' 2
= = =
IB OB
OIB O IB gg OB O B B B
IB O B
#
Từ
( )( )
5
1 2 ; ' ' '
' ' 2
= = =
IA IB
AIB A IB IAB IA B
IA IB
#
(cgc)
d)
( )
'' cgcIAB IA B”
55
;
' ' ' 2 ' ' ' ' 2
= = = =
AB IA OA OB
A B IA O A O B
' ' '
' ' ' ' ' '
= =
OA OB AB
AOB A O B
O A O B A B
”
(ccc)
e)
' ' ' ' ' '; ' ' ' = =AOB A O B OBA O B A OBI O B I#
' ' ' '// = ABI AB I AB A B
Tứ giác
''ABA B
có hai cạnh đối song song vậy là hình thang.
Bài 5: Cho 3 điểm
,,A B C
theo thứ tự đó trên một đường thẳng và
4=AB BC
. Trên cùng một nửa
măt phẳng bờ
AC
vẽ nửa đường tròn tâm
O
đường kính
AB
và nửa đường tròn tâm
'O
có
đường kính
BC
. Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn có tiếp điểm với đường tròn
( )
O
ở
F
với nửa đường tròn
( )
'O
ở
G
, cắt các tiếp tuyến vẽ từ
A
và
C
của hai nửa
đường tròn đó ở
D
và
E
. Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn ở
B
cắt
DE
ở
I
a. Chứng minh các tam giác
'OIO
,
OID
,
'O IE
là các tam giác vuông
b. Đặt
' =O C a
(a là độ dài cho trước). Tính
,BI EG
và
AD
theo a
c. Tính diện tích tứ giác
ADEC
theo
a
Lời giải
4
3
2
1
J'
I
J
O'
O
B'
A'
B
A
E
G
F
D
C
O'
B
O
A
I
Trang 10
a. Theo tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù ta có:
'IOO
vuông tại
I
,
OID
vuông tại
,'O IO E
vuông tại
'O
b. Ta có:
24==OB BC a
0
'( 90 ) ' = ⊥IOO I IB OO
22
. ' 4 2 = = =IB OB O B a IB a
( )
22
02
'
' ( ' 90 ) ' . 2 8
22
= = = = = = = = =
O G a a
IO E O O G EG GI GE IG IB IF a AD a
GI a
c) Ta có:
2
11
( ). 8 10 42,5
2 2 2

= + = + =


ACED
a
S EC AD AC a a a
.
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn cắt nhau
I. Cách giải : Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường
hợp hai đường tròn cắt nhau
II. Bài toán
Bài 1: Cho hai đường tròn
( )
;12cmO
và
( )
';5cmO
,
' 13cm=OO
a) Chứng tỏ rằng hai đưuòng tròn
( )
O
và
( )
'O
cắt nhua tại hai điểm phân biệt
Trang 11
b) Gọi
,AB
là giao điểm của hai đường tròn
( )
O
và
( )
'O
. Chứng minh rằng
OA
là tiếp
tuyến của đường tròn
( )
'O
,
OA
là tiếp tuyến của đường tròn
( )
O
. Tính độ dài
AB
Lời giải
a) Ta có:
( )
12 5 13 12 5 ' '− + − +R R d R R
nên hai đường tròn
( )
O
và
( )
'O
cắt nhau
tại hai điểm phân biệt
b)
2 2 2 2 2 2
' 12 5 169; ' 13 169+ = + = = =OA O A O O
'OAO
có:
2 2 2
''+=OA O A O O
, theo định lý Pytago đảo tam giác
'OAO
vuông tại
A
Có
'⊥OA O A
do đó
OA
là tiếp tuyến của đường tròn
( )
'O
và
'OA
là tiếp tuyến của
đường tròn
( )
O
'OO
là đường trung trực của đoạn
AB
Gọi
H
là giao điểm của
'OO
và
AB
nên
( )
. ' 12.5 60
. ' . ' cm
' 13 13
= = = =
OAO A
AH O O OAO A AH
OO
Vậy
( )
120
2 cm
13
==AB AH
.
Bài 2: Cho hai đường tròn
( )
O
và
( )
'O
cắt nhau ở
A
và
B
(
O
và
'O
thuộc hai nửa mặt phẳng bờ
AB
). Kẻ các đường kính
BOC
và
'BO D
a. Chứng minh rằng ba điểm
,,C A D
thẳng hàng
b. Biết
' 5cm, 4cm, ' 3cm= = =OO OB O B
. Tính diện tích tam giác
BCD
Lời giải
a. Cách 1:
1
( ) 90
2
= = = BAC AO BC BAC BAD
đpcm
Cách 2:
BCD
có
'OO
là đường trung bình
( )
'/ / 1 OO CD
ABC
có
OI
là đường trung bình
( )
'/ / 2 OO CA
Từ
( )( )
1 2 , , C A D
thẳng hàng.
b) Ta có:
'OBO
vuông tại
B BCD
vuông tại
B
2
11
. . .8.6 24(cm )
22
= = =
BCD
S BC BD
H
B
O'
O
A
O'
B
O
D
A
C
Trang 12
Bài 3: Cho hai đường tròn
( )
O
và
( )
'O
giao nhau tại
M
và
N
. Gọi
I
là trung điểm của
'OO
.
Đường thẳng kẻ qua
M
vuông góc
MI
cắt đường tròn
( )
O
và
( )
'O
lần lượt ở
A
và
B
.
Hai đường thẳng vuông góc với
AB
tại
A
và
B
cắt đường tròn
( )
O
ở
P
,
( )
'O
ở
Q
a. Chứng minh rằng
M
là trung điểm của
AB
b.
MI
cắt
PQ
ở
E
, chứng minh:
=EP EQ
c. Chứng minh:
=IH IK
Lời giải
a. Kẻ:
; ' / / '⊥ ⊥ OH AM O K MB OH O K
Tứ giác
'HKOO
là hình thang,
//
/ / '
⊥ =
MI OH
MI AB MH MK
IO IO
Ta lại có:
⊥ = = = OH AM HA HM MK KB
đpcm
b. Ta có
ME
là đường trung bình của hình thang
=ABQP EP EQ
c. Xét
HIK
, có
IM
là đường trung tuyến, đường cao
HIK
cân tại
I
(đpcm).
Bài 4: Cho hai đường tròn
( )
O
và
( )
'O
cắt nhau tại
A
và
B
. Gọi
M
là trung điểm của
'OO
.
Đường thẳng qua
A
cắt các đường tròn
( )
O
và
( )
'O
lần lượt ở
C
và
D
a. Khi
⊥CD AB
. Chứng minh:
=AC AD
b. Khi
CD
đi qua
A
và không vuông góc với
MA
- Vẽ đường kính
AE
của
( )
O
,
AE
cắt
( )
'O
ở
H
. Vẽ đường kính
AF
của
( )
'O
,
AF
cắt
( )
O
ở
G
. Chứng minh
,,AB EG FH
đồng quy
- Tìm vị trí của
CD
để đoạn
CD
có độ dài lớn nhất
Lời giải
Vẽ
; ' '⊥ ⊥ OP AC O Q AD OPO Q
là hình thang vuông tại
P
và
Q
a. Kẻ
,'⊥ ⊥OP O Q CD MA CD
và
M
là trung điểm của
'OO
b. Xét
EAF
có
,,AB FG EH
là ba đường cao nên đồng quy tại 1 điểm .
+) Ta có:
2=CD PQ
Hình thang
'OPQO
vuông tại
P
và
Q
nên
' OO PQ
Q
N
E
P
O'
I
O
K
H
B
M
A
G
F
H
E
D
C
B
A
M
O'
O
Trang 13
Vậy
PQ
lớn nhất khi
/ / 'PQ OO
hay tứ giác
'OPQO
là hình chữ nhật.
Bài 5: Cho góc vuông
xOy
. Lấy các điểm
I
và
K
lần lượt trên các tia
,Ox Oy
. Đường tròn
( )
;I OK
cắt tia
Ox
tại
M
(
I
nằm giữa
O
và
M
), đường tròn
( )
;K OI
cắt tia
Oy
tại
N
(
K
nằm giữa
O
và
N
)
a. Chứng minh
( )
I
và
( )
K
luôn cắt nhau
b. Tiếp tuyến tại
M
của
( )
I
, tiếp tuyến tại
N
của
( )
K
cắt nhau tại
C
. Chứng minh tứ giác
OMCN
là hình vuông
c. Gọi
,AB
là các giao điểm của
( )
I
và
( )
K
trong đó
B
ở miền trong góc
xOy
. Chứng
minh ba điểm
,,A B C
thẳng hàng
d. Giả sử
I
và
K
theo thứ tự đi động trên các tia
Ox
và
Oy
sao cho
+=OI OK a
không
đổi. Chứng minh đường thẳng
AB
luôn đi qua
một điểm cố định.
Lời giải
a)
− +OI OK IK OI OK
Ta có
( )
I
và
( )
K
luôn cắt nhau
b. Do
;= = =OI NK OK IM OM ON
Mặt khác
OMCN
là hình chữ nhật
OMCN
là
hình vuông
c. Gọi
L
là giao điểm của
KB
và
MC
;
P
là
giao điểm của
IB
và
NC OBKI
là hình chữ
nhật và
là hình vuông
= = =BLC KIO LBC OKI BIK
Mà:
00
90 90+ = + =BIK IBA LBC IBA
, có:
0
180+ + =LBC LBI IBA
d) Có
OMCN
là hình vuông cạnh a cố định
C
cố định và
AB
luôn đi qua
C
.
I
L
P
K
M
C
N
O
B
A
Trang 14
Dạng 3: Các bài toán về hai đường tròn không cắt nhau
I. Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường
hợp hai đường tròn không giao nhau
II. Bài toán
Bài 1: Cho hai đường tròn đồng tâm
O
, có bán kính lần lượt là
R
và
r
. Dây
MN
của đường tròn
lớn cắt đường tròn nhỏ tại
A
và
B
. Gọi
BC
là đường
kính của đường tròn nhỏ. Tính giá trị của biểu thức
( )
2 2 2
++AC AM AN
theo
R
và
r
Lời giải
Kẻ
;⊥⊥OE AB OF AC
. Đặt
,,= = =AC a AM b AN c
Ta có:
2 2 2 2
22
;
2 2 2 2
−+
= + = +
a c b a c b
rR
Chứng minh được:
( )
2 2 2 2 2
2+ + = +a b c r R
Bài 2: Cho hai đường tròn
và
( )
';Or
ở ngoài nhau.
Gọi
MN
là tiếp tuyến chung ngoài,
EF
Là tiếp tuyến chung trong (
M
và
E
thuộc
( )
O
,
N
và
F
thuộc
( )
;O
). Tính bán kính của
đường tròn
( )
O
và
( )
'O
trong các trường hợp sau:
a)
' 10cm, 8cm, 6cm= = =OO MN EF
b)
' 13cm, 12cm, 5cm= = =OO MN EF
Lời giải
a) Kẻ
' ; '⊥⊥O H OM OK O F
Ta có:
;'= − = +OH R r O K R r
,
mà
2 2 2 2 2 2
' 36; ' ' 64= − = = − =OH O O MN O K O O EF
6; ' 8 7cm; 1cm = = = =OH O K R r
b) Tương tự tính được:
17
cm
2
=R
,
7
cm
2
=r
Bài 3: Cho hai đường tròn
( )
;6O cm
và
( )
';2O cm
nằm ngoài nhau. Gọi
AB
là tiếp tuyến chung
ngoài,
CD
là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (
( ) ( )
, ; , 'A C O B D O
). Biết
2=AB CD
, tính độ dài đoạn nối tâm
'OO
Lời giải
a) Kẻ
' ; '⊥⊥O H OA O K OC
Tính được:
4 , 8==OH cm OK cm
,
Đặt
22
2 ; ' 64= = = +CD x AB x O O x
và
22
' 16 4 4 ' 80cm= + = =O O x x OO
.
Bài 4: Cho hai đường tròn
( )
O
và
( )
'O
nằm
ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB
và
CD
(
( ) ( )
, ; , 'A C O B D O
). Tiếp
F
E
R
O
C
N
B
A
M
H
O
E
K
O'
N
M
O'
K
C
O
H
D
B
A
B
O'
D
F
N
C
O
M
E
A
Trang 15
tuyến chung trong
MN
cắt
,AB C D
theo thứ tự tại
,EF
,
( ) ( )
( )
,'M O N O
. Chứng minh:
a)
=AB EF
b)
=EM FN
Lời giải
a) Ta có:
= + = +AB AE BE EM EN
và
= + = +CD FD FC NF NE
2 + = =AB CD EF AB EF
b) Ta có:
= − = − =EM AB EB EF EN NF
.
Dạng 4: Chứng minh các tính chất về hệ thức hình học
Bài 1: Cho hai đường tròn
và
( )
;

OR
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC
,
( )
BO
,
( )
CO
. Tiếp tuyến chung trong tại
A
cắt tiếp tuyến chung ngoài
BC
tại
I
. Chứng minh rằng:
a)
90
=OIO
b)
2
=BC RR
Lời giải
Trang 16
a) Ta có
IB
,
IA
là hai tiếp tuyến của
()O
nên
12
=II
IC
,
IA
là hai tiếp tuyến của
( )
O
nên
34
=II
Suy ra
34
180 : 2 90
= + = = OIO I I
b) Ta có
IB
,
IA
là hai tiếp tuyến của
()O
nên
=IB IA
và
⊥IA OA
với
IC
,
IA
là hai tiếp
tuyến của
( )
O
nên
=IC IA
và
⊥IA O A
. Suy ra
==IA IB IC
Ba điểm
,,
O A O
thẳng hàng và
⊥IA OO
.
Áp dụng hệ thức
2

=h b c
vào tam giác vuông
OIO
Ta có
2

= = IA OA O A IA R R
Mặt khác
2= + =BC IB IC IA
nên
2
=BC R R
Bài 2: Cho hai đường tròn
( )
O
và
( )
O
cắt nhau tại
A
và
B
, trong đó O\prime nằm trên đường
tròn
( )
O
. Kẻ đường kính
OC
của đường tròn
( )
O
.
a) Chứng minh rằng
CA
,
CB
là hai tiếp tuyến của
( )
O
b) Đường vuông góc với
AO
cắt
CB
tại
I
. Đường vuông góc với
AC
tại
C
cắt đường
thẳng
OB
ở
K
. Chứng minh rằng ba điểm
O
,
I
,
K
thẳng hàng.
Lời giải
a) Tam giác
CAO
có đường trung tuyến
AO
ứng với cạnh
CO
bằng nửa cạnh
CO
nên
90
=CAO
Mà
( )
AO
nên
CA
là tiếp tuyến của
( )
O
tại
A
Tương tự ta có
CB
là tiếp tuyến của
( )
O
.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì
12
=CC
(1)
Trang 17
Ta có
//
CA IO
(cùng vuông góc với
OA
) nên
11
=CO
(2)
Từ
(1)
và
(2)
suy ra
21
=CO
. Do đó,
=IC IO
(3)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì
2

=CO B O
Mặt khác
//
CK AO
(cùng vuông góc với
)AC
nên
2
=OCK O
Suy ra

=CO B O CK
. Do đó
=KC KO
(4)
Mà
=OC OO
(vì
O
,
C
cùng thuộc
( )
O
)
(5)
Từ
(3)
,
(4)
,
(5)
suy ra
,,O I K
cùng thuộc đường trung trực của
CO
Vậy ba điểm
O
,
I
,
K
thẳng hàng.
Bài 3: Cho hai đường tròn
( )
11
;OR
và
( )
22
;OR
(với
12
RR
) tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ các tiếp
tuyến chung ngoài
BC
và
DE
(với
B
,
D
thuộc
( )
1
O
;
,CE
thuộc
( )
2
O
). Chứng minh
rằng:
+ = +BC DE BD CE
Lời giải
Vẽ tiếp tuyến chung tại
A
lần lượt cắt
BC
,
DE
tại
M
và
N
. Vì
MA
,
MB
là tiếp tuyến
của
( )
1
O
nên
=MA MB
.
Vì
,MA MC
là tiếp tuyến của
( )
2
O
nên
= = =MA MC MA MB MC
Chứng minh tương tự ta có
2= = + =NA N D NE BC DE MN
( )
1
Gọi giao điểm của
BC
và
DE
là
K
, khi đó
K
thuộc đường thẳng
12
OO
=KB KD
(tính
chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà
1 1 1
==O B O D R
nên
1
OK
là trung trực của đoạn
BC
suy ra
12
⊥O O BD
Chứng minh tương tự ta được
12
⊥O O CE
Suy ra tứ giác
BCDE
là hình thang
( )
//BD CE
Vì
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
BC
và
DE
nên
2 =+MN BD CE
( )
2
Từ
(1)
và
(2)
suy ra
+ = +BC DE BD CE
.
Bài 4: Cho hai đường tròn
( )
1
O
và
( )
2
O
ngoài nhau. Vẽ các tiếp tuyến chung ngoài
AB
và
CD
(với
A
,
D
thuộc
( )
1
O
;
B
,
C
thuộc
( )
2
O
). Nối
AC
với
( )
1
O
tại
;M
cắt
( )
2
O
tại
N
với
( )
,M A N C
. Chứng minh rằng
=AM NC
.
Lời giải
Trang 18
Vẽ đường trung trực
d
của đoạn
AB
,
d
cắt
12
OO
tại
I
. Khi đó
=IA IB
Ta có
B
và
C
đối xứng nhau qua
12
OO
nên
= =IB IC IA IC
Kẻ
⊥IH AC
tại
K
,
2
⊥O G AC
tại
G
12
// // O K IH O G
Xét hình thang
21
ABO O
(vì
12
//O A O G
do cùng vuông góc với
)AB
Ta có
12
// //d O A O B
và
d
đi qua trung điểm của
AB
nên
d
đi qua trung điểm của
12
OO
hay
I
là trung điểm của
12
OO
Xét hình thang
21
KGO O
có
12
// //IH O K O G
và
I
là trung điểm của
12
OO
nên
H
là trung
điểm của
KG
= − = −HK HG HA HK HC HG
hay
22= = =AG GC AK CG AM AN
* Lưu ý: Trong bài toán ta đã sử dụng tính chất đường thẳng song song với hai đáy của
hình thang và đi qua trung điểm của một đường chéo thì đi qua trung điểm của đường chéo
còn lại.
Dạng 5: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Trong hình vẽ, cho hai đường tròn đồng tâm
O
. Cho biết
BC
là đường kính của đường
tròn lớn và độ dài bằng 8. Dây
CD
là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và
30=BCD
. Hãy
tính bán kính của đường tròn nhỏ.
Lời giải
Ta có
8=BC
nên bán kính đường tròn lớn là
4=OC
.
Vì
CD
là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ, nên
⊥CD OM
Do đó
1
sin30 4 2
2
= = =OM OC
.
Bài 2: Cho hai đường tròn
( )
;OR
và
( )
;

OR
cắt nhua tại
M
và
N
. Biết
24cm
=OO
,
10cm=MN
. Tính
R
.
Lời giải
Trang 19
Gọi giao điểm của
OO
và
MN
là
I
.
Vì

= = = =OM ON O M O N R
nên tứ giác
OMO N
là hình thoi
Suy ra
⊥OO MN
tại điểm
I
là trung điểm của mỗi đoạn
OO
và
MN
Do đó
1
5cm
2
==IM MN
,
1
12cm
2
==IO OO
Áp dụng định lí pythagore vào tam giác
MIO
, ta có:
2 2 2 2
5 12 13cm= = + = + =R OM IM IO
Vậy
13cm=R
.
Bài 3: Cho hai đường tròn
và
( )
;

OR
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN
với
M
thuộc
( )
O
,
N
thuộc
( )
O
. Biết
9cm=R
,
4cm
=R
. Tính độ dài đoạn
MN
.
Lời giải
Ta có
9 4 13cm

= + = + =OO OA O A
Kẻ
⊥OH OM
tại
H
tứ giác
O NMH
là hình chữ nhật
4cm
= =MH O N
;
=MN O H
9 4 5cm = − = − =OH OM MH
Áp dụng định lí pythagore vào
OO H
, ta có:
( )
2 2 2 2
13 5 12 cm

= = − = − =MN O H OO OH
Vậy
( )
12 cm=MN
.
Bài 4: Cho hai đường tròn
( )
;3cmO
và
( )
;4cm
O
cắt nhau tại
A
và
B
. Qua
A
kẻ một cát tuyến
cắt
()O
tại
M
(với
MA
), cắt
( )
O
tại
N
(
NA
). Nếu
5cm
=OO
. Hãy tính giá trị lớn
nhất của
MN
.
Lời giải
Trang 20
Kẻ
⊥OH AM
tại
H
,
⊥O K AN
tại
K
và
⊥OI O K
tại
I
=HM HA
,
=KA KN
và tứ giác
HOIK
là hình chữ nhật
2=MN HK
và
=KH OI
Ta có
OI OO
(đường vuông góc và đường xiên)
2 2 2 10cm
= = =MN HK OI OO
Dấu “=” xảy ra
//
= OI OO I O d OO
Vậy giá trị lớn nhất của
MN
bằng
10cm
khi cát tuyến
d
song song với
OO
.

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC
1. Hai đường tròn cắt nhau
* Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm
chung đó gọi là hai giao điểm của chúng.
* Nhận xét: Hai đường tròn (O; R) và (O ; R) cắt nhau khi:
R − R  OO  R + R (với R R)
2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau
* Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng
* Lưu ý: Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (hình a) và hai đường
tròn tiếp xúc trong (hình b) * Nhận xét:
+ Hai đường tròn (O; R) và (O ; R) tiếp xúc ngoài khi OO = R + R và tiếp xúc trong khi
OO = R − R (với R R)
+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.
3. Hai đường tròn không giao nhau.
* Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau
* Lưu ý: Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn ngoài nhau (hình a) và đường tròn
này đựng đường tròn kia (hình b) * Nhận xét:
+ Hai đường tròn (O; R) và (O ; R) ngoài nhau khi OO  R + R
+ Đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O ; R) khi R R và OO  R − R .
Đặc biệt khi O trùng với O và R R thì ta có hai đường tròn đồng tâm. Trang 1
Ta có bảng tổng kết sau:
Vị trí tương đối của hai đường Số Hệ thức Hình vẽ
tròn (O; R) và (O ';r)(R r) điểm chung Cắt nhau 2
R − r OO '  R + r R r O O' Tiếp Tiếp xúc trong 1
OO ' = R − r  0 xúc R O O' r Tiếp xúc ngoài
OO ' = R + r R r O O' Không Ngoài nhau 0
OO '  R + r cắt nhau R r Đựng nhau
0  OO '  R − r O O' Trang 2 OO '  O O' O
3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó
a) Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài
b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung (hình vẽ b)
c) Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có một tiếp tuyến chung (hình c)
d) Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong (hình vẽ d)
e) Hai đường tròn chứa nhau không có tiếp tuyến chung
f) Hai đường tròn đồng tâm không có tiếp tuyến chung O O' O O' Hình a Hình b O O' O O' Hình c Hình d B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn tròn hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên. Lời giải
Hình a) là hai đường tròn ngoài nhau
Hình b) là hai đường tròn tiếp xúc ngoài Trang 3
Hình c) là hai đường tròn ngoài nhau
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O ; R) trong mỗi trường hợp sau:
a) OO = 12 ; R = 5 ; R = 3
b) OO = 8 ; R = 5 ; R = 3
c) OO = 7 ; R = 5 ; R = 3
d) OO = 0 ; R = 5 ; R = 4 Lời giải
a) Ta có 12  5 + 3 nên OO  R + R , suy ra hai đường tròn (O; R) và (O ; R) ở ngoài nhau.
b) Ta có 8 = 5 + 3 nên OO = R + R , suy ra hai đường tròn (O; R) và (O ; R) tiếp xúc ngoài.
c) Ta có 5 − 3  7  5 + 3 nên R − R  OO  R + R , suy ra hai đường tròn (O; R) và (O ; R) cắt nhau
d) Ta có 0  5 nên OO  R − R , suy ra hai đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O ; R) .
Bài 3: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn (I; R) và ( J; R) trong mỗi trường hợp sau:
a) IJ = 5; R = 3 ; R = 2
b) IJ = 4 ; R = 11 ; R = 7
c) IJ = 6 ; R = 9 ; R = 4
d) IJ = 10 ; R = 4 ; R = 1 Lời giải
a) Ta có 5 = 3 + 2 nên IJ = R + R , suy ra hai đường tròn (I; R) và ( J; R) tiếp xúc ngoài.
b) Ta có 4 =11− 7 nên IJ = R − R , suy ra hai đường tròn (I; R) và ( J; R) tiếp xúc trong.
c) Ta có 9 − 4  6  9 + 4 nên R − R  IJ  R + R , suy ra hai đường tròn (I; R) và ( J; R) cắt nhau
d) Ta có 10  4 +1 nên IJ  R + R , suy ra hai đường tròn (I; R) và ( J; R) ở ngoài nhau.
Bài 4: Cho hai điểm O và O\prime sao cho OO = 5cm . Hãy giải thích tại sao hai đường tròn ( ;
O 4cm) và (O ;3cm) cắt nhau. Lời giải
Đặt R = 4cm , R = 3cm . Ta thấy 1cm  5cm<7cm , nên R − R  OO  R + R
Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau
Bài 5: Cho đường tròn (O;5cm) và điểm I cách O một khoảng 2cm . Xác định vị trí tương đối
của đường tròn đã cho và đường tròn (I;r) trong mỗi trường hợp sau: Lời giải
a) Đặt R = 5cm , ta thấy 1cm  2cm<9cm , nên R − r OI R + r
Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau
b) Đặt R = 5cm , ta thấy 1cm  2cm  11cm , nên R − r OI R + r
Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau.
Bài 6: Cho hai đường tròn ( ;
O 4cm) và (O ;3cm) . Biết rằng OO = 5cm . Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó. Trang 4 Lời giải
Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O) lần lượt là R = 4cm ; r = 3cm
Do R − r = 4 − 3 = 1; R + r = 4 + 3 = 7cm và 1  5  7 nên R − r OO  R + r Vậy hai đường tròn ( ;
O 4cm) và (O ;3cm) cắt nhau.
Bài 7: Cho hai đường tròn ( ;14 O
cm) ; (O;5cm) với OO = 8cm . Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không? Lời giải
Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O) lần lượt là R =14cm ; r = 5cm
Do R − r = 14 − 5 = 9 ; R + r = 14 + 5 = 19cm và 8  9  14
Vậy hai đường tròn ( ;14 O
cm) và (O ;5cm) không cắt nhau.
Bài 8: Cho hai điểm O và O sao cho OO = 5cm . Giải thích tại sao hai đường tròn (O;3cm) và
(O ;2cm) tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài? Lời giải
Đặt R = 3cm , R = 2cm ta thấy 5cm = 2cm + 3cm , nghĩa là OO = R + R
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài với nhau.
Bài 9: Cho hai điểm O và O sao cho OO = 3cm . Giải thích tại sao hai đường tròn (O;8cm) và
(O ;5cm) tiếp xúc nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài? Lời giải
Đặt R = 8cm , R = 5cm ta thấy 3cm = 8cm − 5cm , nghĩa là OO = R − R
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.
Bài 10: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O;3cm) và (O ;5cm) biết OO  8cm Lời giải
Đặt R = 3cm , R = 5cm ta có OO = 8cm  R + R
Vậy hai đường tròn đã cho là hai đường tròn ngoài nhau.
Bài 11: Cho hai điểm O và O sao cho OO = 2cm . Xác định vị trí tương đối cảu hai đường tròn
(O;5cm) và (O ;r) biết rằng r  3cm . Lời giải
Đặt R = 3cm , vì r  3 nên R − r = 5 − r  5 − 3 = 2 = OO
Vậy đường tròn (O;5cm) đừng đường tròn (O ;r) .
Bài 12: Cho đường tròn tâm O , bán kính R . Lấy điểm A tùy ý trên (O) . Vẽ đường tròn đường
kính OA . Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Lời giải
Gọi O là tâm đường tròn đường kính OA . Ta có O là trung điểm của OA và bán kính đường tròn ( OA R O) là R = = . 2 2
Độ dài đoạn nối tâm =  = OA = R d OO 2 2 Trang 5 Ta có −  = R R R
= d nên (O) và (O) tiếp xúc trong tại A . 2
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(−1; )
1 và B (3;0) . Vẽ các đường tròn ( ; A r )
và (B;r). Khi r = 3 và r =1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Lời giải
Độ dài đoạn nối tâm d = AB = ( + )2 2 3 1 +1 = 17 (1)
Tổng hai bán kính r + r = 3 +1 = 4 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy 17  4 nên hai đường tròn không giao nhau
Hai đường tròn ( A) và (B) nằm ngoài nhau.
Bài 14: Cho ABC có (B ,C  90 ) , đường cao AH . Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K ,
HI vuông góc với AC tại I . Xác định vị trí tương đối của đường tròn ngoại tiếp tam
giác BHK và đường tròn ngoại tiếp tam giác CHI . Lời giải + Trường hợp 1:
Xét ABC có B  90 và C  90 .
Gọi O ,O lần lượt là trung điểm của BH và CH 1 2
Vì BHK vuông tại K , O là trung điểm của cạnh huyền BH nên 1 1
KO = BO = HO = BH = R 1 1 1 1 2
R + R = HO + HO = O O nên (O ; R tiếp xúc ngoài tại H với (O ;R 2 2 ) 1 1 ) 1 2 1 2 1 2 + Trường hợp 2:
Xét ABC có B = 90 (hoặc C  90 )
Tương tự trường hợp 1 ta có:
O O = R − R nên (O ; R tiếp xúc trong tại H với (O ; R . 2 2 ) 1 1 ) 1 2 1 2
Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau
I. Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường
hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau ABH = ANH II. Bài toán
Bài 1: Cho đường tròn (O) và (O ') tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với B
thuộc (O) , C thuộc (O ') . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I Trang 6
a. Vẽ đường kính BOD và CO ' E . Chứng minh các bộ ba điểm B, , A E và C, , A D thẳng hàng
b. Chứng minh BAC, DAE có diện tích bằng nhau
c. Gọi K là trung điểm của DE . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OKO ' tiếp xúc với BC
d. Cho OA = 4,5c ;
m O ' A = 2cm . Tính AI, BC,CA B C O O' I D K E Lời giải
a. Xét ABC , có BI = IC = AI  ABC vuông tại 0 A BAC = 90 Lại có: 0
BAD = CAE = 90  đpcm
b. Ta có: BAD# EAC (gg)  A . D AE = A . B AC S = S ABC DAE
c. Có OIO ' K là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)
Vậy đường tròn ngoại tiếp OKO ' chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, có đường
kính là IK mà: IK ⊥ BC I d. Ta có: 2 AI = O .
AO ' A = 4,5.2 = 9  AI = 3cm Xét 1 1 1 1 1 5 0
BCD(B = 90 )  = + = + =
AB = 2,68cm 2 2 2 AB BC BD 9 36 36 Xét 0 2 2 2 2 2 2
ABC(A = 90 )  BC = AB + AC CA = BC − AB = 36 − 7,2  AC = 5,4cm
Bài 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O ';r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A . Vẽ tiếp tuyến chung
ngoài BC với B (O),C (O ') . Đường thẳng vuông góc với OO ' kẻ từ A cắt BC ở M
a) Tính MA theo R và r
b) Tính diện tích tứ giác BCO 'O theo R và r
c) Tính diện tích BAC theo R và r
d) Gọi I là trung điểm của OO ' . Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I;IM ) B Lời giải M C O I A O' a) Chứng minh được: 0 O 'MO = 90
Aps dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được: MA = Rr Trang 7 b) Chứng minh S = R + r Rr BCOO ' ( ) 2 2 S BC S BC Rr Rr BAC   . 4 c) Chứng minh được: OMO '
BAC# OMO '  =  S = =   SOO '  ABC OO R r OMO ( ')2 + '
d) Tứ giác OBCO ' là hình thang vuông tại B và C có IM là đường trung bình
IM ⊥ BC = M
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O ') tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB , AO 'C .
Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Gọi M là giao điểm của BD và CE a. Tính DAE
b. ADME là hình gì ? Vì sao ?
c. Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn d. Chứng minh: .
MD MB = ME.MC
e. Gọi H là trung điểm của BC , chứng minh rằng MH ⊥ DE M 1 D 1 I E 1 1 2 2 B O H A C O' Lời giải A =  ( 0 180 − O : 2 1 1 ) a) Ta có: 0 0  A A DAEA =  (  + =  = 180 − O ) 90 90 1 2 0 : 2 2 2
b) Có ADME là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật)
c) Gọi I là giao điểm của DE và AM ID = IA 0
IAO = IDO(ccc)  IAO = IDO = 90  MA ⊥ OA A(O)
Chứng minh tương tự: MA ⊥ O ' A A(O ')
Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn d. Ta có: 0 2
MAB(A = 90 ), AD ⊥ MB MA = M . D MB 0 2
MAC(A = 90 ), AE ⊥ MC MA = ME.MC M .
B MD = ME.MC e) 0
M + D = B + BMA = 90  MH ⊥ DE 1 1 1
Bài 4: Cho ba điểm J , I, J ' cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết IJ = 10cm ,
IJ ' = 4CM . Vẽ đường tròn (O) đường kính IJ và đường tròn (O ') đường kính IJ '
a. Chứng minh (O) và (O ') tiếp xúc ngoài ở I
b. Gọi A là 1 điểm trên đường tròn (O) , tia AI cắt (O ') ở A' . Chứng minh rằng
AIJ# A' IJ '
c. Qua điểm I kẻ 1 cát tuyến cắt (O) ở B ( B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ ), cắt
đường tròn (O ') ở B ' . Chứng minh: IAB# IA' B ' Trang 8
d. Chứng minh rằng: OAB#  ; O A' B '
e. ABA' B ' là hình gì vì sao ? Lời giải B A' 2 1 J O 3 4 J' O' I B'
a) Ta có: OO ' = OI + O ' I . Vậy Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại I A 0
A = A' = 90
b) Xét AIJ và A' IJ ' có: 
 AII# A' IJ ' I =  I 1 2
c) AII# A IJ (gg) IA IJ 10 5 ' '  = = = ( ) 1 IA' JI ' 4 2  #  IB OB OIB
O ' IB '( gg ) 5 '
OB / /O ' B '  B = B  = = 2 1 1 ( )
IB ' O ' B ' 2 Từ ( )( ) IA IB 5 1 2  =
= ; AIB = A' IB  IAB# IA' B ' (cgc) IA' IB ' 2 d)  AB IA 5 OA OB 5
IAB” IA' B '( cgc)  = = ; = = A' B ' IA' 2 O ' A' O ' B ' 2
OA = OB = AB  AOB” A'O ' B ' (ccc) O ' A' O ' B ' A' B '
e) AOB# A'O ' B '  OBA = O ' B ' A';OBI = O ' B ' I '
ABI = AB ' I '  AB// A' B '
Tứ giác ABA' B ' có hai cạnh đối song song vậy là hình thang. Bài 5: Cho 3 điểm ,
A B,C theo thứ tự đó trên một đường thẳng và AB = 4BC . Trên cùng một nửa
măt phẳng bờ AC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O ' có
đường kính BC . Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn có tiếp điểm với đường tròn
(O) ở F với nửa đường tròn (O') ở G , cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C của hai nửa
đường tròn đó ở D và E . Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn ở B cắt DE ở I
a. Chứng minh các tam giác OIO ', OID , O ' IE là các tam giác vuông
b. Đặt O 'C = a (a là độ dài cho trước). Tính BI, EG và AD theo a
c. Tính diện tích tứ giác ADEC theo a Lời giải D F I Trang 9 G E A C O B O'
a. Theo tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù ta có: IOO ' vuông tại I , OID
vuông tại O, IO ' E vuông tại O '
b. Ta có: OB = 2BC = 4a 0
IOO '(I = 90 )  IB ⊥ OO ' 2 2  IB = O .
B O ' B = 4a IB = 2a 2 2 O 'G a a 0 2
IO ' E(O ' = 90 )  O 'G = E . G GI GE = =
= (IG = IB = IF = 2a)  AD = 8a GI 2a 2 1 1  a  c) Ta có: 2 S
= (EC + AD).AC = 8a +
10a = 42,5a . ACED   2 2  2 
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn cắt nhau
I. Cách giải : Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường
hợp hai đường tròn cắt nhau II. Bài toán
Bài 1: Cho hai đường tròn ( ;12 O
cm) và (O ';5cm) , OO ' = 13cm
a) Chứng tỏ rằng hai đưuòng tròn (O) và (O ') cắt nhua tại hai điểm phân biệt Trang 10 b) Gọi ,
A B là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O ') . Chứng minh rằng OA là tiếp
tuyến của đường tròn (O ') , OA là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Tính độ dài AB Lời giải A O H O'
a) Ta có: 12 − 5  13  12 + 5(R − R '  d R + R ')
B nên hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau
tại hai điểm phân biệt b) 2 2 2 2 2 2
OA + O ' A =12 + 5 =169;O 'O =13 =169 OAO ' có: 2 2 2
OA + O ' A = O 'O , theo định lý Pytago đảo tam giác OAO ' vuông tại A
Có OA ⊥ O ' A do đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (O ') và O ' A là tiếp tuyến của đường tròn (O)
O 'O là đường trung trực của đoạn AB
Gọi H là giao điểm của O 'O và AB nên O . A O ' A 12.5 60
AH.O 'O = O .
A O ' A AH = = = (cm) O 'O 13 13 Vậy 120 AB = 2AH = (cm). 13
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau ở A và B (O và O ' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ
AB ). Kẻ các đường kính BOC và BO ' D
a. Chứng minh rằng ba điểm C, , A D thẳng hàng
b. Biết OO ' = 5cm,OB = 4cm,O ' B = 3cm . Tính diện tích tam giác BCD Lời giải B O O' C D A a. Cách 1: 1
BAC(AO = BC)  BAC = BAD = 90  đpcm 2
Cách 2: BCD có OO ' là đường trung bình  OO '/ /CD ( ) 1
ABC có OI là đường trung bình  OO'/ /CA (2) Từ ( ) 1 (2)  C, , A D thẳng hàng.
b) Ta có: OBO ' vuông tại B  BCD vuông tại B 1 1 2  S
= .BC.BD = .8.6 = 24(cm ) BCD 2 2 Trang 11
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O ') giao nhau tại M và N . Gọi I là trung điểm của OO ' .
Đường thẳng kẻ qua M vuông góc MI cắt đường tròn (O) và (O ') lần lượt ở A và B .
Hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và B cắt đường tròn (O) ở P , (O ') ở Q
a. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB
b. MI cắt PQ ở E , chứng minh: EP = EQ
c. Chứng minh: IH = IK Lời giải A H M K B O I O'
a. Kẻ: OH ⊥ AM ;O ' KP⊥ MB OH / /O E ' K Q N MI / /OH
Tứ giác HKOO ' là hình thang, MI ⊥ AB    MH = MK IO / /IO'
Ta lại có: OH ⊥ AM HA = HM = MK = KB  đpcm
b. Ta có ME là đường trung bình của hình thang ABQP EP = EQ
c. Xét HIK , có IM là đường trung tuyến, đường cao  HIK cân tại I (đpcm).
Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại A và B . Gọi M là trung điểm của OO ' .
Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O ') lần lượt ở C và D
a. Khi CD ⊥ AB . Chứng minh: AC = AD
b. Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA
- Vẽ đường kính AE của (O) , AE cắt (O ') ở H . Vẽ đường kính AF của (O ') , AF cắt
(O) ở G . Chứng minh AB,EG,FH đồng quy
- Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất Lời giải G C H A D O M O'
Vẽ OP ⊥ AC;O 'Q ⊥E AD  OPO 'Q là hình
B thang vuônFg tại P và Q
a. Kẻ OP,O 'Q ⊥ CD MA ⊥ CD và M là trung điểm của OO '
b. Xét EAF có AB, FG, EH là ba đường cao nên đồng quy tại 1 điểm .
+) Ta có: CD = 2PQ
Hình thang OPQO ' vuông tại P và Q nên OO '  PQ Trang 12
Vậy PQ lớn nhất khi PQ / /OO ' hay tứ giác OPQO ' là hình chữ nhật.
Bài 5: Cho góc vuông xOy . Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox,Oy . Đường tròn
(I;OK ) cắt tia Ox tại M ( I nằm giữa O và M ), đường tròn (K;OI ) cắt tia Oy tại N (
K nằm giữa O và N )
a. Chứng minh (I ) và (K ) luôn cắt nhau
b. Tiếp tuyến tại M của (I ) , tiếp tuyến tại N của (K ) cắt nhau tại C . Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông c. Gọi ,
A B là các giao điểm của ( I ) và (K ) trong đó B ở miền trong góc xOy . Chứng minh ba điểm ,
A B,C thẳng hàng
d. Giả sử I và K theo thứ tự đi động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a không
đổi. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. N P C Lời giải
a) OI − OK IK OI + OK
Ta có ( I ) và (K ) luôn cắt nhau
b. Do OI = NK;OK = IM OM = ON B K L
Mặt khác OMCN là hình chữ nhật OMCN là hình vuông O I M
c. Gọi L là giao điểm của KB và MC ; P là A
giao điểm của IB và NC OBKI là hình chữ
nhật và BLMI là hình vuông  BLC = KIO LBC = OKI = BIK Mà: 0 0
BIK + IBA = 90  LBC + IBA = 90 , có: 0
LBC + LBI + IBA =180
d) Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định  C cố định và AB luôn đi qua C . Trang 13
Dạng 3: Các bài toán về hai đường tròn không cắt nhau
I. Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường
hợp hai đường tròn không giao nhau II. Bài toán
Bài 1: Cho hai đường tròn đồng tâm O , có bán kính lần lượt là R và r . Dây MN của đường tròn
lớn cắt đường tròn nhỏ tại A và B . Gọi BC là đường
kính của đường tròn nhỏ. Tính giá trị của biểu thức ( 2 2 2
AC + AM + AN ) theo R và r C Lời giải
Kẻ OE ⊥ AB;OF ⊥ AC . Đặt AC = a, AM = b, AN = c O F R 2 2 2 2  a   c − b   a   c + Ta có: b 2 2  r = + ; R = +          2   2   2   2  M A E N B Chứng minh được: 2 2 2
a + b + c = ( 2 2 2 r + R )
Bài 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O ';r) ở ngoài nhau.
Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF
Là tiếp tuyến chung trong ( M và E thuộc (O) , N và F thuộc ( ;
O ) ). Tính bán kính của
đường tròn (O) và (O ') trong các trường hợp sau: M
a) OO ' = 10cm, MN = 8cm, EF = 6cm E H
b) OO ' = 13cm, MN = 12cm, EF = 5cm N Lời giải O O'
a) Kẻ O ' H ⊥ OM ;OK ⊥ O ' F
Ta có: OH = R − r;O ' K = R + r , mà 2 2 2 2 2 2
OH = O 'O − MN = 36;O ' K = O 'O − EF = 64 K
OH = 6;O ' K = 8  R = 7cm;r = 1cm
b) Tương tự tính được: 17 R = cm , 7 r = cm 2 2
Bài 3: Cho hai đường tròn (O;6cm) và (O ';2cm) nằm ngoài nhau. Gọi AB là tiếp tuyến chung
ngoài, CD là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn ( ,
A C (O); B, D (O ') ). Biết
AB = 2CD , tính độ dài đoạn nối tâm OO ' A Lời giải
a) Kẻ O ' H ⊥ O ;
A O ' K ⊥ OC B H D
Tính được: OH = 4c , m OK = 8cm , O O' Đặt 2 2
CD = x AB = 2 ;
x O 'O = 64 + x và 2 2
O 'O =16 + 4x x = 4  OO ' = 80cm . A E C
Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O ') nằm K B M
ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD ( ,
A C (O); B, D (O ') ). Tiếp O O' N Trang 14 F D C
tuyến chung trong MN cắt AB,CD theo thứ tự tại E, F , (M (O), N (O ')). Chứng minh: a) AB = EF b) EM = FN Lời giải
a) Ta có: AB = AE + BE = EM + EN
và CD = FD + FC = NF + NE
AB + CD = 2EF AB = EF
b) Ta có: EM = AB − EB = EF − EN = NF .
Dạng 4: Chứng minh các tính chất về hệ thức hình học
Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O ; R) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC , B (O) , C (O) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I . Chứng minh rằng: a) OIO = 90 b) BC = 2 RRLời giải Trang 15
a) Ta có IB , IA là hai tiếp tuyến của (O) nên I = I 1 2
IC , IA là hai tiếp tuyến của (O) nên I = I 3 4
Suy ra OIO = I + I = 180 : 2 = 90 3 4
b) Ta có IB , IA là hai tiếp tuyến của (O) nên IB = IA và IA ⊥ OA với IC , IA là hai tiếp
tuyến của (O) nên IC = IA và IA ⊥ OA. Suy ra IA = IB = IC Ba điểm O, ,
A O thẳng hàng và IA ⊥ OO . Áp dụng hệ thức 2
h = b c vào tam giác vuông OIO Ta có 2
IA = OAOA IA = R R
Mặt khác BC = IB + IC = 2IA nên BC = 2 R R
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B , trong đó O\prime nằm trên đường
tròn (O) . Kẻ đường kính OC của đường tròn (O) .
a) Chứng minh rằng CA , CB là hai tiếp tuyến của (O)
b) Đường vuông góc với AO cắt CB tại I . Đường vuông góc với AC tại C cắt đường
thẳng OB ở K . Chứng minh rằng ba điểm O , I , K thẳng hàng. Lời giải
a) Tam giác CAO có đường trung tuyến AO ứng với cạnh CO bằng nửa cạnh CO nên CAO = 90
Mà A(O) nên CA là tiếp tuyến của (O) tại A
Tương tự ta có CB là tiếp tuyến của (O) .
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì C = C (1) 1 2 Trang 16
Ta có CA//IO (cùng vuông góc với OA ) nên C = O (2) 1 1
Từ (1) và (2) suy ra C = O . Do đó, IC = IO (3) 2 1
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì COB = O 2
Mặt khác CK // AO (cùng vuông góc với AC) nên OCK = O 2
Suy ra COB = OCK . Do đó KC = KO (4)
Mà OC = OO (vì O , C cùng thuộc (O) ) (5)
Từ (3) , (4) , (5) suy ra O, I, K cùng thuộc đường trung trực của CO
Vậy ba điểm O , I , K thẳng hàng.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O ; R và (O ; R (với R R ) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các tiếp 2 2 ) 1 1 ) 1 2
tuyến chung ngoài BC và DE (với B , D thuộc (O ; C, E thuộc (O ). Chứng minh 2 ) 1 )
rằng: BC + DE = BD + CE Lời giải
Vẽ tiếp tuyến chung tại A lần lượt cắt BC , DE tại M và N . Vì MA , MB là tiếp tuyến
của (O nên MA = MB . 1 ) Vì M ,
A MC là tiếp tuyến của (O nên MA = MC MA = MB = MC 2 )
Chứng minh tương tự ta có NA = ND = NE BC + DE = 2MN ( ) 1
Gọi giao điểm của BC và DE là K , khi đó K thuộc đường thẳng O O KB = KD (tính 1 2
chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà O B = O D = R nên O K là trung trực của đoạn BC suy ra O O ⊥ BD 1 1 1 1 1 2
Chứng minh tương tự ta được O O ⊥ CE 1 2
Suy ra tứ giác BCDE là hình thang (BD//CE)
Vì M , N lần lượt là trung điểm của BC và DE nên 2MN = BD + CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC + DE = BD + CE .
Bài 4: Cho hai đường tròn (O và (O ngoài nhau. Vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD 2 ) 1 )
(với A , D thuộc (O ; B , C thuộc (O ). Nối AC với (O tại M ; cắt (O tại N với 2 ) 1 ) 2 ) 1 ) (M  ,
A N C ) . Chứng minh rằng AM = NC . Lời giải Trang 17
Vẽ đường trung trực d của đoạn AB , d cắt O O tại I . Khi đó IA = IB 1 2
Ta có B và C đối xứng nhau qua O O nên IB = IC IA = IC 1 2
Kẻ IH ⊥ AC tại K , O G ⊥ AC tại G O K //IH //O G 2 1 2
Xét hình thang ABO O (vì O A//O G do cùng vuông góc với 2 1 1 2 AB)
Ta có d //O A//O B và d đi qua trung điểm của AB nên d đi qua trung điểm của O O hay 1 2 1 2
I là trung điểm của O O 1 2
Xét hình thang KGO O có IH //O K //O G và I là trung điểm của O O nên H là trung 2 1 1 2 1 2 điểm của KG
HK = HG HA − HK = HC − HG hay AG = GC  2AK = 2CG AM = AN
* Lưu ý: Trong bài toán ta đã sử dụng tính chất đường thẳng song song với hai đáy của
hình thang và đi qua trung điểm của một đường chéo thì đi qua trung điểm của đường chéo còn lại.
Dạng 5: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Trong hình vẽ, cho hai đường tròn đồng tâm O . Cho biết BC là đường kính của đường
tròn lớn và độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và BCD = 30 . Hãy
tính bán kính của đường tròn nhỏ. Lời giải
Ta có BC = 8 nên bán kính đường tròn lớn là OC = 4 .
Vì CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ, nên CD ⊥ OM Do đó 1
OM = OC sin 30 = 4 = 2 . 2
Bài 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O ; R) cắt nhua tại M và N . Biết OO = 24cm ,
MN = 10cm . Tính R . Lời giải Trang 18
Gọi giao điểm của OO và MN là I .
Vì OM = ON = OM = ON = R nên tứ giác OMON là hình thoi
Suy ra OO ⊥ MN tại điểm I là trung điểm của mỗi đoạn OO và MN Do đó 1 IM = MN = 5cm , 1
IO = OO = 12cm 2 2
Áp dụng định lí pythagore vào tam giác MIO , ta có: 2 2 2 2
R = OM = IM + IO = 5 +12 = 13cm Vậy R = 13cm .
Bài 3: Cho hai đường tròn (O; R) và (O ; R) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN với M thuộc (O) , N thuộc (O) . Biết R = 9cm , R = 4cm . Tính độ dài đoạn MN . Lời giải
Ta có OO = OA + OA = 9 + 4 = 13cm
Kẻ OH ⊥ OM tại H
 tứ giác ONMH là hình chữ nhật
MH = ON = 4cm; MN = OH
OH = OM − MH = 9 − 4 = 5cm
Áp dụng định lí pythagore vào OOH , ta có: 2 2 2 2
MN = OH = OO − OH = 13 − 5 = 12(cm) Vậy MN = 12(cm) .
Bài 4: Cho hai đường tròn (O;3cm) và (O ;4cm) cắt nhau tại A và B . Qua A kẻ một cát tuyến
cắt (O) tại M (với M A ), cắt (O) tại N ( N A ). Nếu OO = 5cm . Hãy tính giá trị lớn nhất của MN . Lời giải Trang 19
Kẻ OH ⊥ AM tại H , OK ⊥ AN tại K và OI ⊥ OK tại I
HM = HA, KA = KN và tứ giác HOIK là hình chữ nhật
MN = 2HK và KH = OI
Ta có OI OO (đường vuông góc và đường xiên)
MN = 2HK = 2OI  2OO =10cm
Dấu “=” xảy ra  OI = OO  I O  d //OO
Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng 10cm khi cát tuyến d song song với OO . Trang 20

Tài liệu liên quan: