53 trang 4 lượt tải

Các Dạng Toán 9 Kết Nối Tri Thức Bài 2 Giải Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

8

Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa 1 ẩn. Giải phương trình một ẩn  vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 1: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (KNTT) 7 tài liệu

Môn: Toán 9 2.7 K tài liệu

Sách: Kết nối tri thức

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

4 ngày trước
Danh sách Quiz
/53
Trang 1
GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Phương pháp thế
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn
lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa 1 ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Nhận xét: Tùy theo hệ phương trình ta có thể lựa chọn cách biểu diễn
x
theo
y
hoặc biểu diễn
y
theo
x
* Chú ý:
Giải và biện luận phương trình:
0ax b+=
- Nếu
0
b
ax
a
−
=
- Nếu
0a
và
thì phương trình vô nghiệm
- Nếu
0a =
và
0b =
thì phương trình có vô số nghiệm.
2. Phương pháp cộng đại số
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai
phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa
một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã
cho.
Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối
nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số
thích hợp (khác 0).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
A: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
I. Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phương
pháp thế ta làm như sau
- Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn
theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và
giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đã
cho.
*) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn
thường là 1 và -1
II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a.
5
4 3 1
xy
xy
+=
− = −
b.
22
2 4 4
xy
xy
−=
−=
Lời giải
Trang 2
a) Cách 1: Thế
y
theo
x
ở phương trình thứ nhất
Ta có
( )
5
5 5 2
4 3 5 1
4 3 1 7 14 3
yx
x y y x x
xx
x y x y
=−
+ = = − =
− − = −
− = − = =
Cách 2: Thế
x
theo
y
ở phương trình thứ nhất
Ta có
( )
5
5 5 2
4 5 3 1
4 3 1 7 21 3
xy
x y x y x
yy
x y y y
=−
+ = = − =
− − = −
− = − − = − =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2;3xy =
b) Cách 1: Ta có
( )
22
2 2 2 2
2 2 2 4 4
2 4 4 0 0
xy
x y x y
yy
x y y
=+
− = = +


+ − =
− = =

Ta thấy rằng
00y =
có nghiệm đúng với mọi
yR
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
22xy=+
Do đó, hệ phương trình có nghiệm
( )
;xy
tính bởi công thức
22xy
yR
=+
Cách 2: Ta có
1
1
1
22
1
2
2
1
2 4 4
2 4 1 4
00
2
yx
xy
yx
xy
xx
x
=−
−=
=−


−=


− − =
=


Ta thấy rằng
00x =
có nghiệm đúng với mọi
xR
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
1
1
2
yx=−
Do đó, hệ phương trình có nghiệm
( )
;xy
tính bởi công thức
1
1
2
yx
xR
=−
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a.
8 2 10
43
xy
xy
−=
− + =
b.
3 4 2 0
5 2 14
xy
xy
− + =
+=
Lời giải
a) Cách 1: Ta có
( )
8 2 3 4 10
8 2 10 0 16
4 3 3 4
34
xx
x y x
x y y x
yx
− + =
− = =


− + = = +
=+

Ta thấy phương trình
16Ox =
vô nghiệm với mọi
xR
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Ta có
13
0 16
8 2 10
8 2 10
44
13
43
34
44
y
yy
xy
xy
xy
yx
=

−−=
−=




− + =
=−

−=
Ta thấy phương trình
16Oy =
vô nghiệm với mọi
yR
Trang 3
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.
b)
42
42
3 4 2 0 3 4 2 2
3
3
42
5 2 14 5 2 14 2
5. 2 14
26 52
3
y
x
y
x y x y x
x
y
x y x y y
y
y
−
=
−
− + = − = − =
=

−
+ = + = =


+=
=


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2;2xy =
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
23
24
xy
xy
−=
+=
b)
32
2 5 1
xy
xy
−=
− + =
c)
41
7 2 3
xy
xy
+ = −
+ = −
d)
2
2 2 8
xy
xy
− = −
−=
e)
23
4 2 4
xy
xy
− + =
− = −
f)
2
3 3 6
xy
xy
− + = −
−=
g)
31
3 9 3
xy
xy
+ = −
+ = −
h)
33
2 3 5
xy
xy
+=
− − =
Lời giải
a)
23
24
xy
xy
−=
+=
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
23yx=−
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
( )
2 2 3 4xx+ − =
hay
5 6 4x −=
suy ra
2x =
Từ đó
2.2 3 1y = − =
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
2;1
b)
32
2 5 1
xy
xy
−=
− + =
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
23xy=+
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
( )
2 2 3 5 1yy− + + =
hay
41y− − =
suy ra
5y =−
Từ đó
( )
2 3. 5 13x = + − = −
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
13; 5−−
c)
41
7 2 3
xy
xy
+ = −
+ = −
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
14yx= − −
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
( )
7 2 1 4 3xx+ − − = −
hay
1x− = −
suy ra
1x =
Từ đó
( )
1 4. 1 5y = − − = −
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
1; 5−
d)
2
2 2 8
xy
xy
− = −
−=
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
2yx=+
.
Trang 4
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
( )
2 2 2 8xx− + =
hay
( )
0 4 8 1x −=
Do không có giá trị nào của
x
thỏa mãn hệ thức
( )
1
nên hệ phương trình đã cho vô
nghiệm.
e)
23
4 2 4
xy
xy
− + =
− = −
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
23yx=+
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
( )
4 2 2 3 4xx− + = −
hay
0 6 4x = = −
(1)
Do không có giá trị nào của
x
thỏa mãn hệ thức
( )
1
nên hệ phương trình đã cho vô
nghiệm.
f)
2
3 3 6
xy
xy
− + = −
−=
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
2yx=−
(1)
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
( )
3 3 2 6xx− − =
hay
0 6 6x +=
suy ra
00x =
(2)
Ta thấy với mọi giá của của
x
đều thỏa mãn (2)
Với mỗi giá trị tùy ý của
x
, giá trị tương ứng của
y
được tính bởi (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
;2xx−
với
x
tùy ý.
g)
31
3 9 3
xy
xy
+ = −
+ = −
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
1 3 (1)xy= − −
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
( )
3 1 3 9 3yy− − + = −
hay
0 3 3y − = −
Suy ra
0 0 (2)y =
Ta thấy với mọi giá của của
y
đều thỏa mãn (2)
Với mỗi giá trị tùy ý của
y
, giá trị tương ứng của
x
được tính bởi (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
1 3 ;yy−−
với
y
tùy ý.
h)
( )
( )
3 3 1
2 3 5 2
xy
xy
+=
− − =
Từ phương trình
( )
1
ta có
( )
3 3 3yx=−
.
Thay
33yx=−
vào phương trình
( )
2
ta được
( )
2 3 3 3 5xx− − − =
Giải phương trình này ta được
2x =
Thay
2x =
vào phương trình
( )
3
ta được
3y =−
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
2; 3−
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
3 12 5
43
xy
xy
+ = −
+=
b)
2 4 5
21
xy
xy
− + =
− + =
c)
12 4 16
34
xy
xy
− = −
− = −
d)
34
2 6 8
xy
xy
−=
− + = −
Trang 5
e)
25
3 2 11
xy
xy
+=
−=
f)
32
2 5 1
xy
xy
−=
− + =
Lời giải
a) Đặt
( )
( )
3 12 5 1
4 3 2
xy
xy
+ = −
+=
Từ phương trình
( )
2
ta có
( )
3 4 3xy=−
. Thay vào phương trình
( )
1
ta được:
( )
3. 3 4 12 5yy− + = −
9 12 12 5yy= + = −
0 14y =−
(vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
b)
( )
2 4 5 (1)
2 1 2
xy
xy
− + =
− + =
Từ phương trình
( )
2
ta có
( )
2 1 3xy=−
. Thay vào phương trình
( )
1
ta được
( )
2 2 1 4 5yy− − + =
4 2 4 5yy− + + =
03y =
(vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
c) Đặt
12 4 16(1)
3 4 (2)
xy
xy
− = −
− = −
Từ phương trình
( )
2
ta có
( )
3 4 3yx=+
. Thay vào phương trình
( )
1
ta được
( )
12 4. 3 4 16xx− + = −
12 12 16 16xx= − = −
00x =
(vô số nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
d)
( )
( )
3 4 1
2 6 8 2
xy
xy
−=
− + = −
Từ phương trình
( )
1
ta có
( )
3 4 3xy=+
. Thay vào phương trình
( )
2
ta được
( )
2 3 4 6 8yy− + + = −
6 8 6 8yy− − + = −
00y =
(vô số nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
e)
( )
( )
2 5 1
3 2 11 2
xy
xy
+=
−=
Từ phương trình
( )
1
ta có
( )
5 2 3yx=−
Thay vào phương trình
( )
2
ta được
( )
3 2. 5 2 11xx− − =
3 10 4 11xx− + =
7 21x =
Trang 6
3x =
Thay giá trị
3x =
vào phương trình
( )
3
ta có
5 2.3 1y = − = −
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 3; 1xy =−
f)
( )
( )
3 2 1
2 5 1 2
xy
xy
−=
− + =
Từ phương trình
( )
1
ta có
( )
3 2 3xy=+
Thay vào phương trình
( )
2
ta được:
( )
2. 3 2 5 1yy− + + =
6 4 5 1yy− − + =
5y−=
5y =
Thay giá trị
5y =
vào phương trình
( )
3
ta có
( )
3. 5 2 13x = − + = −
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 13; 5xy = − −
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
a.
2
3
10
x
y
xy
=
+ − =
b.
3
20
2
25
2 3 2
x
y
x y y
+=
+
−=
Lời giải
a) Điều kiện
0; 0xy
( )
2
2
3 1 2 0
3 2 0
5
3
13
1
10
5
x
x
yy
xy
y
xy
xy
y
xy
=
=
− + − =
−=
= − +
= − +

=
+ − =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
23
;;
55
xy

=


b)
3
20
3 4 0 4
2
25
3( ) 4 15 3
2 3 2
x
y
x y x
x y y
x y y y
+=
+ = =


+
+ − = = −

−=
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 4; 3xy =−
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
a)
( 2 1) 2
( 2 1) 1
xy
xy
− − =
+ + =
b)
23
2 2 6
xy
xy
− − =
+ = −
Lời giải
a)
( 2 1) 2
( 2 1) 1
− − =
+ + =
xy
xy
Trang 7
( 2 1) 2
( 2 1) 1
= − −
+ + =
yx
xy
( ) ( )
( 2 1) 2
2 1 . 2 1 2 1
= − −

+ + − − =

yx
xx
( ) ( )
( )
( 2 1) 2
2 1 . 2 1 2 1 *
= − −

+ + − − =

yx
xx
23
2
1
2
+
=
−
=
x
y
( )
( )
* : 2 2 1 1+ − + =xx
2 2 2 1= + +x
2 3 2=+x
32
2
+
=x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
2 3 1
;;
22
xy

+
=−



b)
23
2 2 6
− − =
+ = −
xy
xy
( )
23
2 2 3 2 6
= − −
− − + = −
xy
yy
23
2 6 2 6
= − −
− − + = −
xy
yy
23
66
= − −
− = −
xy
(luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau
a)
20
2 3 5 2
xy
xy
−=
+=
b)
( )
5 6 5
3
1 5 1
5
xy
xy
+ = +
+ − = −
Lời giải
a) Cách 1: Ta có
20
2 3 5 2
−=
+=
xy
xy
2
2. 2 3 5 2
=
+=
xy
yy
Trang 8
2
5 5 2
=
=
xy
y
2
2
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
( )
; 2; 2=xy
.
Cách 2: Ta có
20
2 3 5 2
−=
+=
xy
xy
1
2
1
2 3. 5 2
2
=
+=
yx
xx
1
2
5
52
2
=
=
yx
x
2
2
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
( )
; 2; 2xy =
b) Cách 1: Ta có
( )
5 6 5
3
1 5 1
5
+ = +
+ − = −
xy
xy
( )( )
( )
6 5 5
3
1 5 6 5 5 1 *
5
= + −
+ − + − = −
yx
xx
Giải riêng phương trình (*):
( )
( ) ( )( )
3
* 1 5 5 1 6 5 1 5
5

− − = − − + −


x
2
1 2 5 5
5

− + = − +


x
5=x
Khi đó:
6 5 5. 5 1 5y = + − = +
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
( )
; 5;1 5=+xy
Cách 2: Ta có:
( )
5 6 5
3
1 5 1
5
+ = +
+ − = −
xy
xy
Trang 9
( )
5 6 5
3
1 5 1
5
= + −
+ − = −
xy
xy
( )
( )
61
1
55
3 6 1
. 1 1 5 1 **
5 5 5
= + −

+ − + − = −


xy
y
Giải riêng phương trình (**) ta được:
( )
3 3 18
** 1 5 1
55
5

− − = − − −


y
2 5 5 23 3 5
55
− − −
=y
15=+y
Khi đó
( )
61
1 1 5 5
55
x = + − + =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
( )
; 5;1 5xy =+
.
Bài 8: Giải các phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
5 3 2 2
6 2 2
xy
xy
+=
−=
b)
2. 3. 1
3. 2
xy
xy
−=
+=
Lời giải
a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
2 2 5 3yx=−
.
Thay vào phương trình thứ hai ta được
( )
6
6 2 2 5 3 . 2 2
6
x x x− − = =
Từ đó
62
2 2 5. . 3
62
y
−
= − =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
62
;
62

−



.
b) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có
2 3.xy=−
.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được
( )
1
2. 2 3. 3 1
63
y y y− − = =
+
Từ
1
2 3. 1
63
x = − =
+
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là
1
1;
63


+

Bài 9: Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế
a)
2 3 1
32
xy
xy
−=
+=
b)
2 2 5
2 1 10
xy
xy
−=
+ = −
Trang 10
c)
( )
( )
2 1 2
2 1 1
xy
xy
− − =
+ + =
Lời giải
a) Giải hệ phương trình
( )
( )
2 3 1 1
3 2 2
xy
xy
−=
+=
Từ phương trình
( )
2
suy ra
23xy=−
. Thay vào phương trình
( )
1
ta có
( ) ( )
63
2 2 3 3 1 6 3 1
3
y y y y
−
− − = + = =
Khi
63
3
y
−
=
thay vào
( )
2
ta có
63
3. 2 2 1 2 1
3
x x x

−
+ = + − = =



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
63
1;
3

−



b) Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2 5 1
2 1 10 2
xy
xy
−=
+ = −
Từ phương trình
( )
1
suy ra
5 2 2xy=−
. Thay vào phương trình
( )
2
ta có
( )
1 2 10
2 5 2 2 1 10 5 1 10
5
y y y y
−
+ + = − = − =
Khi
1 2 10
5
y
−
=
thay vào
( )
1
ta có
1 2 10 2 2 3 5
5 2 2.
55
xx

−−
= + =



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2 2 3 5 1 10
;
55

−−



c)
( )
( )
( )
( )
2 1 2 1
2 1 1 2
xy
xy
− − =
+ + =
Từ phương trình
( )
1
suy ra
( )
2 1 2yx= − −
. Thay vào phương trình
( )
2
ta có
( ) ( )
32
2 1 . 2 1 2 1 2 2 2 1
2
x x x x
+

+ + − − = − − = =

Khi
32
2
x
+
=
thay vào
( )
2
ta có
( ) ( )
3 2 1 2 1
2 1 1 2 1
2 2 2
y y y
++
+ + = + = − = −
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
3 2 1
;
22

+
−



Trang 11
Bài 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
( )
( )
5 0 1
5 3 1 5 2
xy
xy
+=
+ = −
b)
( )
( )
( )
2 3 3 2 5 3 1
4 4 2 3 2
xy
xy
− − = +
+ = −
Lời giải
a) Giải hệ phương trình
( )
( )
5 0 1
5 3 1 5 2
xy
xy
+=
+ = −
Từ phương trình
( )
1
suy ra
5xy=−
. Thay vào phương trình
( )
2
ta có
( )
51
5. 5 3 1 5 2 1 5
2
y y y y
−
− + = − − = − =
Khi
51
2
y
−
=
suy ra
( )
5 1 5 5
5.
22
xx
−−
= − =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
5 5 5 1
;
22

−−



b) Giải hệ phương trình
( )
( )
( )
2 3 3 2 5 3 1
4 4 2 3 2
xy
xy
− − = +
+ = −
Từ phương trình
( )
2
suy ra
4 2 3 4xy x= − −
. Thay vào phương trình
( )
1
ta có
( ) ( ) ( )
2 3 3 4 2 3 4 2 5 3 14 3 14 3 1x x x x− − − − = + − = − =
Khi
1x =
suy ra
23y =−
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
1; 2 3−
Bài 11: Cho hệ phương trình
( )
2
23
2 9 3 3
xy
m x y m
− = −
− + = +
, trong đó
m
là số đã cho. Giải hệ phương
trình tròn mỗi trường hợp sau
a)
2m =−
b)
3m =−
c)
3m =
Lời giải
a) Thay
2m =−
ta có hệ
23
8 9 3
xy
xy
− = −
− + =
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
23yx=+
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta
được
( )
8 9 2 3 3xx− + + =
hay
10 27 3x +=
suy ra
12
5
x =−
Từ đó
12 9
2. 3
55
y

= − + = −


Vậy hệ phương trình có nghiệm là
12 9
;
55

−−


b) Thay
3m =−
ta có hệ
23
18 9 0
xy
xy
− = −
− + =
Trang 12
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
23yx=+
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta
được
( )
18 9 2 3 0xx− + + =
hay
0 27 0x +=
(1)
Do không có giá trị nào của
x
thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô
nghiệm,
c) Thay
3m =
ta có hệ
23
18 9 18
xy
xy
− = −
− + = −
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
23yx=+
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta
được
( )
18 9 2 3 18xx− + + =
hay
00x =
Ta thấy mọi giá trị của
x
đều thỏa mãn (1)
Với giá trị tùy ý của
x
thì giá trị tương ứng của
y
được tính bởi phương trình
23yx=+
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
( )
;2 3xx+
với
x
tùy ý.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
I. Phương pháp giải
- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được.
II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a.
( ) ( )
5 2 3 99
3 7 4 17
x y x y
x y x y
+ − − =
−=−−
b.
( )( )
( 1)( 1) 1
3 3 3
x y xy
x y xy
+ − = −
− − = −
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
5 2 3 99
3 7 4 17
+ − − =
−=−−
x y x y
x y x y
5 10 3 3 99
3 7 4 17
+ − + =
− − + = −
x y x y
x y x y
2 13 99
6 17
+=
− + = −
xy
xy
4
7
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 4;7xy =
Trang 13
b) Ta có:
( )( )
( 1)( 1) 1
3 3 3
+ − = −
− − = −
x y xy
x y xy
11
3 3 9 3
− + − = −
− − + = −
xy x y xy
xy x y xy
0
3 3 12
− + =
− − = −
xy
xy
2==xy
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2;2xy =
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a.
3( 5) 2( 3) 0
7( 4) 3( 1) 14 0
yx
x x y
− + − =
− + + − − =
b.
( 1)( 1) ( 2)( 1) 1
2( 2) 2 3
x y x y
x y x xy
+ − = − + −
− − = −
Lời giải
a. Ta có:
3( 5) 2( 3) 0
7( 4) 3( 1) 14 0
− + − =
− + + − − =
yx
x x y
2 3 21
10 3 45
+=
+=
xy
xy
3
5
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 3;5xy =
b.
( 1)( 1) ( 2)( 1) 1
2( 2) 2 3
+ − = − + −
− − = −
x y x y
x y x xy
2 3 2
43
−=
+=
xy
xy
17
11
4
11
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
17 4
;;
11 11
xy

=


Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
a.
23
1
32
3(3 2) 4( 2 ) 0
x
y
y x y
+
=
−
+ − + =
b.
( 2)(6 1) (2 3)(3 1)
(2 1)(12 9) (4 1)(6 5)
x y x y
x y x y
− + = − +
+ − = − −
Lời giải
Trang 14
a)
23
1
2
32
3 2 0
3
3(3 2) 4( 2 ) 0
+
=

−
−


+ − + =
x
y
yy
y x y
2 3 3 2
9 6 4 8 0
+ = −
+ − − =
xy
y x y
2,3
3,2
=
=
x
y
(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2,3;3,2xy =
b)
( 2)(6 1) (2 3)(3 1)
(2 1)(12 9) (4 1)(6 5)
− + = − +
+ − = − −
x y x y
x y x y
6 12 6 2 9 3
24 18 12 9 24 20 6 5
+ − = + − −
− + − = − − +
xy x y xy x y
xy x y xy x y
2
1
=−
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2;1xy =−
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
2 3 1
21
45
4 2 2 3 1
4 6 3
x y x y
xy
x y x y x y
− + −
− = − −
+ − − − − −
=−
Lời giải
Ta có:
2 3 1
21
45
4 2 2 3 1
4 6 3
− + −
− = − −
+ − − − − −
=−
x y x y
xy
x y x y x y
5(2 3 ) 4( 1) 20(2 1)
3(4 2) 2(2 3) 4( 1)
− − + − = − −
+ − = − − − − −
x y x y x y
x y x y x y
2
3
4
3
=
−
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
24
;;
33
xy
−

=


Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
a.
2 2 3 14
3 3 2 3(4 3 2)
xy
xy
− = −
+ = −
b.
( 3 1) 3
( 3 1) 1
xy
xy
− − =
+ + =
Lời giải
a)
2 2 3 14
3 3 2 3(4 3 2)
− = −
+ = −
xy
xy
Trang 15
4 3 3 6 3 3
2
4 3 3 6 3 3
2 2 3( ) 14
2
−−
=
−−
− = −
x
y
x
x
(9 2) 9 2 2
23
+ = − −
=
x
y
2
23
=−
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
( )
; 2;2 3xy =−
b.
( 3 1) 3
( 3 1) 1
− − =
+ + =
xy
xy
( 3 1) 3
( 3 1). .[( 3 1) 3]=1
= − −
+ + − −
yx
x x x
( 3 1) 3
3 4 3
= − −
=+
yx
x
43
3
1
3
+
=
−
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
4 3 1
;;
33
xy

+−
=



.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
I. Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau
Trang 16
Bước 1: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản (tìm điều kiện của ẩn phụ nếu có).
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, từ đó tìm nghiệm của
hệ phương trình đã cho.
II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a.
1 1 1
12
8 15
1
xy
xy
+=
+=
b.
21
3
22
43
1
22
x y y x
x y y x
+=
++
−=
++
Lời giải
a. Điều kiện
,0xy
.
Đặt
11
;==ab
xy
, ta có:
1
12
8 15 1
+=
+=
ab
ab
2
88
3
8 15 1
+=
+=
ab
ab
1
28
1
21
=
=
a
b
28
21
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 28;21xy =
.
b.
( )
21
3
22
2 ; 2
43
1
22
+=
++
− −
−=
++
x y y x
x y y x
x y y x
Đặt
11
1;
22
==
++
b
x y y x
Ta có:
3
4 3 1
+=
−=
ab
ab
10
7
11
7
=
=
a
b
Trang 17
1
3
1
3
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1
3
xy==
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
52
8
31
3 1 3
3 1 2
x y x y
x y x y
−=
+ − − +
+=
+ − − +
Lời giải
Ta có:
52
8
31
3 1 3
3 1 2
−=
+ − − +
+=
+ − − +
x y x y
x y x y
. Điều kiện:
3; 1+ − −x y x y
Đặt
11
;
31
==
+ − − +
ab
x y x y
Ta có:
5 2 8
3 1,5
−=
+=
uv
uv
1
3
2
=
−
=
u
v
1
1
3
13
12
=
+−
−
=
−+
xy
xy
1
1
31
6
3( 1) 2 5
2
6
x
xy
xy
y
=
+ − =


− + = −
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
15
; 1 ;2
66
xy

=


Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
a.
4 5 5
1 2 3 2
3 1 7
1 2 3 5
x y x y
x y x y
−=
+ − − +
+=
+ − − +
b.
3 1 1
5 10
3 3 1
4 4 12
xy
xy
+=
+=
Lời giải
a.
4 5 5
1 2 3 2
3 1 7
1 2 3 5
−=
+ − − +
+=
+ − − +
x y x y
x y x y
Trang 18
5
45
2
7
3
5
−=
+=
uv
uv
8 10 5
15 5 7
−=
+=
uv
uv
10
3
19
3
−
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
10 19
;;
33
xy
−

=


b.
3 1 1
5 10
3 3 1
4 4 12
+=
+=
xy
xy
. Điều kiện:
,0xy
31
5 10
3 3 1
4 4 12
+=
+=
uv
uv
1
36
1
12
=
=
u
v
36
12
=
=
x
y
(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 36;12xy =
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a.
1 3 2 2
( 1; 2)
2 1 5 2 15
xy
xy
xy
− − + =
−
− + + =
b.
4 3 9 1 2
( 3; 1)
5 3 3 1 31
xy
xy
xy
+ − + =
− −
+ + + =
c.
2
2
2( 2 ) 1 0
( 1)
3( 2 ) ( 2 1) 7
x x y
y
x x y
− + + =
−
− + − + = −
Lời giải
a.
( )
1 3 2 2
1; 2
2 1 5 2 15
− − + =
−
− + + =
xy
xy
xy
. Đặt
1 0; 2 0− = + = x u y v
Ta có HPT:
32
2 5 15
−=
+=
uv
uv
Trang 19
5
1
=
=
u
v
15
21
−=
+=
x
y
26
1
=
=−
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 26; 1xy =−
b.
4 3 9 1 2
5 3 3 1 31
+ − + =
+ + + =
xy
xy
Điều kiện:
3; 1 − −xy
22
3
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 22;3xy =
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
2
2
2( 2 ) 1 0
3( 2 ) ( 2 1) 7
− + + =
− + − + = −
x x y
x x y
Lời giải
Điều kiện:
1−y
Ta có:
2
2
2( 2 ) 1 0
3( 2 ) ( 2 1) 7
− + + =
− + − + = −
x x y
x x y
2
21
12
− = −
+=
xx
y
1
3
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 1;3xy =
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
a.
7 4 5
3
76
( 7; 6)
5 3 13
6
76
xy
xy
xy
−=
−+
−
+=
−+
b.
2
2
22
5 1 3 2 7
4 8 4 0
:
4 4 0
2 4 8 4 5 4 4 13
x
ĐK
xy
x
yy
x x y y
− − + =

− +




+ +
− + + + + =

Lời giải
a.
7 4 5
3
76
5 3 13
6
76
−=
−+
+=
−+
xy
xy
Trang 20
11
3
7
11
6
6
=
−
=
+
x
y
73
66
−=
+=
x
y
16
30
=
=
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 16;30xy =
b.
22
5 1 3 2 7
2 4 8 4 5 4 4 13
− − + =
− + + + + =
xy
x x y y
5 1 3 2 7
4 1 5 2 13
− − + =
− + + =
xy
xy
5 3 7
4 5 13
−=
+=
uv
uv
12
21
−=
+=
x
y
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (3;-1); (3;-3); (-1;-1); (-1;-3)
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau
a.
2
2
7 13 39
5 11 33
xy
xy
+ = −
−=
b.
22
22
2 10
25
xy
xy
+=
−=
c.
23
23
( 3) 2 6
3( 2) 5 7
xy
xy
+ − =
+ + =
Lời giải
a. Đặt
2
0;= =x u y v
, ta được:
7 13 39
5 11 33
− = −
−=
uv
uv
0
3
=
=−
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0; 3xy =−
b. Đặt
2
2
0 2 10 5 5
2 5 0 0
0
x u u v u x
u v v y
yv
= + = = =
− = = =
=
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
( ) ( ) ( )
; 5;0 ; 5;0xy =−
c. Đặt
2
3
( 3) 0
+ =
=
xu
vy
, ta được:
26
3 5 7
−=
+=
uv
uv

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Phương pháp thế
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn
lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa 1 ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Nhận xét: Tùy theo hệ phương trình ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc biểu diễn y theo x * Chú ý:
Giải và biện luận phương trình: ax + b = 0 - Nếu b − a  0  x = a
- Nếu a  0 và b  0 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
2. Phương pháp cộng đại số
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai
phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối
nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
A: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
I. Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm như sau
- Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn
theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và
giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
*) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn thường là 1 và -1 II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau x + y = 5 x − 2y = 2 a.  b.  4x − 3y = 1 − 2x − 4y = 4 Lời giải Trang 1
a) Cách 1: Thế y theo x ở phương trình thứ nhất x + y = 5 y = 5 − x  y = 5 − xx = 2 Ta có        4x − 3y = 1 − 4x − 3  (5− x) = 1 − 7  x =14 y = 3
Cách 2: Thế x theo y ở phương trình thứ nhất x + y = 5 x = 5 − y  x = 5 − yx = 2 Ta có        4x − 3y = 1 − 4
 (5 − y) − 3y = 1 −  7 − y = 2 − 1 y = 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (2;3) x − 2y = 2 x = 2 + 2y  x = 2 + 2y b) Cách 1: Ta có      2x − 4y = 4 2
 (2 + 2y) − 4y = 4 0y = 0
Ta thấy rằng 0y = 0 có nghiệm đúng với mọi y R
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn x = 2 + 2 y x = 2 + 2y
Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( ;
x y) tính bởi công thức   y R  1 y = x −1   1 x − 2y = 2   = − Cách 2: Ta có 2 y x 1      2 2x − 4y = 4  1  2x − 4 x −1 = 4    0x = 0   2 
Ta thấy rằng 0x = 0 có nghiệm đúng với mọi x R
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 1 y = x −1 2  1  = −
Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( y x 1 ;
x y) tính bởi công thức   2 xR
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 8  x − 2y =10 3
x − 4y + 2 = 0 a.  b.   4 − x + y = 3 5  x + 2y =14 Lời giải 8  x − 2y =10 8
 x − 2(3+ 4x) =10 0x =16 a) Cách 1: Ta có       4 − x + y = 3 y = 3+ 4xy = 3+ 4x
Ta thấy phương trình Ox = 16 vô nghiệm với mọi x R
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.   1 3  0y =16 8  x − 2y =10 8  y − − 2y =10 Cách 2: Ta có        4 4    1 3  4 − x + y = 3 x = y − y 3 4x  − =  4 4
Ta thấy phương trình Oy = 16 vô nghiệm với mọi y R Trang 2
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.  4 y − 2 x =   4 y − 2 3
x − 4y + 2 = 0 3  x − 4y = 2 −  3 x = x = 2 b)        3   5  x + 2y =14 5  x + 2y =14  4y − 2   + =  y = 2 5. 2 y 14   26y = 52   3 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (2;2)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế 2x − y = 3 x − 3y = 2 a)  b)  x + 2y = 4  2 − x + 5y =1 4x + y = 1 − x − y = 2 − c)  d)  7x + 2y = 3 − 2x − 2y = 8  2 − x + y = 3 −x + y = 2 − e)  f)  4x − 2y = 4 − 3  x − 3y = 6 x + 3y = 1 − 3  x + y = 3 g)  h)  3  x + 9y = 3 −  2 − x − 3y = 5 Lời giải 2x − y = 3 a)  x + 2y = 4
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2x − 3 .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được x + 2(2x − 3) = 4 hay 5x − 6 = 4 suy ra x = 2
Từ đó y = 2.2 − 3 = 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; ) 1 x − 3y = 2 b)   2 − x + 5y =1
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có x = 2 + 3y .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 2
− (2 + 3y) + 5y =1 hay 4 − − y = 1 suy ra y = −5 Từ đó x = 2 + 3.( 5 − ) = 13 − .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( 1 − 3; 5 − ) 4x + y = 1 − c)  7x + 2y = 3 −
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = −1− 4x .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 7x + 2( 1 − − 4x) = 3
− hay −x = −1 suy ra x = 1 Từ đó y = 1 − − 4.( ) 1 = 5 − .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; 5 − ) x − y = 2 − d)  2x − 2y = 8
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = x + 2 . Trang 3
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 2x − 2(x + 2) = 8 hay 0x − 4 = 8( ) 1
Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức ( )
1 nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.  2 − x + y = 3 e)  4x − 2y = 4 −
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2x + 3 .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 4x − 2(2x + 3) = 4
− hay 0x = 6 = −4 (1)
Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức ( )
1 nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm. −x + y = 2 − f)  3  x − 3y = 6
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = x − 2 (1)
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 3x − 3(x − 2) = 6 hay 0x + 6 = 6 suy ra 0x = 0 (2)
Ta thấy với mọi giá của của x đều thỏa mãn (2)
Với mỗi giá trị tùy ý của x , giá trị tương ứng của y được tính bởi (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ;
x x − 2) với x  tùy ý. x + 3y = 1 − g)  3  x + 9y = 3 −
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có x = −1− 3y (1)
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 3( 1
− − 3y) + 9y = 3
− hay 0y − 3 = −3 Suy ra 0y = 0 (2)
Ta thấy với mọi giá của của y đều thỏa mãn (2)
Với mỗi giá trị tùy ý của y , giá trị tương ứng của x được tính bởi (1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( 1
− − 3y; y) với y  tùy ý. 3  x + y = 3  ( ) 1 h) 
−2x − 3y = 5  (2) Từ phương trình ( )
1 ta có y = 3 − 3x (3) .
Thay y = 3 − 3x vào phương trình (2) ta được 2
− x − 3(3−3x) = 5
Giải phương trình này ta được x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (3) ta được y = −3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;−3)
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế 3  x +12y = 5 −  2 − x + 4y = 5 a)  b)  x + 4y = 3 −x + 2y =1 1
 2x − 4y = 1 − 6 x − 3y = 4 c)  d)  3  x − y = 4 −  2 − x + 6y = 8 − Trang 4 2x + y = 5 x − 3y = 2 e)  f)  3  x − 2y =11  2 − x + 5y =1 Lời giải 3  x +12y = 5 −  ( ) 1 a) Đặt  x + 4y = 3  (2)
Từ phương trình (2) ta có x = 3− 4y (3) . Thay vào phương trình ( ) 1 ta được:
3.(3− 4y) +12y = 5 −
9 = 12 y +12 y = 5 − 0 y = 14 − (vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
−2x + 4y = 5 (1)  b)  −x + 2y = 1  (2)
Từ phương trình (2) ta có x = 2y −1 (3) . Thay vào phương trình ( ) 1 ta được 2 − (2y − ) 1 + 4y = 5 4
− y + 2 + 4y = 5 0 y = 3 (vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm 1
 2x − 4y = 1 − 6(1) c) Đặt  3  x − y = 4 − (2)
Từ phương trình (2) ta có y = 3x + 4 (3). Thay vào phương trình ( ) 1 ta được
12x − 4.(3x + 4) = 16 −
12x = 12x −16 = −16
0x = 0 (vô số nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. x − 3y = 4  ( ) 1 d) 
−2x + 6y = −8  (2) Từ phương trình ( )
1 ta có x = 3y + 4 (3). Thay vào phương trình (2) ta được 2
− (3y + 4) + 6y = 8 − 6
− y − 8 + 6y = 8 −
0 y = 0 (vô số nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. 2x + y = 5  ( ) 1 e)  3
x − 2y = 11  (2) Từ phương trình ( )
1 ta có y = 5 − 2x (3)
Thay vào phương trình (2) ta được
3x − 2.(5 − 2x) =11
3x −10 + 4x = 11 7x = 21 Trang 5 x = 3
Thay giá trị x = 3 vào phương trình (3) ta có y = 5 − 2.3 = −1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (3;− ) 1 x − 3y = 2  ( )1 f) 
−2x + 5y = 1  (2) Từ phương trình ( )
1 ta có x = 3y + 2 (3)
Thay vào phương trình (2) ta được: 2.
− (3y + 2) + 5y =1 6
− y − 4 + 5y = 1 − y = 5 y = 5
Thay giá trị y = 5 vào phương trình (3) ta có x = 3.( 5 − ) + 2 = 13 −
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ( 13 − ; 5 − )
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau  x 2 3x + =  = 2y 0  a.   y 3 b. 2   x + y 2y 5
x + y −1 = 0  − =  2 3 2 Lời giải
a) Điều kiện x  0; y  0  2  x 2 x =  = 3  x − 2y = 0 3  (−y + ) 1 − 2y = 0  5  y 3        x = −y +1
x = −y +1 3
x + y −1 = 0 y =  5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (   x y) 2 3 ; = ;    5 5  3x + 2y = 0   + =  = b) 3x 4y 0 x 4 2      x + y 2y 5 3 
 (x + y) − 4y =15 y = 3 − − =  2 3 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (4; 3 − )
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
( 2 −1)x − y = 2
−x − 2y = 3 a)  b) 
x + ( 2 +1)y =1
 2x + 2y = − 6 Lời giải
( 2 −1)x − y = 2 a) 
x + ( 2 +1)y =1 Trang 6
y = ( 2 −1)x − 2 
x + ( 2 +1)y =1
y = ( 2 −1)x − 2   x +  ( 2 + )1.  ( 2 − ) 1 x − 2  = 1 
y = ( 2 −1)x − 2   x +  ( 2 + )1.  ( 2 − ) 1 x − 2  = 1 (*)   2 + 3 x =  2  −1  y =  2 ( )
* : x + x − 2 ( 2 + ) 1 = 1 2x = 2 + 2 +1 2x = 3 + 2 3 + 2 x = 2  + 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) 2 3 1 ; =  ;−   2 2   
−x − 2y = 3 b) 
 2x + 2y = − 6
x = − 2y − 3   2
 (− 2y − 3) + 2y = − 6
x = − 2y − 3 
−2y − 6 + 2y = − 6
x = − 2y −3  (luôn đúng) − 6 = − 6
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau 
x 5 + y = 6 + 5 x − y 2 = 0 a)   b)  3
x 2 + 3y = 5 2
x + (1− 5) y = 1 −   5 Lời giải
x − y 2 = 0 a) Cách 1: Ta có 
x 2 + 3y = 5 2 x = y 2 
y 2. 2 + 3y = 5 2 Trang 7 x = y 2  5  y = 5 2 x = 2   y = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (2; 2) .
x − y 2 = 0 Cách 2: Ta có 
x 2 + 3y = 5 2  1 y =  x  2  1 x 2 + 3. x = 5 2  2  1 y =  x  2  5  x = 5 2  2 x = 2   y = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (2; 2)
x 5 + y = 6 + 5 b) Cách 1: Ta có  3
x + (1− 5) y = 1 −   5
y = 6 + 5 − x 5   3
x + (1− 5)(6 + 5 − x 5) = 1 −  (*)  5
Giải riêng phương trình (*): ( )  3  *  −  (1− 5) 5 x = 1−−  (6+ 5)(1− 5)  5   2  1 − + x = 2 − + 5 5    5  x = 5
Khi đó: y = 6 + 5 − 5. 5 =1+ 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ( 5;1+ 5) Cách 2: Ta có:
x 5 + y = 6 + 5   3
x + (1− 5) y = 1 −   5 Trang 8
x 5 = 6 + 5 − y   3
x + (1− 5) y = 1 −   5  6 1 x = +1−  y  5 5  3  6 1   . +1− y +   (1− 5) = −1 (**)  5  5 5 
Giải riêng phương trình (**) ta được: ( )  3  3 18 **  1− 5 − y = 1 − − −    5  5 5 2 − 5 5 2 − 3− 3 5 y = 5 5 y = 1+ 5 Khi đó 6 1 x = +1− (1+ 5)= 5 5 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ( 5;1+ 5).
Bài 8: Giải các phương trình sau bằng phương pháp thế 5
 x 3 + y = 2 2
 2.x − 3.y =1 a)  b) 
x 6 − y 2 = 2
x + 3.y = 2 Lời giải
a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2 2 − 5x 3 .
Thay vào phương trình thứ hai ta được x − ( − x) 6 6 2 2 5 3 . 2 = 2  x = 6 − Từ đó 6 2 y = 2 2 − 5. . 3 = 6 2  6 − 2 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  ;   . 6 2   
b) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có x = 2 − 3.y .
Thay vào phương trình thứ nhất ta được ( − y) 1 2. 2
3. − 3y = 1 y = 6 + 3 1 Từ x = 2 − 3. =1 6 + 3  1 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là 1;    6 + 3 
Bài 9: Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế
 2x − 3y =1
x − 2 2y = 5 a)  b)  x + 3y = 2
 2x + y =1− 10 Trang 9 ( 2 −  )1x− y = 2 c)  x +  ( 2 + )1y =1 Lời giải  2x − 3y =1  ( )1
a) Giải hệ phương trình  x + 3y = 2  (2)
Từ phương trình (2) suy ra x = 2 − 3y . Thay vào phương trình ( ) 1 ta có ( − −
y) − y =  y( + ) 6 3 2 2 3 3 1 6 3 = 1 y = 3 − Khi 6 3 y = thay vào (2) ta có 3  6 − 3  x + 3.
 = 2  x + 2 −1 = 2  x =1  3     6 − 3 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;   3   
x − 2 2y = 5  ( )1
b) Giải hệ phương trình 
 2x + y =1− 10  (2) Từ phương trình ( )
1 suy ra x = 5 − 2 2y . Thay vào phương trình (2) ta có ( − + y) 1 2 10 2 5 2 2
+ y =1− 10  5y =1− 10  y = 5 − Khi 1 2 10 y = thay vào ( ) 1 ta có 5 1− 2 10  2 2 − 3 5 x = 5 + 2 2.   x =  5  5    2 2 −3 5 1− 10 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ;   5 5    ( 2 − 
)1x− y = 2 ( )1 c)  x +  ( 2 + )1y =1(2) Từ phương trình ( ) 1 suy ra y = ( 2 − )
1 x − 2 . Thay vào phương trình (2) ta có + x + ( + ) ( − ) 3 2 2 1 .
2 1 x − 2  =1 2x − 2 − 2 =1 x =   2 + Khi 3 2 x = thay vào (2) ta có 2 3 + 2 ( ) + + + y =  ( + ) 1 2 1 2 1 1 2 1 y = −  y = − 2 2 2  3+ 2 1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ;−   2 2    Trang 10
Bài 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế x + 5y = 0  ( )1 (2− 3 
)x−3y = 2+5 3 ( )1 a)  b) 
 5x + 3y =1− 5  (2)
4x + y = 4 − 2 3  (2) Lời giải x + 5y = 0  ( )1
a) Giải hệ phương trình 
 5x + 3y =1− 5  (2) Từ phương trình ( )
1 suy ra x = − 5y . Thay vào phương trình (2) ta có ( − − y) 5 1 5. 5 + 3y =1− 5  2
− y =1− 5  y = 2 − − − Khi 5 1 y = suy ra x = (− ) 5 1 5 5 5 .  x = 2 2 2  5 −5 5 −1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ;   2 2    (2− 3 
)x−3y = 2+5 3 ( )1
b) Giải hệ phương trình 
4x + y = 4 − 2 3  (2)
Từ phương trình (2) suy ra xy = 4 − 2 3 − 4x . Thay vào phương trình ( ) 1 ta có
(2− 3)x−3(4−2 3−4x)= 2+5 3 (14− 3)x =14− 3  x =1
Khi x = 1 suy ra y = 2 − 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 2 − 3) 2x − y = 3 − 
Bài 11: Cho hệ phương trình 
, trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương 2  2 − m x + 9y = 3  (m+3)
trình tròn mỗi trường hợp sau a) m = −2 b) m = −3 c) m = 3 Lời giải 2x − y = 3 −
a) Thay m = −2 ta có hệ   8 − x + 9y = 3
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2x + 3 . Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 8
− x + 9(2x + 3) = 3 hay 10x + 27 = 3 suy ra 12 x = − 5 Từ đó  12  9 y = 2. − + 3 = −    5  5
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  12 9  − ;−    5 5  2x − y = 3 −
b) Thay m = −3 ta có hệ   1 − 8x + 9y = 0 Trang 11
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2x + 3 . Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 18
− x + 9(2x + 3) = 0 hay 0x + 27 = 0 (1)
Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm, 2x − y = 3 −
c) Thay m = 3 ta có hệ   1 − 8x + 9y = 1 − 8
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2x + 3 . Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 18
− x + 9(2x + 3) =18 hay 0x = 0
Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn (1)
Với giá trị tùy ý của x thì giá trị tương ứng của y được tính bởi phương trình y = 2x + 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ;
x 2x + 3) với x  tùy ý.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I. Phương pháp giải
- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được. II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 5
 (x + 2y) −3(x − y) = 99
(x +1)(y −1) = xy −1 a.   b. 
x −3y = 7x − 4y −17 (  x − 3 
)( y −3) = xy −3 Lời giải 5
 (x + 2y) −3(x − y) = 99 a) Ta có: 
x −3y = 7x − 4y −17 5
x +10y − 3x + 3y = 99 
x − 3y − 7x + 4y = 1 − 7 2x +13y = 99   6 − x + y = 1 − 7 x = 4  y = 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (4;7) Trang 12
(x +1)(y −1) = xy −1 b) Ta có: (  x − 3 
)( y −3) = xy −3
xy − x + y −1 = xy −1 
xy − 3x − 3y + 9 = xy − 3 −x + y = 0   3 − x − 3y = 1 − 2 x = y = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (2;2)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 3
 (y − 5) + 2(x − 3) = 0 a. 
7(x − 4) + 3(x + y −1) −14 = 0
(x +1)(y −1) = (x − 2)(y +1) −1 b. 
2(x − 2)y − x = 2xy − 3 Lời giải 3
 (y − 5) + 2(x − 3) = 0 a. Ta có: 
7(x − 4) + 3(x + y −1) −14 = 0 2x + 3y = 21  1  0x + 3y = 45 x = 3  y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (3;5)  x + y − = x − y + − b. ( 1)( 1) ( 2)( 1) 1 
2(x − 2)y − x = 2xy − 3 2x − 3y = 2  x + 4y = 3  17 x =  11  4  y =  11
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (   x y) 17 4 ; = ;    11 11
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau  2x + 3  = 1 a. 3y − 2 3
 (3y + 2)−4(x+ 2y) = 0
(x − 2)(6y +1) = (2x − 3)(3y +1) b. 
(2x +1)(12y − 9) = (4x −1)(6y −5) Lời giải Trang 13  2x + 3  =1 a)  2  3y − 2
3y − 2  0  y      3  3
 (3y + 2) − 4(x + 2y) = 0
2x + 3 = 3y − 2  9
y + 6 − 4x −8y = 0 x = 2,3  (thỏa mãn) y = 3, 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (2,3;3,2)
(x − 2)(6y +1) = (2x − 3)(3y +1) b) 
(2x +1)(12y − 9) = (4x −1)(6y − 5)
6xy + x −12y = 6xy + 2x − 9y − 3 
24xy −18x +12y − 9 = 24xy − 20x − 6y + 5 x = 2 −  y =1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ( 2 − ; ) 1
2x − 3y x + y −1 − = 2x − y −1 
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  4 5  4x + y − 2
2x − y − 3 x − y −1  = −  4 6 3 Lời giải
2x − 3y x + y −1 − = 2x − y −1  Ta có:  4 5  4x + y − 2
2x − y − 3 x − y −1  = −  4 6 3 5
 (2x − 3y) − 4(x + y −1) = 20(2x − y −1)  3
 (4x + y − 2) = 2(2x − y − 3) − 4(x − y −1)  2 x =  3  −4  y =  3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (  −  x y) 2 4 ; = ;    3 3 
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
 2x − 2 3y = −14
( 3 −1)x − y = 3 a.  b.  3
 3x + 2y = 3(4 − 3 2)
x + ( 3 +1)y =1 Lời giải  x − y = − a) 2 2 3 14  3
 3x + 2y = 3(4 − 3 2) Trang 14  4 3 − 3 6 − 3 3xy =  2   4 3 − 3 6 − 3 3x 2x − 2 3( ) = −14  2
x(9 + 2) = −9 2 − 2  y = 2 3 x = − 2  y = 2 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (− 2;2 3)
( 3 −1)x − y = 3 b. 
x + ( 3 +1)y =1
y = ( 3 −1)x − 3 
x + ( 3 +1). .x[( 3 −1)x − 3]=1
y = ( 3 −1)x − 3  3x = 4 + 3  4 + 3 x =  3  −1  y =  3  + − 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) 4 3 1 ; =  ;   . 3 3   
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
I. Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau Trang 15
Bước 1: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản (tìm điều kiện của ẩn phụ nếu có).
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, từ đó tìm nghiệm của
hệ phương trình đã cho. II. Bài toán
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 1 1 1 + =  2 1  + = 3  + + a.  x y 12 x 2 y y 2x  b.  8 15  + = 4 3 1  − = 1  x y
 x + 2y y + 2x Lời giải
a. Điều kiện x, y  0 . Đặt 1 1 = ; a = b , ta có: x y  1 a + b =  12 8  a +15b =1  2 8  a + 8b =  3 8  a +15b =1  1 a =  28  1 b =  21 x = 28  y = 21
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (28;2 ) 1 .  2 1 + = 3 x + y y + b. 2 2x
(x  −2y; y  −2x) 4 3  − = 1
 x + 2y y + 2x Đặt 1 1 =1; = b x + 2y y + 2xa + b = 3 Ta có:  4a − 3b =1  10 a =  7  11 b =  7 Trang 16  1 x =  3  1  y =  3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1 x = y = 3  5 2 − = 8  + − − +
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: x y 3 x y 1  3 1 3  + =
 x + y −3 x − y +1 2 Lời giải  5 2 − = 8
x + y − x − y + Ta có: 3 1 
. Điều kiện: x + y  3; x − y  −1 3 1 3  + =
 x + y −3 x − y +1 2 Đặt 1 1 = ; a = b x + y − 3 x − y +1 5  u − 2v = 8 Ta có:  3  u + v =1,5 u = 1   −3 v =  2  1 = 1 x + y −3  1 −3  =
 x − y +1 2  1 x = 1
x + y − 3 = 1  6     3
 (x − y +1) = 2 − 5 y = 2  6
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (   x y) 1 5 ; = 1 ;2    6 6 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau  4 5 5 − =  3 1 1  + =  + − − + 
a. x y 1 2x y 3 2 5x y 10  b.  3 1 7  + = 3 3 1  + =
 x + y −1 2x − y + 3 5 4x 4y 12 Lời giải  4 5 5 − = x + y − x − y + a. 1 2 3 2  3 1 7  + =
 x + y −1 2x − y + 3 5 Trang 17  5 4u − 5v =  2  7 3  u + v =  5 8  u −10v = 5  1  5u + 5v = 7  10 − x =  3  19 y =  3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (  −  x y) 10 19 ; = ;    3 3   3 1 1 + =  b. 5x y 10 
. Điều kiện: x, y  0 3 3 1  + = 4x 4y 12 3 1 u + v = 5 10  3 3 1  u + v = 4 4 12  1 u =  36  1 v =  12 x = 36  (thỏa mãn) y =12
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (36;12)
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
 x −1−3 y + 2 = 2 a. 
(x  1; y  2) −
2 x −1 + 5 y + 2 = 15 
4 x +3 −9 y +1 = 2 b.  (x  3 − ; y  −1) 5
x + 3 + 3 y +1 = 31  2
2(x − 2x) + y +1 = 0 c.  ( y  1 − ) 2 3
 (x − 2x) + ( 2 − y +1) = 7 −  Lời giải
 x −1−3 y + 2 = 2 a. 
(x 1; y  −2). Đặt x −1 = u  0; y + 2 = v  0
2 x −1 + 5 y + 2 =15  u − 3v = 2 Ta có HPT:  2u + 5v =15 Trang 18u = 5  v =1  x −1 = 5   y + 2 = 1  x = 26  y = 1 −
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (26;− ) 1
4 x +3 −9 y +1 = 2 b.  5
x + 3 + 3 y +1 = 31 
Điều kiện: x  −3; y  −1 x = 22  y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (22;3) 2
2(x − 2x) + y +1 = 0
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:  2 3
 (x − 2x) + ( 2 − y +1) = 7 −  Lời giải
Điều kiện: y  −1 2
2(x − 2x) + y +1 = 0 Ta có:  2 3
 (x − 2x) + ( 2 − y +1) = 7 −  2
x − 2x = −1   y +1 = 2  x =1  y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (1;3)
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau  7 4 5 − =   x − 7 y + 6 3 a. 
(x  7; y  6) − 5 3 13  + =  x − 7 y + 6 6  2 5
x −1 − 3 y + 2 = 7  
4x −8x + 4  0 b.   ĐK :   2 2  2 
2 4x −8x + 4 + 5 y + 4y + 4 =13  
y + 4y + 4  0  Lời giải  7 4 5 − =   x − 7 y + 6 3 a.  5 3 13  + =  x − 7 y + 6 6  Trang 19  1 1 =  x −7 3  1 1  =  y + 6 6   x − 7 = 3   y + 6 = 6  x =16  y = 30
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (16;30) 5
x −1 − 3 y + 2 = 7 b.  2 2
2 4x −8x + 4 + 5 y + 4y + 4 =13 
5 x −1 − 3 y + 2 = 7  
4 x −1 + 5 y + 2 = 13  5  u − 3v = 7  4u + 5v =13  x −1 = 2    y + 2 = 1 
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (3;-1); (3;-3); (-1;-1); (-1;-3)
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau 2
7x +13y = 3 − 9 2 2 2x + y =10 a.  b.  2 5
 x −11y = 33 2 2
x − 2y = 5 2 3
(x +3) − 2y = 6 c.  2 3 3
 (x + 2) + 5y = 7 Lời giải a. Đặt 2
x = u  0; y = v , ta được: 7u −13v = 3 − 9  5
u −11v = 33 x = 0  y = 3 −
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (0; 3 − ) 2
x = u  0 2u + v =10 u  = 5 x = 5  b. Đặt        2
y = v  0 u  − 2v = 5 v = 0 y = 0
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ; x y) = (5;0);( 5 − ;0) 2
(x +3) = u  0 c. Đặt  , ta được: 3 v = yu − 2v = 6  3  u + 5v = 7 Trang 20

Tài liệu liên quan: