Các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác thường gặp

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác là một chủ đề kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình Đại số và Giải tích 11 mà còn chiếm một lượng điểm nhất định trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán.

Môn:

Toán 11 3.3 K tài liệu

Thông tin:
130 trang 1 năm trước
Tác giả:
K
Kim Oanh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác thường gặp

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác là một chủ đề kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình Đại số và Giải tích 11 mà còn chiếm một lượng điểm nhất định trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán.

71 36 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT) 134 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Thông tin:

130 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng
hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
BÀI 1
Mục lục
P
hần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác ............................................................................................................... 1
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác ........................................................................................................... 7
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................... 7
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 9
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 12
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 12
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 13
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 14
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 14
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 17
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 17
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác ......................................................................................................... 21
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 22
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ........................................................................................................... 24
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 28
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 28
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 29
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 31
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 31
Phần A. CÂU HỎI
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác
Câu 1. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số
ta
n=y x
là:
A.
\
0
R
B.
\
,
2
R k k Z
C.
R
D.
\
,
R
k k Z
Câu 2. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Hàm số
2
sin 1
1 cos
x
y
x
=
-
xác định khi
A.
2
2
x
k
B.
x
k
C.
D.
2
x
k
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Câu 3. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tập xác định
D
của hàm
số
cot sin 5 cosy x x x
A.
\ ,
2
D R k k Z
=
B.
\ 2 ,
2
D R k k Z
=
C.
\ ,
D R k k Z
=
D.
\ 2 ,
D R k k Z
=
Câu 4. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm điều kiện xác định của
hàm số
1 3cos
sin
x
y
x
-
=
A.
2x k
. B.
2
k
x
. C.
2
x k
. D.
x k
.
Câu 5. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Chọn khẳng định sai?
A. Tập xác định của hàm số
cot=y x
là
2
\ ,k k
.
B. Tập xác định của hàm số
sin=y x
là
.
C. Tập xác định của hàm số
cos=y x
là
.
D. Tập xác định của hàm số
tan=y x
là
2
\ ,k k
.
Câu 6. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số
inx 1
i
s
nxs 2
y
=
-
là
A.
( )
2;
-
B.
( )
2;
C.
\ 2
. D.
.
Câu 7. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số
cot
cos 1
x
y
x
=
-
là
A.
\ ,
2
k k
. B.
\ ,
2
k k
.C.
\ ,k k
. D.
\ 2 ,k k
.
Câu 8. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số
coty x=
là:
A.
\ 2 ,k k
. B.
\ ,
2
k k
.C.
\ ,k k
. D.
\ 2 ,
2
k k
.
Câu 9. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Hàm số
nào có tập xác định là
:
A.
2
2
cos 2
cot 1
x
y
x
=
B.
2 2cosy x
=
C.
cot3 tany x x= -
D.
sin 2
y x
=
Câu 10. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Điều kiện xác định của hàm
số
1
sin cos
y
x x
=
-
là
A.
( )
2 .
x k k
B.
( )
.
2
x k k
C.
( )
.
x k k
D.
( )
.
4
x k k
Câu 11. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số
tan 2=y x
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
A.
\ ,
4
=
D k k
. B.
\ ,
4 2
=
D k k
.
C.
\ ,
2
=
D k k
. D.
\ ,
2
=
D k k
.
Câu 12. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số
1 cos
sin 1
x
y
x
là:
A. B. C. . D.
Câu 13. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Tập xác
định của hàm số
cot 2 tany x x= -
là:
A.
\ ,
2
k k
B.
\ ,k k
. C.
\ ,
4 2
k k
D.
\ ,
2
k k
Câu 14. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số
2sin=y x
là
A.
0;2
. B.
1;1
-
. C.
. D.
2;2
-
.
Câu 15. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định
D
của hàm số
1
sin cos
y
x x
=
-
.
A.
\ |D k k
=
. B.
\ |
2
D k k
=
.
C.
\ |
4
D k k
=
. D.
\ 2 |D k k
=
.
Câu 16. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Tập xác định của hàm số
tan 2
cos
x
y
x
=
là tập nào sau
đây?
A.
D =
. B.
\
2
D k
=
,k
.
C.
\ ,
4 2
D k k
=
. D.
\ ; ,
4 2 2
D k k k
=
.
Câu 17. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau:
(1) Hàm số
siny x=
có tập xác định là
.
(2) Hàm số
cosy x=
có tập xác định là
.
(3) Hàm số
tany x=
có tập xác định là
\
2
D k k
=
.
(4) Hàm số
coty x=
có tập xác định là
\
2
D k k
=
.
Số mệnh đề đúng là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 18. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tập xác định của hàm số
tany x= -
là:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
A.
\ ,
2
D k k
=
. B.
\ ,D k k
=
.
C.
\ 2 ,D k k
=
. D.
\ 2 ,
2
D k k
=
.
Câu 19. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Điều kiện xác định của hàm số
1 sin
cos
x
y
x
-
=
là
A.
5
12
x k
,
k
. B.
5
12 2
x k
,
k
.
C.
6 2
x k
,
k
. D.
2
x k
,
k
.
Câu 20. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định
D
của hàm số
1 sin
1 sin
x
y
x
-
=
.
A.
\ 2 ; 2 ;
2 2
D k k k
= -
. B.
\ ;D k k
= -
.
C.
\ 2 ;
2
D k k
= -
. D.
\ 2 ;
2
D k k
=
.
Câu 21. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tập xác định của hàm số
tan coty x x=
là
A.
\
4
k
D
=
. B.
\
D k
=
. C.
\
4
k
D
=
. D.
\
2
k
D
=
.
Câu 22. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tập
\
2
k
D k
=
là tập xác định của hàm số
nào sau đây?
A.
coty x=
. B.
cot 2y x=
. C.
tany x=
. D.
tan 2y x=
Câu 23. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số
5
cos 1
y
x
=
.
A.
\ 2 ,D k k
=
. B.
\ 2 ,
2
D k k
=
.
C.
\ 2 ,D k k
=
. D.
\ ,D k k
=
.
Câu 24. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số
1 2
sin 2
x
y
x
-
=
.
A.
\ ,D k k
=
. B.
\ ,
2
D k k
=
.
C.
\ 2 , 2 ,
2
D k k k
=
. D.
\ ,
2
D k k
=
.
Câu 25. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Tìm tập xác định
D
của hàm số
tan 2
4
y x
= -
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
A.
3
\ ,
8 2
k
D k
=
. B.
3
\ ,
4
D k k
=
.
C.
3
\ ,
4 2
k
D k
=
. D.
\ ,
2
D k k
=
.
Câu 26. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định của hàm số
tan
cos 1
x
y
x
=
-
.
A.
\ 2
D k
=
. B.
\ 2
2
D k
=
.
C.
\ ; 2
2
D k k
=
. D.
\ 2 ;
2
D k x k
=
.
Câu 27. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tập xác định của hàm số
tan cos
2
y x
=
là:
A.
\ 0
. B.
\ 0;
. C.
\
2
k
. D.
\
k
.
Câu 28. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tập xác định của hàm số
tan 2
3
y x
=
.
A.
\
12 2
D k k
=
. B.
\
6
D k k
=
.
C.
\
12
D k k
=
. D.
\
6 2
D k k
= -
.
Câu 29. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Tìm tập xác định
D
của
hàm số
tan 1
cos
sin 3
x
y x
x
-
=
.
A.
\ ,D k k
=
. B.
\ ,
2
k
D k
=
.
C.
\ ,
2
D k k
=
. D.
D =
.
Câu 30. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định
D
của hàm số
sin
tan 1
x
y
x
=
-
.
A.
\ ; ; , .
4
D m n m n
=
B.
\ 2 ; .
4
D k k
=
C.
\ ; ; , .
2 4
D m n m n
=
D.
\ ; .
4
D k k
=
Câu 31. (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Tập xác định
D
của hàm số
2 tan 1
3sin
x
y
x
-
=
là:
A.
\ |D k k
=
. B.
\ |
2
D k k
=
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
C.
\ |
2
k
D k
=
. D.
\ 0
D =
.
Câu 32. Tập xác định của hàm số
cos3
cos .cos .cos
3 3
x
y
x x x
=
-
là:
A.
5
\ ; k ; k ,
6 3 6 6
k
R k Z
. B.
5
\ ; ,
6 6
R k k k Z
.
C.
5
\ k ; ; ,
2 6 6
R k k k Z
. D.
5
\ ; ,
2 6 2
k
R k k Z
.
Câu 33. Tập xác định của hàm số
2
5sin 2 3 cos 5
( )
12sinx cos
x x
f x
x
=
là:
A.
\ 2 |
D R k k Z
=
. B.
\ |
2
k
D R k Z
=
.
C.
\ k |
D R k Z
=
. D.
\ |
2
D R k k Z
= -
.
Câu 34. Tập xác định của hàm số
1 cos
2sin 1
x
x
-
là:
A.
7
\ 2 ; k 2 |
6 6
D R k k Z
= -
. B.
7
\ |
6
D R k k Z
=
.
C.
\ k |
6
D R k Z
= -
. D.
7
\ ; |
6 6
D R k k k Z
= -
.
Câu 35. Tập xác định của hàm số
5 3cos 2
1 sin 2
2
x
x
-
-
là:
A.
\ |
D R k k Z
=
. B.
D R=
.
C.
\ |
2
k
D R k Z
=
. D.
\ 2 |
D R k k Z
=
.
Câu 36. Tập xác định của hàm số
1 cos
cot
6 1 cos
x
y x
x
=
-
là:
A.
\ 2 |
6
D R k k Z
= -
. B.
7
\ ,k 2 |
6
D R k k Z
=
.
C.
\ k 2 |
D R k Z
=
. D.
\ |
6
D R k k Z
= -
.
Câu 37. Tập xác định của hàm số
2
1
2 sin
tan 1
y x
x
= -
-
là:
A.
\ ; k |
4 2
D R k k Z
=
. B.
\ |
2
k
D R k Z
=
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
C.
\ k |
4
D R k Z
=
. D.
\ |
4
D R k k Z
=
.
Câu 38. Hàm số
2
1 tan 2
3
cot 1
x
y
x
=
có tập xác định là:
A.
\ , k |
6 2
D R k k Z
=
. B.
\ ,k |
12 2
D R k k Z
=
.
C.
\ k ;k |
12
D R k Z
=
. D.
\ ;k |
12 2
D R k k Z
=
.
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Câu 39. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho các hàm số:
sin 2y x=
,
cosy x=
,
tany x=
,
coty x=
. Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ
T
=
.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 40. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Chu kỳ của hàm số
3sin
2
x
y =
là số nào sau đây?
A.
0
. B.
2
. C.
4
. D.
.
Câu 41. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Chu kỳ của hàm số
sinx
y
=
là
A.
2k
. B.
. C.
2
. D.
2
.
Câu 42. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các hàm số
tan=y x
;
sin 2=y x
;
sin=y x
;
cot=y x
, có
bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất
( ) ( )
=
f x k f x
,
x
,
k
.
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 43. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số:
(1) cos2y x=
,
(2) siny x=
;
(3) tan2y x=
;
(4) cot 4y x=
có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ
?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 44. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số:
(1) cos2y x=
,
(2) siny x=
;
(3) tan2y x=
;
(4) cot 4y x=
có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ
?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 45. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm chu kì của hàm số
( )
3
sin 2cos
2 2
x x
f x =
.
A.
5
.
B.
2
.
C.
4
.
D.
2
Câu 46. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các hàm số sau, hàm số nào là
hàm chẵn?
A.
cos
3
y x
=
B.
siny x
=
C.
1 siny x= -
D.
sin cosy x x=
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
Câu 47. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Chọn phát biểu đúng:
A. Các hàm số
siny x=
,
cosy x=
,
coty x=
đều là hàm số chẵn.
B. Các hàm số
siny x=
,
cosy x=
,
coty x=
đều là hàm số lẻ.
C. Các hàm số
siny x=
,
coty x=
,
tany x=
đều là hàm số chẵn
D. Các hàm số
siny x=
,
coty x=
,
tany x=
đều là hàm số lẻ.
Câu 48. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là
sai?
A. Hàm số
cosy x=
là hàm số lẻ. B. Hàm số
coty x=
là hàm số lẻ.
C. Hàm số
siny x=
là hàm số lẻ. D. Hàm số
tany x=
là hàm số lẻ.
Câu 49. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A.
cot 4y x=
. B.
tan 6y x=
. C.
sin 2y x=
. D.
cosy x=
.
Câu 50. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số
siny x=
là hàm số lẻ. B. Hàm số
cosy x=
là hàm số lẻ.
C. Hàm số
tany x=
là hàm số lẻ. D. Hàm số
coty x=
là hàm số lẻ.
Câu 51. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A.
sin 2016 cos 2017y x x
=
. B.
2016cos 2017siny x x=
.
C.
cot 2015 2016siny x x= -
. D.
tan 2016 cot 2017y x x=
.
Câu 52. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Đồ thị hàm số nào sau đây không có trục đối xứng?
A.
( )
1 khi 0
cos khi 0
x
y f x
x x
= =
. B.
( )
2
tan 3y f x x
= =
.
C.
( )
cos3y f x x
= =
. D.
( )
2
5 2y f x x x= = -
.
Câu 53. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A.
2cosy x= -
. B.
2siny x= -
. C.
( )
2sin
y x= -
. D.
sin cosy x x= -
.
Câu 54. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
sin 2
2cos 3
x
y
x
=
-
thì
( )
y f x
=
là
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 55. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
( )
cos 2 sin 2
4 4
y f x x x
= = -
, ta được
( )
y f x
=
là:
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 56. Cho hai hàm số
( )
2
1
3sin
3
f x x
x
=
-
và
( )
sin 1
g x x= -
. Kết luận nào sau đây đúng về tính
chẵn lẻ của hai hàm số này?
A. Hai hàm số
( ) ( )
;
f x g x
là hai hàm số lẻ.
B. Hàm số
( )
f x
là hàm số chẵn; hàm số
( )
f x
là hàm số lẻ.
C. Hàm số
( )
f x
là hàm số lẻ; hàm số
( )
g x
là hàm số không chẵn không lẻ.
D. Cả hai hàm số
( ) ( )
;
f x g x
đều là hàm số không chẵn không lẻ.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
Câu 57. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
( )
2007
sin cosf x x nx
=
, với
n
. Hàm số
( )
y f x
=
là:
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 58. Cho hàm số
( )
2004
sin 2004
cos
n
x
f x
x
=
, với
n
. Xét các biểu thức sau:
1, Hàm số đã cho xác định trên
D =
.
2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.
3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 59. Cho hàm số
( )
sin .
=
f x x x
Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho có tập xác định
0\ .
D =
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.
D. Hàm số có tập giá trị là
11; .
-
Câu 60. Xác định tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
( )
3 sin4x cos2x
y f x m= =
là hàm chẵn.
A.
0.
m
B.
1.
m
-
C.
0.
m
=
D.
2.
m
=
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Câu 61. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Hàm số
siny x=
đồng biến
trên mỗi khoảng nào dưới đây.
A.
2 ; 2
2 2
-
k k
,
k
. B.
3
2 ; 2
2 2
k k
,
k
.
C.
( )
2 ; 2
- k k
,
k
. D.
( )
2 ; 2
k k
,
k
.
Câu 62. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào sau đây sai?
A.
tany x=
nghịch biến trong
0;
2
. B.
cosy x=
đồng biến trong
; 0
2
-
.
C.
siny x=
đồng biến trong
; 0
2
-
. D.
coty x=
nghịch biến trong
0;
2
.
Câu 63. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số
siny x=
tuần hoàn với chu kỳ
T
=
.
B. Hàm số
siny x=
đồng biến trên
0;
2
.
C. Hàm số
siny x=
là hàm số chẵn.
D. Đồ thị hàm số
siny x=
có tiệm cận ngang.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 64. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Hàm số
siny x=
đồng biến trên khoảng nào
sau đây?
A.
5 7
;
4 4
. B.
9 11
;
4 4
. C.
7
;3
4
. D.
7 9
;
4 4
.
Câu 65. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số
siny x=
tuần hoàn với chu kì
T
=
.
B. Hàm số
siny x=
đồng biến trên
0;
2
.
C. Hàm số
siny x=
là hàm chẵn.
D. Đồ thị hàm số
siny x=
có tiệm cận ngang.
Câu 66. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số
coty x=
đồng biến trên khoảng
( )
0;
.
B. Hàm số
siny x=
nghịch biến trên khoảng
( )
; 2
.
C. Hàm số
cosy x=
nghịch biến trên khoảng
;
2 2
-
.
D. Hàm số
siny x=
đồng biến trên khoảng
3 5
;
2 2
.
Câu 67. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số
tany x=
tuần hoàn với chu kì
2
.
B. Hàm số
cosy x=
tuần hoàn với chu kì
.
C. Hàm số
siny x=
đồng biến trên khoảng
0;
2
.
D. Hàm số
coty x=
nghịch biến trên
.
Câu 68. Xét hàm số
sin=y x
trên đoạn
0; .
-
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng
2
--
và
0
2
; .
-
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2
--
; nghịch biến trên khoảng
0
2
; .
-
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
2
--
; đồng biến trên khoảng
0
2
; .
-
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
2
--
và
0
2
; .
-
Câu 69. Xét hàm số
cosy x=
trên đoạn
-
; .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
0-
và
( )
0
; .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0-
và nghịch biến trên khoảng
( )
0
; .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0-
và đồng biến trên khoảng
( )
0
; .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng
( )
0-
và
( )
0
; .
Câu 70. Xét sự biến thiên của hàm số
tan2=y x
trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận
nào đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
4

và
4 2
; .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
4

và nghịch biến trên khoảng
4 2
; .
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0
2
; .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
4

và đồng biến trên khoảng
4 2
; .
Câu 71. Xét sự biến thiên của hàm số
1 sin= -y x
trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau,
kết luận nào sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
0
2
; .
-
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0
2
; .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2
; .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
2 2
.

Câu 72. Xét sự biến thiên của hàm số
sin cos .= -y x x
Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
3
4 4
; .
-
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
3
4 4
; .

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là
1 1; .
-
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng
4 4
; .

-
Câu 73. Chọn câu đúng?
A. Hàm số
tany x=
luôn luôn tăng.
B. Hàm số
tany x=
luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số
tany x=
tăng trong các khoảng
( )
;2 2 , .
k k k
D. Hàm số
tany x=
tăng trong các khoảng
( )
; 2 , .
k k k

Câu 74. Xét hai mệnh đề sau:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
(I)
3
x ;
2
: Hàm số
1
y
s inx
=
giảm.
(II)
3
x ;
2
: Hàm số
1
y
cos x
=
giảm.
Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả 2 sai. D. Cả 2 đúng.
Câu 75. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
y tanx
=
đồng biến trong
;
2 2
-
.
B.
y tanx
=
là hàm số chẵn trên
D R \ k | k Z
2
=
.
C.
y tanx
=
có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
D.
y tanx
=
luôn nghịch biến trong
;
2 2
-
.
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos
Câu 76. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Gia tri lơn nhât cua ham sô
2sin 1y x=
la
A.
1-
. B.
1
. C.
1
2
-
. D.
3
.
Câu 77. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tập giá trị của hàm số
sin 2y x=
là:
A.
2;2
- . B.
0;2
. C.
1;1
- . D.
0;1
.
Câu 78. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Tập giá trị của hàm số
cosy x=
là?
A.
. B.
(
;0
-
. C.
)
0;

. D.
1;1
-
.
Câu 79. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số
2 siny x= -
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1M =
;
1
m
= -
. B.
2M =
;
1
m
=
. C.
3
M
=
;
0
m
=
. D.
3
M
=
;
1
m
=
.
Câu 80. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3sin 2 5y x= -
lần lượt là:
A.
3
;
5-
. B.
2-
;
8-
. C.
2
;
5-
. D.
8
;
2
.
Câu 81. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Khi
x
thay đổi trong khoảng
5 7
;
4 4
thì
siny x=
lấy mọi giá trị thuộc
A.
2
1;
2
- -
. B.
2
;0
2
-
C.
1;1
-
. D.
2
;1
2
.
Câu 82. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập giá trị của hàm số
3 sin cos 2y x x= - -
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
A.
2; 3
-
. B.
3 3; 3 1
- - -
. C.
4;0
-
. D.
2;0
-
Câu 83.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số
3
2 siny x
= .
A.
0
m
=
. B.
1
m
=
. C.
1
m
= -
. D.
2
m =
.
Câu 84. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2018
3 5siny x= -
là
M
,
m
. Khi đó giá trị
M m
là
A.
( )
2018 4036
2 1 2
. B.
2018
2
. C.
4036
2
. D.
6054
2
.
Câu 85. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số
2
3sin 4
12
y x
=
bằng.
A.
7
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
Câu 86. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau:
( )
1
: Hàm số
siny x=
có tập xác định là
.
( )
2
: Hàm số
cosy x=
có tập xác định là
.
( )
3
: Hàm số
tany x=
có tập giá trị là
.
( )
4
: Hàm số
coty x=
có tập xác định là
.
Tìm số phát biểu đúng.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
.
Câu 87. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tập giá trị của hàm số
sin 2 3 cos 2 1y x x=
là đoạn
; .a b
Tính tổng
.T a b=
A.
1.
T
=
B.
2.
T
=
C.
0.
T
=
D.
1.
T
= -
Câu 88.
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2cos sin 2 5y x x= -
A.
2
. B.
2
-
. C.
6 2
-
. D.
6 2
.
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ
Câu 89. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số
2
cos sin 1y x x=
bằng
A.
2
. B.
11
4
. C.
1
. D.
9
4
.
Câu 90. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số
cos 2 cos .y x x=
Khi đó
M m
bằng bao nhiêu?
A.
7
8
M m
=
. B.
8
7
M m
=
. C.
9
8
M m
=
. D.
9
7
M m
=
.
Câu 91. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2
sin sin 2
y x x
= -
.
A.
7
min ; max 4
4
y y
= =
. B.
7
min ; max 2
4
y y
= =
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
C.
min 1;max 1y y= - =
. D.
1
min ;max 2
2
y y= =
.
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số
Câu 92. Hàm số
2cos sin
4
y x x
=
đạt giá trị lớn nhất là
A.
5 2 2
. B.
5 2 2-
. C. 5 2 2- . D. 5 2 2 .
Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 2
1 1
1 os 5 2sin
2 2
y c x x=
A.
5
1
2
. B.
22
2
. C.
11
2
. D.
1 5
.
Câu 94. Cho hàm số
1 1
2 cos 1 cos
y
x x
=
-
với
0;
2
x
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A.
0;
2
4
min
3
y
=
khi
,
3
x k k
=
T B.
0;
2
2
min
3
y
=
khi
3
x
=
C.
0;
2
2
min
3
y
=
khi
2 ,
3
x k k
=
D.
0;
2
4
min
3
y
=
khi
3
x
=
.
Câu 95. Giá trị lớn nhất của hàm số
2 2 2 2
cos 7sin sin 7 cosy x x x x=
là
A.
1 7
B.
1 7-
C.
4
D.
14
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác
Câu 96. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Đường cong trong hình dưới
đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án
A
,
B
,
C
,
D
. Hỏi hàm số đó là
hàm số nào?
A.
1 siny x= -
B.
cosy x=
C.
siny x=
D.
1 siny x=
Câu 97. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho hàm số
( )
sin cosf x x x=
có đồ thị
( )
C
.
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị không thể thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị
( )
C
?
A.
sin cosy x x= -
. B. 2 sin 2y x= . C.
sin cosy x x= - -
. D.
sin
4
y x
=
.
Câu 98. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho các mệnh đề sau
( )
I
Hàm số
( )
2
sin
1
x
f x
x
=
là hàm số chẵn.
( )
II
Hàm số
( )
3sin 4cosf x x x=
có giá trị lớn nhất là
5
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
( )
III
Hàm số
( )
tanf x x=
tuần hoàn với chu kì
2
.
( )
IV
Hàm số
( )
cosf x x=
đồng biến trên khoảng
( )
0;
.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 99. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Đường cong trong hình vẽ bên dưới
là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm
số nào?
A.
cos 1y x=
. B.
2 siny x= -
. C.
2cosy x=
.D.
2
cos 1y x= .
Câu 100. Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số
( ) 2sin2 ?y f x x= =
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Câu 101. Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số
cos ?
2
x
y =
A.
B.
C.
D.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Lời giải
Câu 102. Cho đồ thị hàm số
cosy x=
như hình vẽ :
Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số
cos 2?
y x
=
A. . B. .
C. . D. .
Câu 103. Cho đồ thị hàm số
siny x=
như hình vẽ:
Hình nào sau đây là đồ thị hàm số
sin ?y x
=
A. . B. .
C. . D. .
Câu 104. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số
sin ?y x
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
A. . B. .
C. . D. .
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác
Câu 1. Chọn B
Điều kiện xác định:
cos 0
2
x x k
Vậy tập xác định:
\ ,
2
=
D R k k Z
.
Câu 2. Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi
1 cos 0
x
-
cos 1x
2x k
với
k
.
Câu 3. Chọn C
Hàm số xác định khi:
sin 0
x x k
.
Vậy
\ ,
D R k k Z
=
Câu 4.
( )
sin 0x x k k
.
Câu 5. Hàm số
cot=y x
xác định khi
sin 0 ,
x x k k
nên có tập xác định là
,\ k k
.
Hàm số
sin=y x
xác định với mọi
x
nên tập xác định là
.
Hàm số
cos=y x
xác định với mọi
x
nên tập xác định là
.
Hàm số
tan=y x
xác định khi
cos 0 ,
2
x x k k
nên tập xác định là
2
\ ,k k
.
Câu 6. Chọn D
Ta có
i1
.
s nx 1, x
-
Do đó
inx 2 0,s x
-
. Vậy tập xác định
D =
Câu 7. Chọn C
Điều kiện xác định của hàm số là
sin 0
cos 1
x
x
( )
,
2
x k
k l
x l
,x k k
.
Vậy, tập xác định của hàm số
cot
cos 1
x
y
x
=
-
là
\ ,k k
.
Câu 8. Chọn C.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
+)Điều kiện:
sin 0 ,x x k k
, suy ra tập xác định của hàm số
coty x=
là
\ ,D k k
=
.
Câu 9. Chọn B
2 2cosy x
=
được xác định
2 2cos 0
x
cos 1
x
-
(luôn đúng với
x
).
Vậy tập xác định của hàm số
2 2cosy x
=
là
.
Câu 10.
Điêu kiên
sin cos 0 tan 1
4
x x x x k
-
Câu 11. Chọn B
Điều kiện xác định của hàm số:
cos 2 0 2 ,
2 4 2
x x k x k k
.
Vậy tập xác định của hàm số là
\ ,
4 2
=
D k k
.
Câu 12. Chọn D
Điều kiện xác định của hàm số
1 cos
sin 1
x
y
x
là
sin 1 0
x
-
sin 1x
( )
2
2
x k k
.
Vậy tập xác định của hàm số là
\ 2
2
k
.
Câu 13. Chọn D
Hàm số xác định khi
( )
sin 2 0
2
cos 0
2
2
x k
x
x k k
x
x k
Câu 14. Hàm số
2sin=y x
có tập xác định là
.
Câu 15. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
( )
sin cos 0 sin 0 ,
4 4
x x x x k k
- -
.
Câu 16. Hàm số xác định khi
2
cos2 0
2
cos 0
2
x k
x
x
x k
4 2
,
2
x k
k
x k
Vậy tập xác định là:
\ ; ,
4 2 2
D k k k
=
.
Câu 17. Các mệnh đề đúng là:
(1) Hàm số
siny x=
có tập xác định là
.
(2) Hàm số
cosy x=
có tập xác định là
.
(3) Hàm số
tany x=
có tập xác định là
\
2
D k k
=
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Câu 18. Hàm số
tany x= -
xác định khi:
2
x k
,
k
.
Vậy tập xác định của hàm số là:
\ ,
2
D k k
=
.
Câu 19. Hàm số xác định khi
cos 0
x
2
x k
,
k
.
Câu 20. Ta có:
1 sin 1x-
1 sin 0
1 sin 0
x
x
-
.
Hàm số xác định khi
1 sin 0
x
sin 1
x
-
2
2
x k
-
,
k
.
Vậy tập xác định của hàm số là:
\ 2 ;
2
D k k
= -
.
Câu 21. Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
x
,
2
x k k
.
Câu 22. Hàm số
cot 2y x=
xác định khi
2
x k
2
k
x
.
Câu 23. Đk:
cos 1 0
x
cos 1
x
-
( )
2 ,x k k
TXĐ:
\ 2 ,D k k
=
Câu 24. Hàm số đã cho xác định
sin 2 0 2
2
x x k x k
( )
k
.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
\ ,
2
D k k
=
.
Câu 25. Hàm số
tan 2
4
y x
= -
xác định khi và chỉ khi
cos 2 0 2
4 4 2
x x k
- -
.
Suy ra
3
8 2
k
x
.
Vậy tập xác định của hàm số là
3
\ ,
8 2
k
D k
=
.
Câu 26. Hàm số
tan
cos 1
x
y
x
=
-
xác định khi:
cos 0
,
2
cos 1 0
2
x
x k
k
x
x k
-
.
Vậy tập xác định là:
\ ; 2 ,
2
D k k k
=
.
Câu 27. Hàm số xác định:
cos cos 0
2
x
cos
2 2
x k
cos 1 2x k
cos 1
x
sin 0
x
( )
x k k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 28. Hàm số
tan 2
3
y x
=
xác định khi và chỉ khi
cos 2 0
3
x
2
3 2
x k
( )
12 2
x k k
.
Câu 29. Hàm số
tan 1
cos
sin 3
x
y x
x
-
=
xác định khi:
sin 0
sin 2 0 2
cos 0
2
x
k
x x k x
x
,
( )
k
.
Câu 30.
Điều kiện
cos 0
2
, ,
tan 1 0
4
x m
x
m n
x
x n
-
.
Vậy Tập xác định
\ ; ; , .
2 4
D m n m n
=
Câu 31. Điều kiện xác định:
( )
cos 0
sin 2 0
sin 0
2
x
x x k k
x
.
Câu 32. Đáp án A.
Hàm số đã cho xác định khi
cos3 .cos .cos 0
3 3
x x x
-
cos3 0
6 3
6 3
5
cos 0 ,
3 3 2 6
cos 0
6
3 3 2
k
k
x x
x
x x k x k k Z
x k
x x k
- -
Câu 33. Đáp án B.
Hàm số
( )
2
5sin 2 3 cos 5
12sin cos
x x
f x
x x
=
xác định khi
sin 0
; ,
2
cos 0
2
x
x k
k
k Z x k Z
x
x k
.
Câu 34. Đáp án A.
ĐK:
2
1
6
2sin 1 0 sin .
7
2
2
6
x k
x x
x k
-
= -
Tập xác định
7
\ 2 ; 2 |
6 6
D k k k Z
= -
.
Câu 35. Đáp án A.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Ta có
1 cos2 1x-
nên
5 3cos 2 0,x x
-
.
Mặt khác
1 sin 2 0
2
x
-
.
Hàm số đã cho xác định
1 sin 2 0
2
x
-
A.
sin 2 1 2 2 , .
2 2 2
x x k x k k Z
- - - -
Tập xác định
\ ,
D k k Z
=
.
Câu 36. Đáp án B.
Vì
1 cos 1x-
nên
1 cos 0
x
và
1 cos
1 cos 0 0
1 cos
x
x
x
-
-
.
Hàm số xác định
sin 0
,
6
6
2
1 cos 0
x
x k
k Z
x k
x
-
.
Tập xác định của hàm số là
\ , 2 |
6
k k k Z
-
.
Câu 37. Đáp án A.
Vì
1 sin 1x-
neen
2 sin 0,x x
.
Hàm số xác định
2
2 sin 0
tan 1
4
tan 1 0 ,
cos 0
cos 0
2
x
x k
x
x k Z
x
x k
x
-
.
Vậy
\ , ,
4 2
D k k k Z
=
.
Câu 38. Đáp án D.
Hàm số xác định khi
2
cot 1 0
cos 2 0
3
sin 0
x
x
x
2
,
3 2
12 2
x k x k
k Z
x k
x k
.
Vậy tập xác định của hàm số là
\ , ,
12 2
D k k k Z
=
.
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Câu 39. Chọn C
Hàm số
tany x=
,
coty x=
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
T
=
.
Hàm số
sin2y x=
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
2
2
T
= =
.
Hàm số
cosy x=
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
2
T
=
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Câu 40. Chu kì của hàm số
2
4
1
2
T
= =
.
Câu 41. Hàm số
sinx
y
=
tuần hoàn có chu kỳ là
2
.
Câu 42. Ta có hàm số
tan=y x
có tập xác định là
\ ,
2
k k
và hàm số
cot=y x
có tập xác
định là
\ ,
k k
nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu.
 Xét hàm số
sin 2=y x
: Ta có
( ) ( )
sin 2 sin 2 2 sin 2
= =
x k x k x
,
x
,
k
.
 Hàm số
sin=y x
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
2
nên không thỏa yêu cầu.
Câu 43. Do hàm số
cosy x=
tuần hoàn với chu kỳ
2
nên hàm số
(1) cos2y x=
tuần hoàn chu kỳ
.
Hàm số
(2) siny x=
tuần hoàn với chu kỳ
2
.
Do hàm số
tany x=
tuần hoàn với chu kỳ
nên hàm số
(3) tan2y x=
tuần hoàn chu kỳ
2
.
Do hàm số
coty x=
tuần hoàn với chu kỳ
nên hàm số
(4) cot 4y x=
tuần hoàn chu kỳ
4
.
Câu 44. Do hàm số
cosy x=
tuần hoàn với chu kỳ
2
nên hàm số
(1) cos2y x=
tuần hoàn chu kỳ
.
Hàm số
(2) siny x=
tuần hoàn với chu kỳ
2
.
Do hàm số
tany x=
tuần hoàn với chu kỳ
nên hàm số
(3) tan2y x=
tuần hoàn chu kỳ
2
.
Do hàm số
coty x=
tuần hoàn với chu kỳ
nên hàm số
(4) cot 4y x=
tuần hoàn chu kỳ
4
.
Câu 45. Chu kỳ của
sin
2
x
là
1
2
4
1
2
T
= =
và Chu kỳ của
3
cos
2
x
là
2
2 4
3
3
2
T
= =
Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì
1
T
và
2
T
vừa tìm được ở trên.
Chu kì của hàm ban đầu
4
T
=
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
Câu 46. Chọn B
TXĐ:
D =
,
x x
-
Và
y(-x) = sin -x
( )
= -sinx = sinx = y x
( )
Vậy hàm số trên là hàm số chẵn
Câu 47. Hàm số
cosy x=
là hàm số chẵn, hàm số
siny x=
,
coty x=
,
tany x=
là các hàm số lẻ.
Câu 48. Ta có các kết quả sau:
+ Hàm số
cosy x=
là hàm số chẵn.
+ Hàm số
coty x=
là hàm số lẻ.
+ Hàm số
siny x=
là hàm số lẻ.
+ Hàm số
tany x=
là hàm số lẻ.
Câu 49. Xét hàm
cosy x=
.
TXĐ:
D =
.
Khi đó
x D x D -
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Ta có
( ) ( )
cos( ) cos
f x x x f x
- = - = =
.
Vậy
cosy x=
là hàm số chẵn.
Câu 50. B sai vì hàm số
cosy x=
là hàm số chẵn.
Câu 51. Xét hàm số
( )
sin 2016 cos 2017y f x x x
= =
. Tập xác định.
D =
.
Với mọi
x D
, ta có
x D-
.
Ta có
( ) ( ) ( )
sin 2016 cos 2017 sin 2016 cos 2017
f x x x x x f x
- = - - = =
.
Vậy
( )
f x
là hàm số chẵn.
Câu 52. Các hàm số
( )
2
tan 3y f x x
= =
;
( )
cos3y f x x
= =
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
,f x f x x
- =
nên nó là các hàm số chẵn trên các tập số thực. Do đó, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số
( )
2
5 2y f x x x= = -
có trục đối xứng là
5
2
x
= -
.
Vậy đồ thị hàm số
( )
1 khi 0
cos khi 0
x
y f x
x x
= =
không có trục đối xứng.
Câu 53. Chọn A.
Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.
Xét A: Do tập xác định
D =
nên
x x
-
.
Ta có
( ) ( ) ( )
2cos 2cos
f x x x f x
- = - - = - =
. Vậy hàm số
2cosy x= -
là hàm số chẵn.
Câu 54. Chọn B.
Tập xác định
D =
.
Ta có
x D x D -
( )
( )
( )
( )
sin 2
sin 2
2cos 3 2cos 3
x
x
f x f x
x x
-
-
- = = = -
- - -
. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 55. Chọn D.
Ta có
( ) ( )
1 1
cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 0
4 4
2 2
y x x x x x x
= - = - - =
.
Ta có tập xác định
D =
.
Hàm số
0
y
=
vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên
đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 56. Chọn D.
a, Xét hàm số
( )
2
1
3sin
3
f x x
x
=
-
có tập xác định là
\ 3
D =
.
Ta có
3
x D= -
nhưng
3
x D- =
nên
D
không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số
( )
f x
không chẵn không lẻ.
b, Xét hàm số
( )
sin 1
g x x= -
có tập xác định là
)
2
1;D
= 
. Dễ thấy
2
D
không phải là tập
đối xứng nên ta kết luận hàm số
( )
g x
không chẵn không lẻ.
Vậy chọn D.
Câu 57. Chọn C.
Hàm số có tập xác định
D =
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2007 2007
sin cos sin cos
f x x nx x nx f x
- = - - = -
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
Câu 58. Chọn B.
Hàm số đã xác định khi
cos 0 , .
2
x
x k k
Vậy phát biểu
1
sai.
Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn
lẻ của hàm số đã cho.
Ta có tập xác định của hàm số trên là
2
\D k k
=
là tập đối xứng.
( )
( )
( )
( )
2004
2004
sin 2004
sin 2004
.
cos cos
-
- = = =
-
n
n
x
x
f x f x
x x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát
biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B.
Câu 59.
Chọn B.
Hàm số đã cho xác định trên tập
D =
nên ta loại A.
Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
( ) ( ) ( )
sin sin .
- = - - = - = -
f x x x x x f x
Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta
chọn đáp án B.
Câu 60. Chọn C.
Cách 1:
TXĐ:
.
D
=
Suy ra
.x D x D -
Ta có
( ) ( ) ( )
3 cos2 3 cos2 .
sin4 sin4- = - - = -
f x m x x m x x
Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì
( ) ( )
, 3 cos2 3 cos2 ,
4 sin4 0, 0.
sin4 sin4
- = - =
= =
f x f x x D m x x m x x x D
m x x D m
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Câu 61.
3
2 ; 2
2 2
k k
,
k
.
Câu 62. Trên khoảng
0;
2
thì hàm số
tany x=
đồng biến.
Câu 63. Mệnh đề A sai vì hàm số
siny x=
tuần hoàn với chu kỳ
2
T
=
.
Mệnh đề C sai vì hàm số
siny x=
là hàm số lẻ.
Mệnh đề D sai vì hàm số
siny x=
không có tiệm cận ngang.
Mệnh đề B đúng vì hàm số
siny x=
đồng biến trên khoảng
2 ; 2
2 2
k k
-
.
Câu 64. Dựa vào định nghĩa đường tròn lượng giác ta thấy hàm số lượng giác cơ bản
siny x=
đồng biến
ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.
Dễ thấy khoảng
7 9
;
4 4
là phần thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Câu 65. Đáp án B đúng: Hàm số
siny x=
đồng biến trên
0;
2
.
Đáp án A sai do
siny x=
tuần hoàn chu kì là
2T
=
.
Đáp án C sai do
siny x=
là hàm số lẻ.
Đáp án D sai do hàm số
siny x=
không có tiệm cận ngang.
Câu 66.
Quan sát đường tròn lượng giác, ta thấy hàm số
siny x=
đồng biến trên khoảng
3 5
;
2 2
.
Câu 67. Hàm số tany x= tuần hoàn với chu kì
đáp án A sai.
Hàm số
cosy x=
tuần hoàn với chu kì
2
đáp án B sai.
Hàm số coty x= nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;k k
,
k
đáp án D sai.
Câu 68. Chọn A.
Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số
siny x=
nghịch biến
trên khoảng
2
--
và đồng biến trên khoảng 0
2
; .
-
Câu 69. Chọn B.
Theo lý thuyết ta có hàm số
cosy x=
đồng biến trên mỗi khoảng
( )
2 2; ,k k k-
và
nghịch biến trên khoảng
( )
2 2; , .k k k
Từ đây ta có với
0k =
hàm số
cosy x=
đồng
biến trên khoảng
( )
0-
và nghịch biến trên khoảng
( )
0; .
Tiếp theo ta đến với hàm số
( )
tan x; ,...y n n=
Ta có ví dụ 3.
Câu 70. Chọn A.
Tập xác định của hàm số đã cho là
4 2
\ | .D k k
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
Hàm số
tan2=y x
tuần hoàn với chu kì
2
,
dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính
đơn điệu của hàm số trên 0
2 4
; \ .
Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số
tany x=
ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với
hàm số
tan2=y x
đồng biến trên khoảng
4

và
4 2
; .
Câu 71.
Chọn D.
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ
2
và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến
thiên của hàm số trên
3
2 2
; .
-
Ta có hàm số
sin :y x=
* Đồng biến trên khoảng
2 2
; .
-
* Nghịch biến trên khoảng
2 2
; .

Từ đây suy ra hàm số
1
sin :y x= -
* Nghịch biến trên khoảng
2 2
; .
-
* Đồng biến trên khoảng
2 2
; .

Từ đây ta chọn D.
Dưới đây là đồ thị của hàm số
1 sin= -y x
và hàm số
siny x=
trên
.
Câu 72. Chọn B.
Ta có
sin cos 2 sin .
4
= - = -
y x x x
Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là
2 2; .
-
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ
2
do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn
4 4
; .
-
Ta có:
* Hàm số đồng biến trên khoảng
4 4
; .

-
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
* Hàm số nghịch biến trên khoảng
4 4
; .
 
Từ đây ta chọn A.
Câu 73. Chọn B.
Với A ta thấy hàm số
tany x=
không xác định tại mọi điểm
x
nên tồn tại các điểm làm
cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng.
Với B ta thấy B đúng vì hàm số
tany x=
đồng biến trên mỗi khoảng
, .
2 2
k k k
- 
Từ đây loại C và D.
Câu 74. Chọn B.
Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy
1 2
3
x x ;
2
Lúc này ta có
( ) ( )
2 1
2
`
1 1
f x f x
sinx sinx
- = -
1 2
1 2
sinx sinx
sinx sinx
-
Ta thấy
1 2
3
x x ;
2
thì
1 2
sinx sinx
1 2
sinx sinx 0 -
1 2
0 sinx sinx
1 2
1 2
sinx sinx
0
sinx .sinx
-
( ) ( )
1 2
f x f x
. Vậy
1
y
s inx
=
là hàm tăng.
Tương tự ta có
1
y
cos x
=
là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng.
Câu 75. Chọn B.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số
y tanx=
nghịch biến trên
;0
2
-
và đồng
biến trên
0;
2
. Nên ta loại A và D.
Với B ta có
( ) ( ) ( )
f x tan x tan x f x- = - = =
hàm số
y tanx=
là hàm số chẵn.
Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B.
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos
Câu 76. Chọn D.
Vi
sin 1x
,
x
nên
2sin 1 3y x=
,
x
.
3y =
khi
sin 1x =
2
2
x k
=
,
( )
k
.
Vây gia tri lơn nhât cua ham sô
2sin 1y x=
la
3
.
Câu 77. Ta có
1 sin 2 1x-
,
x
.
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là
1;1- .
Câu 78. Với
x
, ta có
cos 1;1x -
.
Tập giá trị của hàm số
cosy x=
là
1;1-
.
Câu 79. Ta có:
1 sin 1, x x-
Suy ra:
1 2 sin 3, x x -
hay
1 3, y x
.
Vậy
3M =
và
1m =
.
Câu 80. Ta có
1 sin 2 1x- 8 3sin 2 5 2x - - -
8 2y - -
.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là
2; 8- -
.
Câu 81. Trong nửa khoảng
5 3
;
4 2
:
Hàm số
siny x=
giảm nên
3 5 2
sin sin sin 1 sin
2 4 2
x x
- -
.
Trong nửa khoảng
3 7
;
2 4
:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Hàm số
siny x=
tăng nên
3 7 2
sin sin sin 1 sin
2 4 2
x x
- -
.
Vậy khi
x
thay đổi trong khoảng
5 7
;
4 4
thì
siny x=
lấy mọi giá trị thuộc
2
1;
2
- -
.
Câu 82. Xét
3 sin cos 2y x x= - -
2 sin .cos cos .sin 2
6 6
x x
= - -
2sin 2
6
x
= - -
Ta có
1 sin 1
6
x
- -
4 2sin 2 0
6
x
- - -
4 0
y
-
với mọi
x
Vậy tập giá trị của hàm số là
4;0
-
.
Câu 83.
Ta có
3
1 sin 1 1 2 sin 3
x x-
.
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là:
1
m
=
.
Dấu “
=
” xảy ra khi
sin 1
x
= -
hay
2
2
x k
= -
,
k
.
Câu 84. Vì
2 3 5sin 8
x
- -
nên suy ra
( )
2018
2018 6054
0 3 5sin 8 2
x - =
.
Do đó
0
m
=
và
6054
2M =
.
Vậy
6054
2
M m =
.
Câu 85. Ta có
2 2 2
sin 1 3sin 3 3sin 4 7
12 12 12
x x x
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
7
.
Câu 86. Dễ thấy các phát biểu
( )
1
;
( )
2
;
( )
3
đúng.
Xét
( )
4
:
cos
cot
sin
x
y x
x
= =
ĐKXĐ:
sinx 0 \ ;x k D k k
=
.
Câu 87.
sin 2 3 cos2 1 2sin 2 1
3
y x x x
= =
Do
sin 2 1;1
3
x
-
nên
2sin 2 1 1;3
3
x
-
.
Vậy
1 3
y
-
.( Ta thấy
1
y
= -
khi
sin 2 1
3
x
= -
,
3
y
=
khi
sin 2 1
3
x
=
).sss
Câu 88.
Ta có
2
2cos sin 2 5y x x= -
cos 2 sin 2 6x x= -
2 cos 2 6
4
x
=
.
Do
2 2 cos 2 2
4
x
-
nên
2 6 2 cos 2 6 2 6
4
x
-
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2cos sin 2 5y x x= -
là
6 2
-
.
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ
Câu 89.
2 2
cos sin 1 sin sin 2
y x x x x
= = -
.
Đặt
sin , 1 1t x t= -
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
2y t t= -
trên đoạn
1;1
-
.
Tung độ đỉnh của parabol
2
1 1 9
2
2 2 4
y
= - =
là giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt được
tại
1
2
t
=
.
max
5 2 2 5 2 2
y y =
.
Câu 90.
cos 2 cos .y x x=
TXĐ:
D =
.
2
cos2 cos 2cos cos 1y x x x= = -
.
Đặt:
,
1;1
t -
.
( )
2
2 1f t t t= -
.
Đồ thị của hàm số
f
là parabol có đỉnh
1 9
;
4 8
I
- -
.
BBT:
Dựa vào BBT ta có:
( )
1;1
max 2
M f t
-
= =
,
( )
1;1
9
min
8
m f t
-
= = -
.
Vậy
7
8
M m
=
.
Câu 91. Chọn A.
Đặt
sin ; 1;1
x u u= -
Xét hàm số:
2
2
y u u
= -
trên
1;1
-
.
Ta có:
1
1;1
2 2
b
a
-
= -
. Từ đây có bảng biến thiên
Ta kết luận:
( )
1;1
7
min
4
f u
-
=
và
1;1
max 4 1
y u
-
= = -
.
Hay
7 1
min sin
4 2
y x
= =
và
max 4 sin 1
y x
= = -
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số
Câu 92. Chọn D
Ta có
( )
( )
2cos sin 2cos 2 sin cos 2 2 cos 2 sin
4
y x x x x x x x
= = =
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2 2 cos 2 sin 2 2 2 . cos sin 5 2 2
y x x x x
= =
Câu 93.
Đáp án B Chọn B.
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 5 1
1 os 5 2sin 1 os sin
2 2 2 4 2
y c x x y c x x
= =
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho
4
số: 1; 1;
2
1
1 os
2
c x
;
2
5 1
sin
4 2
x
ta có:
2 2 2 2 2 2
1 5 1 1 5 1 9 1 22
1. 1 os 1. sin 1 1 . 1 os sin 2.
2 4 2 2 4 2 4 2.1 2
c x x c x x = =
Hay
22
2
y
Dấu bằng xảy ra khi
2 2
1 5 1
1 os sin ,
2 4 2 6
c x x x k k
= =
Câu 94. Chọn D.
Cách 1: Ta thấy
2 cos 0,
x x R-
và
1 cos 0, 0;
2
x x
. Suy ra
1
2 cos x
-
và
1
1 cos x
là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có
( )( )
1 1 2
2 cos 1 cos
2 cos 1 cos
x x
x x
-
-
Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
( )( )
( )( )
2 cos 1 cos 3
2 cos 1 cos
2 2
2 4
3
2 cos 1 cos
x x
x x
y
x x
-
- =
-
Câu 95. Đáp án C.
Ta có . Dấu bằng
xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác
Câu 96. Chọn B
+ Chọn
x =
nhìn vào đồ thị ta được
1
y
= -
. Thay
x =
vào lần lượt các phương án ta loại C và
D
( )( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 cos 7sin sin 7cosy x x x x
( )
2
2 1 7 16 4
y y
=
, .
4 2
k
x k
=
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
+ Chọn
2
x

=
nhìn vào đồ thị ta được
0
y
=
. Thay
2
x

=
vào phương án A ta nhận được
2
y
=
loại A nên đáp án là B.
Câu 97. Ta có
( )
max sin cos 2
x
x x M
= =
,
( )
min sin cos 2
x
x x m
= - =
,
2 2
M m- =
. Vì phép tịnh
tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chọn đáp án D
(chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng
2
).
Câu 98. * Xét hàm số
( )
2
sin
1
x
f x
x
=
.
Tập xác định:
D =
.
x D
, ta có:
x D-
và
( )
( )
( )
2
sin
1
x
f x
x
-
- =
-
2
sin
1
x
x
-
=
( )
f x
= -
.
Vậy hàm số
( )
2
sin
1
x
f x
x
=
là hàm số lẻ.
Do đó
( )
I
sai.
* Xét hàm số
( )
3sin 4cosf x x x
=
.
Tập xác định:
D =
.
Ta có:
( )
3sin 4cosf x x x
=
3 4
5 sin cos
5 5
x x
=
Đặt
3
sin
5
=
,
4
cos
5
=
. Ta có
( ) ( )
5sin 5
f x x
=
( )
max 5
f x
=
khi
( )
sin 1
x
=
2
2
x k
= -
,
( )
k
.
Vậy hàm số
( )
3sin 4cosf x x x
=
có giá trị lớn nhất là
5
.
Do đó
( )
II
đúng.
* Xét hàm số
( )
tanf x x
=
. Ta có hàm số
( )
f x
tuần hoàn với chu kì
.
Do đó
( )
III
sai.
* Xét hàm số
( )
cosf x x
=
. Ta có
( )
f x
nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2
k k
với
k
.
Do đó
( )
IV
sai.
Vậy trong bốn mệnh đề đã cho có một mệnh đề đúng.
Câu 99. Do đồ thị đi qua ba điểm
( )
;0
-
,
( )
0;2
,
( )
;0
nên chọn phương án A
Câu 100.
Chọn C.
Ta thấy
2 2sin 2 2
x
-
nên ta có loại A và B.
Tiếp theo với C và D ta có:
Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì
2
.
2
=
Ta thấy với
0
x
=
thì
0
y
=
nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án C.
Câu 101.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
Chọn D
Ta thấy
1 cos 1
2
x
-
nên ta loại B.
Tiếp theo ta có hàm số
cos
2
x
y =
có chu kì tuần hoàn là
2
4 .
1
2
T
= =
Ta thấy với
0
x
=
thì
cos cos0 1
2
x
y
= = =
nên ta chọn D.
Câu 102. Chọn A
Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số
cosy x=
trên trục
Oy
lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ đồ
biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên).
Câu 103. Chọn C
Suy diễn đồ thị hàm số
sin | |y x=
từ đồ thị hàm số
sin :y x=
Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số
siny x=
nằm bên phải trục
.Oy
Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục
.Oy
Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên. Phần đồ thị nét đứt là
phần bỏ đi của đồ thị hàm số
sin .y x=
Câu 104. Chọn B.
Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số
| sin |y x=
từ đồ thị hàm số
sin :y x=
Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị
sin .y x=
Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số
siny x=
phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Cách 2: Ta thấy
| sin | 0,x x
nên đồ thị hàm số
| sin |y x=
hoàn toàn nằm trên trục
.Ox
Từ đây ta chọn B.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
BÀI 2
Mục lục
Dạng
1. Phương trình sinx=a ............................................................................................................................................ 1
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 1
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 3
Dạng 2. Phương trình cosx=a ........................................................................................................................................... 6
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 6
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 8
Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 10
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 10
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 11
Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 12
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 12
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 12
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 12
Dạng 1. Phương trình sinx=a .......................................................................................................................................... 15
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 15
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 15
Dạng 2. Phương trình cosx=a ......................................................................................................................................... 21
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 21
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 22
Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 24
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 24
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 25
Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 26
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 26
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 27
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 27
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Câu 1. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình
là
A.
4 ,x k k
. B.
2 ,x k k
. C.
2 ,x k k
. D.
2 ,
2
x k k
.
Câu 2. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình
sin 1
3
x
có nghiệm là
A.
2
3
x k
. B.
5
6
x k
. C.
5
2
6
x k
. D.
2
3
x
.
Câu 3. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình
sin 2 1x
.
A.
2
2
x k
. B.
4
x k
. C.
2
4
x k
. D.
2
k
x
.
Câu 4. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình
2sin 3 0
x
.
A.
x
. B.
3
arcsin 2
2
3
arcsin 2
2
x k
k
x k
.
C.
3
arcsin 2
2
3
arcsin 2
2
x k
k
x k
. D.
x
.
Câu 5. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình
sin 1x
có một nghiệm là
A.
x
. B.
2
x
. C.
2
x
. D.
3
x
.
Câu 6. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình
3
sin
2
x
có nghiệm là:
A.
2
3
x k
. B.
3
x k
. C.
6
5
6
x k
x k
. D.
2
3
2
2
3
x k
x k
.
Câu 7. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình
sin sin 30
x
là
A.
30 2 |S k k
150 2 |k k
.
B.
30 2 |S k k
.
C.
30 360 |S k k
.
D.
30 360 |S k
150 360 | k
.
Câu 8. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình
sin 1x
là
A.
2
k
,
k
. B.
2
k
,
k
. C.
2
2
k
,
k
. D.
2
2
k
,
k
.
Câu 9. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
sin 1
6
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
A.
3
x k
k
. B.
2
6
x k
k
.
C.
2
3
x k
k
. D.
5
2
6
x k
k
.
Câu 10. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình
2sin 1 0
x
có tập nghiệm là:
A.
5
2 ; 2 ,
6 6
S k k k
. B.
2
2 ; 2 ,
3 3
S k k k
.
C.
2 ; 2 ,
6 6
S k k k
. D.
1
2 ,
2
S k k
.
Câu 11. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương
trình
2sin 1 0
x
có nghiệm là:
A.
2
6
7
2
6
x k
x k
B.
2
6
7
2
6
x k
x k
C.
2
6
5
2
6
x k
x k
D.
6
7
6
x k
x k
Câu 12. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình
2sin 3 0
x
có tập nghiệm là:
A.
2 ,
6
k k
. B.
2 ,
3
k k
.
C.
5
2 , 2 ,
6 6
k k k
. D.
2
2 , 2 ,
3 3
k k k
.
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm
biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm
,M N
?
A.
2sin2 1
x
. B.
2cos2 1
x
. C.
2sin 1
x
. D.
2cos 1
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
Câu 14. Cho phương trình
3
sin 2 sin
4 4
x x
. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng
0;
của
phương trình trên.
A.
7
2
. B.
. C.
3
2
. D.
4
.
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
2
3sin 2 5 0
x m
có nghiệm?
A.
6.
B.
2.
C.
1.
D.
7.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:
3sin 1 0
x m
có nghiệm?
A. 7 B. 6 C. 3 D. 5
Câu 17. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos2 0
x
trên
0;2 .
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 18. Phương trình
3
sin 3
3 2
x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
0;
2
?
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Câu 19. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Sô nghiêm cua phương trinh
2sin 3 0
x
trên đoan đoan
0;2
.
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 20. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình
2sin 1 0
x
trên đoạn
3
;10
2
là:
A.
12
. B.
11
. C.
20
. D.
21
.
Câu 21. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình
3
sin 2 sin
4 4
x x
có tổng các
nghiệm thuộc khoảng
0;
bằng
A.
7
2
. B.
. C.
3
2
. D.
4
.
Câu 22. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng
S
của các nghiệm của phương trình
1
sin
2
x
trên đoạn
;
2 2
.
A.
5
6
S
. B.
3
S
. C.
2
S
. D.
6
S
.
Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình
3
sin 3
3 2
x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
0;
2
?
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Câu 24. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình
2sin 3 0
x
.
Tổng các nghiệm thuộc
0;
của phương trình là:
A.
. B.
3
. C.
2
3
. D.
4
3
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 25. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình
3
sin 2
2
x
có hai
công thức nghiệm dạng
k
,
k
k
với
,
thuộc khoảng
;
2 2
. Khi đó,
bằng
A.
2
. B.
2
. C.
. D.
3
.
Câu 26. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng
S
của các nghiệm của phương trình
1
sin
2
x
trên đoạn
;
2 2
.
A.
5
6
S
. B.
3
S
. C.
2
S
. D.
6
S
.
Câu 27. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
2sin 1 0
x
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. Điểm
D
, điểm
C
. B. Điểm
E
, điểm
F
.
C. Điểm
C
, điểm
F
. D. Điểm
E
, điểm
D
.
Câu 28. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
sin 1
4
x
thuộc đoạn
;2
là:
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 29. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình
2sin 1 0
x
có bao nhiêu nghiệm
0;2
x
?
A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. Vô số nghiệm.
Câu 30. (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình
sin 5 sin 0
x x
có bao nhiêu nghiệm thuộc
đoạn
2018 ;2018
?
A.
20179
.
B.
20181
. C.
16144
. D.
16145
.
Câu 31. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn
5
0;
2
của phương trình
2sin 1 0
x
là:
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Câu 32. (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình
2sin 3 0
x
. Tổng
các nghiệm thuộc
0;
của phương trình là:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
4
3
. B.
. C.
3
. D.
2
3
.
Câu 33. (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng
S
của các nghiệm của phương
trình
1
sin
2
x
trên đoạn
;
2 2
.
A.
6
S
. B.
3
S
. C.
2
S
. D.
5
6
S
.
Câu 34. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình
2sin 1 0
x
trên đoạn
3
;10
2
là:
A.
12
. B.
11
. C.
20
. D.
21
.
Câu 35. (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình:
2sin 2 3 0
3
x
có mấy nghiệm thuộc khoảng
0;3
.
A.
8
. B.
6
. C.
2
. D.
4
.
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 36. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình
2
cos
4 2
x
là:
A.
2
2
x k
k Z
x k
B.
( )
2
x k
k Z
x k
C.
( )
2
2
x k
k Z
x k
D.
2
( )
2
2
x k
k Z
x k
Câu 37. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình
1
cos
2
x
là
A.
2
2
3
x k
B.
6
x k
C.
2
3
x k
D.
2
6
x k
Câu 38. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình
cos 1
x
.
A.
2
k
x
,
k
. B.
x k
,
k
.
C.
2
2
x k
,
k
. D.
2x k
,
k
.
Câu 39. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình
cos cos
3
x
có tất
cả các nghiệm là:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
A.
2
2
3
x k k
B.
3
x k k
C.
2
3
x k k
D.
2
3
x k k
Câu 40. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình
cos 0
x
có
nghiệm là:
A.
2
x k k
. B.
2 x k k
.
C.
2
2
x k k
. D.
x k k
.
Câu 41. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
2
cos
4 2
x
là
A.
2
2
x k
k
x k
. B.
2
x k
k
x k
.
C.
2
2
x k
k
x k
. D.
2
2
2
x k
k
x k
.
Câu 42. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
cos 0.
3
x
A.
, .
x k k
B.
, .
2
x k k
C.
3
6 , .
2
x k k
D.
3
3 , .
2
x k k
Câu 43. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình
2cos 1 0
x
có nghiệm là:
A.
2
6
x k
,
k
. B.
2
3
x k
,
k
.
C.
2
6
x
,
k
. D.
3
x k
,
k
.
Câu 44. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình
2cos 2 0
x
có tất cả các nghiệm
là
A.
3
2
4
,
3
2
4
x k
k
x k
. B.
2
4
,
2
4
x k
k
x k
.
C.
2
4
,
3
2
4
x k
k
x k
. D.
7
2
4
,
7
2
4
x k
k
x k
.
Câu 45. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình
2cos 1 0
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
A.
3
,x k k
. B.
2
3
,
2
2
3
x k
x k
k
.
C.
3
,2x k k
. D.
3
,
2
3
x
k
k
k
x
.
Câu 46. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
cos 1
x
là:
A.
2
x k
,
k
. B.
2x k
,
k
.
C.
2x k
,
k
. D.
x k
,
k
.
Câu 47. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình
2
cos
2
x
có tập nghiệm là
A.
2 ;
3
x k k
. B.
;
4
x k k
.
C.
3
2 ;
4
x k k
. D.
;
3
x k k
.
Câu 48. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây
là khẳng định sai?
A.
cos 1 2x x k
. B.
cos 0
2
x x k
.
C.
cos 1 2x x k
. D.
cos 0 2
2
x x k
.
Câu 49. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác:
2cos 2 0
x
có nghiệm là
A.
2
4
2
4
x k
x k
. B.
3
2
4
3
2
4
x k
x k
. C.
2
4
3
2
4
x k
x k
. D.
7
2
4
7
2
4
x k
x k
.
Câu 50. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Tìm công thức nghiệm của phương trình
2cos 1
x
(với
).
A.
2
3
2
2
3
x k
k
x k
. B.
2
3
2
x k
k
x k
.
C.
2
3
2
3
x k
k
x k
D.
2
3
2
3
x k
k
x k
.
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
Câu 51. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số
m
để phương trình
cos 0
x m
vô nghiệm.
A.
; 1 1;m
 
B.
( ; 1] [1; )
m
C.
1;m
D.
( ; 1)
m
Câu 52. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng
;
2 2
của phương trình
2
4sin 2 1 0
x
bằng:
A.
.
B.
.
3
C.
0
. D.
.
6
Câu 53. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình
2c
os 1
3
x
có số nghiệm thuộc đoạn
0;2
là
A.
1
B.
2
C.
0
D.
3
Câu 54. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình
1
cos2
2
x
có
dạng
x k
m
và
x k
n
,
k
; với
,m n
là các số nguyên dương. Khi đó
m n
bằng
A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.
Câu 55. Phương trình
2c
os 1
3
x
có số nghiệm thuộc đoạn
0;2
là
A.
1
B.
2
C.
0
D.
3
Câu 56. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
cot 3
3
x
có dạng
k
x
m n
,
k
,
m
,
*
n
và
k
n
là phân số tối giản. Khi đó
m n
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
5
. D.
3
.
Câu 57. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình
2cos2 1 0
x
trong đoạn
0;
là:
A.
x
. B.
11
12
x
. C.
2
3
x
. D.
5
6
x
.
Câu 58. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình
cos3 1 0
x
(1);
1
cos 2
2
x
(2). Tập các
nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
A.
2
3
x k
,
k
. B.
2x k
,
k
.
C.
2
3
x k
,
k
D.
2
2
3
x k
,
k
.
Câu 59. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một
góc là nghiệm của phương trình
1
cos 2
2
x
.
A.
2
, ,
3 6 6
. B.
, ,
3 3 3
;
2
, ,
3 6 6
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
C.
, ,
3 3 3
;
, ,
4 4 2
. D.
, ,
3 3 3
.
Câu 60. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
2cos 3
x trên đoạn
5
0;
2
là
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 61. (CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
1
cos
2
x
thuộc đoạn
2 ;2
là?
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 62. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình
cos2 cos 0
x x
có bao nhiêu nghiệm thuộc
khoảng
;
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 63. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
cos2 cos 0
x x
trên khoảng
0;2
bằng
T
. Khi đó
T
có giá trị là:
A.
7
6
T
. B.
2
T
. C.
4
3
T
. D.
T
.
Câu 64. (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình
2cos 3
x trên đoạn
5
0;
2
là
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 65. (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan x m
,
m
.
A.
arctan
x m k
hoặc
arctan
x m k
,
k
.
B.
arctan
x m k
,
k
.
C.
arctan 2x m k
,
k
.
D.
arctan
x m k
,
k
.
Câu 66. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình
tan 3
x có tập nghiệm là
A.
2 ,
3
k k
. B.
. C.
,
3
k k
. D.
,
6
k k
.
Câu 67. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
tan 3 tanx x
là
A.
, .
2
k
x k
B.
,x k k
. C.
2 , .
x k k
D.
, .
6
k
x k
Câu 68. Phương trình có các nghiệm là:
A. . B. . C. . D. .
tan 3 15 3
x
60 180
x k
75 180
x k
75 60
x k
25 60
x k
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
Câu 69. Phương trình lượng giác:
3.tan 3 0
x
có nghiệm là:
A.
x
3
k
. B.
x 2
3
k
. C.
x
6
k
. D.
x
3
k
.
Câu 70. Giải phương trình:
2
tan 3
x
có nghiệm là:
A.
x
3
k
. B.
x
3
k
. C.
x
3
k
. D. vô nghiệm.
Câu 71. Nghiệm của phương trình
3 3tan 0
x
là:
A.
6
x k
. B.
2
x k
. C.
3
x k
. D.
2
2
x k
.
Câu 72. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình
3 tan 2 3 0
x
.
A.
6
x k k
. B.
3 2
x k k
.
C.
3
x k k
. D.
6 2
x k k
.
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 73. Tính tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình:
tan tan3x x
(1)
A.
55 .
B.
171
.
2
C.
45 .
D.
190
.
2
Câu 74. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ
nhất?
A. . B. . C. . D. .
Câu 75. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
3
tan
3
x
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. Điểm
F
, điểm
D
. B. Điểm
C
, điểm
F
.
tan 2 1x
tan 3
4
x
cot 0
x
cot 3
x
y
x
B'
A'
B
D
F
O
A
C
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
C. Điểm
C
, điểm
D
, điểm
E
, điểm
F
. D. Điểm
E
, điểm
F
.
Câu 76. Số nghiệm của phương trình
3
tan tan
11
x
trên khoảng
;2
4
là?
A.
4.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Câu 77. Tổng các nghiệm của phương trình
tan5 tan 0
x x
trên nửa khoảng
0;
bằng:
A.
5
2
. B.
. C.
3
2
. D.
2
.
Câu 78. Tính tổng các nghiệm của phương trình
0
tan 2 15 1
x
trên khoảng
0 0
90 ;90
bằng.
A.
0
0 .
B.
0
30 .
C.
0
30 .
D.
0
60 .
Dạng 4. Phương trình cotx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 79. Phương trình lượng giác
3cot 3 0
x
có nghiệm là:
A.
x 2
3
k
. B. Vô nghiệm. C.
6
x k
. D.
x
3
k
.
Câu 80. (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Phương trình
2cot 3 0
x
cónghiệmlà
A.
2
6
2
6
x k
k Z
x k
. B.
2
3
x k k Z
C.
3
arccot
2
x
k k Z
. D.
6
x k k Z
.
Câu 81. Giải phương trình
cot 3 1 3.
x
A.
1 5
.
3 18 3
x k k Z
B.
1
.
3 18 3
x k k Z
C.
5
.
18 3
x k k Z
D.
1
.
3 6
x k k Z
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 82. (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình
cot 3
3
x
có dạng
k
x
m n
,
k
,
m
,
*
n
và
k
n
là phân số tối giản. Khi đó
m n
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
3
. D.
5
.
Câu 83. Hỏi trên đoạn
0;2018
, phương trình
3 cot 3 0
x
có bao nhiêu nghiệm?
A.
2018.
B.
6340.
C.
2017.
D.
6339.
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 84. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Trong các phương trình sau,
phương trình nào vô nghiệm?
A.
tan 99
x
. B.
2
cos 2
2 3
x
. C.
cot 2018 2017
x
. D.
3
sin 2
4
x
.
Câu 85. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận làm nghiệm
A. B.
C. D.
Câu 86. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình
sin cosx x
có số nghiệm
thuộc đoạn
;
là:
A.
3
B.
5
C.
2
D.
4
Câu 87. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Giải phương trình
2cos 1 sin 2 0
2 2
x x
A.
2
2 ,
3
x k k
B.
2 ,
3
x k k
C.
4 ,
3
x k k
D.
2
4 ,
3
x k k
Câu 88. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình
8.cos2 .sin 2 .cos4 2
x x x
có nghiệm là
A.
32 4
5
32 4
x k
k
x k
. B.
16 8
3
16 8
x k
k
x k
.
C.
8 8
3
8 8
x k
k
x k
. D.
32 4
3
32 4
x k
k
x k
.
Câu 89. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos2 0
x
trên
0;2 .
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 90. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
tan 3
x
. B.
sin 3 0
x
.
C.
3sin 2 0
x
. D.
2
2cos cos 1 0
x x
.
Câu 91. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng
0;
, phương trình
cos4 sin 0
x x
có
tập nghiệm là
S
. Hãy xác định
S
.
A.
2 3 7
; ; ;
3 3 10 10
S
. B.
3
;
6 10
S
.
2
6 3
x k
k
sin 3 sin 2 .
4
x x
cos sin2 .x x
cos4 cos6 .x x
tan 2 tan .
4
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
C.
7
; ;
6 10 10
S
. D.
5 3 7
; ; ;
6 6 10 10
S
.
Câu 92. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Phương trình
cos3 .tan5x sin7x
x
nhận những giá trị sau của
x
làm nghiệm
A.
2
x
. B.
10 ;
10
x x
. C.
5
10
x x
. D.
5
20
x x
Câu 93. (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Phương trình
sin 2 cosx x
có nghiệm là
A.
6 3
2
2
k
x
k
x k
. B.
6 3
2
3
k
x
k
x k
.
C.
2
6
2
2
x k
k
x k
. D.
2
6 3
2
2
k
x
k
x k
.
Câu 94. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Số nghiệm của phương trình
2
4 sin 2 0
x x
là
A.
2
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Câu 95. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Phương trình
sin cosx x
có bao nhiêu nghiệm
0;5
x
?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 96. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Nghiệm của phương trình
sin 3 cosx x
là
A.
x k
;
2
x k
. B.
8 2
x k
;
4
x k
.
C.
2x k
;
2
2
x k
. D.
x k
;
4
x k
.
Câu 97. (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Phương trình
sin 2 cos 0
x x
có tổng các nghiệm
trong khoảng
0;2
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
Câu 98. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Số nghiệm chung của hai phương trình
2
4cos 3 0
x
và
2sin 1 0
x
trên khoảng
3
;
2 2
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Câu 99. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình
sin sin 7 sin3 sin5x x x x
.
A.
,x k k
. B.
,
6
k
x k
. C.
,
4
k
x k
. D.
,
2
k
x k
.
Câu 100. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos2x x
thuộc
đoạn
0;20
.
A.
20
. B.
40
. C.
30
. D.
60
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 1. Phương trình tương đương
sin 1 2 4 ,
2 2 2
x x
k x k k
Câu 2.
sin 1
3
x
2
3 2
x k
5
2
6
x k
k
.
Câu 3. Ta có:
sin 2 1 2 2
2 4
x x k x k
.
Câu 4. Ta có:
3
2sin 3 0 sin 1
2
x x
nên phương trình vô nghiệm.
Câu 5. Ta có
sin 1x
2
2
x k
k
.
Do đó
2
x
là một nghiệm của phương trình
sin 1x
.
Câu 6. Ta có
2
3
3
sin
2
2
2
3
x k
x
x k
, với
k
.
Câu 7. Ta có
sin sin 30
x
30 360
180 30 360
x k
x k
30 360
150 360
x k
x k
k
.
Câu 8. Ta có
sin 1x
2
2
x k
,
k
.
Câu 9. Ta có
sin 1
6
x
2
6 2
x k
2
3
x k
k
.
Câu 10. Ta có:
2
1
6
2sin 1 0 sin sin sin
5
2 6
2
6
x k
x x x k
x k
.
Câu 11. Chọn B
Ta có:
1
2sin 1 0 sin sin
2 6
x x
2
6
7
2
6
x k
k
x k
Câu 12.
2
3
3
2sin 3 0 sin .
2
2
2
3
x k
x x k
x k
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
2
2 , 2 ,
3 3
S k k k
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm
1
2
với
đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác
cơ bản:
1
sin 2sin 1
2
x x
⇒ Đáp án. C.
Câu 14. Chọn B
Ta có:
3
2
2 2
3
4 4
sin 2 sin
2
3
4 4
2 2
6 3
4 4
x k
x x k
x x
x k
x x k
k
.
+ Xét
2x k
k
.
Do
1
0 0 2 0
2
x k k
. Vì
k
nên không có giá trị
k
.
+ Xét
2
6 3
x k
k
.
Do
2 1 5
0 0
6 3 4 4
x k k
. Vì
k
nên có hai giá trị
k
là:
0; 1k k
.
Với
0
6
k x
.
Với
5
1
6
k x
.
Do đó trên khoảng
0;
phương trình đã cho có hai nghiệm
6
x
và
5
6
x
.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng
0;
là:
5
6 6
.
Câu 15. Chọn B
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
5
sin 2
3
m
x
Vì
sin 2 1;1
x
nên
2
2
2 2 2
5
1;1 2;8
3
2 2 2
m
m
m
m
Vậy có 2 giá trị.
Câu 16.
3sin 1 0
x m
1
sin
3
m
x
, để có nghiệm ta có
1
1 1
3
m
2 4
m
Nên có 7 giá trị nguyên từ
2;
đến
4
.
Câu 17. Ta có
sin 2 0 2
cos x cos x k
k
Vì
1 1 1
2 1;1 0 2 0 2 .
2 4 2
cos x k cos x x k x k k
1
0;2 0;1;2;3 .
x k
Vậy phương trình có
4
nghiệm trên
0;2 .
Câu 18. Ta có
3 2
3
3 3
sin 3 sin 3 sin
3 2 3 3
3 2
3 3
x k
x x k
x k
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
2 2
9 3
2
3 3
x k
k
x k
.
+) TH1:
2 2 2 2 1 13
0; 0
9 3 2 9 3 2 3 12
x k k k
. Do
1
k k
. Suy
ra trường hợp này có nghiệm
4
9
x
thỏa mãn.
+) TH2:
2 2 1 1
0; 0
3 3 2 3 3 2 2 4
x k k k
. Do
0
k k
. Suy ra
trường hợp này có nghiệm
3
x
thỏa mãn.
Vậy phương trình chỉ có
2
nghiệm thuộc khoảng
0;
2
.
Câu 19. Chọn D
Tư luân
2 2
3
3 3
2sin 3 0 sin sin sin ,
2
2 3
2 2
3 3
x k x k
x x x k
x k x k
- Xet
2
3
x k
5 1 5
0 2 0 2 2 2 0
3 3 3 6 6
x k k k k
Chi co môt nghiêm
0;2
3
x
- Xet
2
2
3
x k
2 2 4 1 2
0 2 0 2 2 2 0
3 3 3 3 3
x k k k k
Chi co môt nghiêm
2
0;2
3
x
Vây phương trinh co 2 nghiêm thuôc đoan
0;2
.
Câu 20. Phương trình tương đương:
1
sin
2
x
2
6
7
2
6
x k
x k
, (
k
)
+ Với
2
6
x k
,
k
ta có
3
2 10
2 6
k
,
k
2 61
3 12
k
,
k
0 5
k
,
k
. Do đó phương trình có
6
nghiệm.
+ Với
7
2
6
x k
,
k
ta có
3 7
2 10
2 6
k
,
k
4 53
3 12
k
,
k
1 4
k
,
k
. Do đó, phương trình có
6
nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
7 2
2 2
6 6 3
k k k k
(vô lí, do
k
,
k
).
Vậy phương trình có
12
nghiệm trên đoạn
3
;10
2
.
Câu 21. Ta có
3
sin 2 sin
4 4
x x
3
2 2
4 4
2 2
4 4
x x k
x x l
2
,
2
6 3
x k
k l
x l
.
Họ nghiệm
2x k
không có nghiệm nào thuộc khoảng
0;
.
2
0;
6 3
x l
2
0
6 3
l
0; 1
l
.
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng
0;
là
6
x
và
5
6
x
. Từ đó suy ra tổng các
nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương trình này bằng
.
Câu 22. Ta có:
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
k
.
Vì
;
2 2
x
nên
6 6
x S
.
Câu 23. Ta có:
3
sin 3
3 2
x
3 2
3 3
4
3 2
3 3
x k
x k
k
2
3 2
3
3 2
x k
x k
k
2 2
9 3
2
3 3
x k
x k
k
.
Vì
0;
2
x
nên
3
x
,
4
9
x
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng
0;
2
.
Câu 24.
2sin 3 0
x
3
sin sin
2 3
x
2
2
2
3
3
x k
x k
.
Các nghiệm của phương trình trong đoạn
0;
là
3
;
2
3
nên có tổng là
2
3 3
.
Câu 25. Ta có:
3
sin 2 sin
2 3
x
2 2
3
4
2 2
3
x k
x k
6
2
3
x k
x k
6
3
x k
x k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Vậy
6
và
3
. Khi đó
2
.
Câu 26. Ta có:
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
k
.
Vì
;
2 2
x
nên
6 6
x S
.
Câu 27. Ta có
2sin 1 0
x
2
1
6
sin
7
2
2
6
x k
x
x k
k
Với
0
6
k x
hoặc
7
6
x
.
Điểm biểu diễn của
6
x
là
F
, điểm biểu diễn
7
6
x
là
E
.
Câu 28. Ta có
sin 1 2 2
4 4 2 4
x x k x k
,
k
.
Suy ra số nghiệm thuộc
;2
của phương trình là
1
.
Câu 29. Ta có:
2sin 1 0
x
1
sin
2
x
2
6
5
2
6
x k
x k
k
.
Do
0;2
x
nên ta có
5
;
6 6
x x
.
Câu 30. Ta có
sin 5 sin 0
x x
sin 5 sinx x
5 2
5 2
x x k
x x k
2
6 3
x k
x k
2
5
6
6
x k k
x m m
x n n
.
Vì
2018 ;2018
x
nên
2018 2018
2
5
2018 2018
6
2018 2018
6
k
m
n
4036 4036
12113 12103
6 6
12109 12107
6 6
k
m
n
.
Do đó có
8073
giá trị
k
,
4036
giá trị
m
,
4036
giá trị
n
, suy ra số nghiêm cần tìm là
16145
.
nghiệm.
(*)
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 31. Chọn A
+ Phương trình tương đương
1
sin
2
x
sin sin
6
x
2
6
5
2
6
x k
x k
,
k
.
+ Với
2
6
x k
,
k
.
Vì
5
0;
2
x
nên
5
0 2
6 2
k
,
k
1 7
12 6
k
,
k
0;1
k
.
Suy ra:
3
;
6 6
x
.
+ Với
5
2
6
x k
,
k
.
Vì
5
0;
2
x
nên
5 5
0 2
6 2
k
,
k
5 5
12 6
k
,
k
0
k
.
Suy ra:
5
6
x
.
Do đó
5 3
; ;
6 6 6
x
.
Vậy số nghiệm của phương trình là
3
.
Câu 32. Chọn B
2sin 3 0
x
3
sin sin
2 3
x
2
2
2
3
3
x k
x k
.
Các nghiệm của phương trình trong đoạn
0;
là
3
;
2
3
nên có tổng là
2
3 3
.
Câu 33. Chọn A
Ta có:
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
k
.
Vì
;
2 2
x
nên
6 6
x S
.
Câu 34. Chọn A
Phương trình tương đương:
1
sin
2
x
2
6
7
2
6
x k
x k
, (
k
)
+ Với
2
6
x k
,
k
ta có
3
2 10
2 6
k
,
k
2 61
3 12
k
,
k
0 5
k
,
k
. Do đó phương trình có
6
nghiệm.
+ Với
7
2
6
x k
,
k
ta có
3 7
2 10
2 6
k
,
k
4 53
3 12
k
,
k
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
1 4
k
,
k
. Do đó, phương trình có
6
nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
7 2
2 2
6 6 3
k k k k
(vô lí, do
k
,
k
).
Vậy phương trình có
12
nghiệm trên đoạn
3
;10
2
.
Câu 35. Chọn B
Ta có
2sin 2 3 0
3
x
3
2sin 2
3 2
x
2 2
3 3
2 2
3 3
x k
x k
3
,
2
x k
k
x k
. Vì
0;3
x
nên
4 7 3 5
; ; ; ; ;
3 3 3 2 2 2
x
.
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 36. Chọn D
Phương trình
2
2
cos cos cos ( )
4 2 4 4
2
2
x k
x x k Z
x k
.
Câu 37. Chọn A
Ta có:
1 2 2
cos cos cos 2
2 3 3
x x x k k
.
Câu 38. Chọn D.
Ta có
cos 1
x
2x k
,
k
.
Câu 39. Chọn C
Phương trình
cos cos 2
3 3
x x k k
Câu 40. Chọn A
Theo công thức nghiệm đặc biệt thì
cos 0
2
x k kx
. Do đó Chọn A.
Câu 41. Phương trình
2
2
cos cos cos
4 2 4 4
2
2
x k
x x k
x k
.
Câu 42.
cos 0
3
x
3 2
x
k
3
3
2
x k
,
.
k
Câu 43. Phương trình
2cos 1 0
x
1
cos
2
x
2
3
x k
,
k
.
Câu 44.
2cos 2 0
x
2
cos
2
x
2
4
,
2
4
x k
k
x k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Câu 45. TXĐ:
D
. Ta có
2cos 1 0
x
1
cos
2
x
2
3
x k
,
k
.
Câu 46. Phương trình
cos 1
x
2x k
,
k
.
Câu 47.
2
cos
2
x
3
cos cos
4
x
3
2 ,
4
x k k
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
3
2 ;
4
S x k k
.
Câu 48. Ta có:
cos 1 2x x k
k
.
cos 0
2
x x k
k
.
cos 1 2x x k
k
.
Câu 49. Phương trình tương đương với
2 3 3
cos cos 2
2 4 4
x x k
Câu 50.
1
2cos 1 cos
2
x x
2
3
x k
2
3
2
3
x k
k
x k
.
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 51. Chọn A
Do
cos 1
x
,
x
nên phương trình:
cos 0 cos
x m x m
có nghiệm khi
1
m
và vô nghiệm khi
1
m
.
Câu 52. Ta có:
2
1
4sin 2 1 0 2 1 cos 4 1 0 cos 4
2 12 2
x x x x k k
.
Do
;
12 2 2 2
x k
1
2
3
4
12
12
5
12
5
12
x
x
x
x
1 2 3 4
0
x x x x
.
Câu 53. Phương trình:
2c c
2
os 1 os
3 3 2
x x
2
3 2
2
3 2
x k
k
x k
2
6
5
2
6
x k
k
x k
Vì
0;2
x
nên
7
,
6 6
x
. Vậy số nghiệm phương trình là 2
Câu 54. Chọn D.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
1
cos2
2
x
2
2 2
2
3 3
cos 2 cos
2
3
2 2
3 3
x k x k
x k
x k x k
3 3 6
m n
.
Câu 55. Chọn B
Phương trình:
2c c
2
os 1 os
3 3 2
x x
2
3 2
2
3 2
x k
k
x k
2
6
5
2
6
x k
k
x k
Vì
0;2
x
nên
7
,
6 6
x
. Vậy số nghiệm phương trình là 2
Câu 56. Ta có
cot 3
3
x
cot cot
3 6
x
3 6
x k
6
x k
,
k
.
Vậy
6
1
m
n
5
m n
.
Câu 57. Phương trình
2cos2 1 0
x
1
cos2
2
x
2 2
3
2 2
3
x k
x k
6
6
x k
x k
.
Xét
0;
x
0
6
0
6
k
k
1 5
6 6
1 7
6 6
k
k
mà
k
suy ra
0
1
k
k
6
5
6
x
x
.
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình
2cos2 1 0
x
trong đoạn
0;
là
5
6
x
.
Câu 58. Ta có
cos3 1 0
x
cos3 1x
2
3
x k
,
k
.
1
cos 2
2
x
2
2 2
3
x k
3
x k
,
k
.
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình (1) đồng
thời là nghiệm của phương trình (2) là
2
3
x k
,
k
.
Câu 59. Ta có:
1 2
cos 2 2 2
2 3 3
x x k x k
,
k
.
Do số đo một góc là nghiệm nên
3
x
hoặc
2
3
x
thỏa mãn.
Vậy tam giác có số đo ba góc là:
, ,
3 3 3
hoặc
2
, ,
3 6 6
.
Câu 60.
2cos 3
x
3
cos
2
x
2 ,
6
x k k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Mà
5
0;
2
x
và
k
nên
11 13
; ;
6 6 6
x
.
Câu 61. Ta có
1
cos
2
x
2
3
2
3
x k
x k
,
k
.
Xét
2
3
x k
, do
2 ;2
x
và
k
nên
2 2 2
3
k
1
k
;
0
k
.
Xét
2
3
x k
, do
2 ;2
x
và
k
nên
2 2 2
3
k
1k
;
0
k
.
Vậy phương trình có
4
nghiệm trên đoạn
2 ;2
.
Câu 62. Ta có
2
cos 2 cos 0 cos 2 cos
2
3 3
x k
x x x x k
x k
Vì
3
3
x
x
x
.
Câu 63. Ta có:
cos2 cos 0
x x
cos 2 cosx x
2 2
2 2
x x k
x x k
2
2
3
x k
k
x
2
;
3
k
x k
.
Vì
0;2
x
nên
2
0 2
3
k
0 3
k
.
Do
k
nên
1;2
k
2
3
x
;
4
3
x
.
Vậy
2 4
2
3 3
T
.
Câu 64. Chọn D
2cos 3
x
3
cos
2
x
2 ,
6
x k k
.
Mà
5
0;
2
x
và
k
nên
11 13
; ;
6 6 6
x
.
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 65. Ta có:
tan arctan
x m x m k
,
k
.
Câu 66. Ta có
tan 3
x
tan tan
3
x
3
x k
,
k
.
Câu 67. Ta có
tan 3 tan 3 , .
2
k
x x x x k x k
Trình bày lại
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
ĐK:
cos3x 0
6 3
cosx 0
2
k
x
x k

*
Ta có
tan 3 tan 3 , .
2
k
x x x x k x k
Kết hợp điều kiện
*
suy ra
,x k k
Câu 68. Chọn D
Ta có:
.
Câu 69. Chọn D
3.tan 3 0 3 .
3
x tanx x k
Câu 70. Chọn C
2
3 3 ,
3
tan x tanx x k k
.
Câu 71. Chọn A
3
3 3tan 0 tan
3 6
x x x k k
.
Câu 72. Chọn D
3 tan 2 3 0 tan 2 3
x x
2
3
x k
6 2
x k k
.
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 73.
Chọn C
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa
cos 0
2
*
cos3 0
6 3
x k
x
kx
x
Khi đó, phương trình (1)
3
2
k
x x k x
so sánh với đk (*)
2
, 0;30 0;...;4 0; ;2 ;....;9
2
x k
x k x
x k
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình (1) là:
45
.
Câu 74. Chọn A
A. .
(Với nên nghiệm dương bé nhất là )
B. .
Nghiệm dương bé nhất là .
C. Nghiệm dương bé nhất là .
tan 3 15 3 tan 3 15 tan 60 3 15 60 180
x x x k
25 60x k k
tan 2 1 tan 2 tan 2
4 4 8 2
x x x k x k k
0
k
8
x
7
tan 3
4 4 3 12
x x k x k k
7
12
x
cot 0 cos 0
2
x x x k k
2
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
D. .
Chọn Nghiệm dương bé nhất là .
Vậy giá trị nhỏ nhất là nên ta chọn đáp án A.
Câu 75.
3
tan ,
3 3
x x k k
.
Với
0 2
3
x x
hoặc
2
3
x
.
Câu 76.
Lời Giải.
Chọn C
Ta có
3 3
tan tan .
11 11
x x k k Z
Do
3
;2 2 0,027 0;1 .
4 4 11
CASIO k Z
xapxi
x k k
 
Câu 77. Chọn C
Ta có:
tan5 tan 0
x x
tan5 tanx x
5
4
k
x x k x k
Vì
0;
x
, suy ra
0 0 4 0;1;2;3
4
k
k
k k
Suy ra các nghiệm của phương trình trên
0;
là
3
0; ; ;
4 2 4
Suy ra
3 3
0
4 2 4 2
Câu 78.
Lời Giải.
Chọn A
Ta có
0 0 0 0 0 0
tan 2 15 1 2 15 45 180 30 90 .x x k x k k Z
Do
0 0 0 0 0 0
4 2
90 ;90 90 30 90 90
3 3
x k k
0
0 0 0
0
1 60
60 30 30 .
0 30
k Z
k x
k x
Dạng 4. Phương trình cotx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 79. Chọn D
Ta có
3
3cot 3 0 cot cot cot ,
3 3 3
x x x x k
.
k
Câu 80. Chọn C
Ta có
3
2cot 3 0 cot
2
x x
3
arccot
2
kx
k Z
Câu 81.
Lời Giải.
cot 3 cot cot
6 6
x x x k k
1
k
5
6
x
8
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Chọn A
Ta có
cot 3 1 3 cot 3 1 cot
6
x x
.
1
1 1
3 1 .
6 3 18 3 3 18
k
x k x k x
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 82. Chọn B
Ta có
cot 3
3
x
cot cot
3 6
x
3 6
x k
6
x k
,
k
.
Vậy
6
1
m
n
5
m n
.
Câu 83. Chọn A
Ta có
cot 3 cot cot .
6 6
x x x k k
Theo giả thiết, ta có
xap xi
1
0 2018 2017,833
6 6
k k
.
3 0;1;...;2017
k
k

. Vậy có tất cả
2018
giá trị nguyên của
k
tương ứng với có
2018
nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
Câu 84. Chọn B
Vì
2
1
3
là nên phương trình
2
cos 2
2 3
x
vô nghiệm.
Câu 85. Chọn B
A.
B.
C.
D.
So sánh ta được đáp án là B.
Câu 86. Chọn C.
2
3 2 2
20 5
4
sin 3 sin 2
3
4
3 ( 2 ) 2
2
4
4
x k
x x k
x x
x x k x k
2 2
2
cos sin 2 cos cos 2 ( )
2
2 2
2
x x k
x x x x k
x x k
2
6 3
( )
2
2
x k
k
x k
cos4 cos6 cos4 cos 6x x x x
4 6 2
10 5
4 6 2
2
x k
x x k
k
x x k
x k
tan 2 tan tan 2 tan( ) ( ).
4 4 8 2
x x x k k
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Ta có
sin cos 2 sin 0
4 4 4
x x x x k x k k
Trong
;
phương trình có hai nghiệm
Câu 87. Chọn D
Vì
1 sin 1, sin 2 0
2 2
x x
x
Vậy phương trình tương đương
1
2cos 1 0 cos 2
2 2 2 2 3
2
4 ,
3
x x x
k
x k k
Câu 88. Ta có:
8.cos2 .sin 2 .cos4 2
x x x
4.sin 4 .cos 4 2
x x
2.sin8 2
x
2
sin8
2
x
sin8 sin
4
x
32 4
5
32 4
x k
k
x k
.
Vậy phương trình có nghiệm
32 4
5
32 4
x k
k
x k
.
Câu 89. Ta có
sin 2 0 2
cos x cos x k
k
Vì
1 1 1
2 1;1 0 2 0 2 .
2 4 2
cos x k cos x x k x k k
1
0;2 0;1;2;3 .
x k
Vậy phương trình có
4
nghiệm trên
0;2 .
Câu 90. Ta có:
1 sin 1x
nên phương trình
sin 3 0 sin 3
x x
vô nghiệm.
Câu 91. Ta có
cos4 sin 0 cos4 sin cos4 sin cos4 cos
2
x x x x x x x x
2
4 2
6 3
2
2
4 2
2 10 5
x k
x x k
x x k x k
,
k
.
Vì
0;
x
nên
5 3 7
; ; ;
6 6 10 10
S
.
Câu 92. Điều kiện
5
2
k
x
,
k
(*)
Phương trình tương đương
k
cos3x.sin5x-sin7xcos5x=0 sin2x=0 x=
2
.
Ta thấy
,
2 10
x x
không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại đáp án A, B,.C
Vậy đáp án đúng là D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Câu 93.
6 3
sin 2 cos sin 2 sin
2
2
2
k
x
x x x x k
x k
.
Câu 94.
2
4 sin 2 0
x x
2 2
2
2
sin 2 0
x
x
x
x
2 2
2
2
2
x
x
x
k
x
2
2
0
2
x
x
x
x
.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm.
Câu 95. Ta có
sin cosx x
tan 1x
4
x k
,
k
.
Vì
0;5
x
nên ta có
0 5 ,
4
k k
1 19
,
4 4
k k
.
Do đó,
0, 1, 2, 3, 4
k
.
Suy ra phương trình có
5
nghiệm thuộc
0;5
là
4
,
5
4
,
9
4
,
13
4
,
17
4
.
Câu 96.
sin 3 cosx x
sin 3 sin
2
x x
3 2
2
3 2
2
x x k
x x k
8 2
4
x k
x k
.
Câu 97.
2
cos 0
sin 2 cos 0 2sin cos cos 0 2 ,
2sin 1 0
6
7
2
6
x k
x
x x x x x x k k
x
x k
3 11 7
0;2 ; ; ;
2 2 6 6
x x
5
S
.
Câu 98. Trên khoảng
3
;
2 2
phương trình
1
2sin 1 0 sin
2
x x
có hai nghiệm là
6
và
7
6
.
 Cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình
2
4cos 3 0
x
.
 Vậy hai phương trình có
2
nghiệm chung.
Câu 99. Ta có:
sin sin 7 sin3 sin5x x x x
cos6 cos8 cos2 cos8x x x x
.
cos6 cos 2x x
6 2 2
6 2 2
x x k
x x k
2
4
k
x
k
x
,
4
k
x k
.
Câu 100. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Ta có
sin cos2x x
2
sin 1 2sinx x
1
sin
2
sin 1
x
x
.
1
sin
2
x
2
6
5
2
6
x k
x k
k
.
sin 1
x
2
2
x k
k
Xét
0;20
x
:
Với
2
6
x k
, ta có
0 2 20
6
k
1 119
12 12
k
, do
k
nên.
Với
5
2
6
x k
, ta có
5
0 2 20
6
k
5 115
12 12
k
, do
k
nên.
Với
2
2
x k
, ta có
0 2 20
2
k
1 41
4 4
k
, do
k
nên.
Vậy phương trình đã cho có
30
nghiệm thuộc đoạn
0;20
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
BÀI 3
MỤC LỤC
PHẦN A
. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ..................................................... 2
Dạng1.1Khôngcầnbiếtđổi ........................................................................................................................................ 2
Dạng1.2Biếnđổiquyvềphươngtrìnhbậchai ........................................................................................................... 3
Dạng1.3Cóđiềukiệncủanghiệm .............................................................................................................................. 4
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 6
Dạng2.1Khôngcầnbiếnđổi ....................................................................................................................................... 6
Dạng2.2Cầnbiếnđổi .................................................................................................................................................. 7
Dạng2.3Cóđiềukiệncủanghiệm .............................................................................................................................. 8
Dạng2.3.1Điềukiệnnghiệm ................................................................................................................................... 8
Dạng2.3.2Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm ....................................................................................................... 9
Dạng2.3.3SửdụngđiềukiệncónghiệmđểtìmMin-Max ................................................................................... 11
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 11
Dạng3.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm ................................................................................................................. 11
Dạng3.3Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 13
Dạng3.3Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm ............................................................................................................ 14
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng ..................................................................................................... 14
Dạng4.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm ................................................................................................................. 14
Dạng4.2Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 15
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 16
Dạng5.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm ................................................................................................................. 16
Dạng5.2Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 17
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 18
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác ......................................................... 20
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 20
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 23
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ................................................... 23
Dạng1.1Khôngcầnbiếtđổi ...................................................................................................................................... 23
Dạng1.2Biếnđổiquyvềphươngtrìnhbậchai ......................................................................................................... 24
Dạng1.3Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 25
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ....................................................................... 29
Dạng2.1Khôngcầnbiếnđổi ..................................................................................................................................... 29
Dạng2.2Cầnbiếnđổi ................................................................................................................................................ 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Dạng2.3Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 31
Dạng2.3.1Điềukiệnnghiệm ................................................................................................................................. 31
Dạng2.3.2Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm ..................................................................................................... 34
Dạng2.3.3SửdụngđiềukiệncónghiệmđểtìmMin-Max ................................................................................... 36
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 37
Dạng3.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm ................................................................................................................. 37
Dạng3.3Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 40
Dạng3.3Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm ............................................................................................................ 42
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng ..................................................................................................... 42
Dạng4.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm ................................................................................................................. 42
Dạng4.2Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 44
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 47
Dạng5.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm ................................................................................................................. 47
Dạng5.2Cóđiềukiệncủanghiệm ............................................................................................................................ 48
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 53
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác ......................................................... 57
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 60
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng1.1Khôngcầnbiếtđổi
Câu 1. (HỒNGQUANG-HẢIDƯƠNG-LẦN1-2018)Sốvịtríbiểudiễncácnghiệmcủaphương
trình
2
4cos 4cos 3 0
x x
trênđườngtrònlượnggiáclà?
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
4
.
Câu 2. Phươngtrình
2
3
cos 2 cos 2 0
4
x x
cónghiệmlà:
A.
6
x k
. B.
2
6
x k
. C.
2
3
x k
. D.
3
x k
.
Câu 3. Nghiệmcủaphươngtrình
2
2sin – 5sin – 3 0
x x
là:
A.
; 2
2
x k x k
. B.
5
2 ; 2
4 4
x k x k
.
C.
7
2 ; 2
6 6
x k x k
. D.
5
2 ; 2
3 6
x k x k
.
Câu 4.
Nghiêmcủaphươngtrình
2
–sisi
2
n nx x
là:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
A.
x k
. B.
2
2
x k
. C.
2
x k
. D.
2
2
x k
.
Câu 5.
Nghiệmcủaphươngtrình
2
2cos 3cos 1 0
x x
là:
A.
2 ; 2
6
x k x k
. B.
2
2 ; 2
3
x k x k
.
C.
2 ; 2
2 6
x k x k
. D.
2 ; 2
3
x k x k
.
Câu 6. Nghiệmcủaphươngtrình
2
3cos – 8 cos – 5
x x
là:
A.
2x k
. B.
2x k
. C.
2
2
x k
. D.
x k
.
Câu 7. [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nghiệm của phương trình
2
sin 4sin 3 0
x x
là
A.
2 ,
x k k
B.
2 ,
2
x k k
.
C.
2 ,
x k k
. D.
2 ,
2
x k k
.
Câu 8. Nghiệmcủaphươngtrìnhlượnggiác
2
sin 2sin 0
x x
cónghiệmlà:
A.
2x k
. B.
x k
. C.
2
x k
. D.
2
2
x k
.
Dạng1.2Biếnđổiquyvềphươngtrìnhbậchai
Câu 9. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình
4 4
3
sin cos cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
là
A.
,
3
x k k
. B.
2 ,
3
x k k
.
C.
2 ,
4
x k k
. D.
,
4
x k k
Câu 10. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình
2cos 2 cos 1 0
x x
.Khiđặt
cost x
,tađượcphươngtrìnhnàodướiđây?
A.
2
2 1 0
t t
B.
1 0
t
C.
2
4 3 0
t t
D.
2
4 1 0
t t
Câu 11. (ĐỀTHITHỬLỚP11TRƯỜNGTHPTYÊNPHONGLẦN1NĂM2018-2019)Phương
trình
cos 2 5sin 4 0
x x
cónghiệmlà
A.
2
2
k
. B.
2
k
. C.
k
. D.
2
4
k
Câu 12. (THPTLÊQUYĐÔNĐIỆNBIÊNNĂM2018-2019LẦN01)Tìmnghiệmcủaphươngtrình
2 2sin 3
cos x x
?
A.
,
2
x k k
. B.
,
2
x k k
.
C.
2 ,
2
x k k
. D.
2 ,
2
x k k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
Câu 13. (CHUYÊNLONGAN-LẦN1-2018)Chophươngtrình
cos 2 sin 2 0
x x
.Khiđặt
sint x
,tađượcphươngtrìnhnàodướiđây.
A.
2
2 1 0
t t
. B.
1 0
t
. C.
2
2 3 0
t t
. D.
2
2 2 0
t t
.
Câu 14. (PHANĐĂNGLƯU-HUẾ-LẦN1-2018)Giảiphươngtrình
2
3sin 2cos 2 0
x x
.
A.
,
2
x k k
. B.
,x k k
. C.
2 ,x k k
. D.
2 ,
2
x k k
.
Câu 15. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan 3 cot 3 1 0
x x
là:
A.
4
,
3
x k
k
x k
. B.
4
,
6
x k
k
x k
.
C.
2
4
,
2
6
x k
k
x k
.D.
4
,
6
x k
k
x k
.
Câu 16. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình
5
cos2 4cos
3 6 2
x x
.Khiđặt
cos
6
t x
,phươngtrìnhđãchotrởthànhphương
trìnhnàodướiđây?
A.
2
4 8 5 0
t t
. B.
2
4 8 3 0
t t
. C.
2
4 8 3 0
t t
. D.
2
4 8 5 0
t t
.
Câu 17. (THPTMỘĐỨC-QUẢNGNGÃI-2018)Chophươngtrình:
cos 2 sin 1 0
x x
*
.Bằng
cáchđặt
sint x
1 1
t
thìphươngtrình
*
trởthànhphươngtrìnhnàosauđây?
A.
2
2 0
t t
. B.
2
2 0
t t
. C.
2
2 2 0
t t
. D.
2
0
t t
.
Câu 18. (SỞGD&ĐTNAMĐỊNH-HKII-2018)Giảiphươngtrình
cos2 5sin 4 0
x x
.
A.
2
x k
. B.
2
x k
. C.
2x k
. D.
2
2
x k
.
Dạng1.3Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 19. Nghiệmcủaphươngtrình
2
2 sin – 3sin 1 0
x x
thỏađiềukiện:
0
2
x
.
A.
2
x
. B.
6
x
. C.
4
x
. D.
2
x
.
Câu 20. (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2-2017-2018)Tìmnghiệmcủaphươngtrìnhlượnggiác
2
cos cos 0
x x
thỏamãnđiềukiện
0 x
.
A.
x
. B.
4
x
. C.
2
x
. D.
0
x
.
Câu 21. Nghiệmdươngbénhấtcủaphươngtrình:
2
2sin 5sin 3 0
x x
là:
A.
6
x
. B.
2
x
. C.
3
2
x
. D.
5
6
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 22. (THPTQuảngXương1-ThanhHóa-2018-BTN)Tìmtổngtấtcảcácnghiệmthuộcđoạn
0;10
củaphươngtrình
2
sin 2 3sin 2 2 0
x x
.
A.
105
2
. B.
105
4
. C.
297
4
. D.
299
4
.
Câu 23. (THPTLÊVĂNTHỊNHBẮCNINHNĂM2018-2019)Phươngtrình
cos2 4sin 5 0
x x
có
baonhiêunghiệmtrênkhoảng
0;10
?
A.
5
B.
4
C.
2
D.
3
Câu 24. (CHUYÊNKHTNLẦN2NĂM2018-2019)Phươngtrình
cos2 2cos 3 0
x x
cóbaonhiêu
nghiệmtrongkhoảng
0;2019
?
A.
320
. B.
1009
. C.
1010
. D.
321
.
Câu 25. (THPTCHUYÊNQUANGTRUNG-BP-LẦN1-2018)Phươngtrình
cos 2 4sin 5 0
x x
cóbaonhiêunghiệmtrênkhoảng
0;10
?
A.
5
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 26. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tính tổng
S
các nghiệm của phương trình
4 4
2cos2 5 sin cos 3 0
x x x
trongkhoảng
0; 2
.
A.
11
6
S
. B.
4
S
. C.
5
S
. D.
7
6
S
.
Câu 27. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng
0;3
của phương trình
2
5
cos cos 1 0
2
x x
là
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 28. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác
2
cos cos 0
x x
thỏamãnđiềukiện
0 x
.
A.
2
x
. B.
0
x
. C.
x
. D.
4
x
.
Câu 29. (SGD-HÀTĨNH-HK2-2018)Phươngtrình
cos 2 cos 0
x x
cobaonhiêunghiêmthuôc
khoang
;
?
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 30. (THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
9 15
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
với
0;2
x
là:
A.
6
. B.
5
. C.
3
. D.
4
.
Câu 31. (THPTCHUVĂNAN-HKI-2018)Phươngtrình
2
4tan 5tan 1 0
x x
có
m
nghiệmtrong
khoảng
2017 2017
;
2 2
?
A.
2017
m
. B.
4032
. C.
4034
m
. D.
2018
m
.
Câu 32. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng
0; 2
, phương trình
cos 2 3cos 2 0
x x
cótấtcả
m
nghiệm.Tìm
m
.
A.
1
m
. B.
3
m
. C.
4
m
. D.
2
m
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
Câu 33. (QUẢNGXƯƠNG-THANHHÓA-LẦN1-2018)Tìmtổngtấtcảcácnghiệmthuộcđoạn
0;10
củaphươngtrình
2
sin 2 3sin 2 2 0
x x
.
A.
105
2
. B.
105
4
. C.
297
4
. D.
299
4
.
Câu 34. (SỞGD&ĐTYÊNBÁI-2018)Tínhtổngtấtcả
T
cácnghiệmthuộcđoạn
0;200
củaphương
trình
2
2cos 3sin 3 0
x x
A.
10150
T
. B.
10050
T
. C.
10403
2
T
. D.
20301
2
T
.
Câu 35. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
cos 2 3 cos 1 0
x x
trongđoạn
;
2 2
là:
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 36. (THPTLƯƠNGĐẮCBẰNG-THANHHÓA-LẦN1-2018)Tínhtổng
S
cácnghiệmcủa
phươngtrình
4 4
(2cos 5)(sin cos ) 3 0
2 2
x x
x
trongkhoảng
0; 2
A.
11
12
S
. B.
5
2
S
. C.
2
S
. D.
7
12
S
.
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng2.1Khôngcầnbiếnđổi
Câu 37. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tập xác định của hàm số sau
tan 2x
3sin 2x cos2x
y
.
A.
\ ; ;
4 2 12 2
D k k k
. B.
\ ; ;
6 2 5 2
D k k k
.
C.
\ ; ;
4 2 2
D k k k
. D.
\ ; ;
3 2 12 2
D k k k
.
Câu 38. (SGD&ĐTBẮCNINH-2018)Phươngtrình
3 sin 2 cos 2 2
x x
cótậpnghiệmlà
A.
|
3 2
k
S k
. B.
2
2 |
3
S k k
.
C.
|
3
S k k
.D.
5
|
12
S k k
.
Câu 39. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Tất cả các nghiệm của phương trình
sin 3 cos 1x x
là:
A.
2
6
x k
,
k
.B.
2
6
2
2
x k
x k
,
k
.
C.
5
6
x k
,
k
. D.
5
2
6
x k
,
k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 40. (CHUYÊNVĨNHPHÚC-LẦN1-2018)Tấtcảcáchọnghiệmcủaphươngtrình
sin cos 1x x
là
A.
2
2
2
x k
x k
,
k
. B.
2x k
,
k
.
C.
2
4
x k
,
k
.D.
2
4
2
4
x k
x k
,
k
.
Câu 41. (PHANĐĂNGLƯU-HUẾ-LẦN1-2018)Phươngtrình
sin 3 cos 1x x
cótậpnghiệmlà:
A.
;
6 2
k k
,với
k
. B.
2 ; 2
6 2
k k
,với
k
.
C.
2 ; 2
6 2
k k
,với
k
. D.
7
2 ; 2
6 2
k k
,với
k
.
Câu 42. (THPTHAIBÀTRƯNG-HUẾ-2018)Giảiphươngtrình
sin 3 cos3 2
x x
.
A.
,
3
x k k
. B.
,
6 3
x k k
.
C.
2
,
9 3
x k k
. D.
2
,
12 3
x k k
.
Dạng2.2Cầnbiếnđổi
Câu 43. (CHUYÊNBẮCNINH-LẦN2-2018)Giảiphươngtrình
2
2sin 3 sin 2 3
x x
A.
3
x k
. B.
3
x k
. C.
2
3
x k
. D.
5
3
x k
.
Câu 44. Giảiphươngtrình
3cos sin 2sin 2 .
2 2
x x x
A.
2
18 3
, .
2
18 3
x k
k
x k
B.
5
2
6
, .
2
18 3
x k
k
x k
C.
7
2
6
, .
2
18 3
x k
k
x k
D.
5
2
6
, .
7
2
6
x k
k
x k
Câu 45.
Nghiệmcủaphươngtrình
2
sin 3 sin cos 1x x x
là:
A.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
. B.
2 ; 2
2 6
x k x k
.
C.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
. D.
;
2 6
x k x k
.
Câu 46. Phươngtrình
sin cos 2 sin5x x x
cónghiệmlà:.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
A.
4 2
6 3
x k
x k
. B.
12 2
24 3
x k
x k
. C.
16 2
8 3
x k
x k
. D.
18 2
9 3
x k
x k
.
Câu 47. Phươngtrình:
3
3sin 3 3sin9 1 4sin 3
x x x
cócácnghiệmlà:
A.
54 9
2
18 9
x k
x k
. B.
2
9 9
7 2
9 9
x k
x k
. C.
2
12 9
7 2
12 9
x k
x k
. D.
2
6 9
7 2
6 9
x k
x k
.
Câu 48. (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình
sin 3 cos 2sin 3x x x
là
A.
3 2
x k
,
k
. B.
2
3
x k
hoặc
2
2
3
x k
,
k
.
C.
2
3
x k
hoặc
4
2
3
x k
,
k
. D.
6
x k
hoặc
2
6 3
x k
,
k
.
Dạng2.3Cóđiềukiệncủanghiệm
Dạng2.3.1Điềukiệnnghiệm
Câu 49. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình
2 2
cos sin 2 2 cos
2
x x x
trênkhoảng
0;3
là
A.
4.
B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 50. (THPTChuyênHạLong-QNinh-Lần1-2017-2018-BTN)Tínhtổngtấtcảcácnghiệm
thuộckhoảng
0;
củaphươngtrình:
2 cos3 sin cosx x x
.
A.
3
. B.
3
2
. C.
. D.
2
.
Câu 51. Tínhtổng
T
cácnghiệmcủaphươngtrình
2 2
cos sin 2 2 sinx x x
trênkhoảng
0;2 .
A.
3
.
4
T
B.
7
.
8
T
C.
21
.
8
T
D.
11
.
4
T
Câu 52. Biếnđổiphươngtrình
cos3 sin 3 cos sin 3x x x x
vềdạng
sin sin
ax b cx d
với
b
,
d
thuộckhoảng
;
2 2
.Tính
b d
.
A.
.
2
b d
B.
.
4
b d
C.
.
3
b d
D.
.
12
b d
Câu 53. Sốnghiệmcủaphươngtrình
sin5 3 cos5 2sin7x x x
trênkhoảng
0;
2
là?
A.
1.
B.
3.
C.
4.
D.
2.
Câu 54. (TOÁNHỌCTUỔITRẺSỐ5)Phươngtrình
3 cos sin 2
x x
cóbaonhiêunghiệmtrên
đoạn
0;4035
?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
A.
2016
. B.
2017
. C.
2011
. D.
2018
.
Câu 55. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP- LẦN1 - 2018) Tìm góc
; ; ;
6 4 3 2
để
phươngtrình
cos2 3 sin 2 2cos 0
x x x
tươngđươngvớiphươngtrình
cos 2 cosx x
.
A.
6
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 56. (THPTCHUVĂNAN-HKI-2018)Chophươngtrình
sin cos 1x x
cóhaihọnghiệmcó
dạng
2x a k
và
2x b k
0 ,a b
.Khiđó
a b
bằngbaonhiêu?
A.
2
3
a b
. B.
3
5
a b
. C.
2
a b
. D.
a b
.
Câu 57. (THPTTHANHMIỆNI-HẢIDƯƠNG-LẦN1-2018)Phươngtrinh
sin 3 cos 0
x x
co
baonhiêunghiêmthuôc
2 ;2
.
A.
5
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 58. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình
2
2cos 3 sin 2 3
x x
trên
5
0;
2
là:
A.
7
6
. B.
7
3
. C.
7
2
. D.
2
.
Câu 59. (THPTHÀHUYTẬP-HÀTĨNH-LẦN1-2018)Tínhtổng cácnghiệmcủaphươngtrình
2 2
cos sin 2 2 cos
2
x x x
trênkhoảng
0; 2
.
A.
7
8
T
. B.
21
8
T
. C.
11
4
T
. D.
3
4
T
.
Câu 60. Gọi
0
x
lànghiệmâmlớnnhấtcủa
sin9 3cos7 sin7 3 cos9x x x x
.Mệnhđềnàosauđâylà
đúng?
A.
0
; .
2 3
x
B.
0
;0 .
12
x
C.
0
; .
6 12
x
D.
0
; .
3 6
x
Dạng2.3.2Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm
Câu 61. (CHUYÊNQUỐCHỌCHUẾNĂM2018-2019LẦN1)Tìmđiềukiệncầnvàđủcủa
a,
b,
c
để
phươngtrình
a sinx bcosx c
cónghiệm?
A.
2 2 2
a b c
B.
2 2 2
a b c
C.
2 2 2
a b c
D.
2 2 2
a b c
Câu 62. (THPT THIỆUHÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019LẦN01)Tìm
m
đểphươngtrình
3sin 4cos 2x x m
cónghiệm?
A.
5 5
2 2
m
B.
5
2
m
C.
5
2
m
D.
5 5
2 2
m
Câu 63. (THPTCHUYÊNVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN02)Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủa
thamsố
m
thuộcđoạn
2018; 2018
đểphươngtrình
2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x
cónghiệm?
A.
4036
B.
2020
C.
4037
D.
2019
T
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 64. (CỤMLIÊNTRƯỜNGHẢIPHÒNGNĂM2018-2019LẦN01)Tìmsốcácgiátrịnguyêncủa
m
đểphươngtrình
cos 2 sin 2 1 0
m x m x m
cónghiệm.
A.
0
B.
3
C.vôsố D.
1
Câu 65. (ĐỀTHITHỬLỚP11TRƯỜNGTHPTYÊNPHONGLẦN1NĂM2018-2019)Đểphương
trình
sin2 os2 2
m x c x
cónghiệmthì
m
thỏamãn:
A.
1.
m
B.
3
.
3
m
m
C.
2
.
2
m
m
D.
1.
m
Câu 66. (THPTLÊVĂNTHỊNHBẮCNINHNĂM2018-2019)Tổngtấtcảcácgiátrịnguyêncủa
m
đểphươngtrình
4 sin 4 cos 2 5 0
x m x m
cónghiệmlà:
A.
5
B.
6
C.
10
D.
3
Câu 67. (THPTCHUYÊNVĨNHPHÚCLẦN02NĂM2018-2019)Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủa
tham số
m
thuộc đoạn
2018; 2018
để phương trình
2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x
có
nghiệm?
A.
4036
. B.
2020
. C.
4037
. D.
2019
.
Câu 68. (THPTCHUYÊNQUANGTRUNGBÌNHPHƯỚCNĂM2018-2019LẦN01)Sốcácgiátrị
nguyênmđểphươngtrình
4 4.sinx.cosx 2.cos 2 3 9
m m x m
cónghiệmlà
A.7 B.6 C.5 D.4
Câu 69. Tìmđiềukiệncủa
m
đểphươngtrình
2 1 cos2 2 sin cos 1
m x m x x m
vônghiệm?
A.
m
. B.
1
;0 ;
2
m
 
.
C.
1
0
2
m
. D.
1
0
2
m
.
Câu 70. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Cho phương trình
2
2 sin cos 4cos 5
m x x x m
,với
m
làmộtphầntửcủatậphợp
3; 2; 1;0;1;2
E
.Cóbao
nhiêugiátrịcủa
m
đểphươngtrìnhđãchocónghiệm?
A.
3
. B.
2
. C.
6
. D.
4
.
Câu 71. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
m
x x
:
A.
2 0
m
. B.
2 1
m
. C.
0 1
m
. D.
2
2
11
m
.
Câu 72. (THPTCANLỘC-HÀTĨNH-LẦN1-2018)Tổngtấtcảcácgiátrịnguyêncủa
m
đểphương
trình
4sin 4 cos 2 5 0
x m x m
cónghiệmlà:
A.
5
. B.
6
. C.
10
. D.
3
.
Câu 73. (THPTCHUYÊNNGUYỄNQUANGDIÊU-ĐỒNGTHÁP-2018)Tìmgiátrịnguyênlớn
nhấtcủa
a
đểphươngtrình
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
cónghiệm
A.
3
a
. B.
2
a
. C.
1
a
. D.
1
a
.
Câu 74. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả giá trị nguyên của
m
để phương trình
2
8sin 1 sin 2 2 6 0
x m x m
cónghiệm.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
A.
3
. B.
5
. C.
6
. D.
2
.
Câu 75. (THPTLƯƠNGVĂNTỤY-NINHBÌNH-LẦN1-2018)Sốgiátrịnguyêncủathamsố
m
thuộcđoạn
2018; 2018
đểphươngtrình
2
1 sin sin 2 cos 2 0
m x x x
A.
4037
. B.
4036
. C.
2019
. D.
2020
.
Câu 76. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tìm
m
để phương trình
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
m
x x
cónghiệm.
A.
2 0
m
B.
0 1
m
C.
2
2
11
m
D.
2 1
m
Dạng2.3.3SửdụngđiềukiệncónghiệmđểtìmMin-Max
Câu 77. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
có
,M m
lầnlượtlàgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủa
y
.Đẳngthứcnào
sauđâyđúng?
A.
2 2
3
M m
. B.
2 2
3
4
M m
. C.
2 2
3
M m
. D.
2 2
2
M m
.
Câu 78. (ĐỀTHITHỬLỚP11TRƯỜNGTHPTYÊNPHONGLẦN1NĂM2018-2019)Sốgiátrị
nguyêntrongtậpgiátrịcủahàmsố
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
là:
A.
0
B.
2
C.
1
D.
3
Câu 79. (THPTLÊVĂNTHỊNHBẮCNINHNĂM2018-2019)Giátrịnhỏnhất
m
vàgiátrịlớnnhất
M
củahàmsố
sin 2 cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
là
A.
1
2
m
;
1M
B.
1m
;
2M
C.
2m
;
1M
D.
1m
;
2M
Câu 80. (THPTCHUYÊNLAMSƠNTHANHHÓANĂM2018-2019LẦN01)Giátrịlớnnhấtcủa
biểuthức
sinx 2cos 3
2sin cos 4
x
P
x x
là?
A.
2
11
B.
2
11
C.
3
D.
2
Câu 81. (LỚP11THPTNGÔQUYỀNHẢIPHÒNGNĂM2018-2019)Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủa
thamsố
m
đểgiátrịlớnnhấtcủahàmsố
sin 1
cos 2
m x
y
x
nhỏhơn
3
.
A.
5
B.
4
C.
3
D.
7
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp
Dạng3.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm
Câu 82. (TRƯỜNGTHPTLƯƠNGTÀISỐ2NĂM2018-2019)Khi đặt
tant x
thìphươngtrình
2 2
2sin 3sin cos 2cos 1x x x x
trởthànhphươngtrìnhnàosauđây?
A.
2
2 3 1 0
t t
B.
2
3 3 1 0
t t
C.
2
2 3 3 0
t t
D.
2
3 3 0
t t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Câu 83. (CHUYÊNBẮCNINH-LẦN1-2018)Giảiphươngtrình
2
2sin 3 sin 2 3
x x
.
A.
2
3
x k
. B.
3
x k
. C.
4
3
x k
. D.
5
3
x k
.
Câu 84. Phươngtrình:
2 2
3cos 4 5sin 4 2 2 3sin 4 cos 4x x x x
cónghiệmlà:
A.
18 3
x k
. B.
24 4
x k
.
C.
6
x k
. D.
12 2
x k
.
Câu 85. Chophươngtrình
2
cos 3sin cos 1 0
x x x
.Mệnhđềnàosauđâylàsai?
A.Nếuchiahaivếcủaphươngtrìnhcho
2
cos x
thìtađượcphươngtrình
2
tan 3 tan 2 0
x x
.
B.Nếuchia2vếcủaphươngtrìnhcho
2
sin x
thìtađượcphươngtrình
2
2 cot 3cot 1 0
x x
.
C.Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới
cos2 3sin2 3 0
x x
.
D.
x k
khônglànghiệmcủaphươngtrình.
Câu 86. Phươngtrình:
2 2
3 1 sin 2 3 sin cos 3 1 cos 0
x x x x
cócácnghiệmlà:
A.
4
x k
x k
(Với
tan 2 3
). B.
8
x k
x k
(Với
tan 1 3
).
C.
8
x k
x k
(Với
tan 1 3
). D.
4
x k
x k
(Với
tan 2 3
).
Câu 87. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
2 2
sin 3 1 sin cos 3cos 3
x x x x
.
A.
sin 1
2
x
. B.
3 1
cos 1 tan 0
1 3
x x
.
C.
2
tan 2 3 cos 1 0
x x
. D.
sin 0
x
.
Câu 88. Gọi
S
làtậpnghiệmcủaphươngtrình
2 2
2sin 3 3sin cos cos 2
x x x x
.Khẳngđịnhnàosau
đâylàđúng?
A.
5
; .
4 12
S
B.
5
; .
2 6
S
C.
; .
3
S
D.
; .
6 2
S
Câu 89. Chophươngtrình
2 2
2 1 sin sin 2 2 1 cos 2 0
x x x
.Trongcácmệnhđềsau,mệnh
đềnàosai?
A.Nếuchiahaivếcủaphươngtrìnhcho
2
cos x
thìtađượcphươngtrình
2
tan 2 tan 1 0
x x
.
B.Nếuchiahaivếcủaphươngtrìnhcho
2
sin x
thìtađượcphươngtrình
2
cot 2cot 1 0
x x
.
C.Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới
cos2 sin 2 1x x
.
D.
7
8
x
làmộtnghiệmcủaphươngtrình.
Câu 90. (ChuyênBắcNinh-BắcNinh-Lần1-2018-BTN)Giảiphươngtrình
2
2sin 3 sin 2 3
x x
.
A.
3
x k
. B.
4
3
x k
. C.
5
3
x k
. D.
2
3
x k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 91. Phươngtrình
2 2
6sin 7 3sin2 8cos 6
x x x
cócácnghiệmlà:.
A.
3
4
2
3
x k
x k
. B.
2
6
x k
x k
. C.
4
3
x k
x k
. D.
8
12
x k
x k
.
Câu 92. Giảiphươngtrình
2 2
sin 3 1 sin cos 3 cos 0.
x x x x
A.
3
.
4
x k
k
x k
B.
.
4
x k k
C.
2
3
.
2
4
x k
k
x k
D.
2 .
3
x k k
Câu 93. (THPTCHUYÊNBẮCNINH-LẦN1-2018)Giảiphươngtrình
2
2sin 3 sin 2 3
x x
.
A.
2
3
x k
. B.
3
x k
. C.
4
3
x k
. D.
5
3
x k
.
Dạng3.3Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 94. (ChuyênKHTN-Lần3-Năm2018)Phươngtrình
2 2
4sin 2 3sin 2 cos2 cos 2 0
x x x x
cóbao
nhiêunghiệmtrongkhoảng
0;
?
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 95. Sốnghiệmcủaphươngtrình
2 2
cos 3sin cos 2sin 0
x x x x
trên
2 ;2
?
A.
4
. B.
6
. C.
8
. D.
2
.
Câu 96. Nghiêmâmlơnnhâtcuaphươngtrinh
2 2
2sin 1 3 sin cos 1 3 cos 1x x x x
là:
A.
2
3
. B.
12
. C.
6
. D.
4
.
Câu 97.
Nghiệmdươngnhỏnhấtcủapt
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4
x x x
là:
A.
2
x
. B.
6
x
. C.
4
x
. D.
3
x
.
Câu 98. (THPTCHUYÊNVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN3)Gọi
0
x
lànghiệmdươngnhỏnhất
củaphươngtrình
2 2
3sin 2sin cos cos 0
x x x x
.Chọnkhẳngđịnhđúng?
A.
0
3
;
2
x
B.
0
;
2
x
C.
0
0;
2
x
D.
0
3
;2
2
x
Câu 99. (THPTCHUYÊNKHTN-LẦN3-2018)Phươngtrình
2 2
4sin 2 3sin 2 cos2 cos 2 0
x x x x
cóbaonhiêunghiệmtrongkhoảng
0;
?.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Dạng3.3Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm
Câu 100. (TOÁNHỌCTUỔITRẺSỐ6)Vớigiátrịlớnnhấtcủa
a
bằngbaonhiêuđểphươngtrình
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
cónghiệm?
A.
2
. B.
11
3
. C.
4
. D.
8
3
.
Câu 101. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
2 2
3sin sin 2 4cos 0
x m x x
cónghiệm.
A.
m
. B.
m
. C.
4
m
. D.
4
m
.
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng
Dạng4.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm
Câu 102. Phươngtrình
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
cónghiệmlà:.
A.
4
x k
x k
. B.
2
2
2
x k
x k
. C.
6 2
4
x k
x k
. D.
8
2
x k
x k
.
Câu 103. Giảiphươngtrình
sin cos 2 sin cos 2
x x x x
.
A.
2
, .
2
2
x k
k
x k
B.
2
, .
2
2
x k
k
x k
C.
, .
2
x k
k
x k
D.
, .
2
x k
k
x k
Câu 104. Chophươngtrình
3 2 sin cos 2sin 2 4 0
x x x
.Đặt
sin cost x x
,tađượcphươngtrình
nàodướiđây?
A.
2
2 3 2 2 0.
t t
B.
2
4 3 2 4 0.
t t
C.
2
2 3 2 2 0.
t t
D.
2
4 3 2 4 0.
t t
Câu 105. Cho phươngtrình
5sin 2 sin cos 6 0
x x x
.Trongcácphươngtrìnhsau,phươngtrình nào
tươngđươngvớiphươngtrìnhđãcho?
A.
2
1 tan 0.
x
B.
3
cos .
4 2
x
C.
tan 1.
x
D.
2
sin .
4 2
x
Câu 106. Phươngtrình
2sin2 3 6 | sin cos | 8 0
x x x
cónghiệmlà:
A.
6
5
4
x k
x k
. B.
12
5
12
x k
x k
. C.
3
5
3
x k
x k
. D.
4
5
x k
x k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Câu 107. Từphươngtrình
1 3 cos sin 2sin cos 3 1 0
x x x x ,nếutađặt
cos sin t x x
thìgiá
trịcủa
t
nhậnđượclà:
A.
3
t
. B.
1t
hoặc
2
t
.
C.
1t
hoặc
3
t
. D.
1t
.
Câu 108. Phươngtrình
3 3
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
cócácnghiệmlà:.
A.
3
2
2
2 1
x k
x k
. B.
4
x k
x k
. C.
2
2
2
x k
x k
. D.
3
4
2
x k
x k
.
Dạng4.2Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 109. (SGDBàRịa-VũngTàu-Lần1-2017-2018-BTN)Cho
0
x
lànghiệmcủaphươngtrình
sin cos 2 sin cos 2
x x x x
thìgiátrịcủa
0
sin
4
P x
là
A.
1
2
P
. B.
2
2
P
. C.
2
2
P
. D.
1P
.
Câu 110. Nếu
1 sin 1 cos 2
x x
thì
cos
4
x
bằngbaonhiêu?
A.
2
.
2
B.
2
.
2
C.
1.
D.
1.
Câu 111. Cho
x
thỏamãn
6 sin cos sin cos 6 0
x x x x
.Tính
cos .
4
x
A.
cos 1.
4
x
B.
cos 1.
4
x
C.
1
cos .
4
2
x
D.
1
cos .
4
2
x
Câu 112. (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Từ phương trình
1 5 sin cos sin 2 1 5 0
x x x
tatìmđược
sin
4
x
cógiátrịbằng:
A.
3
2
. B.
3
2
. C.
2
2
. D.
2
2
.
Câu 113. Từphươngtrình
2 sin cos tan cot
x x x x
,tatìmđược
cos x
cógiátrịbằng:
A.
1.
B.
2
.
2
C.
2
.
2
D.
1.
Câu 114. Nếu
1 5 sin cos sin 2 1 5 0
x x x thì
sin x
bằngbaonhiêu?
A.
2
sin
2
x
. B.
2
sin
2
x
hoặc
2
sin
2
x
.
C.
sin 1
x
hoặc
sin 0
x
. D.
sin 0
x
hoặc
sin 1x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Câu 115. Cho
x
thỏamãnphươngtrình
sin 2 sin cos 1 x x x
.Tính
sin .
4
x
A.
sin 0
4
x
hoặc
sin 1
4
x
.
B.
sin 0
4
x
hoặc
2
sin
4 2
x .
C.
2
sin
4 2
x .
D.
sin 0
4
x
hoặc
2
sin
4 2
x .
Câu 116. Nghiệmâmlớnnhấtcủaphươngtrình
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
là:
A.
.
B.
3
.
2
C.
2 .
D.
.
2
Câu 117. (THPTPhanChuTrinh-ĐăkLăk-2017-2018-BTN)Tổngcácnghiệmcủaphươngtrình
sin cos sin cos 1
x x x x
trênkhoảng
0;2
là:
A.
4
. B.
3
. C.
. D.
2
.
Câu 118. (THPTĐOÀNTHƯỢNG-HẢIDƯƠNG-20182019)Cho
0
x
lànghiệmcủaphươngtrình
sin cos 2 sin cos 2
x x x x
thìgiátrịcủa
0
3 sin 2P x
là
A.
3
P
. B.
2P
. C.
0
P
. D.
2
3
2
P
.
Câu 119. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Phương trình 1 sin 1 cos
x x m
có
nghiệmkhivàchỉkhi
A.
2 2
m
. B.
1 4 2 2
m . C.
1 2
m
. D.
0 1
m
.
Câu 120. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình
sin cos sin cos 1
x x x x
trênkhoảng
0;2
là:
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
.
Câu 121. Từphươngtrình
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
x x x
,tatìmđược
cos
4
x
cógiátrịbằng:
A.
2
.
2
B.
2
.
2
C.
2
.
2
D.
1.
Câu 122. Cho
x
thỏamãn
2sin 2 3 6 sin cos 8 0
x x x
.Tính
sin2 .x
A.
1
sin 2 .
2
x
B.
2
sin 2 .
2
x
C.
1
sin 2 .
2
x
D.
2
sin 2 .
2
x
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích
Dạng5.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm
Câu 123. (THPTCHUYÊNBẮCNINH-LẦN1-2018)Giảiphươngtrình
sin3 4sin cos 2 0.
x x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
A.
2
3
2
3
k
x
x k
B.
2
4
k
x
x k
C.
2
3
x k
x k
D.
6
x k
x k
Câu 124. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tập tất cả các nghiệm của phương trình
2
sin 2 2sin 6sin 2cos 4 0
x x x x
là
A.
2
3
x k
,
k
. B.
2
2
x k
,
k
.
C.
2
2
x k
,
k
.D.
2
x k
,
k
.
Dạng5.2Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 125. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Biêu diên tâp nghiêm cua phương trinh
cos cos 2 cos3 0
x x x
trênđươngtronlươnggiactađươcsôđiêmcuôila
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
2
.
Câu 126. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
sin 5 cos 7 cos 4 sin 8x x x x
trên
0; 2
bằng
A.
19
3
. B.
9
2
. C.
5
. D.
7
.
Câu 127. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phương trình
sin 2 3cos 0
x x
cóbaonhiêunghiệmtrongkhoảng
0;
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 128. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi
S
làtập hợp các nghiệmthuộc đoạn
0;13
của
phươngtrình
3 2
2cos cos cos 2 0
x x x
.Tínhtổngcácphầntửcủa
S
.
A.
380
3
B.
420
3
C.
120
D.
400
3
Câu 129. (ĐỀHỌCSINHGIỎITỈNHBẮCNINHNĂM2018-2019)Tổngtấtcảcácnghiệmcủaphương
trình
cos3 cos2 9sin 4 0
x x x
trênkhoảng
0;3
là
A.
5
. B.
11
3
. C.
25
6
. D.
6
.
Câu 130. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình
2
2sin 1 3 tan 2sin 3 4cos
x x x x
.Gọi
T
làtậphợpcácnghiệmthuộcđoạn
0;20
của
phươngtrìnhtrên.Tínhtổngcácphầntửcủa
T
.
A.
570
3
. B.
875
3
. C.
880
3
. D.
1150
3
.
Câu 131. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Số nghiệm của phương trình
2
2sin 2 cos 2 1 0
x x
trong
0;2018
là
A.
1008
. B.
2018
. C.
2017
. D.
1009
.
Câu 132. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Số nghiệm của phương trình
sin 4cos 2 sin2x x x
trongkhoảng
0;5
là:
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
6
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Câu 133. (THPTNGUYỄNHUỆ-NINHBÌNH-2018)Sốđiểmbiểudiễnnghiệmcủaphươngtrình
6 6
1
8cot 2 sin cos sin 4
2
x x x x
trênđườngtrònlượnggiáclà:
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
0
.
Câu 134. (THPTTỨKỲ-HẢIDƯƠNG-LẦN2-2018)Sốnghiệmthuộc
3
;
2
củaphươngtrình
3
3 sin cos 2
2
x x
là:
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Câu 135. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng
4
;
3 2
của phương trình
cos 3 sin sin 3
2
x x x
là
A.
4
. B.
3
. C.
6
. D.
2
.
Câu 136. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Với
x
số nghiệm của phương trình
cos cos2 cos3 cos4 0
x x x x
là
A.
3
. B.
6
. C.
8
. D.
0
.
Câu 137. (THPTHOÀNGMAI-NGHỆAN-2018)Phươngtrình
2
1 cos4 sin 2 3cos 2x x x
cótổng
cácnghiệmtrongđoạn
0;
là:
A.
3
. B.
3
2
. C.
. D.
2
3
.
Câu 138. (THPTYÊNMỸHƯNGYÊNNĂM2018-2019LẦN01)Tìmsốnghiệmcủaphươngtrình
2
3sin 2 cos2 1 0, 0;4
x x x
.
A.
8
B.
2
C.
4
D.
12
Câu 139. (THPTBÌNHGIANG-HẢIDƯƠNG-2018)Phươngtrình
sin 3 2cos 2 2sin 1 0
x x x
có
baonhiêunghiệmthuộc
7
;0
8
.
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
Câu 140. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
cos2 3sin 2
0
cos
x x
x
là:
A.
2
2
6
5
6
x k
x k
x k
k
. B.
6
5
6
x k
x k
k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
C.
2
2
2
6
5
2
6
x k
x k
x k
k
. D.
2
6
5
2
6
x k
x k
k
.
Câu 141. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình
cos 3 sin
0
2sin 1
x x
x
.
A.
6
x k
;
k
. B.
7
2
6
x k
;
k
.
C.
7
6
x k
;
k
.D.
2
6
x k
;
k
.
Câu 142. (THPTLÊHOÀN-THANHHÓA-LẦN1-2018)Sốvịtríđiểmbiểudiễncácnghiệmcủa
phươngtrình
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
trênđườngtrònlượnggiáclà:
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 143. (THPTLÊHOÀN-THANHHÓA-LẦN1-2018)Tínhtổng
T
tấtcảcácnghiệmcủaphương
trình
2cos 1 sin 2 cos
0
sin 1
x x x
x
trên
0;
2
tađượckếtquảlà:
A.
2
3
T
. B.
2
T
. C.
T
. D.
3
T
.
Câu 144. (KTNLGVTHPTLÝTHÁITỔNĂM2018-2019)Tínhtổngcácnghiệmthuộc
0;100
của
phươngtrình
3 cos 2 sin 2 5sin cos
0
2cos 3
x x x x
x
.
A.
7475
3
. B.
7375
3
. C.
4950
. D.
7573
3
.
Câu 145. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho phương trình
2
cos 4 cos 2 2sin
0.
cos sin
x x x
x x
Tínhdiệntíchđagiáccócácđỉnhlàcácđiểmbiểudiễncácnghiệmcủaphươngtrìnhtrênđường
trònlượnggiác.
A.
2.
B.
2 2.
C.
2
.
2
D.
2
.
4
Câu 146. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
2
sin sin 2 2sin cos sin cos
3 cos2
sin cos
x x x x x x
x
x x
trongkhoảng
;
là:
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Câu 147. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN01 NĂM2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của
phươngtrình
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
trênđoạn
[1;70]
A.
188
B.
263
C.
363
D.
365
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 148. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm của phương trình
sin 3 cos3 2 2 cos 1
4
0
sin
x x x
x
trongkhoảng
0;
2
là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. C.
3
.
Câu 149. (THPTHÀHUYTẬP-LẦN2-2018)Đểphươngtrình
2 2 2
2
sin 2
1 tan cos2
a x a
x x
cónghiệm,
thamsốaphảithỏamãnđiềukiện:
A.
3
a
. B.
1
3
a
a
. C.
4
a
. D.
1
a
.
Câu 150. (CTN-LẦN1-2018)Cácnghiệmcủaphươngtrình
2
sin 1
2 1 cos 1 cot
sin cos
x
x x
x x
được
biểudiễnbởibaonhiêuđiểmtrênđườngtrònlượnggiác?
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
.
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác
Câu 151. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình
2018 2018 2020 2020
sin cos 2 sin cos
x x x x
.Tínhtổngcácnghiệmcủaphươngtrìnhtrongkhoảng
0;2018
A.
2
1285
4
. B.
2
643
. C.
2
642
. D.
2
1285
2
.
Câu 152. (KTNLGVBẮCGIANGNĂM2018-2019)Tổngnghiệmâmlớnnhấtvànghiệmdươngnhỏ
nhấtcủaphươngtrình
1 tan tan sin cot 4
2
x
x x x
là
A.
6
. B.
2
. C.
6
. D.
2
.
Câu 153. (CHUYÊNKHTNLẦN2NĂM2018-2019)Phươngtrình
sin
2019
x
x
cóbaonhiêunghiệm
thực?
A.
1290
. B.
1287
. C.
1289
. D.
1288
.
Câu 154. (THPTCHUVĂNAN-HÀNỘI-2018)Phươngtrình
cos2 .sin5 1 0
x x
cóbaonhiêunghiệm
thuộcđoạn
;2
2
?
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 155. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình:
2015 2016 2017 2018
sin cos 2 sin cos cos2x x x x x
trên
10;30
là:
A.
46
. B.
51
. C.
50
. D.
44
.
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Câu 156. (THPTCHUYÊNANGIANG-2018)Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsố
m
đểphương
trình
6 6
sin cos 3sin cos 2 0
4
m
x x x x
cónghiệmthực?
A.
13
. B.
15
. C.
7
. D.
9
.
Câu 157. (THPTCHUYÊNPHANBỘICHÂU-NGHỆAN-LẦN2-2018)Cóbaonhiêugiátrịnguyên
dươngcủathamsốmđểphươngtrình
cos2 sin 0
x m x m
cónghiệm?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.vôsố.
Câu 158. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm
m
để phương trình
cos 2 2 1 cos 1 0
x m x m
cónghiệm
3
;
2 2
x
.
A.
0 1
m
. B.
1 0
m
. C.
0 1
m
. D.
1 0
m
.
Câu 159. (THPTCHUYÊNTHOẠINGỌCHẦU-LẦN3-2018)Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủatham
số
m
đểphươngtrình
6 6
sin cos 3sin cos 2 0
4
m
x x x x
cónghiệmthực?
A.
13
. B.
15
. C.
7
. D.
9
.
Câu 160. (ĐỀTHITHỬLỚP11TRƯỜNGTHPTYÊNPHONGLẦN1NĂM2018-2019)Cóbao
nhiêusốnguyên
m
đểphươngtrình:
2sin 1 cos
x m x m
cónghiệm
0;
2
x
.
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.Vôsố.
Câu 161. (CHUYÊNNGUYỄNTẤTTHÀNHYÊNBÁILẦN01NĂM2018-2019)Cóbaonhiêugiátrị
nguyêncủathamsố
m
đểphươngtrình
3
4cos cos2 3 cos 1 0
x x m x
cóđúngbốnnghiệm
khácnhauthuộckhoảng
;
2 2
.
A.2. B.3. C.0. D.1.
Câu 162. (SGDTHANHHÓA-LẦN1-2018)Cótấtcảbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsố
m
để
phươngtrình
3 2 2
cos 2 cos 2 sinx x m x
cónghiệmthuộckhoảng
0;
6
?
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 163. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho phương trình
2
1 cos cos4 cos sinx x m x m x
.Tìmtấtcảcácgiátrịcủa
m
đểphươngtrìnhcóđúng
3
nghiệmphânbiệtthuộc
2
0;
3
.
A.
1 1
;
2 2
m
. B.
; 1 1;m
.
C.
1;1
m
. D.
1
;1
2
m
.
Câu 164. (ĐẶNGTHÚCHỨA-NGHỆAN-LẦN1-2018)Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsốm
để phương trình
cos3 cos 2 cos 1x x m x
có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng
;2
2
?
A.
3
. B.
5
. C.
7
. D.
1
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Câu 165. (THPTCHUYÊNTHÁIBÌNH-LẦN3-2018)Sốcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểphương
trình
2
sin 1 2cos 2 1 cos 0
x x m x m
cóđúng
4
nghiệmthựcthuộcđoạn
0;2
là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.vôsố.
Câu 166. (SỞGIÁODỤCĐÀOTẠOVĨNHPHÚCNĂM2018-2019LẦN01)Cóbaonhiêugiátrị
nguyêncủathamsố
m
đểpt
3
2cos3 2cos 6cosx m x m x
cónghiệm?
A.
5
. B.
4
. C.
6
. D.
3
.
Câu 167. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm
m
để phương trình
2sin cos 1
x m x m
cónghiệm
;
2 2
x
A.
1 3
m
. B.
3
2
m
. C.
1 3
m
. D.
3
2
m
.
Câu 168. (THPTCHUYÊNLAMSƠNTHANHHÓANĂM2018-2019LẦN01)Cótấtcảbaonhiêugiá
trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm với ẩn
,x
x
:
3
4cos 3sin 4 3 4.
x x m m x m
A.Vôsố B.
2
C.
3
D.
1
Câu 169. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình
cos3 cos 2 cos 1 0
x x m x
. Có bao nhiêu giá trị
m
để phương trình có đúng 7 nghiệm
;2
2
x
A.
2
B.
4
C.
1
D.
8
Câu 170. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình
cos 2 2 3 cos 1 0
x m x m
(
m
làthamsố).Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
để
phươngtrìnhcónghiệmthuộckhoảng
3
;
2 2
.
A.
1 2
m
. B.
2
m
. C.
1
m
. D.
1
m
.
Câu 171. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
cos 2 5sin 0
x x m
cóđúng
1
nghiệmthuộckhoảng
; .
2
A.
1 6
m
. B.
4 6
m
. C.
4 1;6
m
. D.
4 1
m
.
Câu 172. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các giá trị của
m
để phương trình
cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
cóđúng
2
nghiệm
;
2 2
x
là
A.
1 1m
. B.
1 0m
. C.
0 1m
. D.
0 1m
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng1.1Khôngcầnbiếtđổi
Câu 1. Tacó
2
4cos 4cos 3 0
x x
3
cos 
2
1
cos 
2
x L
x N
.
Với
1
cos
2
x
2
cos cos
3
x
2
2
3
x k
k
.
Vậysốvịtríbiểudiễncácnghiệmcủaphươngtrìnhtrênđườngtrònlượnggiáclà
2
.
Câu 2. ChọnA
Tacó
2
3
cos 2 cos 2 0.
4
x x
Đặt
cos2
x t
vớiđiềukiện
1 1,
t
tađượcphươngtrìnhbậc
haitheotlà
2
3
0.
4
t t
*
Phươngtrình
*
cóhainghiệm
1
1
2
t
và
2
3
2
t
nhưngchỉcó
1
1
2
t
thỏamãnđiềukiện.
Vậytacó
1
cos 2x cos 2x cos 2x 2 ,
2 3 3 6
k x k
.
k
Câu 3. ChọnC
2
2sin – 5sin – 3 0
x x
sin 3 1
2
6
1
7
sin
2
2
6
x
x k
k
x
x k
.
Câu 4. ChọnB
Đặt
sint x
.Điềukiện
1
t
Phươngtrìnhtrởthành:
2 2
1 ( TM)
2 2 0
2 (L)
t
t t t t
t
Với
1 sin 1 2 (k Z).
2
t x x k
.
Câu 5. ChọnD
Tacó
2
2 
cos 1
2cos 3cos 1 0
1
2
cos
3
2
x k
x
x x k
x k
x
.
Câu 6. ChọnA
2
3cos – 8 cos – 5
x x
2
cos 1
3cos 8cos 5 0 2
5
cos 1
3
x
x x x k k
x
.
Câu 7. ChọnD
2
sin 4sin 3 0
x x
sin 1
sin 3
x
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Với
sin 1x
2 ,
2
x k k
.
Với
sin 3
x
phươngtrìnhvônghiệm.
Câu 8. ChọnB
Tacó
2
sin 0
sin 2sin 0 sin sin 2 0 .
sin 2
x
x x x x
x
Vì
1 sin 1x
nênchỉcó
sin 0
x
thỏamãn.Vậytacó
sin 0 ,x x k
.
k
Dạng1.2Biếnđổiquyvềphươngtrìnhbậchai
Câu 9. ChọnD
Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới
2 2
1 1 1 3
1 sin 2 sin 2 sin 2 0
2 2 2 2
x x x
2
1 1
sin 2 sin 2 1 0
2 2
x x
sin 2 1
sin 2 2( )
x
x VN
Với
sin 2 1 2 2
2
x x k
,
4
x k k
.
Câu 10. ChọnD
2 2
2cos 2 cos 1 0 2 2cos 1 cos 1 0 4cos cos 1 0
x x x x x x
Đặt
cost x
,phươngtrìnhtrởthành
2
4 1 0
t t
Câu 11. ChọnA
Tacó:
2
sin 1 1
cos 2 5sin 4 0 2sin 5sin 3 0
3
sin 2
2
x
x x x x
x
Phươngtrình(1)cónghiệm
2
2
x k
Phươngtrình(2)vônghiệm.
Câu 12.
ChọnA
+)Tacó
2
2 2sin 3 1 2sin 2sin 3
cos x x x x
2
sinx 1
sin sin 2 0
sinx 2 1 (VN)
x x
+)
sinx 1 2 ,
2
x k k
Câu 13. Tacó:
cos 2 sin 2 0
x x
2
1 2sin sin 2 0
x x
2
2sin sin 3 0
x x
.
Đặt
sint x
tađượcphươngtrình:
2
2 3 0
t t
.
Câu 14. Tacó
2
3sin 2cos 2 0
x x
2
3cos 2cos 5 0
x x
cos 1x
2 ,x k k
.
Câu 15. ĐK
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x
k
x x k
x
.
Phươngtrìnhtươngđương
2
tan 1
4
tan 3 1 tan 3 0 ,
tan 3
3
x k
x
x x k
x
x k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Câu 16. Tacó:
5
cos2 4cos
3 6 2
x x
2
5
1 2sin 4cos
3 6 2
x x
2
5
1 2cos 4cos
6 6 2
x x
.
Đặt
cos
6
t x
,
1t
tađượcphươngtrình:
2
5
1 2 4
2
t t
2
4 8 3 0
t t
.
Câu 17.
2 2 2
cos 2 sin 1 0 1 2sin sin 1 0 2sin sin 0 2 0x x x x x x t t
.
Câu 18. Tacó
2
cos2 5sin 4 0 1 2sin 5sin 4 0
x x x x
2
sin 1
2sin 5sin 3 0
3
sin
2
x
x x
x
Với
sin 1 2 ,
2
x x k k
.
Với
3
sin 1
2
x
(vônghiệm).
Dạng1.3Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 19. ChọnB
2
2 sin – 3sin 1 0
x x
2
2
sin 1
2
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k
Vì
0
2
x
nênnghiệmcủaphươngtrìnhlà
6
x
.
Câu 20. Chọn C.
Tacó
2
cos 0
cos cos 0
2
cos 1
2
x
x k
x x
x
x k
k
.
Với
2
x k
,do
0 x
nêntađược
2
x
.
Với
2x k
,do
0 x
nênkhôngcó
x
nàothỏamãn.
Câu 21. ChọnA
2
sin 3
2sin 5sin 3 0
1
sin
2
x
x x
x
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
.
Câu 22. ChọnA
Tacó:
2
sin 2 3sin 2 2 0
x x
sin 2 1
sin 2 2
x
x
(loaïi)
sin 2 1
x
4
x k
,
k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
Theođềbài:
0 10
4
k
1 41
4 4
k
1, 2,...,10
k
.
Vậytổngcácnghiệmlà:
3 3 3
... 9
4 4 4
S
105
2
.
Câu 23. ChọnA
PTđãcho
2
2sin 4sin 6 0
x x
sin 1
sin 3
pt
x
v
x
n
2 ,
2
x k k
.
Theođề:
0;10
x
0 2 10
2
k
1 21
4 4
k
.
Vì
k
nên
1;2;3;4;5
k
.VậyPTđãchocó5nghiệmtrênkhoảng
0;10
.
Câu 24.
cos 2 2cos 3 0
x x
2
2cos 2cos 4 0
x x
cos 1x
hay
cos 2
x
(loại)
Với
cos 1 2 ;x x k k
.
Với
0 2019 0 2 2019 0 321.49
x k k
.Vậycótổngcộng321nghiệm.
Câu 25. PTđãcho
2
2sin 4sin 6 0
x x
sin 1
sin 3
x
x VN
2 ,
2
x k k
.
Theođề:
0;10
x
0 2 10
2
k
1 21
4 4
k
.
Vì
k
nên
1;2;3;4;5
k
.VậyPTđãchocó5nghiệmtrênkhoảng
0;10
.
Câu 26. Tacó:
4 4 2 2
2cos2 5 sin cos 3 0 2cos2 5 sin cos 3 0
x x x x x x
2
1
2cos2 5 cos 2 3 0 2cos (2 ) 5cos 2 3 0 cos 2
2
x x x x x
.
1 5 7 11
cos2 ; ; ;
2 6 6 6 6 6
x x k k x
.
Dođó:
5 7 11
4 .
6 6 6 6
S
Câu 27. +Tacó:
2
1
cos
5
2cos cos 1 0
2
cos 2
x n
x x
x l
.
Suyra:
2
2
1 2
3
cos cos cos
2
2 3
2
3
x k
x x k
x k
+Với
2
2
3
x k
,
k
.Vì
0;3
x
nên
2
0 2 3
3
k
,
k
1 7
3 6
k
,
k
.Suyra:
0;1
k
2 8
;
3 3
x
.
+Với
2
2
3
x k
,
k
.Vì
0;3
x
nên
2
0 2 3
3
k
,
k
1 11
3 6
k
,
k
.Suyra:
1
k
4
3
x
.
Dođó
2 4 8
; ;
3 3 3
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Vậysốnghiệmcủaphươngtrìnhlà
3.
Câu 28. Tacó
2
cos 0
cos cos 0
2
cos 1
2
x
x k
x x
x
x k
k
.
Với
2
x k
,do
0 x
nêntađược
2
x
.
Với
2x k
,do
0 x
nênkhôngcó
x
nàothỏamãn.
Câu 29. Taco:
cos 2 cos 0
x x
2
2cos cos 1 0
x x
cos 1
1
cos
2
x
x
2
2
3
x k
k
x k
Do
;
x
nên
3
x
.
Câu 30.
9 15
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
cos2 3sin 1 2sinx x x
2
2sin sin 0
x x
sin 0
2
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k
Do
0;2
x
nên
5
0; ; ;
6 6
x
.Vậycó
4
nghiệm.
Câu 31. Tacó
2
tan 1
4
4 tan 5tan 1 0
1
1
tan
arctan
4
4
x
x k
x x
x
x k
k
.
Với
4
x k
k
do
2017 2017
;
2 2
x
nêncó.
1008 1008
k
.nêncó
2017
nghiệm.
Với
1
arctan
4
x k
k
do
2017 2017
;
2 2
x
nêncó
1008 1008
k
nêncó
2017
nghiệmvàhaihọnghiệmkhôngcónghiệmnàotrùngnhau.Vậytacó
4034
m
.
Câu 32. Phươngtrình
2
cos 1
2cos 1 3cos 2 0
1 2
cos cos
2 3
x
x x
x
2 0;2 0
2 2
2 0;2 0
3 3
2 4
2 0;2 1
3 3
x k k x
x k k x
x k k x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Vậytrênkhoảng
0; 2
,phươngtrìnhđãchocó
3
nghiệmlà
x
,
2
3
x
,
4
3
x
.
Câu 33. Tacó:
2
sin 2 3sin 2 2 0
x x
sin 2 1
sin 2 2
x
x
(loaïi)
sin 2 1
x
4
x k
,
k
.
Theođềbài:
0 10
4
k
1 41
4 4
k
1,2,...,10
k
.
Vậytổngcácnghiệmlà:
3 3 3
... 9
4 4 4
S
105
2
.
Câu 34. Đặt
sint x
,điềukiện
1;1
t
.
Khiđóphươngtrìnhđãchotrởthành:
2
2 3 5 0
t t
.Phươngtrìnhcóhainghiệm
1
t
(nhận),
5
2
t
(loại).
Với
1
t
,suyra
sin 1 2 ( )
2
x x k k
.
Tacó
1 401
0 200 0 2 200
2 4 4
x k k
.Vì
k
nên
1,2,...,100
k
.
Khiđó
100 100
1 1
2 100 2 50 10100 10050
2 2
T k k
.
Câu 35. Tacó:
cos 2 3 cos 1 0
x x
2
2cos 3 cos 2 0
x x
.
Đặt
cost x
,
0 1t
,tađượcphươngtrình:
2
2 3 2 0
t t
2
1
2
t
t
1
2
t
.(vì
0 1t
)
Với
1
2
t
,tacó:
1
cos
2
x
1
cos
2
1
cos
2
x
x
2
3
2
2
3
x k
x k
3
x k
k
.
Trênđoạn
;
2 2
phươngtrìnhcónghiệmlà
3
x
.
Câu 36.
4 4
2
(2cos 5)(sin cos ) 3 0 (2cos 5) cos 3 0
2 2
cos 3( )
2cos 5cos 3 0
1
cos
2
2
3
,
2
3
x x
x x x
x VN
x x
x
x k
k
x k
Trongkhoảng
0;2 :
5
,
3 3
x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng2.1Khôngcầnbiếnđổi
Câu 37. ChọnA
Điềukiện
2x
4 2
2
3 sin 2x cos 2x 0
12 2
x k
k
x k
.
Vậy,tậpxácđịnhcủahàmsốlà
\ ; ;
4 2 12 2
D k k k
.
Câu 38. Tacó:
3 sin 2 cos 2 2
x x
3 1
sin 2 cos 2 1
2 2
x x
sin 2 1
6
x
2 2
6 2
x k
3
x k
k
.
Vậytậpnghiệmcủaphươngtrìnhđãcholà
|
3
S k k
.
Câu 39. Tacó
sin 3 cos 1x x
1
sin
3 2
x
2
6
2
2
x k
x k
,
k
.
Vậytấtcảcácnghiệmcủaphươngtrìnhđãcholà
2
6
2
2
x k
x k
,
k
.
Câu 40. Tacó:
1
sin cos 1 2 sin 1 sin sin sin
4 4 4 4
2
x x x x x
2
2
4 4
3
2
2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
k
.
Câu 41. Tacó
sin 3 cos 1x x
1 3 1
sin cos
2 2 2
x x
sin sin
3 6
x
2
3 6
2
3 6
x k
x k
2
6
2
2
x k
k
x k
.
Câu 42.
sin 3 cos3 2
x x
cos 3 1
4
x
3 2
4
x k
2
,
12 3
x k k
.
Dạng2.2Cầnbiếnđổi
Câu 43. Tacó
2
2sin 3 sin 2 3
x x
1 cos2 3 sin 2 3
x x
3 sin 2 cos 2 2
x x
3 1
sin 2 cos2 1
2 2
x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
sin 2 1
6
x
2 2
6 2 3
x k x k
.
Câu 44. ChọnC
Tacó
cos sin
2
x x
và
sin cos
2
x x
.
Dođóphươngtrình
3sin cos 2sin 2 3sin cos 2sin 2x x x x x x
.
3 1
sin cos sin 2 sin sin 2 sin sin 2
2 2 6 6
x x x x x x x
.
2
2 2
6 18 3
.
5
2 2 2
6 6
x x k x k
k
x x k x k
Xétnghiệm
1 '
, '
5 7
2 '2
6 6
k k
k k
x k x k
.
Vậyphươngtrìnhcónghiệm
2 7
, '2 , ' .
18 3 6
x k x k k k
Câu 45. ChọnD
Tacó
2
1 cos 2 3
sin 3 sin cos 1 sin 2 1
2 2
3 1 1 1
sin 2 x cos 2x sin 2
2 2 2 6 2
x
x x x x
x
2 2
6 6
6
5
2 2
6 6
2
x k
x k
x k
x k
.
Câu 46. ChọnC
Phươngtrìnhtươngđương
sin cos 2 sin5x x x
2 sin 2 sin5 sin sin5
4 4
5 2
16 2
4
5 2
4 8 3
x x x x
x k
x x k
x x k x k
Câu 47. ChọnA
Tacó
3 3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1x x x x x x
2
9 2
1
3 6 54 9
sin 9 3 cos9 1 sin 9
5 2
3 2
9 2
3 6 18 9
k
x k x
x x x
k
x k x
.
Câu 48. ChọnA
Tacó
sin 3 cos 2sin 3x x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
1 3
sin cos sin 3
2 2
x x x
cos sin sin cos sin 3
3 3
x x x
sin sin 3
3
x x
3 2
3
3 2
3
x x k
x x k
6
3 2
x k
x k
,
3 2
x k k
.
Dạng2.3Cóđiềukiệncủanghiệm
Dạng2.3.1Điềukiệnnghiệm
Câu 49.
Hướngdẫngiải
ChọnD
2 2
cos sin 2 2 cos
2
x x x
2 2
cos sin2 2 sinx x x
cos2 sin 2 2
x x
2 cos 2 2
4
x
cos 2 1
4
x
2 2
4
x k
8
x k
k
Trên
0;3
7
8
x
,
15
8
x
,
23
8
x
.
Câu 50.
Hướngdẫngiải
ChọnB
Tacó:
2 cos3 sin cosx x x
cos3 cos
4
x x
8

16 2
x k
k
x k
.
Vì
0;
x
nênnhận
7
8
x
,
16
x
,
9
16
x
.
Câu 51. ChọnD
Phươngtrình
2 2
cos sin sin 2 2 cos2 sin 2 2
x x x x x
.
cos 2 1 2 2 .
4 4 8
x x k x k k
Do
7
1
1 17
8
0 2 0 2
15
8 8 8
2
8
k
k x
x k k
k x
 
.
7 15 11
.
8 8 4
T
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
Câu 52. ChọnA
Phươngtrình
3sin3 cos3 sin 3cosx x x x
.
3 1 1 3
sin 3 cos3 sin cos sin 3 sin .
2 2 2 2 6 3
x x x x x x
Suyra
.
6 3 2
b d
.
Câu 53. ChọnC
Phươngtrình
1 3
sin 5 cos5 sin 7 sin 5 sin 7
2 2 3
x x x x x
.
7 5 2
3
6
sin 7 sin 5 .
3
7 5 2
3
18 6
x x k
x k
x x k
k
x x k
x
1 1
0 0 .
6 2 6 3 6
k
k k k x
0
18
1 8 2
0 1 .
18 6 2 3 3 9
7
2
18
k
k x
k k k x
k x
Vậycó
4
nghiệmthỏamãn.
Câu 54. Tacó
3 cos sin 2
x x
3 1
cos sin 1
2 2
x x
sin 1
3
x
3
2
3 2
x k
k
7
2
6
x k
k
.
Trênđoạn
0;4035
,cácgiátrị
k
thỏabàitoánthuộctập
0;1;2; ;2016
.
Dođócó
2017
nghiệmcủaphươngtrìnhthuộcđoạn
0;4035
.
Câu 55.
2
2 2
cos 2 cos
3 3
2 2
2
k
x x k
x
x x
x x k
x k
cos2 3 sin 2 2cos 0
x x x
1 3
cos2 sin 2 cos
2 2
x x x
cos 2 cos
3
x x
2
3
2
9 3
x k
k
x
Đểhaiphươngtrìnhtươngđươngcầncó
3 9
3
3
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
Câu 56. Tacó:
2 2 2
sin cos 1 2 sin cos 1 sin
2 2 4 2
x x x x x
2
2
4 4
sin sin
3
4 4
2
2
2
4 4
x k
x k
x
x k
x k
k
.
Suyra:
0
a
và
2
b
nên
2
a b
.
Câu 57. Tacó
sin 3 cos 0
x x
sin 0
3
x
,
3
x k k Z
Vi
2 ;2
x
nên
7 5
2 2
3 3
x k
.Dođoco
4
giatri
k
,tươngưngcobôn
nghiêm
x
.
Câu 58.
2
2cos 3 sin 2 3
x x
cos2 3sin 2 2
x x
cos 2 1
3
x
2 2
3
x k
6
x k
k
.
Xét
5
0
2
x
5
0
6 2
k
0
k
,
1
k
,
2
k
.
Với
0
6
k x
;
7
1
6
k x
;
13
2
6
k x
.
Vậytổngcácnghiệmbằng
7
2
.
Câu 59. Tacó
2 2
cos sin 2 2 cos
2
x x x
2 2
cos sin 2 2 sinx x x
cos 2 sin 2 2
x x
cos 2 1
4
x
2 2
4
x k
,
k
8
x k
,
k
Vì
0 2
x
0 2
8
k
1 17
8 8
k
Vì
k
nên
1;2
k
1 2
7 15
;
8 8
x x
Vậy
1 2
11
4
x x
.
Câu 60. ChọnB
Phươngtrình
sin9 3 cos9 sin 7 3cos7x x x x
.
9 7 2
3 3
sin 9 sin 7
5
3 3
9 7 2
48 8
3 3
x x k
x k
x x
k
x
x x k
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
max
Cho 0
max
0 0 1
.
5 5
0 1
48 8 6 48
k
k
k k k x
k
k k x



Sosánhhainghiệmtađược
nghiệmâmlớnnhấtcủaphươngtrìnhlà
;0 .
48 12
x
Dạng2.3.2Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm
Câu 61. Điềukiệncầnvàđủcủa
a,
b,
c
đểphươngtrình
a sinx bcosx c
cónghiệmlà:
2 2 2
a b c
.
Câu 62. ChọnD
Phươngtrìnhcónghiệm
2 2
2
3 4 2
m
2
4 25
m
5 5
2 2
m
.
Câu 63. Tacó:
2
1 cos 2
1 sin sin 2 cos 2 0 1 . sin 2 cos 2 0
2
x
m x x x m x x
2sin 2 ( 1)cos2 1
x m x m
Đểphươngtrìnhcónghiệmthìđiềukiệnlà:
2 2 2
2 ( 1) ( 1) 1
m m m
kếthợpvớiđiềukiện
củađềbàitacó:
2018 1
m
.Suyracó
2020
sốgiátrịnguyênđểphươngtrìnhcónghiệm.
Câu 64. ChọnD
Phươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhi:
2 2
2
2 2 1
m m m
2
2 3 0
m
3 3
2 2
m
Vậycó
1
giátrịnguyên.
Câu 65. ChọnB
2 2 2
2
sin 2 os2 2
1 2
sin 2x cos 2
1 1 1
2
sin 2
1
m x c x
m
x
m m m
x
m
cónghiệmkhi
2
3
2
1 .
1
3
m
m m
Câu 66. ChọnA
4 sin 4 cos 2 5 0
x m x m
4 sin 4 cos 2 5
x m x m
.
Phươngtrìnhcónghiệmkhi
2 2
2
4 4 2 5 0
m m
2
3 12 7 0m m
6 57 6 57
3 3
m
Vì
m
nên
0,1,2, 3, 4
m
.
Vâytổngtấtcảcácgiátrịnguyêncủa
m
đểphươngtrìnhcónghiệmlà
10
.
Câu 67. ChọnB
2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x
1
1 cos2 sin 2 cos2 0
2
m
x x x
1 1 cos2 2sin2 2cos2 0
m x x x
2sin 2 1 cos2 1
x m x m
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
Nênphươngtrìnhcónghiệmkhivàchỉkhi
2 2
4 1 1
m m
4 4 1
m m
Vậycótấtcả
2020
giátrịcủathamsốthỏamãnđềbài.
Câu 68. ChọnD
Điềukiệnxácđịnh:
4 4 0 1
2 0 2 3.
3 9 0 3
m m
m m m
m m
4 4.sinx.cosx 2.cos2 3 9
1. 2sinx.cosx 2.cos 2 3 9
1.sin 2 2.cos 2 3 9
m m x m
m m x m
m x m x m
Phươngtrìnhcó
1,
a m
2,
b m
3 9.
c m
Điềukiệnđểphươngtrìnhcónghiệm:
2 2 2
a b c
.
Tacó:
2 2 2
1 2 3 9
1 2 3 9
6.
m m m
m m m
m
Kếthợpđiềukiệntađược
3 6.
m
Mà
m
nên
3;4;5;6
m
.
Vậycó4giátrịnguyêncủamthỏamãnyêucầuđềbài.
Câu 69.
2 1 cos2 2 sin cos 1 2 1 cos2 sin 2 1.
m x m x x m m x m x m
Phươngtrìnhvônghiệmkhivàchỉkhi
2 2
2 2
1
2 1 1 2 0 0 .
2
m m m m m m
Câu 70. Tacó
2
2 sin cos 4cos 5
m x x x m
1 cos 2
sin 2 4 5
2
x
m x m
sin2 2cos 2 3
m x x m
.
Phươngtrìnhtrêncónghiệmkhivàchỉkhi
2
2
5
4 3
9
m m m
.
Vậycóbagiátrịcủa
m E
đểphươngtrìnhđãchocónghiệm.
Câu 71. Có
2cos sin 4 0,x x x
.
2cos sin 4 cos 2sin 3PT m x x x x
2 1 cos 2 sin 4 3 0
m x m x m
.
Phươngtrìnhtrêncónghiệmkhi
2 2 2
2 1 2 4 3
m m m
2
11 24 4 0
m m
2
2
11
m
.
Câu 72.
4sin 4 cos 2 5 0
x m x m
4sin 4 cos 2 5
x m x m
.
Phươngtrìnhcónghiệmkhi
2 2
2
4 4 2 5 0
m m
2
3 12 7 0
m m
6 57 6 57
3 3
m
Vì
m
nên
0,1,2,3, 4
m
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
Vâytổngtấtcảcácgiátrịnguyêncủa
m
đểphươngtrìnhcónghiệmlà
10
.
Câu 73.
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
1 cos2 1 cos2
2sin 2 3 2
2 2
x x
a x a
cos 2 4sin 2 3 3 cos 2 4
a a x x a a x
4sin 2 2 cos 2 4 4x a x a
*
*
cónghiệmkhi
2
2 2
4 4 4 4a a
2
12 32 0
a a
2
12 32 0
a a
8
0
3
a
.
Do
a
vàlàsốlớnnhấtnên
2
a
.
Câu 74.
2
8sin 1 sin 2 2 6 0
x m x m
2
8sin 4 1 sin 2 2 2 0
x m x m
4cos 2 1 sin 2 2 2x m x m
.
Phương trình có nghiệm khi:
2 2 2
4 1 2 2
m m
2 2
16 2 1 4 8 4m m m m
2
3 6 13 0
m m
3 4 3 3 4 3
3 3
m
.
Vì
m
1;0;1;2;3
m
.
Câu 75.
2
1 sin sin 2 cos 2 0
1 cos2
1 sin 2 cos2 0
2
1 1
cos2 sin 2
2 2
m x x x
x
m x x
m m
x x
Điềukiệncónghiệmcủaphươngtrình
2 2
2
1 1
1 1
2 2
m m
m
Suyra
2018 1
m
Suyracó
2020
giátrịnguyêncủa
m
đểphươngtrìnhcónghiệm.
Câu 76. ChọnC
Ta có
2cos sinx 4 0,x x
nên
cos 2sin 3
cos 2sin 3 2cos sin 4
2cos sin 4
x x
m x x m x x
x x
2 1 cosx- 2 sinx 4 3 0
m m m
(1)
Phươngtrình(1)cónghiệmkhivàchỉkhi
2 2 2
2
2
2 1 2 4 3 11 24 4 0 2
11
m m m m m m
Dạng2.3.3SửdụngđiềukiệncónghiệmđểtìmMin-Max
Câu 77. Tacó
sin cos 2 0,x x x
nênhàmsốcótậpxácđịnhlà
D
.
Xétphươngtrìnhẩn
x
:
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
1 sin 2 cos 1 2y x y x y
.
Phươngtrìnhnàycónghiệm
2 2 2
1 2 1 2
y y y
2
2 2 4 0 2 1y y y
.
Vìphươngtrìnhluôncónghiệm,suyra
min 2
max 1
x
x
y m
y M
2 2
1 4 3
M m
.
Câu 78. ChọnB
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
(1)
Điềukiện:
2cos sin 4 0
x x
(luônđúng)
Gọi
o
y
làmộtgiátrịcủahàmsố(1).
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Khiđó:
cos 2sin 3
2cos sin 4
o
x x
y
x x
2cos sin 4 cos 2sin 3
o
y x x x x
2 sin 1 2 cos 4 3
o o o
y x y x y
(2)
Dophươngtrình(2)luôncónghiệm
x
nên:
2 2 2
4 3 2 1 2
o o o
y y y
2
11 24 4 0
2
2
11
o o
o
y y
y
Tậpgiátrịcủahàmsố(1)là
2
; 2
11
.Cácgiátrịnguyênlà:
1
;
2
.Vậycóhaigiátrịnguyên.
Câu 79. ChọnC
Tacó
sin 2 cos 1
1 sin 2 cos 1 2
sin cos 2
x x
y y x y x y
x x
*
Phươngtrình
*
cónghiệm
2 2 2
2
1 2 1 2 2 0 2 1
y y y y y y
.
Vậy
2m
;
1M
.
Câu 80. ChọnD
sinx 2cos 3
2sin cos 4
x
P
x x
2 1 sinx 2 cos 3 4 0
P P x P
Ápdụngđiềukiệncónghiệmtacó:
2 2 2
2 1 2 3 4
P P P
2
2
11
P
.
Câu 81. ChọnD
Tacó
sin 1
sin cos 1 2 0
cos 2
m x
y m x y x y
x
.
Điềukiệnphươngtrình
1
cónghiệmlà
2
2 2
1 2y m y
2 2
3 4 1 0
y y m
2
2 1 3
3
m
y
.
Dođó,suyra
2
2
2 1 3
3 16 4 4
3
m
m m
.
Mà
3; 2; 1;0;1;2;3
m m
.
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp
Dạng3.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm
Câu 82. ChọnD
Do
cos 0
x
khôngthỏamãnphươngtrìnhnênchiahaivếcủaphươngtrìnhcho
2
cos 0
x
tacó
2 2 2
2tan 3tan 2 1 tan tan 3tan 3 0
x x x x x
Đặt
tant x
thìtacóphươngtrình
2
3 3 0
t t
.
Câu 83. Cách1:Xét
cos 0:
x
Phươngtrìnhtươngđương
2 3
ktm
Xét
cos 0
x
,chiacảhaivếcho
2
cos x
tacó:
2 2 2
2 tan 2 3 tan 3 tan 1 tan 2 3 tan 3 0
x x x x x
tan 3
x
,
3
x k k
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
Cách2:
2
1 2 sin 3 sin 2 2
pt x x
2sin 2 2
6
x
3
x k
.
Câu 84. ChọnB
2 2
1 cos8 1 cos8
3cos 4 5sin 4 2 2 3 sin 4 cos4 3 5 2 3sin8
2 2
x x
x x x x x
3 1
3sin8 cos8 2 sin8 cos8 1
2 2
x x x x
sin8 cos cos8 sin 1
6 6
x x
sin 8 1 8 2 .
6 6 2 24 4
x x k k x k k
Câu 85. ChọnB
Với
2
sin 0
sin 0
.
cos 1
cos 1
x
x
x k
x
x
Thayvàophươngtrìnhtathấythỏamãn.VậyAđúng.
Phươngtrình
2 2 2
cos 3sin cos sin cos 0
x x x x x
.
2 2 2
sin 3sin cos 2 cos 0 tan 3 tan 2 0
x x x x x x
.VậyBđúng.
Phươngtrình
2 2 2
cos 3sin cos sin cos 0
x x x x x
.
2 2 2
2 cos 3sin cos sin 0 2 cot 3cot 1 0
x x x x x x
.VậyCsai.
Phươngtrình
1 cos 2 sin 2
3 1 0 cos 2 3sin 2 3 0.
2 2
x x
x x
VậyDđúng.
Câu 86. ChọnA
cos 0
x
khôngthỏamãnphươngtrình,nêntacó:
2 2
3 1 sin 2 3sin cos 3 1 cos 0
x x x x
2
3 1 tan 2 3 tan 3 1 0
x x
tan 1
4
3 1
tan 2 3
3 1
x
x k
x
x k
(Với
tan 2 3
).
Câu 87. ChọnC
Phươngtrình
2 2 2 2
sin 3 1 sin cos 3cos 3 sin cos
x x x x x x
.
2
1 3 sin 3 1 sin cos 0 sin 1 3 sin 3 1 cos 0.
x x x x x x
2 2
sin 0 cos 1 cos 1 0.
x x x
1 3 sin 3 1 cos 0 1 3 sin 3 1 cosx x x x
.
3 1
tan tan 2 3 tan 2 3 0.
1 3
x x x
Vậyphươngtrìnhđãchotươngđươngvới
2
tan 2 3 cos 1 0
x x
.
Câu 88. ChọnD
Phươngtrình
2 2 2 2
2sin 3 3 sin cos cos 2 sin cos
x x x x x x
.
2
3 3sin cos 3cos 0 3cos 3sin cos 0.
x x x x x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
0
cos 0 .
2 2
k
x x k k x
3sin cos 0 3sin cosx x x x
.
0
1
tan tan tan .
6 6 6
3
k
x x x k k x
Vậytậpnghiệmcủaphươngtrìnhchứacácnghiệm
6
và
2
.ChọnD
Câu 89. ChọnC
Tacó
2 2
2 1 sin sin 2 2 1 cos 2 0
x x x
1 cos2 1 cos2
2 1 sin 2 2 1 2 0
2 2
x x
x
2 1 1 cos2 sin 2 2 1 1 cos2 2 2 0
x x x
2 2 cos2 sin 2 0
x x
Nhưvậy,mệnhđề:“Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới
cos2 sin 2 1x x
”sai.
Câu 90. ChọnA
Cách1:Xét
cos 0:
x
Phươngtrìnhtươngđương
2 3
ktm
Xét
cos 0
x
,chiacảhaivếcho
2
cos x
tacó:
2 2 2
2 tan 2 3 tan 3 tan 1 tan 2 3 tan 3 0
x x x x x
tan 3
x
,
3
x k k
Cách2:
2
1 2 sin 3 sin 2 2
pt x x
2sin 2 2
6
x
3
x k
.
Câu 91. Chọn B.
TH1:
cos 0
2
x x k
thỏamãnphươngtrình.
TH2:
cos 0
x
.
2 2
6sin 7 3sin2 8cos 6
x x x
2
2
1
6tan 14 3 tan 8 6
cos
x x
x
2 2
6 tan 14 3 tan 8 6 tan 1
x x x
14 3tan 14 0
x
1
tan tan tan .
6 6
3
x x x k k
Câu 92. ChọnA
Phươngtrình
2
t
tan 3 1 t
an 1
an
tan
3 0
3
x
x
x
x
.
4
.
3
x k
k
x k
Câu 93. Cách1:Xét
cos 0:
x
Phươngtrìnhtươngđương
2 3
ktm
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Xét
cos 0
x
,chiacảhaivếcho
2
cos x
tacó:
2 2 2
2 tan 2 3 tan 3 tan 1 tan 2 3 tan 3 0
x x x x x
tan 3
x
,
3
x k k
Cách2:
2
1 2 sin 3 sin 2 2
pt x x
2sin 2 2
6
x
3
x k
.
Dạng3.3Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 94. ChọnA
Dễthấy
cos 2 0
x
khôngthỏamãnphươngtrình.Dóđó,phươngtrìnhđãchotươngđươngvới:
2
4tan 2 3tan 2 1 0
x x
tan 2 1
1
tan 2
4
x
x
1
8 2
1 1
arctan 2
2 4 2
x k
x k
Xét
1
,vì
0;
x
0
8 2
k
1
k
(do
k
).
Xét
2
,vì
0;
x
1 1
0 arctan
2 4 2
k
1;2
k
(do
k
).
Dođó,trongkhoảng
0;
thìphươngtrìnhđãchocó
3
nghiệm.
Câu 95. ChọnC
Phươngtrình
2
tan 1
4
1 3tan 2tan 0 .
1
1
tan
arctan
2
2
x
x k
x x
x
x k
Vì
9 7
2 ;2 2 2 2; 1;0;1
4 4 4
k
x k k k
.
Vì
1
2 ;2 2 arctan 2
2
x k
.
CASIO
xapxi
28,565 24,565 28; 27; 26; 25
k
k k
.
Vậycótấtcả8nghiệm.
Câu 96. ChọnD
Phươngtrình
2 2 2 2
2sin 1 3 sin cos 1 3 cos sin cosx x x x x x
.
2 2
sin 1 3 sin cos 3cos 0
x x x x
.
2
an 1
4
an
tan
t
tan 1 3 t 3 0
3
3
x k
x
x
x
x k
x
.
max
Cho 0
max
1
0 0
4 4 4
.
1 2
0 1
3 3 3
k
k
k k k x
k k k x


Sosánhhainghiệmtađược
4
x
lànghiệmâmlớnnhất.
Câu 97. ChọnB
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Tacó
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4 2 1 cos2 3 3 sin 2 1 cos 2 x 4
x x x x x
3 1 1 1
3 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 sin 2
2 2 2 6 2
x x x x x
2 2
6 6
6
5
2 2
6 6
2
x k
x k
x k x k
nghiệmdươngnhỏnhấtlà
6
x
.
Câu 98.
2 2
3sin 2sin cos cos 0
x x x x
2 2
3sin 3sin cos sin cos cos 0
x x x x x x
(3sin cos )(sin cos ) 0
x x x x
3sin cos 0
sin cos 0
x x
x x
3sin
1
cos
sin
1
cos
x
x
x
x
1
tan
3
tan 1
x
x
1
arctan
3
4
x k
x k
k
.
Do
0
x
lànghiệmdươngnhỏnhấtcủaphươngtrình
2 2
3sin 2sin cos cos 0
x x x x
nên
0
1
arctan
3
x
.
Câu 99. Tacó:
2 2
4sin 2 3sin 2 cos2 cos 2 0
x x x x
2
4tan 2 3tan 2 1 0
x x
tan 2 1
1
tan 2
4
x
x
0; 2 0;2
x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Quansáthìnhvẽtacó:Phươngtrìnhcó4nghiệmthuộc
0;
.
Dạng3.3Địnhmđểphươngtrìnhcónghiệm
Câu 100. Tacó:
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
1 cos 2 x 1 cos2x
2sin 2 3 2
2 2
a x a
4sin 2 2 cos 2 4 4 *
x a x a
.
Câu 101. Phươngtrình
2 2
3sin 2 sin .cos 4cos 0
x m x x x
1
Với
cos 0
x
thì
2
sin 1x
,thayvào
1
tacó
3.1 .0 4.0 0
m
3 0
(vôlý).
Dođó
cos 0
x
khôngthỏamãn.
Với
cos 0
x
,chiacảhaivếcủa
1
cho
2
cos x
tađược
2
3tan 2 tan 4 0
x m x
.
Đặt
tant x
,tacó
2
3 2 4 0
t mt
2
Phươngtrìnhbàiracónghiệmkhi
2
cónghiệm
2
12 0
m
luônđúngvới
m
vì
2
12 12 0m m
.
Vậyvớimọi
m
thìphươngtrìnhbàiracónghiệm.
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng
Dạng4.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm
Câu 102. ChọnB
Đặt
t sin cos 2
x x t
2
1
sin 2
2
t
x
2
2
1
1 1
1 . 4 3 0
3 ( )
2 2
t
t
t t t
t loai
sin cos 1 2 sin 1 sin sin
4 4 4
2
2
2
x x x x
x k
x k
Câu 103. ChọnA
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
.Vì
sin 1;1 2; 2
4
x t
.
Tacó
2
2
2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x x x x x
.
Khiđó,phươngtrìnhđãchotrởthành
2
2
1
1
2 2 4 5 0 .
5
2
t
t
t t t
t
loaïi
Với
1t
,tađược
1
sin cos 1 sin sin sin
4 4 4
2
x x x x
.
2
4 4
2
4 4
x k
x k
2
,
2
2
x k
k
x k
.
Câu 104. ChọnA
Đặt
2
sin cos sin 2 1.
t x x x t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
Phươngtrìnhđãchotrởthành
2 2
3 2 2 1 4 0 2 3 2 2 0.
t t t t
Câu 105. ChọnA
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
.Điềukiện
2 2.
t
Tacó
2
2 2 2 2
sin cos sin cos 2.sin .cos sin 2 1.
t x x x x x x x t
Khiđó,phươngtrìnhđãchotrởthành
2 2
5 1 6 0 5 1 0
t t t t
:vônghiệm.
NhậnthấytrongcácđápánA,B,C,DthìphươngtrìnhởđápánDvônghiệm.
Vậyphươngtrìnhđãchotươngđươngvớiphươngtrình
2
1 tan 0.
x
Câu 106. ChọnB
Đặt
2
| sin cos | t 2; 2 sin 2 1
x x t x t
.Khiđóphươngtrìnhtrởthành:
2
6 (L)
6 6
2 3 6 6 0 sin cos 2 sin
6
2 4 2
(TM)
2
t
t t x x x
t
2
4 3
2
2
3
4 3
sin sin sin
4 2 4 3
2
4 3
4
2
4 3
x k
x k
x x k
x k
x k
2 2
12 12
5 5
2 2
12 12 12
.
7 7 5
2 2
12 12 12
13 13
2 2
12 12
x k x k
x k x k x k
k k k
x k x k x k
x k x k
Câu 107. ChọnD
Đặt
2
1
sin cos 2 2 sin cos .
2
t
t x x t x x
Phươngtrìnhtrởthành
2
1 3 1 3 1 0
t t .
2
1
1 3 3 0 1.
3 loaïi
t
t t t
t
Câu 108. ChọnC
3
3 3
1
sin cos 1 sin 2 sin cos 3sin cos sin cos 1 sin cos
2
x x x x x x x x x x x
Đặt
2
1
sin cos 2 sin cos
2
t
x x t t x x
.Khiđótacóphươngtrình
2 2
3 3 2 2
1 1
3 1 3 3 0 1 3 0 1
2 2
t t
t t t t t t t t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
sin cos 1 2sin 1 sin sin
4 4 4
x x x x
2
2
4 4
.
3
2
2
2
4 4
x k
x k
k k
x k
x k
Dạng4.2Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 109. ChọnC
Đặt
sin cost x x
2 sin
4
x
,
2; 2
t
.
Tacó
2 2 2
sin cos 2sin .cost x x x x
1 2sin .cosx x
,suyra
2
1
sin .cos
2
t
x x
.
Phươngtrìnhđãchotrởthành
2
2
1
1
2 2 4 5 0
5 2; 2
2
t
t
t t t
t
.
Từđótacó
2 sin 1
4
x
2
sin
4 2
x
.
Nhưvậy
0
2
sin
4 2
P x
.
Câu 110. ChọnA
Tacó
1 sin 1 cos 2 1 sin cos sin .cos 2
x x x x x x
.
sin cos sin .cos 1 2 sin cos 2.sin .cos 2.
x x x x x x x x
.
Đặt
2
1
sin cos 2 2 sin cos .
2
t
t x x t x x
Khiđó
trởthành
2 2
1
2 1 2 2 3 0
3
loaïi
t
t t t t
t
.
sin cos 1 x x
.
Tacó
2 2
cos cos cos sin sin cos sin .
4 4 4 2 2
x x x x x
Câu 111. ChọnC
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
.Điềukiện
2 2.
t
.
Tacó
2
2
2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin cos sin cos .
2
t
t x x x x x x x x
Phươngtrìnhđãchotrởthành
2
1
1
6 6 0
13
2
loaïi
t
t
t
t
.
1 1
2 sin 1 sin sin
4 4 4
2 2
x x x
.
1 1
cos cos .
2 4 4
2 2
x x
Câu 112. ChọnD
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
Tacó
1 5 sin cos sin 2 1 5 0
x x x
2
sin cos 1 5 sin cos 5 0
x x x x
sin cos 1
sin cos 5
x x tm
x x l
.
Dođó
1 2
sin sin cos
4 2
2
x x x
.
Câu 113. ChọnC
Điềukiện
sin 0
sin 2 0
cos 0
x
x
x
.
Tacó
sin cos
2 sin cos tan cot 2 sin cos
cos sin
x x
x x x x x x
x x
.
2 2
sin cos
2 sin cos 2sin cos . 2 sin cos 2.
sin cos
x x
x x x x x x
x x
Đặt
2
1
sin cos 2 2 sin cos .
2
t
t x x t x x
Phươngtrìnhtrởthành
2 3
2 1 2 2 0 2
t t t t t
.
sin cos 2 sin 2 cos .
x x x x
Mà
2
2 2 2 2
sin cos 1 cos 2 cos 1 2cos 2 2 cos 1 0
x x x x x x
.
2
1
2 cos 1 0 cos
2
x x
.
Câu 114. ChọnD
Đặt
2
1
sin cos 2 2 sin cos .
2
t
t x x t x x
Phươngtrìnhtrởthành
2
1 5 1 1 5 0
t t .
2
1
1 5 5 0
5
loaïi
t
t t
t
.
sin cos 1 cos sin 1 x x x x
.
Mặtkhác
2
2 2 2
sin 0
sin cos 1 sin sin 1 1 .
sin 1
x
x x x x
x
Câu 115. ChọnB
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
.Điềukiện
2 2.
t
Tacó
2
2 2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos sin 2 1 . t x x x x x x x t
Phươngtrìnhđãchotrởthành
2 2
0
1 1 0
1
t
t t t t
t
.
Với
1t
,tađược
1
2 sin 1 sin .
4 4
2
x x
Với
0t
,tađược
2 sin 0 sin 0.
4 4
x x
Câu 116. ChọnB
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
.Điềukiện
2 2.
t
Tacó
2
2 2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos sin 2 1.
t x x x x x x x t
Phươngtrìnhđãchotrởthành
2
2
1
1
1 2 3 0 .
3
2
loaïi
t
t
t t t
t
Với
1t
,tađược
1
2 sin 1 sin sin sin
4 4 4 4
2
x x x
.
2
2
4 4
,
2
2
2
4 4
x k
x k
k
x k
x k
.
TH1.Với
max
2 0 0 1 2 .
x k k k x
.
TH2.Với
max
1 3
2 0 1 .
2 4 2
x k k k x
Vậynghiệmâmlớnnhấtcủaphươngtrìnhlà
3
2
x
.
Câu 117. ChọnB
Đặt
sin cost x x
,(
0 2
t
)
2
1 2sin .cost x x
2
1
sin .cos
2
t
x x
.Phươngtrìnhđãchotrởthành:
2
2 3 0
t t
1t
(thỏamãn)hoặc
3
t
(loại).
Với
1t
sin2 0
x
2
k
x
.
Trongkhoảng
0;2
cácnghiệmcủaphươngtrìnhlà:
3
; ;
2 2
.
Suyratổngcácnghiệmcủaphươngtrìnhtrongkhoảng
0;2
là
3
.
Câu 118. Đặt
2
1
sin cos , 2 sin cos
2
t
t x x t x x
,tacóphươngtrình
2
2
1
1
2 2 4 5 0
5
2
t
t
t t t
t loai
Với
1t
,tacó
2
0 0 0 0
1
sin .cos 0 sin 2 0 3 sin 2 3
2
t
x x x P x
Câu 119. TXĐ:
D
.
Đặt
1 sin 1 cosP x x
2
2 sin cos 2 1 sin cos sin cosP x x x x x x
.
Đặt
sin cost x x
2 sin
4
x
2 ; 2
t
.
Khiđó
2
1 2sin cost x x
2
1
sin cos
2
t
x x
.
Vậy
2
2
1
2 2 1
2
t
P t t
2 2 1t t
.
TH1:
2 1
t
thì
2
1 2 2 2
P t .Khiđó
2
1 4 2 2
P
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
TH2:
1 2
t
thì
2
1 2 2 2
P t .Khiđó
2
1 4 2 2
P
.
Vậy
2
1 4 2 2
P
mà
0
P
nên
2
1 4 2 2 1 4 2 2
P P .
Phươngtrìnhcónghiệmkhi
1 4 2 2
m .
Câu 120. Đặt
sin cost x x
,(
0 2
t
)
2
1 2sin .cost x x
2
1
sin .cos
2
t
x x
.Phươngtrìnhđãchotrởthành:
2
2 3 0
t t
1t
(thỏamãn)hoặc
3
t
(loại).
Với
1t
sin 2 0
x
2
k
x
.
Trongkhoảng
0; 2
cácnghiệmcủaphươngtrìnhlà:
3
; ;
2 2
.
Suyratổngcácnghiệmcủaphươngtrìnhtrongkhoảng
0; 2
là
3
.
Câu 121. ChọnA
Phươngtrình
sin cos 1 sin cos
3
1 sin 2
2
x x x x
x
.
2 sin cos 2 sin2 3sin 2 .
x x x x
Đặt
2
1
sin cos 2 2 sin cos .
2
t
t x x t x x
Phươngtrìnhtrởthành
2 2
2 2 1 3 1
t t t
.
3 2
1
3 3 5 0 .
1 6
loaïi
t
t t t
t
Với
1
t
,tađược
1
sin cos 1 sin
4
2
x x x
.
Mà
2 2 2
1 2
sin cos 1 cos cos .
4 4 4 2 4 2
x x x x
Câu 122. ChọnC
Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x .Vì
sin 1;1 0; 2
4
x t
.
Tacó
2
2 2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos sin 2 1.
t x x x x x x x t
.
Phươngtrìnhđãchotrởthành
2
6
2 1 3 6 8 0
2
6
loaïi
t
t t
t
.
2
1
sin 2 1 .
2
x t
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích
Dạng5.1Khôngcóđiềukiệncủanghiệm
Câu 123.
Cách1:ĐK:
x
(*)
Phươngtrình
2
sin 3 4 sin 4sin cos 2 0
x x x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
1 cos2
sin 3 4. 4cos 2 0 sin 1 2cos 2 0
2
x
x x x x
sin 0
1
cos2 cos 2 2
2 3 3 6
x x k x k
k
x x k x k
thỏamãn(*).
Cách2:Phươngtrình
sin 3 2 sin 3 sin 0
x x x
sin 3 2sin 0
x x
2
sin 4sin 1 0
x x
sin 1 2cos 2 0
x x
6
x k
x k
Câu 124. Cách1:
Tacó:
2
sin 2 2sin 6sin 2cos 4 0
x x x x
2
2sin cos 2cos 2sin 6sin 4 0
x x x x x
2cos sin 1 2 sin 2 sin 1 0
x x x x
sin 1 sin cos 2 0
x x x
sin 1
sin cos 2
x
x x
2
2
sin 2
4
x k
x VN
2
2
x k
,
k
.
Dạng5.2Cóđiềukiệncủanghiệm
Câu 125. Taco
cos cos 2 cos3 0 cos3 cos cos 2 0
x x x x x x
2cos 2 .cos cos 2 0 cos 2 2cos 1 0
x x x x x
2
2 4 2
cos2 0
2 2
2 2 ,
1
3 3
cos
2
2 2
2 2
3 3
x k x k
x
x k x k k
x
x k x k
Vâybiêudiêntâpnghiêmcuaphươngtrinh
cos cos 2 cos3 0
x x x
trênđươngtronlươnggiac
tađươcsôđiêmcuôila
6
.
Câu 126. Tacóphươngtrình
sin 5 cos 7 cos 4 sin 8x x x x
1 1
sin12 sin 2 sin12 sin 4
2 2
x x x x
sin 4 sin 2 0
x x
2sin 3 cos 0
x x
sin 3 0
cos 0
x
x
3
2
k
x
x k
I
.
Vì
0;2
x
nêntừ
I
suyra
2 4 5 3
, , , , , ,
3 3 3 3 2 2
x
.
Vậytổngtấtcảcácnghiệmcủaphươngtrìnhlà
2 4 5 3
7
3 3 3 3 2 2
.
Câu 127.
sin 2 3cos 0
x x
2sin .cos 3cos 0
x x x
cos . 2sin 3 0
x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
cos 0
2
3
sin
2
loai vì sin 1;1
x x k k
x x
Theođề:
0; 0
2
x k x
.
Câu 128.
3 2
2cos cos cos 2 0
x x x
3 2 2
2cos cos 2cos 1 0
x x x
3 2
2cos 3cos 1 0
x x
1
cos cos
2 3
cos 1
x
x
2
,
3
2
x k
k
x k
.
Vì
0;13
x
nên
7 13 19 25 31 37 5 11 17 23 29 35
, , , , , , , , , , , , , ,3 ,5 ,7 ,9 ,11 ,13
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
S
Vậytổngcácphầntửcủa
S
là:
400
3
.
Câu 129. Tacó:
3 2
cos3 cos2 9sin 4 0 4cos 3cos 1 2sin 9sin 4 0
x x x x x x x
.
2 2
cos 4 1 sin 3 2sin 9sin 5 0
x x x x
.
cos 2sin 1 2sin 1 2sin 1 sin 5 0
x x x x x
.
2sin 1 2sin .cos cos sin 5 0 (*)
x x x x x
.
Do
sin cos 2 sin 2
4
x x x
;
2sin .cos sin2 1
x x x
.
nên:
2sin .cos cos sin 5 sin cos sin 2 5 4 2 0
x x x x x x x
.
2
1
6
(*) 2sin 1 0 sin
5
2
2
6
x k
x x
x k
k
.
Với
2
6
x k
,
1 17
0;3 0 2 3
6 12 12
x k k
.
13
0;1 ;
6 6
k k x
.
Với
5
2
6
x k
,
5 5 13
0;3 0 2 3
6 12 12
x k k
.
5 17
0;1 ;
6 6
k k x
.
Tậpnghiệmcủaphươngtrìnhđãcholà:
5 13 17
; ; ;
6 6 6 6
S
.
Tổngtấtcảcácnghiệmlà
6
.
Câu 130. Điềukiện:
,
2
x k k Z
.
Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới
2
2sin 1 3 tan 2sin 4sin 1 x x x x
.
2sin 1 3 tan 1 0
x x .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
1
sin
2
1
tan
3
x
x
2
6
5
2
6
6
x k
x k
x k
5
2
6
6
x k
x k
,
k
(thỏamãnđiềukiện).
*Trườnghợp1:Với
5
2
6
x k
,
k
.
1
5
0;20 0 2 20
6
x k
5 115
12 12
k
.Mà
k
nên
0; 1; 2....; 9
k
.
Tổngtấtcảcácnghiệmthuộcđoạn
0;20
củahọnghiệm
1
là:
9
1
0
5
2
6
k
S k
295
3
.
*Trườnghợp2:Với
6
x k
,
k
.
2
0;20 0 20
6
x k
1 119
6 6
k
.Mà
k
nên
0;1; 2....;19
k
.
Tổngtấtcảcácnghiệmthuộcđoạn
0;20
củahọnghiệm
2
là:
19
2
0
580
6 3
k
S k
.
Vậytổngcácphầntửcủa
T
là
1 2
875
3
S S
.
Câu 131. Tacó
2
2sin 2 cos 2 1 0
x x
2 2 2
8sin cos 2cos 0
x x x
2 2 2
2cos 4sin 1 0 cos 0 cos 0
2
x x x x x k
k
.
Bàira
0;2018
x
nên
0;2018 0;1;2;3;...;2017
2
k k
.
Dođósốnghiệmcủaphươngtrình
2
2sin 2 cos 2 1 0
x x
trong
0;2018
là
2018
.
Câu 132.
sin 4cos 2 sin2x x x
sin 2 2sin cos 4cosx x x x
sin 2 2cos sin 2
x x x
sin 2 1 2cos 0
x x
sin 2
2
1
3
cos
2
x l
x k k
x
.
5 7 11 13
0;5 ; ; ; ;
3 3 3 3 3
x x
.
Vậyphươngtrìnhcó
5
nghiệmtrongkhoảng
0;5
.
Câu 133. Điềukiện
sin 2 0
x
.
6 6
1
8cot 2 sin cos sin 4
2
x x x x
cos2 5 3 1
8. . cos 4 .2sin 2 .cos2
sin 2 8 8 2
x
x x x
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
cos 2 9 7 cos 4 0
x x
cos 2 0
x
,
4 2
x k k
.
Sốđiểmbiểudiễnnghiệmcủaphươngtrìnhtrênđườngtrònlượnggiáclà
4
.
Câu 134. Tacó
3
3 sin cos 2
2
x x
3 sin sin 2x x
3 sin sin 2 3 sin 2sin cosx x x x x
sin 0
5
3 5
2
cos cos
6
2 6
x
x k
x k
x
k
.
Bàira
3
;
2
x
nên
3
; 1
2
k k x
.
5 3 7
2 ; 1
6 2 6
k k x
.
5 3
2 ;
6 2
k k x
.
Dođósốnghiệmthuộc
3
;
2
củaphươngtrìnhđãcholà
2
.
Câu 135. Tacó:
cos 3 sin sin 3
2
x x x
cos 3 sin cos3x x x
2sin 2 sin 3 sin 0
x x x
sin 2sin 2 3 0
x x
sin 0
3
sin 2
2
x
x
6
3
x k
x k
x k
,
k
.
Với
x k
,trênnửakhoảng
4
;
3 2
tacó:
4
3 2
k
4 1
3 2
k
1;0
k
.Suyracácnghiệmlà
x
,
0
x
.
Với
6
x k
,trênnửakhoảng
4
;
3 2
tacó:
4
3 6 2
k
3 1
2 3
k
1;0
k
.Suyracácnghiệmlà
5
6
x
,
6
x
.
Với
3
x k
,trênnửakhoảng
4
;
3 2
tacó:
4
3 3 2
k
5 1
3 6
k
O
x
y
4
5
4
7
4
3
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
1;0
k
.Suyracácnghiệmlà
2
3
x
,
3
x
.
Suyrasốnghiệmtrênnửakhoảng
4
;
3 2
củaphươngtrìnhlà
6
.
Câu 136. Phươngtrình
cos4 cos 2 cos3 cos 0 2cos3 cos 2cos2 cos 0
x x x x x x x x
.
cos 0
2
5 5 2
4cos cos cos 0 cos 0
2 2 2 5 5
2
cos 0
2
x k
x
x x x k
x x
x
x k
,
k
Do
x
nên:
2
;
2
2
x
x k
x
.
3
2
5
;
5 5
5
x
k
x
x
.
Câu 137.
2
1 cos4 sin 2 3cos 2x x x
2 2
2cos 2 .sin 2 3cos 2 0
x x x
2
cos 2 2sin 2 3 0 cos 2 0
x x x
2
2 4 2
x k x k k
.
Xét
1 3
0 0;1
4 2 2 2
k k k
.
Vậytổngcácnghiệmbằng
3
4 4
.
Câu 138. ChọnD
2 2 2 2
3sin 2 cos2 1=0, 0;4 12sin .cos 2sin 0
x x x x x x
2
sin 0
sin 0
6
cos
6
(1)
(2)
6
cos
1
co
(
6
s =
6
3)
x
x
x
x
x
Họnghiệm
x k
có4nghiệmtrong
0;4
Trongmỗinửakhoảng
2 ; 2 2
k k
phươngtrình
6
cos
6
x
có2nghiệmphânbiệt.Dođó
6
cos
6
x
có4nghiệmtrong
0;4
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
Tươngtự,trongmỗinửakhoảng
2 ; 2 2
k k
phươngtrình
6
cos
6
x
có2nghiệm.Dođó
6
cos
6
x
có4nghiệmtrong
0;4
.
Trongcáchọnghiệmcủa,,khôngcóhaihọnàocóphầntửchungnênchọnđápán D.
Câu 139. Tacó:
3 2
3 2
sin 3 2cos 2 2sin 1 0
3sin 4sin 2 4sin 2sin 1 0
4sin 4sin sin 1 0
1
sin
6
2
1
sin
2 6
sin 1
2
2
x x x
x x x x
x x x
x k
x
x x k
x
x k
Do
7
;0
8
x
nênphươngtrìnhcócácnghiệmlà:
5
; ;
6 2 6
x x x
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
Câu 140. Cách1:Điềukiệnxácđịnh:
cos 0
2
x x l
với
l
.
Khiđóphươngtrìnhtrởthành
cos 2 3sin 2 0
x x
2
2sin 3sin 1 0
x x
sin 1 (1)
1
sin (2)
2
x
x
Đốichiếuđiềukiệntaloạiphươngtrình
(1)
.Giảiphươngtrình
(2)
được
2
6
5
2
6
x k
x k
với
k
.
Câu 141. TXĐ:
5
\ 2 , 2 ,
6 6
D k k k
.
Phươngtrìnhtrởthành:
3sin cos 0
x x
2sin 0
6
x
2
6
x k
k
.
Vậynghiệmcủaphươngtrìnhlà
7
2
6
x k
k
.
Câu 142. Điềukiệnxácđịnh:
tan 3
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
Phươngtrìnhtươngđương:
2sin cos 2cos sin 1 0
x x x x
2cos 1 sin 1 0
x x
1
cos
2
sin 1
x
x
2
3
2
3
2
2
x k
x k
x k
.Do
tan 3
x
nên
2
3
x k
loại.
2
3
x k
biểudiễntrênđườngtrònlượnggiáccó
1
điểm.
2
2
x k
biểudiễntrênđườngtrònlượnggiáccó
1
điểm.
Vậycó
2
vịtríbiểudiễnnghiệmcủaphươngtrìnhtrênđườngtrònlượnggiác.
Câu 143. Điềukiệnxácđịnh
sin 1x
.
Phươngtrìnhtươngđương
2cos 1 cos . 2sin 1 0
x x x
1
cos
2
cos 0
1
sin
2
x
x
x
.
Vì
0;
2
x
và
sin 1x
nên
3
6
x
x
.Dođó
2
T
.
Câu 144. ChọnA
Điềukiệnxácđịnh:
3
2cos 3 0 cos 2
2 6
x x x l l
.
Với
2
6
x l l
phươngtrình
3 cos 2 sin 2 5sin cos
0
2cos 3
x x x x
x
2
2
2
3 cos 2 sin 2 5sin cos 0
3 1 2sin 2sin cos 5sin cos 0
(2sin cos cos ) 2sin 5sin 2 0
cos (2sin 1) (2sin sin ) (4sin 2) 0
(2sin 1)(cos sin 2) 0
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
2sin 1 0
x
(vì
cos sin 2 2 sin 2 2 2 0
4
x x x
)
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x k
x k
Kếthợpđiềukiện,phươngtrìnhcónghiệm
5
2
6
x k k
.
Mà
5 5 595
0;100 0 2 100
6 12 12
x k k
0;1;2;3;...;49.
k k
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
Vậytổngcácnghiệmthuộc
0;100
củaphươngtrìnhbằng
49
0
5 7475
2 .
6 3
k
k
Câu 145. Điềukiện:
sin cos 0 , .
4
x x x k k
Phươngtrìnhtươngđương:
2
cos 4 cos 2 2sin 0
x x x
2
2cos 2 1 cos2 1 cos2 0
x x x
2
cos 2 cos2 0
x x
cos 2 1
.
cos 2 0
4 2
x k
x
x
x k
Kếthợpvớiđiềukiệnthìphươngtrìnhcónghiệmlà
.
4
x k
x k
Biểudiễnnghiệmcủaphươngtrìnhtrênđườngtrònlượnggiáctađượccácđiểmcuốicủacác
cungnghiệmtạothànhmộthìnhchữnhật.Đólàhìnhchữnhật
’ ’ACA C
nhưhìnhvẽ,trongđó
.
4
AOC
Từđótacó,diệntíchđagiáccầntínhlà
'C'
1
4S 4. .OA.OC.sin 2.
2 4
ACA OAC
S
Câu 146. Điềukiện
sin cos 0
x x
sin 0
4
x
4
x k
,
4
x k k
.
Tacó:
2
sin sin 2 2sin cos sin cos
3 cos2
sin cos
x x x x x x
x
x x
sin 2 sin cos sin cos
3 cos2
sin cos
x x x x x
x
x x
sin 2 1 sin cos
3 cos 2
sin cos
x x x
x
x x
sin 2 3 cos2 1
x x
sin 2 sin
3 6
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
2 2
3 6
2 2
3 6
x k
x k
12
3
4
x k
k
x k
.
Thửlạiđiềukiện,phươngtrìnhđãchocónghiệmlà:
12
x k k
.
Trên
;
phươngtrìnhđãchocócácnghiệmlà:
11
;
12 12
.
Câu 147. ChọnC
ĐK:
cos 0
x
Khiđó,phươngtrình
2 2 2 2 3
2cos 1 cos 1 cos cos cos 1x x x x x
4 3 2
2cos cos cos 0
x x x
2
2cos cos 1 0
x x
(vì
cos 0
x
)
1
2
3
2
cos 1
2
1
3
cos
2
2
3
x k
x
x k
x
x k
Vì
[1;70]
x
nên
1 2 3
0 ; 10;1 11
k k k
Ápdụngcôngthứctínhtổng11sốhạngđầutiêncủamộtcấpsốcộng,tacó
3632.11
3
2
32
11
2.10
332
11
2.10
2
11
S .
Câu 148. *ĐKXĐ:
cos 0
cos2 0
x
x
2
2
sin 1
1
sin
2
x
x
*Tacó:
2 2 2
2
sin 2
1 tan cos2
a x a
x x
2 2 2 2
cos sin 2
a x x a
2 2 2
sin sin 2
a x x
2
2
2
sin
1
x
a
Đểphươngtrìnhđãchocónghiệmđiềukiệnlà:
2
2
2
2
0;1
1
2
1
1
2 1
1 2
a
a
a
2
2
2
0;1
1
2 1
1 2
a
a
2
2
1 2
1 4
a
a
1
3
a
a
Câu 150. Điềukiện
sin 0
sin cos 0
x
x x
Tacó
2
2 1 cos sin cos sin . sin 1
x x x x x
2
2 1 cos sin cos 1 cos . sin 1
x x x x x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
1 cos sin cos sin cos 1 0
x x x x x
2
1 cos 1 sin 0
x x
cos 1
sin 1
x
x
Chỉcó
sin 1
x
làthỏađiềukiệnbanđầu.
Vậycácnghiệmcủaphươngtrìnhđượcbiểudiễnbởi
1
điểmtrênđườngtrònlượnggiác.
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác
Câu 151.
2018 2018 2020 2020
sin cos 2 sin cos
x x x x
2018 2 2018 2
sin 1 2sin cos 1 2cos 0
x x x x
2018 2018
sin .cos2 cos cos2 0
x x x x
2018 2018
cos 2 0
sin cos
x
x x
.
+
cos 2 0
x
2
2
x k
4 2
k
x k
1
+
2018 2018
sin cos
x x
2018
tan 1x
(
2
x k
khônglànghiệm)
tan 1
x
4
x k k
2
.Từ
1
và
2
tacó
4 2
k
x k
lànghiệmcủapt.
Do
0; 2018
x
0 2018
4 2
k
0 1284,k k
.
Vậytổngcácnghiệmcủaphươngtrìnhtrongkhoảng
0;2018
bằng
.1285 1 2 ... 1284
4 2
1284.1285
.1285
4 4
2
1285
2
.
Câu 152. Chọn D.
Điềukiện
cos 0
sin 2 0 ,
sin 0
2
x
x x k k
x
sin sin cos cos
2 2
1 tan tan sin cot 4 sin cot 4
2
cos cos
2
x x
x x
x
x x x x x
x
x
cos
2
sin cot 4
cos cos
2
x
x x
x
x
tan cot 4
x x
2
tan 4tan 1 0
x x
tan 2 3
1
tan 2 3
2 3
x
x
5
12
12
x k
x l
.
Vớihaihọnghiệmtrêndễthấynghiệmdươngnhỏnhấtlà
12
;đểđượcnghiệmâmlớnnhấttađều
cho
1
k l
đượcnghiệmâm
7 11
;
12 12
khiđónghiệmâmlớnnhấtlà
7
12
.
Tacó
7
12 12 2
.
Câu 153. Cách1:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
Đk:
2019 2019
x
Nhậnxét
0
x
lànghiệmcủaphươngtrình.
Nếu
0
x x
lànghiệmcủaphươngtrìnhthì
0
x x
cũnglànghiệmcủaphươngtrình
Taxétnghiệmcủaphươngtrìnhtrênđoạn
0;2019
.Vẽđồthịcủahàmsố
siny x
và
2019
x
y
.Tathấy:
Trênđoạn
0;2
phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt
Trênnửakhoảng
2 ;4
phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt
Trênnửakhoảng
4 ;6
phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt
…
Trênnửakhoảng
640 ;642
phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt
Trênnửakhoảng
642 ;2019
phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt.
Nhưvậytrênđoạn
0;2019
phươngtrìnhcómộtnghiệm
0
x
và
321x2+1=643
nghiệm
dươngphânbiệt.Màdo
0
x x
lànghiệmcủaphươngtrìnhthì
0
x x
cũnglànghiệmcủa
phươngtrìnhnêntrênnửakhoảng
2019;0
phươngtrìnhcũngcó
643
nghiệmâmphânbiệt.
Dođótrênđoạn
2019;2019
phươngtrìnhcósốnghiệmthựclà
643x2+1=1287
nghiệm
Vậysốnghiệmthựccủaphươngtrìnhđãcholà
1287
nghiệm.
Cách2:
Đk:
2019 2019
x
Xéthàmsố
( ) sin
2019
x
f x x
,tacó
( )f x
làhàmsốlẻ,liêntụctrênRvà
1
( )
2019
f x cosx
,
1
( ) 0 0 2
2019
f x cosx x k
với
1
2019
cos
và
0;
2
.Chia
0;2019
thànhhợpcácnửakhoảng
2 ;2 2
k k
(với
0;320
k
)và
642 ;2019
(vì
2019 642,67
)
Xéttrênmỗinửakhoảng
2 ;2 2
k k
(với
1;320
k
),tacó
( ) 0
f x
cóhainghiệmlà
1
2x k
và
2
2 2x k
Tacó
2
( 2 ) 0
2019
k
f k
1
2
( ) sin
2019
k
f x
2020.2018 2
0
2019
k
do
0;
2
và
2 642
k
2
2 2
( ) sin 0
2019
k
f x
8
6
4
2
2
4
6
8
5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
2 2
(2 2 ) 0
2019
k
f k
Bảngbiếnthiên
Trên
2 ;2 2
k k
phươngtrình
( ) 0
f x
cóđúnghainghiệmphânbiệt(với
1;320
k
)
Tương tự xét trên nửa khoảng
0;2
phương trình có một nghiệm và trên nửa khoảng
642 ;2019
phươngtrìnhcóhainghiệm.
Từđósốnghiệmcủaphươngtrìnhđãcholà
2. 320.2 1 2 1 1287
Nhậnxét:đềhoàntoànkhôngphùhợptrongđềthi
Câu 154.
1
cos 2 .sin 5 1 0 sin 3 sin 7 1
2
x x x x
sin3 sin7 2
x x
2
7 2
sin 7 1
14 7
2
sin 3 1 2
3 2
2 6 3
x k
x k
x
x
x l x l
,k l
1 2 1 2
14 7 6 3
k l
3 12 7 28k l
4 28 1 7
12 3
l l
k
.
Vì
;
2
x
nên
2
2 6 3
l
,giảiratađược
0,1
l
.

4
0
12
l k
(loại)

1 2
l k
Vậyphươngtrìnhcómộtnghiệm
;
2 2
x
.
Câu 155. Tacó:
2015 2016 2017 2018
sin cos 2 sin cos cos2x x x x x
2015 2 2016 2
sin 1 2sin cos 2cos 1 cos2x x x x x
2015 2016
sin .cos2 cos .cos2 cos2x x x x x
2015 2016
cos 2 0
sin cos 1
x
x x
.
Với
cos 2 0
x
,
4 2
x k k
00
y=0
f(x)
f'(x)
x
+
-
+
f(x
2
)
f(x
1
)
f(2π+k2π)
f(k2π)
x
2
x
1
2π+k2πk2π
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
Vì
10;30
x
10 30
4 2
k
20 1 60 1
2 2
k
6 18
k
.
Với
2015 2016
sin cos 1x x
.Tacó
2015 2 2016 2
sin sin ;cos cosx x x x
.
Dođó
2015 2016 2 2
1 sin cos sin cos 1x x x x
suyra
sin 0,cos 1
sin 1,cos 0
x x
x x
.
Nếu
sin 0 ,x x k k
.
Vì
10;30
x
10 30
k
10 30
3 9
k
.
Nếu
sin 1 2 ,
2
x x k k
.
Vì
10;30
x
10 2 30
2
k
5 1 15 1
4 4
k
1 4
k
.
Vậysốnghiệmcủaphươngtrìnhđãcholà:
13 6 25 44
.
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số
Câu 156. Tacó
6 6
sin cos 3sin cos 2 0
4
m
x x x x
2 2
1 3sin cos 3sin cos 2 0
4
m
x x x x
Đặt
sin 2t x
,
1 1t
.
PTtrởthành
2
3 6 12
t t m
.
Xéthàmsố
2
3 6 12
f t t t
,
1 1t
Phươngtrình
6 6
sin cos 3sin cos 2 0
4
m
x x x x
cónghiệmthựckhi
3 15
m
.
Vậycó
13
giátrịnguyêncủathamsố
m
.
Câu 157. Taxétphươngtrình
2
cos2 sin 0 2sin sin 1 0(1)
x m x m x m x m
Đặt
sin  0 1
x t t
khiđó
2
(1) 2 1 0
t mt m
Đểphươngtrình
cos2 sin 0
x m x m
cónghiệmkhivàchỉkhi(1)cónghiệmtthỏa
0 1t
2
2 2
2 1
2 1 0 ( 1) 2 1 *
1
t
t mt m m t t m
t
(Vì
1t
khôngphảilànghiệmcủa
phươngtrình)
Xéthàmsố
2
2 1
1
x
y
x
trên
0;1
.Tacó
2
1
' 2
1
y
x
;
2 1
' 0
2 1
x
y
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
Đểphươngtrình(*)cónghiệm
2 3 2
2
m
.Domnguyêndươngnên
1
m
.
Câu 158. Tacó
2
cos 2 2 1 cos 1 0 2cos 2 1 cos 0
x m x m x m x m
cos 2cos 1 2cos 1 0
x x m x
cos
2cos 1 cos 0
1
cos
2
x m
x x m
x
.
Do
3
;
2 2
x
nên
cos 1;0
x
nênphươngtrình
1
cos
2
x
khôngcónghiệm
3
;
2 2
x
.
Vậynênđểphươngtrình
cos 2 2 1 cos 1 0
x m x m
cónghiệm
3
;
2 2
x
khiphương
trình
cos x m
cónghiệm
3
;
2 2
x
nghĩalà
1 0
m
.
Câu 159. Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới:
3
2 2 2 2 2 2
sin cos 3sin .cos . sin cos 3sin cos 2 0
4
m
x x x x x x x x
2
3 3
sin 2 sin 2 3 0
4 2 4
m
x x
2
3 15
sin 2 1
4 4 4
m
x
.
Phươngtrìnhtrêncónghiệmkhivàchỉkhi
3 15
;
4 4 4
m
3;15
m
Vậycó
13
giátrịnguyêncủa
m
đểphươngtrìnhđãchocónghiệmthực.
Câu 160. ChọnA
Tacó
2sin 1 cos
cos 2sin
cos 1
x m x m
x x
m
x
Đặt
cos 2sin
cos 1
x x
f x
x
đểphươngtrìnhcónghiệm
0;
2
x
khivàchỉkhi
0;
0;
2
2
min max
f x m f x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
đặt
2
2 2
2 1
tan sin ,cos
2 1 1
x t t
t x x
t t
khiđóhàmsố
cos 2sin
cos 1
x x
f x
x
trởthành
2
2
2 2
2
2
1 2
2.
4 1
1 1
1
2
1
1
t t
t t
t t
g t
t
t
với
0;1
t
' 2; ' 0 2 0;1
g t t g t t
1
0 ; 1 2
2
g g
Suyra
0;
0;
2
2
1
min 2; max
2
f x f x
Vậy
1
2
2
m
.Cácgiátrịnguyêncủa
m
thỏayêucầubàitoánlà
2; 1;0
Câu 161. Tacó:
3 3 2
4cos cos 2 3 cos 1 0 4cos 2cos 3 cos 0
x x m x x x m x
2
cos 0
4cos 2cos 3 0 1
x
x x m
cos 0 ,
2
x x k k
khôngcónghiệmthuộckhoảng
;
2 2
.
Đặt
cost x
,vì
;
2 2
x
nên
0;1
t
.
Khiđóphươngtrình
2
1 4 2 3 0 2
t t m .
Ycbt
phươngtrình
2
có2nghiệmphânbiệt
1 2
,t t
thỏamãn
1 2
0 , 1
t t
.
Cách1:
Đặt
2
4 2 3
f t t t m
,với
0;1
t
.
Khiđó,phươngtrình
2
có2nghiệmphânbiệt
1 2
,t t
thỏamãn
1 2
0 , 1
t t
13
0
4
0 0
3
13
3
1 0
1
4
1
0 1
0 1
2
4
m
f
m
m
f
m
b
a
.Vì
m
nguyênnênkhôngcógiátrịnào.
Cách2:
2
2 4 2 3
m t t g t
Tacóbảngbiếnthiêncủa
g t
trên
0;1
t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
Từ bảng biến thiên trên phương trình
2
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,t t
thỏa mãn
1 2
0 , 1
t t
thì
13
3
4
m
.Vì
m
nguyênnênkhôngcógiátrịnào.
Câu 162. Tacó:
3 2 2
cos 2 cos 2 sinx x m x
2 2
cos 2 cos 2 1 sinx x m x
2 2
sin 2cos 2 0
x x m
2
2cos 2 0
x m
cos 4 1
x m
.
Có
0;
6
x
2
4 0;
3
x
1
cos4 1
2
x
Đểphươngtrìnhcónghiệm
0;
6
x
thì
1
1 1
2
m
1
2
2
m
.
Do
m
nên
1
m
.
Câu 163. Tacó:
2 2
1 cos cos4 cos sin 1 cos cos 4 cos 1 cos 0
x x m x m x x x m x m x
1 cos cos 4 cos 1 cos 0
x x m x m x
cos 1
cos4
x
x m
.
Xétphươngtrình
cos 1 2x x k
k
.
Phươngtrình
cos 1
x
khôngcónghiệmtrongđoạn
2
0;
3
.
Xét
cos 4
x m
.Tacó
2 8
0; 4 0;
3 3
x x
.
Với
4 0;2 \x
và
1;1
m
phươngtrình
cos 4
x m
có
2
nghiệm.
Với
8
4 2 ;
3
x
và
1
;1
2
m
phươngtrình
cos 4
x m
có
1
nghiệm.
Vậyphươngtrìnhcó
3
nghiệmphânbiệtthuộc
2
0;
3
khi
1
;1
2
m
.
Câu 164.
cos3 cos 2 cos 1x x m x
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1x x x m x
3 2
4cos 2cos 3 cos 0
x x m x
Đặt
cos x t
với
1;1
t
.Tacó
2
0
4 2 3 0 *
t
t t m
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
Với
0t
thì
cos 0
x
2
x k
,có2nghiệmlà
3
;
2 2
thuộc
;2
2
.
Vớimỗigiátrị
0; 1
t
thìphươngtrình
cos x t
có3nghiệmcủathuộc
;2
2
.
Vớimỗigiátrị
1;0
t
thìphươngtrình
cos x t
có2nghiệmcủathuộc
;2
2
.
Với
1
t
thìphươngtrình
cos x t
có1nghiệmcủathuộc
;2
2
.
Đểptcóđúng7nghiệmthỏamãnthìphươngtrình(*)phảicó2nghiệm
1
t
;
2
t
thỏamãnđiềukiện:
1 2
1 0 1
t t
.
2
* 4 2 3m t t
Từbảngbiếnthiêntrêntacó
1;3
m
.Vậy
2
m
.
Câu 165. Tacóphươngtrìnhtươngđương
2
sin 1
2cos 2 1 cos 0
x
x m x m
sin 1
2cos 1 cos 0
x
x x m
sin 1
1
cos
2
cos
x
x
x m
Với
0;2
x
.Tacó:

sin 1
2
x x
vì
0;2
x
nên
2
x
(thỏamãn).

1
3
cos cos cos
5
2 3
2
3 3
x
x x
x
vì
0;2
x
nên
3
5
3
x
x
(thỏamãn).
Với
1 1
m
,đặt
cosm
,
0;
.
Nhậnxét:Với
0;2
x
thìphươngtrình
cos cos cos
2
x
x m x
x
*
.
Dođó,phươngtrìnhcó
4
nghiệmthựcphânbiệtkhivàchỉkhiphươngtrình
*
có
đúngmộtnghiệmhoặccó
2
nghiệmphânbiệtvàmộtnghiệmbằng
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
Trườnghợp1:
2
(thỏavìkhác
2
,
3
,
5
3
).Suyra
cos 1
m
.
Trườnghợp3:
3
2
2 2
(thỏa).Suyra
cos 0
2
m
.
Vậy
0; 1
m
nêncó
2
giátrị
m
.
Câu 166. Tacó
3
2cos3 2cos 6cosx m x m x
3
3
2 4cos 3cos 2cos 6cosx x m x m x
3
3
8cos 2cos 6cos 6cosx x m x m x
Đặt
3
6cos , 2cost m x u x
,phươngtrìnhviếtlại
3 3 2 2
1 0
u u t t u t u ut t u t
hay
3
3
6cos 2cos 8cos 6cos 2cos3m x x m x x m x
Dođóđểphươngtrìnhđãchocónghiệmthì
2 2
m
,có
5
giátrịnguyêncủa
m
thỏamãn.
Câu 167. Đặt
tan
2
x
t
,do
;
2 2
x
suyra
1;1
t
.
Phươngtrìnhtrởthànhtìm
m
đểphươngtrình
2
2 2
4 1
. 1
1 1
t t
m m
t t
cónghiệmthuộcđoạn
1;1
.
Tacó
2
2 2
4 1
. 1
1 1
t t
m m
t t
.
Hoànhđộđỉnhlà
0
2
t
loại.Tacó
1 3
f
và
1 1
f
.
Suyra
1 3
f t
.VậytachọnđápánA.
Câu 168. ChọnD
Tacó
2
4cos 3sin 5
5 4cos 3sin 5
x x
x x
Đểphươngtrìnhđãchovônghiệmkhivàchỉkhi
3
3
4 3 4 5 1
4 3 4 5 2
m m x m
m m x m
Giải
1
tacó
3
3
3
4 3 4 5
4 3 9 0
1
4 3 0
1 13
9 0
2 2
9
m m x m
m m x m x
m
m m
VN
m
m
m
Giải
2
tacó
2
1 1
2
2 2
m t t f t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
3
3
3
4 3 4 5
4 3 1 0
1
1 13
4 3 0
2 2
1 0
1 13
/
2 2
1
m m x m
m m x m x
m L
m L
m m
m
m t m
m
Vậycóduynhấtmộtgiátrịcủathamsố
1 13
2 2
m
đểphươngtrìnhđãchovônghiệm.
Câu 169. ChọnC
3 2
cos3 cos2 cos 1 0 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
x x m x x x x m x
2
2
cos 0 (1)
cos (4cos 2cos 3) 0
4cos 2cos 3 0 (2)
x
x x x m
x x m
Giải
(1)
2
x k
.Do
;2
2
x
nên
2
3
2
x
x
Bàitoánquyvềtìm
m
đểphươngtrìnhcó
5
nghiệmthuộc
3
;2 \ ;
2 2 2
.
Phươngtrình
(2)
đặt
cos ( 1)
t x t
phươngtrìnhtrởthành
2
4 2 3
t t m
(3)
.Từđường
trònlượnglượnggiácđểphươngtrình
(2)
có
5
nghiệmthuộc
3
;2 \ ;
2 2 2
thìphương
trình
(3)
có
2
nghiệmphânbiệtthỏamãn
1 2
1 0 1
t t
0 3
1 3
3 2
m
m
m
.Do
2
m Z m
.
Câu 170.
cos 2 2 3 cos 1 0
x m x m
2
2cos 2 3 cos 2 0
x m x m
2cos 1 cos 2 0
x x m
cos 2 0
x m
,vì
3
;
2 2
x
cos 2
x m
Ycbt
1 2 0
m
1 2
m
Câu 171.
2
cos 2 5sin 0 2sin 5sin 1
x x m x x m
1
.
Đặt
sint x
,
; 1;1
2
x t
.
2
1 2 5 1
t t m
*
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
Phươngtrình
1
cóđúng
1
nghiệm
; 1 0;1
2
x t
.
Xéthàmsố:
2
2 5 1f t t t
,
1 0;1
t
.
Đồthịcủahàmsố
f
làparabolcóđỉnh
5 33
;
4 8
I
.
BBT:
DựavàoBBT,yêucầubàitoán
4 4
6 1 1 6
m m
m m
.
Câu 172. Tacó
cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
2
2cos 2 1 cos 0
x m x m
2cos 1 cos 0
x x m
1
cos
2
cos
x
x m
.
Phươngtrìnhđãchocóđúng2nghiệm
;
2 2
x
khivàchỉkhi
0 cos 1x
nênloại
1
cos
2
x
Vậyphươngtrìnhđãchocóđúng
2
nghiệm
;
2 2
x
khivàchỉkhi
0 1m
.
1
01
f
t( )
6
4
t
1
| 1/130

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI 1 Mục lục
Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác ............................................................................................................... 1
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác ........................................................................................................... 7
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................... 7
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 9
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 12
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 12
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 13
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 14
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 14
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 17
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 17
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác ......................................................................................................... 21
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 22
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ........................................................................................................... 24
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 28
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 28
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 29
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 31
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 31 Phần A. CÂU HỎI
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác Câu 1.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = tan x là:   A. R\  0
B. R\   k , k Z C. R
D. R\k , k Z  2  2 sin x 1 Câu 2.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Hàm số y = xác định khi 1- cos x   A. x   k 2
B. x k
C. x k 2 D. x   k 2 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 3.
(THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tập xác định D của hàm
số y  cot x  sin 5x  cos x    
A. D = R\   k , k Z
B. D = R\   k 2 , k Z   2   2 
C. D = R\k , k Z
D. D = R\k2 , k ZCâu 4.
(THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm điều kiện xác định của 1- 3cos x hàm số y = sin x k 
A. x k2 . B. x  . C. x   k .
D. x k . 2 2 Câu 5.
(THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Chọn khẳng định sai?  
A. Tập xác định của hàm số y = cot x là  \   k , k   .  2 
B. Tập xác định của hàm số y = sin x là  .
C. Tập xác định của hàm số y = cos x là  .  
D. Tập xác định của hàm số y = tan x là  \   k , k   .  2  s inx 1 Câu 6.
(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = là s inx - 2 A. ( 2 - ;  )
B. (2;  ) C.  \   2 . D. . Câu 7.
(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số cot x y = là cos x -1      A.  \ k
, k  .
B.  \   k , k  .C.  \k , k   .
D.  \ k2 , k   .  2   2  Câu 8.
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = cot x là:    
A.  \ k2 , k   .
B.  \   k , k  .C.  \k , k   .
D.  \   k2 , k  .  2   2  Câu 9.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Hàm số
nào có tập xác định là : 2 cos x  2 A. y = B. y = 2  2 cos x
C. y = cot 3x - tan x D. y = sin x  2 2 cot x 1
Câu 10. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Điều kiện xác định của hàm 1 số y = là sin x - cos x  
A. x k2 (k ). B. x
k (k  ). C. x k (k ). D. x
k (k  ). 2 4
Câu 11. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số y = tan 2x là
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     
A. D =  \   k , k   .
B. D =  \   k , k   .  4   4 2      
C. D =  \   k , k   .
D. D =  \ k , k   .  2   2 
Câu 12. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số 1cos  x y là: sin x 1  A. B. C. . D.
Câu 13. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Tập xác
định của hàm số y = cot 2x - tan x là:           A. \    k ,  k    B. \  k ,  k    . C. \
   k ,k    D. \
 k ,k     2   4 2   2 
Câu 14. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số y = 2 sin x là A. 0;2 . B.  1 - ;  1 . C.  . D.  2 - ; 2. 1
Câu 15. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y = . sin x - cos x  
A. D =  \ k | k   .
B. D =  \   k | k  .  2   
C. D =  \   k | k  .
D. D =  \ k2 | k    4  . tan 2x
Câu 16. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Tập xác định của hàm số y = là tập nào sau cos x đây?   A. D =  .
B. D =  \   k  , k   .  2        
C. D =  \   k  , k   .
D. D =  \   k ;
k , k   .  4 2   4 2 2 
Câu 17. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau:
(1) Hàm số y = sin x có tập xác định là  .
(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là  .  
(3) Hàm số y = tan x có tập xác định là D =  \   kk   .  2    
(4) Hàm số y = cot x có tập xác định là D =  \ k k   .  2  Số mệnh đề đúng là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 18. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tập xác định của hàm số y = - tan x là:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  
A. D =  \   k , k   .
B. D =  \ k , k    .  2   
C. D =  \ k 2 , k    .
D. D =  \   k 2 , k   .  2  1- sin x
Câu 19. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Điều kiện xác định của hàm số y = là cos x 5 5  A. x
k , k . B. x   k , k . 12 12 2    C. x   k , k . D. x
k , k . 6 2 2 1- sin x
Câu 20. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y = 1sin x .    
A. D =  \ -  k 2 ;
k 2 ; k   .
B. D =  \ -k ; k    .  2 2      
C. D =  \ -
k 2 ; k   .
D. D =  \   k 2 ; k   .  2   2 
Câu 21. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tập xác định của hàm số y = tan x  cot x là  k   k   k  A. D =  \   .
B. D =  \ k . C. D =  \ 
   . D. D =  \   .  4   4   2   k 
Câu 22. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tập D =  \ 
k   là tập xác định của hàm số  2  nào sau đây?
A. y = cot x .
B. y = cot 2x .
C. y = tan x .
D. y = tan 2x 5
Câu 23. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = . cos x 1  
A. D =  \ k 2 , k    .
B. D =  \   k 2 , k   .  2 
C. D =  \   k 2 , k    .
D. D =  \   k , k    . 1- 2x
Câu 24. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = . sin 2x  
A. D =  \ k , k    .
B. D =  \   k , k   .  2      
C. D =  \   k 2 , k 2 , k   .
D. D =  \ k , k   .  2   2    
Câu 25. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y = tan 2x -    4  .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 k  3  A. D =  \   , k   . B. D =  \ 
k , k   .  8 2   4  3 k    C. D =  \   , k   .
D. D =  \   k , k  .  4 2   2  tan x
Câu 26. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = . cos x -1  
A. D =  \ k 2 .
B. D =  \   k 2  .  2     
C. D =  \   k ; k 2  .
D. D =  \   k 2 ; x k  .  2   2    
Câu 27. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tập xác định của hàm số y = tan cos x   là:  2     A.  \   0 . B.  \ 0; .
C.  \ k  .
D.  \ k .  2    
Câu 28. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = tan 2x     3  .       A. D =  \   k k   .
B. D =  \   kk   . 12 2   6         C. D =  \ 
kk   .
D. D =  \ -  k k   . 12   6 2 
Câu 29. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Tìm tập xác định D của tan x -1    hàm số y =  cos x    . sin x  3   k 
A. D =  \ k , k    . B. D =  \  , k   .  2   
C. D =  \   k , k   . D. D =  .  2  sin x
Câu 30. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y = . tan x -1     
A. D =  \ m ;  n ; , m n  .
B. D =  \   k 2 ; k  .  4   4      
C. D =  \   m ;  n ; , m n  .
D. D =  \   k ; k  .  2 4   4  2 tan x -1
Câu 31. (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Tập xác định D của hàm số y = là: 3sin x  
A. D =  \ k | k    .
B. D =  \   k | k   .  2 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 k  C. D =  \  | k   .
D. D =  \   0 .  2  cos 3x
Câu 32. Tập xác định của hàm số y = là:       cos . x cos x - .cos  x      3   3   k 5   5   A. R \   ;  k  ;
 k  , k Z  . B. R \   k ;
k , k Z  .  6 3 6 6   6 6   5    5 k 
C. R \   k  ;  k ;
k , k Z  .
D. R \   k ;  , k Z  .  2 6 6   2 6 2  2 5sin 2x  3 cos x  5
Câu 33. Tập xác định của hàm số f (x) =  là: 12sinx cos xk 
A. D = R \ k 2 | k Z.
B. D = R \  | k Z  .  2    
C. D = R \ k  | k Z .
D. D = R \ -
k | k Z  .  2  1 - cos x
Câu 34. Tập xác định của hàm số là: 2 sin x  1   7   7 
A. D = R \ -  k 2 ;
 k 2 | k Z  .
B. D = R \ 
k | k Z  .  6 6   6       7 
C. D = R \ -
 k  | k Z  .
D. D = R \ -  k ;
k | k Z  .  6   6 6  5 - 3cos 2x
Câu 35. Tập xác định của hàm số là:    1  sin 2x -    2 
A. D = R \ k | k Z . B. D = R .  k 
C. D = R \  | k Z  .
D. D = R \ k 2 | k Z.  2     1  cos x
Câu 36. Tập xác định của hàm số y = cot x     là:  6  1 - cos x     7 
A. D = R \ -
k 2 | k Z  .
B. D = R \ 
k , k 2 | k Z .  6   6    
C. D = R \ k 2 | k Z .
D. D = R \ -
k | k Z  .  6  1
Câu 37. Tập xác định của hàm số y = 2  sin x - là: 2 tan x -1      k 
A. D = R \   k ;
 k  | k Z  .
B. D = R \  | k Z  .  4 2   2 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     
C. D = R \   k  | k Z  .
D. D = R \ 
k | k Z .  4   4     1  tan  2x    3 
Câu 38. Hàm số y = có tập xác định là: 2 cot x  1       
A. D = R \   k
, k  | k Z  .
B. D = R \   k , k | k Z  .  6 2  12  2        
C. D = R \ 
 k  ; k  | k Z  .
D. D = R \   k
; k  | k Z  . 12   12  2 
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Câu 39. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho các hàm số: y = sin 2x ,
y = cos x , y = tan x , y = cot x . Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T =  . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x
Câu 40. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Chu kỳ của hàm số y = 3sin là số nào sau đây? 2 A. 0 . B. 2 . C. 4 . D.  .
Câu 41. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Chu kỳ của hàm số y = s inx là  A. k 2 . B. . C. 2 . D. . 2
Câu 42. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các hàm số y = tan x ; y = sin 2x ; y = sin x ; y = cot x , có
bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất f ( x k ) = f ( x) , x   , k   . A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 43. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số: (1) y = cos 2x , (2) y = sin x
; (3) y = tan 2x ; (4) y = cot 4x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 44. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số: (1) y = cos 2x , (2) y = sin x ;
(3) y = tan 2x ; (4) y = cot 4x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . x 3x
Câu 45. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm chu kì của hàm số f ( x) = sin  2 cos . 2 2  A. 5 . B. . C. 4 . D. 2 2
Câu 46. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?   
A. y = cos x   
B. y = sin x
C. y = 1- sin x
D. y = sin x  cos x  3 
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 47. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Chọn phát biểu đúng:
A. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số chẵn.
B. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số lẻ.
C. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số chẵn
D. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số lẻ.
Câu 48. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Câu 49. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = cot 4x .
B. y = tan 6x .
C. y = sin 2x .
D. y = cos x .
Câu 50. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
Câu 51. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin 2016x  cos 2017x .
B. y = 2016 cos x  2017 sin x .
C. y = cot 2015x - 2016 sin x .
D. y = tan 2016x  cot 2017x .
Câu 52. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Đồ thị hàm số nào sau đây không có trục đối xứng? 1  khi x  0
A. y = f ( x) =  .
B. y = f ( x) 2 = tan 3x .
cos x khi x  0 
C. y = f ( x) = cos 3x .
D. y = f ( x) 2
= x  5x - 2 .
Câu 53. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = -2 cos x .
B. y = -2 sin x .
C. y = 2sin (-x) .
D. y = sin x - cos x . sin 2x
Câu 54. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y =
thì y = f ( x) là 2 cos x - 3 A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ.      
Câu 55. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f ( x) = cos 2x   sin 2x -   
 , ta được y = f ( x) là:  4   4  A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ. 1
Câu 56. Cho hai hàm số f ( x) 2 =
 3sin x và g ( x) = sin 1- x . Kết luận nào sau đây đúng về tính x - 3
chẵn lẻ của hai hàm số này?
A. Hai hàm số f ( x); g ( x) là hai hàm số lẻ.
B. Hàm số f ( x) là hàm số chẵn; hàm số f ( x) là hàm số lẻ.
C. Hàm số f ( x) là hàm số lẻ; hàm số g ( x) là hàm số không chẵn không lẻ.
D. Cả hai hàm số f ( x); g ( x) đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 57. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f ( x) 2007 = sin
x  cos nx , với n   . Hàm số y = f ( x) là: A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ. 2004 sin n x  2004
Câu 58. Cho hàm số f ( x) =
, với n   . Xét các biểu thức sau: cos x
1, Hàm số đã cho xác định trên D =  .
2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.
3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 59. Cho hàm số f ( x) = x sin .
x Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho có tập xác định D =  \   0 .
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.
D. Hàm số có tập giá trị là  1 - 1 ; .  
Câu 60. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x) = 3msin4x  cos 2x là hàm chẵn. A. m  0. B. m  1 - . C. m = 0. D. m = 2.
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Câu 61. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Hàm số y = sin x đồng biến
trên mỗi khoảng nào dưới đây.       3  A. -  k 2 ;  k 2   , k   . B. k 2 ;  k 2   , k   .  2 2   2 2  C. ( 
-  k 2 ; k 2 ) , k   .
D. (k 2 ;  k 2 ) , k   .
Câu 62. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào sau đây sai?      
A. y = tan x nghịch biến trong 0;   .
B. y = cos x đồng biến trong - ; 0   .  2   2       
C. y = sin x đồng biến trong - ; 0   .
D. y = cot x nghịch biến trong 0;   .  2   2 
Câu 63. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T =  .   
B. Hàm số y = sin x đồng biến trên 0;   .  2 
C. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
D. Đồ thị hàm số y = sin x có tiệm cận ngang.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 64. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây?  5 7   9 11   7   7 9  A. ;   . B. ;   . C. ;3   . D. ;   .  4 4   4 4   4   4 4 
Câu 65. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T =  .   
B. Hàm số y = sin x đồng biến trên 0;   .  2 
C. Hàm số y = sin x là hàm chẵn.
D. Đồ thị hàm số y = sin x có tiệm cận ngang.
Câu 66. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y = cot x đồng biến trên khoảng (0;  ) .
B. Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng ( ; 2 ) .    
C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng - ;   .  2 2   3 5 
D. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ;   .  2 2 
Câu 67. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì  .   
C. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng 0;   .  2 
D. Hàm số y = cot x nghịch biến trên  .
Câu 68. Xét hàm số y = sin x trên đoạn - ;  0 . 
 Khẳng định nào sau đây là đúng?      
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng --   và - ;0 .   2   2        
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng -- 
 ; nghịch biến trên khoảng - ;0 .   2   2        
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng -- 
 ; đồng biến trên khoảng - ;0 .   2   2        
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng --   và - ;0 .   2   2  
Câu 69. Xét hàm số y = cos x trên đoạn -;  
 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-0) và (0;).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-0) và nghịch biến trên khoảng (0;).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-0) và đồng biến trên khoảng (0;).
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (-0) và (0;).
Câu 70. Xét sự biến thiên của hàm số y = tan 2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?       
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng    và ; .   4   4 2         
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  
 và nghịch biến trên khoảng ; .   4   4 2     
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0; .   2         
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  
 và đồng biến trên khoảng ; .   4   4 2  
Câu 71. Xét sự biến thiên của hàm số y =1- sin x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?   
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng - ;0 .   2     
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; .   2     
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; .   2      
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  .   2 2  
Câu 72. Xét sự biến thiên của hàm số y = sin x - cos .
x Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?   3 
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng - ; .   4 4    3  
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; .   4 4  
C. Hàm số đã cho có tập giá trị là -1; 1.      
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng - ; .   4 4  
Câu 73. Chọn câu đúng?
A. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng.
B. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng (  k ;
 2  k 2), k  . 
D. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng (k  ;
   k 2), k  . 
Câu 74. Xét hai mệnh đề sau:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  3  1 (I) x   ;    : Hàm số y = giảm.  2  s inx  3  1 (II) x   ;    : Hàm số y = giảm.  2  cos x
Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là: A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả 2 sai. D. Cả 2 đúng.
Câu 75. Khẳng định nào sau đây là đúng?   
A. y = tan x đồng biến trong - ;  . 2 2    
B. y = tanx là hàm số chẵn trên D = R \   k | k  Z .  2 
C. y = tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.    
D. y = tanx luôn nghịch biến trong - ;  .  2 2 
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos
Câu 76. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin x  1 là 1 A. 1 - . B. 1. C. - . D. 3 . 2
Câu 77. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là: A. -2;2. B. 0;2. C.  1 -  ;1 . D. 0  ;1 .
Câu 78. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Tập giá trị của hàm số y = cos x là? A.  . B. ( ; - 0 . C. 0; ) . D.  1 -  ;1 .
Câu 79. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = 2 - sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. M = 1 ; m = 1 - .
B. M = 2 ; m = 1.
C. M = 3 ; m = 0 .
D. M = 3 ; m = 1.
Câu 80. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 3sin 2x - 5 lần lượt là: A. 3 ; -5 . B. -2 ; -8 . C. 2 ; -5 . D. 8 ; 2 .  5 7 
Câu 81. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Khi x thay đổi trong khoảng ; 
 thì y = sin x  4 4 
lấy mọi giá trị thuộc  2   2   2  A. -1; -  . B. - ; 0 C.  1 -  ;1 . D.  ;1 . 2    2   2  
Câu 82. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập giá trị của hàm số y = 3 sin x - cos x - 2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A.  2 - ; 3 .
B. - 3 - 3; 3 -1 . C.  4 - ;0 . D.  2 - ;0    
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 3 y = 2  sin x . Câu 83. A. m = 0 . B. m = 1. C. m = 1 - . D. m = 2 .
Câu 84. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( - x)2018 3 5sin
là M , m . Khi đó giá trị M m là A. 2018 ( 4036 2 1 2 ) . B. 2018 2 . C. 4036 2 . D. 6054 2 .
Câu 85. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số   2  y = 3sin x   4   bằng.  12  A. 7 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Câu 86. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau: ( )
1 : Hàm số y = sin x có tập xác định là .
(2) : Hàm số y = cos x có tập xác định là .
(3) : Hàm số y = tan x có tập giá trị là .
(4) : Hàm số y = cot x có tập xác định là .
Tìm số phát biểu đúng. A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1.
Câu 87. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tập giá trị của hàm số
y = sin 2x  3 cos 2x 1 là đoạn  ;
a b. Tính tổng T = a  . b A. T = 1. B. T = 2. C. T = 0. D. T = -1.
Câu 88. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = 2 cos x - sin 2x  5 A. 2 . B. - 2 . C. 6 - 2 . D. 6  2 . Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ
Câu 89. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = cos x  sin x 1 bằng 11 9 A. 2 . B. . C. 1. D. . 4 4
Câu 90. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = cos 2x  cos .
x Khi đó M m bằng bao nhiêu? 7 8 9 9
A. M m = .
B. M m = .
C. M m = .
D. M m = . 8 7 8 7
Câu 91. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = sin x - sin x  2 . 7 7 A. min y = ; max y = 4 . B. min y = ; max y = 2 . 4 4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1
C. min y = -1; max y = 1. D. min y = ; max y = 2 . 2
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số   
Câu 92. Hàm số y = 2 cos x  sin x  
 đạt giá trị lớn nhất là  4  A. 5  2 2 . B. 5 - 2 2 . C. 5 - 2 2 . D. 5  2 2 . 1 1
Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 y = 1 os c x  5  2sin x 2 2 5 22 11 A. 1 . B. . C. . D. 1 5 . 2 2 2 1 1   
Câu 94. Cho hàm số y =  với x  0; 
 . Kết luận nào sau đây là đúng? 2 - cos x 1 cos x  2  4  2  A. min y = khi x =
k , k   T B. min y = khi x =    3 3    3 3 0;   0;    2   2  2  4  C. min y = khi x =
k 2 , k   D. min y = khi x = .    3 3    3 3 0;   0;    2   2 
Câu 95. Giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 2 2 y =
cos x  7 sin x  sin x  7 cos x là A. 1 7 B. 1 -  7 C. 4 D. 14
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác
Câu 96. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Đường cong trong hình dưới
đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A , B , C , D . Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = 1 - sin x
B. y = cos x
C. y = sin x
D. y = 1  sin x
Câu 97. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho hàm số f ( x) = sin x  cos x có đồ thị (C ) .
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị không thể thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C ) ?   
A. y = sin x - cos x . B. y =
2 sin x  2 . C. y = - sin x - cos x . D. y = sin x    .  4 
Câu 98. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho các mệnh đề sau sin x
(I ) Hàm số f ( x) = là hàm số chẵn. 2 x 1
( II ) Hàm số f ( x) = 3sin x  4cos x có giá trị lớn nhất là 5 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
( III ) Hàm số f ( x) = tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
( IV ) Hàm số f ( x) = cos x đồng biến trên khoảng (0;  ) .
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 99. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Đường cong trong hình vẽ bên dưới
là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = cos x 1 .
B. y = 2 - sin x .
C. y = 2 cos x .D. 2
y = cos x 1 .
Câu 100. Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y = f (x) = 2sin 2x? A. B. C. D. Lời giải x
Câu 101. Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số y = cos ? 2 A. B. C. D.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Lời giải
Câu 102. Cho đồ thị hàm số y = cos x như hình vẽ :
Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số y = cos x  2? A. . B. . C. . D. .
Câu 103. Cho đồ thị hàm số y = sin x như hình vẽ:
Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y = sin x ? A. . B. . C. . D. .
Câu 104. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y = sin x ?
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. . B. . C. . D. .
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác Câu 1. Chọn B
Điều kiện xác định: cos x  0  x   k 2  
Vậy tập xác định: D = R\   k , k Z  .  2  Câu 2. Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1- cos x  0  cos x  1  x k 2 với k   . Câu 3. Chọn C
Hàm số xác định khi: sin x  0  x k .
Vậy D = R\k , k ZCâu 4.
sin x  0  x k (k  ) . Câu 5.
Hàm số y = cot x xác định khi sin x  0  x k , k  nên có tập xác định là  \ k , k    .
Hàm số y = sin x xác định với mọi x nên tập xác định là  .
Hàm số y = cos x xác định với mọi x nên tập xác định là  . 
Hàm số y = tan x x   x
kk   xác định khi cos 0 , nên tập xác định là 2  
 \   k ,k  .  2  Câu 6. Chọn D Ta có 1 -  s inx  1, x
  . Do đó s inx - 2  0, x
   . Vậy tập xác định D =  Câu 7. Chọn C si  n x  0 x k
Điều kiện xác định của hàm số là   
(k,l )  x k ,k . cos x  1  x l2  cot x
Vậy, tập xác định của hàm số y =
là  \ k , k   . cos x -1 Câu 8. Chọn C.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
+)Điều kiện: sin x  0  x k , k , suy ra tập xác định của hàm số y = cot x là
D =  \ k , k   . Câu 9. Chọn B y =
2  2 cos x được xác định  2  2 cos x  0  cos x  1 - (luôn đúng với x   ).
Vậy tập xác định của hàm số y =
2  2 cos x là . 
Câu 10. Điều kiện sin x - cos x  0  tan x  1  x   k 4
Câu 11. Chọn B   
Điều kiện xác định của hàm số: cos 2x  0  2x
k  x   k , k   . 2 4 2   
Vậy tập xác định của hàm số là D =  \   k , k   .  4 2 
Câu 12. Chọn D 1cos x
Điều kiện xác định của hàm số y  là sin x 1  
sin x -1  0  sin x  1  x
k 2 (k  ) . 2  
Vậy tập xác định của hàm số là  \   k 2  .  2 
Câu 13. Chọn D   x k sin  2x  0   2  Hàm số xác định khi     x k (k  )  cos x  0  2 
x   k   2
Câu 14. Hàm số y = 2 sin x có tập xác định là  .
Câu 15. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi    
sin x - cos x  0  sin x -  0  x
k , (k    ) .  4  4      2x   kx   k cos 2x  0   2   4 2
Câu 16. Hàm số xác định khi      , k   cos x  0     x   k x   k   2   2    
Vậy tập xác định là: D =  \   k ;  k , k   .  4 2 2 
Câu 17. Các mệnh đề đúng là:
(1) Hàm số y = sin x có tập xác định là  .
(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là  .  
(3) Hàm số y = tan x có tập xác định là D =  \   kk   .  2 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 18. Hàm số y = - tan x xác định khi: x
k , k   . 2  
Vậy tập xác định của hàm số là: D =  \   k , k   .  2  
Câu 19. Hàm số xác định khi cos x  0  x
k , k . 2 1  - sin x  0
Câu 20. Ta có: -1  sin x  1   . 1 sin x  0  
Hàm số xác định khi 1 sin x  0  sin x  -1  x  -
k 2 , k   . 2   
Vậy tập xác định của hàm số là: D =  \ -
k 2 ; k   .  2  sin  x  0 
Câu 21. Điều kiện:   x k , k   . cos x  0  2 k
Câu 22. Hàm số y = cot 2x xác định khi 2x k  x  . 2
Câu 23. Đk: cos x 1  0  cos x  1
-  x    k 2 ,(k  )
TXĐ: D =  \   k2 , k    
Câu 24. Hàm số đã cho xác định  sin 2x  0  2x k  x k (k  ) . 2   
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D =  \ k , k   .  2         
Câu 25. Hàm số y = tan 2x - 
 xác định khi và chỉ khi cos 2x -  0  2x -   k   .  4   4  4 2 3 k Suy ra x   . 8 2 3 k 
Vậy tập xác định của hàm số là D =  \   , k   .  8 2    tan x cos x  0 x   k
Câu 26. Hàm số y = xác định khi:    2 , k . cos x -1 cos x -1  0  x k2   
Vậy tập xác định là: D =  \   k ; k2 , k  .  2 
Câu 27. Hàm số xác định:       cos cos x  0    cos x
k  cos x  1 2k  cos x  1   sin x  0  2  2 2
x k (k  ) .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   
Câu 28. Hàm số y = tan 2x  
 xác định khi và chỉ khi  3         cos 2x   0    2x  
k  x   k (k ) .  3  3 2 12 2 tan x -1   
Câu 29. Hàm số y =  cos x    xác định khi: sin x  3  sin  x  0 k 
 sin 2x  0  2x k  x  , (k  ) . cos x  0 2    x   m cos x  0   2
Câu 30. Điều kiện    , , m n   . tan x -1  0   x   n   4   
Vậy Tập xác định D =  \   m ;
n ; m, n  .  2 4  cos x  0 
Câu 31. Điều kiện xác định:
 sin 2x  0  x k (k ) . sin x  0 2  Câu 32. Đáp án A.      
Hàm số đã cho xác định khi cos 3 . x cos x - .cos x   0      3   3    k   k
cos 3x  0  x   x   6 3  6 3         5 cos x 0 x k   -   -     x   k ,  k Z    3 3 2    6          cos 0  x   k x x k            6   3  3 2
Câu 33. Đáp án B. 2 5sin 2x  3 cos x  5
Hàm số f ( x) =  xác định khi 12sin x cos x   si  n x  0 x   kk    2
; k Z x  , k Z . cos x  0 2  x k 
Câu 34. Đáp án A.   x  -  k 2 1   6
ĐK: 2sin x  1 = 0  sin x  -   . 2 7 x   k 2   6   7 
Tập xác định D = \ -  k2 ; 
k 2 | k Z  .  6 6 
Câu 35. Đáp án A.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Ta có 1
-  cos 2x  1 nên 5 - 3cos 2x  0,x .   
Mặt khác 1  sin 2x -  0   .  2    
Hàm số đã cho xác định  1  sin 2x -  0    2       A.  sin 2x -  1 -  2x -  -
k 2  x k ,  k Z.    2  2 2
Tập xác định D = \ k ,
k Z .
Câu 36. Đáp án B. 1  cos x Vì 1
-  cos x  1 nên 1  cos x  0 và 1 - cos x  0   0 . 1 - cos x       sin  x   0   x   k Hàm số xác định    6    6 , k Z . 1  - cos x  0 x k2     
Tập xác định của hàm số là \ -  k ,
k 2 | k Z  .  6 
Câu 37. Đáp án A. Vì 1
-  sin x  1 neen 2  sin x  0, x   . 2  sin x  0   x    k  tan x  1    4 Hàm số xác định 2
 tan x -1  0     , k Z . cos x  0    cos x  0
x   k    2    
Vậy D = \   k ,   k ,
k Z  .  4 2 
Câu 38. Đáp án D. 2 cot x  1  0     
Hàm số xác định khi cos  2x  0    3   si  n x  0          2x   k x   k   3 2   12 2 , k Z . x k   x k      
Vậy tập xác định của hàm số là D = \   k , k ,
k Z  . 12  2 
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Câu 39. Chọn C
Hàm số y = tan x , y = cot x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T =  . 2
Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = =  . 2
Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2
Câu 40. Chu kì của hàm số T = = 4 . 1 2
Câu 41. Hàm số y = s inx tuần hoàn có chu kỳ là 2 .  
Câu 42. Ta có hàm số y = tan x có tập xác định là  \   k , k   và hàm số y = cot x có tập xác  2 
định là  \ k , k  
 nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu.
Xét hàm số y = sin 2x : Ta có sin 2 ( x k ) = sin (2x k 2 ) = sin 2x , x   , k   .
Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 nên không thỏa yêu cầu.
Câu 43. Do hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 nên hàm số (1) y = cos 2x tuần hoàn chu kỳ  .
Hàm số (2) y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2 . 
Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kỳ nên hàm số (3) y = tan 2x tuần hoàn chu kỳ . 2 
Do hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số (4) y = cot 4x tuần hoàn chu kỳ . 4
Câu 44. Do hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 nên hàm số (1) y = cos 2x tuần hoàn chu kỳ  .
Hàm số (2) y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2 . 
Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kỳ nên hàm số (3) y = tan 2x tuần hoàn chu kỳ . 2 
Do hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số (4) y = cot 4x tuần hoàn chu kỳ . 4 x 2 3x 2 4
Câu 45. Chu kỳ của sin là T = = 4 và Chu kỳ của cos là T = = 2 1 1 2 2 3 3 2 2
Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T và T vừa tìm được ở trên. 1 2
Chu kì của hàm ban đầu T = 4
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
Câu 46. Chọn B
TXĐ: D =  , x
    -x  
Và y(-x) = sin(-x) = - sin x = sin x = y(x)
Vậy hàm số trên là hàm số chẵn
Câu 47. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn, hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x là các hàm số lẻ.
Câu 48. Ta có các kết quả sau:
+ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
+ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Câu 49. Xét hàm y = cos x . TXĐ: D =  . Khi đó x
  D  -x D .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có f (-x) = cos(-x) = cos x = f ( x) .
Vậy y = cos x là hàm số chẵn.
Câu 50. B sai vì hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
Câu 51. Xét hàm số y = f ( x) = sin 2016x  cos 2017x . Tập xác định. D =  .
Với mọi x D , ta có -x D .
Ta có f (-x) = sin 2016 - x  cos ( 2017 -
x) = sin 2016x  cos 2017x = f ( x) .
Vậy f ( x) là hàm số chẵn.
Câu 52. Các hàm số y = f ( x) 2
= tan 3x ; y = f ( x) = cos 3x thỏa mãn điều kiện f (-x) = f ( x), x   
nên nó là các hàm số chẵn trên các tập số thực. Do đó, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 5
Hàm số y = f ( x) 2
= x  5x - 2 có trục đối xứng là x = - . 2 1  khi x  0
Vậy đồ thị hàm số y = f ( x) = 
không có trục đối xứng.
cos x khi x  0 
Câu 53. Chọn A.
Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.
Xét A: Do tập xác định D =  nên x
    -x   .
Ta có f (-x) = 2 - cos (-x) = 2
- cos x = f ( x) . Vậy hàm số y = -2 cos x là hàm số chẵn.
Câu 54. Chọn B.
Tập xác định D =  . Ta có x
  D  -x D sin (-2x) - sin 2x f (-x) = =
= - f ( x) . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. 2 cos (-x) - 3 2 cos x - 3
Câu 55. Chọn D.       1 1
Ta có y = cos 2x   sin 2x - =    
(cos 2x - sin 2x) 
(sin 2x - cos 2x) = 0 .  4   4  2 2
Ta có tập xác định D =  .
Hàm số y = 0 vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên
đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 56. Chọn D. 1
a, Xét hàm số f ( x) 2 =
 3sin x có tập xác định là D =  \   3 . x - 3 Ta có x = 3
-  D nhưng -x = 3 D nên D không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số
f ( x) không chẵn không lẻ.
b, Xét hàm số g ( x) = sin 1- x có tập xác định là D = 1;  . Dễ thấy D không phải là tập 2  ) 2
đối xứng nên ta kết luận hàm số g ( x) không chẵn không lẻ. Vậy chọn D.
Câu 57. Chọn C.
Hàm số có tập xác định D =  . Ta có f (-x) 2007 = (-x)  (-nx) 2007 sin cos = - sin
x  cos nx   f ( x) .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
Câu 58. Chọn B.
Hàm số đã xác định khi cos x  0  x   k ,  k  .  Vậy phát biểu 1 sai. 2
Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn
lẻ của hàm số đã cho.   
Ta có tập xác định của hàm số trên là D =  \   k k  là tập đối xứng. 2   2004n (- ) 2004 sin  2004 sin n x x  2004 f (-x) = = = f ( x). cos (-x) cos x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát
biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B. Câu 59. Chọn B.
Hàm số đã cho xác định trên tập D =  nên ta loại A.
Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
f (-x) = -x sin (-x) = - x sin x = - f ( x). Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 60. Chọn C. Cách 1: TXĐ: D = .  Suy ra x
  D  -x D.
Ta có f (-x) = 3msin4(-x)  cos 2(-x) = 3
- msin4x  cos 2 . x
Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì
f (-x) = f ( x),x D  3
- msin4x  cos 2x = 3msin4x  cos 2x,x D
 4msin 4x = 0,x D m = 0.
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác   3  Câu 61. k 2 ;  k 2 
 , k   .  2 2    
Câu 62. Trên khoảng 0; 
 thì hàm số y = tan x đồng biến.  2 
Câu 63. Mệnh đề A sai vì hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2 .
Mệnh đề C sai vì hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
Mệnh đề D sai vì hàm số y = sin x không có tiệm cận ngang.   -  
Mệnh đề B đúng vì hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng  k 2 ;  k 2   .  2 2 
Câu 64. Dựa vào định nghĩa đường tròn lượng giác ta thấy hàm số lượng giác cơ bản y = sin x đồng biến
ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.  7 9  Dễ thấy khoảng ; 
 là phần thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến.  4 4 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   
Câu 65. Đáp án B đúng: Hàm số y = sin x đồng biến trên 0;   .  2 
Đáp án A sai do y = sin x tuần hoàn chu kì là T = 2 .
Đáp án C sai do y = sin x là hàm số lẻ.
Đáp án D sai do hàm số y = sin x không có tiệm cận ngang. Câu 66.  3 5 
Quan sát đường tròn lượng giác, ta thấy hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ;   .  2 2 
Câu 67. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì   đáp án A sai.
Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2  đáp án B sai.
Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng (k ;  k ) , k    đáp án D sai.
Câu 68. Chọn A.
Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y = sin x nghịch biến       trên khoảng -- 
 và đồng biến trên khoảng - ;0 .   2   2  
Câu 69. Chọn B.
Theo lý thuyết ta có hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-  k2 ;
k2),k  và
nghịch biến trên khoảng (k2 ;
   k2),k  .
 Từ đây ta có với k = 0 hàm số y = cosx đồng
biến trên khoảng (-0) và nghịch biến trên khoảng (0;).
Tiếp theo ta đến với hàm số y = tan x
n ;(n),... Ta có ví dụ 3.
Câu 70. Chọn A.    
Tập xác định của hàm số đã cho là D =  \   k |k . 4 2  
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Hàm số y = tan 2x , tuần hoàn với chu kì
dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính 2      
đơn điệu của hàm số trên 0; \    . 2 4    
Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y = tan x ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với       
hàm số y = tan 2x đồng biến trên khoảng    và ; .   4   4 2   Câu 71. Chọn D.
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến   3 
thiên của hàm số trên - ; .   2 2  
Ta có hàm số y = sin x :    
* Đồng biến trên khoảng - ; .   2 2      
* Nghịch biến trên khoảng ; .   2 2  
Từ đây suy ra hàm số y = 1- sin x :    
* Nghịch biến trên khoảng - ; .   2 2      
* Đồng biến trên khoảng ; .   Từ đây ta chọn D. 2 2  
Dưới đây là đồ thị của hàm số y =1- sin x và hàm số y = sin x trên .
Câu 72. Chọn B.   
Ta có y = sin x - cos x = 2 sin x - .    4 
Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là  2; 2  - .  
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn     - ; .   4 4   Ta có:    
* Hàm số đồng biến trên khoảng - ; .   4 4  
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489    
* Hàm số nghịch biến trên khoảng ; .   Từ đây ta chọn A. 4 4  
Câu 73. Chọn B.
Với A ta thấy hàm số y = tan x không xác định tại mọi điểm x   nên tồn tại các điểm làm
cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng.    
Với B ta thấy B đúng vì hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng -  k
k , k  .     2 2  Từ đây loại C và D.
Câu 74. Chọn B.  3 
Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy x  x  ;  1 2    2  1 1 s inx - s inx Lúc này ta có f (x - f x = - 1 2 2 ) ( 1 ) sinx2 sinx sinx sinx ` 1 2  3  Ta thấy x  x  ; 
thì sinx sinx sinx -sinx  0 1 2   1 2 1 2  2  sinx - sinx 0  sinx  sinx   0  f x  f x 1 1 2 1 2 ( . Vậy 1 ) ( 2 ) y = là hàm tăng. sinx .sinx s inx 1 2 1 Tương tự ta có y =
là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng. cos x
Câu 75. Chọn B.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   
Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số y = tanx nghịch biến trên - ;0   và đồng  2     biến trên 0; 
 . Nên ta loại A và D.  2 
Với B ta có f (-x) = tan (-x) = tan x = f (x)  hàm số y = tan x là hàm số chẵn.
Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B.
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos
Câu 76. Chọn D.
Vì sin x  1, x   nên y = 2 sin x 1  3 , x   . 
y = 3 khi sin x = 1  x =
k2 , (k ) . 2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin x  1 là 3 .
Câu 77. Ta có -1  sin 2x  1 , x   .
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là  1 -  ;1 . Câu 78. Với x
   , ta có cos x  1 -  ;1 .
Tập giá trị của hàm số y = cos x là  1 -  ;1 .
Câu 79. Ta có: -1  sin x  1, x   
Suy ra: 1  2 - sin x  3, x
   hay 1  y  3, x    .
Vậy M = 3 và m = 1.
Câu 80. Ta có -1  sin 2x  1  -8  3sin 2x - 5  -2  -8  y  2 - .
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là -2; - 8 .  5 3 
Câu 81.  Trong nửa khoảng ;  : 4 2    3 5 2
Hàm số y = sin x giảm nên sin  sin x  sin  1 -  sin x  - . 2 4 2 3 7   Trong nửa khoảng ;   :  2 4 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 7 2
Hàm số y = sin x tăng nên sin  sin x  sin  -1  sin x  - . 2 4 2  5 7   2 
 Vậy khi x thay đổi trong khoảng ; 
 thì y = sin x lấy mọi giá trị thuộc -1; -  .  4 4  2          
Câu 82. Xét y = 3 sin x - cos x - 2 = 2 sin . x cos - cos . x sin - 2   = 2 sin x - - 2    6 6   6        Ta có -1  sin x -  1    -4  2 sin x - - 2  0  
 -4  y  0 với mọi x    6   6 
Vậy tập giá trị của hàm số là  4 - ;0 . Ta có 3 1
-  sin x  1  1  2  sin x  3 . Câu 83.
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là: m = 1. 
Dấu “ = ” xảy ra khi sin x = 1 - hay x = -
k 2 , k   . 2
Câu 84. Vì -2  3 - 5sin x  8 nên suy ra  ( - x)2018 2018 6054 0 3 5sin  8 = 2 . Do đó m = 0 và 6054 M = 2 . Vậy 6054 M m = 2 .          Câu 85. Ta có 2 2 2 sin x   1  3sin x   3  3sin x   4  7       .  12   12   12 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 .
Câu 86. Dễ thấy các phát biểu ( ) 1 ; (2) ; (3) đúng. cos x
Xét (4) : y = cot x =
 ĐKXĐ: s inx  0  x k  D = \ k ; k   . sin x   
Câu 87. y = sin 2x  3 cos 2x 1 = 2 sin 2x  1    3        Do sin 2x     -1  ;1 nên 2 sin 2x  1   -1;  3 .  3   3       
Vậy -1  y  3 .( Ta thấy y = 1 - khi sin 2x  = -1  
, y = 3 khi sin 2x  = 1   ).sss  3   3     Câu 88. Ta có 2
y = 2 cos x - sin 2x  5 = cos 2x - sin 2x  6 = 2 cos 2x   6   .  4        Do - 2  2 cos 2x   2   nên - 2  6  2 cos 2x   6  2  6   .  4   4 
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = 2 cos x - sin 2x  5 là 6 - 2 . Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ Câu 89. 2 2
y = cos x  sin x 1 = - sin x  sin x  2 .
Đặt t = sin x, -1  t  1.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 y = t -
t  2 trên đoạn  1 -  ;1 . 2  1  1 9
Tung độ đỉnh của parabol y = -   2 =  
là giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt được  2  2 4 1 tại t = . 2
y  5  2 2  y = 5  2 2 . max
Câu 90. y = cos 2x  cos .
x TXĐ: D =  . 2
y = cos 2x  cos x = 2 cos  cos x -1.
Đặt: t = cos x , t  1 -  ;1 . f (t ) 2 = 2t t -1.  1 9 
Đồ thị của hàm số f là parabol có đỉnh I - ; -   .  4 8  BBT: 9
Dựa vào BBT ta có: M = max f (t ) = 2 , m = min f (t ) = - .  1 - ;  1  1 - ;  1 8 7 Vậy M m = . 8 Câu 91. Chọn A.
Đặt sin x = u; u  1 -  ;1 Xét hàm số: 2
y = u - u  2 trên  1 - ;  1 . -b 1 Ta có: = -1 
;1 . Từ đây có bảng biến thiên 2a 2 7
Ta kết luận: min f (u) =
và max y = 4  u = -1.  1 - ;  1 4 -1;  1 7 1 Hay min y =  sin x =
và max y = 4  sin x = -1. 4 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số
Câu 92. Chọn D   
Ta có y = 2 cos x  sin x  = 2 cos x  2  
(sin x  cos x) = (2  2)cos x  2 sin x .  4 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có y  = (  ) 2 x x      (  )2 ( )2 2  2 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2
. cos x  sin x = 5  2 2      Câu 93.
Đáp án B Chọn B. 1 1 1 5 1 Ta có 2 2 2 2 y = 1 o c s x
5  2sin x y = 1 o c s x   sin x 2 2 2 4 2 1 5 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 2 1 o c s x ; 2  sin x ta có: 2 4 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 2 2 2 2 2 2 1. 1 o c s x 1.  sin x  1 1 . 1 o c s x   sin x = 2.  = 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 22 Hay y  2 1 5 1  Dấu bằng xảy ra khi 2 2 1 os c x = 
sin x x = 
k , k   2 4 2 6
Câu 94. Chọn D.    1 1
Cách 1: Ta thấy 2 - cos x  0, x
  R và 1 cos x  0, x   0;   . Suy ra và  2  2 - cos x 1 cos x
là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có 1 1 2   2 - cos x 1 cos x
(2 - cos x)(1 cos x)
Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
2 - cos x 1 cos x 3
(2 - cos x)(1 cos x)  = 2 2 2 4  y  
(2 - cos x)(1 cos x) 3
Câu 95. Đáp án C. Ta có 2 y  ( 2 2  )( 2 2 2 2 1 1
cos x  7 sin x  sin x  7 cos x) 2
y  2(1 7) = 16  y  4 . Dấu bằng  k xảy ra khi x =  , k  .
 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4. 4 2
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác
Câu 96. Chọn B
+ Chọn x =  nhìn vào đồ thị ta được y = 1
- . Thay x =  vào lần lượt các phương án ta loại C và D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   + Chọn x =
nhìn vào đồ thị ta được y = 0 . Thay x =
vào phương án A ta nhận được y = 2 2 2
 loại A nên đáp án là B.
Câu 97. Ta có max (sin x  cos x) = 2 = M , min (sin x  cos x) = - 2 = m , M - m = 2 2 . Vì phép tịnh x x
tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chọn đáp án D
(chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 2 ). sin x
Câu 98. * Xét hàm số f ( x) = . 2 x 1
Tập xác định: D =  . sin (-x) - sin x x
  D , ta có: -x D và f (-x) = = = - f ( x) . ( 2 -x)2 1 x 1 sin x
Vậy hàm số f ( x) = là hàm số lẻ. 2 x 1 Do đó ( I ) sai.
* Xét hàm số f ( x) = 3sin x  4 cos x .
Tập xác định: D =  .  3 4 
Ta có: f ( x) = 3sin x  4 cos x = 5 sin x  cos x    5 5  3 4 Đặt sin  = , cos =
. Ta có f ( x) = 5sin ( x  )  5 5 5 
 max f ( x) = 5 khi sin ( x  ) = 1  x =
-   k 2 , (k  ) . 2
Vậy hàm số f ( x) = 3sin x  4 cos x có giá trị lớn nhất là 5 . Do đó ( II ) đúng.
* Xét hàm số f ( x) = tan x . Ta có hàm số f ( x) tuần hoàn với chu kì  . Do đó ( III ) sai.
* Xét hàm số f ( x) = cos x . Ta có f ( x) nghịch biến trên mỗi khoảng (k 2 ;   k 2 ) với k   . Do đó ( IV ) sai.
Vậy trong bốn mệnh đề đã cho có một mệnh đề đúng.
Câu 99. Do đồ thị đi qua ba điểm ( 
- ; 0) , (0; 2) , ( ;0) nên chọn phương án A Câu 100. Chọn C. Ta thấy 2
-  2sin 2x  2 nên ta có loại A và B.
Tiếp theo với C và D ta có: 2
Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì =  . 2
Ta thấy với x = 0 thì y = 0 nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án C. Câu 101.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Chọn D x Ta thấy -1  cos
 1 nên ta loại B. 2 x 2
Tiếp theo ta có hàm số y = cos
có chu kì tuần hoàn là T = = 4 . 2 1 2 x
Ta thấy với x = 0 thì y = cos
= cos 0 = 1 nên ta chọn D. 2
Câu 102. Chọn A
Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = cos x trên trục Oy lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ đồ
biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên).
Câu 103. Chọn C
Suy diễn đồ thị hàm số y = sin | x | từ đồ thị hàm số y = sin x :
Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = sin x nằm bên phải trục Oy.
Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy.
Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên. Phần đồ thị nét đứt là
phần bỏ đi của đồ thị hàm số y = sin . x
Câu 104. Chọn B.
Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số y |
= sin x | từ đồ thị hàm số y = sin x :
Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị y = sin . x
Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = sin x phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Cách 2: Ta thấy | sin x | 0, x
 nên đồ thị hàm số y |
= sin x | hoàn toàn nằm trên trục O . x Từ đây ta chọn B.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI 2 Mục lục
Dạng 1. Phương trình sinx=a ............................................................................................................................................ 1
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 1
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 3
Dạng 2. Phương trình cosx=a ........................................................................................................................................... 6
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 6
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 8
Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 10
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 10
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 11
Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 12
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 12
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 12
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 12
Dạng 1. Phương trình sinx=a .......................................................................................................................................... 15
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 15
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 15
Dạng 2. Phương trình cosx=a ......................................................................................................................................... 21
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 21
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 22
Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 24
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 24
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 25
Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 26
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 26
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 27
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 27
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 x Câu 1.
(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình sin  1 là 2 
A. x    k 4 , k   . B. x k2 , k   .
C. x    k2 , k   . D. x
k 2 , k   . 2    Câu 2.
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình sin x   1   có nghiệm là  3   5 5  A. x   k 2 . B. x   k . C. x   k 2 . D. x   2 . 3 6 6 3 Câu 3.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình sin 2x  1 .    k A. x   k 2 . B. x   k . C. x   k 2 . D. x  . 2 4 4 2 Câu 4.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 2 sin x  3  0 .   3  x  arcsin  k 2     2  A. x   . B.  k  .   3  x    arcsin  k 2      2    3  x  arcsin  k 2     2  C.  k  . D. x   .   3  x   arcsin  k 2      2  Câu 5.
(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình sin x  1 có một nghiệm là    A. x   . B. x   . C. x  . D. x  . 2 2 3 3 Câu 6.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x  có nghiệm là: 2    x   k x   k 2   6 3 A. x    k 2 . B. x   k . C.  . D.  . 3 3  5  2 x   kx   k 2  6  3 Câu 7.
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình
sin x  sin 30 là
A. S  30  k2 | k  
  150  k2 | k    . B. S   3
 0  k 2 | k    . C. S   3
 0  k360 | k    .
D. S  30  360 | k  
  150  360 | k    . Câu 8.
(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình sin x  1 là     A. 
k , k   . B.
k , k   . C. 
k 2 , k   . D.
k 2 , k   . 2 2 2 2    Câu 9.
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x   1   .  6 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   A. x
k k   . B. x  
k 2 k   . 3 6  5 C. x
k 2 k   . D. x
k 2 k   . 3 6
Câu 10. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình
2 sin x 1  0 có tập nghiệm là:  5   2 
A. S    k2 ;
k 2 , k  .
B. S    k2 ; 
k 2 , k  .  6 6   3 3     1 
C. S    k2 ;   k2 , k  .
D. S    k2 , k  .  6 6   2 
Câu 11. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương
trình 2sin x 1  0 có nghiệm là:     x    k 2  x    k 2 6  6 A.  B.  7  7 x    k 2 x   k 2  6  6     x   k 2  x   k 6  6 C.  D.  5  7 x   k 2 x    k  6  6
Câu 12. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình
2sin x  3  0 có tập nghiệm là:       A. 
k 2 , k    . B. 
k 2 , k    .  6   3   5   2  C.   k 2 ,
k 2 , k    . D.   k 2 ,
k 2 , k    .  6 6   3 3 
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm
biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm M, N ? A. 2sin2x  1. B. 2cos2x  1. C. 2sin x  1. D. 2cosx  1.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     3 
Câu 14. Cho phương trình sin 2x   sin x    
 . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;  của  4   4  phương trình trên. 7 3  A. . B.  . C. . D. . 2 2 4
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2
3sin 2x m  5  0 có nghiệm? A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 3sin x m 1  0 có nghiệm? A. 7 B. 6 C. 3 D. 5
Câu 17. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos 2x  0 trên 0; 2 . A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 .   3 
Câu 18. Phương trình sin 3  x        
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0  ;  ?  3  2  2 A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 .
Câu 19. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình
2sin x  3  0 trên đoạn đoạn 0;2 . A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 20. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình 2 sin x 1  0  3  trên đoạn  ;10  là: 2    A. 12 . B. 11. C. 20 . D. 21 .     3 
Câu 21. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2x   sin x      có tổng các  4   4 
nghiệm thuộc khoảng 0;  bằng 7 3  A. . B.  . C. . D. . 2 2 4
Câu 22. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình 1     sin x  trên đoạn  ; . 2  2 2    5    A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 6 3 2 6
Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình    3    sin 3x     
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0;   ?  3  2  2  A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 .
Câu 24. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình 2 sin x  3  0 .
Tổng các nghiệm thuộc 0;  của phương trình là:  2 4 A.  . B. . C. . D. . 3 3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3
Câu 25. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2x   có hai 2    
công thức nghiệm dạng   k ,   k k   với  ,  thuộc khoảng  ;   . Khi đó,  2 2     bằng    A. . B.  . C.  . D.  . 2 2 3 1
Câu 26. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x  2     trên đoạn  ;  . 2 2    5    A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 6 3 2 6
Câu 27. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
2 sin x 1  0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. Điểm D , điểm C .
B. Điểm E , điểm F .
C. Điểm C , điểm F .
D. Điểm E , điểm D .   
Câu 28. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình sin x   1    4 
thuộc đoạn  ; 2  là: A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 29. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình 2 sin x  1  0 có bao nhiêu nghiệm x  0; 2  ? A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. Vô số nghiệm.
Câu 30. (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình sin 5x  sin x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  2018   ; 2018  ? A. 20179 . B. 20181. C. 16144 . D. 16145 .  5
Câu 31. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn 0;   2   
của phương trình 2sin x 1   0 là: A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 .
Câu 32. (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình 2 sin x  3  0 . Tổng
các nghiệm thuộc 0;  của phương trình là:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 4  2 A. . B.  . C. . D. . 3 3 3
Câu 33. (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng S của các nghiệm của phương 1     trình sin x  trên đoạn  ; . 2  2 2       5 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 6 3 2 6
Câu 34. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình 2sin x 1  0  3  trên đoạn  ;10  là: 2    A. 12 . B. 11. C. 20 . D. 21 .   
Câu 35. (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình: 2 sin 2x   3  0    3 
có mấy nghiệm thuộc khoảng 0;3  . A. 8 . B. 6 . C. 2 . D. 4 .
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 36. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình    2 cos x     là:  4  2 x k 2 x k A.  
k Z  B.   (k Z ) x    k x    k  2  2 x k x k 2 C.   (k Z ) D.   (k Z ) x    k 2 x    k 2  2  2 1
Câu 37. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình cos x   2 là 2 A. x    k2 B. x    k C. x    k2 D. x  
k2 3 6 3 6
Câu 38. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình cos x  1. k A. x  , k   .
B. x k , k   . 2  C. x
k2 , k   . D. x k2 , k   . 2 
Câu 39. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình cos x  cos có tất 3 cả các nghiệm là:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2  A. x
k 2 k   B. x  
k k   3 3   C. x  
k 2 k   D. x
k 2 k   3 3
Câu 40. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos x  0 có nghiệm là:  A. x
k k    .
B. x k 2 k    . 2  C. x
k 2 k   .
D. x k k   . 2
Câu 41. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình    2 cos x     là  4  2 x k 2 x k A.   k  . B.   k  . x    k x    k  2  2 x k x k 2 C.   k  . D.   k  . x    k 2 x    k 2  2  2 x
Câu 42. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos  0. 3 
A. x k , k  .  B. x
k , k  .  2 3 3 C. x
k6 , k  .  D. x
k3 , k  .  2 2
Câu 43. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x 1  0 có nghiệm là:   A. x  
k 2 , k   . B. x  
k 2 , k   . 6 3   C. x  
 2 , k   . D. x  
k , k   . 6 3
Câu 44. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x  2  0 có tất cả các nghiệm là  3   x   k 2  x   k 2 4  4 A.  , k   . B.  , k   . 3   x    k 2
x    k2  4  4    7 x   k 2  x   k 2 4  4 C.  , k   . D.  , k   . 3  7 x   k 2 x    k 2  4  4
Câu 45. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình 2 cos x 1  0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   x   k 2   3 A. x    k ,  k   . B.  , k   . 3 2   x   k 2  3   x   k   3 C. x    k 2 ,  k   . D.  , k   . 3 2   x   k  3
Câu 46. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cos x  1 là:  A. x
k , k   . B. x k 2 , k   . 2
C. x    k 2 , k   . D. x k , k   . 2
Câu 47. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình cos x  
có tập nghiệm là 2       A. x  
k 2 ; k   . B. x  
k ; k   .  3   4   3     C. x  
k 2 ; k   . D. x  
k ; k   .  4   3 
Câu 48. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây
là khẳng định sai? 
A. cos x  1  x    k 2 .
B. cos x  0  x   k . 2 
C. cos x  1  x k 2 . D. cos x  0  x   k 2 . 2
Câu 49. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác:
2 cos x  2  0 có nghiệm là    3    7 x   k 2  x   k 2 x   k 2 x   k 2 4  4  4  4 A.  . B.  . C.  . D.  .   3 3 7 x    k 2 x    k 2 x   k 2 x    k 2  4  4  4  4
Câu 50. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Tìm công thức nghiệm của phương trình
2 cos  x     1 (với    ).   x      k 2    3 x      k 2 A.  k  . B.  3 k  . 2   x      k 2 x     k 2    3     x      k 2  x      k 2 3  3 C.  k  D.  k  .    x     k 2 x      k 2  3  3
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 51. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình cos x m  0 vô nghiệm.
A. m  ;   1  1; 
B. m  (; 1]  [1; )
C. m  1;  
D. m  (; 1)
Câu 52. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng      ;   của phương trình 2
4 sin 2x 1  0 bằng:  2 2    A. . B. . C. 0 . D. . 3 6
Câu 53. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình    2cos x   1  
có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là  3  A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 1
Câu 54. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình cos 2x   có 2   dạng x
k và x  
k , k   ; với ,
m n là các số nguyên dương. Khi đó m n bằng m n A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.   
Câu 55. Phương trình 2cos x   1  
có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là  3  A. 1 B. 2 C. 0 D. 3   
Câu 56. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cot x   3    3   kk có dạng x   
, k   , m , * n   và
là phân số tối giản. Khi đó m n bằng m n n A. 5 . B. 3 . C. 5 . D. 3 .
Câu 57. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình 2 cos 2x 1  0 trong đoạn 0;  là: 11 2 5 A. x   . B. x  . C. x  . D. x  . 12 3 6 1
Câu 58. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình cos 3x 1  0 (1); cos 2x   (2). Tập các 2
nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là  A. x
k 2 , k   . B. x k 2 , k   . 3  2 C. x  
k 2 , k   D. x  
k 2 , k   . 3 3
Câu 59. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một 1
góc là nghiệm của phương trình cos 2x   . 2  2   
     2    A.  , ,  . B.  , ,  ;  , ,  .  3 6 6   3 3 3   3 6 6 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
           
C.  , ,  ;  , ,  . D.  , ,  .  3 3 3   4 4 2   3 3 3 
Câu 60. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình  5 
2 cos x  3 trên đoạn 0;  là 2    A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3. 1
Câu 61. (CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình cos x  thuộc đoạn  2   ; 2  là? 2 A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Câu 62. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình cos 2x  cos x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng    ;  ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .
Câu 63. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2x  cos x  0
trên khoảng 0; 2  bằng T . Khi đó T có giá trị là: 7 4 A. T  . B. T  2 . C. T  . D. T   . 6 3
Câu 64. (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình  5 
2 cos x  3 trên đoạn 0;  là 2    A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3.
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 65. (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan x m , m   .
A. x  arctan m k hoặc x    arctan m k , k   .
B. x   arctan m k , k   .
C. x  arctan m k 2 , k   .
D. x  arctan m k , k   .
Câu 66. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình tan x  3 có tập nghiệm là      
A.   k 2 , k   . B.  .
C.   k , k   . D.   k , k   .  3   3   6 
Câu 67. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
tan 3x  tan x là kk A. x  , k  . 
B. x k , k   .
C. x k 2 , k  .  D. x  , k  .  2 6
Câu 68. Phương trình tan 3x 15  3 có các nghiệm là:
A. x  60  k180 .
B. x  75  k180 .
C. x  75  k 60 .
D. x  25  k 60 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 69. Phương trình lượng giác: 3. tan x  3  0 có nghiệm là:     A. x   k . B. x    k 2 . C. x   k . D. x    k . 3 3 6 3
Câu 70. Giải phương trình: 2
tan x  3 có nghiệm là:    A. x   k . B. x    k . C. x    k . D. vô nghiệm. 3 3 3
Câu 71. Nghiệm của phương trình 3  3 tan x  0 là:     A. x    k . B. x   k . C. x   k . D. x   k 2 . 6 2 3 2
Câu 72. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình 3 tan 2x  3  0 .    A. x
k k   . B. x   k
k   . 6 3 2    C. x
k k   . D. x   kk   . 3 6 2
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 73. Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình: tan x  tan 3x (1) 171 190 A. 55. B. . C. 45. D. . 2 2
Câu 74. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ nhất?   
A. tan 2x  1 . B. tan x
 3 . C. cot x  0 .
D. cot x   3 .    4 
Câu 75. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình  3 tan x
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? 3 y B D C A' O A x E F B'
A. Điểm F , điểm D .
B. Điểm C , điểm F .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
C. Điểm C , điểm D , điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm F . 3   
Câu 76. Số nghiệm của phương trình tan x  tan trên khoảng ; 2   là? 11  4  A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 77. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x  tan x  0 trên nửa khoảng 0;  bằng: 5 3 A. . B.  . C. . D. 2 . 2 2
Câu 78. Tính tổng các nghiệm của phương trình  0
tan 2x 15  1 trên khoảng  0 0 9  0 ;90  bằng. A. 0 0 . B. 0 3  0 . C. 0 30 . D. 0 6  0 .
Dạng 4. Phương trình cotx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 79. Phương trình lượng giác 3cot x  3  0 có nghiệm là:    A. x   k 2 . B. Vô nghiệm. C. x   k . D. x   k . 3 6 3
Câu 80. (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Phương trình 2 cot x  3  0 cónghiệmlà   x   k 2  6  A. 
k Z  . B. x
k 2 k Z   3 x    k 2  6 3  C. x  arccot
k k Z  . D. x
k k Z  . 2 6
Câu 81. Giải phương trình cot 3x   1   3. 1 5  1   A. x    k
k Z . B. x    k
k Z . 3 18 3 3 18 3 5  1  C. x   k
k Z . D. x  
k k Z . 18 3 3 6
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 82. (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình     kk cot x   3   có dạng x   
, k   , m , * n   và
là phân số tối giản. Khi đó m n  3  m n n bằng A. 3 . B. 5 . C. 3  . D. 5  .
Câu 83. Hỏi trên đoạn 0; 2018  , phương trình 3 cot x  3  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 2018. B. 6340. C. 2017. D. 6339.
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 84. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Trong các phương trình sau,
phương trình nào vô nghiệm?   2 3 A. tan x  99 . B. cos2x     
. C. cot 2018x  2017 . D. sin 2x   .  2  3 4  2
Câu 85. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x   k
k   làm nghiệm 6 3    A. sin 3x  sin  2x . B. cos x  sin 2 . x    4  
C. cos 4x   cos 6 . x D. tan 2x   tan . 4
Câu 86. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình sin x  cos x có số nghiệm thuộc đoạn  ;   là: A. 3 B. 5 C. 2 D. 4
Câu 87. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Giải phương trình  x   x  2 cos 1 sin  2  0      2   2  2  A. x  
k 2 , k   B. x  
k 2 ,k   3 3  2 C. x  
k 4 ,k   D. x  
k 4 , k   3 3
Câu 88. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình 8.cos 2 . x sin 2 .
x cos 4x   2 có nghiệm là        x   kx   k 32 4  16 8 A.  k  . B.  k  . 5   3  x   kx   k  32 4  16 8       x   kx   k 8 8  32 4 C.  k  . D.  k  . 3   3  x   kx   k  8 8  32 4
Câu 89. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos 2x  0 trên 0; 2 . A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 .
Câu 90. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. tan x  3 . B. sin x  3  0 .
C. 3sin x  2  0 . D. 2
2 cos x  cos x 1  0 .
Câu 91. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng 0;  , phương trình cos 4x  sin x  0 có
tập nghiệm là S . Hãy xác định S .  2 3 7   3  A. S   ; ; ;  . B. S   ;  .  3 3 10 10   6 10 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   7   5 3 7  C. S   ; ;  . D. S   ; ; ;  .  6 10 10   6 6 10 10 
Câu 92. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Phương trình cos3 .
x tan 5x  sin 7 x nhận những giá trị sau của x làm nghiệm     A. x  .
B. x  10 ; x  .
C. x  5  x  .
D. x  5  x  2 10 10 20
Câu 93. (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2x  cos x có nghiệm là   k   kx    x   6 3  6 3 A.  k  . B.  k  .    x   k 2
x   k2  2  3     k 2 x   k 2  x   6  6 3 C.  k  . D.  k  .    x   k 2
x   k2  2  2
Câu 94. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Số nghiệm của phương trình 2
4  x sin 2x  0 là A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 .
Câu 95. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Phương trình
sin x  cos x có bao nhiêu nghiệm x  0;5  ? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 96. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Nghiệm của phương trình sin 3x  cos x là    
A. x k ; x k . B. x   k ; x   k . 2 8 2 4  
C. x k 2 ; x   k 2 .
D. x k ; x   k . 2 4
Câu 97. (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Phương trình sin 2x  cos x  0 có tổng các nghiệm
trong khoảng 0; 2  bằng A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 6 .
Câu 98. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Số nghiệm chung của hai phương trình 2
4 cos x  3  0 và   3 
2 sin x 1  0 trên khoảng  ;   bằng  2 2  A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1.
Câu 99. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin x sin 7x  sin 3x sin 5x . kkk
A. x k , k   . B. x  , k   . C. x  , k   . D. x  , k   . 6 4 2
Câu 100. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm số nghiệm của phương trình sin x  cos 2x thuộc đoạn0; 20 . A. 20 . B. 40 . C. 30 . D. 60 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm x xCâu 1.
Phương trình tương đương sin  1  
k 2  x    k 4 , k   2 2 2      5 Câu 2. sin x   1    x  
k 2  x
k 2 k   .  3  3 2 6   Câu 3.
Ta có: sin 2x  1  2x
k 2  x   k . 2 4 3 Câu 4.
Ta có: 2 sin x  3  0  sin x
 1 nên phương trình vô nghiệm. 2  Câu 5.
Ta có sin x  1  x
k 2 k   . 2  Do đó x
là một nghiệm của phương trình sin x  1. 2  x   k 2 3 3 Câu 6. Ta có sin x    , với k   .  2 2  x   k 2  3
x  30  k360
x  30  k360 Câu 7.
Ta có sin x  sin 30     k  .
x  180  30  k360 
x  150  k360   Câu 8.
Ta có sin x  1  x
k 2 , k   . 2       Câu 9. Ta có sin x   1    x  
k 2  x
k 2 k   .  6  6 2 3   x   k 2 1   6
Câu 10. Ta có: 2 sin x 1  0  sin x   sin x  sin   k . 2 6 5 x   k 2  6
Câu 11. Chọn B 1   
Ta có: 2 sin x 1  0  sin x    sin    2  6    x    k 2   6   k    7 x   k 2   6   x   k 2 3  3
Câu 12. 2 sin x  3  0  sin x    k  . 2 2  x   k 2  3  2 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S    k 2 ,
k 2 , k     3 3 
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1
Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm với 2
đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác 1 cơ bản: sin x
 2sin x  1 ⇒ Đáp án. C. 2
Câu 14. Chọn B   3 2x   x   k 2
x    k 2  3      4 4 Ta có: sin 2x sin x            
2  k   .  4   4   3 x   k
2x     x   k 2  6 3  4 4
+ Xét x    k 2 k  . 1
Do 0  x    0    k 2    
k  0 . Vì k   nên không có giá trị k . 2  2 + Xét x   kk  . 6 3  2 1 5
Do 0  x    0   k      k
. Vì k   nên có hai giá trị k là: k  0; k  1. 6 3 4 4 
 Với k  0  x  . 6 5
 Với k  1  x  . 6  5
Do đó trên khoảng 0;  phương trình đã cho có hai nghiệm x  và x  . 6 6  5
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng 0;  là:    . 6 6
Câu 15. Chọn B 2 m  5
Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2x  3 2 m  5  2  2  m   2 Vì sin 2x  1   ;1 nên  1   2
;1  m 2;8   3  2  m  2 2  Vậy có 2 giá trị.  m 1 m
Câu 16. 3sin x m 1  1 0  sin x
, để có nghiệm ta có 1
1  2  m  4 3 3
Nên có 7 giá trị nguyên từ 2; đến 4 .
Câu 17. Ta có sin cos2x  0  cos2x k k    
Vì cos2x  1  ; 
1  k  0  cos2x  0  2x
k   x   k k   . 1 1  1  2 4 2
x 0;2   k  0;1;2;3 . 1  
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên 0; 2 . 
3x     k2 3      3 3 Câu 18. Ta có sin 3  x      sin 3  x    sin       k     3  2  3   3 
3x     k2  3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  2 2 x    k  9 3   k  .  2   x   k  3 3 2 2    2 2  1 13 +) TH1: x    k  0;  0    k    k   
. Do k    k  1 . Suy 9 3  2  9 3 2 3 12 4
ra trường hợp này có nghiệm x  thỏa mãn. 9  2     2  1 1 +) TH2: x   k  0;  0   k     k   
. Do k    k  0 . Suy ra 3 3  2  3 3 2 2 4 
trường hợp này có nghiệm x  thỏa mãn. 3 
Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc khoảng 0  ;   .  2
Câu 19. Chọn D
Tự luận     x   k 2 x   k 2 3   3    3
2 sin x  3  0  sin x   sin x  sin     , k     2  3   2  x k 2     x   k 2  3    3  - Xét x   k 2 3   5 1 5
0  x  2  0 
k 2  2    k 2     k   k  0 3 3 3 6 6 
Chỉ có một nghiệm x  0; 2  3 2 - Xét x   k 2 3 2 2 4 1 2
0  x  2  0 
k 2  2    k 2     k   k  0 3 3 3 3 3 2
Chỉ có một nghiệm x  0; 2  3
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 .    x   k 2 1  6
Câu 20. Phương trình tương đương: sin x     , ( k   ) 2 7  x   k 2  6  3   + Với x  
k 2 , k   ta có   
k 2  10 , k   2 61   k  , k   6 2 6 3 12
 0  k  5 , k   . Do đó phương trình có 6 nghiệm. 7 3 7  + Với x
k 2 , k   ta có  
k 2  10 , k   4 53   k  , k   6 2 6 3 12
 1  k  4 , k   . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  7 2   k 2 
k2  k k 
(vô lí, do k , k   ). 6 6 3  3 
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn  ;10  . 2      3 2x   x   k 2
x    k 2     3   4 4
Câu 21. Ta có sin 2x   sin x          
2  k, l   .  4   4      x   l 2x    x l2   6 3  4 4
Họ nghiệm x    k 2 không có nghiệm nào thuộc khoảng 0;   .  2  2 x   l  0;   0   l
   l 0;  1 . 6 3 6 3  5
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng 0;   là x  và x
. Từ đó suy ra tổng các 6 6
nghiệm thuộc khoảng 0;   của phương trình này bằng  .   x   2k 1  6
Câu 22. Ta có: sin x    k   . 2 5 x   2k  6       Vì x   ;  nên x   S  . 2 2    6 6    3x     k 2    3  3 3
Câu 23. Ta có: sin 3x        k   3  2  4 3x    k 2  3 3  2 2  2 x    k 3x    k 2   9 3  3 k    k  .   2
3x    k 2   x   k  3 3     4 Vì x  0;   nên x  , x  .  2  3 9   
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng 0;   .  2    x   k 2 3   3
Câu 24. 2 sin x  3  0  sin x   sin   . 2 3 2 x   k 2  3  2  2
Các nghiệm của phương trình trong đoạn 0;  là ; nên có tổng là    . 3 3 3 3       2x    k 2 x    kx    k 3     3  6  6
Câu 25. Ta có: sin 2x    sin          . 2  3  4  2  2x   k 2 x   k
x    k  3  3  3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489    Vậy    và    . Khi đó      . 6 3 2   x   2k 1  6
Câu 26. Ta có: sin x    k   . 2 5 x   2k  6       Vì x   ;  nên x   S  . 2 2    6 6   x    k 2 1  6
Câu 27. Ta có 2 sin x 1  0  sin x     k   2 7  x   k 2  6  7
Với k  0  x   hoặc x  . 6 6  7
Điểm biểu diễn của x  
là F , điểm biểu diễn x  là E . 6 6      
Câu 28. Ta có sin x   1  x  
k 2  x   k 2   , k   .  4  4 2 4
Suy ra số nghiệm thuộc  ; 2  của phương trình là 1.   x   k 2 1  6
Câu 29. Ta có: 2 sin x  1  0  sin x   
k  . 2 5  x   k 2  6  5
Do x  0; 2  nên ta có x  ; x  . 6 6 Câu 30. Ta có   x k
5x x k 2  2
sin 5x  sin x  0  sin 5x  sin x    
5x    x k 2 (*)     x   k  6 3   x kk   2  5   x   m m  .  6    x   n n   6    2018  k  2018  2
4036  k  4036    5  12113 12103
Vì x 2018 ; 2018  nên 2018 
m  2018    m  . 6  6 6     12109 12107 2018   n  2018    n    6  6 6
Do đó có 8073 giá trị k , 4036 giá trị m , 4036 giá trị n , suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 . nghiệm.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 31. Chọn A
x   k2 1  6
+ Phương trình tương đương sin x   sin x  sin   , k  . 2 6  5x   k2  6 + Với x
k2, k  . 6  5 5 Vì x  0;          k  0;1  nên 0 k 2 , k   1 7 k , k    . 2    6 2 12 6
3   Suy ra: x   ;   .  6 6    5 + Với x
k2, k  . 6  5 5 5 Vì x  0;          k   nên 0 k 2 , k   5 5 k , k   0 . 2    6 2 12 6 5 Suy ra: x  . 6
53   Do đó x   ; ;   .  6 6 6   
Vậy số nghiệm của phương trình là 3 .
Câu 32. Chọn B   x   k 2 3   3
2 sin x  3  0  sin x   sin   . 2 3 2 x   k 2  3  2  2
Các nghiệm của phương trình trong đoạn 0;  là ; nên có tổng là    . 3 3 3 3
Câu 33. Chọn A   x   2k 1  6 Ta có: sin x    k  . 2 5 x   2k  6       Vì x   ;  nên x   S  . 2 2    6 6
Câu 34. Chọn A    x   k 2 1  6
Phương trình tương đương: sin x     , ( k   ) 2 7  x   k 2  6  3   + Với x  
k 2 , k   ta có   
k 2  10 , k   2 61   k  , k   6 2 6 3 12
 0  k  5 , k   . Do đó phương trình có 6 nghiệm. 7 3 7  + Với x
k 2 , k   ta có  
k 2  10 , k   4 53   k  , k   6 2 6 3 12
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  1
  k  4 , k   . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu  7 2   k 2 
k2  k k 
(vô lí, do k , k  ). 6 6 3  3 
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn  ;10  . 2   
Câu 35. Chọn B    2x    k 2       3  3 3 Ta có 2 sin 2x   3  0    2 sin 2x        3   3  2  
2x      k2  3 3   x   k  3
 4 7  3 5   
, k   . Vì x 0;3  nên x   ; ; ; ; ;  .    3 3 3 2 2 2  x   k  2
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 36. Chọn D x k 2    2       Phương trình cos x cos x cos        (k Z )        .  4  2  4   4   x    k 2  2
Câu 37. Chọn A 1 2 2 Ta có: cos x    cos x  cos     x  
k2k   . 2  3  3
Câu 38. Chọn D.
Ta có cos x  1  x k 2 , k   .
Câu 39. Chọn C  
Phương trình cos x  cos  x  
k 2 k   3 3
Câu 40. Chọn A
Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x  0  x
k k  . Do đó Chọn A. 2 x k 2    2      
Câu 41. Phương trình cos x cos x cos         k         .  4  2  4   4   x    k 2  2 x x  3 Câu 42. cos  0  
k  x
 3k , k  .  3 3 2 2 1 
Câu 43. Phương trình 2 cos x 1  0  cos x   x  
k 2 , k   . 2 3   x   k 2 2  4
Câu 44. 2 cos x  2  0  cos x    , k   . 2 
x    k2  4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 
Câu 45. TXĐ: D   . Ta có 2 cos x 1  0  cos x   x  
k 2 , k   . 2 3
Câu 46. Phương trình cos x  1  x    k 2 , k   . 2  3  3
Câu 47. cos x    cos x  cos    x  
k 2 , k   . 2  4  4  3 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  x  
k 2 ; k  .  4 
Câu 48. Ta có: cos x  1  x    k 2 k   . 
cos x  0  x
k k   . 2
cos x  1  x k 2 k   . 2 3 3
Câu 49. Phương trình tương đương với cos x    cos  x    k 2 2 4 4   x      k 2 1   3
Câu 50. 2 cos  x     1  cos  x      x      k 2  
k  . 2 3   x      k 2  3
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 51. Chọn A
Do cos x  1 , x   nên phương trình: cos x m  0  cos x m
có nghiệm khi m  1 và vô nghiệm khi m  1. 1   Câu 52. Ta có: 2
4 sin 2x 1  0  2 1 cos 4x 1  0  cos 4x   x    k
k   . 2 12 2   x  1  12    x         2  Do 12 x    k   ;    
x x x x  0 . 12 2 1 2 3 4  2 2  5  x   3  12  5  x  4  12
Câu 53. Phương trình:       2 2cos x   1  cos x        3   3  2      x    k 2  x   k 2 3 2  6   k     k      5 x     k 2  x    k 2  3 2  6  7 
Vì x 0;2  nên x   ,
 . Vậy số nghiệm phương trình là 2  6 6 
Câu 54. Chọn D.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  2   2x   k 2 x   k 1 2  3  3 cos 2x    cos 2x  cos     k  2 3 2  2x k 2     x    k  3    3
m n  3  3  6 .
Câu 55. Chọn B Phương trình:       2 2cos x   1  cos x        3   3  2      x    k 2  x   k 2 3 2  6   k     k      5 x     k 2  x    k 2  3 2  6  7 
Vì x 0;2  nên x   ,
 . Vậy số nghiệm phương trình là 2  6 6           
Câu 56. Ta có cot x   3    cot x   cot    x  
k  x  
k , k   .  3   3  6 3 6 6 m  6 Vậy 
m n  5 . n  1      2x   k 2 x   k 1  3  6
Câu 57. Phương trình 2 cos 2x 1  0  cos 2x      . 2    2x    k 2
x    k  3  6    1 5   0   k     k x  6  6 6 k  0  6
Xét x 0;      mà k   suy ra   .    1 7 k  1 5 0    k     k    x   6 6 6  6 5
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2 cos 2x 1  0 trong đoạn 0;  là x  . 6 2
Câu 58. Ta có cos 3x 1  0  cos 3x  1  x k , k   . 3 1 2  cos 2x    2x  
k 2  x  
k , k   . 2 3 3
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình (1) đồng 2
thời là nghiệm của phương trình (2) là x  
k , k   . 3 1 2 
Câu 59. Ta có: cos 2x    2x  
k 2  x  
k , k   . 2 3 3  2
Do số đo một góc là nghiệm nên x  hoặc x  thỏa mãn. 3 3      2   
Vậy tam giác có số đo ba góc là:  , ,  hoặc  , ,  .  3 3 3   3 6 6  3 
Câu 60. 2 cos x  3  cos x   x  
k 2 , k   . 2 6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  5   11 13  Mà x  0; 
và k   nên x   ; ;  . 2     6 6 6    x   k 2 1  3
Câu 61. Ta có cos x    , k   . 2 
x    k2  3   Xét x
k 2 , do x  2
  ; 2  và k   nên 2 
k 2  2  k  1; k  0 . 3 3   Xét x  
k 2 , do x  2
  ; 2  và k   nên 2  
k 2  2  k  1; k  0 . 3 3
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn  2   ; 2  .
x    k 2
Câu 62. Ta có cos 2x cos x 0 cos 2x cos  x         2 k   x    k  3 3   x    3 Vì 
  x     .  x   3
Câu 63. Ta có: cos 2x  cos x  0  cos 2x  cos x x k 2
2x x k 2 k 2     k 2  x  ;k   .
2x  x k 2   x  3  3 k 2
Vì x  0; 2  nên 0 
 2  0  k  3 . 3 2 4
Do k   nên k 1;  2  x  ; x  . 3 3 2 4 Vậy T    2 . 3 3
Câu 64. Chọn D 3 
2 cos x  3  cos x   x  
k 2 , k   . 2 6  5   11 13  Mà x  0; 
và k   nên x   ; ;  . 2     6 6 6 
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 65. Ta có: tan x m x  arctan m k , k   .  
Câu 66. Ta có tan x  3  tan x  tan  x
k , k . 3 3 k
Câu 67. Ta có tan 3x  tan x  3x x k  x  , k  .  2 Trình bày lại
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   kx   cos3x  0   6 3 ĐK:    * cosx  0   x   k   2 k
Ta có tan 3x  tan x  3x x k  x  , k  .
 Kết hợp điều kiện * suy ra x k , k  2
Câu 68. Chọn D
Ta có: tan 3x 15  3  tan 3x 15  tan 60  3x 15  60  180 k
x  25  k60k  .
Câu 69. Chọn D
3. tan x  3  0  tanx   3  x    k . 3
Câu 70. Chọn C  2
tan x  3  tanx   3  x  
k , k   . 3
Câu 71. Chọn A 3 
3  3 tan x  0  tan x    x  
k k   . 3 6
Câu 72. Chọn D   
3 tan 2x  3  0  tan 2x  3  2x
k  x   k
k  . 3 6 2
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 73. Chọn C   x   k  cos x  0   2
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa      * cos 3x  0  k   x     6 3 k
Khi đó, phương trình (1) 3x x k  x  so sánh với đk (*) 2 x k 2
, x 0;30  k  0;...;  4  x   0;;2;....;9
x    k2 
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình (1) là: 45 .
Câu 74. Chọn A    
A. tan 2x  1  tan 2x  tan  2x
k  x   kk  . 4 4 8 2 
(Với k  0 nên nghiệm dương bé nhất là x  ) 8      7 B. tan x   3  x  
k  x
k k     .  4  4 3 12 7
 Nghiệm dương bé nhất là x  . 12  
C. cot x  0  cos x  0  x
k k    Nghiệm dương bé nhất là x  . 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489    
D. cot x   3  cot x  cot   x  
k k     .  6  6 5
Chọn k  1  Nghiệm dương bé nhất là x  . 6 
Vậy giá trị nhỏ nhất là x  nên ta chọn đáp án A. 8  3 
Câu 75. tan x   x  
k , k   . 3 3  2
Với 0  x  2  x   hoặc x  . 3 3 Câu 76. Lời Giải. Chọn C 3 3 Ta có tan x  tan  x
k k Z . 11 11     3 Do x  ; 2    k  2 CASIO   0, 027 k Z    k    xapxi 0;  1 .  4  4 11
Câu 77. Chọn C k
Ta có: tan 5x  tan x  0  tan 5x  tan x  5x x k  x  k    4 k
Vì x 0;  , suy ra 0  0 k 4 k      
  k  0;1;2;  3 4    3 
Suy ra các nghiệm của phương trình trên 0;  là 0; ; ;   4 2 4    3 3 Suy ra 0     4 2 4 2 Câu 78. Lời Giải. Chọn A Ta có  0 x   0 0 0 0 0 tan 2 15
 1  2x 15  45  1
k 80  x  30  k90 k Z . 4 2 Do x   0 0 90 ;90  0 0 0 0  9
 0  30  k90  90    k  3 3 0
k  1  x  60 k Z  0 0 0   
 60  30  30 . 0
k  0  x  30 
Dạng 4. Phương trình cotx=a
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 79. Chọn D 3    
Ta có 3cot x  3  0  cot x   cot x  cot  x   k ,   k . 3  3  3
Câu 80. Chọn C 3 3
Ta có 2 cot x  3  0  cot x   x  arccot
k k Z 2 2 Câu 81. Lời Giải.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Chọn A   
Ta có cot 3x  
1   3  cot 3x   1  cot    .  6    1     k 1 1  3x 1 
k  x    k  x   . 6 3 18 3 3 18
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 82. Chọn B           Ta có cot x   3    cot x   cot    x  
k  x  
k , k   .  3   3  6 3 6 6 m  6 Vậy 
m n  5 . n  1 
Câu 83. Chọn A  
Ta có cot x  3  cot x  cot  x
k k  . 6 6  1 Theo giả thiết, ta có xap xi 0 
k  2018     k  2017,833 . 6 6 3 k 
k 0;1;...;20 
17 . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018
nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
Câu 84. Chọn B 2 2 Vì 1  
là nên phương trình cos2x    3  2  3 vô nghiệm.
Câu 85. Chọn B     2 3x
 2x k 2 x   k     4  20 5 A. sin 3x  sin  2x        4   3
3x    (  2x)  k2 x   k 2  4  4   x
 2x k 2     2
B. cos x  sin 2x  cos x  cos  2x   (k  )    2      x  
 2x k 2     2    2 x   k  6 3   (k  ) 
x   k2  2    x   k
4x    6x k 2  10 5
C. cos 4x   cos 6x  cos 4x  cos   6x     k 
4x     6x  k 2  
x   k  2     D. tan 2x   tan  tan 2x  tan( )  x    k (k  ). 4 4 8 2
So sánh ta được đáp án là B. Câu 86. Chọn C.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     
Ta có sin x  cos x  2 sin x   0  x
k  x
k k      4  4 4 Trong  ;
  phương trình có hai nghiệm
Câu 87. Chọn D x x Vì 1   sin  1, x     sin  2  0 2 2
Vậy phương trình tương đương x x 1 x  2 cos 1  0  cos      k 2 2 2 2 2 3 2  x  
k 4 , k   3 Câu 88. Ta có: 2 8.cos 2 . x sin 2 .
x cos 4x   2  4.sin 4 .
x cos 4x   2  2.sin 8x   2  sin 8x   2    x    k     32 4  sin 8x  sin      k  .  4  5  x   k  32 4     x   k  32 4
Vậy phương trình có nghiệm  k  . 5  x   k  32 4
Câu 89. Ta có sin cos2x  0  cos2x k k    
Vì cos2x  1  ; 
1  k  0  cos2x  0  2x
k   x   k k   . 1 1  1  2 4 2
x 0;2   k  0;1;2;3 . 1  
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên 0; 2 .
Câu 90. Ta có: 1  sin x  1 nên phương trình sin x  3  0  sin x  3 vô nghiệm.   
Câu 91. Ta có cos 4x  sin x  0  cos4x   sin x  cos4x  sin x  cos4x  cos  x    2      2 4x   x k 2 x   k  2  6 3     , k   .   2
4x    x k2 x    k  2  10 5  5 3 7 
Vì x  0;  nên S   ; ; ;  .  6 6 10 10  k
Câu 92. Điều kiện 5x  , k   (*) 2 k
Phương trình tương đương cos3x.sin5x-sin7xcos5x=0  sin2x=0  x= . 2   Ta thấy x  , x
không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại đáp án A, B,.C 2 10
Vậy đáp án đúng là D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   kx       6 3
Câu 93. sin 2x  cos x  sin 2x  sin  x     k  .  2  
x   k2  2  2   x  2  x  2  2   x  2     x  2 x  2   x  2  Câu 94. 2
4  x sin 2x  0      x  0 . x  2   x  2       sin 2x  0    kx   x   2  2
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm. 
Câu 95. Ta có sin x  cos x  tan x  1  x
k , k . 4 
Vì x  0;5  nên ta có 0 
k  5 , k 1 19    k  , k . 4 4 4
Do đó, k 0, 1, 2, 3,  4 .  5 9 13 17
Suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc 0;5  là , , , , . 4 4 4 4 4      3x   x k 2 x   k     2  8 2
Câu 96. sin 3x  cos x  sin 3x  sin  x       .  2     3x     x k 2
x   k  2  4   x   k  2  cos x  0  Câu 97. sin 2x cos x 0
2 sin x cos x cos x 0         x  
k 2 ,k    2 sin x 1  0  6   7 x   k 2  6  3 11 7 
x  0; 2   x   ; ; ;   2 2 6 6   S  5 .   3  1  7
Câu 98. Trên khoảng  ; 
 phương trình 2 sin x 1  0  sin x   có hai nghiệm là  và  2 2  2 6 6 .
Cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình 2 4 cos x  3  0 .
Vậy hai phương trình có 2 nghiệm chung.
Câu 99. Ta có: sin x sin 7x  sin 3x sin 5x  cos 6x  cos8x  cos 2x  cos8x .  kx
6x  2x k 2  2 k
 cos 6x  cos 2x      x  , k   . 6x  2  x k 2  k  4 x   4
Câu 100. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  1 sin x
Ta có sin x  cos 2x 2
 sin x  1  2 sin x   2 . sin x  1     x   k 2 1  6 sin x    k  . 2 5  x   k 2  6  sin x  1   x  
k 2 k   2
Xét x 0;20  :   1 119 Với x
k 2 , ta có 0 
k 2  20    k  , do k   nên. 6 6 12 12 5 5 5 115 Với x
k 2 , ta có 0 
k 2  20    k  , do k   nên. 6 6 12 12   1 41 Với x  
k 2 , ta có 0  
k 2  20   k  , do k   nên. 2 2 4 4
Vậy phương trình đã cho có 30 nghiệm thuộc đoạn 0; 20 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11 BÀI 3
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ..................................................... 2
Dạng 1.1 Không cần biết đổi ........................................................................................................................................ 2
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai ........................................................................................................... 3
Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm .............................................................................................................................. 4
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 6
Dạng 2.1 Không cần biến đổi ....................................................................................................................................... 6
Dạng 2.2 Cần biến đổi .................................................................................................................................................. 7
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm .............................................................................................................................. 8
Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 8
Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm ....................................................................................................... 9
Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max ................................................................................... 11
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 11
Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 11
Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 13
Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm ............................................................................................................ 14
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng ..................................................................................................... 14
Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 14
Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 15
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 16
Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 16
Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 17
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 18
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác ......................................................... 20
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 20
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 23
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ................................................... 23
Dạng 1.1 Không cần biết đổi ...................................................................................................................................... 23
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai ......................................................................................................... 24
Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 25
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ....................................................................... 29
Dạng 2.1 Không cần biến đổi ..................................................................................................................................... 29
Dạng 2.2 Cần biến đổi ................................................................................................................................................ 29
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 31
Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm ................................................................................................................................. 31
Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm ..................................................................................................... 34
Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max ................................................................................... 36
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 37
Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 37
Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 40
Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm ............................................................................................................ 42
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng ..................................................................................................... 42
Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 42
Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 44
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 47
Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 47
Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 48
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 53
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác ......................................................... 57
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 60 PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1.1 Không cần biết đổi Câu 1.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2
4 cos x  4 cos x  3  0 trên đường tròn lượng giác là? A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 4 . 3 Câu 2. Phương trình 2
cos 2x  cos 2x
 0 có nghiệm là: 4   2  A. x    k . B. x    k 2 . C. x    k . D. x    k . 6 6 3 3 Câu 3.
Nghiệm của phương trình 2
2 sin x – 5 sin x – 3  0 là:   5 A. x
k ; x    k 2 . B. x
k 2 ; x   k 2 . 2 4 4  7  5 C. x  
k 2 ; x   k 2 . D. x
k 2 ; x   k 2 . 6 6 3 6 Nghiêm của phương trình 2
sin x  – sin x  2 là: Câu 4.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     A. x   k . B. x   k  2 . C. x    k . D. x   k  2 . 2 2 2
Nghiệm của phương trình 2
2 cos x  3 cos x 1  0 là: Câu 5.  2
A. x k 2 ; x    k 2 . B. x  
  k 2 ; x    k 2 . 6 3    C. x
k 2 ; x   k 2 .
D. x k 2 ; x    k 2 . 2 6 3 Câu 6.
Nghiệm của phương trình 2 3 cos x  – 8
cos x – 5 là:
A. x    k2 .
B. x k2 . C. x    k 2 .
D. x k . 2 Câu 7.
[Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nghiệm của phương trình 2
sin x  4 sin x  3  0 là
A. x k 2 , k   B. x  
k 2 , k   . 2 
C. x    k 2 , k   . D. x
k 2 , k   . 2 Câu 8.
Nghiệm của phương trình lượng giác 2
sin x  2sin x  0 có nghiệm là:  
A. x k2 .
B. x k . C. x   k . D. x   k 2 . 2 2
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai Câu 9.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình       3 4 4
sin x  cos x  cos x   sin 3x    0     là  4   4  2   A. x
k , k   . B. x
k 2 , k   . 3 3   C. x
k 2 , k   . D. x
k , k   4 4
Câu 10. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình
2 cos 2x  cos x 1  0 . Khi đặt t  cos x , ta được phương trình nào dưới đây? A. 2
2t t 1  0 B. t 1  0 C. 2 4
t t  3  0 D. 2
4t t 1  0
Câu 11. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương
trình cos 2x  5sin x  4  0 có nghiệm là    A.  k 2 . B.  k . C. k . D.   k 2 2 2 4
Câu 12. (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nghiệm của phương trình
cos2x  2 sin x  3 ?   A. x   k ,  k   . B. x    k ,  k   . 2 2   C. x   k 2 ,
k   . D. x    k 2 ,  k   . 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 13. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình cos 2x  sin x  2  0 . Khi đặt t  sin x
, ta được phương trình nào dưới đây. A. 2
2t t 1  0 . B. t 1  0 . C. 2 2
t t  3  0 . D. 2 2
t t  2  0 .
Câu 14. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2
3sin x  2 cos x  2  0 .   A. x
k , k   .
B. x k , k   .
C. x k 2 , k   . D. x
k 2 , k   . 2 2
Câu 15. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan x  3 cot x  3 1  0 là:     x   k  x    k 4  4 A.  , k   . B.  , k   .    x   k
x   k  3  6     x   k 2  x   k 4  4 C.  , k   . D.  , k   .    x   k 2
x   k  6  6
Câu 16. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình       5    cos 2 x   4 cos  x      . Khi đặt t  cos  x
 , phương trình đã cho trở thành phương  3   6  2  6  trình nào dưới đây? A. 2
4t  8t  5  0 . B. 2
4t  8t  3  0 . C. 2
4t  8t  3  0 . D. 2
4t  8t  5  0 .
Câu 17. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình: cos 2x  sin x 1  0 * . Bằng
cách đặt t  sin x 1  t  
1 thì phương trình * trở thành phương trình nào sau đây? A. 2 2
t t  0 . B. 2
t t  2  0. C. 2 2
t t 2  0. D. 2 t   t  0 .
Câu 18. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Giải phương trình cos2x  5sin x  4  0 .    A. x   k. B. x    k.
C. x k 2 . D. x   k 2 . 2 2 2
Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2
2 sin x – 3 sin x  1  0 thỏa điều kiện: 0  x  . 2     A. x   . B. x  . C. x  . D. x  . 2 6 4 2
Câu 20. (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác 2
cos x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   .   A. x   . B. x  . C. x  . D. x  0 . 4 2
Câu 21. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2
2sin x  5sin x  3  0 là:   3 5 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 6 2 2 6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 22. (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
0;10  của phương trình 2
sin 2x  3sin 2x  2  0 . 105 105 297 299 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4
Câu 23. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos 2x  4sin x  5  0 có
bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10  ? A. 5 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 24. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình cos 2x  2cos x  3  0 có bao nhiêu
nghiệm trong khoảng 0; 2019 ? A. 320. B. 1009 . C. 1010 . D. 321.
Câu 25. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Phương trình cos 2x  4 sin x  5  0
có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10  ? A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 26. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của phương trình  x   4 4 2 cos 2
5 sin x  cos x  3  0 trong khoảng 0; 2  . 11 7 A. S  . B. S  4 . C. S  5 . D. S  . 6 6
Câu 27. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng 0;3 của phương trình 5 2
cos x  cos x 1 0 là 2 A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 28. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác 2
cos x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   .   A. x  . B. x  0 . C. x   . D. x  . 2 4
Câu 29. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Phương trình cos 2x  cos x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng    ;  ? A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 30. (THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình  9   15  sin 2x   3cos x   1 2sin x    
với x 0;2 là:  2   2  A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 .
Câu 31. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Phương trình 2
4 tan x  5 tan x 1  0 có m nghiệm trong  2017 2017  khoảng  ;   ?  2 2  A. m  2017 . B. 4032 . C. m  4034 . D. m  2018 .
Câu 32. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng 0; 2  , phương trình
cos 2x  3cos x  2  0 có tất cả m nghiệm. Tìm m . A. m  1. B. m  3 . C. m  4 . D. m  2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 33. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
0;10  của phương trình 2
sin 2x  3sin 2x  2  0 . 105 105 297 299 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4
Câu 34. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn 0; 200  của phương trình 2
2 cos x  3sin x  3  0 10403 20301 A. T  10150 . B. T  10050 . C. T  . D. T  . 2 2
Câu 35. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình    
cos 2x  3 cos x 1  0 trong đoạn  ;  là: 2 2    A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 36. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của x x phương trình 4 4 (2 cos x  5)(sin  cos
)  3  0 trong khoảng 0; 2  2 2 11 5 7 A. S  . B. S  . C. S  2 . D. S  . 12 2 12
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng 2.1 Không cần biến đổi
Câu 37. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tập xác định của hàm số sau tan 2x y  . 3 sin 2x  cos 2x          
A. D   \   k ;  k ; k   .
B. D   \   k ;  k ;k  .  4 2 12 2   6 2 5 2          
C. D   \   k ;k ;k  .
D. D   \   k ;  k ; k   .  4 2 2   3 2 12 2 
Câu 38. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Phương trình 3 sin 2x  cos 2x  2 có tập nghiệm là  k   2  A. S    | k   . B. S  
k 2 | k   .  3 2   3    5 
C. S    k | k   . D. S  
k | k   .  3   12 
Câu 39. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Tất cả các nghiệm của phương trình
sin x  3 cos x  1 là:   x    k 2   6 A. x
k 2 , k   . B.  , k   . 6 
x   k2  2 5 5 C. x
k , k   . D. x
k 2 , k   . 6 6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 40. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các họ nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 là x k 2 A.   , k   .
B. x k 2 , k   . x   k 2  2   x   k 2   4 C. x
k 2 , k   . D.  , k   . 4 
x    k2  4
Câu 41. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x  3 cos x  1 có tập nghiệm là:         A.   k ; 
k  , với k . B.   k 2 ;
k 2  , với k .  6 2   6 2      7   C.   k 2 ; 
k 2  , với k . D.   k 2 ;
k 2  , với k .  6 2   6 2 
Câu 42. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin 3x  cos 3x  2 .    A. x
k , k   . B. x   k , k   . 3 6 3  2  2 C. x   k
, k   . D. x   k , k   . 9 3 12 3
Dạng 2.2 Cần biến đổi
Câu 43. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 2
2sin x  3 sin 2x  3   2 5 A. x    k . B. x   k . C. x   k . D. x   k . 3 3 3 3      
Câu 44. Giải phương trình 3 cos x   sin x   2sin 2 . x      2   2    2  5 x   kx   k 2 18 3  6 A.  , k  .  B.  , k  .   2   2 x    kx   k  18 3  18 3  7  5 x   k 2  x   k 2 6  6 C.  , k  .  D.  , k  .   2  7 x    kx   k 2  18 3  6
Nghiệm của phương trình 2
sin x  3 sin x cos x  1 là: Câu 45.  5   A. x
k 2 ; x   k 2 . B. x
k 2 ; x   k 2 . 6 6 2 6  5   C. x  
k 2 ; x    k 2 . D. x   k ; x   k. 6 6 2 6
Câu 46. Phương trình sin x  cos x
2 sin 5x có nghiệm là:.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489             x   k x   k x   kx   k 4 2  12 2  16 2  18 2 A.  . B.  . C.  . D.  .          x   kx   kx   kx   k  6 3  24 3  8 3  9 3
Câu 47. Phương trình: 3
3sin 3x  3 sin 9x  1 4sin 3x có các nghiệm là:       2   2   2 x     k x    k x    k x    k 54 9  9 9  12 9  6 9 A.  . B.  . C.  . D.  .  2  7 2 7 2 7 2 x   kx   kx   kx   k  18 9  9 9  12 9  6 9
Câu 48. (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình
sin x  3 cos x  2 sin 3x là    2 A. x   k
, k   . B. x
k 2 hoặc x
k 2 , k   . 3 2 3 3  4   2 C. x  
k 2 hoặc x
k 2 , k   . D. x
k hoặc x   k , k   . 3 3 6 6 3
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm
Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm
Câu 49. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình   2 2 
cos x  sin 2x  2  cos  x
 trên khoảng 0;3  là  2  A. 4. B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 50. (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất cả các nghiệm
thuộc khoảng 0;  của phương trình:
2 cos3x  sin x  cos x . 3  A. 3 . B. . C.  . D. . 2 2
Câu 51. Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2
cos x  sin 2x  2  sin x trên khoảng 0; 2 . 3 7 21 11 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 4 8 8 4
Câu 52. Biến đổi phương trình cos 3x  sin x  3 cos x  sin 3x về dạng sin ax b  sin cx d  với b    
, d thuộc khoảng  ; 
 . Tính b d .  2 2      A. b d  . B. b d  .
C. b d   . D. b d  . 2 4 3 12   
Câu 53. Số nghiệm của phương trình sin 5x  3 cos 5x  2sin 7x trên khoảng 0;   là?  2  A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.
Câu 54. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Phương trình
3 cos x  sin x  2 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn 0; 4035  ?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 2016 . B. 2017 . C. 2011 . D. 2018 .     
Câu 55. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tìm góc    ; ; ;  để  6 4 3 2 
phương trình cos 2x  3 sin 2x  2 cos x  0 tương đương với phương trình cos 2x    cos x .     A.   . B.   . C.   . D.   . 6 4 2 3
Câu 56. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho phương trình sin x  cos x  1 có hai họ nghiệm có
dạng x a k 2 và x b k 2 0  a,b    . Khi đó a b bằng bao nhiêu? 2 3  A. a b  . B. a b  . C. a b  .
D. a b   . 3 5 2
Câu 57. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x  3 cos x  0 có
bao nhiêu nghiệm thuộc  2   ; 2  . A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 58. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình  5 2 
2 cos x  3 sin 2x  3 trên 0;  là: 2    7 7 7 A. . B. . C. . D. 2 . 6 3 2
Câu 59. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T các nghiệm của phương trình   2 2 
cos x  sin 2x  2  cos  x
 trên khoảng 0; 2  .  2  7 21 11 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 8 8 4 4
Câu 60. Gọi x là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x  3 cos 7x  sin 7x  3 cos 9x . Mệnh đề nào sau đây là 0 đúng?                A. x   ;  . B. x   ; 0 . C. x   ;  . D. x   ;  . 0   0   0   0    2 3   12   6 12   3 6 
Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm
Câu 61. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để
phương trình a sinxbcosx c có nghiệm? A. 2 2 2
a b c B. 2 2 2
a b c C. 2 2 2
a b c D. 2 2 2
a b c
Câu 62. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để phương trình
3sin x  4 cos x  2m có nghiệm? 5 5 5 5 5 5 A.   m  B. m   C. m  D.   m  2 2 2 2 2 2
Câu 63. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m thuộc đoạn  2  018; 201 
8 để phương trình m  2
1 sin x sin 2x  cos 2x  0 có nghiệm? A. 4036 B. 2020 C. 4037 D. 2019
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 64. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số các giá trị nguyên của
m để phương trình m cos x  m  2sin x  2m 1  0 có nghiệm. A. 0 B. 3 C. vô số D. 1
Câu 65. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Để phương
trình msin 2x  o
c s2x  2 có nghiệm thì m thỏa mãn: m  3 m  2 A. m  1. B.  . C.  . D. m  1. m   3  m   2 
Câu 66. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m
để phương trình 4 sin x  m  4cos x  2m  5  0 có nghiệm là: A. 5 B. 6 C. 10 D. 3
Câu 67. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m thuộc đoạn  2  018; 201 
8 để phương trình m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0 có nghiệm? A. 4036 . B. 2020 . C. 4037 . D. 2019 .
Câu 68. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Số các giá trị
nguyên m để phương trình
4m  4.sinx .cosx m  2.cos 2x  3m  9 có nghiệm là A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
Câu 69. Tìm điều kiện của m để phương trình 2m  
1 cos 2x  2m sin x cos x m 1 vô nghiệm?  1  A. m .
B. m  ;0  ;    .  2  1 1 C. 0  m  . D. 0  m  . 2 2
Câu 70. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Cho phương trình 2
2m sin x cos x  4 cos x m  5 , với m là một phần tử của tập hợp E   3  ;  2; 1;0;1;  2 . Có bao
nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 3 . B. 2 . C. 6 . D. 4 .
Câu 71. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
cos x  2sin x  3 m  :
2 cos x  sin x  4 2 A. 2  m  0 .
B. 2  m  1. C. 0  m  1 . D.  m  2 . 11
Câu 72. (THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương
trình 4 sin x  m  4 cos x  2m  5  0 có nghiệm là: A. 5 . B. 6 . C. 10 . D. 3 .
Câu 73. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tìm giá trị nguyên lớn
nhất của a để phương trình 2 2
a sin x  2sin 2x  3a cos x  2 có nghiệm A. a  3 . B. a  2 . C. a  1. D. a  1 .
Câu 74. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để phương trình 2
8sin x  m  
1 sin 2x  2m  6  0 có nghiệm.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 2 .
Câu 75. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Số giá trị nguyên của tham số m
thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0 A. 4037 . B. 4036 . C. 2019 . D. 2020 .
Câu 76. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tìm m để phương trình
cos x  2 sin x  3 m  có nghiệm.
2 cos x  sin x  4 2 A. 2   m  0 B. 0  m  1 C.  m  2 D. 2   m  1  11
Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max
Câu 77. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số
sin x  2 cos x 1 y
có M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y . Đẳng thức nào
sin x  cos x  2 sau đây đúng? 3  A. 2 2
M m  3 . B. 2 2 M m  . C. 2 2 M m  3 . D. 2 2 M m  2 . 4
Câu 78. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Số giá trị
cos x  2sin x  3
nguyên trong tập giá trị của hàm số y  là:
2 cos x  sin x  4 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 79. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất
sin x  2 cos x  1
M của hàm số y  là
sin x  cos x  2 1
A. m   ; M  1
B. m  1; M  2 C. m  2
 ; M  1 D. m  1  ; M  2 2
Câu 80. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giá trị lớn nhất của s inx  2 cos x  3
biểu thức P  2sin x  cos x  4 là? 2 2 A. B. C. 3 D. 2 11 11
Câu 81. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sin x 1
tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  nhỏ hơn 3 . cos x  2 A. 5 B. 4 C. 3 D. 7
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp
Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm
Câu 82. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Khi đặt t  tan x thì phương trình 2 2
2sin x  3sin x cos x  2 cos x  1 trở thành phương trình nào sau đây? A. 2
2t  3t 1  0 B. 2
3t  3t 1  0 C. 2
2t  3t  3  0 D. 2
t  3t  3  0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 83. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2
2sin x  3 sin 2x  3 . 2  4 5 A. x   k . B. x   k . C. x   k . D. x   k . 3 3 3 3
Câu 84. Phương trình: 2 2
3cos 4x  5sin 4x  2  2 3 sin 4x cos 4x có nghiệm là:     A. x    k . B. x    k . 18 3 24 4    C. x    k . D. x    k . 6 12 2
Câu 85. Cho phương trình 2
cos x  3 sin x cos x  1  0 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2
cos x thì ta được phương trình 2
tan x  3 tan x  2  0 .
B. Nếu chia 2 vế của phương trình cho 2
sin x thì ta được phương trình 2
2 cot x  3 cot x  1  0 .
C. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x  3sin 2x  3  0 .
D. x k không là nghiệm của phương trình.
Câu 86. Phương trình:    2 x x x     2 3 1 sin 2 3 sin cos
3 1 cos x  0 có các nghiệm là:     x   kx    k A.  4
(Với tan  2  3 ). B.  8 (Với tan  1   3 ).  
x    k 
x    k      x   kx    k C.   8
(Với tan 1 3 ). D. 4 (Với tan  2   3 ).  
x    k 
x    k 
Câu 87. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 x     2 sin
3 1 sin x cos x  3 cos x  3 .     3 1 A. sin x   1   . B. cos x   1  tan x    0 .  2   1 3     C.  x    2 tan 2 3 cos x   1  0 . D. sin x  0.
Câu 88. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 2
2sin x  3 3 sin x cos x  cos x  2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?  5   5       A.  ;   S. B.  ;   S.
C.  ;   S.
D.  ;   S.  4 12   2 6   3   6 2 
Câu 89. Cho phương trình    2 x x     2 2 1 sin sin 2
2 1 cos x  2  0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2
cos x thì ta được phương trình 2
tan x  2 tan x 1  0 .
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2
sin x thì ta được phương trình 2
cot x  2 cot x 1  0 .
C. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x  sin 2x  1. 7 D. x
là một nghiệm của phương trình. 8
Câu 90. (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Giải phương trình 2
2 sin x  3 sin 2x  3 .  4 5 2 A. x   k . B. x   k . C. x   k . D. x   k . 3 3 3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 2
Câu 91. Phương trình 6sin x  7 3sin 2x 8cos x  6 có các nghiệm là:.  3       x   k  x   kx   kx   k 4  2  4  8 A.  . B.  . C.  . D.  . 2     x   k
x   k
x   k x   k  3  6  3  12
Câu 92. Giải phương trình 2 x     2 sin
3 1 sin x cos x  3 cos x  0.   x   k  3  A. 
k  . B. x
k k  .   4 x   k  4   x   k 2  3  C. 
k  . D. x
k 2 k  .   3 x   k 2  4
Câu 93. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2
2sin x  3 sin 2x  3 . 2  4 5 A. x   k . B. x   k . C. x   k . D. x   k . 3 3 3 3
Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm
Câu 94. (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Phương trình 2 2
4 sin 2x  3sin 2x cos 2x  cos 2x  0 có bao
nhiêu nghiệm trong khoảng 0;  ? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Câu 95. Số nghiệm của phương trình 2 2
cos x  3sin x cos x  2 sin x  0 trên  2   ; 2  ? A. 4 . B. 6 . C. 8 . D. 2 .
Câu 96. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 x     x x     2 2sin 1 3 sin cos 1
3 cos x  1 là: 2    A.  . B.  . C.  . D.  . 3 12 6 4
Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2 2
4sin x  3 3 sin 2x  2 cos x  4 là: Câu 97.     A. x . B. x . C. x . D. x . 2 6 4 3
Câu 98. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất 0 của phương trình 2 2
3sin x  2sin x cos x  cos x  0 . Chọn khẳng định đúng?  3         3  A. x   ; B. x  ; C. x  0; D. x  ; 2 0   0   0   0    2   2   2   2 
Câu 99. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Phương trình 2 2
4 sin 2x  3sin 2x cos 2x  cos 2x  0
có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;  ?. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm
Câu 100. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình 2 2
a sin x  2 sin 2x  3a cos x  2 có nghiệm? 11 8 A. 2 . B. . C. 4 . D. . 3 3
Câu 101. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2
3sin x m sin 2x  4 cos x  0 có nghiệm. A. m   . B. m   . C. m  4 . D. m  4 .
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng
Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm 1
Câu 102. Phương trình sin x  cos x  1 
sin 2x có nghiệm là:. 2          x   k x   kx   kx   k2  6 2  8 A.  4 . B.  2 . C.  . D.  .     x k  x k2   x kx k  4  2
Câu 103. Giải phương trình sin x cos x  2sin x  cos x  2 .     x   k 2 x    k 2 A.  2 , k  .  B.  2 , k  .    x k 2  x k 2      x    kx   k C.  2 , k  .  D.  2 , k  .    x k  x k 
Câu 104. Cho phương trình 3 2 sin x  cos x  2 sin 2x  4  0 . Đặt t  sin x  cos x , ta được phương trình nào dưới đây? A. 2
2t  3 2 t  2  0. B. 2
4t  3 2 t  4  0. C. 2
2t  3 2 t  2  0. D. 2
4t  3 2 t  4  0.
Câu 105. Cho phương trình 5sin 2x  sin x  cos x  6  0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào
tương đương với phương trình đã cho?    3 A. 2
1 tan x  0. B. cos x   .    4  2    2
C. tan x  1. D. sin x   .    4  2
Câu 106. Phương trình 2sin 2x  3 6 | sin x  cos x | 8
  0 có nghiệm là:       x   k    x   kx   k 6  12  3 x   k A.  . B.  . C.  . D.  4 . 5  5 5  x   k x   k x   k
x  5  k    4  12  3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 107. Từ phương trình 1 3cos x  sin x  2sin x cos x  3 1  0, nếu ta đặt t  cos x  sin x thì giá
trị của t nhận được là: A. t  3 .
B. t  1 hoặc t  2 .
C. t  1 hoặc t  3 . D. t  1. 1
Câu 108. Phương trình 3 3
sin x  cos x  1 sin 2x có các nghiệm là:. 2  3  3     x   k2 x   k  x   kx   k2  4 A. 2 . B.  4 . C.  2 . D. .     
x  2k   1    x k  x k2  x k  2
Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm
Câu 109. (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x là nghiệm của phương trình 0   
sin x cos x  2sin x  cos x  2 thì giá trị của P  sin x   là 0   4  1 2 2 A. P  . B. P   . C. P  . D. P  1 . 2 2 2   
Câu 110. Nếu 1 sin x1 cos x  2 thì cos x    bằng bao nhiêu?  4  2 2 A. . B.  . C. 1  . D. 1. 2 2   
Câu 111. Cho x thỏa mãn 6sin x  cos x  sin x cos x  6  0 . Tính cos x  .    4        A. cos x   1.   B. cos x   1.    4   4     1    1 C. cos x   .   D. cos x    .    4  2  4  2
Câu 112. (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Từ phương trình    
1 5 sin x  cos x  sin 2x 1 5  0 ta tìm được sin x  
 có giá trị bằng:  4  3 3 2 2 A.  . B. . C.  . D. . 2 2 2 2
Câu 113. Từ phương trình 2 sin x  cos x  tan x  cot x , ta tìm được cos x có giá trị bằng: 2 2 A. 1. B.  . C. . D. 1. 2 2
Câu 114. Nếu 1 5sin x  cos x  sin 2x 1 5  0 thì sin x bằng bao nhiêu? 2 2 2 A. sin x  . B. sin x  hoặc sin x   . 2 2 2 C. sin x  1
 hoặc sin x  0 .
D. sin x  0 hoặc sin x  1.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   
Câu 115. Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x  sin x  cos x  1. Tính sin x  .    4        A. sin x   0   hoặc sin x   1   .  4   4        2 B. sin x   0   hoặc sin x     .  4   4  2    2 C. sin x      .  4  2       2 D. sin x   0   hoặc sin x      .  4   4  2 1
Câu 116. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x  cos x  1 sin 2x là: 2 3  A. . B.  . C.  2 . D.  . 2 2
Câu 117. (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Tổng các nghiệm của phương trình
sin x cos x  sin x  cos x  1 trên khoảng 0;2  là: A. 4. B. 3 . C. . D. 2.
Câu 118. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho x là nghiệm của phương trình 0
sin x cos x  2sin x  cos x  2 thì giá trị của P  3  sin 2x là 0 2 A. P  3 . B. P  2 . C. P  0 . D. P  3  . 2
Câu 119. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Phương trình
1 sin x  1 cos x m có
nghiệm khi và chỉ khi A. 2  m  2 . B. 1  m
4  2 2 . C. 1  m  2 . D. 0  m  1 .
Câu 120. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình
sin x cos x  sin x  cos x  1 trên khoảng 0;2  là: A. 2 . B. 4 . C. 3 . D.  . 3   
Câu 121. Từ phương trình 3 3
1 sin x  cos x
sin 2x , ta tìm được cos x  
 có giá trị bằng: 2  4  2 2 2 A.  . B.  . C. . D. 1. 2 2 2
Câu 122. Cho x thỏa mãn 2 sin 2x  3 6 sin x  cos x  8  0 . Tính sin 2 . x 1 2 1 2
A. sin 2x   . B. sin 2x   . C. sin 2x  . D. sin 2x  . 2 2 2 2
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích
Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm
Câu 123. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình sin 3x  4sin x cos 2x  0.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 k 2  kx   x   x k 2  x k 3  2 A.  B.  C.   D.   2    x    k  x    kx    k
x    k   3  6  3  4
Câu 124. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tập tất cả các nghiệm của phương trình 2
sin 2x  2sin x  6sin x  2 cos x  4  0 là   A. x  
k 2 , k   . B. x  
k 2 , k   . 3 2   C. x
k 2 , k   . D. x
k , k   . 2 2
Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm
Câu 125. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Biểu diễn tập nghiệm của phương trình
cos x  cos 2x  cos 3x  0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 2 .
Câu 126. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
sin 5x cos 7x  cos 4x sin 8x trên 0; 2  bằng 19 9 A. . B. . C. 5 . D. 7 . 3 2
Câu 127. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phương trình
sin 2x  3cos x  0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;  A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 128. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0;13  của phương trình 3 2
2 cos x  cos x  cos 2x  0 . Tính tổng các phần tử của S . 380 420 400 A. B. C. 120 D. 3 3 3
Câu 129. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương
trình cos 3x  cos 2x  9sin x  4  0 trên khoảng 0;3  là 11 25 A. 5 . B. . C. . D. 6 . 3 6
Câu 130. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình  x   x x 2 2 sin 1 3 tan 2 sin
 3  4 cos x . Gọi T là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0; 20  của
phương trình trên. Tính tổng các phần tử của T . 570 875 880 1150 A.  . B.  . C.  . D.  . 3 3 3 3
Câu 131. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Số nghiệm của phương trình 2
2 sin 2x  cos 2x 1  0 trong 0; 2018 là A. 1008 . B. 2018 . C. 2017 . D. 1009 .
Câu 132. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Số nghiệm của phương trình
sin x  4 cos x  2  sin 2x trong khoảng 0;5  là: A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 133. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8 cot 2x  1 6 6
sin x  cos x  sin 4x trên đường tròn lượng giác là : 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 0 .  3 
Câu 134. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Số nghiệm thuộc  ;    của phương trình 2     3  3 sin x  cos  2x   là:  2  A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .  4  
Câu 135. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng  ;   của phương trình  3 2    
cos   x  3 sin x  sin 3x    là  2  A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 2 .
Câu 136. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Với 
  x   số nghiệm của phương trình
cos x  cos 2x  cos3x  cos 4x  0 là A. 3 . B. 6 . C. 8 . D. 0 .
Câu 137. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Phương trình   x 2 1 cos 4
sin 2x  3cos 2x có tổng
các nghiệm trong đoạn 0;  là:  3 2 A. . B. . C.  . D. . 3 2 3
Câu 138. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số nghiệm của phương trình 2
3sin 2x  cos 2x 1  0, x 0;4  . A. 8 B. 2 C. 4 D. 12
Câu 139. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Phương trình sin 3x  2 cos 2x  2 sin x 1  0 có  7 
bao nhiêu nghiệm thuộc  ;0   .  8  A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
Câu 140. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
cos 2x  3sin x  2  0 là: cos x   x   k 2  2    x   k   6 A. x   k k   . B. 
k   .  6 5   x   k 5    6 x   k  6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   x   k 2  2    x   k 2   6 C. x   k 2 k   . D. 
k   .  6 5   x   k 2 5    6 x   k 2  6
Câu 141. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình
cos x  3 sin x  0 . 2sin x 1  7 A. x
k ; k   . B. x
k 2 ; k   . 6 6 7  C. x
k ; k   . D. x
k 2 ; k   . 6 6
Câu 142. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của
sin 2x  2 cos x  sin x 1 phương trình
 0 trên đường tròn lượng giác là: tan x  3 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 143. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương 2cos x  
1 sin 2x  cos x    trình  0 trên 0; ta được kết quả là: sin x 1  2    2   A. T  . B. T  . C. T   . D. T  . 3 2 3
Câu 144. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tính tổng các nghiệm thuộc 0;100  của
3  cos 2x  sin 2x  5sin x  cos x phương trình  0 . 2 cos x  3 7475 7375 7573 A.  . B.  . C. 4950 . D.  . 3 3 3 2
cos 4x  cos 2x  2 sin x
Câu 145. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho phương trình  0. cos x  sin x
Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. 2 2 A. 2. B. 2 2. C. . D. . 2 4
Câu 146. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình 2
sin x sin 2x  2sin x cos x  sin x  cos x  3 cos2x trong khoảng    ;  là: sin x  cos x A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .
Câu 147. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của 2 3
cos x  cos x 1 phương trình 2
cos 2x  tan x  trên đoạn [1; 70] 2 cos x A. 188 B. 263 C. 363 D. 365
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 148. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm của phương trình   
sin 3x  cos 3x  2 2 cos x  1    4      0 trong khoảng 0;   là sin x  2  A. 2 . B. 1. C. 0 . C. 3. 2 2 2 a
sin x a  2
Câu 149. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Để phương trình  có nghiệm, 2 1 tan x cos 2x
tham số a phải thỏa mãn điều kiện:  a  1  A. a   3 . B.  . C. a  4 . D. a  1 . a  3   sin x 1
Câu 150. (CTN - LẦN 1 - 2018) Các nghiệm của phương trình 2 1 cos x 2 1 cot x  được sin x  cos x
biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác? A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1.
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác
Câu 151. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình 2018 2018 x x   2020 2020 sin cos 2 sin x  cos
x . Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0;2018 2 2  1285   1285  A.    . B.  2 643  . C.  2 642  . D.    .  4   2 
Câu 152. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ  x
nhất của phương trình 1 tan x tan
sin x  cot x  4   là  2      A.  . B. . C. . D.  . 6 2 6 2 x
Câu 153. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình sin x  có bao nhiêu nghiệm 2019 thực? A. 1290 . B. 1287 . C. 1289 . D. 1288 .
Câu 154. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Phương trình cos 2 .
x sin 5x 1  0 có bao nhiêu nghiệm    thuộc đoạn  ; 2  ? 2    A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 155. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình: 2015 2016 x x   2017 2018 sin cos 2 sin x  cos
x  cos 2x trên 10;30 là: A. 46 . B. 51. C. 50 . D. 44 .
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 156. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương m trình 6 6
sin x  cos x  3sin x cos x
 2  0 có nghiệm thực? 4 A. 13 . B. 15 . C. 7 . D. 9 .
Câu 157. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để phương trình cos2x m sin x m  0 có nghiệm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. vô số.
Câu 158. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm m để phương trình   3 
cos 2x  2m  
1 cos x m 1  0 có nghiệm x  ;   .  2 2  A. 0  m  1 . B. 1  m  0 . C. 0  m  1 . D. 1  m  0 .
Câu 159. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham m
số m để phương trình 6 6
sin x  cos x  3sin x cos x
 2  0 có nghiệm thực? 4 A. 13 . B. 15 . C. 7 . D. 9 .
Câu 160. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Có bao   
nhiêu số nguyên m để phương trình: 2 sin x  m  
1 cos x  m có nghiệm x  0;  . 2    A. 3 . B. 1. C. 2 . D. Vô số.
Câu 161. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình 3
4 cos x  cos 2x  m  
3 cos x  1  0 có đúng bốn nghiệm    
khác nhau thuộc khoảng  ;   .  2 2  A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 162. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để    phương trình 3 2 2
cos 2x  cos 2x m sin x có nghiệm thuộc khoảng 0;   ?  6  A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 163. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho phương trình   x x m x 2 1 cos cos 4 cos
m sin x . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 3  2 
nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 3     1 1  A. m   ;  .
B. m  ;   1  1;   . 2 2     1  C. m  1;  1 . D. m   ;1   .  2 
Câu 164. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để phương trình cos 3x  cos 2x m cos x  1 có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng     ; 2   ?  2  A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 1.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 165. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số các giá trị thực của tham số m để phương trình  x   2 sin
1 2 cos x  2m  
1 cos x m  0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn 0;2  là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. vô số.
Câu 166. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để pt 3
2 cos 3x m  2 cos x m  6 cos x có nghiệm? A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 .
Câu 167. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm m để phương trình    
2sin x m cos x  1 m có nghiệm x   ;  2 2    3 3 A. 1   m  3 . B.   m . C. 1  m  3 . D. m  . 2 2
Câu 168. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm với ẩn x,  x   : x x   3 4 cos 3sin
m  4m  3 x m  4. A. Vô số B. 2 C. 3 D. 1
Câu 169. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình
cos 3x cos 2x m cos x 1
  0 . Có bao nhiêu giá trị m để phương trình có đúng 7 nghiệm  x    ; 2   2  A. 2 B. 4 C. 1 D. 8
Câu 170. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình
cos 2x  2m  3 cos x m 1  0 ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để   3 
phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;   .  2 2  A. 1  m  2 . B. m  2 . C. m  1. D. m  1.
Câu 171. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình   
cos 2x  5sin x m  0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng   ; .    2  A. 1  m  6 . B. 4  m  6 . C. m  
4  1;6 . D. 4  m  1.
Câu 172. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các giá trị của m để phương trình  
cos 2x  2m  
1 cos x m 1  0 có đúng 2 nghiệm   x   ; là   2 2  A. 1  m  1. B. 1  m  0 . C. 0  m  1. D. 0  m  1.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1.1 Không cần biết đổi  3 cos x   L  2 Câu 1. Ta có 2
4 cos x  4 cos x  3  0   . 1
cos x    N   2 1 2 2 Với cos x    cos x  cos  x  
k 2 k   . 2 3 3
Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 2 . Câu 2. Chọn A 3 Ta có 2
cos 2x  cos 2x
 0. Đặt cos 2x t với điều kiện 1  t  1, ta được phương trình bậc 4 hai theo t là 3 2 t t   0. * 4 1 3 1
Phương trình * có hai nghiệm t  và t  nhưng chỉ có t  thỏa mãn điều kiện. 1 2 2 2 1 2 Vậy ta có 1      cos 2x   cos 2x  cos  2x  
k 2  x    k ,   k . 2  3  3 6 Câu 3. Chọn C   sin x  3  1 x    k 2  2 6
2 sin x – 5 sin x – 3  0   1  
k  . sin x   7 x   k 2  2   6 Câu 4. Chọn B
Đặt t  sin x . Điều kiện t  1 t  1 ( TM)
Phương trình trở thành: 2 2 t t
  2  t t  2  0   t  2  (L)  
Với t  1  sin x  1  x   k2 (k  Z). . 2 Câu 5. Chọn D  cos x  1
x k 2 Ta có 2
2 cos x 3cos x 1 0       1   k  . cos x  x    k 2  2  3 Câu 6. Chọn A cos x  1 2 3 cos x  – 8 cos x – 5 2
 3cos x 8 cos x 5 0      5
x    k 2 k   .
cos x    1  3 Câu 7. Chọn D sin x  1 2
sin x  4 sin x  3  0   . sin x  3 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Với sin x  1  x
k 2 , k   . 2
Với sin x  3 phương trình vô nghiệm. Câu 8. Chọn B sin x  0 Ta có 2
sin x  2sin x  0  sin x sin x  2  0  .  sin x  2  Vì 1
  sin x  1 nên chỉ có sin x  0 thỏa mãn. Vậy ta có
sin x  0  x k , k .
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai Câu 9. Chọn D
Phương trình đã cho tương đương với  1   1 1  3 1 1 2 2 1 sin 2x  sin 2x   sin 2x   0 2      sin 2x  sin 2x 1  0  2   2 2  2 2 2 sin 2x  1  
sin 2x  2(VN )   
Với sin 2x  1  2x
k 2  x
k , k   . 2 4
Câu 10. Chọn D x x     2 x   2 2 cos 2 cos 1 0 2 2 cos
1  cos x  1  0  4 cos x  cos x 1  0
Đặt t  cos x , phương trình trở thành 2
4t t 1  0
Câu 11. Chọn A sin x  1  1 Ta có: 2 cos 2x 5sin x 4 0 2sin x 5sin x 3 0           3 sin x  2  2 
Phương trình (1) có nghiệm x   k 2 2
Phương trình (2) vô nghiệm.
Câu 12. Chọn A +) Ta có 2
cos2x  2 sin x  3  1  2 sin x  2 sin x  3 s inx  1 2
 sin x  sin x  2  0   s inx  2   1 (VN)  
+) s inx  1  x   k 2 ,  k   2
Câu 13. Ta có: cos 2x  sin x  2  0 2
 1 2sin x  sin x  2  0 2  2
 sin x  sin x  3  0 .
Đặt t  sin x ta được phương trình: 2 2
t t  3  0 . Câu 14. Ta có 2
3sin x  2 cos x  2  0 2
 3cos x  2 cos x  5  0  cos x  1  x k 2 , k   . sin  x  0 kCâu 15. ĐK 
 sin 2x  0  x  , k   . cos x  0 2       tan  1 x k x  4
Phương trình tương đương 2 tan x   3   1 tan x  3  0     , k   . tan x  3  
x   k  3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489       5       5
Câu 16. Ta có: cos 2 x   4 cos  x  2      1 2 sin x   4 cos  x       3   6  2  3   6  2       5 2  1 2 cos  x  4 cos  x      .  6   6  2    5 Đặt t  cos  x
 , t  1 ta được phương trình: 2
1 2t  4t  2
 4t  8t  3  0 .  6  2 Câu 17. 2 2 2
cos 2x  sin x 1  0  1 2sin x  sin x 1  0  2
 sin x  sin x  0  2
t t  0 . Câu 18. Ta có 2
cos2x  5sin x  4  0  1 2sin x  5sin x  4  0 sin x  1 2 2sin x 5sin x 3 0        3 sin x   2 
Với sin x  1  x   k 2 ,  k   . 2 3 Với sin x   1 (vô nghiệm). 2
Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm
Câu 19. Chọn B   x   k 2  2 sin x  1   2
2 sin x – 3 sin x  1  0    1  x
k 2 k   sin x   6  2  5 x   k 2  6   Vì 0  x
nên nghiệm của phương trình là x  . 2 6 Câu 20. Chọn C.   cos x  0 x   k Ta có 2 cos x cos x 0      2  k  . cos x  1   x k 2    Với x
k , do 0  x   nên ta được x  . 2 2
Với x k2 , do 0  x   nên không có x nào thỏa mãn.
Câu 21. Chọn A sin x  3  2 2sin x 5sin x 3 0      1  sin x   2   x   k 2 1  6  sin x    . 2 5  x   k 2  6
Câu 22. Chọn A sin 2x  1  Ta có: 2
sin 2x  3sin 2x  2  0  
 sin 2x  1  x  
k , k   . sin 2x  2  (loaïi) 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  1 41 Theo đề bài: 0    k  10   k
k  1, 2,...,10 . 4 4 4 3  3   3  105
Vậy tổng các nghiệm là: S      ...   9      . 4  4   4  2 Câu 23. Chọn A sin x  1   PT đã cho 2
 2 sin x  4 sin x  6  0    x  
k 2 , k   .
sin x  3 ptvn  2  1 21
Theo đề: x  0;10   0  
k 2  10   k  . 2 4 4
Vì k   nên k 1; 2;3; 4; 
5 . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng 0;10  .
Câu 24. cos 2x  2 cos x  3  0 2
 2 cos x  2 cos x  4  0  cos x  1 hay cos x  2  (loại)
Với cos x  1  x k 2 ;k   .
Với 0  x  2019  0  k 2  2019  0  k  321.49 . Vậy có tổng cộng 321 nghiệm. sin x  1   Câu 25. PT đã cho 2  2
 sin x  4 sin x  6  0    x  
k 2 , k   .
sin x  3 VN   2  1 21
Theo đề: x  0;10   0  
k 2  10   k  . 2 4 4
Vì k   nên k 1; 2;3; 4; 
5 . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng 0;10  . Câu 26. Ta có:  x   4 4 x x     x   2 2 2 cos 2 5 sin cos 3 0 2 cos 2
5 sin x  cos x  3  0 1
  2 cos 2x  5 2
cos 2x  3  0  2
 cos (2x)  5 cos 2x  3  0  cos 2x  . 2 1   5 7 11  cos 2x   x  
k k   x   ; ; ;  . 2 6  6 6 6 6   5 7 11 Do đó: S      4 . 6 6 6 6  1 5 cos x   nCâu 27. + Ta có: 2
cos x  cos x 1  0   2 . 2  cos x  2 l   2x   k2 1 2  3 Suy ra: cos x    cos x  cos      k   2  3   2x    k2  3 2 2 + Với x
k2, k   . Vì x 0;3 nên 0 
k2 3, k   3 3 1 7       2 8   k
, k   . Suy ra: k  0  ;1  x   ;  . 3 6  3 3    2 2 + Với x  
k2, k   . Vì x 0;3 nên 0 
k2 3, k   3 3 1 11   k
, k   . Suy ra: k  4 1  x  . 3 6 3
248   Do đó x   ; ;   .  3 3 3   
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vậy số nghiệm của phương trình là 3.   cos x  0 x   kCâu 28. Ta có 2 cos x cos x 0      2  k   . cos x  1   x k 2    Với x
k , do 0  x   nên ta được x  . 2 2
Với x k 2 , do 0  x   nên không có x nào thỏa mãn. cos x  1
x    k 2
Câu 29. Ta có: cos 2x  cos x  0 2
 2 cos x  cos x 1  0    1   k  cos x  x    k 2  2  3  Do x   
 ;  nên x   . 3  9   15 
Câu 30. sin 2x   3cos x   1 2sin x      2   2         sin 2x   3cos x   1 2sin x    
 cos 2x  3sin x  1  2sin x  2   2   x k sin x  0   2  2
 sin x  sin x  0  1    x
k 2 k   sin x   6  2  5 x   k 2  6   5 
Do x 0;2 nên x  0; ;  ;  . Vậy có 4 nghiệm.  6 6    tan x  1 x   k  4 Câu 31. Ta có 2
4 tan x 5 tan x 1 0      1   k   . tan x  1  x  arctan  4  k  4   2017 2017   Với x
k k   do x   ; 
 nên có. 1008  k  1008 . nên có 2017 4  2 2  nghiệm. 1  2017 2017   Với x  arctan
k k   do x   ; 
 nên có 1008  k  1008 nên có 4  2 2 
2017 nghiệm và hai họ nghiệm không có nghiệm nào trùng nhau. Vậy ta có m  4034 . cos x  1 
Câu 32. Phương trình 2
2 cos x 1 3cos x 2 0        1 2
cos x    cos  2 3 
x    k 2  0; 2   k  0  x    2 2   x
k 2  0; 2   k  0  x   3 3  2 4  x  
k 2  0; 2   k  1  x   3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 4
Vậy trên khoảng 0; 2  , phương trình đã cho có 3 nghiệm là x   , x  , x  . 3 3 sin 2x  1  Câu 33. Ta có: 2
sin 2x  3sin 2x  2  0    sin 2x  1   x  
k , k   . sin 2x  2  (loaïi) 4  1 41 Theo đề bài: 0    k  10   k
k  1, 2,...,10 . 4 4 4 3  3   3  105
Vậy tổng các nghiệm là: S      ...   9      . 4  4   4  2
Câu 34. Đặt t  sin x , điều kiện t  1;  1 .
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2 2
t  3t  5  0 . Phương trình có hai nghiệm t  1  5 (nhận), t  (loại). 2  Với t  1
 , suy ra sin x  1   x  
k 2 (k  ) . 2  1 401
Ta có 0  x  200  0  
k 2  200   k
. Vì k   nên k 1, 2,...,10  0 . 2 4 4 100 100       Khi đó T    k 2  100   2
k  50  10100  10050       .  2   2 1  1
Câu 35. Ta có: cos 2x  3 cos x 1  0 2
 2 cos x  3 cos x  2  0 .
Đặt t  cos x , 0  t  1 , ta được phương trình: t  2 1 2
2t  3t  2  0   1  t  . (vì 0  t  1 ) t  2  2  1   cos x x    k 2 1 1  2  3  Với t  , ta có: cos x       x  
k k   . 2 2 1  2 3 cos x   x    k 2  2  3      Trên đoạn  ; 
phương trình có nghiệm là x   . 2 2    3 x x 4 4 (2 cos x  5)(sin  cos )  3  0
 (2 cos x  5)  cos x  3  0 2 2 cos x  3  (VN ) Câu 36. 2 2 cos x 5cos x 3 0        1 cos x   2   x   k 2  3   , k   
x    k2  3  5
Trong khoảng 0; 2  : x  , x  . 3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng 2.1 Không cần biến đổi
Câu 37. Chọn A      x   k 2x   k    4 2 Điều kiện 2    .    3 sin 2x  cos 2x  0 x   k    12 2     
Vậy, tập xác định của hàm số là D   \   k ;  k ; k   .  4 2 12 2  3 1   
Câu 38. Ta có: 3 sin 2x  cos 2x  2  sin 2x
cos 2x  1  sin 2x   1   2 2  6      2x  
k 2  x
k k   . 6 2 3  
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S    k | k   .  3    x    k 2    1  6
Câu 39. Ta có sin x  3 cos x  1  sin x       , k   .  3  2 
x   k2  2   x    k 2  6
Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là  , k   . 
x   k2  2       1    
Câu 40. Ta có: sin x  cos x  1  2 sin x   1  sin x    sin x   sin        4   4  2  4  4    x    k 2 x k 2  4 4      k  .  3 x   k 2  x    k 2  2  4 4 1 3 1    
Câu 41. Ta có sin x  3 cos x  1  sin x  cos x   sin x   sin   2 2 2  3  6      x    k 2  x    k 2 3 6  6    
k  .     x      k 2
x   k2  3 6  2      2
Câu 42. sin 3x  cos 3x  2  cos 3x   1    3x
k 2  x   k , k   .  4  4 12 3
Dạng 2.2 Cần biến đổi Câu 43. Ta có 2
2sin x  3 sin 2x  3  1 cos 2x  3 sin 2x  3 3 1
 3 sin 2x  cos 2x  2  sin 2x  cos 2x  1 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489        sin 2x   1    2x  
k 2  x   k .  6  6 2 3
Câu 44. Chọn C       Ta có cos x   sin x   và sin x    cos x   .  2   2 
Do đó phương trình   3 sin x  cos x  2sin 2x  3 sin x  cos x  2  sin 2x . 3 1        sin x
cos x   sin 2x  sin x
  sin 2x  sin x   sin     2x . 2 2  6   6      2 x
 2x k 2 x    k  6  18 3     k  .  5  x  2x k 2      x    k 2  6    6 5    k k 7 Xét nghiệm 1 ' x    k 2   x   k ' 2 . k, k ' 6  6  2 7
Vậy phương trình có nghiệm x    k , x
k ' 2 k, k ' . 18 3 6
Câu 45. Chọn D Ta có 1 cos 2x 3 2
sin x  3 sin x cos x  1   sin 2x  1 2 2 3 1 1    1  sin 2 x cos 2 x   sin 2x     2 2 2  6  2      2x    k 2 x   k  6 6  6     .  5  2x k 2     x   k  6 6  2
Câu 46. Chọn C
Phương trình tương đương sin x  cos x  2 sin 5x        2 sin x  
2 sin 5x  sin x   sin 5x      4   4       x
 5x k 2 x   k  4  16 2         x
   5x k2  x   k  4  8 3
Câu 47. Chọn A Ta có 3 x x   x   3 3sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3
3sin 3x  4 sin 3x  3 cos 9x  1      k 2 9x    k 2 x     1  3 6    54 9
 sin 9x  3 cos 9x  1  sin 9x         .  3  2  5  k 2 9x k 2     x    3 6    18 9
Câu 48. Chọn A
Ta có sin x  3 cos x  2 sin 3x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 3  sin x
cos x  sin 3x 2 2    cos sin x  sin
cos x  sin 3x 3 3     sin x   sin 3x    3    x
 3x k 2  3   
x     3x k2  3   x    k  6      x   k , k   .    3 2 x   k  3 2
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm
Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm Câu 49.
Hướng dẫn giải Chọn D   2 2 
cos x  sin 2x  2  cos  x 2 2 
  cos x  sin 2x  2  sin x  cos 2x  sin 2x  2  2           2 cos 2x   2    cos 2x   1    2x
k 2  x  
k k    4   4  4 8 7 15 23
Trên 0;3   x  , x  , x  . 8 8 8 Câu 50.
Hướng dẫn giải Chọn B   x    k     8
Ta có: 2 cos 3x  sin x  cos x  cos 3x  cos x      k   .  4    x   k  16 2 7  9
Vì x 0;  nên nhận x  , x  , x  . 8 16 16
Câu 51. Chọn D Phương trình 2 2
 cos x  sin x  sin 2x  2  cos 2x  sin 2x  2 .       cos 2x   1  2x
k2  x  
k k    .  4  4 8  7
k  1  x   1 17  k 8
Do 0  x  2   0    k  2   k     . 8 8 8 15
k  2  x   8 7 15 11  T     . 8 8 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 52. Chọn A
Phương trình  3 sin 3x  cos 3x  sin x  3 cos x . 3 1 1 3        sin 3x  cos 3x  sin x
cos x  sin 3x   sin x  .     2 2 2 2  6   3    
Suy ra b d    . . 6 3 2
Câu 53. Chọn C 1 3    Phương trình  sin 5x
cos 5x  sin 7x  sin 5x   sin 7x   . 2 2  3      7x  5x   k 2 x   k   3    6
 sin 7x  sin 5x        k .  3       k 7x  5x k 2      x        3    18 6   1 1    0 k   k     k  
k  0  x  . 6 2 6 3 6  
k  0  x   18     1 8   k 2  0 k k         
k  1  x  . 18 6 2 3 3  9  7
k  2  x   18
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn. 3 1   
Câu 54. Ta có 3 cos x  sin x  2  cos x  sin x  1   sin x   1    2 2  3   3   x  
k 2 k   7   x
k 2 k   . 3 2 6
Trên đoạn 0; 4035  , các giá trị k   thỏa bài toán thuộc tập 0;1; 2;; 201  6 .
Do đó có 2017 nghiệm của phương trình thuộc đoạn 0; 4035  .   k 2
2x    x k 2 x  
Câu 55. cos 2x   cos x      3 3 
2x    x k 2  
x    k 2  1 3
cos 2x  3 sin 2x  2 cos x  0  cos 2x
sin 2x  cos x 2 2   x   k 2     3  cos 2x   cos x      3   k 2 x    9 3      3 9 
Để hai phương trình tương đương cần có     .  3      3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  2 2     2
Câu 56. Ta có: sin x  cos x  1  2  sin x
cos x   1  sin x      2 2   4  2      x    k 2 x k 2      4 4 sin x sin           k   .  4  4  3 x   k 2  x    k 2  2  4 4  
Suy ra: a  0 và b
nên a b  . 2 2    
Câu 57. Ta có sin x  3 cos x  0  sin x   0    x
k , k Z  3  3 7 5
Vì x 2 ; 2  nên 2
   x  2    k
. Do đó có 4 giá trị k , tương ứng có bốn 3 3 nghiệm x .    Câu 58. 2
2 cos x  3 sin 2x  3  cos 2x  3 sin 2x  2  cos 2x   1    3     2x
k 2  x
k k   . 3 6 5  5 Xét 0  x   0   k 
k  0 , k  1 , k  2 . 2 6 2  7 13
Với k  0  x
; k  1  x
; k  2  x  . 6 6 6 7
Vậy tổng các nghiệm bằng . 2    Câu 59. Ta có 2 2
cos x  sin 2x  2  cos  x    2 2
cos x  sin 2x  2  sin x  2     
 cos 2x  sin 2x  2  cos 2x   1    2x
k 2 , k    4  4   x  
k , k   8  1 17
Vì 0  x  2  0    k  2   k  8 8 8 7 15
Vì k   nên k 1;  2  x  ; x  1 2 8 8 11
Vậy x x  . 1 2 4
Câu 60. Chọn B
Phương trình  sin 9x  3 cos 9x  sin 7x  3 cos 7x .    9x   7x   k 2 x k        3 3  sin 9x   sin 7x          5 k .  3   3       x   9x     7x   k 2    48 8  3   3 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
k  0  k  0 k  k  1   x    max Cho0    . 5 k 5
So sánh hai nghiệm ta được      0 kk     k  1   x   max  48 8 6 48    
nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x     ; 0 .   48  12 
Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm
Câu 61. Điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sinxbcosx c có nghiệm là: 2 2 2
a b c .
Câu 62. Chọn D 2 2 5 5 Phương trình có nghiệm 2  3   4    2m 2  4m  25    m  . 2 2 1 cos 2x
Câu 63. Ta có: m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0  m   1 .
sin 2x  cos 2x  0 2
 2sin 2x (m 1
 )cos2x m 1 
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 2 2 2 2  (m 1
 )  (m1)  m 1 kết hợp với điều kiện
của đề bài ta có: 2018  m 1. Suy ra có 2020 số giá trị nguyên để phương trình có nghiệm.
Câu 64. Chọn D
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 3 3
m  m  2   m  2 2 2 2 1 2
 2m  3  0    m  2 2
Vậy có 1 giá trị nguyên.
Câu 65. Chọn B m sin 2x  os2 c x  2 m 1 2  sin 2x  cos 2x  2 2 2 m 1 m 1 m 1 2
 sin 2x    2 m 1 2 m  3 có nghiệm khi  1   . 2 m 1 m   3 
Câu 66. Chọn A
4 sin x  m  4cosx  2m  5  0  4 sinx  m  4cosx  2m  5 . 2 2
Phương trình có nghiệm khi 2
4  m  4 2m  5  0 2
 3m  12m  7  0 6  57 6  57   m  3 3
Vì m   nên m  0,1,2, 3,  4 .
Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10 .
Câu 67. Chọn B m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0 m   1 
1 cos2x  sin 2x  cos2x  0 2  m  
1 1 cos 2x  2sin 2x  2cos 2x  0  2
 sin 2x  1 mcos 2x m 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
   m2  m  2 4 1 1
 4m  4  m  1
Vậy có tất cả 2020 giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.
Câu 68. Chọn D 4m  4  0 m  1  
Điều kiện xác định: m  2  0  m  2  m  3. 3  m 9 0    m  3  
4m  4.sinx .cosx m  2.cos 2x  3m  9 
m 1.2sinx .cosx  m  2.cos 2x  3m  9
m 1.sin 2x m  2.cos 2x  3m  9
Phương trình có a m 1, b
m  2, c  3m  9.
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2
a b c . Ta có:
m  2  m  2   m  2 1 2 3 9
m 1 m  2  3m  9  m  6.
Kết hợp điều kiện ta được 3  m  6.
Mà m   nên m 3; 4;5;  6 .
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 69. 2m  
1 cos 2x  2m sin x cos x m 1  2m  
1 cos 2x m sin 2x m 1. 2 2 1
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi 2m   2
1  m  m   2 1
 2m m  0  0  m  . 2 1 cos 2x Câu 70. Ta có 2
2m sin x cos x  4 cos x m  5  m sin 2x  4  m  5 2
msin 2x  2cos 2x m  3. 5
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi m  4  m  32 2  m  . 9
Vậy có ba giá trị của m E để phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 71. Có 2 cos x  sin x  4  0, x    .
PT m 2 cos x  sin x  4  cos x  2sin x  3  2m  
1 cos x  m  2sin x  4m  3  0 . 2 2 2
Phương trình trên có nghiệm khi 2m  
1  m  2  4m  3 2 2  1
 1m  24m  4  0   m  2 . 11
Câu 72. 4 sin x  m  4 cos x  2m  5  0  4sin x  m  4 cos x  2m  5 . 2 2
Phương trình có nghiệm khi 2
4  m  4  2m  5  0 2  3
m 12m  7  0 6  57 6  57   m  3 3
Vì m   nên m 0,1, 2,3,  4 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10 . 1 cos 2x 1 cos 2x Câu 73. 2 2
a sin x  2sin 2x  3a cos x  2  a
 2sin 2x  3a  2 2 2
a a cos 2x  4 sin 2x  3a  3a cos 2x  4  4 sin 2x  2a cos 2x  4  4a * 8 * có nghiệm khi
a    a2 2 2 4 4 4 4 2
 12a  32a  0 2
 12a  32a  0  0  a  . 3
Do a   và là số lớn nhất nên a  2 . Câu 74. 2
8sin x  m  
1 sin 2x  2m  6  0 2
 8sin x  4  m  
1 sin 2x  2m  2  0  4
 cos 2x  m  
1 sin 2x  2  2m . 2 2 2
Phương trình có nghiệm khi:  4
   m   1  2  2m 2 2
 16  m  2m  1  4  8m  4m 3  4 3 3  4 3 2
 3m  6m 13  0   m  . 3 3
Vì m   m  1;0;1; 2;  3 . m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0 1 cos 2x
Câu 75.  m   1
 sin 2x  cos 2x  0 2  1 m m 1 
cos 2x  sin 2x      2  2 2 2  1 m  2  m 1 
Điều kiện có nghiệm của phương trình      1    m  1    2   2 
Suy ra 2018  m  1
Suy ra có 2020 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.
Câu 76. Chọn C Ta có
2cosx  sinx  4  0, x nên
cos x  2 sin x  3 m
 cos x  2 sin x  3  m 2 cos x  sin x  4
2 cos x  sin x  4  2m  
1 cosx- m  2s inx  4m  3  0 (1)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2m  2
1  m  22  4m  32 2  11 
m  24m  4  0   m  2 11
Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max
Câu 77. Ta có sin x  cos x  2  0, x nên hàm số có tập xác định là D   .
sin x  2 cos x 1
Xét phương trình ẩn x : y    y  
1 sin x   y  2 cos x  1 2y .
sin x  cos x  2 2 2 2
Phương trình này có nghiệm   y   1
  y  2  1 2 y  2
 2 y  2 y  4  0  2  y  1 .
min y  2  m
Vì phương trình luôn có nghiệm, suy ra x 2 2 
M m  1  4  3 .
max y  1  M   x
Câu 78. Chọn B
cos x  2sin x  3 y  (1)
2 cos x  sin x  4
 Điều kiện: 2cos x  sin x  4  0 (luôn đúng)
 Gọi y là một giá trị của hàm số (1). o
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
cos x  2sin x  3 Khi đó: y o
2 cos x  sin x  4
y 2 cos x  sin x  4  cos x  2 sin x  3 o
  y  2sin x  1 2 y  cos x  4 y  3 (2) o o o 2 2 2
Do phương trình (2) luôn có nghiệm x nên: 4 y  3   y  2  1 2 y o o o  2
 11y  24 y  4  0 o o 2   y  2 11 o  2 
Tập giá trị của hàm số (1) là ; 2 
. Các giá trị nguyên là: 1; 2 . Vậy có hai giá trị nguyên. 11   
Câu 79. Chọn C
sin x  2 cos x  1 Ta có y   y  
1 sin x  y  2cos x  1  2y   *
sin x  cos x  2 Phương trình   * có nghiệm
 y  2  y  2    y2 2 1 2 1 2
y y  2  0  2   y  1. Vậy m  2  ; M  1.
Câu 80. Chọn D s inx  2 cos x  3 P
 2P  
1 s inx  2  P cos x  3  4P  0
2 sin x  cos x  4 2 2 2 2
Áp dụng điều kiện có nghiệm ta có: 2P  
1  2  P  3  4P   P  2 . 11
Câu 81. Chọn D m sin x 1 Ta có y
m sin x y cos x 1 2 y  0 . cos x  2
Điều kiện phương trình  
1 có nghiệm là y m    y2 2 2 1 2 2 2
 3y  4 y 1 m  0 2 2  1 3my  . 3 2 2  1 3m Do đó, suy ra 2
 3  m  16  4   m  4 . 3
Mà m m  3  ; 2  ; 1; 0;1; 2;  3 .
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp
Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm
Câu 82. Chọn D
Do cos x  0 không thỏa mãn phương trình nên chia hai vế của phương trình cho 2 cos x  0 ta có 2 2 2
2 tan x  3 tan x  2  1 tan x  tan x  3 tan x  3  0
Đặt t  tan x thì ta có phương trình 2
t  3t  3  0 .
Câu 83. Cách 1: Xét cos x  0 : Phương trình tương đương 2  3ktm
Xét cos x  0 , chia cả hai vế cho 2 cos x ta có: 2 x x   2 x   2 2 tan 2 3 tan 3 tan
1  tan x  2 3 tan x  3  0 
 tan x  3  x
k , k 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489    
Cách 2: pt    2
1  2 sin x   3 sin 2x  2  2sin 2x   2    x   k .  6  3
Câu 84. Chọn B 1 cos8x 1 cos8x 2 2
3cos 4x  5sin 4x  2  2 3 sin 4x cos 4x  3  5  2  3 sin 8x 2 2 3 1
 3 sin8x  cos8x  2  
sin8x  cos8x  1  2 2    sin 8x cos  cos8x sin  1  6 6         sin 8x   1   8x   
k2 k   x    kk    .  6  6 2 24 4
Câu 85. Chọn B si  n x  0 si  n x  0
 Với x k    
. Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng. 2 cos x  1  cos x  1   Phương trình 2 2 2
 cos x  3 sin x cos x  sin x  cos x  0 . 2 2 2
 sin x  3 sin x cos x  2 cos x  0  tan x  3 tan x  2  0 . Vậy B đúng.  Phương trình 2 2 2
 cos x  3 sin x cos x  sin x  cos x  0 . 2 2 2
 2 cos x  3 sin x cos x  sin x  0  2 cot x  3 cot x  1  0 . Vậy C sai. 1 cos 2x sin 2x  Phương trình   3
1  0  cos 2x  3sin 2x  3  0. Vậy D đúng. 2 2
Câu 86. Chọn A cos x  0
không thỏa mãn phương trình, nên ta có:    2 xx x     2 3 1 sin 2 3 sin cos 3 1 cos x  0     2
3 1 tan x  2 3 tan x  3 1  0 tan x  1   x   k    3 1   4
(Với tan  2  3 ). tan x   2  3   3  1
x    k 
Câu 87. Chọn C Phương trình 2  x     2 x x x   2 2 sin 3 1 sin cos 3 cos
3 sin x  cos x .   2 1 3 sin x  3
1sin xcos x 0 sin x1 3sin x  3 1cos x           0.    2 2
sin x  0  cos x  1  cos x  1  0.
 1 3sin x  3  
1 cos x  0  1 3sin x   3   1 cos x . 3 1  tan x   tan x  2
  3  tan x  2  3  0. 1 3
Vậy phương trình đã cho tương đương với  x    2 tan 2 3 cos x   1  0 .
Câu 88. Chọn D Phương trình 2 2  x x x x   2 2 2 sin 3 3 sin cos cos
2 sin x  cos x  . 2
 3 3 sin x cos x  3cos x  0  3cos x  3sin x  cos x  0.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     x   x
k k   k 0 cos 0  x  . 2 2
 3 sin x  cos x  0  3 sin x  cos x . 1      tan x   tan x  tan  x
k k   k 0  x  . 3 6 6 6  
Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm và . Chọn D 6 2
Câu 89. Chọn C Ta có    2 x x     2 2 1 sin sin 2 2 1 cos x  2  0  1cos2x     x    1 cos 2x 2 1 sin 2 2 1  2  0 2 2   2  
1 1 cos 2x  sin 2x   2  
1 1 cos 2x  2 2  0  2 
2 cos 2x  sin 2x  0
Như vậy, mệnh đề: “Phương trình đã cho tương đương với cos 2x  sin 2x  1” sai.
Câu 90. Chọn A
Cách 1: Xét cos x  0 : Phương trình tương đương 2  3ktm
Xét cos x  0 , chia cả hai vế cho 2 cos x ta có: 2 x x   2 x   2 2 tan 2 3 tan 3 tan
1  tan x  2 3 tan x  3  0 
 tan x  3  x
k , k 3    
Cách 2: pt    2
1  2 sin x   3 sin 2x  2  2sin 2x   2    x   k .  6  3 Câu 91. Chọn B.
TH1: cos x  0  x   k 2 thỏa mãn phương trình.
TH2: cos x  0. 2 2
6sin x 7 3sin 2x 8cos x  6 1 2
 6 tan x 14 3 tan x  8  6 2 cos x 2  x x    2 6 tan 14 3 tan 8 6 tan x  1 14 3 tan x 1  4  0 1    tan x   tan x  tan  x
k k   . 3 6 6
Câu 92. Chọn A tan x  1 Phương trình 2
 tan x   3  
1 tan x  3  0   . tan x  3    x   k  4  
k .
x   k  3
Câu 93. Cách 1: Xét cos x  0 : Phương trình tương đương 2  3ktm
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Xét cos x  0 , chia cả hai vế cho 2 cos x ta có: 2 x x   2 x   2 2 tan 2 3 tan 3 tan
1  tan x  2 3 tan x  3  0 
 tan x  3  x
k , k 3    
Cách 2: pt    2
1  2 sin x   3 sin 2x  2  2sin 2x   2    x   k .  6  3
Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm
Câu 94. Chọn A
Dễ thấy cos 2x  0 không thỏa mãn phương trình. Dó đó, phương trình đã cho tương đương với:    tan 2x  1 x   k   1  8 2 2
4 tan 2x  3 tan 2x 1  0   1   tan 2x    1  1    4 x  arctan   k   2  2   4  2   Xét  
1 , vì x  0;   0   k
   k   1 (do k   ). 8 2 1  1  
Xét 2 , vì x 0;   0  arctan   k      k 1;  2 (do k   ). 2  4  2
Do đó, trong khoảng 0;  thì phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 95. Chọn C   tan x  1 x   k  4 Phương trình 2 1 3 tan x 2 tan x 0       1   . tan x  1 x  arctan  2  k  2  9 7  Vì  2 ; 2  2  2 k x kk               k  2  ; 1; 0;  1 . 4 4 4 1  Vì x  2   ; 2   2    arctan  k  2 . 2 CASIO 28, 565 24, 565 k k        
  k  28; 27; 26; 25 . xapxi  
Vậy có tất cả 8 nghiệm.
Câu 96. Chọn D Phương trình 2  x     x x     2 2 2 2sin 1 3 sin cos 1
3 cos x  sin x  cos x . 2  x     2 sin 1
3 sin x cos x  3 cos x  0 .       tan  1 x k x  2
 tan x  1 3 4 tan x  3  0     . tan x  3  
x   k  3   1     k  0 kk    k  0  x   max  Cho0 4 4 4    .  1    k 2
k  0  k     k  1  x   max  3 3 3 
So sánh hai nghiệm ta được x  
là nghiệm âm lớn nhất. 4
Câu 97. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Ta có 2 2
4 sin x  3 3 sin 2x  2 cos x  4  21 cos 2x  3 3 sin 2x  1 cos 2 x  4 3 1 1    1
 3 sin 2x  cos 2x  1  sin 2x  cos 2x   sin 2x     2 2 2  6  2      2x    k 2 x   k  6 6  6     
 nghiệm dương nhỏ nhất là x  .  5   6 2x k 2     x   k  6 6  2 Câu 98. 2 2
3sin x  2sin x cos x  cos x  0 2 2
 3sin x  3sin x cos x  sin x cos x  cos x  0 3sin x 1  1
3sin x  cos x  0  cos x tan x
 (3sin x  cos x)(sin x  cos x)  0       3
sin x  cos x  0  sin x    1 tan x  1     cos x  1 x  arctan  k  3   k   . 
x    k  4
Do x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 2
3sin x  2sin x cos x  cos x  0 nên 0 1 x  arctan . 0 3 Câu 99. Ta có: 2 2
4 sin 2x  3sin 2x cos 2x  cos 2x  0 2
 4 tan 2x  3 tan 2x 1  0 tan 2x  1   1 tan 2x   4
x  0;   2x 0; 2 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Quan sát hình vẽ ta có: Phương trình có 4 nghiệm thuộc 0;  .
Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm Câu 100. Ta có: 1  cos 2 x 1  cos 2 x 2 2
a sin x  2 sin 2x  3a cos x  2  a
 2 sin 2x  3a  2 2 2
 4 sin 2x  2a cos 2x  4  4a * .
Câu 101. Phương trình 2 2
 3sin x  2m sin .
x cos x  4 cos x  0   1 Với cos x  0 thì 2
sin x  1 , thay vào   1 ta có 3.1 .0
m  4.0  0  3  0 (vô lý).
Do đó cos x  0 không thỏa mãn.
Với cos x  0 , chia cả hai vế của   1 cho 2 cos x ta được 2
3 tan x  2m tan x  4  0 .
Đặt t  tan x , ta có 2
3t  2mt  4  0 2
Phương trình bài ra có nghiệm khi 2 có nghiệm 2
   m 12  0 luôn đúng với m    vì 2 m 12  12  0 m    .
Vậy với mọi m   thì phương trình bài ra có nghiệm.
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng
Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm
Câu 102. Chọn B 2 1  t
Đặt t  sin x  cos x t  2   sin 2x  2 2 1 1  tt  1 2  t  1  .
t  4t  3  0  2 2
t  3 (loai)        
 sin x  cos x  1  2 sin x   1  sin x   sin      4   4  4 x k2    x   k2  2
Câu 103. Chọn A      
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x    . Vì sin x     1; 
1  t   2; 2  .  4  4     2 2 t 1 Ta có 2
t  sin x  cos x 2 2
 sin x  cos x  2 sin x cos x  sin x cos x  . 2 2  t  1 t 1
Khi đó, phương trình đã cho trở thành 2
 2t  2  t  4t  5  0  .  2 t   5   loaïi    1    
Với t  1, ta được sin x  cos x  1  sin x    sin x   sin     .  4  2  4  4    x    k 2  x k 2  4 4      , k   .     x   k 2 x      k 2   2  4 4
Câu 104. Chọn A Đặt 2
t  sin x  cos x  sin 2x t 1.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Phương trình đã cho trở thành t   2 t   2 3 2 2
1  4  0  2t  3 2 t  2  0.
Câu 105. Chọn A   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  
 . Điều kiện  2  t  2.  4  Ta có t   x x 2 2 2 2 2 sin cos
 sin x  cos x  2.sin .
x cos x  sin 2x t 1.
Khi đó, phương trình đã cho trở thành  2 t   2 5
1  t  6  0  5t t 1  0 : vô nghiệm.
Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 2
1 tan x  0.
Câu 106. Chọn B Đặt x
x  t   
. Khi đó phương trình trở thành:   2 | sin cos | t 2; 2
 sin 2x t 1 t  6 (L)  6    6 2
2t  3 6t  6  0 
 sin x  cos x   2 sin 6 x       2   4  2 t (TM)  2    x    k 2  4 3   2  x    k 2    3        4 3  sin x     sin x   sin         k     4  2  4   3     x     k 2  4 3   4  x    k 2  4 3     x   k 2 x   k 2  12  12   5 5    x k 2    x   k 2 x   k 12     k   12  k   12    
k  . 7 7 5 x    k 2 x    k 2    x   k  12  12  12  13  13  x   k 2  x   k 2  12  12
Câu 107. Chọn D 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2   sin x cos x  . 2
Phương trình trở thành   t  2 1 3 t   1  3 1  0 . t  1 2
t  1 3t  3  0    t  1.
t  3 loaïi  
Câu 108. Chọn C 1
sin x  cos x  1 sin 2x  sin x  cos x3 3 3
 3sin x cos x sin x  cos x 1 sin x cos x 2 2 t 1
Đặt sin x  cos x t t  2   sin x cos x
. Khi đó ta có phương trình 2 2 2 t 1 t 1 3 3 2 t  3 t  1 
t t  3t  3  0  t   1  2
t  3  0  t  1 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489       
 sin x  cos x 1  2 sin x  1  sin x   sin      4   4  4    x    k 2 x k 2  4 4  k       k .  3 x   k 2 x    k 2  2  4 4
Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm
Câu 109. Chọn C   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  
 , t   2; 2  .  4    2 t 1 Ta có 2 2 2
t  sin x  cos x  2 sin .
x cos x  1 2sin .
x cos x , suy ra sin . x cos x  . 2
Phương trình đã cho trở thành 2 t  1 t 1 2
 2t  2  t  4t  5  0   . 2 t  5    2; 2           2
Từ đó ta có 2 sin x   1    sin x     .  4   4  2    2
Như vậy P  sin x    . 0   4  2
Câu 110. Chọn A
Ta có 1 sin x1 cos x  2  1 sin x  cos x  sin . x cos x  2 .
 sin x  cos x  sin .
x cos x  1  2sin x  cos x  2.sin .
x cos x  2.  . 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2   sin x cos x  . 2 t  1
Khi đó  trở thành 2 2
2t t 1  2  t  2t  3  0   .
t   3 loaïi  
 sin x  cos x  1.      2 2 Ta có cos x   cos x cos  sin x sin   
cos x  sin x  .  4  4 4 2 2
Câu 111. Chọn C   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  
 . Điều kiện  2  t  2..  4  2 2 1 t Ta có 2
t  sin x  cos x 2 2
 sin x  cos x  2sin x cos x  sin x cos x  . 2 2  tt  1 1
Phương trình đã cho trở thành 6t   6  0   . 2 t  13loaïi         1    1  2 sin x   1  sin x     sin  x        .  4   4  2  4  2     1    1  cos   x   cos x   .      2   4  2  4  2
Câu 112. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có 1 5sin x  cos x  sin 2x 1 5  0
sin x  cos x  1 tm    x x2 sin cos
 1 5sin x  cos x  5  0   .
sin x  cos x  5 l      1 2 Do đó sin x  
sin x  cos x    .  4  2 2
Câu 113. Chọn C s  in x  0 Điều kiện   sin 2x  0 . cos x  0  sin x cos x
Ta có 2 sin x  cos x  tan x  cot x  2 sin x  cos x   . cos x sin x 2 2 sin x  cos x
2 sin x  cos x   2 sin x cos .
x 2 sin x  cos x  2. sin x cos x 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2   sin x cos x  . 2
Phương trình trở thành  t  2 t   3 2
1  2  t t  2  0  t  2 .
 sin x  cos x  2  sin x  2  cos . x Mà x x   x    x2 2 2 2 2 sin cos 1 cos 2 cos
 1  2 cos x  2 2 cos x  1  0 .   x  2 1 2 cos 1  0  cos x  . 2
Câu 114. Chọn D 2 1 t
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2   sin x cos x  . 2
Phương trình trở thành    2 1
5 t 1 t 1 5  0 . t  1 2
t  1 5 t  5  0   .
t  5  loaïi  
 sin x  cos x  1  cos x  sin x 1. sin x  0
Mặt khác sin x  cos x  1  sin x  sin x  2 2 2 2 1  1  .  sin x  1 
Câu 115. Chọn B   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  
 . Điều kiện  2  t  2.  4  Ta có t   x x 2 2 2 2 2 sin cos
 sin x  cos x  2 sin x cos x  sin 2 x  1  t . t  0
Phương trình đã cho trở thành 2 2
1 t t  1  t t  0   . t  1        1
Với t  1, ta được 2 sin x   1  sin x   .      4   4  2      
Với t  0 , ta được 2 sin x   0  sin x   0.      4   4 
Câu 116. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  
 . Điều kiện  2  t  2.  4  Ta có t   x x 2 2 2 2 2 sin cos
 sin x  cos x  2 sin x cos x  sin 2 x t 1. 2 t  t  1 1
Phương trình đã cho trở thành 2 t  1
t  2t  3  0  .  2
t   3loaïi         1    
Với t  1, ta được 2 sin x   1  sin x    sin x   sin       .  4   4  2  4  4    x    k 2  x k 2  4 4     ,  k   .    x   k 2
x      k2  2  4 4
TH1. Với x k 2  0  k  0  k
 1  x   2.. max  1 3 TH2. Với x
k 2  0  k    k  1  x   . max 2 4 2 3
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x   . 2
Câu 117. Chọn B
Đặt t  sin x  cos x , ( 0  t  2 ) 2 t 1 2  t  1  2 sin .
x cos x  sin . x cos x
. Phương trình đã cho trở thành: 2 2
t  2t  3  0  t  1 (thỏa mãn) hoặc t  3  (loại). k
Với t  1  sin 2x  0  x  . 2  3 
Trong khoảng 0;2  các nghiệm của phương trình là:  ; ;  .  2 2 
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0;2  là 3 . 2 t 1
Câu 118. Đặt t  sin x  cos ,
x t  2  sin x cos x  , ta có phương trình 2 2  t  1 t 1 2
 2t  2  t  4t  5  0   2 t  5 loai  2 t 1
Với t  1, ta có sin x .cos x
 0  sin 2x  0  P  3  sin 2x  3 0 0 0 0 2
Câu 119. TXĐ: D   .
Đặt P  1 sin x  1 cos x 2
P  2  sin x  cos x  2 1 sin x  cos x  sin x cos x .   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  
  t   2 ; 2  .  4    2 t 1 Khi đó 2
t  1 2sin x cos x  sin x cos x  . 2 2 t 1 Vậy 2
P  2  t  2 1 t
 2  t  2 t 1 . 2
TH1:  2  t  1 thì 2
P  1 2 t  2  2 . Khi đó 2
1  P  4  2 2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TH2: 1  t  2 thì 2
P  1 2 t  2  2 . Khi đó 2
1  P  4  2 2 . Vậy 2
1  P  4  2 2 mà P  0 nên 2
1  P  4  2 2  1  P  4  2 2 .
Phương trình có nghiệm khi 1  m  4  2 2 .
Câu 120. Đặt t  sin x  cos x , ( 0  t  2 ) 2 t 1 2  t  1 2sin .
x cos x  sin . x cos x
. Phương trình đã cho trở thành: 2 2
t  2t  3  0  t  1 (thỏa mãn) hoặc t  3 (loại). k
Với t  1  sin 2x  0  x  . 2  3 
Trong khoảng 0; 2  các nghiệm của phương trình là:  ; ;  .  2 2 
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0; 2  là 3 .
Câu 121. Chọn A 3
Phương trình  1 sin x  cos x1 sin x cos x  sin 2x . 2
 2  sin x  cos x2  sin 2x  3sin 2 . x 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2   sin x cos x  . 2
Phương trình trở thành  t  2  t     2 2 2 1 3 t   1 . t  1 3 2
t  3t  3t  5  0   .
t  1 6 loaïi      1 Với t  1
 , ta được sin x  cos x  1  sin x      .  4  2          1    2 Mà 2 2 2 sin x   cos x   1  cos x    cos x    .          4   4   4  2  4  2
Câu 122. Chọn C      
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x    . Vì sin x     1; 
1  t  0; 2  .  4  4     Ta có t   x x 2 2 2 2 2 sin cos
 sin x  cos x  2 sin x cos x  sin 2 x t 1. .  6 t  
Phương trình đã cho trở thành 2  2 t  
1  3 6 t  8  0  2  . t  6 loaïi  1 2
sin 2x t 1  . 2
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích
Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm
Câu 123. Cách 1: ĐK: x   (*) Phương trình  x  2 sin
3  4 sin x   4 sin x cos 2x  0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  1 cos 2x   sin x 3  4.
 4 cos 2x  0  sin x  
1 2cos 2x  0  2  sin x  0 x k x k     1     
k  thỏa mãn (*). cos 2x   cos 2x    k 2 x    k  2 3  3  6
Cách 2: Phương trình  sin 3x  2 sin 3x  sin x  0
  sin 3x  2 sin x  0  x  2 sin 4 sin x   1  0 x k
 sin x 1 2 cos 2x  0    x    k  6
Câu 124. Cách 1: Ta có: 2
sin 2x  2sin x  6sin x  2 cos x  4  0   x x x   2 2 sin cos 2 cos
2sin x  6sin x  4  0
 2 cos x sin x  
1  2 sin x  2sin x  
1  0  sin x  
1 sin x  cos x  2  0   x   k 2 sin x  1  2       x
k 2 , k   .
sin x  cos x  2      2 sin x   2   VN    4 
Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm
Câu 125. Ta có cos x  cos 2x  cos 3x  0  cos 3x  cos x  cos 2x  0  2 cos 2 .
x cos x  cos 2x  0  cos 2x 2 cos x   1  0      2x   kx   k  2  4 2 cos 2x  0   2 2     1  x
k 2  x
k 2 ,k   cos x    3  3  2   2 2  x    k 2  x    k 2  3  3
Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x  cos 2x  cos 3x  0 trên đường tròn lượng giác
ta được số điểm cuối là 6 . 1 1
Câu 126. Ta có phương trình sin 5x cos 7x  cos 4x sin 8x
sin12x  sin 2x  sin12x  sin 4x 2 2  kx  sin 3x  0  3
 sin 4x  sin 2x  0  2 sin 3x cos x  0      I  . cos x  0  
x   k  2  2 4 5  3 
Vì x  0; 2  nên từ  I  suy ra x   , , , , , ,  .  3 3 3 3 2 2   2 4 5  3
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là         7 . 3 3 3 3 2 2
Câu 127. sin 2x  3cos x  0  2 sin .
x cos x  3cos x  0  cos .
x 2 sin x  3  0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  
cos x  0  x   k k   2   3 sin x  
loai vì sin x 1  ;1   2 
Theo đề: x  0;   k  0  x  . 2 Câu 128. 3 2
2 cos x  cos x  cos 2x  0 3 2 2
 2 cos x  cos x  2 cos x 1  0  1    cos x   cos x    k 2 3 2
 2 cos x  3cos x 1  0   2 3   3 , k   .   cos x  1  
x    k 2 
Vì x 0;13  nên
 7 13 19 25 31 37 5 11 17 23 29 35  S   , , , , , , , , , , , ,
, ,3 ,5 , 7 ,9 ,11 ,13   3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  400
Vậy tổng các phần tử của S là: . 3 Câu 129. Ta có: 3 x x x    x x   2 cos 3 cos 2 9sin 4 0 4cos 3cos
1 2sin x  9sin x  4  0.  x   2  x   2 cos 4 1 sin
3  2 sin x  9sin x  5  0 .
  cos x 2sin x   1 2sin x   1  2sin x  
1 sin x  5  0 .  2sin x   1  2  sin .
x cos x  cos x  sin x  5  0 (*) .   
Do sin x  cos x  2 sin x    2   ; 2  sin .
x cos x   sin 2x  1  .  4  nên: 2  sin .
x cos x  cos x  sin x  5  sin x  cos x  sin 2x  5  4  2  0 .   x   k 2 1  6
(*)  2sin x 1  0  sin x    k  . 2 5  x   k 2  6   1 17 Với x
k 2 , x  0;3   0   k 2  3   k  . 6 6 12 12  13 
k k 0;  1  x   ;  .  6 6  5 5 5 13 Với x
k 2 , x  0;3   0   k 2  3   k  . 6 6 12 12 5 17 
k k 0;  1  x   ;  .  6 6   5 13 17 
Tập nghiệm của phương trình đã cho là: S   ; ; ;  .  6 6 6 6 
Tổng tất cả các nghiệm là 6 .
Câu 130. Điều kiện: x
k , k Z . 2
Phương trình đã cho tương đương với  x   x x 2 2 sin 1 3 tan 2 sin  4sin x 1.  2sin x   1  3 tan x   1  0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   x   k 2  1  6  5 sin x    x   k 2 2 5  6     x   k 2  
, k  (thỏa mãn điều kiện). 1   6  tan x
x   k    3     6 x   k  6 5
*Trường hợp 1: Với x
k 2 , k  .   1 6 5 5 115
x 0; 20   0 
k 2  20   k
. Mà k   nên k 0; 1; 2....;  9 . 6 12 12
 Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0; 20  của họ nghiệm   1 là: 9  5  295 S   k 2  . 1   k  0  6  3 
*Trường hợp 2: Với x
k , k   . 2 6  1  119
x 0; 20   0   k  20   k
. Mà k   nên k 0;1; 2....;1  9 . 6 6 6
 Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0; 20  của họ nghiệm 2 là: 19    580 S   k  . 2   k 0  6  3 875
Vậy tổng các phần tử của T là S S   . 1 2 3 Câu 131. Ta có 2
2 sin 2x  cos 2x 1  0 2 2 2
 8sin x cos x  2 cos x  0  2  x  2 x   2 2 cos 4sin
1  0  cos x  0  cos x  0  x
k k   . 2 
Bài ra x 0; 2018 nên  k 0; 2018  k 0; 1; 2; 3;...; 20  17 . 2
Do đó số nghiệm của phương trình 2
2 sin 2x  cos 2x 1  0 trong 0; 2018 là 2018 .
Câu 132. sin x  4 cos x  2  sin 2x
 sin x  2  2sin x cos x  4cos x
 sin x  2  2 cos x sin x  2
 sin x  21 2cos x  0
sin x  2 l      x    k 2 1  k  . cos x  3  2
 5 7 11 13 
x  0;5   x   ; ; ; ;  .  3 3 3 3 3 
Vậy phương trình có 5 nghiệm trong khoảng 0;5  .
Câu 133. Điều kiện sin 2x  0 . cos 2x  5 3  1 8 cot 2x  1 6 6
sin x  cos x  sin 4x  8. .  cos 4x  .2sin 2 . x cos 2x   2 sin 2x  8 8  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  
 cos 2x 9  7 cos 4x  0  cos 2x  0  x   k , k   . 4 2 y 3  4 4 O x 5 7 4 4
Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 4 .  3 
Câu 134. Ta có 3 sin x  cos  2x
  3 sin x  sin 2x     2  
3 sin x   sin 2x  3 sin x  2sin x cos x sin x  0  x k    3 5  5 k   . cos x    cos  x    k 2  2 6  6  3   3  Bài ra x   ;    nên k   ;    k  1   x    . 2       2  5  3  7  k 2   ;    k  1   x   . 6  2    6 5  3    k 2   ;  
k    x   . 6  2     3 
Do đó số nghiệm thuộc  ;   
của phương trình đã cho là 2 . 2    Câu 135. Ta có:   
cos   x  3 sin x  sin 3x  
   cos x  3 sin x   cos 3x  2 
 2sin 2x sin x  3 sin x  0  sin x 2sin 2x  3  0  x k sin x  0      3  x
k , k   . sin 2x   6  2   x   k  3  4   4  4 1
 Với x k , trên nửa khoảng  ;   ta có:   k     k   3 2  3 2 3 2  k 1; 
0 . Suy ra các nghiệm là x    , x  0 .   4   4   3 1  Với x
k , trên nửa khoảng  ;   ta có:    k     k  6  3 2  3 6 2 2 3 5   k 1; 
0 . Suy ra các nghiệm là x   , x  . 6 6   4   4   5 1  Với x
k , trên nửa khoảng  ;   ta có:    k     k  3  3 2  3 3 2 3 6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2   k 1; 
0 . Suy ra các nghiệm là x   , x  . 3 3  4  
Suy ra số nghiệm trên nửa khoảng  ; 
 của phương trình là 6 .  3 2 
Câu 136. Phương trình  cos 4x  cos 2x  cos 3x  cos x  0  2cos 3x cos x  2cos 2x cos x  0 .    x   k cos x  0  2   5x x 5x  2k 4 cos x cos cos 0     cos  0   x   , k   2 2  2  5 5   x
x    2k cos  0   2  Do 
  x   nên:   x     x   k       2 ;   . 2   x   2  3 x    2k  x         5 ;   . 5 5  x    5 Câu 137.   x 2 1 cos 4
sin 2x  3cos 2x 2 2  2 cos 2 .
x sin 2x  3cos 2x  0    2
 cos 2x 2sin 2x  3  0  cos 2x  0  2x
k  x   kk  . 2 4 2   1 3 Xét 0   k      k   k  0;1. 4 2 2 2  3
Vậy tổng các nghiệm bằng    . 4 4
Câu 138. Chọn D 2 x x x    2 2 2 3sin 2 cos 2 1=0, 0; 4  12sin .
x cos x  2sin x  0  sin x  0 (1) sin x  0    6   1  cos x  (2) 2 cos x=   6  6   6 cos x   (3)  6
Họ nghiệm x k có 4 nghiệm trong 0;4  6
Trong mỗi nửa khoảng k2 ;k2  2  phương trình cos x
có 2 nghiệm phân biệt. Do đó 6 6 cos x
có 4 nghiệm trong 0;4  . 6
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 6
Tương tự, trong mỗi nửa khoảng k2 ;k2  2  phương trình cos x   có 2 nghiệm. Do đó 6 6 cos x  
có 4 nghiệm trong 0;4  . 6
Trong các họ nghiệm của,, không có hai họ nào có phần tử chung nên chọn đáp án D.
sin 3x  2 cos 2x  2 sin x 1  0 3 2
 3sin x  4 sin x  2  4 sin x  2 sin x 1  0 3 2
 4 sin x  4 sin x  sin x 1  0  1   Câu 139. Ta có: sin x x   k  2  6   1    sin x     x    k  2  6   sin x  1    x    k 2   2  7    5 Do x   ; 0 
 nên phương trình có các nghiệm là: x   ; x   ; x   8  6 2 6
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
Câu 140. Cách 1: Điều kiện xác định: cos x  0  x
l với l   . 2
Khi đó phương trình trở thành sin x  1 (1)
cos 2x  3sin x  2  0 2
 2sin x  3sin x 1  0   1 sin x  (2)  2   x   k 2  6
Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được  5 x   k 2  6 với k   .  5 
Câu 141. TXĐ: D   \   k2 ,
k 2 , k   .  6 6  Phương trình trở thành:    
3 sin x  cos x  0  2 sin x   0    x
k 2 k   .  6  6 7
Vậy nghiệm của phương trình là x
k 2 k   . 6
Câu 142. Điều kiện xác định: tan x   3 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Phương trình tương đương: 2 sin x cos x  2 cos x  sin x 1  0  2 cos x   1 sin x   1  0   x   k 2  3  1  cos x       2  x  
k 2 . Do tan x   3 nên x    k 2 loại.   3 3 sin x  1   
x    k2  2  x
k 2 biểu diễn trên đường tròn lượng giác có 1 điểm. 3  x  
k 2 biểu diễn trên đường tròn lượng giác có 1 điểm. 2
Vậy có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
Câu 143. Điều kiện xác định sin x  1 .  1 cos x   2 
Phương trình tương đương 2 cos x   1 cos .
x 2sin x   1  0  cos x  0  .  1 sin x   2   x      3  Vì x  0; 
và sin x  1 nên  . Do đó T  . 2      2 x   6
Câu 144. Chọn A 3 
Điều kiện xác định: 2 cos x  3  0  cos x   x  
l2 l   . 2 6 
3  cos 2x  sin 2x  5sin x  cos x Với x   
l2 l  phương trình  0 6 2 cos x  3
 3  cos 2x  sin 2x  5sin x  cos x  0 2
 3 1 2 sin x  2 sin x cos x  5sin x  cos x  0 2
 (2 sin x cos x  cos x)  2 sin x  5sin x  2  0 2
 cos x(2 sin x 1)  (2 sin x  sin x)  (4 sin x  2)  0
 (2 sin x 1)(cos x  sin x  2)  0   
 2sin x 1  0 (vì cos x  sin x  2  2 sin x   2  2  2  0   )  4    x   k 2 1  6  sin x    k   2 5 x   k 2  6 5
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x
k 2 k  . 6 5 5 595
Mà x 0;100   0 
k 2  100    k  6 12 12
k    k  0;1; 2;3;...; 49.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 49  5  7475
Vậy tổng các nghiệm thuộc 0;100  của phương trình bằng  k 2  .   k 0  6  3 
Câu 145. Điều kiện: sin x  cos x  0  x  
k , k  .  4
Phương trình tương đương: 2
cos 4x  cos 2x  2sin x  0 2
 2 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x  0 2
 cos 2x  cos 2x  0 x k cos 2x  1       . cos 2x  0 x   k   4 2  x k
Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là   .  x   k  4
Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các
cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật. Đó là hình chữ nhật AC ’ A ’
C như hình vẽ, trong đó  AOC  . 4 1 
Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là S  4S  4. .OA.OC.sin  2. ACA'C' OAC 2 4     
Câu 146. Điều kiện sin x  cos x  0  sin x   0    x
k  x  
k , k  .  4  4 4 2
sin x sin 2x  2sin x cos x  sin x  cos x Ta có:  3 cos 2x sin x  cos x
sin 2x sin x  cos x  sin x  cos x   3 cos 2x sin x  cos x sin 2x  
1 sin x  cos x   3 cos 2x sin x  cos x      
 sin 2x  3 cos 2x  1  sin 2x   sin       3   6 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489      2x     k 2  x   k 3 6  12    
k  .    3 2x      k 2 x   k  3 6  4 
Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: x
k k  . 12  11 Trên  
 ;  phương trình đã cho có các nghiệm là: ;  . 12 12
Câu 147. Chọn C ĐK: cos x  0
Khi đó, phương trình   2 x   2  x   2  x 2 3 2 cos 1 cos 1 cos
 cos x  cos x 1 4 3 2
 2 cos x  cos x  cos x  0 2
 2 cos x  cos x 1  0 (vì cos x  0 ) 
x    k 2 1 cos x  1       1  x   k 2 2 cos x   3  2   x    k 2 3  3
Vì x [1; 70] nên 0  k ; k  10;1  k  11 1 2 3
Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, ta có 11 S   11    11       . 10  2           2 . 10       2       2 . 11    363     . 2 2 3  3  2    3   3   2 si  n x  1 cosx  0 
Câu 148. * ĐKXĐ:    1 cos2x  0 2  sin x    2 * Ta có: 2 2 2 a
sin x a  2 2  2 2 2 2
a cos x  sin x a  2 2 2 2
 a sin x  sin x  2 2  sin x  2 1 tan x cos 2x 2 1 a
Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là:  2  0;1  2   1 a  2   0;1  2   2  2 1   a 1    a  2  a  1    1      2  1 a 2  2 1  1   a  4 a  3      2 1 2 1    a 2   2 1   a 2  sin x  0
Câu 150. Điều kiện 
sin x  cos x  0  Ta có   x x x 2 2 1 cos sin cos  sin .
x sin x   1    x x x   2 2 1 cos sin cos
1 cos x.sin x   1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
 1 cos xsin x  cos x  sin x cos x   1  0 cos x  1    x2 1 cos
1 sin x  0   sin x  1 
Chỉ có sin x  1 là thỏa điều kiện ban đầu.
Vậy các nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi 1 điểm trên đường tròn lượng giác.
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác Câu 151. 2018 2018 x x   2020 2020 sin cos 2 sin x  cos x 2018  x  2  x 2018  x  2 sin 1 2sin cos 1 2 cos x  0 cos 2x  0 2018 2018  sin . x cos 2x  cos
x cos 2x  0   . 2018 2018 sin x  cos x    k
+ cos 2x  0  2x
k  x   k    1 2 4 2  + 2018 2018 sin x  cos x 2018  tan x  1 ( x
k không là nghiệm)  tan x  1 2   k  x  
k k   2 . Từ  
1 và 2 ta có x  
k  là nghiệm của pt. 4 4 2  k
Do x  0; 2018  0  
 2018  0  k  1284, k   . 4 2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0; 2018 bằng 2    1284.1285  1285 
.1285  1 2  ...1284  .1285       . 4 2 4 4  2 
Câu 152. Chọn D. cos x  0  Điều kiện 
 sin 2x  0  x k , k   sin x  0 2  x x sin x sin  cos x cos  x  2 2 1 tan x tan
sin x  cot x  4 
sin x  cot x  4    2 x  cos x cos 2 x cos 2 
sin x  cot x  4  tan x  cot x  4 2
 tan x  4 tan x 1  0 x cos x cos 2    tan x  2  3 5 x   k   12  1    . tan x  2  3     2  3 x   l   12 
Với hai họ nghiệm trên dễ thấy nghiệm dương nhỏ nhất là
; để được nghiệm âm lớn nhất ta đều 12 7   11   7  
cho k l  1 được nghiệm âm ;
khi đó nghiệm âm lớn nhất là . 12 12 12 7     Ta có    . 12 12 2
Câu 153. Cách 1:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 8 6 4 2 5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π 2 4 6 8 Đk: 2  019  x  2019
Nhận xét x  0 là nghiệm của phương trình.
Nếu x x là nghiệm của phương trình thì x   x cũng là nghiệm của phương trình 0 0 x
Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2019 . Vẽ đồ thị của hàm số y  sin x và y  2019 . Ta thấy:
Trên đoạn 0; 2  phương trình có hai nghiệm phân biệt
Trên nửa khoảng 2 ; 4  phương trình có hai nghiệm phân biệt
Trên nửa khoảng 4 ;6  phương trình có hai nghiệm phân biệt …
Trên nửa khoảng 640 ;642  phương trình có hai nghiệm phân biệt
Trên nửa khoảng 642 ; 2019 phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Như vậy trên đoạn 0;2019 phương trình có một nghiệm x  0 và 321 x 2 +1 = 643 nghiệm
dương phân biệt. Mà do x x là nghiệm của phương trình thì x   x cũng là nghiệm của 0 0
phương trình nên trên nửa khoảng  2
 019; 0 phương trình cũng có 643 nghiệm âm phân biệt. Do đó trên đoạn  2
 019; 2019 phương trình có số nghiệm thực là 643 x 2 +1 = 1287 nghiệm
Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là 1287 nghiệm. Cách 2: Đk: 2  019  x  2019 x 1
Xét hàm số f (x)  sin x
,ta có f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên R và f (
x)  cosx  , 2019 2019 1 1    f (
x)  0  cosx   0  x  
  k 2 với cos  và   0;   . Chia 0; 2019 2019 2019  2 
thành hợp các nửa khoảng k2 ; 2  k2  ( với k  0;320 ) và 642 ; 2019 (vì 2019  642, 67 )
Xét trên mỗi nửa khoảng k2 ; 2  k2  ( với k  1;320 ), ta có f (
x)  0 có hainghiệm là
x    k 2 và x  
  2  k 2 1 2 k 2
Ta có f (k 2 )    0 2019   k 2
2020.2018    k 2   
f (x )  sin     0 do  0; và k2  642 1   2019 2019  2     2  k 2
f (x )   sin    0 2 2019
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 k 2  2
f (2  k 2 )   0 2019 Bảng biến thiên x k2π x x 1 2 2π+k2π f'(x) + 0 - 0 + f(x1) y = 0 f(x) f(2π+k2π) f(k2π) f(x2)
 Trên k2;2  k2  phương trình f (x)  0 có đúng hai nghiệm phân biệt (với k  1;320 )
Tương tự xét trên nửa khoảng 0; 2  phương trình có một nghiệm và trên nửa khoảng
642;2019 phương trình có hai nghiệm.
Từ đó số nghiệm của phương trình đã cho là 2.320.2 1 2 1  1287
Nhận xét: đề hoàn toàn không phù hợp trong đề thi 1 Câu 154. cos 2 .
x sin 5x 1  0 
sin 3x  sin 7x  1
  sin 3x  sin 7x  2  2     2 7x    k 2 x    k sin  7x  1   2   14 7      
k,l   sin 3x  1   2  3  x l2     x    l   2   6 3 1 2k 1 2l       14 7 6 3  3  12k  7   28l 4  28l 1 7lk   . 12 3      2 Vì x   ;  nên     l
  , giải ra ta được l  0,1. 2    2 6 3 4
l  0  k   (loại) 12
l  1 k  2    
Vậy phương trình có một nghiệm x    ; . 2  2    Câu 155. Ta có: 2015 2016 x x   2017 2018 sin cos 2 sin x  cos
x  cos 2x 2015  x  2  x 2016  x  2 sin 1 2sin cos 2 cos x   1  cos 2x cos 2x  0 2015 2016  sin . x cos 2x  cos .
x cos 2x  cos 2x   . 2015 2016 sin x  cos x  1   
Với cos 2x  0  x   k , k   4 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   20 1 60 1
Vì x 10;30  10    k  30     k    6   k  18 . 4 2  2  2 Với 2015 2016 sin x  cos x  1 . Ta có 2015 2 2016 2 sin x  sin ; x cos x  cos x .
sin x  0, cos x  1 Do đó 2015 2016 2 2 1  sin x  cos
x  sin x  cos x  1 suy ra  .
sin x  1, cos x  0 
Nếu sin x  0  x k , k   . 10  30
Vì x 10;30  1
 0  k  30      3  k  9 .   
Nếu sin x  1  x
k 2 , k   . 2  5 1 15 1
Vì x 10;30  10  
k 2  30     k    1  k  4 . 2  4  4
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: 13  6  25  44 .
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số m m Câu 156. Ta có 6 6
sin x  cos x  3sin x cos x   2  0  2 2
1 3sin x cos x  3sin x cos x   2  0 4 4
Đặt t  sin 2x , 1  t  1. PT trở thành 2 3
t  6t 12  m .
Xét hàm số f t  2  3
t  6t 12 , 1  t  1 m Phương trình 6 6
sin x  cos x  3sin x cos x
 2  0 có nghiệm thực khi 3  m  15 . 4
Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m .
Câu 157. Ta xét phương trình 2
cos2x m sin x m  0  2
 sin x m sin x 1 m  0 (1)
Đặt sin x t 0  t   1 khi đó 2 (1)  2
t mt 1 m  0
Để phương trình cos2x m sin x m  0 có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t thỏa 0  t  1 2 2t 1 2 2 2
t mt 1 m  0  (
m t 1)  2t 1  m   
* (Vì t  1không phải là nghiệm của t 1 phương trình) 2 2x 1 1 x  2 1 Xét hàm số y  trên 0 
;1 . Ta có y '  2  ; y '  0   x 1  x  2 1 x  2 1 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2   3 2
Để phương trình (*) có nghiệm  m
. Do m nguyên dương nên m  1. 2 Câu 158. Ta có
x   m   2 cos 2 2
1 cos x m 1  0  2 cos x  2m  
1 cos x m  0 cos x m
 cos x 2 cos x  
1  m 2 cos x   1  0 2cos x  1 cos x m 0       1 . cos x   2   3  1   3  Do x  ; 
 nên cosx  1; 0 nên phương trình cos x
không có nghiệm x  ;   .  2 2  2  2 2    3 
Vậy nên để phương trình cos 2x  2m  
1 cos x m 1  0 có nghiệm x  ;   khi phương  2 2    3 
trình cos x m có nghiệm x  ; 
 nghĩa là 1  m  0 .  2 2 
Câu 159. Phương trình đã cho tương đương với:  x x3 m 2 2 2 2  x x  2 2 sin cos 3sin .cos
. sin x  cos x  3sin x cos x   2  0 4 3 3 m 2   sin 2x  sin 2x   3  0 4 2 4 3 15 m   sin 2x  2 1   . 4 4 4 m  3 15 
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi  ;  m 3;1  5 4  4 4   
Vậy có 13 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm thực.
Câu 160. Chọn A Ta có
2 sin x  m   1 cos x  m
cos x  2 sin xm  cos x 1
cos x  2 sin x
Đặt f x  cos x 1   
để phương trình có nghiệm x  0; 
khi và chỉ khi min f x  m  max f x 2         0; 0;  2   2     
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 x 2t 1 t đặt t  tan  sin x  , cos x  2 2 2 1 t 1 t 2 1 t 2t  2.
cos x  2 sin x 2 2 2 t  4t 1
khi đó hàm số f x 
trở thành   1 t 1 t g t   với t 0  ;1 cos x 1 2 1 t 2 1 2 1 t
g 't   t
  2; g 't   0  t  2  0  ;1 1
g 0  ; g   1  2  2 1
Suy ra min f x  2  ;
max f x        0; 0; 2  2   2      1 Vậy 2   m
. Các giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán là 2; 1;  0 2 Câu 161. Ta có: 3 x
x  m   3 2 4 cos cos 2
3 cos x 1  0  4 cos x  2 cos x  m  3 cos x  0 cos x  0   2
4 cos x  2 cos x m  3  0   1      
 cos x  0  x
k , k   không có nghiệm thuộc khoảng  ;   . 2  2 2     
 Đặt t  cos x , vì x   ;   nên t  0  ;1 .  2 2 
Khi đó phương trình   2
1  4t  2t m  3  0 2 .
Ycbt  phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt t , t thỏa mãn 0  t , t 1. 1 2 1 2 Cách 1:
Đặt f t  2
 4t  2t m  3 , với t  0  ;1 .
Khi đó, phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt t , t thỏa mãn 0  t , t 1 1 2 1 2  13   0 m    f   4 0  0    m  3 13         3 1 0  m f
. Vì m nguyên nên không có giá trị nào. m  1 4   b    1 0   1  0   1  2a  4 Cách 2:   2 2  m  4
t  2t  3  g t
Ta có bảng biến thiên của g t trên t 0  ;1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Từ bảng biến thiên trên phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt t , t thỏa mãn 1 2
0  t , t 1 1 2 13 thì 3  m
. Vì m nguyên nên không có giá trị nào. 4 Câu 162. Ta có: 3 2 2
cos 2x  cos 2x m sin x 2  x x   2 cos 2 cos 2 1  m sin x 2  x  2 sin
2 cos 2x m  0 2
 2 cos 2x m  0  cos 4x  m 1.     2  1 Có x  0;    4x  0;      cos 4x  1  6   3  2    1 1
Để phương trình có nghiệm x  0;   thì 
 m 1  1  2   m   .  6  2 2
Do m   nên m  1  .
Câu 163. Ta có:   x x m x 2  m x    x x m x  m 2 1 cos cos 4 cos sin 1 cos cos 4 cos 1 cos x  0 cos x  1
 1 cos x cos 4x m cos x m1 cos x  0     . cos 4x m
 Xét phương trình cos x  1  x    k 2 k   .  2 
Phương trình cos x  1 không có nghiệm trong đoạn 0;  . 3     2   8  
Xét cos 4x m . Ta có x  0;  4x  0;  . 3   3     
Với 4x 0; 2  \   và m  1 
;1 phương trình cos 4x m có 2 nghiệm.  8   1  Với 4x  2 ;  và m   ;1 
 phương trình cos 4x m có 1 nghiệm. 3     2   2   1 
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;  khi m   ;1   . 3     2 
Câu 164. cos 3x  cos 2x m cos x  1 3  x x   2 4 cos 3cos 2 cos x  
1  m cos x  1 3 2
 4 cos x  2 cos x  m  3 cos x  0
Đặt cos x t với t  1   ;1 . Ta có t  0   2
4t  2t  m  3  0  * 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   3   
Với t  0 thì cos x  0  x
k , có 2 nghiệm là ; thuộc  ; 2   . 2 2 2  2    
Với mỗi giá trị t  0; 
1 thì phương trình cos x t có 3 nghiệm của thuộc  ; 2   .  2    
Với mỗi giá trị t  1;0 thì phương trình cos x t có 2 nghiệm của thuộc  ;2   .  2    
Với t  1 thì phương trình cos x t có 1 nghiệm của thuộc  ; 2   .  2 
Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm t ; t thỏa mãn điều kiện: 1 2
1  t  0  t  1. 1 2   2 *  m  4
t  2t  3
Từ bảng biến thiên trên ta có m  1;3 . Vậy m    2 . sin x  1
Câu 165. Ta có phương trình tương đương  2
2 cos x  2m  
1 cos x m  0  sin x  1 sin x  1  1    cos x  2cos x  
1 cos x m  0   2 cos x m
Với x 0; 2  . Ta có:  
sin x  1  x
vì x 0; 2  nên x  (thỏa mãn). 2 2     x x  1   3  3 cos x   cos x  cos  
vì x 0; 2  nên  (thỏa mãn). 2 3  5  5 x    2  x   3 3  3
Với 1  m  1 , đặt m  cos ,  0;  .
Nhận xét: Với x 0; 2  thì phương trình  x  
cos x m  cos x  cos   * . x     2 
Do đó, phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình * có 
đúng một nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng . 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   5 Trường hợp 1:   
  2     (thỏa vì khác , ,
). Suy ra m  cos  1. 2 3 3  3  Trường hợp 3:       2 
(thỏa). Suy ra m  cos  0 . 2 2 2
Vậy m 0;  
1 nên có 2 giá trị m . Câu 166. Ta có 3
2 cos 3x m  2 cos x m  6 cos x   3 x x  3 2 4 cos 3cos
m  2 cos x m  6 cos x 3 3
 8cos x  2 cos x m  6 cos x m  6 cos x Đặt 3 t
m  6cos x ,u  2 cos x , phương trình viết lại 3 3
u u t t  u t  2 2
u ut t  
1  0  u t hay 3 3
m  6 cos x  2 cos x m  8cos x  6cos x m  2 cos 3x
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì 2
  m  2 , có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. x    
Câu 167. Đặt t  tan , do x   ; suy ra t  1   ;1 . 2  2 2    2 4t 1 t
Phương trình trở thành tìm m để phương trình  . m
 1 m có nghiệm thuộc đoạn  1   ;1 2 2 1 t 1 t . 2 4t 1 t 1 1 Ta có  . m  1 m 2  m t  2t
f t  . 2 2 1 t 1 t 2 2
Hoành độ đỉnh là t  2 loại. Ta có f   1  3 và f   1  1  . 0 Suy ra 1
  f t   3 . Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 168. Chọn D Ta có  x x2 4 cos 3sin  5
 5  4 cos x  3sin x  5  3
m  4m  3 x m  4  5   1
Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi   3
m  4m  3 x m  4  5 2  Giải   1 ta có  3
m  4m  3 x m  4  5   3
m  4m  3 x m  9  0 x    m  1 3 
m  4m  3  0  1 13      m    VN m  9  0    2 2  m  9  Giải 2 ta có
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  3
m  4m  3 x m  4  5   3
m  4m  3 x m 1  0 x    
m  1  L   1 13 3
m  4m  3  0  m    L      2 2 m 1  0    1 13  m    t / m   2 2 m  1  1 13
Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m   
để phương trình đã cho vô nghiệm. 2 2
Câu 169. Chọn C 3 2
cos 3x cos 2x m cos x 1
  0  4cos x3cos x2cos x 1 m cos x 1   0 cos x  0 (1) 2
 cos x(4cos x2cos x m3)  0   2
4 cos x  2 cos x m 3  0 (2)     x  2 Giải (1)  x
k . Do x   ; 2 nên  2  2   3x   2 
 3   
Bài toán quy về tìm m để phương trình có 5 nghiệm thuộc   ; 2 \  ;   .  2     2 2 
Phương trình (2) đặt t  cos x ( t 1) phương trình trở thành 2
4t  2t  3 m (3) . Từ đường 
 3   
tròn lượng lượng giác để phương trình (2) có 5 nghiệm thuộc   ; 2 \  ;   thì phương  2     2 2 
trình (3) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 1
  t  0 t 1 1 2 0   3m   
 1 m  3 . Do m Z m  2 . 3  m  2 
Câu 170. cos 2x  2m  3 cos x m 1  0 2
 2 cos x  2m  3 cos x m  2  0   3   2 cos x  
1 cos x  2  m  0  cos x  2  m  0 , vì x  ;    2 2 
 cos x m  2
Ycbt  1  m  2  0  1  m  2 Câu 171. 2
cos 2x  5sin x m  0  2
 sin x  5sin x 1  m   1 .   
Đặt t  sin x , x    ;  t  1     ;1 .  2    2
1  2t  5t 1  m * .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489    Phương trình  
1 có đúng 1 nghiệm x    ;  t   1    0  ;1 .  2 
Xét hàm số: f t  2
 2t  5t 1 , t   1  0  ;1 .  5 33 
Đồ thị của hàm số f là parabol có đỉnh I  ;   .  4 8  BBT: t 1 0 1 4 1 f t ( ) 6 m  4 m  4
Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán     . 6  m  1 1  m  6   Câu 172. Ta có
cos 2x  2m  
1 cos x m 1  0 2
 2 cos x  2m  
1 cos x m  0  1 cos x    2cos x  
1 cos x m  0   2 . cos x m   
Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm   x   ;
khi và chỉ khi 0  cos x  1 nên loại   2 2  1 cos x   2  
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm   x   ;
khi và chỉ khi 0  m  1.   2 2 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
Document Outline

  • [NBV]-BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
  • [NBV]-1D1-2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
  • [NBV]-1D1-3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP